KR100974992B1 - 컴퓨터 변형 분석기 - Google Patents

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다니엘 엘. 브롬볼리치
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지멘스 프로덕트 라이프사이클 매니지먼트 소프트웨어 인크.
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Abstract

본 발명의 일실시예에 따르면, 재료의 표면 변형을 결정하는 방법이 제공된다. 이 방법은 그 재료의 탄성 변형 범위 및 소성 변형 범위를 컴퓨터에서 수신하는 단계를 포함한다. 또한, 이 방법은 그 재료의 영역을 메시로 모델링하는 단계를 포함한다. 메시는 복수의 요소를 포함한다. 또한, 이 방법은, 컴퓨터에 의해 메시 상에 유한 요소 분석을 수행함으로써, 각 요소 상의 적어도 하나의 포인트에 대한 변위를 결정하는 단계를 포함한다. 이 변위는 한 세트의 모델링된 경계 조건으로부터 발생한다. 유한 요소 분석은, 탄성 변형 범위 및 소성 변형 범위에 따라 각 요소에 대한 탄성 계수를 반복적으로 근사하는 것을 포함한다. 근사하는 액션은, 이전에 계산된 요소 배치로부터 계산된 변형률 값에 기초한다.
표면 변형, 탄성 변형 범위, 소성 변형 범위, 메시, 유한 요소 분석, 변위, 경계 조건, 변형률 값

Description

컴퓨터 변형 분석기{COMPUTERIZED DEFORMATION ANALYZER}
본 발명은 일반적으로 컴퓨터 지원 모델링에 관한 것으로서 보다 상세하게는 컴퓨터 변형 분석기에 관한 것이다.
기계 장치는 흔히 유한 요소 분석(finite element analysis; FEA) 패키지를 이용하여 설계된다. 예를 들어, 시트 금속을 커버하는 메시(mesh)를 생성함으로써 FEA 패키지를 이용하여 자동차의 후드(hood)를 모델링할 수 있다. 그 후, FEA 패키지는, 전체 메시의 결과 형상을 그래픽으로 묘사할 수 있을 때까지 소정의 경계 조건에 기초하여 그 메시의 각 요소의 편향(deflection)을 증분 결정한다. FEA 패키지에 의해 생성되는 모델의 정밀도는, 모델로부터 발생하는 결과가 실제 제조 공정에 이용되기 때문에 중요하다. 예를 들어, 모델이 정밀하지 않으면, 그 모델에 기초하여 제조된 실제 장치는 원하는 형상으로 되지 않을 수 있다.
FEA 패키지에 의해 생성되는 모델의 정밀도는, 모델링 공정에서 사용되는 특정한 메시를 형성하는 요소 수를 증가함으로써 증가할 수 있다. 그러나, 요소의 증분은, 비선형 FEA가 메시의 각 요소와 관련되는 많은 등식의 반복 계산을 포함하기 때문에, 필요한 계산 시간을 늘리게 된다. 수퍼컴퓨터를 이용하여 그 모델의 계산 시간을 가속할 수 있지만, 이러한 강력한 컴퓨터조차도 하나의 모델이 요구되는 정밀도로 완성되기까지 수일(days)이 걸릴 수 있다.
본 발명의 일 실시예에 따르면, 재료의 표면의 변형을 결정하는 방법을 제공한다. 이 방법은, 그 재료의 탄성 변형 범위 및 소성 변형 범위를 컴퓨터에서 수신하는 단계를 포함한다. 또한, 이 방법은 그 재료의 영역을 메시로 모델링하는 단계를 포함한다. 메시는 복수의 요소를 포함한다. 또한, 이 방법은, 컴퓨터에 의해 메시의 유한 요소 분석을 수행함으로써, 각 요소 상의 적어도 하나의 포인트의 변위를 결정하는 단계를 포함한다. 이 변위는 한 세트의 모델링된 경계 조건으로부터 발생한다. 유한 요소 분석은, 탄성 변형 범위 및 소성 변형 범위에 따라 각 요소에 대한 탄성 계수(modulus)를 반복적으로 근사하는 단계를 포함한다. 근사하는 단계는, 이전에 계산된 요소 변위로부터 계산된 변형률(strain) 값에 기초한다.
본 발명의 일부 실시예는 다양한 기술적 이점을 제공한다. 일부 실시예는 이러한 이점들 중 일부, 또는 전부를 얻을 수 있고, 또는 전혀 얻지 못할 수 있다. 예를 들어, 일부 실시예에 따르면, 변위의 대폭적인 증가가 있는 모델에 대해서도, 메시의 요소 수를 대폭 증가시키지 않고, 장치의 정밀 모델을 생성할 수 있다. 주어진 메시에서 요소의 수가 비교적 적으면, 필요한 계산 능력 및 시간이 감소한다. 또다른 실시예에 따르면, 또한, 보다 높은 차수의 요소를 이용하면, 많은 수의 요소에 대한 필요성을 줄임으로써, 정밀 모델링을 위해 필요한 계산 능력 및 시간이 감소한다.
당업자는 다른 기술적 이점들을 쉽게 확인할 수 있다.
첨부 도면과 관련되는 다음 설명을 참조하며, 여기서 유사한 참조 번호는 유사한 부분을 나타낸다.
도 1A는 유한 요소 분석의 방법에서 이용될 수 있는 초기 메시의 일실시예를 나타내는 개략적인 도면이다.
도 1B는 유한 요소 분석의 방법을 수행한 결과이며 타겟 형상을 갖는 최종 메시의 일실시예를 나타내는 개략적인 도면이다.
도 2는 모델링되는 예시적인 재료와 관련되는 응력(stress) 및 변형률(strain) 관계의 그래프의 일예이다.
도 3A는 본 발명의 일실시예에 따라 유한 요소 분석의 방법을 수행하도록 동작가능한 컴퓨터 시스템의 일실시예를 나타내는 개략적인 도면이다.
도 3B는 도 3A에 도시한 컴퓨터의 일실시예를 나타내는 블록도이다.
도 4A는 도 1A에 도시한 초기 메시의 요소의 일실시예의 개략적인 도면이다.
도 4B는 도 1A에 도시한 초기 메시의 요소의 일실시예의 개략적인 도면이다.
도 5A는 본 발명의 일실시예에 따라 유한 요소 분석의 방법을 나타내는 흐름도이다.
도 5B는 도 5A의 방법을 수행하는데 사용될 수 있는 탄성 계수를 포물형(parabolic)으로 근사하는 것을 나타내는 그래프이다.
도 5C는 도 5A의 방법에 나타낸 단계의 추가 상세를 나타내는 흐름도이다.
도 5D는 도 5A의 방법에 나타낸 단계의 추가 상세를 나타내는 흐름도이다.
본 발명의 예시적인 실시예는, 유사한 참조 번호는 다양한 도면의 유사한 부분 및 대응 부분에 대하여 이용되는 도 1A 내지 도 5D를 참조함으로써 잘 이해할 수 있다.
도 1A 및 도 1B는 도시된 재료를 특정 형상으로 형성하는 모델링을 나타낸다. 재료의 일례는 시트 금속(sheet metal)이다. 도 1A에 도시한 메시(50A)는 형성 동작 전의 그 재료의 모델의 실시예이다. 도 1B에 도시한 메시(50B)는 형성 동작 후의 그 재료의 모델의 일 실시예이다.
메시(50A, 50B)는 유한 요소 분석(FEA) 소프트웨어 프로그램 또는 관련된 메시 생성기(명확하게 도시하지 않음)에 의해 생성될 수 있다. 메시(50A, 50B)는, 파라솔리드 패시팅(parasolid faceting)을 포함하는 임의의 적절한 공정에 의해 생성될 수 있다. 도 1A에 도시한 실시예에서, 메시(50A)는 4개의 코너(52)를 갖지만, 메시의 기하학적 구조(geometry)에 따라 그보다 많거나 적은 코너(52)를 가질 수 있다.
메시(50A)는, 변형될 재료의 식별된 영역(54)을 모델링한다. 영역(54)은, 타겟 형상을 얻도록 변위되는 재료의 영역이다. 메시(50A)가 재료의 영역(54)의 변위를 모델링하도록 메시(50A)의 일부분을 적절하게 변위시키기 위해서, 하나 이상의 경계 조건이 메시(50A)에 부과될 수 있다. 메시(50A)는 다수의 요소(58)를 포함한다. 요소(58)는 3각형, 4각형, 또는 다른 다각형과 같은 간단한 형상의 기하학적 구조일 수도 있다. 도 1A의 메시(50A)에는 4각형만을 도시하지만, 임의의 다각형 또는 다각형들의 조합이 재료의 특정 기하학적 구조를 모델링하는 메시(50A)를 형성하기 위해 사용될 수도 있다. 각 요소(58)는 하나 이상의 가우스 포인트(64)를 포함한다. 가우스 포인트는 수치 적분법을 위해 선택된 위치를 나타낸다. 가우스 포인트(64)의 특정 수는, 요구되는 모델의 정밀도 및 요소(58)의 형상에 따라 본 기술 분야의 숙련자에 의해 선택될 수 있다. 각 요소(58)는 적어도 하나의 인접 요소 에지(60)에 의해 또다른 요소(58)와 결합한다.
도 1B를 참조하면, 메시(50B)는, 초기 메시(50A)를 메시(50A)의 네 개의 코너(52)에 고정하고, 중심(53)을 위쪽 방향으로 변위시켜 형성한 결과이다. 코너(52)의 고정 및 중심(53)의 변위는 FEA 프로세스의 경계 조건으로서 부과될 수도 있다. 중심(53)만이 위쪽으로 변위되지만, 그 변위는 재료의 에지뿐만 아니라 중심(53)을 둘러싸는 재료의 표면의 변위를 야기한다. 이러한 변위는, 코너(52)를 고정시키는 동안 중심(53)의 이동에 대한 반응이다. 상이한 재료는 상이한 타입과 레벨의 변위를 체험할 수도 있다. 예를 들어, 고무는, 에지와 이동되는 특정 영역을 둘러싸는 영역에서 좀더 강렬하게 변위되는데, 이는, 고무가 탄성 재료 특징에서 거동하고, 영구 소성 재료 특징에서는 거동하지 않기 때문이다. 더욱이, 상이한 제한과 이동이 메시(50A)에 부과될 수 있도록 상이한 경계 조건이 부과될 수도 있다. 상이한 일련의 경계 조건을 적용함으로써, 도 2B에 도시한 메시(50B)와는 상이한 형상을 갖는 최종 메시가 된다.
벤딩(bending) 또는 스트레칭(stretching)과 같은 상이한 이동에 대한 상이한 재료의 결과적인 변위를 정확하게 예측하기 위하여, 종래의 FEA 방법은 수천의 요소를 갖는 메시를 사용한다. 본 발명의 내용은, 이러한 많은 수의 요소가, FEA 프로세스에 의해 복제되지 않는 조건에 의해 발생될 수도 있는 결과적인 모델의 부정확성을 보상하기 위해 요구된다는 것을 인식한다. 복제되지 않는 조건의 예는, 재료 속성의 변화, 및 특히 증분 변위(incremental displacement)로 인한 탄성 계수의 변화이다. 많은 다른 종래 FEA 패키지는 작은 변위에 대해서만 유용하므로, 재료가 재료 속성의 변화를 경험하도록 할 수도 있는 큰 변위를 분석하기에는 부정확한 툴이 된다. 더 많은 요소를 갖는 것은, 상당히 증가된 계산 시간 및 능력을 또한 필요로 한다. 그와 같은 증가는 필수적인데, 그 이유는, 각 요소는, 재료의 거동을 수학적으로 모델링하기 위해 사용되는 형상 함수로 불리는 적어도 하나의 수학식과 관련되기 때문이다. 이러한 수학식 모두는, 모든 수학식이 하나의 해(solution)에 수렴될 때까지 반복적으로 함께 풀어진다. 요구되는 계산 능력을 만족시키기 위하여, 제조 업체는 흔히 수퍼컴퓨터를 사용하여, 그 디바이스의 수용가능한 정확한 모델을 얻을 때까지 반복적으로 계산을 수행한다. 그러나, 수퍼컴퓨터를 사용하더라도, 수용가능한 모델을 얻기 위해서는 수일의 계산 시간이 요구될 수도 있다.
본 발명의 몇몇 실시예에 따르면, 반복 FEA 프로세스 동안, 각 요소 내에서 탄성 계수와 같은 비균일한 재료 속성을 갱신함으로써, 디바이스 모델의 정확성을 향상시키기 위한 방법을 제공한다. 이는, 큰 변위를 경험하는 모델에 대해서도, 메시내 요소의 수를 실질적으로 증가시키지 않고 그 디바이스의 정확한 모델이 생성될 수도 있기 때문에 유익하다. 주어진 메시내의 비교적 적은 수의 요소는, 요구되는 계산 능력과 시간을 감소시킨다. 본 시스템과 방법의 예시적인 실시예들의 추가 상세는, 도 2 내지 도 5D를 참조하여 이하에서 상세하게 설명한다.
도 2는, 예시적인 재료의 응력과 변형률 간의 관계에 관한 탄성 계수를 설명하는 예시적인 그래프(90)이다. "탄성 계수"는, 탄성 및 소성 변형 범위 내 재료의 응력과 변형률의 비를 나타낸다. "탄성 변형 범위" 또는 "탄성 도메인"은 고체 본체의 형상 또는 치수(dimensions)의 변화가 가역적인 변형률의 범위를 나타낸다. "소성 변형 범위" 또는 "소성 도메인"은 탄성 도메인의 응력 한계를 초과하는 변형률의 범위를 나타낸다. "소성 도메인" 또는 "소성 변형 범위" 내의 고체 본체의 형상 또는 치수의 변화는 영구적이지만, 고체 본체의 파손은 발생하지 않는다. 축(94)은 응력("σ")을 나타내고, 축(98)은 변형률("ε")을 나타낸다. 형성 프로세스 동안, 큰 변위가 발생할 수도 있는 몇몇 실시예에 있어서, 재료의 탄성 도메인에서 소성 도메인으로의 천이를 설명할 필요가 있을 수도 있다. 일 실시예에서, 재료의 항복 응력("σy")을 나타내는 포인트(108)는, 재료의 탄성 도메인을 나타내는 세그먼트(100)로부터 재료의 소성 도메인을 나타내는 세그먼트(104)로의 천이를 표시한다. 일 실시예에서, 이러한 탄성-소성 관계의 근사는, 탄성 도메인이 선형적인 응력-변형률 관계로 근사되고, 소성 도메인이 다른 선형적인 응력-변형률 관계로 근사되는 준선형적인 접근법을 사용할 수도 있다. 탄성 도메인인 세그먼트(100)의 기울기는 탄성 계수("E")에 의해 정의될 수도 있다. 소성 도메인인 세그먼트(104)의 기울기는 접선 계수(Tangent Modulus; "ET")에 의해 표현된다.
그래프(90)에 의해 표현된 모델로, 응력-변형률 관계가 다음과 같이 정의될 수도 있다.
Figure 112004056452370-pct00001
ε≤ε PL
Figure 112004056452370-pct00002
ε> ε PL
여기서, ε PL 은 포인트(108)에서의 변형률과 동일하다.
이러한 응력-변형률 관계의 소성 범위는
Figure 112008010128947-pct00003
에 의해 정의되는데, 여기서
Figure 112008010128947-pct00004
는 "유효 응력"을 나타내고,
Figure 112008010128947-pct00005
는 "유효 변형률"을 나타낸다. 이 수학식을 다음의 수학식으로 대체하면,
Figure 112004056452370-pct00006
소성 계수(plastic modulus)는 다음과 같이 결정될 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00007
여기에서, H'= 유효 응력-변형률 기울기이다.
도 2에 도시되고, 수학식 1 및 수학식 2에 정의된 응력-변형률 관계 등과 같은 재료 속성을 제공하게 되면, 그 결과 얻을 수 있는 모델이 그 재료의 실제 변형된 형상을 더 정확하게 묘사할 수 있기 때문에 이점이 있다. 또한, 응력-변형률 관계를 준선형 관계로 근사하게 되면, 탄성 변형 및 소성 변형의 이러한 선형 근사는 FEA에 수반되는 계산을 단순화하기 때문에 이점이 있지만, 상기 재료의 응력-변형률 관계가 비선형 함수 또는 경험적 데이터(empirical data)로도 표현될 수 있다. 수학적 단순화는 요구되는 계산 시간 및 능력을 감소시킨다.
도 3A는 본 발명의 교시로부터 이점이 있는 유한 요소 분석을 수행하는 컴퓨터 시스템(10)의 실시예를 도시하는 개략도이다. 시스템(10)은 하나 이상의 입력 디바이스(18) 및 하나 이상의 출력 디바이스(20)에 접속된 컴퓨터(14)를 포함한다. 사용자(24)는 시스템(10)에 액세스하고 입력 디바이스(18)를 이용하여 데이터를 입력하며 임의의 또는 모든 출력 디바이스(20)에 의해 표시될 수 있는 도면(28)을 생성하고 편집할 수 있다.
도 3A에 도시된 바와 같이, 입력 디바이스(18)의 예로는 키보드 및 마우스가 있지만, 입력 디바이스(18)는 스타일러스, 스캐너 또는 그들의 임의의 조합을 포함하는 다른 형태들을 취할 수도 있다. 출력 디바이스(20)의 예로는 임의의 타입의 모니터 및 프린터가 있지만, 출력 디바이스(16)는 플로터를 포함하는 다른 형태들을 취할 수도 있다. 사용자(24)에게 도면(28)을 표시할 수 있는 액정 디스플레이("LCD") 또는 음극선관("CRT") 디스플레이 등과 같은 임의의 적당한 영상 표시 유닛이 적당한 출력 디바이스(20)일 수 있다.
도 3B는 본 발명의 일 실시예에 따라 유한 요소 분석을 수행하는데 사용하기 위한 컴퓨터(14)의 블록도이다. 도시된 바와 같이, 컴퓨터(14)는 프로세서(30), FEA 소프트웨어 프로그램(38)을 저장하는 메모리(34), 및 FEA 소프트웨어 프로그램(38) 또는 다른 데이터와 관련된 데이터를 저장하는 하나 이상의 데이터 저장 유닛(40)을 포함한다.
프로세서(30)는 메모리(34)와 데이터 저장 유닛(40)에 접속된다. 프로세서(30)는 FEA 소프트웨어 프로그램(38)의 로직을 실행하고 데이터 저장 유닛(40)에 액세스하여 도면에 관련한 데이터를 검색하거나 실행할 수 있다. 프로세서(30)의 예로는 Intel Corporation이 시판 중인 Pentium™ 시리즈 프로세서가 있다.
메모리(34) 및 데이터 저장 유닛(40)은 파일, 스택, 데이터베이스, 또는 다른 적당한 형태의 데이터를 포함할 수 있다. 메모리(34) 및 데이터 저장 유닛(40)은 랜덤 액세스 메모리, 리드 온리 메모리, CD-ROM, 분리가능 메모리 디바이스, 또는 데이터를 저장 및/또는 검색할 수 있는 임의의 다른 적당한 디바이스일 수 있다. 메모리(34) 및 데이터 저장 유닛(40)은 상호교환가능하고 동일한 기능을 수행할 수 있다.
FEA 소프트웨어 프로그램(38)은 사용자(18)가 컴퓨터(14)를 사용하여 유한 요소 분석을 통해 디바이스를 모델링할 수 있는 컴퓨터 프로그램이다. FEA 소프트웨어 프로그램(38)은 CAD(Computer-Aided Drafting) 패키지 등과 같은 도면 작성 애플리케이션의 일부이거나 독립적인 컴퓨터 애플리케이션으로서 존재할 수 있다. FEA 소프트웨어 프로그램(38)은 메모리(34) 또는 데이터 저장 유닛(40)과 같은 임의의 저장 매체에 상주할 수 있다. FEA 소프트웨어 프로그램(38)은 C 또는 C++을 포함하는 임의의 적당한 컴퓨터 언어로 기록될 수 있다. FEA 소프트웨어 프로그램(38)은, 커브의 초기 위치 및 커브의 최종 위치 등과 같은 경계 조건을 사용자(18)가 입력하여 그 결과의 예측 형상이 출력 디바이스(20) 상에 디스플레이되고/또는 데이터 저장 유닛(40)에 저장되도록 동작할 수 있다. 본 발명의 교시를 포함할 수 있는 예시적 FEA 소프트웨어 프로그램(38)으로는 Unigraphics Solutions, Inc. 시판의 Region Analyzer™가 있다.
도 4A는 도 1A에 도시된 초기 메시(50A) 등과 같은 메시의 4각형 요소(130A)의 실시예의 개략도이다. 일부 실시예에서, 요소(130A)는 쉘(shell) 요소일 수 있다. 쉘 요소는 도 4A에 도시된 바와 같이 그와 관련된 두께를 갖는 기하학적 구조(geometry)를 말한다. 요소(130A)는, 요소(130A)의 요소 에지(160, 164, 168, 및 170)에 위치된 복수의 노드(132 내지 154)를 포함한다. 노드(132 내지 154)는 통합해서 노드(131)로 언급된다. 노드(131)는 요소(130A)의 다양한 부분의 변위를 결정하는 기준으로서 사용된다. 도 4A에 도시된 실시예에서, 요소(130A)는 열두개의 노드(131)를 갖지만, 더 많거나 적은 노드가 사용될 수도 있다. 노드(132, 138, 144, 및 150)는 코너 노드이다. 노드(134, 136, 140, 142, 146, 148, 152, 및 154)는 중간측(mid-side) 노드이다. 노드(131)의 지역 좌표 위치는 요소(130A)의 모델(130B) 상에 도시된다.
FEA 프로세스의 일부로서, 노드(131)의 각각의 형상 함수(N)가 결정된다. 노드(131)와 관련된 형상 함수는 하기에 설명된다. 이들 수학식에서 사용되는 바와 같이, 도 4A의 참조 번호 및 노드 번호(i) 간의 관계식이 사용된다: 132 = 노드 1, 134 = 노드 2, 136 = 노드 3, 138 = 노드 4, 140 = 노드 5, 142 = 노드 6, 144 = 노드 7, 146 = 노드 8, 148 = 노드 9, 150 = 노드 10, 152 = 노드 11, 및 154 = 노드 12.
Figure 112004056452370-pct00008
Figure 112004056452370-pct00009
Figure 112004056452370-pct00010
여기에서, Ni = 노드 i와 관련된 형상 함수,
U = 요소의 U-방향에서의 매개변수 값,
V = 요소의 V-방향에서의 매개변수 값,
Ui = 노드 i의 U-방향에서의 매개변수 값, 및
Vi = 노드 i의 V-방향에서의 매개변수 값이다.
하기에 상세히 설명되는 바와 같이, 노드(131)와 관련된 형상 함수의 편도함수(partial derivative)를 유한 요소 분석에 사용한다. 편도함수는 다음과 같다.
Figure 112004056452370-pct00011
Figure 112004056452370-pct00012
Figure 112004056452370-pct00013
Figure 112004056452370-pct00014
Figure 112004056452370-pct00015
Figure 112004056452370-pct00016
Figure 112004056452370-pct00017
도 4B는 도 1A에 도시된 초기 메시(50a)와 같은 초기 메시의 3각형 요소(190A)의 실시예의 개략도이다. 일부 실시예에서, 요소(190A)는 도 4B에 도시된 바와 같은 쉘 요소이다. 요소(190A)는, 요소(190A)의 노드의 라인(nodal line)(212, 214, 및 218) 상에 위치된 복수의 노드(192 내지 208)를 포함한다. 노드(192 내지 208)는 통합해서 노드(191)로서 언급된다. 노드(191)는 요소(130A)의 다양한 부분의 변위를 결정하기 위한 기준으로서 사용된다. 도 4B에 도시된 실시예에서, 요소(190A)는 열개의 노드(191)를 갖지만, 더 많은 또는 더 적은 노드가 사용될 수 있다. 노드(192, 198, 및 204)는 코너 노드이다. 노드(194, 196, 200, 202, 206, 및 208)는 중간측 노드이다. 노드(210)는 중심 노드이다. 노드(192 내지 210)의 지역 좌표는 요소(190A)의 모델(190B) 상에 도시된다. FEA 프로세스의 일부로서, 노드(191)의 각각의 형상 함수(N)가 결정되고 하기에 설명된다. 이들 수학식에서 사용되는 바와 같이, 참조 번호와 노드 번호 (i) 간에 다음의 관계식이 사용된다: 192 = 노드 1, 194 = 노드 2, 196 = 노드 3, 198 = 노드 4, 200 = 노드 5, 202 = 노드 6, 204 = 노드 7, 206 = 노드 8, 208 = 노드 9, 및 210 = 노드 10.
Figure 112004056452370-pct00018
Figure 112004056452370-pct00019
Figure 112004056452370-pct00020
Figure 112004056452370-pct00021
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Figure 112004056452370-pct00023
Figure 112004056452370-pct00024
Figure 112004056452370-pct00025
Figure 112004056452370-pct00026
Figure 112004056452370-pct00027
여기에서, Ni = 노드 i와 결합된 형상 함수,
L1 = 첫 번째 노드 및 인접 에지 사이의 형상 함수의 크기,
L2 = 두 번째 노드 및 인접 에지 사이의 형상 함수의 크기, 및
L3 = 세 번째 노드 및 인접 에지 사이의 형상 함수의 크기이다.
일부 실시예에서는, 3개의 독립 변수(L 1 , L 2 , L 3 ) 대신에, 2차원의 매개변수 범위를 나타내는 2개의 독립 변수(u, v)로서, 이 10개 노드의 3각형 요소(190A)에 대한 형상 함수를 정의하는 것이 바람직하다. L 1 +L 2 +L 3 =1 식을 이용하여, 이러한 형상 함수는 독립 변수 L 2 , L 3 로서 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00028
Figure 112004056452370-pct00029
Figure 112004056452370-pct00030
Figure 112004056452370-pct00031
Figure 112004056452370-pct00032
Figure 112004056452370-pct00033
Figure 112004056452370-pct00034
Figure 112004056452370-pct00035
Figure 112004056452370-pct00036
Figure 112004056452370-pct00037
여기에서 L1 은 1-L2 -L3 로 치환하였다. 모델(190C)은 (u, v) 포맷에서 노드(192 내지 210)를 도시한다.
일부 실시예에서는, U=L2 및 V=L3 의 관점으로부터 이들 수학식을 다음과 같이 다시 쓰는 것은 편리할 수 있는데, 여기에서 U는 요소의 U-방향의 매개변수 값을 나타내고, V는 요소의 V-방향의 매개변수 값을 나타낸다.
Figure 112004056452370-pct00038
Figure 112004056452370-pct00039
Figure 112004056452370-pct00040
Figure 112004056452370-pct00041
Figure 112004056452370-pct00042
Figure 112004056452370-pct00043
Figure 112004056452370-pct00044
Figure 112004056452370-pct00045
Figure 112004056452370-pct00046
Figure 112004056452370-pct00047
그 다음, 1차 편도함수는 다음과 같이 계산될 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00048
Figure 112004056452370-pct00049
Figure 112004056452370-pct00050
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Figure 112004056452370-pct00056
Figure 112004056452370-pct00057
Figure 112004056452370-pct00058
Figure 112004056452370-pct00059
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Figure 112004056452370-pct00065
Figure 112004056452370-pct00066
Figure 112004056452370-pct00067
요소(130A)는 예시적인 요소로서 사용된 것이고, 다른 형상, 다른 노드 수, 또는 다른 두께를 가진 요소들이 또한 사용될 수 있다. 예를 들어, 요소(190A)는 요소(130A)와 결합되어 사용될 수 있다.
도 5A는 본 발명의 일 실시예에 따른 FEA의 방법(250)을 도시하는 흐름도이다. 이 방법(250)은 유한 요소 소프트웨어 프로그램(38)에 의해, 또는 다른 적합한 소프트웨어 또는 하드웨어를 통해 수행될 수 있다. 방법(250)은 단계(254)에서 시작한다. 단계(258)에서, 지역 요소 좌표는, 본 명세서에서 전체 변위 매트릭스 {D}로 불리는 전체 변위를 사용해서 확립된다. 지역 요소 좌표는 요소의 로컬 UV-방향과, 요소 경계상의 임의의 위치에 있는 법선 벡터에 따른 좌표계를 나타낸다. 전체 변위는 단일의 "전체" 좌표계에 대한 모든 노드들의 변위를 의미한다. 단계(254)의 추가 상세는 도 5B와 함께 이하에서 제공된다.
벡터 {d}로 나타내는 요소 변위는 임의의 적절한 수학적 프로세스를 사용해서 단계(260)의 지역 좌표에서 계산된다. 요소 변위의 계산은, 단계(258)에서 계산되는 전체 변위, 및 단계(258)에서 계산되어 확립된 지역 좌표에 기초한다.
단계(264)에서, 강성 매트릭스 [k] 및 계산된 요소 변위의 결과로서 생기는 힘(force) {f}=-[k]{d} 둘 다는 지역 좌표에서 계산된다. 단계(264)의 추가 상세는 도 5C와 관련하여, 이하에서 기술된다. 요소 강성 매트릭스 [k] 및 힘 벡터 {f}의 변환된 버젼은, 부정확한 변위 근사화로부터 생기는 요소(58)의 불균형한 힘에 기초하여 노드(131)의 변위에 대한 다음 반복을 결정하기 위해 후속하여 사용될 것이다.
단계(268)에서, 각 요소(58)에 대한 요소 강성 매트릭스 [k] 및 힘 벡터 {f}는 전체 좌표(global coordinates)로 변환된다. 단계(270)에서는 임의의 프로세스되지 않은 요소(130A)가 있는지 결정된다. 임의의 프로세스되지 않은 요소(130A)가 남아 있다면, 방법(250)은 단계(258)로 되돌아간다. 단계(270)에서 프로세스되지 않은 요소가 없다고 판단될 때까지, 단계(258 내지 268)는 각각의 프로세스되지 않은 요소(130A)에 대해 반복된다.
모든 요소(130A)가 프로세스된 후에, 전체 강성 및 힘 매트릭스,
Figure 112010004277229-pct00157
및
Figure 112010004277229-pct00158
는 각각 단계(274)에서 집합된다. 단계(278)에서, 각 요소(58)의 각 노드(131)의 힘 매트릭스
Figure 112010004277229-pct00165
가 계산되어
Figure 112010004277229-pct00166
의 벡터로 사용된다. 그 다음, 단계(280)에서, 구조적 수학식
Figure 112010004277229-pct00072
은 변위 증분
Figure 112010004277229-pct00073
에 대해 풀어지고, 여기에서
Figure 112010004277229-pct00074
는, 추정된 전체 변위 매트릭스 {D}로부터 나오는 불균형한 힘에 따른 각 노드(131)의 증가적 전체 변위를 나타낸다.
단계(284)에서, 변위 증분
Figure 112008010128947-pct00075
는 전체 변위 {D}에 부가된다. 단계(286)에서, 각 노드(131)의 결과적인 증분 변위는 각 노드(131)의 이전 변위와 각각 비교되어, 수렴에 도달했는지를 결정한다. 일 실시예에서, 모든 노드(131)의 현재와 이전 변위와의 차이가 미리 결정된 모델링 허용치보다 작다면, 수렴될 것이다. 모델링 허용치는 일반적으로 0에 근접한 값으로 설정된다. 예를 들어, 일 실시예에서, 모델링 허용치는 0.001 인치로 설정될 수 있지만, 어떤 적절한 허용치도 사용될 수 있다. 수렴에 도달하지 않았다면, 단계(258 내지 286)는 반복된다. 따라서, 다음의 반복적 관계가 확립된다.
Figure 112004056452370-pct00076
Figure 112004056452370-pct00077
여기에서 i는 반복 횟수를 나타낸다.
단계(258 내지 286)의 각 반복에서, 각 요소(130A)의 개별적인 강성 매트릭스 [k]는 단계(264)에서 다시 구해진다. 요소(130A)의 강성 매트릭스 [k]는, 단계(258 내지 286)의 각 반복 후에 요소(58)의 변위 레벨에 따라 변할 수 있다. 변위의 증분으로서, 요소(58)의 각 가우스 포인트에서의 요소 강성은 요소의 노드의 변위에 의해 발생하는 유효 변형률의 양에 의해 변할 수 있다. 예를 들어, 항복 응력이 초과되어, 재료의 강성이 탄성 재료 거동에서 소성 재료 거동으로 이행할 수 있다. 가우스 포인트가 탄성 또는 소성 도메인 중 어디에 있는지에 따라서 단계(258 내지 286)의 반복 후에 각 가우스 포인트에 대해 새로운 강성 관계를 할당함으로써, 각 요소에 대해 갱신된 강성 매트릭스가 요소(58)의 각 가우스 포인트에서 강성 기여도를 계산하는 것에 의해 결정될 수 있다. 대안적으로, 재료의 강성에 대한 새로운 값은 매 반복보다 적은 빈도로 갱신될 수 있다. 단계(258 내지 286)의 각 반복에서, 탄성 계수는, 이하에 기술되는 도 5B의 그래프(70)에 의해 도시된 것과 같은 재료의 응력-변형률 관계를 사용해서 갱신될 수 있다. 단계(258 내지 286)의 일부 반복에서의 탄성 계수 및 강성 매트릭스의 갱신은 또한, 탄성 계수 및 강성 매트릭스의 "반복적 근사화" 또는 "반복적 갱신"으로 불릴 수 있다.
단계(258 내지 286)의 반복에 의한 강성 매트릭스[k]의 갱신은, 도 2에 도시된 예와 같이, 지정된 재료의 탄성(elastic)과 소성(plastic) 도메인 간의 천이를 보상하기 때문에 유익하다. 이러한 보상은, 큰 증분 변위가 일어난 경우에도, 메시 내 요소의 수를 증가시키지 않고 더욱 정확한 모델을 가져올 수 있다.
단계(286)에서, 수렴(convergence)이 달성되었다고 판정되면, 단계(288)에서 탄성 스프링백(elastic springback)/오버크라운 분석(overcrown analysis)이 선택적으로 수행될 수 있다. 단계(288)에 관한 보다 상세한 내용은 아래에서 설명될 것이다. 방법(250)은 단계(240)에서 끝난다.
단계(264)의 반복에 있어서의 강성 매트릭스[k]의 재평가 및 갱신은 주어진 메시 내 요소의 수를 실질적으로 증가시키지 않으면서 정확한 디바이스 모델을 생성할 수 있기 때문에 유익하다. 주어진 메시 내에 비교적 적은 수의 요소가 있는 경우에는 요구되는 계산 능력과 시간이 줄어든다.
도 5B는 요소(58)와 같은 요소의 탄성 계수의 포물형 근사(parabolic approximation)를 보여주는 그래프(70)이다. 일 실시예에서, 요소는 각 가우스 포인트(64)(도 1A 및 도 1B에 도시됨)에 할당된 탄성 계수의 독립적 값을 갖는다. 요소의 변위 이전에, 각 가우스 포인트(64)에서의 탄성 계수의 크기의 분포는, 평평한 그래프(70)의 점선 부분으로 표시된 것처럼, 평탄하고 평평한 것으로서 도시된다. 요소가 증분만큼 변위된 다음, 각 가우스 포인트(64)의 탄성 계수와 같은 재료의 특성도 변화될 수 있다. 각 요소(58)의 점진적 변위로 인하여 야기된 재료 특성의 변화를 설명하기 위하여, 그 변위 이후 각 가우스 포인트(64)의 탄성 계수가 갱신된다. 탄성 계수를 나타내는 갱신된 값의 크기는, 그래프(70)의 점선으로 표시된 면에 중첩되어 있는 음영이 있는 포물면으로 도시된 바와 같이, 그래프적으로 포물면으로 도시된다. 그래프(70)의 포물면은 또한 각 가우스 포인트(64)에서의 강성 기여도(stiffness contribution)를 나타내며, 이는 전술한 강성 매트릭스[k]를 평가하기 위해 수학적으로 모델링된다.
메시가 홀(hole) 등과 같은 빈 공간을 규정하는 재료 위에 적용되는 일부 실시예에서, 탄성 계수 값은 그 홀을 모델링하기 위해 인위적으로 축소될 수 있다. 예컨대, 홀을 포함하고 있는 금속 시트가 예시적 재료로 이용되는 경우, 그 홀에서 멀리 떨어져 있는 가우스 포인트(64)에 대한 탄성 계수는 29×106psi로 정해질 수 있다. 그러나, 홀에 가까운 가우스 포인트(64)에 대한 탄성 계수는 10psi로 정해질 수 있다.
전술한 바와 같이, 탄성 계수는 σ=Eε이 되는 것 같은 응력과 변형률 간의 관계를 나타낸다. E는 탄성 계수를 말하며, 그 탄성 도메인에서의 응력과 변형률의 비를 나타내는 값이다. σ는 응력을 나타내고, ε은 변형률을 나타낸다. σ=Eε는 변형률의 비례 한계(proportional limit)(εPL) 아래로 유지되는 변형률 값에 대한 유효 조건이다. 요소의 도메인에 걸친 탄성 계수는 포물형 근사를 이용하여 평가될 수 있고, 그 일예가 그래프(70)로서 도시되며, 이는 다음과 같다.
Figure 112004056452370-pct00078
여기서,
Figure 112004056452370-pct00079
이 때, Ni = 노드 i와 연관된 형상 함수(shape function)이고,
Ei = 노드 i의 탄성 계수이고,
U = 요소의 U-방향 매개변수 값이고,
V = 요소의 V-방향 매개변수 값이고,
E(U,V) = 요소의 매개변수 UV-위치에서의 탄성 계수를 위한 보간값.
FEA 방법의 각 반복에 있어서 요소의 가우스 포인트 각각에 관한 각각의 탄성 계수 값을 조정하는 것은, 주어진 메시 내의 요소 수를 실질적으로 증가시키지 않으면서 정확한 디바이스 모델이 생성될 수 있기 때문에 유익하다. 주어진 메시 내에 비교적 적은 수의 요소가 있는 경우에는 요구되는 계산 능력 및 시간이 줄어든다.
도 5C는 전체 변위 매트릭스{D}를 이용하여 지역 요소 좌표를 확립하는 단계(258)의 일실시예에 관한 추가적 세부 사항을 도시하고 있다. 단계(300)에서, 요소(130A 및/또는 190A)에 관한 형상 함수(수학식 5 내지 수학식 63)를 이용하여, 이들 요소(130A 및/또는 190A)의 매개변수 UV-공간(매개변수 UV-공간의 일예는 -1.0<=u<=1.0 및 -1.0<=v<=1.0)에 관한 전체 변위 매트릭스(global displacement matrix){D}와 동일한, 상대 위치에 관한 초기 추정(estimate)이 다음 수학식과 같이 부과된 경계 조건에 기초하여 평가된다.
Figure 112004056452370-pct00080
여기서, S = 요소의 UV-매개변수에서의 위치를 정하는 벡터이고,
x = 위치 벡터 S의 x-좌표이고,
y = 위치 벡터 S의 y-좌표이고,
z = 위치 벡터 S의 z-좌표이고,
u = 요소의 U-방향 매개변수 값이고,
v = 요소의 V-방향 매개변수 값.
각각의 구속형 자유도(constrained degree-of-freedom)에 관한 "페널티 방법(Penalty Method)"을 이용함으로써 경계 조건이 부과된다. 단계(304)에서, 정규화된 지역 좌표계를 결정하기 위해 각 요소(130A 또는 190A)에 관한 1차 공간 도함수들(first spatial derivatives)이 평가된다. 각 요소(130A 또는 190A)에 관한 1차 공간 도함수들은 다음과 같이 평가된다.
Figure 112004056452370-pct00081
단계(304)에서 결정된 1차 도함수들을 이용하여, 단계(306)에서 주어진 UV-매개변수에 관하여 단위 벡터 e1, e2, 및 e3을 갖는 정규화된 좌표계가 다음과 같이 계산된다.
Figure 112004056452370-pct00082
여기서, e = 지역 좌표계에 대한 좌표 벡터이고,
l = 좌표 벡터 e의 지역 x-성분이고,
m = 좌표 벡터 e의 지역 y-성분이고,
n = 좌표 벡터 e의 지역 z-성분.
그에 따른 전체 변위 매트릭스 {D}는 다음과 같이 표현된다.
Figure 112004056452370-pct00083
도 5D는 지역 좌표에서의 요소 강성 매트릭스를 나타내는 강성 매트릭스[k]와 지역 좌표에서의 요소 힘(force)을 나타내는 힘 벡터{f}를 확립/조정하는 단계(264)의 일실시예에 관한 추가적 세부 사항을 도시하고 있다. 힘 벡터{f}는 계산된 강성 매트릭스[k]와 지역 노드의 변위(local nodal displacement)에 기초하여 결정된다. 강성 매트릭스[k]는 변형률-변위 매트릭스, 탄성 및 탄성-소성 응력-변위 매트릭스, 그리고 Jacobian 매트릭스를 이용한 수치 적분에 의해서 결정된다. 변형률-변위 매트릭스는 각 요소에 있어서 변위와 변형률 간의 관계를 정의한다. 응력-변위 매트릭스는 요소의 변형률과 응력간 관계를 정의한다. 각 요소의 수치 적분을 위하여 Jacobian 매트릭스의 결정이 필요로 된다. 이러한 절차의 세부 과정이 도 5D를 참조하여 이하 설명된다.
단계(330)에서, 요소(130A 및 190A)에 관한 응력 및 변형률 변환 매트릭스는 각각 다음과 같이 정의될 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00084
여기서, Tσ = 응력 변환 매트릭스이고,
Tε = 변형률 변환 매트릭스이고,
T11 = 좌측 상부 사분면(upper-left quadrant) 서브매트릭스이고,
T12 = 우측 상부 사분면(upper-right quadrant) 서브매트릭스이고,
T21 = 좌측 하부 사분면(lower-left quadrant) 서브매트릭스이고,
T22 = 우측 하부 사분면(lower-right quadrant) 서브매트릭스이다.
각 서브매트릭스는 다음과 같이 정의된다.
Figure 112004056452370-pct00085
이들 응력 및 변형률 변환 매트릭스들 각각에 있어서, 아래 수학식 74와 같이 그 역 매트릭스는 그 전치 매트릭스와 같다는 것도 알 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00086
단계(334)에서, 쉘 요소(130A 및 190A)에 관한 Jacobian 매트릭스는 다음과 같이 계산된다.
Figure 112004056452370-pct00087
여기서, xi * = 요소의 수직 방향을 따르는 X-성분의 크기이고,
yi * = 요소의 수직 방향을 따르는 Y-성분의 크기이고,
zi * = 요소의 수직 방향을 따르는 Z-성분의 크기.
Vi *는 다음과 같이 정의된다.
Figure 112004056452370-pct00088
여기서, w = 요소의 두께 방향을 따르는 매개변수 값(-1.0 <= w <= 1.0)이고,
ti = 요소의 두께.
그리고, 역 Jacobian은 다음과 같이 정의된다.
Figure 112004056452370-pct00089
여기서, j* = Jacobian 매트릭스의 역전된 인덱스이다.
단계(338)에서, ε'Z = 0이라고 가정하면, 요소(130A 및 190A)의 지역축을 따르는 변형률 성분은 다음과 같이 주어진다.
Figure 112004056452370-pct00090
여기서, εx' = 주 x 방향 변형이고,
εy' = 주 y 방향 변형이고,
γx'y' = 주 xy 면의 전단(shear)이고,
γx'z' = 주 xz 면의 전단(휨(bending))이고,
γy'z' = 주 yz 면의 전단(휨).
앞선 수학식을 막성분과 휨성분(membrane and bending components)의 관점에서 쓸 수도 있으며, 이는 다음과 같다.
Figure 112004056452370-pct00091
여기서,
Figure 112004056452370-pct00092
이 때, εm = 변형률의 막성분이고,
εs = 변형률의 휨성분.
단계(340)에서, 각 요소에 관한 변형률 변위 매트릭스는 다음과 같은 수학적 프로세스를 통하여 결정된다. 전체 좌표에 있어서, 요소 변형률을 계산하기 위하여 다음의 관계식이 확립될 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00093
변형률 변위 매트릭스 [B]는 [B1 B2...Bn]로 주어지고, 이 때 Bi는 다음과 같이 정의된다.
Figure 112004056452370-pct00094
여기서,
Figure 112004056452370-pct00095
Figure 112004056452370-pct00096
Figure 112004056452370-pct00097
지역 좌표에서, 이러한 변형률-변위 매트릭스는 다음과 같이 작성된다.
Figure 112004056452370-pct00098
단계(344)에서, 탄성 변형동안 요소 응력 및 노드 변위는 다음 식,
Figure 112004056452370-pct00099
과 관련된다.
여기서 [C]= 구성 매트릭스(constitutive matrix)이다.
δz'= 0이라 가정하면, x', y', z' 좌표에서 응력-변형률 관계는 다음과 같다. 이 x', y', z'는 요소의 지역 좌표 방향을 나타낸다.
Figure 112004056452370-pct00100
그 결과,
Figure 112004056452370-pct00101
여기서
δx'= 주 x-방향 응력,
δy'= 주 y-방향 응력,
τx'y'= 주 xy-면에서의 전단-응력,
τy'z'= 주 yz-면에서의 휨-응력,
τz'x'= 주 zx-면에서의 휨-응력, 및
μ = 프와송 비(Poison's ratio)
변형체가 축 장력을 받을 때, 이 변형체는 늘어나고 가로 방향으로 줄어들기도 한다. 마찬가지로 변형체에 적용되는 축 압축력은 이 변형체가 힘의 방향으로 수축하고 측면은 가로 방향으로 연장되게 한다. 이들 변형률의 비례 비율은 프와송비(μ)라 칭하고, 등방성 재료는
Figure 112004056452370-pct00102
을 갖는다.
그러나, 요소의 접선 방향과 요소의 수직 방향에 적용된 프와송 비의 값 간의 이방성 관계를 고려할 필요가 있다. 이 수직 이방성 비 또는 r-인자는 다음과 같이 부여된다.
Figure 112004056452370-pct00103
여기서
μT= 막 방향에서의 프와송비이고,
μN = 두께 방향에서의 프와송비.
r-값이 등방성(r=1.0)이고, 실제의 체적 보존 조건을 고려하면, 프와송 비의 값은
Figure 112004056452370-pct00104
으로 된다.
그러므로, 프와송비에 대한 소정의 등방성 값에 대하여, 다음과 같은 관계가 제공된 r-값에 기반하여 동일한 이방성 값을 계산하는 데에 이용될 수 있다. 그 관계식은 다음과 같이 얻을 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00105
μN 및 μT에 대해 이 이차 방정식을 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00106
그러므로, 각 요소의 구성 매트릭스를 정의할 때, 접선 방향에서 프와송비의 값, μT이 사용된다.
수학식 89 및 수학식 94를 이용할 때, 응력 변위 매트릭스는 다음과 같이 막 성분 및 휨 성분으로 나뉘어진다.
Figure 112004056452370-pct00107
여기에서,
Figure 112004056452370-pct00108
여기에서,
Cm = 응력 변형 관계의 막 성분에 대한 구성 매트릭스이고
Cs = 응력 변형 관계의 휨 성분에 대한 구성 매트릭스이다.
단계(348)에서, 탄성-소성 응력 변위 매트릭스는 다음과 같이 구할 수 있다. 유효 응력
Figure 112008010128947-pct00109
이 항복 응력(δy)을 초과했을 때 응력의 임의의 상태 하에 항복을 시작한다. 유효 소성 변형률
Figure 112008010128947-pct00110
이 증가할수록, 항복을 더 생성하기 위해 초과되어야 하는 유효 응력값
Figure 112008010128947-pct00111
도 증가한다. 이는 변형률 경화 현상(strain-hardening phenomenon)으로 가장 일반적으로 알려져 있다. 언로딩이 일어나면, 응력의 후속 상태이든지,
Figure 112008010128947-pct00112
가 그 이전의 최대 값을 초과할 때만 항복이 재개된다고 가정할 수 있다. 본 마이제 기준(Von Mises criterion)에 따른, 이러한 유효 응력
Figure 112008010128947-pct00113
은 다음과 같이 계산될 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00114
유효 소성 변형률 증분
Figure 112008010128947-pct00115
은 개별적인 소성 변형률 증분의 조합으로 정의된다.
Figure 112004056452370-pct00116
여기서 P는 변형률의 소성 성분을 칭한다.
유효 응력
Figure 112004056452370-pct00117
에 관한 수학식 양변을 미분하여,
Figure 112004056452370-pct00118
은 다음과 같이 계산된다.
Figure 112004056452370-pct00119
여기서,
Figure 112004056452370-pct00120
및
Figure 112004056452370-pct00121
플란틀-레우스(Prandtl-Reuss) 관계로부터, 소성 변형률 증분은 다음에 의해서 정의된다.
Figure 112004056452370-pct00122
변형률 증분
Figure 112008010128947-pct00123
은 그 탄성 성분
Figure 112008010128947-pct00124
및 소성 성분
Figure 112008010128947-pct00125
의 합이기 때문에, 아래와 같이 된다.
Figure 112004056452370-pct00126
총 변형률 증분
Figure 112008010128947-pct00127
로부터의 소성 변형률 증분
Figure 112008010128947-pct00128
을 산출하는 관계식은 δ'x 및 δ'y에 대한 상기 기술된 수학식을
Figure 112008010128947-pct00129
에 대한 상기 기술된 수학식으로 치환하고
Figure 112008010128947-pct00130
를 곱함으로써 얻을 수 있다. 이러한 조작의 결과는 다음과 같다.
Figure 112004056452370-pct00131
여기에서 T는 벡터의 전치 매트릭스를 뜻한다.
관계식
Figure 112008010128947-pct00132
을
Figure 112008010128947-pct00133
에 대하여 상술한 수학식으로 치환하면, 소성 변형률 증분
Figure 112008010128947-pct00134
은 총 변형률 증분
Figure 112008010128947-pct00159
의 견지에서 다음과 같이 작성될 수 있다.
Figure 112004056452370-pct00136
여기에서 [W] = 총 변형률 증분의 견지에서 소성 변형률 증분을 계산한 텐서(Tonsor)이다.
소성 변형률 증분
Figure 112008010128947-pct00137
에 관한 수학식을
Figure 112008010128947-pct00138
에 관한 상술한 수학식으로 치환하고, 그 결과를 증분 응력
Figure 112008010128947-pct00139
에 대한 상술한 수학식으로 치환하면, 비례 한계를 초과한(예를 들면, 항복 응력을 초과한) 유효한 증분 응력-변형률 관계를 얻을 수 있으며, 다음과 같이 된다.
Figure 112004056452370-pct00140
지역 좌표 x', y', z'에서 [B]매트릭스 및 [CB] 매트릭스를 구한 후에는, 단계(350)에서 요소 강성 매트릭스를 계산하는데 이 매트릭스들을 사용할 수 있다. 이러한 매트릭스의 변환은, 임의의 가상 변위 동안, 결과로서 얻을 수 있는 변형 에너지 밀도의 증분이 그것이 계산되는 좌표계에 관계없이 동일해야 한다는 개념에 기초하여 도출된다. 그러므로, 강성 매트릭스는,
Figure 112004056452370-pct00141
에 의하여 얻어진다.
여기서, BT = 변형-변위 매트릭스의 전치 매트릭스이다.
일실시예에서, 4각형 쉘 요소(130A)에서, 이하의 가우스 포인트와 가중치를 이용한 3x3x2 차수(ordering)의 가우스 르장드르 구적 기법(Gauss-Legendre Quadrature technique)을 이용하여 적분이 수행될 수 있다.
Figure 112008010128947-pct00160
Figure 112004056452370-pct00142
여기서, W는 가우스 포인트의 가중치 인자이다.
일실시예에서, 3각형 쉘 요소(190A)에 대하여, 다음의 가우스 포인트 및 가중치를 이용하여 적분이 수행될 수 있다.
Figure 112008010128947-pct00161
Figure 112004056452370-pct00143
그 다음 단계(352)에서, 힘 벡터{f}가 수학식{f} = -[k]{d}를 이용하여 강성 매트릭스[k]에 기반하여 결정된다.
일 실시예에서, 영역(54)의 초기 소성 변형 분석을 수행한 후, 선택적인 스프링백 및/또는 오버크라운 분석이 방법(250)의 단계(288)에서 수행될 수 있다. 스프링백 분석은 이전에 적용된 경계 조건이 제거되고 재료가 완화되거나 본래의 상태인 것으로 가정한 후, 재료의 형상을 분석하는 것을 칭한다. 오버크라운 분석은, 스프링백 형상이 재료의 원하는 형상과 일치하도록 요구되는 재료의 과잉성형(over-shaping)의 정도에 대한 추정을 칭한다. 스프링백/오버크라운 분석은 재료의 형성 동작을 위해 전개된 내부 응력의 축적을 설명한다. 스프링백/오버크라운 분석은 형성되지 않은 부분으로부터 조립되는 강성 매트릭스에 기초하는 정적인 분석을 이용하여 수행될 수 있다. 모델에 적용될 수 있는 노드에서의 힘은 방법(250)에서 기술된 초기 형성 동작 중에 얻어진 수정된 전체 강성 매트릭스의 역매트릭스로부터 결정될 수 있으며, 이것은 다음과 같이 된다.
Figure 112004056452370-pct00144
Figure 112004056452370-pct00145
여기서,
{F} = 수정된 전체 강성 매트릭스의 역매트릭스 및 초기 형성 분석의 결과적인 변위로부터 계산된 결과로서 얻을 수 있는 내부 로드 벡터
[KI]-1 = 수정된 전체 강성 매트릭스의 역매트릭스
[KF] = 초기 형성 분석으로부터 결과로서 얻을 수 있는 변위된 노드 좌표로부터 계산된 강성 매트릭스
{DP} = 초기 형성 분석으로부터 계산된 결과로서 얻을 수 있는 변위 벡터
{DS} = 포스트 선형 정적 분석(post linear static analysis)으로부터 계산되는 스프링백 변위 백터.
이 접근은, 형상형성된 재료의 탄성-스프링백 형상을 유도하기 위해 요구되는 응력의 정반대에 기초하는 노드의 로드(loads)를 적용하는 것에 의해 오버크라운된 형상은 합리적으로 근사될 수 있다는 것을 가정한다.
본 발명이 상세히 기술되었지만, 다양한 변형, 대용, 및 대안이 특허 청구 범위에서 정의된 본 발명의 사상 및 범위에서 벗어나지 않고 이루어질 수 있다고 이해되어야할 것이다.

Claims (44)

  1. 재료의 표면의 변형을 결정하는 컴퓨터화된 방법으로서,
    컴퓨터(14)에서, 상기 재료의 탄성 변형 범위(100) 및 소성 변형 범위(104)를 수신하는 단계;
    복수의 요소(58)를 포함하는 메시(mesh; 50A)로 상기 재료의 영역(54)을 모델링하는 단계; 및
    상기 컴퓨터(14)에 의해, 상기 메시(50A)에 대한 유한 요소 분석을 수행함으로써, 상기 요소(58) 각각 상의 적어도 하나의 포인트(64)에 대한 변위({d})를 결정하는 단계
    를 포함하고,
    상기 변위({d})는 하나 이상의 경계 조건을 부과함으로써 모델링되고, 상기 유한 요소 분석은 이전에 계산된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(strain; ε) 값에 기초하여 상기 탄성 변형 범위(100) 및 상기 소성 변형 범위(104)에 따라 각 요소(58)에 대한 탄성 계수(modulus of elasticity; E, ET)를 수렴에 도달할 때까지반복적으로 근사하는 것을 포함하고,
    상기 유한 요소 분석을 수행하는 단계는, 상기 복수의 요소(58) 각각에 대해, 상기 탄성 계수(E, ET)에 기초하여 강성 매트릭스(stiffness matrix; [k]) 및 적어도 하나의 힘 벡터(force vector; {f})를 결정하는 단계를 포함하고,
    상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})는 상기 복수의 요소(58) 각각에 근거리인 지역 좌표계 포맷(local coordinate system format)으로 되어 있으며,
    상기 강성 매트릭스([k])는 변형률-변위 매트릭스, 탄성 및 탄성-소성 응력-변위 매트릭스, 그리고 Jacobian 매트릭스를 이용한 수치 적분(numerical integration)에 의해서 결정되는 방법.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 각각은 적어도 하나의 노드(131)를 포함하고, 상기 유한 요소 분석을 수행하는 단계는, 상기 적어도 하나의 노드(131) 각각의 변위가 선정된 모델링 허용치 내에 있는 것으로 결정하는 단계를 포함하는 방법.
  3. 삭제
  4. 제1항에 있어서,
    상기 유한 요소 분석을 수행하는 단계는, 상기 복수의 요소(58) 각각에 대해, 상기 탄성 계수(E, ET)에 기초하여 강성 매트릭스([k]) 및 적어도 하나의 힘 벡터({f})를 결정하는 단계를 포함하고,
    상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})는 상기 복수의 요소(58) 각각에 근거리인 지역 좌표계 포맷으로 되어 있으며,
    상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})를 상기 복수의 요소(58) 모두에 사용되는 전체 좌표계 포맷(global coordinate system format)으로 변환하는 단계를 더 포함하는 방법.
  5. 제1항에 있어서,
    상기 유한 요소 분석을 수행하는 단계는, 수렴에 도달한 후에, 상기 복수의 요소(58)의 복수의 개별 강성 매트릭스([k])의 합으로부터 전체 강성 매트릭스(global stiffness matrix; [K])를 결정하는 단계를 포함하고, 상기 복수의 요소(58) 각각에 대해, 상기 전체 강성 매트릭스([K])의 역을 계산함으로써 스프링백 위치(springback position)를 결정하는 단계를 더 포함하는 방법.
  6. 제1항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 중 적어도 하나는 4각형(quadrilateral)이고, 상기 4각형의 노드 라인(nodal lines)을 따라 적어도 12개의 노드들을 지정하는 단계를 더 포함하고, 상기 적어도 12개 노드들 중 4개는 각각 상기 4각형의 4개의 코너(52)에 배치되는 방법.
  7. 제1항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 중 적어도 하나는 3각형 기하학적 구조이고, 상기 3각형 기하학적 구조에 대해 적어도 10개의 노드들을 지정하는 단계를 더 포함하고, 상기 적어도 10개의 노드들 중 3개는 상기 3각형 기하학적 구조의 3개의 코너에 각각 배치되고, 상기 적어도 10개의 노드들 중 적어도 하나는 상기 3각형 기하학적 구조의 중심에 배치되는 방법.
  8. 제1항에 있어서,
    메시(50A)로 상기 재료의 영역(54)을 모델링하는 단계는 파라솔리드 패시팅(parasolid faceting) 기술을 사용하여 상기 메시(50A)를 제공하는 단계를 포함하는 방법.
  9. 제1항에 있어서,
    상기 탄성 변형 범위(100) 및 상기 소성 변형 범위(104)를 수신하는 단계는, 상기 재료의 항복 응력과 관련된 포인트에서 상기 소성 변형 범위(104)로 천이하는 상기 탄성 변형 범위(100)를 수신하는 단계를 포함하고, 각 요소(58)에 대한 탄성 계수(E, ET)를 반복적으로 근사하는 단계는, 상기 미리 계산된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(ε) 값이 항복 응력 포인트에 도달했음을 결정하는 단계와, 이에 응답하여 상기 탄성 계수(E, ET)가 상기 소성 변형 범위(104) 내에 있음을 결정하는 단계를 포함하는 방법.
  10. 제1항에 있어서,
    상기 탄성 변형 범위(100) 및 상기 소성 변형 범위(104)를 수신하는 단계는, 항복 응력값을 수신하는 단계를 포함하고, 각 요소(58)에 대한 탄성 계수(E, ET)를 반복적으로 근사하는 단계는, 상기 이전에 계산된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(ε) 값이 상기 항복 응력값에 도달하지 않음을 결정하는 단계와, 이에 응답하여 상기 탄성 계수(E, ET)가 상기 탄성 변형 범위(100) 내에 있음을 결정하는 단계를 포함하는 방법.
  11. 제1항에 있어서,
    상기 탄성 계수(E, ET)를 근사하는 단계는, 상기 요소(58)에 부과된 유효 응력을 사용하는 단계를 포함하고, 상기 유효 응력은 본 마이제 기준(Von Mises criterion)을 사용하여 계산되는 방법.
  12. 유한 요소 분석 방법에 있어서,
    컴퓨터(14)에서, 재료의 탄성 변형 범위(100) 및 소성 변형 범위(104)를 수신하는 단계 - 상기 탄성 변형 범위(100)는 상기 재료의 항복 응력(yield stress)과 관련된 포인트에서 상기 소성 변형 범위(104)로 천이함 - ;
    복수의 요소(58)를 포함하는 메시(mesh; 50A)로 상기 재료를 모델링하는 단계 - 상기 복수의 요소(58) 각각은 복수의 노드(131)를 포함함 - ;
    상기 유한 요소 분석에 대하여 수렴에 도달할 때까지 수행되는 복수의 반복 각각에 대해, 상기 복수의 요소(58) 각각에 대한 강성 매트릭스(stiffness matrix; [k])를 계산하는 단계 - 상기 강성 매트릭스([k])는, 미리 결정된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(ε) 값이, 탄성 도메인으로부터 소성 도메인으로의 천이를 표시하고 상기 항복 응력과 관련된 상기 포인트 미만인 경우에, 상기 탄성 변형 범위(100)에 따른 탄성 계수(E, ET)를 사용하여 계산되고, 상기 변형률(ε) 값이 상기 포인트 이상인 경우에는 상기 소성 변형 범위(104)에 따른 탄성 계수(E, ET)를 사용하여 계산됨 - ;
    상기 복수의 요소(58) 각각에 대한 상기 강성 매트릭스([k])를 계산한 후에, 상기 복수의 노드(131) 각각의 변위가 선정된 모델링 허용치(tolerance) 내에 있음을 결정하는 단계;
    상기 복수의 요소(58) 각각에 대한 상기 강성 매트릭스([k])를 사용하여 상기 복수의 요소(58) 각각과 관련된 적어도 하나의 힘 벡터({f})를 계산하는 단계 - 상기 복수의 요소(58) 각각에 대한 상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})는 개별 지역 좌표계 내에 있음 - ; 및
    상기 요소(58) 각각의 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f}) 및 상기 강성 매트릭스([k])를 상기 복수의 요소(58) 모두에 사용되는 전체 좌표계 포맷으로 변환하는 단계 - 상기 강성 매트릭스([k])는 변형률-변위 매트릭스, 탄성 및 탄성-소성 응력-변위 매트릭스, 그리고 Jacobian 매트릭스를 이용한 수치 적분에 의해서 결정됨 -
    를 포함하는 유한 요소 분석 방법.
  13. 제12항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 각각은 적어도 하나의 가우스 포인트(64)를 포함하고, 강성 매트릭스([k])를 계산하는 단계는 복수의 가우스 포인트(64) 각각에 대해 갱신된 탄성 계수(E, ET)를 할당하는 단계를 포함하고, 상기 갱신된 탄성 계수(E, ET)는 상기 복수의 요소(58) 각각에 대한 변형률(ε) 값의 변화에 따라 결정되고, 상기 값의 변화는 상기 유한 요소 분석의 이전 반복으로부터 상기 복수의 요소(58) 각각의 증분 변위(
    Figure 112010004277229-pct00167
    )로부터 계산되는 유한 요소 분석 방법.
  14. 제12항에 있어서,
    상기 탄성 변형 범위(100)와 상기 소성 변형 범위(104)를 각각 응력(σ) 및 변형률(ε)의 선형 관계로 근사시키는 단계를 더 포함하는 유한 요소 분석 방법.
  15. 제12항에 있어서,
    상기 강성 매트릭스([k])를 계산하는 단계는 상기 복수의 요소(58) 모두에 대해 일관되게 적용되도록 동작가능한 전체 좌표계(global coordinate system)를 사용하여 상기 강성 매트릭스([k])를 지역 좌표계 포맷으로부터 전체 좌표계 포맷으로 변환하는 단계를 더 포함하는 유한 요소 분석 방법.
  16. 삭제
  17. 제12항에 있어서,
    상기 유한 요소 분석을 수행하는 단계는, 수렴에 도달한 후에 상기 복수의 요소(58)의 복수의 개별 강성 매트릭스([k])의 합으로부터 전체 강성 매트릭스([K])를 결정하는 단계를 포함하며, 상기 복수의 요소(58) 각각에 대해, 상기 전체 강성 매트릭스([K])의 역을 계산함으로써 스프링백 위치를 결정하는 단계를 더 포함하는 유한 요소 분석 방법.
  18. 제12항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 중 적어도 하나는 4각형이고, 상기 4각형의 노드 라인들을 따라 적어도 12개의 노드들을 지정하는 단계를 더 포함하며, 상기 적어도 12개의 노드들 중 4개는 상기 4각형의 4개의 코너(52)에 각각 배치되는 유한 요소 분석 방법.
  19. 제12항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 중 적어도 하나는 3각형 기하학적 구조이고, 상기 3각형 기하학적 구조에 대해 적어도 10개의 노드를 지정하는 단계를 더 포함하며, 상기 적어도 10개의 노느들 중 3개는 상기 3각형 기하학적 구조의 3개의 코너에 각각 배치되고 상기 적어도 10개의 노드들 중 적어도 하나는 상기 3각형 기하학적 구조의 중심에 배치되는 유한 요소 분석 방법.
  20. 제12항에 있어서,
    메시(50A)로 상기 재료를 모델링하는 단계는 파라솔리드 패시팅(parasolid faceting) 기술을 사용하여 상기 메시(50A)를 제공하는 단계를 포함하는 유한 요소 분석 방법.
  21. 제12항에 있어서,
    상기 강성 매트릭스([k])를 계산하는 단계는, 상기 요소(58)에 부과된 유효 응력에 기초하여 상기 탄성 계수(E, ET)를 근사하는 단계를 포함하고, 상기 유효 응력은 본 마이제 기준(Von Mises criterion)을 사용하여 계산되는 유한 요소 분석 방법.
  22. 제12항에 있어서,
    상기 탄성 변형 범위(100)는 상기 소성 변형 범위(104)의 응력(σ) 대 변형률(ε) 관계와 상이한 응력(σ) 대 변형률(ε) 관계를 갖는 유한 요소 분석 방법.
  23. 재료의 변위를 모델링하기 위한 장치로서,
    프로세서; 및
    소프트웨어 프로그램을 저장하는 컴퓨터 판독가능한 매체
    를 포함하고,
    상기 소프트웨어 프로그램은, 상기 프로세서 상에서 실행될 때,
    상기 재료의 탄성 변형 범위(100) 및 소성 변형 범위(104)를 수신하는 단계;
    복수의 요소(58)를 포함하는 메시(mesh; 50A)로 상기 재료의 영역(54)을 모델링하는 단계; 및
    컴퓨터(14)에 의해 상기 메시(50A)의 유한 요소 분석(finite element analysis)을 수행함으로써, 상기 요소(58) 각각 상의 적어도 하나의 포인트(64)에 대한 변위({d})를 결정하는 단계
    를 수행하도록 동작가능하며,
    상기 변위({d})는 하나 이상의 경계 조건을 부과함으로써 모델링되고, 상기 유한 요소 분석은 이전에 계산된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(ε) 값에 기초하여 상기 탄성 변형 범위(100) 및 상기 소성 변형 범위(104)에 따라 각 요소(58)에 대한 탄성 계수(E, ET)를 수렴에 도달할 때까지 반복적으로 근사하는 것을 포함하며,
    상기 소프트웨어 프로그램은, 상기 복수의 요소(58) 각각에 대하여, 상기 탄성 계수(E, ET)에 기초하여 강성 매트릭스([k]) 및 적어도 하나의 힘 벡터({f})를 결정함으로써 상기 유한 요소 분석을 수행하도록 동작가능하고, 상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})는 상기 복수의 요소(58) 각각에 근거리인 지역 좌표계 포맷으로 되어 있고,
    상기 강성 매트릭스([k])는 변형률-변위 매트릭스, 탄성 및 탄성-소성 응력-변위 매트릭스, 그리고 Jacobian 매트릭스를 이용한 수치 적분에 의해서 결정되는 장치.
  24. 제23항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 각각은 적어도 하나의 노드(131)를 포함하고, 상기 유한 요소 분석을 수행하는 단계는 상기 적어도 하나의 노드(131) 각각의 변위가 선정된 모델링 허용치 내에 있음을 결정하는 단계를 포함하는 장치.
  25. 삭제
  26. 제23항에 있어서,
    상기 소프트웨어 프로그램은, 상기 복수의 요소(58) 각각에 대하여, 상기 탄성 계수(E, ET)에 기초하여 강성 매트릭스([k]) 및 적어도 하나의 힘 벡터({f})를 결정함으로써 상기 유한 요소 분석을 수행하도록 동작가능하고, 상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})는 상기 복수의 요소(58) 각각에 근거리인 지역 좌표계 포맷으로 되어 있고, 상기 소프트웨어 프로그램은 상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})를 상기 복수의 요소(58) 모두에 사용되는 전체 좌표계(global coordinate system) 포맷으로 변환하도록 더 동작가능한 장치.
  27. 제23항에 있어서,
    상기 소프트웨어 프로그램은, 수렴에 도달한 후에, 상기 복수의 요소(58)의 복수의 개별 강성 매트릭스([k])의 합으로부터 전체 강성 매트릭스([K])를 결정함으로써 상기 유한 요소 분석을 수행하도록 동작가능하고, 상기 소프트웨어 프로그램은 상기 복수의 요소(58) 각각에 대하여, 상기 전체 강성 매트릭스([K])의 역을 계산함으로써 스프링백 위치를 결정하도록 더 동작가능한 장치.
  28. 제23항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 중 적어도 하나는 4각형이고, 상기 4각형의 노드 라인을 따라서 적어도 12개의 노드를 지정하는 단계를 더 포함하고, 상기 적어도 12개의 노드 중 4개는 각각 상기 4각형의 4개 코너(52)에 배치되는 장치.
  29. 제23항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 중 적어도 하나는 3각형 기하학적 구조이고, 상기 3각형 기하학적 구조에 대하여 적어도 10개의 노드를 지정하는 단계를 더 포함하고, 상기 적어도 10개의 노드 중 3개는 각각 상기 3각형 기하학적 구조의 3개의 코너에 배치되고 상기 적어도 10개의 노드 중 적어도 하나는 상기 3각형 기하학적 구조의 중심에 배치되는 장치.
  30. 제23항에 있어서,
    상기 메시(50A)는 파라솔리드 패시팅(parasold faceting) 기술을 이용하여 생성되는 장치.
  31. 제23항에 있어서,
    상기 탄성 변형 범위(100)는 상기 재료의 항복 응력(yield stress)과 관련된 포인트에서 상기 소성 변형 범위(104)로 천이되고, 상기 소프트웨어 프로그램은 상기 이전에 계산된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(ε) 값이 항복 응력 포인트에 도달했음을 결정함으로써 각 요소(58)에 대한 탄성 계수(E, ET)를 근사하고, 이에 응답하여 상기 탄성 계수(E, ET)가 상기 소성 변형 범위(104) 내에 있음을 결정하도록 동작가능한 장치.
  32. 제23항에 있어서,
    상기 소프트웨어 프로그램은, 상기 탄성 변형 범위(100)와 상기 소성 변형 범위(104) 간의 천이 포인트인 상기 재료의 항복 응력값을 수신하도록 더 동작가능하고, 상기 소프트웨어 프로그램은, 상기 이전에 계산된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(ε) 값이 상기 항복 응력값에 도달하지 않았음을 결정함으로써 각 요소(58)에 대한 탄성 계수(E, ET)를 반복적으로 근사하고, 이에 응답하여 상기 탄성 계수(E, ET)가 상기 탄성 변형 범위(100) 내에 있음을 결정하도록 동작가능한 장치.
  33. 제23항에 있어서,
    상기 소프트웨어 프로그램은 상기 요소(58)에 부과된 유효 응력을 이용하여 상기 탄성 계수(E, ET)를 근사하도록 동작가능하고, 상기 유효 응력은 본 마이제 기준(Von-Mises criterion)을 이용하여 계산되는 장치.
  34. 컴퓨터 지원 분석 환경 내에서 재료의 변위(displacement)를 모델링하기 위한 시스템으로서,
    디스플레이 유닛, 입력 디바이스(18), 및 프로세서를 갖는 컴퓨터 시스템(10); 및
    상기 컴퓨터 시스템(10)에 연결된 컴퓨터 판독가능한 매체
    를 포함하고,
    상기 컴퓨터 판독가능한 매체는, 상기 프로세서 상에서 실행되도록 동작가능한 소프트웨어 프로그램을 포함하며, 상기 소프트웨어 프로그램은,
    상기 재료의 탄성 변형 범위(100) 및 소성 변형 범위(104)를 수신하고;
    상기 재료의 영역(54)을 복수의 요소(58)를 포함하는 메시(mesh; 50A)로 모델링하고;
    상기 컴퓨터에 의해 상기 메시(50A)에 대해 유한 요소 분석을 수행함으로써 상기 요소(58) 각각 상의 적어도 하나의 포인트(64)에 대한 변위({d})를 결정하도록 동작가능하며,
    상기 변위({d})는 하나 이상의 경계 조건을 부과함으로써 모델링되고, 상기 유한 요소 분석은 이전에 계산된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(ε) 값에 기초하여 상기 탄성 변형 범위(100) 및 상기 소성 변형 범위(104)에 따라 각 요소(58)에 대한 탄성 계수(E, ET)를 수렴에 도달할 때까지 반복적으로 근사하는 것을 포함하며,
    상기 소프트웨어 프로그램은 상기 복수의 요소(58) 각각에 대해 상기 탄성 계수(E, ET)에 기초하여 강성 매트릭스([k]) 및 적어도 하나의 힘 벡터({f})를 결정함으로써 상기 유한 요소 분석을 수행하도록 동작가능하고, 상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})는 상기 복수의 요소(58) 각각에 근거리인 지역 좌표계 포맷으로 되어 있으며,
    상기 강성 매트릭스([k])는 변형률-변위 매트릭스, 탄성 및 탄성-소성 응력-변위 매트릭스, 그리고 Jacobian 매트릭스를 이용한 수치 적분에 의해서 결정되는 시스템.
  35. 제34항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 각각은 적어도 하나의 노드(131)를 포함하고, 상기 유한 요소 분석을 수행하는 단계는 상기 적어도 하나의 노드(131)의 각각의 변위가 선정된 모델링 허용치 내에 있음을 결정하는 단계를 포함하는 시스템.
  36. 삭제
  37. 제34항에 있어서,
    상기 소프트웨어 프로그램은 상기 복수의 요소(58) 각각에 대해 상기 탄성 계수(E, ET)에 기초하여 강성 매트릭스([k]) 및 적어도 하나의 힘 벡터({f})를 결정함으로써 상기 유한 요소 분석을 수행하도록 동작가능하며, 상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})는 상기 복수의 요소(58) 각각에 근거리인 지역 좌표계 포맷으로 되어 있으며, 상기 소프트웨어 프로그램은 상기 강성 매트릭스([k]) 및 상기 적어도 하나의 힘 벡터({f})를, 상기 복수의 요소(58) 모두에 사용되는 전체 좌표계 포맷으로 변환하도록 더 동작가능한 시스템.
  38. 제34항에 있어서,
    상기 소프트웨어 프로그램은, 수렴에 도달한 후에 상기 복수의 요소(58)의 복수의 개별 강성 매트릭스([k])의 합으로부터 전체 강성 매트릭스([K])를 결정함으로써 상기 유한 요소 분석을 수행하도록 동작가능하며, 상기 소프트웨어 프로그램은 상기 복수의 요소(58) 각각에 대해 상기 전체 강성 매트릭스([K])의 역을 계산함으로써 스프링백 위치를 결정하도록 더 동작가능한 시스템.
  39. 제34항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 중 적어도 하나는 4각형이며, 상기 4각형의 노드 라인들(nodal lines)을 따라 적어도 12개의 노드들을 지정하는 것을 더 포함하며, 상기 적어도 12개의 노드들 중 4개는 상기 4각형의 4개의 코너(52)에 각각 배치되어 있는 시스템.
  40. 제34항에 있어서,
    상기 복수의 요소(58) 중 적어도 하나는 3각형 기하학적 구조이며, 상기 3각형 기하학적 구조에 대해 적어도 10개의 노드들을 지정하는 것을 더 포함하며, 상기 적어도 10개의 노드들 중 3개는 상기 3각형 기하학적 구조의 3개 코너에 각각 배치되며 상기 적어도 10개의 노드들 중 적어도 하나는 상기 3각형 기하학적 구조의 중심에 배치되는 시스템.
  41. 제34항에 있어서,
    상기 메시(50A)는 파라솔리드 패시팅(parasolid faceting) 기술을 사용하여 생성되는 시스템.
  42. 제34항에 있어서,
    상기 탄성 변형 범위(100)는 상기 재료의 항복 응력(yield stress)과 관련된 포인트에서 상기 소성 변형 범위(104)로 천이되고, 상기 소프트웨어 프로그램은 상기 이전에 계산된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(ε) 값이 항복 응력 포인트에 도달하였음을 결정함으로써 각 요소(58)에 대해 탄성 계수(E, ET)를 근사하고, 이에 응답하여 상기 탄성 계수(E, ET)가 상기 소성 변형 범위(104) 내에 있음을 결정하도록 동작가능한 시스템.
  43. 제34항에 있어서,
    상기 소프트웨어 프로그램은 상기 탄성 변형 범위(100)와 상기 소성 변형 범위(104) 사이의 천이 포인트인 상기 재료의 항복 응력값을 수신하도록 더 동작가능하고, 상기 소프트웨어 프로그램은 상기 이전에 계산된 요소 변위({d})로부터 계산된 변형률(ε) 값이 상기 항복 응력값에 도달하지 않았음을 결정함으로써 각 요소(58)에 대해 상기 탄성 계수(E, ET)를 반복적으로 근사하고, 이에 응답하여 상기 탄성 계수(E, ET)가 상기 탄성 변형 범위(100) 내에 있음을 결정하도록 동작가능한 시스템.
  44. 제34항에 있어서,
    상기 소프트웨어 프로그램은 상기 요소(58)에 부과된 유효 응력을 사용함으로써 상기 탄성 계수(E, ET)를 근사하도록 동작가능하고, 상기 유효 응력은 본 마이제 기준(Von Mises criterion)을 사용하여 계산되는 시스템.
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