WO2009153001A1 - Verfahren zur konstruktion gleichsinnig rotierender, sich berührender körper und computerprogrammprodukt um das verfahren durchzuführen - Google Patents

Verfahren zur konstruktion gleichsinnig rotierender, sich berührender körper und computerprogrammprodukt um das verfahren durchzuführen Download PDF

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WO2009153001A1
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circular
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PCT/EP2009/004249
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Michael Bierdel
Thomas König
Ulrich Liesenfelder
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Bayer Technology Services Gmbh
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    • Y10T29/49—Method of mechanical manufacture
    • Y10T29/49316—Impeller making

Definitions

  • the invention relates to a method for the construction of bodies, which in the same direction rotation about two parallel axes in such a way that they always touch in at least one point.
  • FIGS. 1 and 2 can be continued in various ways into the third dimension.
  • a simple possibility is e.g. the linear continuation of the figures in the direction of the axes of rotation, so that disc-shaped body arise, which strip in a same direction rotation along a line between the centers of rotation, which is parallel to the axes of rotation, strip.
  • Another possibility is e.g. in that the geometric figures continue helically along the axes of rotation, so that helical bodies arise, which touch each other along a curve between the bodies.
  • a screw element with a cross-sectional profile like the geometric figure in Fig. 2 of the present application can be composed of circular arcs.
  • the task of providing a general method can be constructed with the body, which always touch in at least one point in the same direction rotation.
  • the subject matter of the present invention is therefore a method for the construction of bodies which, in the case of rotation in the same direction, always touch in at least one point, which is characterized by the features of claim 1.
  • a profile of a body is understood to mean either the profile of a cross section perpendicular to the axis of rotation of the body or the profile of a projection of the body onto a plane perpendicular to the axis of rotation of the body.
  • the position of a circular arc can be determined by the position of its center point and by the position of its start or end point, where it is not specified which is the start point and which the end point, since a circular arc starting from the starting point and ending in the end point in a clockwise or can be constructed counterclockwise. Start and end points are therefore interchangeable.
  • the basic principle 2 also applies to profiles with a "kink” if the kink is described by a circular arc whose radius is equal to 0.
  • the "size of the kink” is defined by the corresponding angle of the circular arc given the radius 0, ie at a kink, a transition of a first circular arc by rotation about the angle of a second circular arc with radius zero in a third circular arc.
  • a tangent to the first arc at the center of the second arc of radius zero intersects a tangent to the third arc also in the center of the arc second arc at an angle corresponding to the angle of the second arc.
  • a zero radius arc is treated as a circular arc whose radius is equal to eps, where eps is a very small positive real number that tends to 0 (eps "1, eps -> 0).
  • the connecting line between the center of a circular arc of the body K1 and the center of the corresponding circular arc of the body K2 is parallel to the connecting line between the fulcrum of the body K1 and the fulcrum of the body K2,
  • the method according to the invention for the construction of bodies which always touch one another in the case of rotation in the same direction can be formulated.
  • Such bodies are also referred to below as corresponding bodies.
  • the profiles of the corresponding bodies Kl and K2 lie in one plane.
  • the axis of rotation of the body K1 and the axis of rotation of the body K2 are each perpendicular to said plane, the points of intersection of the axes of rotation with said plane being referred to as fulcrums.
  • the distance of the pivot points from each other is referred to as the center distance a.
  • the profile of the body K1 is generated.
  • the profile of the body K1 determines the profile of the body K2.
  • a number n of circular arcs are chosen which are to form the profile of the body K1, where n is an integer greater than or equal to one.
  • ra can assume a value that is greater than 0 (ra> 0) and less than or equal to the axial distance (ra ⁇ a).
  • ri An inner radius ri is chosen, where ri can assume a value that is greater than or equal to 0 (ri> 0) and less than or equal to ra (ri ⁇ ra). - There are n circular arcs of the body Kl clockwise or counterclockwise around the
  • Rotational axis of the body Kl arranged according to the following arrangement rules: o the sizes of n-1 circular arcs are by the selectable angle ⁇ _l, ⁇ _2, ..., ⁇ _ (nl) and the selectable radii r_l, r_2, ..., r_ (nl ), wherein the angles in radians greater than or equal to 0 and less than or equal to 2 ⁇ and the
  • Profile yields o a circular arc whose radius equals 0 is preferably treated like a circular arc whose radius is equal to eps, where eps is a very small positive real number that tends towards 0 (eps «l, eps-> 0) , o each of the circular arcs lies within or on the boundaries of a circular ring with the outer radius ra and the inner radius ri whose center lies on the pivot point of the body Kl, o at least one of the circular arcs touches the outer radius ra, o at least one of the circular arcs touches the inner radius ri - -
  • the positions of the n 'circular arcs forming the profile of the body K2 are as follows: o the center of the i'th arc of the profile of the body K2 is at a distance from the center of the ith arc of the profile of the body Kl, is the center of the i'th arc of the profile of the body K2 has a distance from the pivot point of the body K2, the distance of the center of the ith arc of the profile of the body Kl of the fulcrum of the body K1 corresponds to, o the connecting line between the center of the i'th arc of the profile of the body K2 and the center of the i-th arc of the profile of the body K1 is a parallel to a connecting line between the fulcrum of the body K2 and the fulcrum of the body Kl, o is a starting point of the i'-th arc of the profile of the body K2 lies in a direction with respect to the center of the i'-th arc of
  • the method according to the invention can be carried out solely with an angle ruler and compass on paper.
  • the tangential transition between the i-th and the (i + l) -th circular arc of the profile of a body is constructed by making a circle of radius r_ (i + l) around the end of the ith arc, and the point of intersection of this circle with the straight line defined by the center and the end point of the i-th arc, which is closer to the fulcrum of the body, is the midpoint of the (i + l) th arc.
  • you will virtually create the profiles using a computer.
  • the profiles of the bodies K1 and K2 are expediently placed in a coordinate system in order to be able to describe them clearly by specifying the coordinates of characteristic variables and in a form which is suitable for further use. It makes sense to work with dimensionless metrics.
  • the axial distance a is appropriate.
  • RA ra / a.
  • a number n of circular arcs are chosen which are to form the profile of the body K1, where n is an integer greater than or equal to one.
  • An external radius RA is selected that is greater than 0 (RA> 0) and less than or equal to the axial distance (RA ⁇ l).
  • An inner radius RI is chosen that is greater than or equal to 0 (RI> 0) and less than or equal to RA (RI ⁇ RA).
  • o the profile has at no point a distance from the fulcrum, which is greater than the outer radius RA, o the profile has at least one point a distance from the fulcrum, which is equal to the outer radius RA o the profile has at no point a distance from the pivot point which is smaller than the inner radius RI, o the profile has at least one point a distance from the pivot point which is equal to the inner radius RI, o the profile is convex,
  • the method according to the invention makes it possible to produce profiles for the corresponding bodies K1 and K2 which are different.
  • profiles for the corresponding bodies K1 and K2 can be generated, which are the same or which can be converted into one another by rotation and / or reflection.
  • Such profiles, which are the same or can be converted by symmetry operations into each other, are characterized in that they each have a number z of planes of symmetry, which are perpendicular to the plane of the profiles and run through the respective axis of rotation of the profile.
  • Each such profile can be divided into 2 * z sections, each having a section angle of ⁇ / z relative to the respective pivot point of the profile. These sections can be brought into coincidence with one another by rotation and / or by reflection at the planes of symmetry.
  • the profile of the body K2 results from the profile of the body K1: with an odd number of turns, the profiles K1 and K2 are identical; at a even gear number, the profile of the body K2 is given by rotation of the profile of the body Kl by an angle of ⁇ / z.
  • the profile of the body K1 can be generated as follows: a number of gears z is chosen, where z is an integer greater than or equal to 1, - the number of circular arcs n is chosen to be an integer multiple p of 4 * z is the profile is divided into 2 * z sections, which are characterized by each one
  • Section is delimited by two straight lines which form an angle in radians of ⁇ / z to one another and which intersect at the pivot point of the profile, these two straight lines being referred to as section boundaries,
  • each of these 2 * z sections is subdivided into a first and a second part, the first part of a section is formed from p circular arcs numbered in ascending or descending order, angles ⁇ _l, ..., ⁇ _p associated with the p arcs are chosen such that the sum of these angles is equal to ⁇ / (2 * z), where the angles in radians are greater than or equal to 0 and less than or equal to ⁇ / (2 * z), _
  • the second part of a section is made up of p 'circular arcs that are in reverse
  • Numbered are like the circular arcs of the first part of a section, where p 'is an integer equal to p, to the p' circular arcs associated angle ⁇ _p ', ..., oc_l' are determined by the angle ⁇ _j ' of the j'th circular arc of the second part of a section is equal to the angle a_i of the jth circular arc of the first part of a section, where j and j 'are whole
  • Section boundaries of this section one to the circular arc with which the profile ends in the first part of a section, associated end point tangent to a straight line FP at a point, the straight line FP is perpendicular to the bisector of the two section boundaries of this section and a distance from the fulcrum has the profile in the direction of this section, which is equal to half the center distance, the bisector such as
  • Profiles produced according to the above method consist of 2 * z sections which may be different from each other. If the sections are different from one another, asymmetric profiles are obtained.
  • Screw elements for twin-screw or multi-screw extruders are usually introduced into a housing.
  • screw elements and housing are designed so that not only a pair of Abschabung adjacent screw elements takes place by the rotation of the screw elements, but also a cleaning of the Gescouseinnenwandungen is given by the rotation of the screw elements.
  • the method according to the invention is suitable for generating transition profiles between profiles of different number of gears. Starting from a z-shaped profile, it is possible to change the profiles of the corresponding bodies step by step so as to finally obtain profiles with a number of times z 'not equal to z. It is permissible to reduce or increase the number of circular arcs during the transition.
  • the profiles of corresponding bodies may be continued in various ways into the third dimension to create the bodies. This is explained by way of example with reference to screw elements for screw extruders. Screw elements have the described cross-sectional profiles, which always touch each other in one point when rotating in the same direction about two parallel adjacent axes. Screw elements may e.g. be designed as conveying, kneading or mixing elements.
  • a conveyor element is thereby characterized (see, for example, [1], pages 227-248) that the screw profile is continuously helically twisted and continued in the axial direction.
  • the conveying element can be right- or left-handed.
  • the slope of the conveying element is preferably in the range of 0.1 times to 10 times the axial distance, wherein below the
  • Screw profile is required, and the axial length of a conveying element is preferably in the range of 0.1 times to 10 times the center distance.
  • a kneading element is thereby characterized (see, for example, [1], pages 227-248) that the
  • Helix profile in the axial direction is continued in blocks in the form of kneading disks.
  • Arrangement of the kneading discs can be right- or left-handed or neutral.
  • the axial length of the kneading discs is preferably in the range of 0.05 times to 10 times the Center distance.
  • the axial distance between two adjacent kneading disks is preferably in the range of 0.002 to 0.1 times the axial distance.
  • Mixing elements can be right- or left-handed. Their slope is preferably in the range of
  • Shape of a u- or v-shaped groove which are preferably arranged counter-conveying or axially parallel.
  • transition elements In order to enable the transition between different screw elements, washers are often used as a spacer sleeve.
  • transition elements are used, which allow a continuous transition between two screw profiles of different numbers of gears, with a self-cleaning pair of screw profiles at each point of the transition. Transition elements can be right- or left-handed. Their pitch is preferably in the range of 0.1 times to 10 times the center distance and their axial length is preferably in the range of 0, 1 to 10 times the axial distance.
  • the method according to the invention can be carried out on paper alone with angle ruler and compass.
  • the implementation of the method according to the invention on a computer system is advantageous because the coordinates and dimensions of the profiles are in a form that can be further processed by a computer.
  • the subject matter of the present invention is also a computer program product with program code means for carrying out the method according to the invention on a computer.
  • the inventive computer program product is characterized in that the inventive method is stored in the form of program codes on a data carrier.
  • the data carrier is computer-readable, so that the inventive method can be performed by means of a computer when the computer program product is executed on the computer.
  • a suitable medium is, for example, a floppy disk, an optical disk such as a CD, DVD, or Blu-ray Disc, a hard disk, a flash memory, a memory stick, and others.
  • the computer program product when executed on a computer, has a graphical user interface (GUI) that easily allows a user to freely select the sizes to create profiles Input devices, such as mouse and / or keyboard input.
  • GUI graphical user interface
  • the computer program product preferably has a graphical output, by means of which the calculated profiles can be visualized on a graphic output device such as screen and / or printer.
  • the computer program product preferably has the possibility of exporting calculated profiles, ie to store them in the form of storable data records, which comprise the geometrical dimensions of the calculated bodies, either on a data carrier for further purposes of use or to transmit them to a connected device.
  • the computer program product is designed to compute profiles as well as profiles generated from the profiles when executed on a computer, and to output the calculated geometries in a format similar to that of a machine for manufacturing such bodies as a milling machine can be used to make real bodies.
  • Such formats are known to the person skilled in the art.
  • the bodies may be e.g. be produced with a milling machine, a lathe or a whirling machine.
  • Preferred materials for producing such bodies are steels, in particular nitriding steels, chromium, tool and stainless steels, powder metallurgically produced metallic composites based on iron, nickel or cobalt, engineering ceramic materials such as e.g. Zirconia or silicon carbide.
  • the present invention allows the generation of profiles of corresponding bodies ab initio.
  • the prior art method of the invention does not start from existing profiles, but allows the generation of arbitrary profiles by the values of characteristic sizes such as center distance and number of circular arcs from which the profiles are to be constructed are selected and the profiles step be generated step by step under consideration of simple rules.
  • the method according to the invention is easy to use and can even be performed with compass and angle ruler, without the need for complicated calculations.
  • the method according to the invention is generally valid, ie it is not limited to a specific number of gears, for example, but it is even possible to generate profiles by varying values which change from one gear number to another.
  • the invention allows the generation of symmetrical and asymmetrical profiles.
  • FIGS. 3 to 8 were generated by means of a computer program.
  • dimensionless measures are used.
  • the reference value for lengths and radii is the center distance.
  • RA ra / a.
  • Figures 3a to 3f show the transition from a pair of double-flighted profiles to a pair of catchy profiles. All of these figures have the same structure, which will be described in detail below.
  • the generating profile of the body K1 is represented by the left profile.
  • the profile of the corresponding body K2 is represented by the right profile. Both profiles consist of 16 circular arcs.
  • the circular arcs are marked by thick, solid lines, which are provided with the respective numbers of circular arcs.
  • the centers of the circular arcs are represented by small circles.
  • the centers of the circular arcs are connected by thin, solid lines both to the starting point and to the end point of the associated circular arc.
  • the outer radius is the same for the profile of the body Kl and the body K2.
  • FIG. 3a shows a pair of double-flighted profiles with which the transition is started.
  • Profiles are symmetrical to each other.
  • the circular arcs 1 and 9 of the profile of the body Kl touch the outer radius over their entire length.
  • the circular arcs 4, 5 and 12, 13 touch the inner radius over their entire length.
  • the circular arcs 4 ', 5' and 12 ', 13' of the profile of the body K2 touch the outer radius over their entire length.
  • the circular arcs 1 'and 9' touch the inner radius over their entire length.
  • Figure 3f shows a pair of catchy profiles with which the transition ends.
  • the profile of the body K1 and the profile of the body K2 are symmetrical to one another.
  • the circular arcs 1 and 12 of the body Kl touch the outer radius over their entire length.
  • the circular arcs 4 and 9 of the body Kl touch the inner radius over their entire length.
  • the circular arcs 4 'and 9' of the body K2 touch the outer radius over their entire length.
  • the circular arcs 1 'and 12' of the body K2 touch the inner radius over their entire length.
  • FIG. 3 b shows a pair of transitional profiles in which the transition from the double-flighted profiles to the single-channeled profiles is completed by 20%.
  • Figure 3c shows a pair of transition profiles in which the transition is 40% complete.
  • Figure 3d shows a pair of transition profiles where the transition is 60% complete.
  • Figure 3e shows a pair of transitional profiles where the transition is 80% complete.
  • the transition takes place such that always the circular arc 1 of the profile of the body Kl touches the dimensionless outer radius RA over its entire length, whereby the associated circular arc 1 'of the profile of the body K2 touches the dimensionless inner radius RI' over its entire length.
  • the transition takes place such that always the circular arc 4 'of the body K2 touches the dimensionless outer radius RA', whereby the associated circular arc 4 of the body Kl touches the dimensionless inner radius RI. From Figures 3b to 3e it can be seen that the profiles of Kl and K2 are asymmetrical.
  • FIG. 3 shows transition profiles in which the dimensionless outer radii RA and RA 'are in the range of 0.6146 to 0.6288.
  • the method according to the invention will be explained by way of example on the pair of profiles in FIG. 3d.
  • the profile of the body K1 is generated, from which the profile of the body K2 can be derived.
  • the circular arcs can be arranged clockwise or counterclockwise around the axis of rotation.
  • the circular arcs are arranged counterclockwise about the axis of rotation.
  • the position of the 1st circular arc is chosen such that the 1st circular arc lies within or on the boundaries of a circular ring with the dimensionless outer radius RA and the dimensionless inner radius RJ, whose center lies on the fulcrum.
  • the position is preferably determined by the positioning of the starting point and the center point of the 1st circular arc.
  • the 1st arc lies on the outer radius RA and the arrangement rule that at least one circular arc touches the outer radius RA, is met.
  • angles ⁇ _2,..., ⁇ _ (nl) of n-2 further circular arcs, ie 14 further circular arcs, are selected according to the invention such that they are greater than or equal to 0 and less than or equal to 2 ⁇ in the radian measure.
  • the dimensionless radii R_2,..., R_ (n-1) of these 14 further circular arcs are selected according to the invention such that they are greater than or equal to 0 and less than or equal to 0 are equal to the dimensionless center distance A.
  • the circular arcs are arranged so that the circular arcs merge tangentially in such a way that a closed, convex profile results, wherein a circular arc whose dimensionless radius is equal to 0 is treated like a circular arc whose dimensionless radius is equal to eps where eps is a very small positive real number that tends towards 0 (eps «1, eps -> 0).
  • a circular arc whose radius is equal to 0 be treated so that the profile at the position of this circular arc has a kink, wherein the size of the bend is given by the angle of this circular arc.
  • the angle ⁇ _16 of the last circular arc results from the fact that the sum of the angles of the 16 circular arcs in radians is equal to 2 ⁇ , wherein the angle ⁇ _16 in radians is greater than or equal to 0 and less than or equal to 2 ⁇ .
  • the profile of the corresponding body K2 results from the profile of the body Kl.
  • the number of circular arcs n 'of the profile of the body K2 is equal to the number of arcs n of the profile of the body K1.
  • n' 16.
  • the dimensionless outer radius RA 'according to the invention is equal to the difference of the dimensionless center distance A minus the dimensionless inner radius RI of the profile of the body Kl.
  • the dimensionless inner radius RI 'according to the invention is equal to the difference of the dimensionless center distance A minus the dimensionless outer radius RA.
  • the angle ⁇ _i 'of the i'-th arc of the profile of the body K2 is according to the invention equal to the angle ⁇ _i of the i-th arc of the profile of the body Kl, where i and i' are integers that collectively all values in the range of 1 to to the number of circular arcs n or n 'go through.
  • the center of the i'th arc of the profile of the body K2 has a distance from the center of the i-th arc of the profile of the body Kl, which is equal to the dimensionless center distance A, and the center of the i'-th arc has according to the invention a distance from the fulcrum of the body K2 which is equal to the distance of the center of the i-th arc of the profile of the body Kl from the fulcrum of the body Kl, and the connecting line between the center of the i'th arc and the center of the i
  • all 16 circular arcs lie within or on the boundaries of a circular ring with the dimensionless outer radius RA 'and the dimensionless inner radius RI', the center of which lies on the pivot point of the body K2.
  • the circular arc 1 lies on the dimensionless inner radius RI' and the arrangement rule that at least one circular arc touches the dimensionless inner radius RI 'is fulfilled.
  • the end point of the circular arc 4 'or the starting point of the circular arc 5' lies on the dimensionless outer radius RA 'and the arrangement rule that at least one circular arc touches the dimensionless outer radius RA' is fulfilled.
  • each of the sections is constructed such that the radii of the circular arcs of the profile of the body K2 in reverse order equal to the radii of the arcs of the profile of the body Kl.
  • the profile sections can be made to coincide by rotation and mirroring. In the following figures, treating the sections of profiles, therefore, is often no longer distinguished between the profile of the body Kl and the profile of the body K2, but only spoken of a profile.
  • FIGS. 4a and 4b show profiles obtained by the method according to the invention with the number of threads 1.
  • the figure shows half and thus a section of a profile of the number of threads 1.
  • a majority of the figures have the same structure, which will be described in detail below.
  • the circular arcs of the profile are marked by thick, solid lines, which are provided with the respective numbers of circular arcs.
  • the centers of the circular arcs are represented by small circles.
  • the centers of the circular arcs are connected by thin, solid lines both to the starting point and to the end point of the associated circular arc.
  • the straight line FP is represented by a thin, dotted line.
  • the external screw radius RA is characterized by a thin, dashed line whose numerical value is indicated at the bottom right in the figure to four significant digits. To the right of the figures, for each arc, the radius R, the angle ⁇ , and the x and y coordinates of the arc midpoint Mx and My are given in four significant digits, respectively. This information clearly defines the profile.
  • FIGS. 4a and 4b show profiles in which the dimensionless outer radius RA has the values 0.58 and 0.63.
  • Profiles in which a section of the profile consists of a total of h circular arcs are referred to below as h-circle profiles. That is, in a profile that consists in the section of, for example, 2 circular arcs, is spoken by a 2-circle profile.
  • FIGS. 4a and 4b show 4-circle profiles.
  • FIGS. 4a and 4b differ by the outer radius RA.
  • the outer radius RA 0.58.
  • the outer radius RA 0.63.
  • the angle ⁇ _l of the first circular arc is dependent on the outer radius RA.
  • the angle ⁇ _2 of the second circular arc depends on the outer radius RA.
  • FIGS. 5a to 5d show 8-circle profiles.
  • the radius R_4 of the fourth circular arc is increased stepwise.
  • the angle ⁇ _3 of the third circular arc is reduced stepwise and the angle ⁇ _4 of the fourth circular arc is increased stepwise.
  • the profile and thus also the section of the profile shown are according to the invention in one plane.
  • this plane is placed in the xy plane of a Cartesian coordinate system.
  • the number of threads z is inventively chosen so that z is greater than or equal to 1.
  • the number of circular arcs n of the profile is inventively chosen so that n is an integer multiple p of 4 * z.
  • the dimensionless outer radius RA is inventively chosen so that it is greater than 0 and less than or equal to the dimensionless center distance A.
  • the dimensionless inner radius RI is inventively chosen so that it is greater than or equal to 0 and less than or equal to the dimensionless outer radius RA.
  • the circular arcs of the profile can be arranged clockwise or counterclockwise about the axis of rotation of the profile. In the present example, the circular arcs are arranged counterclockwise about the axis of rotation.
  • the profile is divided into 2 * z sections, characterized in that each section is bounded by two straight lines forming an angle in radians of ⁇ / z to each other and intersecting at the pivot point of the profile, these two straight lines being section boundaries be designated.
  • the profile is divided into two sections. For simplicity, both section boundaries are placed on the x-axis of the coordinate system. In the present example, only the section of the profile which lies in the positive y-direction is considered below.
  • the arcs of the first part of the section of the profile may be numbered in ascending or descending order.
  • the circular arcs of the second part of the section are numbered in reverse order to the circular arcs of the first part of the section.
  • the circular arcs of the first part of the section are numbered in ascending order, the circular arcs of the second part of the section in descending order.
  • the angle ⁇ _l of the first arc of the first part of the section is selected according to the invention so that it is greater than or equal to 0 and less than or equal to ⁇ / (2 * z) in radians.
  • the dimensionless radius R_l of the first arc of the first part of the section is selected according to the invention so that it is greater than or equal to 0 and less than or equal to the axial distance A.
  • the position of the first circular arc of the first part of the section is inventively chosen so that the first circular arc is within or on the boundaries of a circular ring with the dimensionless outer radius RA and the dimensionless inner radius RI whose center lies on the pivot point of the profile.
  • the position is preferably determined by the positioning of the starting point and the center point of the 1st circular arc.
  • the starting and the center of the first circular arc lie on one of the section boundaries, whereby the starting point results from the position of the center point and the dimensionless radius R l.
  • angles ⁇ _2,..., ⁇ _ (pl) of p-2 further circular arcs are selected according to the invention such that they are greater or equal to 0 and less than or equal to ⁇ / radians. (2 * z) are.
  • the dimensionless radii R_2,..., R_ (p-1) of the 2 further circular arcs of the first part of the section of the profile are selected according to the invention such that they are greater than or equal to 0 and less than or equal to the dimensionless center distance A.
  • the circular arcs are arranged so that the circular arcs merge tangentially in such a way that a closed, convex profile results, wherein a circular arc whose dimensionless radius is equal to 0 is treated like a circular arc whose dimensionless radius is equal to eps where eps is a very small positive real number that tends towards 0 (eps «l, eps- ⁇ 0). It follows from this ordering rule that the end point of a circular arc is equal to the starting point of its subsequent circular arc.
  • the required tangential transition between a first circular arc and a second, subsequent circular arc is fulfilled by the fact that the center of this second, subsequent circular arc is placed on the straight line, which is given by the end point and the center of this first circular arc, that the distance of the center point of this second, subsequent circular arc from the end point of this first circular arc is equal to the radius of this second, subsequent circular arc and the profile is convex.
  • a circular arc whose radius equals 0 is treated like a circular arc with a very small radius eps, where eps tends to 0, so that the tangential transition can still be constructed.
  • a circular arc whose radius is equal to 0 be treated so that the profile at the position of this circular arc has a kink, wherein the size of the bend is given by the angle of this circular arc.
  • Mx_2 0.3039
  • My_2 0.3202
  • Mx_3 0.0000
  • My_3 0.0000.
  • the 3rd circular arc lies on the dimensionless outer radius RA and the arrangement rule that at least one circular arc touches the dimensionless outer radius RA is fulfilled.
  • the angle ⁇ _4 of the last circular arc of the first part of the section of the profile results according to the invention from the fact that the sum of the angles of the 4 circular arcs of the first part of the
  • the dimensionless radius R_4 of the last arc of the first " ⁇ part of the portion of the profile is obtained according to the invention the fact that the end point of this last arc a straight FP tangent at a point where the straight line FP this section is perpendicular to the bisector of the two section boundaries and 5b has a distance from the fulcrum of the profile in the direction of this section, which is equal to half the center distance, the angle bisector and the section boundaries passing through the fulcrum of the profile
  • the straight line FP is indicated by a dotted line in Fig.
  • the first part of the section of the profile is constructed by placing a tangent to the 3rd circular arc at the end point of the 3rd circular arc, the intersection of the tangent with the line FP being the center of a circle whose radius equals the length of the segment between the end point of the 3rd arc and the intersection of the tangent with the line FP is, and in that the point of intersection of the circle with the straight line FP in the direction of the selected clockwise direction is the sought-after point of contact of the end point of the fourth circular arc with the straight line FP. At the end point of the 4th circular arc a lot is cut on the straight line FP.
  • the position of the circular arcs of the second part of the section results from the fact that the circular arcs transition tangentially into one another and the profile is convex.
  • the 3rd circular arc of the second part of the section of the profile lies on the dimensionless inner radius RI and the arrangement rule that at least one circular arc touches the dimensionless inner radius RI is satisfied.
  • FIGS. 6a and 6b show, by way of example, how the profiles of corresponding bodies can be continued into the third dimension.
  • the bodies shown in FIGS. 6a and 6b are based on the profile according to FIG. 4a.
  • the bodies shown in FIG. 6a can be used, for example, as so-called conveying elements in screw extruders.
  • the length of the conveying elements is 1.2, which corresponds to a rotation of the screw profiles by an angle of 2 ⁇ .
  • the housing is represented by thin, solid lines on the left and right of the two conveyor elements.
  • the bodies shown in Figure 6b may be used as a pair of kneading elements in screw extruders.
  • the kneading element consists of 7
  • Kneading discs each offset by an angle of ⁇ / 3 to each other right-handed.
  • the first and last kneading discs have a length of 0.09.
  • the medium kneading disks have a length of 0.18.
  • the groove between the kneading discs has a length of 0.02.
  • Housing is represented by thin, solid lines left and right of the two kneading elements.
  • FIGS. 7 and 8 show profiles of the number of gears 2.
  • FIG. 7 a quarter of a profile of the number of gears 2 is always shown. This figure has the analogous structure as Figures 4 and 5, which has already been described in detail for these figures.
  • FIG. 7: FIGS. 7a and 7b show 4-circle profiles.
  • FIGS. 7a and 7b differ by the outer radius RA.
  • the outer screw radius RA 0.58.
  • the outer radius RA 0.63.
  • the angle ⁇ _l of the first circular arc depends on the outer radius RA.
  • the radius ⁇ _2 of the second circular arc depends on the outer radius RA.
  • Figures 8a and 8b show by way of example how a profile can be continued into the third dimension in order to obtain corresponding bodies.
  • the bodies shown are based on the profile of Figure 7a.
  • the bodies shown in FIG. 8a can be used for example as so-called conveying elements in screw extruders.
  • the length of the conveyor elements is 1.2, which corresponds to a rotation of the screw profiles by an angle of 2 ⁇ .
  • the housing is represented by thin, solid lines on the left and right of the two conveyor elements.
  • the bodies shown in FIG. 8b can be used, for example, as so-called kneading elements in screw extruders.
  • the kneading element consists of 7 kneading disks, each offset by an angle of ⁇ / 6 to the right.
  • the first and last kneading discs have a length of 0.09.
  • the medium kneading disks have a length of 0.18.
  • the groove between the kneading discs has a length of 0.02.
  • the housing is represented by thin, solid lines on the left and right of the two kneading elements.

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Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Konstruktion von Körpern, die sich bei der gleichsinnigen Rotation um zwei parallel angeordnete Achsen in der Weise streifen, dass sie sich stets in mindestens einem Punkt berühren.

Description

VEKERHRKU ZUR KOSTRU-CTIOM GLKICHSINNIG ROTIERENDER, SICH BERÜHRENDER KORBER UND . COMPUTERPROGRAMMPRODUKT UM DAS VERFAHREN DURCHZUFÜHREN
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Konstruktion von Körpern, die sich bei der gleichsinnigen Rotation um zwei parallel angeordnete Achsen in der Weise streifen, dass sie sich stets in mindestens einem Punkt berühren.
Es seien zwei Kreise betrachtet, die auf zwei parallelen Achsen wie in Figur 1 schematisch dargestellt nebeneinander angeordnet sind. Es ist allgemein bekannt, dass sich die Kreise bei einer gleichsinnigen Rotation in der Weise streifen, dass sie sich bei der Rotation stets in einem Punk berühren, der zwischen den Drehmittelpunkten der Kreise liegt.
Weiterhin ist bekannt, dass es neben Kreisen eine Reihe weiterer geometrischer Figuren gibt, die sich bei einer gleichsinnigen Rotation stets in einem Punkt tangieren. Ein Beispiel ist in Figur 2 gezeigt.
Die in den Figuren 1 und 2 gezeigten zweidimensionalen geometrischen Figuren lassen sich auf verschiedene Weise in die dritte Dimension fortsetzen. Eine einfache Möglichkeit ist z.B. die lineare Fortsetzung der Figuren in Richtung der Drehachsen, so dass scheibenförmige Körper entstehen, die sich bei einer gleichsinnigen Rotation entlang einer Linie zwischen den Drehmittelpunkten, die parallel zu den Drehachsen verläuft, streifen.
Eine weitere Möglichkeit besteht z.B. darin, die geometrischen Figuren entlang der Drehachsen schraubenförmig fortzusetzen, so dass schraubenförmige Körper entstehen, die sich entlang einer Kurve zwischen den Körpern berühren.
Bedeutung haben solche Körper, die sich bei gleichsinniger Rotation um parallel angeordnete Achsen stets in mindestens einem Punkt berühren, insbesondere in der Extrudertechnik, wo sie als Schneckenextruder z.B. zur Verarbeitung viskoser Massen oder zu Mischzwecken eingesetzt werden. Solche gleichläufigen Zwei- und Mehrwellenextruder sind dem Fachmann aus der Patent- und Fachliteratur bekannt. Beispielhaft sei hier die folgende Veröffentlichung [1] erwähnt: K. Kohlgrüber: „Der gleichläufige Doppelschneckenextruder", Hanser Verlag, 2007. Bei Schneckenextrudern hat die Eigenschaft, dass sich benachbarte Schnecken bei gleichsinniger Rotation paarweise streifen, den Vorteil, dass sie sich gegenseitig abschaben und daher gegenseitig abreinigen. Es gibt für ausgewählte Körper, die sich bei gleichsinniger Rotation um parallel angeordnete Achsen stets in mindestens einem Punkt tangieren, Vorschriften zu ihrer Konstruktion.
So ist z.B. aus der Literatur für Schneckenextruder bekannt (siehe z.B. [1] Seiten 96 bis 98), dass sich ein Schneckenelement mit einem Querschnittsprofil wie die geometrische Figur in Fig. 2 der vorliegenden Anmeldung aus Kreisbögen zusammensetzen lässt.
Es ist jedoch nicht bekannt, welche Kriterien allgemein erfüllt sein müssen, damit sich zwei gleichsinnig um zwei parallel angeordnete Achsen rotierende Körper stets in mindestens einem Punkt tangieren.
Es ist bekannt (siehe z.B. [2]: Booy „Geometry offiilly wiped twin-screw equipment", Polymer Engineering and Science 18 (1978) 12, Seiten 973 - 984), dass die gleichsinnige Rotation zweier tangierender Körper um ihre ortsfesten Achsen kinematisch gleichwertig mit der „Schiebung ohne Rotation" eines Körpers um den anderen, dann feststehenden Körper ist. Diese Besonderheit kann dazu verwendet werden, schrittweise geometrische Figuren zu erzeugen, die sich bei gleichsinniger Rotation stets in einem Punkt tangieren. Die erste Figur (die „erzeugte") steht bei der Betrachtung still und die zweite Figur (die „erzeugende") wird um die erste translatorisch auf einem Kreisbogen verschoben. Man kann nun einen Teil des Profils der zweiten Figur vorgeben und untersuchen, welches Profil auf der ersten Figur dadurch erzeugt wird. Die erzeugte Figur wird durch die erzeugende gewissermaßen „herausgeschnitten".
Es ist jedoch kein allgemeines Verfahren bekannt, wie der Teil der zweiten Figur, der vorgegeben wird, selbst zu erzeugen ist. In [2] ist ein möglicher Ansatz beschrieben, wie der Profilabschnitt, von dem man ausgehen kann und aus dem das restliche Profil erzeugt wird, generiert werden kann. Dieser Ansatz ist jedoch mathematisch sehr aufwändig und vor allem nicht allgemeingültig, das heißt es lassen sich nur solche Profile erzeugen, die sich durch die in [2] angegebenen mathematischen Funktionen beschreiben lassen.
Es stellt sich daher ausgehend vom Stand der Technik die Aufgabe, ein allgemeines Verfahren bereitzustellen, mit dem Körper konstruiert werden können, die sich bei gleichsinniger Rotation stets in mindestens einem Punkt berühren.
Überraschend wurden die Grundprinzipien gefunden, die solchen Körpern zugrunde liegen, die sich bei gleichsinniger Rotation um parallel angeordnete Achsen stets in mindestens einem Punkt berühren. Auf Basis dieser Grundprinzipien lässt sich ein einfaches Verfahren formulieren, mit dem solche Körper konstruiert werden können. Überraschend wurde gefunden, dass sich solche Körper auf einfache Weise mit Zirkel und Winkellineal auf Papier konstruieren lassen, ohne dass komplizierte Berechnungen nötig sind.
Gegenstand der vorliegenden Erfindung ist daher ein Verfahren zur Konstruktion von Körpern, die sich bei gleichsinniger Rotation stets in mindestens einem Punkt berühren, das durch die Merkmale des Anspruchs 1 gekennzeichnet ist.
Die Grundprinzipien, die dem erfϊndungsgemäßen Verfahren zu Grunde liegen, beziehen sich auf die Profile zweier Körper Kl und K2. Unter einem Profil eines Körpers wird entweder das Profil eines Querschnitts senkrecht zur Drehachse des Körpers oder das Profil einer Projektion des Körpers auf eine Ebene senkrecht zur Drehachse des Körpers verstanden.
Die Grundprinzipien lauten: 1. Es wurde überraschend gefunden, dass sich die Profile von zwei Körpern Kl und K2, die auf parallelen Achsen in einem Achsabstand a zueinander angeordnet sind und die sich bei gleichsinniger Rotation um diese Achsen stets in mindestens einem Punkt berühren, immer aus Kreisbögen zusammensetzen lassen. Die Größe eines Kreisbogens ist durch die Angabe seines Zentriwinkels und seines Radius gegeben. Im Folgenden wird der Zentriwinkel eines Kreisbogens kurz als der Winkel eines Kreisbogens bezeichnet. Die Position eines Kreisbogens lässt durch die Position seines Mittelpunkts und durch die Position seines Anfangs- oder Endpunkts festlegen, wobei es nicht festgelegt ist, welches der Anfangs- und welches der Endpunkt ist, da ein Kreisbogen ausgehend vom Anfangspunkt und endend im Endpunkt im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn konstruiert werden kann. Anfangs- und Endpunkt sind also vertauschbar.
2. Es wurde überraschend gefunden, dass die Kreisbögen der Profile der Körper Kl und K2, an ihren Anfangs- und Endpunkten tangential ineinander übergehen.
3. Es wurde überraschend gefunden, dass das Grundprinzip 2 auch für Profile mit einem „Knick" gilt, wenn der Knick durch einen Kreisbogen beschrieben wird, dessen Radius gleich 0 ist. Die „Größe des Knicks" ist durch den entsprechenden Winkel des Kreisbogens mit dem Radius 0 gegeben, d.h. bei einem Knick erfolgt ein Übergang eines ersten Kreisbogens durch Drehung um den Winkel eines zweiten Kreisbogens mit Radius Null in einen dritten Kreisbogen. Oder anders ausgedrückt: eine Tangente an den ersten Kreisbogen im Mittelpunkt des zweiten Kreisbogens mit dem Radius Null schneidet eine Tangente an den dritten Kreisbogen ebenfalls im Mittelpunkt des zweiten Kreisbogens in einem Winkel, der dem Winkel des zweiten Kreisbogens entspricht. Unter Berücksichtigung des zweiten Kreisbogens gehen alle benachbarten Kreisbögen erster → zweiter — > dritter tangential ineinander über. Zweckmäßigerweise wird ein Kreisbogen mit einem Radius Null wie ein Kreisbogen behandelt, dessen Radius gleich eps ist, wobei eps eine sehr kleine positive reelle Zahl ist, die gegen 0 strebt (eps«l, eps ->0).
4. Es wurde überraschend gefunden, dass jeweils ein Kreisbogen des Körpers Kl mit einem Kreisbogen des Körpers K2 „korrespondiert", wobei unter „korrespondieren" verstanden wird, dass • die Winkel von korrespondierenden Kreisbögen gleich groß sind,
• die Summe der Radien korrespondierender Kreisbögen gleich dem Achsabstand a ist,
• je eine der Verbindungslinien zwischen dem Mittelpunkt eines Kreisbogens des Körpers Kl und dessen Endpunkten parallel zu je einer der Verbindungslinien zwischen dem Mittelpunkt des korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 und dessen Endpunkten verläuft,
• die Richtungen, in denen die Endpunkte eines Kreisbogens des Körpers Kl vom Mittelpunkt des Kreisbogens aus liegen, jeweils entgegengesetzt sind zu den Richtungen, in denen die Endpunkte des korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 vom Mittelpunkt des Kreisbogens des Körpers K2 aus liegen, • der Mittelpunkt eines Kreisbogens des Körpers Kl einen Abstand zum Mittelpunkt eines korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 hat, der dem Achsabstand entspricht,
• die Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt eines Kreisbogens des Körpers Kl und dem Mittelpunkt des korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 parallel zu der Verbindungslinie zwischen dem Drehpunkt des Körpers Kl und dem Drehpunkt des Körpers K2 ist,
• die Richtung, in die der Mittelpunkt eines Kreisbogens des Körpers Kl verschoben werden müsste, um mit dem Mittelpunkt des korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 zur Deckung gebracht zu werden, die gleiche ist, in die der Drehpunkt des Körpers Kl verschoben werden muss, um mit dem Drehpunkt des Körpers K2 zur Deckung gebracht zu werden.
Auf Basis dieser Grundprinzipien lässt sich das erfindungsgemäße Verfahren zur Konstruktion von Körpern, die sich bei gleichsinniger Rotation stets in einem Punkt berühren, formulieren. Solche Körper werden nachfolgend auch als korrespondierende Körper bezeichnet. Die Profile der korrespondierenden Körper Kl und K2 liegen in einer Ebene. Die Drehachse des Körpers Kl und die Drehachse des Körpers K2 stehen jeweils senkrecht auf der besagten Ebene, wobei die Schnittpunkte der Drehachsen mit der besagten Ebene als Drehpunkte bezeichnet werden. Der Abstand der Drehpunkte voneinander wird als Achsabstand a bezeichnet. Unter π ist im Folgenden die Kreiszahl zu verstehen (TF= 3,14159).
In einem ersten Schritt wird das Profil des Körpers Kl erzeugt. Das Profil des Körpers Kl bedingt das Profil des Körpers K2.
Es wird eine Anzahl n an Kreisbögen gewählt, die das Profil des Körpers Kl bilden sollen, wobei n eine ganze Zahl ist, die größer oder gleich 1 ist.
Es wird ein Außenradius ra gewählt, wobei ra einen Wert annehmen kann, der größer als 0 (ra>0) und kleiner oder gleich dem Achsabstand (ra≤a) ist.
Es wird ein Innenradius ri gewählt, wobei ri einen Wert annehmen kann, der größer oder gleich 0 (ri>0) und kleiner oder gleich ra (ri≤ra) ist. - Es werden n Kreisbögen des Körpers Kl im oder gegen den Uhrzeigersinn um die
Drehachse des Körpers Kl entsprechend den nachfolgenden Anordnungsregeln angeordnet: o die Größen von n-1 Kreisbögen werden durch die wählbaren Winkel α_l, α_2, ..., α_(n-l) und die wählbaren Radien r_l, r_2, ..., r_(n-l) festgelegt, wobei die Winkel im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 2π und die
Radien größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich dem Achsabstand a sind, o der Winkel α_n eines letzten Kreisbogens ergibt sich dadurch, dass die Summe der n Winkel der n Kreisbögen im Bogenmaß gleich 2π ist, o der Radius r_n eines letzten Kreisbogens ergibt sich dadurch, dass dieser letzte Kreisbogen das Profil schließt, o alle Kreisbögen gehen derart tangential ineinander über, dass sich ein konvexes
Profil ergibt, o ein Kreisbogen, dessen Radius gleich 0 ist, wird bevorzugt wie ein Kreisbogen behandelt, dessen Radius gleich eps ist, wobei eps eine sehr kleine positive reelle Zahl ist, die gegen 0 strebt (eps«l, eps->0), o jeder der Kreisbögen liegt innerhalb oder auf den Grenzen eines Kreisrings mit dem Außenradius ra und dem Innenradius ri, dessen Mittelpunkt auf dem Drehpunkt des Körpers Kl liegt, o mindestens einer der Kreisbögen berührt den Außenradius ra, o mindestens einer der Kreisbögen berührt den Innenradius ri, - -
Die Anzahl n' an Kreisbögen, die das Profil des Körpers K2 bilden, ihre Winkel α_l ', α_2',..., α_n' und ihre Radien r_l ', r_2',... , r_n' ergeben sich wie folgt: o n' = n o α_l ' = α_l ; α_2' = α_2; ... ; α_n' = α_n o r_l ' = a - r_l; r_2' = a - r_2; ... r_n' = a - r_n
Die Positionen der n' Kreisbögen, die das Profil des Körpers K2 bilden, ergeben sich wie folgt: o der Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 besitzt einen Abstand vom Mittelpunkt des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl, der gleich dem Achsabstand a ist, o der Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 besitzt einen Abstand vom Drehpunkt des Körpers K2, der dem Abstand des Mittelpunkts des i- ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl von dem Drehpunkt des Körpers Kl entspricht, o die Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 und dem Mittelpunkt des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl ist eine Parallele zu einer Verbindungslinie zwischen dem Drehpunkt des Körpers K2 und dem Drehpunkt des Körpers Kl, o ein Anfangspunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 liegt in einer Richtung bezogen auf den Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des
Körpers K2, die entgegengesetzt derjenigen Richtung ist, in der ein Anfangspunkt des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl bezogen auf den Mittelpunkt des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl liegt, wobei i und i' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen n beziehungsweise n' durchlaufen (i'=i),
Das erfindungsgemäße Verfahren lässt sich überraschenderweise allein mit Winkellineal und Zirkel auf Papier ausführen. So wird beispielsweise der tangentiale Übergang zwischen dem i-ten und dem (i+l)-ten Kreisbogen des Profils eines Körpers konstruiert, indem um den Endpunkt des i-ten Kreisbogens ein Kreis mit dem Radius r_(i+l) geschlagen wird und der näher zum Drehpunkt des Körpers gelegene Schnittpunkt dieses Kreises mit der Gerade, die durch den Mittelpunkt und den Endpunkt des i-ten Kreisbogens definiert ist, der Mittelpunkt des (i+l)-ten Kreisbogens ist. Praktischerweise wird man anstelle der Verwendung von Zeichenblock, Winkellineal und Zirkel die Profile mit Hilfe eines Computers virtuell erzeugen.. In der Praxis werden die Profile der Körper Kl und K2 zweckmäßigerweise in ein Koordinatensystem gelegt, um sie durch Angabe der Koordinaten charakteristischer Größen eindeutig und in einer für die weitere Verwendung zweckmäßigen Form beschreiben zu können. Sinnvollerweise arbeitet man mit dimensionslosen Kennzahlen. Als Bezugsgröße für geometrische Größen wie zum Beispiel Längen oder Radien bietet sich der Achsabstand a an. Für den dimensionslosen Achsabstand folgt A=a/a=l . Für den dimensionslosen Außenradius eines Profils folgt RA=ra/a. Der dimensionslose Innenradius eines Profils berechnet sich zu RI=ri/a.
Es ist zweckmäßig, den Drehpunkt eines Profils, z.B. des Profils des Körpers Kl in den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystem zu legen (x=0, y=0) und den Drehpunkt des korrespondierenden Profils des Körpers K2 dann in den Punkt X=A=I, y=0 zu legen.
Bei Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems mit dem Drehpunkt des Profils des Körpers Kl im Ursprung (x=0, y=0) und dem Drehpunkt des Körpers K2 im Punkt mit den Koordinaten X=A=I, y=0 und unter Verwendung dimensionsloser Größen ergibt sich die folgende bevorzugte Ausführungsform des erfindungsgemäßen Verfahrens:
Es wird eine Anzahl n an Kreisbögen gewählt, die das Profil des Körpers Kl bilden sollen, wobei n eine ganze Zahl ist, die größer oder gleich 1 ist.
Es wird ein Außenradius RA gewählt, der größer 0 (RA>0) und kleiner oder gleich dem Achsabstand (RA≤l) ist.
Es wird ein Innenradius RI gewählt, der größer oder gleich 0 (RI>0) und kleiner oder gleich RA (RI≤RA) ist.
Es werden die 1, 2, ..., (i-1), i, (i+1), ..., (n-1), n Kreisbögen des Körpers Kl im oder gegen den Uhrzeigersinn um die Drehachse des Körpers Kl entsprechend den nachfolgenden Anordnungsregeln angeordnet, wobei i ein Index ist, der die Zahlen von 1 bis n durchläuft: o die Summe der Winkel α_i aller Kreisbögen ist gleich 2π, o der Radius R i eines jeden Kreisbogens ist größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 1, o der Anfangs- und Mittelpunkt eines ersten Kreisbogens werden auf die x-Achse gelegt, wobei der Anfangspunkt in den Bereich x=RI bis x=RA gelegt wird und die x-Koordinate des Mittelpunkts kleiner oder gleich der x-Koordinate des Anfangspunkts ist, o für i<n ist der Endpunkt des i-ten Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt des (i+1)- ten Kreisbogens, o für i=n ist der Endpunkt des i-ten Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt des ersten Kreisbogens, o jeder der Kreisbögen geht tangential in den benachbarten Kreisbogen über, wobei ein Kreisbogen mit R i=O bevorzugt wie ein Kreisbogen mit R_i=eps behandelt wird, wobei eps eine sehr kleine positive reelle Zahl ist, die gegen 0 strebt
(eps«l, eps->0), o das Profil besitzt an keiner Stelle einen Abstand vom Drehpunkt, der größer als der Außenradius RA ist, o das Profil besitzt an mindestens einer Stelle einen Abstand vom Drehpunkt, der gleich dem Außenradius RA ist, o das Profil besitzt an keiner Stelle einen Abstand vom Drehpunkt, der kleiner als der Innenradius RI ist, o das Profil besitzt an mindestens einer Stelle einen Abstand vom Drehpunkt, der gleich dem Innenradius RI ist, o das Profil ist konvex,
Das Profils des Körpers K2 ergibt sich aus dem Profil des Körpers Kl wie folgt: o n' = n o i' ein Index ist, der alle Zahlen von 1 bis n' durchläuft o α_i' = α_i für i=i' o R_i' + R i = I für i=i' o das Profil wird aus n' Kreisbögen aufgebaut, die im selben Uhrzeigersinn angeordnet werden wie die Kreisbögen des Profils des Körpers Kl, o der Anfangspunkt des ersten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 ist gleich dem Anfangspunkt des ersten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl und der Mittelpunkt des ersten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 liegt auf der x-
Achse, wobei die x-Koordinate des Mittelpunkts größer oder gleich der x- Koordinate des Anfangspunkts ist, o für i'<n' ist der Endpunkt des i'-ten Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt des (i+l)'-ten Kreisbogens, o für i'=n' ist der Endpunkt des i'-ten Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt des 1 '- ten Kreisbogens, o jeder der Kreisbögen geht tangential in den benachbarten Kreisbogen über, wobei ein Kreisbogen mit R_i'=0 bevorzugt wie ein Kreisbogen mit R_i'=eps behandelt wird, wobei eps eine sehr kleine positive reelle Zahl ist, die gegen 0 strebt (eps«l, eps->0), o das Profil ist konvex.
Durch das erfindungsgemäße Verfahren lassen sich Profile für die korrespondierenden Körper Kl und K2 erzeugen, die unterschiedlich sind.
Ebenso lassen sich Profile für die korrespondierenden Körper Kl und K2 erzeugen, die gleich sind bzw. die sich durch Rotation und/oder Spiegelung ineinander überführen lassen. Solche Profile, die gleich sind oder sich durch Symmetrieoperationen ineinander überführen lassen, sind dadurch gekennzeichnet, dass sie jeweils eine Anzahl z an Symmetrieebenen aufweisen, die senkrecht auf der Ebene der Profile stehen und durch die jeweilige Drehachse des Profils laufen.
Ein jedes solches Profil lässt sich in 2*z Abschnitte unterteilen, die jeweils einen Abschnittswinkel von π/z bezogen auf den jeweiligen Drehpunkt des Profils aufweisen. Diese Abschnitte lassen sich durch Rotation und/oder durch Spiegelung an den Symmetrieebenen untereinander zur Deckung bringen. Die Zahl z wird hier und im Folgenden auch als Gangzahl bezeichnet und ist eine natürliche ganze Zahl (z = 1, 2, 3, ...).
Das Profil des Körpers K2 ergibt sich aus dem Profil des Körpers Kl : bei einer ungeraden Gangzahl sind die Profile Kl und K2 identisch; bei einer geraden Gangzahl ergibt sich das Profil des Körpers K2 durch Rotation des Profils des Körpers Kl um einen Winkel von π/z.
Das Profil des Körpers Kl lässt sich wie folgt erzeugen: es wird eine Gangzahl z gewählt, wobei z eine ganze Zahl ist, die größer oder gleich 1 ist, - es wird die Anzahl der Kreisbögen n so gewählt, dass sie ein ganzes Vielfaches p von 4*z ist, das Profil wird in 2*z Abschnitte eingeteilt, die dadurch gekennzeichnet sind, dass jeder
Abschnitt durch zwei Geraden begrenzt ist, die zueinander einen Winkel im Bogenmaß von π/z bilden und die sich im Drehpunkt des Profils schneiden, wobei diese beiden Geraden als Abschnittsgrenzen bezeichnet werden,
- jeder dieser 2*z Abschnitte wird in einen ersten und einen zweiten Teil untergliedert, der erste Teil eines Abschnitts wird aus p Kreisbögen gebildet, die in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge nummeriert sind, zu den p Kreisbögen zugehörige Winkel α_l, ..., α_p werden so gewählt, dass die Summe dieser Winkel gleich π/(2*z) ist, wobei die Winkel im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich π/(2*z) sind, _
der zweite Teil eines Abschnitts wird aus p' Kreisbögen gebildet, die in umgekehrter
Reihenfolge nummeriert sind wie die Kreisbögen des ersten Teils eines Abschnitts, wobei p' eine ganze Zahl ist, die gleich p ist, zu den p' Kreisbögen zugehörige Winkel α_p', ..., oc_l ' sind dadurch bestimmt, dass der Winkel α_j' des j'-ten Kreisbogens des zweiten Teils eines Abschnitts gleich dem Winkel a_i des j-ten Kreisbogens des ersten Teils eines Abschnitts ist, wobei j und j' ganze
Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen p beziehungsweise p' durchlaufen (α_l '=α_l, ..., α_p'=α_p), die Summe des Radius rj' des j'-ten Kreisbogens des zweiten Teils eines Abschnitts und des Radius r_j des j-ten Kreisbogens des ersten Teils eines Abschnitts ist gleich dem
Achsabstand a, wobei j und j' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen p beziehungsweise p' durchlaufen (r_l '+r_l=a, ..., r_p'+r_p=a), ein zu dem Kreisbogen, mit dem das Profil im ersten Teil eines Abschnitts beginnt, zugehöriger Mittelpunkt und zugehöriger Anfangspunkt werden in Abhängigkeit von der
Anordnung der Kreisbögen im oder gegen den Uhrzeigersinn auf eine der
Abschnittsgrenzen dieses Abschnitts gelegt, ein zu dem Kreisbogen, mit dem das Profil im ersten Teil eines Abschnitts endet, zugehöriger Endpunkt tangiert eine Gerade FP in einem Punkt, wobei die Gerade FP senkrecht auf der Winkelhalbierenden der beiden Abschnittgrenzen dieses Abschnitts steht und einen Abstand vom Drehpunkt des Profils in Richtung dieses Abschnitts besitzt, der gleich dem halben Achsabstand ist, wobei die Winkelhalbierende wie die
Abschnittsgrenzen durch den Drehpunkt führt.
Profile, die gemäß dem obigen Verfahren erzeugt werden, bestehen aus 2*z Abschnitten, die voneinander verschieden sein können. Sind die Abschnitte voneinander verschieden, so erhält man asymmetrische Profile.
Bei achsensymmetrischen Profilen lassen sich alle 2*z Abschnitte durch Spiegelung an den Abschnittsgrenzen zur Deckung bringen. Die Abschnittsgrenzen liegen dann auf den
Schnittgeraden der Symmetrieebenen des jeweiligen Profils mit der Ebene, in der das Profil liegt.
Dies bietet den Vorteil, dass nur ein erster Abschnitt des Profils auf die oben beschriebene Weise erzeugt werden muss. Die weiteren Abschnitte ergeben sich durch fortlaufende Spiegelung des ersten Abschnitts an den Abschnittsgrenzen. _ _
Ferner ist es möglich, Profile zu erzeugen, die punktsymmetrisch zum Drehpunkt sind. In diesem Fall wird jeweils ein Abschnitt festgelegt, während sich der auf dem Profil gegenüber liegende Abschnitt durch Punktspiegelung des festgelegten Abschnitts am Drehpunkt ergibt. Auf diese Weise lassen sich punktsymmetrische Profile abschnittsweise erzeugen, wobei die oben genannten Anordnungsregeln befolgt werden müssen, um ein geschlossenes, konvexes Profil zu erhalten.
Schneckenelemente für Doppelschnecken- oder Mehrwellenextruder sind üblicherweise in ein Gehäuse eingebracht. Dabei sind Schneckenelemente und Gehäuse so ausgeführt, dass durch die Rotation der Schneckenelemente nicht nur eine paarweise Abschabung benachbarter Schneckenelemente erfolgt, sondern auch eine Abreinigung der Gehäuseinnenwandungen durch die Rotation der Schneckenelemente gegeben ist.
Wie beispielsweise in der Veröffentlichung [1] auf den Seiten 27 bis 30 ausgeführt, weisen Anordnungen aus Schneckenelementen und Gehäuse praktisch immer so genannte Spiele auf. Die Spiele können, wie dem Fachmann bekannt ist, zwischen Schnecke und Gehäuse und zwischen Schnecke und Schnecke unterschiedlich groß oder gleich sein. Das Spiel zwischen Schnecke und Gehäuse wird als δ bezeichnet, das Spiel zwischen Schnecke und Schnecke als s. Die Spiele können auch konstant oder, in den angegebenen Grenzen, variabel sein. Es ist auch möglich, innerhalb der Spiele ein Schneckenprofil zu verschieben. Dem Fachmann sind Methoden bekannt, um ausgehend von einem vorgegebenen, exakt abschabenden Schneckenprofil, ein Schneckenprofil mit Spielen abzuleiten. Bekannte Methoden hierfür sind beispielsweise die in [1] auf den Seiten 28ff beschriebene Möglichkeit der Achsabstand-Vergrößerung, der Längsschnitt- Äquidistanten und der Raumäquidistanten. Bei der Achsabstand-Vergrößerung wird ein Schneckenprofil kleineren Durchmessers konstruiert und um den Betrag des Spiels zwischen den Schnecken auseinandergerückt. Bei der Methode der Längsschnitt-Äquidistanten wird die Längsschnitt-Profilkurve (parallel zur Drehachse des jeweiligen Elementes) um das halbe Spiel Schnecke-Schnecke senkrecht zur Profilkurve nach innen, in Richtung zur Drehachse hin, verschoben. Bei der Methode der Raumäquidistanten wird, ausgehend von der Raumkurve, auf der die Schneckenelemente sich abreinigen, das Schneckenelement in der Richtung senkrecht zu den Flächen des exakt abschabenden Profils um das halbe Spiel zwischen Schnecke und Schnecke verkleinert.
Auch eine exzentrische Positionierung von Schneckenelementen in einem Gehäuse unter Beibehaltung der Gehäuse- und paarweisen Abschabung ist dem Fachmann der Extrudertechnik bekannt (siehe z.B. [1] Seiten 108, 246 und 249). Die Verwendung von Gehäusen, Spielen und/oder exzentrischer Positionierung ist auf korrespondierende Körper, die sich bei der gleichsinnigen Rotation um zwei parallel angeordnete Achsen in der Weise streifen, dass sie sich stets in mindestens einem Punkt berühren, in entsprechender Weise anwendbar.
Wie der Fachmann anhand der Ausführungen leicht versteht, ist das erfindungsgemäße Verfahren dazu geeignet, Übergangsprofile zwischen Profilen unterschiedlicher Gangzahl zu erzeugen. Ausgehend von einem z-gängigen Profil ist es möglich, die Profile der korrespondierenden Körper Schritt für Schritt so zu ändern, dass man schließlich Profile mit einer Gangzahl z' ungleich z erhält. Es ist hierbei zulässig, die Anzahl der Kreisbögen während des Übergangs zu verringern oder zu vergrößern.
Ebenso ist es möglich, Übergangsprofile zwischen Profilen gleicher Gangzahl zu erzeugen. Ausgehend von einem z-gängigen Profil ist es möglich, ein anderes z-gängiges Profil zu erhalten, indem das Profil im Übergang Schritt für Schritt geändert wird. Es ist hierbei zulässig, die Anzahl der Kreisbögen während des Übergangs zu verringern oder zu vergrößern.
Die Profile korrespondierender Körper können auf verschiedene Weisen in die dritte Dimension fortgesetzt werden, um die Körper zu erzeugen. Dies sei beispielhaft anhand von Schneckenelementen für Schneckenextruder erläutert. Schneckenelemente weisen die beschriebenen Querschnittsprofile auf, die sich bei gleichsinniger Rotation um zwei parallele benachbarte Achsen stets in einem Punkt berühren. Schneckenelemente können z.B. als Förder-, Knet- oder Mischelemente ausgeführt sein.
Ein Förderelement zeichnet sich dadurch aus (siehe zum Beispiel [1], Seiten 227 - 248), dass das Schneckenprofil in Achsrichtung kontinuierlich schraubenförmig verdreht und fortgesetzt wird.
Dabei kann das Förderelement rechts- oder linksgängig sein. Die Steigung des Förderelements liegt bevorzugt im Bereich des 0,1 -fachen bis 10-fachen des Achsabstandes, wobei unter der
Steigung die axiale Länge verstanden wird, die für eine vollständige Drehung des
Schneckenprofils erforderlich ist, und die axiale Länge eines Förderelements liegt bevorzugt im Bereich des 0,1-fachen bis 10-fachen des Achsabstands.
Ein Knetelement zeichnet sich dadurch aus (siehe zum Beispiel [1], Seiten 227 - 248), dass das
Schneckenprofil in Achsrichtung absatzweise in Form von Knetscheiben fortgeführt wird. Die
Anordnung der Knetscheiben kann rechts- oder linksgängig oder neutral erfolgen. Die axiale Länge der Knetscheiben liegt bevorzugt im Bereich des 0,05-fachen bis 10-fachen des Achsabstands. Der axiale Abstand zwischen zwei benachbarten Knetscheiben liegt bevorzugt im Bereich des 0,002-fachen bis 0,1 -fachen des Achsabstandes.
Mischelemente werden dadurch gebildet (siehe zum Beispiel [1], Seiten 227 - 248), dass Förderelemente mit Durchbrüchen in den Schneckenkämmen ausgeführt werden. Die
Mischelemente können rechts- oder linksgängig sein. Ihre Steigung liegt bevorzugt im Bereich des
0,1 -fachen bis 10-fachen des Achsabstandes und die axiale Länge der Elemente liegt bevorzugt im
Bereich des 0,1 -fachen bis 10-fachen des Achsabstandes. Die Durchbrüche haben bevorzugt die
Form einer u- oder v-förmigen Nut, die bevorzugt gegenfördernd oder achsparallel angeordnet sind.
Um den Übergang zwischen verschiedenen Schneckenelementen zu ermöglichen, werden häufig Unterlegscheiben als Distanzhülse eingesetzt. In Sonderfällen werden sogenannte Übergangselemente eingesetzt, die einen kontinuierlichen Übergang zwischen zwei Schneckenprofilen unterschiedlicher Gangzahl ermöglichen, wobei an jedem Punkt des Übergangs ein sich selbst reinigendes Paar von Schneckenprofilen vorliegt. Übergangselemente können rechts- oder linksgängig sein. Ihre Steigung liegt bevorzugt im Bereich des 0,1 -fachen bis 10- fachen des Achsabstands und ihre axiale Länge liegt bevorzugt im Bereich des 0, 1 -fachen bis 10- fachen des Achsabstandes.
Das erfindungsgemäße Verfahren lässt sich wie bereits ausgeführt allein mit Winkellineal und Zirkel auf Papier ausführen. Die Durchführung des erfindungsgemäßen Verfahrens auf einem Computersystem ist vorteilhaft, da die Koordinaten und Abmessungen der Profile in einer Form vorliegen, die von einem Computer weiter verarbeitet werden können.
Gegenstand der vorliegenden Erfindung ist auch ein Computerprogrammprodukt mit Programmcodemitteln zur Ausführung des erfindungsgemäßen Verfahren auf einem Computer. Das erfindungsgemäße Computerprogrammprodukt ist dadurch gekennzeichnet, dass das erfindungsgemäße Verfahren in Form von Programmcodes auf einem Datenträger gespeichert ist. Der Datenträger ist computerlesbar, sodass das erfindungsgemäße Verfahren mittels eines Computers ausgeführt werden kann, wenn das Computerprogrammprodukt auf dem Computer ausgeführt wird. Ein geeigneter Datenträger ist zum Beispiel eine Diskette, ein optischer Datenträger wie zum Beispiel eine CD, DVD, oder Blu-ray Disc, eine Festplatte, ein Flash- Speicher, ein Memory-Stick und andere. Bevorzugt weist das Computerprogrammprodukt, wenn es auf einem Computer ausgeführt wird, eine grafische Benutzeroberfläche (GUI) auf, die es einem Benutzer auf einfache Weise erlaubt, die frei wählbaren Größen zur Erzeugung von Profilen über Eingabegeräte, wie z.B. Maus und / oder Tastatur einzugeben. Weiterhin weist das Computerprogrammprodukt bevorzugt eine grafische Ausgabe auf, mittels derer die berechneten Profile auf einem grafischen Ausgabegerät wie z.B. Bildschirm und / oder Drucker visualisiert werden können. Bevorzugt weist das Computerprogrammprodukt die Möglichkeit auf, berechnete Profile zu exportieren, d.h. in Form von speicherbaren Datensätzen, welche die geometrischen Maße der berechneten Körper umfassen, für weitere Verwendungszwecke entweder auf einem Datenträger zu speichern oder an ein angeschlossenes Gerät zu übertragen. Insbesondere ist das Computerprogrammprodukt- so gestaltet, dass es, wenn es auf einem Computer ausgeführt wird, sowohl Profile als auch aus den Profilen generierte Körper berechnen und die berechneten Geometrien in einem Format ausgeben kann, die von einer Maschine zur Herstellung solcher Körper z.B. einer Fräsmaschine verwendet werden kann, um reale Körper herzustellen. Solche Formate sind dem Fachmann bekannt.
Nachdem die Profile auf die beschriebene Weise erzeugt worden sind, können die Körper z.B. mit einer Fräsmaschine, einer Drehmaschine oder einer Wirbelmaschine erzeugt werden. Bevorzugte Materialien zur Erzeugung solcher Körper sind Stähle, insbesondere Nitrierstähle, Chrom-, Werkzeug- und Edelstahle, pulvermetallurgisch hergestellte metallische Verbundwerkstoffe auf Basis von Eisen, Nickel oder Kobalt, ingenieurkeramische Werkstoffe wie z.B. Zirkonoxid oder Siliziumcarbid.
Die vorliegende Erfindung erlaubt die Erzeugung von Profilen korrespondierender Körper ab initio. Im Gegensatz zum Stand der Technik geht das erfindungsgemäße Verfahren nicht von bestehenden Profilen aus, sondern erlaubt die Erzeugung beliebiger Profile, indem die Werte charakteristischer Größen wie z.B. Achsabstand und Zahl der Kreisbögen, aus denen die Profile aufgebaut werden sollen, gewählt werden und die Profile Schritt für Schritt unter Beachtung einfacher Regeln generiert werden. Das erfindungsgemäße Verfahren ist einfach anwendbar und lässt sich sogar mit Zirkel und Winkellineal ausführen, ohne dass komplizierte Berechnungen nötig sind. Das erfindungsgemäße Verfahren ist allgemeingültig, d.h. es ist zum Beispiel nicht auf eine konkrete Gangzahl beschränkt, sondern es ist sogar möglich, durch Variation von Werten Profile zu erzeugen, die von einer Gangzahl in einer andere übergehen. Ferner erlaubt die Erfindung die Erzeugung von symmetrischen und asymmetrischen Profilen. Es ist auch möglich, Profile zu erzeugen, bei denen die korrespondierenden Profile verschieden sind, d.h. nicht zur Deckung gebracht werden können. Die Erfindung wird nachstehend anhand der Figuren beispielhaft näher erläutert, ohne sie jedoch auf diese zu beschränken. Die Figuren 3 bis 8 wurden mit Hilfe eines Computerprogramms erzeugt.
In den Beispielen werden dimensionslose Kennzahlen verwendet. Als Bezugsgröße für Längen und Radien wird der Achsabstand verwendet. Für den dimensionslosen Achsabstand folgt A=a/a=l . Für den dimensionslosen Außenradius eines Profils folgt RA=ra/a. Der dimensionslose Innenradius eines Profils berechnet sich zu RI=ri/a.
In den Figuren werden alle geometrischen Größen in ihrer dimensionslosen Form verwendet. Alle Winkelangaben erfolgen im Bogenmaß.
Das erfindungsgemäße Verfahren wird anhand der Figur 3 naher erläutert, ohne das Verfahren jedoch auf diese Figur zu beschränken.
Die Figuren 3a bis 3f zeigen den Übergang von einem Paar zweigängiger Profile auf ein Paar eingängiger Profile. Alle diese Figuren weisen den gleichen Aufbau auf, der nachfolgend im Detail beschrieben wird. Das erzeugende Profil des Körpers Kl wird durch das linke Profil dargestellt. Das Profil des korrespondierenden Körpers K2 wird durch das rechte Profil dargestellt. Beide Profile bestehen aus 16 Kreisbögen. Die Kreisbögen sind durch dicke, durchgezogene Linien gekennzeichnet, die mit den jeweiligen Nummern der Kreisbögen versehen sind. Bedingt durch die Vielzahl der Kreisbögen und bedingt durch die Erzeugung der Figuren mittels eines Computerprogramms kann es vorkommen, dass sich die Nummern einzelner Kreisbögen überlappen und daher schlecht lesbar sind, siehe zum Beispiel die Kreisbögen 3', 4' und die Kreisbögen 5', 6', 7' in Figur 3a. Trotz der teilweisen schlechten Lesbarkeit einzelner Nummern, wird der Aufbau der Profile aus dem Zusammenhang in Verbindung mit dieser Beschreibung dennoch deutlich.
Die Mittelpunkte der Kreisbögen werden durch kleine Kreise dargestellt. Die Mittelpunkte der Kreisbögen sind mit dünnen, durchgezogenen Linien sowohl mit dem Anfangspunkt als auch mit dem Endpunkt des dazugehörigen Kreisbogens verbunden. Der Außenradius ist jeweils für das Profil des Körpers Kl und des Körpers K2 gleich groß.
Die Figur 3 a zeigt ein Paar von zweigängigen Profilen, mit denen der Übergang gestartet wird. Die
Profile sind zueinander symmetrisch. Die Kreisbögen 1 und 9 des Profils des Körpers Kl berühren auf ihrer gesamten Länge den Außenradius. Die Kreisbögen 4, 5 und 12, 13 berühren auf ihrer gesamten Länge den Innenradius. Die Kreisbögen 4', 5' und 12', 13' des Profils des Körpers K2 berühren auf ihrer gesamten Länge den Außenradius. Die Kreisbögen 1 ' und 9' berühren auf ihrer gesamten Länge den Innenradius.
Die Figur 3f zeigt ein Paar von eingängigen Profilen, mit denen der Übergang endet. Das Profil des Körpers Kl und das Profil des Körpers K2 sind zueinander symmetrisch. Die Kreisbögen 1 und 12 des Körpers Kl berühren auf ihrer gesamten Länge den Außenradius. Die Kreisbögen 4 und 9 des Körpers Kl berühren auf ihrer gesamten Länge den Innenradius. Die Kreisbögen 4' und 9' des Körpers K2 berühren auf ihrer gesamten Länge den Außenradius. Die Kreisbögen 1 ' und 12' des Körpers K2 berühren auf ihrer gesamten Länge den Innenradius.
Die Figur 3 b zeigt ein Paar von Übergangsprofilen, bei denen der Übergang von den zweigängigen Profilen zu den eingängigen Profilen zu 20% vollzogen ist. Die Figur 3c zeigt ein Paar von Übergangsprofilen, bei denen der Übergang zu 40% vollzogen ist. Die Figur 3d zeigt ein Paar von Übergangsprofilen, bei denen der Übergang zu 60% vollzogen ist. Die Figur 3e zeigt ein Paar von Übergangsprofilen, bei denen der Übergang zu 80% vollzogen ist.
Der Übergang erfolgt dergestalt, dass immer der Kreisbogen 1 des Profils des Körpers Kl auf seiner gesamten Länge den dimensionslosen Außenradius RA berührt, wodurch der zugehörige Kreisbogen 1 ' des Profils des Körpers K2 auf seiner gesamten Länge den dimensionslosen Innenradius RI' berührt. Der Übergang erfolgt dergestalt, dass immer der Kreisbogen 4' des Körpers K2 den dimensionslosen Außenradius RA' berührt, wodurch der zugehörige Kreisbogen 4 des Körpers Kl den dimensionslosen Innenradius RI berührt. Aus den Figuren 3b bis 3e ist ersichtlich, dass die Profile von Kl und K2 asymmetrisch sind.
Die Figur 3 zeigt Übergangsprofile, in denen die dimensionslosen Außenradien RA und RA' im Bereich von 0,6146 bis 0,6288 liegen. Das erfindungsgemäße Verfahren ist nicht auf diesen Bereich des dimensionslosen Außenradius limitiert. Unter Anwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens können Profile mit einem dimensionslosen Außenradius zwischen RA größer 0 und RA kleiner oder gleich 1, bevorzugt im Bereich von RA=0,52 bis RA=0,707 erzeugt werden. Das erfindungsgemäße Verfahren soll beispielhaft an dem Paar von Profilen in Figur 3d erläutert werden.
Die Profile der Körper Kl und liegen in einer Ebene. Der Einfachheit halber wird diese Ebene in die xy-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems gelegt. Ebenfalls der Einfachheit halber wird der Drehpunkt des Profils des Körpers Kl in den Ursprung des kartesischen Koordinatensystems gelegt (x=0, y=0). Der dimensionslose Achsabstand zwischen den beiden Drehpunkten des Köφers Kl und K2 beträgt A=I . Der Drehpunkt des Körpers K2 auf die Koordinate X=A=I, y=0 gelegt.
In einem ersten Schritt wird das Profil des Körpers Kl erzeugt, aus dem das Profil des Köφers K2 abgeleitet werden kann.
Die Anzahl der Kreisbögen n des Profils von Köφer Kl wird so gewählt, dass n größer oder gleich 1 ist. In dem vorliegendem Beispiel ist n=16. Der dimensionslose Außenradius RA wird so gewählt, dass er größer 0 und kleiner oder gleich dem dimensionslosen Achsabstand A ist. In dem vorliegenden Beispiel ist RA=0,6203. Der dimensionslose Innenradius RI wird so gewählt, dass er größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich dem dimensionslosen Außenradius RA ist. In dem vorliegenden Beispiel ist RI=0,3798.
Die Kreisbögen können im oder gegen den Uhrzeigersinn um die Drehachse angeordnet werden. In dem vorliegenden Beispiel werden die Kreisbögen gegen den Uhrzeigersinn um die Drehachse angeordnet.
Der Winkel α_l des 1. Kreisbogens wird so gewählt, dass er im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 2π ist. In dem vorliegenden Beispiel ist α_l =0,2744. Der dimensionslose Radius R l des 1. Kreisbogens wird so gewählt, dass er größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich dem dimensionslosen Achsabstand A ist. In dem vorliegenden Beispiel ist R_1=RA=0,6203. Die Position des 1. Kreisbogens wird so gewählt, dass der 1. Kreisbogen innerhalb oder auf den Grenzen eines Kreisrings mit dem dimensionslosen Außenradius RA und dem dimensionslosen Innenradius RJ liegt, dessen Mittelpunkt auf dem Drehpunkt liegt. Die Position wird bevorzugt durch die Positionierung des Anfangspunkts und des Mittelpunkts des 1. Kreisbogens festgelegt. In dem vorliegenden Beispiel wird der Anfangspunkt des 1. Kreisbogens auf die Koordinate x=RA=0,6203, y=0,0000 und der Mittelpunkt des 1. Kreisbogens auf die Koordinate Mx_l=0,0000, My_l=0,0000 gelegt. Damit liegt der 1. Kreisbogen auf dem Außenradius RA und die Anordnungsregel, dass mindestens ein Kreisbogen den Außenradius RA berührt, ist erfüllt.
Die Winkel α_2, ..., α_(n-l) von n-2 weiteren Kreisbögen, also 14 weiteren Kreisbögen werden erfindungsgemäß so gewählt, dass sie im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 2π sind. In dem vorliegenden Beispiel werden die Winkel dieser 14 weiteren Kreisbögen zu α_2=0,6330, α_3=0,6330, α_4=0,2208, α_5=0,1864, α_6=0,4003, α_7=0,4003, α_8=0,3934, α_9=0,2744, α_10=0,6330, α_l 1=0,6330, α_12=0,2208, α_13=0,1864, α_14=0,4143 und α_15=0,4143 gewählt. Die dimensionslosen Radien R_2, ..., R_(n-1) dieser 14 weiteren Kreisbögen werden erfindungsgemäß so gewählt, dass sie größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich dem dimensionslosen Achsabstand A sind. In dem vorliegenden Beispiel werden die dimensionslosen Radien dieser weiteren 14 Kreisbögen zu R_2=0,0000, R_3=l50000, R_4=0,3797, R_5=0,7485, R_6=0,4726, R_7=0,4726, R_8=0,1977, R_9=0,4827, R_10=0,6000, R_l 1=0,4000, R_12=0,5173, R_13=0,1485, R_14=0,8887 und R_15=0,8887 gewählt.
Gemäß den Anordnungsregeln werden die Kreisbögen so angeordnet, dass die Kreisbögen derart tangential ineinander übergehen, dass sich ein geschlossenes, konvexes Profil ergibt, wobei ein Kreisbogen, dessen dimensionsloser Radius gleich 0 ist, wie ein Kreisbogen behandelt wird, dessen dimensionsloser Radius gleich eps ist, wobei eps eine sehr kleine positive reelle Zahl ist, die gegen 0 strebt (eps« 1 , eps -> 0) .
Aus dieser Anordnungsregel folgt, dass der Endpunkt eines Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt seines nachfolgenden Kreisbogens ist. Der geforderte tangentiale Übergang zwischen einem ersten Kreisbogen und einem zweiten, nachfolgenden Kreisbogen wird dadurch erfüllt, dass der Mittelpunkt dieses zweiten, nachfolgenden Kreisbogens so auf die Gerade, die durch den Endpunkt und den Mittelpunkt dieses ersten Kreisbogens gegeben ist, gelegt wird, dass der Abstand des Mittelpunkts dieses zweiten, nachfolgenden Kreisbogens von dem Endpunkt dieses ersten Kreisbogens gleich dem Radius dieses zweiten, nachfolgenden Kreisbogens ist und das Profil konvex ist. Ein Kreisbogen, dessen Radius gleich 0 ist, wird wie ein Kreisbogen mit einem sehr kleinen Radius eps behandelt, wobei eps gegen 0 strebt, so dass sich der tangentiale Übergang weiterhin konstruieren lässt. Alternativ kann ein Kreisbogen, dessen Radius gleich 0 ist, so behandelt werden, dass das Profil an der Position dieses Kreisbogens einen Knick aufweist, wobei die Größe des Knicks durch den Winkel dieses Kreisbogens gegeben ist. In dem vorliegenden Beispiel resultieren aus der beschriebenen Anordnungsregel die folgenden Positionen der Mittelpunkte der 14 weiteren Kreisbögen: Mx_2=0,5971, My_2=0,1681, Mx_3=-0,0187, My_3=- 0,6198, Mx_4=0,0001, My_4=0,0002, Mx_5=0,0699, My_5=-0,3619, Mx_6=-0,0316, My_6=- 0,1054, Mx_7=-0,0316, My_7=-0,1054, Mx_8=-0,2855, My_8=0,0000, Mx_9=-0,0005, My_9=0,0000, Mx_10=0,1124, My_10=0,0318, Mx_l l=-0,0107, MyJ l =-0,1258, Mx_12=- 0,0072, My_12=-0,0086, Mx_13=0,0626, My_13=-0,3707, Mx_14=-0,2097, My_14=0,3176, Mx_15=-0,2097, My_l 5=0,3176. Der Endpunkt des 4. Kreisbogens bzw. der Anfangspunkt des 5. Kreisbogens liegt auf dem dimensionslosen Innenradius RI und die Anordnungsregel, dass mindestens ein Kreisbogen den dimensionslosen Innenradius RI berührt, ist somit erfüllt.
Der Winkel α_16 des letzten Kreisbogens ergibt sich erfindungsgemäß daraus, dass die Summe der Winkel der 16 Kreisbögen im Bogenmaß gleich 2π ist, wobei der Winkel α_16 im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 2π ist. In dem vorliegenden Beispiel ergibt sich der
Winkel dieses letzten Kreisbogens zu α_l 6=0,3654. Der dimensionslose Radius R l 6 des letzten Kreisbogens ergibt sich erfindungsgemäß daraus, dass dieser letzte Kreisbogen das Profil schließt. Da der Endpunkt des 15. Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt des ersten Kreisbogens ist, ergibt sich der Radius des 16. Kreisbogens zu R l 6=0,0000. Der Mittelpunkt des 16. Kreisbogen liegt damit in den Koordinaten Mx_16=0,6203, My_16=0,0000.
Die Anordnungsregel, dass alle Kreisbögen innerhalb oder auf den Grenzen eines Kreisrings mit dem dimensionslosen Außenradius RA und dem dimensionslosen Innenradius RI liegen, dessen Mittelpunkt auf dem Drehpunkt des Profils liegt, ist durch die im vorliegenden Beispiel getroffene Wahl der Winkel und Radien der 16 Kreisbögen und deren Positionierung ebenfalls erfüllt
Das Profil des korrespondierenden Körpers K2 ergibt sich aus dem Profil des Körpers Kl . Die Anzahl der Kreisbögen n' des Profils des Körpers K2 ist erfindungsgemäß gleich der Anzahl der Kreisbögen n des Profils des Körpers Kl. In dem vorliegendem Beispiel ist n'=16. Der dimensionslose Außenradius RA' ist erfindungsgemäß gleich der Differenz des dimensionslosen Achsabstandes A minus des dimensionslosen Innenradius RI des Profils des Körpers Kl . In dem vorliegenden Beispiel ergibt sich der dimensionslose Außenradius RA' zu RA'=A-RI=0,6202. Der dimensionslose Innenradius RI' ist erfindungsgemäß gleich der Differenz des dimensionslosen Achsabstandes A minus des dimensionslosen Außenradius RA. In dem vorliegenden Beispiel ergibt sich der dimensionslose Innenradius zu RI'=A-RA=0,3797.
Der Winkel α_i' des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 ist erfindungsgemäß gleich dem Winkel α_i des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl, wobei i und i' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich von 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen n beziehungsweise n' durchlaufen. In dem vorliegenden Beispiel ergeben sich die Winkel der 16 Kreisbögen zu α_l'=α_l =0,2744, α_2'=α_2=0,6330, α_3'=α_3=0,6330, α_4'=α_4=0,2208, α_5'=α_5=0,1864, α_6'=α_6=0,4003, αJ7'=α_7=0,4003, α_8'=α_8=0,3934, α_9'=α_9=0,2744, α_10'=α_l 0=0,6330, α_l l '=α_l 1=0,6330, α_l 2 '=α_l 2=0,2208, α_13'=α_13=0,1864, α_14'=α_14=0,4143, α_15'=α_15=0,4143 und α_16'=α_l 6=0,3654.
Die Summe des dimensionslosen Radius R i' des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 und des dimensionslosen Radius R i des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl ist erfindungsgemäß gleich dem dimensionslosen Achsabstand A, wobei i und i' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen n beziehungsweise n' durchlaufen (R_F+ R_1=A=1, ..., R n'+ R n=A=I). In dem vorliegenden Beispiel ergeben sich die Radien der 16 Kreisbögen zu R l '=A-R_1= 1-0,6203=0,3797, R_2'=A-R_2=l-0,0000=l,0000, R_3'=A-R_3=l-l,0000=0,0000, R_4'=A-R_4= 1-0,3797=0,6203, R_5'=A-R_5=1 -0,7485=0,2515, R_6'=A-R_6=l-0,4726=0,5274, R_7'=A-R_7=1 -0,4726=0,5274, R_8'=A-R_8= 1-0, 1977=0,8023, R_9'=A-R_9=1 -0,4827=0.5173, R l O'=A-R_10=1 -0,6000=0,4000, R_11 '=A-R_11=1-
0,4000=0,6000, R_12'=A-R_12=l-0,5173=0,4827, R_13'=A-R_13=l-0,1485=0,8515, R_14'=A- R_l 4=1-0,8887=0,1113 R_15'=A-R_15=l-0,8887=0,l 113 und R_16'=A-R_16=1-0,0000=1,0000.
Der Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 besitzt erfindungsgemäß einen Abstand von dem Mittelpunkt des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl, der gleich dem dimensionslosen Achsabstand A ist, und der Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens besitzt erfindungsgemäß einen Abstand von dem Drehpunkt des Körpers K2, der gleich dem Abstand des Mittelpunkts des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl von dem Drehpunkt des Körpers Kl ist, und die Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt des i'ten Kreisbogens und dem Mittelpunkt des i-ten Kreisbogens ist erfindungsgemäß eine Parallele zu einer Verbindungslinie zwischen dem Drehpunkt des Körpers K2 und dem Drehpunkt des Körpers Kl, wobei i und i' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen n beziehungsweise n' durchlaufen (i'=i). Durch die Positionierung des Drehpunktes des Körpers Kl in den Punkt x=0, y=0 und durch die Positionierung des Drehpunktes des Körpers K2 in den Punkt X=A=I, y=0 ergibt sich die x-Koordinate eines Kreismittelpunkts Mx i' aus der Addition der x- Koordinate des Kreismittelpunkts Mx_i plus des dimensionslosen Achsabstandes A und die y- Koordinate des Kreismittelpunkts My_i' ist gleich der y-Koordinate des Kreismittelpunkts My_i. In dem vorliegenden Beispiel ergeben sich die Positionen der Mittelpunkte der 16 Kreisbögen des Profils des Körpers K2 zu Mx_l '=l,0000, My_l '=0,0000, Mx_2'=l,5971, My_2'=0,1681, Mx_3'=0,9813, My_3'=-0,6198, Mx_4'=l,0001, My_4'=0,0002, Mx_5'=l,0699, My_5'=-0,3619, Mx_6'=0,9684, My_6'=-0,1054, Mx_7'=0,9684, My_7'=-0,1054, Mx_8'=0,7145, My_8'=0,0000, Mx_9'=0,9995, My_9'=0,0000, Mx_10'=l,1124, My_10'=0,0318, Mx_l l'=0,9893, My_l l'=- 0,1258, Mx_12'=0,9928, My_12'=-0,0086, Mx_13'=l,0626, My_l 3 '=-0,3707, Mx_14'=0,7903, My_14'=0,3176, Mx_l 5 '=0,7903, My_15'=0,3176 und Mx_16'=l,6203, My_16'=0,0000.
Ein Anfangspunkt des i'-ten Kreisbogens liegt erfindungsgemäß in einer Richtung bezogen auf den Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens, die entgegengesetzt derjenigen Richtung ist, die ein Anfangspunkt des i-ten Kreisbogens bezogen auf den Mittelpunkt des i-ten Kreisbogens besitzt, wobei i und i' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen n beziehungsweise n' durchlaufen (i'=i). In dem vorliegenden Beispiel liegt daher beispielsweise der Anfangspunkt des Kreisbogens 1 ' des Profils des Körpers K2 auf der Koordinate x=0,6203, y=0. Aus dem erfindungsgemäßen Verfahren folgt, dass alle 16 Kreisbögen des Profils des Körpers K2 tangential ineinander übergehen und ein geschlossen, konvexes Profil bilden. Auch liegen alle 16 Kreisbögen innerhalb oder auf den Grenzen eines Kreisrings mit dem dimensionslosen Außenradius RA' und dem dimensionslosen Innenradius RI', dessen Mittelpunkt auf dem Drehpunkt des Körpers K2 liegt. Ferner liegt der Kreisbogen 1 ' auf dem dimensionslosen Innenradius RI' und die Anordnungsregel, dass mindestens ein Kreisbogen den dimensionslosen Innenradius RI' berührt, ist erfüllt. Ferner liegt der Endpunkt des Kreisbogens 4' bzw. der Anfangspunkt des Kreisbogens 5' auf dem dimensionslosen Außenradius RA' und die Anordnungsregel, dass mindestens ein Kreisbogen den dimensionslosen Außenradius RA' berührt, ist erfüllt.
Aus dem erfindungsgemäßen folgt für symmetrische Profile mit einer Gangzahl z, dass jeder der Abschnitte derart aufgebaut ist, das die Radien der Kreisbögen des Profils des Körpers K2 in umgekehrter Reihenfolge gleich den Radien der Kreisbögen des Profils des Körpers Kl sind. Wie der Fachmann erkennt, lassen sich die Profilabschnitte des durch Rotation und Spiegeln zur Deckung bringen. In den nachfolgenden Figuren, die Abschnitte von Profilen behandeln, wird daher häufig nicht mehr zwischen dem Profil des Körpers Kl und dem Profil des Körpers K2 unterschieden, sondern nur noch von einem Profil gesprochen.
Figuren 4a und 4b zeigen nach dem erfindungsgemäßen Verfahren erhaltene Profile mit der Gangzahl 1. Es wird immer die Hälfte und damit ein Abschnitt eines Profils der Gangzahl 1 gezeigt. Ein Großteil der Figuren weist den gleichen Aufbau auf, der nachfolgend im Detail beschrieben wird. In der Mitte der Figuren liegt das xy-Koordinatensystem, in dessen Ursprung sich der Drehpunkt des Profils befindet. Die Kreisbögen des Profils sind durch dicke, durchgezogene Linien gekennzeichnet, die mit den jeweiligen Nummern der Kreisbögen versehen sind. Die Mittelpunkte der Kreisbögen werden durch kleine Kreise dargestellt. Die Mittelpunkte der Kreisbögen sind mit dünnen, durchgezogenen Linien sowohl mit dem Anfangspunkt als auch mit dem Endpunkt des dazugehörigen Kreisbogens verbunden. Die Gerade FP wird durch eine dünne, gepunktete Linie dargestellt. Der Schneckenaußenradius RA wird durch eine dünne, gestrichelte Linie charakterisiert, dessen Zahlenwert rechts unten in der Figur auf vier signifikante Stellen angegeben wird. Rechts neben den Figuren werden zu jedem Kreisbogen der Radius R, der Winkel α und die x- und y-Koordinate des Kreisbogenmittelpunkts Mx und My jeweils auf vier signifikante Stellen angegeben. Durch diese Angaben ist das Profil eindeutig definiert.
Die Figuren 4a und 4b zeigen Profile, in denen der dimensionslose Außenradius RA die Werte 0,58 und 0,63 hat. Profile, bei denen ein Abschnitt des Profils aus insgesamt h Kreisbögen besteht, werden nachfolgend als h-Kreis-Profile bezeichnet. D.h. bei einem Profil, dass in dem Abschnitt aus beispielsweise 2 Kreisbögen besteht, wird von einem 2-Kreis-Profil gesprochen.
Figur 4: Die Figuren 4a und 4b zeigen 4-Kreis-Profϊle. Die Figuren 4a und 4b unterscheiden sich durch den Außenradius RA. In der Figur 4a beträgt der Außenradius RA=0,58. In der Figur 4b beträgt der Außenradius RA=0,63. In den Figuren 4a und 4b besitzt der 1. Kreisbogen jeweils den Radius R l=RA. In den Figuren 4a und 4b besitzt der 2. Kreisbogen jeweils den Radius R_2=0. Li den Figuren 4a und 4b ist der Winkel α_l des 1. Kreisbogens vom Außenradius RA abhängig. In den Figuren 4a und 4b ist der Winkel α_2 des 2. Kreisbogens vom Außenradius RA abhängig.
Figur 5: Die Figuren 5a bis 5d zeigen 8-Kreis-Profile. In den Figuren 5a bis 5d beträgt der Schneckenaußenradius jeweils RA=0,58. In den Figuren 5a bis 5d besitzt der 1. Kreisbogen jeweils den Radius R_l=0,9061. In den Figuren 5a bis 5d besitzt der 2. Kreisbogen jeweils den Radius R_2=0,1385. In den Figuren 5a bis 5d besitzt der 3. Kreisbogen jeweils den Radius R_3=RA und liegt auf Außenradius. In den Figuren 5a bis 5d wird der Radius R_4 des 4. Kreisbogens schrittweise vergrößert. In den Figuren 5a bis 5d besitzt der 1. Kreisbogen jeweils den Winkel α_l=0,4304. In den Figuren 5a bis 5d besitzt der 2. Kreisbogen jeweils den Winkel α_2=0,3812. In den Figuren 5a bis 5d wird der Winkel α_3 des 3. Kreisbogens schrittweise verringert und der Winkel α_4 des 4. Kreisbogens schrittweise vergrößert.
Das Profil und damit auch der gezeigte Abschnitt des Profils liegen erfindungsgemäß in einer Ebene. Der Einfachheit halber wird diese Ebene in die xy-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems gelegt. Ebenfalls der Einfachheit halber wird der Drehpunkt des Profils in den Ursprung des kartesischen Koordinatensystems gelegt (x=0, y=0).
Die Gangzahl z wird erfindungsgemäß so gewählt, dass z größer oder gleich 1 ist. In dem vorliegenden Beispiel wird die Gangzahl zu z=l gewählt. Die Anzahl der Kreisbögen n des Profils wird erfindungsgemäß so gewählt, dass n ein ganzes Vielfaches p von 4*z ist. In dem vorliegendem Beispiel wird die Anzahl der Kreisbögen zu n=16 gewählt, woraus p=4 resultiert. Der dimensionslose Außenradius RA wird erfindungsgemäß so gewählt, dass er größer 0 und kleiner oder gleich dem dimensionslosen Achsabstand A ist. In dem vorliegenden Beispiel wird der dimensionslose Außenradius zu RA=0,58 gewählt. Der dimensionslose Innenradius RI wird erfindungsgemäß so gewählt, dass er größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich dem dimensionslosen Außenradius RA ist. In dem vorliegenden Beispiel wird der dimensionslose Innenradius zu RI=A-RA=0,42 gewählt. Die Kreisbögen des Profils können im oder gegen den Uhrzeigersinn um die Drehachse des Profils angeordnet werden. In dem vorliegenden Beispiel werden die Kreisbögen gegen den Uhrzeigersinn um die Drehachse angeordnet.
Das Profil wird in 2*z Abschnitte eingeteilt, die dadurch gekennzeichnet sind, dass jeder Abschnitt durch zwei Geraden begrenzt ist, die zueinander einen Winkel im Bogenmaß von π/z bilden und die sich im Drehpunkt des Profils schneiden, wobei diese beiden Geraden als Abschnittsgrenzen bezeichnet werden. In dem vorliegenden Beispiel ergibt sich, dass das Profil in zwei Abschnitte unterteilt wird. Der Einfachheit halber werden beide Abschnittsgrenzen auf die x-Achse des Koordinatensystems gelegt. In dem vorliegenden Beispiel wird im Folgenden nur der Abschnitt des Profils betrachtet, der in positiver y-Richtung liegt.
Der Abschnitt des Profils wird in einen ersten und einen zweiten Teil untergliedert, wobei der erste Teil aus p Kreisbögen und der zweite Teil aus p' Kreisbögen besteht, wobei p'=p ist. In dem vorliegenden Beispiel ist p=p'=4. Die Kreisbögen des ersten Teils des Abschnitts des Profils können in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge nummeriert sein. Die Kreisbögen des zweiten Teils des Abschnitts sind in umgekehrter Reihenfolge wie die Kreisbögen des ersten Teils des Abschnittes nummeriert. In dem vorliegenden Beispiel werden die Kreisbögen des ersten Teils des Abschnitts in aufsteigender Reihenfolge, die Kreisbögen des zweiten Teils des Abschnitts in absteigender Reihenfolge nummeriert.
Der Winkel α_l des 1. Kreisbogens des ersten Teils des Abschnitts wird erfindungsgemäß so gewählt, dass er im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich π/(2*z) ist. In dem vorliegenden Beispiel wird der Winkel des 1. Kreisbogens zu α_l=0,4304 gewählt. Der dimensionslose Radius R_l des 1. Kreisbogens des ersten Teils des Abschnitts wird erfindungsgemäß so gewählt, dass er größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich dem Achsabstand A ist. In dem vorliegenden Beispiel wird der dimensionslose Radius des 1. Kreisbogens zu R l =0,9061 gewählt. Die Position des 1. Kreisbogens des ersten Teils des Abschnitts wird erfindungsgemäß so gewählt, dass der 1. Kreisbogen innerhalb oder auf den Grenzen eines Kreisrings mit dem dimensionslosen Außenradius RA und dem dimensionslosen Innenradius RI liegt, dessen Mittelpunkt auf dem Drehpunkt des Profils liegt. Die Position wird bevorzugt durch die Positionierung des Anfangspunkts und des Mittelpunkts des 1. Kreisbogens festgelegt. In dem erfindungsgemäßen Verfahren liegen der Anfangs- und der Mittelpunkt des 1. Kreisbogens auf einer der Abschnittsgrenzen, wodurch sich der Anfangspunkt aus der Position des Mittelpunkts und des dimensionslosen Radius R l ergibt. In dem vorliegenden Beispiel wird der Mittelpunkt des 1. Kreisbogens auf die Koordinate Mx_l=-0,3937, My_l=0,0000 gelegt und der Anfangspunkt liegt damit auf der Koordinate x=0,5124, y=0,0000.
Die Winkel α_2, ..., α_(p-l) von p-2 weiteren Kreisbögen, also von 2 weiteren Kreisbögen des ersten Teils des Abschnitts des Profils werden erfindungsgemäß so gewählt, dass sie im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich π/(2*z) sind. In dem vorliegenden Beispiel werden die Winkel der 2 weiteren Kreisbögen zu α_2=0,3812 und α_3=O,158O gewählt. Die dimensionslosen Radien R_2, ..., R_(p-1) der 2 weiteren Kreisbögen des ersten Teils des Abschnitts des Profils werden erfindungsgemäß so gewählt, dass sie größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich dem dimensionslosen Achsabstand A sind. In dem vorliegenden Beispiel werden die dimensionslosen Radien der 2 weiteren Kreisbögen zu R_2=0,1385 und R_3=0,5800 gewählt. Gemäß den Anordnungsregeln werden die Kreisbögen so angeordnet, dass die Kreisbögen derart tangential ineinander übergehen, dass sich ein geschlossenes, konvexes Profil ergibt, wobei ein Kreisbogen, dessen dimensionsloser Radius gleich 0 ist, wie ein Kreisbogen behandelt wird, dessen dimensionsloser Radius gleich eps ist, wobei eps eine sehr kleine positive reelle Zahl ist, die gegen 0 strebt (eps«l, eps-^0). Aus dieser Anordnungsregel folgt, dass der Endpunkt eines Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt seines nachfolgenden Kreisbogens ist. Der geforderte tangentiale Übergang zwischen einem ersten Kreisbogen und einem zweiten, nachfolgenden Kreisbogen wird dadurch erfüllt, dass der Mittelpunkt dieses zweiten, nachfolgenden Kreisbogens so auf die Gerade, die durch den Endpunkt und den Mittelpunkt dieses ersten Kreisbogens gegeben ist, gelegt wird, dass der Abstand des Mittelpunkts dieses zweiten, nachfolgenden Kreisbogens von dem Endpunkt dieses ersten Kreisbogens gleich dem Radius dieses zweiten, nachfolgenden Kreisbogens ist und das Profil konvex ist. Ein Kreisbogen, dessen Radius gleich 0 ist, wird wie ein Kreisbogen mit einem sehr kleinen Radius eps behandelt, wobei eps gegen 0 strebt, so dass sich der tangentiale Übergang weiterhin konstruieren lässt. Alternativ kann ein Kreisbogen, dessen Radius gleich 0 ist, so behandelt werden, dass das Profil an der Position dieses Kreisbogens einen Knick aufweist, wobei die Größe des Knicks durch den Winkel dieses Kreisbogens gegeben ist. In dem vorliegenden Beispiel resultieren aus der beschriebenen Anordnungsregel die folgenden Positionen der Mittelpunkte der 2 weiteren Kreisbögen: Mx_2=0,3039, My_2=0,3202 und Mx_3=0,0000, My_3=0,0000. Der 3. Kreisbogen liegt auf dem dimensionslosen Außenradius RA und die Anordnungsregel, dass mindestens ein Kreisbogen den dimensionslosen Außenradius RA berührt, ist erfüllt.
Der Winkel α_4 des letzten Kreisbogens des ersten Teils des Abschnitts des Profils ergibt sich erfindungsgemäß daraus, dass die Summe der Winkel der 4 Kreisbögen des ersten Teils des
Abschnitts des Profils im Bogenmaß gleich π/(2*z) ist, wobei der Winkel α_4 im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich π/(2*z) ist. In dem vorliegenden Beispiel ergibt sich der Winkel dieses letzten Kreisbogens zu α_4=0,6013. Der dimensionslose Radius R_4 des letzten Kreisbogens des ersten"~Teils des Abschnitts des Profils ergibt sich erfindungsgemäß daraus, dass der Endpunkt dieses letzten Kreisbogens eine Gerade FP in einem Punkt tangiert, wobei die Gerade FP senkrecht auf der Winkelhalbierenden der beiden Abschnittgrenzen dieses Abschnitts steht und einen Abstand vom Drehpunkt des Profils in Richtung dieses Abschnitts besitzt, der gleich dem halben Achsabstand ist, wobei die Winkelhalbierende wie die Abschnittsgrenzen durch den Drehpunkt des Profils führt. Die Gerade FP ist in der Figur 5b als gepunktete Linie eingezeichnet. Der 4. Kreisbogen des ersten Teils des Abschnitts des Profils wird konstruiert, indem am Endpunkt des 3. Kreisbogens eine Tangente an den 3. Kreisbogen gelegt wird, der Schnittpunkt der Tangente mit der Gerade FP der Mittelpunkt eines Kreises ist, dessen Radius gleich der Länge der Strecke zwischen dem Endpunkt des 3. Kreisbogens und dem Schnittpunkt der Tangente mit der Gerade FP ist, und indem der in Richtung des gewählten Uhrzeigersinns gelegene Schnittpunkt des Kreises mit der Gerade FP der gesuchte Berührpunkt des Endpunktes des 4. Kreisbogens mit der Gerade FP ist. Am Endpunkt des 4. Kreisbogens wird ein Lot auf die Gerade FP gefällt. Der Schnittpunkt dieses Lots mit der Geraden, die durch den Endpunkt und den Mittelpunkt des 3. Kreisbogens gegeben ist, ist der Mittelpunkt des 4. Kreisbogens. In dem vorliegenden Beispiel berechnet sich die Position des Mittelpunkts des 4. Kreisbogens zu Mx_4=0,2580, My_4=0,3761 und der dimensionslose Radius des 4. Kreisbogens ergibt sich zu R_4=0,1239.
Die Winkel α_p\ ..., ot_l ' des zweiten Teils des Abschnitts des Profils sind dadurch bestimmt, dass der Winkel α_j' des j'-ten Kreisbogens des zweiten Teils des Abschnitts gleich dem Winkel αj des j-ten Kreisbogens des ersten Teils des Abschnitts ist, wobei j und j' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen p beziehungsweise p' durchlaufen (α_ l '=α_l, ..., α_p'=αjp). In dem vorliegenden Beispiel berechnen sich die Winkel des zweiten Teils des Abschnitts zu α_l '=α_l=0,4304, α_2'=α_2=0,3812, α_3'=α_3=0,1580 und α_4'=α_4=0,6013.
Die dimensionslosen Radien R_p', ..., R_l ' des zweiten Teils des Abschnitts sind dadurch bestimmt, dass die Summe des dimensionslosen Radius RJ' des j'-ten Kreisbogens des zweiten Teils eines Abschnitts und des dimensionslosen Radius R_j des j-ten Kreisbogens des ersten Teils eines Abschnitts gleich dem dimensionslosen Achsabstand A ist, wobei j und j' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen p beziehungsweise p' durchlaufen (R_1 '+R_1=A=1, ..., R_p'+R_p=A=l). In dem vorliegenden Beispiel berechnen sich die dimensionslosen Radien des zweiten Teils des Abschnitts zu R_r=A-R_l=0,0939, R_2'=A- R_2=0,8615, R_3'=A-R_3=0,4200 und R_4'=A-R_4=0,8761.
Die Position der Kreisbögen des zweiten Teils des Abschnitts ergibt sich erfindungsgemäß daraus, das die Kreisbögen tangential ineinander übergehen und das Profil konvex ist. In dem vorliegenden
Beispiel ergeben sich die nachfolgenden Koordinaten für die Mittelpunkte der 4 Kreisbögen des zweiten Teil des Abschnitts des Schneckenprofils: Mx I '=-0,3937, My _1 '=0,0000,
Mx_2'=0,3039, My_2'=-0,3202, Mx_3 '=0,0000, My_3 '=0,0000 und Mx_4'=0,2580, My_4'=-
0,3761. Der 3. Kreisbogen des zweiten Teils des Abschnitts des Profils liegt auf dem dimensionslosen Innenradius RI und die Anordnungsregel, dass mindestens ein Kreisbogen den dimensions losen Innenradius RI berührt, ist erfüllt.
Die Figuren 6a und 6b zeigen beispielhaft, wie die Profile korrespondierender Körper in die dritte Dimension fortgesetzt werden können. Die gezeigten Körper der Figuren 6a und 6b basieren auf dem Profil nach Figur 4a.
Die in Figur 6a gezeigten Körper können beispielsweise als so genannte Förderelemente in Schneckenextrudern eingesetzt werden. Der Gehäuseradius beträgt RG=0,58. Das Spiel zwischen den beiden Förderelementen beträgt S=0,02. Das Spiel zwischen den beiden Förderelementen und dem Gehäuse beträgt D=0,01. Die Steigung der Förderelemente beträgt T=I, 2. Die Länge der Förderelemente beträgt 1,2, was einer Drehung der Schneckenprofile um einen Winkel von 2π entspricht. Das Gehäuse wird durch dünne, durchgezogene Linien links und rechts der beiden Förderelemente dargestellt.
Die in Figur 6b gezeigten Körper können beispielsweise als ein Paar Knetelemente in Schneckenextrudern eingesetzt werden. Der Gehäuseradius beträgt RG=0,58. Das Spiel zwischen den Knetscheiben der beiden Knetelemente beträgt S=0,02. Das Spiel zwischen den Knetscheiben der beiden Knetelemente und dem Gehäuse beträgt D=0,01. Das Knetelement besteht aus 7
Knetscheiben, die jeweils um einen Winkel von π/3 rechtsgängig zueinander versetzt sind. Die erste und die letzte Knetscheibe besitzen eine Länge von 0,09. Die mittleren Knetscheiben besitzen eine Länge von 0,18. Die Nut zwischen den Knetscheiben besitzt eine Länge von 0,02. Das
Gehäuse wird durch dünne, durchgezogene Linien links und rechts der beiden Knetelemente dargestellt.
Die Figuren 7 und 8 zeigen Profile der Gangzahl 2. In der Figur 7 wird immer ein Viertel eines Profils der Gangzahl 2 gezeigt. Diese Figur weist den analogen Aufbau wie die Figuren 4 und 5 auf, der für diese Figuren bereits im Detail beschrieben wurde. Figur 7: Die Figuren 7a und 7b zeigen 4-Kreis-Profile. Die Figuren 7a und 7b unterscheiden sich durch den Außenradius RA. In der Figur 7a beträgt der Schneckenaußenradius RA=0,58. In der Figur 7b beträgt der Außenradius RA=0,63. In den Figuren 7a und 7b besitzt der 1. Kreisbogen jeweils den Radius R_1=RA. In den Figuren 7a und 7b besitzt der 2. Kreisbogen jeweils den Radius R_2=0. In den Figuren 7a und 7b ist der Winkel α_l des 1. Kreisbogens vom Außenradius RA abhängig. In den Figuren 7a und 7b ist der Radius α_2 des 2. Kreisbogens vom Außenradius RA abhängig.
Die Figuren 8a und 8b zeigen beispielhaft, wie ein Profil in die dritte Dimension fortgeführt werden kann, um korrespondierende Körper zu erhalten. Die gezeigten Körper basieren auf dem Profil nach Figur 7a.
Die in Figur 8a gezeigten Körper können beispielsweise als so genannte Förderelemente in Schneckenextrudern eingesetzt werden. Der Gehäuseradius beträgt RG=0,58. Das Spiel zwischen den beiden Förderelementen beträgt S=0,02. Das Spiel zwischen den beiden Förderelementen und dem Gehäuse beträgt D=O3Ol. Die Steigung der Förderelemente beträgt T=I, 2. Die Länge der Förderelemente beträgt 1,2, was einer Drehung der Schneckenprofile um einen Winkel von 2π entspricht. Das Gehäuse wird durch dünne, durchgezogene Linien links und rechts der beiden Förderelemente dargestellt.
Die in Figur 8b gezeigten Körper können beispielsweise als so genannte Knetelemente in Schneckenextrudern eingesetzt werden. Der Gehäuseradius beträgt RG=O,58. Das Spiel zwischen den Knetscheiben der beiden Knetelemente beträgt S=0,02. Das Spiel zwischen den Knetscheiben der beiden Knetelemente und dem Gehäuse beträgt D=0,01. Das Knetelement besteht aus 7 Knetscheiben, die jeweils um einen Winkel von π/6 rechtsgängig zueinander versetzt sind. Die erste und die letzte Knetscheibe besitzen eine Länge von 0,09. Die mittleren Knetscheiben besitzen eine Länge von 0,18. Die Nut zwischen den Knetscheiben besitzt eine Länge von 0,02. Das Gehäuse wird durch dünne, durchgezogene Linien links und rechts der beiden Knetelemente dargestellt.

Claims

Patentansprüche
1. Verfahren zur Erzeugung von zwei Körpern Kl und K2, die sich bei gleichsinniger Rotation um zwei, in einem Abstand a parallel zueinander angeordneten Achsen stets in mindestens einem Punkt berühren, dadurch gekennzeichnet, dass das Profil des Körpers Kl aus einer
Anzahl n an Kreisbögen zusammengesetzt wird, wobei die Kreisbögen an ihren Anfangs- und Endpunkten tangential ineinander übergehen, die Kreisbögen ein konvexes Profil bilden, ein Knick in dem Profil durch einen Kreisbogen i mit einem Radius r_i=0 und einem Winkel α_i repräsentiert wird, wobei der Winkel α_i dieselbe Größe hat wie der
Winkel, in dem sich die Tangenten der zum Kreisbogen i benachbarten Kreisbögen im Mittelpunkt des Kreisbogens i schneiden.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass das Profil des Körpers K2 aus dem Profil des Körpers Kl gebildet wird, indem zu jedem Kreisbogen des Profils des Körpers Kl ein korrespondierender Kreisbogen des Körpers K2 erzeugt wird, wobei die Winkel von korrespondierenden Kreisbögen gleich groß sind, die Summe der Radien korrespondierender Kreisbögen gleich dem Achsabstand a ist, - je eine der Verbindungslinien zwischen dem Mittelpunkt eines Kreisbogens des Körpers Kl und dessen Endpunkten parallel zu je einer der Verbindungslinien zwischen dem
Mittelpunkt des korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 und dessen Endpunkten verläuft, die Richtungen, in denen die Endpunkte eines Kreisbogens des Körpers Kl vom Mittelpunkt des Kreisbogens aus liegen, jeweils entgegengesetzt sind zu den Richtungen, - in denen die Endpunkte des korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 vom
Mittelpunkt des Kreisbogens des Körpers K2 aus liegen, der Mittelpunkt eines Kreisbogens des Körpers Kl einen Abstand zum Mittelpunkt eines korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 hat, der dem Achsabstand entspricht, die Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt eines Kreisbogens des Körpers Kl und dem Mittelpunkt des korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 parallel zu der
Verbindungslinie zwischen dem Drehpunkt des Körpers Kl und dem Drehpunkt des Körpers K2 ist, die Richtung, in die der Mittelpunkt eines Kreisbogens des Körpers Kl verschoben werden müsste, um mit dem Mittelpunkt des korrespondierenden Kreisbogens des Körpers K2 zur Deckung gebracht zu werden, die gleiche ist, in die der Drehpunkt des Körpers Kl verschoben werden muss, um mit dem Drehpunkt des Körpers K2 zur Deckung gebracht zu werden.
3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass - eine Anzahl n an Kreisbögen gewählt wird, die das Profil des Körpers Kl bilden sollen, wobei n eine ganze Zahl ist, die größer oder gleich 1 ist, ein Außenradius ra gewählt wird, wobei ra einen Wert annehmen kann, der größer als 0 (ra>0) und kleiner oder gleich dem Achsabstand (ra≤a) ist, ein Innenradius ri gewählt wird, wobei ri einen Wert annehmen kann, der größer oder gleich 0 (ri>0) und kleiner oder gleich ra (ri≤ra) ist, n Kreisbögen des Körpers Kl im oder gegen den Uhrzeigersinn um die Drehachse des Körpers Kl so angeordnet werden, dass o die Größen von n-1 Kreisbögen durch die wählbaren Winkel α_l, α_2, ..., α_(n-l) und die wählbaren Radien r_l, r_2, ..., r_(n-l) festgelegt sind, wobei die Winkel im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 2π und die Radien größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich dem Achsabstand a sind, o der Winkel α_n eines letzten Kreisbogens sich dadurch ergibt, dass die Summe der n Winkel der n Kreisbögen im Bogenmaß gleich 2π ist, o der Radius r_n eines letzten Kreisbogens sich dadurch ergibt, dass dieser letzte Kreisbogen das Profil schließt, o alle Kreisbögen derart tangential ineinander übergehen, dass sich ein konvexes
Profil ergibt, o ein Kreisbogen, dessen Radius gleich 0 ist, bevorzugt wie ein Kreisbogen behandelt wird, dessen Radius gleich eps ist, wobei eps eine sehr kleine positive reelle Zahl ist, die gegen 0 strebt (eps«l, eps-^0), o jeder der Kreisbögen innerhalb oder auf den Grenzen eines Kreisrings mit dem Außenradius ra und dem Innenradius ri liegt, dessen Mittelpunkt auf dem Drehpunkt des Körpers Kl liegt, o mindestens einer der Kreisbögen den Außenradius ra berührt, o mindestens einer der Kreisbögen den Innenradius ri berührt.
4. Verfahren nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, dass sich die Kreisbögen i' des Profils des Körpers K2 aus den Kreisbögen i des Profils des Körpers Kl in der Weise ergeben, dass o die Anzahl n' an Kreisbögen gleich n ist, o i und i' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen n beziehungsweise n' durchlaufen (i'=i), o für die Winkel der Kreisbögen i' gilt: α_l ' = α_l ; α_2' = α_2; ... ; α_n' = α_n, o für die Radien der Kreisbögen i' gilt r_l ' = a - r_l ; r_2' = a - r_2; ... r_n' = a — r_n, o der Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 einen Abstand vom Mittelpunkt des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl besitzt, der gleich dem Achsabstand a ist, o der Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 einen Abstand vom Drehpunkt des Körpers K2~ besitzt, der dem Abstand des Mittelpunkts des i- ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl von dem Drehpunkt des Körpers Kl entspricht, o die Verbindungslinie zwischen dem Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 und dem Mittelpunkt des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl eine Parallele zu einer Verbindungslinie zwischen dem Drehpunkt des Körpers K2 und dem Drehpunkt des Körpers Kl ist, o ein Anfangspunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 in einer
Richtung bezogen auf den Mittelpunkt des i'-ten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 liegt, die entgegengesetzt derjenigen Richtung ist, in der ein Anfangspunkt des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl bezogen auf den Mittelpunkt des i-ten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl liegt.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass bei Verwendung eines kartesischen Koordinatensystems mit dem Drehpunkt des Profils des Körpers Kl im
Ursprung (x=0, y=0) und dem Drehpunkt des Körpers K2 im Punkt mit den Koordinaten X=A=I, y=0 und unter Verwendung dimensionsloser Größen das Profil des Körpers Kl durch die folgenden Schritte gebildet wird:
Auswahl einer Anzahl n an Kreisbögen, die das Profil des Körpers Kl bilden sollen, wobei n eine ganze Zahl ist, die größer oder gleich 1 ist,
Auswahl eines Außenradius RA, der größer 0 (RA>0) und kleiner oder gleich dem Achsabstand (RA≤l) ist,
Auswahl eines Innenradius RI, der größer oder gleich 0 (RI>0) und kleiner oder gleich RA (RI≤RA) ist,
Anordnung der Kreisbögen i des Körpers Kl im oder gegen den Uhrzeigersinn um die Drehachse des Körpers Kl, wobei i ein Index ist, der die Zahlen von 1 bis n durchläuft, so dass o die Summe der Winkel α_i aller Kreisbögen gleich 2π ist, o der Radius R i eines jeden Kreisbogens größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich 1 ist, o der Anfangs- und Mittelpunkt eines ersten Kreisbogens auf die x-Achse gelegt werden, wobei der Anfangspunkt in den Bereich x=RI bis x=RA gelegt wird und die x-Koordinate des Mittelpunkts kleiner oder gleich der x-Koordinate des
Anfangspunkts ist, o für i<n der Endpunkt des i-ten Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt des (i+l)-ten Kreisbogens ist, o für i=n der Endpunkt des i-ten Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt des ersten Kreisbogens ist, o jeder der Kreisbögen tangential in den benachbarten Kreisbogen übergeht, wobei ein Kreisbogen mit R i=O bevorzugt wie ein Kreisbogen mit R_i=eps behandelt wird, wobei eps eine sehr kleine positive reelle Zahl ist, die gegen 0 strebt (eps«l, eps->0), o das Profil an keiner Stelle einen Abstand vom Drehpunkt besitzt, der größer als der
Außenradius RA ist, o das Profil an mindestens einer Stelle einen Abstand vom Drehpunkt besitzt, der gleich dem Außenradius RA ist, o das Profil an keiner Stelle einen Abstand vom Drehpunkt besitzt, der kleiner als der Innenradius RI ist, o das Profil an mindestens einer Stelle einen Abstand vom Drehpunkt besitzt, der gleich dem Innenradius RI ist, o das Profil konvex ist.
Verfahren nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass sich das Profils des Körpers K2 sich aus dem Profil des Körpers Kl so ergibt, dass o n' = n ist, o i' ein Index ist, der alle Zahlen von 1 bis n' durchläuft, o α_i' = α_i für i=i' ist, o R i' + R i = 1 für i=i' ist, o das Profil aus n' Kreisbögen aufgebaut wird, die im selben Uhrzeigersinn angeordnet werden, wie die Kreisbögen des Profils des Körpers Kl, o der Anfangspunkt des ersten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 gleich dem
Anfangspunkt des ersten Kreisbogens des Profils des Körpers Kl ist und der
Mittelpunkt des ersten Kreisbogens des Profils des Körpers K2 auf der x-Achse liegt, wobei die x-Koordinate des Mittelpunkts größer oder gleich der x- Koordinate des Anfangspunkts ist, o für i'<n' der Endpunkt des i'-ten Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt des (i+l)'-ten Kreisbogens ist, o für i'=n' der Endpunkt des i'-ten Kreisbogens gleich dem Anfangspunkt des 1 '-ten Kreisbogens ist, o jeder der Kreisbögen tangential in den benachbarten Kreisbogen übergeht, wobei ein Kreisbogen mit R i '=0 bevorzugt wie ein Kreisbogen mit R_i'=eps behandelt wird, wobei eps eine sehr kleine positive reelle Zahl ist, die gegen 0 strebt (eps«l, eps->0), o das Profil konvex ist.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, dass das Profil des Körpers Kl so gebildet wird, dass eine Gangzahl z gewählt wird, wobei z eine ganze Zahl ist, die größer oder gleich 1 ist, die Anzahl der Kreisbögen n so gewählt wird, dass sie ein ganzes Vielfaches p von 4*z ist, - das Profil in 2*z Abschnitte eingeteilt wird, die dadurch gekennzeichnet sind, dass jeder
Abschnitt durch zwei Geraden begrenzt ist, die zueinander einen Winkel im Bogenmaß von π/z bilden und die sich im Drehpunkt des Profils schneiden, wobei diese beiden
Geraden als Abschnittsgrenzen bezeichnet werden, jeder dieser 2*z Abschnitte in einen ersten und einen zweiten Teil untergliedert wird, - der erste Teil eines Abschnitts aus p Kreisbögen gebildet wird, die in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge nummeriert sind, zu den p Kreisbögen zugehörige Winkel α_l, ..., α_p so gewählt werden, dass die Summe dieser Winkel gleich π/(2*z) ist, wobei die Winkel im Bogenmaß größer oder gleich 0 und kleiner oder gleich π/(2*z) sind, - der zweite Teil eines Abschnitts aus p' Kreisbögen gebildet wird, die in umgekehrter
Reihenfolge nummeriert sind wie die Kreisbögen des ersten Teils eines Abschnitts, wobei p' eine ganze Zahl ist, die gleich p ist, zu den p' Kreisbögen zugehörige Winkel α_p', ..., α 1 ' dadurch bestimmt sind, dass der
Winkel α_j' des j'-ten Kreisbogens des zweiten Teils eines Abschnitts gleich dem Winkel αj des j-ten Kreisbogens des ersten Teils eines Abschnitts ist, wobei j und j' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich 1 bis zur Anzahl der Kreisbögen p beziehungsweise p' durchlaufen (α_r=α_l, ..., α_p'=fα_p), die Summe des Radius r_j' des j'-ten Kreisbogens des zweiten Teils eines Abschnitts und des Radius rj des j-ten Kreisbogens des ersten Teils eines Abschnitts gleich dem Achsabstand a ist, wobei j und j ' ganze Zahlen sind, die gemeinsam alle Werte im Bereich
1 bis zur Anzahl der Kreisbögen p beziehungsweise p' durchlaufen (r_l '+r_l=a, ..., r_p'+r_p=a), ein zu dem Kreisbogen, mit dem das Profil im ersten Teil eines Abschnitts beginnt, zugehöriger Mittelpunkt und zugehöriger Anfangspunkt in Abhängigkeit von der Anordnung der Kreisbögen im oder gegen den Uhrzeigersinn auf eine der
Abschnittsgrenzen dieses Abschnitts gelegt werden, ein zu dem Kreisbogen, mit dem das Profil im ersten Teil eines Abschnitts endet, zugehöriger Endpunkt eine Gerade FP in einem Punkt tangiert, wobei die Gerade FP senkrecht auf der Winkelhalbierenden der beiden Abschnittgrenzen dieses Abschnitts steht und einen Abstand vom Drehpunkt des Profils in Richtung dieses Abschnitts besitzt, der gleich dem halben Achsabstand ist, wobei die Winkelhalbierende wie die
Abschnittsgrenzen durch den Drehpunkt des führt.
8. Verfahren nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass ein Abschnitt in einem der 2*z Abschnitte des erzeugenden Schneckenprofils vorgegeben wird und die übrigen
Schneckenprofilabschnitte durch fortlaufende Spiegelung des vorgegebenen Schneckenprofilabschnitts an den Abschnittsgrenzen erzeugt werden.
9. Verfahren nach Anspruch 8, dadurch gekennzeichnet, dass das Profil des Körpers K2 für ungerade Gangzahlen identisch zu dem Profil des Körpers Kl ist und sich für gerade
Gangzahlen durch Rotation des Profils des Körpers Kl um einen Winkel von π/z ergibt.
10. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass die Profile in Achsrichtung schraubenförmig fortgesetzt werden, wobei die derart erzeugten Körper rechts- oder linksgängig sind und die auf den Achsabstand normierte Steigung im Bereich 0,1 bis 10 liegt und die auf den Achsabstand normierte Länge der Elemente im Bereich 0, 1 bis 10 liegt.
11. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass die Profile in Achsrichtung abschnittsweise linear fortgesetzt werden und die auf den Achsabstand normierte Länge der Elemente im Bereich 0,05 bis 10 liegt.
12. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass ein Übergangselement erzeugt wird, indem die Größe und / oder Position eines oder mehrerer Kreisbögen eines ersten Profils kontinuierlich auf die Größe und / oder Position eines oder mehrerer Kreisbögen eines zweiten Profils übergeht, dadurch gekennzeichnet, dass das Übergangselement rechts- oder linksgängig ist und die auf den Achsabstand normierte
Steigung im Bereich 0,1 bis 10 liegt und die auf den Achsabstand normierte Länge des Elements im Bereich 0,1 bis 10 liegt.
13. Computerprogrammprodukt mit Programmcode-Mitteln, die auf einem computer-lesbaren Datenträger gespeichert sind, um das Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 12 durchzuführen, wenn das Computerprogrammprodukt auf einem Computer ausgeführt wird.
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