KR101285941B1 - 요구되는 기하학적 연속성을 가지는 파라메트릭 표면 생성프로세스 - Google Patents

Abstract

본 발명은 파라메트릭 기본 표면 세트로부터, 요구되는 기하학적 연속성 Gi 를 가지는 파라메트릭 표면을 생성하는 프로세스에 관한 것이다. 상기 프로세스는 각각의 기본 표면이 인접 에지를 잇는 정점과 함께 에지를 가지고 요구되는 연속성 Gi 와 이상인 내부 연속성 Cj 를 가지며, 그들의 공통 에지에 걸친 2 개 이상의 기본 표면 사이에서의 기하학적 연속성이 요구되는 연속성 Gi 미만인, 파라메트릭 기본 표면 세트를 제공하는 단계를 포함한다. 또한, 각각의 특이 정점에 대해, 프로세스는, 정점에 이어진 모든 에지에 걸쳐 파라메트릭 기본 표면의 ("제어점" 이라고 지칭되는 위치 좌표를 포함하는) 파라미터를 연결하고, 이어진 에지에 걸쳐서 요구되는 기하학적 연속성을 보강하는 연립 방정식을 정의하는 단계와 파라미터를 획득하기 위해 연립 방정식의 해를 구하는 단계를 포함한다. 인접 기본 표면 사이의 연속성이 요구되는 연속성 Gi 미만인 에지에 걸쳐서, 상기 특이 정점은 하나 이상의 에지를 잇는다.

파라메트릭 기본 표면, 캣멀-클락 규칙, 요구되는 연속성

Description

요구되는 기하학적 연속성을 가지는 파라메트릭 표면 생성 프로세스{PROCESS FOR CREATING A PARAMETRIC SURFACE HAVING A REQUIRED GEOMETRICAL CONTINUITY}

도 1 은 본 발명의 바람직한 실시형태를 광범위하게 설명하는 플로우차트.

도 2 는 바람직한 실시형태에서, 비정규 정점 (extraordinary vertex) 의 처리를 설명하는 플로우차트.

도 3 은 면을 따라 상이한 유형의 기본 표면이 적용된 물체의 면 (face) 전환 후에, 모델 물체의 파라메트릭 표면 (parametric surface).

도 4a 는 기본 표면이, 차수 (에지가 공동으로 겹치는 수) 가 6 인 비정규 정점에서 이어지는 에지를 가지는 다른 모델 물체의 파라메트릭 표면.

도 4b 는 도 4a 의 파라메트릭 표면과 함께, 프로세스의 완성시에 획득되는, 기본 표면의 제어점 분포.

도 4c 및 도 4d 는 각각 프로세스의 완성시에 획득되는, 도 4a 의 파라메트릭 표면의 두드러진 접선 및 법선의 콘투어 (contour).

도 5 는 비정규 정점 및 2 개의 기초 표면과 함께, 연속성 식을 유도하기 위해 필요한 시스템 구성요소.

* 도면의 주요 부분에 대한 부호의 설명 *

10 : 모델 물체 20, 22, 24, 26, 28 : 정점

30, 32, 34 : 제어점 40, 42, 44 : 표면

41, 43 : 공통에지 (날카롭지 않은 에지)

45, 47 : 날카로운 에지

발명의 분야

본 발명은 CAD (Computer-Aided Design) 의 분야에 관한 것으로, 더욱 상세하게는, 파라메트릭 표면의 CAD 생성에 관한 것이다.

발명의 배경

수많은 시스템 및 프로그램이 상표 CATIA 의 애플리컨트에 의해 제공된 것과 같은, 부품 설계 또는 부품 조립을 위한 시장에 제안된다. CAD 시스템이라 지칭되는 이러한 시스템은 사용자가 부품의 복잡한 3-차원 (3D) 모델 또는 부품의 조립을 구성하고 조정하게 한다.

3D 컴퓨터그래픽의 생성은 모델링 및 프로세스 단계 (기초 메쉬 (base mesh) 의 세부분할 (subdivision), 파라메트릭 표면으로의 전환, 렌더링 (rendering) 등…) 를 포함하는 다양한 단계를 수반한다.

수많은 상이한 모델링 기술이 조립의 모델을 생성하기 위해 이용될 수 있다. 이러한 기술은 솔리드 (solid) 모델링, 와이어-프레임 모델링, 및 표면 모델링을 포함한다. 솔리드 모델링 기술은, 예를 들어, 3D 모델이 상호연결된 에지 및 면의 집합 (collection) 인 토폴로지컬 (topological) 3D 모델을 제공한다. 기하학적으로, 3D 솔리드 모델은 폐쇄된 스킨 (closed skin) 을 정의하는 다듬어진 표면 또는 범위가 정해진 표면의 집합이다. 다듬어진 표면은 에지에 의해 경계 지어진 토폴로지컬 면에 대응한다. 폐쇄된 스킨은 부분의 재료로 충전된 3D 공간의 경계 지어진 범위를 정의한다. 한편, 와이어-프레임 모델링 기술은 간단한 3D 선의 집합으로서, 모델을 나타내기 위해 이용될 수 있고, 반면에, 표면 모델링은 외부 표면의 집합으로서 모델을 나타내기 위해 이용될 수 있다. CAD 시스템은 이들을 조합하고, 파라메트릭 모델링 기술과 같은 다른 모델링 기술을 조합할 수도 있다. 그러므로, 면을 가지는 특정한 경우에, CAD 시스템은 에지 또는 선을 이용하는 모델링된 물체의 표현을 제공한다. 모델링된 물체는 수많은 선 또는 에지를 포함하는데; 이들은 다양한 방법, 예를 들어, NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines), 베지어 곡선 (Bezier curve) 또는 곡선을 그리는 다른 알고리즘으로 나타날 수도 있다.

일반적으로, 프로세스 단계를 고려하여, CAD 프로그램은 물체의 모델링 중에, 기초 메쉬를 이용한다. 기초 메쉬는 삼각형 또는 사각형과 같은, 상호연결된 기본 다각형의 네트워크이다.

요구되는 모델을 획득하기 위한 설계 중에, 기초 메쉬는 사용자에 의해 변형되고, 다음으로, NURBS 또는 B-스플라인 (B-Splines) 과 같은 복수의 파라메트릭 표면으로 전환된다.

모델링된 제품을 고려하면, 현대의 소비재 (consumer product) 는 평면, 상 자 및 원통 (cylinder) 과 같이 단순한 분석 표면을 넘는 복잡성, 형상을 평활하게 흐르게 함으로써 특징화된다. 통상적으로, 이러한 제품은 스플라인 곡선 및 표면등을 이용하여 대신 모델링된다. 제품을 설계할 때, 물체 표면의 평활도 (smoothness) 가 주요 관심사이다. 따라서, 통상적으로, 3D 모델러는 평활한 표면을 생성하기 위한 여러 종류의 툴 (tool) 을 가진다.

이하, "곡률 (curvature)" 은 곡선 또는 표면이 완벽한 직진성 (straightness) 또는 평탄성 (flatness) 으로부터 벗어나는 정도를 표시하는 기하학적인 용어로 이용된다. 통상적으로, 곡률은 국부적인 접촉 반경의 반대로서 측정된다. 그러므로, 곡선은 곡선이 약간만 구부러질 때, 낮은 곡률과 큰 반경을 가지고, 곡선이 급격히 구부러질 때, 높은 곡률과 작은 반경을 가진다. 곡률이 호, 원, 또는 이를 기초로 하는 표면에 대해 일정할 때, 스플라인 (spline; 및 이를 기초로 하는 표면) 과 같은 더 복잡한 곡선의 곡률은 곡선의 길이를 따라서 계속적으로 변화한다.

또한, 용어 "연속성 (continuity)" 은 곡선을 따르는 또는 표면상의 점들 사이 및 인접한 곡선 또는 표면 사이의 오프셋 (또는, 관계) 을 설명하기 위해 이용된다. 이러한 관계는 다른 레벨, 통상적으로, C0, C1, 및 C2 의 연속성이 될 수도 있다. C0 는 (인접한 곡선/표면의 경우에서처럼) 위치 연속성만을 나타낸다. 이러한 경우, 곡선은 C0 점에서 비꼬임을 나타낸다. 유사하게, 표면은 C0 심 (seam) 을 따라서 날카로운 주름 (crease) 을 가진다. 인접하는 곡선 및 표면은 서로 닿지만, 이들은 어떠한 곡률 유사성도 가지지 않는다. C1 은 접선 의 연속성으로 증가된 (augmented) 연속성 레벨을 나타내고, C2 는 곡률 연속성을 더한다. 곡선에서 하나의 점의 두 개의 측면 상의 곡률이 동일한 경우, 곡선은 육안으로 식별이 불가능하다 (seamless).

또한, 당업계에서 공지된 바와 같이, 이것은 수학적인 관점과는 약간 다른, G0, G1 및 G2 "기하학적" 연속성을 참조하여 이루어진다. 예를 들어, 각각의 곡선의 n 차 미분이 (몇몇 매트릭스에 의해 정의된 비례는 충분하며, 등가가 요구되지 않음) 이음부 (join) 에서 "동일한 방향" 을 가지면, 2 개의 잇는 곡선 부분은 Gn 연속성을 갖는다. 결과적으로, Cn 은 Gn 을 의미하지만, 역수 (reciprocal) 가 반드시 참은 아니다.

일반적으로, 표면 모델링의 핵심 기술 중에서, 한 가지 기술은 구분적으로 낮은 차수의 앨지브래익 표면 (algebraic surface) 또는 임플리시트 패치 (implicit patch) 를 이용한다. 통상적으로, 패치는 제어점의 그리드 (grid) 를 통해서 제어되어, 그들은 변형될 수 있다. 패치를 이용하는데 있어서 중요한 문제는, 패치가 패치 경계선을 따라서 기하학적 연속성을 확보하기 위해 충분히 이어져야만 한다는 것이다. 통상적으로, 패치 셀은 주어진 연속성 요구사항에 국부적인 곡률을 적용하는 것을 가능하게 하기 위해서 반복적으로 세부분할된다.

(컴퓨터 그래픽과 같은) 다수의 응용에서, 캣멀-클락 (Catmull-Clark) 과 같은 세부분할 표면은 기초 메쉬로부터 유도되는 표면을 추정하기 위해 이용된다. 특히, 현재, 캣멀-클락 세부분할 표면은 평활한 자유 형상 표면 모델링의 표준이다. 세부분할 표면은 임의의 메쉬 외부의 평활한 표면, 즉, 임의의 토폴로지 (topology) 로 생성하기 위해 이용된다. 이들은 무한 정제 프로세스의 한계로서 정의된다. 주요 개념은 정제로서, 초기 다각형 메쉬를 반복적으로 정제함으로써, 결과 세부분할 표면으로 수렴하는 일련의 메쉬를 생성한다. 각각의 새로운 세부분할 단계는 좀 더 많은 다각형 요소를 가지고, 보다 더 평활한 새로운 메쉬를 생성한다. 특히, 캣멀-클락 세부분할 표면은 바이-큐빅 유니폼 B-스플라인 (bi-cubic uniform B-spline) 의 종합 (generalization) 으로 간주될 수 있다. 중요한 점은, 보통의 정점의 예상되는 차수 (또는 접합수) 가 4 가 되도록, 생성된 메쉬는 주로 4 변형 (quadrilateral) 으로 이루어진다는 것이다. 이에 관하여, 종종 개방 및 폐쇄 정점간에 구분이 이루어진다. 개방/폐쇄 정점은 당업계에 알려진 개념이다. 즉, En+1 = E1 이 되도록, 정점 v 가 에지 E1, E2, En+1 에 의해 둘러싸이고 이어졌다고 가정하면, 날카로운 에지가 없는 경우에, 상기 정점은 폐쇄되었다고 간주된다.

그러나, CAD 의 분야에서, 파라메트릭하지 않기 때문에, 세부분할 표면은 일반적으로 용인되지 않는다. 그러므로, CAD 시스템은 세부분할 표면을 NURBS 패치와 같이, 표면 패치의 세트를 구성하는 파라메트릭 표면으로 전환하기 위해 전환 알고리즘을 제공한다.

그럼에도 불구하고, 결과 파라메트릭 표면은 연속성의 불충분한 품질을 야기한다. 사실상, 이러한 표면은 초기 기초 메쉬의 4 개의 에지 (비정규 정점) 로의 들어오지 않는 정점에 대응하는 점을 제외하고는, 어디에나 곡률 연속적이다.

이에 관하여, 파라메트릭 표면을 생성하기 위한 대부분의 기존의 프로세스는 비정규 정점에 의해 유발되는 연속성 문제를 간과한다.

그러나, 본 발명과 유사하게, 이산 푸리에 변환을 수반하는 방법 (C. Loop : Second Order Smoothness over Extraordinary vertices, Eurographics Symposium on Geometry Processing (2004)) 에서 개시되었다. 그러나, 이러한 접근방법은 폐쇄된 비정규 정점에만 정확하게 적용된다.

따라서, 즉, 파라메트릭 표면을 생성하며, 이와 동시에 하기 조건을 충족시키는 프로세스가 필요하다:

- 주어진 기하학적 연속성 Gi (예를 들어, G1 또는 G2) 요구되는 조건을 충족시키는 조건;

- 개방 및 폐쇄 정점과의 호환 조건; 및

- 높은 차수 정점이 고려되어야만 하는 경우, 그 안정성을 확보하도록, 국부적, 선형 분해능 알고리즘이 이용되는 조건.

또한, 일반적으로, 본 발명자가 알고 있는 한, 종래 기술은 파라메트릭 표면의 생성에 관련된 몇몇 피쳐 및 변화를 제안하지만, 본 명세서에 설명된 본 발명의 몇몇 매우 유익한 특징을 개시하지 않는다.

발명의 개요

본 발명은 파라메트릭 기본 표면 세트로부터, 요구되는 기하학적 연속성 Gi 를 가지는 파라메트릭 표면을 생성하기 위한 프로세스에 관한 것이다. 상기 프로세스는 각각의 기본 표면이 인접 에지를 잇는 정점과 함께 에지를 가지고 요구되는 연속성 Gi 와 이상인 내부 연속성 Cj 를 가지는, 파라메트릭 기본 표면 세트를 적용하는 단계를 포함한다. 그러므로, 이것은 j 가 i 와 동일하거나 또는 i 보다 큰, 즉, 상기 내부 연속성은 요구되는 기하학적 연속성을 적어도 포함하는 것을 의미한다. 반대로, 공통 에지에 걸쳐서, 두 개 이상의 기본 표면 사이에서의 기하학적 연속성은 요구되는 연속성 Gi 보다 낮을 확률이 높다. 또한, 각각의 특이 (singular) 정점, 예를 들어, 비정규 정점에 대해서, 프로세스는 이하의 단계들; 정점에 이어진 에지에 걸쳐서 파라메트릭 기본 표면의 (통상, "제어점 (control point)" 이라 지칭되는 위치 좌표를 포함하는) 파라미터를 연결하고 상기 이어진 에지에 걸쳐서 요구되는 기하학적 연속성을 보강하는 연립 방정식을 정의하는 단계; 및 파라미터를 획득하기 위해 연립 방정식의 해를 구하는 단계를 포함한다. 상기 특이 정점은 인접한 기본 표면 사이의 연속성이 요구되는 연속성 Gi 보다 낮은 곳에 걸쳐서 하나 이상의 에지를 잇는다.

그러므로, 알고리즘은 국부적으로 활성화되고, 각각의 비정규 정점에 대해 연립 방정식이 정의되고 해가 구해진다. 개방 및 폐쇄 정점 모두를 고려하며; 개방 정점은 폐기되지 않는다. 또한, 국부적인 식을 세움으로써 선형 분해능을 허용하여, 프로세스를 교대로 임계적으로 간단하게 하고 능률을 올리게 한다. 프로세스의 완성시에, 상기 연립 방정식의 특성으로 인하여, 목표 연속성에 도달된다.

일 실시형태에서, 파라메트릭 기본 표면 세트를 제공하는 단계는: 면을 정의하는 에지에 의해 연결된 복수의 정점을 가지는 기초 메쉬를 제공하는 단계; 및 기초 메쉬의 각각의 면을 기본 파라메트릭 표면으로 전환하는 단계를 포함할 수도 있다. 따라서, 전환 단계는 임의의 토폴로지를 가지는 기초 메쉬로부터의 작업을 허용하고, 캣멀-클락 세부분할 표면을 이용하는 것이 가능하다. 그러나, 면-표면 매핑은 초기 토폴로지가 중요시되도록 제공한다.

변형예에서: 기초 메쉬의 정점은 차수 4 의 정규 정점 및 4 와 다른 차수의 비정규 정점을 포함하고; 기초 메쉬는 메쉬에 의해 모델링된 표면상에 정점 또는 에지의 인력 (attractiveness) 을 나타내는 선예도 (sharpness) 인, 정점 및/또는 에지에 대해 정의된 선예도 값을 가진다. 선예도는, 예를 들어, 초기 메쉬와 한계 세부분할 표면 사이, 또는 초기 메쉬와 주어진 세부분할 레벨에 있는 메쉬 사이에서의 차이를 측정한다. 전환하는 단계는 이하를 포함한다:

- 3 개 이상의 상이한 유형의 파라메트릭 표면을 제공하는 단계; 및

- 정규 정점과, 그 면의 정점 또는 에지에 대해 제 1 값의 선예도 (예를 들어, 디폴트값 (default value)) 을 가지는 면에 대해, 제 1 유형의 파라메트릭 표면을 적용하는 단계;

- 정규 정점과, 그 면의 정점 또는 에지에 대해 제 2 값의 선예도 (예를 들어, 비-디폴트) 를 가지는 하나 이상의 정점 또는 에지를 가지는 면에 대해, 제 2 유형의 파라메트릭 표면을 적용하는 단계; 및

- 하나 이상의 비정규 정점을 가지는 면에 대해, 제 3 유형의 파라메트릭 표면을 적용하는 단계.

정규 정점과, 정점 및 에지에 대해 디폴트 선예도 값을 가지는 면의 전형적인 예시는 차수 4 및 날카롭지 않은 에지를 가지는 면의 경우이다.

정규 정점 및 디폴트가 아닌 선예도 값을 가지는 하나 이상의 정점 또는 에 지를 가지는 면의 전형적인 예시는, (ⅰ) 2 개의 날카로운 에지의 결합에 있는 차수 3 의 하나 이상의 정점을 가지는 면 및 (ⅱ) 날카로운 에지에 의해 이어진 차수 4 의 정점을 가지는 면이다. 날카로운 에지 상에 놓인 차수 3 의 정점은 비정규 정점으로서 간주되지 않는다. 그러므로, (개방 정점을 가지는 면의 경우를 포함하는) 이러한 면은 특정 처리가 제공된다.

하나 이상의 비정규 정점을 가지는 면의 전형적인 예시는 날카롭지 않은 에지에 의해 이어진 비정규 정점을 포함하는 면이다. 그러므로, 비정규 정점을 가지는 면은 알고리즘에 의해 정확하게 고찰되고, 파라메트릭 표면의 채택된 유형이 적용된다.

또한, 상기 방법이 규칙 및 비정규 정점 모두를 고려하는 것과 마찬가지로, 삼각-사각형의 메쉬를 고려하는 것을 가능하게 한다.

따라서, 연속적인 파라미터화 (이에 따라, 최적화됨) 가 회복된다. 적용된 표면의 유형 (복잡성) 은 선예도의 국부적인 값 및 정점의 특징과 관련하여 선택되고, 이에 따라 모델링된 표면의 알맞은 정교함을 제공한다. 이것은 초과 개수의 제어점을 제공하는 것을 확실히 방지한다. 따라서, 식의 다음 분석이 더 쉽게 이루어진다.

따라서, 제 1 유형 파라메트릭 표면의 제어점의 개수는 제 2 및 제 3 유형 파라메트릭 표면의 제어점의 개수보다 적은 것이 바람직하다.

또한, 제 3 유형 파라메트릭 표면의 제어점의 개수는 제 1 및 제 2 유형 파라메트릭 표면의 제어점의 개수보다 더 큰 것이 바람직하다.

다양한 유형의 적용된 표면에 의해 제안된 탄력성으로 인해, 제 1, 제 2, 및 제 3 유형의 표면은 상이한 노드의 벡터 (nodal vector) 를 가지는 B-스플라인 유형으로 이루어질 수도 있다.

바람직한 실시형태에서, 제공된 파라메트릭 기본 표면은 B-스플라인이고, 해를 구하는 단계에서의 파라미터는 B-스플라인의 제어점의 위치이다. 이는 문제가 선형성 문제를 남길 수 있는 하나의 가능성이다.

바람직한 실시형태에서, 연립 방정식을 정의하는 단계에서, 정의된 연립 방정식에서의 계수는 상수로 설정될 수도 있고, 또는 여전히, 특이점의 유형에 따라 설정될 수도 있다. 예를 들어, 상기 계수는 에지의 상대적인 길이 및 에지 사이의 각도에 의해 영향을 받아 제공된 다항식 형태일 수도 있다. 예를 들어, 다음으로, 당업자는 시행착오를 경험함으로써 소정 표면의 시각적 우수성에 따라 상기 계수를 조절한다. 그러므로, 연립 방정식의 해를 구하기 전에 계수가 설정되었기 때문에, 해를 구하는 문제는 선형으로 남는다.

변형예에서, 상기 파라미터는, 예를 들어, 사용자 요청시 문제를 적어도 부분적으로 비선형적으로 만드는 몇몇의 계수를 포함할 수도 있다. 이러한 경우에, 비-선형성에 의해 해를 구하는데 있어서 추가비용이 부가되지만, 요구되는 연속성에 관해서는, "구해지는" 계수는 보다 우수하다.

앞서 기술된 설명은, 이하 본 발명의 상세한 설명이 더욱 이해되도록 하기 위해 본 발명의 특징 및 이점을 광범위하게 약술한다. 본 발명의 추가적인 특징 및 이점은 첨부된 청구항의 주제를 반영하여 이후에 설명된다. 개시된 개념 및 특정 실시형태는 본 발명의 동일한 목적을 수행하는 다른 프로세스를 변형하고 또는 설계하기 위한 기본으로서 당업자에 의해 손쉽게 이용될 수도 있다. 또한, 이러한 등가 프로세스는 첨부된 청구항에 설정된 본 발명의 사상 및 범위를 벗어나지 않는다는 것이 당업자에게는 자명하다. 본 발명의 특성이 되는 것으로 나타나는 신규 특징과 다른 목적 및 이점은 첨부된 도면과 관련하여 고려하면, 이하의 설명으로부터 보다 잘 이해될 수 있다. 그러나, 도면은 도시 및 설명의 목적으로 제공되었으며, 본 발명의 한계를 정의하려는 것은 아니다.

파라메트릭 표면의 CAD 생성에 관하여, CAD 에서 이루어지는 알고리즘은 주어진 기하학적 연속성을 달성하고, 나아가 개방 및 폐쇄 정점 모두를 고려하고, 선형적인 해를 구하는 것을 허용해야 한다. 이러한 알고리즘은 실시된 면-표면 매핑으로 인해, 기초 메쉬의 초기 토폴로지가 중요시되도록 보장해야 한다. 반대로 기하학적 연속성은 국부적인 (각각의 특이 정점 주위에서) 연결 방법을 통해서 회복되고, 요구되는 제어점의 개수는 표면-대-표면 접근을 적용할 때의 수보다 적게 요구되어야만 한다.

본 발명의 더욱 완전한 이해를 위해, 참조는 첨부된 도면과 관련하여 기술된 이하 설명으로 이루어진다.

본 발명은 CAD 소프트웨어에 의해 구현될 수 있는 프로세스에 관한 것이다. 사용자는 보통의 메뉴 바 (usual menu bar) 와 하부 및 측면 툴바 (bottom and side toolbar) 를 가지는, 전형적인 CAD 인터페이스일 수도 있는 그래픽 사용자 인터페이스 (또는, GUI) 를 통해서 프로세스를 제어할 수 있다. 이러한 메뉴- 및 툴바는 각각의 아이콘이 하나 이상의 동작 또는 기능에 연관되는 당업계에 공지된 사용자-선택가능 아이콘의 세트를 포함한다.

몇몇 이러한 아이콘은 모델링된 물체를 편집 및/또는 나타내기 위한, 소프트웨어 툴과 연관된다. 문제의 소프트웨어 툴은 워크벤치 (workbench) 에서 더 그룹화될 수 있다. 다른 관점에서, 각각의 워크벤치는 소프트웨어 툴의 상이한 서브세트를 포함한다. 특히, 이들 중의 하나는 모델링된 물체의 기하학적 특징을 편집하는데 적절한, 개정 워크벤치이다. 동작에서, 예를 들어, 설계자는 물체의 일부를 사전선택할 수도 있고, 다음으로, 적절한 아이콘을 선택하고 적절한 툴을 가동시킴으로써 동작 (예를 들어, 형상, 치수, 색상 등의 변경) 을 초기화할 수도 있다.

예를 들어, GUI 는 디스플레이된 물체에 관련된 (특징 트리 (feature tree) 로서 공지된) 데이터를 디스플레이할 수도 있다. 통상적으로, 데이터는 GUI 의 좌측에서 트리의 형태로 디스플레이된다. GUI 는, 예를 들어, 디스플레이된 물체의 3D 방향 정위를 용이하게 하기 위해, 다른 유형의 그래픽 툴을 더 나타낼 수도 있다.

예를 들어, 본 발명의 프로세스는 컴퓨터 네트워크에서, 데이터베이스를 구비하는 PLM 시스템에서 구현될 수도 있다. 이러한 경우에, GUI 는 디스플레이 및 메모리를 가지고, 컴퓨터 네트워크에 연결되는 단말기상에서 실행되며, 제품 데 이터 관리 (PDM) 시스템으로부터 이익을 얻을 수도 있다. PDM 시스템은 계층적으로 상호연결될 가능성이 있는 수 많은 문서 및 데이터의 관리를 허용한다. 그러므로, 복수의 사용자는 예를 들어, 유사한 국부적 응용 및 공통의 환경을 이용하여, 상이한 부품/제품상에서 협력적으로 작업할 수도 있다.

본 명세서에 설명하는 프로세스는 요구되는 기하학적 연속성 Gi, 예를 들어, G2 연속성을 갖는 파라미터 표면을 생성하는데 있어서 단지 설계자를 도우려는 것이다. 이하에서, G2 연속성이 고찰된다고 가정하면, 연속성의 임의의 원하는 레벨로 본 발명의 프로세스가 적용될 수 있다는 것을 명심해야 한다. 도 1 은 본 발명의 바람직한 실시형태를 광범위하게 도시하는 플로우차트이다.

도 1 을 참조하여, 프로세스는 임의의 토폴로지를 가지는 소정 물체 (예를 들어, 도 3 에 도시하는 물체 (10) 참조) 를 모델링하여, 기초 메쉬를 제공하는 제 1 단계 (S10) 를 포함한다. 보통, 상기 메쉬는 물체의 면을 정의하는 에지들에 의해 연결되는 복수의 정점을 포함한다.

상기 메쉬는, 예를 들어, 캣멀 & 클락 규칙 (Catmull & Clark rule) 에 따라서, 단계 (S12) 에서 표면이 세부분할된다. 전술한 바와 같이, 상기 세부분할은 평활한 표면이 초기 메쉬로부터 벗어나서 회복되는 것을 가능하게 한다. 더 많은 다각형 엘리먼트를 가지는 새로운 메쉬를 생성하고 더욱 평활해지도록, 세부분할의 수가 사용자-정의될 수도 있다. 이전에 개괄한 바와 같이, 캣멀-클락 표면은 4 개의 에지, 즉, 비정규 정점에 속하지 않는 정점에 대응하는 지점을 제외하고, 어디에나 연속적인 곡률이다. 그러므로, 특정 방법은 원하는 연속성을 재저장하는 것을 통해서 설명될 것이다.

프로세스는 통상적으로, 업그레이딩 디폴트 또는 사용자 정의를 포함하는, 데이터 초기화의 다른 단계 (S14) 를 포함한다. 예를 들어, 초기화 프로세스는 디폴트 또는 사용자-정의된 파라미터에 따라서 표면 다듬기로 진행될 수도 있다. 예를 들어, 사용자는 에지 경계선에 관하여, 특정 표면 세부사항을 기입 또는 변형할 수도 있다. 본 명세서에서, 예를 들어, 라운드/필렛 (round/fillet) 피쳐를 모방하기 위해, 에지가 날카롭게 또는 평활하게 될 수도 있다.

선예도 값은 캣멀 & 클락 세부분할에 후속하는 단계 (S12 또는 S14) 에서 정의 및 저장될 수도 있다. 예를 들어, 선예도 값은 메쉬 피쳐에 기초하여, 자동적으로 정의될 수도 있고, 또는 사용자-정의될 수도 있다. 다음으로, 사용자는 필요한 곳 (특정 정점 또는 에지) 에서 선예도의 비-디폴트값과 어디에서나 가정되는 선예도의 디폴트값을 기입하도록 제안된다.

다음으로, 본 명세서에 파라미터화 단계로 광범위하게 지칭되는 단계 (또는, 전환) 는 (S16) 에서 발생한다. 상기 파라미터화 단계의 완성시, 프로세스는 정점에 의해 이어진 에지를 가지는 파라메트릭 기본 표면의 세트를 제공한다. 이러한 기본 표면은 요구되는 연속성 G2 와 이상인 내부 연속성 Cj 을 가진다. 예를 들어, 요구되는 연속성이 G2 인 경우, 생성된 기본 표면의 내부 연속성은 적어도 C2 이다. 명확하게 하기 위해, C2 내부 연속성 필요조건이 이하 가정된다. C1 내부 연속성에 관련되면 제공하는 C2 내부 연속성이 렌더링된 표면의 품질을 향상시킨다.

파라미터화 단계를 완료시 획득된 것과 같이, 물체의 기하학적 연속성은 그들의 공통 에지에 걸쳐서 낮은 연속성을 가지는 2 개의 기본 표면에 의해 결정된다. 따라서, 통상적으로, 이 단계에서의 기하학적 연속성은 G2 (요구되는 연속성) 미만이다.

상기 파라미터화 단계 (S16) 는, 세부분할 표면이 기본 표면의 세트로 전환되는 전환 단계를 포함한다. 이 전환 프로세스의 결과로서, 기초 메쉬의 각각의 초기 면은 기본 표면으로 전환된다. 따라서, 면-표면 매핑이 보장되어, 기초 메쉬의 초기 토폴로지가 중요하게 된다. 그 결과, 모델링된 물체의 관리는 더욱 간단히 이루어진다.

예를 들어, 상기 전환 단계의 결과는 모델 물체 (10) 의 파라메트릭 표면을 나타내는 도 3 에 도시되며, 여기에는 표면 (40, 42, 44) 의 다른 유형이 물체 (10) 의 초기 면에 따라서 적용되어 있다. 표면 (40 및 42; 각각의 42 및 44) 은 공통 에지 (41; 각각의 43) 를 가진다. 참조번호 (30, 32, 34) 는 면 전환의 완성으로 인해 획득된, 제어점을 표시한다.

도시된 바와 같이, 정점은 차수 4 의 정점 (예를 들어, 정점 (20) 을 참조) 및 4 와는 다른 차수의 정점 (즉, 비정규 정점, 예를 들어, (22, 24) 참조) 을 포함한다. 그러나, 본 명세서에서 식별이 정점 (22) 으로 간주되어 이루어져, 이는 물체 (10) 상부의 날카로운 에지 상에 놓인, 정점 (24, 26) 에 관하여, 물체 (10) 의 평면 표면 내에 놓인다 (정점 (24, 26) 은 2 개의 날카로운 에지 (45, 47) 를 가로질러 위치한다). 그러나, 통상적으로, 2 개의 날카로운 에지에 의해 연 결된 차수 3 을 가지는 비정규 정점 (extraordinary vertex) 은 비정규 (irregular) 로 간주되지 않는다. 그러므로, 이하, 정점 (22) 이 "비정규 정점" 으로서 표시되고, 대신에, 전환 단계에서 고려되는 바와 같이, 정점 (24) 은 반-정규 정점으로서 간주된다. 그러나, 이하 설명되는 다른 목적을 위해, 상이한 분류 방법이 적용된다 (전술한 "비정규" 정점과 혼동하지 않기 위하여, "특이" 정점에 관해 이하 설명한다).

또한, 전술한 바와 같이, 전환 (예를 들어, 단계 (S12 또는 S14)) 이전에, 메쉬는 정점 또는 에지 상에서 한정된 선예도 값과 연관될 수도 있다. 상기 선예도는 그 대응 정점 또는 에지의 국부적인 인력 (attractiveness) 을 나타낸다. 예를 들어, 날카롭지 않은 에지 (41, 43) 는 디폴트값 "0" 에 속한다. 에지 (41 및 43) 와는 다르게, 예를 들어, 에지 (45) 는 "1" 의 비-디폴트값에 속할 수도 있으며, 이하, 물체 (10) 의 날카로운 경계 에지로 도시된다. 전술한 예시에서와 같이, 선예도 값은 이진수일 수도 있다. 그러나, 바람직하게는, 선예도 값은 0 과 100 사이의 범위에 위치하는 정수값으로 저장되고, 이후에 최대의 선예도로 표시된다. 예를 들어, 초기 기초 메쉬와 한계 세부분할 표면 사이의 차이점에 따라서, 각종 알고리즘이 이러한 선예도 값을 결정하도록 요청될 수도 있다.

상기 정의된 선예도 값 및 정점의 특징에 기초하여, 프로세스는 기초 메쉬에 존재하는 다양한 유형의 면에 적응되어 진보적 파라미터화를 회복하도록, 프로세스는 상이한 유형의 파라메트릭 표면을 적용하여 전환 단계 중에 제공할 수 있다.

예를 들어, 초기 면이 발견되는 곳에, 디폴트값을 가지는 정규 정점 (20) 및 에지 (41) 를 포함하는 제 1 유형의 파라메트릭 표면 (40) 이 적용된다. 다음으로, 즉, 선예도의 비-디폴트값을 가지는 에지 (45) 를 포함하는 면에 대해, 제 2 유형 파라메트릭 표면 (44) 이 적용된다. 대응 면은 (본 명세서에 비정규로 간주되지 않은) 정규 정점 및 반-정규 정점 (24, 26) 모두를 포함한다. 결국, 제 3 유형의 표면은 비정규 (irregular) 또는 비정규 (extraordinary) 정점 (22) 을 포함하는 면에 적용된다.

정규 정점을 가지는 면 및 선예도의 비-디폴트값을 가지는 하나 이상의 정점 또는 에지가 전환 알고리즘에 의해 명백하게 고려되기 때문에, 상기 전환은 메쉬의 폐쇄 및 개방 정점 모두에 대해 적용된다.

지금 설명하듯이, 적용된 표면의 복잡성은 선예도의 국부적인 값과 정점의 특징을 참조하여 선택되고, 그로 인해, 적용된 표면의 정교화 (sophistication) 가 국부적으로 최적화된다. 특히, 제 3 유형의 표면 (42) 은 많은 제어점 (32) 을 가지고, 반면에, 제 1 유형 파라메트릭 표면 (40) 의 제어점 (30) 의 수는 제 2 및 제 3 유형의 표면 (42, 44) 모두의 제어점 (32, 34) 의 수 미만이다. 즉, 제어점의 각각의 메쉬는 적용된 표면의 유형에 따라 이상의 밀도 또는 미만의 밀도이다.

예를 들어, 제어점의 밀도는 기여된 선예도 값에 기초하여 산출될 수도 있다 (값 "0" 은 표준 밀도로 안내하는 반면에, 비-디폴트값 예를 들어, "1" 또는 "100" 은 증가된 밀도를 초래한다).

표면을 국부적으로 변형하도록, 예를 들어, 파라메트릭 표면의 2 개의 패치 사이에서 주어진 기하학적 연속성 필요조건을 달성하도록, 제어점은 이후에 이동될 수 있다. 정규 정점 및 날카롭지 않은 에지를 가지는 면은 연속성의 부족을 초래하지 않아서, 낮은 밀도 표면이 그 상부에 적용될 수 있다. 반대로, 불연속성이 비정규 정점 주변에 나타날 가능성이 있어, 높은 밀도의 제어점의 네트워크가 요구되는 연속성을 회복하기 위해 각각의 표면에 제공되어야만 한다.

따라서, 작동하지 않는 제어점은 폐기되어, 다음 단계를 가속시키며, 이는 이하 설명된다.

도 1 의 플로우 차트로 돌아가서, 다른 유형의 표면이 단계 (S16) 에 제공되면, 알고리즘은 각각의 면을 고려하고, 면이 비정규 정점을 가지는지의 여부에 의존하여 식별 처리를 단계 (S20 내지 S24) 에서 진행한다

비정규 정점이 발견된 곳에서, 프로세스는 알고리즘의 다음 부분에 대한 세부사항이 확립되는 균질화 (homogenization) 의 중간 단계 (S26) 를 수행한다. 예를 들어, 본 명세서에서는, 후속 단계를 빨리 처리하기 위해, 형식, 예를 들어, B-스플라인에서 베지어 (Bezier) 로 나아가는 형식에서 변화를 행할 수도 있다.

다음으로, 각각의 비정규 정점 (S28, 본 명세서에서 "특이" 정점로 간주되는 각각의 비정규 정점) 에 대해, 특정 방법이 요구되는 연속성 G2 를 회복하기 위해 구현된다 (S30 내지 S44). 이러한 방법은 도 2 를 참조하여 설명된다.

먼저, 상기 방법은 개방 정점, 폐쇄 정점 및 날카로운 에지에 연결된 폐쇄 정점들 간에 구분을 한다 (각각, S31, S38 내지 S40 및 S38 내지 S39).

폐쇄 정점이 검출되면, 상기 정점에 이어진 에지에 걸쳐 기본 표면의 파라미터 (예를 들어, "제어점" 의 위치 좌표) 를 연결하고, 상기 폐쇄 정점을 연결하는 에지에 걸쳐 요구되는 연속성을 보강하는 연립 방정식이 정의된다. 다음으로, 이후 단계 (S38 내지 S40) 에서 설명되는 바와 같이, 식의 계수가 산출되고, 식의 해가 구해진다.

개방 정점 (S31) 에 대해, 상이한 섹터가 상기 개방 정점을 잇는 에지에 따라 (S32) 에서 산출된다. 상기 개방 정점을 잇는 근사적인 2 개의 날카로운 에지에 의해 한계지어진 공간으로 섹터가 결정된다. 그러나, 하나의 날카로운 에지만이 존재하는 경우, 상기 정점을 둘러싸는 에지의 사이클에 의해 확장된 공간을 포함하는 하나의 섹터만이 결정된다. 이러한 경우에, 연립 방정식이 산출된 섹터의 각각에 대해 정의되어, 섹터 내부에서 이어진 에지에 걸쳐 요구되는 기하학적 연속성을 보강한다 (그러므로, 날카로운 에지는 고려되지 않는다).

다음으로, 정의된 연립 방정식에 관하여, 상기 연립 방정식은 상기 정점에 이어진 모든 부속 에지에 걸쳐서 기본 표면의 파라미터를 연결한다. 폐쇄 정점의 경우, 문제의 에지는 모든 연결 에지에 상당하는 반면, 날카로운 에지에 의해 이어진 개방 정점 또는 폐쇄 정점의 경우, 문제의 에지는 단일의 섹터에 속하는 것들에 제한된다.

상기 식은 이어진 에지에 걸쳐 요구되는 기하학적 연속성을 보강한다. 특히, 식의 세트는 각각의 고려된 정점에 대해 정의되고; 따라서 고려된 정점의 수에 따라 크기를 평가한다. 식은 확립된 제한으로부터 나오고, 이는 이하 설명된다.

도 5 를 참조하여, 비정규 정점 (28) 으로부터, 에지 Eu, Ev, r, Es 의 국부적인 방향을 정의하는 유닛 벡터 u, v, r, s 와 2 개의 인접 B-스플라인 표면 S1 및 S2 를 고려한다. 이 예시에서, 정점 (28) 은 이것이 에지 Ev, r 를 잇기 때문에, 단일이며, S1 과 S2 사이의 연속성은 요구되는 연속성 G2 미만으로 가정된다.

보통 표기법을 이용하여, G0 연속성 조건은 이하를 산출한다.

S1(0,v)=S2(r,0)=C(t) (1)

여기서, C(t) 는 S1 과 S2 에 공통인 곡선이다. G1 연속성은 이하의 조건을 함축한다.

(2)

또는 등가로,

(3)

여기서 α,β,γ 는 형상 파라미터이고, 즉, t 에 의존하는 연속성 조건식의 계수는 이하 설명된다. 다음으로, 식 (2) 또는 식 (3) 을 만족하는 조건을 가정하면, G2 연속성을 보강하는 것은 이하의 조건을 제공한다.

(4)

여기서, 표기 (0, t), (t, 0) 등은 명료하게 하기 위해 생략된다.

전술한 식은 표면의 제어점의 위치 좌표를 함축적으로 포함한다.

지금까지, 그리 많지 않은 설명이 형상 파라미터에 대해 이루어졌고, 즉, 예를 들어, 계수 α, β, γ… 는 일정하게 α₀, β₀, γ₀ 등일 수도 있고, 또는 사용자-정의된 특이점의 유형에 따라서 설정 (단계 S36 또는 S40) 될 수도 있다.

그러나, 최종 그래픽 품질을 일반적으로 향상시키도록 (예를 들어, 시행착오로 인해) 사전-파라미터화된 다항식을 천천히 변경함에 따라서, 이러한 계수 α,β,γ… 등을 선택할 수도 있다.

예를 들어, 도 4a 를 참조하여, α₀, β₀, γ₀, δ₀, 및 η₀ 의 편리한 수치는 각각 1.0, -0.618034, 1.0, 0.0 및 0.0 이다.

전술한 바와 같이, 상기 계수는 국부적 에지의 상대적인 길이 및 에지 사이의 상대적인 각도에 의해 영향을 받은, 내림차순의 다항식 형태가 주어질 수도 있다. 그러나, 이들은 연립 방정식 (S36 또는 S40) 의 해를 구하기 전에 산출되어, 식의 상기 세트의 해를 구하는 것은 선형 문제, 예를 들어, 많은 특이 정점을 가지고 선형으로 증가하는 문제를 남긴다. 각종 다양한 유형의 계수형식은 당업자에 의해 고찰될 수 있다.

해를 구하는 단계의 완료시, 각각의 특이 정점을 둘러싸는 NURBS 는 반환된 새로운 제어점 위치 (S42) 에 따라서 업데이트된다.

요구되는 연속성을 회복하도록, 전술한 방법 (S38 및 S39) 및 개방 정점으로서 동일한 방법으로 (케이스들 사이에서 토폴로지컬한 유사성으로 인해) 후속 처리되는 방법으로 인해서 날카로운 에지와 잇는 폐쇄 정점이 검출된다. 그러므로, (그러나 날카로운 에지와 잇는) 폐쇄 및 개방된 비정규 정점 모두는 "특이" 정점으로서 고려되고, 현재 방법에서 처리되는 것과 같이 유사하게 처리된다.

반대로, 전술한 전환 단계 (S16) 는 (특별 개방 정점과 같은) 비정규 정점 및 날카로운 에지를 잇는 정점 (반-정규 정점) 을 포함하는 면을 구별한다.

알고리즘은 단계 (S44) 에서 정지한다.

그러므로, 완성에 있어서, 앞선 방법은 타겟 파라미터 (연관된 제어점의 위치 좌표) 를 반환하고, 요구되는 연속성, 여기서 G2 을 획득하도록 표면에 따라서 변경한다. 그 결과, 인접 표면 사이의 결합에서 곡률이 (적어도) 비례적이기 때문에, 결과 이음은 봉합자국이 없고 (seamless), 육안으로 식별이 불가능하다.

이는, 프로세스의 완성으로 획득되는, 접점 또는 보통의 두드러진 등고선인 제어점 (도 4b) 의 분포 및 차수 6 의 비정규 정점 (28) 를 잇는 에지 (52 내지 56) 을 가지는 기본 표면을 가지는 모델 물체 (10) 의 파라메트릭 표면을 나타내는 도 4a 내지 도 4d 에 예시된다.

도 4b 에 도시된 바와 같이, 제어점의 획득된 분포는 G2 조건하에서 획득된 전형적 식별 불가한 등고선을 나타낸다. 이상에서 도달되는 표면의 품질은 도 4c 및 도 4d 의 두드러진 접선 및 법선의 콘투어에서 더 반영된다.

도시된 바와 같이, 일반적으로, 전술한 알고리즘은 주어진 기하학적 연속성을 달성하고, 나아가 개방 및 폐쇄 정점 모두를 고려하고, 선형적인 해를 구하는 것을 허용한다. 이러한 알고리즘은 실시된 면-표면 매핑으로 인해, 기초 메쉬의 초기 토폴로지가 중요시 되도록 보장한다. 여기서, 면-대-면 접근방법이 고찰된다. 반대로, 기하학적 연속성은 국부적인 (각각의 특이 정점 주위에서) 연결 방법을 통해서 회복되고, 요구되는 제어점의 개수는 표면-대-표면 접근을 적용할 때의 수보다 적게 요구된다. 그러므로, 본 발명은 통상적인 기존의 절차와 결정적으로 다르다.

Claims (16)

1. 파라메트릭 기본 표면 세트로부터, 요구되는 기하학적 연속성 Gi 를 가지는 파라메트릭 표면을 생성하는 프로세스로서,

   - 파라메트릭 기본 표면의 세트를 제공하는 단계로서, 각각의 기본 표면이 에지와, 인접 에지를 잇는 정점을 가지며 상기 요구되는 연속성 Gi 와 적어도 등가인 내부 연속성 Cj 를 갖되, 하나의 에지에 걸친 2 개 이상의 기본 표면 사이에서의 기하학적 연속성이 상기 요구되는 연속성 Gi 미만인, 상기 파라메트릭 기본 표면의 세트를 제공하는 단계;

   - 적어도 하나의 에지를 잇고 그 에지에 걸쳐 인접한 기본 표면 사이에서의 연속성이 상기 요구되는 연속성 Gi 미만인 각각의 특이 정점 (singular vertex) 에 대해서,

   - 상기 특이 정점이 폐쇄 정점인 경우: 상기 특이 정점에 이어진 모든 에지들에 걸쳐서 상기 파라메트릭 기본 표면의 파라미터를 연결하고 상기 이어진 모든 에지들에 걸쳐서 상기 요구되는 기하학적 연속성을 보강하는 연립 방정식을 정의하는 단계;

   - 상기 특이 정점이 날카로운 에지에 의해 이어진 폐쇄 정점 또는 개방 정점인 경우: 날카로운 에지들을 제외한 상기 특이 정점에 이어진 에지들에 의해 걸쳐진 (spanned) 공간으로서 결정된 적어도 하나의 섹터를 계산하는 단계, 및 상기 적어도 하나의 섹터에 대해, 상기 특이 정점에 이어진 상기 적어도 하나의 섹터 내의 에지들에 걸쳐서 상기 파라메트릭 기본 표면의 파라미터를 연결하고 상기 적어도 하나의 섹터 내의 상기 이어진 에지들에 걸쳐서 상기 요구되는 기하학적 연속성을 보강하는 연립 방정식을 정의하는 단계; 및

   - 상기 파라미터를 획득하기 위해 상기 연립 방정식의 해를 구하는 단계를 포함하는, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
2. 제 1 항에 있어서,

   상기 파라메트릭 기본 표면의 세트를 제공하는 단계는,

   - 면을 정의하는 에지에 의해 연결된 복수의 정점을 가지는 기초 메쉬를 제공하는 단계; 및

   - 상기 기초 메쉬의 각각의 면을 기본 파라메트릭 표면으로 전환하는 단계를 포함하는, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
3. 제 2 항에 있어서,

   상기 기초 메쉬를 제공하는 단계는,

   - 상기 기초 메쉬의 정점은 차수 4 의 정규 정점 및 4 와는 다른 차수의 비정규 정점을 포함하고;

   - 상기 기초 메쉬는 정점 및/또는 에지에 대해 정의된 선예도 값을 가지며; 및

   상기 전환하는 단계는,

   - 3 개 이상의 상이한 유형의 파라메트릭 표면을 제공하는 단계;

   - 정규 정점과 그 면의 정점 및/또는 에지에 대해 정의된 제 1 값의 선예도만을 가지는 면에 대해서, 제 1 유형의 파라메트릭 표면을 적용하는 단계;

   - 정규 정점과 제 2 값의 선예도를 가지는 하나 이상의 정점 또는 에지를 가지는 면에 대해서, 제 2 유형의 파라메트릭 표면을 적용하는 단계; 및

   - 하나 이상의 비정규 정점을 갖는 면에 대해, 제 3 유형의 파라메트릭 표면을 적용하는 단계를 더 포함하는, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
4. 제 3 항에 있어서,

   상기 기초 메쉬는 캣멀-클락 세부분할 규칙 (Catmull-Clark subdivision rule) 에 따라 세부분할되는, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
5. 제 4 항에 있어서,

   상기 파라메트릭 표면은 스플라인 (spline) 표면을 포함하는, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
6. 제 5 항에 있어서,

   상기 제 1 유형의 파라메트릭 표면의 제어점의 개수는 상기 제 2 및 상기 제 3 유형의 파라메트릭 표면의 제어점의 개수 미만인, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
7. 제 6 항에 있어서,

   상기 제 3 유형의 파라메트릭 표면의 제어점의 개수는 상기 제 1 및 상기 제 2 유형의 파라메트릭 표면의 제어점의 개수를 초과하는, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
8. 제 5 항에 있어서,

   상기 제 1 유형의 표면, 상기 제 2 유형의 표면 및 상기 제 3 유형의 표면은 다른 노드의 벡터 (nodal vector) 를 가지는 B-스플라인 유형인, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
9. 제 1 항에 있어서,

   제공된 상기 파라메트릭 기본 표면은 B-스플라인이고,

   상기 해를 구하는 단계에 대한 파라미터는 상기 B-스플라인의 제어점의 위치 좌표인, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
10. 제 1 항에 있어서,

    상기 연립 방정식을 정의하는 단계에서, 정의된 상기 연립 방정식에서의 계수는 상수로서 설정되는, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
11. 제 1 항에 있어서,

    상기 연립 방정식을 정의하는 단계에서, 상기 정의된 연립 방정식에서의 계수는 특이 정점의 유형에 따라서 설정되는, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
12. 제 1 항에 있어서,

    제공된 상기 파라메트릭 기본 표면은 B-스플라인이고,

    상기 해를 구하는 단계에 대한 파라미터는,

    - 상기 요구되는 연속성을 보강하는 상기 방정식에서의 계수;

    - 상기 B-스플라인의 제어점의 위치좌표인, 파라메트릭 표면 생성 프로세스.
13. 삭제
14. 데이터 저장 디바이스로서,

    컴퓨터로 하여금 파라메트릭 기본 표면 세트로부터, 요구되는 기하학적 연속성 Gi 를 가지는 파라메트릭 표면을 생성하도록 하기 위한 명령들을 포함하고, 상기 명령들은,

    - 파라메트릭 기본 표면의 세트를 모델링하는 것으로서, 각각의 기본 표면이 에지와, 인접 에지를 잇는 정점을 가지며 상기 요구되는 연속성 Gi 와 적어도 등가인 내부 연속성 Cj 를 갖되, 하나의 에지에 걸친 2 개 이상의 기본 표면 사이에서의 기하학적 연속성이 상기 요구되는 연속성 Gi 미만인, 상기 파라메트릭 기본 표면의 세트를 모델링하는 것;

    - 적어도 하나의 에지를 잇고 그 에지에 걸쳐 인접한 기본 표면 사이에서의 연속성이 상기 요구되는 연속성 Gi 미만인 각각의 특이 정점 (singular vertex) 에 대해서,

    - 상기 특이 정점이 폐쇄 정점인 경우: 상기 특이 정점에 이어진 모든 에지들에 걸쳐서 상기 파라메트릭 기본 표면의 파라미터를 연결하고 상기 이어진 모든 에지들에 걸쳐서 상기 요구되는 기하학적 연속성을 보강하는 연립 방정식을 정의하는 것;

    - 상기 특이 정점이 날카로운 에지에 의해 이어진 폐쇄 정점 또는 개방 정점인 경우: 날카로운 에지들을 제외한 상기 특이 정점에 이어진 에지들에 의해 걸쳐진 (spanned) 공간으로서 결정된 적어도 하나의 섹터를 계산하는 것, 및 상기 적어도 하나의 섹터에 대해, 상기 특이 정점에 이어진 상기 적어도 하나의 섹터 내의 에지들에 걸쳐서 상기 파라메트릭 기본 표면의 파라미터를 연결하고 상기 적어도 하나의 섹터 내의 상기 이어진 에지들에 걸쳐서 상기 요구되는 기하학적 연속성을 보강하는 연립 방정식을 정의하는 것; 및

    - 상기 파라미터를 획득하기 위해 상기 연립 방정식의 해를 구하는 것을 수행하기 위한 명령들을 더 포함하는, 데이터 저장 디바이스.
15. 컴퓨터-판독가능 기록 매체로서,

    컴퓨터 프로그램을 포함하고,

    상기 컴퓨터 프로그램은, 제 1 항 내지 제 12 항 중 어느 한 항에 기재된 파라메트릭 표면 생성 프로세스를 수행하기 위한 명령들을 포함하는, 컴퓨터-판독가능 기록 매체.
16. 컴퓨터 시스템으로서,

    프로세서, GUI (Graphic User Interface) 및 메모리를 포함하고,

    상기 메모리는 제 15 항에 기재된 컴퓨터 프로그램을 기록한, 컴퓨터 시스템.

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