JP7808129B2 - データ処理方法、計測システム、及び、プログラム - Google Patents

データ処理方法、計測システム、及び、プログラム

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JP7808129B2 JP2023568779A JP2023568779A JP7808129B2 JP 7808129 B2 JP7808129 B2 JP 7808129B2 JP 2023568779 A JP2023568779 A JP 2023568779A JP 2023568779 A JP2023568779 A JP 2023568779A JP 7808129 B2 JP7808129 B2 JP 7808129B2
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Description

本発明は、空間に生成する電磁波等の波動の周波数と空間の空間座標とによって値が定まる波動の計測データを、コンピュータを用いて処理するデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムに関する。
従来、コンクリートや木材等の非金属の構造物の内部を非破壊で検査するレーダ装置が知られている。従来のレーダ装置は、平面上に複数のアンテナが配置されたアレイアンテナを有する。アレイアンテナは、例えば、平面アンテナ等のアンテナが一方向に並んだ構成を有し、送信用アレイアンテナと受信用アレイアンテナが近接して配置される。また、レーダ装置は、構造物の内部を精度よく計測するために、電磁波の周波数を設定された周波数間隔で変更しながら、広帯域の周波数で測定対象物を計測する。
アレイアンテナを有するレーダ装置に関して、例えば、複数の平面アンテナで構成された送信用アレイアンテナと受信用アレイアンテナが共通の誘電体基板に形成されたレーダ装置が知られている（特開２０１５－０９５８４０号公報、以下、「特許文献１」）。従来のレーダ装置では、送信用アレイアンテナの平面アンテナの配列方向は、受信用アレイアンテナの平面アンテナの配列方向と平行である。受信用アレイアンテナの平面アンテナの配列方向における位置は、送信用アレイアンテナの隣接する平面アンテナの２つの位置の中間にある。
また、逆問題の解析を汎用的かつ高速に行い、物体内部の情報を簡便に映像化することができる散乱トモグラフィ方法が知られている（特許第６５５７７４７号公報、以下、「特許文献２」）。
計測したデータから構造物の内部を映像化するために、合成開口処理が利用される。合成開口処理には、大きく、ディフラクションスタッキング法などの足し込み法と、Ｆ－Ｋマイグレーション法などのフーリエ変換を利用するものがある。
実用的な演算時間を実現するためには、フーリエ変換を利用した合成開口処理が現実的である。ここで、フーリエ変換を利用した合成開口処理では、等間隔な平面上での計測が必要となる。
しかし、トンネルの表面のような曲面上で計測する場合には、平面上での計測は難しく、平面近似を行い演算する必要がある。曲面の曲率が大きくなるほど、平面近似による誤差が大きくなり、処理後の３次元映像がぼやけてしまう問題が生じる。
特許文献１に示されるような、平面アンテナが一方向に並んだアレイアンテナを有するレーダ装置では、曲面形状を有する構造物に対して、各アレイアンテナを近接させることが難しい場合がある。
また、特許文献２に示されるような散乱トモグラフィ方法では、物体内部の情報を映像化するための演算が複雑となり、演算時間が長くなる。
本発明は、フーリエ変換を利用した合成開口処理において、曲面形状を有する構造物に対しても、シンプルで演算速度に優れたデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムを提供することを目的とする。
本発明の第１の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するデータ処理方法であって、
ｙｚ平面に平行な面内における(x’, y’)に関する１価関数z’=g(x’, y’)の曲線上に配列された複数の送受信点p(x’, y’, z’)から、前記物体に前記波動を放射し、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、前記波動を放射した前記送受信点p(x’, y’, z’)で計測値sa(x’, y’, k)として受信し、
前記計測値sa(x’, y’, k)を式（１）より２重フーリエ変換してSa(kx, ky, k)を求め、

Sa(kx, ky, k)に対して固有値(x’, y’)を有する式（２）で示される演算子を定義し、

式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める、

データ処理方法である。
但し、
kは、伝播する前記波動の波数、
kx, ky, kzは、前記送受信点p(x’, y’, z’)と前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の往復球面波の波数ベクトルの成分、
である。
本発明の第２の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析する計測システムであって、
ｙｚ平面に平行な面内における(x’, y’)に関する１価関数z’=g(x’, y’)の曲線上に配列された複数の送受信点p(x’, y’, z’)を有する送受信部であって、前記物体に前記波動を放射し、前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、前記波動を放射した前記送受信点p(x’, y’, z’)で計測値sa(x’, y’, k)として受信する送受信部と、
処理装置であって、
前記計測値sa(x’, y’, k)を式（１）より２重フーリエ変換してSa(kx, ky, k)を求める手順と、

Sa(kx, ky, k)に対して固有値(x’, y’)を有する式（２）で示される演算子を定義する手順と、

式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

を実行する処理装置と、
を有する、計測システムである。
kは、伝播する前記波動の波数、
kx, ky, kzは、前記送受信点p(x’, y’, z’)と前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の往復球面波の波数ベクトルの成分、
である。
本発明の第３の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するプログラムであって、
計測値sa(x’, y’, k)を式（１）より２重フーリエ変換してSa(kx, ky, k)を求める手順と、

Sa(kx, ky, k)に対して固有値(x’, y’)を有する式（２）で示される演算子を定義する手順と、

式（３）より３重逆フーリエ変換して、反射率f(x, y, z)を求める手順と、

をコンピュータに実行させるプログラムである。
但し、
kは、伝播する前記波動の波数、
kx, ky, kzは、送受信点p(x’, y’, z’)と反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の往復球面波の波数ベクトルの成分、
である。
本発明の第４の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するデータ処理方法であって、
ｙ軸上に配列された複数の送信点p1(x’, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射し、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙ軸上に配列された複数の受信点p2(x’, y’2, z’2)で計測値sa(x’, y’1, y’2, k)として受信し、
ｙ軸上に配列された前記複数の送信点p1(x’, y’1, z’1)及び前記複数の受信点p2(x’, y’2, z’2)を、x’に関する１価関数z’=g(x’)の曲面上を移動させ、
前記計測値sa(x’, y’1, y’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してSa(k’x, k’y1, k’y2, k)を求め、

Sa(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, k)に対して固有値x’を有する式（２）で示される演算子を定義し、

式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める、

データ処理方法である。
但し、
x’ = x’1 = x’2
z’ = z’1= z’2
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第５の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析する計測システムであって、
送受信部であって、
ｙ軸上に配列された複数の送信点p1(x’, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射する送信部と、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙ軸上に配列された複数の受信点p2(x’, y’2, z’2)で計測値sa(x’, y’1, y’2, k)として受信する受信部と、
を有し、
ｙ軸上に配列された前記複数の送信点p1(x’, y’1, z’1)及び前記複数の受信点p2(x’, y’2, z’2)を、x’に関する１価関数z’=g(x’)の曲面上を移動させる送受信部と、
処理装置であって、
前記計測値sa(x’, y’1, y’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してSa(k’x, k’y1, k’y2, k)を求める手順と、

Sa(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, k)に対して固有値x’を有する式（２）で示される演算子を定義する手順と、

式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

を実行する処理装置と、
を有する、計測システムである。
但し、
x’ = x’1 = x’2
z’ = z’1= z’2
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第６の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するプログラムであって、
計測値sa(x’, y’1, y’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してSa(k’x, k’y1, k’y2, k)を求める手順と、

Sa(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, k)に対して固有値x’を有する式（２）で示される演算子を定義する手順と、

式（３）より３重逆フーリエ変換して、反射率f(x, y, z)を求める手順と、

をコンピュータに実行させるプログラムである。
但し、
x’ = x’1 = x’2
z’ = z’1= z’2
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、送信点p1(x’1, y’1, z’1)から反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第７の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するデータ処理方法であって、
ｘｙ平面上に２次元に配列された複数の送信点p1(x’1, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射し、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｘｙ平面上に２次元に配列された複数の受信点p2(x’2, y’2, z’2)で計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)として受信し、
前記計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)を式（１）より４重フーリエ変換してS(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, z’1, z’2, k)を求め、

式（２）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める、

データ処理方法である。
但し、
z’1= z’2 = 0
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
kx = k’x1 + k’x2, u = k’x1 - k’x2, ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第８の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析する計測システムであって、
送受信部であって、
ｘｙ平面上に２次元に配列された複数の送信点p1(x’1, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射する送信部と、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｘｙ平面上に２次元に配列された複数の受信点p2(x’2, y’2, z’2)で計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)として受信する受信部と、
を有する送受信部と、
処理装置であって、
前記計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)を式（１）より４重フーリエ変換してS(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, z’1, z’2, k)を求める手順と、

式（２）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

を実行する処理装置と、
を有する、計測システムである。
但し、
z’1= z’2 = 0
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
kx = k’x1 + k’x2, u = k’x1 - k’x2, ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第９の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するプログラムであって、
計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)を式（１）より４重フーリエ変換してS(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, z’1, z’2, k)を求める手順と、

式（２）より３重逆フーリエ変換して、反射率f(x, y, z)を求める手順と、

をコンピュータに実行させるプログラムである。
但し、
z’1= z’2 = 0
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、送信点p1(x’1, y’1, z’1)から反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
kx = k’x1 + k’x2, u = k’x1 - k’x2, ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第１０の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するデータ処理方法であって、
ｙ軸上に配列された複数の送信点p1(x’1, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射し、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙ軸上に配列された複数の受信点p2(x’2, y’2, z’2)で計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)として受信し、
前記計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してS(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, z’1, z’2, k)を求め、

式（２）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める、

データ処理方法である。
但し、
x’ = x’1 = x’2
z’1= z’2 = 0
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
kx = k’x1 + k’x2, u = k’x1 - k’x2, ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第１１の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析する計測システムであって、
送受信部であって、
ｙ軸上に配列された複数の送信点p1(x’1, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射する送信部と、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙ軸上に配列された複数の受信点p2(x’2, y’2, z’2)で計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)として受信する受信部と、
を有する送受信部と、
処理装置であって、
前記計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してS(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, z’1, z’2, k)を求める手順と、

式（２）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

を実行する処理装置と、
を有する、計測システムである。
但し、
x’ = x’1 = x’2
z’1= z’2 = 0
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
kx = k’x1 + k’x2, u = k’x1 - k’x2, ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第１２の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するプログラムであって、
計測値s(x’1, x’2, y’1, y’2, z’1, z’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してS(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, z’1, z’2, k)を求める手順と、

式（２）より３重逆フーリエ変換して、反射率f(x, y, z)を求める手順と、

をコンピュータに実行させるプログラムである。
但し、
x’ = x’1 = x’2
z’1= z’2 = 0
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
kx = k’x1 + k’x2, u = k’x1 - k’x2, ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第１３の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するデータ処理方法であって、
ｙｚ平面に平行な面内における(x’1, y’1)に関する第１の１価関数z’1=g1(x’1, y’1)の曲線上に配列された複数の送信点p1(x’1, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射し、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙｚ平面に平行な面内における(x’2, y’2)に関する第２の１価関数z’2=g2(x’2, y’2)の曲線上に配列された複数の受信点p2(x’2, y’2, z’2)で計測値sa(x’1, x’2, y’1, y’2, k)として受信し、
前記計測値sa(x’1, x’2, y’1, y’2, k)を式（１）より４重フーリエ変換してSa(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, k)を求め、

Sa(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, k)に対して固有値(x’1, y’1, x’2, y’2)を有する式（２）及び式（３）で示される演算子を定義し、

式（４）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める、

データ処理方法である。
但し、
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
kx = k’x1 + k’x2, u = k’x1 - k’x2, ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第１４の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析する計測システムであって、
送受信部であって、
ｙｚ平面に平行な面内における(x’1, y’1)に関する第１の１価関数z’1=g1(x’1, y’1)の曲線上に配列された複数の送信点p1(x’1, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射する送信部と、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙｚ平面に平行な面内における(x’2, y’2)に関する第２の１価関数z’2=g2(x’2, y’2)の曲線上に配列された複数の受信点p2(x’2, y’2, z’2)で計測値sa(x’1, x’2, y’1, y’2, k)として受信する受信部と、
を有する送受信部と、
処理装置であって、
前記計測値sa(x’1, x’2, y’1, y’2, k)を式（１）より４重フーリエ変換してSa(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, k)を求める手順と、

Sa(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, k)に対して固有値(x’1, y’1, x’2, y’2)を有する式（２）及び式（３）で示される演算子を定義する手順と、

式（４）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

を実行する処理装置と、
を有する、計測システムである。
但し、
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
kx = k’x1 + k’x2, u = k’x1 - k’x2, ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第１５の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するプログラムであって、
計測値sa(x’1, x’2, y’1, y’2, k)を式（１）より４重フーリエ変換してSa(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, k)を求める手順と、

Sa(k’x1, k’x2, k’y1, k’y2, k)に対して固有値(x’1, y’1, x’2, y’2)を有する式（２）及び式（３）で示される演算子を定義する手順と、

式（４）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

をコンピュータに実行させるプログラムである。
但し、
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、送信点p1(x’1, y’1, z’1)から反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
kx = k’x1 + k’x2, u = k’x1 - k’x2, ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第１６の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するデータ処理方法であって、
ｙｚ平面に平行な面内における(x’1, y’1)に関する第１の１価関数z’1=g1(x’1, y’1)の曲線上に配列された複数の送信点p1(x’1, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射し、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙｚ平面に平行な面内における(x’2, y’2)に関する第２の１価関数z’2=g2(x’2, y’2)の曲線上に配列された複数の受信点p2(x’2, y’2, z’2)で計測値sa(x’, y’1, y’2, k)として受信し、
前記計測値sa(x’, y’1, y’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してSa(k’x, k’y1, k’y2, k)を求め、

Sa(k’x, k’y1, k’y2, k)に対して固有値(x’, y’1, y’2)を有する式（２）及び式（３）で示される演算子を定義し、

式（４）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める、

データ処理方法である。
但し、
x’ = x’1 = x’2
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第１７の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析する計測システムであって、
送受信部であって、
ｙｚ平面に平行な面内における(x’1, y’1)に関する第１の１価関数z’1=g1(x’1, y’1)の曲線上に配列された複数の送信点p1(x’1, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射する送信部と、
前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙｚ平面に平行な面内における(x’2, y’2)に関する第２の１価関数z’2=g2(x’2, y’2)の曲線上に配列された複数の受信点p2(x’2, y’2, z’2)で計測値sa(x’, y’1, y’2, k)として受信する受信部と、
を有する送受信部と、
処理装置であって、
前記計測値sa(x’, y’1, y’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してSa(k’x, k’y1, k’y2, k)を求める手順と、

Sa(k’x, k’y1, k’y2, k)に対して固有値(x’, y’1, y’2)を有する式（２）及び式（３）で示される演算子を定義する手順と、

式（４）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

を実行する処理装置と、
を有する、計測システムである。
但し、
x’ = x’1 = x’2
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明の第１８の観点は、
物体に放射した波動の散乱波を解析するプログラムであって、
計測値sa(x’, y’1, y’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してSa(k’x, k’y1, k’y2, k)を求める手順と、

Sa(k’x, k’y1, k’y2, k)に対して固有値(x’, y’1, y’2)を有する式（２）及び式（３）で示される演算子を定義する手順と、

式（４）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

をコンピュータに実行させるプログラムである。
但し、
x’ = x’1 = x’2
kは、伝播する前記波動の波数、
k’x1, k’y1, k’z1は、送信点p1(x’1, y’1, z’1)から反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
k’x2, k’y2, k’z2は、反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
である。
本発明のデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムによれば、フーリエ変換を利用した合成開口処理において、曲面形状を有する構造物に対しても、シンプルで演算時間を短くすることができる。
第１実施形態のレーダ装置の構成を示す図 図１に示すアレイアンテナの構成を示す図 第１実施形態のアレイアンテナと測定対象物との位置関係を説明する図 第１実施形態のデータ処理方法を示すフローチャート 第２実施形態のアレイアンテナと測定対象物との位置関係を説明する図 第２実施形態のデータ処理方法を示すフローチャート （ａ）は、水平面計測の計測レイアウト図、（ｂ）は、曲面計測１の計測レイアウト図、（ｃ）は、曲面計測２の計測レイアウト図 水平面計測の計測レイアウトにより、第１実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット （ａ）は、曲面計測１の計測レイアウトにより、第１実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット、（ｂ）は、曲面計測１の計測レイアウトにより、第２実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット （ａ）は、曲面計測２の計測レイアウトにより、第１実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット、（ｂ）は、曲面計測２の計測レイアウトにより、第２実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット 第３実施形態のアレイアンテナと測定対象物との位置関係を説明する図 第３実施形態のデータ処理方法を示すフローチャート 第４実施形態のアレイアンテナと測定対象物との位置関係を説明する図 第４実施形態のデータ処理方法を示すフローチャート 第５実施形態のアレイアンテナと測定対象物との位置関係を説明する図 第５実施形態のデータ処理方法を示すフローチャート 第６実施形態のアレイアンテナと測定対象物との位置関係を説明する図 第６実施形態のデータ処理方法を示すフローチャート （ａ）は、水平面計測の計測レイアウト図、（ｂ）は、曲面計測１の計測レイアウト図、（ｃ）は、曲面計測２の計測レイアウト図 水平面計測の計測レイアウトにより、第５実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット （ａ）は、曲面計測１の計測レイアウトにより、第５実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット、（ｂ）は、曲面計測１の計測レイアウトにより、第６実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット （ａ）は、曲面計測２の計測レイアウトにより、第５実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット、（ｂ）は、曲面計測２の計測レイアウトにより、第６実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲット 第７実施形態のアレイアンテナと測定対象物との位置関係を説明する図 第７実施形態のデータ処理方法を示すフローチャート
＜第１実施形態＞
以下、第１実施形態のデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムについて、詳細に説明する。図１は、本実施形態のレーダ装置の構成を示す。図２は、図１に示すアレイアンテナの構成を示す。図３は、本実施形態のアレイアンテナと測定対象物との位置関係を説明する図である。本実施形態では、電磁波を空間に放射する波動として説明するが、電磁波の代わりにＸ線や超音波等の空間中に伝播する波動を用いてもよい。
本実施形態の計測システム１は、送受信部と、処理装置と、を有する。処理装置は、送受信部と一体に設けられてもよいし、送受信部とネットワークで接続された別の場所に設けられてもよい。以下の実施形態では、処理装置が送受信部と一体に設けられる例を説明する。
図１に示す本実施形態のレーダ装置６０は、送信用アレイアンテナ及び受信用アレイアンテナ（送受信部）を用いて、電磁波の周波数を掃引しながら、電磁波を送信アンテナから放射する。そして、レーダ装置６０は、測定対象物の反射波を受信アンテナで受信して、計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）を得る。計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）は、ｘ座標成分、ｙ座標成分、及びｚ座標成分と電磁波の周波数とを変数とするデータである。
レーダ装置６０は、計測ユニット６１と、データ処理ユニット（処理装置）６６と、画像表示ユニット６８とを有する。計測ユニット６１は、送信用アレイアンテナ５０と、受信用アレイアンテナ５２と、高周波スイッチ５８，５９と、高周波回路６２と、システム制御回路６４とを有する。レーダ装置６０は、１０ＭＨｚ以上、例えば１０～２０ＧＨｚの電磁波を放射するが、電磁波の周波数は、特に制限されない。
図２に示されるように、送信用アレイアンテナ５０は、一方向に配列された複数の送信アンテナ１０ａを有する。各送信アンテナ１０ａは、測定対象物に向けて電磁波を放射する。受信用アレイアンテナ５２は、送信アンテナ１０ａの配列方向に沿って配列された複数の受信アンテナ１０ｂを有する。各受信アンテナ１０ｂは、測定対象物から反射した電磁波を受信する。
送信用アレイアンテナ５０の送信アンテナ１０ａと、受信用アレイアンテナ５２の受信アンテナ１０ｂは、一平面上に配置される。この平面に測定対象物が対向するように、送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２が配置される。
データ処理ユニット６６は、複数の送信アンテナ１０ａによる測定対象物に向けた送信と、複数の受信アンテナ１０ｂによる受信とによって得られる複数の計測データを処理し、測定対象物に関する画像データを算出する。本実施形態の送信アンテナ１０ａ及び受信アンテナ１０ｂは、基板に平面的にアンテナパターンが形成された平面アンテナであるが、平面アンテナに制限されない。
送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２は、測定対象物の面に平行に移動する。すなわち、送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２は、測定対象物の表面に沿って走査しながら計測する。送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２が移動するとき、システム制御回路６４は、高周波回路６２の動作を制御する。具体的には、送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２の移動距離の単位長さ毎に、送信アンテナ１０ａを高周波スイッチ５８により切り替えつつ、電磁波を放射するように、システム制御回路６４は、高周波回路６２の動作を制御する。
レーダ装置６０は、エンコーダ６９を有する。エンコーダ６９は、一定の移動距離ごとにパルス信号を発生する。エンコーダ６９は、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２の移動を感知する。
このとき、個々の送信アンテナ１０ａから電磁波の放射が行われる度に、高周波スイッチ５９は、複数の受信アンテナ１０ｂを順次切り替えて、各受信アンテナ１０ｂに受信させる。
なお、送信用アレイアンテナ５０から放射される電磁波の周波数を、一定の時間に、例えば１０～２０ＧＨｚの範囲で、設定された周波数間隔で掃引して、電磁波が放射される。したがって、高周波回路６２から得られる計測データは送信アンテナ１０ａの送信した位置と、受信アンテナ１０ｂの受信した位置と、周波数と、ターゲットの位置とによって値が定まるデータである。
このとき、送信アンテナ１０ａから放射された電磁波が測定対象物で反射したときの電磁波の反射波を、電磁波を放射した送信アンテナ１０aに最も近い受信アンテナ１０ｂで受信するように、高周波スイッチ５９の動作が制御される。受信用マイクロ波増幅器（ＲＦアンプ）は、送信する送信アンテナ１０ａと受信する受信アンテナ１０ｂの対毎にゲインを変化させるように設定される場合がある。このとき、高周波回路６２は、送信アンテナ１０ａと受信アンテナ１０ｂの対の選択に応じてゲインを切り替える可変ゲイン増幅機能を有する。これにより、測定対象物中の欠陥等の検査可能な深度を大きくできる。
本実施形態では、送信アンテナ１０ａと受信アンテナ１０ｂの配列方向は平行であり、図２に示すように、配列方向をｙ方向とする。一方、送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２の移動方向（走査方向）を、ｘ方向とする。送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２からみて、測定対象物のある方向（電磁波の送信方向）をｚ方向とする。
なお、送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２の移動方向（走査方向）をｙ方向としてもよい。すなわち、送信アンテナ１０ａと受信アンテナ１０ｂの配列方向と同じ方向に、移動（走査）してもよい。
また、送信用アレイアンテナ５０が１つの送信アンテナ１０ａのみを有し、受信用アレイアンテナ５２が複数の受信アンテナ１０ｂを有してもよい。この場合も、送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２の移動方向（走査方向）をｙ方向としてもよい。すなわち、受信アンテナ１０ｂの配列方向と同じ方向に、移動（走査）してもよい。
データ処理ユニット６６は、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２による電磁波の送受信によって得られる計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）を処理して、測定対象物の内部を表す画像データを作成する。データ処理ユニット６６は、例えばコンピュータにより構成され、記憶部６６ａに記憶されているプログラムを呼び出して起動する。これにより、データ処理ユニット６６の機能を発揮できる。すなわち、データ処理ユニット６６は、ソフトウェアモジュールで構成される。画像表示ユニット６８は、作成された画像データを用いて、測定対象物の内部の画像を表示する。
図２は、送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２を模式的に示す。送信アンテナ１０ａと受信アンテナ１０ｂは、ｘ方向の位置がΔＬだけずれているが、以降の説明では、送信アンテナ１０ａと受信アンテナ１０ｂのｘ方向の位置は、送信アンテナ１０ａと受信アンテナ１０ｂの間の中間の丸印の点にあるものする。この丸印の点を、送受信点と呼ぶ。
なお、送信アンテナ１０ａと受信アンテナ１０ｂのｙ方向のずれが無い場合もある。すなわち、Δｙ＝０となる場合もある。また、送信アンテナ１０ａと受信アンテナ１０ｂが共有される場合もある。すなわち、Δｙ＝０、ΔＬ＝０となる場合もある。
したがって、測定対象物と送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２との位置関係は、図３に示すように表すことができる。
ここで、送受信点の座標をｐ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）とする。測定対象物の反射点（ｘ，ｙ，ｚ）における反射率をｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とする。送受信点ｐ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）における計測データをｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）とする。真空中の電磁波の伝播波長をλ０とする。媒質の比誘電率をεｒとする。伝播する電磁波の波数をｋとする。
このとき、送受信点ｐ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）における計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）は、以下の式で表せる。

但し、

である。
式（１－１）では、電磁波を球面波で表しており、距離減衰は省略されている。この距離減衰は、以降の処理を行う上で影響が小さいため、省略されている。式（１－１）中の二段目の式の被積分関数の指数部をフーリエ変換の表記で表すと、以下の式となる。これは、式（１－１）の往復球面波を３次元の平面波に分解することに等しい。

ここで、（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）は、送受信点ｐ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）と反射点（ｘ，ｙ，ｚ）の間で伝播する波動の往復球面波の波数ベクトルの成分である。但し、

を満たす。
以下、式（１－３）に基づいて、計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）から反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を導出する。まず、式（１－３）を以下のように整理する。
ここで、｛ ｝の内側の積分は、（ｘ，ｙ，ｚ）に関する３重フーリエ変換である。また、［ ］の内側の積分は、（ｋｘ，ｋｙ）に関する２重逆フーリエ変換である。そこで、式（１－５）の両辺を（ｘ’，ｙ’）に関して２重フーリエ変換を行う。関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）の３重フーリエ変換後の関数をＦ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）とする。計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）の２重フーリエ変換後の関数をＳ（ｋｘ，ｋｙ，ｚ’，ｋ）とする。このとき、式（１－５）は、以下の式で表される。
式（１－６）の２行目の式の両辺を（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）について３重逆フーリエ変換すると、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が以下のように得られる。
ここで、本実施形態では、図３に示すように、送受信点ｐ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）をｘｙ平面に配置し、ｚ’＝０となるため、式（１－７）は以下のように表せる。

以上のように、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）に基づいて、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を求める。
以下、図４を参照して、本実施形態のデータ処理方法、及び、プログラムについて説明する。図４は、本実施形態のデータ処理方法を示すフローチャートである。
まず、計測ユニット６１が計測データｓ（ｘ’，ｙ’，０，ｋ）を取得する（ステップＳ１－１）。そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’，０，ｋ）に対して、ヒルベルト変換を行う（ステップＳ１－２）。これにより、各送受信点における周波数データの虚数成分が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’，０，ｋ）に対して、（ｘ’，ｙ’）に関する２重フーリエ変換を行う（ステップＳ１－３）。これにより、式（１－６）に示されるように、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ，０，ｋ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ，０，ｋ）に対して、変数置換を行う（ステップＳ１－４）。具体的には、式（１－４）を用いて、（ｋｘ，ｋｙ，ｋ）の関数を（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）の関数にする。これにより、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して、（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して３重逆フーリエ変換を行う（ステップＳ１－５）。これにより、式（１－８）に示されるように、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られる。
記憶部６６ａは、本実施形態のデータ処理方法を実行するためのプログラムを記憶する。記憶部６６ａに記憶されたプログラムは、データ処理ユニット６６に、本実施形態のデータ処理方法を実行させる。
＜第２実施形態＞
以下、第２実施形態のデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムについて、詳細に説明する。第１実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、一方向（図３ではｙ方向）に配列されるが、本実施形態は、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２の配列が異なる。本実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、曲線状に配置される。具体的には、送受信点ｐ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）は、ｙｚ平面に平行な面内における（ｘ’，ｙ’）に関する１価関数ｚ’＝ｇ（ｘ’，ｙ’）の曲線上に配列される。
本実施形態では、図５に示すように、半径Ｒ０の半円筒計測曲面を表す以下の式で表される関数で説明する。

なお、関数ｇ（ｘ’，ｙ’）は、（ｘ’，ｙ’）に関する任意の１価関数でよい。
第１実施形態の式（１－５）は、任意の送受信点ｐ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）に関する式である。

そのため、以下、式（１－５）に式（２－１）を代入するところから始めると、以下の式が得られる。
式（２－２）の左辺は（ｘ’，ｙ’，ｋ）の関数となるため、以下の式のように書き換えられる。
ここで、｛ ｝の内側の積分は、（ｘ，ｙ，ｚ）に関する３重フーリエ変換である。また、［ ］の内側の積分は、（ｋｘ，ｋｙ）に関する２重逆フーリエ変換である。そこで、式（２－３）の両辺を（ｘ’，ｙ’）に関して２重フーリエ変換を行う。関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）の３重フーリエ変換後の関数をＦ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）とする。計測データｓａ（ｘ’，ｙ’，ｋ）の２重フーリエ変換後の関数をＳａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋ）とする。このとき、式（２－３）は、以下の式で表される。
式（２－４）の２行目の式の両辺を（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）について３重逆フーリエ変換すると、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が以下のように得られる。
ここで、（ｘ’，ｙ’）に関して、以下の演算子を定義する。

式（２－６）の演算子は、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋ）に対して、（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）空間における（ｘ’，ｙ’）の固有値を有する。
式（２－６）を式（２－５）に代入することにより、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が以下のように得られる。

以上のように、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）に基づいて、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を求める。
以下、図６を参照して、本実施形態のデータ処理方法、及び、プログラムについて説明する。図６は、本実施形態のデータ処理方法を示すフローチャートである。
まず、計測ユニット６１が計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）を取得する（ステップＳ２－１）。そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’，ｚ’，ｋ）を整理する（ステップＳ２－２）。これにより、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’，ｋ）が得られる。
そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’，ｋ）に対して、ヒルベルト変換を行う（ステップＳ２－３）。これにより、各送受信点における周波数データの虚数成分が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’，ｋ）に対して、（ｘ’，ｙ’）に関する２重フーリエ変換を行う（ステップＳ２－４）。これにより、式（２－４）に示されるように、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’，ｋ）とＳａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋ）から、式（２－６）で表される演算子を得る（ステップＳ２－５）。
次に、データ処理ユニット６６は、以下の式に対して、変数置換を行う（ステップＳ２－６）。

これにより、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋ）に対して、（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に関する３重逆フーリエ変換を行う（ステップＳ２－７）。これにより、式（２－７）に示されるように、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られる。
記憶部６６ａは、本実施形態のデータ処理方法を実行するためのプログラムを記憶する。記憶部６６ａに記憶されたプログラムは、データ処理ユニット６６に、本実施形態のデータ処理方法を実行させる。
（シミュレーション結果）
以下、第１実施形態のデータ処理方法と、第２実施形態のデータ処理方法をコンピュータシミュレーションした結果について説明する。シミュレーション条件は、以下の通りである。
・使用周波数帯域ｆｍｉｎ～ｆｍａｘ：ＤＣ～２０ＧＨｚ
・中心周波数ｆｃ（波長λｃ）：１０ＧＨｚ（３０ｍｍ）
・走査方向の計測間隔Δｘ：４ｍｍ
・走査方向の計測ポイント数：２５６
・走査方向の計測幅ｘｍａｘ：１０２４ｍｍ（４ｍｍ×２５６）
・アレイアンテナ方向の計測間隔Δｙ（送受点同一）：３．７５ｍｍ
・アレイアンテナ方向の計測ポイント数：１２８
・アレイアンテナ方向の計測幅ｙｍａｘ：４８０ｍｍ（３．７５ｍｍ×１２８）
・最大深さｚｍａｘ：４７６ｍｍ
・媒質の比誘電率εｒ：１
・点ターゲット座標（単位：ｍｍ）：(512, 240, 50), (512, 240, 100) , (512, 240, 200) , (512, 240, 400)
・水平面計測：ｚ’＝０
・曲面計測１（単位：ｍ）：

・曲面計測２（単位：ｍ）：
図７（ａ）は、水平面計測の計測レイアウト図を示す。図７（ｂ）は、曲面計測１の計測レイアウト図を示す。図７（ｃ）は、曲面計測２の計測レイアウト図を示す。図８は、水平面計測の計測レイアウトにより、第１実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。図９（ａ）は、曲面計測１の計測レイアウトにより、第１実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。図９（ｂ）は、曲面計測１の計測レイアウトにより、第２実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。図１０（ａ）は、曲面計測２の計測レイアウトにより、第１実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。図１０（ｂ）は、曲面計測２の計測レイアウトにより、第２実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。
図７（ａ）に示す水平面計測の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第１実施形態のデータ処理方法の式（１－８）でシミュレーションを行った。その結果を図８に示す。図８では、４点の点ターゲットが収束した３次元画像が確認できる。図８の結果から、式（１－８）により、水平面計測の計測レイアウトから良好な３次元画像が得られることが分かる。
次に、図７（ｂ）に示す曲面計測１の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第１実施形態のデータ処理方法の式（１－８）でシミュレーションを行った。その結果を、図９（ａ）に示す。図９（ａ）では、４点の点ターゲットが図７（ｂ）に示される曲面計測１の計測レイアウトと同じ方向に広がった３次元画像が確認できる。図９（ａ）の結果から、式（１－８）では、曲面計測１の計測レイアウトに対して良好な３次元画像が得られないことが分かる。
次に、図７（ｂ）に示す曲面計測１の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第２実施形態のデータ処理方法の式（２－７）でシミュレーションを行った。その結果を、図９（ｂ）に示す。図９（ｂ）では、４点の点ターゲットが収束した３次元画像が確認できる。図９（ｂ）の結果から、式（２－７）により、曲面計測１の計測レイアウトから良好な３次元画像が得られることが分かる。
次に、図７（ｃ）に示す曲面計測２の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第１実施形態のデータ処理方法の式（１－８）でシミュレーションを行った。その結果を、図１０（ａ）に示す。図１０（ａ）では、４点の点ターゲットが図７（ｃ）に示される曲面計測２の計測レイアウトと同じ方向に広がった３次元画像が確認できる。図１０（ａ）の結果から、式（１－８）では、曲面計測２の計測レイアウトに対して良好な３次元画像が得られないことが分かる。
次に、図７（ｃ）に示す曲面計測２の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第２実施形態のデータ処理方法の式（２－７）でシミュレーションを行った。その結果を、図１０（ｂ）に示す。図１０（ｂ）では、４点の点ターゲットが収束した３次元画像が確認できる。図１０（ｂ）の結果から、式（２－７）により、曲面計測２の計測レイアウトから良好な３次元画像が得られることが分かる。
図９（ａ）と図９（ｂ）の結果、及び、図１０（ａ）と図１０（ｂ）の結果から、式（２－６）で定義される演算子を式（２－７）の指数部に入れたことにより、曲面計測１の計測レイアウトに対応した反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られることが確認された。
＜第３実施形態＞
以下、第３実施形態のデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムについて、詳細に説明する。第１実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、一方向（図３ではｙ方向）に配列されるが、本実施形態は、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２の配列が異なる。本実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、平面状に配置される。
また、第１実施形態では、送信点と受信点の座標をいずれもｐ（ｘ’，ｙ’，ｚ’）としたが、本実施形態では、送信点と受信点の座標が異なる。本実施形態では、図１１に示すように、送信点ｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）、受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）が、ｘｙ平面に配列される。
ここで、測定対象物の反射点（ｘ，ｙ，ｚ）における反射率をｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とする。送信点ｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）及び受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）における計測データをｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）とする。真空中の電磁波の伝播波長をλ０とする。媒質の比誘電率をεｒとする。伝播する電磁波の波数をｋとする。
このとき、計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）は、以下の式で表せる。

但し、

である。
式（３－１）では、電磁波を球面波で表しており、距離減衰は省略されている。この距離減衰は、以降の処理を行う上で影響が小さいため、省略されている。式（３－１）中の被積分関数の指数部をフーリエ変換の表記で表すと、以下の式となる。これは、式（３－１）の球面波を３次元の平面波に分解することに等しい。

ここで、（ｋ’ｘ１，ｋ’ｙ１，ｋ’ｚ１）は、送信点から反射点までの間で伝搬する波動の球面波の波数ベクトルの成分である。また、（ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ２，ｋ’ｚ２）は、反射点から受信点までの間で伝搬する波動の球面波の波数ベクトルの成分である。但し、

を満たす。
以下、式（３－３）に基づいて、ｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）から反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を導出する。まず、式（３－３）の両辺を（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２）に関して４重フーリエ変換を行う。
式（３－５）の左辺を以下の式（３－６）のように書き換えて整理する。

すると、式（３－５）は、式（３－７）で表される。
式（３－７）の両辺に以下の積分を行う。
ここで、以下の変数置換を行う。


ここで、式（３－９）、式（３－１０）から、以下の式が得られる。

この変数置換でのヤコビアンの絶対値｜Ｊ｜は式（３－１２）、式（３－１３）より以下の式でそれぞれ与えられる。

式（３－９）、式（３－１０）、式（３－１４）、式（３－１５）を式（３－８）に代入して変数置換を行うと、以下の式が得られる。
ここで、式（３－１６）の２行目右辺の（ｕ，ｖ）に関する積分は定数となるため、省略した。式（３－１６）の両辺に（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）について３重逆フーリエ変換を行うと、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が以下のように得られる。
式（３－１７）を解くために、（ｋ’ｚ１，ｋ’ｚ２，ｋ）を（ｋ’ｘ１，ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋｚ）又は（ｋｘ，ｕ，ｋｙ，ｖ，ｋｚ）で表す必要がある。
式（３－４）、式（３－１１）を用いて整理し、また、送信点と受信点がいずれも原点を通るｘｙ平面上に位置する場合、ｚ’１＝ｚ’２＝０となるため、式（３－１７）は以下のように表せる。

以上のように、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）に基づいて、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を求める。
以下、図１２を参照して、本実施形態のデータ処理方法、及び、プログラムについて説明する。図１２は、本実施形態のデータ処理方法を示すフローチャートである。
まず、計測ユニット６１が計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）を取得する（ステップＳ３－１）。そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）に対して、ヒルベルト変換を行う（ステップＳ３－２）。これにより、各計測点における周波数データの虚数成分が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）に対して、（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２）に関する４重フーリエ変換を行う（ステップＳ３－３）。これにより、式（３－６）に示されるように、Ｓ（ｋ’ｘ１，ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，０，０，ｋ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓ（ｋ’ｘ１，ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，０，０，ｋ）に対して、変数置換を行う（ステップＳ３－４）。具体的には、式（３－９）、式（３－１０）、式（３－１４）、式（３－１５）を用いて、（ｋ’ｘ１，ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ）の関数を（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）の関数にする。これにより、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して、（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して３重逆フーリエ変換を行う（ステップＳ３－５）。これにより、式（３－１８）に示されるように、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られる。
記憶部６６ａは、本実施形態のデータ処理方法を実行するためのプログラムを記憶する。記憶部６６ａに記憶されたプログラムは、データ処理ユニット６６に、本実施形態のデータ処理方法を実行させる。
＜第４実施形態＞
以下、第４実施形態のデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムについて、詳細に説明する。第３実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、平面状に配列されるが、本実施形態は、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２の配列が異なる。本実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、曲面状に配置される。具体的には、送信点ｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）は、（ｘ’１，ｙ’１）に関する１価関数ｚ’１＝ｇ１（ｘ’１，ｙ’１）の曲線上に配列される。受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）は、（ｘ’２，ｙ’２）に関する１価関数ｚ’２＝ｇ２（ｘ’２，ｙ’２）の曲線上に配列される。
本実施形態では、図１３に示すように、半径Ｒ０の半円筒計測曲面を表す以下の式で表される関数で説明する。

なお、関数ｇ１（ｘ’１，ｙ’１）は、（ｘ’１，ｙ’１）に関する任意の１価関数でよい。また、関数ｇ２（ｘ’２，ｙ’２）は、（ｘ’２，ｙ’２）に関する任意の１価関数でよい。
第３実施形態の式（３－３）は、任意の送信点ｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）、受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）に関する式である。そのため、式（３－３）に式（４－１）を代入すると、以下の式が得られる。

式（４－２）の右辺は、（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）に関する関数であるため、整理して以下の式（４－３）で表す。
ここで、ｓａ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）の４重フーリエ変換後の関数をＳａ（ｋ’ｘ１，ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ’）とする。このとき、式（４－３）は以下の式で表される。
ここで、式（４－１）～式（４－４）を式（３－１７）に代入すると、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が以下のように得られる。
ここで、（ｘ’１，ｙ’１）、（ｘ’２，ｙ’２）に関して、以下の演算子を定義する。

式（４－６）、式（４－７）の演算子は、Ｓａ（ｋ’ｘ１，ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ’）に対して、（ｋ’ｘ１，ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ’）空間における（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２）の固有値を有する。
式（４－６）、式（４－７）を式（４－５）に代入することにより、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が以下のように得られる。
以上のように、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）に基づいて、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を求める。
以下、図１４を参照して、本実施形態のデータ処理方法、及び、プログラムについて説明する。図１４は、本実施形態のデータ処理方法を示すフローチャートである。
まず、計測ユニット６１が計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）を取得する（ステップＳ４－１）。そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）を整理する（ステップＳ４－２）。これにより、計測データｓａ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）が得られる。
そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）に対して、ヒルベルト変換を行う（ステップＳ４－３）。これにより、各計測点における周波数データの虚数成分が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）に対して、（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２）に関する４重フーリエ変換を行う（ステップＳ４－４）。これにより、式（４－４）に示されるように、Ｓａ（ｋ’ｘ１，ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ’）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）とＳａ（ｋ’ｘ１，ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ’）から、式（４－６）、式（４－７）で表される演算子を得る（ステップＳ４－５）。
次に、データ処理ユニット６６は、以下の式に対して、変数置換を行う（ステップＳ４－６）。

これにより、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して、（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して３重逆フーリエ変換を行う（ステップＳ４－７）。これにより、式（４－８）に示されるように、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られる。
記憶部６６ａは、本実施形態のデータ処理方法を実行するためのプログラムを記憶する。記憶部６６ａに記憶されたプログラムは、データ処理ユニット６６に、本実施形態のデータ処理方法を実行させる。
＜第５実施形態＞
以下、第５実施形態のデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムについて、詳細に説明する。第３実施形態では、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、平面状に配置されるが、本実施形態は、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２の配列が異なる。本実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、直線状に配置される。
具体的には、本実施形態では、送信アンテナ１０ａ及び受信アンテナ１０ｂは、図１５に示すように、ｙ方向に配列される。送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２の移動方向（走査方向）を、ｘ方向とする。送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２からみて、測定対象物のある方向（電磁波の送信方向）をｚ方向とする。
なお、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２の移動方向（走査方向）をｙ方向としてもよい。
したがって、測定対象物と送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２との位置関係は、図１５に示すように表すことができる。
ここで、送信点の座標をｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）、受信点の座標をｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）とする。測定対象物の反射点（ｘ，ｙ，ｚ）における反射率をｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とする。ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）における計測データをｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）とする。真空中の電磁波の伝播波長をλ０とする。媒質の比誘電率をεｒとする。伝播する電磁波の波数をｋとする。
このとき、計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）は、以下の式で表せる。

但し

である。
式（５－１）では、電磁波を球面波で表しており、距離減衰は省略されている。この距離減衰は、以降の処理を行う上で影響が小さいため、省略されている。式（５－１）中の二段目の式の被積分関数の指数部をフーリエ変換の表記で表すと、以下の式となる。これは、式（５－１）の球面波を３次元の平面波に分解することに等しい。

ここで、（ｋ’ｘ１，ｋ’ｙ１，ｋ’ｚ１）は、送信点から反射点までの間で伝搬する波動の球面波の波数ベクトルの成分である。また、（ｋ’ｘ２，ｋ’ｙ２，ｋ’ｚ２）は、反射点から受信点までの間で伝搬する波動の球面波の波数ベクトルの成分である。但し、

を満たす。
ここで、送信点ｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）と受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）のｘ座標が等しいことから、ｘ’＝ｘ’１＝ｘ’２とすると、式（５－３）は以下の式で表される。
ここで、以下の変数置換を行う。

式（５－６）から以下の式が得られる。
式（５－７）からヤコビアンの絶対値を計算すると、以下の式が得られる。
式（５－６）、式（５－８）を式（５－５）に代入して変数置換を行うと、以下の式が得られる。
ここで、式（５－９）の２行目のｕに関する積分は、定数となるため省略した。式（５－９）の両辺に（ｘ，ｙ１，ｙ２）について３重逆フーリエ変換を行うと、以下の式が得られる。
式（５－１０）の左辺を以下の式のように書き換えて整理する。

すると、式（５－１０）は、以下の式で表される。
式（５－１２）の両辺に以下の積分を行うと、以下の式が得られる。
ここで、（ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２）、（ｋ’ｚ１，ｋ’ｚ２）に対して、以下の変数置換を定義する。

ここで、式（５－１４）から、以下の式が得られる。

この変数置換でのヤコビアンの絶対値は、以下の式で与えられる。
式（５－１）、式（５－１５）、式（５－１７）を式（５－１３）に代入して、変数置換を行うと、以下の式が得られる。
ここで、式（５－１８）の２行目右辺のｖに関する積分は、定数となるため省略した。式（５－１８）の両辺に（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）について３重逆フーリエ変換を行うと、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が以下のように得られる。

ここで、原点を通るｘ’－ｙ’平面に計測面を合わせるため、ｚ’＝０とすると、式（５－１９）は、以下のように表される。
式（５－２０）を解くために、ｋを（ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋｚ）又は（ｋｙ，ｖ，ｋｚ）で表す必要がある。
式（５－４）、式（５－６）、式（５－１５）、及び、仮定より得られる以下の式（５－２１）の４つの式の連立方程式を解く。
これより、ｋは以下の式で表される。
以上のように、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）に基づいて、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を求める。
以下、図１６を参照して、本実施形態のデータ処理方法、及び、プログラムについて説明する。図１６は、本実施形態のデータ処理方法を示すフローチャートである。
まず、計測ユニット６１が計測データｓ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，０，０，ｋ）を取得する（ステップＳ５－１）。そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，０，０，ｋ）に対して、ヒルベルト変換を行う（ステップＳ５－２）。これにより、各計測点における周波数データの虚数成分が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，０，０，ｋ）に対して、（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２）に関する３重フーリエ変換を行う（ステップＳ５－３）。これにより、式（５－１１）に示されるように、Ｓ（ｋｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，０，０，ｋ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓ（ｋｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，０，０，ｋ）に対して、変数置換を行う（ステップＳ５－４）。具体的には、式（５－１４）、式（５－１５）を用いて、（ｋｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ）の関数を（ｋｘ，ｋｙ，ｖ，ｋ）の関数にする。これにより、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ，ｖ，０，０，ｋ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓ（ｋｘ，ｋｙ，ｖ，０，０，ｋ）に対して、（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して３重逆フーリエ変換を行う（ステップＳ５－５）。これにより、式（５－２０）に示されるように、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られる。
＜第６実施形態＞
以下、第６実施形態のデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムについて、詳細に説明する。本実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、直線状に配置される。具体的には、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、一方向（図１７ではｙ方向）に配列される。また、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２を、曲面に沿って移動（走査）させる。
測定対象物と送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２との位置関係は、図１７に示すように表すことができる。
ここで、送信点の座標をｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）、受信点の座標をｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）とする。測定対象物の反射点（ｘ，ｙ，ｚ）における反射率をｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とする。受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）における計測データをｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）とする。真空中の電磁波の伝播波長をλ０とする。媒質の比誘電率をεｒとする。伝播する電磁波の波数をｋとする。
また、送信点ｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）及び受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）は、ｘ’＝ｘ’１＝ｘ’２に関する１価関数ｚ’＝ｇ（ｘ’）の曲線上を走査する。
本実施形態では、図１７に示すように、半径Ｒ０の半円筒計測曲面を表す以下の式で表される関数で説明する。

なお、関数ｇ（ｘ’）は、ｘ’に関する任意の１価関数でよい。
第５実施形態の式（５－５）は、任意の送信点ｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）及び受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）に関する式である。

そのため、以下、式（５－５）に式（６－１）を代入するところから始めると、以下の式が得られる。
式（６－２）の右辺は、（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）に関する関数であるため、整理すると以下の式で表される。

ｓａ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）の３重フーリエ変換後の関数をＳａ（ｋｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ）とすると、以下の式が得られる。
ここで、式（６－１）～式（６－４）を式（５－１９）に代入すると、以下の式が得られる。

本実施形態でも式（５－２１）が成り立つことから、本実施形態においても式（５－２２）をそのまま用いることができる。
ここで、ｘ’に関して、以下の演算子を定義する。

式（６－６）の演算子は、Ｓａ（ｋｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ）に対して、（ｋｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ）空間におけるｘ’の固有値を有する。
式（６－６）を式（６－５）に代入することにより、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が以下のように得られる。
以上のように、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）に基づいて、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を求める。
以下、図１８を参照して、本実施形態のデータ処理方法、及び、プログラムについて説明する。図１８は、本実施形態のデータ処理方法を示すフローチャートである。
まず、計測ユニット６１が計測データｓ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）を取得する（ステップＳ６－１）。そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）を整理する（ステップＳ６－２）。これにより、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）が得られる。
そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）に対して、ヒルベルト変換を行う（ステップＳ６－３）。これにより、各計測点における周波数データの虚数成分が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）に対して、（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２）に関する３重フーリエ変換を行う（ステップＳ６－４）。これにより、式（６－４）に示されるように、Ｓａ（ｋ’ｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ’）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、式（６－６）で表される演算子を得る（ステップＳ６－５）。
次に、データ処理ユニット６６は、以下の式に対して、変数置換を行う（ステップＳ６－６）。

これにより、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して、（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して３重逆フーリエ変換を行う（ステップＳ６－７）。これにより、式（６－７）に示されるように、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られる。
記憶部６６ａは、本実施形態のデータ処理方法を実行するためのプログラムを記憶する。記憶部６６ａに記憶されたプログラムは、データ処理ユニット６６に、本実施形態のデータ処理方法を実行させる。
（シミュレーション結果）
以下、第５実施形態のデータ処理方法と、第６実施形態のデータ処理方法をコンピュータシミュレーションした結果について説明する。シミュレーション条件は、以下の通りである。
・使用周波数帯域ｆｍｉｎ～ｆｍａｘ：ＤＣ～４．５ＧＨｚ
・中心周波数ｆｃ（波長λｃ）：２．２５ＧＨｚ（１３３ｍｍ）
・走査方向の計測間隔Δｘ：１０ｍｍ
・走査方向の計測ポイント数：１２８
・走査方向の計測幅ｘｍａｘ：１２８０ｍｍ（１０ｍｍ×１２８）
・アレイアンテナ方向の計測間隔Δｙ（送受点同一）：３８．５ｍｍ
・送信アレイアンテナ方向の計測ポイント数：１６
・受信アレイアンテナ方向の計測ポイント数：１６
・アレイアンテナ方向の計測幅ｙｍａｘ：６１６ｍｍ（３８．５ｍｍ×１６）
・最大深さｚｍａｘ：９５８ｍｍ
・媒質の比誘電率εｒ：５
・点ターゲット座標（単位：ｍｍ）：(640, 308, 50), (640, 308, 100) , (640, 308, 200) , (640, 308, 400)
・水平面計測：ｚ’＝０
・曲面計測１（単位：ｍ）：

・曲面計測２（単位：ｍ）：
図１９（ａ）は、水平面計測の計測レイアウト図を示す。図１９（ｂ）は、曲面計測１の計測レイアウト図を示す。図１９（ｃ）は、曲面計測２の計測レイアウト図を示す。図２０は、水平面計測の計測レイアウトにより、第５実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。図２１（ａ）は、曲面計測１の計測レイアウトにより、第５実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。図２１（ｂ）は、曲面計測１の計測レイアウトにより、第６実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。図２２（ａ）は、曲面計測２の計測レイアウトにより、第５実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。図２２（ｂ）は、曲面計測２の計測レイアウトにより、第６実施形態のデータ処理方法でシミュレーションした点ターゲットを示す。
図１９（ａ）に示す水平面計測の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第５実施形態のデータ処理方法の式（５－２０）でシミュレーションを行った。その結果を図２０に示す。図２０では、４点の点ターゲットが収束した３次元画像が確認できる。図２０の結果から、式（５－２０）により、水平面計測の計測レイアウトから良好な３次元画像が得られることが分かる。
次に、図１９（ｂ）に示す曲面計測１の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第５実施形態のデータ処理方法の式（５－２０）でシミュレーションを行った。その結果を、図２１（ａ）に示す。図２１（ａ）では、４点の点ターゲットが図１９（ｂ）に示される曲面計測１の計測レイアウトと同じ方向に広がった３次元画像が確認できる。図２１（ａ）の結果から、式（５－２０）では、曲面計測１の計測レイアウトに対して良好な３次元画像が得られないことが分かる。
次に、図１９（ｂ）に示す曲面計測１の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第６実施形態のデータ処理方法の式（６－７）でシミュレーションを行った。その結果を、図２１（ｂ）に示す。図２１（ｂ）では、４点の点ターゲットが収束した３次元画像が確認できる。図２１（ｂ）の結果から、式（６－７）により、曲面計測１の計測レイアウトから良好な３次元画像が得られることが分かる。
次に、図１９（ｃ）に示す曲面計測２の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第５実施形態のデータ処理方法の式（５－２０）でシミュレーションを行った。その結果を、図２２（ａ）に示す。図２２（ａ）では、４点の点ターゲットが図１９（ｃ）に示される曲面計測２の計測レイアウトと同じ方向に広がった３次元画像が確認できる。図２２（ａ）の結果から、式（５－２０）では、曲面計測２の計測レイアウトに対して良好な３次元画像が得られないことが分かる。
次に、図１９（ｃ）に示す曲面計測２の計測レイアウトを用いて、４点の点ターゲットを第６実施形態のデータ処理方法の式（６－７）でシミュレーションを行った。その結果を、図２２（ｂ）に示す。図２２（ｂ）では、４点の点ターゲットが収束した３次元画像が確認できる。図２２（ｂ）の結果から、式（６－７）により、曲面計測２の計測レイアウトから良好な３次元画像が得られることが分かる。
図２１（ａ）と図２１（ｂ）の結果、及び、図２２（ａ）と図２２（ｂ）の結果から、式（６－６）で定義される演算子を式（６－７）の指数部に入れたことにより、曲面計測１の計測レイアウトに対応した反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られることが確認された。
＜第７実施形態＞
以下、第７実施形態のデータ処理方法、計測システム、及び、プログラムについて、詳細に説明する。第６実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、一方向（図１７ではｙ方向）に配列されるが、本実施形態は、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２の配列が異なる。本実施形態の送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２は、曲線状に配置される。また、送信用アレイアンテナ５０及び受信用アレイアンテナ５２を、曲面に沿って移動（走査）させる。
測定対象物と送信用アレイアンテナ５０と受信用アレイアンテナ５２との位置関係は、図２３に示すように表すことができる。
ここで、送信点の座標をｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）、受信点の座標をｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）とする。測定対象物の反射点（ｘ，ｙ，ｚ）における反射率をｆ（ｘ，ｙ，ｚ）とする。受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）における計測データをｓ（ｘ’１，ｘ’２，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）とする。真空中の電磁波の伝播波長をλ０とする。媒質の比誘電率をεｒとする。伝播する電磁波の波数をｋとする。
また、送信点ｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）及び受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）は、ｘ’＝ｘ’１＝ｘ’２を満たす。
本実施形態では、図２３に示すように、半径Ｒ０の半円筒計測曲面を表す以下の式で表される関数で説明する。

なお、関数ｇ１（ｘ’，ｙ’１）は、（ｘ’，ｙ’１）に関する任意の１価関数でよい。また、関数ｇ２（ｘ’，ｙ’２）は、（ｘ’，ｙ’２）に関する任意の１価関数でよい。
第５実施形態の式（５－５）は、任意の送信点ｐ１（ｘ’１，ｙ’１，ｚ’１）及び受信点ｐ２（ｘ’２，ｙ’２，ｚ’２）に関する式である。

そのため、以下、式（５－５）に式（７－１）を代入するところから始めると、以下の式が得られる。
式（７－２）の右辺は、（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）に関する関数であるため、整理すると以下の式で表される。

ｓａ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）の３重フーリエ変換後の関数をＳａ（ｋｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ）とすると、以下の式が得られる。
ここで、式（７－１）～式（７－４）を式（５－１９）に代入すると、以下の式が得られる。

本実施形態においても、近似的に式（５－２２）を用いることができる。
ここで、（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２）に関して、以下の演算子を定義する。


式（７－６）、式（７－７）の演算子は、Ｓａ（ｋｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ）に対して、（ｋｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ）空間における（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２）の固有値を有する。
式（７－６）、式（７－７）を式（７－５）に代入することにより、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が以下のように得られる。
以上のように、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）に基づいて、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を求める。
以下、図２４を参照して、本実施形態のデータ処理方法、及び、プログラムについて説明する。図２４は、本実施形態のデータ処理方法を示すフローチャートである。
まず、計測ユニット６１が計測データｓ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）を取得する（ステップＳ７－１）。そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｚ’１，ｚ’２，ｋ）を整理する（ステップＳ７－２）。これにより、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）が得られる。
そして、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）に対して、ヒルベルト変換を行う（ステップＳ７－３）。これにより、各計測点における周波数データの虚数成分が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、計測データｓａ（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２，ｋ）に対して、（ｘ’，ｙ’１，ｙ’２）に関する３重フーリエ変換を行う（ステップＳ７－４）。これにより、式（７－４）に示されるように、Ｓａ（ｋ’ｘ，ｋ’ｙ１，ｋ’ｙ２，ｋ’）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、式（７－６）、式（７－７）で表される演算子を得る（ステップＳ７－５）。
次に、データ処理ユニット６６は、以下の式に対して、変数置換を行う（ステップＳ７－６）。

これにより、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）が得られる。
次に、データ処理ユニット６６は、Ｓａ（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して、（ｋｘ，ｋｙ，ｋｚ）に対して３重逆フーリエ変換を行う（ステップＳ７－７）。これにより、式（７－７）に示されるように、反射率ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が得られる。
記憶部６６ａは、本実施形態のデータ処理方法を実行するためのプログラムを記憶する。記憶部６６ａに記憶されたプログラムは、データ処理ユニット６６に、本実施形態のデータ処理方法を実行させる。
１０ａ 送信アンテナ
１０ｂ 受信アンテナ
５０ 送信用アレイアンテナ
５２ 受信用アレイアンテナ
６０ レーダ装置
６１ 計測ユニット
６４ システム制御回路
６６ データ処理ユニット
６８ 画像表示ユニット
５８、５９ 高周波スイッチ
６２ 高周波回路
６９ エンコーダ

Claims (16)

  1. 物体に放射した波動の散乱波を解析するデータ処理方法であって、
    ｙｚ平面に平行な面内における(x’, y’)に関する１価関数z’=g(x’, y’)の曲線上に配列された複数の送受信点p(x’, y’, z’)から、前記物体に前記波動を放射し、
    前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、前記波動を放射した前記送受信点p(x’, y’, z’)で計測値sa(x’, y’, k)として受信し、
    前記計測値sa(x’, y’, k)を式（１）より２重フーリエ変換してSa(kx, ky, k)を求め、

    Sa(kx, ky, k)に対して固有値(x’, y’)を有する式（２）で示される演算子を定義し、

    式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める、

    データ処理方法。
    但し、
    kは、伝播する前記波動の波数、
    kx, ky, kzは、前記送受信点p(x’, y’, z’)と前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の往復球面波の波数ベクトルの成分、
    である。
  2. 前記複数の送受信点p(x’, y’, z’)は、ｘ方向に移動する、
    請求項１に記載のデータ処理方法。
  3. 前記複数の送受信点p(x’, y’, z’)は、ｙ方向に移動する、
    請求項１に記載のデータ処理方法。
  4. 前記波動の波数と波数ベクトルの成分は、式（４）を満たす、
    請求項１～３のいずれかに記載のデータ処理方法。
  5. 物体に放射した波動の散乱波を解析する計測システムであって、
    ｙｚ平面に平行な面内における(x’, y’)に関する１価関数z’=g(x’, y’)の曲線上に配列された複数の送受信点p(x’, y’, z’)を有する送受信部であって、前記物体に前記波動を放射し、前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、前記波動を放射した前記送受信点p(x’, y’, z’)で計測値sa(x’, y’, k)として受信する送受信部と、
    処理装置であって、
    前記計測値sa(x’, y’, k)を式（１）より２重フーリエ変換してSa(kx, ky, k)を求める手順と、

    Sa(kx, ky, k)に対して固有値(x’, y’)を有する式（２）で示される演算子を定義する手順と、

    式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

    を実行する処理装置と、
    を有する、計測システム。
    kは、伝播する前記波動の波数、
    kx, ky, kzは、前記送受信点p(x’, y’, z’)と前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の往復球面波の波数ベクトルの成分、
    である。
  6. 前記送受信部は、ｘ方向に移動する、
    請求項５に記載の計測システム。
  7. 前記送受信部は、ｙ方向に移動する、
    請求項５に記載の計測システム。
  8. 前記波動の波数と波数ベクトルの成分は、式（４）を満たす、
    請求項５～７のいずれかに記載の計測システム。
  9. 物体に放射した波動の散乱波を解析するプログラムであって、
    ｙｚ平面に平行な面内における(x’, y’)に関する１価関数z’=g(x’, y’)の曲線上に配列された複数の送受信点p(x’, y’, z’)から前記物体に放射された波動が、前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、前記波動を放射した前記送受信点p(x’, y’, z’)で受信した値である計測値sa(x’, y’, k)を式（１）より２重フーリエ変換してSa(kx, ky, k)を求める手順と、

    Sa(kx, ky, k)に対して固有値(x’, y’)を有する式（２）で示される演算子を定義する手順と、

    式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

    をコンピュータに実行させるプログラム。
    但し、
    kは、伝播する前記波動の波数、
    kx, ky, kzは、送受信点p(x’, y’, z’)と反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の往復球面波の波数ベクトルの成分、
    である。
  10. 前記波動の波数と波数ベクトルの成分は、式（４）を満たす、
    請求項９に記載のプログラム。
  11. 物体に放射した波動の散乱波を解析するデータ処理方法であって、
    ｙ軸上に配列された複数の送信点p1(x’, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射し、
    前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙ軸上に配列された複数の受信点p2(x’, y’2, z’2)で計測値sa(x’, y’1, y’2, k)として受信し、
    ｙ軸上に配列された前記複数の送信点p1(x’, y’1, z’1)及び前記複数の受信点p2(x’, y’2, z’2)を、x’に関する１価関数z’=g(x’)の曲面上を移動させ、
    前記計測値sa(x’, y’1, y’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してSa(k’x, k’y1, k’y2, k)を求め、

    Sa(k’ x , k’y1, k’y2, k)に対して固有値x’を有する式（２）で示される演算子を定義し、

    式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める、

    データ処理方法。
    但し、
    x’ = x’1 = x’2
    z’ = z’1= z’2
    kは、伝播する前記波動の波数、
    k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
    k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
    ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
    である。
  12. 前記波動の波数と波数ベクトルの成分は、式（４）を満たす、
    請求項１１に記載のデータ処理方法。
  13. 物体に放射した波動の散乱波を解析する計測システムであって、
    送受信部であって、
    ｙ軸上に配列された複数の送信点p1(x’, y’1, z’1)から、前記物体に前記波動を放射する送信部と、
    前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙ軸上に配列された複数の受信点p2(x’, y’2, z’2)で計測値sa(x’, y’1, y’2, k)として受信する受信部と、
    を有し、
    ｙ軸上に配列された前記複数の送信点p1(x’, y’1, z’1)及び前記複数の受信点p2(x’, y’2, z’2)を、x’に関する１価関数z’=g(x’)の曲面上を移動させる送受信部と、
    処理装置であって、
    前記計測値sa(x’, y’1, y’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してSa(k’x, k’y1, k’y2, k)を求める手順と、

    Sa(k’ x , k’y1, k’y2, k)に対して固有値x’を有する式（２）で示される演算子を定義する手順と、

    式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

    を実行する処理装置と、
    を有する、計測システム。
    但し、
    x’ = x’1 = x’2
    z’ = z’1= z’2
    kは、伝播する前記波動の波数、
    k’x1, k’y1, k’z1は、前記送信点p1(x’1, y’1, z’1)から前記反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
    k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から前記受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
    ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
    である。
  14. 前記波動の波数と波数ベクトルの成分は、式（４）を満たす、
    請求項１３に記載の計測システム。
  15. 物体に放射した波動の散乱波を解析するプログラムであって、
    ｙ軸上に配列された複数の送信点p1(x’, y’1, z’1)から、前記物体に放射された波動が、前記物体上の反射点(x, y, z)において反射率f(x, y, z)で反射した前記散乱波を、ｙ軸上に配列された複数の受信点p2(x’, y’2, z’2)で、x’に関する１価関数z’=g(x’)の曲面上を移動させて受信した値である計測値sa(x’, y’1, y’2, k)を式（１）より３重フーリエ変換してSa(k’x, k’y1, k’y2, k)を求める手順と、

    Sa(k’ x , k’y1, k’y2, k)に対して固有値x’を有する式（２）で示される演算子を定義する手順と、

    式（３）より３重逆フーリエ変換して、前記反射率f(x, y, z)を求める手順と、

    をコンピュータに実行させるプログラム。
    但し、
    x’ = x’1 = x’2
    z’ = z’1= z’2
    kは、伝播する前記波動の波数、
    k’x1, k’y1, k’z1は、送信点p1(x’1, y’1, z’1)から反射点(x, y, z)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
    k’x2, k’y2, k’z2は、前記反射点(x, y, z)から受信点p2(x’2, y’2, z’2)の間で伝播する前記波動の球面波の波数ベクトルの成分、
    ky = k’y1 + k’y2, v = k’y1 - k’y2
    である。
  16. 前記波動の波数と波数ベクトルの成分は、式（４）を満たす、
    請求項１５に記載のプログラム。

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