JP7473141B1 - 応力影響線の算出方法及び鋼床版の疲労評価方法 - Google Patents

Abstract

【課題】１つの着目点について１度の有限要素解析を行えばよく、かつ、有限要素モデルの修正が不要な応力影響線の算出方法及び鋼床版の疲労評価方法を提供する。【解決手段】応力影響線の算出方法は、有限要素モデルの着目点における任意の応力に対応した荷重を相反定理に基づき、有限要素モデルの着目点に対応する複数位置に設定する荷重設定ステップと、荷重が設定された有限要素モデルについて、有限要素解析を行うことで、単位荷重に対する着目点の任意の応力の応力影響線を算出する影響線算出ステップとを含む。【選択図】図１１

Description

特許法第３０条第２項適用 令和４年１１月２０日公益社団法人土木学会が発行した土木学会論文集Ａ１（構造・地震工学）Ｖｏｌ．７８ Ｎｏ．３ 第４８０～４８９頁で公開

特許法第３０条第２項適用 令和５年２月２０日公益社団法人土木学会東北支部が発行した令和４年度土木学会東北支部技術研究発表会講演概要集 第Ｉ－３６頁で公開

特許法第３０条第２項適用 令和５年３月４日公益社団法人土木学会東北支部主催によりウェブ開催された令和４年度土木学会東北支部技術研究発表会で発表

本発明は、応力影響線の算出方法及び鋼床版の疲労評価方法に関する。

橋梁等の構造物において、解析により疲労を推定する技術が開示されている（例えば、特許文献１参照）。

特開２０１９－１８９００９号公報

上記のような解析においては、構造物における着目点の応力等の応答を荷重の載荷位置で表した影響線を求めることが必要不可欠となる。従来では、有限要素モデルにおいて単位荷重の載荷位置を多数設定して載荷位置毎に有限要素解析を行う手法が行われるが、この手法では、単位荷重の載荷位置を変化させた多数の解析ケースを実行する必要がある。また、有限要素モデルにおいて、タイヤモデルを模した荷重を載荷する有限要素解析を行う手法が行われるが、タイヤモデルに合わせた要素分割を実施する必要があり、タイヤモデルを変更する場合は、要素分割を変更する必要がある。さらに、いわゆるＭｕｌｌｅｒ－Ｂｒｅｓｌａｕの原理に基づく解析手法が行われるが、この手法では、着目点に節点を追加し要素コネクティビティを修正（２重節点化）するといった有限要素モデルの修正が必要であり、この修正処理は着目点ごとに行う必要がある。

本発明は、上記に鑑みてなされたものであり、１つの着目点について１度の有限要素解析を行えばよく、かつ、有限要素モデルの修正が不要な応力影響線の算出方法及び鋼床版の疲労評価方法を提供することを目的とする。

本発明に係る応力影響線の算出方法は、有限要素モデルの着目点における任意の応力に対応した荷重を相反定理に基づき、前記有限要素モデルの前記着目点に対応する複数位置に設定する荷重設定ステップと、前記荷重が設定された前記有限要素モデルについて、有限要素解析を行うことで、単位荷重に対する前記着目点の任意の応力の応力影響線を算出する影響線算出ステップとを含む。

本発明に係る鋼床版の疲労評価方法は、鋼床版の前記有限要素モデルを生成するステップと、生成した前記有限要素モデルの着目点を設定するステップと、前記着目点を設定した前記有限要素モデルについて、上記の応力影響線の算出方法により、単位荷重に対する前記着目点の補正した構造ホットスポット応力の応力影響線を算出するステップと、算出した前記応力影響線に基づいて、前記有限要素モデルの前記着目点に発生する応力波形を生成するステップと、生成した前記応力波形に基づいて、前記着目点の疲労を算出するステップとを含む。

本発明によれば、１つの着目点について１度の有限要素解析を行えばよく、かつ、有限要素モデルの修正が不要な応力影響線の算出方法及び鋼床版の疲労評価方法を提供することができる。

図１は、相反定理によるたわみの影響線の解析の例を示す図である。 図２は、相反定理によるたわみ角の影響線の解析の例を示す図である。 図３は、Ｍｕｌｌｅｒ－Ｂｒｅｓｌａｕの原理による曲げモーメントの影響線の解析の例を示す図である。 図４は、要素辺におけるひずみの影響線の解析の例を示す図である。 図５は、節点におけるひずみの影響線の解析の例を示す図である。 図６は、最外縁の節点におけるひずみの影響線の解析の例を示す図である。 図７は、節点における応力の影響線の解析の例を示す図である。 図８は、節点の板表面における変位の影響線の解析の例を示す図である。 図９は、節点の板表面における応力の影響線の解析の例を示す図である。 図１０は、要素辺上の点における変位の影響線の解析の例を示す図である。 図１１は、本実施形態に係る応力影響線の算出方法の一例を示すフローチャートである。 図１２は、本実施形態に係る鋼床版の疲労評価方法の一例を示すフローチャートである。 図１３は、鋼床版の有限要素モデルの一例を示す図である。 図１４は、鋼床版の有限要素モデルの一例を示す図である。 図１５は、鋼床版の有限要素モデルの一部を示す図である。 図１６は、鋼床版の有限要素モデルについて算出した応力影響線を模式的に示す図である。 図１７は、応力波形生成ステップにおける車両の設定事項の例を示す図である。 図１８は、応力波形生成ステップにおける車両の設定事項の例を示す図である。 図１９は、応力波形生成ステップにおける車両の設定事項の例を示す図である。 図２０は、応力波形の算出手順の一部を模式的に示す図である。 図２１は、２軸車両、３軸車両及び４軸車両について着目点の応力波形の例を示す図である。 図２２は、２径間連続梁の問題設定の一例を示す図である。 図２３は、着目点付近の有限要素モデルの一例を示す図である。 図２４は、有限要素モデルの変形の様子の一例を示す図である。 図２５は、梁上縁での着目要素辺ひずみの影響線の一例を示すグラフである。 図２６は、本実施形態に係る手法による影響線の参照点での解析結果を示す図である。 図２７は、２主合成桁を参考にした対象構造の例を示す図である。 図２８は、２主合成桁を参考にした対象構造の例を示す図である。 図２９は、２主合成桁のモデルにおける鋼及びコンクリートの材料定数の一例を示す図である。 図３０は、２主合成桁のモデルにおける着目点近傍の断面図である。 図３１は、解析モデル全体図と着目点との位置を示す図である。 図３２は、床版上面における着目点のｘ方向垂直応力の影響線コンター図である。 図３３は、参照点の座標と各参照点に単位荷重を載荷したときの着目点応力と、本実施形態に係る手法による参照点における影響線の値をまとめた図である。

以下、本発明に係る応力影響線の算出方法及び鋼床版の疲労評価方法の実施形態を図面に基づいて説明する。なお、この実施形態によりこの発明が限定されるものではない。また、下記実施形態における構成要素には、当業者が置換可能かつ容易なもの、あるいは実質的に同一のものが含まれる。

［原理］
本実施形態に係る応力影響線の算出方法の原理を説明する。例えば橋梁等のように不確定な移動荷重を受ける構造物を設計する際には、当該構造物における着目点の応力等の応答を荷重の載荷位置で表した関数が必要不可欠となる。有限要素モデルにおいて、例えば載荷位置が１次元の場合には、当該関数は応力影響線（又は影響線）と呼ばれる。なお、載荷位置が床版面等の２次元の場合には、当該関数は応力影響面（又は影響面）と呼ばれる場合がある。本明細書では、載荷位置の次元に関わらず統一して応力影響線（又は影響線）と呼ぶこととする。

本実施形態では、相反定理を用いた有限要素解析に基づいて応力影響線を効率的に算出するものである。相反定理は、２つの系を考え、それぞれの系において、異なる系の外力・内力をつり合い系として補仮想仕事式を考え、線形弾性体であれば２つの系の内力補仮想仕事が等しいことから、２つの系の外力補仮想仕事が等しくなる、という定理である。系ｉでの変位をｕ^ｉ、外力をｑ^ｉとすると、相反定理は、

と表される。ここに、上付きの数字はその物理量が定義される系の番号を意味する。

（１）構造解析における影響線の解析
ａ．たわみの影響線
例えば、梁構造におけるたわみの影響線は、以下のようにして求めることができる。図１は、相反定理によるたわみの影響線の解析の例を示す図である。図１に示すように、系１の外力を任意点ξの集中荷重Ｐ^１（ξ）とし、系２の外力をたわみの着目点ｘの集中荷重Ｐ^２（ｘ）とする。また、系１のｘにおけるたわみと系２のξにおけるたわみをそれぞれ、ｗ^１（ｘ；ξ）、ｗ^２（ξ；ｘ）と定義する。ここに「；」の後の変数は荷重作用点を意味する。以上から、相反定理により、

を得る。集中荷重の大きさを単位とすれば、

となり、任意点ξに単位荷重が作用するときのたわみｗ^１（ｘ；ξ）、すなわち位置ｘにおけるたわみの影響線は、ｘに単位荷重が作用するときのξにおけるたわみであることが確認できる。

ｂ．たわみ角の影響線
次に、梁構造におけるたわみ角の影響線は以下のようにして求めることができる。図２は、相反定理によるたわみ角の影響線の解析の例を示す図である。図２に示すように、系１の外力を任意点ξの集中荷重Ｐ^１（ξ）とし、系２の外力をたわみ角の着目点ｘの集中モーメント荷重Ｍ^２（ｘ）とする。また、系１のｘにおけるたわみ角をθ^１（ｘ；ξ）、系２のξにおけるたわみをｗ^２（ξ；ｘ）と定義する。以上から、相反定理により、

を得る。Ｐ^１（ξ）とＭ^２（ｘ）の大きさを単位とすれば、

となり、任意点ξに単位荷重が作用するときのたわみ角θ^１（ｘ；ξ）、すなわち位置ｘにおけるたわみ角の影響線はｘに単位モーメント荷重が作用するときのξにおけるたわみであることが確認できる。これらはＭｕｌｌｅｒ－Ｂｒｅｓｌａｕの原理として知られている。

ｃ．曲げモーメントの影響線
Ｍｕｌｌｅｒ－Ｂｒｅｓｌａｕの原理により、例えば梁構造における曲げモーメントのような内力の影響線を求めることもできる。このとき、内力の補仮想仕事を取り出すためには不連続な変形を考える必要がある。図３は、Ｍｕｌｌｅｒ－Ｂｒｅｓｌａｕの原理による曲げモーメントの影響線の解析の例を示す図である。図３に示すように、系２の曲げモーメント着目点ｘに不連続な相対回転△θ^２（ｘ）を考える。ｘにおいて不連続な変形を考えているので、θ^２に以下のような左側極限・右側極限

を定義すれば、

である。Ｍ^１にも同様に左側極限・右側極限を定義すれば、両系に対する相反定理が

と表せる。ここで、作用反作用の法則により、

となることを考慮すると、数８は、

と表せ、系１の荷重が単位で、系２のｘにおける不連続相対回転△θ^２（ｘ）が単位、すなわち

であれば、

となり、系２のたわみがｘにおける曲げモーメントの影響線となることが示される。

（２）有限要素解析における効率的な影響線の解析
次に、相反定理に基づく効率的な影響線の有限要素解析手法について説明する。

ａ．ひずみの影響線
図４は、要素辺におけるひずみの影響線の解析の例を示す図である。図４に示すような有限要素モデルにおける節点ａ、ｂ間のｘ方向の垂直ひずみ（ε_ｘ）_ａｂを考える。系１には任意位置にある節点ξにｙ方向単位荷重Ｐ^１ _ξ＝１が作用しており、系２には節点ａと節点ｂに互いに逆向きのｘ方向単位荷重Ｐ^２ _ａ＝－１、Ｐ^２ _ｂ＝１が作用している。節点ξのｙ方向の変位をｖ_ξとし、節点ａ、ｂのｘ方向の変位をｕ_α、ｕ_ｂとすると、相反定理より、

が成立する。単位荷重を考慮すると、

となることから、節点ａ、ｂ間の要素辺長をｌとすると、

となり、着目辺ａｂの両端に逆向きの単位荷重を載荷したときの各節点のｙ方向の変位の１／ｌ倍が、着目辺ａｂの垂直ひずみ（ε_ｘ）_ａｂの影響線となっていることが示される。これは、着目辺ａｂの両端に逆向きに大きさ１／ｌの荷重を載荷したときの各節点のｙ方向変位が（ε_ｘ）_ａｂの影響線となっていると言い換えることもできる。

図５は、節点におけるひずみの影響線の解析の例を示す図である。図５に示すような有限要素モデルを考える。系１には任意位置にある節点ξにｙ方向単位荷重Ｐ^１ _ξ＝１が作用しており、系２には節点ａ、ｂ、ｃにｘ方向荷重Ｐ^２ _α（α＝ａ、ｂ、ｃ）が作用している。節点ξのｙ方向の変位をｖ_ξとし、節点ａ、ｂ、ｃのｘ方向の変位をｕ_α（α＝ａ、ｂ、ｃ）とする。

構造物の設計においては、着目点での応力やひずみを問題とする。通常の有限要素法では、要素間の変位の連続性は課されるが、その導関数であるひずみは連続性を有しない。したがって、節点でのひずみは一般的に定義されないが、節点をはさむ２つの要素辺におけるひずみの何らかの平均が用いられることも多い。そこで、図５に示すように着目節点ｂとその両隣の節点ａ、ｃの３点の変位を有限要素法の内挿関数ではなく２次関数で内挿したときのｂにおける傾きをｂにおけるひずみと考えることとする。ここで、ａｂ間の長さをｌ_ａｂ、ｂｃ間の長さをｌ_ｂｃとすると、ｂにおける２次曲線の傾きで定義される垂直ひずみ（ε_ｘ）_ｂは、

となる。ここで、系１及び系２に相反定理を適用すると、

が成り立つが、Ｐ^２ _α（α＝ａ、ｂ、ｃ）が、

であるとき、数１７の左辺が着目点ｂの垂直ひずみとなる。したがって、このときの各節点のｙ方向変位が着目点ｂの垂直ひずみ（ε_ｘ）_ｂの影響線となることが示される。なお、ｌ_ａｂ＝ｌ_ｂｃ＝ｌのときは、

とすれば、各節点のｙ方向変位が（ε_ｘ）_ｂの影響線となる。

図６は、最外縁の節点におけるひずみの影響線の解析の例を示す図である。図６に示すような有限要素モデルのｂ点のように最外縁におけるひずみや応力が問題となることが多い。この場合は、節点ａ、ｂ間のｘ方向垂直ひずみ（ε_ｘ）_ａｂを用いればよい。

ｂ．応力の影響線
線形問題においては応力とひずみは線形関係にあるが、例えば平板の問題では平面応力状態であり、その構成関係は垂直応力をσ_ｘ、σ_ｙ、せん断応力をτ_ｘｙ、垂直ひずみをε_ｘ、ε_ｙ、せん断ひずみをε_ｘｙとすると、

となる。ここで、Ｅはヤング率、νはポアソン比である。したがって、垂直応力の影響線を得るためには２成分の垂直ひずみの影響線が必要となる。

図７は、節点における応力の影響線の解析の例を示す図である。図７に示すような有限要素モデルにおける節点ｂのｘ方向の垂直応力（σ_ｘ）_ｂの影響線を求める方法について考える。簡単のため、要素はすべて辺長ｌの正方形の双１次四辺形要素とする。これ以外の場合でも、有限要素離散化を用いる限り任意点の変位は節点変位で表現できることから、以下の手法は適用可能である。

図７における系１には、任意位置にある節点ξにｙ方向単位荷重Ｐ^１ _ξが作用しており、図７における系２には、節点ｂのｘ方向に隣接する節点ａと節点ｃにｘ方向荷重Ｐ^２ _ａ、Ｐ^２ _ｃが作用しており、節点ｂのｙ方向に隣接する節点ｄと節点ｆにｙ方向荷重Ｑ^２ _ｄ、Ｑ^２ _ｆが作用している。

節点ξのｙ方向の変位をｖ_ξとし、節点ａ、ｃのｘ方向の変位をｕ_ａ、ｕ_cとし、節点ｄ、ｆのｙ方向の変位をｖ_ｄ、ｖ_ｆとする。系１及び系２に相反定理を適用すると、

が成立する。

のとき、相反定理は、

となり、系２のｙ方向変位が節点ｂにおけるｘ方向垂直ひずみ（ε_ｘ）_ｂの影響線となる。同様に、

のとき、相反定理は、

となり、系２の各節点のｙ方向変位が節点ｂにおけるｙ方向垂直ひずみ（ε_ｙ）_ｂの影響線となる。

ｘ方向垂直応力σ_ｘは、数２０で表されるように、ｘ方向垂直ひずみ（ε_ｘ）_ｂとｙ方向垂直ひずみ（ε_ｙ）_ｂとの線形結合で表されることから、

とすると、相反定理は、

となり、数２４の荷重を載荷した系２の各節点のｙ方向変位が節点ｂにおけるｘ方向垂直応力（σ_ｘ）_ｂの影響線となる。

３次元問題においても同様の考え方で影響線を求めることができる。３次元の構成関係は垂直応力をσ_ｘ、σ_ｙ、σ_ｚとし、せん断応力をτ_ｘｙ、τ_ｙｚ、τ_ｚｘとし、垂直ひずみをε_ｘ、ε_ｙ、ε_ｚとし、せん断ひずみをγ_ｘｙ、γ_ｙｚ、γ_ｚｘとすると、

となる。ここに、Ｅはヤング率、νはポアソン比である。したがって、垂直応力の影響線を得るためには３成分の垂直ひずみの影響線が必要となる。

上記では、垂直ひずみ及び垂直応力の影響線について説明したが、同様の考え方でせん断ひずみ及びせん断応力の影響線についても適用することが可能である。

ｃ．平面シェル要素における影響線
平面シェル要素で離散化された有限要素モデルを考える。平面シェル要素では、曲げの影響を考慮するために板表面における応力やひずみを求める必要がある。

図８は、節点の板表面における変位の影響線の解析の例を示す図である。図８に示す有限要素モデルにおいて、節点ａの板表面におけるｘ方向変位ｕ^１ _{ａ，ｓｕｒｆａｃｅ}の影響線を求める方法について考える。系１には任意位置にある節点ξにｙ方向単位荷重Ｐ^１ _ξ＝１が作用しており、系２には節点ａにｘ方向荷重Ｐ^２ _ａとｙ軸まわり曲げモーメントＭ^２ _ａが作用している。節点ξのｙ方向の変位をｖ_ξとし、節点ａのｘ方向変位をｕ_ａ、ｙ軸まわり回転角をθ_ａとする。板厚をｔとすると、板表面における変位ｕ_{ａ，ｓｕｒｆａｃｅ}は、

となる。このことと、相反定理

より、節点ａに以下の荷重

を与えたときの各節点のｙ方向変位が着目点ａの板表面における変位ｕ_{ａ，ｓｕｒｆａｃｅ}の影響線となることが示される。

節点の板表面におけるひずみや応力においても、上記項目ａ、ｂと同様の考え方で影響線を求めることができる。図９は、節点の板表面における応力の影響線の解析の例を示す図である。図９に示すような有限要素モデルで、節点ｂの板表面におけるｘ方向の垂直応力（σ_ｘ）_{ｂ，ｓｕｒｆａｃｅ}の影響線を求める方法を示す。簡単のため、要素はすべて辺長ｌの正方形で板厚ｔの平面シェル要素とする。これ以外の場合でも、有限要素離散化を用いる限り任意点の変位は節点変位で表現できることから、以下の手法は適用可能である。系１には任意位置にある節点ξにｙ方向単位荷重Ｐ^１ _ξ＝１が作用しており、系２には節点ｂのｘ方向に隣接する節点ａと節点ｃにｘ方向荷重Ｐ^２ _ａ、Ｐ^２ _ｃ、ｙ軸まわり曲げモーメントＭ^２ _ａ、Ｍ^２ _ｃが作用しており、節点ｂのｙ方向に隣接する節点ｄと節点ｆにｙ方向荷重Ｐ^２ _ｄ、Ｐ^２ _ｆ、ｘ軸まわり曲げモーメントＭ^２ _ｄ、Ｍ^２ _ｆが作用している。節点ξのｙ方向の変位をｖ_ξとし、節点ａ、ｃのｘ方向の変位をｕ_ａ、ｕ_ｃ、ｙ軸まわりの回転角をθ_a、θ_c、節点ｄ、ｆのｙ方向の変位をｖ_ｄ、ｖ_ｆ、ｘ軸回りの回転角をθ_ｄ、θ_ｆとする。系１と系２とに相反定理を利用すると、

が成立する。数２０に示した平面応力の構成関係を考慮して、

とすると、相反定理は数２９より、

となり、数３３の荷重を載荷した系２の各節点のｙ方向変位が節点ｂの板表面におけるｘ方向垂直応力（σ_ｘ）_{ｂ，ｓｕｒｆａｃｅ}の影響線となる。

ｄ．要素辺上の点における変位の影響線
図１０は、要素辺上の点における変位の影響線の解析の例を示す図である。図１０に示すような有限要素モデルにおける節点ｄのｘ方向の垂直ひずみ（ε_ｘ）_ｄの影響線を求める場合を考える。簡単のため、要素はすべて双１次四辺形要素とする。これ以外の場合でも、有限要素離散化を用いる限り任意点の変位は節点変位で表現できることから、以下の手法は適用可能である。節点ｄを原点としてｘ軸正の方向に隣接する節点はないが、このような場合には、節点ｄに隣接する要素辺上の点ｂにおけるｘ方向変位ｕ_ｂを用いる。

まず、要素辺上の点ｂにおけるｘ方向変位ｕ_ｂの影響線を求める方法について考える。図１０に示すような有限要素モデルにおいて、系１には任意位置にある節点ξにｙ方向単位荷重Ｐ^１ _ξ＝１が作用しており、系２には節点ｂを含む要素辺を形成する節点ａと節点ｃにｘ方向荷重Ｐ^２ _ａ、Ｐ^２ _ｃが作用している。節点ξのｙ方向の変位をｖ_ξとし、節点ａ、ｂ、ｃのｘ方向の変位をｕ_α（α＝ａ、ｂ、ｃ）とする。ａｂ間の長さをｌ_ａｂ、ｂｃ間の長さをｌ_ｂｃとすると、点ｂのｘ方向変位ｕ_ｂは、

となる。このことと、相反定理

より、節点ａ、ｃそれぞれに以下の荷重

を与えたときの各節点のｙ方向変位が点ｂのｘ方向変位ｕ_ｂの影響線となることが示される。したがって、節点ｄのｘ方向の垂直ひずみ（ε_ｘ）_ｄの影響線も、要素辺上の点ｂにおけるｘ方向変位ｕ_ｂを用いて求められる。

［応力影響線の算出方法］
次に、本実施形態に係る応力影響線の算出方法について説明する。図１１は、本実施形態に係る応力影響線の算出方法の一例を示すフローチャートである。図１１に示すように、本実施形態に係る応力影響線の算出方法は、荷重設定ステップＳ１０１と、影響線算出ステップＳ１０２とを含む。

荷重設定ステップＳ１０１は、有限要素モデルに設定された着目点の任意の応力に対応した荷重を当該着目点の近傍に設定する。荷重設定ステップＳ１０１では、例えば上記の図４から図１０に示す有限要素モデルにおいて着目点を設定し、設定した着目点の近傍となる節点に、任意の応力に対応する荷重を設定する。

影響線算出ステップＳ１０２は、荷重設定ステップＳ１０１により荷重が設定された有限要素モデルの有限要素解析を行うことで、単位荷重に対する着目点の任意の応力の応力影響線を算出する。影響線算出ステップＳ１０２で行う有限要素解析は、相反定理を利用することにより、１つの着目点について１回の解析を行うだけで影響線を算出することができる。また、荷重モデルに限定されない任意の応力の応力影響線を算出することができ、荷重作用面の要素分割に制限を受けないため、任意の分布荷重による着目点の応答を求めることができる。このため、荷重モデル等の変更に対しても有限要素モデルの修正や追加が不要となる。

［鋼床版の疲労評価方法］
次に、本実施形態に係る鋼床版の疲労評価方法について説明する。図１２は、本実施形態に係る鋼床版の疲労評価方法の一例を示すフローチャートである。図１２に示すように、本実施形態に係る鋼床版の疲労評価方法は、モデル生成ステップＳ２０１と、着目点設定ステップＳ２０２と、影響線算出ステップＳ２０３と、応力波形生成ステップＳ２０４と、疲労算出ステップＳ２０５とを含む。

モデル生成ステップＳ２０１は、鋼床版の有限要素モデルを生成する。図１３及び図１４は、鋼床版の有限要素モデルの一例を示す図である。図１３及び図１４に示す鋼床版の有限要素モデル１００は、デッキプレート１０と、主桁２０と、横リブ（横板）３０と、縦リブ（縦板）４０とを有し、横リブ３０と縦リブ４０とが溶接部５０によって全周溶接された構成である。図１３では、一部の溶接部５０を破線で示している。

着目点設定ステップＳ２０２は、生成した有限要素モデルの着目点を設定する。図１５は、鋼床版の有限要素モデルの一部を示す図である。上記した鋼床版の有限要素モデルの例では、図１５に示すように、例えば横リブと縦リブとの交差部分における溶接部の横リブ側の止端部に着目点を設定することができる。

影響線算出ステップＳ２０３は、着目点を設定した有限要素モデルについて、上記した応力影響線の算出方法（ステップＳ１０１、Ｓ１０２を含む）により、単位荷重に対する着目点の「補正した構造ホットスポット応力（以下、応力σ´ｈと表記する）」の応力影響線を算出する。

具体的には、まず、着目点を設定した鋼床版の有限要素モデルについて、着目点における応力σ´ｈに対応した荷重を当該有限要素モデルの複数位置に設定する（荷重設定ステップＳ１０１に対応）。

ここで、応力σ´ｈの影響線を求めるための荷重について説明する。簡単のために、着目点付近の要素は図１５に示すように長さｌの正方形要素で要素分割されているとする。

構造ホットスポット応力は、

で定義される。ここで、右辺のσは鋼板表面の溶接止端直角方向の垂直応力を表し、その添え字は止端から応力参照点までの距離を表し、ｔは横リブの板厚を表す。

曲げ応力の低減補正と板厚増加による強度低下の補正を考慮した構造ホットスポット応力（補正した構造ホットスポット応力：応力σ´ｈ）は、

と定義される。ここで、σ_ｈ，ｍ、σ_ｈ，ｂはそれぞれ構造ホットスポット応力の膜応力成分、曲げ応力成分である。

以上から、補正した構造ホットスポット応力は、

と表される。

鉛直方向の膜応力の影響線を求めるための荷重は、図１５の０．４ｔを例にとると、ａ点及びｂ点の水平（ｙ）方向荷重

及びｃ点及びｄ点の鉛直（ｚ）方向荷重

となる（数３３参照）。

鉛直方向の曲げ応力の影響線を求めるための荷重は、図１５の０．４ｔを例にとると、ａ点及びｂ点の鉛直（ｚ）軸まわりのモーメント

及びｃ点及びｄ点の水平（ｙ）軸まわりのモーメント

である（数３３参照）。

図１５の１．０ｔ位置における応力の影響線を求めるための荷重も同様に考え、上記数４１の係数を考慮すると、修正された構造ホットスポット応力の影響線を求めるための荷重は、

となる。

次に、荷重が設定された鋼床版の有限要素モデルについて、相反定理を利用した有限要素解析を行うことで、単位荷重に対する着目点の応力σ´ｈの応力影響線を算出する（影響線算出ステップＳ２０３に対応）。

図１６は、鋼床版の有限要素モデルについて算出した応力影響線を模式的に示す図である。影響線算出ステップＳ２０３では、有限要素解析で相反定理を利用することにより、１つの着目点について１回の解析を行うだけで、図１６に示すような影響線を算出することができる。

応力波形生成ステップＳ２０４は、算出した応力影響線に基づいて、有限要素モデルの着目点に発生する応力波形を生成する。

応力波形生成ステップＳ２０４では、鋼床版を走行する車両について、車両モデル、車両重量を設定すると共に、有限要素モデルにおける車両走行位置を設定し、これらの設定に基づいて応力波形を生成する。図１７から図１９は、応力波形生成ステップＳ２０４における車両の設定事項の例を示す図である。図１７から図１９は、車両モデルごとの軸間距離と各軸の軸重比及び車両重量の設定例を示している。図１７は２軸車両、図１８は３軸車両、図１９は４軸車両の例をそれぞれ示している。また、車両重量を示すグラフにおいて、横軸が車両重量（ｔｆ）、縦軸が台数（７２時間当たりの走行台数）を示している。

図２０は、応力波形の算出手順の一部を模式的に示す図である。図２０では、車両として４軸車両を車両モデルとした場合の例を示している。図２０に示すように、本実施形態では、着目点の応力σ´ｈの単位荷重に対応する応力影響線が算出されているため、シングルタイヤ、ダブルタイヤ等の任意のタイヤモデルに対応することができる。図２０に示す例では、シングルタイヤについてはタイヤ範囲Ｔ１で示し、ダブルタイヤについてはタイヤ範囲Ｔ２で示している。なお、図２０では、図１６で示す応力影響線に車両のタイヤ範囲を重ねた状態を示している。この例では、タイヤ範囲Ｔ１、Ｔ２の面積分を橋軸方向に位置をずらしながら実施することで、着目点の応力波形を算出することができる。

図２１は、２軸車両、３軸車両及び４軸車両について着目点の応力波形の例を示す図である。図２１の横軸は走行距離（ｍｍ）を示し、縦軸は応力（Ｎ／ｍｍ^２）を示す。２軸車両、３軸車両及び４軸車両のそれぞれについて、タイヤ範囲の面積分を橋軸方向に位置をずらしながら実施することで、図２１に示すような応力波形をそれぞれ算出することができる。

疲労算出ステップＳ２０６は、生成した応力波形に基づいて、着目点の疲労を算出する。具体的には、まず、生成した応力波形に基づいて、着目点についての応力範囲頻度分布を算出する。応力範囲頻度分布は、例えば連続する応力波形をレインフロー処理することにより算出することができる。次に、算出された応力範囲頻度分布に基づいて、着目点の累積疲労損傷比を算出する。例えば、累積疲労損傷比については、マイナー則に従い、設計寿命１００年の累積疲労損傷比Ｄを算出することができる。

［平面応力問題への適用例］
有限要素モデルとして、平面応力モデルに適用する場合について説明する。以下、平面応力モデルとして、２径間連続梁のモデルを例に挙げて説明する。図２２は、２径間連続梁の問題設定の一例を示す図である。図２２に示す２径間連続梁の平面応力問題を考える。梁は高さ２０００ｍｍ、支間３００００＋４００００ｍｍとし、１００ｍｍ四方の双１次四辺形要素で分割した。このとき総要素数は１４０００、総節点数は１４７４２となった。材質は均質でヤング率Ｅ＝２×１０^５（Ｎ／ｍｍ^２）、ポアソン比ν＝０．３の等方線形弾性体とした。座標ｘを左支点から右向きにとり、座標ｙを梁上縁から下向きに取る。着目点をｘ＝１００００ｍｍとした。

図２３は、着目点付近の有限要素モデルの一例を示す図である。図２３に示すような有限要素モデルにおいて、要素辺ａｂのｘ方向垂直ひずみの影響線で本実施形態に係る手法の妥当性を確認する。上記したように、節点ａ及び節点ｂにそれぞれ以下のｘ方向荷重

を与えて解析を行った。ここに、ｌは要素長１００ｍｍである。

図２４は、このときの有限要素モデルの変形の様子を示している。図２５は、梁上縁での着目要素辺ひずみの影響線の一例を示すグラフである。図２５の縦軸はｙ方向変位の大きさ、横軸はｘ方向の位置を示している。橋梁のような構造物では、床版上にのみ鉛直方向外力が作用するので、図２５では、梁上縁のｙ方向変位を任意のｘについて連続的に示した。図２５は、骨組の構造解析における影響線に相当する。この影響線を通常の境界値問題における単位荷重に対する着目点ひずみと比較することで、本解析の妥当性を確認する。ｘ＝１００００ｍｍ、２００００ｍｍ、５００００ｍｍの上縁をそれぞれ参照点Ａ、Ｂ、Ｃとして、単位荷重を載荷した。図２６（ａ）は、このときの要素辺ａｂのひずみ（ε_ｘ）_ａｂと、本実施形態に係る手法による影響線の参照点での値をまとめて示す図である。なお、単位荷重を載荷したときの要素辺ひずみは、節点ａ、節点ｂの相対変位に基づき算出した。両者の差は相対誤差で比較したが、単位荷重による解も近似解であることから相対差と表現した。相対差の定義は、

である。図２６（ａ）に示すように、本実施形態に係る手法は単位荷重を載荷する従来の解法による解と比較し、１０^－３％程度の精度で一致している。

次に、節点におけるひずみの影響線について、本実施形態に係る手法の妥当性を確認する。図２３における節点ｂのｘ方向垂直ひずみの影響線を得るために上記の数１９で与えられる荷重を載荷して解析を行った。このときの有限要素モデルの変形と上縁鉛直変位の分布はそれぞれ図２４及び図２５と同様である。図２６（ｂ）は、参照点Ａ、Ｂ、Ｃに単位荷重を載荷したときのひずみと本実施形態に係るひずみの影響線の参照点での値をまとめた図である。なお、単位荷重を載荷したときの節点におけるひずみは上記数１６により節点変位から求めた。図２６（ｂ）に示すように、本実施形態に係る手法は、単位荷重を載荷する従来の解法による解と比較し、１０^－３％程度の精度で一致している。

次に、節点における応力の影響線について本実施形態に係る手法の妥当性を確認する。図２３における節点ｂのｘ方向垂直応力の影響線を得るために上記の数２６で与えられる荷重を載荷して解析を行った。このときの有限要素モデルの変形と上縁鉛直変位の分布はそれぞれ図２４及び図２５と同様である。図２６（ｃ）は、参照点Ａ、Ｂ、Ｃに単位荷重を載荷したときの応力と本実施形態に係る応力の影響線の参照点での値をまとめた図である。なお、単位荷重を載荷したときの節点における応力は節点変位から求めた節点ｂにおけるｘ方向垂直ひずみとｙ方向垂直ひずみと平面応力との構成関係から求めた。図２６（ｃ）に示すように、本実施形態に係る手法は、単位荷重を載荷する従来の解法による解と比較し、１０^－３％程度の精度で一致している。

次に、分布荷重による応力について、本実施形態に係る手法の妥当性を確認する。図２２に示す梁において、左支間ｘ＝０からｘ＝１００００ｍｍまで、単位奥行当たりの等分布荷重ｑ＝１Ｎ／ｍｍ^２を載荷した。このときの節点ｂのｘ方向垂直応力は１．１３４２８×１０^２Ｎ／ｍｍ^２であった。本実施形態に係る手法による応力の影響線と等分布荷重の積を載荷範囲で積分すると、１．１３４３６×１０^２Ｎ／ｍｍ^２となり、相対差は６．６×１０^－３％となった。

構造物の設計においては、図２３のｆ点のように最外縁における応力が問題となることが多い。この場合は節点ｇ、節点ｆ、節点ｈの変位からｘ方向垂直ひずみを定義し、節点ｂ、節点ｆの変位からｙ方向垂直ひずみを定義することで、節点ｂの応力と同様に節点ｆの応力の影響線を求めることができる。具体的には、節点ｇ、節点ｈにｘ方向荷重Ｐを、節点ｂ、節点ｆにｙ方向荷重Ｑを

と与えれば、そのときの各節点の変位が節点ｆの応力の影響線となる。図２６（ｄ）は、参照点Ａ、Ｂ、Ｃに単位荷重を載荷したときの応力と本実施形態の応力の影響線の参照点での値をまとめた図である。なお、単位荷重を載荷したときの節点における応力は節点変位から求めた節点ｆにおけるｘ方向垂直ひずみとｙ方向垂直ひずみと平面応力との構成関係から求めた。図２６（ｄ）に示すように、本実施形態に係る手法は、単位荷重を載荷する従来の解法による解と比較し、１０^－２％程度の精度で一致している。

［３次元問題への適用例］
有限要素モデルとして、３次元有限要素モデルに適用する場合について説明する。以下、３次元有限要素モデルとして、２主合成桁のモデルを例に挙げて説明する。図２７及び図２８は、２主合成桁を参考にした対象構造の例を示す図である。図２７は断面図、図２８は桁断面図をそれぞれ示している。図２７及び図２８の斜線ハッチング部分がコンクリート、それ以外の部分が鋼で形成され、上フランジ上面で一体化しているものとしてモデル化し、鉄筋やずれ止め、横桁等はモデル化していない。鋼、コンクリートはともに等方線形弾性体とする。図２９は、２主合成桁のモデルにおける鋼及びコンクリートの材料定数の一例を示す図である。断面を１７７０要素、軸方向要素長を１００ｍｍとし、計１２３９０００要素の１次６面体要素によりモデル化した。なお、総節点数は１６１０８９８である。

上記した平面問題と同様に３００００ｍｍと４００００ｍｍの２径間連続梁とし、３００００ｍｍ支間側の端支点を原点とし、原点から逆側の端支点に向かう軸をｘ軸、断面の曲げ中立軸を原点に鉛直下向きをｚ軸、床版中央を原点に軸直角水平方向をｙ軸とする。支点では下フランジ下面をｚ方向に線支持し、他の方向の拘束は剛体運動を拘束する最低限の拘束とした。図３０は、２主合成桁のモデルにおける着目点近傍の断面図である。ｘ＝１００００ｍｍの図３０に丸印で示す点を着目点とした。図３１は、解析モデル全体図と着目点との位置を示す図である。３次元の構成関係を考慮し、着目点のｘ方向の隣接する各節点にｘ方向の荷重Ｐ_ｘを、ｙ方向の隣接する各節点にｙ方向の荷重Ｐ_ｙをそれぞれ互いに逆向きに作用させた。また、着目点は、ｚ方向の端点であるため、着目点とｚ方向に隣接する節点にｚ方向の荷重Ｐ_ｚを互いに逆向きに作用させた。これらの荷重は、

である。ここに、ｌ_ｘ、ｌ_ｙ、ｌ_ｚは各方向の要素長であり、

である。

図３２は、床版上面における着目点のｘ方向垂直応力の影響線コンター図である。図３２には主桁位置と支点位置も示している。この結果の妥当性を確認するため、図３２に示すＡ、Ｂ、Ｃの３点を参照点として選び、従来の単位荷重載荷の解析を行い、着目点応力との比較を行う。図３３は、参照点の座標と各参照点に単位荷重を載荷したときの着目点応力と、本実施形態に係る手法による参照点における影響線の値をまとめた図である。図３３に示すように、本実施形態に係る手法は、単位荷重を載荷する従来の解法による解と比較し、１０^－１％程度の精度で一致している。

以上のように、本実施形態の第１態様に係る応力影響線の算出方法は、有限要素モデルの着目点における任意の応力に対応した荷重を相反定理に基づき、複数位置に設定する荷重設定ステップと、荷重が設定された有限要素モデルについて、有限要素解析を行うことで、単位荷重に対する着目点の任意の応力影響線を算出する影響線算出ステップとを含む。

この構成によれば、有限要素解析に相反定理を利用することにより、１つの着目点について１回の解析を行うだけで影響線を算出することができる。また、応力影響線の解析のためにモデルに与える荷重は、要素長と材料定数から容易に決定できるため、汎用有限要素解析コードへの実装が容易となる。

本実施形態の第２態様に係る応力影響線の算出方法は、第１態様において、有限要素モデルは、鋼床版の有限要素モデルが用いられる。

この構成によれば、鋼床版の有限要素モデルについて応力影響線を算出する場合、１つの着目点について１度の有限要素解析を行えばよく、かつ、有限要素モデルの修正が不要となる。

本実施形態の第３態様に係る応力影響線の算出方法は、第１態様において、有限要素モデルは、平面応力モデルが用いられる。

この構成によれば、平面応力モデルについて応力影響線の算出する場合、１つの着目点について１度の有限要素解析を行えばよく、かつ、有限要素モデルの修正が不要となる。

本実施形態の第４態様に係る応力影響線の算出方法は、第１態様において、有限要素モデルは、３次元有限要素モデルが用いられる。

この構成によれば、３次元有限要素モデルについて応力影響線の算出する場合、１つの着目点について１度の有限要素解析を行えばよく、かつ、有限要素モデルの修正が不要となる。

本実施形態の第５態様に係る鋼床版の疲労評価方法は、鋼床版の有限要素モデルを生成するステップと、生成した有限要素モデルの着目点を設定するステップと、着目点を設定した有限要素モデルについて、上記の応力影響線の算出方法により、単位荷重に対する着目点の補正した構造ホットスポット応力の応力影響線を算出するステップと、算出した応力影響線に基づいて、有限要素モデルの着目点に発生する応力波形を生成するステップと、生成した応力波形に基づいて、着目点の疲労を算出するステップとを含む。

この構成によれば、有限要素解析に相反定理を利用することにより、１つの着目点について１回の解析を行うだけで補正した構造ホットスポット応力の影響線を算出することができる。また、荷重作用面の要素分割に制限を受けないため、任意の分布荷重による着目点の応答を求めることができる。このため、荷重モデル等の変更に対しても有限要素モデルの修正や追加が不要となる。また、着目点の応答を床版面に関連付けるポストプロセスが不要となる。また、応力影響面の解析のためにモデルに与える荷重は、要素長と材料定数から容易に決定できるため、汎用有限要素解析コードへの実装が容易となる。

本実施形態の第６態様に係る鋼床版の疲労評価方法は、第５態様において、応力波形を生成するステップでは、鋼床版を走行する車両について、車両モデル、車両重量及び有限要素モデルにおける車両走行位置の設定を行い、設定に基づいて応力波形を生成する。

この構成によれば、荷重モデルによらない、単位荷重に対する応力影響面が算出できるため、鋼床版を走行する車両について設定した任意の荷重モデルに対する応答を容易に求めることが可能である。

本実施形態の第７態様に係る鋼床版の疲労評価方法は、第５態様において、着目点の疲労を算出するステップでは、生成した応力波形に基づいて、着目点についての応力範囲頻度分布を算出し、算出された応力範囲頻度分布に基づいて、着目点の累積疲労損傷比を算出する。

この構成によれば、着目点の累積疲労損傷比を効率的に算出できる。

本実施形態の第８態様に係る鋼床版の疲労評価方法は、第５態様において、鋼床版は、デッキプレートと、デッキプレートの下面に接合され、第１方向に延びる横板と、第１方向に直交する第２方向に延び、横板を第２方向に貫通するようにデッキプレートの下面に接合された縦板と、横板と縦板とを接合する溶接部とを備え、着目点は、溶接部の止端部の点である。

この構成によれば、溶接部の止端部の点を着目点とした場合の影響線を容易かつ効率的に算出できる。

本発明の技術範囲は上記実施形態に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更を加えることができる。

上記実施形態に記載の手法は、有限要素解析に用いる要素の種類（ソリッド、シェル等）や、応力の成分に制限なく用いることができる。

上記実施形態に記載の手法は、荷重モデルによらない、単位荷重に対する応力影響面が算出できるため、任意の荷重モデルに対する応答を求めることが可能である。

上記実施形態に記載の手法は、橋梁の種別（新設橋梁、既設橋梁、改築橋梁（床版取り換え等）、道路橋、鉄道橋）は問わずに用いることができる。

１０ デッキプレート
２０ 主桁
３０ 横リブ
４０ 縦リブ
５０ 溶接部
１００ 有限要素モデル

Claims (8)

1. コンピュータが、
   有限要素モデルの着目点における任意の応力に対応した荷重を相反定理に基づき、前記有限要素モデルの前記着目点に対応する複数位置に設定する荷重設定ステップと、
   前記荷重が設定された前記有限要素モデルについて、有限要素解析を行うことで、単位荷重に対する前記着目点の任意の応力の応力影響線を算出する影響線算出ステップと
   を行う応力影響線の算出方法。
2. 前記有限要素モデルは、鋼床版の有限要素モデルが用いられる
   請求項１に記載の応力影響線の算出方法。
3. 前記有限要素モデルは、平面応力モデルが用いられる
   請求項１に記載の応力影響線の算出方法。
4. 前記有限要素モデルは、３次元有限要素モデルが用いられる
   請求項１に記載の応力影響線の算出方法。
5. コンピュータが、
   鋼床版の前記有限要素モデルを生成するステップと、
   生成した前記有限要素モデルの着目点を設定するステップと、
   前記着目点を設定した前記有限要素モデルについて、請求項１に記載の応力影響線の算出方法により、単位荷重に対する前記着目点の補正した構造ホットスポット応力の応力影響線を算出するステップと、
   算出した前記応力影響線に基づいて、前記有限要素モデルの前記着目点に発生する応力波形を生成するステップと、
   生成した前記応力波形に基づいて、前記着目点の疲労を算出するステップと
   を行う鋼床版の疲労評価方法。
6. 前記応力波形を生成するステップでは、前記鋼床版を走行する車両について、車両モデル、車両重量及び前記有限要素モデルにおける車両走行位置の設定を行い、前記車両走行位置の設定に基づいて前記応力波形を生成する
   請求項５に記載の鋼床版の疲労評価方法。
7. 前記着目点の疲労を算出するステップでは、生成した前記応力波形に基づいて、前記着目点についての応力範囲頻度分布を算出し、算出された応力範囲頻度分布に基づいて、前記着目点の累積疲労損傷比を算出する
   請求項５に記載の鋼床版の疲労評価方法。
8. 前記鋼床版は、
   デッキプレートと、
   前記デッキプレートの下面に接合され、第１方向に延びる横板と、
   前記第１方向に直交する第２方向に延び、前記横板を前記第２方向に貫通するように前記デッキプレートの下面に接合された縦板と、
   前記横板と前記縦板とを接合する溶接部と
   を備え、
   前記着目点は、前記溶接部の止端部の点である
   請求項５に記載の鋼床版の疲労評価方法。
   

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