KR20020021800A - 제어 기하학을 이용한 기하학적 디자인 및 모델링 시스템 - Google Patents

Abstract

가. 청구범위에 기재된 발명이 속하는 기술분야.

기하학적 객체를 디자인 하기 위한 컴퓨터 지원 디자인(CAD)용 방법 및 시스템이 개시되어 있다.

나. 발명이 해결하려는 기술적 과제.

본 발명은, 변형 데이터가 입력되는 동안에 객체의 실시간 변형이 일어날 수 있기에 충분한 정도로 신속하게 기하학적 객체들 간을 내삽 및/또는 브렌딩한다. 따라서, 본 발명으로 디자이닝하는 사용자는 변형의 실시를 위한 별도의 명령을 입력하지 않고도 입력 변형에 대한 즉각적인 피드백을 얻는다. 본 발명은 기하학적인 객체들을 브렌딩하는 신규의 컴퓨터 기술을 이용하며, 이 때 브렌딩된 새로운 기하학적 객체를 유도하는데 기하학적인 객체상의 지점들의 가중 합이 사용된다. 따라서, 본 발명은 예를 들어 병, 차량 및 선박의 디자인과 같은 여러가지 디자인 영역에 이용할 수 있다. 또한, 본 발명은 얼굴의 표상화와 같이 활동적인 대상의 표면을 반복적으로 변경시키는 것에 의한 효과적인 에니메이션을 제공한다.

Description

제어 기하학을 이용한 기하학적 디자인 및 모델링 시스템{GEOMETRIC DESIGN AND MODELING SYSYTEM USING CONTROL GEOMETRY}

본 발명은 컴퓨터 지원 설계(CAD)를 실시하기 위한 시스템 및 방법에 관한 것으로서, 특히 기하학적 객체의 표상(representation)들 간의 브렌딩(blending : 혼합)을 위한 효율적인 컴퓨터 기술에 관한 것이다.

통상적으로, 컴퓨터 지원 설계(CAD) 컴퓨터 시스템을 이용하는 디자이너는 기하학적 객체의 중요한 및/또는 필요한 부속부분들을 먼저 지정함으로써, (표면과 같은) 자유로운 형태의 기하학적 객체의 디자인에 접근할 것이며, 이때 객체는 상기 부속부분들을 통과하도록 제약(constrained)된다. 이어서, 제약하는 상기 부속부분들에 상응하는 기하학적 객체를 생성하기 위해 프로세스가 실행된다. 특히,그러한 부속부분들은 점들, 곡선들, 표면들 및/또는 보다 고차원적인 기하학적 객체일 수 있다. 예를 들어, 표면을 디자인하는 디자이너는 다수의 곡선들을 구축하고 위치지정할 것이며, 의도하는 표면은 그 곡선들을 통과할 것이다(본 명세서에서 그러한 각각의 곡선은 "특징 선" 또는 "특징 곡선"으로 나타낸다). 따라서, 의도하는 표면은, 일반적으로, 기하학적 특성들(미분가능성(differentiability) 및 굴곡)을 가질 것으로 예상되며, 실질적으로 그 특성들은 다수의 곡선에 의해 표면상에 위치되는 제약부들(constraints)를 만족시키기 위해 필요한 범위만큼만 변화한다. 다시 말해, 디자이너는 발생되는 표면이 소위 당업자들이 통상적으로 "양호한(fair)" 것으로 칭하는 것이 될 것을 기대한다. 따라서, 특징 곡선들이 이미 디자인된 표면의 다른 부속부분들로부터 용이하게 내삽(interpolate)되지 않도록, 통상적으로 디자이너는 의도하는 표면이 기하학적 형상을 용이하게 변화시키기 쉬운 곳에 그러한 특징 곡선들을 위치시키고 구축한다.

보다 구체적인 예로서, 병과 같은 용기를 디자인 할 때, 병의 의도하는 외부 표면은 이하와 같은 부속부분들에 의해 초기에 지정될 것이다. 즉: (a) 병 표면의 고굴절부에 위치되는 특징 곡선들, 및(b) 병의 라벨이 평탄하게 부착될 수 있는 형상 또는 윤곽을 가지는 것과 같은 특정 기하학적 특성을 가지는 표면 부속구역. 따라서, 병 표면 디자이너의 의도는 그 디자이너의 입력 제약부들을 만족시키고 또 양호한 병 디자인을 구축하는 것이다. 또한, 디자이너는, 병 표면을 여전히 양호하게 유지하면서도 병 표면의 여러 부분들을 변형시킴으로써 인체공학적인 병 파지부와 같이 취급을 위한 개구부들을 생성시키길 원할 수도 있다.

그러나, 이제까지는 기하학적 객체의 디자이너(또는 보다 일반적으로 사용자)가 제약부를 입력하고 결과적으로 양호한 기하학적 객체를 얻음으로써 용이하고도 효율적으로 디자이너의 의도를 표현할 수 있는 CAD 시스템이 없었다. 다시 말해, 디자이너/사용자는 상당한 컴퓨터 관련 경비로 인해 긴시간의 지연 상황에 처할 수도 있으며, 및/또는 디자이너/사용자는 효과적인 사용을 위해서는 상당한 훈련을 필요로하는 비-직관적인 기하학적 객체 형성 및 변형 기술에 직면할 수 있다. 예를 들어, 많은 종래의 CAD 시스템은 "제어 지점"으로 나타내는 지정 지점들을 형성 및/또는 조작함으로써, 표면을 디자인하거나 및/또는 변형할 수 있는 기술을 제공한다. 그러나, 그러한 기술들은 컴퓨터와 관련하여 고가일 수 있고, 비-직관적일 수 있으며, 그러한 제어 지점과 관련된 표면의 국부적인 영역 보다 용이하게 변형할 수 없을 것이다. 또한, 일부 종래의 CAD 시스템은 특정의 개별적으로 지정된 제어 벡터를 통해 표면을 형성 및/또는 변형하는 기술을 제공한다. 다시 말해, 이러한 벡터들의 방향은 관련 표면의 형상 또는 윤곽을 형성하는데 사용될 것이다. 그러나, 통상적으로 대응 제어 벡터들을 가지는 다른 표면 지점들과 분리된 표면의 단일 지점에만 각각의 제어 벡터가 대응하기 때문에, 디자이너의 의도는 그러한 제어 벡터들을 이용하는 표면 디자인 기술과 용이하게 상응되지 않을 것이다. 그에 따라, 그러한 기술들은, 기껏해야, 국부적인 표면 영역을 대응 제어 벡터를 가지는 지점들로 변형할 수 있을 뿐이다.

또한, 그러한 종래의 CAD 시스템은 브렌딩(blending) 및 트리밍(trimming) 작업을 정밀하게 실시하는데 어려움을 가진다. 예를 들어, 공통의 경계를 따라 서로 접하도록 의도된 두개의 기하학적 객체들은 경계에서 서로에 대해 충분한 공차(公差)내에 위치되지 못할 것이다. 즉, 기하학적 객체들 사이에 상당히 큰 간극이 형성되어 경계가 "수밀(水密)" 상태가 아닐 수도 있으며, 그 수밀 상태가 아닌 경계는 고체의 불린(boolean) 작업과 같은 특정 가공 작업 및 기타의 작업에서 문제를 일으킬 수 있다.

따라서, CAD 디자이너/사용자가 기하학적 객체를 보다 용이하고, 효율적으로 그리고 정밀하게 디자인 할 수 있게 하는 하나 또는 그 이상의 기하학적 디자인 기술을 포함하는 CAD 시스템을 제공하는 것이 매우 바람직할 것이다. 또한, 컴퓨터상의 기하학적인 객체를 형성 및/또는 변형하는 것을 사용자가 보다 많이 제어할 수 으며, 특히 컴퓨터적으로 디자인 되는 기하학적 객체의 형상 또는 윤곽을 보다 직관적으로 포괄 제어할 수 있는, 기하학적 객체를 그래픽으로 디스플레이하는 시스템 및/또는 컴퓨터 기술을 가지는 것이 바람직할 것이다.

용어 정의

본 설명부분은 본 발명을 기술하는데 사용되는 일부 기본적인 용어 정의를 제공한다. 이러한 정의는 또한 도 15 및 도 16 에 기재되어 있다.

"파라메트릭 기하학적 객체(parametric geometric object)"S는 함수 f 의 영상인 기하학적 객체이며, 이 때 f 의 변역(變域;domain)은 좌표 시스템("파라미터 공간"을 나타낸다)에 포함된 기하학적 형상내에 있고, f 의 범위는 다른 기하학적 공간("객체 공간"을 나타낸다)내에 있다. 통상적으로, S 와 같은 기하학적 객체의 역전 또는 예비-상(pre-image)(f^-1)은 객체 공간내의 영상 보다 기하학적으로 단순한 객체가 될 것이다. 예를 들어 객체 공간내의 곡선(170)의 예비-영상은 파라미터 공간내에서 단순한 직선 단편(172,L)이 될 것이다. 따라서, 만약 S 가 객체 공간내의 곡선을 나타낸다면, u∈L 인 경우에, 곡선 S 내의 대응 지점이 S(u)로 표시되도록, 표기적으로(notationally) f 및 S 는 종종 동일시 된다. 유사하게, 객체 공간내의 파상면(204)(도 16 참조)의 예비-영상은 파라미터 공간내의 단순하게 경계지어진 평면(180)이 될 것이다. 따라서, 만약 S 가 파상면(204)을 나타낸다면, 그에 따라 (u,v)∈f^-1(S)인 경우에, S(u,v)는 파상면(204)상의 대응 지점을 나타낸다.

"프로파일(profile)"(200)(도 16 참조)은 객체 공간내의 곡선과 같은 기하학적 객체이며, 관련된 객체 공간에서 기하학적으로 성형된 객체(예를 들어, 표면(204))가 상기 기하학적 객체를 반드시 통과한다. 즉, 그러한 프로파일(200)은 기하학적으로 성형된 객체를 생성하는데 사용된다. 따라서, 디자이너가 디자인되는 기하학적 객체(표면)의 특정 형상을 형성할 때 특징적인 곡선 또는 프로파일 곡선을 고려하여 생각할 수 있다는 점에서, 프로파일은 아티스트 및 디자이너에서 객체를 기하학적으로 디자인하는 일반적이고 자연스러운 방법을 제공한다. 예를 들어, 표면상의 프로파일 곡선은 예를 들어 연속성, 굴곡, 형상, 경계, 부조(不調) 등과 같은 결과적으로 얻어지는 기하학적 객체의 기하학적 배열을 실질적으로 형성할 것이다. 많은 디자인 분야에서, 프로파일들은 통상적으로 연속적이고 미분할수 있다는 것을 주지하여야 한다. 그러나, 그러한 제한은 필요하지 않다. 예를 들어, 프로파일은 통과하는 기하학적 객체의 대체적인 형상 또는 트렌드(trend)을 제공할 수 있으며, 그 외에도, 기하학적 객체의 표면에 대한 질감을 제공할 수도 있다. 따라서, 만약 프로파일이 프랙탈(fractal) 또는 프랙탈-형 이라면, 그 프랙탈 윤곽은 프로파일에 인접한 유도된 기하학적 객체의 표면으로 나누어진 일부 치수(measure)가 될 것이다. 또한, 보다 높은 차원( ≥2)의 프로파일을 이용하는 것 역시 본발명의 범위에 포함된다. 따라서, 프로파일은 표면 또는 입체형일 수 있다. 따라서, 프로파일이 표면이라면, 지역적으로 프로파일의 적어도 일부의 특성들을 가지는 입체형을 유도할 수 있을 것이다.

또한, 프로파일(및/또는 그 단편)은 선형(예를 들어, 초평면(hyperplane), 타원형, 널브(NURB), 또는 베지어(Bezier)와 같은 여러가지 컴퓨터적인 표상들을 포함할 것이다. 그러나, 컴퓨터적인 표상과 관계없이, 각 프로파일을 변형 또는 재성형하기 위한 (내삽과 같은) 방법이 바람직하다는 것을 주지하여야 한다. 특히, 그러한 방법이, 하나 또는 그 이상의 소정 지점을 통과(또는 실질적으로 통과)하고, 연속적이며, 미분할 수 있고, 최소 곡률반경을 가지는 등과 같은 특정 기하학적 속박을 만족시키는 프로파일을 생성하는 것이 바람직할 것이다. 또한, 그러한 변형 방법은 프로파일을 부속프로파일(subprofile)로 분해할 수 있는 능력을 포함할 수 있으며, 이때 부속프로파일 간의 공통 경계(예를 들어, 한 지점)는 최초 프로파일의 범위내에서 활주(slide)가능할 수도 있다.

"마커(maker)"(208)(도 16 참조)는 그 마커 주변 영역에서 프로파일(200)의형상을 변경할 수 있도록 이동될 수 있는 프로파일 상의 지점이다. 마커는 또한 프로파일을 가지는 기하학적 객체의 형상을 변형할 수 있는 프로파일 상의 위치를 나타낸다.

"프로파일 핸들(handle)"(212)(도 16 참조)은 프로파일(200)에 접하는 기하학적 객체이다. 그러한 프로파일 핸들은, 마커(208)에 프로파일의 경사(미분계수)를 변경함으로써, 프로파일의 형상을 지역적으로 제어할 수 있다. 그 대신에, 비-미분가능형 프로파일의 경우에, 대응 프로파일의 트렌드 방향 및 크기를 나타냄으로써, 프로파일 핸들은 프로파일의 전체적인 형상을 제어하는데 사용될 수도 있다. 예를 들어, 프로파일이 프랙탈 또는 다른 비-미분가능형 기하학적 객체라면, 프로파일 핸들은, 예를 들어, 객체 공간내의 범위를 제공할 것이며, 프로파일은 반드시 그 범위로 한정된다. 다시 말해, 그 범위는, 프로파일이 튜브 형상의 내부로 한정되는, 튜브형상일 것이다. 프로파일 핸들(212)은, 그 프로파일 핸들의 길이를 변경함으로써, 프로파일(200)의 완전성(예를 들어, 프로파일 상의 마커들 사이의 직선으로부터 벗어난 만곡 정도)에 영향을 미친다.

"등사습곡 경계"(220)는 등사습곡 리본(216)상의 프로파일(200)에 대향하는 경계 곡선이다. 일 실시예에서, 프로파일(200)상의 각 지점에는 등사습곡 경계(220)상의 쌍을 이룬 대응 지점이 있으며, 그 지점들의 쌍은 프로파일상의 지점에서 접선 벡터를 통상적으로 가로지르는 벡터(224)("피켓(picket)"으로 나타낸다)를 형성한다. 특히, 파라미터화된 프로파일에 대해, 등사습곡 경계(220)는 프로파일(200)에 대한 모든 가능한 파라미터 값에서 피켓의 집합으로 볼 수 있다.

"등사습곡 리본"(또는 단순히 등사습곡)은 표면(216)과 같은 기하학적 객체이고, 그 기하학적 객체는 프로파일(200)에서의 기하학적 객체(예를 들어 표면)(204)(보다 일반적으로는 기하학적 객체(204))의 경사를 한정한다. 마찬가지로, 등사습곡 리본은 프로파일(200), 등사습곡 핸들(218a, 218b)(이하에서 설명), 및 등사습곡 경계(220)에 의해 경계지어진 기하학적 객체의 표상으로 간주될 수 있다. 다시 말해, 기하학적 객체(204)는 프로파일(200)을 따라 등사습곡 리본(216)을 반드시"뒤따라야(heel)"한다. 달리 표현하면, 일 실시예에서, 기하학적 객체(204)는 등사습곡(216)에서 반드시 연속적이어야 하며, 프로파일(200)에 걸쳐 연속적으로 미분가능하여야 한다. 다른 실시예에서, 기하학적 객체(204)가 등사습곡(216)에 의해 속박되어, "프로파일" 용어와 관련하여 전술한 것과 유사한 방식으로 특정 기하학적 영역내에 기하학적 객체(204)가 놓인다. 각 프로파일(200)과 관련된 2 개의 등사습곡 리본(216)이 있다는 것을 주지하여야 한다. 특히, 두 개의 접하는 표면들(예를 들어, 두 개의 접하는 표면(204))의 경계인 프로파일에 대해, 두 개의 표면 각각에 대한 프로파일을 따라 등사습곡 리본이 있다. 따라서, 우리는 우측 등사습곡 리본 및 좌측 등사습곡 리본에 대해 말할 수 있을 것이다.

"등사습곡 핸들"(228)은 마커(208)에서 등사습곡 리본(216)의 형상을 제어하기 위한 기하학적 객체(예를 들어 벡터)이며, 이 때 마커에서의 프로파일 핸들 및 등사습곡 핸들은 표면(204)에 대한 평면 접선을 형성할 것이다. 그에 따라, 등사습곡 핸들은 마커 둘레의 표면(204)(또는 다른 기초적인 기하학적 객체)의 형상을 결정하는데 사용된다. 특히, 등사습곡 핸들(228)은 사용자 조작 피켓(224)이다.만약 모든 프로파일 핸들(212) 및 등사습곡 핸들(228)(예를 들어, 둘 이상의 접하는 표면들)이 마커(208)에서 공면(共面)적이라면, 표면(204)은 마커에서 매끄러워질 것이며(표면이 연속적으로 미분가능하다고 가정), 그렇지 않다면 그 표면은 주름부 또는 날카로운 부분을 가질 것이다. 마커에서 다른 핸들의 평면으로부터 하나의 핸들(등사습곡 또는 프로파일)을 잡아당김으로써, 프로파일(200)을 따라 표면(204)에서 주름부를 의도적으로 생성할 수 있다는 것을 주지하여야 한다.

두 마커(208) 사이의 프로파일(200)의 부분은"프로파일 단편"(232)으로 나타낸다. 유사하게, 등사습곡 핸들(228) 사이의 등사습곡 리본(216)의 일부는리본 단편(240)으로 나타낸다.

"경계 단편"(224)은 두 개의 등사습곡 핸들(228) 사이의 경계(220)의 일부를 나타낸다.

두 개의 등사습곡 핸들(228)에서의 등사습곡 경계(220)에 대한 미분 접선인 벡터(246)는"리본 접선"을 나타낸다. 리본 접선의 변화는 또한 본 발명에 의해 표면(204)과 같은 기본적인 기하학적 객체의 형상을 제어 및/또는 변형하는데 사용될 수 있다는 것을 주지하여야 한다.

등사습곡 핸들(228)은 표면(204)의 곡률을 특정하기 위해 일반화될 수 있다. 즉, 등사습곡 핸들롯 직선 벡터를 사용하는 대신에, 핸들이 굽어질 수 있으며"등사습곡 리브(rib)"(248)으로 나타낸다. 따라서, 그러한 리브들은 공통 프로파일 경계를 따라 관련 등사습곡 리본을 가지는 표면들 간의 곡률 연속성을 보전하기 용이하게 할 것이며, 등사습곡 리본들은 등사습곡 리브로 구성된다. 따라서, 접선상태를 맞추는 것과 마찬가지 방법으로, 그러한 표면들의 곡률은 대응 등사습곡 리브의 곡률과 맞춰질 것이다.

"전개 가능한 표면"은 파열 또는 결함없이 개념적으로 평평하게 펴질 수 있는 표면이다. 그 표면은"룰드(ruled) 표면"의 특별한 경우이고, 그 룰드 표면은, 표면의 임의 지점에 룰러(ruler)를 위치시킬 수 있고 방향을 발견하여 룰러가 룰러의 실체를 따라 표면에 접하도록 하는 것에 의해, 형성된다. 전개 가능한 표면에 대하여, 표면 수직선들은 룰링(ruling)을 따라 모두 방향이 같다.

"라벨 표면"은 특히 2-차원(전개 가능한 또는 거의 전개 가능한) 표면을 나타내며, 그 라벨 표면에서 라벨이 예를 들어 용기에 부착될 것이다. 라벨 표면은 파열 또는 결함 없이 전사지의 부착을 허용한다. 이러한 표면들은 많이 속박되고, 통상적으로 등사습곡 리본(216)의 기하학적 변화에 의해 변형되지 않는다.

"트림(trim) 프로파일"은 다른 기하학적 객체(예를 들어, 표면)를 트리밍하기 위한 프로파일인 기하학적 객체(곡선)이다. 트리밍되는 표면이 라벨 표면인 경우, 그 표면은 변화되지 않을 것이고 그에 따라 형상 변경을 위해 등사습곡 리본이 사용되지 않기 때문에, 그 트림 프로파일은 하나의 대응 등사습곡 리본(216)을 가질 것이다.

트림 프로파일(곡선)은 라벨 표면뿐만 아니라 다른 임의의 표면을 경계짓는데 사용될 수 있다. 하나 또는 그 이상의 다른 표면으로 트림 프로파일을 따라 브렌딩되는 표면(S)는, 표면(S)가 트림 프로파일을 넘어서 돌출하는 경우에,"오버빌트 표면"이라 칭한다. 예를 들어, 도 12 에서, 표면(130)은 오버빌트 표면이고,지역(134) 외측의 표면의 일부는 트리밍되어 제거된 후에는 통상적으로 사용자에게 표시되지 않는다.

독립 변수(argument)(F_i) F_i의볼록 조합(convex combination)은 합이고 이때 C_i는 스칼라 계수이고, 스칼라 곱은 F_i에 대해(예를 들어 F_i은 벡터, 함수 또는 미분 연산이다) 양호하게 한정되며, C_i≥0 이고,이다.

"전방향 산출"은 기하학적 객체 산출 기술이며, 이 때 함수f(x) 로부터 샘플 값 세트를 생성하기 위해, x 에 대한 독립변수 및 f 가 연속적으로 산출된다. 이러한 형태의 산출은 대개 신속하고 효율적이나, 증분(increment)들 사이의 선택된 위치에서의 함수 값들을 제공하지 못한다.

"함축적(implicit) 함수"는 f(x)= 0 형태로 쓰여진 것이다. X∈R^N파라미터 곡선 또는 표면이 함축적인(implicit) 형태로 전환될 때, 그 전환을"함축화"라고 칭한다. 그에 따라, 파라미터 형태의 f(t)=(sin(t),cos(t))는 f(x,y)=x²+ y²- 1 = 0 에 의해 함축화 될 것이다. 두가지 형태는 원을 나타낸다.

벡터를 그 길이로 나눔으로써 그 벡터를"표준화"한다. 표준화된 벡터는 단위 길이를 갖는다. 벡터 함수는 그 벡터의 기울기로 나누어질 수 있으며, 그 것은 당업자가 이해할 수 있는 바와 같이 단위 길이에 근접시킬 것이다.

p_i(t)가 가중 함수일 때에 의해 정의되는 함수가 주어지며,만약 모든 t 값에 대해라면, p_i는"단위의 분할"을 형성하는 것으로 말할 수 있다.

파라미터적으로 형성된 기하학적 객체 상에서 연속적인 파라메트릭 경로를 따른 방향 벡터들이 연속적인 경우에, 즉 접선 벡터 크기는 고려하지 않는 경우에, 여기서"GI"연속성은 기하학적 연속성 조건을 나타낸다.

본 발명은, 사용자가 객체 변형 입력을 공급하는 동안 표면과 같은 객체를 실시간으로 변형할 수 있도록, 상당히 효율적인 컴퓨터 계산을 할 수 있는 컴퓨터 기하학적 디자인 시스템이다.

도 1 은 본 발명에 따라 생성된 표면(62)을 도시한 것으로서, 상기 표면이 표면(30)과 표면(34) 사이에서 내삽되고, 등사습곡 리본(61, 63)에 따른 소정 방향으로 곡선(54, 58, 60)을 통과하는 것을 도시한 도면.

도 2 는 표면(30)이 본 발명의 방법에 따라 브렌딩된 원형 디스크(66)를 구비하는 도 1 의 표면의 다른 변형예를 도시한 도면.

도 3 은 본 발명에 따라 표면(30) 및 표면(34) 사이에 생성된 브렌딩된 표면(62a)을 도시한 것으로서, 그 표면(62a)은 곡선(54, 58)을 통과하고, 브렌딩은 신규 표면 생성 식(식 1)에 따라 실행된 것을 나타낸 도면.

도 4 는 파라미터 공간에서의 기하학적 실체와 객체 공간내에서의 기하학적 실체 사이의 대응을 나타낸 것으로서, 파라미터 공간의 선(78a, 78b)은 곡선(54, 58)의 객체 공간 영상을 각각 가지며, 또한 파라미터 공간 선(86)은 객체 공간 영상 곡선(80)을 가지는 것을 도시한 도면.

도 5 는 본 발명의 일부 실시예에서 사용된 두 개의 브렌딩 함수(B1, B2)를 나타낸 그래프.

도 6a 내지 6d는 본 발명에 사용될 수 있는 추가의 브렌딩 함수를 도시한 그래프.

도 7 은 파라미터 공간과 객체 공간에서의 기하학적 실체들 간의 대응을 나타낸 도면.

도 8 은 본 발명에 따라 원통형(108)으로 브렌딩된 타원 영역(100)을 나타낸 것으로서, 밀폐된 곡선(110)은 그 폐쇄 곡선과 브렌딩되는 원통형(108)의 변형된 부분으로부터 타원 영역을 제한하는 것을 도시한 도면.

도 9 는 본 발명의 방법에 따라 원통형(116)에 생성된 단순한 보스(112)를 도시한 도면.

도 10 은 두 개의 교차하는 부속곡선(124, 128)을 포함하는 복합 곡선(120)(이하에서 설명)을 도시한 도면.

도 11 은 표면(130)을 나타낸 것으로서, 그 표면으로부터 라벨 표면(134)이 트리밍되는 것을 도시한 도면.

도 12 는 정점(v₁, v₂, v₃, v₄, v₅)을 가지는 다각형 내부의 지점(p)으로부터 거리-유사 측정치를 측정하기 위한 컴퓨터 기술을 나타낸 것으로서, 이 다각형의 각 측면까지의 거리-유사 측정치는 방사상 공정에 의해 제공된 대응 꼭지점(150)을 이용하여 측정된다.

도 13 은 파라미터 공간(즉, 단위 평방체)내의 두 개의 경계 곡선(156a, 156b)을 나타낸 것으로서, 그 경계 곡선 사이의 지역 패치(168)는, 대향하는 부속곡선(160a, 160b) 쌍 상의 두 개의 대응 지점들 사이의 거리에 따라 s 가 선형으로변화하고 t 가 부속곡선(160a, 160b)쌍 각각에 위치하는 대응 지점을 나타내는 좌표(s, t)에 의해 파라미터화 될 수 있는 것을 도시한 도면.

도 14 는 3 개의 표면(S₁, S₂, S₃)에 의해 형성된 측면 및 리본을 구비한 영역을 나타낸 것으로서, 본 발명이 식 5 를 이용하여 영역(300)에 대한 표면 패치를 제공할 수 있는 것을 도시한 도면.

도 15 및 도 16 은 본 발명의 기초가 되는 신규의 개념뿐만 아니라 일반적인 컴퓨터 기하학적 개념을 도시한 것으로서, 전술한 용어의 정의에 기술된 용어를 설명하는데 이용되는 도면.

도 17 은 기하학적 객체를 디자인할 때 본 발명의 사용자에 의해 실시되는 디자인 구축 작업의 통상적인 흐름의 블록도.

도 18 은 공통 평면(460)에 존재하는 등사습곡 핸들(마커(420)를 위한)로 인해 마커(420)에서 표면(416)과 표면(418)이 매끄럽게 조합되는 것을 나타낸 것으로서, 프로파일 마커(420)에서 만나는 3 개의 프로파일 곡선(404, 408, 412)을 도시한 도면.

도 19 는 표면(484)과 표면(486) 사이에 필렛을 형성하는 표면(480)을 한정하는 프로파일 곡선(x, y)을 도시한 도면으로서, 통상적으로 상기 프로파일 곡선(x, y)은 표면(484)과 표면(486)의 교차 곡선(482)으로부터의 거리(488, 490)를 이용하여 정의되는 것을 나타낸 도면.

도 20 은 본 발명에 따라 등사습곡 리본(508, 516)으로부터 브렌딩된 표면을계산하는 일 실시예를 도시한 도면.

도 21a 내지 21c 은 본 발명에 따라 홀(600)을 생성하는 과정을 도시한 도면.

도 22 는 축중(degenerated; 縮重)된 프로파일(지점)(714)과 원통형(722)의 원형 단부(718) 사이에서 연장되는 본 발명에 따른 브렌딩된 표면(710)을 도시한 도면.

도 23 은 축중된 프로파일(지점)(754)과 원형 곡선(760)를 가지는 평평한 디스크(758) 사이에서 연장되는 본 발명에 따른 브렌딩된 표면(710)을 도시한 도면.

도 24 는 반원형 리본들(784a, 784b) 사이의 표면을 브렌딩하기 위한 본 발명의 브렌딩 기술의 결과를 나타낸 것으로서, 그 결과적인 표면(786)이 두 개의 리본 사이에 브렌딩되는 것을 도시한 도면.

도 25 는 지점들(p(u,v))이 "전방향 알고리즘"을 이용하여 측정되는 본 발명에 따른 브렌딩된 표면(808)을 나타낸 것으로서, 파라미터 공간(158)내의 지점들 자체는 부가적인 파라미터 공간(828)에서의 지점에 따라 파라미터화 되며, 그 부가적인 파라미터 공간의 지점들(830)은 (객체 공간내의) 프로파일(812, 816)의 (파라미터 공간(158내의) 예비-영상까지의 거리-유사 측정치를 효과적으로 측정하는데 이용되는 것을 도시한 도면.

도 26 은 본 발명의 신규한 컴퓨터 기술의 일차원적인 실시예를 이용하는 본 발명에 따라 내삽 곡선을 계산하는 단계를 도시한 흐름도.

도 27 은 등사습곡 리본을 위한 프로파일에 대향하는 등사습곡 리본의 등사습곡 경계에의 근사치를 구축할 때 실행되는 단계를 도시한 흐름도.

도 28a 및 도 28b 는 도 27 로부터의 근사치 결과보다 정밀한 등사습곡 리본을 구축하는 프로그램을 위한 흐름도.

도 29a 내지 도 29c 는 등사습곡 핸들의 기하학적 특성 및/또는 부속표면(S_i)을 위한 경계를 한정하는 하나 이상의 프로파일 곡선상의 마커를 위한 리본 접선을 변경함으로써, 복합 표면(S0)의 하나 이상의 부속표면(S_i)을 변화시키기 위한 흐름도.

도 30a 및 30b 는 사용자가 등사습곡 및/또는 리본 접선을 변화시킴에 따라 실시간으로 기판(S_i)을 변형시키기 위한 도 29 의 흐흠도에 의한 프로그램의 흐름도.

도 31 은 표면의 형상을 변경하기 위해 본 발명의 실시예와 상호 작용하는 사용자에 의해 실행되는 고단계 흐름도.

도 32 는 내삽 곡선(C(u))을 계산하기 위해 도 26 의 흐름도에서 사용되는 파라미터 값의 예를 그림으로 도시한 도면.

도 33 은 4 개의 프로파일 곡선(P11, P12, P21, P22)을 도시한 도면으로서, 그 곡선들은 그 프로파일에 의해 둘러싸인 표면을 생성하기 위한 것이고, 그 표면은 이러한 4 개의 프로파일(및 관련 등사습곡 리본)에 의해 한정되는 것을 도시한 도면.

도 34 및 35 는 도 33 의 4 개의 프로파일 곡선을 이용하여 두 개의 2-면 브렌드로부터 4-면 패치(도 36 참조)를 생성하기 위한 일 방법의 실시중에 발생되는 중간 표면을 도시한 것으로서, 즉 등사곡선 (각 프로파일(P₁₁, P₁₂)를 위한) 리본(R₁₁, R₁₂)을 이용하여 브렌딩된 표면(S₁)(도 34 참조)이 발생되고, 등사곡선 (각 프로파일(P₂₁, P₂₂)를 위한) 리본(R₂₁, R₂₂)을 이용하여 브렌딩된 표면(S₂)(도 35 참조)이 발생되는 것을 도시한 도면이다.

도 36 은 S₁(도 34 참조) 및 S₂(도 35 참조)으로부터 유도되는 결과적인 브렌딩 표면(S)을 도시한 도면으로서, 그 표면(S)는 이하의 상세한 설명 섹션 5 의 식(II)에 따라 생성되는 것을 도시한 도면.

도 37 은 두 개의 표면(S_L, S_R)으로부터 표면(S)을 생성하기 위해 본 발명의 실시예에 이용된 기하학적 객체를 도시한 것으로서, 도 38 내지 도 41 에 사용된 표시 협의를 나타낸 도면.

도 38 은 4-면 패치를 생성하기 위한 본 발명의 실시예의 도면.

도 39 는 도 38 에 도시된 4-면 패치를 생성하기 위한 본 발명의 다른 실시예의 도면.

도 40 은 도 38 및 도 39 의 기하학적 객체들 사이의 표시 대응을 도시한 도면.

도 41 은 도 38 의 프로파일(P₃, P₄)이 축중된 도 38 의 가능한 가하학적 형상을 도시한 도면.

도 42a 및 42b 는 프로파일 곡선(2003, 2004) 상에서 잔류하도록 속박된 마커(2002)의 이동을 도시한 도면.

도 43 은 2 개의 브렌딩된 표면(S₁, S₂) 사이의 접선 평면 연속성을 제공하기 위해, 작성된 프로파일 곡선 및 그 프로파일의 대응 등사습곡 리본상에서의 속박을 도시한 도면.

도 44 는 프로파일(P) 상에서의 GI 연속성을 달성하기 위한 조건을 설명하는데 사용된 프로파일(P), 관련 등사습곡 리본(R_L, R_R) 및, 여러 가지 핸들을 도시한 도면.

본 발명은, 사용자가 객체 변형 입력을 공급하는 동안 표면과 같은 객체를 실시간으로 변형할 수 있도록, 상당히 효율적인 컴퓨터 계산을 할 수 있는 컴퓨터 기하학적 디자인 시스템이다. 따라서, 본 발명은 통상적인 CAD 시스템으로부터 변형된 모델이며, 이는 통상적인 CAD 시스템에서 기하학적 객체를 변형 또는 변화시키기 위해서는 사용자가 반드시 입력을 하여야 하고 이어서 그 입력을 실행하기 위해서는 입력의 처리를 명백하게 요청하여야 하기 때문이다. 따라서, 그러한 종래의 CAD 시스템에서는, 사용자는 그 사용자가 요청한 단속적인 시간마다 사용자의 디자인에 관한 피드백을 받는다. 그 대신에, 본 발명에서는 업데이트 처리가 실행되어야 한다는 것을 사용자가 명백하게 지시하지 않더라도 입력 접수와 동시에실시간으로 업데이트가 처리된다.

본 발명의 강화된 컴퓨팅 효율이 주어진다면, 본 발명의 사용자는 디자인되는 기하학적 객체에 반복적으로 접근하는 것을 보다 효율적으로 수행할 수 있다. 객체의 일부에 대한 기하학적 특성을 정밀하게 계산할 필요가 없는 곳에서 정밀하게 계산할 필요가 없이, 사용자는 신속하게 디자인 할 것이다. 즉, 사용자가 기하학적 객체에 보다 신속하게 근접화 및/또는 프로토타입화 할 수 있도록 변형을 용이하게 하고 컴퓨팅 변형을 신속하게 하기 때문에, 사용자는 "즉각적으로" 얻기 위해 보다 덜 주의를 기울일 수 있게 된다. 따라서, 본 발명은, 많은 기하학적으로 디자인되는 객체(가공되는 부분을 포함)에 대하여, 넓은 범위의 기하학적 특성을 가지고 그러한 객체의 상당한 부분을 만족스럽게 디자인할 수 있다는 점에서, 상당히 효율적인 이점을 갖는다.

본 발명의 CAD 시스템은, 표면과 같은 두 개의 파라메트릭 기하학적 객체 간의 브렌딩을 위한 신규의 컴퓨터 기술을 제공함으로써, 신규의 디자인 기술을 가능하게 한다. 본 발명의 일 실시예에서, 이러한 신규의 브렌딩 기술은 두 개의 파라메트릭 표면(S₁(u,v)) 및 표면(S₂(u,v)) 간을 브렌딩하며, 이 때 각 표면은 예를 들어 파라미터 공간으로서의 단위 평방체 갖는다. 각각의 브렌딩 함수가 예를 들어 u 및 v 에 대한 범위로서 (0,1)을 가지도록(이하에서 주어진 다른 성질들도 만족시킨다) 표면(S₁) 및 표면(S₂)가 각각 브렌딩 함수 B₁(u,v) 및 B₂(u,v)를 가진다고 가정하면, 새로운 표면(S)가 이하의 식으로부터 정의될 것이다. 즉:

[수학식 1]

S(u,v) = S₁(u,v)ㆍB₁(u,v) + S₂(u,v)ㆍB₂(u,v)

통상적으로, 결과적으로 브렌딩된 표면(S)이 S₁과의 경계에서 S₁과 같고, S₂와의 경계에서S₂와 같도록, 브렌딩 함수 B₁및 B₂가 선택된다는 것을 주지하여야 한다. 이것은, S₁과의 경계에서 B₁= 1및 B₂= 0 가 되고 S₂와의 경계에서 B₂= 1 및 B₁= 0 이 되도록 B₁및 B₂를 계획함으로써, 성취된다.

보다 일반적인 실시예에서, 본 발명은 S_i, i = 1,...,N 인 다수의 기하학적 객체 사이의 브렌딩을 위해 사용될 수 있으며, 이 때 변역이 모든에 대해 공통되는 파라미터 공간 PS를 포함하는 대응 함수에 의해 각각의 기하학적 객체가 파라미터화 된다. 따라서, 결과적인 브렌딩된 표면(S)에 대해, PS 에서의 q 에 대한 실질적으로 모든 각각의 지점들 S(q) 은 지점로부터 얻어지는 지점의 가중치 합을 이용하여 결정된다. 또한, 각 Si 의 경계 부분 Pi 에 S 를 브렌딩하는 것이 바람직하기 때문에, PS 로부터 기하학적 객체 Si 및 그에 따른를 가지는 공통 기하학적 공간(GS)까지의 함수로서 S 를 풀이한다. 또한, S 는 각에서 연속적일 것이다.

상기 식 (1) 은 브렌딩된 표면(보다 일반적으로는 기하학적 객체)을 생성하기 위한 여러가지 식들 중 대표적인 것으로서, 그러한 식들의 다른 실시예는 이하의 상세한 설명에 기재되어 있다. 또한, 식(1)의 파라미터 공간 좌표(u,v)를 3 개의 좌표(u,v,w) 또는 하나의 좌표 u 와 같은 다른 파라미터 공간 좌표로 표시하여, 그러한 식들은 다르게 바꿀 수도 있다. 또한, 브렌딩 함수 B₁, B₂역시 다른 파라미터 공간으로 정의될 수 있다. 게다가, 그러한 브렌딩 함수 B₁, B₂는 표면(보다 일반적으로는 기하학적 객체) S₁, S₂로부터 선택된 지점들의 가중 합의 가중치로서 간주될 수도 있다는 것을 주지할 필요가 있다. 또한, 이러한 가중 합 개념은 여러가지 방법으로 확장될 수도 있다. 예를 들어, 다수의 기하학적 객체 S_i, i=1,...,N 가 제공되는 보다 일반적인 실시예에 대해 설명하면, 식(1)로부터 S_i을 위한 공통 파라미터 공간내의 지점 q 에 대한 식이 얻어지도록, 대응하는 가중/브렌딩 함수 B_i가 각 i 값에 대해 마련될 수도 있다.

본 발명의 다른 측면에서, 브렌딩된 기하학적 객체 S 를 생성하는 것 역시 본 발명에 포함되며, 이 때 S 를 생성하기 위해 사용된 S_i기하학적 객체의 적어도 일부가 2 차원 이상의 차원이다. 예를 들어, S_i및 S₂가 파라미터화된 입체형이라면, S 는, 당업자가 이해할 수 있는 바와 같이, 식(1)의 다른 변형식을 사용하여 S_i및 S₂으로부터 브렌딩된 입체형을 생성시킬 것이다. 따라서, S_i의 표면 P₁및 S₂의 표면 P₂가 S 의 경계가 되도록, S 가 S_i및 S₂사이에서 연장되고, S 는 식(1)과유사하게 S_i및 S₂의 지점의 가중 합으로서 표현된다.

본 발명의 다른 측면에서, 식(1)(또는 이하의 상세한 설명에 기재된 변형식(2), (4), (5), (5.05), (5.03) 등과 같은)의 파라메트릭 기하학적 객체 S_i의 하나 또는 그 이상은 이하에서 설명하기 위해 사용된 등사습곡 리본 대신에 베지어, 널브 또는 다른 다중 변형 파라메트릭 컴퓨터 표상 중 하나를 가질 것이다. 또한, 당업자가 이해할 수 있는 바와 같이, 다른 컴퓨터 표상에 대해서는 S_i(예를 들어 S_i가 등사습곡 리본인데 대해, 그러한 기본적인 기하학적 형태는 마커, 프로파일, 등사습곡 핸들 및 프로파일 핸들)를 정의하는 기본적인 기하학적 객체가 다를 수 있다는 것 역시 본 발명의 범위에 포함된다. 예를 들어, S_i"제어 지점"의 베지어 또는 널브 표상 및/또는 그들로부터 유도된 기하학적 실체는 S_i의 형상을 변경하는데 사용될 수 있으며, 그에 따라 그들로 부터 유도된 결과적인 기하학적 객체 S 의 형상을 변경할 수 있다.

본 발명의 다른 측면에서, 브렌딩된 표면 S 가 하나 이상의 등사습곡 리본 S₁,...,S_N, N ≥2, 으로부터 발생될 때, 표면 S는 등사습곡 리본 S_i의 기하학적 특성을 변경시킴으로써 변형될 수 있다. 특히, S_i에 대한 등사습곡 리본 경계중 하나의 형상을 변경시킴으로써, 지점 S_i(u,v)이 변화되고, 그에 따라 브렌딩된 표면 S 는 그 지점의 가중된 합계로 인해 변화된다. 특히, S 의 기하학적 특성(곡률, 접선 벡터, 및/또는 접선 면과 같은)의 변화율은 등사습곡 리본 S_i의 형상에 의해 결정될 수 있다. 특히, 각 등사습곡 피켓을 따른 실질적인 선형 파라미터화르 가정하면, 특정 등사습곡 리본에 대한 그러한 피켓의 상대적인 크기가 클수록, S 의 형상은 그러한 피켓의 방향을 따라 보다 경사지게 될 것이다. 또한, 그러한 피켓의 방향이 변함에 따라, S 의 곡률이 변화된다. 즉, 식(1)과 같은 가중 합 때문에 S 가 표면 S_i에 대해 항상 경사지게 되기 때문에, S 의 형상은 방향이 변화된 피켓을 가지는 등사습곡 리본(들) S_i에 대해 그 S 가 경사지도록 변화될 것이다. 따라서, 브렌딩된 표면 S 의 형상은 임의의 사용자 상호작용 기술에 의해 변화될 수 있을 것이며, 그 기술은 : (a) 하나 이상의 S_i의 하나 이상의 기하학적 특성을 변화시키는 것으로서, 이 때 그 변화는 S_i의 형상(그 형상은 연속성, 미분가능성, 곡률, 및 높은 차수의 연속성과 같은 다수의 기하학적 특성을 나타낸다)의 변화를 포함하며, (b) S_i의 파라미터화의 변화, 이다.

브렌딩된 표면을 변형시키기 위한 사용자 상호작용 기술은 또한 보다 높은 차수의 기하학적 객체에도 사용될 수 있다. 예를 들어, S_i기하학적 객체들이 표면이 아니라 입체인 경우, 그에 따라 결과적인 브렌딩 입체 S 는 S 결정에 사용된 입체 S_i의 하나 이상의 형상을 변화시킴으로서 변형될 것이다.

S_i의 기하학적 객체가 다른 기하학적 객체를 통해 간접적으로 변형될 수 있도록, 브렌딩된 기하학적 객체 S 를 사용한 기하학적 객체 S_i가 존재하는 것 역시 본 발명의 범위에 포함된다. 이때, 상기 다른 기하학적 객체로 부터 S_i의 기하학적 객체가 자체적으로 생성될 것이다. 예를 들어, S 가 등사습곡 S₁및 S₂(각각 대응 프로파일 P₁및 P₂를 가진다)로부터 브렌딩된 표면이라면, 그리고 리본 S_i이 프로파일 핸들, 등사습곡 핸들 및 P_i의 단부 지점에서의 리본 접선로부터 내삽되었다면, 본 발명은 핸들 및/또는 리본 접선을 변형하여 브렌딩된 표면 S 를 변형할 수 있는 사용자 상호작용 기술을 제공한다. 또한, 하나의 사용자 상호작용 기술에서, 핸들만이 디스플레이 될 수 있으며, 이 때 그러한 핸들은 브렌딩된 표면 S 에 연결된 상태로 디스플레이 된다. 따라서, 그러한 핸들을 변경함으로써, 브렌딩된 표면이 변경된다. 그러한 사용자 상호작용 기술은 핸들 및/또는 리본 접선 등의 변화를 사용자에 대하여 실시간으로 반응한다는 것을 알아야 한다. 따라서, 사용자가 그러한 변화를 입력하는 동안에도 사용자의 디자인 의도가 즉각적으로 디스플레이될 수 있다. 따라서, 본 발명을 이용하여, 디자인 공정에서의 사용자 상호작용을 종래의 CAD 사용자 상호작용 기술 보다 실제적인 기하학적 모델을 구축하는데 사용되는 기술에 근접시킬 수 있다. 여러가지 기하학적 속박 기준을 본 발명에 따라 생성된 기하학적 객체에 적용할 수 있다는 것도 본 발명의 다른 측면이다. 특히, 특징 및/또는 기하학적 객체의 부속기하학적 형상(subgeometry)O₀다른 기하학적 객체 O₁내에 놓이도록 속박할 수 있어, O₁이 변형됨에 따라 O₀의 특징 및/또는 부속기하학적 형상이 따라서 변형되고, 그에 따라 O₀이 변형될 수 있다. 예를 들어, 본 발명은 곡선, 표면, 체적 또는 입체일 수 있는 주어진 기하학적 객체 O₁내에/상에 반드시 잔류하도록, 객체 공간 지점 p 가 한정되게(즉, 파라미터화되게) 할 수 있다. 따라서, O₁이 변형됨에 따라, O₀역시 변형된다. 또한, 지점 P 대신에, 곡선, 표면 및 입체와 같은 다른 기하학적 부속객체를 유사하게 속박할 수도 있다. 추가적으로, 제어 지점, (프로파일 및 등사습곡과 같은 여러 형태의) 핸들, 법선, 꼬인 벡터 등과 같은 기하학적 객체 O₀의 특징들 또한 본 발명에 의해 유사하게 속박되어, O₁이 변형됨에 따라, O₀역시 변형된다. 예를 들어, 식(1) 및 그 변형식과 같이 본 발명에 의해 제공된 기하학적 객체 내삽 기술을 이용하여, 속박된 특징 및/또는 O₀의 부속기하학적 형상이 O₁의 변형에 대응하여 변형될 때, 기하학적 객체 O₀가 실질적으로 실시간으로 효율적으로 재생성(예를 들어, 재내삽)된다. 특히, 본 발명의 이러한 측면은 여러가지 기하학적 객체의 단계적 결합을 제공하여, 모(parent) 객체의 기하학적 변형 제어가 종속하는 자(child) 기하학적 객체에서의 대응하는 기하학적 변형을 야기한다. 예를 들어, 표면 패치가 보다 큰 표면의 작은 크기의 상세부를 나타내는 경우에, 작은 상세부 표면 패치를 보다 큰 표면에 부착하여 사용자가 보다 큰 표면의 형상을 제어함으로써 작은 상세 표면 패치의 형상을 자동적으로 조절할 수 있게 하는 것이 바람직할 것이다. 또한, 유사한 단계적인 제어가 곡선, 지점들, 및 3-차원 변형 공간과 같은 다른 형태의 기하학적 객체에도 적용될 수 있다.

그러한 단계적인 제어는 또한 지속적인 변형 공간에서 사용될 수 있다는 것을 주지하여야 하며, 이 때 그 지속적인 변형 공간에서는 그 공간내의 기하학적 객체가 반복적으로 변형되고 최초의 변형되지 않은 상태에 반복적으로 저장되는 것이 바람직하다. 일회의 변형을 반복적으로 적용함으로써 실시간으로 상기와 같이 하는 것이 어렵다는 것을 알아야 한다. 따라서, 본 발명의 그러한 단계식 제어를 이용함으로써, 그러한 3-차원 변형 공간내에 포함된 기하학적 객체 및/또는 기하학적 객체의 제어 구조물이, 3-차원 변형 공간이 변형되었을 때, 기하학적 객체의 변형을 제공한다. 또한, 이번에는, 하나 이상의 그러한 변형 공간이 표면이나 곡선과 같이 단순한 기하학적 형태에 의존하도록 만들어졌다면, 그 단순한 기하학적 형상을 조작함으로써, 기하학적 객체의 형상이 아무리 복잡하더라고 그 기하학적 객체의 형상에 대한 실질적인 제어를 할 수 있다.

본 발명의 다른 특징들 및 이점들은 이하의 상세한 설명 및 첨부 도면에 기재하였다.

[실시예]

1. 서언

도 1 에는, 반원통형 표면(30)과 표면(34) 사이에서와 같이 임의의 두 개의 파라메트릭 표면들을 내삽하는 표면(62)을 디자인하기 위한 본 발명의 실시예의 이용을 도시하였다. 다시 말해, 표면(62)은 신규의 표면 내삽 공정에 의해 생성되며, 이 때 표면(62) 형상에 대한 속박은 특징 곡선(54, 58, 60), 및 그 곡선들과관련된 신규의 제어 기하학(예를 들어, 등사습곡 리본)에 의해 제공된다. 특히, 이하의 속박들은 표면(62)에 의해서 만족된다. 즉:

(a) 특징 곡선(54)을 따른 표면(30)의 하나 이상의 기하학적 특성들은 표면(62)에 중첩되며,

(b) 특징 곡선(58)을 따른 표면(34)의 하나 이상의 기하학적 특성들은 표면(62)에 중첩되며,

(c) 표면(62)가 특징 곡선(60)을 통해 내삽되고, 이 때 곡선(60)의 연장부를 따른 표면(62) 접선은 등사습곡 리본(61, 63)으로부터(예를 들어, 등사습곡 리본과 동일하게) 유도된다.

따라서, 본 발명을 이용하여, 디자이너는 (a) 비교적 적은 수의 주의깊게 구축되고 위치된 특징 곡선들, (b) (등사습곡 리본을 통해) 3 개의 특징 곡선들을 따른 표면의 원하는 경사, 와 관련하여 특정된 표면을 디자인 할 수 있다. 특히, 본 발명을 이용하여, 그렇게 디자인된 표면은 특징 곡선들 사이에서 양호하게 내삽될 수 있을 뿐만 아니라, 볼록도, 오목도 및/또는 소정의 곡률 범위와 같이 다른 부가된 속박을 따를 수도 있다.

추가적으로, 본 발명은 표면 영역을 디자인되는 객체내로 브렌딩하는데 사용될 수 있다. 예를 들어, 도 2 는 원형 디스크(66)를 원통형 표면(30)으로 브렌딩하는 것을 도시한다. 또한, 소위 당업자가 본원 명세서의 기재내용으로부터 이해할 수 있는 바와 같이, 본 발명은 반복적인 디자인 뿐만 아니라 보스(boss), 딤플(dimple), 로고(logo), 엠보싱(embossing)등을 구축하는데 사용될 수도 있다.

본 발명의 하나 이상의 실시예는 컴퓨터 지원 디자인(CAD)에 대한 통상적인 접근 방법과 차이가 나는데, 이는 본 발명을 이용하여, 기하학적 및 컴퓨터적으로 관련이 없는 다수의 패치들(예를 들어, 3-, 4-, 5- 면 결합 표면)로서 생성될 수 있는 원하는 기하학적 객체(예를 들어, 표면)가 패치들 간의 경계에서의 특정 속박을 만족시키는 방법으로 서로 이어 맞춰질 수 있다는 점에서 차이가 나는 것이다. 따라서, 다수의 관련 없는 기하학적 부속-객체(부속표면)를 내삽하고, 브렌딩하고, 및/또는 트리밍하여 그들 사이의 경계 및/또는 영역에 걸쳐 연속성, 미분가능성, 및/또는 곡률과 같은 속박이 만족되도록 하는 방법으로 그 부속-객체들을 서로 결합함으로써, 원하는 기하학적 객체를 디자인 할 수 있다. 이러한 것은, 함축적인 표면의 오직 4-면 널브, 베이저, 허미트(Hermite), 쿤(Coon), 골돈(Gordon) 또는 불린이 종래 기술의 시스템에서 서로 결합될 수 있다는 점에서, 통상적인 CAD 의 접근방법과 기본적으로 상이하다.

2. 기하학적 객체들 간의 브렌딩

본 발명의 기본적인 기하학적 객체 디자인 기술은 표면과 같은 2 개의 파라메트릭 기하학적 객체들을 서로 브렌딩하는 것 및 그러한 브렌딩이 실행되는 방식에 관한 것이다. 전술한 용어 정의 섹션에서 정의한 바와 같이,"파라메트릭 기하학적 객체"(예를 들어, 표면)는, 경계지어진 평면과 같은 (단순한) 좌표화된 기하학적 객체(파라미터 공간)로부터 다른 (통상적으로 보다 복잡한) 기하학적 객체(객체 공간)까지의 맵핑(mapping) 결과로서 정의될 것이다. 파라미터 공간이 경계지어진 평면인 경우, 두 개의 좌표 또는 파라미터(u 및 v 로 나타낸다)는 예로서 파라미터 공간내에서의 각 지점을 유일하게 나타내는 것으로 사용될 것이다. 객체 공간이 3-차원인 경우, 경계지어진 평면 파라미터 공간내의 모든 지점(u,v)에 대해, 함수는 객체 공간내의 일 지점(x,y,z)과 관련된다.

관습적으로, 평평한 파라미터 공간은 대게 단위 평방체로 가정되며, 이는 u 및 v 가 0 과 1 사이에서 변한다는 것을 의미한다. 그러나, 본 발명의 범위내에서, 다른 파라미터 공간 기하학적 형상 및 좌표 범위를 이용할 수도 있다.

본 발명의 일 실시예에서, 파라미터 공간으로서 단위 평방체를 각각 가지는 2 개의 파라미터 표면 S₁(u,v) 및 S₂(u,v)를 서로 브렌딩하게 위해, 각 표면 S₁및 S₂은 관련된 각각의 브렌딩 함수 B₁(u,v) 및 B₂(u,v)를 가지며, 이 때 브렌딩 함수 각각은 그 범위로서, 예를 들어 (0,1)를 가진다(이하에서 주어진 다른 성질들도 만족시킨다). 결과적으로 이하의 식으로부터 새로운 표면이 정의된다. 즉 :

S(u,v) = S₁(u,v)ㆍB₁(u,v) + S₂(u,v)ㆍB₂(u,v) 식(1)

통상적으로, 결과적으로 브렌딩된 표면 S 가 S₁과의 경계에서 S₁과 같고, S₂와의 경계에서S₂와 같도록, 브렌딩 함수 B₁및 B₂가 선택된다는 것을 주지하여야 한다. 이것은, S₁과의 경계에서 B₁= 1및 B₂= 0 가 되고 S₂와의 경계에서 B₂= 1 및 B₁= 0 이 되도록 B₁및 B₂를 계획함으로써, 성취된다. 예를 들어, 도 3 에서, 만약 S₁이 표면(30)이고 S₂가 스트립(34)이며, 하나의 경계가 표면(30)의 수직선(54)이고 다른 경계가 스트립(34)상의 곡선(58)이라면, 표면(62a)은 두 개의경계 사이에서 연장되고 경계에서 S₁및 S₂에 접선인 S 이다.

2.1. 브렌딩 함수

여러가지 형태의 기하학적 객체들을 서로 브렌딩하기 위해 제공된다. 예를 들어, 기하학적 객체를 채우는 두 개의 체적을 브렌딩하기 위한 브렌딩 함수가 제공될 수 있다. 그러나, 본 발명의 신규한 브렌딩 공정 및 관련된 브렌딩 함수를 단순화(및 명확히 설명)하기 위해, 여기서는 먼저 두 개의 곡선을 서로 브렌딩하는 것으로 또는 두 개의 표면을 브렌딩하는 것으로 한정한다. 따라서, 서로 브렌딩 되는 두 개의 표면 S₁및 S₂에 대하여, 각각의 브렌딩 함수 B₁(u,v) 및 B₂(u,v)가 본 발명에 의해 생성된 브렌딩된 표면의 경계상에서 0 또는 1 로 적절히 셋팅된다.

도 4 를 참조하면, 파라미터 공간내의 경계(78a, 78b)가 객체 공간내의 프로파일(54, 58)에 대응하는 것으로 사료되고, 표면(62a)과 같은 브렌딩된 표면상의 임의 곡선(80)에 대하여, 표시된 바와 같이 파라미터 공간내에 형성된 관련 예비-영상(예를 들어, 선(86))이 있다. 경계(78a, 78b)의 단순화를 위해, 곡선(80)의 예비-영상을 직선으로 하였지만, 반드시 그럴 필요는 없다는 것을 주지하여야 한다.

(마찬가지로 단순화를 위해) 브렌딩 함수 B₁(u,v) 및 B₂(u,v)가 (파라미터 공간으로서의) 단위 평방체내에 변역(變域)을 가진다고 가정하면, 이러한 파라미터 공간내의 임의 지점(u,v)에 대하여, 그 지점(u,v)이 경계 곡선(예를 들어, 경계 곡선(78a, 78b))에 대해, 보다 일반적으로는 프로파일 곡선의 예비-영상에 대해 얼마나 "근접한" 어떠한 측정치를 결정하는가가 중요하다. 그러한 근접도 또는 거리-유사 측정치는 브렌딩 함수 및/또는 그들의 결과치를 특정하는데 사용될 것이다. 파라미터 공간 내에서 그러한 근접도 또는 거리-유사 측정치를 계산하는 많은 방법이 있다는 것을 알아야 한다. 예를 들어, 경계(78)(또는 프로파일 예비-영상)가 직선이라면, 지점(u,v)까지의 파라메트릭 거리는 지점을 통과하는 경계선까지의 수직선 단편으로서 용이하게 계산된다. 또한, 파라메트릭 거리를 계산하는 기술을 이하에서 설명한다(예를 들어, 섹션 2.3 및 2.4).

파라미터 공간이 여전히 지점(u,v)의 2-차원 공간이라고 가정하면, 브렌딩 함수(경계 곡선의 어떠한 정해진 수 N 에 대하여 1≤i≤N 이다)는 단일변량(univariate) 거리-유사 함수의 함수를 계산할 수 있으며, 이때 D_i는가 되도록 (u,v)의 함수이며, D_i(u,v)는 표면 S 의 (객체 공간내의) 경계 곡선 C_i의 예비-영상 C_i ^-1에 대한 거리-유사 함수이다. 그러한 거리-유사 함수는, (u,v) 가 i 번째 경계 곡선 예비-영상 C_i ^-1(통상적인 유크리디안(euclidian) 거리로 측정된 바와 같은)에 임의적으로 근접함에 따라 D_i(u,v)가 제로(0)에 임의적으로 근접하는 조건을 반드시 만족시켜야 한다. 브렌딩 함수및 거리-유사 함수 D_i는 이하에서 설명한다.

많은 유용한 브렌딩 함수 B_i는형태이기 때문에, 추가적인 특정이필요치 않다면, B_i는 이하에서 다음을 나타내는 것으로 사용된다. 즉: (a) 초기에 설명한 브렌딩 함수 B_i(u,v) 및 (b) 일부 거리-유사 함수 D_i에 대한 브렌딩 함수. 그런나, 만약 브렌딩 함수(a) 및 (b) 간에 명확한 구별이 필요하다면, 브렌딩 함수의 변역(變域)은 브렌딩 함수가 표시되는 것을 나타내는데 사용될 수 있다. 마찬가지로, 식(1)은 브렌딩 함수, i=1,2 에 잘 적용된다. 즉:

[수학식 2]

만약, 지점(u,v)이 i번째 예비-영상 경계 i=1,2 에 근접한다면,는 작아질 것이며 그 지점은 i번째 경계에 근접하게 (객체 공간내로) 맵핑된다.

브렌딩 함수 B_i의 양호한 집합은 브렌딩된 표면의 맵핑 S 가 원하는 둘레(프로파일) 곡선과 일치되도록 할 뿐만 아니라, 예를 들어 서로 상이한 초기 표면들의 둘 이상의 둘레 곡선을 브렌딩한 결과적인 표면이 이러한 초기의 두 표면 곡률 연속성과 같은 특성들이 보존되도록 할 것이다. 다시 말해, 브렌딩된 표면은 초기 표면 각각에 대하여 "경사"진다. 또한, 브렌딩 함수 B_i이 새로운 표면도 양호하게 하는 것이 바람직하다. 도 5 는 한 쌍의 바람직한 브렌딩 함수 B_i,i=1,2 의 그래프를 도시한다.

표면 S₁, S₂의 프로파일 곡선 P₁, P₂에 대하여, 브렌딩된 표면이 P₁과 P₂사이에 요구되는 경우, 프로파일 P₁, P₂가 단위 평방체 {(u,v)｜0 ≤u ≤1 및 0 ≤v ≤1} 의 u = 0, v = 1 에 각각 대응하는 메트릭 예비-영상을 가진다고 가정하면, 브렌딩 함수 B₁및 B₂에 대한 일부 유용한 성질을 다음과 같다. 즉:

[수학식 1.1]

u = 0 에서 B₁= 1 및 u = 1 에서 B₁= 0. u = 0 에서 B₂= 0 및 u = 1 에서 B₂= 1.

[수학식 1.2]

D_i(u,v) = 0 및 D_i(u,v) = 1, i = 1,2 인 모든 곳에서 B₁' 및 B₂' 는 0 이다. 이것은 브렌딩된 표면 S 와 초기 표면 S₁및 S₂간의 매끄러운(접선 연속적) 전환하는 것을 강제한다. 만약 보다 높은 차원의 미분 역시 제로라면, 표면들 간의 보다 높은 차원의 연속성이 실현될 수 있어, 대개는 외관을 개선할 수 있다.

[수학식 1.3]

모든 지점(u,v)에 대해 B₁+ B₂= 1 이다. 이것은"단위의 분할"로 칭하며, 새로운 브렌딩된 표면이 접하게되는 표면 S₁및 S₂의 볼록 조합의 생성을 제공한다. 이것은 새로운 브렌딩된 표면이 초기 표면 S₁및 S₂로부터 너무 멀리 떨어지는 것을 방지하는 경향이 있다는 것을 주지하여야 한다.

브렌딩 함수를 정의하기위한 여러가지 실시예들이 있다. 유용한 일 실시예는

[수학식 3]

이며, 상기 식은 브렌딩 함수의 임의의 고차원 연속성을 제공하며, 그 고차원 연속성은 초기 브렌딩된 표면들 간의 동일한 고차원 연속성을 달성하는데 필요하다. 다른 실시예는 상기 수학식 특성(1.1 내지 1.3)을 갖는 다항식 함수를 선택한다. 예를 들어, D = 0 및 D = 1 에서 0 의 2차 미분값을 갖는 5 차 다항식을 선택할 수 있으며, 그에 따라 유용한 곡률 특성(섹션 4.4 참조)을 제공한다.

상술한 브렌딩 함수에 더하여, 다음은 추가적인 브렌딩 함수의 예이다. 즉:

B₁(x) 및 B₂(x) 는 이하의 속박을 만족시키는 다항식이다. 즉:

B₁(0) = 1, B'₁(0) = 0, B(1) = 0, 및 B'(1) = 0

B₂(x) = 1-B₁(x)

고차원 미분(예를 들어, x = 0 및/또는 1 에서 0 이되는)에 관한 부가적인 속박들 또한 추가될 것이다. 예를 들어, B"_i(0) = B"_i(1) = 0, i = 1,2 라면, 내삽 및/또는 브렌딩이 수행되는 객체에서 C²연속성이 얻어진다.

아래의 속박들을 만족시키는 다항식 브렌딩 함수의 예는:

B₁(x) = (1-x)²+ 5x(1-x)⁴+ 10x²(1-x)³

B₂(x) = 1-B₁(x)

도 6d 에 도시된 바와 같이, B₁(x)는 6 개의 제어 지점들 P₁,...,P₆를 가지는 베지어 곡선으로서 유도될 수 있다.

또한,

B'₁(x) = -30x²ㆍ(1-x)²이고

B"₂(x) = 60xㆍ(1-x)²- 60x²ㆍ(1-x) 이기 때문에,

B'₁(1) = 0, B"₁(1) = 0, B'₂(0) = 0, B'₂(1) = 0, B"₂(1) = 0, B'₁(0) = 0 및 B"₂(0) = 0 이라는 것을 주지하여야 한다.

(C) 전단사(bijective)(예를 들어, 일대일 대응으로) 파라미터화 함수 P:[0,1] -> [0,1] 를 이용하여 전술한 바와 같은 브렌딩 함수의 어떠한 복합도 다른 브렌딩 함수를 얻기 위한 새로운 브렌딩 함수로 구성될 것이다. 특정 예로서, P(x) = 2c(x-x²) + x²이라하면(이때 c 는 일정한 "경사" 팩터이다), 새로운 브렌딩 함수 가 B(P(x))로서 구성될 것이다. 따라서 c = 1/2 일때, P(x) = x 이다. 또한 c 가 변함에 따라, 그래프 P(x) 의 굽힘 지점은 도 6a 내지 6c 에 도시된 바와 같이 이동한다. 도 6b 의 브렌딩 함수(c > 1/2 이다)는, 표면의 보다 큰 부분에 대한 도 6b 의 그래프내에서 x = 0 축에 대응하는 브렌딩에 사용되는 객체의 기하학적 특성을 브렌딩 곡선(및/또는 표면 또는 다른 기하학적 객체)이 유지하도록 한다.

브렌딩 함수를 구하기 위해 발생되는 실시간 디자인 컴퓨터 관련 비용을 줄이기 위해, 브렌딩 함수를 위한 값은, 일 실시예에서, 디자인 시작에 앞서서 충분히 분석하여 표로 만들 수 있고, 실제 브렌딩 함수 갑에 가장 근접하는 효율적인 인덱스 접근이 가능하도록 하는 방식으로 메모리에 저장될 수 있다.

2.2 N - 면 영역으로의 확장 브렌딩

본 발명의 일 실시예에서, 파라메트릭 표면 Si(i = 1,2,...,N 이고 N ≥2)의 각 연부(edge) e_i에 의해 경계지어지는 영역에 걸쳐 브렌딩하기 위한 신규의 일반적인 형태는 이하의 지점 S_i(u_i(p),v_i(p)))의 가중 합이다. 즉:

[수학식 4]

이 때:

(a) p 는 표면 S_i에 대한 공통 파라미터 공간내의 지점들을 나타내는 변수이고;

(b) D_j(p) 는 공동 파라미터 공간내에서 i 번째 연부 e_i의 예비-영상에 대한 거리-유사 측정치이며;

(c) B_j는 D_j가 제로일 때 제로가 되는 브렌딩 함수이며, D_j가 증가함에 따라 일차적으로 증가하며;

(d) u_i및 v_i는, p 를 공통 파라미터 공간으로부터 (임의의) S_i에 대한 중간 파라미터 공간으로 변형시키는 파라미터화 함수이다.

브렌딩 함수 B_j의 곱의 합으로 나누면,

식(4)는 브렌딩 함수에 대하여 평균화될 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 또한, 식(4)는 N = 2 일 때 식(1)과 유사하며, 사실상 식(1)의 확장이다. 다시 말해, N = 2 일 때, 식(4)의 B₁은 식(1)의 B₂의 함수적 거동을 가지며, 식(4)의 B₂는 식(1)의 B₁의 함수적 거동을 가진다. 즉, 두 개의 식들 사이에 부가적인 표시 변화가 있다.

식(4)의 예와 같이, 도 14 에 도시된 3-면 영역(300)에 대해 살펴본다. 표면 S 를 생성하기 위해, 영역(300)에 대하여 식(4)를 적용하면, 이하의 방정식이 얻어진다. 즉:

[수학식 5]

S(p) = B₂(v)B₃(w)S₁(u) + B₁(u)B₃(w)S₂(v) + B₁(u)B₂(v)S₃(w)

이 때, 파라미터화 함수로서의 u,v 및 w 는, 당업자가 이해할 수 있는 바와 같이, p 의 무게중심적(barycentric) 좌표이다.

N-면(N ≥4) 영역에 걸쳐 브렌딩된 표면을 형성하는 다른 방법은, 도 34 의 S₁을 생성하기 위해 식(1)의 S₁및 S₂각각으로서 도 34 의 R₁₁및 R₁₂를 이용하는 식(1)을 기초로 한 2-면 접근 방법을 먼저 적용함으로서 제공된다. 또한, 식(1)은 식(1)의 S₁및 S₂가 R₂₁및 R₂₂로 각각 대체된 도 35 의 표면에 대하여 적용된다. 도 34 및 도 35의 두 개의 결과적인 표면 S₁및 S₂는, 각각 브렌딩 함수 B₁및 B₂가 전술한 바와 같고 대응 Di 가 이하에서 설명하는 바와 같은 식(2)를 이용하여 브렌딩된다. 예를 들어, 각 리본 R₁₁, R₁₂, R₂₁및 R₂₂이 공통 예비-영상을 가진다면, 연부 P₁₁, P₁₂, P₂₁및 P₂₂(도 34 및 35 참조) 쌍의 예비-영상에 대한 거리-유사 측정치를 계산하기 위해 식(2)에 사용된 Di 는 이하와 같을 것이다. 즉:

(a) D 가 P₁과 대응 프로파일 P_1i사이의 유크리디안일 때, 도 34 의 S₁을 위한 (공통) 예비-영상의 지점 P₁에 대해, D₁(P₁) = min (D(P₁,P₁₁),D(P₁,P₁₂)) 이며,

(b) 도 35 의 S₂을 위한 (공통) 예비-영상의 지점 P₂에 대해, D₂(P₂) = min (D(P₂,P₂₁),D(P₂,P₂₂)) 이다.

4-면의 브렌딩된 패치를 생성하는데 특히 유용한 다른 실시예에서, 프로파일 및 리본을 형성하기 위한 이하의 제한된 그러나 어느정도 다용도의 과정을 가정한다. 즉:

(a) 모든 핸들들은 불연속적인 선형 단편이고;

(b) 모든 브랜딩은 식(3.1)의 함수 B₁(x) 및 B₂(x) 로 실행된다.

또한, 먼저 본 패치 발생 기술이 개시된 도 37 에 대해 언급하면, 이하의 라벨링 과정이 사용된다.

프로파일 P 에 대해:

m_L,m_R: 프로파일 P 의 각각의 좌측 및 우측 마커;

h_L,h_R: 프로파일 P 의 각각의 좌측 및 우측 프로파일 핸들;

s_L,s_R: 프로파일 P 의 각각의 좌측 및 우측 등사습곡;

b_L,b_R: 등사습곡 경계 R 의 각각의 좌측 및 우측 단부 지점에서의 좌측 및 우측 리본 접선(이러한 리본 접선은 또한 "경계 핸들"을 나타낸다)

도 37 의 표식을 이용하여, 표면 S_L및 S_R이 형성될 수 있으며, 이 때 S_L은 s_L,h_L,b_L, 및 d_L= (s_L+ b_L) - h_L에 대응하는 선 단편에 의해 경계지어지고, S_R은 s_R,h_R,b_R, 및 d_R= (s_R+ b_R) - h_R에 대응하는 선 단편에 의해 경계지어진다. 특히 S_L및 S_R는 당업계에서 "트위스티드 플랫(twisted flats)"으로 알려져 있으며, 그에 따라 S_L은 좌측 트위스티드 플랫으로 나타내지고, S_R은 우측 트위스티드 플랫으로 나타내진다. 또한, 이러한 표면들은 이하의 식(5.01a) 및 (5.01b)에 의해 측정된다. 즉:

[수학식 5.01a]

이 때, 파라미터 u 및 v 는 u-방향 화살표 및 v-방향 화살표(도 37 참조)에 의해 표시된 바와 같이 횡방향으로 증가한다.

[수학식 5.01b]

이 때, u-방향은 도 37 의 u-방향 화살표와 반대되는 방향인 상태에서, 파라미터 u 및 v 역시 횡방향으로 증가한다.

따라서, 등사습곡 리본 표면 S (도 37 참조)는 이하와 같이 정의 될 수 있다. 즉:

[수학식 5.02]

S(u,v) = B₂(u)S_L(u,v) + B₁(u)S_R(u,v)

이 때, 간편하도록 하기 위해, u 파라미는 또한 식(3.1)의 B₁및 B₂에 대해 요구되는 거리 측정치이다. 따라서, v = 0 일 때, S(u,0)는 프로파일; 즉, 제어 핸들 (h_L- m_L) 및 (h_R- m_R) 간의 브렌딩이다. 추가적으로, v = 1, S(u,1) 일 때,리본 경계 R 은 벡터들 (b_L- s_L) 및 (b_R- s_R)의 브렌딩으로서 유도된다는 것을 알아야 한다. 또한, 만약 b_L및 b_R이 s_L- m_L및 s_R- m_R을 각각 따라 h_L및 h_R로 각각 전환된다면, R 은 P 의 전환이며, 그러한 유사성은 본 발명의 데이터 저장 요건을 단순화시킬 것이다.

각 S_i가 식(5.02)에 의해 생성되는 다수의 등사습곡 리본 S_1,S₂,...,S_N, 에 대하여, 각 리본은 보다 일반적인 이하의 N-면 표면 형태로 사용될 것이며, 그 것은 식(4)의 변형식이다.

[수학식 5.03]

이 식 즉, 전체적인 N-면 패치 파라미터 공간(s 및 t에서의)으로부터 리본 S_i(u 및 v 에서의)의 파라미터 공간까지의 거리 측정 및 맵핑을 위해서는 D_j(s,t), u_j(s,t) 및 v_j(s,t)가 반드시 정의 되어야 한다.

N = 2, 3, 4 및, N ≥5 이고 브렌딩된 리본 S_i을 사용하는 특별한 경우에, 먼저 리본을 위한 식(5.02)은 식(5.03)의 특별한 경우라는 것을 주지하여야 한다. 예를 들어, 식(5.02)에서 분모는 1 이고, 거리 측정치는 단순히 u-파라미터이며, v는 s 및 t 에 정확하게 대응한다. 기본 표면들이 식(5.02)에 따라 유도된 리본이라는 점을 제외하고는, 2-면 표면을 위한 식도 유사하다; 따라서, 식(5.02)에서,

[수학식 5.04]

S(u,v) = B₂(v)S₁(u,v) + B₁(v)S₂(u,v)

이며, 이 때 파라미터 u 는 거리를 측정한다. 그것은 프로파일 곡선의 방향을 따라 변한다. 이제, 식(5.04)에서, 파라미터 v 는 거리를 측정한다.

도 38 을 참조하면, 등사습곡 리본 S₁및 S₂는 이러한 리본들 각각의 u 및 v 방향 화살표에 의해 표시된 바와 같이 파라미터화 되며, 그 리본들은 4-면 패치를 생성하는데 사용될 것이다. u 내에서 가변하는 두 개의 프로파일 P₁및 P₂는 트위스티드 리본 S₁및 S₂을 이용하여 브렌딩된다. 다른 두 개의 프로파일 P₃및 P₄는 등사습곡 핸들로부터 유도된 브렌딩된 프로파일이며, 다시 말해 P₃는 h_R ¹이 S₁이고 h_L ¹은 S₂인, h_R ¹및 h_L ¹의 브렌딩(예를 들어, 식(1)을 이용한) 이고, 유사하게 P₄는 h_R ²및 h_L ²의 브렌딩이다.

도 38 의 브렌딩된 표면 S 는 텐서(tensor) 곱 형태이다. 식(5.04)를 텐서 형태로 분해함으로써 알 수 있으며, 그 분해에서 리본 S₁및 S₂는 식(5.01a) 및 (5.01b)로부터 유도된다. 즉, S₁은 S_L ¹및 S_R ¹(도 38 참조)의 브렌딩이고, S₂은S_R ¹및 S_R ²의 브렌딩이다. 따라서, 분해는 이하와 같다. 즉:

[수학식 5.05]

따라서, 상기 마지막 표현은, 먼저 v 파라미터화에서 트위스티드 리본을 생성하고, 이어서 u 에서 브렌딩을 생성함으로써, 동일 표면 S 가 생성될 수 있다는 것을 보여준다. 그러나, u 및 v 의 역할이 대칭적이기 때문에, 트위스티드 리본은 u 파라미터화를 따라 발생될 것이며, 이어서 브렌딩은 v 에서 실행될 것이다. 다시 말해, 도 39 의 표면 S_L ³및 S_R ³, S_L ⁴및 S_R ⁴을 이용하는 것은 도 38 에서와 같이 동일한 표면을 제공한다. 따라서, S 를 유도하기위한 어떠한 기술에서도, 입력은 동일하며; 다시 말해, i 가 입력이 적용되는 프로파일 P_i(i = 1,2,3,4)을 나타낼 때 입력은 m_L ⁱ, m_R ⁱ, h_L ⁱ, h_R ⁱ, s_L ⁱ, s_R ⁱ, b_L ⁱ및 b_R ⁱ가 된다. 여러가지 입력 간의 대응이 도 40 에 도시되어 있다.

따라서, 전체적으로, 식(5.04)의 2-면 패치는 매우 다용도의 4-면 패치를 제공한다. 또한, 그 값 역시 효율적이다. 따라서, 식(5.01a) 및 식(5.01b)를 이용하는 식(5.05)의 s_L ⁱ및 s_R ⁱ을 확장함으로써, 이하의 표현이 얻어질 수 있다. 즉:

[수학식 5.06]

이 때,및은 식(5.01a) 및 식(5.01b)로부터의 적절한 행렬이다. 이러한 표현의 인스턴스 생성(instantiation)을 평가할 때, B_i는 테이블로부터 적절하게 얻어진다.

상기 식들은 수학적으로는 완전하나, 기하학적 직관 양식(intuitive fashion)으로 사용되기 위해서는 여전히 사용자 부분의 판단을 필요로 한다. 따라서, 몇몇 변형된 경우에, 약간의 수학적 도움이 또한 적절하다. 공통된 예를 들면, 도 41 에 도시된 바와 같이, 서로 교차하는 2 개의 프로파일(예를 들어, P₁및 P₂)의 케이스이다. 이것은, 프로파일 P₃및 P₄(도 38 참조)이 제로 길이이고 단부 마커를 공유하고 있기 때문에(즉, m_L ³= m_L ⁴및 m_R ⁴= m_L ⁴), 변형된 케이스이다.

그러나, 식(5.04)는 여전히 표면 S 를 정의하고 있으나, 표면이 프로파일 교차부에서 고리가된다는 것을 쉽게 알수 있다. 이러한 고리화를 제거하고 마커에서 핸들-형 제어를 여전히 유지하기 위해서, 식(5.04)의 트위스티드 리본은 u 의 함수에 의해 보장될 것이다. u = 1/2 에서 1 이고 u = 0 에서 0 인 하나의 함수는:

[수학식 5.07]

α(u) = 1 -4 (u - 1/2)²

이다.

따라서, 식(5.01)은 다음과 같이 조정된다. 즉:

[수학식 5.08]

S(u,v) = B₂(v)α(u)S₁(u,v) + B₁(v)α(u)S₂(u,v)

함수(5.08)은 모든 고리를 유사하게 제거할 것이다.

단부에서 리본을 감소시키는 능력은 다른 용도를 제안한다. 이하와 같은 스케일링(scaling) 함수는 u = 1 에서 리본을 감소시킨다. 즉,

[수학식 5.09]

α₁(u) = 1 - u²

한편 이하의 식은 u = 0 단부에서 리본을 감소시킨다. 즉,

[수학식 5.091]

α₁(u) = 1 -(u - 1)²

이러한 것은, 당업자가 이해할 수 있는 바와 같이, 삼각형(3-면) 표면을 만드는데 효과적인 방법이다.

2.2.1 2- 면으로부터의 보스 및 딤플

소위 "보스" 특징부는 두 개의 프로파일 연부들을 브렌딩하여 얻어질 수 있다. 그 프로파일은, 예를 들어 등사습곡 리본(784a, 784b)를 각각 가지는 도 24 의 반원(780a, 780b)으로서 제공될 수 있다. 리본(784a, 784b)들은 분리된 평행 평면이다. 이러한 리본들이 서로 브렌딩될 때, 보스 또는 딤플로 간주될 수 있는 표면(786)(도 24 참조)이 얻어진다. 다양한 변형들 즉, 돔, 로켓 선단, 메사(mesas), 사과 상단부 등과 같은 변형들도 유사하게 생성될 수 있다. 또한, 상단 반원형 리본이 회전된다면, 보스가 트위스트되게 할 수도 있다. 이러한 과정은, 당업자가 이해할 수 있는 바와 같이, 조인트와 같은 튜브들 간의 전환에도 사용될 수 있다.

다른 실시예에서, 식(1) 및 식(4)를 이용한 브렌딩이 시작되는 디폴트 등사습곡 리본으로서 각 경계 곡선(객체 공간 내의) 근방의 이웃한 부분을 이용함으로써, 브렌딩이 실행될 수 있다. 따라서, 값 ε> 0 를 정의하고, 표면이 브렌딩되는 경계를 따라 각 표면의 폭 및 스트립(strip)을 취함으로써, 이러한 스트립들이 등사습곡 리본으로서 사용될 수 있다. 따라서, 표면 경계는 프로파일 곡선이 되고, 그 것의 예비-영상들은 식(1) 및 식(4)에서 사용될 것이다.

2.3. 프로파일 곡선

본 발명이 여러가지 형태의 몇몇 잘-배치된(객체 공간) 프로파일 곡선을 취할 수 있고 그 것을 통해 식(1)에 따른 브렌딩 표면으로서의 대응 표면을 생성할수 있기 때문에, 각 표면 S₁및 표면 S₂에 대해 두 개의 파라미터 공간 예비-영상 곡선들이 존재하며, 이 때 그 곡선들은 브렌딩 함수 B₁및 B₂에 대한 경계가 되고; 즉, 각 브렌딩 함수 B_i에 대한 D₁= 0 및 D₁= 1 에서의 곡선이다. 사실상, 도 7 에 도시된 바와 같이, 8 개의 곡선이 있을 수 있으며, 그 것은 브렌딩 표면을 형성하는데 사용될 것이다. 다시 말해, S₁의 파라미터 공간내의 두 개의 곡선(78a, 78b) 및 S₂의 파라미터 공간내의 두 개의 곡선(78c, 78d)가 있을 수 있다(물론, 많은 경우에서 이러한 두 개의 파라미터 공간들이 서로 동일할 수도 있다). 추가적으로, 두 개의 표면(30, 34)으로의 곡선(78)의 맵핑이 있으며, 그에 따라 대응하는 영상 곡선(90, 54, 58 및 91)을 제공하며, 이러한 영상 곡선들은 각각의 예비-영상(78a, 78b, 78c, 78d)들을 가진다.

S₁및 S₂가 동일한 파라미터 공간을 가지는 경우에, 프로파일(78b)은 프로파일(54)의 예비-영상이라는 것을 주지하여야 한다. 또한, 78d(=78b)의 S₂가 프로파일(58)이라면, 그에 따라 78b 는 각각의 S₁, S₂및 브렌딩된 표면(62)의 예비-영상에 포함된다.

본 발명이 표면 디자인에 사용되는 경우, 사용자 또는 디자이너는 초기 표면의 하나의 프로파일 곡선을 잡아 당기고 변형시켜 이러한 초기 표면과 다른 초기 표면의 프로파일 곡선 사이에 새로운 표면을 생성시킴으로써, 브렌딩된 표면을 디자인하는 것을 생각할 것이다.

상이한 형태의 프로파일 또는 경계 곡선들이 본 발명에 사용될 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 본 발명의 몇몇 실시예에서, 그러한 프로파일 곡선 C 는 통상적으로 파라미터 공간내의 파라메트릭 예비-영상 즉, C^-1(s) = (u(s),v(s))을 가질 것이며, 이 때 s 는 예비-영상의 파라미터화이다(예를 들어, 0 ≤s ≤1). C 와 같은 파라메트릭 곡선은 다음 형태의 곡선을 포함한다. 즉: (a) 선, 포물선, 원, 및 타원을 포함하는 원뿔; 베이저, 허미트 및 비균일 회전형 b-스플라인(spline)(널브); (b) 삼각법 및 지수함수 형태; 및 (c) 지점과 같은 변형 형태를 포함한다. 추가적으로, 당업자가 이해할 수 있는 바와 같이, 이러한 곡선들은 형태는 개방형, 폐쇄형, 변형 및 복합형과 같은 다른 특성들에 의해 직교형으로 분류될 것이다.

프로파일 곡선은 이하의 곡선-형 분류(2.3.1) 내지 (2.3.5)로부터의 곡선을 포함한다.

2.3.1 개방형 곡선

"개방형 곡선"은 곡선의 단부 지점들이 일치되도록 속박되지 않은 것이다. 즉, 단부 지점들이 자유롭게 위치될 것이다. 개방형 곡선은 표면(객체 공간내)을 생성하기 위해 곡선(프로파일)의 임의 집합을 형성할 때 본 발명에 의해 가장 일반적으로 사용되는 것으로서, 이 때 그 표면은 곡선의 집합을 통과하도록 속박된다.

2.3.2 폐쇄형 곡선

곡선의 단부 지점들이 매칭될 때, 그 곡선을 "폐쇄형"이라 칭한다. 이는 곡선의 시작점이 곡선의 종료 지점과 같다는 것을 의미한다. 폐쇄형 곡선은 예를 들어 표면의 영역을 제한하며, 특히 특정 디자인 지역을 분리하여 셋팅하는데 유용하다. 이러한 것의 일 예는 도 2 의 표면(66)과 같은 용기(용어 정의 섹션에서 전술하였다)의 라벨 표면이다. 다시 말해, 라벨 표면은 전개가능한 표면을 지정하는 특별한 표면 형태이어야 하며, 그에 따라 그 표면에 부착되는 라벨에 파손 또는 주름이 발생하지 않아야 한다. 그러한 라벨 표면 각각은 상당한 정도로 속박되고 대개는 폐쇄형 곡선(그러한 곡선은 또한 용기의 디자인에서 미학적인 것을 제공할 수도 있다)에 의해 디자인의 나머지 부분과 분리된다. 도 8 은 원통형(108)으로 브렌딩되는 타원형 영역(100)을 도시하며, 이 때 폐쇄형 곡선(110)이 타원형 영역을 제한한다. 폐쇄형 곡선은 종종 단부 지점에서 접선 조건을 만족시킬 것이다.

2.3.3. 축중(degenerate)

추중 프로파일을 생성하기 위한 몇가지 방법이 있다. 그 중 하나의 기술에서, 개방형 곡선이 제로 길이이거나, 또는 폐쇄형 곡선이 지역이 아닌 영역을 둘러쌀 것이다. 그러한 경우에, 결과는 인접 표면과 브렌딩되는 점이다. 도 9 는 축중된 원형 디스크(즉, S₁으로 명명된 지점)와 원통(116)(또한 S₂로 표시됨) 간의 브렌딩으로부터 생성된 점 브렌드를 도시한다. 따라서, 단순한 보스(112)가 원통(116)상에 생성된다. 특히, 적절한 브렌딩 함수 B_i= 1,2 에 대해, 식(1)을 사용하여 S₁및 S₂간에 브렌딩된 표면을 얻을 수 있다. 또한, 식(1) 대신에 식(4)를 사용할 수 있기 때문에, 다수의 지점들(즉, 축중된 프로파일)과 인접 표면 간에 브렌딩된 표면을 생성할 수 있다. 도 23 및 24 는 축중 프로파일을 위한 추가적인브렌드를 도시한다.

도 23 은 축중 프로파일(지점)(714)와 원통(722)의 원형 단부(718) 사이에서 연장하는 브렌딩된 표면(710)을 도시한다. 특히, 브렌딩된 표면(710)은 등사습곡 리본(726,730)의 브렌딩이며, 이 때 등사습곡 리본(726)은 그 중심 지점으로서 축중 프로파일(714)을 가지는 평평한 디스크이며, 등사습곡 리본(730)은 프로파일로서 원형 단부(718)를 갖는다. 따라서, 식(1)에서 S₁이 등사습곡 리본(726)이 되게 하고 S₂가 등사습곡 리본(730)이 되게하면, 거리-유사 측정치(대응하는 파라미터 공간내에서)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 즉:

(a) 등사습곡 리본(726)상의 축중 프로파일(714)로부터의 반경방향 거리;

(b) 등사습곡 리본(730)상의 프로파일(718)로부터의 거리.

도 24 는 축중 프로파일(지점)(754)과 내부에 원형 곡선(760)을 가지는(그리고, 선택적으로, 경계로서 곡선(760)을 가지는 중앙 홀(762)을 가진다) 평평한 환형부(758) 사이에서 연장하는 또 다른 브렌딩된 표면(750)을 도시한다. 특히, 브렌딩된 표면(710)은 등사습곡 리본(766)(축중 프로파일(754)에 대한)과 환형부(758)(그것은, 예를 들어, 곡선(760)이 프로파일인 표면(770)에 대한 등사습곡 리본이 될 수 있다)의 브렌딩이다. 따라서, S₁이 등사습곡 리본(766)이 되게 하고 S₂가 등사습곡 리본(758)이 되게하면, 거리-유사 측정치(대응하는 파라미터 공간내에서)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 즉:

(a) 등사습곡 리본(766)상의 축중 프로파일(754)로부터의 반경방향 거리;

(b) 환형부(758)상의 곡선(760)로부터의 거리.

2.3.4 복합 곡선

본 발명의 신규한 기하학적 디자인 기술은 또한 복합 곡선을 이용할 수 있다. 복합 곡선은 부속(sub)-곡선과 같은 다른 곡선을 포함하는 일반적인 곡선 형태이며, 이 때 부속-곡선은 예를 들어 단부에서 교차하거나 꼬일 수 있다. 예를 들어 프로파일로서 복합 곡선을 이용하는 경우에, 복합 곡선에 대한 거리-유사 측정치의 정의가 중요하다. 도 10 은 두 개의 교차하는 부속-곡선(124,, 128)을 포함하는 복합 곡선(120)을 도시한다. 그러나, 그러한 복합 곡선은 또한 단부-대-단부로 연결된 부속-곡선을 가질 수 있다.

복합 곡선 C 의 부속-곡선 C_j, j = 1,2,...,N 이 파라미터화되고 공통 파라미터 공간을 가진다고 가정하면, 부속-곡선 C_j의 예비-영상에 대한 거리-유사 측정치 D 를 결정하기 위한 거리 식(파라미터 공간내의)은:

[수학식 5.5]

이며, 이 때 k = 2,...,N 이고 D₁(p) = d₁(p) = P 와 C₁사이의 거리 측정치이고, D_k(p) = P 와 C_k사이의 거리 측정치이다. 따라서, D(p) 는 하나 또는 그 이상의 표면을 복합 곡선 C 에 브렌딩하기 위한 블렌딩 함수 B(D) 로의 입력으로서 사용될 수 있다.

2.3.5 트리밍 곡선

본 발명은 표면을 "트리밍" 할 수 있으며, 그 트리밍은 표면을 특정 경계 곡선(역시 트림 곡선으로 정의된다)의 일측으로 속박 또는 제한하는 공정을 의미한다. 특히, 표면의 파라미터화를 위해, 예를 들어 표면의 (u,v) 파라미터 공간내에서 트림 곡선의 예비-영상은 표면의 예비-영상의 범위가 트리밍 작업 후에 남아 있도록 보장한다. 트림 곡선은 프로파일 곡선일 수 있으며, 원하는 트리밍된 표면은 통상적으로 트림 곡선의 일측에만 놓이는 트리밍되지 않은 최초 표면의 일부이다. 일 예가 도 11 에 도시되어 있으며, 이 때 트리밍 되지 않은 최초 표면은 대체적으로 사각형인 부분(130)이다. 둥근 표면(134)은 "라벨" 표면이고, 그 라벨 표면은 최초 표면(130)으로부터 곡선(138)으로 트리밍된다. 트림 프로파일(138)은, 그 트리밍 프로파일(138)에서 등사습곡 리본으로 경사진 하나 이상의 인접 표면(예를 들어, 표면(142))에 대한 관련 등사습곡 리본(도시 안함)을 가질 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 그러한 인접 표면의 형상을 변형하기 위해 등사습곡을 사용하는 것은 인접 표면으로부터 트리밍된 표면으로의 매끄러운 전환을 생성하는 중요한 기술이다.

본 발명은 기하학적 객체내에 홀을 생성하는 트리밍 기술을 포함한다는 것을 주지하여야 한다. 물테의 후방 표면을 통해 기하학적 객체의 전방 표면내의 함몰부를 인출하고, 후방 표면의 대응 부분을 배제하기 위해 전방 표면을 트리밍함으로써, 예를 들어 용기의 핸들로서 사용될 수 있는 홀이 구축될 수 있다.

2.4. 거리 행렬

거리-유사 측정치를 계산하는 일부 기술은 이미 전술한 바 있다. 본 섹션에서는, 추가적인 기술을 설명한다. 파라미터 공간내의 지점이 파라미터 공간내의 하나 이상의 특정 기하학적 객체 예비-영상(곡선)에 얼마나 근접하는지를 계산하는 효율은 본 발명의 실시예를 모델링하고 그리고 기하학적 디자인을 실시 하는 것에 상당한 영향을 미칠 것이다. 일반적으로, 그러한 파라미터 공간내에서 지점과 곡선 사이의 거리-유사 측정치(이것은, 일반적으로, 통상적인 유크리디안 거리 행렬의 일차 함수이다)를 계산하기 위해, 곡선의 복잡성과 그리고 그러한 측정치를 얼마나 효과적으로 평가하는냐 간에 협상이 있게된다. 일반적으로, 곡선이 단순할 수록, 그러한 거리가 보다 빨리 결정될 수 있다. 한편, 파라미터 공간 곡선 및 그 영상 곡선(객체 공간 내)에 대해, 이러한 곡선들이 동일한 컴퓨터 계산 형태(예를 들어, 다항식, 초월 함수식, 개방형, 폐쇄형 등)를 취할 필요가 없다는 것을 알아야 한다. 사실상, 파라미터 공간 곡선은 매우 단순할 것이며, 여전히 객체 공간내의 복잡한 표면 곡선의 예비-영상일 것이다. 예를 들어, 도 1 의 베이지어 곡선(58)에 대응하는 파라미터 공간 곡선은 직선일 것이다. 파라미터 공간 곡선을 가능한한 단순하게 유지함으로써, 신속한 거리 계산이 가능하다.

2.4.1. 브렌딩을 위한 파라메트릭 거리 계산

본 섹션은 많은 수의 후보 파라미터 공간 곡선에 대해 거리-유사 측정치(보다 일반적으로, 통상적인 유크리디안 거리 행렬의 일차 함수)를 계산하는 여러가지방법을 설명하며, 그 방법들은 대체적으로 점점 계산이 복잡한 순서로 나열하였다.

각각이 등사습곡 리본을 가지는 두 개의 프로파일 곡선 P₁및 P₂사이에 브렌딩된 표면이 생성된다고 가정하며, 각 리본은 파라메트릭이며, 리본들에 대한 공통 파라미터 공간으로서 예를 들어 평평한 단위 평방체 [0,1] ×[0,1] 를 가진다. 브렌딩에 사용될 수 있는 하나의 거리-유사 함수는, 공통 파라미터 공간내의 좌표 쌍(u,v)에 의해 표시되는 지점들의 하나의 좌표 또는 다른 좌표에만 의존하는 함수이다. 다시 말해, 등사습곡 리본의 프로파일 곡선 P₁및 P₂가 그 곡선의 예비-영상 들이 수직 선 u = k₁및 u = k₂(0 ≤k₁≤k₂≤1에 대해)이 되도록 되어 있다고 가정하면, 대응하는 거리-유사 함수는 D₁(u,v) = (u - k₂)/(k₁- k₂) 및 D₂(u,v) = (u - k₁)/(k₂- k₁)가 될 것이다. 또한, 예비-영상이 수직선 u = 0 및 u = 1(즉, k₁= 0 k₂= 1)을 둘러싸는 파라미터 공간이라면, 대응하는 거리-유사 함수는 D₁(u,v) = 1 - u 및 D₂(u,v) = u 가 될 것이며, 따라서, 그러한 단순한 거리-유사 함수는 매우 효과적으로 게산될 수 있다.

브렌딩될 2 이상의 프로파일을 위한 예비-영상들이 있는 경우에 파라메트릭 거리 계산의 의도하는 단순성을 유지하기 위해, 파라메트릭 거리-유사 측정치를 계산하기 위해 채용될 수 있는 3 가지 방법이 있다.

예를 들어 3 개의 프로파일 곡선 예비-영상(역시 곡선이다)에 의해 둘러싸인 파라미터 공간내의 삼각형 변역은, 3 개의 (실제 값인) 파라미터 r, s, t 와 부가적인 속박 즉, r + s + t = 1 을 이용하여 삼각형 변역의 꼭지점 v₁, v₂, v₃에 대해 파라미터화 될 수 있다. 다시 말해, 꼭지점 v₁, v₂, v₃를 가지는 삼각형 변역내의 지점 P 는 p = r^*v₁+ s^*v₂+ t^*v₃으로 표현될 수 있다. 파라미터 r, s, t 는 "무게중심적 좌표"로 불리며, 파라미터 공간내의 도 14 의 표면(300)과 같은 3-면 표면에 사용된다.

4 개의 프로파일(4-면 경우를 나타낸다)의 예비-영상에 의해 둘러싸여진 파라미터 공간내의 변역은 2 개의 대향 측면들(2-면 경우를 나타낸다)상의 경계를 가지는 변역들의 단순한 연장이 될 수 있다. 2-면 경우에, 적절하게 파라미터화되었다면, 거리-유사 함수 계산에서 단지 하나의 파라미터 u 의 사용이 요구된다. 4-면 경우에, 양 파라미터 u 및 v 와 함께 그 파라미터들의 여각(complement)(파라미터 공간내의 단위 평방체와 같이 적절히 표시된다고 가정)이 채용될 것이다. 따라서, 파라미터 공간내의 4 개의 프로파일 예비-영상 경계까지의 거리는 u, v, 1-u, 및 1-v(즉, 프로파일의 예비-영상이 u = 0, v = 0, v = 1, u = 1이라 가정)이다.

파라메트릭 공간 변역을 위한 무게중심적 좌표를 결정하기 위해, 프로파일의 예비-영상들이 다각형을 형성하는 선 단편들이라고 가정하면, 도 12 에 도시된 접근방법(꼭지점 v₁, v₂, v₃v₄, v₅을 가지는 5-면 다각형(158)으로 도시됨)이 사용될 것이며, 이 때 프로파일 예비-영상들은 굵은 선(149a 내지 149e)이다. 거리-유사 함수를 결정하기 위해, 먼저 다각형의 각 측면(149a 내지 149e)을 그들 사이에 측면(149)을 가지는 다른 연장된 측면과 교차할 때 까지 연장함으로써, 예비-영상 다각형(148)으로부터 방사형 즉, 별모양을 만든다. 따라서, 도 12 의 5-면 경우의 교차 지점(150a 내지 150e)이 결정된다. 이어서, 대응 지점(150a 내지 150e)로부터 다각형내의 지점 p 까지의 선 단편(152a 내지 152e)이 구축될 것이다. 결과적인 거리-유사 측정치는 지점 p 로부터 다각형(148)의 측면(149a 내지 149e)까지의 선 단편(153a 내지 153e)의 길이이다. 따라서, p 로부터 다각형(148)의 i 번째 측면(149)(i = a, b, c, d, e)까지의 거리는 지점 p 로부터 다각형(148)의 경계 연부까지의 i 번째 선 단편(153)을 따른 거리이다. 각각의 결과적인 거리-유사 측정치를 지점 p 까지의 모든 거리-유사 측정치의 합으로 나눔으로써, 거리-유사 측정치는 평균화될 수 있다.

2.4.2. 직선

직선은 식 au + bv = c 에 의해 표시되며, 이 때 a, b, c 는 상수이다. 선까지의 간단한(부호화되지 않은(unsigned)) 거리는 이하에 의해 얻어진다. 즉:

[수학식 6]

D(u,v) = ｜(a,b)((u,v)-c｜.

유크리디안 거리에 대응하는 보다 직관적인 형태에 대해, 식(6)은 기울기 길이로 나눔으로써 평균화될 수 있고 이하의 식을 얻을 수 있다.

[수학식 7]

D(u,v) = ｜(a,b)((u,v)-c｜/(a²+ b²)

2.4.3. 원뿔형

원뿔형은 포물선, 쌍곡선 및 타원형을 포함한다. 원뿔형의 일반적인 형태는

Au²+ Buv + Cu²+ Du + Ev + F = 0

그것의 부호화되지 않은 거리는 다음 식에 의해 계산될 수 있다.

[수학식 8]

보다 안정적인 거리-유사 함수를 만들기 위해 함수의 기울기 길이로 상기 식을 나눔으로써 그 식을 평균화할 수 있으며, 상기 거리-유사 함수는 원의 경우에 유크리디안이다. 1996년에 Academic Press 에서 4 판으로 발행된Introduction to Curves and Surfaces에 기재된 파린(Farin)은 전술한 함축적인 형태와 유리(rational) 파라메트릭 형태 사이의 전환을 제공해 준다. 따라서, 식(8)은 원뿔이 함축적으로 또는 파라미터적으로 표현되었는지에 관계없이 사용될 수 있다.

2.4.4 파라미터적이고 함축적인 다항식 곡선

예를 들어, 위에서 인용한 파린 참조에 기술된 바와 같이 파라메트릭 곡선이 베지어 형태로 전환되었다고 가정하자.Blending Parametric Objects by Implicit Techniques, Proc. ACM Solid Modeling Conf., May 1993에 개시된 바이쉬나브(Vaishinav)는 곡선을 파라메트릭 곡선으로부터 함축적인 곡선으로 수치적으로 변화시키는 방법을 제공하며, 이 때 주어진 방향으로 곡선을 오프셋팅시킴으로써 객체 공간내에서 거리가 함축적으로 측정됨, 상기 오프셋팅은 오프셋을 계산하는 발견학습법(heuristics)을 기초로 한다. 오프셋이 지점을 통과하도록 강제한느 오프셋 거리의 값은 그 지점에 대한 거리 측정치 이다. 특히, 베지어 곡선에서는, 이러한 거리-유사 측정치는, 당업자가 알 수 있는 바와 같이, 평균에서 2 또는 3 의 뉴튼-랩슨(Newton-Raphson) 반복만을 요구하면서도 강력하고(즉, 나쁘지 않은) 합리적으로 신속한게 평가할 수 있다는 점에서, 가치가 있다. 비록 이것이 원뿔형 표상의 거리 측정치를 계산하는 것 오차 허용범위 내에서 느리지만, 역시 불안정한 종래의 직교 거리 계산 방법 보다는 상당이 빠르다.

2.2.5. 불연속적인 파레메트릭 곡선

본 발명은 또한 파라미터 공간내의 복잡한 곡선상에서 거리-유사 측정치를 계산하는 신규 기술을 포함한다.

도 13 을 참조하면, 양 경계 곡선(156a, 156b)이 단위 평방체 파라메트릭 공간내에 있고, 동일한 차수 n 의 대응 부속-곡선(160a, 160b)을 가지는 불연속적인 파라메트릭 다항식 곡선이라고 가정하자. 대응 부속 곡선들의 단부 지점을 선 단편(164)(즉, 1 차 곡선)과 연결함으로써, 차수 n 은 1 베지어 패치(168)에 의해 파라미터 공간(158)의 단위 평방체 표상내에 구축될 것이다. 각 패치(168)는 자체가 좌표(s,t)를 가지는 제 2 파라미터 공간으로서 간주될 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 이 때:

(a) 베지어 부속-곡선(160a, 160b)(여기서 b₁(t) 및 b₂(t), 0 ≤t ≤1 로 나타낸다)에서, t 의 각 t₀값은 b₁(t₀) 및 b₂(t₀) 사이의 선 단편에 대응하며,

(b) s = 0 일 때가 되고 s = 1 일 때가 되도록,선 단편은 s 에 의해 파라미터화 되며, 이 때 s 는 0 < s < 1 일 때 b₁(t₀) 및 b₂(t₀) 사이의 거리에 비례하여 변화된다. 따라서, 곡선 b₁(t) 및 b₂(t)(및/또는 패치 경계 선 단편들(164))간의 거리-유사 측정치가 제 2 파라미터 공간에서 계산된다면, 패치내부의 임의의 (u,v) 지점에서, 거리-유사 측정치를 결정하기 위해 평가될 수 있는 그러한 패치의 경계 곡선에 대해 대응 (s,t) 지점을 찾는 것이 필요하다. s 가 선형 파라미터(동일 단편(164)에 의해 단부지점에서 결합되는 2 개의 대응 부속-곡선(160a, 160b) 사이의 지점의 거리에 대응한다)이기 때문에, f₁(s) = s 및 f₂(s) = 1-s 와 같은 단순한 함수 f₁(s) 및 f₂(s) 는 각각 b₁(t) 및 b₂(t) 에 대한 거리함수로서 역할할 수 있다. 파라미터 u 및 v 가 s 및 t 의 베지어 함수로서 표현될 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 특히, (s,t) 좌표로부터 (u,v) 파라미터 공간 좌표로 전환하기 위해, 당업자가 알 수 있는 바와 같이, 뉴튼 타입 알고리즘이 사용될 수 있다.

거리-유사 측정치를 결정하기 위한 몇몇 경우의 또 다른 접근방법은 "전방향 알고리즘"으로 그러한 패치(168)를 평가하는 것이다. 다시 말해, 도 25 를 참조하면, 예를 들어 프로파일(812, 816)(각각 등사습곡 리본(820, 824)를 포함하고, 그 등사습곡 리본에 대해 표면(808)이 경사진다) 간을 브렌딩하는 객체 공간 브렌딩된 표면(808)이 도시되어 있다. 프로파일(812)은 예비-영상 곡선(160a)(파라미터 공간(158)내)을 가지고, 프로파일(816)은 예비-영상 곡선(160b)(파라미터 공간(158)내)을 가지며, 이 때 표면(808)에 대한 파라미터 공간(158)의 일부는 패치(168)이다. s 및 t 에서의 추가적인 파라미터 공간(828)은 파라미터 공간(158)에 대한 예비-영상 공간으로서 간주될 수 있으며, 이 때 곡선(160a)의 예비-영상은 s = 0 에서의 수직 선 단편이고, 곡선(160b)의 예비-영상은 s = 1 에서의 수직 선 단편이다. 추가적인 파라미터 공간(828)내에서 "x"들에 의해 표시되는 상당히 조밀한 지점(830) 세트가 패치(168)내의 지점들(u,v)을 (예를 들어, 가장 근접 지점(830)을 결정하는 것에 의해)평가하기 위해 사용된다면, 예비-영상 곡선(160a, 160b)에 대한 거리-유사 함수가 D₁(u(s,t),v(s,t) = s 및 D₂(u(s,t),v(s,t) = 1-s 가 각각 되기 때문에, 브렌딩된 표면(808)상의 대응 지점 p(u,v)은 효과적으로 계산될 수 있다. 이러한 접근방법은 브렌딩된 표면을 쉽고고 신속하게 발생시킬 것이다. 만약, 표면(808)이 후속 트리밍 작업을 필요로 하지 않는다면, 이 방법을 특히 매력적이다.

3. 브렌딩 프로그램

도 17 은 본 발명의 사용자에 의해 실행되는 디자인 구축 작업의 통상적인 흐름의 블록도이다. 따라서, 프로파일 핸들은 관련 프로파일을 구축하기 위해 필요할 것이며, 그 프로파일은 관련 등사습곡 리본을 구축하기 위해 필요할 것이고, 그 등사습곡 리본은 관련 객체(예를 들어, 표면)의 원하는 형상을 얻기 위해 필요할 것이며, 이어서 그 객체는 원하는 기하학적 모델을 구축하는데 필요할 것이다.

도 26 내지 도 30 은 본 발명의 실시예에 의해 실시되는 공정의 높은 레벨설명을 제공하며, 그 실시예는 사용자가 그 사용자의 디자인 의도를 효과적으로 그리고 직접적으로 표현할 수 있도록 기하학적 객체 표상의 형상을 신규하게 실시간으로 조작할 수 있게 한다. 또한, 본 발명의 기본적인 원칙은 통상적인 CAD 시스템과 패러다임을 달리한다는 것을 주지하여야 한다. 즉, 통상적인 CAD 시스템에서, 사용자는 기하학적 객체를 변형 또는 변화시키기 위해서는 반드시 입력을 하여야 하고 이어서 그 입력의 실행을 위해서는 입력의 처리를 명백하게 요청하여야 한다. 따라서, 사용자는 그 사용자가 요청한 단속적인 시간마다 사용자의 디자인에 관한 피드백을 받는다. 그 대신에, 본 발명에서는 업데이트 처리가 실행되어야 한다는 것을 사용자가 명백하게 지시하지 않더라도 입력 접수와 동시에 실시간으로 업데이트가 처리된다. 따라서, 본 발명의 사용자는, 객체의 실질적인 모든 부분에 대한 기하학적 특성들을 정밀하게 계산할 필요 없이, 디자인되는 기하학적 객체로의 반복적인 접근을 효율적으로 실시할 수 있다. 특히, 이러한 것은, 많은 기하학적으로 디자인되는 객체(가공 부분 포함)에서, 기하학적으로 성형된 객체의 넓은 범위를 이용하여 그러한 객체의 상당한 부분들을 만족스럽게 디자인할 수 있다는 점에서, 상당히 효과적인 이점을 갖는다. 따라서, 본 발명은 이러한 기하학적 객체들 중 많은 객체를, 정밀도가 필요치 않은 객체의 부분들을 불필요하게 정밀하게 할 필요없이, 디자인 할 수 있게 한다.

도 26 에는, 상기 섹션 2 에서 기술된 식(1)의 1-차원 변형을 이용하여 본 발명에 따른 내삽 곡선을 계산하는 단계가 도시되어 있다. 따라서, 단계(1004)에서, 생성될 내삽 곡선 C(u)에 대한 단부 지점에서의 단부 지점 및 접선이 얻어진다. 특히, 이러한 곡선의 단부 지점들은 변수 PT1 및 PT2 으로 할당된다. 추가적으로, 지점 PT1 및 PT2 에서 내삽 곡선C(u)에 대한 방향 벡터는 변수 TAN1 및 TAN2 로 각각 할당된다. PT1, PT2, TAN1 및 TAN2 는 여러가지 방법으로 공급될 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 예를 들어, 이러한 변수들 중 하나 또는 그 이상은 사용자에 의해 할당된 값을 가질 수도 있고 및/또는 사용자가 이용가능한 다른 기하학적 객체 표상(예를 들어, 다른 곡선, 표면 또는 입체 표상)으로부터 유도될 수도 있다. 특히, TAN1 및 TAN2 로 표시되는 방향 접선 벡터는 지점 PT1 및 PT2 가 존재하는 기하학적 객체(예를 들어, 표면)의 파라미터화에 따라 자동적으로 결정될 수도 있다.

단계(1008, 1012)에서, 브렌딩 함수 B₁및 B₂는 상기 섹션(2.1)에서 기술한 바와 같이 선택된다. 그러나, 제공된 브렌딩 함수는, 사용자가 명백하게 그들을 특정할 필요가 없도록, 브렌딩 함수의 특정 쌍으로 디폴트될 수 있다는 것을 알아야 한다. 그러나, 그러한 브렌딩 함수들이 사용자에 의해 특정적으로 선택될 수 있게 하는 것도 본 발명의 범위에 속한다. 이와 관련하여, 본 발명이 사용자의 기하학적 디자인 의도를 표현하기 위한 것이기 때문에, 통상적으로 사용자가 의도적으로 높은 정밀도 입력을 결정하지 않고 종종 사용자의 의도가 적절하게 표현됨으로 인해 여러가지 수용가능한 브렌딩 함수가 있을 수 있다. 다시 말해, 실질적으로 동일한 브렌딩 함수를 이용하여 디자인되는 기하학적 객체의 보다 작은 부분을 점차적으로 생성 및/또는 변형하여 점차적으로 양호한 미세부분을 제공할 수 있기때문에, 최종 기하학적 디자인으로의 반복적인 접근에 적용할 수 있는 여러 가지 브렌딩 함수가 있을 수 있다고 생각한다. 다른 방법에 관해 설명하면, 본 발명이 정밀한 (기하학적 또는 다른) 속박 뿐만 아니라 점차적으로 증가되는 방향으로의 사용자 의도의 반복적인 표현 모두를 지지할 수 있기 때문에, 높은 정밀도 및/또는 작은 축척 디자인 특징부는 필요한 속에서 사용자의 디자인에 결합될 수 있을 것이다.

단계(1016)에서, 내삽 곡선C(u)은 일-차원 파라미터 공간에 적용된 식(2)의 변형을 이용하여 계산된다. 결정된 지점 PT1, PT2 및 벡터 TAN1 및 TAN2 를 가지는 내삽 곡선C(u)의 예가 도 32 에 도시되어 있다.

도 27 에는, 객체(예를 들어, 표면)에 대한 등사습곡 경계 R(u)로의 근접값을 구축할 때 실행되는 단계를 나타내는 흐름도가 도시되어 있으며, 이 때 지점 PT1, PT2 은 생성되는 등사습곡 경계 근접값에 대응하는 프로파일 곡선을 제한한다. 특히, 이러한 흐름도에 의해 생성된 근접 등사습곡 경계는 상기 용어 정의 섹션에서의 등사습곡 리본 경계 정의를 대략적으로 만족시키기 위한 것이다. 보다 정확하게는, 본 흐름도에 의해 결정된 등사습곡 리본 경계 근접값은, 예를 들어 PT1 및 PT2 사이에 생성된 프로파일 곡선을 따라 객체가 얼마나 매끄러운지에 따라, PT1과 PT2 사이의 객체 S 의 일부에 대한 등사습곡 리본 경계 정의에 일치시키려 할 것이다. 다시 말해, 매끄러울 수록(곡률 변동이 감소된), 일치되기가 쉽다. 따라서, 도 27 의 단계(1104)에서, 도 26 에 기재된 곡선 내삽 프로그램은 객체(표면) S 에 대한 PT1, PT2 및 그들의 각각의 접선 TAN1 및 TAN2 와 함께 실행될 것이다. 따라서, 내삽 곡선 C(u) 는 복귀되며, 즉 이 곡선에 인접한 S 의 윤곽에 근접한다.

단계(1108, 1112)에서, 각 지점 PT1 및 PT2 에서 객체 S 의 파라미터화를 따른 접선(즉, 피켓)이 결정되며, 각각 변수 PICKET1 및 PICKET2 로 할당된다. 통상적으로 피켓 PICKET1 및 PICKET2 는, 반드시 그럴 필요는 없으나, 벡터 TAN1 및 TAN2 의 가로축이 될 것이다. 이어서, 단계(1116, 1120)에서, PT1 및 PT2 에 대응하는 등사습곡 리본 지점들은 결정되고 변수 RIBBON_PT1 및 RIBBON_PT2 로 각각 할당된다. 그 후, 단계(1124)에서, 도 26 의 곡선 내삽 프로그램이 RIBBON_PT1, RIBBON_PT2, TAN1 및 TAN2 값으로 다시 실행되어 리본 경계 근접값 R(u)를 생성한다. 몇몇 경우에, 내삽 (프로파일) 곡선 C(u)에 의해 경계지어지는 등사습곡 리본 근사값, 대응 피켓(PICKET1 및 PICKET2), 새롭게 생성된 등사습곡 경계 R(u) 가 반드시 표면을 형성할 필요가 없다는 것을 주지할 가치가 있다. 사실상, 곡선들 C(u) 및 R(u) 는 실질적으로 일치될 것이다(예를 들어, PICKET1 이 TAN1 과 동일하고, PICKET2 는 TAN2과 동일하다).

도 28a 및 도 28b 에는, 도 27 의 근접 결과보다 정밀한 등사습곡 리본 경계를 구축하기 위한 프로그램 흐름도가 기재되어 있다. 특히, 도 28a 및 도 28b 의 흐름도에서, 도 27 의 프로그램은 프로파일 곡선을 따른 객체(예를 들어, 표면) S 의 변화에 따라 실행된다. 따라서, 도 28a 의 단계(1204)에서, 일련의 하나 이상의 마커 M_j, i = 1,2,...N, N ≥1 가 변수 MARKER_SET 으로 지정되며, 이 때 이러한마커들은 표면 S 상에 있고, 마커들은 생성될 프로파일을 따라 의도하는 생성에 따라 순서가 정해진다. 하나의 통상적인 실시예에서, 마커들을 일반적으로 본 발명의 사용자에 의해 제공된다(예를 들어, 구축 및/또는 선택된다)는 것을 주지하여야 한다. 또한, 본 설명에서, 마커 M_i에 대응하는 표면 S 에 대한 접선들은 사용자에 의해 입력되는 S 에 대한 접선이다. 그러나, 그러한 접선 벡터가 예를 들어, 표면 S 의 파라미터화 방향의 접선 결정에 의해, 자동적으로 제공되는 것도 본 발명의 범위에 속한다.

도 28a 의 단계(1208)에서, MARKER_SET 중의 제 1 마커는 변수 MARKER1 으로 할당된다. 이어서, 단계(1212)에서, MARKER_SET 에 추가적인 마커가 있는지의 여부가 결정된다. 만약 그렇다면, 단계(1216)에서, 이하에서 생성될 프로파일 곡선(들)상에서 증가적으로 지점을 선택하기 위해 파라메트릭 증가 값이 할당된다. 일 실시예에서, INTRVL 는 약 10^-3내지 10^-6이상의 범위의 값으로 할당될 것이다.

단계(1220)에서, 변수 MARKER2 는 MARKER_SET 내의 다음 마커 값으로 할당된다. 이어서, 단계(1224)에서, 도 26 의 곡선 내삽 프로그램이 MARKER1 및 MARKER2(및 대응하는 사용자-확인 접선 벡터)로 실행되고, 그에 따라 두 마커들(이 때, 본 단계가 실행되는 횟수에 따라, j = 1,2,...,이다) 사이에서 내삽 곡선 C_j(u)가 얻어진다. 그 후에, 단계(1228)에서, 등사습곡 경계 근접 곡선 R_j(u) 를 얻기 위해, MARKER1, MARKER2 및 내삽 곡선 C(u) 값을 이용하여 도 27 에 따라 등사습곡 경계 접근이 결정된다.

이어서, 단계(1240)에서, 곡선 C_j(u), R_j(u) 상에서 지점을 선택하기 위해, 변수 u_VAL 가 초기 디폴트 값 INTRVL 으로 할당된다. 그 다음에, 변수 INCRMT_PT 가 C_j(u-VAL)에 대응하는 지점으로 할당된다. 이어서, 단계(1245)에서, 변수 S_PT 는 지점 C_j(u-VAL)에 "가장 근접한" S 상의 지점이 할당된다. 보다 정밀하게, S 가 ε> 0 보다 더 가깝게 접히지 않는다고 가정하면, 일부 ε에 대해, S 상의 지점이 선택되며, 즉 C_j의 ε보다 적은 이웃부에서 있다. C_j(u-VAL) 이 S 상에 있지 않기 때문에, 변수 INTRVL 의 값이 내삽 곡선 C_j이 가로지르는 임의 표면 S 파동의 1/2 이상의 내삽 곡선 C_j을 따른 최대 길이에 대응하도록 변수 INTRVL 의 값을 셋팅함으로써, 내삽 곡선 C_j이 효과적으로 종동(follow)하거나 또는 표면 S 와 일치될 것이라고 생각된다. 이어서, 단계(1246)에서, 지점 INCRMT_PT 이 S_PT의 소정 거리(예를 들어, 그 소정 거리는 10^-3내지 10^-6이 될 것이다)내에 있는지에 대한 결정이 이루어진다. 특히, 그 소정 거리는 사용자 설정 및/또는 시스템 값에 디폴트될 것이며, 본 발명이 이용되는 분야에 따라 변경 가능하다. 따라서, INCRMT_PT 및 S_PT 는 소정 거리내에 있다고 가정하면, 등사습곡 경계 접근값 상의 지점 R_j(u-VAL)이 결정되고 변수 RIBBON_PT 로 할당되는 단계(1248)가 실행된다. 이어서, 단계(1252)에서, C_j(u-VAL)에서의 등사습곡 피켓으로의 접근값이 결정되고 변수 PICKET 으로 할당된다.

단계(1254)에서, 지점 C_j(u-VAL)에서 표면(보다 일반적으로는 객체) S에 대한 접선이 결정되고 변수 INCRMT_TAN 으로 할당되며, 이 접선은 S 의 파라미터화 방향이 된다.

단계(1256)에서, 벡터들 INCRMT_TAN 및 PICKET 가 서로 충분히 가까운가(예를 들면, 하나의 스크린 픽셀내에 있는지)에 대한 결정이 이루어진다. 만약 충분히 가깝다면, 단계(1264)내의 u_VAL 값의 증가분에 의해 내삽 곡선 C_j상의 후속의 새로운 지점이 결정된다. 이어서, 단계(1268)에서, 내삽 곡선 C_j(u) 의 단부가 도달 했는지 또는 통과했는지에 대한 결정이 이루어진다. 여기서 0 ≤u ≤1 이라고 가정한다는 것을 알아야 한다. 따라서, 만약 u_VAL 이 1 보다 작다면, 다시 단계(1244)가 실행되고, 단계(1256)를 통한 일부 또는 모든 단계들이 실행되어 등사습곡 리본 지점 근접치 R_j(u_VAL)가 상기 용어 정의 섹션에서 이론적으로 정의된 실제 리본 지점에 충분히 가까운지를 결정한다.

다시 단계(1246)을 참조하면, 만약 INCRMT_PT 가 S 에 충분히 가깝지 않다면, S 의 실제 지점과 보다 정밀하게 동일시되는 내삽 곡선이 결정된다. 다시 말해, 지점 S_PT 이 마커로 만들지고 MARKER_SET 내로 삽입되어, S (S 는 연속적으로 미분가능하다고 가정)로부터 보다 적게 벗어나게 생성되는 새로운 내삽 곡선 C_j(u) 및 R_j(u) 가 유발된다. 즉, 단계(1272)가 실행되고, 이 때 지점 S_PT 를 위한 마커가 생성되고, 이러한 새로운 마커는 MARKER1 및 MARKER2 에 대한 현재의 마커 값들사이에서 MARKER_SET 내로 삽입된다. 이어서, 현재에 MARKER2 로 지정된 마커가 사용되지 않은 것으로 표시되고(단계 (1276)), 단계(1280)에서, 가장 최근에 구축된 내삽 곡선 C_j(u) 및 임의의 관련된 리본 경계 곡선 R_j(u) 가 삭제된다. 그 후에, 단계(1220) 및 이어지는 단계들이 다시 실행되어 새로운 내삽 및 리본 경계 곡선 C_j(u) 및 R_j(u) 를 결정한다.

만약, 단계(1256)에서 INCRMT_TAN 및 PICKET 이 S 의 객체 공간에서의 다른 것과 충분히 가깝다고 결정되지 않는다면, 단계(1272) 내지 단계(1280) 및 단계(1220) 가 또한 실행된다는 것을 주지하여야 한다.

단계(1268)을 참조하면, 만약 내삽 곡선 C_j(u) 의 단부가 도달 또는 통과한다면, C_j(u) 가 S 상의 지점에 충분히 밀접한 근사치이고(MARKER1과 MARKER2 사이에서), R_j(u) S 상의 이러한 지점들에 대한 등사습곡 리본에 충준히 근접하였다고 가정된다. 따라서, 만약 부가적인 마커들이 있고 이 때 내삽 곡선 C_j(u) 및 대응하는 리본 근사치 R_j(u) 가 결정되지 않았다면, MARKER_SET 내의 연속적인 마커들의 다음 쌍(마커 순서에서)이 결정되고, 단계(1120) 및 그 이후의 여러 단계가 실시된다. 다시 말해, 단계(1284)에서, MARKER1 은 MARKER2 의 할당된 값이고, 단계(1288)에서, MARKER_SET 내에 다음의 사용되지 않은 마커가 있는지의 여부가 결정된다. 만약, 그렇다면, 단계(1220) 및 그 이후의 단계들의 변형이 전술한 바와 같이 실시된다. 그 대신에, 모든 마커들이 사용된 것으로 지정된다면, 단계(1292)에서 j =1,2,...,일 때 각 사용에 대한 결과적인 곡선 C_j(u) 및 R_j(u) 은 그래프적으로 디스플레이되고 이어지는 복구를 위해 저장된다. 프로파일 곡선 C_j(u) 은 선택적으로 파라미터화되어, 그 곡선들이 단일 곡선및인 단일 곡선로서 집합적으로 파라미터화될 수 있다는 것을 알아야 한다.

도 29 및 도 30 은, 등사습곡 핸들, 리본 접선, 및 그들의 관련 등사습곡 리본을 변경함으로써, 하나 이상의 표면(보다 일반적으로는 기하학적 객체)을 변경하기 위한 흐름도의 고차원적인 설명을 제공한다. 특히, 단순화를 위해, 이러한 도면들의 흐름도는, 하나 이상의 부속 표면 S_i, i = 1,2,...N, N ≥1 에 의해 제공되는(예를 들어, 함께 패치되는) 복합 표면 S₀가 있다고 가정하며, 이 때 그 부속표면 S_i는 공통 경계를 따라 서로 연결되어 S₀가 비연결부를 가지지 않는다. 따라서, 그러한 복합 표면 S₀이 주어진다면, 도 29 및 도 30 의 흐름도는 이하와 같이 고차원으로 기술될 수 있을 것이다. 도 29 에서, 변형될 하나 이상의 기하학적 특성(예를 들어, 길이, 방향, 곡률 등)을 가지는 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선은 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선 변화를 반영하도록 변경되는 표면 S_i를 따라 결정된다. 이어서, 도 30 의 흐름도에서, 표면에 대한 변경은 사용자가 선택된 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선에 대한 변형치를 입력함에따라 실시간으로 계산되고 디스플레이된다. 실시간으로 표면(보다 일반적으로는 기하학적 객체) 변경을 계산하는 것은, 컴퓨터 관련 비용이 과다하다는 점에서, 고차원의 기하학적 객체에서의 표면에 대해서는 적당하지 않다. 따라서, 본 발명은 매우 효과적인고 양호한 표면들을 생성할 수 있는 신규의 브렌딩된 표면 계산 기술을 제공함으로써 그러한 비용을 줄일 수 있다.

이하는 도 29a 및 도 29b 의 보다 상세한 설명이다. 단계(1400)에서, 각 표면 S_i의 전체 경계에 대응하는 프로파일 및 등사습곡 리본이 없다면, 각 표면 S_i의 전체 경계에 근접하는 프로파일 및 등사습곡 리본을 만든다. 이는 도 28 의 흐름도의 프로그램을 이용하여 실시될 수 있다는 것을 알아야 한다. 단계(1404)에서, 표면 S₀상의 마커에 대응하는 등사습곡 핸들 및 리본 접선은 사용자에게 그래프적으로 도시된다. 단계(1408)에서, 사용자가 표면 S₀에 하나 이상의 추가적인 등사습곡 리본을 부가하는 것을 요청했는지 또는 S₀상의 프로파일 곡선을 가지는 존재하는 등사습곡 리본을 연장하는 것을 요청했는지의 여부에 대한 결정이 이루어진다. 만약 사용자가 그러한 요청을 하였다면, 단계(1412)가 실행되어 사용자에 의해 부가된 임의의 다른 마커들 외의 마커들이: (a) 프로파일이 표면 S_i의 경계에 접촉할 때 마다, 및 (b) 표면 S_i의 각각의 경계를 종료시키는 방식으로 프로파일 곡선이 연장되도록, 부가된다. 또한, 부가적인 마커들이 곡선 프로파일의 교차부에 부가될 수도 있다. 따라서, 이러한 후자의 마커들에서, 그들(즉, 각 부속표면에 대해 하나)과 관련된 두 개의 별도의 리본 접선이 있게 될 것이다.

이어서, 단계(1416)에서, 도 28 의 프로그램이 각 S_i,i=1,2,...N 마다 실행되어, 원하는 부가적인 프로파일 및 등사습곡 경계를 얻는다. 한편, 도 28 은 새로운 마커가 부가되는 표면 S_i에 대해서만 실행될 것을 요구한다는 것을 주지하여야 한다.

단계(1416)에 이어지는 단계(1420)에서, 새롭게 부가된 모든 등사습곡 핸들 및 리본 접선들이 도시된다. 일부 실시예에서는, 초기에 등사습곡 핸들만이 디스플레이되고, 사용자가 필요에 따라 리본 접선을 선택적으로 디스플레이할 수도 있다는 것을 알아야 한다.

이어서, 단계(1424)에서, 기존의 프로파일에 하나 이상의 부가적인 마커를 추가하는 것을 사용자가 요청하였는지에 대한 결정이 이루어진다. 만약, 요청되었다면, 추가적인 새로운 마커가 부가되고, 적어도 대응하는 새로운 등사습곡 핸들이 이들 새로운 마커에 대해 결정된다. 한편, 본 발명의 일 실시예에서, 기존 프로파일에 새로운 마커가 부가되었을 때, 프로파일을 다소 변경될 것이며, 이는 그 프로파일이 다른 지점에서 표면 S₀과 정확히 동일하고 또 프로파일의 연속적인 마커들 사이에서 생성된(도 26 을 통해) 내삽 곡선이 새롭게 부가된 마커를 이용하여 생성되기 때문이다. 따라서, 하나 또는 그 이상의 부가적인 마커들을 가지는 프로파일은, 일반적으로, 표면 S₀의 인접 부분의 형상에 보다 근접하여야 한다.

이어서, 단계(1432)에서, 부가적인 새로운 마커들 및 선택적으로 그 마커들의 대응하는 등사습곡 핸들 및 리본 접선들은 사용자에게 그래프적으로 디스플레이된다.

단계(1408) 내지 단계(1420) 및 단계(1424) 내지 단계(1432)가 연속적으로 실행될 필요가 없다는 것을 알아야 한다. 컴퓨터 사용자 인터페이스 디자인과 관련한 당업자는, 사용자 인터페이스 구동 경우에, 각각의 새로운 마커의 처리는 각각 별도로 실시될 수 있고 사용자로부터 다음의 새로운 마커의 위치르 얻기에 앞서서 디스플레이될 수 있다는 것을 이해할 것이다. 따라서, 단계(1408) 내지 단계(1420)의 연속적인 실행은 단계(1424) 내지 단계(1432)의 하나 또는 그 이상의 실행과 번갈이 이루어질 것이다.

단계(1436)에서, 사용자에 의해 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선이 변경을 위해 선택되었는지의 여부에 대한 결정이 이루어진다. 확인부(ISO)가 사용되어 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선이 변경되었는지를 나타낸다는 것을 알아야 한다.

단계(1440)에서, ISO 에 대응하는 마커가 결정되고, 그 곳으로의 접근이 변수 MRKR 을 통해 제공된다. 이어서, 단계(1444)에서, MRKR 에 근접한 하나 또는 그 이상의 부속 표면 S₁,...S_N의 집합이 결정되고 그 근접 표면으로의 접근은 변수 ADJ_SURFACES 에 의해 제공된다.

단계(1448) 내지 단계(1460)에서, MRKR 에 근접한 부속 표면 S_i부분의 경계 표상이 결정되고(단계(1452)) MOD_SET 으로 지정된 표면 경계 표상의 집합으로 삽입된다(단계(1456)). 특히, ADJ_SURFACES 내의 부속표면 각각에 대하여, 등사습곡 리본에 의해 둘러싸인 MRKR 에 인접한 표면의 가장 작은 부분의 경계의 데이터 표상은 MOD_SET 세트내로 들어간다.

마지막으로, 단계(1464)에서, 도 30 의 프로그램은, 사용자가 ISO 를 변경함에 따라 실시간으로, S₀의 일부를 MOD_SET 에 포함된 경계 표상 내에서 변경하기 위해 실행된다. 특히, 도 30 의 프로그램은 MRKR 및 MOD_SET 의 값으로 실시된다.

도 30 의 흐름도에서, MOD_SET 에서의 표면 경계 표상에 의해 확인되는 표면 부분을 실시간으로 변경하기위한 고-레벨 단계가 도시되어 있으며, 이 때 이러한 표면 부분들은 마커 MRKR 에 인접한다. 따라서, 단계(1504)에서, 마커 MRKR 에 대응하는 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선의 제 1 (다음) 변형 버전이 얻어지고 ISO 로 할당된다. 이어서, 단계(1508)에서, ISO 의 변경된 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선을 포함하는 모든 등사습곡 리본이 재생성되어 사용자에 의해 요청된 가장 최근의 변경을 반영한다. 이것은, 식(1)의 일-차원 버전을 이용하고, MRKR 및 MRKR 을 포함하는 각 등사습곡 리본상의 인접 마커들 사이의 연장부를 따라 각각의 그러한 등사습곡 리본을 변경함으로써, 실행된다는 것을 알아야 한다.

이어서, 단계(1512)에서, MOD_SET 내의 제 1 (다음) 경계 표상은 변수 B 로 할당된다. 그 후에, 단계(1516)에서, B 내에 포함된 (프로파일) 경계 단편을 위한 등사습곡 리본의 세트는 변수R로 할당된다.R은 마커 MRKR 를 포함하는 적어도 하나의 등사습곡 리본을 포함한다.

단계(1520)에서,R의 등사습곡 리본의 프로파일에 의해 경계지어지는 브렌딩된 표면이 생성된다. 이 단계에서 사용된 식은 식(4)와 유사하다. 그러나, 본 식에는 부가적인 함수 Q_i(p)가 제공된다. 일반적으로, 이 단계의 표면 S(p) 를 생성하는데 사용된 파라미터 공간의 일부는 등사습곡 리본 예비-영상을 마찬가지로 가지는 2, 3, 4, 5 또는 그 이상의 측면(프로파일 예비-영상)을 가질 것이라는 것을 주지하여야 한다. 따라서,R의 등사습곡 R_j에 대한 프로파일 P_i의 예비-영상의 내부의 즉, I 의 파라미터 공간내의 지점 p 에 대한R의 각각의 등사습곡 리본 R_i에 대한 전환 함수 Q_i(p)에서, 등사습곡 리본 Ri 의 객체 공간내의 대응 지점이 결정될 수 있고 본 단계의 브렌딩 함수로서 사용될 수 있도록, 이러한 지점들 p 가 R_i에 대한 파라미터 공간내의 지점들로 전환되는 것이 바람직하다. 전환 함수 Q_i(p) 가 적어도 이하의 속박을 만족시키는 것이 바람직하다. 즉:

(a) Q_i(p)가 연속 표면들에 대한 연속 함수이다;

(b)

다시 말해, I 내의 연속 지점들이 프로파일 지점 P_i(u) 의 예비-영상으로 수렴할 때, Q_i(p) 는 등사습곡 리본 파라미터 공간 지점(u,0)으로 수렴한다.

이어서, 단계(1524)에서, 표면 S(p) 가 디스플레이되고, 단계(1528)에서, 부가적인 브렌딩된 표면 S(p)를 생성하기 위한 MOD_SET 내의 부가적인 경계 표상이 있는지의 여부를 결정한다. 만약, 있다면, 단계(1512)가 다시 실행된다. 그 대신에, 더 이상의 경계 표상이 없다면, 단계(1532)에서, MRKR 에 대응하는 리본 접선 및/또는 등사습곡 핸들의 추가적인 사용자 변경이 있는지의 여부가 결정된다. 만약, 있다면, 적어도 단계(1504) 내지 단계(1528)가 다시 실행된다. 사용자에 의해 지정된 MRKR 을 위한 리본 접선 및/또는 등사습곡 핸들의 증가적인 실시간 변화가 사용자가 연속적으로 이러한 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선을 변경하는데 따라서 디스플레이될 수 있도록, 도 30 의 단계들이 충분히 효율적으로 실행될 수 있다는 것을 알아야 한다.

4. 기하학적 디자인 사용자 인터페이스

전술한 일반적인 원칙은 컴퓨터 지원 기하학적 디자인을 위한 신규한 사용자 인터페이스를 형성한다.

본 발명을 위한 하나의 사용자 인터페이스 실시예에서, 사용자 인터페이스는 등사습곡을 형성하기 위해 제공된다. 그러한 인터페이스를 사용하면, 디자이너는 예를 들어, 당업자가 알 수 있는 바와 같이, 반사 선을 형성할 수 있도록 전체 프로파일 곡선을 따라 주어진 빛 방향에 수직인 등사습곡을 필요로 할 것이다. 보다 일반적으로, 신규의 사용자 인터페이스는 여러 가지 속박들이 그 속박을 만족시키는 등사습곡 리본, 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선을 생성하기 위한 입력이 될 수 있게 한다. 특히, 사용자 인터페이스는, 당업자가 알 수 있는 바와 같이, 빛 방향, 곡률, 접선, 레벨 윤곽, 평면을 구비한 2 면 각도 함수 등과 같은 전체적인 속박을 허용한다.

사용자 인터페이스의 일 실시예에서, 사용자는 원통과 같은 주어진 기하학적 객체로 시작할 것이다. 그 후, 사용자는 원통의 여러 지점에 마커를 위치시킴으로써 원통상에 프로파일 곡선을 넣을 것이다. 프로파일 접선 및/또는 등사습곡 핸들은 원통으로부터의 경사 정보를 채용함으로써 디폴트화될 것이다. 예를 들어, 각 마커에서, 프로파일 접선들은 마커에서 원통에 접하는 평면이다.

그 후, 사용자는 마커, 추가적인 마커들을 선택하고 변형할 것이며, 및/또는 등사습곡 핸들 및/또는 리본 접선의 방향 및 위치를 변경할 것이다. 그에 따라 등사습곡 리본이 변형됨으로써, 원통(보다 일반적으로, 기하학적 객체)은 등사습곡 리본의 변형을 반영할 것이다. 원하는 형상의 기하학적 객체(원통으로부터 유도된)가 얻어질 때까지, 이러한 방법으로 추가적인 프로파일 및 마커가 부가될 것이다. 이러한 단계들의 예는 도 31 에 개시되어 있다. 다시 말해, 사용자는 단계(1904)에서 그래프적으로 디스플레이된 표면(보다 일반적으로, 기하학적 객체)을 선택한다. 이어서, 단계(1908)에서, 사용자는 선택된 표면(객체)상에 프로파일 곡선을 구축한다.

다음에, 단계(1912)에서, 등사습곡 리본(또는 적어도 등사습곡 경계)가 프로파일을 위해 생성된다. 이러한 리본/경계는, 필요한 경우, 추가적인 사용자 입력 없이도 실질적으로 생성될 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 즉, 등사습곡 리본/경계느 프로파일이 잔류하는 표면의 접선 특성으로부터 생성될 것이다. 특히, 파라메트릭 표면에 대하여(보다 일반적으로 기하학적 객체), 프로파일 상의 지점에서의 표면상의 파라메트릭 접선은 프롤파일을 위한 등사습곡 리본/경계를 생성하는데 사용될 수 있다. 따라서, 프로파일 곡선의 일측상의 표면 이웃부는 프로파일을 가지는 제 1 표면에 대한 제 1 등사습곡 리본/경계를 결정하는데 이용될 것이며, 만약 프로파일이 제 1 표면과 제 2 표면의 이음부상에 있다면, 프로파일의 다른 측면상의 표면 이웃부는 제 2 등사습곡 리본/경계를 결정하는데 사용될 것이다.

부가적으로, 다른 표면 특성들은 등사습곡 리본/경계내에 보존될 것이다. 예를 들어, 프로파일 곡선 지점에서 파라메트릭 접선을 보존하는 것 외에도, 등사습곡 리본/경계 또한 선택적으로 표면과 함께 높은 차수(>=2) 미분 연속성의 곡률과 같은 표면 특성을 보존할 것이다. 그러나, 추가적인 표면 특성을 등사습곡 리본/경계에서 보존될 수 있다는 것도 본 발명의 범위내에 포함된다는 것을 알아야 한다.

단계(1916)에서, 생성된 리본/경계는, 도 29 및 도 30 의 흐름도의 프로그램을 참조로한 이상의 설명에서와 같이, 프로파일 곡선을 가지는 표면(들)을 변형하는데 사용될 것이다.

사용자 인터페이스의 몇몇 실시예에서, 두 개의 객체 공간 표면 사이의 공통 경계가 선택되는 공정이 사용자에게 제공되고, 그 공정은 접선 표면 연속성의 연속성 한계 보다 높은 차수의 연속성 한계(예를 들어, 곡률 연속성)에서 자동적으로 표면들이 결합되도록 강제한다. 예를 들어, 공통 경계에서 표면 중 하나로부터 얻어지는 등사습곡 리본상에 부가되는 높은 차수의 연속성 속박은, 공통 경계를 가지는 다른 표면에 대한 등사습곡 리본을 유사하게 속박하는데 사용될 수 있다. 따라서, 이러한 공정은 사람의 눈이 몇몇 경우에 곡률의 불연속성을 감지하는 소위 "매크 밴드(Mach band)" 효과를 감소시키는 것을 돕는다.

본 발명에 의해 제공되는 다른 사용자 인터페이스 공정은:

(a) 날카로운 연부가 없는 다트(dart) 생성을 위해 또는 날카로운 연부를 둥글게 하기 위해 존재하는 표면을 변형시키는 트위킹(tweaking) 공정인, "둥글게 하기" 이다. 그러한 공정은 프로파일들(예를 들어, 섹션 2.3.5. 에 기재된 식(1)을 이용하여) 간의 매끄러운 브렌딩 및 날카로운 연부의 대향 측면상에 프로파일 곡선을 위치시킴으로써, 그리고 이어서 날카로운 연부를 포함한 프로파일 사이의 표면을 제거함으로써, 본 발명을 이용하여 실시될 수 있다.

(b) 하나의 완성된 모델을 취하고, 다른 모델의 일부분에 맞추기 위해 축척을 변경하고, 회전시키거나 변형시키는 반복적인 사용자 인터페이스 과정인삽입(embedding)이다..

4.1. 마커, 프로파일 및 사용자 인터페이스를 통한 등사습곡 형성

명백한(explicit) 프로파일은 사용자의 의도를 나타내는 프로파일 곡선이다. 명백한 프로파일은 속박되지 않은(자유로운 형태) 또는 부분적으로 속박된(트리밍) 것이다. 함축적인(implicit) 프로파일은, 예를 들어 표면 불연속성(즉, 원통의 단부면 및 원통형 측면 사이에 형성된 꼬임부 또는 곡선)에 의해 유발된 표면 패치들 사이의 가시적인 경계일 것이다.

함축적 프로파일은 사용자가 예를 들어 표면 불연속성을 도입할 때 자동적으로 생성된다. 모델내의 모든 프로파일은 명백하거나 또는 함축적인 것이다.

4.1.1. 마커 생성

프로파일 마커 및 핸들은 이하의 방법으로 형성된다:

A. 마커들은 명백한 및 함축적인 프로파일의 단부에서 자동적으로 생성된다.

B. 디자이너에 의해 명백한 프로파일 상에 삽입(예를 들어, 지점의 더블 클릭에 의해)된다. 디자이너에게, 그 디자이너는 프로파일 상에 일 지점을 삽입한다. 새롭게 위치된 마커는 단지 최소한의 또는 전부가 아닌 일부 만큼 새로운 마커를 포함하는 프로파일 단편내의 프로파일의 형상을 변경한다. 이어서, 프로파일 및 등사습곡 핸들은 새로운 마커에 부착된 프로파일 및 표면(들)의 형상에 따라 결정된다.

마커는 동일 프로파일(예를 들어, 고리형으로 감겨 자기 자신에 부착되는 프로파일)상의 다수의 일치하는 지점들과 동일시될 것이다. 그러한 마커의 다수의 프로파일 지점과의 동일화는, 마커의 삭제를 제외하고, 깨어지지 않는다. 프로파일 마커를 가지는 공통 지점에서 만나는 둘 또는 그 이상의 프로파일에서, 그러한 프로파일은 공통 지점에서 마커를 각각 가지고, 그 마커들은 하나의 마커가 이동할 때 양 마커를 이동시키도록 일치화를 유지하도록 속박된다.

디자이너에 의해 삽입된 프로파일 마커들은 프로파일 핸들 지점을 제공하기 위해, 또는 특정 등사습곡 값을 셋팅하기 위해 삽입될 것이다. 프로파일 핸들 지점이 그 등사습곡 핸들상의 속박 세트를 가질 수 있고; 즉, 두 개의 근접한 등사습곡 핸들의 내삽에 의해 등사습곡 핸들이 값들을 물려받을 수 있다는 것을 주지하여야 한다.

4.1.2. 마커들 및 프로파일들 보기

프로파일 및 등사습곡 핸들은 그 위에 배치된 여러 가지 속박들을 가질 것이며, 이 때 이러한 핸들은 그 위에 배치된 속박에 따라 상이하게 디스플레이될 것이다. 특히, 이하의 속박들이 그 핸들상에 배치될 것이다.

(a) 핸들을 특정 방향 범위로 속박

(b) 핸들을 특정 크기 범위로 속박

(c) 핸들을 다른 핸들을 가지는 평면에 놓이도록 속박

(d) 핸들을 특정 곡률로 속박

(e) 핸들을 다른 핸들의 전환형태로 속박, 예를 들어 동일한 회전 및/또는 변환으로 속박

디자이너는 기하학적 객체의 특성에 요구되는 디스플레이를 통해 속박을 디스플레이 하도록 선택할 수 있다. 일 실시예에서, 상이한 색채를 이용하여 상이한 타입의 속박된 프로파일 마커를 디스플레이 할 수 있다. 예를 들어, 가변성이 없는(이하에서 "완전 속박" 이라 칭한다) 핸들은 청색으로 디스플레이 될 수 있다.

사용자 인터페이스의 일부 실시예에서, 자체가 속박되어 있어 디자이너에게 변화될 수 없다는 것을 표시하기 위한 벡터들은 "회색 처리" 된다. 예를 들어, 일 실시예에서, 완전히 속박된 핸들은 통상적으로 회색 처리된다.

4.1.3. 프로파일들의 연결

사용자 인터페이스의 일 실시예에서, 둘 또는 그 이상의 프로파일들의 연결은 그 프로파일들의 동일한 X, Y, Z 위치에서의 교차점이 지지한다. 각 프로파일상의 지점의 파라미터화가 프로파일 변화중에 불변일 때, 그러한 교차점들을 "타이(tie) 지점" 이라 표시한다. 그러한 지점들이 관련 마커들을 가지거나 또는 가지지 않을 수 있다는 것을 알아야 한다. 그러한 타이 지점이 변경될 때, 타이 지점과 관련된모든 대응 프로파일 곡선 지점은 군(群)으로 변경된다. 그러한 타이 지점은 프로파일의 단부점 또는 내부(즉, "노트(knot)" 지점일 수 있다.

그 대신에, 제 1 프로파일의 프로파일 마커는 제 2 프로파일(명백하거나 또는 함축적 이거나)의 객체 공간 범위내로 속박될 것이다. 예를 들어, 도 42a 및 42b를 참조하면, 사용자 인터페이스는 사용자가 제 2 프로파일(2004)을 따라 프로파일 마커(2002)(제 1 프로파일(2003) 및 제 2 프로파일(2004)에서 속박된)를 활주시킬 수 있게 하며, 그에 따라 마커(202)가 화살표(2006)의 방향을 따라 프로파일을 따라 미끄러질 때 도 42a 의 프로파일(2004)을 도 42b 의 프로파일(2004)로 변경시킨다. 그러한 활주 가능한 마커(2002)는 "활주 지점" 으로 표시된다.

4.1.4. 마커 및 프로파일 생성

사용자 인터페이스는 여러 가지 방법으로 프로파일 곡선의 생성을 지원한다:

A. 도 28 의 데이터 구동 기술과 유사하게 표면상에 프로파일을 스케치하며, 이 때 프로파일을 소정 허용 범위내에서 표면에 묶일(tying)수 있도록 추가적인 마커들이 제공될 수 있다. 그 대신에, 제 2 실시예에서, 프로파일로서 사용자가 모든 마커들을 선택함으로써, 프로파일이 하나 이상의 표면을 가로질러 스케치될 수도 있다. 어떠한 경우에도, 프로파일은 하나 또는 그 이상의 표면을 가로질러 스케치 될 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 또한, 제 2 실시예에서, 사용자 인터페이스는 연속적으로 프로파일을 생성하는 이하의 단계들을 지원하다.

(A1) 마커 지점들은 표면(들)에 놓이도록 특정된다. 끼워진 곡선은 파라미터 공간내의 지점을 통해 생성되고 그 후에 그 끼워진 곡선이 평가되어 객체 공간내에대응하는 영상 곡선이 얻어진다.

(A2) 새로운 프로파일이 교차하는 각 표면에 대하여, 사용자는 표면을 가로지르는 프로파일의 일부에 대하여 프로파일 타입(자유형태 또는 트림)을 특정할 수도 있다. 표면상에 스케치된 프로파일은 표면의 일측을 트리밍할 수도 있고 또는 그 표면을 두 표면으로 나눌 수도 있다. 따라서, 표면의 내부로 들어가는 어떠한 (비-축중)프로파일도 입구 지점 및 출구 지점에에서 표면의 경계를 반드시 교차한다. 다시 말해, 공통 프로파일 경계를 따른 두 표면들은 항상 프로파일에 연결되며, 이 때, 이 프로파일에 대해, 그러한 표면들은 다음과 같이 특성화될 것이다. 즉: (a) 하나의 표면은 트리밍된 표면이고 하나는 비-트리밍된 표면(또한, "자유 형태 표면"으로 나타낸다)이며, 또는 (b) 두 개의 자유형태 표면이다.

B. 프로파일 복사 : 디자이너가 프로파일이 복사되도록 선택한다. 그 프로파일은 버퍼(클립보드로 나타낸다)로 복사된다. 그 후 사용자는 복사 모드(예를 들어, 프로파일 핸들을 유지하거나, 또는 프로파일이 복사되는 기하학적 형태로 프로파일을 맞춘다)를 선택한다. 사용자는 새로운 프로파일(그 프로파일은 추가적으로 축척변경, 회전 및/또는 거울반사 될 수 있다)을 위한 위치를 선택한다. 사용자는 새로운 프로파일을 위한 위치를 선택한다. 새로운 프로파일은 최초 프로파일상의 속박에 의해 속박될 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 예를 들어, 새로운 프로파일은, 최초 프로파일에 대한 어떠한 변화도 복사본에 대한 변화로 나타날 수 있도록, 존재하는 프로파일로부터의 면을 중심으로 거울반사될 수 있다. 새로운 프로파일이 생성되었을 때, 프로파일 마커가 자동적으로 새로운 프로파일의 양 단부에생성된다. 프로파일 핸들 및 등사습곡(리본 접선) 핸들은 새로운 프로파일을 분리하는 표면의 기하학적 특성으로부터 유도된다.

4.1.5 마커 및 프로파일 변경

마커 및/또는 (프로파일, 등사습곡) 핸들의 변형은 마커 및/또는 핸들상에 위치하는 속박에 따라 달라진다. 그 들은 이하의 방법 중 하나로 속박될 것이다:

A. 마커 m 을 포함하는 표면에 수직인 평면 또는 m 에서 프로파일의 프로파일 핸들 및 등사습곡에 의해 형성된 수직 평면에 핸들(프로파일 또는 등사습곡)이 놓이게끔 선택되도록, 특정 마커 m 에서 핸들(프로파일 또는 등사습곡)을 선택함으로써 이루어지는 상호작용 변경. 사용자가 선택된 프로파일 및/또는 등사습곡 핸들을 변형하기 위해 크기 및 각도에 대한 특정 수치를 입력할 수 있도록, 팝-업 특성 시트가 또한 사용될 수 있다.

B. 마커들의 예비-영상이 프로파일의 예비-영상내에 오도록 속박되는 마커들에서, 마커 지점들을 잡아끄는 것과 같은 상호작용 변경을 통해 모(母) 프로파일 등을 따라서 그 마커들이 활주될 수 있다. 위치적으로 속박되지 않은 마커들에 대해서, 그러한 마커 지점들은 그 마커가 존재하는 모 프로파일을 따라 자유롭게(즉, 다른 제약 없이 사용자의 방향으로) 이동될 수 있다는 것을 알아야 한다. 추가적으로, 사용자는 각각을 클릭함으로써 또는 지정된 범위(예를 들어, 사각형 범위 지정)내의 모든 마커를 선택함으로써, 다수의 프로파일 마커 지점들을 선택할 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 따라서, 사용자는 디스플레이 포인팅 장치(예를 들어, 마우스)를 이동시킬 수 있으며, 그에 따라 디스플레이 포인팅 장치의 이동 방향에 대응하여 모든 선택된 마커들이 균일하게 이동될 수 있다. 그러나, 마커들의 이동은 이러한 마커들 상의 속박 세트에 따른다. 예를 들어, 속박된 마커는 그 마커가 위치된 한계 내에서만 이동할 것이다. 따라서, 제 1 의 선택된 마커가 제 1 프로파일 내에서만 이동하고 제 2 의 선택된 마커가 상기 제 1 프로파일에 직교하도록 배치된 별도의 제 2 프로파일 내에서 이동한다고 가정하면, 원하는 이동 방향에 따라 다음 중 하나가 일어난다:

(ⅰ) 제 1 마커는 이동할 수 있는 반면, 제 2 마커는 이동할 수 없다;

(ⅱ) 제 2 마커는 이동할 수 있는 반면, 제 1 마커는 이동할 수 없다;

(ⅲ) 제 1 및 제 2 마커 모두 이동할 수 있다;

(ⅳ) 어느 마커도 이동할 수 없다.

C. 마커 및 핸들 속박은 사용자에 의해 명백하게 셋팅되는 것 보다 디폴트에 의해 셋팅될 것이다. 팝-업 특성 디스플레이 형태는 사용자가 특정 속박을 셋팅 또는 제거할 수 있게 한다.

D. 프로파일 및/또는 등사습곡 핸들에 대한 추가적인 속박이 셋팅될 수 있고 그 속박들은 다른 기하학적 특성에 따라 달라진다. 예를 들어, 프로파일 및 등사습곡 핸들은 선택된 기준 면에 수직 또는 평행이 되도록 속박될 수 있다. 프로파일 마커의 위치 역시 다른 기하학적 특성에 따라 속박될 수 있다는 것을 알아야 한다. 예를 들어, 마커는 나누는(parting) 평면 즉, 병을 디자인하는 경우의 전방/후방 대칭 면에 놓이도록 속박될 수 있다. 이러한 속박의 다른 예는, 나누는 면을 중심으로 반사된 프로파일 마커 복사본이 모(母) 프로파일 마커에 대칭되도록 속박되는, 대칭적인 디자인을 생성하는 것이다.

E. 프로파일에 인접한 표면들은 C0, C1, 또는 C2 연속성을 만족시켜야 할 것이며, 이 때 C0 는 위치적인 것이고, C1 은 접선이며, C2 는 브렌딩 표면을 매끄럽게 강제한다. 마커에 셋팅될 수 있는 하나의 속박은, 동일한 길이의 접선 벡터 내부 마커를 유지함으로써, 마커를 둘러싸는 표면들 간에 C1 연속성을 강제한다.

마커에서 프로파일 및 등사습곡 핸들을 보전(변경할 수 있는 능력을 제거)은 마커를 포함하는 프로파일 단편이 다음의 두 개의 인접 마커의 프로파일 핸들을 기초로 재축조되도록 할 것이며, 이는 이 마커의 핸들들이 한 쪽의 두 개의 마커들에 의해 축조된 곡선을 반영하도록 유효하게 변경시킨다.

대부분의 경우에, 프로파일 변경은 프로파일의 형상을 제어하는 프로파일 마커 위치 및 핸들을 변경하는 사용자 인터페이스 기술의 함수이다. 이하는 그러한 사용자 인터페이스 기술의 예이다.

A. 직접적인 방법: 프로파일들은 객체 공간(3D) 모델상에서 직접적으로 변경된다. 이것은, 프로파일을 구성하는 프로파일 마커 및 핸들을 변경하는 것에 의해 실행된다.

만약, 디자이너가 트림 프로파일을 변경한다면, 그 프로파일은 항상 트리밍되는 표면의 파라미터 공간 내에 놓인다. 다시 말해, 트림 프로파일은 그 트림 프로파일이 내부에 삽입되는 최초의 과다 설립(overbuilt)된 표면의 내용 내에서 변형된다. 변경되는 트림 프로파일(또는 그 성분 중 하나)을 선택하는 것은 과다 설립된 구축 기하학적 형상이 하이라이트되게 할 것이다. 그 것은 사용자가 트림 프로파일을 변형하는 동안에도 하이라이트된 상태로 남아 있게 된다.

디자이너는 프로파일을 턴온시키고 직접적인 방법을 이용하여 그 프로파일을 변경시킬 수 있는 선택권을 가질 것이다. 예를 들어, 과다 설립된 표면을 형성하는 프로파일은 그 과다 설립된 표면이 업데이트되게 할 것이다. 과다 설립된 표면을 트리밍하는 프로파일은 표면의 파라미터 공간내에 놓이도록 속박되며, 그 트림 프로파일은 또한 재계산된다.

B. 디자인 리본 방법: 이 방법은 프로파일의 특정 영역을 변경하는데 사용된다. 이것은, 다른 쪽에서 보면 복잡한 하나의 화면(view)에서 프로파일을 변경함으로써, 예를 들어 사용자가 디자이너의 상호작용을 단순화시킬 수 있게 한다. 디자이너는 동일한 프로파일상에 놓인 두 개의 마커들을 동일화한다. 두 마커들 사이의 프로파일 단편(들)은 프로파일의 하나 이상의의 그래프 화면에서 인출되며, 그에 따라 디자인 리본(등사습곡 리본과 혼동되지 않는)이 생성된다. 그 디자인 리본은 단순한 인출 표면이다(즉, 표면을 형성하기 위해 주어진 방향을 따라 제거된 곡선; 예를 들어, 프로파일의 단부에서의 마커에 대해, 대응 등사습곡 핸들에 의해 대응 프로파일 핸들을 오프셋시켜 경계 핸들을 얻고 예를 들어, 식(2)의 보다 낮은 차원의 변형식에 의해, 등사습곡 경계를 내삽하는 것; 프로파일, 등사습곡 핸들, 및 등사습곡 경계로 이루어진 둘레부를 가지는 표면이 새로운 인출된 표면을 형성하는 것). 3-차원 프로파일 단편은 이 디자인 리본의 예비-영상내에 항상 놓이는 마커들 사이에서 동일화된다. 사용자는 다음 방법 중 하나의 방법으로 프로파일을 변경한다:

(B1) 디자인 리본이 인출되는 2-차원 구동 곡선을 변경하며, 그 구동 곡선은 리본의 단부에서 예시되며, 이 때 그 곡선은 디폴트에 의해 디자인 리본을 형성하는 3-차원 프로파일 단편의 2-차원 표상이 된다. 사용자는, 2-차원 지점의 종속세트를 선택함으로서, 구동 곡선을 "단순화" 시킬 것이다. 각각의 경우에, 사용자는 구동 곡선 지점을 변경하며, 그 리본은 업데이트되고 3-차원 프로파일은 변경된 리본의 파라미터 공간 내에 놓이도록 변경된다. 구동 곡선에 대한 작업은 프로파일 마커 섹션(지점/경사 변경, 삽입, 삭제 등)에서 나열된 것들 중 임의의 것을 포함한다.

(B2) 디자인 리본 내에서 2-차원 프로파일 지점을 변경한다. 사용자는 주 화면에 수직인 한 화면 내에서 2-차원 프로파일을 변경한다. 2-차원 지점은 항상 리본의 파라미터 공간 내에 놓인다. 작업은 프로파일 마커 섹션(지점/경사 변경, 삽입, 삭제 등)에서 나열된 것들 중 임의의 것을 포함한다.

프로파일 단편마다의 표면 당 오직 하나의 디자인 리본만이 존재할 것이다. 디자인 리본들이 생성되고, 변경되며, 삭제될 것이다. 그 리본들이 일단 생성되면, 그 리본들은 계속 존속할 것이다. 즉, 디자이너가 추후에 동일한 단편을 변경할 때까지 변경되지 않고 남아 있는다. 디자이너가 디자이너 리본을 변경할 때에만 그 리본이 디스플레이 된다. 하나의 프로파일은 프로파일을 포함하는 다수의 표면들에 상응하는 다수의 리본을 가질 것이다.

직접적인 방법을 이용하여 프로파일을 변경하는 것은 변경될 지점들에 걸쳐진 임의의 디자인 리본을 삭제한다는 것을 알아야 한다. 이것은 그 리본을 무효화시키며 디자이너가 그 리본을 다시 특정화할 것을 필요로 한다.

C. 프로파일(들)을 이동시킴: 디자이너는 둘 또는 그 이상의 프로파일을 일체로 선택하고 이동시킨다. 다시 말해, 이 사용자 인터페이스 명령은 프로파일상에서 프로파일 마커 모두를 선택하고 그 마커들을 한 단위로서 이동시킨다.

D. 프로파일 병합: 디자이너는 새로운 프로파일을 스케치할 것이며 그 것을 존재하는 프로파일에 부착하여, 각 프로파일의 단부 지점이 일치되도록 한다. 추가적으로, 디자이너는 존재하는 프로파일의 단편 또는 단편들을 삭제하기 위해 지정할 것이다. 이어서, 새로운 프로파일과 일치되는 단부 지점을 가지는 존재하는 프로파일의 잔류 연결 부분 및 새로운 프로파일이 병합된다. 병합되는 프로파일은 프로파일 핸들, 등사습곡 및 리본 접선의 단일 세트에 결합될 두 개의 일치하는 단부 지점 각각에 대하여 상기 세트를 유발한다.

E. 프로파일 분열: 하나의 프로파일을 두 개의 단일 지점 p 로 분열시킨다. 두 개의 새로운 프로파일 각각의 단부 지점은 p 에서 일치되도록 속박된다.

4.1.6 마커 및 프로파일의 삭제

프로파일의 단부 지점을 제외하고, 프로파일 마커의 삭제는 언제나 가능하다. 그러나, 본 발명의 일부 실시예에서는, 매끄러운 매치를 유지하기 위해 필요하다면, 마커를 속박을 가지는 마커로 대체하는 것을 필요로 할 수도 있다. 새로운 속박된 대체 마커는 종전의 마커와 동일한 위치를 가지거나 또는 그렇지 않을 수도 있다는 것을 알아야 한다.

전체 프로파일이 삭제된다면, 사용자 인터페이스는, 프로파일 및 종속 기하학적 객체(들)을 삭제하기 전에, 임의의 종속 기하학적 객체(들)를 하이라이트화하고 사용자 확인을 필요로 한다. 따라서, 본 발명은 모델내의 기하학적 객체들 간의 종속성에 관한 충분한 종속 정보를 가지고 있어, 그에 따라 다른 객체를 유도하기 위해 사용되는 객체의 변경을 위해, 이러한 다른 객체에 대한 적절한 부가적인 변경이 자동적으로 실행된다는 것을 알아야 한다.

4.1.7 프로파일 마커 및 핸들

통상적으로, 프로파일 마커 즉, 경계 곡선으로서 프로파일을 가지는 각 표면상의 표면마다의 프로파일 핸들, 등사습곡 핸들 및 리본 접선에 대해, 두 개의 프로파일 핸들, 두 개의 등사습곡 핸들 및 두 개의 리본 접선이 있다는 것을 주지하여야 한다. 그러나, 프로파일이 표면의 연부라면, 몇 개의 프로파일이 수렴되거나 또는 개수가 적어지는 곳에서 프로파일과 관련된 추가적인 핸들이 있을 수도 있다.

4.2 등사습곡 및 사용자 인터페이스

등사습곡 핸들의 경사는 마커를 포함하는 프로파일의 둘러싸는 부분 및 마커에서 표면 접선을 제어한다. 등사습곡 핸들의 크기는 종속 표면의 완전성을 제어한다. 다시 말해, 표면이 어느 정도 팽창하는지를 제어한다. 등사습곡 핸들은 다른 등사습곡 핸들로부터 오프셋(즉, 다른 측으로부터 -10 도)되도록 속박될 것이다. 등사습곡 핸들은 프로파일을 따른 임의 지점에서 계산될 수 있다(프로파일상에 마커를 삽입함으로써).

4.2.1 등사습곡 핸들 생성

사용자 인터페이스는 서로에 대한 등사습곡 핸들의 속박을 지원한다. 그러한핸들들은 접선이 되고, 동일한 크기가 되며, 또는 어느 정도 오프셋되도록 항상 강제될 수 있다. 본 발명의 일 실시예에서, 사용자 인터페이스는 길이 및 방향과 같은 등사습곡 핸들 속박 값을 디스플레이 및 변경하도록 팝-업 메뉴를 제공한다.

4.2.2 등사습곡 핸들의 변경

만약 사용자가 프로파일을 따라 프로파일 마커를 활주시킨다면, 사용자는 마처에 대한 등사습곡 핸들을 고정시킬 것이며, 그에 따라 프로파일에 인접한(및 종속되는) 표면이 변경되게 하거나 또는 프로파일 상의 인접한 두 개의 등사습곡 핸들 사이에 내삽된 등사습곡 핸들을 가지도록 할 것이다(이 경우는 종속 표면이 영향을 받지 않는 것을 의미한다).

4.2.3 등사습곡 핸들의 삭제

사용자 인터페이스는 등사습곡 핸들의 삭제를 지원한다. 이하의 단계는 등사습곡을 삭제할 때 적용된다.

4.3 특별한 기하학적 객체 및 사용자 인터페이스

본 발명은 다양한 특별한 기하학적 객체 타입을 생성하고 조작하는 것을 제공하며, 이는 용기와 같은 객체의 디자인을 상당히 용이하게 한다.

4.3.1 라벨 표면

라벨 표면은 트리밍된 표면의 특별한 경우이다. 라벨 표면의 특별한 경우는:

(ⅰ) 라벨의 바닥부터 상단까지 연장하는 "분기(watershed)" 프로파일이 있다;

(ⅱ) 대응 라벨 표면이 그 사이에 규정되는(ruled)(예를 들어, 도 11 의 라벨 표면(132)) 라벨 곡선들이 있다;

(ⅲ) 경계(트림) 프로파일(예를 들어, 도 11 의 트림 프로파일(138)이 있다.

다른 트리밍된 표면과 라벨 표면을 구별하는 중요한 차이점은 최초 표면(라벨 표면이 그 표면으로부터 트리밍된다)이 규정된다는(ruled) 것이다. 특히, 곡선을 형성하는 라벨 표면은, 규정된 표면이 이 형성 곡선의 경계 내에 유지되도록, 속박된다.

다른 표면들도 라벨을 위한 트림 프로파일에 브렌딩될 수 있지만, 그 트림 프로파일은 그 프림 프로파일이 둘러싸는 규정된 표면을 보장하는 방식으로만 변경될 수 있다는 것을 주지하여야 한다.

본 발명의 일 실시예에서, 라벨 표면의 2-차원적인 "제외된(ruled out)" 표상이 생성될 수 있다. 다시 말해, 그 표면은, 그 표면을 평평하게 함으로써, 평면과 일-대-일 방식으로 관련될 수 있다. 그러한 표상은 라벨 표면을 모사하며, 그 라벨 표면 내에서 디자이너는 후속단계에서 용기를 둘러싸게 되는 작업편을 생성할 수 있다.

4.3.3.1 라벨 표면의 생성

라벨 표면을 생성하기 위해, 트리밍될 과다 설립된 표면은 반드시 규정되고 대략적으로 전개될 수 있는 표면 즉, 임의 규정범위 상의 모든 표면 법선이 평행한 규정된 표면이다. 이어서, 사용자는 수직 트림 표면 단계를 따른다; 즉, 규정 표면상에서 프로파일을 스케치하고, 프로파일 양측(즉, 라벨 표면 및 트리밍 제거될표면의 부분)에서 (부속)표면을 생성하며, 라벨 표면을 트리밍하고, 트림 프로파일에 다른 표면을 브렌딩한다.

트리밍되어 제거될 표면 부분은 표준 화면으로부터 감추어진다(즉, 더 이상 가시적인 모델이 아니다).

이하의 과정은 라벨 표면을 생성하기 위한 것이다. 고차원에서, 이러한 과정을 위한 단계는 :

(ⅰ) 표면이 규정된다는 것을 확인할 것. 즉, 사용자 인터페이스는 사용자 선택 프로파일의 자동 변경을 지원하여, 그 프로파일들이 4.3.1(ⅰ) 및 (ⅱ)를 만족시키도록 한다. 특히, 이 단계의 실시를 위해, 이하의 부속단계들이 실시된다.

(ⅱ) 사용자는 라벨의 경계를 형성하는 표면상에 경계 프로파일을 스케치한다.

(ⅲ) 라벨의 그래프 표상(즉, 글, 작업편, 및/또는 디자인을 가지는 규정 표면)을 구축한다.

(ⅳ) 사용자가 라벨 표상을 라벨 표면(또는 그 표상)에 그래프적으로 적용할 수 있게 한다. 특히, 라벨 표상을 적용하기 위한 사용자 인터페이스는, 라벨 표상이 예를 들어 라벨 표면의 회전, 변환, 축척변환 작업 중에 라벨 표면상의 위치를 유지하도록, 작업의 그룹화 타입을 통해, 라벨 표상을 라벨에 자동적으로 부착할 것이다.

(ⅴ) 라벨 표면 및/또는 라벨이 만족스럽지 못할 경우에 사용자가 디자인을 취소할 수 있게 한다.

4.3.1.2. 라벨 표면의 변경

라벨 표면 성분의 변경은 트리밍된 표면의 변경과는 다소 상이하다.

직선 단편인 분기 프로파일의 일부는 직선으로 존속하도록 속박된다.

분기의 경계 대향부(모(母) 규정 표면의 다른 쪽)는 변경될 수 없다. 이 것은 단지 상단 및 하단 경계 사이의 직선 단편이다. 상단 및 하단 경계 프로파일은 변경될 수 있다. 추가적인 자유 프로파일 마커가 삽입될 수 없도록, 그 들은 속박된다. 또한, 분기부로부터 떨어진 단부에서의 프로파일 마커는 규정된 표면을 유지하게끔 이동되도록 속박된다. 그 것은 연장될 수 있으며(동일 곡률을 따라 외삽될 수 있고) 그 단부 지점의 각도는, 마찬가지로 규정된 표면을 유지하는 한도내에서, 조절될 수 있다.

4.3.1.3. 라벨 표면의 삭제

라벨 표면의 삭제는 그 라벨 표면의 생성에 사용된 모든 프로파일 상의 속박을 제거하는 것이다. 따라서, 사용자가 볼 수 없는 라벨 표면에 대한 모든 구축 기하학적 형상 역시 삭제된다. 규정 표면을 유지하기 위한 속박 역시 제거될 것이다. 따라서, 남아 있는 기하학적 객체는 라벨 표면 속박으로부터 자유로우며, 이전에 가능하지 않았던 방식으로 변경될 수 있다.

4.4. 홀 기구 사용자 인터페이스

본 발명은 또한 사용자가 기하학적 모델에 홀을 부가하는 것(핸들이 없는 병에 손잡이를 부가하는 것과 같은)을 돕는 신규의 컴퓨터 관련 방법을 사용자에게 제공한다. 이러한 과정을 이용하여 모델에 홀을 부가하는데 필요한 정보는: 전방표면 상의 프로파일 단편의 루프, 대향하는 후방 표면 상의 프로파일 단편의 루프, 프로파일 루프내의 각 프로파일의 타입(자유 형태 또는 트림), 및 홀의 내부를 성형하기 위한 선택적인 프로파일(들)을 포함한다.

4.4.1. 홀의 생성

홀 생성 기구는 홀을 부가하기 위한 일련의 단계를 통해 사용자를 안내한다. 도 22a 내지 도 22c 는 본 발명을 이용하여 기하학적 객체(604)상에 홀(600)(도 22c 참조)을 생성하는 과정을 도시한다. 홀(600)을 생성하기 위해 실시되는 대응 단계들은 다음과 같다. 즉:

(a) 전방 표면(612) 상에 프로파일 루프(608)를 스케치하고;

(b) 후방 표면상에 프로파일 루프(161)를 스케치한다(선택적으로 프로파일(608)을 후방 표면에 투사한다). 등사습곡 핸들이 양 프로파일(608, 616)상에 자동적으로 위치된다는 것을 알아야 한다.

(c) 만약, 프로파일 루프(608, 616) 중 하나를 위한 하나 또는 그 이상의 프로파일이 자유형태 프로파일 이라면, 사용자는 새로운 프로파일(그러한 프로파일 루프를 완성시키기 위한)을 부가할 것이고, 및/또는 루프에 대응하도록 프로파일이 병합되어, 그러한 프로파일들이 단일 프로파일과 같이 사용되도록, 그 프로파일들이 속박된다. 따라서, 일단 프로파일 루프가 구축되면, 표면들은 루프들 사이에서 덮여져 홀을 점유하는 최초 표면을 대체한다.

트림 프로파일 루프가 특정된다면, 프로파일 루프 내부의 표면 영역은 트리밍된다.

만약 특정된다면, 홀 생성 과정은 그 홀을 위한 내부 경계 상에 표면들을 위치시키고 성형하기 위해 부가적인 프로파일을 이용한다. 그렇지 않다면, 표면들은 전방 및 후방 프로파일 루프 사이에서 자동적으로 덮여진다.

4.4.2. 홀의 변경

홀을 변경하는 것은 홀의 기하학적 형상을 구성하는 프로파일 마커 및 핸들을 변경하는 함수이다.

4.4.3. 홀의 삭제

홀을 삭제하는 것 역시 홀의 기하학적 형상을 구성하는 성분들 즉, 홀을 위한 프로파일 및 다른 기하학적 형상들을 삭제하는 함수이다.

4.5. 사용자 인터페이스를 통한 매끄러움 고려

인접 표면들(프로파일에서 서로 만난다) 간의 전환 순서를 고려한다. 그러나, 본 섹션은 섹션 2 의 일반적인 이론에 대한 보다 넓은 함축적인 의미를 일부 포함한다.

4.5.1. 사용자 인터페이스를 통한 연속적인 프로파일

서로 교차하는 두 개의 프로파일 곡선이 주어진다면, 이하의 몇몇 조건들이 만족되는 경우에, 교차 지점을 가로질러 도함수적으로 연속인 두 개의 프로파일 곡선이 보장될 것이다. 즉:

(a) 하나의 프로파일의 단부는 다른 프로파일의 단부와 일치한다(위치 연속성);

(b) (도 26 및 도 27 에 따라) 프로파일 생성에 사용되는 브렌딩 함수 Bi 는교차 마커에서 동일하다;

(c) 교차 마커에서의 프로파일 핸들은 공선(共線)적이고 길이가 같다.

접선 방향 연속성은, 상기 조건(c)가 교차 마크에서의 프로파일 핸들이 공선적이기만 하는 조건 c* 로 변경되기만 하면 만족될 수 있는 약한 조건이다. 프로파일 핸들의 크기는 이 경우에 달라질 것이다.

디자이너는, 교차 마커에서 두 프로파일의 공선성을 깸으로써, 비틀림부를 의도적으로 생성할 수 있다. 이것은 두 프로파일 핸들이 공통 방향을 갖지 않는다는 것을 의미한다.

4.5.2. 연속적인 표면

표면들 사이의 접선 표면 연속성 관념은 이하와 같이 형성될 수 있을 것이다. 즉: 두 표면 S1 및 S2 사이의 경계의 각 지점 p 에 대해, p 에서의 S1 의 접선 평면 T1(p) 는 p 에서의 S2 의 접선 평면 T2(p) 와 동일하다. 사이에 위치하는 프로파일 경계를 가로지르는 표면들 간의 접선 연속성을 달성하기 위해, 프로파일 경계 상의 각 마커에서의 등사습곡 핸들(각 표면에 대한)은 그 마커에서 서로의 공통 면 및 프로파일 핸들에 놓인다. 만약 이러한 것이 실시되지 않는다면, 프로파일을 따른 표면의 비틀림부가 생성될 것이다.

생성될 둘 또는 그 이상의 패치들이 있고 이 때 그 패치들이 공통 마커 지점 p 에서 만나도록 속박되어야 할 때, 본 발명은 "공통 방향 핸들" 로 나타낸 등사습곡 핸들을 자동적으로 생성할 것이다. 즉, 하나 또는 그 이상의 표면을 형성하는데 사용된 각 프로파일 P (p를 가지는) 에 대해, p 로부터 배향된 벡터 V 인 대응하여 자동적으로 생성된 공통 방향 핸들이 있을 것이며, 이 때 V 는 프로파일 P 의 프로파일 핸들에 수직이며, 다른 프로파일을 위해 프로파일 핸들에 의해 형성된 공통 평면에 놓인 이 프로파일은 지점 p 을 가진다. 또한, 사용자 인터페이스는 사용자가 공통 방향 핸들을 디스플레이 하거나 또는 디스플레이 하지 않도록 할 수 있게 지원한다.

모두가 공통 평면 내에 놓이지만 않는 다면, 매끄러운 표면을 달성하기 위해 공통 마커에서 결합되는 프로파일에 매칭되는 프로파일 핸들 및 등사습곡 핸들을 가질 필요가 없다는 것을 주지하여야 한다. 도 18에서, 표면(416, 418)에 대해, 3 개의 프로파일 곡선(404, 408, 412)이 있다. 3 개의 프로파일 곡선 각각은 프로파일 마커(420)에서 만나며, 각 프로파일은 대응하는 등사습곡 리본(424)(프로파일(404)에 대해), 등사습곡 리본(428)(프로파일(408)에 대해), 등사습곡 리본(432)(프로파일(412)에 대해)을 가진다. 추가적으로, 프로파일(404, 408, 412) 및 마커(420)와 관련한 프로파일 및 등사습곡 핸들은:

(ⅰ) 프로파일(404)에 대한 프로파일 핸들(436) 및 등사습곡 핸들(404);

(ⅱ) 프로파일(408)에 대한 프로파일 핸들(444) 및 등사습곡 핸들(448);

(ⅲ) 프로파일(412)에 대한 프로파일 핸들(452) 및 등사습곡 핸들(456) 이다.

따라서, 만약 프로파일 및 등사습곡 핸들(436, 440, 444, 448, 452, 456)(빗금친 사각형 부분으로 표시됨) 모두가 평면(460)내에 놓인다면, 표면(416) 및 표면(418)은 마커(420)에서 매끄럽게 결합된다.

임의의 마커에서, 두 개의 등사습곡 리본은 두 프로파일이 만나도록 만나기쉬우며, 다시 말해 두 등사습곡 리본은 각 리본에 대한 연부로서 공통 등사습곡 핸들을 가질 것이다.

복합 프로파일에 의해 접합되는 상이한 (브렌딩된) 표면 영역 S1 및 S2 (도 43) 사이에 접선 평면 연속성을 달성하기 위해서는, 프로파일 P1 및 P2를 가로지른 접선 연속성이 필요할 뿐만 아니라, 인접 리본들 R1 및 R2 간의 접선 연속성 역시 요구된다. 다시 말해, 프로파일 P1(마커(2010) 및 마커(2010) 사이의) 및 P2(마커(2014) 및 마커(2018) 사이의)에 대해, 각 리본 R1 및 R2은, 표면으로서 생각할 때, 반드시 연속적인 접선 표면이고 공통 등사습곡 핸들(2022)을 공유하여야 한다. 대부분의 경우에, 리본들 사이의 접선 연속성은 표면 패치 경계를 가로질러 매끄러운 전환에 필요한 리본 경계들 사이의 접선 연속성 및 프로파일들 사이의 접선 연속성과 동등하다는 것을 주지하여야 한다. 또한, 본 발명의 사용자 인터페이스는 리본 경계들 사이의 접선 평면 연속성을 보장하는 기술을 제공하며, 이 때 이러한 기술들은 프로파일들 간의 접선 평면 연속성을 보장하기 위해 사용되는 기술들과 실질적으로 동일하다. 따라서, 본 발명은 본 발명에 따른 등사습곡 리본으로부터 생성된 인접 표면들 사이에 접선 평면 연속성을 제공할 수 있다.

몇몇 상황에서, 복합 리본의 연속성을 의도적으로 깰 수가 있으며, 그에 따라 리본으로부터 생성된 표면을 가로지르는 주름을 유발할 수 있으며, 이 때 그 주름은 그 주름을 따른 일치하는 프로파일에 대응하지 않는다. 그러나, 본 발명의 일부 실시예에서, 주름과 일치하는 "함축적 프로파일" 이 생성될 수 있다.

4.5.3. 곡률 연속성

표면의 가시적인 품질은 접선 평면 연속성 뿐만 아니라 높은 차수의 미분에 따라서도 달라진다. 사용자는 표면 곡률의 불연속적인 변화에 매우 예민할 수도 있으며, 실제적인 장면을 모사하는 경우에 보다 일반적으로 이용되는 바와 같이 표면이 반사하는 하이라이트 또는 반사된 텍스처(texture) 맵핑 상태로 제공되는 경우에 특히 그러하다. 사용자는 "매크 밴드"로 알려진 산만한 가상의 인공물을 감지할 것이다. 따라서, 전환부들 사이의 연속성 차수를 곡률 연속성의 차수로 높이는 것은 이러한 것을 개선한다.

분석 결과, 식(1) 및 식(4)에 의해 형성된 표면의 곡률은 B_i및 S_i의 2 차 미분에 따라 달라진다. B_i의 의존성은 사소한 것이 아니며, 브렌딩 함수의 2 차 미분값이 제로가 되고 표면 함수 S_i가 곡률을 결정하도록, 브렌딩 함수를 선택하는 것이 바람직하다. 섹션 2.1 의 코사인 제곱 함수는 이 조건을 만족시킨다. 만족스러운 5 차 다항식이 존재한다. 예를 들어 식(3.1) 의 다항식 B₁(x) 이다.

식(1) 및 식(4)로부터 생성된 브렌딩된 표면의 곡률이 S_i(예를 들어, B_i" = 1)에 의존한다면, 접선 연속성을 달성하기 위한 전술한 섹션의 방법과 유사하게 경계 표면 패치들 S_i사이의 곡률 차수를 높이는 것도 가능하다. 이를 위해, 단순히 대응 프로파일 및 등사습곡 핸들을 정의하여, 그 프로파일 및 등사습곡 핸들이 프로파일 경계를 따른 각 마커에서의 2 차 미분과 매칭되게 한다. 그러나, 각각의 프로파일 핸들이 하나의 파라미터의 선형 함수로서 간주될 수 있고, 그에 따라 제로의 2 차 미분값을 가질 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 따라서, 비록 프로파일에 걸친 곡률을 "평평하게" 즉, 제로로 만들기는 하지만, 곡률 연속성이 달성된다. 이것은 프로파일 상에 굽은 지점이 있는 곳에서는 유용하지만, 기타 다른 곳에서는 바람직하지 못할 것이다. 이러한 상황을 간단히 설명하면, 선형 핸들은 타원형 아아크와 같은 곡선형리브로 교체될 수 있다. 따라서, 핸들은 이제 아아크가 되며, 마커에서, 곡률은 주어진 아아크의 곡률과 매치되도록 만들어 진다.

브렌딩 함수의 제로 2차 미분과 함께, 예를 들어 프로파일, 등사습곡 및 경계 핸들과 같은 모든 핸들에 대해 비제로형 곡률을 제공하는 개념을 확대함으로써, 매크 밴딩 효과가 변경될 수 있다.

4.5.4. 롤, 요(Roll, Yaw) 및 크기 표상을 이용한 GI 연속성

본 발명은 또한 대응 프로파일 곡선에 대해 핸들 벡터(예를 들어, 등사습곡 핸들)를 특정하는 사용자 인터페이스 방법을 또한 제공하며, 이 때 프로파일에 의해 서로 결합된 표면들 사이의 GI 연속성(전술한 용어 정의에서 기재된 바와 같은)이 보장된다. 롤-요 방법으로 나타낼 수 있는 이러한 방법은 롤, 요 및 크기로 칭하는 3 개의 스칼라 항목으로 벡터 V 를 특정할 수 있으며, 이 때 롤 및 요는 지점 P 에서의 접선 벡터 T 및 지점 P 에서 곡선에 수직인 벡터 N 을 이용하여 곡선상의 지점 P 에서 결정된다. 벡터 V 의 요 성분은 P 에서 T 로부터의 각 편향을 나타낸다. 예를 들어, 벡터 V 가 T 에 수직인 방향에 있다면, 요 값(적어도 하나의 프레임워크에서의)은 0°이며, P 에서의 벡터 V 가 T 와 동일한 방향에 있다면, 요 값은 90°이다. 벡터 V 의 롤 성분과 관련하여, 이 스칼라는 회전 축으로서의 T 를중심으로 회전한 각도의 양을 나타내며, 각도를 측정하기 위한 기본선 축은 P 에서의 벡터 N 이다. 따라서, 벡터 N 은 롤의 0°를 나타내고, 당업자가 이해할 수 있는 바와 같이, 오른손 법칙을 이용하여 -180°로부터 180°까지 회전 범위가 넓어진다. 벡터 V 의 크기 성분과 관련하여, 이것은 단순히 벡터 V 의 길이이다. 3 차원의 데카르트 좌표로 표현된 임의의 벡터도 주어진 T 및 N 에 대한 일-대-일 롤, 요, 크기 개념으로 전환될 수 있다는 것을 주지하여야 한다.

벡터 N 이 T 에 수직인 평면내의 벡터들 사이에서 선택될 수 있다는 것을 알아야 한다. 그러나, 이것이 정확하게 N 을 정의하는 것은 아니다. 따라서, N 을 정의하기 위한 몇가지 방법이 사용된다. N 을 정의하기 위한 첫번째 방법은 간단하게 일정 벡터 VC 를 선택하고, 식 N = T ×VC 의 식을 이용하여 N 을 결정하는 것이다. 그러나 이러한 방법은 T 및 VC 가 공선(共線)적일 때 N 에 대해 정의되지 않은 값을 생성한다. 상기 식이 제로 벡터를 산출하는 경우에 N 값을 제공하기 위해, N 은 공선성(共線性)의 위상(位相)학적 이웃으로 근접될 수 있다. 그 대신에, N 을 생성하기 위한 제 2 방법에서, 당업자가 이해할 수 있는 바와 같이, 하부 곡선의 프레넷-서랫(Frenet-Serrat) 프레임이 선택될 수 있다. 그러나, 프레넷-서랫 프레임은 곡선의 굴곡 지점에서 불연속적일 수 있다. 따라서, 본 발명은, 곡선의 형상 또는 방향 및 그 접선 벡터 T 에 관계없이 벡터 N 을 정의하는데 있을 수 있는 어려움을 제거한, 복합(즉, 3-차원) 곡선을 위한 최소한의 회전 기준 프레임을 생성하는 방법을 제공한다.

전술한 바와 같이, 롤-요 방법은 프로파일에 걸친 GI 연속성을 달성할 수 있는 신규한 방법을 제공한다. 예로서, 도 44 에 도시된 기하학적 형상을 고려하며, 그 도면에는 좌측 및 우측 등사습곡 리본 LR 및 RR 을 따른 프로파일 P 가 도시되어 있다. 각각의 등사습곡 리본 LR 및 RR이 그 단부에서 대응하는 두개의 등사습곡 핸들을 가지며, 즉 LR 에 대하여는 HL1 및 HL2 를 가지며 RR 에 대하여는 HR1 및 HR2 를 가진다. 프로파일 상의 임의 지점 pp 에 대해, 프로파일 p 단부지점들이 HP1 및 HP2 로 지정된 단부들을 가진다고 가정하면, 그것들에 의해 둘러싸인 표면들에 대한 프로파일에 걸친 연속성은 내삽된 등사습곡 값 1L 및 1R 에 의해 결정된다. 또한, 1R 은 HR1 및 HR2 로부터 내삽되고, 1L 은 HL1 및 HL2 로부터 내삽된다. 따라서, 프로파일 P 에 걸친 GI 연속성에 대해, 1L 및 1R 은 적어도 반대방향으로(공선적으로) 존재한다는 것을 당업자는 이해할 수 있을 것이다. 또한, 1R 및 1L 이 1L 을 위한 HL1 및 HL2 와 1R 위한 HR1 및 HR2 사이의 입방 허미트(Hermit) 내삽을 이용하여 형성된다면, GI 연속성을 위한 조건은 HL1 및 HR1 이 반드시 동일하고 반대방향 벡터가 되어야 한다는 것을, 당업자는 알 수 있을 것이다. 또한, HL2 및 HR2 에 대해서도 마찬가지이다. 그러나, 데카르트 공간에서 등사습곡 값 1L 및 1R 을 내삽하는 대신에 (롤, 요, 크기)공간에서 그 내삽이 이루어진다면, GI 연속성은 보다 덜 엄격한 조건 즉, HL1 및 HL2 의 롤 값이 반드시 동일하다는 조건으로 달성될 수 있을 것이다. 따라서, 이것은 프로파일 P 상의 어느 곳에서도 GI 연속성을 보장하기 위해서는 HL1, HR1 및 HP1 가 단지 공통 평면적(HL2, HR2, HP2 에서도 마찬가지 이다)이어야 한다는 것과 동일하다. 또한, 등사습곡 핸들이 직선이 아니고 곡선인 경우에도 유사한 조건이 부가될 수 있다는 것을 주지하여야 한다. 특히, 프로파일 P 를 가지는 공통 지점에서 등사습곡 핸들에 대한 접선 벡터들이 도 44 에 도시된 임의의 대응하는 등사습곡 핸들 벡터의 위치에 사용될 수 있다. 따라서, 당업자는, 필요한 경우 데카르트 벡터로부터 롤, 요, 크기 벡터로 전환을 하고, 표면들이 프로파일 P 에 걸쳐 GI 연속적이 되는 것을 보장하도록 전술한 공통평면적인 속박이 보장되는 롤-요 방법을 실현할 수 있는 컴퓨터화된 단계들이 제공된다는 것을 알 수 있을 것이다.

4.6. 모델내에 모델을 삽입하는 것

본 발명에 의해 프로파일에 의해 둘러싸인 표면의 부분들이 서로 독립적으로 디자인 될 수 있게 된다. 예를 들어, 표면의 삼각형 부분은 프리 스탠딩(free standing) 표면 모델로서 지정될 수 있다. 다시 말해, 디자이너는 만족할 만한 디자인의 모델이 얻어질 때 까지 필요에 따라 프로파일 및 등사습곡 리본을 부가할 수 있다(당업자가 이해할 수 있는 바와 같은 무게중심적 맵핑을 이용하여). 그 후에, 그 작업편은 변형되고, 회전되며, 다른 모델의 삼각형 부분내로 끼워질 것이다. 그에 따라, 양호하기 정밀한 모델이 디자인되고 다른 모델내로 삽입될 수 있다. 연결(link)을 유지시킴으로써, 이러한 공정은 상세 크기 레벨에서도 사용될 수 있다. 즉, 예를 들어, 모델을 먼 거리에서 볼때, 세세한 부분은 디스플레이 할 필요가 없으나, 관찰자가 접근함에 따라 그 이상의 상세를 위해 삽입된 객체는 영ㄴ결된다. 두 가지 타입의 삽입 예가 다음 섹션에 기재되어 있다.

4.6.1. 원형화(rounderizing) 기술

도 20 을 참조하면, 작은 브렌딩된 표면이 두개의 교차하는 표면(484, 486)사이의 연부(482)를 둘러싼다. 이러한 브렌딩된 표면(480)은 얇은 표면 스트립(488, 490)으로부터 브렌딩되며, 그 얇은 표면 스트립의 예비-영상은 파라미터 공간내의 연부(482)의 예비-영상으로부터의 "약간의" 오프셋이다. 이러한 공정은 식(1)의 직접적인 적용으로서, 두 표면(484, 486)은 그들의 공통 파라미터 공간(도시 안됨)을 이용하여 브렌딩된다.

새로운 표면 타입은 전술한 특별한 경우에 특히 효과적인 새로운 평가 루틴을 유도한다.

5. 평가(Evaluation)

먼저 2-연부 브렌드의 평가에 대해 고려할 것이며, 다른 형태는 이러한 기초적인 형태로부터 유도된다는 것을 알아야 할 것이다. 그 중요성 때문에, 식(1)을 다시 한번 적으면, 다음과 같다. 즉,

S(u,v) = S₁(u,v)ㆍB₁(u,v) + S₂(u,v)ㆍB₂(u,v)

표면 S 를 평가할 때 브렌딩 함수 B_i및 등사습곡 리본 S_i이 결정되어야 한다. 브렌딩 함수는 파라미터 공간내에서의 거리의 단일변수 함수로서 계산된다. 섹션 2 에서 설명한 바와 같이, 거리 함수의 평가는 파라미터 공간에서의 예비-영상이 얼마나 복잡한가에 따라 상당히 달라진다. 일단 결정되면, 실제적인 브렌딩 값은 테이블을 통해 간단하게 계산될 수 있다: 즉, 브렌딩 함수는 충분히 정확한 정도로 테이블화되어 있고 가변 입력에 의해 색인될 수 있는 메모리에 저장된다. 식(3.1)의 함수 B_i(x) 를 고려하자. 이 함수를 x = 0, 0.01, 0.02,...0.99 및 1 에서 평가한다. 이러한 1001 개 값은 배열(array)로서 저장된다. 지점 x 가 주어졌을 때, 그 x 는 배열에서 가장 근접한 지점, 예를 들어 0.52 및 0.53 사이에 위치되기 위해 사용된다. 이어서, B(0.52) 또는 B(0.53) 이 함수 값으로 사용된다.

거리 및 등사습곡 리본 함수가 무었이냐에 따라 적용될 수 있는 많은 기술이 있다. 본 설명은 단순한 모델 계산을 보장하는 방법에 초점을 맞추고 있지만, 그럼에도 불구하고, 상당한 디자인 탄력성을 가진다. 등사습곡 리본(508(S₁)) 및 (516(S₂)) 는 도 21 에서와 같이 주어질 것이다. 이것은 u 및 v 파라미터에서 0 부터 1 까지 파라미터화된다. 프로파일 선(504)을 따른 각각의 고정 v 값에 대해, 만약 등사습곡 리본(508) 상의 대응 피켓이 직선 단편(예를 들어, 선 단편(512))이라면, 등사습곡 리본은 당업자가 알 수 있는 바와 같이 규정된 표면이 된다. 따라서, 파라미터 u 는 지점(u,v)가 발견되는 규정을 따른 거리-유사 측정치를 제공한다. 각각의 등사습곡 리본(508, 516)이 규정된 표면이라 가정한다. 또한, 파라미터 공간내의 각 프로파일(504, 506)의 예비-영상이 프로파일 자체라고 가정하고 거리-유사 측정치는 등사습곡의 v₀규정상의 지점(u,v₀)의 파라메트릭 u 값이라 가정하자. 등사습곡 리본(508, 516)이 규정된 표면이기 때문에, 종전 값에 적절한 오프셋 벡터를 단순히 부가함으로써, 상수 v₀파라미터에 대해, 선 단편(512, 520)을 따른 동일거리 지점들의 세트를 발견할 수 있다. 초기 값은 S_i(0,v₀)이다. 오프셋 벡터는

[수학식 10]

T₀= [S₁(1,v₀) - S_i(0,v₀)]/n

으로서 얻어지며, 이 때 n 은 하나의 등사습곡 리본(예비-영상) 연부로부터 대향하는 다른 연부까지 스캔(scan)하기 위해 규정 상에서 요구되는 지점의 개수이다.

브렌딩 함수가 디자인 원근감에서 볼때 바람직한 단위의 분할 즉, B₁= 1 - B₂이라는 제한을 부가한다면, 식(1)은 다음의 식으로 변형된다. 즉,

[수학식 11]

S(u,v) = [S₁(u,v) - S₂(u,v)]ㆍB₁(u,v) + S₂(u,v)

이러한 형식 및 종전의 단순화를 가지는 일 실시예에서, 각 지점이 3 개의 벡터 부가(S₁, S₂및 "+" 에 대해), 하나의 테이블 검색(B₁(u,v)), 및 하나의 스칼라 곱을 필요로한다는 것을 알 수 있다. 이것은 각 S_i(0,v)를 찾는 것과 T₀를 계산하는 것 및, 오프셋 벡터(식(10)을 이용한)로 이루어진 초기화 이후이다. S 상의 지점 세트를 스캔하기 위해, 파라미터 v 를 통해 단순히 증가시키고, u 내에서 규정을 따라 지점을 계산한다.

형성된 4-연부 표면(섹션 4.6.1에서와 같은)의 경우에, 일부 S_i는 상기 2 연부 경우와 같으나, 다른 것들은 먼저 리본을 가로질러 길이방향으로 브렌딩한다. 특히, 도 34 에서, v-로프트(loft) 경우는 재라벨링을 가지는 도 35 와 동일한 반면, 도 34 의 u-로프트는 등사습곡 리본의 수평방향 브렌딩이다. 4-연부 표면은 4 개 모두의 무게중심적 브렌딩 결과이다.

도 33 에서, 4 개의 프로파일 곡선 P₁₁, P₁₂, P₂₁, P₂₂이 도시되어 있으며, 그 사이에는 표면을 위치시키고자 한다. 도 33 에서, 프로파일 P₁₁, P₁₂, 은 그들의 대응하는 각각의 등사습곡 리본 R₁₁, R₁₂와 함께 브렌딩된 표면 S₁을 생성하는데 사용된다.

S₁이 전술한 2-연부 경우에서와 같이 정확하게 평가하는 반면, u 및 v 파라미터가 반대이기 때문에 S₂(도 35 참조)의 생성은 그와 다르다. 이 경우에, 등사습곡 리본 R₁₁, R₁₂상의 직선 단편이 u 의 고정 및 v 에서의 스캔에 대응하며, 그 상황은 신속한 스캔과 양립할 수 없는 상황이다. 그러나, 도 34 및 도 35 에서, 단지 하나의 파라미터만 고정하고 나머지 하나를 스캔하는 것이 바람직하다. 일 실시예에서, 등사습곡 R₁₁, R₁₂를 별도로 정의함으로서 이것이 해결될 수 있다. 즉, 각각의 그러한 리본은 단순한 사용자 입력에 의해 정의된 두개의 규정 표면의 브렌드가 된다. 예를 들어, 등사습곡 리본 R₂₁에 대해 고려해 본다. 도 37 내지 도 39 에서 도시되고 섹션 2.2 에서 기술된 표면 발생 기술과 유사한 방식으로 두개의 쌍일차(雙一次) 표면(1950, 1952)을 브렌딩함으로써 그것이 지정될 수 있다. 즉, 프로파일 P₂₁에 접선인 쌍일차 표면(1950, 1952)의 연부들은 프로파일 핸들(1956,1960)이며; 경계 핸들(1964, 1968)은 리본 경계(1972)에 접선이고 쌍일차 표면의 대향 연부들을 형성한다. 다른 두개의 선 단편(1976, 1980)은 사용자 입력값이다.

이제, v 를 제 2 (u-로프트)내에 양호하게 고정하고, 단일 벡터 오프셋을 부가함으로써 스캔하는 것이 가능하다. 이러한 노력은 등사습곡 리본 S₂₁, S₂₂상의 지점을 생성하며, v-로프트 상의 지점을 생성하는 것은 각각 동일한 수고가 든다. 부가적으로, S₂상의 지점을 계산하기 위해서는 새로운 지점들을 브렌딩하여야 한다. 따라서, 총 작업에서, 11 번의 벡터 부가, 5 번의 스칼라 곱, 및 한번의 테이블 검색이 있게 된다. 벡터 부가는 v-로프트에 대해 3번, u-로프트 등사습곡에 대해 각각 3번, 이러한 등사습곡을 브렌딩하기 위해 3번, 그리고 두개의 로프트들을 브렌딩 하는데 1번이다.

일반적인 N-면 표면에 대해, 먼저 각 리본상의 거리를 계산할 필요가 있다. 섹션 2.2 로부터의 N-면 파라미터화 기술을 이용하여 그 파라미터들을 계산할 수 있다. 그 후에, 이러한 거리들은 식(6)의 브렌딩 함수내로 삽입된다. 그 것들은 0 내지 1 범위에서 변하도록 조절된다.

리본에 대한 파라미터들은 반드시 주어진 거리로부터 셋팅되어야 한다. 즉, 하나의 파라미터는 거리(프로파일로부터의)가 될 것이다. 다른 파라미터는, 도 12 의 파라미터 선이 N-면 다각형의 연부와 교차하는 곳을 결정함으로써, 추측될 수 있다. 다각형이 길이 1 의 연부를 가지는 것으로 가정한다. 이러한 파라미터들이 구성된 후, 식(4)는 계산에 필요한 모든 성분들을 가진다.

6. 적용

본 발명은 수 많은 컴퓨터 디자인 영역에서 사용될 수 있을 것이다. 특히, 본 발명이 적용될 수 있는 영역에 대한 간단한 설명을 이하에 나열하였다.

6.1 용기 디자인

병과 같은 용기의 자유-형태 디자인은 지금까지 비-직관적이며 따분한 작업이었다. 본 발명은 이러한 단점을 감소시킨다.

6.2 자동차 디자인

자동차 업계에서, 본 발명은 자동차 본체 디자인 뿐만 아니라 자동차 부품 디자인에서 사용될 수 있다. 특히, 본 발명에 의해 부품 및 외관의 변형을 용이하게 실행할 수 있기 때문에, 함몰부에 부품을 채우는 것이 보다 용이하게 디자인될 수 있도록 부품 및 함몰부를 직접적으로 변형할 수 있게 한다.

6.3 항공분야

본 발명은 항공 산업에서 요구되는 고정밀 트리밍 및 표면 패칭 작업을 제공한다.

6.4 선박 건조

선박건조 산업에서 독특하게 요구되는 것은 선체 및 프로펠러에 대한 디자인이다. 그러한 선체 및 프로펠러의 디자인은 물의 흐름과 관련한 물리적인 제약에 의해서 방향이 정해진다. 그러한 제약의 만족은 본 발명에 의해 이루어질 수 있다.

6.5 통상적인 CAD/CAM 분야

엔진, 배관 배치, 및 시트 금속 제품의 디자인에 관한 분야는 통상적으로 트리밍 및 브렌딩 성능을 요구한다. 따라서, 본 발명이 그러한 작업을 제공하는 것 뿐만 아니라 표면의 용이한 변형을 제공하는데 특히 효과적이기 때문에, 이러한 분야에서의 유효성이 특히 장점이다.

6.6 다른 분야

이하는, 본 발명이 컴퓨터 디자인에 사용될 수 있는 다른 분야들을 나열한 것이다. 그 분야들의 예를 들면: 가전제품 디자인, 프라스틱 사출 몰드 디자인, 공구 및 다이(die) 디자인, 완구 디자인, 지질학적 몰딩, 지형적인 몰딩, 광업 디자인, 예술 및 오락, 만화, 조각, 유체역학, 기상학, 열 유동, 전자기, 성형 수술, 번 마스크(burn mask), 치과 교정, 보철, 의류 디자인, 신발 디자인, 건축 디자인, 가상 현실 디자인, 데이터의 통계학적 가시화, 개인 훈련(예를 들어, 의학적 훈련)을 위한 기하학적 모델이 있다.

본 발명에 관한 이상의 내용은 설명 및 묘사를 위한 것이다. 또한, 그 설명은 본 발명을 이상에서 개시된 형태로 한정하기 위한 것은 아니다. 결과적으로, 관련 분야의 이해 및 지식의 범위내에서, 이상과 균등한 변형예 및 개선예는 본 발명의 범위내에 포함될 것이다. 이상에서 설명한 실시예는, 또한 현재까지의 본 발명의 실시에 가장 적합한 모드를 설명하기 위한 것이며, 발명의 사용에 필요한 또는 특별한 용도에 필요한 여러가지 변형예로서 당업자가 그 발명을 이용할 수 있게 하기 위한 것이다. 첨부하는 청구범위는 종래 기술이 허용하는 범위내에서 다른 변형 실시예를 포함하는 것으로 해석될 수 있을 것이다.

본 발명은 예를 들어 병, 차량 및 선박의 디자인과 같은 여러가지 디자인 영역에 이용할 수 있다. 또한, 본 발명은 얼굴의 표상화와 같이 활동적인 대상의 표면으 반복적으로 변경시키는 것에 의한 효과적인 에니메이션을 제공한다.

Claims (39)

1. 브렌딩된 기하학적 객체를 결정하는 방법으로서:

   다수의 파라미터화된 기하학적 객체 S_i, i = 1,...N, N ≥2 각각에 대해, 파라메트릭 공간 PS 로부터 S_i를 포함하는 공통 기하학적 공간 GS 까지 맵핑를 제공하는 단계로서, 이 때 이하의 (A1) 및 (A2) 가 유지되며: 즉,

   (A1) 다수의 파라미터화된 기하학적 객체중 하나 이상이 2 이상의 차원을 가지며;

   (A2) 각 S_i에 대해, Si 의 일부분 Pi 가 있으며, 이 때는의 지점에서 연속적인 것,이 유지되는 단계;

   GS 에서 대응하는 지점 S(q)를 얻기 위해, PS 에서 다수의 지점 q 의 각각에서 함수 S 를 계산하는 단계로서, 이 때 이하의 (B1) 및 (B2) 가 유지되며: 즉,

   (B1) S(q) 는및 j ≠i₀에서의 하나 이상의에 의존하며, 이 때,이며:

   (B2) S 는및에서 연속적인 것,이 유지되는 단계; 및

   대응 지점 S(q)의 표상을및간을 브렌딩하는 기하학적 객체의 표상으로서 디스플레이 하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
2. 제 1 항에 있어서,

   (a) 상기 각 맵핑은 S_i를 파라미터화하기 위한 파라메트릭 맵핑이고;

   (b) 상기 각 S_i는 표면이고;

   (c) 상긱 각 P_i는 S_i중 하나에 대한 곡선이며;

   (d) 상기 지점들 S(q) 은 상기 함수 S 에 의해 규정된 표면내에 포함되며, 이 때 상기 곡선 P_i는 상기 표면의 둘레에 포함되는 것을 특징으로 하는 방법.
3. 제 2 항에 있어서, 상기 P_i의 각각은 다수의 지점들을 통해 내삽되는 것을 특징으로 하는 방법.
4. 제 1 항에 있어서, 상기 파라메트릭 공간 PS 의 지점들은 한벌의 미리 정해진 개수의 좌표로서 표시되며, 이 때 각 좌표는 미리 정해진 범위를 가지는 것을 특징으로 하는 방법.
5. 제 1 항에 있어서, 상기 계산 단계는 적어도및의 가중 합의 함수로서 S(q)를 결정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
6. 제 5 항에 있어서, 상기 계산 단계는, 상기 지점들 S(q) 중 일부 이상에 대해, 상기 가중 합의 하나 이상의 대응하는 가중치를 결정하는 것을 포함하며, 이 때 각 가중치 w 는 상기 기하학적 객체 S_i중 하나의 지점의 축척을 정하는 것을 특징으로 하는 방법.
7. 사용자에 의해 표면의 표상을 변경하는 방법으로서:

   대략적으로 제 1 표면내에 포함되는 제 1 곡선을 가지는 제 1 표면을 그래프적으로 디스플레이 하는 단계;

   상기 제 1 곡선상의 각 지점에서 또는 그 지점에 인접한 곳에서 상기 제 1 표면으로의 접선을 나타내는 지점들을 가지는 제 2 곡선을 디스플레이 하는 단계;

   상기 제 1 곡선에 대해, 상기 제 2 곡선의 일부의 위치를 변경하여, 상기 제 1 표면의 윤곽을 변경하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
8. 제 7 항에 있어서, 상기 제 1 곡선상의 각 지점은 상기 제 1 표면으로부터 소정 거리내에 있는 것을 특징으로 하는 방법.
9. 제 8 항에 있어서, 상기 소정 거리는 10^-3내지 10^-6범위내에 있는 것을 특징으로 하는 방법.
10. 제 7 항에 있어서, 상기 제 1 곡선은 상기 제 1 표면상의 둘 이상의 지점으로부터 내삽된 프로파일 곡선인 것을 특징으로 하는 방법.
11. 제 7 항에 있어서, 상기 제 1 곡선 및 제 2 곡선 사이의 표면의 지점들은 상기 제 1 표면 및 제 2 표면의 하나 이상의 지점을 결정하는데 이용되는 것을 특징으로 하는 방법.
12. 제 7 항에 있어서, 표면 접선으로부터 상기 제 1 표면상의 지점으로 상기 제 1 곡선의 지점들을 내삽하는 단계를 추가로 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
13. 제 7 항에 있어서, 상기 변경 단계는 상기 제 1 표면으로의 접선을 나타내는 벡터의 크기 및 방향 중 하나를 변경하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
14. 컴퓨터 시스템에서 표면의 표상을 변경하는 방법으로서:

    상기 컴퓨터 시스템에 제공된 제 1 및 제 2 곡선을 가지는 특정 표면을 그래프적으로 디스플레이 하는 단계;

    컴퓨터 시스템의 사용자에 의해, 상기 특정 표면의 변형을 위한 사용자 인터페이스 기술을 활성화 시키는 단계로서, 이하의 단계(A1) 내지 단계(A3)가 실행되는 단계; 즉:

    (A1) 제 1 기하학적 객체 표상 위의 지점들을 결정하는 제 1 결정 단계로서, 이 때 상기 제 1 기하학적 객체 표상은 상기 컴퓨터 시스템에 의해 표시될 수 있는 제 1 곡선상의 지점들의 대부분에서 상기 특정 표면의 원하는 윤곽을 평가하는데 사용되는 제 1 데이터를 표시하며;

    (A2) 제 2 기하학적 객체 표상 위의 지점들을 결정하는 제 2 결정 단계로서, 이 때 상기 제 2 기하학적 객체 표상은 상기 컴퓨터 시스템에 의해 표시될 수 있는 제 2 곡선상의 지점들의 대부분에서 상기 특정 표면의 원하는 윤곽을 평가하는데 사용되는 제 2 데이터를 표시하며;

    (A3) 상기 특정 표면의 변경된 버전을 생성하는 단계로서, 상기 변경된 버전상에는 상기 특정 표면상에 있지 않는 다수의 새로운 지점들이 있게 되고, 상기 각각의 새로운 지점들은 이하의 함수 즉: (a) 상기 제 1 기하학적 객체 표상으로부터 얻어지는 하나 이상의 지점, 및 (b) 상기 제 2 기하학적 객체 표상으로부터 얻어지는 하나 이상의 지점, 의 함수로서 결정되는, 활성화 단계; 및

    상기 변경된 버전을 그래프적으로 디스플레이 하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
15. 제 14 항에 있어서, 상기 제 1 및 제 2 기하학적 객체 표상 중 하나 이상은 표면의 표상을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
16. 제 14 항에 있어서, 상기 변경된 버전 생성 단계는, 상기 하나 이상의 새로운 지점 각각에 대하여, 상기 제 1 및 제 2 기하학적 객체 표상 각각의 하나 이상의 지점의 가중 합을 계산하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
17. 제 16 항에 있어서, 상기 계산 단계는, 상기 하나 이상의 새로운 지점 각각에 대하여, 상기 가중 합의 하나 이상의 대응 가중치를 설정하는 단계를 포함하고, 이 때 상기 각각의 가중치 w 는 상기 제 1 및 제 2 기하학적 객체 표상 중 하나의 대응 지점 P_w의 축척을 정하는 것을 특징으로 하는 방법.
18. 제 17 항에 있어서, 상기 설정 단계는, 상기 새로운 지점의 세트 Q 의 각 지점 q 및, 상기 새로운 지점 q 의 상기 대응 가중치 중의 하나 이상의 가중치 w_q에 대하여, 거리-유사 측정치를 결정하는 단계를 포함하며, 상기 거리 유사 측정치는:

    (a) 상기 새로운 지점 q 의 예비-영상 파라미터화, 및

    (b) 상기 가중치 w_q에 대한 지점를 포함하는 상기 기하학적 객체 표상 및 상기 변경된 버전 모두에 있는 지점 s_q의 예비-영상 파라미터화,

    에 따라 달라지는 것을 특징으로 하는 방법.
19. 제 18 항에 있어서, 상기 세트의 q₁및 q₂에 대해, 상기의 예비-영상 파라미터화에 대한 상기 q₂의 예비 영상 파라미터화 보다 상기 q₁의 예비-영상 파라미터화가의 예비-영상 파라미터화에 보다 근접 할 때,≤인 것을 특징으로 하는 방법.
20. 컴퓨터 시스템의 사용자에 의해 N 차원 기하학적 객체의 표상을 변경하는 방법으로서, 상기 N 은 2 이상이며:

    상기 컴퓨터 시스템 상에 N 차원의 제 1 기하학적 객체를 그래프적으로 디스플레이하는 단계로서, 이 때 상기 제 1 기하학적 객체 내에 삽입된 보다 낮은 차원의 제 2 기하학적 객체가 있는, 디스플레이 단계;

    제 3 기하학적 객체를 그래프적으로 디스플레이하는 단계로서, 이 때 상기 제 3 기하학적 객체의 지점들은 상기 제 2 기하학적 객체의 지점에서 제 1 기하학적 객체의 하나 이상의 측정치 변화율을 나타낸는, 디스플레이 단계;

    상기 제 2 기하학적 객체에 대하여, 상기 제 3 기하학적 객체의 하나 이상의 기하학적 특성을 변경하여, 상기 제 1 기하학적 객체의 하나 이상의 기하학적 특성에 영향을 미치게 하는 변경 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
21. 제 20 항에 있어서, 상기 제 1 및 제 3 기하학적 객체 각각에 대하여, 기하학적 객체의 차원은 그 기하학적 객체의 모든 지점을 나타내는데 필요한 선형적으로 독립된 벡터의 최소한의 개수인 것을 특징으로 하는 방법.
22. 제 20 항에 있어서, 상기 제 1 및 제 3 기하학적 객체의 하나 이상의 기하학적 특성은 접선 방향, 접선 벡터 크기, 및 곡률 측정치 중 하나 이상을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
23. 컴퓨터 시스템 상에 기하학적 객체를 생성하는 방법으로서:

    곡선 표상을 제공하는 단계;

    상기 곡선상의 다수의 지점들 각각에 대해, 상기 지점에서의 제 1 표면의 형상을 나타내는 데이터를 얻는 단계;

    상기 곡선을 포함하는 사기 표면의 표상을 결정하는 단계;

    상기 제 1 표면의 지점의 함수인 윤곽을 가지는 제 2 표면의 표상을 생성하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
24. 제 23 항에 있어서, 상기 제 1 표면은 상기 제 2 표면을 위한 등사습곡 리본을 포함하고, 상기 곡선은 상기 등사습곡 리본을 위한 프로파일 인 것을 특징으로 하는 방법.
25. 제 23 항에 있어서, 상기 제 1 및 제 2 표면은 경계로서 상기 곡선을 가지며, 상기 제 1 및 제 2 표면은 상기 곡선의 각 지점에서 동일한 접선 면을 가지는것을 특징으로 하는 방법.
26. 제 23 항에 있어서, 상기 결정 단계는 상기 제 1 표면을 전개가능한 표면 및 라벨 표면 중 하나로서 제공하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
27. 제 23 항에 있어서, 상기 생성 단계는 상기 제 1 표면과 하나 이상의 부가적인 표면 간의 브렌딩된 표면으로서 상기 제 2 표면을 결정하는 단계를 포함하며, 이 때 상기 제 2 표면상의 실질적으로 모든 지점은 상기 제 1 표면 및 상기 부가적인 표면 상의 지점의 함수인 것을 특징으로 하는 방법.
28. 기하학적 객체의 표상을 생성하는 방법으로서:

    일부가 전개가능한 표면인 제 1 표면을 얻는 단계;

    상기 전개가능한 표면에 대한 폐쇄된 곡선 경계를 구축하는 단계로서, 상기 경계는 상기 제 1 표면상의 상기 폐쇄 곡선의 내부를 확인하는, 구축 단계;

    상기 제 1 표면의 실질적으로 내부 만이 그래프적으로 디스플레이 되도록, 상기 제 1 표면을 상기 경계에 근접하게 트리밍하는 단계;

    상기 내부에 라벨을 그래프적으로 부착하여, 상기 라벨이 상기 내부를 실질적으로 덮도록 하는 부착 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
29. 제 28 항에 있어서, 상기 제 1 표면을 얻는 단계는 상기 제 1 표면을 규정표면으로서 확인하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
30. 제 28 항에 있어서, 상기 구축 단계는, 상기 브렌딩된 표면에 대한 경계로서 상기 경계를 가지는 브렌딩된 표면을 유도하는데 사용하기 위해 대응하는 등사습곡 리본을 가지는 프로파일 곡선으로서 상기 경계를 생성하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
31. 제 30 항에 있어서, 상기 브렌딩된 표면의 지점은 상기 등사습곡 리본 및 하나 이상의 다른 표면으로부터의 지점의 가중 합으로부터 유도되는 것을 특징으로 하는 방법.
32. 기하학적 객체의 표상을 변경하기 위한 방법으로서:

    2 이상의 차원을 가지는 제 1 기하학적 객체 표상을 디스플레이하는 제 1 디스플레이 단계;

    하나 이상의 부가적인 기하학적 객체 표상을 디스플레이하는 제 2 디스플레이 단계로서, 이 때 상기 부가적인 기하학적 객체 표상의 형상 및 위치 중 하나 이상은 상기 제 1 기하학적 객체 표상의 형상을 나타내며, 상기 부가적인 기하학적 객체 표상 중 하나 이상은 1 이상의 차원을 갖는, 제 2 디스플레이 단계;

    이하의 단계(A1) 및 단계 (A2)를 동시에 실행하는 단계, 즉:

    (A1) 상기 부가적인 기하학적 객체 표상의 하나 이상의 형상 및 위치 중 하나를 변화시키는 단계;

    (A2) 상기 부가적인 기하학적 객체 표상의 변화를 나타내는 변경과 함께 상기 제 1 기하학적 객체 표상을 다시 디스플레이 하는 단계; 를 동시에 실행하는 단계;

    를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
33. 제 32 항에 있어서, 상기 부가적인 기하학적 객체 표상은, 컴퓨터 그래픽 출력 장치에 디스플레이되었을 때, 상기 제 1 기하학적 객체 표상에 연결되게 표시되는 기하학적 표상을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
34. 제 32 항에 있어서, 상기 부가적인 기하학적 객체 표상은 하나 이상의 사용자가 선택 가능한 지점, 벡터, 곡선 및 표면을 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
35. 제 32 항에 있어서, 상기 변화 단계는, 상기 부가적인 기하학적 객체 표상을 변화시키기 위한 실질적으로 연속적인 일련의 시간 간격의 변화 요청을 사용자가 입력하는 단계를 포함하며;

    상기 변화 요청 중 하나의 입력 중에, 상기 재 디스플레이 단계는, 상기 일련의 시간 간격의 이전의 하나 이상의 입력 변화 요청에 대해, 상기 제 1 기하학적 객체 표상에 대한 대응 변경을 그래프적으로 디스플레이하는 소단계를 동시에 실행하는 것을 특징으로 하는 방법.
36. 제 35 항에 있어서, 상기 디스플레이 단계 및 재 디스플레이 단계 중 하나 이상은 상기 부가적인 기하학적 객체 표상의 적어도 일부로서 상기 제 1 기하학적 객체 표상을 결정하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
37. 제 36 항에 있어서, 상기 결정 단계는, 상기 제 1 기하학적 객체 표상의 지점 q 를 얻기 위해, 지점 P 의 가중 합을 계산하는 단계를 포함하며, 이 때 상기 지점 P 은 상기 부가적인 기하학적 객체 표상을 이용하여 얻어지는 것을 특징으로 하는 방법.
38. 제 37 항에 있어서, 상기 가중 합은 가중치를 포함하며, 각각의 가중치는 대응하는 브렌딩 함수를 이용하여 얻어지며, 각각의 상기 브렌딩 함수는 0 내지 1 의 범위를 가지며, 상기 각각의 브렌딩 함수는 그 브렌딩 함수가 대응하는 가중치를 결정하기 위한 q 의 파라메트릭 예비-영상에 의존하는 것을 특징으로 하는 방법.
39. 제 32 항에 있어서, 상기 제 1 기하학적 객체 표상 및 상기 부가적인 기하학적 객체 표상 각각은 3-차원 좌표 공간내에 표시되는 것을 특징으로 하는 방법.