JPH0229871A - 自由曲面作成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 以下の順序で本発明を説明する。

Ａ産業上の利用分野 Ｂ発明の概要 Ｃ従来の技術 り発明が解決しようとする問題点（第９図、第１０図） Ｅ問題点を解決するための手段（第１図〜第６図）２作
用（第１図〜第６図） Ｇ実施例 （Ｇ１）自由曲面作成原理（第１図、第２図）（Ｇ２）
自由曲面の作成手順（第３図〜第８図）（Ｇ３）他の実
施例 Ｈ発明の効果 Ａ産業上の利用分野 本発明は自由曲面作成方法に関し、例えばＣＡＤ　（ｃ
ｏｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｄｅｓｉｇｎ　）　、又
はＣＡＭ（ｃ。

ｍｐｕｔｅｒ　ａｉｄｅｄ　ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎ
ｇ）等において＼自由曲面をもった形状を生成する場合
に通用して好適なものである。

Ｂ発明の概要 本発明は、枠組み空間に所定のベクトル関数で表される
パッチを張ることにより自由曲面を作成するようになさ
れた自由曲面作成方法において、周囲のパッチの制御点
を条件として内部の枠組み空間の制御点を決める収束演
算処理を実行するようにしたことにより、周囲を取り囲
む複数のパッチの形状に適合した滑らかな自由曲面を形
成することができる。

Ｃ従来の技術 例えばＣＡＤの手法を用いて自由曲面をもった物体の形
状をデザインする場合（ｇｅｏ■ｅｔｒｉｃ　ｍｏｄｅ
ｌｉｎｇ）　、一般にデザイナは、曲面が通るべき３次
元空間における複数の点（これを節点と呼ぶ）を指定し
、当該指定された複数の節点を結ぶ境界曲線網を所定の
ベクトル関数を用いてコンピュータによって演算させる
ことにより、いわゆるワイヤフレームで表現された曲面
を形成する。かくして境界曲線によって囲まれた多数の
枠組み空間を形成することができる（このような処理を
以下枠組み処理と呼ぶ）。

かかる枠組み処理によって形成された境界曲線網は、そ
れ自体デザイナがデザインしようとする大まかな形状を
表しており、各枠組み空間を囲む境界曲線を用いて所定
のベクトル関数によって表現できる曲面を補間演算する
ことができれば、全体としてデザイナがデザインした自
由曲面（２次関数で規定できないものを言う）を生成す
ることができる。ここで各枠組み空間に張られた曲面は
全体の曲面を構成する基本要素を形成し、これをパッチ
と呼ぶ。

従来この種のＣＡＤシステムにおいては、境界曲ｗＡ′
Ｎ４を表現するベクトル関数として、計算が容易な例え
ばベジェ（Ｂｅｚ　ｉｅｒ　）式、Ｂ−スプライン（Ｂ
−３ｐｌｉｎｅ）式でなる３次のテンソル積が用いられ
ており、例えば形状的に特徴がないような自由曲面を数
式表現するには最適であると考えられている。

しかしこの従来の数式表現は、形状的に特徴がある曲面
（例えば大きく歪んだ曲面をもつ曲面）に適用する場合
には、パッチ相互間の接続方法に困難があり、高度な数
学的演算処理を実行する必要があるため、コンピュータ
による演算処理が複雑かつ膨大になると共に、演算時間
が長大になる問題があった。

この問題を解決する方法として、隣合う枠組み空間の共
有境界について、接平面連続の条件を満足するような内
部の制御点を求め、当該内部の制御点によって決まる自
由曲面を表すベクトル関数によって、自由曲面でなるパ
ッチを張る方法が提案されている（特願昭６０−２７７
４４８号、特願昭６０−２９０８４９号、特願昭６０−
２９８６３８号、特願昭６１−１５３９６号、特願昭６
１−３３４１２号、特願昭６１−５９７９０号、特願昭
６１−６４５６０号、特願昭６１−９６３６８号、特願
昭６１−６９３８５号）。

このような接続方法によって、例えば第９図に示すよう
に、節点Ｐ、〜Ｐ１いｐ！ｔ〜Ｐｔａ、Ｐ、１〜Ｐ、４
、ｐ　４．　、　ｐ　４．によって枠組みされた枠組み
空間に、四辺形パッチＳ　（ｕ＋　ｖｌ　Ｉ　Ａ　”　
Ｓ　（ｕ＋　ｖ）　ｌ　Ｃ１Ｓ　（ＩＩＩ　ｖ）　ｔａ
〜Ｓ　（＠＋　１１）　ＲＣ％　Ｓ　（＊＋　Ｖ）　３
Ａ　”’Ｓ　（ＩＩＩ　Ｉり　３Ｃを張ることにより、
全体として自由曲面を形成しようとする場合、各パッチ
に対して所定の範囲で定義されたパラメータＵ及びＶに
よって座標を指定し得るベクトル関数を用いる。

例えば四辺形パッチＳ　ｌｕ＋　ｖ）　Ｉ　Ａ　””　
Ｓ　（ＩＩＩ　ｖ）　ＩＡとして、次式 ％式％ のように、３次のベジェ式で表されるベクトル関数Ｓ　
（ｔｌ＋　ｖｌ　を用いる場合、各四辺形パッチの定義
領域は、パラメータＵ及びＶを Ｄ発明が解決しようとする問題点 ０≦Ｕ≦１ ０≦ｙ≦１ ・・・・・・　（３） のように、Ｏ〜１の領域に限定する手法が用いられてお
り、これにより第９図において四辺形パッチ５（ｕｎ　
ＩＴ）　２ｍで示すように、パラメータがＵ＝Ｏ１ｕ＝
ｌ、ｖ＝Ｑ、ｖ＝ｌによって表される境界曲線において
、隣接するパッチと接平面連続の条件を満足するような
内部の制御点を決めるごとにより、互いに隣接するパッ
チを滑らかに接続して行くことができる。

ところがこのような手法を用いて自由曲面を形成しよう
とする場合、デザイナが枠組み処理をした結果、第１０
図に示すように周囲を複数のパッチで取り囲まれた枠組
み空間ＷＡＫＵがパッチを張っていない空間として残り
、当該枠組み空間ＷＡＫＵにできるだけ滑らかな曲面を
張る必要があるような場合が生じ得る。

第１０図の場合、最後に残った枠組み空間ＷＡＫＵ周囲
には、複数のパッチが配列するように形成されており、
従って各パッチごとにパラメータＵ及びＶについての定
義範囲（（２）式及び（３）式について上述した）が定
められている。

そこで枠組み空間ＷＡＫＵに（１）弐〜（３）式につい
て上述したと同様の手法によって自由曲面を形成しよう
とすれば、各パッチの定義領域に適合するような定義領
域を有するパッチを枠組み空間ＷＡＫＵ内に形成して行
く必要があり、単に滑らかな曲面をできるだけ簡易な手
法で形成したいにも関わらず、これを簡易には成し得な
い結果になる。

本発明は以上の点を考慮してなされたもので、周囲に多
数のパッチが形成されているような枠組み空間に対して
、できるだけ簡易な手法で滑らかな自由曲面を形成でき
るようにした自由曲面作成方法を提案しようとするもの
である。

Ｅ問題点を解決するための手段 かかる問題点を解決するため本発明においては、枠組み
処理によって境界曲線で囲まれた多数の枠組み空間を形
成し、　枠組み空間に所定のベクトル関数で表されるパ
ッチを張ることにより、自由曲面を作成するようになさ
れた自由曲面作成方法において、　周囲を複数のパッチ
（３１１〜８１ｍ）〜（８４１〜５４ｎ）によって囲ま
れた内部の枠組み空間ＷＡＫＵに内部の制御点Ｐｉｊの
位置ベクトルを初期設定し、内部の枠組み空間ＷＡＫＵ
のパラメータＵＳＶ方向についての変化率ａ４Ｓ（ｕｎ
Ｖｌ　／ａｕ”　ａｖ”が所定の基準４１ｉ　ｔ　ヨリ
小さくなるまで、　周囲のパッチ（８１１〜５１ｍ）〜
（Ｓ４１〜５４ｎ）の制御点（Ｐｏｏ〜Ｐ　（：ｌｌｌ
＋１０　）　〜（Ｐｏｏ〜Ｐ６＋３ａ＋　）を用いて内
部の制御点Ｐｉｊの位置ベクトルを収束補正演算するよ
うにする。

Ｆ作用 内部の制御点Ｐ１ｊを、パラメータｕ、ｖ方向について
の変化率”　Ｓ（ｕ、ｖ）　／　ａ　ｕ”　ａ　Ｖ”が
基準値εより小さくなるまで収束補正演算するようにし
たことにより、変化率ａ’　Ｓ　（ｕ、　ｖ）　／　ａ
　ｕ　”Ｂ　ｖｔを演算する際に用いる周囲のパッチ（
ＳＬ１〜Ｓ１ｍ）　〜（Ｓ４１〜５４ｎ）の制御点（Ｐ
ｏ。〜Ｐ（ｌｎｌ。）〜（Ｐ（１゜〜Ｐ＠（ｌｎｌ　）
に基づいて内部の制御点ｐｉＪの補正量を繰り返し演算
することができ、これにより内部の制御点Ｐｉｊの位置
ベクトルが周囲のパッチ（８１１〜Ｓ１ｍ）〜（３４１
〜５４ｎ）の形状に適合するような滑らかな形状になる
。

かくして周囲を複数のパッチ（３１１〜８１ｍ）〜（Ｓ
４１＝３４ｎ）によって囲まれた内部の枠組み空間ＷＡ
ＫＵに簡易に滑らかな自由曲面を形成することができる
。

Ｇ実施例 以下図面について、本発明の一実施例を詳述する。

（Ｇ１）自由曲面作成原理 枠組み処理によって周囲の制御点が決められている枠組
み空間ＷＡＫＵに自由曲面を張るための自由曲面の作成
原理は、第１図に示すように、周囲の境界曲線ＣＯＭ１
１ＣＯＭ２、Ｃ０Ｍ１、ＣＯＭ　４によって隣接する４
つのパッチに接続される１つのパッチを当該４つの境界
曲線ＣＯＭ、〜Ｃ０Ｍ４によって囲まれる枠組み空間Ｗ
ＡＫＵ内に張る場合の自由曲面作成手法を、境界曲５ｓ
ｃ。

Ｍ、−Ｃ０Ｍ４がそれぞれ複数のパッチの境界曲線を含
む場合に拡張適応する。

この実施例の場合、枠組み空間ＷＡＫＵを囲む４つの境
界曲ＩＣ０Ｍ＋　、ＣＯＭ意、Ｃ０Ｍ５、Ｃ０Ｍ４はそ
れぞれ３次のベジェ式を用いて、それぞれ２つの制御点
（ｐ、いＰよ。）、（ｐｏいＰ、２）、（Ｐｕ３、Ｐ２
．）、（Ｐ１５、Ｐ３りによって表されており、かくし
て枠組み空間ＷＡＫＵの内部に４つの内部制御点Ｐ０、
Ｐ１８、Ｐ　１１％　Ｐ　ｔｔを設定することによって
、次式 ％式％） のように、パラメータＵ及びＶによって指定された枠組
み空間ＷＡＫＵ内の座標における位置ベクトルをパラメ
ータＵ及びＶの定義領域、すなわち０５ｕ≦１ ０≦Ｖ≦１　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・
　（６）の範囲で指定された座標を用いて表すことがで
きる。

（４）式において、Ｅ及びＦはそれぞれＵ方向及びＶ方
向のシフト演算子で、パッチＳ　（ｕｎｖｌ　上の位置
ベクトルで表される制御点Ｐｉに対して次式、 Ｅ　’　Ｐｉｊ””Ｐｉｔｌ　　ｊ （ｔ、ｊ＝０．１１２） Ｆ　’　Ｐｉｅ”Ｐｉ　　ｊ◆ｌ （ｉ、ｊ＝０．１．２） の関係をもつ。

ところで枠組み空間ＷＡＫＵに（４）式で表されるパッ
チＳ軸ｌ１ｌ）を張る場合、当該パッチＳ　（ｕｎ　ｖ
）をできるだけ滑らかにするため、次式のように、パラ
メータＵ及びＶについてそれぞれ２階偏微分した結果を
Ｏと置くことができるような条件を、パッチＳ　＜＠＋
　ｖ）の定義領域において常に成り立つ自由曲面を選定
する。

ここで、（４）式のパラメータＵ及びＶについてそれぞ
れ２階偏微分すれば、 ａ４　Ｓ（。＋ｖ） ａｕ”　　ａｖ” −（６（１−ｕｎｕＥ）（１−ｖ＋ｖＦ）３（Ｅ−１）
”） （６（１−ｖ＋ｖＦ）（１−ｕｎｕＥ）’（Ｆ−１）”
）　　・Ｐｏ。

＝３６（１−ｕｎｕＥ）’（１−ｖ＋ｖＦ）’（Ｅ−１
）”　（Ｆ−１）”Ｐｅａ （ｌＯ） のように表すことができ、この偏微分式が常に０になる
ためには （Ｅ−１）”　　（Ｆ−１）寡Ｐ０゜＝０の関係が成り
立つような制御点を選定すれば良いことが分かる。

ここで、（１１）式の左辺を展開すると、Ｖｏｅ＝　　
（Ｅ−１）”　（Ｆ−１）”Ｐａ。

＝　　（Ｆ　−１）”（Ｅ”−２Ｅ　＋　１）Ｐｏ。

＝　　（Ｆ−１）”（ｐｇ。−２ｐ、。＋Ｐ０゜）＝Ｆ
”ＣＰｔｏ　　２Ｐ１１１＋Ｐ（１゜）２　Ｆ　（Ｐｚ
ｏ−２Ｐｔｏ＋Ｐｏｏ）＋（Ｐ２゜−２ＰＩ６＋ＰＯ６
） ”ＣＰｔｏ−２Ｐ＋ｚ＋Ｐｏｚ） ２（Ｐｉｔ　　２Ｐｚ＋Ｐｏ＋） ＋（Ｐｚｏ　　　２ＰＩＩｌ＋Ｐ（＋。）ミ０ ・・・・・・　（１２） のように、節点を構成する制御点Ｐ０゜を基準にしてそ
れぞれ３つの制御点Ｐ０゜、ＰｏいＰ０３からそれぞれ
ベクトル（ａ（Ｉｌｌ、ａｌｅ）、（ａｏＩｓ　ａｌｌ
）、（ａ６ｔｓ　ａｄｚ）によって順次表される制御点
列（Ｐｏｏ、　Ｐｔｏ、　Ｐｚｏ）　、　　（Ｐｏ＋−
Ｐｔｔ、　Ｐｔｔ）　−（Ｐ、いＰＩ２１Ｐｚｚ）を所
定の係数の比率でベクトル合成することによって表され
るベクトル■。。が０になる内部制御点Ｐ０、Ｐｔｔ、
Ｐ□、ｐｔｚを選定すれば、制御点Ｐ０゜を基準とし、
かつ境界曲線ＣＯＭ、及びＣＯＭ、によって与えられる
制御点に基づいてパッチＳ　（ｕ＋ｖ）　　として滑ら
かな自由曲面を形成できることになる。

ところで（１２）式において、周囲の枠組み処理によっ
て、制御点Ｐ０゜、Ｐｌ。、Ｐ２゜、Ｐ、いＰ。２が既
知数であるのに対して、内部の制御点ＰＩＩ％ｐ、ｚ％
　Ｐｚｔｓ　Ｐｚｚが未知数である。そこで４つの内部
の制御点Ｐ０、Ｐｌ８、Ｐ、いＰｔｔを一義的に特定す
るため、次の手法によって（１２）式に対応する残り３
つの式を求める。

すなわち（１２）式におけるベクトルｖ０゜を表す制御
点は、第２図に示すように、パッチＳ　（ｕ＋　Ｖ）の
節点Ｐ０゜を基準にして３×３個の制御点Ｐ０゜〜Ｐｔ
！を含む領域について滑らかな曲面をもたせるための条
件としてベクトルｖ０゜を求めたことを表している。

そこで第２の条件式として、第２図においてベクトルＶ
、。で表すように、注目領域をＵ方向に１つの制御点分
だけシフトさせた領域について（１２）式と同様の条件
式を次式 Ｖｔｏ−（Ｐｚｚ−２Ｐｇｚ＋Ｐ＋ｚ）−２（Ｐｔｔ−
２Ｐｔｔ　＋Ｐ＋＋） ＋（Ｐ３゜−１２Ｐ２゜＋Ｐ＋ｏ） ミ０ のように求める。　　（１３）式を（１２）式と比較す
れば、（１３）式の表現は、基準点をＰｏ。からＰＩｏ
に移して３×３個の制御点Ｐ、。〜Ｐｏを含む領域につ
いて滑らかな曲面を形成するための条件を求めたことを
意味している。

次に第３の条件式は、第２図においてベクトルｖ、ｌで
示すように、ベクトルｖ０゜の場合と比較して、基準点
をＶ方向に１つの制御点分だけシフトさせた３×３個の
制御点Ｐ、、Ｐ、、を含む領域について次式 ％式％） に基づいて当該領域において滑らかな自由曲面を形成す
る条件を求めることができる。

さらに第４の条件として、ベクトルＶｌ１１の場合と比
較して、Ｕ方向に１つの制御点分だけシフトさせた制御
点Ｐ１１を基準点として３×３個の制御点Ｐ、〜Ｐｏを
含む領域について次式 ％式％） のように滑らかな自由曲面を形成するための条件を求め
る。

（１２）式、（１３）式、（１４）式、（１５）式の結
果から、これを一般式で表せば、 ｖ！ｊ ＝　（Ｐ　（五＋ｔ、　（Ｊ＊ｚｌ　　−２Ｐ　　（１
，Ｉ）　　（＝ＩＺｌ　　十　Ｐ　！　　（ｊ＋。）−
２（Ｐ　（ｌ◆暑）（Ｊ◆ｌ）　　２Ｐ（ムφ１）（ｊ
◆！）”　Ｐｉ　ｕ＊＋＞） ＋ＣＰｕ＊ｔ＞ｊ　２Ｐ（ｔ、＋＋ｊ＋Ｐ＝＝）＝０ １＝０、１ ｊ＝０，１ のようなベクトルＶｉｊの条件式として表現することが
できる。

ここで、（１６）式において Ｑ五ｊ＝Ｐｔ盈◆ｚ＞ｊ　　２　Ｐ　（ｉ＊ｌｌｊ＋ｐ
ｉＪ・・・・・・−（１９） と置けば、ベクトルｖｉｊは Ｖ　＝ｊ−ＱＩ　＜ｊ＋ｚ＞　−２Ｑ目ｊ＋＋）　＋　
ＱＩ・・・・・・　（２０） のように表現することができる。

（１９）式のベクトルＱ、ｊは、４つのベクトル■。。

〜■、に対応する注目領域を指定したとき、各注目領域
に含まれ、かつＵ方向に配列される３つの制御点につい
ての条件式を表しており、（２０）式はこのＵ方向の３
つの制御点列３列分の条件式を含んでベクトルｖ！Ｊの
値が決まることを表している。

かくして条件式Ｖ＋ｉは、注目領域の制御点を、第１、
第２、第３のＵ方向の制御点列の条件ベクトル（すなわ
ちＱ４４−、　ＱＩ＜＊や、）、Ｑ＋ｔＪ＊ｔ））を、
■方向に３列分含んだ条件式として表現できることを意
味している。

（２０）式の表現を用いれば、（１２）式、（１３）式
、（１４）式、（１５）式のベクトルＶＯ＠、ＶＢ２、
■、いｖＩＩは次式 ％式％（２１） のように、それぞれ３列分の制御点列によって表すこと
ができる。

ところが（２１）式〜（２４）式において、ベクトルＱ
、。、Ｑ、。は制御点Ｐ０゜からＰ３゜に至るまでの既
知の制御点（枠組み処理によって与えられた）によって
表されると共に、Ｑ、、及びＱ８．は制御点Ｐ０．から
Ｐｌ、に至るまでの既知の制御点（枠組み処理によって
与えられた）によって表される。

そこで（２１）式及び（２３）式からベクトルＱ１及び
Ｑ、ｔを解けば のように既知のベクトルＱ０゜及びＱ、１、すなわちＱ
・。−Ｐｌ。−２Ｐ１゜十Ｐ、。

Ｑｏｓ−Ｐｔ３−２　Ｐ　、ｓ＋　Ｐａ５によって求め
ることができる。

同様にして（２２）式及び（２４）式からＱ、及びＱｔ
ｔを求めれば、 Ｑ、、＋　２　ＱＩ。

Ｑ　ＩＩ＝ になる、ここでベクトルＱ１゜及びＱ　＋　ｓは（１９
）式％式％ のように、枠組み処理によって与えられた既知の制御点
によって表される。

（２５）式、（２６）式、（２９）式、（３０）式のよ
うに表されるベクトルＱ　ｏ　ｌ　％　Ｑ　（１２％　
Ｑ　ｔ　ｔ、ＱＩ２はそれぞれ（１９）式から ＱＩＩ−Ｐ□−２Ｐｔ＋＋Ｐｏ＋ Ｑｏｔ＝Ｐｘ＊−２Ｐ＋ｚ＋Ｐｅｚ Ｑｔｔ−Ｐｓｔ−２ＰＺｌ＋ＰＩＩ Ｑｔｚ＝Ｐｓｚ−２Ｐｚ□＋Ｐ１８ のように書き直すことができるから、結局４つの未知数
Ｐ、いＰ　ｌｔｓ、　Ｐ　ｚいＰ。を含む４つの条件式
に整理することができ、この連立方程式と、（２５）式
、（２６）式、（２９）式、（３０）式とから未知数Ｐ
　１１　、Ｐ　ｚ＋、Ｐ＋ｔｓＰｚｚを次式のようにし
て解（ことができる。

以上のようにして、内部の４゛つの制御点Ｐ、いＰ、ｔ
ｚ　Ｉ’Ｈｓ　Ｐｚｚを、注目領域を１画素分ずつＵ方
向及びＶ方向に順次シフトした４つの領域（ベクトルｖ
０゜、Ｖ＋０１Ｖ０いＶ　ｔ　＋によって表される）に
おいて滑らかな自由曲面を形成するための条件式（（９
）式）を満足するような条件の下に特定できることによ
り、　結局（３７）弐〜（４０）式によって表される制
御点を設定すれば、パッチＳ　（ｔｌ＋　？）　　（第
１図）として、枠組み空間ＷＡＫＵ全体に亘って滑らか
な自由曲面を形成することができる。

このようにして内部の制御点を決める際に、枠組み処理
によって枠組み空間ＷＡＫＵの周囲の制御点が予め与え
られていることにより、これらの周囲の制御点を含めて
滑らかな自由曲面を枠組み空間ＷＡＫＵに張ることがで
きる。

（Ｇ２）自由曲面の作成手順 上述のような自由曲面の作成原理に基づいて、自由曲面
作成装置の中央処理ユニット（コンピュータでなる）は
、第３図に示す処理手順に従って、例えば第４図に示す
ように、枠組み処理によって周囲の制御点が与えられて
いる枠組み空間ＷＡＫＵに滑らかな曲面をもつパッチＳ
　（ｕｎ　ｖｌ　を形成できるような内部制御点Ｐ目（
ｉ及びｊはそれぞれＵ方向及びＶ方向のシフト用パラメ
ータを表す）を、その誤差を最小にするような操り返し
積算手法を用いて形成して行く。

この実施例の場合枠組み空間ＷＡＫＵはＵ及びＶ方向の
パラメータによって四辺形を形成する複数のパッチの制
御点によって既知の値として与えられており、Ｕ方向に
沿う方向に延長しながら互いに相対向する２辺がｍ個の
パッチ（Ｓ、いＳａｔ・・・・・・Ｓ＋−）及び（ｓｉ
いｓ３ｇ・・・・・・Ｓｌ、）と共有境界ＣＯＭ　ｌ　
１１及びＣ０Ｍ５ｘを介して接している。またＶ方向に
沿う方向に延長しながら互いに相対向する２辺がｎ個の
パッチ（Ｓ　ｚ　ｔ　、Ｓ　３＋・・・・・・Ｓ　３１
．）及び（Ｓ、いＳ４□・・・・・・５４７）と共有境
界Ｃ０Ｍ２に及びＣ０Ｍ４Ｍを介して接している。

かくしてＵ方向の第１の共有境界ＣＯＭ　Ｉ　Ｘは、第
０、第１、第２・・・・・・第３＋ａ−１、第３．番目
の節点Ｐ１１１１％　ＰＳ（１％　Ｐｉｌｌ・°°・・
°Ｐ　（＠−３）　ｏｓ　Ｐ　（３秦）Ｏと・各節点間
の共有境界部分を規定する制御点（Ｐ＋。、Ｐ８゜）、
（ｐ、。、Ｐ、。）、・・・・・・（Ｐ（ｓｍ−ｔ＋。

、Ｐ　（３ｍ−１）＠　）とを有する。

同様にしてＵ方向の第２の共有境界ＣＯＭ　ｓ　ｘは、
節点Ｐｏ＜ｓｍ＞　、ＰＳ（１ｍｌ　、Ｐｈ＜ｓｎ＋　
・”Ｐ　（１＋ａ−１）　＜ＺｎいＰ　（３，）　（３
Ｆｌ）と、各節点間の制御点（ＰＩ（３ｍ）　−、ＰＳ
＋２＊）　）、ＣＰａ＜ｓＲｌ、ＰＳ（３Ｒ））・＝°
°°（Ｐ　（３−冨）　ＨｆＩ）・Ｐ（３ｍ−１璽３ｈ
））とによって表されている。

これに対して■方向の第１の共有境界ＣＯＭ　ｚｘは、
　３ｎ＋１個の節点Ｐ　Ｃ３ａｌｌｌ　、Ｐ　ｔｓｌｍ
＞２　・・””Ｐ　（３ｓ）　（３ｍ−１）、Ｐ　（３
１１）　＜ｆｆｎ＋と、各節点間の制御点（Ｐ＋ｓａ）
＋　−、Ｐ（１ｍｌ！　）　％　　（Ｐ（ｓｓｚ　％　
Ｐｔｚｓ＋ｓ　）　ｓ・・・・・・（Ｐ　（３１１）　
＜３ｎ−ｚ＞、Ｐ　（３ｍｌ　（Ｉｎ−１１）とによっ
て表されている。

同様にしてＶ方向の第２の共有境界ＣＯＭ　４ｘは、ｎ
＋１個の節点Ｐ０゜、Ｐ０８、Ｐ　１１＆”””Ｐ　０
（３ｎ−３）、ｐＨ＋３１１１　と、　これらの節点間
の制御点（ＰｏいＰ、２）、（Ｐ、４、Ｐｏ５）、・・
・・・・（ＰＯ（３＋＋−り、ＰＯ（３ｅ−Ｈ）によっ
て表されている。

自由曲面作成装置のＣＰＵは枠組み空間ＷＡＫＵの周囲
を規定するこれらの節点及び制御点に基づいて、パッチ
内の制御点ｐｉＪ（０≦ｌ≦３ｍ。

０≦ｊ≦３ｎ）を求める演算を節点Ｐ、。から節点Ｐ　
１３ｍ）　（３ｎｌの方向に、　第１図及び第２図につ
いて上述したと同様にして、　３×３個の制御点を含む
注目領域をＵ方向又はＶ方向に順次１つの制御点骨だけ
シフトさせながら各注目領域の中央位置にある制御点に
おける形状的な変化率がパッチＳ　（ｕ＋　ｖ）全体と
して所定値以下に収束するまで繰り返し演算を実行する
。

すなわち第３図においてＣＰＵは、メインルーチンＲＴ
Ｏにおいて内部の制御点の作成演算処理に入ると、ステ
ップＳＰＩにおいて枠組み空間ＷＡＫＵの周囲の制御点
Ｐｉｊのデータが入力されるのを待ち受ける。

第４図の実施例の場合、　周囲の制御点Ｐ！ｊについて
のデータとして、（ｉ−０、ｊ−０）の点Ｐ０゜及び（
ｉ＝０、ｊ＝３ｎ）の点ｐＨ（ｍｍ）からＵ方向に（ｉ
＝３ｍ）に至るまでの全ての制御点の位置データが１つ
ずつ初期設定される。また同様にして（ｌ＝０、ｊ−０
）の点Ｐ０゜及び（Ｌ＝３ｍ、ｊ＝０）の制御点Ｐ（３
１１）１１からＶ方向に（ｊ−３ｎ）に至るまでの全て
の制御点の位置データが１つずつ初期設定される。

かかる初期設定が終了すると、ＣＰＵはステップＳＰ２
に移って、４つの共有境界ＣＯＭ　＋　ｘ〜ＣＯＭ　４
　ｘによって囲まれる枠組み空間ＷＡＫＵ内に内部の制
御点Ｐｚｊ（１≦ｉ≦３ｍ−１，１≦ｊ≦３ｎ−１）を
初期設定する。

このようにして初期設定された内部の制御点ＰｉＪによ
って表されるパッチは、ＣＰＵの循環補正演算の起動条
件として用いられるもので、形成しようとする滑らかな
自由曲面とは無関係に任意の形状を表す制御点データを
入力すれば良い。

か（してＣＰＵは演算開始状態に設定され、ステップＳ
Ｐ３から循環補正演算を開始する。

すなわちステップＳＰ３においてＣＰＵは、最大誤差デ
ータε、□としてｇ　、、、　ｗ　Ｑを設定すると共に
、注目領域の基準点としてｊ＝０番目の注目領域列を指
定した後ステップＳＰ４において当該注目領域列につい
て演算開始領域としてｉ　ｗ　Ｑ番目を指定する。

かくして第５図に示すように、（ｉ−０、ｊ−〇）の注
目領域Ｖ、。を制御点の演算対象として指定された状態
になる。

このときＣＰＵは、ステップＳＰ５に移って現在指定さ
れている注目領域の中心制御点Ｐ　（！４１１　（ｊ。

１）の誤差ΔＥを演算し、当該中心制御点Ｐ（ム・１）
（Ｊ−虱）の値を次式 ％式％） によって演算してこれを新たな中心制御点Ｐ　（ｉ４１
１　（ｊ＊１）の値として置き換えると共に、誤差ΔＢ
又は最大誤差ε１．ｘを最大誤差８．１８として保持す
る。

ここで、誤差ΔＥとして次式、 ＝　　　（Ｐ　　ｕ＊ｚ＞　　ｕ＋ｚ＞　　　　２　　
Ｐ　　＜＊＊＊＞　　＜ｊｉｔ＞＋Ｐｔ（ｊ、ｚ＋） ２　　（Ｐ　　（！・８）　（Ｊ◆璽）−２Ｐｌ五◆盪
）（ｊ◆１）＋Ｐム（ｊ・１）） ＋　（Ｐ　（盈・富）Ｊ　　　　２Ｐ（五・朧）Ｊ＋Ｐ
　　盈ｊ）・・・・・・　（４２） のように、　パッチＳ　（＠＋　ｖ）　のうち注目領域
に相当する部分をＵ方向及びＶ方向についてそれぞれパ
ラメータＵ及びＶによって２階偏微分した値を用いるよ
うになされ、　これにより当該誤差ΔＥはＵ方向及びＶ
方向への変化率の大きさを表しており、　その所定比率
α倍のデータを中心制御点Ｐ　（！　０１１　（Ｊ　＋
　１　）に対する補正データとして用いる。

このステップＳＰ５においてＣＰＵは、初期設定後第１
回目の補正演算においては最大誤差８１□が求められて
いないので、（４２）式の演算によって求めることがで
きた誤差ΔＢを最大誤差εｍｍＭとして保持する。

かくして初期設定後の最大誤差ε。１Ｘは次式６式％ のように表すことができ、これにより（４１）式につい
て上述した注目領域■。。の中心制御点Ｐ、の値は次式 ％式％ として求めることができる。

かかる演算が終了した後ＣＰＵは、ステップＳＰ６にお
いてパラメータｉに「＋１」加算をすることにより、注
目領域をＵ方向に１つの制御点分だけシフトさせた注目
領域■、。（第５図）に指定し直した後、ステップＳＰ
７においてパラメータｉが最大指定限度（３ｎ−２）よ
り大きくなっていないことを確認し、その後上述のステ
ップＳＰ５に戻る。

この実施例の場合ＣＰＵは、　Ｕ方向に指定し得る限界
の注目領域として、　　ｉ−（３ｍ−２）番目の制御点
Ｐ　（３ｍ−り（１、Ｐ　（ｊｍ−り　Ｉ　”””Ｐ　
＜２ｍ−ｔ＞　（２＊）　（第４図）を基準点とする注
目領域が第２の共有境界ＣＯＭ□に接する最右端部の注
目領域として選定されており、従ってステップＳＰ７に
おいて肯定結果が得られている間は当該注目領域列にお
ける演算が終了していないことを意味している。従って
ＣＰＵは以後５Ｐ５−ＳＦ３−３Ｐ？−３Ｐ５の循環処
理ループを繰り返し演算することにより、第５図に示す
ように、注目領域Ｖ、。、ｖ２゜・・・・・・Ｖ＜３ｍ
−ｔ＞。の中心制御点Ｐ！いＰ、１・・・・・Ｐ（３ｍ
−１１゜について、（４１）式及び（４２）式について
上述した誤差補正演算を実行する。

やがてステップＳＰ７において否定結果が得られるとＣ
ＰＵは、ステップＳＰ８に移ってＶ方向のシフト用パラ
メータｊに「＋１」加算をした後、ステップＳＰ９にお
いて当該Ｖ方向のシフト用パラメータｊがシフト限度（
３ｎ−２）を超えていないことを確認して上述のステッ
プＳＰ４に戻る。

ここでＣＰＵがステップＳＰ８においてＶ方向のシフト
用パラメータｊに「＋１」加算したことは、第６図に示
すように、注目領域列を１つの制御点分だけシフトさせ
たことを表している。

この状態においてＣＰＵは、Ｕ方向のシフト用パラメー
タｉをｉ−０に設定し直した後、上述の循環ループ５Ｐ
５−３Ｐ６−３Ｐ７−３Ｐ５の演算に入り、かくして当
該循環ループの演算を繰り返すごとに注目領域ｖ０いＶ
、・・・・・・Ｖ　Ｃ３１１−！ｌ　ｌにおける中心制
御点Ｐ＋ｚ、Ｐｚ□・・・・・・Ｐ（３ｍ−＋）ｔにつ
いての補正演算を実行して行く。

このようなＶ方向へのシフト演算は、ステップＳＰ７に
おいて否定結果が得られるごとに繰り返され（このこと
は１列分の注目領域列の演算が左側の共有境界ＣＯＭ　
ａｘに接している注目領域から右側の共有境界ＣＯＭｔ
Ｘに接している注目領域までの１列分の演算処理が終了
したことを意味している）　、ＣＰＵはステップＳＰ８
、ステップｓｐ９、ステップＳＰ４の処理ループを通っ
てＶ方向のシフト用パラメータｊを「＋１」ずつシフト
させて行くことにより、注目領域の中央制御点の演算を
共有境界ＣＯＭ　Ｉｘ側からＣＯＭ□側へ１つの制御点
ずつ演算範囲を拡大して行く　（第４図）。

やがてステップＳＰ９において否定結果が得られると、
このことは補正演算処理が演算限界範囲（すなわち上側
共有境界ＣＯＭ　３Ｘに接する注目領域列までの範囲）
まで終了したことを意味し、このときＣＰＵは枠組み空
間ＷＡＫＵ全体について、内部制御点の補正処理を終了
したと判定してステップ５ＰＩＯに移る。

このステップ５ＰＩＯは当８亥パッチＳ　（ＩＩＩ　ｖ
）の制御点の補正処理の間に生じた最大誤差εｓｅｘが
基準誤差６より小さいか否かの判断をするステップで、
否定結果が得られたとき、それまで実行した補正処理に
よって形成されたパッチＳ　（ａ＋　ｙ）が未だ滑らか
であるとは言い得ない状態にあることを意味しており、
このときＣＰＵは上述のステップＳＰ３に戻って、再度
最大誤差データε−ｓａｇを０にクリアした後、Ｖ方向
のシフト用パラメータｊをｊ＝０に設定することによっ
て下側共有境界ＣＯＭ　Ｉ　Ｍに接する注目領域列から
改めて循環ループ５Ｐ５−３Ｐ６−３Ｐ７−３Ｐ５の処
理を繰り返すような処理動作に入る。

このようにしてパッチＳ　（ＩＩ＋　Ｉ＋１の内部の制
御点について補正演算を繰り返すと、各制御点Ｐｌｊに
対する補正量αΔＥ　（（４１）式）の値が枠組み空間
ＷＡＫＵの周囲の形状を表している共有境界ＣＯＭ　Ｉ
　Ｘ　’＝　ＣＯＭ　ａ　Ｘを規定する制御点によって
規制されて当該周囲の制御点によって決まる値に収束し
て行き、やがて最大誤差６．□が基準誤°差ε内に収束
する状態に行きつく。

ＣＰＵはステップ５ＰＩＯにおいて、肯定結果を得ると
、ステップＳｐＨに移る。

このステップ５ＰＩＩは、枠組み空間ＷＡＫＵの内部に
生成された制御点によって表されるパッチが滑らかに接
続されていないことが明らかな場合や、当該内部に生成
されたパッチと共有境界ＣＯＭ＋ｘ”　ＣＯＭ４Ｘを挟
んで接続される外部のパッチとの接続関係が明らかに滑
らかではないとき、これを滑らかに手直し処理を実行す
る。

因に、ＣＰＵは第７図に示すように、枠組み空間ＷＡＫ
Ｕの内部の接点を、共有境界ＣＯＭ＋ｘ〜ＣＯＭ　ａ　
Ｘ上にある節点Ｐ　＜！−３ｐ＋　ｔｔ−ｓｒｓ＞　（
ｐ＝　０、ｌ・・・・・・ｍ　Ｓｑ　＝　０．１・・・
・・・ｎ）に対応させるように、３つおきに設けられて
いる。

そこでこれに対応するようにパッチＳ　（ｗ＋　ｖ＞　
内に生成された制御点Ｐ！Ｊのうち、　対応する制御点
Ｐ　＜１ｅｓｔ＞　＜ｔｍｓｑ＞について、　これを取
り囲む４つの制御点Ｐ　ｕ−１，Ｊ％　Ｐ　（１゜ｌ）
ｊ％　Ｐ！（Ｊ−１１及びＰム（ｊｌ）へのベクトルＡ
ｔ、Ａ雰、Ａｓ　、Ａ４が同一平面上にないベクトルで
表されている場合には、当該節点Ｐ（ム、、。。、、。

において各ベクトルＡ、〜Ａ４の法線ベクトルＮ、−Ｎ
、が第８図に示すように一致しないような状態になる場
合がある。

このような場合には、これら周囲の制御点によって形成
される４つのパッチを滑らかに接続することができない
結果になる。

そこでｃｐｕは、ステップ５ＰＩＩにおＣ１て、節点Ｐ
　中３Ｐｌ　（ｊｓ！＠ｌと、その周囲の４つの制御点
Ｐ（ム−＋１Ｊ％Ｐ（１゜Ｉ）ＪＳＰｔ＜ｊ−＋）、Ｐ
直（Ｊｏｌ）を同一平面上に移動させるように枠組みを
変更するような処理を実行する。

このとき移動距離をできるだけ小さくすることにより、
周囲への変形の影響を小さくする。

その後ＣＰＵはステップ５Ｐ１２において枠組み空間Ｗ
ＡＫＵに形成されたパッチＳ　ｔｌｌ＋　Ｉ＋）　　と
周囲のパッチとを接平面連続の条件の下に接続した後、
ステップ５Ｐ１３において当該自由曲面形成処理を終了
する。

以上の構成によれば、周囲の自由曲面形成処理によって
形成された複数のパッチによって取り囲まれるように残
された枠組み空間に対して、その全ての領域部分におい
て滑らかな自由曲面を形成できる条件の下に、新たな制
御点を生成すると共に、当該生成された新たな制御点を
用いてさらに新たな制御点を生成して行くように構成し
たことにより、周囲のパッチの形状の条件を取り入れな
がらこれと適合するような滑らかなパッチを張ることが
できる。

かくするにつき、−旦生成した制御点位置における形状
的な変化率を表す誤差が、所定の誤差範囲に入るまで繰
り返し補正収束演算するようにしたことにより、周囲の
複数のパッチに対して最も適応性の良い形状のパッチに
容易に収束させることができる。

（Ｇ３）他の実施例 （１）　　第６図の実施例においては、下側の共有境界
ＣＯＭ　Ｉｘに接する注目領域列の各注目領域を左端か
ら右端の方向に向かって１つずつ順次処理して行（と共
に、当該注目領域列を順次上側の共有境界ＣＯＭ　ＩＸ
側にシフトさせて行くことにより、枠組み空間ＷＡＫＵ
全体について隣接する制御点を順次演算しながら形成し
て行くように構成したが、演算順序はこれに限らず、必
要に応じて飛び飛びに演算処理するようにしても上述の
場合と同様の効果を得ることができる。

（２）上述の実施例においては３次のベジェ式を用いて
これをパラメータｕ、ｖ方向にそれぞれ２階偏微分する
ことによって３ｘ３＝９個の制御点でなる注目領域を形
成するように構成したが、注目領域の制御点の数はこれ
に限らず例えば５×５個などのようにその他の大きさに
選定するようにしても良い。

（３）　　上述の実施例においては、ベジェ式によって
表されるパッチを張るようにした場合について述べたが
、本発明はこれに限らず、スプライン式、クーンズ（Ｃ
ｏｏｎｓ）式、ファーガソン（Ｆｅｒｇｕｓｏｎ）式等
の他のベクトル関数を用いるようにしても良い。

Ｈ発明の効果 上述のように本発明によれば、枠組み空間内の内部制御
点を大まかに決めると共に、当該大まかに決めた内部制
御点を所定の注目領域についてＵ及びＶ方向の変化率を
小さくするような制御点を周囲の制御点のデータを用い
て収束演算をするようにしたことにより、周囲のパッチ
の形状に適合するような形状をもつ自由曲面を容易に形
成することができる。

【図面の簡単な説明】

第１図及び第２図は本発明による自由曲面作成方法の作
成原理の説明に供する路線図、第３図は内部の制御点の
作成手順を示すフローチャート、第４図、第５図、第６
図は内部の制御点の補正処理の説明に供する路線図、第
７図及び第８図は形成したパッチの接続点における枠組
み修正処理の説明に供する路線図、第９図及び第１０図
は自由曲面作成時の問題点の説明に供する路線図である
。 Ｓ　（ｔｌ＋　？）・・・・・・パッチ、ＷＡＫＵ・・
・・・・枠組み空間、ＣＯＭ　Ｉ−ＣＯＭ　ａ　、ＣＯ
Ｍ　ｌｘ　””　ＣＯＭ　ａ　ｘ・・・・・・共有境界
、Ｐｏ。〜Ｐ　（３ｍｌ　＋３１１１、Ｐａｊ・・・・
・・制御点。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 枠組み処理によつて境界曲線で囲まれた多数の枠組み空
   間を形成し、上記枠組み空間に所定のベクトル関数で表
   されるパッチを張ることにより、自由曲面を作成するよ
   うになされた自由曲面作成方法において、 周囲を複数のパッチによつて囲まれた内部の枠組み空間
   に内部の制御点の位置ベクトルを初期設定し、 上記内部の枠組み空間のパラメータ方向についての変化
   率が所定の基準値より小さくなるまで、上記周囲のパッ
   チの制御点を用いて上記内部の制御点の位置ベクトルを
   収束補正演算する ことを特徴とする自由曲面作成方法。