CN104036099A - 一种计算理想弹塑性固体时处理其能量方程的技术 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种计算理想弹塑性固体时处理其能量方程的技术。在以往的计算中，由于理想弹塑性固体在弹性状态下满足Hooke定律，并不满足状态方程。这样就会给能量方程中能量(尤其是弹性状态的能量)的定义方式带来一定困难。如果能量定义不当，就会直接造成计算错误。本发明则无论对固体的弹性状态还是理想塑性状态均先采用状态方程(EOS)进行定义，然后通过对固体状态的判断再分别对这两个状态的相关变量进行修正。这种技术简单、准确，顺利地解决了能量方程中能量(尤其是弹性状态能量)如何定义这一关键问题。本发明的提出对理想弹塑性固体的计算具有重要意义。

Description

一种计算理想弹塑性固体时处理其能量方程的技术

技术领域

本发明涉及一种计算理想弹塑性固体时处理其能量方程的技术，具体涉及能量方程中能量(尤其是弹性状态能量)如何定义的技术。

背景技术

理想弹塑性固体模型可以较准确描述固体(如铝、钢等金属)在受一般强度的外力作用下的各物理量变化情况。因此，研究理想弹塑性固体的计算方法，在实际工程中具有重要的应用价值和广泛的应用前景。

然而，在以往的计算中，由于理想弹塑性固体在弹性状态下满足Hooke定律，并不满足状态方程。这样就会给能量方程中能量(尤其是弹性状态的能量)的定义方式带来一定困难。如果能量定义不当，就会直接造成计算错误。本发明旨在解决能量方程中能量(尤其是弹性状态能量)如何定义这一关键问题。

发明内容

本发明提出的的一种计算理想弹塑性固体时处理其能量方程的技术，其发明内容主要为能量方程中能量(尤其是弹性状态能量)如何定义的技术。

对于理想弹塑性固体的能量方程，其能量E为

$E=\mathrm{\ρe}+\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{V}^2---\left(1\right)$

其中，e是比内能，ρ是密度，V是速度向量，则无论固体处于弹性状态还是理想塑性状态，本发明均通过固体的状态方程(EOS)

p＝p(ρ,e) (2)定义其能量。例如，对于一维理想弹塑性固体，其能量方程为

$\frac{\∂E}{\∂t}+\frac{\∂\left((E-{\mathrm{\σ}}_x)u\right)}{\∂x}=0$

这里，u是速度，E是总能，σ_x是x方向的总应力。若其状态方程为Stiffen-gas EOS，即

$p=c_0^2(\mathrm{\ρ}-{\mathrm{\ρ}}_0)+({\mathrm{\γ}}_s-1)\mathrm{\ρe}$

其中c₀，ρ₀，γ_s均为与具体固体有关的常数，则对于离散形式的能量无论固体处于弹性状态还是理想塑性状态，其能量守恒律方程中的能量均定义为

$E_i^n={\mathrm{\ρ}}_i^n{e}_i^n+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}_i^n{u}_i^n{u}_i^n---\left(3\right)$

且有

${\mathrm{\ρ}}_i^n{e}_i^n=\frac{p_i^n-c_0^2({\mathrm{\ρ}}_i^n-{\mathrm{\ρ}}_0)}{{\mathrm{\γ}}_s-1}---\left(4\right)$

同理，对于二维理想弹塑性固体，其能量方程为

$\frac{\∂E}{\∂t}+\frac{\∂((E-{\mathrm{\σ}}_x)u-s_{\mathrm{xy}}v)}{\∂x}+\frac{\∂((E-{\mathrm{\σ}}_y)u-s_{\mathrm{xy}}u)}{\∂y}=0$

这里，σ_y是y方向的总应力，s_xy是偏应力。若其状态方程同样为Stiffen-gas EOS，即

$p=c_0^2(\mathrm{\ρ}-{\mathrm{\ρ}}_0)+({\mathrm{\γ}}_s-1)\mathrm{\ρe}$

则对于离散形式的能量无论固体处于弹性状态还是理想塑性状态，其能量守恒律方程中的能量均定义为

$E_{i,j}^n={\mathrm{\ρ}}_{i,j}^n{e}_{i,j}^n+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}_{i,j}^n{u}_{i,j}^n{u}_{i,j}^n+\frac{1}{2}{\mathrm{\ρ}}_{i,j}^n{v}_{i,j}^n{v}_{i,j}^n---\left(5\right)$

且有

${\mathrm{\ρ}}_{i,j}^n{e}_{i,j}^n=\frac{p_{i,j}^n-c_0^2({\mathrm{\ρ}}_{i,j}^n-{\mathrm{\ρ}}_0)}{{\mathrm{\γ}}_s-1}---\left(6\right)$

附图说明

图1是本发明计算理想弹塑性固体时处理其能量方程的流程图；

图2至图4是采用本发明的处理技术计算一维理想弹塑性固体的一个算例结果。

具体实施方式

为了说明本发明的具体实施方式，下面将对一个一维算例进行演示。考虑在铝中的一维黎曼问题，其中该黎曼问题左侧的无量纲初值为u_L＝20.0，p_L＝1.0,ρ_L＝2.7，s_L＝0.0,右侧的无量纲初值为u_R＝-20.0,p_R＝1.0,ρ_R＝2.7,s_R＝0.0。无量纲的求解区间[0,1]中等距分布着2000个欧拉网格点，并且黎曼问题的初始界面为0.0。同时，铝的理想弹塑性模型的相关无量纲参数分别为ρ₀＝2.71，c₀＝538.0，γ_s＝2.71，K＝740000.0，μ＝265000.0,Y₀＝3000.0。

该问题将在界面左右两侧同时产生弹性波和塑性波。取时间步长Δt＝0.0000015，采用Lax-Friedrich格式计算，并用一维理想弹塑性固体能量的定义形式(即无论固体处于弹性状态还是理想塑性状态，其能量均定义为公式(3)和公式(4))对其进行计算，得到在时间t＝0.001时铝中的负的总应力、速度、密度如图2至图4所示。

Claims (3)

1.一种计算理想弹塑性固体时处理其能量方程的技术，其特征在于，该技术旨在解决能量方程中能量(尤其是弹性状态能量)如何定义这一关键问题。

2.如权利要求1所述的理想弹塑性固体，其特征在于，当其处于弹性状态，满足Hooke定律；当其处于塑性状态，满足理想塑性假设；并且该固体的屈服条件为von Mises屈服条件。

3.如权利要求1所述的一种计算理想弹塑性固体时处理其能量方程的技术，其特征在于，无论固体处于弹性状态还是理想塑性状态，其能量守恒律方程中的能量均通过固体的状态方程(EOS)定义，即对于能量方程中的能量E，这里

$E=\mathrm{\ρe}+\frac{1}{2}\mathrm{\ρ}{V}^2$

其中，e是比内能，ρ是密度，V是速度向量；无论固体处于弹性状态还是理想塑性状态，其能量均通过固体的状态方程(EOS)

p＝p(ρ,e)

定义。