JP2008059562A - コンピュータにより実施される、パラメトリックな曲面を作成するプロセス - Google Patents

Abstract

【課題】トリムされた初等曲面を有するパラメトリック曲面の作成方法を提供する。
【解決手段】異例の頂点１０１は、原子価が２である外側頂点として定義され、ベースメッシュの面をパラメトリックな初等曲面１０３、１０４、１０５として変換し、異例の頂点１０１の近傍に位置したパラメトリックな初等曲面の少なくとも１つ１０５を、少なくとも１つのパラメトリックな初等曲面１１１に隣接した少なくとも２つのパラメトリックな初等曲面１０３、１０４と、ベースメッシュとに基づいてトリムし、トリムされたパラメトリックな初等曲面に隣接して少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を創生し、結果として生じるパラメトリックな初等曲面が、パラメトリック曲面を形成する。
【選択図】図１０

Description

本発明は、コンピュータ支援デザイン(computer-aided design)の分野に関連し、特に、トリムされた(trimmed)初等曲面(elementary surface)を有するパラメトリック(parametric)曲面などのパラメトリック曲面の、コンピュータを用いての作成に関する。

市場には、パーツやパーツのアセンブリを設計するためのシステムやプログラムが数々提供されており、本出願人がCATIAの商標により提供しているものなどがある。これらのいわゆるコンピュータ支援デザイン(CAD: Computer aided design)システムにより、ユーザは、パーツやパーツのアセンブリなどの、複雑な３次元(3D)モデルを構築、操作することができる。

３Dのコンピュータグラフィックス作成は、多様なステップを伴い、モデリング及び処理ステップ（ベースメッシュ(base mesh)の細分割(subdivision)、パラメトリック曲面への変換、表示(rendering)など）が含まれる。

アセンブリのモデルを作成には、いくつもの異なるモデリング技術を用いることができる。これらの技術には、ソリッドモデリング(solid modeling)、ワイヤフレームモデリング(wire-frame modeling)、曲面モデリング(surface modeling)などが含まれる。ソリッドモデリング技術は、位相的な３Dモデルを提供し、３Dモデルは、例えば相互に接続されたエッジ及び面の集合である。幾何学的には、３Dソリッドモデルはトリム(trim)されまたは境界を画定された(delimit)曲面の集合であり、この集合はクローズされたスキン(closed skin)を形成する。トリムされた曲面は、エッジにより境界付けられた位相面に相当する。閉じられたスキンは、パーツの材料で満たされ境界付けられた３D空間を形成する。一方、ワイヤフレームモデリング技術は、モデルを単純な３D線の集合として表現するのに用いられ、曲面モデリングは、モデルを外曲面(exterior surface)の集合として表現するのに用いられる。CADシステムは、これら、さらにパラメトリックモデリング技術など他のモデリング技術を組み合わせることができる。従ってCADシステムは、モデル化される対象の表現を、エッジまたは線を用いて、またある場合は面を用いて、提供することができる。モデル化された対象は、多数の線またはエッジを含む。これらは、例えば非一様な有理Bスプライン曲線(NURBS: Non-uniform rational B-splines)、ベジエ曲線(Bezier curves)、または曲線を記述する他のアルゴリズムなど、様々な方法で表現されている。

処理ステップに関しては、CADプログラムは一般的に、対象のモデリングの間ベースメッシュ(base mesh)を利用する。ベースメッシュは、三角形や四角形などの初等多角形が相互に接続されたネットワークである。

ベースメッシュは設計の間、ユーザによって、必要なモデルを得るために修正され、NURBSまたはB-Splinesなどの複数のパラメトリック曲面に変換される。

モデル化される製品について：現代の消費者向け製品は、滑らかに流れるような形状を有しており、その形状の複雑さは平面、箱、円柱といった解析的曲面を超えている。このような製品は、典型的にはスプライン曲線や曲面などを用いてモデル化される。製品を設計するとき、対象の曲面の滑らかさは主要な関心事である。結果的に、３Dモデルを行うものは、滑らかな曲面を作成するために種々のツールを備えている。

以下において、「曲率(curvature)」は、曲線または曲面が完全な直線、平面から離れる程度を示す幾何的用語として用いられる。曲率は通常、曲率半径(local osculating radius)の逆数として計測される。従って、曲線が少ししか曲がっていないときは、その曲率は低く半径は大きく、大きく曲がっているときは、曲率が大きく半径は小さい。弧や、円や、これらに基づく曲面では、曲率は一定であるが、スプライン（及びそれに基づく曲面）などの複雑な曲線の場合、曲率は曲線の長さ上で連続的に変化する。

さらに、「連続性」という用語は、曲線または曲面上の点の間、及び接する曲線、曲面の間のオフセット（または関係）を示すものとして用いられる。このような関係は、通常C0,C1,C2である異なるレベルの連続性に分かれる。C0は、点的な連続性のみ（接する曲線、曲面の場合と同様）を意味する。この場合の曲線は、C0点でねじれを示す。同様に、曲面のC0のシーム(seam)には、尖った折り目(crease)がある。接する曲面、曲線は互いに接するが、曲率に類似点はない。C1は、接する連続性(tangent continuity)が増した連続性レベルを意味し、C2には曲率連続性(curvature continuity)が追加される。一点の両側の曲率が同じである場合、曲線はシームレスである。

ここで、G0,G1,G2という「幾何学的」連続性に言及する。これらは、当業者には知られているように、数学的観点からは若干異なるものである。例えば、２つの結合される曲線分は、それぞれのｎ次の微分関数の結合点において「同じ方向」（何らかの行列によって比例的に定義されればよく、等価性は要求されない）である場合、Gn連続性を有する。この結果、CnであればGnであることを意味するが、逆は必ずしも真ではない。

曲面モデリングの主要な技術のうち、区分的な低次元代数的曲面(piecewise low-order algebraic surface)または暗黙のパッチ(implicit patches)が一般的に利用される。パッチは、制御ポイント(control point)のグリッドで制御されたパラメトリックな初等曲面であり、変形が可能である。パッチを用いるのに重要な問題は、パッチは、幾何的な連続性を保つために、境界で正しく結合されていなければならないということである。典型的には、パッチのセルは再帰的に細分割され、局地的な曲率が与えられた連続性の要求に適応することができるようにする。

数多くのアプリケーション（コンピュータグラフィクスなど）においては、Catmull-Clarkなどの細分割された曲面は、ベースメッシュから導き出される曲面を近似するために用いられる。特に、Catmull-Clark細分割曲面は、今では滑らかなフリーフォーム曲面モデリングの標準となっている。細分割曲面は、任意のメッシュから、つまり任意のトポロジーによって、滑らかな曲面を形成するのに用いられる。これらは、無限の改良プロセスの限度として定義されている。キーとなるコンセプトは改良である：最初の多角形メッシュを繰り返し改良することにより、結果としての細分割曲面に収束する一連のメッシュが生成される。新たな細分割ステップそれぞれにより、より多くの多角形エレメントを有しより滑らかな新たなメッシュが生成される。特に、Catmull-Clark細分割曲面は、バイキュービック(bi-cubic)の一様なBスプライン曲線を一般化したものと見られている。重要なポイントは、生成されたメッシュは主に四角形により構成されるため、通常の頂点の予測される原子価(valence)（または座標数(coordination number)）は、４である。

さらに、開いた頂点と閉じた頂点との区別が時々される。開いた／閉じた(open/closed)頂点とは、当産業では知られた概念である。簡単に言うと：頂点ｖがエッジE1, E2, En+1に囲まれ連結されており、En+1=E1であるとすると、該頂点は、エッジがいずれも鋭いエッジでなければ閉じた頂点である。

当分野におけるもう一つの概念は、内側／外側(inner/outer)頂点である。頂点は、その位置に応じて「内側」または「外側」となり、つまりメッシュの内部または境界部にある。

上記の定義を念頭において、「異例の頂点(extraordinary vertex)」の用語を、以下のような頂点とは異なるものを意味するものとして、これより用いる。
・原子価が２である外側頂点
・原子価が３である外側頂点
または
・原子価が４である内側頂点
従って、原子価が３である内側頂点や原子価が５である頂点は、異例の頂点である。

CADの分野においては、細分割された曲面は、パラメトリックでないので、一般には受け入れられない。従ってCADシステムは、細分割曲面を、NURBSパッチなどの一連の曲面パッチから成るパラメトリックな曲面に変換するアルゴリズムを提供する。

それでも、結果としてできるパラメトリック曲面の連続性の質は、不十分である。実際、これらの曲面は、最初のベースメッシュの異例の頂点に該当する頂点に対応する点を除いては曲率連続である。

この観点においては、パラメトリック曲面を生成するためのいくつもの既存のプロセスは、異例の頂点が引き起こす連続性の問題をスキップしている。異例の頂点がある場合に生成される曲面の質は、従って、CAD曲面、特に審美的に魅力のある形状の曲面の生成には不十分である。

同じ問題は、鋭いエッジがあるときにも発生する。さらに、原子価が３である異例の内側頂点は、実質的にオフセット（最初の曲面と並行にしながら複製）できず、これはCAD統合においては重要な問題となる。

（発明の要旨）
従って、簡単に言うと、以下の要件を満たすことのできる、パラメトリック曲面の生成方法の必要がある。
・幾何的連続性Gi（例えばG1またはG2）の要件を満たすこと；
・オフセット曲面の生成が可能なように、鋭いエッジに対応すること
従って本発明は、コンピュータによって実施されるパラメトリック曲面生成方法であって、
・原子価が２より大きい外側または内側頂点を複数有するベースメッシュを提供するステップであって、前記頂点が面を定義し前記頂点のうち少なくとも一つが異例の頂点であり、前記異例の頂点とは
・原子価が２である外側頂点
・原子価が３である外側頂点
または
・原子価が４である内側頂点
として定義される、ベースメッシュを提供するステップと、
・前記ベースメッシュの面をパラメトリックな初等曲面に変換するステップと、
・前記異例の頂点の近傍に位置する、前記パラメトリックな初等曲面の少なくとも一つを、
・前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面に隣接する少なくとも２つ
のパラメトリックな初等曲面と、
・前記ベースメッシュと
とに応じてトリムするステップと、
・パラメトリックな初等曲面を少なくとも一つ、前記トリムされたパラメトリックな初等曲面に隣接して構成するステップであって、結果としてできるパラメトリックな初等曲面はパラメトリックな曲面を構成する、構成するステップと、
を有している。

他の実施例においては、本発明に係る方法は以下のうちの一つまたは複数の特徴を備えている：
・前記トリムするステップは：前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を前記ベースメッシュに従って定義するステップと、前記隣接する初等曲面に応じて前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面内でトリミングカーブを定義するステップと、前記トリミングカーブに従って前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を再限定(relimit)するステップとを有しており；
・前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を定義するステップは、スウィーピングアルゴリズム(sweeping algorithm)を用い、前記アルゴリズムは、周囲のパッチの境界から複数のガイドを定義するステップと、前記複数のガイドに従ってプロファイルをスウィープするステップとを有し；
・前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を定義するステップは、ロフトアルゴリズムを用い、前記アルゴリズムは、周囲のパッチの境界から定義される少なくとも２つの曲線に従うエリアを埋めるステップを有し；
・前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を定義するステップは、前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を前記ベースメッシュと合致させるステップを含み；
・前記トリミングカーブは、前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を前記少なくとも２つの隣接するパラメトリックな初等曲面から分けるエッジの長さに従って、さらに定義され；
・前記異例の頂点の近傍にある前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面は、その
面積(area)によって選ばれ；
・前記パラメトリックな曲面は、要求されるGi幾何連続性を有するよう生成され；
・前記ベースメッシュは、Catmull-Clark細分割ルールに従って細分割され；
・前記変換ステップにおいては、パラメトリックな曲面はそれぞれ：
・初等エッジであって、隣接した初等エッジに結合している初等頂点を有す
る初等エッジと；
・前記要求された幾何連続性Giと少なくとも等しい内部連続性Cjであって、
初等エッジを介しての少なくとも２つの初等曲面の間の幾何的連続性は、
前記要求された連続性Giよりも少ない、内部連続性Cjと
を有し、
本発明に係る前記方法はさらに、少なくとも一つのエッジを結合し、前記エッジを介して隣接する初等曲面の連続性が前記要求される連続性Giよりも小さい、単一初等頂点それぞれに対し、：
・前記単一初等頂点に結合されたエッジを介したパラメトリックな初等曲面のパラメータ
を連結する連立方程式を定義し、前記要求される連続性Giを結合されたエッジに強行し；
・前記方程式を解いてパラメータを得；
・本発明に係る前記方法はさらに、前記ベースメッシュ及びパラメトリックな初等曲面を
表示しえるグラフィカルユーザインタフェースを提供するステップを有し；
・前記ベースメッシュ及びパラメトリックな初等曲面は３Dで表示され；
・前記ベースメッシュを提供するステップは：メッシュパターンを特定するステップと；
前記メッシュパターンからシンメトリーオペレーションによりベースメッシュを生成するステップであって、前記ベースメッシュは前記シンメトリーオペレーションに対して対称である、ベースメッシュを生成するステップとを有する。

さらに本発明は、本発明の方法に係るステップを実施するよう設計されたコード手段を備えたコンピュータプログラム製品と、前記方法を実施するために設計された手段を備えたコンピュータシステムとに関する。

さらに、発明者の知る限りにおいて、パラメトリックな曲面の生成一般に関連する特徴やバリエーションを提案しつつも、先行技術は以下に述べる本発明の最も有利な特徴のいくつかを開示してはいない。

本発明を実施するシステムについて、非限定的な例をもって添付の図を参照することにより記載する。

発明の詳細に入る前に、上述の従来技術におけるいくつかの概念及び難点が、図１から７に例示されている。

細分割曲面のメッシュ１５及び結果としてできる細分割曲面１６の例が図１に表示されている。メッシュは：
・頂点１１のような頂点（従って頂点とはメッシュのポイントである）
・エッジ１２のようなエッジ（エッジは２つの頂点を結ぶ線である）
・面１３のような、少なくとも３つまたはそれ以上のエッジによるループで形成された面
を備えている。

図２では、パラメトリックな曲面の別の例が模式化されており、パラメトリックな曲面は、一連の曲面パッチ２２、２３を備えている。メッシュ１５は、例えば頂点１１，２４，２５などの頂点と、エッジ１２などのエッジとを備えている。原子価とは、座標番号(coordination number)である。実際には、原子価は頂点の特徴であり、その頂点に結合されているエッジの数と同じである。上述に定義するもう一つの特徴は、頂点が前記の「内側」か「外側」か、例えば、メッシュの内部か境界部かである。エッジ２４は原子価４の通常の（内側）頂点であり、頂点２５（内側、原子価３）は異例の頂点であることに注意されたい。連続性の問題は、内側の３座標の頂点２５の近傍で起こりやすい。

図３を参照すると、曲面パッチ２２，２３を有するパラメトリック曲面１６のもう一つの例が図示されている。前記パラメトリック曲面１６は、実際は図２のものに近いが、頂点３５（ちなみにこれは原子価５を有する）上に追加セクション３６を示している。図２の例のように、頂点２４及び２５があり、それぞれ原子価５及び３を有している。

上述のように、パッチ間の接続性は、最終的な曲面の品質に顕著に影響を及ぼす重要な問題である。細分割は多角形に相当するため、曲面の如何なるポイントも定義され評価され得るよう、NURBSまたはベジエ曲面を設計しなければならない。これにより、細分割曲面をCADシステムで用いることができるようになる。

少なくとも前記パッチが通常のパッチであるとき、前記パッチを設計し前記パッチ間の接続性を確保するのにいくつかの公知のアルゴリズムを用いることができる。通常のケースとは、例えば
・ 原子価４の２つの内側頂点と、
・ 原子価３の２つの外側頂点と、
・ 原子価３の１つの外側頂点と原子価４の１つの内側頂点と、
を有するエッジに関するケースである。

より正式な定義は当分野に見受けられる。

通常のケースのパッチの接続は、公知のアルゴリズムを用いて容易に実現することができる。曲率連続性（G2）及びそれ以上（例えばG3）が達成できる。これは、パッチが接点的に接続しており、境界での接続に関与しているパッチの曲率が等しいことを意味する。

図３の例では、参照番号３１はG2連続性レベルのパッチ接続性の例を示している。特に、原子価４の頂点２４に集まっている４つのパッチの接続は、公知のアルゴリズムを用いて、接続エッジでG2連続性に合致することができる。言い換えると、もし対応する曲率を前記パッチに対して横断して取ると、そのような曲線は連続した滑らかな形状を示す（例えば図９参照）。従って、一つの点の周りに２つまたは４つのパッチが接続されているとき、G2連続性が達成できる。

対照的に、異例の頂点（例えば、通常の頂点とは異なる）に対応するケースは、連続性の問題を生じがちである。これは、例えば図３において生じ、頂点２５（異例の頂点、内側、原子価３、図４も参照）の近傍ではG2連続性が達成できない。

図３の詳細は図４に示されており、図４はメッシュの異例の内側頂点２５に焦点をあてている。通常、メッシュの各面に対してパッチ４１、４２、４３ｐを構築しようとする。図４に参照番号４３ｍ及び４３ｐ（ｍはメッシュ、ｐはパッチ）として図示されているように、面はメッシュのエッジにより生じ、一方パッチ４３ｐは、メッシュの頂点とは異なる独特な頂点に結合された独特なエッジを有する。それでも、結果として生じるパッチは細分割の限定形状(subdivision limit shape)に近い。ちなみに、このようなパッチは、古典的に、幾何的に再限定(relimit)されない。

図５は、メッシュ１５に従って形成され、メッシュ１５の異例の内側頂点５１の近くに曲面パッチ５２−５５のセットを備えた、別のパラメトリック曲面１６の詳細を示している。図３で頂点２５に関して上述した通り、問題はこのような頂点の近傍で生じがちである。まさに公知のアルゴリズムでは、パッチ接続において曲率連続性を生成することがほぼできない。結果としての形状は、視覚的な欠点を示し、これにより細分割のCADワールドにおける利用が制限される。

図６を参照すると、２つの鋭いエッジがあるパラメトリック曲面の別の例が示されている。細分割スキームは通常、ベースメッシュのエッジに属性を設定することによって、内側のエッジを利用する可能性を提供する。メッシュ上のいくつかの経路を用いて、いくつもの組み合わせを達成することができる。通常モード（鋭いエッジなし）のように、曲面の創生は典型的にはメッシュの各面に対してパッチを生成する。結果としての形状は、鋭いエッジによって影響を受けたパッチの接合点において接点的非連続性を示しがちである。

これは図６に示されており、ここでは２つの鋭いエッジ６６、６８を有する（原子価３の異例な内側頂点６１を結合）ベースメッシュ１５の面が、角６９において共線の接線６４、６５を有するパッチ６２を形成する。つまり、角が縮退している。この場合におきる問題は、オフセットの計算にはベクトル積から法線ベクトルを計算することが必要とされるので、このようなパッチ６２はオフセット面の形成には用い得ないということである。共線ベクトルのベクトル積はゼロであるので、角６９において法線ベクトルを計算することはできない。このような状況は、分厚い立体を設計する際に深刻な懸念となる。

次に、もう一つの例として（図７）、２つの鋭いエッジ７６，７８が原子価５の内側頂点７５に結合している場合、通常（鋭いエッジがない）の場合と同じ接続欠陥が現れる。その結果、３つのパッチ７１―７３の接続点に曲率非連続７９が生じる。

上記の欠点に応じて本発明は、ベースメッシュの面をパッチ（パラメトリックな初等曲面）に変換するのに加えて、重要な異例の頂点の近傍のパッチの少なくとも一つをトリムする方法を提案する。特に、後に例示するように、前記トリミング操作は２つまたはそれ以上の隣接した（好ましくは通常の）パッチとベースメッシュとに依存する。従って、どのようにトリミングが行われるかは、トリミング操作が線形であり続けるよう、局所的に決められる。さらにベースメッシュは、トリミングのステップを決定し、システマティックで再生可能な、手作業では達成できないようなパッチのトリミングを行う。トリムされたパッチの創生は、公知のアルゴリズム（例えばロフトまたはスウィープアルゴリズム）やトリミングカーブ(trimming curve)を用いてよい。次に、上記のトリムされたパッチ及び回りの通常のパッチを用いて、トリムされたパッチに隣接して補足的なパッチが少なくとも一つ構成される。ちなみに、自動的または、オプションがユーザ指定である半自動的トリミングとしてもよい。

この結果、公知のアルゴリズムを用いて、与えられた連続性を達成するよう、変換が完了する。さらに、このようなスキームは鋭いエッジに対応し、後述のようにオフセット曲面の作成も維持する。従って、細分割スキームとCADシステムとの完全な統合が可能になる。

知られているように、トリムされた曲面は、幾何学的に再限定されたパッチである。従ってこのメソッドは、重要なトリムされていないパッチ８１内にトリミングカーブ８３（図８参照）を定義するステップを含みがちである。そして、前記パッチ８１がトリミングカーブ８３に従って再限定(relimit)され、トリムされたパッチ８２が生じる。隣接するパッチをトリムされたパッチに接続するのは、公知のアルゴリズムを用いて行うことができる。結果として生じる接続は、曲率連続性（G2）またはそれ以上（G3）を達成することができる。

これにより、図９に図示するように、結果として生じる接続点８３に生じる曲率連続９１は、G2連続性レベルを反映している。

図１０―１１は、原子価３の異例の内側頂点（図示せず）の近くのトリムされたパッチ１０２の生成を例示している。

第１に、原子価３の重要な内側頂点（つまり、頂点１０１）の回りに形成された最初の３つのパッチ１０５―１０７の一つが、トリムのために選択される。この選択は、ユーザとのインターアクションによってでもよいし、面積(area)の基準に基づいて自動的になされてもよい。例えば、最大の面積をもつベースメッシュの面（例えば、パッチ１０５に対応する面）が、トリムされるパッチとして選択される。

次に、トリムされていない曲面１１１が、周囲の通常のパッチ１０３、１０４の境界１０３ａ、１０３ｂ、１０４ａ、１０４ｂから形成される。これは、スウィーピング(sweeping)またはロフティング(lofting)操作などの公知のアルゴリズムを用いて達成される。

スウィーピングアルゴリズムは、複数のガイドを定義することに依存し、ここでは例えば周囲の境界からのガイドである。同様にロフトアルゴリズムは、これも周囲の通常のパッチの境界に基づく、少なくとも２つの曲線に応じてエリアを埋めることを含む。典型的には、スウィーピングオペレータは曲面１１１をベースメッシュと合致させる。例えば、スウィーピングオペレータはメッシュを制限要素：メッシュにはめ込む、として考慮する。結果として、曲面は前記カーブにぶつかり、前記カーブに当節する曲面により制限され、カーブ連続性(curve continuity)を確保する。

このパッチは、周囲のパッチ１０３、１０４の境界から作成されたカーブ１１３に従ってトリムされる。典型的には、隣接するパッチの接線（１０３ａおよび１０４ａに沿う）及びエッジ長さ分（１０３ｂ及び１０４ｂ）が、図１０に矢印で示すように、トリミングカーブの創生に加わる。

次に図１１を参照すると、結果として生じるトリムされたパッチはパッチ１０２である。そして他２つのパッチ１２３、１２４は、周囲のパッチの境界を入力として取り入れつつ、スウィープまたはロフトなどのオペレータを用いて創生される。変形例として、一つのみのパッチも考えられ、その場合図１１のパッチ１２３及び１２４両方のエリアに相当することに注意されたい。このようなスウィープまたはロフトされた曲面を使用することにより、Ｇ２曲面連続性またはそれ以上をパッチ接続１２５において形成できる。

図１１を参照し、鋭いエッジ１３７、１３８があるときに原子価３の異例の頂点の近くでトリムされたパッチ１３２の例について検討する。図１０―１１と同じ方法で、原則はトリミングカーブ１３３に沿ってトリムされたパッチ１３２を作成することである。トリムされるパッチは、原子価３の頂点（明確さのために図示されていない）の近傍にあり２つの鋭いエッジ１３７、１３８を結合する面により定義される。前と同じ方法で、スウィーピングまたはロフティングオペレータを用いて、曲面１３１が構成される。トリミングカーブ１３３を定義するために、適当な境界が用いられ、パッチ１３２の再限定が可能になる。結果として、鋭い(sharp)接続１３６はＧ０連続（鋭いエッジの定義より）となり、鋭いエッジ以外の接続はＧ２またはＧ３連続になる。さらに、トリムされたパッチの利用によりオフセットの問題が解決される。

より複雑なパラメトリック曲面の例も考慮できる。例えばパッチは、原子価５の異例の内側頂点の近くでトリムされることができる。このようなケースは、より多くの創生ステップを必要とするので前述のものより明らかにより複雑である。しかし原則は同じであり、すなわち、
・ トリムされるパッチを創生（この場合は３つのパッチがトリムされると見られ、
例えばパッチ面積によって、またはユーザインターアクションにより選択される）
し；
・ トリミングカーブを創生し、パッチをそれに従ってトリムし；
・ 補足の隣接するロフトまたはスウィープされた曲面を創生する
ステップを有している。従って、曲率連続性（Ｇ２）が達成される。

同様に、上記の方法は原子価５の内側頂点と鋭いエッジとに適用され、さらにオフセットの問題も解決される。

規定の連続性（例えばＧ２またはそれ以上）に到達させ得るアルゴリズムの例として、上記の方法はさらに以下のステップを含む。

第１に、パッチは、要求される連続性Ｇｉと少なくとも同等である内部連続性(internal continuity)Ｃｊを持つよう細工されてもよい。従って、ｊはｉ以上であることを意味し、つまり前記内部連続性は、要求される幾何的連続性を少なくとも包括する。これに対して、共通のエッジを介しての少なくとも２つの初等曲面間の幾何的連続性は、要求される連続性Ｇｉに満たないことが多い。前記パッチは自身のエッジをもち、頂点が隣接するエッジに結合している。さらに、各単一頂点（つまり、少なくとも一つのエッジを介して結合し、そのエッジ間の連続性が要求される連続性Ｇｉに満たない頂点）に対し、本方法は、前記異例の頂点に結合されたエッジを介したパッチの結合パラメータ（例えば、制御ポイントの位置座標も含む）を連結する連立方程式を定義し、要求された幾何的連続性を前記結合されたエッジに対して強行するステップを有する。次に、本方法は連立方程式を解いて前記パラメータを得るステップを有する。

従って、アルゴリズムは気持ちの上では局地的であり、連立方程式は各単一頂点に対して定義され解かれる。さらに、開いた、および閉じた頂点につき考慮しており、開いた頂点が廃棄されることがない。加えて、局地的な方程式を考案することにより、線形の解答が可能になり、これによって重要なことにプロセスが簡単化され、スピードアップが図れる。本メソッドの完了により、前記連立方程式の性質のため、ターゲットの連続性が到達される。

好ましくは、ベースメッシュの各面は、対応するパッチに変換される。従ってこのような変換スキームにより、任意のトポロジーを有するベースメッシュから作業すること、可能性としてはCatmull-Clark細分割曲面を用いることも可能になる。面とパッチとのマッピングをすることで、最初のトポロジーが尊重される。

上記方法及び変形例は、適当なグラフィカルユーザインタフェースの中で実施されると考えられ、ベースメッシュやできれば細分割やパッチの３Ｄ表示も可能になる。

適当なＣＡＤ的インタフェースは、標準のメニューバー及び下部及びサイドのツールバーを備えていてもよい。当分野で知られているように、このようなメニュー、ツールバーは、例えば一連のユーザ選択可能アイコンを含み、各アイコンは一つまたは複数の操作または機能に関連付けられていてもよい。

これらアイコンのいくつかは、例えばソフトウェアツールと関連付けられ、モデル化された商品または商品のパーツの編集及び／または作業に適用される。問題のソフトウェアツールは、作業台(workbench)にグループ化される。言い換えると、各作業台はソフトウェアツールの異なるサブセットを備えている。特に、このうちの一つが編集作業台であり、モデル化された商品の幾何的特徴を編集するのに適している。操作上は、設計者が例えば商品の一部を事前に選択し、該当するアイコンを選んで操作（例えば、寸法、色等を変える）を開始する。例えば、典型的なＣＡＤオペレーションは、スクリーンに表示された３Ｄモデルのオブジェクトの打ち抜き(punching)や折り畳み(folding)のモデリングである。

ＧＵＩは例えば、表示された商品に関するデータを、３Ｄ表示のほかに「特徴ツリー(feature tree)」として表示してもよい。ＧＵＩは、例えばオブジェクトの３Ｄオリエンテーションの容易化、編集された商品の操作のシミュレーションのトリガまたは表示された商品の様々な属性の表示のために、様々な種類のグラフィックツールを示してもよい。

実施形態の例として、本発明の方法は、ユーザコンピュータと一つまたはそれ以上と商品データ管理(PDM: Product Data Management)システムとを備えたコンピュータネットワークにおいて実施される。ユーザコンピュータは、ＰＤＭシステムと通信している。ＰＤＭシステムは、例えばネットワークのバックボーンに位置している。ＰＤＭシステムは、場合によってヒエラルキー状に相互関連している数々の文書やリレーションやデータの管理を可能にする。このようなＰＤＭシステムは、多くの場合設計者が編集した、モデルされた商品やアセンブリや商品パーツに関するデータを含む、商品寿命データベースを備えている。こうして複数のユーザが協同的に異なるパーツ／商品／アセンブリの作業をすることができる。

本発明は、図を参照して記述した好ましい実施形態に限られない。特に、ベースメッシュはメッシュパターンからシンメトリー操作によって得られ、これは、ベースメッシュが細分割される前に行われる。結果として生じるベースメッシュは、前記シンメトリー操作に対して対称性を有する。

細分割曲面のメッシュと結果としてできる細分割曲面とを示したものである。 一連の曲面パッチから成るパラメトリックな曲面の例を示したものである。 一連の曲面パッチから成るパラメトリックな曲面のもう一つの例を示した、図２と似た図であり、パッチ間の接続性を示している。 図３の詳細部に焦点をあてた図であり、原子価３の異例の内側頂点が存在している。 一連の曲面パッチを備えた他のパラメトリックな曲面の詳細図であり、原子価５の異例の内側頂点が存在している。 ２つの鋭いエッジを持つパラメトリックな曲面のもう一つの例を示し、ベースメッシュが原子価３の異例の内側頂点を有している。 原子価５の内側頂点の近くの３つのパッチの結合部における曲率不連続性を図示している。 トリムされたパッチの模式的図である。 トリムされたパッチを含む接続部における曲率連続性を図示している。 本願発明に係る、鋭いエッジがない場合の、原子価３の異例の内側頂点の近傍におけるトリムされたパッチの生成を例示する図である。 本願発明に係る、鋭いエッジがない場合の、原子価３の異例の内側頂点の近傍におけるトリムされたパッチの生成を例示する図である。 本願発明に係る、鋭いエッジがある場合の、原子価３の異例の内側頂点の近傍においてトリムされるパッチを例示する図である。

符号の説明

１５ ベースメッシュ
１６ パラメトリック曲面
２４、２５、１０１ 外側または内側頂点
２５、１０１ 異例の頂点
１０３、１０４，１０５、１１１、１２３、１２４ パラメトリックな初等曲面

Claims (15)

1. コンピュータで実施される、パラメトリック曲面（１６）を生成する方法であって、
   原子価が２より大きく複数の外側または内側頂点（２４、２５、１０１）を有するベースメッシュ（１５）を提供するステップであって、前記頂点は面を定義し、前記頂点のうち少なくとも一つは異例の頂点（２５、１０１）であり、異例の頂点は
   ・ 原子価が２である外側頂点
   ・ 原子価が３である外側頂点
   または
   ・ 原子価が４である内側頂点（２４）
   とは異なるものとして定義され、
   前記ベースメッシュの面をパラメトリックな初等曲面（１０３、１０４、１０５）として変換するステップと、
   前記異例の頂点（１０１）の近傍に位置した前記パラメトリックな初等曲面の少なくとも１つ（１０５）を、
   ・ 前記少なくとも１つのパラメトリックな初等曲面（１１１）に隣接した少なくとも
   ２つのパラメトリックな初等曲面（１０３、１０４）と、
   ・ ベースメッシュ（１５）と
   に基づいてトリムするステップと、
   前記トリムされたパラメトリックな初等曲面（１０２）に隣接して少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面（１２３、１２４）を創生するステップとを有し、結果として生じるパラメトリックな初等曲面（１０２、１０３、１０４、１２３、１２４）がパラメトリック曲面（１６）を形成することを特徴とする方法。
2. 前記トリムするステップは、
   ・ 前記ベースメッシュに従って少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を定義し、
   ・ 前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面内に、前記隣接する初等曲面（１０３、１０４）に従ってトリミングカーブ（８３、１１３）を定義し、
   ・ 前記トリミングカーブに従って前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を再限定する
   ステップを有することを特徴とする請求項１に記載の方法。
3. 前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を定義するステップは、スウィーピングアルゴリズムを用い、前記アルゴリズムは
   ・ 周囲のパッチ（１０３、１０４）の境界から複数のガイドを定義し、
   ・ 前記複数のガイドからプロファイルカーブ(profile curve)をスウィープする
   ステップを有することを特徴とする請求項２に記載の方法。
4. 前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を定義するステップは、ロフトアルゴリズムを用い、前記アルゴリズムは、周囲のパッチ（１０３、１０４）の境界から定義される少なくとも２つのカーブに従ったエリアを埋めるステップを有することを特徴とする請求項２に記載の方法。
5. 前記少なくとも１つのパラメトリックな初等曲面を定義するステップは、少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面を前記ベースメッシュと合致させることを含むことを特徴とする請求項２、３または４に記載の方法。
6. 前記トリミングカーブは、前記少なくとも１つのパラメトリックな初等曲面を前記少なくとも２つの隣接するパラメトリックな初等曲面から分けるエッジの長さ分に従ってさらに定義されていることを特徴とする請求項５に記載の方法。
7. 前記異例の頂点の近傍の前記少なくとも一つのパラメトリックな初等曲面は、その面積に従って選択されることを特徴とする請求項１乃至６のいずれかに記載の方法。
8. 前記パラメトリック曲面は、要求されるGi幾何的連続性を有するように形成されることを特徴とする請求項７に記載の方法。
9. 前記ベースメッシュはCatmull-Clark細分割ルールに従って細分割されることを特徴とする請求項１乃至８のいずれかに記載の方法。
10. 前記変換ステップにおいて、各パラメトリック初等曲面は：
    ・ 隣接する初等エッジを結合する初等頂点を有する初等エッジと；
    ・ 前記要求されるGi幾何連続性に少なくとも等しい内部連続性Cjであって、初等エ
    ッジを介しての少なくとも２つの初等曲面の間の幾何的連続性は、前記要求され
    た連続性Giよりも少ない、内部連続性Cjと；
    を有し、
    前記方法はさらに、少なくとも一つのエッジを結合し、前記エッジを介して隣接した初等曲面の連続性が前記要求される連続性Giよりも小さい、単一初等頂点それぞれに対し：
    ・ 前記単一頂点に結合されたエッジを介したパラメトリックな初等曲面のパラメータを
    連結する連立方程式を定義し、前記要求される連続性Giを結合されたエッジに強行し
    ；
    ・ 前記連立方程式を解いてパラメータを得る
    ステップをさらに有することを特徴とする請求項１乃至９のいずれかに記載の方法。
11. 前記ベースメッシュ及びパラメトリックな初等曲面を表示しえるグラフィカルユーザインタフェースを提供するステップをさらに有することを特徴とする請求項１乃至１０のいずれかに記載の方法。
12. 前記ベースメッシュ及びパラメトリックな初等曲面は３Dで表示されることを特徴とする請求項１１に記載の方法。
13. 前記ベースメッシュを提供するステップは：
    ・ メッシュパターンを特定するステップと；
    ・ 前記メッシュパターンからシンメトリーオペレーションによりベースメッシュを 生成するステップであって、前記ベースメッシュは前記シンメトリーオペレーシ ョンに対して対称である、ベースメッシュを生成するステップと
    を有することを特徴とする請求項１乃至１２のいずれかに記載の方法。
14. 請求項１乃至１３のいずれかに記載のステップを実施するよう設計されたコード手段を備えたことを特徴とするコンピュータプログラム製品。
15. 請求項１乃至１３のいずれかに記載のステップを実施するよう設計されたコンピュータシステム。

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