KR100512761B1 - 전개가능곡면의 전개도 설계방법 - Google Patents

Abstract

본 발명은 얇은 철판, 종이 등 평면으로 근사 가능한 물체에 전개도를 그리고 이를 조립하여 입체 도형을 만드는 전개가능곡면의 설계방법에 관한 것이다.

본 발명은 전개가능곡면에 대해 그 전개도를 설계하기 위한 설계방법에 있어서, 3차원 모형의 원주곡면으로부터 제어 단면을 설정하는 단계; 알고리즘 LIDM-GC-Dvlp를 수행하여 제어점 집합을 검색하는 단계; 프로파일 곡선의 제어점을 출력하는 단계; 전개가능곡면 형태의 일반 원주 곡면을 가시화하는 단계; 가시화된 결과에 따라 사용자가 설계를 수정하는 단계; 전개도를 생성할 전개가능곡면 조각을 선택하는 단계; 및 그 제어점에 대해서 알고리즘 LIDM-GC-Plane-Dvlp를 수행하여 전개도를 생성하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 전개가능곡면의 전개도 설계방법을 제공한다.

Description

전개가능곡면의 전개도 설계방법 {DESIGN METHODS FOR DEVELOPABLE SURFACES AND PLANE DEVELOPMENT}

본 발명은 컴퓨터에 적용되는 전개가능곡면 설계 및 그 전개도의 설계방법에 관한 것으로, 상세하게는 방향지도를 이용한 일반 원주곡면으로 전개가능곡면을 설계하고, 방향지도의 성질을 이용하여 평면상에 해당 전개도를 생성하는 방법에 관한 것이다.

일반적으로 얇은 철판(판금, sheet metal), 종이 등 평면으로 근사 가능한 물체의 전개도를 그리고, 이를 절단하여 조립한 후 곡면 형태의 입체 도형을 만드는 것은 조선, 자동차 산업 등에서 주로 이용되고 있다. 위와 같은 방법으로 전개도를 만들 수 있는 곡면을 수학에서는 전개가능곡면이라고 한다. 이러한 전개가능곡면의 설계 및 그 전개도의 생성을 위해서는 복잡한 수학적 계산을 필요로 하기 때문에 컴퓨터를 이용하는 CAD 시스템을 이용한다.

곡면 형태의 입체 도형의 설계에 있어서, 방향지도 기반의 일반 원주곡면은 단면의 모양의 제어가 가능하여 곡면의 전체 모양을 제어하는데 용이하고, 또한 계산이 간단하여 기하모델링에서 필수적인 곡면 모델링 방법이다. 하지만, 일반 원주곡면을 전개가능곡면으로 설계하는 방법은 알려져 있지 않다.

본 발명은 상기한 종래 문제를 극복하기 위한 것으로, 상세하게는 방향지도 기반의 일반 원주곡면을 설계함에 있어서 기존의 방법을 개선하여 유한 개수의 중간 단면을 생성하지 않고, 연속적인 인수화 곡선의 정의를 이용하여 전체 곡면을 효율적으로 생성하고, 위의 방법으로 설계된 일반 원주곡면이 방향지도의 성질에 의해 전개가능곡면이 되는 특별한 조건을 제시하고, 위의 조건을 만족시키는 방향지도기반의 일반 원주곡면의 전개도를 2차원 상에 생성하는 방법을 제공하는데 목적이 있다.

상기 목적을 달성하기 위한 본 발명은 전개가능곡면에 대해 그 전개도를 설계하기 위한 설계방법에 있어서, 3차원 모형의 원주곡면으로부터 제어 단면을 설정하는 단계; 알고리즘 LIDM-GC-Dvlp를 수행하여 제어점 집합을 검색하는 단계; 프로파일 곡선의 제어점을 출력하는 단계; 전개가능곡면 형태의 일반 원주 곡면을 가시화하는 단계; 가시화된 결과에 따라 사용자가 설계를 수정하는 단계; 전개도를 생성할 전개가능곡면 조각을 선택하는 단계; 및 그 제어점에 대해서 알고리즘 LIDM-GC-Plane-Dvlp를 수행하여 전개도를 생성하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 전개가능곡면의 전개도 설계방법을 제공한다.

이하, 본 발명에 따른 전개가능한 곡면의 전개도 설계방법을 첨부한 도면을 참조하여 상세히 설명하기로 한다.

도 1은 본 발명에 따른 전개가능한 곡면의 전개도 설계방법을 개시하기 위한 일반적인 컴퓨터 시스템을 보인 구성도이다.

도면을 참조하면, 컴퓨터 시스템 전체를 제어하는 중앙처리장치(10)와, 전개실행에 필요한 모든 데이터가 저장되어 있는 주기억장치(20)와, 상기 중앙처리장치의 제어에 따라 작업데이터가 일시 저장 및 출력되는 보조기억장치(30)와, 작업자의 조작에 따라 상기 중앙처리장치(10)에 동작을 명령시키기 위한 입력장치(40) 및 작업상태를 표시하는 출력장치(50)로 구성된다.

본 발명에서 개시하고자 하는 전개도 설계방법은 프로그램으로 구현되어 컴퓨터로 읽을 수 있는 형태로 기록매체에 저장되며, 기록매체에 저장된 프로그램을 컴퓨터상에서 운영함으로써 입력장치(40)를 통해 입력된 전개가능한 3차원의 가상곡면에 대해 2차원의 평면상에 그 전개도를 출력시키고, 출력된 전개도를 결합시키는 것에 의해 최초 입력된 전개 가능한 곡면을 3차원 모형으로 재현시킬 수 있는 것이다.

도 2는 본 발명에 따른 전개 가능한 곡면의 전개도를 생성하기 위한 방법을 설명한 흐름도이다.

도면을 참조하면, 본 발명은 전개가능곡면에 대해 그 전개도를 설계하기 위한 설계방법에 있어서,

3차원 모형으로부터 제어 단면을 설정하는 단계(S201), 알고리즘 LIDM-GC-Dvlp를 수행하는 단계(S202), 프로파일 곡선의 제어점을 출력하는 단계(S203), 전개가능곡면 형태의 일반 원주 곡면을 가시화하는 단계(S204), 가시화된 결과에 따라 사용자가 설계를 수정하는 단계(S205), 전개도를 생성할 전개가능곡면 조각을 선택하는 단계(S206), 그 제어점에 대해서 알고리즘 LIDM-GC-Plane-Dvlp를 수행하여 전개도를 생성하는 단계(S207) 및 생성된 전개도를 평면 물질에 인쇄 또는 조각하는 단계(S208)의 루틴을 수행하는 것에 의해 전개가능한 2차원 또는 3차원 곡면의 전개도를 2차원의 평면상에 설계하고, 설계된 전개도를 단계209와 단계210을 통해 절단하여 인접한 전개도를 접합하는 것에 의해 3차원 모형을 조립할 수 있다.

이하, 본 발명에 따른 전개가능곡면의 전개도의 설계방법을 컴퓨터에서 실행시킬 수 있는 프로그램을 구현하는데 이해를 돕기 위해 간단한 수학적 정의들을 정리한다.

본 발명에서 일반 원주는 두 개 이상의 2차원 단면(contour)들과 그 단면들이 배치되는 2차원 또는 3차원상의 곡선으로 구성된다. 이 때 이 곡선을 일반 원주의 척추(spine) 곡선이라고 한다.

일반 원주의 특수한 예로 직각원기둥을 들 수 있다. 직각 원기둥에서 단면은 원기둥의 밑면과 윗면을 구성하는 합동인 원이며 척추곡선은 단면 원에 직각인 선분이다.

단면의 경계선과 척추 곡선은 일반적으로 2차이상의 곡선이나 곡선을 대표하는 점집합으로 표현된다. 만약 점집합으로 표현되는 경우, 단면의 경계선은 다각형으로 볼 수 있고, 척추 곡선은 폴리라인(polyline)으로 볼 수 있다.

본 발명에서 일반 원주를 정의하는 단면은 다각형이다. 다각형은 세 개 이상의 꼭지점으로 표현되며 이들을 연결하는 경계선은 항상 시계방향을 이루도록 가정한다.

다각형의 방향지도는 인접한 두 꼭지점으로 정의되는 벡터들의 원형 배열이다. 이때 이 벡터들을 방향벡터라고 한다. 예를 들어, 인접한 두 꼭지점은 한 방향벡터 를 정의한다.

두 방향지도를 병합하면 새로운 방향지도를 얻을 수 있고, 새로운 방향지도의 방향벡터를 순서대로 연결하면 새로운 도형을 얻을 수 있다. 새로운 도형은 방향지도를 어떻게 병합하였는가에 따라 달라진다. 방향지도의 병합은 방향벡터들의 순서를 적당한 규칙에 따라 재배열하는 것이다. 방향벡터의 병합에는 예를 들면, 콘볼루션(convolution)병합이나 최소볼록집합(convex hull) 병합이 있다.

이하에서 설명하는 본 발명은 특정 병합방법에 국한되지 않는다. 병합된 방향지도의 방향벡터를 그룹으로 나누어 그 길이를 조절하는 것을 그룹단위 크기조절 연산이라고 한다.

병합과 그룹단위 크기조절연산을 통해 주어진 다각형들을 보간하는 새로운 중간도형을 만들 수 있다. 이 사실을 이용하여 기존의 특허에서는 유한개의 중간 도형을 단면으로 생성하고 이 단면들을 연결하는 다각형 메쉬를 생성하여 일반 원주곡면을 근사하는 방법이 제시된 바 있다.

이 방법은 계산방법이 간단하지만 중간단면을 생성해야 한다는 단점이 있다. 즉, 일반 원주곡면의 정밀도가 달라지면 중간단면을 재 계산해야 한다. 또한, 다각형 메쉬형태로 생성된 곡면을 저장하기 때문에 자료량이 크다고 할 수 있다.

선직면은 곡선을 따라 움직이는 직선에 의해 정의된다. 이 때 그 곡선을 준선(directrix)이라고 하고 직선을 모선(ruling)이라고 한다.

전개가능곡면(developable surface)은 선직면(ruled surface)의 특별한 형태이다. 특히, 전개가능곡면의 특정 모선(ruling)에 있는 모든 점들이 같은 접평면(tangent plane)을 갖는다는 성질이 있다.

이로 인해 전개가능곡면은 늘이거나 찢지 안고 평면에 펼 수 있다. 이 성질은 판금(sheet metal) 형태의 물질을 이용하는 제조 방식에서 유용하게 사용된다. 예를 들면, 유체 저항을 최소화시키기 위한 유선형의 교통수단 등을 설계하는데 매우 적합하다.

일반 원주곡면의 단면들이 모두 같은 방위를 갖고 있을 때, 혼합된 단면들의 모든 대응하는 선분들은 서로 평행하다. 이는 대응 선분들이 동일한 방향벡터에 의해 정의되기 때문이다. 따라서, 특정 준선을 따라 움직이는 각 방향벡터는 원주타입의 전개가능곡면 조각은 원주타입의 전개가능곡면 조각 을 정의한다.

본 발명에서는 원주 타입의 전개가능곡면의 전개도 설계방법을 제시한다. 원뿔 타입의 전개가능곡면은 본 발명의 기초기술에 지나지 않으므로 다루지 않는다.

본 발명에서 제시한 방법이 동작하기 위해서는 단계 201에서와 같이 일반 원주곡면을 정의하는 단면들이 모두 평행한 평면에 놓여 있어야 한다. 이는 방향벡터를 척추곡선을 따라 고정하여 원주 타입의 전개가능 곡면을 설계하기 위한 조건이다.

각 전개가능곡면 조각는 두 경계곡선으로 정의된다. 이를 각각 와 라고 하고 프로파일 곡선이라고 한다. (도 5(a) 참조.)

각 프로파일 곡선은 한 단면의 한 꼭지점이 움직인 경로에 해당한다. 병합 방향지도와 그룹단위 크기조절 연산의 성질에 의해, 혼합 단면의 각 꼭지점은 제어 단면의 꼭지점의 혼합으로 정의된다. 이때 혼합 비율은 그룹단위 크기조절 연산에 명시된 크기조절 인수에 따른다.

만약, 번슈타인 다항식 크기조절 인수로 사용한다면 프로파일 곡선은 다음의 수학식 1과 같이 베지어 곡선으로 표현된다.

크기조절 인수를 다른 기저함수(basis)로 사용하면 프로파일 곡선의 성질도 달라진다. 예를 들어 NURBS나 블러섬(blossom) 곡선형태가 될 수 있다.

인접한 프로파일 곡선은 다음의 수학식 2와 같은 성질을 만족시킨다.

따라서 방향벡터 에 의해 정의되는 전개가능곡면 조각 의 프로파일 곡선 와 의 대응 제어점 와 에는 다음 중 하나의 관계가 성립한다.

(1) 대응 제어점이 일치하거나 그렇지 않으면

(2) 대응 제어점은 해당 방향벡터 와 평행한 직선에 놓여 있다.

이러한 규칙에 의해 단계 202를 개시하기 위한 도 3의 알고리즘이 동작한다. 이 알고리즘을 LIDM-GC-Dvlp라고 한다. 도 3에 개시된 알고리즘은 전개가능곡면을 정의할 수 있는 제어점 집합을 찾아 준다.

도 3에 개시된 LIDM-GC-Dvlp 알고리즘을 이용하여 찾은 제어점을 이용하여 전개가능곡면 조각 를 다음의 수학식 3과 같이 인수화식으로 표현할 수 있다. 아래 예에서는 번슈타인 다항식을 크기조절 인수로 사용하였다.

수학식 3에 따르면, 생성된 전개가능곡면 조각은 차의 베지어 곡면임을 알 수 있다.

도 4는 도 2의 단계 202 내지 단계 204에 대해 구체적으로 설명하고 있다. 도면을 참조하면, 본 발명은 LIDM-GC-Dvlp 알고리즘으로 전개가능곡면 조각의 제어점을 찾고, 그 제어점으로 인수화식에 대입하여 전체 전개가능곡면을 나타내는 과정을 보여준다.

도 4a)는 일반 원주를 정의하기 위해 주어진 네 개의 제어 단면이다. 양 끝의 서로 다른 방위의 작은 사각형을 연결하는 곡면이 만들어진다. 이 때 중간에 위치한 큰 사각형의 제어 단면이 곡면의 모양을 추가적으로 제어하게 된다.

도 4(b)는 기존의 방향지도 기반 일반 원주의 생성방법에서 다각형 메쉬를 생성하기 위해 도 4(a)의 제어단면들을 이용하여 중간단면을 생성한 것이다.

도 4(c)는 기존의 방향지도 기반 일반 원주의 생성방법을 따라 중간단면을 연결한 메쉬이다. 특히, 상면(하늘색) 부분은 어떤 한 방향벡터가 길이를 변경하며 움직인 궤적에 해당한다.

도 4(d)는 LIDM-GC-Dvlp 알고리즘을 이용하여 도 4(c)의 곡면 조각을 정의하는 제어점을 제어단면의 꼭지점들 중에서 찾아 낸 결과를 보여준다.

도 4(e)는 도 4(d)와 같은 방법을 사용하여 전체 제어점을 찾아내고, 그 제어점이 정의하는 프로파일 곡선들을 보여준다.

도 4(f)는 찾은 제어점을 수학식에서처럼 인수화 곡면형태로 표현한 것이다.

위와 같이 생성된 전개가능곡면은 쉽게 평면에 그 전개도를 그릴 수 있다. 다음에서는 단계 206에 대해서 설명하기로 한다.

본 발명은 각 전개가능곡면 조각에 대해서 특별한 준선 을 정의한다. 이 준선을 정규 준선(normal directrix)라고 한다. 정규 준선 은 전개가능곡면 조각 를 정의하는 에 수직인 평면에 놓여 있다. (도 5(a) 및 (b) 참조) 정규 준선의 제어점 은 다음의 수학식 4로부터 찾을 수 있다.

위 식에서은 스칼라 값이다. 수학식 4의 관계는 도 5(a) 및 도 5(b)에 명시되어 있다.

정규 준선의 제어점 들이 같은 평면에 놓인다는 성질이 있다. 이는 다음의 수학식 5로 표현된다.

위 성질을 이용하여 다음의 수학식 6과 같이 순차적으로 유도할 수 있다.

본 발명은 상기 수학식 6을 이용하여 다음과 같이 프로파일 곡선을 표현할 수 있다.

본 발명은 수학식 7을 이용하여 이웃한 프로파일 곡선을 다음의 수학식 8과 같이 표현할 수 있다.

본 발명은 전개가능곡면 조각 을 평면 전개도에 사상하는 전개함수( 를 다음과 같은 두 가지 성질을 만족시키도록 정의한다.

(1) 정규 준선 을 평면 에 전개할 때, 의 x축에 놓이는 직선 가 된다.

(2) 모선 을 평면 에 전개할 때 의 y 축에 놓이는 벡터가 된다.

위에서 정의한 전개함수 를 이용하여 프로파일 곡선 을 평면에 전개하면 평면 곡선 을 얻을 수 있다.

위와 유사하게 전개함수 를 이용하여 프로파일 곡선 을 평면에 전개하면 평면 곡선을 얻을 수 있다.

위 식을 이용하여 도 5(a)의 전개가능곡면 조각을 도 5(c)에서처럼 평면에 전개할 수 있다.

수학식 4에서 13까지의 성질을 이용하여 도 6에서처럼 단계 207를 수행하기 위한 LIDM-GC-Plane-Dvlp라는 알고리즘을 만들 수 있다. 이 알고리즘은 LIDM-GC-Dvlp 알고리즘의 출력과 수학식 10을 근사하기 위한 정수를 입력받아서 평면 전개도를 다각형으로 근사하여 출력한다.(S208)

도 7은 도 2의 흐름도를 따라 수행하여 전개가능곡면 조각으로 구성된 일반 원주곡면을 설계하고, 평면 물체에 전개도를 그리고, 이를 절단하여 조립하는 실시예를 보여 준다.

도 7(a) 및 (b)는 LIDM-GC-Dvlp로 설계된 병 및 그릇 모양의 가상 입체도형을 LIDM-GC-Plane-Dvlp 알고리즘을 이용하여 전개도를 생성하고 종이에 인쇄하여 가위와 풀만으로 실제 입체도형으로 만든 예를 보인 것이다.

이 방법은 종이 외에도 평면으로 근사 가능한 얇은 판 모양의 임의의 물질에 적용이 가능하다.

이상에서 설명한 바와 같이 본 발명은 얇은 철판, 종이 등 평면으로 근사 가능한 물체에 전개도를 그리고 이를 조립하여 입체 도형을 만드는 전개가능곡면의 설계를 하는데 있어서, 방향지도를 이용한 일반 원주 곡면의 생성 및 계산을 위한 기존의 방법을 개선하여, 유한 개수의 중간 단면을 생성하지 않고, 연속적인 인수화 곡선의 정의를 이용하여 전체 곡면을 효율적으로 생성할 수 있고, 특별한 조건을 만족시키는 방향지도기반의 일반 원주곡면의 전개도를 2차원상에 생성할 수 있다.

이상에서 설명한 것은 본 발명에 따른 전개가능곡면 및 그 전개도 설계방법을 실시하기 위한 하나의 실시예에 불과한 것으로서, 본 발명은 상기한 실시예에 한정되지 않고, 이하의 특허청구의 범위에서 청구하는 본 발명의 요지를 벗어남이 없이 당해 발명이 속하는 분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 누구든지 다양한 변경 실시가 가능한 범위까지 본 발명의 기술적 정신이 있다고 할 것이다.

도 1은 본 발명을 개시하기 위한 일반적인 컴퓨터를 도시한 구성도,

도 2는 본 발명에 따른 전개가능곡면의 전개도 설계방법을 설명하기 위한 흐름도,

도 3은 본 발명에 따른 전개가능곡면의 경계선의 제어점을 계산하는 알고리즘,

도 4는 도 3의 알고리즘을 이용한 실시 예,

도 5는 전개가능곡면을 평면에 전개하는 원리를 설명하는 그림,

도 6은 전개가능곡면을 평면에 전개하는 알고리즘,

도 7은 도 3 및 6의 알고리즘을 이용한 설계된 전개도를 이용하여 조립한 3차원 모형의 예시도.

* 도면의 주요부분에 대한 부호의 설명 *

10: 중앙처리장치 20: 주기억장치

30: 보조기억장치 40: 입력장치

50: 출력장치

Claims (6)

1. 전개가능곡면에 대해 그 전개도를 설계하기 위한 설계방법에 있어서,

   3차원 모형의 원주곡면으로부터 제어 단면을 설정하는 단계;

   알고리즘 LIDM-GC-Dvlp를 수행하여 제어점 집합을 검색하는 단계;

   프로파일 곡선의 제어점을 출력하는 단계;

   전개가능곡면 형태의 일반 원주 곡면을 가시화하는 단계;

   가시화된 결과에 따라 사용자가 설계를 수정하는 단계;

   전개도를 생성할 전개가능곡면 조각을 선택하는 단계; 및

   그 제어점에 대해서 알고리즘 LIDM-GC-Plane-Dvlp를 수행하여 전개도를 생성하는 단계;

   를 포함하는 것을 특징으로 하는 전개가능곡면의 전개도 설계방법.
2. 제 1항에 있어서, 제어 단면을 설정하는 단계는,

   제어 단면들이 놓이는 평면이 모두 평행하도록 하여 원주형태의 전개가능곡면 조각을 생성할 수 있도록 하는 것을 특징으로 하는 전개가능곡면의 전개도 설계방법.
3. 제 1항에 있어서, LIDM-GC-Dvlp 알고리즘은,

   입력된 (m+1)개의 제어 단면을 방향지도로 변화하는 단계;

   변환된 제어 단면들을 병합하여 새로운 병합방향지도를 만드는 단계;

   병합방향지도의 각 방향벡터에 대해 (m+1)개의 제어점을 찾는 단계; 및

   상기 제어점을 찾기 위해 다음의 수학식으로 유도되는 방향지도의 성질을 이용하는 단계;로 이루어진 것을 특징으로 하는 전개가능곡면의 전개도 설계방법.
4. 제 1항에 있어서, 상기 LIDM-GC-Dvlp 알고리즘에서 출력되는 제어점을 이용하여 다음의 수학식과 같은 프로파일 곡선을 인수화하여 표현하는 것을 특징으로 하는 전개가능곡면의 전개도 설계방법.
5. 제 1항에 있어서, 상기 LIDM-GC-Dvlp 알고리즘에서 출력되는 제어점을 이용하여 다음의 수학식과 같이 전개가능곡면 조각을 인수화하여 표현하는 것을 특징으로 하는 전개가능곡면의 전개도 설계방법.
6. 제 1항에 있어서, 상기 LIDM-GC-Plane-Dvlp 알고리즘은,

   a)다음의 수학식(1)의 관계를 만족하도록 정규 준선 및 그 제어점을 정의하는 단계;

   수학식(1)

   b)다음의 수학식(2)의 성질을 이용하여 수학식(3)과 같이 정규 준선 표현에 필요한 값들을 계산하는 단계;

   수학식(2)

   수학식(3)

   c)이를 바탕으로 다음의 수학식(4) 및 수학식(5)와 같이 인접한 프로파일 곡선을 정규 준선 및 방향벡터를 이용하여 표현하는 단계;

   수학식(4)

   수학식(5)

   d)다음의 수학식(6)(7) 및 (8)을 만족시키는 전개함수를 정의하는 단계; 및

   수학식(6)

   수학식(7)

   수학식(8)

   e)다음의 수학식(9) 및 수학식(10)과 같이 평면상에 프로파일 곡선을 근사하여 전개하는 단계;

   수학식(9)

   수학식(10)

   로 이루어진 것을 특징으로 하는 전개가능곡면의 설계방법.