KR20190078120A - 3상 유도 전동기용 로터 자속 및 로터 저항의 추정이 가능한 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버 - Google Patents

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KR20190078120A
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Abstract

3상 유도 전동기의 제어 정밀도는 로터 저항 및 로터 플러스와 같은 감지할 수 없는 모터 파라미터 값을 얻고 추정하는 데 크게 달려 있다. 본 발명에서는 적응 방법(adaptation method)에 따라 로터 자속과 로터 저항을 추정하여 컨트롤러 모델에서 모터 파라미터 부정합(motor parameter mismatch)에 의해 야기되는 오차를 보상하는 ELSMO(Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)를 제안한다. 모터 파라미터 부정합은 동작시에 온도 변화에 기인한 저항 변화에 의해 주로 야기되며, 실시간으로 바로 잡아야 된다. 로터 저항 추정은 리아프노프 안정 이론(Lyapunov stability theory)에 근거하고 있으며 좀더 정확한 전류/플럭스/저항 추정을 위해 ELSMO에 피드백된다.

Description

3상 유도 전동기용 로터 자속 및 로터 저항의 추정이 가능한 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버{Extended Luenberger-Sliding Mode Observer Capable of Estimating Rotor flux and Rotor Resistance for Three Phase Induction Motor}
본 발명은 3상 유도 전동기 제어에 관한 것으로, 특히 3상 유도 전동기용 로터 자속 및 로터 저항의 추정이 가능한 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO: Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)에 관한 것이다.
3상 유도 전동기는 가격, 단순함, 효율 및 신뢰성 측면에서 광범위한 산업에 적용되고 있다.
일반적으로 벡터 제어는 유도 전동기의 출력 토크를 고속으로 제어하기 위한 하나의 방식으로 해서 산업분야에서 널리 채용되고 있다.
벡터 제어는 전원이 동기해서 회전하는 직교 2축의 회전좌표계로, 그 한쪽의 2차 지속방향으로 취한, d-q 좌표계라 불리는 좌표계의 벡터로서 3상 유도 전동기의 전류나 자속을 표현해서 유도 전동기의 토크와 2차 자속을 독립적으로 제어한다.
근래에 전기 자동차에 대한 어플리케이션에서는 3상 유도 전동기의 정밀 제어가 요구되고 있으며, 로터 자속(rotor flux) 및 로터 저항(rotor resistance)과 같은 파라미터 값은 정확하게 측정되어야 한다. 만약, 그렇지 않으면 스테이터 전류 및 로터 자속 성분이 잘못 측정되며, 그 결과 대부분의 경우에 3상 유도 전동기는 증속 구동 제어가 이루어진다.
특히, 부정확하게 측정된 로터 저항은 하기의 4가지 중요한 현상을 야기한다:
1) 더 많은 스테이터 전류가 요구된다.
2) 플럭스 레벨이 부정확하다.
3) 정상상태 전류/플럭스 값이 명령된 값과 차이가 난다.
4) 토크 응답이 즉각적이지 않는다.
따라서, 이들 문제는 실시간으로 가능한 한 정확하게 로터 저항을 측정하여 콘트롤러 유닛에 그것을 적응시킴에 의해 해결되어야 한다.
: 한국 공개특허공보 제10-2012-0041794호
본 발명의 목적은 3상 유도 전동기용 로터 자속 및 로터 저항의 추정이 가능한 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO: Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)를 제공하는 데 있다.
본 발명의 다른 목적은 3상 유도 전동기 구동시에 파라미터 가변 조건에 따라 추정된 스테이터 전류와 로터 자속 성분을 보상하도록 파라미터 적응 유닛(parameter adaptation unit)을 갖는 ELSMO를 제공하는 데 있다.
본 발명의 또 다른 목적은 적응 방법(adaptation method)에 따라 로터 자속과 로터 저항을 추정하여 컨트롤러 모델에서 모터 파라미터 부정합(motor parameter mismatch)에 의해 야기되는 오차를 보상하는 ELSMO를 제공하는 데 있다.
상기 목적을 달성하기 위하여, 본 발명은 입력변수(
Figure pat00001
)에 응답하여 PWM 구동신호를 발생하는 벡터 컨트롤러에 의해 구동제어되는 유도 전동기 모델에서 로터 저항 추정치를 구할 수 있는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO)로서, 상기 입력변수(
Figure pat00002
)와 입력 행렬(B)의 승산을 수행하는 입력 행렬 계산 유닛; 상기 유도 전동기 모델로부터 측정된 스테이터 전류(
Figure pat00003
)와 스테이터 전류 추정치(
Figure pat00004
)를 비교하여 상태 추정 오차(
Figure pat00005
)를 산출하는 비교기 유닛; 상태변수 추정치(
Figure pat00006
)와 상기 상태 추정 오차(
Figure pat00007
)를 받아서 로터 저항 추정치(
Figure pat00008
)를 산출하는 로터 저항 보상/적응 유닛; 상기 상태변수 추정치(
Figure pat00009
)와 로터 저항 추정치(
Figure pat00010
)를 받아서 시스템 행렬 추정치(
Figure pat00011
)와의 승산을 수행하는 루엔버거 옵저버의 시스템 추정치 행렬 계산 유닛; 상기 상태 추정 오차(
Figure pat00012
)를 받아서 루엔버거 이득 행렬(L)과 슬라이딩-모드 이득 행렬(K)을 보상하도록 루엔버거 옵저버 항(
Figure pat00013
)에 슬라이딩-모드 항(
Figure pat00014
)이 부가된 출력을 생성하는 루엔버거 옵저버의 L 행렬 계산 유닛; 상기 입력 행렬 계산 유닛, 시스템 추정치 행렬 계산 유닛 및 L 행렬 계산 유닛의 출력을 가산하여 상태변수 추정치의 미분값(
Figure pat00015
)을 산출하는 가산기 유닛; 상기 상태변수 추정치의 미분값(
Figure pat00016
)을 적분하여 상태변수 추정치(
Figure pat00017
)를 산출하는 적분기 유닛; 및 상기 상태변수 추정치(
Figure pat00018
)를 받아서 출력 행렬(C)과 승산을 수행하여 스테이터 전류 추정치(
Figure pat00019
)를 산출하는 루엔버거 옵저버(LO)의 출력 행렬 계산 유닛;을 포함하며, 상기
Figure pat00020
, B, C 및
Figure pat00021
는 하기와 같이 정의되는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버를 제공한다.
Figure pat00022
,
Figure pat00023
,
Figure pat00024
,
Figure pat00025
,
여기서, Rs와 Rr은 스테이터 저항과 로터 저항이며, Ls, Lr 및 Lm은 각각 스테이터 인덕턴스, 로터 인덕턴스 및 상호 인덕턴스이고,
Figure pat00026
,
Figure pat00027
는 로터 각속도이며, usd 및 usq는 각각 스테이터 전압(d-축) 및 스테이터 전압(q-축)이고, χ는 상태변수로서 다음과 같이 표시되고,
Figure pat00028
여기서, isd, isq, λrd, λrq는 각각 스테이터 전류(d-축), 스테이터 전류(q-축), 로터 자속(d-축), 로터 자속(q-축)이다.
3상 유도 전동기의 제어 정밀도는 로터 저항 및 로터 플러스와 같은 감지할 수 없는 모터 파라미터 값을 얻고 추정하는 데 크게 달려 있다. 본 발명에서는 적응 방법(adaptation method)에 따라 로터 자속과 로터 저항을 추정하여 컨트롤러 모델에서 모터 파라미터 부정합(motor parameter mismatch)에 의해 야기되는 오차를 보상할 수 있다.
모터 파라미터 부정합은 동작시에 온도 변화에 기인한 저항 변화에 의해 주로 야기되며, 실시간으로 바로 잡아야 된다. 로터 저항 추정은 리아프노프 안정 이론(Lyapunov stability theory)에 근거하고 있으며 좀더 정확한 전류/플럭스/저항 추정을 위해 ELSMO에 피드백된다.
본 발명에서는 3상 유도 전동기 구동시에 파라미터 가변 조건에 따라 추정된 스테이터 전류와 로터 자속 성분을 보상하도록 파라미터 적응 유닛을 갖는다.
본 발명에서는 파라미터 변화에 의해 야기되는 스테이터 전류, 플럭스 및 속도에 대한 오차를 보상함에 의해 고효율로 고속 동적 응답을 요구하는 3상 유도 전동기 제어를 만족시킬 수 있다.
루엔버거 이득 행렬은 극(pole) 배치의 시행착오법으로 최적화되며 슬라이딩 이득 행렬은 컨트롤러가 본 발명의 매개 변수 변형에 견고하도록 설정된다. ELSMO는 적절한 이득 행렬을 사용하여 정확한 로터 자속 및 로터 저항 추정(치)을 제공한다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 3상 유도 전동기 제어장치에 이용되는 LSMO 모델을 나타내는 개략 블록도이다.
도 2는 본 발명의 ELSMO 모델에 이용되는 루엔버거 옵저버(LO)를 구비한 상태 추정 오차 모델을 나타내는 개략 블록도이다.
도 3은 본 발명에 따른 적응 로터 저항을 갖는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO: Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)를 나타내는 개략 블록도이다.
도 4는 극이 -1000, -300, -300, -1000인 경우 응답 시간을 나타내는 타이밍도이다.
도 5는 샘플링 시간이 응답 시간보다 길 때 측정된 스테이터 전류와 추정된 스테이터 전류 간의 오차를 나타낸 타이밍도이다.
도 6은 측정 스테이터 전류와 추정 스테이터 전류 d-축을 나타내는 타이밍도이다.
도 7은 측정 스테이터 전류와 추정 스테이터 전류 q-축을 나타내는 타이밍도이다.
도 8은 정해진 로터 자속 및 추정 로터 자속 d-축을 나타내는 타이밍도이다.
도 9는 정해진 로터 자속 및 추정 로터 자속 q-축을 나타내는 타이밍도이다.
도 10은 로터 저항 추정에 미치는 영향을 보여주기 위해 유도 전동기 모델에 적용된 초저속 및 제로 속도를 포함하는 동적 속도 기준(Dynamic speed reference)을 나타낸다.
도 11은 도 10에 주어진 동적 속도 기준에 따른 시간의 함수로서 로터 저항 추정을 도시한다.
이하, 첨부된 도면들을 참조하여 본 발명에 따른 실시예를 상세히 설명한다. 이 과정에서 도면에 도시된 구성요소의 크기나 형상 등은 설명의 명료성과 편의상 과장되게 도시될 수 있다. 또한, 본 발명의 구성 및 작용을 고려하여 특별히 정의된 용어들은 사용자, 운용자의 의도 또는 관례에 따라 달라질 수 있다. 이러한 용어들에 대한 정의는 본 명세서 전반에 걸친 내용을 토대로 내려져야 한다.
선형 시스템의 상태(state)를 관측하기 위하여 옵저버(observer)를 사용하고 있다. 일반적인 제어 시스템의 경우 그 시스템의 모든 상태를 알기는 쉽지 않다. 대부분 상태의 일부분만을 직접 혹은 간접적으로 측정하고, 그 측정부분으로부터 전체 상태를 관측하는 알고리즘을 옵저버(observer)라고 한다. 가장 대표적인 관측기로는 칼만 필터(KF: Kalman Filter)와 루엔버거 옵저버(LO: Luenberger Observer)가 있다.
루엔버거 옵저버는 선형 시스템을 위한 것이며, 비선형 시스템은 확장 루엔버거 옵저버(ELO: Extended Luenberger Observer)를 사용한다. 비선형 시스템에 사용되는 확장 루엔버거 옵저버(ELO)의 기본적인 아이디어는 비선형 시스템을 선형화시킨 후, 선형화 시스템에 대하여 루엔버거 옵저버의 알고리즘을 적용할 수 있다.
Ⅰ. 범용 유도 전동기 모델(General Induction Motor Model)
우선, 3상 유도 전동기의 상태-공간 모델(state-space model)을 유도하면 다음과 같다.
유도 전동기는 하기 수학식 1 내지 수학식 4로 표현될 수 있다:
Figure pat00029
Figure pat00030
Figure pat00031
Figure pat00032
여기서, isd, isq, λrd, λrq, usd 및 usq는 각각 스테이터 전류(d-축), 스테이터 전류(q-축), 로터 자속(d-축), 로터 자속(q-축), 스테이터 전압(d-축) 및 스테이터 전압(q-축)이다. Rs와 Rr은 스테이터 저항과 로터 저항이다. 스테이터 좌표에서, 수학식 1과 수학식 2는 스테이터 벡터 미분 방정식이고, 수학식 3과 수학식 4는 로터 벡터 미분 방정식이다.
스테이터 전류와 로터 자속은 3상 유도 전동기의 상태-공간 모델(state-space model)에서 메인 상태-공간 변수로서 고려될 것이다.
Figure pat00033
Figure pat00034
여기서, λs, λr, Ls, Lr 및 Lm은 각각 스테이터 플럭스, 로터 자속, 스테이터 인덕턴스, 로터 인덕턴스 및 상호 인덕턴스이다. 수학식 5와 수학식 6에 기초하여 로터 전류와 스테이터 플럭스는 하기 수학식 7 및 수학식 8과 같이 다시 정리될 수 있다.
Figure pat00035
Figure pat00036
여기서,
Figure pat00037
이고,
Figure pat00038
이다.
수학식 7과 수학식 8을 각각 수학식 1 내지 수학식 4에 대입하면, 하기 수학식 9 내지 수학식 11이 얻어진다.
Figure pat00039
Figure pat00040
Figure pat00041
여기서,
Figure pat00042
는 로터 각속도이다. 수학식 10과 수학식 11을 수학식 9에 대입하여 다시 정리하면 하기 수학식 12 내지 수학식 15와 같다.
Figure pat00043
Figure pat00044
Figure pat00045
Figure pat00046
상기 수학식 12 내지 수학식 15는 3상 유도 전동기의 상태-공간 모델을 나타낸다.
Ⅱ. 확장 루엔버거 옵저버(ELO: Extended Luenberger Observer)
유도 전동기의 파라미터를 추정하도록 다양한 종류의 알고리즘이 발표되고 개발되어 왔다. 그들 중에 확장형 칼만 필터(EKF; Extended Kalman Filter)와 루엔버거 옵저버(LO; Luenberger Observer)가 단순함과 정밀도를 위해 널리 사용되는 알고리즘이다. 그러나, 이들 2 알고리즘은 정확한 결과를 얻기 위하여 시행착오 프로세스(trial and error process)를 고려해야한다.
상기한 점을 고려하여 본 발명에서는 도 3에 도시된 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO; Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)를 제안한다. ELSMO는 비선형 폼(non-linearized form)의 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(Luenberger-Sliding mode observer)의 선형화 폼(linearized form)이다.
루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(LSMO)의 일반 디자인은 3상 유도 전동기의 상태-공간 모델에 기초를 두고 있다. 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(LSMO)는 추정값이 2개의 추정값과 측정값 사이의 오차를 얻기 위하여 측정값과 비교되는 폐-루프 옵저버이다.
측정 변수는 이 알고리즘의 기준이므로 측정 변수의 정확도에 크게 영향을 받는 성능을 더 좋게 보여주도록 이 오차는 피드백 정정을 위해 루엔버거 이득과 슬라이딩 모드 이득과 곱셈이 이루어진다. 더욱이, LO나 ELSMO와 같은 폐-루프 옵저버는 제로 속도를 포함하는 광범위한 동작 속도 범위를 가진다.
고정 기준 좌표계에서 유도 전동기의 상태 방정식은 다음 수학식 16과 같다.
Figure pat00047
여기서,
Figure pat00048
이면,
Figure pat00049
,
Figure pat00050
,
Figure pat00051
,
Figure pat00052
이다.
여기서, A 및 B 행렬은 유도 전동기 모델인 수학식 12 내지 수학식 15의 방정식으로부터 제공되며, x, us 및 ys는 각각 상태 변수, 입력 변수 및 출력 변수이다. 이 경우, 출력 변수(ys)는 측정 가능한 스테이터 전류이다.
루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(LSMO)는 다음 수학식 17과 같이 스테이터 전류와 로터 자속을 추정하도록 디자인되어 있다.
Figure pat00053
여기서,
Figure pat00054
이고,
Figure pat00055
여기서, Λ는 추정값을 나타낸다. 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(LSMO)는 도 1에 도시된 바와 같이, Simulink로 표현될 수 있다.
도 1을 참고하면, 유도 전동기 모델(15)은 입력변수(
Figure pat00056
)(11)에 응답하여 PWM 구동신호를 발생하는 벡터 컨트롤러(13)에 의해 구동제어된다.
루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(LSMO)는 상기 입력변수(
Figure pat00057
)(11)와 입력 행렬(B)의 승산을 수행하는 입력 행렬 계산 유닛(21); 상기 유도 전동기 모델(15)로부터 측정된 스테이터 전류(
Figure pat00058
)와 스테이터 전류 추정치(
Figure pat00059
)를 비교하여 상태 추정 오차(
Figure pat00060
)를 산출하는 비교기 유닛(25); 상기 상태변수 추정치(
Figure pat00061
)를 받아서 시스템 행렬(A)과의 승산을 수행하는 루엔버거 옵저버의 시스템 행렬 계산 유닛(26); 상기 상태 추정 오차(
Figure pat00062
)를 받아서 루엔버거 이득 행렬(L)과 슬라이딩-모드 이득 행렬(K)을 보상하도록 루엔버거 옵저버 항(
Figure pat00063
)에 슬라이딩-모드 항(
Figure pat00064
)이 부가된 출력을 생성하는 루엔버거 옵저버의 L 행렬 계산 유닛(27); 상기 입력 행렬 계산 유닛(21), 시스템 행렬 계산 유닛(26) 및 L 행렬 계산 유닛(27)의 출력을 가산하여 상태변수 추정치의 미분값(
Figure pat00065
)을 산출하는 가산기 유닛(22); 상기 상태변수 추정치의 미분값(
Figure pat00066
)을 적분하여 상태변수 추정치(
Figure pat00067
)를 산출하는 적분기 유닛(23); 및 상기 상태변수 추정치(
Figure pat00068
)를 받아서 출력 행렬(C)과 승산을 수행하여 스테이터 전류 추정치(
Figure pat00069
)를 산출하는 루엔버거 옵저버의 출력 행렬 계산 유닛(24);을 포함한다.
루엔버거 옵저버 항(
Figure pat00070
)과 슬라이딩-모드 항(
Figure pat00071
)이 부가되었고, 여기서 L 및 K는 루엔버거 이득 행렬과 슬라이딩-모드 이득 행렬이다. 루엔버거 옵저버 항은 보상에 의해 추정값을 정정하며 슬라이딩-모드 항은 옵저버의 강건성(robustness)을 제어한다.
Ⅲ. 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO; Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)
Ad, Bd, Cd가 시-불변인한 선형 이산 유도 전동기 모델(linear discretized induction motor model)은 하기 수학식 18 및 수학식 19로 표현될 수 있다.
Figure pat00072
Figure pat00073
여기서,
Figure pat00074
,
Figure pat00075
,
Figure pat00076
이고, T는 샘플링 시간이다.
그러나,
Figure pat00077
의 비선형성으로 인하여 유도 전동기는 비선형 시스템이며 하기 수학식 20과 같이 표현될 수 있다.
Figure pat00078
확장 루엔버거 옵저버(ELO)는 최적 추정의 근사값을 제공한다. 비선형의 유도 전동기 모델은 마지막 상태 추정값 주변의 비선형 유도 전동기 모델을 선형화함에 의해 근접될 수 있다. 이러한 근사치의 유효화를 위해 이러한 선형화 작업은 비선형 모델과 매우 근사해야 한다. 비선형 유도 전동기 모델의 선형 유도 전동기 모델로 변형은 다음과 같이 이루어질 수 있다.
Figure pat00079
에서
Figure pat00080
주변의 비선형 시스템 다이내믹스(system dynamics)의 선형화는 하기 수학식 21과 같다.
Figure pat00081
선형화를 한 경우, 시스템 다이내믹스는 하기 수학식 22와 같이 쓰여질 수 있다.
Figure pat00082
수학식 22의 응축된 형태는 하기 수학식 23가 같이 표현될 수 있다.
Figure pat00083
여기서,
Figure pat00084
이다.
상기 수학식 18과 수학식 23은 서로 동일해야 하므로, 그 결과
Figure pat00085
이다.
Ⅳ. 루엔버거 이득 설계
루엔버거 옵저버(LO)는 상태 변수(x(0))의 초기값에 대해 시간이 지남에 따라 오차가 "0"으로 줄어들도록 하기 수학식 24 및 수학식 25와 같이 설계된다.
Figure pat00086
Figure pat00087
수학식 25에서 수학식 24를 빼면, 오차 방정식은 하기 수학식 26 내지 수학식 31의 상태 방정식으로 표시될 수 있다.
Figure pat00088
Figure pat00089
Figure pat00090
Figure pat00091
Figure pat00092
Figure pat00093
상태 추정 오차의 다이내믹스는 하기 수학식 32와 같이 표현될 수 있다.
Figure pat00094
여기서,
Figure pat00095
이다.
이 경우, Matlab의 Lsim 명령은 초기 오차(error)가 "0"으로 수렴되는지 여부를 확인하는 데 사용된다. 만약 그렇다면 수렴시간이 얻어질 수 있다. 입력 변수는 이 결정에 영향을 미치지 않는다는 점에 유의하여야 한다. Lsim의 명령은 하기와 같이 표현된다:
Figure pat00096
여기서,
Figure pat00097
초기 오차값이다.
Lsim 명령에 사용된 초기값은 상수 DC로 간주된다. 그러나 실제 모터 작동 중에 측정된 출력 변수는 샘플링 시간 동안만 일정한 것으로 간주된다. 측정된 출력 변수와 추정된 출력 변수 사이의 오차(error)는 주어진 샘플링에서 "0"에 도달해야 한다. 오차(error)가 "0"에 가까워지는 최대 응답 시간은 샘플링 시간이며 Lsim 명령을 사용하여 확인할 수 있다. 따라서, 루엔버거 이득(L)을 선택하고 Lsim 명령을 사용하여 응답 시간이 샘플링 시간에 있는지 확인한다. 그렇지 않으면 오차는 "0"이 되지 않는다.
수학식 21을 라플라스 변환하면 하기 수학식 33 및 수학식 34로 표현된다.
Figure pat00098
Figure pat00099
여기서,
Figure pat00100
이다.
A-L*C의 고유치는 det[Is-(A-LC)]로 구할 수 있으며 선택한 극(pole)과 같아야 한다. 따라서 루엔버거 이득 행렬(L)은 위의 방정식에 의해 계산된다.
루엔버거 이득 행렬(L)은 극 배치에 의해 설계되고, 극의 수는 상태 변수의 수와 같아야 한다. 이 경우 4개의 극을 다른 위치에 배치해야 한다. L 행렬을 결정하는 한 가지 간단한 방법은 다음과 같이 Matlab에서 'PLACE' 명령을 사용하는 것이다:
Figure pat00101
여기서, p1, p2, p3 및 p4는 4개의 배치된 극이다.
이 경우, 2개의 스테이터 전류 성분이 측정되므로, 옵저버 이득 행렬은 하기와 같이 표현되며 4x2의 크기를 가진다:
Figure pat00102
극은 (A-LC)가 점근적으로 안정하도록 옵저버 이득 행렬(L)을 얻기 위해 시행 착오에 의해 배치된다.
Ⅴ. 적응 로터 저항 추정
본 발명에서는 로터 저항 추정에 중점을 두었다. 3상 유도 전동기 작동 중에 온도 변화가 발생하여 로터 저항이 달라질 수 있다. 이 경우, 로터 저항은 추정된 로터 저항이 3상 유도 전동기의 상태 공간 모델 방정식으로 피드백되는 옵저버의 알려지지 않은 매개 변수로 취급된다.
추정된 스테이터 전류와 로터 자속은 로터 저항 추정에 사용된다. 로터 저항을 추정하기 위한 조건을 찾기 위해 측정된 스테이터 전류와 추정된 스테이터 전류 간의 오차(error)가 필요하다. 이것은 다음과 같이 수학식 16에서 수학식 17을 뺀 값으로 계산할 수 있다.
Figure pat00103
Figure pat00104
Figure pat00105
여기서,
Figure pat00106
,
Figure pat00107
,
Figure pat00108
Figure pat00109
,
Figure pat00110
이다.
로터 저항 추정은 하기 수학식 39에 도시된 리아프노프(Lyapunov)의 함수를 사용하여 표현된다.
Figure pat00111
여기서 α는 양의 상수이다. 추정된 로터 저항이 실제 로터 저항(Rr)과 같고 오차(e)가 제로가 되어 상기 함수가 제로와 같아진다. V의 시간 미분은 하기 수학식 40 및 수학식 41로 얻어진다.
Figure pat00112
Figure pat00113
여기서,
Figure pat00114
Figure pat00115
이며, 하기 수학식 42로 표현될 수 있다.
Figure pat00116
여기서,
Figure pat00117
이다.
Figure pat00118
은 상기와 같이 하기 수학식 43으로 얻어진다.
Figure pat00119
리아프노프(Lyapunov) 함수의 미분은 수학식 41에 수학식 42와 수학식 43을 대입하면 다음 수학식 44와 같이 나타낼 수 있다.
Figure pat00120
오차가 "0"이 아니면 V는 점근 안정성을 위해 감소해야 한다. 수학식 44의 첫 번째 항은 항상 음의 값을 가지며 리아프노프 함수의 도함수는 음의 값을 가지므로 두 번째 항과 세 번째 항의 합은 위의 조건을 만족하기 위해 "0"이다. 위에서 주어진 조건 하에서 로터 저항 추정 방정식은 다음 수학식 45와 같이 유도된다.
Figure pat00121
도 3은 본 발명에 따른 3상 유도 전동기에서 적응 로터 저항을 갖는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO: Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)를 나타내는 개략 블록도이다.
도 3을 참고하면, 유도 전동기 모델(15)은 입력변수(
Figure pat00122
)(11)에 응답하여 PWM 구동신호를 발생하는 벡터 컨트롤러(13)에 의해 구동제어된다.
본 발명의 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO)는 유도 전동기 모델(15)에서 로터 저항 추정치를 구할 수 있는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO)로서, 상기 입력변수(
Figure pat00123
)(11)와 입력 행렬(B)의 승산을 수행하는 입력행렬 계산유닛(21); 상기 유도 전동기 모델(15)로부터 측정된 스테이터 전류(
Figure pat00124
)와 스테이터 전류 추정치(
Figure pat00125
)를 비교하여 상태 추정 오차(
Figure pat00126
)를 산출하는 비교기 유닛(25); 상태변수 추정치(
Figure pat00127
)와 상기 상태 추정 오차(
Figure pat00128
)를 받아서 로터 저항 추정치(
Figure pat00129
)를 산출하는 로터 저항 보상/적응 유닛(28); 상기 상태변수 추정치(
Figure pat00130
)와 로터 저항 추정치(
Figure pat00131
)를 받아서 시스템 행렬 추정치(
Figure pat00132
)와의 승산을 수행하는 루엔버거 옵저버의 시스템 추정치 행렬 계산유닛(29); 상기 상태 추정 오차(
Figure pat00133
)를 받아서 루엔버거 이득 행렬(L)과 슬라이딩-모드 이득 행렬(K)을 보상하도록 루엔버거 옵저버 항(
Figure pat00134
)에 슬라이딩-모드 항(
Figure pat00135
)이 부가된 출력을 생성하는 루엔버거 옵저버의 L 행렬 계산유닛(27); 상기 입력행렬 계산유닛(21), 시스템 추정치 행렬 계산유닛(29) 및 L 행렬 계산유닛(27)의 출력을 가산하여 상태변수 추정치의 미분값(
Figure pat00136
)을 산출하는 가산기 유닛(22); 상기 상태변수 추정치의 미분값(
Figure pat00137
)을 적분하여 상태변수 추정치(
Figure pat00138
)를 산출하는 적분기 유닛(23); 및 상기 상태변수 추정치(
Figure pat00139
)를 받아서 출력 행렬(C)과 승산을 수행하여 스테이터 전류 추정치(
Figure pat00140
)를 산출하는 루엔버거 옵저버(LO)의 출력행렬 계산유닛(24);을 포함한다.
본 발명에서는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO; Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)를 제안한다. ELSMO는 비선형 폼(non-linearized form)의 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(Luenberger-Sliding mode observer)의 선형화 폼(linearized form)이다.
확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO; Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)에서 추정된 스테이터 전류(d-q 축)는 측정된 스테이터 전류(d-q 축)와 비교되어야 하며 이들 사이의 오차는 피드백되고 루엔버거 이득 및 슬라이딩 이득 행렬에 의해 곱해진다.
리아프노프(Lyapunov)의 이론과 수학식 45에 기초하여, 세 가지 상태 변수, 즉, 스테이터 전류(
Figure pat00141
), 로터 자속(λr) 및 로터 저항(Rr)이 상호 관련되어 있다. 추정된 로터 저항(
Figure pat00142
)의 정확도는 특히 로터 자속(λr) 및 스테이터 전류(
Figure pat00143
)의 상태 변수(χ)의 정확한 추정에 크게 의존한다. 또한, 추정된 상태 변수(
Figure pat00144
)의 정확도는 정확하게 추정된 로터 저항(
Figure pat00145
)에 의존한다. 따라서 로터 저항(Rr), 로터 자속(λr) 및 스테이터 전류(
Figure pat00146
)의 정확한 추정이 동시에 얻어져야 한다.
이상을 달성하기 위해, 로터 저항 보상/적응 유닛(28)은 루엔버거 옵저버(Luenberger observer)의 "A" 및 "L" 행렬 계산유닛(29,27)에 실시간으로 적용된다.
따라서, 추정된 로터 저항 적응을 갖는 제안된 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO; Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)가 얻어진다. 루엔버거 이득 행렬은 극(pole) 배치의 시행착오법으로 최적화되며 슬라이딩 이득 행렬은 컨트롤러가 본 발명의 매개 변수 변형에 견고하도록 설정된다. ELSMO는 적절한 이득 행렬을 사용하여 정확한 로터 자속 및 로터 저항 추정치를 제공한다.
이하에 도 3에 도시된 본 발명에 따른 ELSMO 컨트롤러 알고리즘의 성능을 확인하기 위하여 표 1에 표시된 모터 파라미터(parameter)를 기반으로 하여 ELSMO 컨트롤러 알고리즘의 시뮬레이션을 실시하였다.
3상 유도 전동기 모델의 파라미터
기호 파라미터 값
Rs 스테이터 저항(Ω) 0.087
Rr 로터 저항(Ω) 0.228
Ls 스테이터 인덕턴스(H) 0.03827
Lr 로터 인덕턴스(H) 0.03827
Lm 상호 인덕턴스(H) 0.03747
P 극 쌍수 2
도 4는 극(pole)이 -1000, -300, -300, -1000인 경우 응답 시간을 나타내는 타이밍도이다.
Lsim 명령을 사용하면 측정값과 추정값 사이의 오차(error)에 대한 응답 시간이 "0"으로 수렴된다. 그러나 응답 시간은 극(pole) 배치에 크게 의존한다. 도 4에서 극이 -1000, -300, -300, -1000인 경우 오차가 "0"에 도달하는 데 필요한 시간은 0.02초이다. 극은 왼쪽에 배치되어야 하고 크기는 응답 시간을 줄이기에 충분해야한다.
도 5는 샘플링 시간이 응답 시간보다 길 때 측정된 스테이터 전류와 추정된 스테이터 전류 간의 오차를 나타낸 타이밍도이다.
응답 시간보다 큰 샘플링 시간의 경우에만, 측정된 스테이터 전류와 추정된 스테이터 전류 간의 오차는 "0"이 되고, 그렇지 않으면 발산하며 결코 "0"에 도달하지 못한다. 따라서 샘플링 시간은 응답 시간보다 커야한다. 응답 시간은 초기 오차가 "0"에 도달하는 기간으로 정의된다. 따라서, 본 실험에서는 0.02초의 샘플링 시간이 도 4의 응답 시간을 기준으로 선택된다. 도 5에서 샘플링 시간이 응답 시간보다 길 때 측정된 스테이터 전류와 추정된 스테이터 전류 간의 오차가 표시된다.
확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO; Extended Luenberger-Sliding Mode Observer)에서 추정된 스테이터 전류(d-q 축)은 측정된 스테이터 전류(d-q 축)과 비교되어야 하며 이들 사이의 오차는 피드백되고 루엔버거 이득 및 슬라이딩 이득 행렬에 의해 곱해진다.
도 6은 측정 스테이터 전류와 추정 스테이터 전류(d-축)를 나타내는 타이밍도이고, 도 7은 측정 스테이터 전류와 추정 스테이터 전류(q-축)를 나타내는 타이밍도이다.
도 6 및 도 7에는, 추정 및 측정된 스테이터 전류(d-q 축) 파형이 비교 도시되어 있다. 2.7초가 지나면 오차는 거의 "0"으로 줄어든다. 도 5에 도시된 측정 및 추정 스테이터 전류들 사이의 오차값은 스테이터 전류 그 자체와 비교하여 작기 때문에, 측정 및 추정 스테이터 전류들(d-q 축)이 도 6 및 7에 서로 중첩하여 도시되어 있다.
도 8은 정해진 로터 자속 및 추정 로터 자속(d-축)을 나타내는 타이밍도이고, 도 9는 정해진 로터 자속 및 추정 로터 자속(q-축)을 나타내는 타이밍도이다.
도 8과 도 9에서 추정 로터 자속(d-q 축) 파형은 Simulink 유도 전동기 모델에 의해 제공된 로터 자속(d-q 축) 파형과 비교되어 나타내었다. Simulink 유도 전동기 모델은 상태-공간 유도 전동기 모델을 기반으로 하며 본 발명의 추정은 ELSMO를 기반으로 한다. 2.7초 후에 오차는 무시할 수 있는 것으로 관찰된다. 로터 자속(d-q 축)의 정확한 추정은 로터 저항을 추정하는데 매우 중요하다.
리아프노프(Lyapunov)의 이론과 수학식 45에 기초하여, 세 가지 상태 변수, 즉, 스테이터 전류, 로터 자속 및 로터 저항이 상호 관련되어 있다. 추정된 로터 저항의 정확도는 특히 로터 자속 및 스테이터 전류의 상태 변수의 정확한 추정에 크게 의존한다. 다른 한편으로, 추정된 상태 변수의 정확도는 정확한 추정된 로터 저항에 의존한다. 따라서 로터 저항, 플럭스 및 스테이터 전류의 정확한 추정이 동시에 얻어져야 한다.
이상을 달성하기 위해, 로터 저항 보상/적응 유닛(28)은 루엔버거 옵저버(Luenberger observer)의 "A" 및 "L" 행렬 계산 유닛(29,27)에 실시간으로 적용된다.
도 10은 로터 저항 추정에 미치는 영향을 보여주기 위해 유도 전동기 모델에 적용된 초 저속 및 제로 속도를 포함하는 동적 속도 기준(Dynamic speed reference)을 나타낸다.
도 11은 도 10에 주어진 동적 속도 기준에 따른 시간의 함수로서 로터 저항 추정(로터 저항 = 0.228Ω인 경우)을 도시한다.
추정된 로터 저항값은 변화하는 속도에서도 Simulink 유도 전동기 모델에서 설정된 로터 저항값에 따라잡아 안정화된다. 그러나 추정된 로터 저항의 크기에는 약간의 차이가 있다. 속도가 제로 속도에 도달하면, 추정된 로터 저항의 크기는 약간 떨어지는 경향이 있다.
본 발명의 로터 자속 및 로터 저항의 추정이 가능한 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO)는 3상 유도 전동기의 제어에 적용된다.
11: 입력변수 13: 벡터 컨트롤러
15: 유도 전동기 모델 21: 입력행렬 계산유닛
22: 가산기 유닛 23; 적분기 유닛
24: 출력행렬 계산유닛 25: 비교기 유닛
26: 시스템 행렬 계산유닛 27: L 행렬 계산유닛
28: 로터 저항 보상/적응 유닛 29: 시스템 추정치 행렬 계산유닛

Claims (5)

  1. 입력변수(
    Figure pat00147
    )에 응답하여 PWM 구동신호를 발생하는 벡터 컨트롤러에 의해 구동제어되는 유도 전동기 모델에서 로터 저항 추정치를 구할 수 있는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버(ELSMO)로서,
    상기 입력변수(
    Figure pat00148
    )와 입력 행렬(B)의 승산을 수행하는 입력 행렬 계산 유닛;
    상기 유도 전동기 모델로부터 측정된 스테이터 전류(
    Figure pat00149
    )와 스테이터 전류 추정치(
    Figure pat00150
    )를 비교하여 상태 추정 오차(
    Figure pat00151
    )를 산출하는 비교기 유닛;
    상태변수 추정치(
    Figure pat00152
    )와 상기 상태 추정 오차(
    Figure pat00153
    )를 받아서 로터 저항 추정치(
    Figure pat00154
    )를 산출하는 로터 저항 보상/적응 유닛;
    상기 상태변수 추정치(
    Figure pat00155
    )와 로터 저항 추정치(
    Figure pat00156
    )를 받아서 시스템 행렬 추정치(
    Figure pat00157
    )와의 승산을 수행하는 루엔버거 옵저버의 시스템 추정치 행렬 계산 유닛;
    상기 상태 추정 오차(
    Figure pat00158
    )를 받아서 루엔버거 이득 행렬(L)과 슬라이딩-모드 이득 행렬(K)을 보상하도록 루엔버거 옵저버 항(
    Figure pat00159
    )에 슬라이딩-모드 항(
    Figure pat00160
    )이 부가된 출력을 생성하는 루엔버거 옵저버의 L 행렬 계산 유닛;
    상기 입력 행렬 계산 유닛, 시스템 추정치 행렬 계산 유닛 및 L 행렬 계산 유닛의 출력을 가산하여 상태변수 추정치의 미분값(
    Figure pat00161
    )을 산출하는 가산기 유닛;
    상기 상태변수 추정치의 미분값(
    Figure pat00162
    )을 적분하여 상태변수 추정치()를 산출하는 적분기 유닛; 및
    상기 상태변수 추정치(
    Figure pat00164
    )를 받아서 출력 행렬(C)과 승산을 수행하여 스테이터 전류 추정치(
    Figure pat00165
    )를 산출하는 루엔버거 옵저버(LO)의 출력 행렬 계산 유닛;을 포함하며,
    상기
    Figure pat00166
    , B, C 및
    Figure pat00167
    는 하기와 같이 정의되는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버.
    Figure pat00168
    ,
    Figure pat00169
    ,
    Figure pat00170
    ,
    Figure pat00171
    ,
    여기서, Rs와 Rr은 스테이터 저항과 로터 저항이며, Ls, Lr 및 Lm은 각각 스테이터 인덕턴스, 로터 인덕턴스 및 상호 인덕턴스이고,
    Figure pat00172
    ,
    Figure pat00173
    는 로터 각속도이며, usd 및 usq는 각각 스테이터 전압(d-축) 및 스테이터 전압(q-축)이고, χ는 상태변수로서 다음과 같이 표시되고,
    Figure pat00174

    여기서, isd, isq, λrd, λrq는 각각 스테이터 전류(d-축), 스테이터 전류(q-축), 로터 자속(d-축), 로터 자속(q-축)이다.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 로터 저항 추정은 리아프노프 안정 이론(Lyapunov stability theory)에 근거하는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버.
  3. 제1항에 있어서,
    상기 로터 저항 추정치(
    Figure pat00175
    )는 하기 수학식으로부터 구하는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버.
    Figure pat00176

    여기서, α는 양의 상수이고,
    Figure pat00177
    Figure pat00178
    ,
    Figure pat00179
    이다.
  4. 제1항에 있어서,
    상기 루엔버거 옵저버 항(
    Figure pat00180
    )은 보상에 의해 추정값을 정정하며, 슬라이딩-모드 항(
    Figure pat00181
    )은 옵저버의 강건성(robustness)을 제어하는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버.
  5. 제1항에 있어서,
    상기 루엔버거 이득 행렬(L)은 극(pole) 배치의 시행착오법으로 최적화되며, 슬라이딩 이득 행렬(K)은 컨트롤러가 매개 변수 변형에 견고하도록 설정되는 확장형 루엔버거-슬라이딩 모드 옵저버.
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