KR20190096369A

KR20190096369A - 위상 어레이 시스템들을 위한 구동 기법들

Info

Publication number: KR20190096369A
Application number: KR1020197020035A
Authority: KR
Inventors: 벤자민 존 올리버 롱
Original assignee: 울트라햅틱스 아이피 엘티디
Priority date: 2016-12-13
Filing date: 2017-12-13
Publication date: 2019-08-19
Also published as: US11955109B2; KR102600540B1; US20210225355A1; US20180166063A1; CN110651322A; WO2018109466A1; US10943578B2; EP3555880A1; JP2020502906A; IL267293A; JP2023052118A; CN110651322B; IL267293B

Abstract

위상 어레이 시스템들을 구동하기 위한 다양한 기법들이 설명되는데, 이는 구체적으로는, 공중 햅틱들, 파라미터형 오디오, 음향 부양 및 음향 이미징에 대한 응용들을 갖는 음향 위상 어레이들에 대해 의도되며, 1) 공중에서의 변화들의 영향을 완화시켜 일관된 햅틱 경험을 제공할 수 있고; 2) 공중에 트랩 포인트들을 생성하고; 3) 더 일관된 햅틱 효과들의 생성을 위해 벡터들의 관점들에서 위상 어레이 최적화를 정의하고; 4) 제어된 음향 필드를 통해 공간에 하나 이상의 제어 포인트 또는 영역을 정의하고; 5) 음향 기저 함수들의 구성을 위한 감소된 표현 방법을 사용하고; 6) 대량의 처리량을 위한 복소수 값 함수들의 효율적인 평가를 수행하고; 7) 행렬의 크릴로프 하위 공간을 생성하고; 8) 상이한 제어 포인트들 및/또는 영역들에 의해 설명되는 목적을 음향 기저 함수들을 생성하는 데 사용되는 것들로 최대화하는 시스템을 포함한다.

Description

위상 어레이 시스템들을 위한 구동 기법들

관련 출원들

본 출원은 다음의 8개의 미국 가특허 출원의 이익을 주장하며, 상기 가특허 출원들 모두는 그 전체가 인용에 의해 포함된다.

1. 2016년 12월 13일자로 출원된 일련번호 제62/433,544호.

2. 2016년 12월 20일자로 출원된 일련번호 제62/436,457호.

3. 2016년 12월 22일자로 출원된 일련번호 제62/437,791호.

4. 2016년 12월 23일자로 출원된 일련번호 제62/438,512호.

5. 2017년 12월 5일자로 출원된 일련번호 제62/594,574호.

6. 2017년 12월 5일자로 출원된 일련번호 제62/594,687호.

7. 2017년 12월 5일자로 출원된 일련번호 제62/594,836호.

8. 2017년 12월 5일자로 출원된 일련번호 제62/594,874호.

본 개시내용은 일반적으로, 공중 햅틱들, 파라미터형 오디오, 음향 부양 및 음향 이미징의 생성을 위한 설계된 음향 필드들을 주로 생성하도록 위상 어레이 시스템들을 구동하기 위한 개선된 기법에 관한 것이다.

"음향 필드"로 지칭될 소리 에너지의 연속적인 분포는 공중에서의 햅틱 피드백을 포함하는 다양한 응용들에 사용될 수 있다.

이러한 음향 필드에서, 하나 이상의 제어 포인트가 정의될 수 있다. 이러한 제어 포인트는 신호로 진폭 변조될 수 있으며, 결과적으로, 공중에서 진동촉각 피드백을 생성한다. 피드백을 생성하는 대안적인 방법은, 진폭이 변조되지 않은 제어 포인트들을 생성하고 이들을 공간적으로 주위로 이동시킴으로써, 느껴질 수 있는 시공간 변조를 생성하는 것이다.

디바이스에 의해 생성되는 제어 포인트들의 최소 크기 및 최대 전력은, 생성될 제어 포인트 또는 포인트들의 어레이 레이아웃, 기하학적 구조, 및 상대적 위치에 의존한다. 이로 인해, 한 위치에서의 제어 포인트의 거동을 다른 위치에서의 거동에 매칭시키는 것이 가능하지 않을 수 있다. 제어 포인트가 공간을 통해 동적으로 이동될 때 추가적인 복잡한 문제들이 발생할 수 있다. 사용자가 경험하는 포인트의 햅틱 함수의 결과적인 변화들은 바람직하지 않고 종종 반-직관적이어서, 경험적 몰입의 손실과 혼란을 초래한다. 따라서, 공중에서의 변화들의 영향을 완화시킬 수 있고 일관된 햅틱 경험을 제공하도록 이를 반전시킬 수 있는 시스템이 상업적으로 가치가 있을 것이다.

추가로, 일반적인 비-선형 최적화 시스템은 공중에 트랩 포인트들을 생성하는 데 사용될 수 있다는 것이 밝혀졌다. 그러나, 이러한 목적을 위해 사용되는 메커니즘은, 위상 어레이 시스템들 위로의 부양에 적절한 전위 필드를 평가하지 않는 것, 불필요하게 고가이고 시간 소모적인 최적화 프로세스를 사용하는 것, 및 위상 조작으로만 제한된다는 것을 포함하지만 이에 제한되지 않는 다수의 결점들을 갖는다.

이러한 단점들로 인해, 기존의 시스템들에 의해 생성되는 트랩들이 정확하게 스케일링될 수 있을 정도로 강하지 않아서 정확하게 스케일링되지 못하기 때문에, 이러한 문제들을 처리하는 것이 중요하다. 이는, 햅틱 시스템들에 대한 다중 모드 접근법들 및 대안적인 사용들을 증진시키기 위한 추가적인 시각정보들을 제공하기 위해 음향 부양을 활용하는 시스템들을 생성하는 것을 어렵게 만든다.

추가로, 공간 내에 하나 이상의 제어 포인트를 정의함으로써, 음향 필드가 제어될 수 있다. 각각의 포인트에는 제어 포인트에서의 원하는 진폭과 동일한 값이 배정될 수 있다. 그런 다음, 변환기들의 물리적 집합은 제어 포인트들에서의 원하는 진폭을 나타내는 음향 필드를 생성하도록 제어될 수 있다.

기존 시스템들의 요건들로 인해, 음향 위상 어레이들의 자연적인 방향성 구성요소들은 거의 주목을 받지 못했다. 예를 들면, 객체가 에너지를 작은 영역으로 포커싱하는 고주파 치료용 의료 시스템들은 에너지를 주입하기 위한 최적의 해법을 결정하는 것에 관해 스칼라 압력(참여하는 공기 분자들의 수의 변화)에 의해 충분히 근사되며, 그에 따라, 벡터 해법이 요구되지 않는다. 위상 어레이를 포커싱하기 위해, (공기 분자들의 움직임의 방향을 설명하는) 벡터 거동이 대부분의 경우들에서 무시될 수 있으므로, 이를 효율적으로 달성하는 것은 우선순위가 아니다.

그러나, 공중에서 햅틱 피드백을 생성하는 것은 인간 피부와 진동들을 교환하는 것을 수반한다. 이는, 파에 의해 전달되는 운동량 및 파면과의 접촉 표면에 완전히 의존하며, 이는 파의 벡터 거동이 관여한 결과이다. 이뿐만 아니라, 입사각이 변환기 요소들 사이에서 점점 더 상이하도록 시스템이 포커싱되므로, 운동량과 압력 사이의 가정된 선형 관계가 깨진다. 이러한 시스템에서는 벡터 성분을 무시하는 것이 가능하지 않으며, 따라서, 스칼라 압력은, 공중 햅틱 효과를 생성하기 위한 적합한 해법을 일관되게 발견하기에는 불충분하다. 이러한 이유로, 이러한 운동량 효과에 대한 인식을 디바이스에 구축하는 것이 상업적 관심이 된다.

고유벡터들의 계산은 행렬 대수에서의 몇몇 매우 특정한 순수한 2차 제약 문제들의 해에 맵핑된다는 것이 밝혀졌다. 행렬의 고유벡터가 공중 햅틱들에서의 특정 문제들을 고려하여 변환기들의 제어 계수들에 대해 해가 구해지는 행렬이 형성될 수 있는 경우, 해법은, 기존의 기법들에 비해 단순성들을 나타내는 디바이스 구현의 기저를 형성할 수 있어서, 가치가 있다.

추가로, 감소된 표현 방법을 사용하여 기저 함수들을 설명하기 위해, 먼저, 음향 필드의 세부사항들의 관점에서 유용한 함수의 간단한(낮은 엔트로피) 설명을 가능하게 하는 속기가 개발되어야 한다.

이러한 설명은 이상적으로 사용자의 관점에서 접근가능할 수 있는 어떤 것일 것이다.

그러한 접근가능한 낮은 엔트로피 표현을 발견하면, 그 표현을 그의 등가의 변환기 기저(이후 해법에서 잠재적으로 많은 기저 함수들 중 하나의 기저 함수의 변환기 음향 필드들의 기저를 설명하는 변환기 기저 집합)로 변환하는 방식이 또한 존재해야 한다. 이는, 장래의 사용자가 음향 필드 내의 다양한 상이한 구조들을 설계할 수 있게 하여, 그 구조들이, 필드에서의 에너지 흐름을 최대로 조작하는 맞춤형 시스템들을 구축할 수 있게 함으로써, 초점들, 베셀(Bessel) 빔들, 병형(bottle) 빔들, 휘어진 빔들 등과 같은 다수의 상이한 효과들을 한 번에 사용할 수 있는 시스템의 생성으로 이어진다. 이들은 제어 포인트들의 개념을 음향 필드 제어의 더 풍부한 방법을 캡슐화하는 제어 영역들로 확장할 것이다.

또한, 햅틱들에서 운동량 전달을 고려할 때 입자 속도를 파 방향에 대한 대용으로서 사용하기 위해 처리되어야만 하는 몇몇 문제들이 존재한다는 것을 알게 되었다.

추가로, 요건들의 기록문서에 요약된 것들에 따른 성능 척도들로 디바이스를 실현하는 데 필요한 대량의 처리량을 위해, 동일한 제2 피연산자와의 효율적인 병렬 복소수 값 곱셈을 수행하는 것이 필요했다. 구체적으로, 필요한 최적화 행렬의 행의 계산으로 이어지는 합산의 하나의 요소를 병렬로 계산하는 것은, 서브시스템이 충분한 횟수들로 복제된 경우에만 요건들을 충족시키기에 충분할 것이다. 따라서, 서브시스템이 유용하기 위해서는, 서브시스템은 작고 효율적이어야 한다. 효율성에 대한 이러한 절실한 필요성은 오래된 알고리즘에 대해 다른 관점을 제시하게 되었고, 이는, 간단한 곱셈 외에 복소수 초월 함수들을 평가하는 새로운 접근법을 발생시켰다.

더 넓은 기술분야에서, 이러한 결과적인 알고리즘은, 처리 하드웨어의 요소가, 절댓값이 무시될 수 없는 복소수 값 데이터와 효율적으로 또는 실시간으로 상호작용해야 하는 곳이면 어디에서든 적용가능하다. 이는, GPS, 무선, 라디오 및 위성 송신 및 수신 시스템들, 오디오 처리, 공중 햅틱들을 포함하는 위상 어레이 시스템들, 비행 시간(time-of-flight) 이미징 및 디지털 간섭계, 산란 효과들 및 편광의 계산 등을 포함하는 통신들을 포함하지만, 이들로 제한되지 않는다. 이는, 본 발명에 대한 더 넓은 범위의 기회로 해석될 수 있다.

CORDIC(Volder, J. - CORDIC computing technique - 1959)으로 또한 알려진, 볼더(Volder)의 알고리즘은, 단위 복소수 값들을 곱할 수 있지만, 기본 CORDIC 알고리즘의 계산을 넘는 추가적인 계산 없이는 계산의 제2 피연산자 내에 절댓값을 포함할 수는 없다.

이러한 이유로 저자에 의해 몇 년 전에 구현된, 1994년에 발명된 별개의 알고리즘은, 저자들 바자드(Bajard), 클라(Kla) 및 뮬러(Muller)의 이름을 따서 BKM으로 알려져 있으며, 추가로, 완전한 복소수-복소수 곱셈을 달성할 수 있다(Bajard, J., Kla, S. 및 Muller, J. - BKM: A new hardware algorithm for complex elementary functions - 1994). 그러나, 이러한 알고리즘은 수반되는 구현을 가지며, 따라서, 그렇지 않았다면 받았을 만큼 많은 주목을 받지는 못했다. 알고리즘은, 복소수 값 피연산자들을 그들의 복소수 로그로 환산하고, 이를 더한 다음, 결과를 달성하도록 지수화함으로써, 완전한 복소수-복소수 곱셈을 달성할 수 있다.

BKM을 그리고 일부 상황들에서는 새로운 알고리즘을 이용하여, 직렬 및 병렬 둘 모두로 이러한 복소수 값 곱셈 및 복소수 값 나눗셈을 또한 달성하기 위한 더 효율적인 방식이 존재한다.

BKM 알고리즘에 대한 1999년 부록은 복소수 값 로그의 과도하게 복잡한 구현을 처리하여, 구현을 다소 단순화시켰다(Bajard, J. 및 Imbert, L. - Evaluation of complex elementary functions: a new version of BKM - 1999). 1994년의 BKM 방법 및 1999년 부록은 본 문헌에서 간단히 BKM으로 지칭될 알고리즘을 형성한다.

알고리즘을 실제 하드웨어에 포함시키기 위해 최적화하려 시도하면서, 설명된 바와 같은 수학적 함수들을 평가하는 것보다 자신의 또는 더 일반적으로는 임의의 기존 시스템에 대한 통합의 용이성을 우선시하는 새로운 기법의 발상이 명백해졌다. 이러한 새로운 기법은, 이 기법이 개념 증명 코드로 개발되었을 때, 원래의 알고리즘보다 하드웨어 구현의 일반적인 채택을 더 유망하게 하는 다수의 추가적인 새로운 특성들을 갖는 것으로 나타났다. 부가적으로, 원래의 기법에서 요청된 정확한 수치들이 요구되는 경우, 알고리즘을 전체적으로 경쟁력 있게 유지하면서 이러한 결과들을 검색하기 위해 추가적인 스케일링이 적용될 수 있다. 어느 경우든, 그 결과는 최신 기술에 비해 실질적인 이점들을 갖는 기법이다.

단위 놈을 갖는 2차 문제는, 고유문제가 2차 문제와 등가인 행렬을 구성함으로써 해결될 수 있다는 것이 알려져 있다. 랭크-1보다 큰 2차 문제 행렬은 많은 랭크-1 문제 행렬들을 합산하고/거나 기존의 문제 행렬의 널 공간을 확장함으로써 생성될 수 있다. 이러한 행렬의 크릴로프(Krylov) 하위 공간을 생성함으로써, 묵시적 기저 함수들의 최적화된 부분 집합이 생성될 수 있다. 크릴로프 하위 공간을 선형 시스템에 대한 기저 집합으로서 사용함으로써, 다수의 테스트 함수들을 사용하는 기저 집합의 정확한 또는 근사된 평가가 달성될 수 있다.

얼마나 많은 고유벡터들이 사용되는지 그리고 그 고유벡터들이 어디에서 선택되는지에 따라, 각각의 후속 고유벡터들에서의 제곱수가 감소되므로, 복잡한 많은 기저 함수들의 집합의 적절한 분해가 달성될 수 있다.

추가로, 음향 필드 형상의 결과를 정의하기 위한 복소수 값 선형 시스템은, n개의 기저 함수들을 취하고 이들을 캐리어 주파수에서의 음압의 원하는 구성을 설명하는 결과적인 필드로 재결합시킨다.

이 시점까지, 제어 포인트 기저 함수는 제어 포인트들을 작동시키기 위해서만 사용되었다. 본원에서는, 상이한 집합의 제어 테스트 함수들을 초기 제어 포인트 또는 영역 기저 함수들에 적용하는 것을 일반화하는 방식이 설명된다.

이는, 음향 필드에서의 거동들의 초기 '팔레트'와 선형 시스템이 사용하는 목적 함수 사이의 관계를 깨뜨리기 때문에 중요하다. 예를 들면, 이는, 이후 제어 포인트들을 작동시키는 데 사용될 수 있는 베셀 함수들의 기저 집합을 생성하는 데 사용될 수 있다.

유사한 참조 번호들이 별개의 도면들 전반에 걸쳐 동일하거나 기능적으로 유사한 요소들을 지칭하는 첨부된 도면들은, 아래의 상세한 설명과 함께, 본 명세서에 포함되고 본 명세서의 일부를 형성하며, 청구된 발명을 포함하는 개념들의 실시예들을 추가적으로 예시하는 역할을 하고, 그러한 실시예들의 다양한 원리들 및 이점들을 설명한다.
도 1 및 도 2는 제어된 동적 범위의 새로운 파형을 생성하기 위해 비-선형 리맵핑 함수를 통해 처리될 수 있는 임의의 동적 범위의 햅틱 파형들이다.
도 3 내지 도 12는 상이한 범위의 제어 기법들이 적용된 상이한 구성들에서의 제어 포인트들로부터 발생하는 유효 진폭 변조 파형들이다.
도 13 내지 도 16은 고르코프(Gor'kov) 관련 함수들의 최적화로부터 얻어지는 음압의 투사들이다.
도 17은 동일한 소리압 레벨을 갖는 동일한 파이지만, 벡터 성분들의 효과가 최대 햅틱 효과를 발생시킬 수 있는, 그러나 또한 어떠한 햅틱 효과도 발생시키지 않는 시나리오들의 그래프이다.
도 18은 dB SPL, dB SIL 및 dB SVL로 위상 어레이에 의해 생성된 음향 필드의 측정들의 모의실험들이다.
도 19는 2차 문제들을 해결함으로써 생성되는 제어 포인트 플롯들을 도시한다.
도 20은 플랫 직선 변환기 어레이에 평행한 근접 필드 영역의 가장자리에서의 음향 필드를 통한 절단들을 도시한다.
도 21은 베셀 함수의 그래프를 도시한다.
도 22 내지 도 23은 고차 베셀 및 마티외(Mathieu) 빔들에 대한 근사들의 단면들을 도시한다.
도 24 내지 도 26은 휘어진 빔, 병형 빔, 및 병형 빔의 부분 단면을 도시한다.
도 27 내지 도 29는 증가된 파장을 갖는 빔, 사형(snaking) 빔, 및 나선형 빔을 도시한다.
도 30 내지 도 31은 원하는 파의 방향과 반대인 방향으로부터의 파들에 기여하는 변환기들을 제거하는 효과를 도시한다.
도 32 내지 도 34는 리맵핑 없이 로그 및 지수화 방법들의 수렴 영역들을 도시한다.
도 35는 로그 및 지수화 방법들의 수렴 그래프를 도시한다.
숙련된 기술자들은 도면들 내의 요소들이 단순화 및 명확화를 위해 예시된 것이고 반드시 실측으로 도시된 것은 아니라는 것을 인식할 것이다. 예컨대, 본 발명의 실시예들의 이해를 개선하는 것을 돕기 위해, 도면들의 요소들 중 일부의 치수들은 다른 요소들에 비해 과장될 수 있다.
장치 및 방법 구성요소들은 적절한 경우 도면들에서 종래의 기호들에 의해 표현되어, 본원에서의 설명의 이점을 갖는 관련 기술분야의 통상의 기술자들에게 용이하게 명백할 세부사항들로, 본 개시내용을 불명료하게 하지 않도록 본 발명의 실시예들을 이해하는 데 적절한 그 특정 세부사항들만을 도시하고 있다.

전술한 기법들, 장치들 및 방법들은 공중 햅틱 시스템들에서 조합되어 또는 별개로 사용될 수 있다.

1. 공중 햅틱 디바이스들을 위한 동적 범위 감소

I. 심리물리학적 모델링

시스템의 거동 및 햅틱 출력은 인간이 터치를 지각하는 방식으로 교정되어야 한다. 예컨대, 제어 포인트의 크기가 증가하는 경우들에서, 햅틱 지각이 또한 증가되지만, 제어 포인트에서 생성되는 물리적 진폭은 변경되지 않는다. 이를테면 오디오로부터의 교차 모드 효과들은, 그들이 상관된 경우 햅틱 피드백을 향상시키는 역할을 한다. 이는, 물리적으로 정의된 제어 포인트들 사이의 불일치들을 초래하여, 동등한 인식들을 달성하기 위해 심리물리학적 모델링 단계들의 사용을 필요로 한다.

II. 심리햅틱 모델을 사용한 리맵핑

재생 디바이스의 물리적 제한들로 인해, 정확한 파형이 특정된 바와 같이 재현가능하지 않을 수 있다. 파형은 심리햅틱적으로 정의된 지각 공간에서 구성될 수 있다. 또는, 파형은, 추가적인 메타데이터와 함께 잠재적으로 표현되는 햅틱 텍스처 또는 임의적으로 구성된 파형의 기록일 수 있는, 실질적으로 절대적인 물리적 스케일에서의 강도들 및 힘 측정들로 구성될 수 있다. 이러한 파형은 '완벽한' 공중 햅틱 디바이스가 주어진 제어 포인트의 거동을 나타낸다. 이는 이어서, 제어 포인트의 재생성의 지각적 양상들을 설명하고 정량화할 수 있는 심리물리학적 모델을 사용하여 지각적으로 평가된다. 제어 포인트는 이러한 햅틱 효과를 재생성하는 동안 이동할 수 있다. 움직임은 햅틱 효과의 지각 평가의 일부로서 포함될 수 있다. 이는 이어서, 사용자 위치, 상대적인 기하학적 구조들, 및 이용가능한 전력 제한들에 의해 제약된 공중 햅틱 시스템의 인스턴스에 이용가능한 출력의 공간으로 재해석될 수 있고, 여기서, 시스템은 실질적으로 등가의 제어 포인트를 생성하도록 구성된다.

심리햅틱 모델은, 완벽한 디바이스와 실질적으로 동일한 햅틱 응답을 발생시키기 위해, 제어 포인트의 변조된 파형이 어떻게 수정될 수 있는지를 결정하는 능력을 디바이스에 부여한다. 이러한 리맵핑을 달성하는 프로세스는 또한, 결과적인 햅틱 파형에 잡음이 있게 되는 것을 방지하거나, 지각 햅틱 공간의 관점에서는 가깝지만 잡음이 더 적은, 더 청각적으로 수용가능한 변조를 선택하기 위해, 심리음향 모델링 단계를 포함할 수 있다. 가청 잡음의 양을 증가시킴으로써 많은 파형들이 더 햅틱적으로 더 강력해질 수 있다는 것이 알려져 있다. 일부 상황들에서, 이는 부적합할 정도로 잡음이 있을 수 있는 반면, 다른 상황들에서는 이것이 바람직할 수 있다. 그런 다음, 더 조용하게 하거나 더 강하게 하도록 출력을 바이어싱하는 오디오 대 햅틱 절충 설정을 제공하기 위해, 심리음향 모델이 함께 사용될 수 있다.

III. 심리햅틱 유닛들

파형이 심리햅틱 공간에서 정의되는 경우, 이 공간에서, 진폭들은 동등하게 느껴지도록 의도되며, 공중에서의 생성된 제어 포인트들의 심리햅틱 효과를 고려하는 유닛이 설계되어야 한다. 이들 중 가장 주목할 만한 것은 손에 걸친 촉각 감각들의 통합이다. 각각의 제어 포인트에 수반되는 초점 영역은 크기 및 형상을 다시 물리적 디바이스의 특성들의 함수로서 변경하고, 이는 심리햅틱 유닛의 구성에서 상쇄되어야 한다. 그러한 심리햅틱 유닛은 초점 영역의 크기 및 형상에 따라 자신이 평가할 물리적 제어 포인트 진폭을 변경할 것이어서, 큰 영역에 걸친 터치 감각의 통합의 효과들이 상쇄된다. 이러한 방식으로, 이 접근법은 동일한 수의 심리햅틱 유닛들이 동등한 감각을 인코딩할 수 있게 하여, 디바이스들 및 물리적 인스턴스화들에 걸쳐 햅틱 등가성이 보존된다.

IV. 동적 파형 리맵핑

대상 디바이스에 대한 가장 양호한 맵핑을 달성하기 위해, 완전한 파형 및 그 파형의 궤적이 고려될 수 있다. 그러나, 상호작용성 및 그에 따른 낮은 레이턴시가 요건인 것으로 인해, 파형의 일부 또는 심지어 개별 샘플들만이 이용가능할 수 있다. 전체 파형이 대상 디바이스의 능력들로 리맵핑될 수 있지만, 이를 행하기 위해서는, 파형들이 미리 알려져야 하는 것을 요구하므로, 알려진 파형들에 대한 전처리 단계인 것으로 간주될 수 있다. 대안은, 진폭에서 각각의 파형 샘플의 물리적 특성들을 리맵핑하는 것인데, 그 이유는 진폭 샘플들을 리맵핑하는 것이 상호작용적 파형들로 실시간으로 달성될 수 있기 때문이며, 햅틱 피드백의 실시간 제공에 더 적합하게 된다.

다양한 함수들이 제어 포인트 진폭 샘플들에 대한 리맵핑을 제공하기 위한 양호한 후보들인 것으로 간주될 수 있다. 이들은, 로그-선형 곡선들뿐만 아니라 S자형 함수들을 포함하며, 이는, 다른 양태들에서, 낮은 동적 범위를 갖는 디바이스들 상에서 지각적 감각 입력을 수긍가능하게 재현할 수 있다. 이러한 곡선들은 일반적으로 맵핑 함수에서 상한들의 규격을 요구하지 않지만, 도 1 및 도 2에서 입증된 바와 같이, 유한한 양의 전력이 이용가능하다고 가정하면 동적 범위가 더 효과적으로 사용될 수 있다. 도 1은 제어된 동적 범위(120)의 새로운 파형을 생성하기 위해 비-선형 리맵핑 함수(110)를 통해 처리될 수 있는 임의의 동적 범위(100)의 햅틱 파형들을 도시한다. 이는, 임의의 동적 범위의 햅틱 파형을 취하고 그것을 더 작은 범위로 변환하는 데 사용될 수 있다. 파형은 진폭이 무한할 수 있으므로, 출력의 전체 동적 범위를 채우지 않아서, 미사용 출력 범위를 초래한다. 도 2에서, 도 1과 유사하게, 비-선형 함수(210)는 진폭 파형(200)을 대상 디바이스(220)에 이용가능한 진폭들로 리맵핑한다. 파의 규모의 인식은, 리맵핑 함수가 디바이스에 특정한 출력 범위에 정확하게 맞춤조정되는 것을 가능하게 한다. 이는, 디바이스 출력의 전체 범위가 활용될 수 있게 한다.

예시를 위해, 다음의 예들에서는, 맵핑들이 공중 햅틱 디바이스들에서의 바람직하지 않은 거동을 어떻게 방지하는지를 설명하기 위해 최소주의의 선형 리스케일링이 사용된다.

도 3에는 그래프(300)가 도시되며, 여기서, 파형을 재현가능한 지각으로 리맵핑하는 것을 달성하는 것을 위한 제1 단계는 파형 및 그의 제한들(300)을 설명하는 솔버(solver) 함수에 데이터를 공급하는 것이다. 도 3에서, 실선은

이고 점선은

이다. 이는 간단한 파형 리맵핑 함수에 대한 입력이다. 여기서 y-축은 디바이스 내부의 유닛들이다.

이는, 클리핑 없이 파형을 방출하도록 재현될 필요가 있는 최대 진폭을 정의함으로써 달성되며, 이는 각각의 샘플 시간에

인 것으로 표시된다. 이는 이어서, 입력 파형 진폭

과 함께 입력으로서 솔버에 공급된다.

입력 데이터에 임의의 변경들을 적용함이 없이 이러한 파형을 재현하려 시도한 결과를 도시하는 그래프(400)가 도 4에 도시된다. 그 결과는, 제어 포인트에서 필요한 진폭을 재생성하기 위한 이용가능한 전력의 부족으로 인해 파형이 클리핑되는 것이다. 도 4에서, 실선은, 진폭(

,

)의 결과 및 디바이스의 동적 범위에 관계없이 도 1의 사용자 특정 진폭들을 직접 출력하려 시도한 결과인

이다.

시스템에 있는 능동 변환기들의 물리적 구성을

및 위치

에서의 원하는 제어 포인트 진폭

로 정의하면, 공중 햅틱 시스템에 대한 솔버 함수의 보조 능력들이 함수 진폭(

,

)을 정의하는 데 사용될 수 있고, 이는, 주어진 디바이스가 주어진 시간에 제어 포인트에서 원하는 캐리어 진폭을 물리적으로 제공할 수 있는 경우 제어 포인트에서의 원하는 캐리어 진폭을 산출하거나, 대안적으로는, 제어 포인트 위치에서 재현될 수 있는 가장 가까운 진폭을 산출한다.

를 평가하면, 입력 진폭이 이 시점에 맵핑될 수 있는 범위의 최대치를 산출한다. 이는 정밀할 필요가 없으며, 제어 포인트가 샘플 간에 많이 이동하지 않기 때문에, 제어 포인트의 이전 반복으로부터의

의 값이 사용될 수 있다. 이러한 값은 또한 반올림 오차들 및 다른 잡음 소스들을 제거하기 위해 필터링될 수 있다. 이러한 경우에, 리맵핑 함수는 파형의 단일 샘플을 취하여 이를 간격 [0,

)으로부터 간격 [0,

) 상으로 리맵핑한다. 리맵핑 함수(500)를 거치면서

로부터

로의 직접 맵을 생성하는 그래프(500)가 도 5에 도시된다.

로부터의 진폭을

에 의해 획득된 범위 내로 값

로 리맵핑함으로써, 파형의 클리핑이 방지되며,

이다.

V. 다수의 동시적 제어 포인트들에 대한 리맵핑

한 번에 다수의 제어 포인트들에 대해 시스템을 사용하기 위해, 도 6의 2개의 사인파 경우의 예에서와 같이 파형들이 올바르게 표현될 수 있다는 보장을 솔버가 제공할 수 있도록, 범위들이 동시에 평가되어야 한다. 상이한 시점들에 상이한 진폭들

및

로 2개의 제어 포인트가 생성되는 그래프(600)가 도시된다. 하나는 변환기 어레이를 향해 이동하고, 다른 하나는 변환기 어레이에 대해 가로질러 이동한다. 이들은 상이한 주파수들의 2개의 사인파로 진폭이 발진하도록 설정된다.

디바이스의 전력 제한들을 위반하는 것이 부족전력의 클리핑된 파형들을 초래하는 단일 제어 포인트와 달리, 다수의 제어 포인트들이 디바이스의 제한들을 넘어서는 것은 포인트들 사이의 누화를 촉진하여, 그들의 햅틱 효과들에 혼란을 준다. 2개의 이동하는 제어 포인트의 예를 도시하는 그래프(700)가 도 7에 도시된다. 도 7은, 2개의 포인트 사이에 상이한 공진이 생성되고 대체되지만, 궁극적으로는 원하는 레벨에 도달하지 못하기 때문에 복잡하고 예측불가능한 거동으로 이어지는, 변환기 어레이를 사용하여 2개의 제어 포인트를 재생성하려는 시도를 도시한다.

도 8에는, 도시된 파형으로 이어지는, 이후

로 작성될 수 있는 두 포인트 모두에 존재하는 전력 제한들을 결정하기 위해 보조 솔버 평가를 사용하는 그래프(800)가 도시된다. 여기서, 하나의 제어 포인트는 더 강하게 될 잠재성으로 디바이스를 향해 이동하고, 다른 하나는 더 약해질 잠재성으로 디바이스의 면을 가로질러 멀어지게 이동한다. 도 8로부터 알 수 있는 바와 같이, 솔버 해법에 의해 생성된 동적 범위 제한으로 인해, 그 파형들은 의도된 바와 같이 그리고 누화 없이 표현될 수 있다. 따라서, 도 8은, 2개의 포인트의 진폭 포락선들이, 제어된 알려진 오차 레벨로 또는 오차 없이 충실히 재생성되도록 솔버에 의해 보장되는 레벨로 감소되는 2개의 포인트를 도시한다. 이들은, 이 구성이 이상적인 진폭 레벨들로 제곱 진폭 오차를 최소화하는 구성이기 때문에 동일한 전력이다.

VI. 다수의 동시적 제어 포인트들에 걸친 전력 재분배

진폭 범위들은 상이한 값들로 설정될 수 있고, 심지어 전력 레벨들을 관리하기 위해 시간에 걸쳐 동적으로 설정될 수 있다. 이러한 방식으로, 범위들을 조작하는 것은, 주어진 제어 포인트에 집중된 어레이 출력의 비율을 결정할 수 있다. 이는 도 9 및 도 10에서 하나의 제어 포인트로부터 다른 제어 포인트로의 전력의 간단한 조작에 대해 입증되지만, 이를테면 도 11 및 도 12에서 입증된 것과 같은 제어 포인트들 사이에서의 거동 역학관계를 가능하게 하는 더 복잡한 위상차 관계에 대해서도 입증된다.

2개의 입력 제어 포인트들에 대한 입력 파형들 및 범위들을 갖는 그래프(900)가 도 9에 도시된다. 이들은 상이한 파형 범위들을 가지며, 이들은 또한, 각각의 포인트가 디바이스로부터 이용가능한 전력을 더 많이 또는 더 적게 취할 수 있게 하는 힌트들로도 사용된다. 도 9의 입력들로부터의 결과적인 출력을 갖는 그래프(1000)가 도 10에 도시된다. 이러한 구성에서, 어레이에 의해 생성된 전력은, 제어 포인트들이 각각 어레이로부터 멀어지게 그리고 어레이를 향해 이동하는 동안, 하나의 제어 포인트로부터 다른 제어 포인트 상으로 이동된다. 이로 인해, 도 6, 도 7, 및 도 8에 대해 예상된 바와 같이, 제어 포인트들이 동일한 진폭을 가질 것으로 예상되는 경우보다 더 많은 전력이 사용될 수 있다.

하나의 제어 포인트 또는 제어 포인트 그룹이 증가되는 교번하는 함수들을 갖는 그래프(1100)가 도 11에 도시되며, 여기서, 진폭이 서서히 잦아드는 다른 것들은 범위를 사인파에 매칭시킴으로써 효과적으로 모델링될 수 있다. 이것의 결과는, 변조된 시스템의 각각의 측면의 전력 요건에 따라 각각의 파형이 재생성되는 한편, 시스템의 각각의 측면이 전체 어레이 전력에 접근할 수 있음이 보장된다. 그 결과는, 임의의 출력 클리핑에 대한 잠재성이 없는 시간 슬라이싱이다. 도 11의 입력들로부터의 결과적인 출력을 갖지만 설명된 그룹화가 없는 그래프(1200)가 도 12에 도시된다. 이는, 전력 예산이 모든 제어 포인트들 사이에 불필요하게 공유되기 때문에, 출력 동적 범위의 감소를 초래한다.

2. 음향 부양을 위한 효율적인 트랩 포인트들의 생성

I. 구형 입자들을 부양시키기 위한 최적화 목적들

입자들을 부양시키는 데 요구되는 최적화 문제는 고르코프의 에너지 전위의 사용을 중심으로 한다. 이는, 음향 필드에서의 입자의 각각의 가능한 위치의 에너지를 평가하는 스칼라 함수이다. 공간 위치들에서 최소 에너지 또는 저에너지 상태들을 발견하는 것은 잠재적으로 안정된 트랩 포인트들을 발견하는 것에 대응한다. 그러나, 음파들이 유체 내의 벌크 이동을 유도하는 음향 스트리밍과 같은, 고르코프 전위가 고려되지 않는 음향 효과들이 존재한다. 이러한 이유로, 종종 에너지 전위에서 실행가능한 최소치인 것으로 결정되는, 요동 압력의 영역에서 트랩의 발생이 없음을 보장하는 것이 또한 바람직한데, 그 이유는, 이러한 요동들이 전위의 정의에 포함되지 않은 다른 요인들로 인해 파괴적이기 때문이다.

중력 및 음향 스트리밍 효과들과 같은 외력들의 방향 및 크기가 고르코프 전위만으로부터 도출될 수 없기 때문에, 종종, 고르코프 스칼라 전위의 라플라시안을 계산하는 것이 바람직하다. 이는, 내측으로 미는 힘들의 더 안정된 배열을 생성하기 위해, 어느 축들을 다른 축들에 대해 우선순위할 것인지에 대한 추가적인 제어도를 제공한다.

II. 고르코프 전위의 평가

에너지 최소치들의 존재로 인해 구형 입자들이 부양하는 것을 가능하게 하는 에너지 필드인 고르코프의 전위 필드가 다음과 같이 설명된다(Bruus 2012):

,

,

.

여기서, c₀은 음향 매체를 통한 소리의 속력이고, c_p는 구형 입자를 통한 소리의 속력이고, ρ₀은 음향 매체의 밀도이고, ρ_p는 구면 입자의 밀도이고, 시간 평균 압력

를 수반하는 좌측 항은 전위 에너지의 표현이고, 입자 속도 벡터

를 수반하는 우측 항은 전위 에너지와 역으로 관련된다. 고르코프 전위가 능동 필드 또는 원거리 필드에서의 존재를 가정하므로, 이러한 압력 및 속도 항들은 동위상인 시간 고조파 항들로 교환될 수 있다. 이는, 시간 고조파 고르코프 전위 필드가 다음과 같이 재작성될 수 있음을 시사한다:

이를 많은 소스들로 확장시키는 것은 다음을 산출한다:

이것이 갖는 문제는, 교차 항들은 사실상 이것이 다음과 같이 된다는 것을 의미한다는 것이다:

이는, 2차적이고 변환기들의 제곱 수가 증가하는 항들을 초래한다.

III. 고유문제를 통한 전위의 최적화

시간 고조파 효과들을 무시하고 각각의 변환기에 입력되는 압력 및 입자 속도들을 고려하는 전위 정의는 다음과 같이 작성될 수 있다:

,

,

여기서, j는 원하는 트랩의 색인이고, 가외의

는 변환기들 q 및 r로부터 트랩 포인트 j로 이동할 때의 위상 및 진폭 변화들이다. 제약

를 사용하면, 변환기들이 0이 아닌 레벨로 전력을 공급받는 것을 보장하기 위해, 전위 우물(well)을 달성하기 위한 최적의 복소 변환기 활성화 계수들은 최대 고유값을 갖는 M의 고유벡터에 의해 주어진다.

이러한 x의 선택은 목적 함수

를 최대화하며, 이는,

의 정의에서의 음의 부호 때문에, 고르코프의 전위 필드에서 최소치를 산출한다. 이는,

이 고유벡터의 정의일 뿐만 아니라, 정의상, 행렬의 고유값인 λ가

인 동안 최대화될 때, 이는 존재하는 경우에는 최대치를 산출해야만 한다는 것을 고려하면,

이기 때문이다. 그런 다음, 문제의 표준 표현은 다음과 같이 된다:

다음을 최대화하고,

다음을 조건으로 하고,

,

그리고,

이다.

그러나, 문헌에서 이전에 논의된 바와 같이, 고르코프 필드의 에너지를 최소화하는 것은, 실제로 트랩 포인트가 아닌 포커스를 생성한다. 트랩 포인트를 생성하기 위해, 트랩에서의 압력 요동들이 최소화된다. 이는, 압력 요동들의 정의들이 복소수 값이고, 유의미하게 최소화될 수는 없지만 대신 0으로 가져가는 요동량을 나타내기 때문에 사소한 것이 아니다.

IV. 압력 제로들을 생성하기 위한 고유문제 내부의 널 공간 구성

제로 압력 조건들은, 음향 필드의 주어진 포인트들에서 제로 압력으로 평가되는 일련의 제약들로서 구성될 수 있다. 높은 차원 위상 공간에서 알려진 최적의 압력 포커싱 해에 평행한 해 벡터(solution vector)의 일부가 존재하는 경우, 압력은 주어진 위치에서 0이 아닌 값으로만 평가할 수 있다. 트랩 포인트 j에 대해, 벡터

가 존재하며, 이는 다음과 같다:

따라서, 트랩 포인트 j에서의 제로 압력에 대한 제약들은 제약 방정식으로서 설명될 수 있다:

이에 대한 진폭들이 무엇인지 그리고 제약들이 단위 길이일 필요가 있는지는 중요하지 않으므로, 따라서 다음과 같다:

따라서, 문제의 표준 표현은 다음과 같다:

다음을 최대화하고,

다음을 조건으로 하고,

,

그리고,

이다.

골럽(Golub)(1973)으로부터 고유시스템 결과를 취하고 복소수 값들로 바꾸어 표현하는 것은 다음의 인수를 산출한다.

m = 1을 갖는 위의 시스템이 주어지면, 시스템에 대한 특성 방정식은 다음과 같이 작성될 수 있으며:

여기서, λ 및 μ는 라그랑지(Lagrange) 승수들이다. 이는, x 벡터의 공액에 의해 차별화되어 시스템을 산출할 수 있다:

를 전체에 곱하는 것은 다음을 산출한다:

,

c가

을 산출하는 단위 길이라고 가정하면, 초기 문제 정의는

을 산출하고, 둘 모두를 치환하면 다음이 생성된다:

이를 다시 초기 도함수로 치환하는 것은 다음을 산출한다:

이는 다음과 같다:

이는 고유시스템의 표현이지만,

이 대칭적이지 않을 수 있어서, 고유벡터 계산을 어렵게 만들 수 있다. 그러나,

이 멱등원

로 나타날 수 있고, 고유값들은 순서에 의해 변하지 않으므로, 다음이 산출된다:

이를 더 많은 제약 벡터들로 확장하면, 좌측의 추가적인 곱셈에 아무런 문제가 없다:

이는 많은 곱셈들 후에 마지막으로 다음을 산출한다:

,

여기서,

는 무어-펜로즈 의사역(Moore-Penrose pseudoinverse)을 나타낸다.

요약하면, 초기 문제에 대한 해는

의 가장 큰 고유값을 갖는 고유벡터를 결정함으로써 발견될 수 있다.

에 의한 곱셈들은, 해 행렬의 널 공간에 기저 벡터를 부가하는 랭크-1 변경들을 부가하는 것으로 볼 수 있다.

마지막으로, 간단한 방식으로 고르코프 전위의 라플라시안을 계산하기 위한 지원을 부가하는 것이 유용한다. 본원에서 발견되는 고르코프 전위 해법은 트랩 포인트를 산출하지만, 힘들이 어느 방향들로부터 가해지는지에 대한 제어가 존재하지 않으며, 심지어 힘이 존재하지 않는 방향들이 존재할 수 있다. 이를 달성하기 위해, 전위 필드의 구배에서 가장 발산하는 포인트의 관점에서 최적화하고 그런 다음 그 필드의 구배들을 재조정할 필요가 있다. 그렇기에 이는, 일반적으로 말하면, 고르코프 필드의 라플라시안이다.

V. 고르코프 필드의 라플라시안을 생성하기 위한 수정들

고르코프 필드의 라플라시안을 최소화하기 위한 수정들은 반드시 M 행렬에만 적용가능하다. 각각의 변환기로부터의 파면 곡률의 효과들이 폐기되고 그들을 평면파들로서만 간주하는 경우, 공식화를 복잡하게 하는 특이성들이 제거되고 입자 속도들은 상수들이 된다. 각각의 변환기로부터의 결과적인 평면파들은 다음의 형태로 재작성될 수 있다:

행렬 요소는 이어서, 라플라시안이 없는 고르코프 경우에, 등가의 시스템으로서 표현될 수 있다:

여기서,

의 모든 상수들은

로 병합된다. 그런 다음, 이러한 공식화의 라플라시안을 취하는 것은 수정된 행렬 공식을 산출한다:

M 행렬의 대응하는 성분들 대신 이러한 값을 사용하는 것은 고르코프 전위의 라플라시안에 대해 최적화하는 관점에서 해를 산출한다. 항으로서,

은 다음과 같이 재작성될 수 있다:

그것은 또한, x, y 및 z 방향들로부터의 기여들로 분할될 수 있다:

이러한 방식으로, 제약 축들을 생성하고 각각의 방향으로부터 생성된 힘들을 바이어싱하기 위해 가중치가 적용될 수 있다.

VI. 디바이스에서의 구현

본 문헌의 시스템은 간단한 고유시스템 솔버에 기반하여 하나 이상의 부양 트랩을 계산하는 데 사용될 수 있는 디바이스를 나타낸다. 이는 잠재적으로, 항목들을 제약하고, 트랩핑하고, 전송하기 위해 음향 부양을 사용할 수 있는 실시예를 생성하기 위해 디바이스 펌웨어에서 구현될 수 있다.

이는 도 13 내지 도 16에 예시되어 있다.

도 13은 동일한 방향 가중치를 갖는 고르코프의 라플라시안을 도시한다. 좌측(1310)은 변환기 어레이에 평행한 x-y 평면이다. 우측(1320)은 플랫 변환기 어레이에 수직이고 그를 통해 슬라이싱되는 x-z 평면이다.

도 14는 z-방향으로 과중하게 가중된 고르코프의 라플라시안을 도시한다. 좌측(1410)은 변환기 어레이에 평행한 x-y 평면이다. 우측(1420)은 플랫 변환기 어레이에 수직이고 그를 통해 슬라이싱되는 x-z 평면이다.

도 15는 제로 압력 조건에 따른 고르코프 최대화를 도시한다. 좌측(1510)은 변환기 어레이에 평행한 x-y 평면이며, 이는, 균일한 강도의 링 주위의 불균일한 음영에 의해 도시된 바와 같은 나선형 트랩을 설명한다. 우측(1520)은 아래에 있는 플랫 변환기 어레이에 수직이고 그를 통해 슬라이싱되는 x-z 평면이다.

도 16에서, 추가적인 고유 모드들(1610, 1620, 1630)은 코어 문제를 또한 해결하는 트랩 해법들에 대응한다. 이들은 목적 함수를 최대화하지 않기 때문에 덜 효과적이다. 이는, 목적 함수의 값인 수정된 고르코프 전위가 지배적 고유벡터에 직교하는 이들 모드들에 대해 더 적기 때문이다. 달성되는 목적 함수의 값은 각각의 고유벡터와 연관된 고유값들에 반영된다. 더 작은 고유값들과 연관된 고유벡터들은 이러한 대안적인 덜 효과적인 해법들을 나타낸다.

3. 공중 햅틱들에 적용되는, 벡터 효과들을 갖는 위상 어레이 디바이스 포커싱

I. 능동 음향 강도

능동 음향 강도

는 음향 매체의 압력 p 및 입자 속도 벡터 u를 사용하여 정의될 수 있다. 음파에 대해, 이는 다음과 같이 설명될 수 있다:

,

여기서, 능동 강도는 순수한 실수 벡터량이다. 파원의 근접 필드에서, 반응성 필드는 대신에

에 우세하다. 그러나, 원거리 필드에서는, 하나 또는 2개의 파장들을 넘어서므로,

이 된다. 이러한 이유로,

는 단지 실수로 보장된 것으로 고려되고 가정될 것이다.

단색 평면파 소스를 고려하면, 여기서,

,

이고,

이 결과는,

이다.

여기서,

는 압력 진폭이고,

는 각각의 방향에서의 입자 속도 진폭이다.

주어진 축을 따라 파에 의해 송신된 소리 강도 및 그에 따른 에너지 플럭스가 관심대상이어서, 스칼라 기여를 측정하기 위한 내적은 다음과 같다:

다음과 같은 음파 방정식들:

,

,

의 형태로 인해, 중첩 원리는 압력 및 입자 속도 벡터들 둘 모두를 위해 유지되어야만 한다. n개의 음향 소스를 가정하고, 관심 포인트에서의 평면파로서 각각을 근사하면, 다음 방정식이 산출된다:

효율성을 위해, 선형 시스템을 사용하여 적절한 변수의 해를 구하는 것이 바람직하다. 이는, 그것이 2개의 독립 변수로 구성되어 있기 때문에, 주어진 방향에서의 음향 강도에 대해 해를 구할 수 없다는 것을 의미한다. 기존의 기법들은, 복소수 값의 스칼라 압력들

의 해를 구하고, 그런 다음, 개별 파들 각각의 방향이 문제가 되지 않거나 대략적으로 평행하다고 가정한다. 대신, 입자 속도 벡터

의 해를 구하는데, 그 이유는, 이것이 운동량(및 운동 에너지)에 직접적인 영향을 주기 때문이며, 이는 공중에서의 햅틱 피드백의 적용에 있어 중요하다.

이는, 파들의 방향성과 그들의 결과적인 에너지 전달을 고려하는 해법들을 생성하기 위해, 2개의 잠재적인 기법들이 현재 해법 메커니즘들을 복소수 값 입자 속도 벡터

을 활용하도록 확장될 수 있게 한다.

II. 복소수 값 압력을 위한 해법 방법

복소수 값 압력에 대한 해법 방법은 압력에 대한 음향 모델을 사용하는 것을 수반한다. 제어 포인트 위치와 함께 변환기 위치가 주어지면, 이러한 모델은 질의를 받을 수 있고, 결과적인 위상자는 결정된 필드에서의 포인트에 있다. 이것은 복소수 압력

이고, 여기서, j는 음향 필드 내의 샘플 포인트의 색인에 대응하고, q는 작동된 변환기의 색인 번호에 대응한다. 이는, 과소결정된 선형 시스템의 생성을 가능하게 한다:

여기서, b는 위치 1, ..., j, ..., m에서의 공중의 의도된 위상자들이고, x는 변환기들 1, ..., q, ..., n으로부터의 변환기 활성화 계수들이고, 초기 위상 및 진폭은 b에 의해 특정되는 공중에서의 거동을 생성하는 데 요구된다.

그러나, b가 복소수 값이고 위상 및 진폭 규격 둘 모두를 포함하기 때문에, 위상 오프셋은 자유롭게 수정될 수 있다. 이는 진폭들의 가장 큰 가능한 부분 공간을 개방하는 위상 값을 발견하기 위해 활용될 수 있다. 이는 시스템의 주요 고유벡터 y를 발견함으로써 달성되며,

은 다음과 같다:

여기서, A는 음향 필드 내의 각각의 포인트에서 요구되는 진폭들을 나타내고, k는, 음향 필드 내의 각각의 제어 포인트 1, ..., j, ..., m에 대해 내적을 행렬의 각각의 대각선에서 1로 소거하는, 적용된 열별 정규화를 나타낸다. 초기 진폭들 A와 곱해질 때 이러한 행렬의 고유벡터 y의 정규화된 성분들은 그 후, 필드에서의 압력의 포인트들 각각 사이에서 보강을 촉진하는 위상자 벡터 b에 대응할 것이다.

과소결정된 문제들의 최소 놈 해법들은 다음과 같은 형태를 사용하여 해가 구해질 수 있다:

이러한 해법에서 중요한 것은 행렬

의 역이고, 이는 콜레스키(Cholesky) 분해를 통해 시스템의 해를 구하는 제1 단계이고, 다음과 같이 작성된다:

이는 고유시스템 행렬 L을 도출하는 데 또한 도움이 될 수 있음을 의미한다. 그러나, 다음의 형태로 또한 시스템과 함께 동작되어,

,

매우 작은 선형 시스템 및 후속하는 해법 크기가 산출되며, 이는 임의의 기법(QR 분해, 콜레스키 인수 분해 등)으로 해가 구해지고, 방출될 때까지 이러한 아주 작은 상태로 유지될 수 있다. 이러한 C 행렬 또는 이러한

벡터 중 어느 것도 다음을 계산할 때까지 변환기들에서 색인을 갖고 있지 않다:

변환기들이 다수일 수 있기 때문에, 종종, 각각의 변환기로부터 방출되는 파를 곱하는

변환기 활성화들로 다시 변환하기 위해 가능한 마지막 순간에

를 전체에 곱하는 것이 가치가 있다.

III. 하나 이상의 이방성 제어 포인트에 대한 해 구하기

위상 어레이 솔버 내에 운동량 요건을 통합하는 하나의 방식은, 음향 필드의 제어 포인트들을, 그 제어 포인트들 각각이 그들과 함께 특정된 법선 벡터 또는 방향을 갖도록 생성하는 것이다. 각각의 제어 포인트에 법선 벡터를 제공하는 것은 사실상, 각각의 제어 포인트에서의 압력의 해를 구하기보다는, 관심 포인트에서의 x, y, 및 z 입자 속도들의 해 및 그에 따른 파 운동량의 구성요소들의 해를 구하는 것을 의미한다. 이를 달성하기 위해, 이전에 정의된 압력에 대한 하나의 성분 대신 각각의 입자 속도에 대한 3개의 성분을 포함시키기 위해 앞의 선형 시스템 방정식을 확장한다. 이후

,

, 및

로 특정되는 이러한 3개의 성분은 다음과 같이 정의된다:

,

각각의 경우에서,

는 제어 포인트 j에서 변환기 q로부터의 파 전파의 방향을 나타내는 벡터이고,

는 제어 포인트 j의 법선 벡터 방향이고, 그 제어 포인트의 위치에 걸쳐 운동량이 측정된다. 그 때, 해를 구할 코어 선형 시스템은 다음과 같이 된다:

이는, 각각의 제어 포인트에 대한 음향 매체의 입자들에 대한 속도의 3개의 성분을 특정한다. 그러나, 요구되는 노력의 양을 감소시키기 위한 C 행렬의 규격인 시스템의 해법에 대해 감소된 표현 접근법을 사용할 때, 이러한 행렬의 엔트리들의 수가 9배 만큼 증가하여, 문제를 현저하게 더 계산 집중적이게 만든다. 이전의 행렬 C의 각각의 요소에 대해,

은,

다음과 같이 부분 행렬이 된다:

.

이는, 고유시스템 행렬 L에서 기존 접근법을 사용할 때 양호하게 거동이 유지되며, 이는, 사용자 입력 진폭들이

,

, 및

또는

가 되더라도 여전히 동일한 접근법을 사용하여 구성될 수 있다. 고유시스템 행렬의 교차 항들은, 추가적인 제어 포인트에 대한, 다른 축 상에 파를 부가하는 영향을 고려할 때, 하나의 제어 포인트의 위치에서 하나의 축에 대한 측정을 수행하는 것으로 볼 수 있다.

벡터는 이제 3배나 많은 요소들을 포함하지만,

에 의한 곱셈은 디바이스 위의 공중에서 원하는 운동량 벡터들을 재생하는 데 요구되는 변환기 활성화 계수들로 시스템을 되돌릴 수 있다.

이러한 해법은 공중 햅틱 피드백의 적용에 있어 특히 흥미로운데, 그 이유는, 상이한 각도들로부터 손에 접근하는 파들을 생성할 가능성을 열어주기 때문이다. 이는 음파들이 경계 상의 피부에 전단파들을 유도하는 것을 가능하게 할 수 있으며, 이는, 가외의 요구되는 계산을 대가로 공중 햅틱 기법들을 사용하여 생성될 수 있는 완전히 새로운 집합의 감각들을 개방한다.

IV. 음향 매체에서 하나 이상의 제어 포인트에서의 입자 속력에 대한 해 구하기

압력 값들을 목표로 하는 솔버로부터 운동량을 목표로 할 수 있는 솔버로의 변환을 달성하는 다른 기법은, (원래의 압력 접근법과 유사하게) 단색 고조파 시간으로 인해 또한 복소수 값인 음향 입자 속력으로 전체적으로 작동하는 선형 시스템 솔버를 생성하는 것이다. 추가로, 그것은 스칼라이다. 이는, 제어 포인트에서 가장 큰 입자 속도의 방향을 그리고 그에 따라 결과적인 파 방향

를 계산하고, 그런 다음, 각각의 행렬 엔트리를 단일 복소수 값 스칼라로 만들도록 전체에 곱셈을 행함으로써 달성될 수 있다. 내적이 x, y, 및 z에 걸쳐 동일하게 스케일링 계수에 따라 모든 샘플링 방향들에 영향을 미치기 때문에, 이는 초기 행렬 구성에 대한 사후 프로세스로서 적용될 수 있다. 그러나, 결과적인 파의 방향은 솔버가 기능할 수 있기 전에 알려져야 하고 따라서 솔버에 의해 영향을 받을 수 없다. 공중 햅틱 디바이스들의 구성에 적용될 때, 이러한 접근법은, 공중이지만 비교적 가까운 범위의 피드백이 가장 양호하고 현재 해법 메커니즘들에 대한 확장인 소형 디바이스들에 가장 적합할 것이다.

이를 달성하기 위해, 각각의 변환기에 대한 음향 모델이 음향 매체에서 입자 속력을 결정하기 위한 문제로서 재구성된다. 따라서, 알파 벡터는, 주어진 제어 포인트의 해를 구하는 것을 필요로 하는 시스템이

의 형태를 가지므로, 가장 큰 움직임의 방향을 따라 측정된 복소수 값 입자 속력

를 산출하도록 재정의된다. 그러나, 불운하게도,

는 선험적으로 알려질 수 없으며, 다음의 선형 시스템 행렬을 구성할 것이 요구된다:

따라서, 음향 모델은 다음의 값들을 생성하도록 수정될 수 있다:

여기서,

이다.

이러한 값들은 이후 다음과 같이 C 행렬의 내적들을 구성하는 데 사용되어야 한다:

그러나, 이를 달성하는 2개의 잠재적인 경로가 존재한다. 요구되는 내적은 다음에 의해 정의된다:

이는 다음과 같이 작성될 수 있다:

여기서

는 다이애드 곱(dyadic product)이다. 이는, 이후에 법선 벡터들을 계산하기 위해 행렬 요소당 9개(대각선들마다 3개씩)의 별개의 합산들이 유지될 것을 요구한다. 이는, 이방성 제어 포인트 접근법의 초기 행렬 구성과 많은 유사성들을 갖는 C에 대한 초기 행렬 구성을 초래하므로, 두 기술들 모두를 지원하는 공통 구현 기반구조를 허용할 수 있다는 점에서 유익하다. 그러나, 많은 구현들에서, 2스테이지 모델링 시스템을 대신 갖는 대안이 이러한 9개의 별개의 합산 변수들을 보유하는 것보다 더 바람직할 수 있다. 이러한 시스템에서, 제1 스테이지는 속도 진폭 및 파 방향만을 계산하는 단순화된 모델을 실행하여, 제어 포인트 합산들

,

및

당 3개의 속도 방향들을 산출한다. 이는 위상 계산으로부터 분리되기 때문에, 단순화된 모델일 수 있다. 이러한 합산들은 각각 최종적인 가장 강한 진폭의 성분을 제공하고, 따라서 제2 스테이지에서 합산들을 수행할 방향을 계산하는 데 사용될 수 있다.

요약하면, 다음과 같다:

여기서, 제2 스테이지에서, 모델은, 프로세스의 다른 스테이지들을 시작하기 전에 변환기 내부에서 다음을 계산할 수 있다:

나머지 스테이지들은, 속도들이 작용하는 방향이 상이하다는 것을 제외하고는, 이전과 거의 동일한 방식으로 진행된다.

이러한 접근법은, 공중 햅틱 피드백의 적용이 압력보다는 손에 대한 운동량 전달을 더 직접적으로 처리할 수 있게 한다. 이는, 감각들의 반복성 및 그에 따른 지각 거동의 측정에 있어서의 개선들을 초래하며, 이는, 상업화된 기술로서의 공중 햅틱들의 확장에 있어 중요하다.

V. 첨부된 도면들

도 17은 동일한 소리압 레벨(SPL)을 갖는 동일한 파가 입사각에 따라 표면에서 상이한 효과들을 산출하는 것을 도시한다. 좌측(1710) 상에서, 표면(우측)에 평행하게 이동하는 파(좌측)가 어떤 에너지 E로 충돌하고, 반사되고, 운동량 교환의 결과로서 약간 더 적은 에너지로 떠난다. 우측(1720) 상에서, 동일한 표면에 수직으로 이동하는 파가 에너지를 반사 및 교환하지 않으며, 따라서 동일한 양의 에너지로 떠난다. 결과적으로, 햅틱 효과가 부여되는 것이 불가능하다.

도 18에서, 상단 2개의 행들(1810, 1820)에는, 비행 시간 접근법에 의해 생성된 2개의 상이한 포커스들의 dB SPL, dB SIL 및 dB SVL 각각으로 위상 어레이에 의해 생성된 음향 필드의 측정들의 모의실험들이 도시되며, 여기서, 밝은 회색은 +10 dB이고, 흰색은 0 dB이고, 어두운 회색은 -10 dB이다. 동일한 컬러 방식을 갖는 (dB SPL - dB SIL), (dB SPL - dB SVL) 및 (dB SIL - dB SVL) 각각으로의 하단 행(1830)은 각각의 측정 방법 간의 차이를 보여준다. SVL 필드 측정 모의실험은, 그 모의실험이 매체의 입자들의 속도에 기반하기 때문에, 부가적인 벡터 성분 소거로 인해 파들이 추가로 소거될 수 있게 할 수 있다. 결과적으로, dB SVL은 항상 dB SIL보다 작고, dB SIL은 dB SPL보다 작지만, 이들은 자신 개개의 성분들의 곱셈 및 SIL 측정의 유효 기하 평균으로 인해 로그 dB 공간에서 유사한 거리들로 떨어져 있다.

4. 공중 햅틱 시스템들에서의 2차 문제들을 위한 고유시스템 해법들

I. 2차 최적화를 위한 레일리-리츠(Rayleigh-Ritz) 정리

행렬 M이 정사각형의 양의 준-한정 에르미트(Hermitian) d × d 행렬인 것으로 가정한다. 행렬이 정사각형이고 에르미트이므로, 각각의 고유값은 실수여야 한다. 행렬이 양의 준-한정이므로, 이러한 고유값들은

으로서 양이어야 한다.

그 때, 고유값들은 다음과 같이 조직화될 수 있다:

그런 다음, 행렬의

및

는 최적화 문제들에 대한 해법들로 나타낼 수 있다:

및

이는 레일리-리츠 정리이다. 결과적으로, 이들 각각으로부터의 x 벡터가, 발견된 고유값에 대한 대응하는 고유벡터로서 발견될 수 있다.

II. 위상 어레이 시스템들에 대한 2차 최적화

위상 어레이 시스템들을 고려할 때,

를 다음과 같이 정의하는 것이 유용하다:

n은 단색 음원들의 수이고, 따라서, 이러한 벡터 해법은 소스 변환기들의 어레이를 구동하는 데 사용될 수 있다. 그런 다음, x가 단위 놈(

) 고유벡터일 때 다음과 같이 이루어지도록, 행렬 M을 n × n 에르미트 행렬로서 정의한다.

이는 이후 최적화의 형태를 나타낸다. 행렬 M을 요구되는 특정한 순수 2차 목적 함수(행렬 M이 대칭 또는 에르미트일 것으로 요구되기 때문임)로 채우는 것만이 남는다.

에르미트 행렬들 M을 생성하고, 그에 따라서, 기존의 고유벡터 솔버들을 사용하여 최대화되어, 공중 초음파 햅틱들을 구동하는 데 사용될 수 있는 해가 구해진 필드를 획득할 수 있는, 목적 함수에 대한 5개의 잠재적으로 유용한 순수하게 2차인 형태들이 존재한다.

1. 최대 압력 최적화(총 SPL): a. 압력의 제곱에 비례하는

를 최대화하며; b. 이는 위상 어레이 시스템들을 구동하기 위해 일반적으로 사용되는 목적 함수이다.

2. 최대 입자 속도 최적화(총 SVL): a. 입자 속도의 제곱에 비례하는

를 최대화하며; b. 이는 파들의 방향성을 고려하는데, 그 이유는, 일관된 햅틱 지각을 획득하기 위해 이것이 필요하기 때문이다.

3. 주어진 방향(사용가능한 SVL)만을 따른 최대 입자 속도 최적화: a. 주어진 방향을 따라 입자 속도의 제곱에 비례하는

을 최대화하며; b. 이는 파의 방향성 및 (피부) 표면

과 수직인 충격 둘 모두를 고려한다.

4. 최대 음향 강도(에너지 플럭스 밀도) 최적화(총 SIL): a. 음향 강도에 비례하는

5. 주어진 방향(사용가능한 SIL)을 따른 최대 음향 강도(에너지 플럭스 밀도) 최적화: a. 주어진 방향을 따라 음향 강도에 비례하는

를 최대화하며; b. 이는 파의 방향성 및 (피부) 표면

과 수직인 충격 둘 모두를 고려한다.

III. 압력을 최대화하기 위한 최적화

각각의 제어 포인트에서 압력을 최대화할 수 있는 2차 형태 최적화기는 각각의 제어 포인트 j에서 다음과 같이 양을 모델링하는 것일 것이다:

이는 목적 함수의 합산을 산출하며,

이는, 지배적 고유벡터가 다음에 대해 해가 구해질 n × n 행렬의 각각의 요소를 만든다:

여기서,

는 초기 방출로부터 제어 포인트 j에서 변환기 q로부터 이동하는 파에 대한 파압의 양의 실수 진폭이고,

는 그러한 파에 대한 복소수 위상 오프셋이다. 가중치

는 제어 포인트들 간의 상대적인 진폭 제어를 제공하기 위해 2차

항을 재가중하는 데 사용된다. 전역적 진폭 스케일링은 입력 전력의 단위 놈 조건

에 의해 제공된다. 이는, 2차 재가중 계수 및 제어 루프와 결합되어 개별 압력 진폭들을 정밀하게 처리하는 데 사용될 수 있다.

IV. 입자 속도를 최대화하기 위한 최적화

입자 속도를 최대화할 수 있는 2차 형태 최적화기는 다음과 같이 양을 모델링하는 것일 것이다:

이는 각각의 제어 포인트 j에 대해 이루어진다. 이는 다음과 같이 목적 함수의 합산을 산출할 것이다:

여기서,

는 초기 방출로부터 제어 포인트 j에서 변환기 q로부터 이동하는 파에 대한 유도된 입자 속도 진폭의 x 방향 부분(실수이고 양임)이고,

는 그러한 파에 대한 복소수 위상 오프셋이다. 가중치

는 제어 포인트들 간의 상대적인 입자 속도 진폭 제어를 제공하기 위해 2차

에 의해 제공된다. 이는, 2차 재가중 계수 및 제어 루프와 결합되어 개별 속도 진폭들을 정밀하게 처리하는 데 사용될 수 있다.

V. 주어진 방향들의 집합에서 입자 속도를 최대화하기 위한 최적화

주어진 방향들의 집합에서 입자 속도를 최대화할 수 있는 2차 형태 최적화기는 다음과 같이 양을 모델링하는 것일 것이다:

여기서,

는 그러한 파에 대한 복소수 위상 오프셋이다. 가중치

에 의해 제공된다. 이는, 2차 재가중 계수 및 제어 루프와 결합되어 개별 진폭들을 정밀하게 처리하는 데 사용될 수 있다.

VI. 능동 음향 강도

능동 음향 강도

이 된다. 이러한 이유로, 단지

는 실수로 보장된 것으로 고려되고 가정된다. 단색 평면파 소스를 고려하면, 여기서,

이고,

다음이 이루어진다:

여기서,

는 압력 진폭이고,

는 각각의 방향에서의 입자 속도 진폭이다.

주어진 축을 따라 파에 의해 송신된 소리 강도 및 그에 따른 에너지 플럭스가 또한 관심대상이어서, 스칼라 기여를 측정하기 위한 내적은 다음과 같이 형성된다:

다음과 같은 음파 방정식들:

의 형태로 인해, 중첩 원리는 압력 및 입자 속도 벡터들 둘 모두를 위해 유지되어야만 한다. n개의 음향 소스를 가정하고, 관심 포인트에서의 평면파로서 각각을 근사하면, 다음 방정식들이 산출된다:

문제의 체제에서

이고 p 및

이 동위상이라는 것이 알려져 있으며, 그 때, 공액의 배치는 중요하지 않은 것으로 알려져 있고, 입자 속도 대신 압력을 공액화하기 위해 공액들의 순서를 반전시키는 것이 가능하다(이는, 위의 방정식들을 확장하고 각각의 항의 복소수 지수들의 순서를 반전시키기 위해 교환법칙을 사용함으로써 검증될 수 있음). 추론을 통해, 이는 에르미트 행렬 M을 생성하는 방식으로 작성될 수 있다:

,

.

VII. 음향 강도를 최대화하기 위한 최적화

스칼라 값을 생성하는 제1 양은 다음과 같다:

그러나, 그 때, 원거리 필드에 있다고 가정하면, 이는 또한 다음과 같이 작성될 수 있다:

이는 압력 합산의 네제곱수이지만, 복소수 지수들의 구조로 인해 이들 중 2개가 동일하고 따라서 제곱근을 통해 제거될 수 있다.

따라서, 음향 강도를 최대화할 수 있는 2차 형태 최적화기는 다음과 같이 양을 모델링하는 것일 것이다:

여기서,

는 초기 방출로부터 제어 포인트 j에서 변환기 q로부터 이동하는 파에 대한 파면 법선 벡터의 x 방향 부분이고,

는 그러한 파에 대한 파압의 양의 실수 진폭이고,

는 그러한 파에 대한 복소수 위상 오프셋이다. 가중치

는, 제어 포인트들 간의 상대적인 입자 속도 진폭 제어를 제공하기 위해, 압력의 네제곱수를 수반하는 함수의 제곱근으로 실제로 남아있는 2차 항

를 재가중하는 데 사용된다. 전역적 진폭 스케일링은 입력 전력의 단위 놈 조건

VIII. 주어진 방향들의 집합에서 음향 강도를 최대화하기 위한 최적화

주어진 방향을 따라 음향 강도를 최대화할 수 있는 2차 형태 최적화기는 양을 모델링하는 것일 것이다:

여기서,

는 그러한 파에 대한 파압의 양의 실수 진폭이고,

는 그러한 파에 대한 복소수 위상 오프셋이다. 가중치

IX. 가중 계수들의 발견

레일리-리츠 정리는, 지배적 고유벡터를 발견하고 전력이 변환기들의 물리적 제한들까지 증가될 수 있게 함으로써 위의 행렬들 중 임의의 행렬이 최대화될 수 있다는 것을 보여준다. 이는 제곱 반복(power iteration)을 통해 달성될 수 있다. 제어 포인트들의 합 각각을 개별적으로 정의하면서 행렬 M을 구성함으로써, 벡터 x를 전체에 곱할 때, 부가적인 부작용으로서 목적 함수의 평가가 수행될 수 있다. 이는, 가중치들

에 대한 적절한 값들을, 그 값들이 스케일링될 때 시스템의 해에 적절한 진폭들을 최대화가 발견할 수 있게 하도록, 발견하는 데 사용될 수 있다.

제곱 반복으로서, 다음이 설명된다:

여기서, 다음과 같다:

각각의 제어 포인트에서 목적 함수를 결정하기 위해 제곱 반복이 사용될 수 있다.

다음을 정의하며:

그리고

이다.

각각의 반복에 대해, 대신 다음이 계산될 수 있다:

따라서, 각각의 제어 포인트에서의 목적 함수가 다음과 같이 평가될 수 있다:

마지막으로, 이전과 같이

가 계산될 수 있다:

여기서, 최종 고유벡터 해는 위와 같다. 그러나, 이러한 방식으로 그것을 계산하는 것은,

이 제어 포인트 j에 대한 중간 결과를 산출할 수 있게 한다. 이것이 원하는 제어 포인트 출력을 나타내는 레벨을 고정하기 위해서, 값들의 집합

이 사용자에 의해 주어진 목적 값들과 직접 비교될 수 있게 하기 위해, 평균 목적 함수 값이 취해진다. 이러한 경우에, 가중 계수들은, 예컨대, 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘과 같은 고가의 함수들의 최적화를 위해 의도된 임의의 미분 없는 방법을 사용하여 다음 반복에 대해 업데이트될 수 있다.

제곱 방법 및 결합된 미분 없는 최적화의 몇번의 반복들 후에, 중간 결과

는 변환기들을 구동하는 데 사용되어야 한다. 따라서, 이는, 일부 오차를 허용하면서 시스템이 시간에 걸쳐 목적 함수들의 원하는 값들을 추적할 수 있게 할 것이다. 이러한 시스템의 이점은 변환기 어레이를 구동하는 매우 간단한 방식이라는 것이다. 가장 큰 단점은 많은 계산들이 요구된다는 것이지만, 계산들은 사실상, 하드웨어가 간단히 구현되기에 충분하도록 복소수 곱셈들만으로 이루어진다.

X. 첨부된 도면

도 19에서는, 상단 좌측(1910)에서: x-y 평면을 통한 절단으로서 도시된, 비-직교 벡터로 2차 입자 속도 문제의 해를 구함으로써 생성된 제어 포인트가 도시된다. 상단 우측(1920)에서: x-z 평면을 통한 절단으로서 표시된 동일한 제어 포인트가 도시된다. 하단 좌측(1930)에서: 비교를 위해, x-y 평면을 통한 절단으로서 도시된, 2차 압력 문제의 해를 구함으로써 생성된 제어 포인트가 도시된다. 하단 우측(1940)에서: x-z 평면에 걸친 압력 문제에 대한 해법을 통한 절단이 도시된다.

5. 2차 문제들을 통해 특정된 위상 어레이들에 대한 제어 영역들

본 개시내용은 사용자 공급 설계 파라미터들을 사용하여 기저 함수들을 자동적으로 생성하는 방법을 설명한다. 이들은, 온라인 방식으로 주어진 변환기 기저 집합의 공간에서 2차 함수에 대한 효율적인 최적화에 입력된다. 이는, 다양한 상이한 효과들을 생성할 수 있는 온라인 최적화를 통해 접근가능한 설계 공간을 사용자에게 제공한다. 2차 문제에 대한 제어 영역인 경우에 '2차 제어 영역'으로 지칭되는 선형 연산자를 사용하여, 행렬은 변환기 효과들에 걸쳐 다이애드 곱을 평가함으로써 구성될 수 있다. 이러한 행렬의 지배적 고유벡터는 이러한 행렬의 고유벡터들과 동일한 직교 해들의 집합으로부터 가장 양호한 해로서 선택될 수 있다. 최적화는 변환기 활성화 계수들을 출력으로서 생성하며, 이는, 원하는 특성들로 음향 필드 또는 현상을 재생성하기 위해 개별 변환기 요소들을 구동하는 데 필요한 원시 복소수 값들이다.

그런 다음, 이러한 원시 복소수 값들이 사용되어, 각각에 이용가능한 출력 전력을 재가중하는 동시에 원하는 모든 효과들을 사용자가 생성하는 것을 가능하게 하는 해법들을 갖는 이후의 선형 시스템의 기저 함수들을 더 포함할 수 있다.

I. 선형 제어 영역

다음과 같이 복소수 값 가중 함수 w(x,y,z)를 이용하여 압력과 같은 선형 음향 양으로 적분을 수행하는 연산자로서 정의되는 선형 제어 영역이 사용되어 음향 필드를 평가할 수 있다:

복소수 공액은 w(x,y,z)가 음향 양에서 유사한 위상 분포들과 쌍을 이룰 때 함수 평가를 최대화하는 데 사용된다는 것을 유의해야 한다. 이러한 적분에 대한 임의의 근사(이를테면, 샘플링)가 사용될 수 있거나 실제로 이는 음압의 필드에 걸쳐 임의의 선형 연산자를 근사하는 데 사용될 수 있다. 벡터 입자 속도를 사용하여 제어 영역을 최적화하기 위해, 이 또한 선형이라는 것을 고려하여, 추가적인 적분이 구성될 수 있으며, 여기서,

이고,

u는 매체의 입자 속도이고, w는 각각의 차원이 복소수 값인 3차원 벡터 필드이고, 이는 위와 동일한 목적을 갖는 가중 함수의 역할을 한다. 이러한 방식으로, 음향 양들의 상이한 패턴들이 선형 방식으로 평가될 수 있어서, w에서 스칼라 또는 벡터 함수에 의해 생성된 '템플릿'과 위상들이 정렬될 때 결과의 특정 위상이 최대화된다.

또한, w(x,y,z)는 다수의 외관상 분리된 영역들의 단일 평가를 생성하기 위해 대체로 0(또는 영벡터들로 구성됨)일 수 있다는 것을 유의해야 한다. 임의의 적분 근사(이를테면, 샘플링)가 사용될 수 있는데, 그 이유는, 이러한 공식화가 선형 음향 양의 필드에 걸쳐 임의의 선형 연산자로 확장될 수 있기 때문이다.

위상 어레이는 각각의 변환기를 제어하는 일련의 복소수 값 계수들에 의해 설명될 수 있다. 행렬 M에서 인코딩된 음향 양을 최대화하기 위해 그러한 입력 x 벡터로 고정 주파수에서 음향 변환기들의 어레이를 구동하는 것은 선형 대수 문제로서 표현될 수 있고, 따라서 의도는 다음과 같다:

다음을 최대화하고,

다음을 조건으로 하고,

그리고,

이다.

이는 행렬 M의 지배적 고유벡터를 취함으로써 해를 구할 수 있는데, 그 이유는, 문제의 표현이 또한 여기서 x인 고유벡터의 정의이기 때문이다. 행렬 M을 구축하는 것은, 먼저, 문제의 음향 양의 전역적 공간에서의 기저 함수로서 각각의 변환기에 의해 방출되는 선형 음향 양들을 고려함으로써 달성될 수 있다. 이는, x, y 및 z에서 절대 위치로 설명되는 단일 포인트에서의 압력 및 다른 음향 양들의 최대화를 달성하는 방식이다. 그러나, 설명된 제어 영역 적분을 사용하여, 각각의 개별 변환 요소의 필드로 방출되는 음향 양들을 통제하는 q(x,y,z)가 f(x,y,z)에 대해 교환될 수 있어서, 다음의 열 벡터가 산출된다:

선형성을 적용함으로써, 변환기들 각각을 구동하는 복잡한 활성화 값들이 곱해질 수 있으며, 이는 다음의 벡터로 이어진다:

여기서 n은 변환기들의 수이다. 이러한 m이 선형 필드 상에서 동작하는 선형 연산자의 결과라는 것을 고려하면, 이는, 에르미트 전치되고 자신과 곱해져서 2차 형태를 생성할 수 있다. 마지막으로,

이다.

가중 함수 w(x,y,z)를 수정하고 행렬 M의 고유벡터들에 대해 해를 구함으로써, 다양한 상이한 빔들, 표면들 및 다른 음향 현상이 생성되고 최대화될 수 있어서, 음향 필드에서 최적으로 작동되는 영역들이 생성된다.

이전에 논의된 널 공간 생성 기법("공중 햅틱 시스템들에서의 2차 문제들을 위한 고유시스템 해법들")이 또한 사용되어 음향 부양을 설명하기 위한 이러한 방법을 확장시킬 뿐만 아니라, 구조를 설명하기 위한 위치들에서 필드 내에 널 포인트들을 도입함으로써 널 스티어링 및 공중 감촉의 형성을 허용할 수 있다. 이러한 프로세스는 행렬의 랭크를 증가시키므로, 이러한 프로세스가 사용되어야 하는 경우에는 단순화가 가능하지 않다는 것이 유의되어야 한다.

마찬가지로, 다수의 제어 영역들에 대해 M 행렬들을 함께 부가함으로써 다수의 최적화들이 수행될 수 있다. 이는 또한 제어 포인트들을 나타내는 행렬들을 포함할 수 있다. 이는, 랭크가 증가한 행렬을 생성하므로, 이것이 사용되는 경우에는 일부 단순화 방법들이 가능하지 않다.

결과를 고려하고 반복적 방식으로 포인트들 각각을 재가중함으로써, 시스템은 음향 양의 요구되는 기하학적 구성에 수렴하도록 수정될 수 있다. 이는 일반적으로, 출력에서 진폭들이 일관되지 않을 때 필요할 수 있다.

이는, 생성된 음향 양들을 합산하고 다음 반복 진행에서 시스템을 그 결과에 더 가깝게 재가중함으로써 달성될 수 있다. 예를 들면, 압력의 단일 포인트 또는 적분의 임의의 하위 분할 볼륨에 대한 반복적인 재가중은 다음과 같이 된다:

여기서, t + 1은 기법의 다음 대략적 반복을 나타내고, t는 현재 반복을 나타내고,

은 원하는 압력(복소수일 수 있음)을 나타내고, 분모는 현재 반복에 의해 획득된 총 압력을 나타낸다. 분수는 위상들이 아니라 결과적인 영역의 진폭들에만 영향을 주기 위해 단지 실수 크기들로서 주어질 수 있다.

베셀 빔은, 빔 이동 방향으로 가중 함수 w(x,y,z)를 표현하고 빔이 순방향으로 이동함에 따라 위상 각을 순방향으로 수정하면서 단위 압력을 생성함으로써 생성될 수 있다. 이는, 각각의 후속 포인트가 횡단하는 각도가 빔 축을 따라 위상을 충분히 샘플링할 수 있을 정도로 작기만 하면, 포인트 샘플들로 샘플링될 수 있다.

위상의 샘플링은, 중요하게는, 그것이 움직이는 각도에서 매 2π마다 2개 초과의 위상 샘플들을 가져야 한다. 이는, 경로를 따른 증분이 π인 경우, 파 이동의 방향이 결정불가능하기 때문이다. 이는 또한, 대부분의 경우들에서, 위상이 순방향으로 증가하여 위상이 커버하는 단색 주파수 거리의 모든 각각의 파장에 대해 2π 라디안 회전을 완료해야 한다는 것을 의미한다. 이는, 제어 영역 정의에서 설명된 형태의 경로 적분에 대한 근사이다.

변환기들은, 이러한 방식으로 작성된 적분을 최대화한 결과로서, 간단한 빔이 어레이로부터 멀어지게 이동하는 직선으로 점진적으로 정의되는 경우에, 이러한 구성에서 최적의 압력을 생성하는 자신의 이론적 능력으로 인해 최적의 베셀형 빔을 생성할 것이다. 도 20에는, 플랫 직선 변환기 어레이에 평행한 근접 필드 영역의 가장자리에서의 필드를 통한 절단들이 도시되어, 복소수 값 변환기 활성화 계수들의 구조를 나타낸다. 간단한 점진적 위상 빔은 베셀 함수 근사(좌측(2000))를 초래하고, 과소-샘플링된 나선형 빔은 쌍극자 거동을 갖는 베셀형 함수(우측(2010))를 초래하며, 여기서, 쌍극자는 각각이 다른 하나와 위상이 반대인 방식으로 활성화되는 2개의 구조들을 생성한다. 빔은 제한된 변환기 분해능, 유한한 어레이 크기, 및 최적화가 해결할 필요가 있는 다른 물리적 고려사항들의 효과들로 인해 정확한 베셀 빔이 아닐 수 있지만, 실제 변환기 어레이의 물리적 제한들을 고려한 최적화로 인해 베셀 빔 함수의 간단한 평가보다 더 효과적으로 수행될 수 있다. 큰 어레이에서, 이는 베셀 함수를 밀접하게 따르며, 도 21은, 도 20의 어레이의 중심으로부터 반경방향으로 고려된 때의 압력과 함께 플롯팅된 베셀 함수의 그래프(2100)를 도시한다.

이러한 시스템의 추가적인 특성은, 임의의 생성된 단색 필드 함수와 함께 임의의 위치 및 배향으로 변환기들이 사용될 수 있다는 것이다. 이는 샘플링 방법에 비해 베셀 빔 생성에 있어 상당한 이점이며, 이는 정의상 평면형 어레이의 경우에서만 기능할 것이다.

다수의 위상차 경로들을 생성함으로써, 나선형 파들이 경로 주위에 권취됨으로써 위상 편이들 및 위상 특이성들이 암시적으로 생성될 수 있다. 이러한 경로는 또한 만곡되어, 고유시스템 접근법에 내장된 간단한 2차 최적화를 사용하면서 높은 수준의 구성가능성을 산출할 수 있다. 이는, 빔 폭보다 더 가까이 있지만 서로 간에 위상이 상이한 많은 평행한 빔 라인들에서 별개의 위상 권선들의 정의를 통해 빔에 회전들을 유도함으로써 달성된다. 그런 다음, 빔의 중심 라인에서 서로 소거되도록 인접 위상들을 설정함으로써, 도 22에 도시된 바와 같이, 고차 베셀 빔이 형성될 수 있다. 도 22에서, 원 주위의 점진적 위상들(따라서, 나선형 배열의 위상들)의 2개 초과의 샘플들은 좌측(2210) 상에 보이는 바와 같이 각 운동량을 갖는 베셀 함수의 형성을 야기한다. 나선 주위의 위상들을 특정하기 위해 2π 초과의 라디안을 사용함으로써, 우측(2220) 상의 4π 빔과 같은 더 고차의 베셀 빔들이 생성될 수 있다.

이러한 위상 라인들은 이전과 같이 포인트들 또는 임의의 다른 적분 근사를 사용하여 샘플링될 수 있는데, 그 이유는, 이들이, 분리된 영역들이 단일 영역 최적화로서 정의될 수 있는 방식의 예들이기 때문이며, 여기서, 이들 각각은, 가중 함수를 최적화될 볼륨에서만 0이 아니게 설정함으로써 최적화 영역에 부가될 수 있다. 고차 마티외 유형의 타원형 나선형 빔들은, 위상이 증분적이고 타원 주위에 이격되는 증분적 위상 빔들을 도입함으로써 생성될 수 있다. 도 23에 도시된 바와 같이, 마티외 유형 빔들과 같은 고차 베셀 빔들과 유사한 특성들을 갖는 타원형 나선형 빔들은 위상에서 타원의 둘레를 파라미터화함으로써 생성될 수 있다. 2nπ 라디안의 비율을 결정하고 타원의 현 둘레에 비례하는 위상 각을 할당하는 것은 빔의 최적화를 위한 적절한 구성을 생성한다. 좌측 이미지(2310)는 마티외 빔에 가까운, 타원으로 재형상화된 고차 베셀을 도시한다. 우측 이미지(2320)는 중심 영역에 형성되기 시작하는 가교된 나선형 구조들을 갖는 근사적 마티외 빔을 도시한다. 둘 모두는 12π 라디안의 위상 원에 기반하여, 나선형 파면을 생성한다.

이러한 방식으로 생성되는 베셀 계열의 빔들은, 문헌에서 더 제한적인 형태들로 존재하는 더 많은 외래 빔들을 생성하도록 수정될 수 있다. 파의 횡단에 적절한 방식으로 순방향으로 이동하는 물리적으로 타당한 위상 함수들에 의해 횡단되는 필드에서 임의적 경로들을 생성함으로써, 다양한 결과들이 재현될 수 있지만, 이전보다 초기 대역폭 비용에서 더 일반적이고 더 낮은 형태로 고유시스템에 의해 암시되는 최적화로 인해, 빔이 적분에 의해서만 표현될 필요가 있다.

곡선형 경로를 취하고 위상을 순방향으로 이동시키는 것은, 45° 원 세그먼트에 의해 생성된 장애물들 주위의 빔들을 조종하는 데 일반적으로 사용되고 무한대로 형성된 빔을 밀어내는 경로가 그를 따르는 곡선형 빔을 생성할 수 있다. 도 24에는, 빔을 따라 음압들을 균등화하기 위해 대략적 반복 방법을 사용하여, 라인을 따라 연속되게 연결된 원의 45 도 세그먼트를 따르는 위상 함수로부터 형성된 휘어진 빔의 이미지(2400)가 도시된다. 변환기 어레이는 이미지의 하부 가장자리를 따라 위치된다.

다수의 위상 경로들을 수반하는 추가적인 접근법은, 중심으로부터 절단된 부분을 갖는 빔인 "병형 빔"을 생성할 수 있고, 이는 큰 객체들의 부양을 용이하게 할 수 있다. 이는 도 25에 생성되어 있으며, 도 25는, 위상이 그를 따르게 이루어지는 2개의 가우스 곡선(Gaussian curve)이 쌍을 이루게 연결된(twinning) 이미지(2500)를 도시한다. 위상 함수들을 생성하는 것에 의해 생성되는 병형 빔은, 빔을 따라 음압들을 균등화하기 위해 대략적 반복 방법을 사용하여 가우스 곡선들을 따른다. 변환기 어레이는 이미지의 하부 가장자리를 따라 위치된다. 하부 영역의 점으로 된 속성은, 최적화에 대한 위상 속도 입력이 너무 느리고, 초기 구획에 대해 더 빠른 위상 속도를 사용함으로써 빔이 개선될 수 있다는 것을 시사한다. 객체가 충분히 강성인 경우, 공간의 일부 구획들만이 높은 음압 영역들로 이루어질 필요가 있으므로, 도 26에서와 같이, 곡선들의 부분들이 또한 사용될 수 있다. 도 26은, 불균일한 방식으로 높은 음압의 영역을 최적화함으로써 훨씬 더 큰 객체들을 부양시키는 데 사용될 수 있는 점진적 위상으로 정의된 원의 부분들로부터 형성된 불완전한 병형 빔의 이미지(2600)를 도시한다. 부양될 객체 또는 대상이, 낮은 음압 영역들을 통해 유동하거나, 압출되거나, 또는 누설되지 않기에 충분한 응집력을 갖는 것으로 가정되는 경우, 큰 객체 상에 가해지는 힘들을 균일하게 퍼뜨릴 필요는 없다.

베셀형 빔은 위상 속도보다 빠르게 순방향으로 경로를 이동시킴으로써 생성될 수 있다. 이러한 방식으로, 빔은 평상시보다 빠른 위상 속도로 최적화되어, 도 27에 도시된 바와 같이, 더 긴 파장을 갖는 것으로 보이는 빔을 생성할 것이고, 위상 속도에 의해, 소리의 속력보다 빠르게 이동한다. 도 27에는, 동일한 주파수를 갖는 더 긴 파장을 역설적으로 생성하는 방식으로 각도를 통해 이동하는 위상 경로를 구현함으로써 생성될 수 있는, 소리의 속력보다 빠르게 이동하는 파면의 이미지(2710)가 도시된다. 암시적 최적화는, 주요 빔이 교차하는 빔들로 구성되어 위상 속도의 특정된 증가를 일으킨다고 추론한다. 이는, 우측의 이미지(2720)로부터 알 수 있으며, 여기서, 파장은 빔의 초기 구획에 대해 동일한 주파수에서 대략적으로 40 % 더 길도록 조작된다. 사형 빔은 사인 곡선을 따라 점진적 위상들을 샘플링함으로써 구성될 수 있다. 도 28에는, 사인 곡선의 짧은 구획이 정의되는 예들(2810), 및 그에 후속하여, 위상 어레이 위의, 사인 곡선을 따르는 점진적 위상들의 압력으로부터 구성되는 더 긴 2차원 사형 빔(2820)이 도시된다. 이들은, 단순히 점진적 위상의 추가 구획들을 부가함으로써 사형 사인파 빔의 확장이 빔으로 하여금 요구되는(그리고 변환기들의 물리적 배열에 의해 허용되는) 바에 따라 자연스럽게 확장되게 한다는 것을 보여준다. 나선형으로 사형 빔을 만들기 위해 모든 3차원들에서 사형 빔을 생성함으로써, 아르키메데스의 나선식 펌프(Archimedes screw) 시스템과 유사한 방식으로 사용될 수 있는 빔이 생성되어, 잠재적으로 파들의 방출에 수직인 또는 그 반대인 방향으로, 파장보다 훨씬 더 큰 필드 내의 고체 객체들에 힘을 가할 수 있다. 이는, 빔이 객체들에 부양시키는 데 사용될 수 있게 하는 상이한 메커니즘을 제공한다. 도 29는, x-z 평면에서의 구획을 상세히 설명하는 좌측 이미지(2910) 및 x-y 평면에서의 빔의 구획을 도시하는 우측 이미지(2920)를 도시한다. x 및 y 방향들로 권취되지만 z에서 또한 점진적인, 원 내의 경로를 따르는 이러한 기법을 사용하여, 진정한 나선형 형태가 생성될 수 있다. 이는, 파장보다 훨씬 더 큰 객체들을 부양시키고 그들에 견인 빔과 같은 방식으로 힘들을 가하는 데 사용될 수 있다.

고유시스템 행렬이 단일 제어 영역에 의해 정의되는 경우, 행렬은 랭크 1을 갖고, 행렬을

로서 정의하는, 오직 그 자신과 복소수 값 벡터 m의 다이애드 곱에 의해 형성된다. 이러한 특정 경우에, 시스템의 단일 고유벡터는 즉시 알려지고 f이며, 이는

를 의미한다. 이러한 경우에 목적 함수를 평가함으로써, 목적 함수는 필요한 복소수 값 변환기 활성화들의 계수들 그 자체를 특정한다. 이는, 활성화 계수가 되는, 각각의 변환기에 대한 제어 영역 함수를 간단히 평가함으로써 정의된다.

이전과 같이, 2차 형태로 인해, 각각의 반복에 대한 재가중을 통해 유효성을 평가하는 것이 또한 추구될 수 있다. 이는, 각각의 포인트에서의 압력 또는 각각의 하위 영역에 걸친 압력의 적분을 평가하고 원하는 압력을 전체에 나누어, 하위 영역 i에 대한 가중치인

을 업데이트하기 위한 새로운 함수 값을 생성함으로써 달성된다. 또한 f인 단일 고유벡터가 이후 재평가되어, 이전으로부터 고유시스템에 걸쳐 반복된 반복에 대한 등가의 접근법을 생성할 수 있지만 계산 비용이 크게 감소된다.

이를 매체의 입자 속도로 달성하기 위해, 최대치에 도달할 때까지 방향을 변경하는 것에 해당하는 입자 속도의 테스트가 사용될 수 있다:

그렇지만, 압력은 또한 복합 방법을 생성하기 위해 이전 기법을 사용하여 모니터링될 수 있다. 이러한 복합 기법은 이전과 같이 가중 함수를 특정하는 것 및 압력의 업데이트를 수반하지만, 사실상 다음과 같은 제어 영역:

을 이용하며, 변경되지 않는 가중 법선 벡터 v 및 입자 속도 u와 쌍을 이루는, 스칼라이지만 변경가능한 복소수 값 w(x,y,z)가 산출된다. 이러한 접근법은 만족할 만한 압력을 발견하도록 최적화될 수 있지만, 추구되는 파의 방향을 변경하지 않는다. 이는, 다음의 항목에서 설명되는 특정 정정들과 함께 도 28에 도시된다.

II. 방향성 제어 포인트들 및 영역들을 위한 파면 필터링

방향성 출력의 생성에 필요한 추가적인 기법은, 변환기 출력 파면

및 법선 벡터 또는 입자 속도 벡터 u가 반대인 경우에 변환기 데이터를 폐기하고 그를 0으로 설정하여, 고려중인 영역의 포인트에 대해 다음을 충족시키는 것이다:

도 30은, 변환기 어레이로부터 추가로 정의된 2개의 속도 벡터 샘플의 좌측 이미지(3010), 및 정의된 제어 방향과 반대인 방향에 파면들이 있는 변환기들이 제거되어 있는 어레이에 근접하게 정의된 2개의 속도 벡터 샘플의 우측 이미지(3020)를 도시한다. 이러한 2개의 분리 영역에서 특정된 속도 가중 함수를 사용하는 것은 각각의 경우에 단일 영역을 구성하는데, 여기서, 영역은 2개의 별개의 포인트에서 매체의 입자 속도를 나타내는 방향 벡터들에 대해 최적화된다.

x 방향으로의 속도의 최대량을 발견하려 시도함에 있어서, 반드시 결과적인 입자 속도 방향이 완전히 x로 있을 것임을 의미하는 것은 아니라는 것을 유의한다. 도 30은 원하는 방향과 반대인 파면들을 제공하는 충돌하는 변환기들을 필터링하여 제거한 결과를 도시하는 반면, 도 31에는, 파면 기준을 사용하여 변환기 파면 방향들이 필터링되지 않은 결과인 좌측 이미지(3110) 및 우측 이미지(3120)가 도시된다. 충돌하는 변환기들은 도 31의 경우에 자유롭게 간섭하는데, 그의 이상 특징(pathology)은 수평으로의 정재파 구조의 형태로 나타난다. 이는, 파면 방향이 입자 속도에서 누락된 방향성 정보를 전달하는데, 입자 속도는 파가 비롯된 방향에 관련된 정보를 산출하지 않아서 원치 않는 간섭을 일으키기 때문이다.

이는, 단지 제어 영역만이 아니라 법선이 있는 간단한 경우의 제어 포인트에 대해 또한 중요하다. 제어 포인트의 경우는, 가중 계수 없이 입자 속도의 단일 포인트 샘플로 근사되는 사실상 단순화된 제어 영역이다. 어느 경우든, '도움이 되지 않는' 변환기들을 필터링하여 제거하지 않는 것은, '정재파' 현상의 효과들의 요소들과 유사한 결과를 산출한다. 이는, 복소수 성분들을 갖는 입자 속도 벡터가 상이한 방향들로 이동하는 파들 사이의 차이를 결정할 수 없기 때문인데, 위상 0을 갖는 좌측에서 우측으로 이동하는 파는 이러한 모델에서 위상 π를 갖는 우측에서 좌측으로 이동하는 파와 수학적으로 동일한 포인트 샘플에 대한 것이다. 결과적으로, 이것이 제어 포인트 또는 영역 기반의 생성에서 정확하게 처리되지 않을 경우, 최적화는 둘 모두를 사용하려 시도할 것이어서, 유의미한 기여를 하지 않는 정재파 성분들로 해를 생성하여, 필드가 없는 영역들인 원치 않는 가외의 널들을 생성할 것이다. 이는, 이러한 필터링 단계 없이 기저 함수들로서 선형 최적화들에, 고유시스템들에, 또는 심지어 간단한 공식에 입력된 제어 포인트들이 이러한 작위적 결과들을 나타낼 것이기 때문에 중요한 점이다.

설명된 이러한 기법들은 디바이스에 통합되어, 본원에서 정의된 바와 같이 단일 고유시스템을 반복함으로써 임의적으로 구성된 영역들 및 빔들을 생성하거나 간단한 경우에는 단일 포인트 또는 영역을 생성할 수 있는 음향 위상 어레이 시스템을 생성할 수 있다. 단일 포인트 또는 영역의 경우에, 변환기 요소들을 구동하는 데 필요한 진폭들 및 위상들이 포인트 또는 영역을 평가함으로써 표현되는 진폭들 및 위상들임을 나타내는 간단한 공식을 생성하기 위해 최적화가 적용될 수 있다. 전역적 방법의 반복 및 시간에 걸친 반복된 적용은 다양한 햅틱 효과들을 생성하기 위해 시간 종속적인 방식으로 변경 및 수정될 수 있다. 이는, 원하는 필드와 도출된 변환기 계수들이 기능적으로 관련되기 때문에 그들 둘 모두에 적용될 수 있다.

III. 본 발명의 실시예들을 설명하는 항들

1. 단색 음향 필드 상에서의 방법:

- 가중 함수를 이용하여 음압 필드 함수의 곱을 적분함으로써 음압의 분포를 단일 값으로 평가하는 단계 ― 이러한 함수 중 어느 하나는 복소수 값일 수 있고 물리적 변환기 특성들로부터 도출됨 ―.

- 행렬의 널 공간에 부가되도록 0개 이상의 널 포인트들을 적용하는 단계.

- 최적화에서 최대화될 목적 함수로서 이를 사용하는 단계 ― 최적화 결과는 각각의 변환기에 대한 목적 함수의 교차하여 곱해진 항들로부터 형성된 행렬의 고유벡터들의 형태를 취함 ―.

- 고유시스템을 생성하기 위해 하나 이상의 그러한 행렬을 합산하는 단계 ― 하나 이상의 고유벡터는 특정된 필드를 생성함 ―.

2. 단색 음향 필드 상에서의 방법:

- 가중 함수를 이용하여 입자 속도 필드로 실제 3차원 가중 벡터 필드의 내적을 적분함으로써 음향 입자 속도의 분포를 단일 벡터 값으로 평가하는 단계 ― 이러한 함수들 중 어느 하나는 복소수 값 성분들을 가질 수 있고 물리적 변환기 특성들로부터 도출됨 ―.

3. 단색 음향 필드 상에서의 방법:

- 포인트에서의 파면들이 적분의 각각의 평가된 하위 영역에서 특정된 법선에 반대인 방향을 갖는 변환기들의 기여를 0으로 설정하는 단계.

4. 단색 음향 필드 상에서의 방법:

- 변환기 입력 신호들의 최적의 위상들 및 진폭들을 설명하기 위해 각각의 변환기의 기여를 사용하는 단계.

5. 단색 음향 필드 상에서의 방법:

6. 단색 음향 필드 상에서의 방법:

변환기 입력 신호들의 최적의 위상들 및 진폭들을 설명하기 위해 각각의 변환기의 기여를 사용하는 단계.

7. 1항 내지 6항의 방법에서, 추가로, 디바이스가 방법을 구현하고 음향 변환기들을 구동하기 위해 그 결과를 사용함.

8. 1항 내지 6항의 방법에서, 추가로, 디바이스가 방법을 구현하고 음향 변환기들을 구동하는 데 사용되는 선형 기저 집합의 일부분으로서 그 결과를 사용함.

9. 1항 내지 6항의 방법에서, 음향 빔이 생성됨.

10. 1항 내지 6항의 방법에서, 음향 볼륨이 생성됨.

11. 1항 내지 6항의 방법에서, 음향 표면이 생성됨.

12. 음향 필드 상에서의 방법:

- 물리적 변환기 특성들로부터 도출된 필드들의 선형 조합을 사용하여 포인트에서 음향 입자 속도를 단일 값으로 평가하는 단계.

- 포인트에서의 파면들이 제어 포인트에서의 법선에 반대인 방향을 갖는 변환기들의 기여를 0으로 설정하는 단계.

- 변환기 입력 신호에 대한 위상들 및 진폭들을 발견하기 위해 최적화 문제에서 이를 기저 함수로 사용하는 단계.

13. 음향 필드 상에서의 방법:

- 최적화에서 최대화될 목적 함수로서 이를 사용하는 단계 ― 최적화 결과는 각각의 변환기에 대한 목적 함수의 교차하여 곱해진 항들로부터 형성된 행렬의 고유벡터들의 형태를 취하고, 그런 다음 변환기 입력 신호에 대한 위상들과 진폭들을 발견함 ―.

14. 음향 필드 상에서의 방법:

15. 1항 내지 14항의 방법에서, 변환기들은 결과적인 구조가 입력 신호로서 적용되고 조작될 때 햅틱 효과를 생성함.

16. 1항 내지 14항의 방법에서, 변환기들은 결과적인 구조가 입력 신호로서 적용되고 시간에 걸쳐 수정될 때 때 햅틱 효과를 생성함.

6. 하드웨어에서의 복소수 값 초월 함수들, 곱셈, 및 나눗셈의 평가

대신

간을 변환하는 것을 목표로 함으로써, BKM 알고리즘은 물리적 하드웨어 구현들에서 더 유용한 매운 단순화된 기법을 산출하도록 재설계될 수 있다.

I. 도입부

하드웨어에서 삼각 함수 및 다른 특수 함수를 계산하기 위한 많은 기법들이 존재한다. 하나의 그러한 방법은, 복소수 지수들을 복소수 로그들로 교환하고 그 반대로도 교환하여, 하나의 표현으로부터 다른 표현으로 이동시키는 부작용으로서 이러한 특수 함수들을 생성하는 BKM 방법이다. 그러한 함수들이 필요한 것으로 밝혀진 상황들에 종종 직면하기 때문에, 복소수 값 함수들을 처리하는 것들에 특별한 관심이 있다.

로그 형태와 지수 형태 사이에서 이동시키는 효율적인 방법은, 곱셈 및 나눗셈을 로그 공간에서 간단한 덧셈 및 뺄셈으로 수행되는 것을 가능하게 한다. 프로세스의 속성으로 인해, 이는 또한 지수와 관련된 초월 함수들을 용이하게 생성하기 위해 활용될 수 있다. 이는 단일 알고리즘으로부터 생성될 수 있기 때문에, 이는, 단지 하나의 요소만이 구현될 것을 요구하므로 구현 크기가 감소되게 하고, 단지 하나의 방법만이 구현 및 최적화될 필요가 있으므로 개발 시간을 감소되게 한다.

기존 알고리즘인 BKM이 이러한 접근법을 구현하지만, 제안된 방법에서 거의 또는 완전히 제거되는 3개의 불리한 요건들을 포함한다.

다른 것들 중에서도, 데이터 입력 및 출력에 대한 사전 및 사후 처리 단계들을 위한 기능들을 구현하는 데 있어 하드웨어 분할에 어려움이 있다.

효율적인 구현들에 있어 반올림 문제들을 생성하는 무리수 값들 및 계수들이 존재한다.

부동 소수점 유형들과 통합되도록 요구되는 가외의 동작들이 존재한다.

다음 항목은, 제안된 방법이 이러한 단점들을 갖지 않도록 설계되는 방식을 설명할 것이다.

II. 동기 및 비교 범위 감소

프로세스는 오일러의 공식

에 중심을 두지만, 여기서, 공식이 을 산출하는 복소수 일반화를 가지므로

은 추가적인 계수이다. BKM 알고리즘이 구현하는 복소수 함수가 정확히 이것이어서, 구현된 프로세스를

로 만든다. 알고리즘은 복소수 값

을 수렴이 보장될 수 있는 범위에 들어맞게 하기 위해 범위 감소 기법들을 많이 사용한다. 이는 간결한 구현을 갖는 함수가 아니어서,

을 달성하기 위해서는 무리수 스케일링 계수로 사전 또는 사후 처리에 의해 제안된 방법을 사용하여 평가하는 것이 더 용이할 정도이다. 많은 경우들에서, 이러한 무리수 스케일링 계수는, 입력들 및 출력들이 물리적으로 또는 계산적으로 유의미한 유리수들의 배수들이 되도록 의도되는 작업 흐름을 제공하기 위해 제거될 수 있다.

복소수 지수를 처리할 때, 지수는 실수부 및 허수부로 분할될 수 있고, 이는 동일한 입력 데이터를 사용하지만 상이한 결과들을 생성한다. 이는 일부 방식들에서 직교좌표-극좌표 변환(Cartesian-to-polar transform)과 유사하다.

지수화될 로그의 실수부만을 고려하면, 이는 직교좌표-극좌표 변환의 r 성분과 유사한 모든 절댓값 정보를 포함한다. 이는 전통적으로 무리수 상수 e에 실수부가 거듭제곱된 것이다. 이를 알고리즘에 공급하기 위해서는 먼저 범위 감소를 거쳐야만 하는데, 이는, 나머지를 발견하여 수렴 도메인 안에 들어맞도록 무리수 값 ln 2를 모듈로(modulo) 나누기를 해야 한다는 것을 의미한다. 이는 하드웨어 분할을 수반하며(1994년 논문에서는 SRT 분할 기법을 권장함), 따라서, 이는 알고리즘과 함께 분할을 구현하는 데 요구되는 로직의 관점들에서 매우 고가의 기법을 부가한다.

제안된 알고리즘의 전제는, 범위 감소를 간단하게 하기 위해 2의 제곱이 사용되어야 한다는 것이다. 이러한 동기와 함께, 실수부는 2에 주어진 거듭제곱, 즉, 실수부가 거듭제곱된 것으로 해석되어야 하므로, 지수는 밑 2를 갖는다. 실제 로그 입력의 전체 수는 이후 출력 상의 비트 편이들을 지칭할 수 있고, 상대적 이진 로그 입력의 소수부만이 수렴의 도메인에 들어맞게 될 필요가 있다. 복소수 로그의 실수 성분의 정수부는 이어서 가장 가까운 값으로의 반올림에 의해 취해지고 이러한 방식으로 별개로 지수화된다.

지수화될 로그의 허수부만을 고려하면, 이는 직교좌표-극좌표 변환의 θ 성분과 유사한 모든 인수 또는 각도 정보를 포함한다. 이는 또한 전통적으로 e의 거듭제곱이지만, 여기서 e는 문제가 되지 않는다. 이 때의 문제는 π인데, 그 이유는, 허수 로그 부분이 각도로서 해석될 수 있지만, 수렴의 도메인을 제한하기 위해, 회전 대칭이 활용될 수 있도록 2π의 정수 분수로부터 나머지를 다시 발견해야 하기 때문이다. 이는, 로직 크기의 관점들에서 고가인 훨씬 더 많은 분할 프로세스들을 수반한다.

밑 e 로그 대신 밑 2가 사용될 수 있는 경우가 있다. 이는 확장

를 획득한다. 이는 훨씬 더 원치 않는 무리수 값들이지만, 구체적으로 밑

가 사용되는 경우, 회전들의 수를 표현하기 위해

가 사용될 수 있다. 불운하게도, 이러한 밑을 사용하는 것은 수렴하지 않는 방법을 초래한다. 기법과 수렴 범위 사이의 가장 양호한 절충은 밑

를 산출한다. 이는 각각의 정수 값이 사분면을 나타낸다는 것을 의미한다. 각각의 4의 배수는 온전한 회전이다. 그런 다음, 비트 단위 동작들이 회전 횟수를 추출하는 데 사용될 수 있다. 사분면들의 수는 실수 및 허수들 및 부호들의 전환으로서 출력에 적용될 수 있다. 다시, 이는, 복소수 로그의 허수 성분의 정수부가 가장 가까운 값으로의 반올림에 의해 취해지고 이러한 방식으로 별개로 처리되는 기법을 산출한다.

이는, 도 32의 우측 구획(3220)에 도시된 바와 같이, 여전히 범위

에서 지수화될 로그의 소수부를 남기는데, 이는 주요 알고리즘에 대한 수렴 범위에 맞다. 도 32에서, 지수에서의 오차들이 영역 [-2.0, +2.0)에서의 로그-지수 프로세스에 대한 입력에 대해 플롯팅되며, 여기서, 우측은 양의 실수이고 이미지의 하부 부분은 양의 허수이다. 50개의 분수 비트 및 유사한 반복 횟수들을 이용하여, 흑색 영역은 2^-45보다 큰 정확도로 수렴한 값들을 나타낸다. 좌측 구획(3210)은, 회색이 2^-45보다 큰 오차들로 맵핑되는 수렴의 도메인을 도시한다. 우측 구획(3220)은 최종 요구되는 수렴 영역

을 백색으로 도시한다.

로그 입력의 소수부에 대한 주요 알고리즘의 논의가 나중에 설명된다.

그의 지수화된 실수부와 허수부로 값들을 취하여 그 값들을 그의 원래의 로그들로 환산함으로써, 역방향 프로세스가 또한 달성된다. 우선, 복소수 값이 속하는 45°만큼 오프셋된 사분면을 발견한다. 이는, 성분이 실수이든 허수이든 그리고 부호가 무엇이든 간에 가장 큰 절댓값을 갖는 성분을 결정함으로써 달성된다. 이는, 각도에서 오프셋된 이러한 사분면들 중 어느 사분면에 그 값이 속하는지를 위치결정한다. 그런 다음, 이는, 도 33의 중앙 구획(3320)에 도시된 바와 같이, 실수 라인의 양의 부분 상에 영역의 중심이 놓인 제1 사분면 내로 값들을 이동시키기 위해 회전을 계산하는 데 사용된다. 도 33은, 영역 [-2.0, +2.0)에서의 지수-로그 프로세스에 대한 입력에 대해 플롯팅된 지수에서의 오차들을 도시하며, 여기서, 우측은 양의 실수이고 이미지의 하부 부분은 양의 허수이다. 50개의 분수 비트 및 유사한 반복 횟수들을 이용하여, 흑색 영역은 2^-45보다 큰 정확도로 수렴한 값들을 나타낸다. 좌측 구획(3310)은, 회색이 2^-45보다 큰 오차들로 맵핑되는 수렴의 도메인을 도시한다. 중간 구획(3320)은 반전된 그레이스케일을 사용하여 실수 라인에 중심이 놓인 사분면을 도시한다. 우측 구획(3330)은 최종 요구되는 수렴 영역

을 백색으로 도시한다.

로그 출력의 허수부는 출력 복소수 로그의 등가의 허수 정수부로 사전 로딩된다. 45° 오프셋으로 인해, 복소수 분기 절단이 실수 라인의 음의 부분 상에 떨어지도록 추가적인 테스트가 필요할 것이지만, 2의 보수 시스템 순환(wrap around)이 사용되는 경우, 이는 무시될 수 있는데, 그 이유는, 필요한 비트들이 주어지면, 사분면들에서 측정된 로그의 허수부가 간격 [-2.0, +2.0) 내에 놓이도록 용이하게 제한될 수 있기 때문이다.

이 시점에, 값이 제1 사분면에 놓이는 것이 확실하기 때문에, 실수부는 절댓값이 허수부보다 크거나 같은 것으로 알려져 있고, 실수부는 양인 것으로 알려져 있다. 로그의 실수부의 정수부를 발견하기 위해, 고정 소수점 표현에서 선행 0들을 카운트할 수 있다. 고정 소수점 표현의 비트 수로부터 이러한 카운트를 뺀 값은 사실상

이며, 여기서, k는 비트들의 표현에 의존하고, 따라서, 로그 레지스터의 실수부에 즉시 부가될 수 있는 이진 로그의 정수부의 표현이다. 실수 및 허수 둘 모두의 기존의 데이터는 이어서, 도 33의 우측 구획에 도시된 바와 같이, 실수부가 간격 [-0.5, +1.0) 내에 놓이게 하기 위해 요구되는 비트 위치들의 수만큼 편이될 수 있으며, 이는 선행 0들의 초기 카운트 및 비트들의 표현에 의존하는 k에 의해 결정된다. 이는, 출력 실수 로그의 가장 가까운 정수 표현이 아닐 수는 있지만, 그것은 정수이고 프로세스의 나머지를 올바른 포맷으로 수렴의 영역으로 가져온다는 것이 유의되어야 한다.

이러한 프로세스의 끝에서, 출력 복소수 로그의 정수부가 결정되고, 출력의 소수부는 결정되지 않은 채 남으며, 입력 범위

이 되고, 이는 주요 알고리즘에 대한 수렴 범위에 들어맞는다. 로그 출력의 실질적인 소수부에 대한 주요 알고리즘의 논의가 아래에서 설명될 것이다.

그 결과는, 함수

가 도 34에서 알 수 있는 바와 같이 방금 모델링된 프로세스라는 것이다. 도 34에서, 지수(3420) 및 로그(3440) 프로세스들에 대한 최종 합성 값들을 구성하는 범위 감소 대응부들과 함께, 지수(3410) 및 로그(3430) 프로세스 도메인들에 대한 지수에서의 오차들이 충분히 소수부들에 대해서만 플롯팅된다. 잡음이 있는 회색은 정확한 수렴이 작은 수치 오차를 야기하여 오차 측정에서 우세한 영역들을 나타내며, 이는, 지수(3420) 및 로그(3440)에 대해 모든 곳에서 수렴이 달성되었다는 것을 도시한다.

결과의 밑을 변경하는 것은 여전히 그것이 로그들 및 지수들의 모든 특성들을 갖는다는 것을 의미하며, 이는 로그들의 실수부들을 더하고 빼는 것이 지수화된 곱셈 및 나눗셈을 제공할 수 있다는 것을 의미한다. 마찬가지로, 각도들이 동일하게 거동하며, 이들은 단지 사분면들의 정수배들로서 표현되고, 따라서 4 내지 회전으로, 하드웨어 로직에서 용이하게 조작되는 값으로 표현된다. 그들의 로그 형태에서, 허수 값들을 더하고 빼는 것은 복소수 값 지수화된 공간에서 0 주위로 시계방향 및 반-시계방향으로 회전하는 것과 동일하다. 이들이 상이한 밑들로 구성된다는 사실에 관계없이 그들의 결합된 실수부 및 허수부를 취하는 복소수 값들에 대해, 실수부 및 허수부를 더하고 빼는 것이 복소수 곱셈 및 나눗셈을 구현하는 데 사용될 수 있다.

이러한 결과들은, 이러한 포맷들에서 요구되는 사전 처리가 가수 및 지수 형식에 의해 이미 대부분 달성되었기 때문에, 부동 소수점 표현들로 자명하게 확장될 수 있다. 밑 e의 값들이 절대적으로 요구되고 대부분의 시간에는 그렇지 않은 경우, 출력 로그의 실수부는 ln 2와 그리고 허수부는

와 곱해질 수 있다. 마찬가지로, 밑 e 포맷으로 로그 데이터를 취하기 위해, 값들은 역수들

로서 취해지고 성분 단위로 곱해져, 이러한 방법을 이용한 지수화를 위해 초기 범위 감소에 관여하기 전에 변환될 수 있다.

III. 일반적인 절차

새로운 알고리즘은 BKM 기법과 유사한 방식으로 진행되어 로그의 소수부를 발견하거나 사용한다. 값들의 집합

이 존재하며, 이로부터 각각의 알고리즘 단계 n에 대한

이 선택된다. 어느

을 사용할 것인지의 선택들은, 입력 레지스터들로부터의 비트들의 하위 집합일 수 있는 집합 비트 카운트와 절단된 수를 비교함으로써 이루어진다. 일단

이 선택되면, 미리 계산된 로그들의 검색 테이블들은, 지수화된 값들을 보유한 레지스터들에 적용된

((잠재적으로 최상위 미사용 비트 상에 적용된 반올림을 이용한) 비트 편이 및 덧셈/뺄셈 산술) 곱셈들을 로그 값들을 보유한 레지스터들로부터 뺄셈될 등가의 로그들과 균형을 맞출 것이 요구된다. 프로세스가 로그를 발견하기 위한 것인지 또는 지수를 계산하기 위한 것인지에 따라, 시스템을 수렴 구성으로 배열하기 위해, 가외의 편이, 가외의 산술, 또는 둘 모두가 존재할 수 있다. 일부 N번의 반복들의 끝에서, 반복들의 수 N 및 표현에 사용된 비트 수에 의존하는 정확도 내에서 지수 또는 로그의 원하는 값이 발견된다.

IV. 로그들의 검색 테이블들

제안된 방법은, 이러한 로그들이 이제

로서 지수를 반영해야 한다는 점에서 기존의 기법들과 상이하다. 이로 인해, 원하는 고정 소수점 포맷에서 n = 1, ..., N에 대해, 로그 테이블의 실수부는 이제

로 사전 로딩되어야 하고 허수부는

또는

로 사전 로딩되어야 한다.

로그 밑에 대해 2 및

가 선택되었지만, 밑의 상이한 선택은 상이한 제1 반복을 갖지 않는 로그 시스템에 대한 알고리즘을 제공할 수 있을 가능성이 있다. 이러한 값들은, 이들이 동일한 하드웨어를 사용하여 두 프로세스들 모두를 달성할 수 있는 설계를 나타내기 때문에 선택되었다. 별개의 하드웨어를 사용하는 별개의 구현이 지수 모드에서와 같이 로그 모드에 사용될 것인 경우, 이는 밑의 가장 양호한 선택이 아닐 수 있다.

V. 로그의 소수부에 대한 방법

새로운 알고리즘을 위한 핵심 방법은 BKM 프로세스에 의해 사용되는 것들을 대체로 따르는데, 몇몇 새로운 중요한 차이들이 있다. 비교 임계치들은 새로운 기법에 요구되는 로그들과 지수 및 변경된 수렴 도메인에 대한 새로운 밑들을 수용하기 위해 새로 도출되었다. 또한, 요구되는 도메인 내에서 수렴을 달성하기 위해 로그 프로세스의 제1 반복에 대해 약간 수정된 비교 임계치가 존재한다.

VI. 지수 모드

본 항목에서 설명된 지수 모드는 또한 지수 값으로 복소수 곱셈을 제공하도록 수정될 수 있다. 이것이 달성되어야 하는 경우, 이는 출력이 정확하다면 범위 감소 단계들 전에 사전 로딩되어야 한다. 또한, 이는 출력 지수 값을 대체할 것이어서 이러한 값이 요구되는 경우에 사용되지 않아야 한다는 것이 유의되어야 한다. 또한, 로그의 정수부들(값

)로부터 프로세스의 끝까지 해를 저장하고 적용을 대기하는 것이 실현가능하다. 이는 처리가 발생하는 중간 레지스터들에 대해 요구되는 저장소를 감소시킬 수 있지만, 이는 해의 정수부들에 필요한 저장소의 가외의 요건들에 대해 가중되어야 한다.

대안적으로, 마지막 지수 값과의 곱셈은 가외의 레지스터들을 생성하고 이들 가외의 레지스터들에서 등가의 동작들이 발생하는 것을 보장함으로써 병렬로 달성될 수 있다. 이러한 방식으로, 지수화 프로세스는 출력 지수 값을 거의 임의적으로 많은 다른 복소수 값들로 복소수 곱셈할 수 있다.

입력 로그들의 소수부를 입력인 것으로 가정하면, 수렴 도메인

에 대한 알고리즘은 다음과 같다:

1.

,

, 및

표식된 4개의 기본 레지스터들이 존재한다고 가정한다. 이와 함께, 보조 복소수 곱셈에 사용될 때 방법이 어떻게 동작하는지를 입증하기 위해 2개의 가외의 슬레이브 곱셈 레지스터들

및

이 존재한다. 이들 레지스터들의 초기 값들은 다음과 같다:

여기서, 사전 곱셈에 대해 어떠한 요건들도 존재하지 않는 경우,

이다. 슬레이브 곱셈 레지스터들은 또한 다음과 같이 유사하게 구성될 수 있다:

2. 색인 n으로 값들 1, ..., N에 걸쳐 반복한다.

3.

을 절단하여 3개의 비트를 갖도록

을 형성하며, 3개의 비트는, 하나의 부호 비트 및 2개의 정수 비트이며, 이는, 1의 가장 작은 변화로 범위가 [-4.0, +4.0)이도록 2의 보수로 이루어진다.

4.

을 절단하여 3개의 비트를 갖도록

을 형성하며, 3개의 비트는, 하나의 부호 비트, 하나의 정수 비트, 및 하나의 분수 비트이며, 이는, 0.5의 가장 작은 변화로 범위가 [-2.0, +2.0)이도록 2의 보수로 이루어진다.

5.

을 결정하기 위해 3 비트 값들을 테스트한다:

6. 편이 및 산술을 사용하여 지수 레지스터들에 곱셈을 적용함으로써 다음을 계산한다:

그리고:

및

과 같은 임의의 보조 레지스터들에 대해 동일하게 행하여, 이들에 또한 곱셈 프로세스를 적용한다.

7. 레지스터들로부터 로그 테이블들에서의 대응하는 엔트리를 뺄셈함:

8. 로그 레지스터들을 한 자리만큼 좌측으로 편이시켜 그들의 내용 값을 두 배로 만든다.

9. N에 도달할 때까지 다음 반복을 위해 단계 2로 되돌아가며, N에 도달할 때, 레지스터들은 자신의 최종 값들을 포함할 것이다:

그리고:

프로세스의 형식을 인식하면, 상이한 수의 비트들 또는 상이한 비교 값들을 사용하여

,

, 또는 둘 모두를 형성함으로써 심지어 때때로는 요구되는 도메인에서 수렴하는 다른 테스팅 절차들을 발견하는 것이 용이하지만, 본 발명자들은, 요구되는 값 테스트들을 가장 간단한 알려진 형태로 특정함으로써 복잡도를 감소시키려 시도했다.

VII. 로그 모드

본 항목에서 설명된 로그 모드는 또한 입력 값으로 복소수 나눗셈을 제공하도록 수정될 수 있다. 이것이 달성되어야 하는 경우, 이는 오직, 가외의 레지스터들을 생성하고 이들 가외의 레지스터들에서 등가의 동작들이 발생하는 것을 보장함으로써 병렬로 발생할 수 있다. 이는 원래의 레지스터가 과부하될 수 있는 보조 곱셈과 대조되는데, 이러한 모드에서는 지수 레지스터의 수정이 알고리즘의 수렴을 방해할 것이기 때문에 여기서는 달성될 수 없다. 그러나, 보조 레지스터들을 사용하면 이를 피할 수 있어서, 로그 프로세스는, 요구되는 경우, 분모로서 이러한 프로세스에 입력되는 값으로 거의 임의적으로 많은 다른 복소수 값들의 복소수 값 나눗셈을 생성할 수 있게 된다.

1. 출력 로그들의 소수부를 출력인 것으로 가정하면, 수렴 도메인

에 대한 알고리즘은 다음과 같다:

2.

,

, 및

로 표식된 4개의 기본 레지스터들이 존재한다고 가정한다. 이와 함께, 보조 복소수 나눗셈에 사용될 때 방법이 어떻게 동작하는지를 입증하기 위해 2개의 가외의 슬레이브 나눗셈 레지스터들

및

이 존재한다. 이들 레지스터들의 초기 값들은 다음과 같다:

슬레이브 나눗셈 레지스터들은 또한 다음과 같이 유사하게 구성될 수 있다:

두 배 또는 -1.0 중 어느 것도 레지스터들

및

에 적용되지 않는다는 것을 유의한다.

2. 색인 n으로 값들 1, ..., N에 걸쳐 반복한다.

3.

을 절단하여 5개의 비트를 갖도록

을 형성하며, 5개의 비트는, 하나의 부호 비트, 하나의 정수 비트, 및 3개의 분수 비트이며, 이는, 0.125의 가장 작은 변화로 범위가 [-2.0, +2.0)이도록 2의 보수로 이루어진다.

4.

을 절단하여 5개의 비트를 갖도록

을 형성하며, 5개의 비트는, 하나의 부호 비트, 2개의 정수 비트, 및 2개의 분수 비트이며, 이는, 0.25의 가장 작은 변화로 범위가 [-4.0, +4.0)이도록 2의 보수로 이루어진다.

5.

을 결정하기 위해 (제1 반복에 대한 수정된 비교들로) 2개의 5 비트 값들을 테스트한다:

6. 편이 및 산술연산을 사용하여 지수 레지스터들에 곱셈을 적용함으로써 다음을 계산한다:

그리고:

및

과 같은 임의의 보조 레지스터들에 대해 동일하게 행하여, 이들에 나눗셈 프로세스를 적용한다.

7.

및

에

을 부가한다:

및

에는 이를 부가하지 않는다.

8. 지수 레지스터들을 한 자리만큼 좌측으로 편이시켜 그들의 내용 값을 두 배로 만든다.

및

의 값들은 두 배로 만들지 않는다.

9. 레지스터들로부터 로그 테이블들에서의 대응하는 엔트리를 뺄셈함:

10. N에 도달할 때까지 다음 반복을 위해 단계 2로 되돌아가며, N에 도달할 때, 레지스터들은 자신의 최종 값들을 포함할 것이다:

그리고:

,

, 또는 둘 모두를 형성함으로써 심지어 때때로는 요구되는 도메인에서 수렴하는 다른 테스팅 절차들을 발견하는 것이 가능하지만, 본 발명자들은, 요구되는 값 테스트들을 가장 간단한 알려진 형태로 특정함으로써 복잡도를 감소시키려 시도했다.

VIII. 중복 번호 시스템들

알고리즘은, BKM 방법과 마찬가지로, 데이터의 로컬 흐름을 느리게 하는 기법들을 지원하는 데 이상적이어서, 하드웨어로 구현되는 고속 로직으로의 통합이 허용된다. 각각의 반복에 대한 비교를 위해 제시되는 감소된 비트 수와 결합되는, 산술 단계들을 위한 자리 올림 보존(carry-save)과 같은 중복 번호 시스템 방식을 사용하는 것은, 본원에 제시된 것과 같은 알고리즘이 집적 회로 설계들로의 포함에 이상적인 고속의 저면적 구현을 갖는 것을 허용한다. 그러한 구현의 이점들은, 더 많은 비트 수를 갖는 피연산자들로 잘 스케일링하면서, 더 높은 클록 속도들에 도달할 수 있다는 것을 포함하며, 이는, 이러한 설계를 복소수 값들의 조작을 수반하는 문제들에 대한 저비용의 최신 해법들을 제조하는 데 이상적이게 한다.

직관의 용이성을 위해, 반올림은 알고리즘의 전술한 설명에서 무시되었으며, 정확한 반올림이 본 발명에서 고려되지 않았다는 암시로서 해석되지 않아야 한다. 각각의 단계에서 적용될 때, 반올림의 적용을 통해 감소된 오차를 갖는 결과를 달성하기 위해 임의의 산술 연산에서 직접 사용되지 않는 최상위 비트를 이용하는 것이 본원에서 설명된 결과들의 정확도를 증가시킬 수 있다는 것이 명백해야 한다.

IX. 더 높은 기수 접근법들

비트별 방식으로 평가하는 다른 알고리즘들과 유사한 방식으로, 단계들은 한번에 다수의 비트를 계산하는 방법을 생성하도록 병합될 수 있다. 이는, 출력이 2와 상이한 밑을 갖는 것으로서 처리되므로, 더 높은 기수 알고리즘으로 지칭되는데, 이는, 새로운 더 높은 밑으로부터 한 디지트(digit)가 단계별로 계산되는 것을 의미한다. 이것의 단점은, 검색 테이블들 및 편이들에 대한 선택들이 또한 병합되어야 해서, 반복마다 알고리즘이 동작하기 위한 더 큰 선택들의 집합이 생성된다는 것이다.

X. 실수 알고리즘

많은 시스템들은 본원에서 설명된 알고리즘의 실수부만을 사용하는 것으로부터 이익을 얻을 수 있다. 예컨대, 신경망 알고리즘들에 의해 종종 사용되는 S자형 로지스틱 함수는 먼저 실수

를 결정함으로써 또는

가 사전에 곱해진 경우에는 지수 프로세스를 사용하여 생성될 수 있다. 그런 다음, 1을 더하고 이러한 값으로 사전 설정된 상수를 나누는 것이 가능하거나, 원래의 논문에 의해 설명된 E-모드와 그에 후속하는 L-모드를 계속 사용하는 것이 다음과 같은 로지스틱 함수를 생성할 수 있다:

그러나 분자 k 및 추가적인 변경자들 a 및 b는 구성가능하게 유지된다.

XI. 수렴 도시

도 35에서, 지수 및 로그 방법들의 수렴이 그래프(3500)에 의해 도시된다. 도 35는, 필수적으로 수렴 도메인에서 각각의 가능한 값을 테스팅하는 것이 여기서 그래프로 나타낸 최악의 경우의 log₂ 오차를 산출하는 것을 도시한다. 그래프는 1조를 넘는 복소수 테스트 값들로부터 최악의 경우의 거동을 요약한다(재매핑된 분수 도메인에서의 각각의 실수 및 허수 값이 도시된 반복 횟수에 대해 테스팅되었음). 그래프들을 비교가능하게 하기 위해, 로그 결과는 오차에 대해 테스트되기 전에 그의 지수화된 형식으로 변환되었다. 이는, 이러한 많은 유효 비트들에 대해 방법이 수렴하는 것을 보장한다. 이러한 오차는 곱셈에 완전한 반올림을 부가함으로써 더 감소될 수 있다. 그래프는, 정밀도 및 반복들이 증가함에 따라 오차가 유사하게 감소하여 수렴을 나타내는 것을 도시한다.

이러한 그래프(3500)는, 테이블들 내의 비트 수 및 프로세스에서의 반복들과 유사한 레이트로 축소하는 수렴 도메인의 모든 가능한 경우들로부터 최악의 경우의 절대 오차를 도시한다. 이는, 알고리즘이 성공적으로, 이러한 고정 소수점 데이터의 다수의 비트들에 대한 모든 가능한 올바른 입력들에 대해, 정확한 비트로 올바른 해법으로 선형적으로 수렴한다는 것을 나타낸다.

XII. 본 발명의 실시예들을 설명하는 항들

1. 입력 '로그' 복소수를 결과적인 '지수' 복소수로 동시에 변환하기 위한 방법:

a. 결과적인 복소수의 절댓값은, 2에 실수 입력 복소수 부분의 실수가 거듭제곱된 것으로 이루어지고;

b. 결과적인 복소수의 인수는, 2에 허수 입력 복소수 부분의 실수 값과 곱해진 정수 제곱 회전들이 거듭제곱된 것으로 이루어짐.

2. 입력 '지수' 복소수를 결과적인 '로그' 복소수로 동시에 변환하기 위한 방법:

a. 입력 복소수의 실수 절댓값의 실수 이진 로그는 결과적인 복소수의 실수부를 형성하고;

b. 2에 입력 복소수의 인수로 표현된 정수 제곱 회전들이 거듭제곱된 것의 실수는 결과적인 복소수의 허수부를 형성함.

3. 1항 또는 2항의 방법에서, 변환은 실질적으로 복소수의 이진 표현에 대한 비트 편이, 비교들, 및 산술을 통해 달성됨.

4. 1항의 방법에서, 입력 및 출력 범위의 감소는, 입력 복소수의 성분들의 반올림에 실질적으로 대응하는 값들을 추가적인 부분으로 별개로 처리함으로써 수행됨.

5. 2항의 방법에서, 입력 및 출력 범위의 감소는, 출력 복소수의 성분들의 반올림에 실질적으로 대응하는 값들을 추가적인 부분으로 별개로 처리함으로써 수행됨.

6. 1항의 방법에서, 출력 복소수 값은, 반복들의 적용이 원래 출력되도록 의도된 값과의 복소수 곱셈을 계산하기 위해 비-단위 값을 수정하도록 1과 동일하지 않은 값으로 초기화될 수 있음.

7. 1항의 방법에서, 추가적인 복소수 값들이 인스턴스화됨으로써, 출력 복소수 값에 적용된 동작들이 또한 이러한 추가적인 값들에 적용될 수 있어서, 원래 출력되도록 의도된 복소수 값과 이러한 추가적인 복소수 값들의 곱셈이 산출됨.

8. 2항의 방법에서, 추가적인 복소수 값들이 인스턴스화됨으로써, 입력 복소수 값에 적용된 동작들이 또한 이러한 추가적인 값들에 적용될 수 있어서, 이러한 추가적인 복소수 값들의 복소수 값 입력에 의한 나눗셈이 산출됨.

9. 1항의 방법에서, 잔존하는 복소수 값들에 적용되는 반복 산술의 프로세스를 구현하기 위해 중복 번호 시스템이 사용됨.

10. 2항의 방법에서, 잔존하는 복소수 값들에 적용되는 반복 산술의 프로세스를 구현하기 위해 중복 번호 시스템이 사용됨.

11. 1항 내지 10항의 임의의 방법을 수행하도록 설계되는 디바이스.

12. 1항 내지 10항의 임의의 방법을 수행하도록 구성되는 데이터 프로세서.

7. 2차 문제의 크릴로프 표면으로부터 구축된 음향 필드들

본 개시내용은, 고유시스템으로 표현될 때, 선형 시스템에 포함시키기 위해 감소된 랭크 기저 집합을 생성하도록 2차 문제를 조작하는 방법을 설명한다. 감소된 랭크 기저를 사용함으로써, 최적으로 정보를 보존하는 (잠재적으로 감소된) 기저 함수들의 집합이 복소수 값 선형 시스템에 포함되도록 자동적으로 도출되어, 다수의 테스트 함수들에 의해 설명된 바와 같은 목적들의 집합을 달성하기 위해 그러한 기저 함수들의 최적의 복소수 값 재가중들을 발견한다.

감소된 기저 함수들의 집합의 도출, 및 음향 필드 선형 최적화 문제의 구현의 적절한 스테이지들 내로 그를 포함시키는 방식이 설명될 것이다.

I. 선형 제어 영역들

다음과 같이 복소수 값 가중 함수

를 이용하여 압력과 같은 선형 음향 양으로 적분을 수행하는 연산자로서 정의되는 선형 제어 영역이 사용되어 음향 필드를 평가할 수 있다:

복소수 공액은

가 음향 양에서 유사한 위상 분포들과 쌍을 이룰 때 함수 평가를 최대화하는 데 사용된다는 것을 유의해야 한다. 이러한 적분에 대한 임의의 근사(이를테면, 샘플링)가 사용될 수 있거나 실제로 이는 음압의 필드에 걸쳐 임의의 선형 연산자를 근사하는 데 사용될 수 있다. 벡터 입자 속도(각각의 벡터 성분은 필드의 고조파 움직임으로 인해 복소수 값임)를 사용하여 제어 영역을 최적하기 위해, 이 또한 선형이라는 것을 고려하여, 추가적인 적분이 구성될 수 있으며, 여기서,

이고, u는 매체의 입자 속도이고, w는 각각의 차원이 복소수 값인 3차원 벡터 필드이고, 이는 위와 동일한 목적을 갖는 가중 함수의 역할을 한다. 이러한 방식으로, 음향 양들의 상이한 패턴들이 선형 방식으로 평가될 수 있으며, w에서 스칼라 또는 벡터 함수에 의해 생성된 '템플릿'과 위상들이 정렬될 때 결과의 특정 위상이 목적 함수를 최대화할 것이다.

또한,

는 다수의 외관상 분리된 영역들의 단일 평가를 생성하기 위해 대체로 0(또는 영벡터들로 구성됨)일 수 있다는 것을 유의해야 한다. 임의의 적분 근사(이를테면, 샘플링)가 사용될 수 있는데, 그 이유는, 이러한 공식화가 선형 음향 양의 필드에 걸쳐 임의의 선형 연산자로 확장될 수 있기 때문이다.

II. 직교 문제들 및 고유문제들

다음을 최대화하고,

다음을 조건으로 하고,

그리고,

이다.

이는 행렬 M의 지배적 고유벡터를 취함으로써 해를 구할 수 있는데, 그 이유는, 문제의 표현이 또한 여기서 x인 고유벡터의 정의이기 때문이다. 행렬 M을 구축하는 것은, 먼저, 문제의 음향 양의 전역적 공간에서의 기저 함수로서 각각의 변환기에 의해 방출되는 선형 음향 양들을 고려함으로써 달성될 수 있다. 이는, 절대 위치

로 설명되는 단일 포인트에서의 압력 및 다른 음향 양들의 최대화를 달성하는 방식이다. 그러나, 설명된 제어 영역 적분을 사용하여, 각각의 개별 변환 요소의 필드로 방출되는 음향 양들을 통제하는

가

에 대해 교환될 수 있어서, 다음의 열 벡터가 산출된다:

이다.

가중 함수

를 수정하고 행렬 M의 고유벡터들에 대해 해를 구함으로써, 다양한 상이한 빔들, 표면들 및 다른 음향 현상이 생성되고 최대화될 수 있어서, 음향 필드에서 최적으로 작동되는 영역들이 생성된다.

이전에 논의된 널 공간 생성 기법("공중 햅틱 시스템들에서의 2차 문제들을 위한 고유시스템 해법들")이 또한 사용되어 음향 부양을 설명하기 위한 이러한 방법을 확장시킬 뿐만 아니라, 구조를 설명하기 위한 위치들에서 필드 내에 널 포인트들을 도입함으로써 널 스티어링 및 공중 감촉의 형성을 허용한다. 이러한 프로세스는 행렬의 랭크를 증가시키므로, 이러한 프로세스가 사용되어야 하는 경우에는 단순화가 가능하지 않다는 것이 유의되어야 한다.

III. 높은 랭크 행렬로의 감소된 랭크 근사

높은 랭크 행렬은 감소된 랭크 근사가 생성될 수 있도록 의도적으로 생성될 수 있다는 것이 요점이다. 예컨대, 수백 개의 개별 포인트들을 갖는 시스템이, 독립적인 기저 함수들에 의해 설명될 것들이 거의 없도록 자동으로 재그룹화될 수 있어서, 충실도를 증가시키고, 복잡도를 감소시키고, 필요에 따라 자동적으로 기저 함수들이 생성될 수 있게 하는 것보다 높은 차원으로 보이는 기저 집합의 실현을 가져온다.

기존의 접근법들은, 각각의 제어 포인트 또는 제어 영역에 대한 새로운 기저 함수를 생성한다. 각각의 제어 포인트 또는 영역의 최적화를 위해 고유시스템을 생성하고 이들을 합산하거나, 널들을 부가함으로써, 고유시스템이 랭크를 획득한다. 이는, 최종 행렬에 의해 고수준의 랭크가 획득되는, 기저 함수 행렬들 및/또는 널들을 부가하는 반복 프로세스를 통해 가능하다. 선형 시스템은, 리소스들에 대한 제약들로 인해, 최대 m개의 테스트 함수들을 사용하여 최대 n개의 기저 함수들만을 처리하는 것이 가능할 수 있다. 이러한 최적화 행렬의 고수준의 랭크는 이러한 경우에 n'일 수 있으며, 개별 기저 함수들을 생성하기 위한 n''개의 최적화 행렬들이 덧셈을 통해 함께 병합된다. 이러한 접근법을 사용하여, n' ＞ n 및/또는 n''＞ n인 다른 방식으로는 불가능한 상황이, 유한한 처리 능력들을 갖는 이러한 시스템으로 해결가능한, n개의 기저 함수를 갖는 감소된 기저 집합에서 표현되는 문제로 감소될 수 있다.

이러한 감소된 기저 집합은, 기저 함수들에 대한 다수의 최적화들로 구성되는 최종 행렬의 n개의 가장 지배적인 고유벡터들과 동일한 행렬 하위 공간을 실질적으로 점유하는 크릴로프 하위 공간을 계산함으로써 발견된다. 크릴로프 하위 공간은 아르놀디(Arnoldi) 반복과 같은 표준 기법을 사용하여 발견될 수 있으며, 그러한 기법에서는, 지배적 고유벡터가 발견된 다음 나머지 행렬로부터 제거되는데, 이는 이어서, n개의 그러한 고유벡터들이 발견될 때까지 반복되는 방식으로 적용된다.

IV. 혼합 접근법

기저 함수들이 고랭크 행렬들로부터 추출되게 하는 이러한 접근법은 기존의 특정 기저 함수 접근법과 혼합되고 매칭될 수 있다. 예를 들면, 2개의 제어 영역 또는 포인트가 반드시 지정될 수 있고, 선형 시스템에 입력되는 기저 집합에 부가된다. 그런 다음, 나머지 기저 함수들은, 그들이 2차 최적화들에 의해 그리고 그에 따라 자신 고유의 최적화 행렬들에 의해 특정될 수 있다는 것을 고려하면, 단일 행렬에 부가될 수 있는데, 이러한 단일 행렬은 이후, 이러한 크릴로프 하위 공간 방법을 사용하여 해체되어, 선형 시스템에 입력된 남은 수의 기저 함수들의 집합을 구성하기 위한 가장 지배적인 n - 2개의 고유벡터들이 발견된다. 이러한 방식으로, 선행하여 특정된 2개의 기저 함수는 그들이 선형 시스템에 직접 삽입되는 것으로 보장되지만, 집합의 나머지 함수들은 근사된다. 이러한 시스템은 추가로 취해질 수 있는데, 여기서, 설정된 수의 기저 함수들이 특정될 수 있고, 고랭크의 최적화 행렬에 의해, 그리고 이어서, 취해진 설정된 수의 기저 집합들에 의해 각각이 설명되는 기저 함수들의 분리된 집합들로부터 취해질 수 있다. 감소된 기저 함수들을 도출하기 위해 사용될 수 있는 추가적인 기법은, 전력 임계치가 교차될 때까지 행렬로부터 기저 함수들을 계속해서 취하는 것이다. 이러한 임계치는 결합된 기저 집합들로부터 구성된 각각의 행렬에 대해 상이할 수 있고, 따라서 상이한 전력의 고유벡터들을 산출하며, 여기서, 각각의 고유벡터의 전력은 그의 대응하는 고유값의 크기에 의해 설명되고, 이러한 방식으로, 고유벡터들은 실제 우선순위 값과 대응하는 고유값 크기의 곱에 기반하여 각각의 행렬로부터 계산되는 고유벡터를 선택함으로써 생성될 수 있다.

8. 테스트 함수들을 사용하는 선형 시스템 해법

기저 함수 집합이 기저 함수 집합과 별개로 정의되는 특정 목표들을 달성하는지 여부를 '테스팅'하는 방법은 가치가 있을 것이다. 이러한 목표들이 달성되는지 여부의 정량적 평가가 최적화에 공급되며, 이는 이러한 테스트 함수들에 의해 정의되는 음향 필드에서 원하는 특성들을 생성하는 데 사용된다.

복소수 값 선형 시스템 최적화에서의 테스트 함수들 및 그들의 역할이 설명될 것이다.

I. 선형 제어 영역들

다음과 같이 복소수 값 가중 함수

복소수 공액은

또한,

II. 기저 함수 집합

n개의 기저 함수의 집합이 입력으로서 주어지면, m개의 테스트 함수가, m개의 테스트 함수의 원하는 목적 평가를 달성하기 위한 n개의 기저 함수들의 최적의 선형 조합을 발견하기 위해 선형 시스템을 통해 사용될 수 있다. 이들 m개의 테스트 함수는 선형 제어 영역 평가들의 형태를 취할 수 있다. 위에서 주어진 바와 같은 목적 f의 형태들을 사용하면, 이는:

와 같을 것이거나, 또는 이들은 단일 제어 포인트 정의를 통해 다음과 같이 평가될 수 있다:

여기서, 윗줄은 복소수 공액을 나타내고, χ는 3차원 위치이고, q는 모든 변환기 요소들을 파라미터화하고, x는 변환기의 압력 필드의 공액과 곱해진 변환기 활성화이다. 입자 속도에 의해 정의된 제어 포인트에 대한 등가의 형태가 또한, 정의된 법선 방향을 갖긴 하지만 평가기로서 사용될 수 있다:

여기서, 잘못된 방향을 가리키는 임의의 변환기 q(

일 때 그 기여가 0으로 설정됨)가 또한 생략될 수 있다.

단일 제어 포인트 정의들 둘 모두에서, 기존의 접근법은, 제어 영역 평가의 유닛 가중 함수의 경우를 이용하여 특수한 단일 포인트 적분 평가로서 보여질 수 있다. 여기서, 목적 함수는 이후 어떠한 가외의 부작용들도 없는 단순히 음향 양이다.

III. 지배적 고유벡터의 발견

n개의 테스트 함수 각각을 사용하여 m개의 기저 함수 각각을 평가함으로써, 복소수 값인 직사각형 행렬에 도달한다. 이전과 같이, 지배적 고유벡터는 n개의 테스트 함수들에 의해 정의되는 공간에 가장 양호하게 걸쳐 있는 m개의 기저 함수들의 조합을 나타낸다. 그러나, 이것이 반드시 정사각형 행렬인 것은 아니기 때문에, 특이값 분해가 더 적절하지만, 그 후, 고유벡터가 지배적 고유벡터일 것만이 요구된다. 지배적 고유벡터가 시스템 기저 함수들의 지배적 조합의 요소들을 나타내는 제곱 에르미트 행렬이 구성될 수 있다. 그런 다음, 고유시스템이 다음에 의해 설명된다:

여기서, b₁, ..., b_n은, 그 위상이 m개의 테스트 함수들의 파라미터 공간의 커버링를 생성하는 계수들을 기술한다. 따라서, 지배적 고유벡터는, 단일 조합 벡터로 달성가능한 가장 양호한 공간의 커버링을 설명하고 따라서 그 위상이 이러한 커버링을 최적화하는 성분들 b₁, ..., b_n을 갖는다.

심지어 테스트 함수들의 수가 기저 함수들의 수와 등가인 경우에도, m = n이므로, 기존의 고유시스템 접근법은 반드시 적용가능하지는 않을 수 있다는 것이 유의되어야 한다. 이는, 행렬이 더 이상 에르미트가 아닐 수 있고, 따라서, 위의 단계를 완료하지 않고 레일리-리츠 방법을 이러한 행렬에 직접 적용하는 것은, 방법이 지배적 고유벡터로의 수렴에 실패하는 것을 야기할 수 있다는 사실로 인해서이다.

위상 데이터가 특정되지 않거나 불완전한 경우에, 위상 정보에 대해 지배적 고유벡터가 사용되어야 한다. 고유벡터는, 각각의 반복의 끝에서, 진폭 데이터를 스트립하도록 수정되거나, 위상이 0으로 평균되거나, 별개의 시간 단계에서 이전 해법으로부터의 위상 진행이 제한되거나, 또는 기존의 그리고 일정한 위상 관계들로 유지되는 일부 기저 함수들에 대한 위상 해법들의 하나의 집합을 가지면서 이러한 집합의 보수가 그들 자체와 기존 위상들의 고정 집합 사이의 위상들로 최적화될 수 있다. 이러한 방식으로, 이러한 직사각형 행렬 시스템은, 기저 집합을 생성하는 함수들이 기저 집합의 목적을 평가하는 데 사용되는 함수들과 동일한 상황에 특화된 기존 고유시스템 접근법과 유사한 효과를 달성하기 위해 사용될 수 있다.

IV. 선형 시스템 해법

복소수 값 선형 시스템은 이제 테스트 함수들의 주어진 값들을 가장 양호하게 복제하는 기저 함수들의 집합을 발견하는 수정된 역할을 갖는다. 여기서, 사용되어야 하는 선형 시스템은 다음과 같은 직사각형 행렬의 형태를 취한다:

행렬이 직사각형이므로, 테스트 함수들의 수가 기저 함수들의 수보다 많아서 복소수 값 최소 제곱 시스템을 초래하거나, 테스트 함수들의 수가 기저 함수들의 수보다 적어서 복소수 값 최소 놈 시스템을 초래할 수도 있다. 어느 경우든, 표준 분해가 사용되어 해 벡터를 발견할 수 있으며, 그 해석은, 해 벡터의 각각의 성분은 기저 함수들 각각에 적용될 계수이고, 이는, 테스팅될 때 음향 필드로 하여금 테스트 함수들의 주어진 값들을 표현하게 한다는 것이다.

이러한 테스트 함수들은, 포인트에서의 음향 압력 또는 방향성 입자 속력, 또는 공간 내의 영역에 걸친 압력들 및 방향 입자 속력들의 혼합을 표현할 수 있다. 이어서, 이러한 함수들의 임의의 조합은 선형 시스템의 최종 단계에서 해가 구해지는 m개의 테스트 함수들을 구성할 수 있다.

일단 기저 함수들에 대한 계수들이 알려지면, 변환기들을 작동시키는 최종 값들은 다음과 같이 확장될 수 있다:

입력 신호들은, (변화하는 환경으로 인해 더 유효하거나 덜 유효할 수 있는) 단일 단색 캐리어 주파수의 가정을 고려하면, 각각의 변환기에 대한 이러한 x의 성분들의 적용에 의해 구성될 수 있다.

9. 결론

전술한 실시예들의 다양한 특징들은 개선된 햅틱 시스템들의 다수의 변형들을 생성하도록 선택 및 조합될 수 있다.

전술한 명세서에서, 특정 실시예들이 설명되었다. 그러나, 관련 기술분야의 통상의 기술자는, 아래의 청구항들에 기재된 바와 같은 본 발명의 범위를 벗어나지 않으면서 다양한 수정들 및 변경들이 이루어질 수 있음을 인식한다. 따라서, 명세서 및 도면들은 제한적인 의미가 아니라 예시적인 것으로 간주되어야 하며, 모든 그러한 수정들은 본 교시들의 범위 내에 포함되는 것으로 의도된다.

이점들, 장점들, 문제들에 대한 해법들, 및 임의의 이점, 장점, 또는 해법이 발생하게 하거나 더 명백해지게 할 수 있는 임의의 요소(들)가, 임의의 청구항 또는 청구항들 전부에 대한 핵심적인, 요구되는, 또는 본질적인 특징들 또는 요소들로서 해석되어서는 안된다. 본 발명은 본 출원의 계류 중에 이루어지는 임의의 보정들 및 발행된 바와 같은 그러한 청구항들의 모든 등가물들을 포함하는 첨부된 청구항들에 의해서만 정의된다.

더욱이, 본 문서에서, 제1과 제2, 상단과 하단 등과 같은 상관적인 용어들은, 하나의 엔티티 또는 동작을 다른 엔티티 또는 동작과 단지 구별하기 위해 사용될 수 있으며, 그러한 엔티티들 또는 동작들 사이의 임의의 실제의 그러한 관계 또는 순서를 반드시 요구하거나 또는 암시하는 것은 아니다. "포함하다", "포함하는", "갖다", "갖는", "구비하다", "구비하는", "가지다", "가지는"이라는 용어들 또는 이들의 임의의 다른 변형은, 요소들의 목록을 포함하고, 갖고, 구비하고, 가지는 방법, 물품, 또는 장치가 오직 그 요소들만을 포함하는 것이 아니라 그러한 프로세스, 방법, 물품, 또는 장치에 내재하거나 명백히 열거되지 않은 다른 요소들을 포함할 수 있도록, 비-배타적인 포함을 망라하는 것으로 의도된다. "...을 포함하다", "...을 갖다", "...을 구비하다", "...을 가지다" 앞에 오는 요소는, 더 많은 제약들 없이, 그 요소를 포함하고, 갖고, 구비하고, 가지는 프로세스, 방법, 물품, 또는 장치에서의 부가적인 동일한 요소들의 존재를 배제하지 않는다. 단수 표현의 용어들은 달리 명시적으로 언급되지 않는 한 하나 이상으로서 본원에서 정의된다. "실질적으로", "본질적으로", "대략적으로", "약"이라는 용어들 또는 이들의 임의의 다른 형태는 관련 기술분야의 통상의 기술자에 의해 이해되는 바와 유사한 것으로서 정의된다. 본원에서 사용되는 "결합"은, 반드시 직접적일 필요는 없고 반드시 기계적일 필요는 없지만 연결된 것으로 정의된다. 특정 방식으로 "구성"된 디바이스 또는 구조는 적어도 그 방식으로 구성되지만, 열거되지 않은 방식들로 또한 구성될 수 있다.

본 개시내용에 대한 요약서는 독자가 기술적 개시내용의 본질을 신속하게 알아낼 수 있게 하기 위해 제공된다. 그것이 청구항들의 범위 또는 의미를 해석하거나 제한하는 데 사용되지 않을 것이라는 이해 하에 제출된다. 게다가, 전술한 상세한 설명에서, 다양한 특징들은 본 개시내용을 간소화할 목적으로 다양한 실시예들에서 함께 그룹화되는 것을 알 수 있다. 본 개시내용의 이러한 방법은, 청구된 실시예들이 각각의 청구항에서 명백히 언급된 것보다 많은 특징들을 요구한다는 의도를 반영하는 것으로 해석되지 않아야 한다. 오히러, 다음의 청구항들이 반영하는 바와 같이, 발명의 주제는 단일의 개시된 실시예의 모든 특징들보다는 적게 이루어진다. 따라서, 다음의 청구항들은 이로써 상세한 설명에 포함되며, 각각의 청구항은 별개로 청구되는 것으로서 그 자신에 의거한다.

Claims

방법으로서,
음향 필드에 제어 포인트들을 생성하는 단계;
파 운동량을 위상 어레이 솔버(solver)에 포함시키기 위해 각각의 제어 포인트에 법선 벡터 및 방향을 배정하는 단계; 및
관심 포인트에서 상기 파 운동량의 x 성분, y 성분, 및 z 성분의 해를 구하는 단계를 포함하는, 방법.
제1항에 있어서,
x 성분, y 성분, 및 z 성분 각각은
,
, 및
로서 특정되고,
,
, 및
은,

와 같이 정의되고, 여기서,
은 상기 제어 포인트 j에서 변환기 q로부터의 파 전파의 방향을 나타내는 벡터이고,
은 상기 제어 포인트 j의 법선 벡터 방향이고, 상기 제어 포인트의 위치에 걸쳐 상기 운동량이 측정되는, 방법.