JP7160210B2 - 処理装置、処理方法、およびプログラム - Google Patents

Description

本発明は、処理装置、処理方法、およびプログラムに関し、特に、加速度から変位を導出するために用いて好適なものである。本願は、２０１９年８月３０日に日本に出願された特願２０１９－１５７９６８号および２０２０年１月１７日に日本に出願された特願２０２０－００６０４９号に基づき優先権を主張し、特願２０１９－１５７９６８号および特願２０２０－００６０４９号の内容を全てここに援用する。

軌道上を鉄道車両が走行すると鉄道車両からの荷重により軌道の位置が変化する。このような軌道の変化が生じると、鉄道車両が異常な挙動を示す虞がある。そこで、従来から、鉄道車両を軌道上で走行させることにより、軌条（レール）の不整量（軌道狂い）の測定が行われる。軌道狂いを導出する方法として、特許文献１に記載されている慣性測定法と称される方法がある。一般に慣性測定法では、加速度を２階積分すると変位が計算できるという物理法則を利用して、軸箱や車体に取り付けた加速度センサで測定された加速度データに基づいて、軌道狂いを導出する。

加速度を２階積分する際には積分器を用いる。完全な積分器は０Ｈｚで無限大となる特性を有する。このため、積分器に入力する加速度データにオフセットが存在すると積分値が発散する虞がある。そこで、特許文献２に記載されているように、相対的に低い空間周波数での２階積分値の出力を抑制するフィルタ（ハイパスフィルタ）の特性を積分器に持たせることが行われる。また、特許文献３には、車両の加速度を２階積分することで軌道狂いを導出する際に、車両の走行速度に応じてベッセルフィルタのゲインおよび遮断周波数を調整することが記載されている。

特開２０１１－１５６９９５号公報 特開２００１－６３５７０号公報 特開２００９－３００３９８号公報

しかしながら、特許文献２、３に記載のように、加速度を２階積分する際にフィルタを適用すると、遮断周波数の設定が必要になる。このため、変位の導出に有用な周波数成分の情報が欠落する虞がある。変位の導出に有用な周波数成分の情報には、例えば、加速度データにおける低周波成分がある。このような課題は、軌道狂いを導出する場合に限らず、加速度から変位を導出する技術における共通の課題である。以上のように従来の技術では、加速度から変位を高精度に導出することが容易ではないという問題点がある。

本発明は、以上のような問題点に鑑みてなされたものであり、加速度に対し従来の２階積分を行わずに加速度から変位を導出することができるようにすることを目的とする。

本発明の処理装置は、加速度センサで測定された加速度の時系列データを取得する取得手段と、前記取得手段により取得された加速度の時系列データと、変位に対する作用素を行列で表現した作用素行列の逆行列と、に基づいて、変位の時系列データを導出する変位導出手段と、を含み、前記作用素行列は、第１の行列を用いて表され、前記第１の行列は、前記変位の時系列データからなるベクトルである変位ベクトルに対して、周期境界条件を課した２階時間微分を差分法により行うためのＮ行Ｎ列の正方行列であり、前記周期境界条件は、前記変位の時系列データの導出対象の期間の前後の期間における変位が当該変位の時系列データと同じ値を有するという条件であり、Ｎは、前記変位の時系列データの数であることを特徴とする。

本発明の処理方法は、加速度センサで測定された加速度の時系列データを取得する取得工程と、前記取得工程により取得された加速度の時系列データと、変位に対する作用素を行列で表現した作用素行列の逆行列と、に基づいて、変位の時系列データを導出する変位導出工程と、を含み、前記作用素行列は、第１の行列を用いて表され、前記第１の行列は、前記変位の時系列データからなるベクトルである変位ベクトルに対して、周期境界条件を課した２階時間微分を差分法により行うためのＮ行Ｎ列の正方行列であり、前記周期境界条件は、前記変位の時系列データの導出対象の期間の前後の期間における変位が当該変位の時系列データと同じ値を有するという条件であり、Ｎは、前記変位の時系列データの数であることを特徴とする。

本発明のプログラムは、加速度センサで測定された加速度の時系列データを取得する取得工程と、前記取得工程により取得された加速度の時系列データと、変位に対する作用素を行列で表現した作用素行列の逆行列と、に基づいて、変位の時系列データを導出する変位導出工程と、をコンピュータに実行させ、前記作用素行列は、第１の行列を用いて表され、前記第１の行列は、前記変位の時系列データからなるベクトルである変位ベクトルに対して、周期境界条件を課した２階時間微分を差分法により行うためのＮ行Ｎ列の正方行列であり、前記周期境界条件は、前記変位の時系列データの導出対象の期間の前後の期間における変位が当該変位の時系列データと同じ値を有するという条件であり、Ｎは、前記変位の時系列データの数であることを特徴とする。

図１Ａは、鉄道車両の概略の一例を示す図である。 図１Ｂは、鉄道車両の車体の下方の部分の構成の一例を示す図である。 図２は、処理装置の機能的な構成の第１の例を示す図である。 図３は、処理装置における処理の第１の例を説明するフローチャートである。 図４は、加速度の時系列データの一例を示す図である。 図５Ａは、比較例における変位の時系列データの第１の例を示す図である。 図５Ｂは、比較例における変位の時系列データの第２の例を示す図である。 図６は、発明例における変位の時系列データを示す図である。 図７は、処理装置の機能的な構成の第２の例を示す図である。 図８は、加速度センサにより測定された加速度の上下方向成分の時系列データの一例を示す図である。 図９は、加速度の上下方向成分のパワースペクトルの一例を示す図である。 図１０Ａは、低周波除去後の加速度の上下方向成分の実部の時系列データの一例を示す図である。 図１０Ｂは、低周波除去後の加速度の上下方向成分の虚部の時系列データの一例を示す図である。 図１１は、低周波除去後の加速度の上下方向成分の実部の時系列データから導出した変位の時系列データの一例を示す図である。 図１２は、変位の時系列データの時間積分値とカット周波数との関係の一例を示す図である。 図１３は、処理装置における処理の第２の例を説明するフローチャートである。 図１４は、処理装置のハードウェアの構成の一例を示す図である。

以下、図面を参照しながら、本発明の実施形態を説明する。
（第１の実施形態）
まず、第１の実施形態を説明する。
＜鉄道車両の概略＞
本実施形態で例示する鉄道車両について説明する。図１Ａは、鉄道車両の概略の一例を示す図である。図１Ｂは、鉄道車両の車体の下方の部分の構成の一例を示す図である。尚、図１Ａ、図１Ｂにおいて、鉄道車両は、ｘ_１軸の正の方向に進むものとする（ｘ_１軸は、鉄道車両の走行方向に沿う軸である）。また、ｘ_３軸は、軌道３０（地面）に対し垂直方向（鉄道車両の高さ方向）であるものとする。ｘ_２軸は、鉄道車両の走行方向に対して垂直な水平方向（鉄道車両の走行方向と高さ方向との双方に垂直な方向）であるものとする。また、鉄道車両は、営業車両であるものとする。尚、各図において、○の中に●が付されているものは、紙面の奥側から手前側に向かう方向を示し、○の中に×が付されているものは、紙面の手前側から奥側に向かう方向を示す。

図１Ａ、図１Ｂに示すように本実施形態では、鉄道車両は、車体１１と、台車１２ａ～１２ｂと、輪軸１３ａ～１３ｄとを有する。このように本実施形態では、１つの車体１１に、２つの台車１２ａ～１２ｂと４組の輪軸１３ａ～１３ｄとが備わる鉄道車両を例に挙げて説明する。輪軸１３ａ～１３ｄは、車軸１５ａ～１５ｄとその両端に設けられた車輪１４ａ～１４ｄとを有する。本実施形態では、台車１２ａ～１２ｂが、ボルスタ付き台車である場合を例に挙げて説明する。尚、図１Ａでは、表記の都合上、輪軸１３ａ～１３ｄの一方の車輪１４ａ～１４ｄのみを示すが、図１Ｂに示すように輪軸１３ａ～１３ｄの他方にも車輪が設けられている（図１に示す例では、車輪は合計８個ある）。また、鉄道車両は、図１Ａ、図１Ｂに示す構成要素以外の構成要素を有するが、表記の都合上、図１Ａ、図１Ｂでは、当該構成要素の図示を省略する。また、図１Ｂでは、台車１２ｂにおける輪軸１３ｄに対する構成要素（軸箱１７ａ～１７ｂ、軸バネ１８ａ～１８ｂと、軸ダンパ１９ａ～１９ｂ等）のみを示すが、その他の輪軸に対する構成要素も図１Ｂに示すものと同じもので実現される。

各輪軸１３ａ～１３ｄのｘ_２軸に沿う方向の両側には、軸箱１７ａ～１７ｂが配置される。台車枠１６と軸箱１７ａ～１７ｂは、軸箱支持装置により相互に結合される。図１Ｂに示す例では、軸箱支持装置は、軸バネ１８ａ～１８ｂと、軸ダンパ１９ａ～１９ｂと、を有する。軸箱支持装置は、軸箱１７ａ～１７ｂおよび台車枠１６の間に配置される装置（サスペンション）である。軸箱支持装置は、軌道３０から鉄道車両に伝わる振動を吸収する。また、軸箱支持装置は、軸箱１７ａ～１７ｂが台車枠１６に対してｘ_１軸に沿う方向およびｘ_２軸に沿う方向に移動することを抑制するように軸箱１７ａ～１７ｂの台車枠１６に対する位置を規制した状態で軸箱１７ａ～１７ｂを支持する。軸箱支持装置は、各輪軸１３ａ～１３ｄのｘ_２軸に沿う方向の両側に配置される。

台車枠１６の上方には、枕ばり２１が配置される。枕ばり２１と車体１１との間には、空気バネ２２ａ～２２ｂと、左右動ダンパ２３とが配置される。
ここで、本実施形態において、右側、左側とは、それぞれ、鉄道車両の進行方向（ｘ_１軸の正の方向）に向かって右側、左側を意味するものとする。軸箱１７ａ、軸バネ１８ａ、軸ダンパ１９ａ、空気バネ２２ａは、鉄道車両の左側に配置され、軸箱１７ｂ、軸バネ１８ｂ、軸ダンパ１９ｂ、空気バネ２２ｂは、鉄道車両の右側に配置される。
尚、鉄道車両自体は公知の技術で実現できるので、ここでは、その詳細な説明を省略する。また、台車は、ボルスタレス台車であってもよい。

鉄道車両が軌道３０上を走行すると、車輪１４ａ～１４ｄと軌道３０との間の作用力（クリープ力）が振動源となり、輪軸１３ａ～１３ｄ、台車１２ａ～１２ｂ、車体１１に振動が順次伝搬する。

以下の説明では、軌道３０に対し垂直な方向を、必要に応じて上下方向と称する。図１Ａおよび図１Ｂに示す例では、上下方向は、ｘ_３軸に沿う方向である。また、以下の説明では、鉄道車両の走行方向を、必要に応じて前後方向と称する。また、前後方向（鉄道車両の走行方向）と上下方向（軌道３０に対し垂直な方向）との双方に垂直な方向を、必要に応じて左右方向と称する。前後方向は、ｘ_１軸に沿う方向であり、左右方向は、ｘ_２軸に沿う方向である。

軸箱１７ａには、加速度センサ２４が取り付けられている。本実施形態では、加速度センサ２４は、少なくとも加速度の上下方向成分（ｘ_３軸成分）と左右方向成分（ｘ_２軸成分）とを測定することができる場合を例に挙げて説明する。
尚、加速度センサが測定する加速度の成分、加速度センサの数、および加速度センサを取り付ける位置は、慣性測定法により軌道狂いを導出するために用いられるものと同様にすることができ、特に限定されない。例えば、加速度の上下方向成分を測定する加速度センサと、加速度の左右方向成分を測定する加速度センサとのそれぞれを軸箱１７ａに取り付けてもよい。また、左右方向において間隔を有して並ぶ軸箱１７ａ～１７ｂの双方に加速度センサを取り付けてもよい。また、鉄道車両の全ての軸箱に加速度センサを取り付けても、一部の軸箱のみに加速度センサを取り付けてもよい。また、軸箱に加速度センサを取り付ければ輪軸の振動による加速度を可及的に正確に検出することができるので好ましいが、軸箱以外の位置に加速度センサを取り付けてもよい。

また、慣性測定法により軌道狂いを導出するために測定が必要なその他の測定器も鉄道車両に取り付けられる。例えば、変位計を鉄道車両に取り付けてもよい。当該変位計は、当該変位計と、左右の軌条（レール）との間の左右方向および上下方向の変位を測定する。また、加速度センサ（車体１１）の傾きを測定するジャイロセンサを鉄道車両に取り付けてもよい。
慣性測定法により軌道狂いを導出するために必要な測定器そのものは、特許文献１～３に記載のように公知の技術で実現することができるので、ここでは、その詳細な説明を省略する。

＜処理装置２００＞
図２は、処理装置２００の機能的な構成の一例を示す図である。処理装置２００のハードウェアは、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ＨＤＤ、および各種のインターフェースを備える情報処理装置、または、専用のハードウェアを用いることにより実現される。
<<データ取得部２０１>>
データ取得部２０１は、慣性測定法により軌道狂い量を導出するために必要な測定データを所定のサンプリング周期で鉄道車両の走行中に取得する。本実施形態では、データ取得部２０１は、各サンプリング時刻において、少なくとも、加速度センサ２４により測定された加速度の左右方向成分および上下方向成分を取得する。

<<変位導出部２０２>>
変位導出部２０２は、データ取得部２０１により取得された加速度の左右方向成分に基づいて、変位の左右方向成分を所定のサンプリング周期で導出する。ここで、サンプリング周期が経過する間の鉄道車両の移動距離が、検査区間において最大でも５０ｍｍ以下となるようにサンプリング周期を設定するのが好ましい。変位導出部２０２は、データ取得部２０１により取得された加速度の上下方向成分に基づいて、変位の上下方向成分を導出する。以下の説明において、特に断りがない場合、加速度、変位は、左右方向成分および上下方向成分の何れに対しても適用されるものであるものとする。

背景技術の欄で説明したように、加速度の時系列データは、計測に由来するノイズにより、時間積分すると発散することがある。そこで、本発明者らは、加速度の時系列データに対して従来の２階積分を行わずに変位を導出することを指向した。その結果、本発明者らは、以下のように、加速度の時系列データに基づいて、従来の２階積分を行わずに、当該加速度に基づく変位（の時系列データ）を導出することができることに想到した。

<<<変位の導出>>>
サンプリング時刻の数をＮ（Ｎは３以上の整数）とする。サンプリング時刻を昇順に並べたときの順番を示す変数をｉとする。ｉ番目のサンプリング時刻をｔ_ｉとする。サンプリング周期（時間隔）をΔｔとする。２階時間微分を差分法により行うための作用素をｈとする。変位をｕとする。サンプリング時刻ｔ_ｉにおける変位をｕ_ｉとする。２階時間微分を差分法により行うための作用素ｈは、以下の（１）式により定義される。（１）式では、２階時間微分を差分法により行うための作用素ｈは、変位ｕの２階時間微分を差分法により行うための作用素ｈである。

ここで、ｈｕ_ｉは、サンプリング時刻ｔ_ｉにおけるｈｕの値である。本実施形態では、中心差分近似を行う場合を例に挙げて示す。
変位ｕをベクトルで表現した変位ベクトルｕは、以下の（３）式で表される。一般に、変位ベクトルｕに対して２階時間微分を差分法により行うための作用素ｈ（（１）式におけるｈ）を行列で表現すると、以下の（２）式のようになる。

２階時間微分を差分法により行うための行列ｈは、（Ｎ－２）行Ｎ列の行列である（Ｎは３以上の整数）。そして、行列（作用素）ｈにスカラー（－１／（Δｔ）^２）を乗じた行列（作用素）（－１／（Δｔ）^２）ｈが、２階時間微分を差分法により行う行列（作用素）である。

本実施形態では、（２）式に対し、周期境界条件を課す。周期境界条件は、変位ｕの導出対象の期間の前後に続く期間の変位が、当該導出対象の期間における変位ｕと同じ値を有するという条件である。従って、本実施形態のように中心差分近似を用いる場合は、周期境界条件は、変位ｕの導出対象の期間における最初のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_１の１つ前のタイミングにおける変位ｕが、変位ｕの導出対象の期間における最後のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_Ｎにおける変位ｕ_Ｎと等しく、且つ、変位ｕの導出対象の期間における最後のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_Ｎの１つ後のタイミングにおける変位ｕが、変位ｕの導出対象の期間における最初のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_１における変位ｕ_１と等しいという条件である。そうすると、最初のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_１および最後のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_Ｎにおけるｈｕの値は、それぞれ以下の（４）式および（５）式で定義される。また、作用素ｈを行列で表現する式は、以下の（６）式のようになる。周期境界条件を課すことにより、（６）式の行列の１行目とＮ行目が（２）式の行列に追加される。

従来の２階積分では、例えば、最初のサンプリング時刻における速度および変位を用いると共に、（２）式を中心差分近似の行列として用いる。これに対し、本実施形態では、（２）式を用いずに（６）式を用いる。以下の説明では、（６）式を、必要に応じて第１の行列と称する。
ここで、第１の行列ｈのｉ行ｊ列の要素をｈ_ｉｊと表すものとする。（６）式に示す第１の行列ｈのｉ行ｊ列の要素ｈ_ｉｊは、以下の（７）式で表される。（７）式において、第１の行列ｈのｉ行ｊ列の要素ｈ_ｉｊがｉｆの後に示す要素であるときに、第１の行列ｈのｉ行ｊ列の要素ｈ_ｉｊは、ｉｆの前に示す値であることを示す。（ｉ，ｊ）＝（１，Ｎ），（Ｎ，１）は、それぞれ、第１の行列ｈの１行Ｎ列の要素ｈ_１Ｎであること、第１の行列ｈのＮ行１列の要素ｈ_Ｎ１であることを示す。otherwiseは、第１の行列ｈのｉ行ｊ列の要素ｈ_ｉｊのうち、２または－１の値にならない要素の値は０（ゼロ）であることを示す。

変位ｕの導出対象の期間における最初のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_１における変位ベクトルｕの要素ｕ_１は発散しない。そこで、（４）式および（５）式に示すように、変位ｕの導出対象の期間における最後のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_Ｎにおける変位ｕ_Ｎの次に、変位ｕの導出対象の期間における最初のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_１における変位ｕ_１を仮想的に並べるようにすることで、周期境界条件を設定する。

第１の行列ｈは、２階時間微分を差分法により行うための作用素を行列で表現したものである。従って、第１の行列ｈの逆行列と加速度の時系列データからなるベクトルとの積により当該加速度に基づく変位ベクトルを導出することができる。ただし、変位ベクトルの導出をより確実に且つ高精度に行うために、本実施形態では、２階微分作用素を表現する行列を以下のようにする。即ち、第１の行列ｈを用いて表される項に、固有値が０（ゼロ）になることを抑制するための項と、変位の高周波成分を抑制するための項とを付加したものを、２階微分作用素を表現する行列とする。以下の説明では、このような行列を、必要に応じて、作用素行列Ｈと称する。本実施形態では、作用素行列Ｈを、以下の（８）式のように定義する。

（８）式の右辺第１項は、第１の行列ｈに（－１）を乗算したものである。（８）式の右辺第１項は、前述したように、変位に対して前述した周期境界条件を課した２階時間微分を差分法により行うための計算を行う項である。本実施形態では、（８）式の右辺第１項により、第１の項の一例が実現される。

（８）式の右辺第２項は、第１の行列ｈに対する正則化項であり、第１の行列ｈに依存しない。δは、当該正則化項における正則化定数であり、所定の第１の値の一例である。正則化定数δは、正の値であり、予め設定される。Ｉは、Ｎ行Ｎ列の単位行列であり、第２の行列の一例である。（８）式の右辺第２項は、作用素行列Ｈの固有値が０（ゼロ）になることを抑制するための項である。

（８）式の右辺第３項は、第１の行列ｈに対する正則化項であり、第１の行列ｈ（第１の行列ｈの２乗）に依存する。ｈ^２は、第１の行列ｈを２乗した行列であり、第３の行列の一例である。εは、当該正則化項における正則化定数であり、所定の第２の値の一例である。正則化定数εは、０または正の値であり、予め設定される。（８）式の右辺第３項は、変位の時系列データの高周波成分を抑制するための項である。

（８）式の作用素行列Ｈを用いると、加速度ベクトルｙは、以下の（９）式で表される。従って、（９）式に対して左から作用素行列Ｈの逆行列Ｈ^－１とスカラー（Δｔ）^２とを掛けることにより、以下の（１０）式が得られる。

ここで、加速度ベクトルｙは、以下の（１１）式で表される。

（１１）式において、ｙ_ｉ（ｉ＝１，２，・・・,Ｎ）は、データ取得部２０１で取得された加速度の時系列データのサンプリング時刻ｔ_ｉにおける加速度である。変位ｕとして変位の左右方向成分を導出する場合、ｙ_１，ｙ_２，・・・,ｙ_Ｎには、加速度の左右方向成分の時系列データが与えられる。変位ｕとして変位の上下方向成分を導出する場合、ｙ_１，ｙ_２，・・・,ｙ_Ｎには、加速度の上下方向成分の時系列データが与えられる。データ取得部２０１では、加速度がサンプリング周期Δｔ毎に取得される。例えば、最新のサンプリング時刻ｔ_Ｎで取得された加速度を加速度ベクトルｙの最終行に格納する。加速度ベクトルｙにおいて、或る行の加速度は当該行の１つ下の行の加速度よりも１つ前のサンプリング時刻で取得されたものとなるように、加速度ベクトルｙに加速度が格納される。この場合、加速度ベクトルｙの１行目には、最新のサンプリング時刻ｔ_Ｎの（Ｎ－１）個前のサンプリング時刻ｔ_１で取得された加速度が格納される。

前述した（３）式に示す変位ベクトルｕは、（１１）式の加速度ベクトルｙに、作用素行列Ｈの逆行列Ｈ^－１（＝（－ｈ＋δＩ－εｈ^２）^－１）とスカラー（Δｔ）^２とを掛けることにより得られる。

<<<変位の計算方法の具体例>>>
変位導出部２０２は、データ取得部２０１により取得された加速度の左右方向成分を、（１１）式のｙ_１，ｙ_２，・・・,ｙ_Ｎとして、変位の左右方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎを導出する。

前述した例では、最新のサンプリング時刻ｔ_Ｎにおける変位の左右方向成分は、ｕ_Ｎである。それより前のサンプリング時刻における変位の左右方向成分は、ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎ－１である。従って、最新のサンプリング時刻ｔ_Ｎよりも前のサンプリング時刻における変位の左右方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎ－１は、最新のサンプリング時刻ｔ_Ｎにおいて既に導出されている。このため、変位導出部２０２は、例えば、最新のサンプリング時刻ｔ_Ｎにおいて（１１）式により導出される変位の左右方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎのうち、最新のサンプリング時刻ｔ_Ｎよりも前のサンプリング時刻における変位の左右方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎ－１を破棄し、最新のサンプリング時刻ｔ_Ｎにおける変位の左右方向成分ｕ_Ｎのみを採用する。

変位導出部２０２は、データ取得部２０１により取得された加速度の上下方向成分を、（１１）式のｙ_１，ｙ_２，・・・,ｙ_Ｎとして、変位の上下方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎを導出する。変位の上下方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎの導出は、例えば、変位の左右方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎの説明において、「左右方向」を「上下方向」に置き換えることにより実現することができるので、ここでは、その詳細な説明を省略する。

<<軌道不整量導出部２０３>>
軌道不整量導出部２０３は、変位導出部２０２により導出された変位に基づいて、軌道不整量（軌道狂い量）を導出する。本実施形態では、軌道不整の一例として通り狂いおよび高低狂いを導出する場合を例に挙げて説明する。通り狂いとは、日本工業規格（ＪＩＳ Ｅ １００１：２００１）に記載されているように、レールの長手方向の左右の変位である。通り狂い量は、その変位の量である。高低狂いとは、日本工業規格（ＪＩＳ Ｅ １００１：２００１）に記載されているように、レールの長手方向の上下の変位である。高低狂い量は、その変位の量である。

軌道不整量導出部２０３は、変位導出部２０２により導出された変位の左右方向成分を用いて、通り狂い量を導出する。また、軌道不整量導出部２０３は、変位導出部２０２により導出された変位の上下方向成分を用いて、高低狂い量を導出する。軌道不整量導出部２０３は、当該通り狂い量および高低狂い量が導出されたサンプリング時刻ｔ（最新のサンプリング時刻ｔ_Ｎ）における鉄道車両の走行位置を特定する。軌道不整量導出部２０３は、特定した走行位置と、当該通り狂い量および高低狂い量とを相互に関連付ける。鉄道車両の走行位置は、例えば、ＧＰＳ（Global Positioning System）を用いて特定される。また、鉄道車両の走行位置は、鉄道車両の各時刻における速度の積算値等から求めてもよい。

このとき、軌道不整量導出部２０３は、ジャイロセンサで測定された加速度センサ（車体１１）の傾きを用いて、変位導出部２０２により導出された変位に対して、傾きを補正することができる。また、軌道不整量導出部２０３は、左右の軌条（レール）と変位計（車体１１）との間の左右方向および上下方向の変位から、軌条（レール）と車体１１との相対的な変位の変化を導出し、導出した変化を、変位導出部２０２により導出された変位に対して加算することができる。このとき、左右の軌条（レール）と変位計（車体１１）との間の左右方向および上下方向の変位に対してハイパスフィルタ処理を行ってもよい。尚、軌道不整量の導出方法は、特に限定されず、公知の慣性測定法で用いられる技術を適用することができる。例えば、特許文献１、２に記載の技術において、積分器からの出力を、変位導出部２０２により導出された変位に置き換えることにより、軌道不整量を導出することができる。

<<出力部２０４>>
出力部２０４は、軌道不整量導出部２０３により導出された軌道不整量（軌道狂い量）の情報を出力する。軌道不整量（軌道狂い量）の情報には、例えば、軌道不整量と鉄道車両の走行位置とが相互に関連づけられた情報が含まれる。出力の形態は、例えば、コンピュータディスプレイへの表示、処理装置２００の外部の装置の送信、および、処理装置２００の外部または内部の記憶媒体への記憶のうち、少なくとも１つを採用することができる。また、出力部２０４は、軌道不整量導出部２０３により導出された軌道不整量（軌道狂い量）の情報に代えてまたは加えて、変位導出部２０２により導出された変位の情報を出力してもよい。この場合、例えば、変位導出部２０２により導出された変位と、当該変位が得られた鉄道車両の走行位置とが相互に関連づけられた情報が出力される。

<<正則化定数δ、ε>>
ここで、（８）式の正則化定数δ、εの値の設定方法の一例を説明する。正則化定数δは正の値である。正則化定数δを大きくすると、作用素行列Ｈの固有値が０（ゼロ）になることを抑制することができる。しかしながら、正則化定数δを大きくし過ぎると、本来の変位の時系列データから乖離する虞がある。また、正則化定数εは０または正の値である。正則化定数εを大きくすると高周波成分を抑制する効果が高まる。しかしながら、正則化定数εを大きくし過ぎると、本来の変位の時系列データから乖離する虞がある。そこで、正則化定数δ、εの値を予め調整する必要がある。

正則化定数δ、εの値は、例えば、以下のようにして決められる。
まず、正則化定数δの値を決める際には、（８）式において、正則化定数εを０（ゼロ）に設定する。また、正則化定数δを０（ゼロ）にすると作用素行列Ｈの固有値が０（ゼロ）になるように、作用素行列Ｈの行数および列数（＝Ｎ）を設定する。
そして、軌道不整量が既知の軌道３０において、鉄道車両を走行させながら、加速度センサ２４により加速度の時系列データを取得する。尚、軌道不整量が既知の軌道３０は、軌道不整量が０（ゼロ）の軌道３０であってもよい。そして、当該加速度の時系列データと、正則化定数εを０（ゼロ）とした（８）式を用いて変位を導出し、当該変位を用いて軌道不整量を導出する。以下の説明では、このようにして導出された軌道不整量を、必要に応じて軌道不整量の推定値と称する。

このような軌道不整量の推定値の導出を、正則化定数δの値を異ならせて行う。そして、既知の軌道不整量と軌道不整量の推定値との差が、実用上要求される精度以下になる正則化定数δを探索する。本発明者らは、複数の条件で正則化定数δを探索した結果、正則化定数δが１．０×１０^－１２以上１．０×１０^－９以下の範囲内であれば、既知の軌道不整量と軌道不整量の推定値との差の絶対値を実用上要求される精度以下（１．０×１０^－４ｍ以下）にすることができることを確認した。

次に、正則化定数εの値を決める際には、（８）式において、正則化定数δを０（ゼロ）とする。また、正則化定数δを０（ゼロ）にしても作用素行列Ｈの固有値が０（ゼロ）にならないように、作用素行列Ｈの行数および列数（＝Ｎ）を設定する。
そして、軌道不整量が既知の軌道３０において、鉄道車両を走行させながら、加速度センサ２４により加速度の時系列データを取得する。尚、軌道不整量が既知の軌道３０は、軌道不整量が０（ゼロ）の軌道３０であってもよい。そして、当該加速度の時系列データと、正則化定数δを０（ゼロ）とした（８）式を用いて変位を導出し、当該変位を用いて軌道不整量を導出する。以下の説明では、このようにして導出された軌道不整量も、必要に応じて軌道不整量の推定値と称する。

このような軌道不整量の推定値の導出を、正則化定数εの値を異ならせて行う。そして、既知の軌道不整量と軌道不整量の推定値との差が、実用上要求される精度以下になる正則化定数εを探索する。本発明者は、複数の条件で正則化定数εを探索した結果、正則化定数εが０以上１０．０以下の範囲内であれば、既知の軌道不整量と軌道不整量の推定値との差の絶対値を実用上要求される精度以下（１．０×１０^－４ｍ以下）にすることができることを確認した。尚、正則化定数εを設定する場合には正則化定数εの下限は、「０以上」に代えて「０超」とする。また、本発明者は、多くの場合、正則化定数εを０（ゼロ）としても、実用上、大きな問題が生じないことを確認した。

＜フローチャート＞
次に、図３のフローチャートを参照しながら、本実施形態の処理装置２００における処理の一例を説明する。
ステップＳ３０１において、処理装置２００は、検査対象の鉄道車両が検査区間に入るまで待機する。鉄道車両が検査区間に入ったか否かは、例えば、鉄道車両の走行位置に基づいて判定される。検査対象の鉄道車両が検査区間に入ると、処理は、ステップＳ３０２に進む。処理がステップＳ３０２に進むと、処理装置２００は、サンプリング時刻が到来するまで待機する。サンプリング時刻が到来すると、処理はステップＳ３０３に進む。

処理がステップＳ３０３に進むと、データ取得部２０１は、鉄道車両の走行中に測定される測定データであって、慣性測定法により軌道狂い量を導出するために必要な測定データを取得する。測定データには、加速度センサ２４により測定された加速度の左右方向成分および上下方向成分が含まれる。

次に、ステップＳ３０４において、データ取得部２０１は、連続するＮ回のサンプリング時刻における測定データが得られているか否かを判定する。連続するＮ回のサンプリング時刻における測定データには、直近のステップＳ３０３で取得した測定データが含まれるものとする。この判定の結果、連続するＮ回のサンプリング時刻における測定データが得られていない場合、処理はステップＳ３０２に戻る。一方、連続するＮ回のサンプリング時刻における測定データが得られている場合、処理はステップＳ３０５に進む。

処理がステップＳ３０５に進むと、変位導出部２０２は、データ取得部２０１により取得された加速度を、（１１）式のｙ_１，ｙ_２，・・・,ｙ_Ｎとして、変位ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎを導出する。尚、本実施形態では、変位導出部２０２は、変位の左右方向成分および上下方向成分を個別に導出する。

次に、ステップＳ３０６において、軌道不整量導出部２０３は、ステップＳ３０５で導出された変位に基づいて、軌道不整量を導出する。尚、本実施形態では、軌道不整量導出部２０３は、変位の左右方向成分に基づいて通り狂い量を導出し、変位の上下方向成分に基づいて高低狂い量を導出する。

次に、ステップＳ３０７において、出力部２０４は、ステップＳ３０６で導出された軌道不整量の情報を出力する。
次に、ステップＳ３０８において、処理装置２００は、検査対象の鉄道車両が検査区間を出たか否かを判定する。この判定の結果、検査対象の鉄道車両が検査区間を出ていない場合、処理は、ステップＳ３０２に戻り、検査対象の鉄道車両が検査区間を出るまで、ステップＳ３０２～Ｓ３０８の処理が繰り返し実行される。そして、ステップＳ３０８において、検査対象の鉄道車両が検査区間を出たと判定されると、図３のフローチャートによる処理が終了する。

＜計算例＞
次に、計算例を説明する。ここでは、発明例として、図４に示す加速度の時系列データに対して本実施形態のようにして変位の時系列データを導出した。また、比較例として、図４に示す加速度の時系列データに対して、遮断周波数を５Ｈｚ、１０Ｈｚとしたハイパスフィルタを適用して、従来の時間積分を行って速度の時系列データを導出した。そして、導出した速度の時系列データに対して、再度同様のハイパスフィルタを適用して、従来の時間積分を行って変位の時系列データを導出した。加速度に対してハイパスフィルタを２回適用したのは、加速度に対してハイパスフィルタを１回適用しただけでは、時間積分の結果が発散するからである。

図５Ａ、図５Ｂは、比較例における変位の時系列データを示す図である。図５Ａは、遮断周波数を５Ｈｚとしたハイパスフィルタを適用した場合の変位の時系列データを示す。図５Ｂは、遮断周波数を１０Ｈｚとしたハイパスフィルタを適用した場合の変位の時系列データを示す。
図６は、発明例における変位の時系列データを示す図である。図６では、正則化定数δ、εを、それぞれ、１０^－１０、０とした場合を例に挙げて示す。
図５Ａおよび図５Ｂに示すように、ハイパスフィルタを適用した場合には、導出される変位の発散を回避することはできるが、図６と比較して、低周波領域の信号がそぎ落とされていることが分かる。ハイパスフィルタは線形位相特性の実現が難しく、遮断波長付近での位相遅れが顕著である。このため、ハイパスフィルタを適用すると、必然的に波形ひずみを生じる。従って、ハイパスフィルタを適用すると、装置の出力波形は実際の軌道の形状と大きく異なるという弊害がある。ハイパスフィルタを２回適用するという前記行為は、この傾向を増幅してしまうという問題がある。

＜まとめ＞
以上のように本実施形態では、処理装置２００は、変位に対する作用素を行列で表現した作用素行列Ｈの逆行列Ｈ^－１と、加速度ベクトルｙとに基づいて、変位ベクトルｕを導出する。作用素行列Ｈは、第１の行列ｈを有する第１の項を用いて表される。第１の行列ｈは、変位ベクトルｕに対して周期境界条件を課した２階時間微分を差分法により行うためのＮ行Ｎ列の正方行列である。周期境界条件は、変位ｕの時系列データの導出対象の期間の前後の期間における変位が、当該変位の時系列データと同じ値を有するとする条件である。従って、加速度に対し従来の２階積分を行わずに加速度から変位を導出することができる。よって、変位が発散することと、変位の特定に有用な周波数成分が欠落することを抑制することができる。前述したように変位の特定に有用な周波数成分には、例えば、低周波成分がある。

また、本実施形態では、第１の行列ｈに依存しない項であって、作用素行列Ｈの固有値が０（ゼロ）になることを抑制するための項である第２の項を更に用いて、作用素行列Ｈを表す。従って、作用素行列Ｈの固有値が０（ゼロ）になることにより変位ベクトルｕが導出されなくなることを確実に抑制することができる。
また、本実施形態では、第１の行列ｈに依存する項であって、変位ｕの高周波成分を抑制するための項である第３の項を更に用いて、作用素行列Ｈを表す。従って、変位ｕの高周波成分を確実に抑制することができる。

＜変形例＞
本実施形態では、第１の行列ｈが（６）式で表される場合を例に挙げて説明した。しかしながら、作用素行列Ｈは（６）式に限定されない。例えば、中心差分近似を用いずに、前進差分近似または後退差分近似を用いて第１の行列を定義してもよい。前進差分近似を用いる場合は、周期境界条件は、変位ｕの導出対象の期間における最後のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_Ｎの１つ後のタイミングにおける変位ｕが、変位ｕの導出対象の期間における最初のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_１における変位ｕ_１と等しく、且つ、変位ｕの導出対象の期間における最後のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_Ｎの２つ後のタイミングにおける変位ｕが、変位ｕの導出対象の期間における２番目のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_２における変位ｕ_２と等しいという条件である。後退差分近似を用いる場合は、周期境界条件は、変位ｕの導出対象の期間における最初のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_１の１つ前のタイミングにおける変位ｕが、変位ｕの導出対象の期間における最後のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_Ｎにおける変位ｕ_Ｎと等しく、且つ、変位ｕの導出対象の期間における最初のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_１の２つ前のタイミングにおける変位ｕが、変位ｕの導出対象の期間における最後から２番目のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_Ｎ－１における変位ｕ_Ｎ－１と等しいという条件である。従って、第１の行列ｈは、（６）式に代えて、以下の（１２）式～（１３）式の何れか１つで定義されてもよい。尚、（１２）式に示す第１の行列ｈのｉ行ｊ列の要素ｈ_ｉｊは、以下の（１２ａ）式で表される。（１３）式に示す第１の行列ｈのｉ行ｊ列の要素ｈ_ｉｊは、以下の（１３ａ）式で表される。（１２ａ）式および（１３ａ）式の表記の意味は、（７）式の表記の意味と同じである。

中心差分近似、前進差分近似、および後退差分近似を考慮すると、周期境界条件は、以下の第１の条件と第２の条件との少なくとも一方を用いて定められる。第１の条件は、変位ｕの導出対象の期間における最初のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_１のｎ個前のタイミングにおける変位ｕが、変位ｕの導出対象の期間における最後からｎ番目のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_{Ｎ－ｎ-１}における変位ｕ_{Ｎ－ｎ-１}と等しいという条件である。第２の条件は、変位ｕの導出対象の期間における最後のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_Ｎのｎ個後のタイミングにおける変位ｕが、変位ｕの導出対象の期間における最初からｎ番目のサンプリング時刻（タイミング）ｔ_ｎにおける変位ｕ_ｎに等しいという条件である。ｎは、正の整数である。中心差分近似を用いる場合の周期境界条件は、第１の条件と第２の条件とを用いて定められ、ｎは１である。後退差分近似を用いる場合の周期境界条件は、第１の条件を用いて定められ、ｎは１および２である。前進差分近似を用いる場合の周期境界条件は、第２の条件を用いて定められ、ｎは１および２である。

また、本実施形態では、作用素行列Ｈが（８）式で表される場合を例に挙げて説明した。しかしながら、作用素行列Ｈは（８）式に限定されない。例えば、（８）式の右辺第２項および第３項のうち、少なくとも１つを除いたもの（正規化パラメータδ、εの少なくとも１つを０（ゼロ）としたもの）を作用素行列としてもよい。即ち、作用素行列Ｈは、（８）式に代えて、以下の（１４）式～（１６）式の何れか１つで定義されてもよい。

また、本実施形態では、変位の左右方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎをサンプリング時刻が到来するたびに導出する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、軌道３０の検査区間の全体、または、軌道３０の検査区間を複数に分割した複数の区間毎に、変位の左右方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎを纏めて導出してもよい。

また、本実施形態では、処理装置２００が、鉄道車両の車体１１内に配置される場合を例に挙げて説明した。しかしながら、必ずしもこのようにする必要はない。例えば、処理装置２００を車体１１内に配置せず、鉄道車両の外部に配置してもよい。このようにする場合、鉄道車両で測定されるデータは、例えば、無線通信により、鉄道車両から処理装置２００に送信されるようにする。

また、本実施形態では、変位ｕが、軌道狂いに係る変位である場合を例に挙げて説明した。しかしながら、加速度の測定データを用いて変位を導出するものであれば、変位ｕは、軌道狂いに係る変位に限定されない。

（第２の実施形態）
次に、第２の実施形態を説明する。
第１の実施形態では、変位導出部２０２は、データ取得部２０１により取得された加速度の左右方向成分・上下方向成分を、（１１）式のｙ_１，ｙ_２，・・・,ｙ_Ｎとして、変位の左右方向成分・上下方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎを導出する。このようにすれば、第１の実施形態の＜まとめ＞の項で説明したように、加速度に対し従来の２階積分を行わずに加速度から変位を導出することができる。

ただし、図５に示す変位と図６に示す変位とに一桁の差がある。本発明者らは、このことに着目し、その原因を検討した。データ取得部２０１により取得されるデータ（加速度の左右方向成分・上下方向成分）は、加速度センサ２４による測定データである。このことから、本発明者らは、データ取得部２０１により取得されるデータ（加速度の左右方向成分・上下方向成分）は、加速度センサ２４の特性等に起因して、０Ｈｚを上回る低周波のノイズが測定データに重畳されているという知見を得た。そして、本発明者らは、加速度センサ２４による測定データの低周波成分を除去した後に、変位導出部２０２による処理を実行すれば、測定データに重畳される低周波のノイズの影響を低減することができることを見出した。そこで、本実施形態では、加速度センサ２４による測定データの低周波成分を除去した後に、変位導出部２０２による処理を実行する。このように本実施形態は、第１の実施形態に対し、データ取得部２０１により取得されるデータ（加速度の左右方向成分・上下方向成分）の低周波成分を除去する点が主として異なる。従って、本実施形態の説明において、第１の実施形態と同一の部分については図１～図６に付した符号と同一の符号を付す等して詳細な説明を省略する。

＜処理装置７００＞
図７は、処理装置７００の機能的な構成の一例を示す図である。処理装置７００のハードウェアは、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ＨＤＤ、および各種のインターフェースを備える情報処理装置、または、専用のハードウェアを用いることにより実現される。

本実施形態の処理装置７００は、第１の実施形態の処理装置２００に対し、加速度導出部７０１を追加したものである。本実施形態の変位導出部２０２は、データ取得部２０１により取得された加速度の左右方向成分・上下方向成分に代えて、当該加速度の左右方向成分・上下方向成分に対して予め設定された０Ｈｚを上回る周波数以下の周波数成分が加速度導出部７０１により除去された加速度の左右方向成分・上下方向成分を用いる。尚、以下の説明において、上下方向成分についての具体例を説明する。しかしながら、特に断りがない場合、以下の説明は、左右方向成分および上下方向成分の何れに対しても適用されるものであるものとする。つまり、以下の加速度導出部７０１および変位導出部２０２の説明において、上下方向成分を左右方向成分に置き換えればよい。

<<加速度導出部７０１>>
加速度導出部７０１は、加速度センサ２４により測定された加速度の上下方向成分の時系列データから、予め設定された０Ｈｚを上回る周波数以下の周波数成分が除去された加速度の上下方向成分の時系列データを導出する。加速度導出部７０１は、加速度センサ２４により測定された加速度の左右方向成分の時系列データから、予め設定された０Ｈｚを上回る周波数以下の周波数成分が除去された加速度の左右方向成分の時系列データを導出する。加速度導出部７０１の処理の具体例を説明する。
尚、以下の説明では、時間領域上の関数（時系列データ）をフーリエ変換して得られる周波数領域上の関数を、必要に応じてフーリエ変換関数と称する。

図８は、加速度センサ２４により測定された加速度の上下方向成分の時系列データの一例を示す図である。尚、図８は、図４に対し、縦軸のスケールおよび横軸の値（図４の１４１．０が図８の０．０に対応する）を変えたものであり、図８に示すデータは図４に示すデータと同じである。
まず、加速度導出部７０１は、第１の加速度導出処理を実行する。本実施形態では、加速度導出部７０１は、加速度センサ２４により測定された加速度の上下方向成分の時系列データをフーリエ変換することにより、加速度の上下方向成分のフーリエ変換関数を導出する。

図９は、加速度の上下方向成分のパワースペクトルの一例を示す図である。図９は、図８に示す加速度の上下方向成分の時系列データから導出された加速度の上下方向成分のパワースペクトルである。パワースペクトルは、フーリエ変換関数の絶対値の２乗で定義され、図９に示すように、各周波数における信号強度を示すものである。
図９に示す加速度の上下方向成分のパワースペクトルには、周波数が０Ｈｚのときだけでなく、加速度センサ２４の特性等に起因して、０Ｈｚを上回る低周波数のノイズが重畳されることがある。

そこで、本実施形態では、加速度導出部７０１は、第２の加速度導出処理を実行する。本実施形態では、加速度導出部７０１は、加速度の上下方向成分のフーリエ変換関数から、予め設定された０Ｈｚを上回る周波数以下の周波数成分を除去する。以下の説明では、予め設定された０Ｈｚを上回る周波数を必要に応じてカット周波数と称する。本実施形態では、カット周波数の一例として、２．０Ｈｚを採用する。カット周波数として、２．０Ｈｚを採用することについての詳細は後述する。

次に、加速度導出部７０１は、第３の加速度導出処理を実行する。本実施形態では、加速度導出部７０１は、以上のようにしてカット周波数以下の周波数成分が除去された加速度の上下方向成分のフーリエ変換関数を逆フーリエ変換することにより、カット周波数以下の周波数成分が除去された加速度の上下方向成分の時系列データを導出する。以下の説明では、カット周波数以下の周波数成分が除去された加速度の上下方向成分の時系列データを、必要に応じて、低周波除去後の加速度の上下方向成分の時系列データと称する。

図１０Ａ、図１０Ｂは、低周波除去後の加速度の上下方向成分の時系列データの一例を示す図である。図１０Ａ、図１０Ｂは、図９に示す加速度の上下方向成分のフーリエ変換関数から２．０Ｈｚ以下の周波数成分を除去して逆フーリエ変換することにより導出されたものである。図１０Ａは、低周波除去後の加速度の上下方向成分の実部の時系列データを示す。図１０Ｂは、低周波除去後の加速度の上下方向成分の虚部の時系列データを示す。加速度の上下方向成分のフーリエ変換関数から２．０Ｈｚ以下の周波数成分を除去して逆フーリエ変換すると、低周波除去後の加速度の上下方向成分には、実部だけでなく虚部が含まれる。

一般に、フーリエ変換、逆フーリエ変換により得られる関数は、複素数値関数である。このため、数値計算により低周波除去後の加速度を導出すると、低周波除去後の加速度の上下方向成分に虚部が含まれる。しかしながら、加速度センサ２４により測定される加速度の上下方向成分の時系列データ自体は実数値関数である。従って、図１０Ｂに示すように、低周波除去後の加速度の上下方向成分の虚部の値は、低周波除去後の加速度の上下方向成分の実部の値に比べて圧倒的に小さい値であり、無視できる値（略０）である。このため、低周波除去後の加速度の上下方向成分の実部を、変位の導出に用いる加速度としても、実用上要求される精度で、変位を導出することができる。尚、本実施形態では、低周波除去後の加速度の上下方向成分の虚部は、変位の導出に使用されずに破棄される。

加速度導出部７０１は、以上のようにして低周波除去後の加速度の上下方向成分の時系列データを導出する。低周波除去後の加速度の上下方向成分の時系列データは、予め設定された０Ｈｚを上回る周波数以下の周波数成分が除去された加速度の上下方向成分の時系列データである。同様に、加速度導出部７０１は、低周波除去後の加速度の左右方向成分の時系列データを導出する。低周波除去後の加速度の左右方向成分の時系列データは、予め設定された０Ｈｚを上回る周波数以下の周波数成分が除去された加速度の左右方向成分の時系列データである。

<<変位導出部２０２>>
変位導出部２０２は、加速度導出部７０１により導出された低周波除去後の加速度の上下方向成分を、（１１）式のｙ_１，ｙ_２，・・・,ｙ_Ｎとして、変位の上下方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎを導出する。同様に、変位導出部２０２は、加速度導出部７０１により導出された低周波除去後の加速度の左右方向成分を、（１１）式のｙ_１，ｙ_２，・・・,ｙ_Ｎとして、変位の左右方向成分ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎを導出する。

図１１は、図１０Ａに示す低周波除去後の加速度の上下方向成分の実部の時系列データから導出した変位の時系列データを示す。図１１では、正則化定数δ、εを、それぞれ、１０^－１１、０とした場合を例に挙げて示す。図１１に示す変位の時系列データでは、図６に示す変位の時系列データに比較して、低周波のノイズを除去することができていることが分かる。また、第１の実施形態の比較例（図５Ａおよび図５Ｂ）では、遮断波長（カット周波数）付近での位相遅れが顕著なハイパスフィルタを２回適用する。これに対し、本実施形態（図１１）では、ハイパスフィルタを適用しない。図１１に示す変位の時系列データでは、時間０．０ｓ～０．７５ｓの範囲および３．０ｓより後の範囲において顕著に見られるように、図５Ａおよび図５Ｂに示す変位の時系列データに比べ、低周波領域の信号が存在していることが分かる。これは、本実施形態の手法では、ハイパスフィルタを適用することにより生じる波形ひずみを抑制していることに対応する。

<<カット周波数の具体例>>
ここで、加速度導出部７０１が第２の加速度導出処理で使用するカット周波数の設定方法の一例を説明する。カット周波数は、例えば、図９に示す加速度の上下方向成分のフーリエ変換関数から除去する周波数成分の上限値である。
図１２は、変位の時系列データの時間積分値とカット周波数との関係の一例を示す図である。
図１２において、縦軸の時間積分値は、変位導出部２０２により導出される変位の上下方向成分の実部の時系列データの時間積分値を表す。グラフ１２０１、１２０２、１２０３、１２０４は、それぞれ、台車１２ａの輪軸１３ａ、台車１２ａの輪軸１３ｂ、台車１２ｂの輪軸１３ｃ、台車１２ｂの輪軸１３ｄに取り付けられた加速度センサ２４により測定された加速度の上下方向成分を用いて、加速度導出部７０１および変位導出部２０２による処理を行うことにより導出された変位の上下方向成分の実部の時系列データの時間積分値を示す。ノイズが十分に除去されれば、当該時間積分値は、略０ｍ・ｓになると考えられる。

図１２に示すように、何れの輪軸１３ａ～１３ｄに取り付けられた加速度センサ２４により測定された加速度の上下方向成分を用いた場合でも、カット周波数が２．０Ｈｚにおいて、変位の上下方向成分の実部の時系列データの時間積分値は略０ｍ・ｓに収束する。従って、０Ｈｚを上回る予め設定された低周波数成分に２．０Ｈｚ以下の成分が含まれれば、ノイズが十分に除去される。カット周波数を大きくすると、有効な信号が除去される虞も生じる。このことから、カット周波数は、６．０Ｈｚ以下とするのが好ましい。前述したように、本実施形態では、加速度導出部７０１が第２の加速度導出処理で使用するカット周波数を２．０Ｈｚとする。

このように、本実施形態では、処理装置７００を実際に稼働する前に、加速度センサ２４により測定された加速度に基づいて、処理装置７００（加速度導出部７０１および変位導出部２０２）が行う処理と同じ処理で変位の時系列データを導出することを、カット周波数を異ならせて行う。そして、それぞれのカット周波数における変位の時系列データの時間積分値を導出する。変位の時系列データの時間積分値の大きさが０ｍ・ｓまたは０ｍ・ｓと同等であると見なせる所定値以下となるカット周波数の最低値を、加速度導出部７０１で用いるカット周波数とする。前記所定値としては、例えば、８．０×１０^－９ｍ・ｓ以下の値を設定すればよい。

＜フローチャート＞
次に、図１３のフローチャートを参照しながら、本実施形態の処理装置７００における処理の一例を説明する。
ステップＳ１３０１において、処理装置７００は、検査対象の鉄道車両が検査区間に入るまで待機する。検査対象の鉄道車両が検査区間に入ると、処理は、ステップＳ１３０２に進む。処理がステップＳ１３０２に進むと、処理装置７００は、サンプリング時刻が到来するまで待機する。サンプリング時刻が到来すると、処理はステップＳ１３０３に進む。

処理がステップＳ１３０３に進むと、データ取得部２０１は、鉄道車両の走行中に測定される測定データであって、慣性測定法により軌道狂い量を導出するために必要な測定データを取得する。測定データには、加速度センサ２４により測定された加速度の左右方向成分および上下方向成分が含まれる。
ステップＳ１３０１～Ｓ１３０３の処理は、図３のステップＳ３０１～Ｓ３０３の処理と同じである。

次に、ステップＳ１３０４において、データ取得部２０１は、フーリエ変換に必要な所定期間の測定データが得られたか否かを判定する。この判定の結果、所定期間の測定データが得られていない場合、処理はステップＳ１３０２に戻る。一方、所定期間の測定データが得られている場合、処理はステップＳ１３０５に進む。

処理がステップＳ１３０５に進むと、加速度導出部７０１は、加速度センサ２４により測定された加速度の上下方向成分・左右方向成分の時系列データをフーリエ変換することにより、加速度の上下方向成分・左右方向成分のフーリエ変換関数を導出する。
次に、ステップＳ１３０６において、加速度導出部７０１は、ステップＳ１３０５で導出された加速度の上下方向成分・左右方向成分のフーリエ変換関数から、カット周波数以下の周波数成分を除去する。

次に、ステップＳ１３０７において、加速度導出部７０１は、ステップＳ１３０６においてカット周波数以下の周波数成分が除去された加速度の上下方向成分・左右方向成分のフーリエ変換関数を逆フーリエ変換することにより、低周波除去後の加速度の上下方向成分・左右方向成分の時系列データを導出する。

次に、ステップＳ１３０８において、加速度導出部７０１は、連続するＮ回のサンプリング時刻における低周波除去後の加速度の上下方向成分・左右方向成分の時系列データが得られているか否かを判定する。連続するＮ回のサンプリング時刻における低周波除去後の加速度の上下方向成分・左右方向成分の時系列データには、低周波除去後の加速度の上下方向成分・左右方向成分の最新の値が含まれるものとする。低周波除去後の加速度の上下方向成分・左右方向成分の最新の値は、ステップＳ１３０７の直近のステップＳ１３０３で取得した測定データのサンプリング時刻における、低周波除去後の加速度の上下方向成分・左右方向成分である。この判定の結果、連続するＮ回のサンプリング時刻における低周波除去後の加速度の上下方向成分・左右方向成分の時系列データが得られていない場合、処理はステップＳ１３０２に戻る。一方、連続するＮ回のサンプリング時刻における低周波除去後の加速度の上下方向成分・左右方向成分の時系列データが得られている場合、処理はステップＳ１３０９に進む。

処理がステップＳ１３０９に進むと、変位導出部２０２は、加速度導出部７０１により導出された低周波除去後の加速度を、（１１）式のｙ_１，ｙ_２，・・・,ｙ_Ｎとして、変位ｕ_１，ｕ_２，・・・,ｕ_Ｎを導出する。尚、本実施形態でも第１の実施形態と同様に、変位導出部２０２は、変位の左右方向成分および上下方向成分を個別に導出する。

次に、ステップＳ１３１０において、軌道不整量導出部２０３は、ステップＳ１３０９で導出された変位に基づいて、軌道不整量を導出する。尚、本実施形態でも第１の実施形態と同様に、軌道不整量導出部２０３は、変位の左右方向成分に基づいて通り狂い量を導出し、変位の上下方向成分に基づいて高低狂い量を導出する。

次に、ステップＳ１３１１において、出力部２０４は、ステップＳ１３１０で導出された軌道不整量の情報を出力する。
次に、ステップＳ１３１２において、処理装置７００は、検査対象の鉄道車両が検査区間を出たか否かを判定する。この判定の結果、検査対象の鉄道車両が検査区間を出ていない場合、処理は、ステップＳ１３０２に戻り、検査対象の鉄道車両が検査区間を出るまで、ステップＳ１３０２～Ｓ１３１２の処理が繰り返し実行される。そして、ステップＳ１３１２において、検査対象の鉄道車両が検査区間を出たと判定されると、図１３のフローチャートによる処理が終了する。
ステップＳ１３１０～Ｓ１３１２の処理は、図３のステップＳ３０６～３０８と同じである。

＜まとめ＞
以上のように本実施形態では、処理装置７００は、予め設定された０Ｈｚを上回る周波数以下の周波数成分が除去された加速度の左右方向成分・上下方向成分を導出する。そして、処理装置７００は、予め設定された０Ｈｚを上回る周波数以下の周波数成分が除去された加速度の左右方向成分・上下方向成分を用いて、加速度ベクトルｙを構成する。従って、第１の実施形態で説明した効果に加え、低周波成分のノイズを抑制することができ、これにより、加速度から変位をより高精度に導出することができるという効果が得られる。

このとき本実施形態では、処理装置７００は、加速度センサ２４により測定された加速度の上下方向成分の時系列データをフーリエ変換することにより、加速度の左右方向成分・上下方向成分のフーリエ変換関数を導出する。本実施形態では、このようにして第１の加速度導出処理が実行される。そして、処理装置７００は、導出した加速度の左右方向成分・上下方向成分のフーリエ変換関数から、予め設定された０Ｈｚを上回る周波数（カット周波数）以下の周波数成分を除去する。本実施形態では、このようにして第２の加速度導出処理が実行される。そして、処理装置７００は、カット周波数以下の周波数成分が除去された加速度の左右方向成分・上下方向成分のフーリエ変換関数を逆フーリエ変換することにより、カット周波数以下の周波数成分が除去された加速度の左右方向成分・上下方向成分の時系列データを導出する。本実施形態では、このようにして第３の加速度導出処理が実行される。従って、波形ひずみをより一層抑制することができる。

＜変形例＞
本実施形態では、第２の加速度導出処理において、加速度センサ２４により測定された加速度における周波数が０Ｈｚの成分を除去する場合を例に挙げて説明した。しかしながら、加速度センサ２４により測定された加速度における周波数が０Ｈｚの成分を除去しなくても、変位導出部２０２の処理により変位が発散することを抑制することができる。従って、加速度センサ２４により測定された加速度における周波数が０Ｈｚの成分を除去しなくてもよい。このようにする場合、第２の加速度導出処理では、加速度の左右方向成分・上下方向成分のフーリエ変換関数から、０Ｈｚを上回る予め設定された周波数以上、カット周波数以下の範囲の周波数成分が除去される。

また、本実施形態のように、第１～第３の加速度導出処理を実行すれば、ハイパスフィルタやバンドパスフィルタを用いることがなくなるので波形ひずみを抑制することができ好ましい。しかしながら、例えば、カット周波数以下の周波数を遮断するハイパスフィルタ、または、０を上回る所定の周波数以上、カット周波数以下の周波数帯域以外の周波数を遮断するバンドパスフィルタを用いても、フィルタを適用する回数は１回である。従って、第１の実施形態の比較例のようにフィルタを適用する回数を２回とする場合に比べ、波形ひずみを抑制することができる。よって、第１～第３の加速度導出処理を実行することに代えて、ハイパスフィルタまたはバンドパスフィルタによる処理を実行してもよい。
また、本実施形態でも、第１の実施形態で説明した種々の変形例を採用することができる。

（ハードウェア）
処理装置２００のハードウェアの一例について説明する。処理装置７００のハードウェアは、処理装置２００のハードウェアと同じもので実現することができる。従って、ここでは、処理装置７００のハードウェアの詳細な説明を省略する。図１４において、処理装置２００は、ＣＰＵ１４０１、主記憶装置１４０２、補助記憶装置１４０３、通信回路１４０４、信号処理回路１４０５、画像処理回路１４０６、Ｉ／Ｆ回路１４０７、ユーザインターフェース１４０８、ディスプレイ１４０９、およびバス１４１０を有する。

ＣＰＵ１４０１は、処理装置２００の全体を統括制御する。ＣＰＵ１４０１は、主記憶装置１４０２をワークエリアとして用いて、補助記憶装置１４０３に記憶されているプログラムを実行する。主記憶装置１４０２は、データを一時的に格納する。補助記憶装置１４０３は、ＣＰＵ１４０１によって実行されるプログラムの他、各種のデータを記憶する。

通信回路１４０４は、処理装置２００の外部との通信を行うための回路である。通信回路１４０４は、処理装置２００の外部と無線通信を行っても有線通信を行ってもよい。通信回路１４０４は、無線通信を行う場合、鉄道車両に設けられるアンテナに接続される。

信号処理回路１４０５は、通信回路１４０４で受信された信号や、ＣＰＵ１４０１による制御に従って入力した信号に対し、各種の信号処理を行う。
画像処理回路１４０６は、ＣＰＵ１４０１による制御に従って入力した信号に対し、各種の画像処理を行う。この画像処理が行われた信号は、ディスプレイ１４０９に出力される。
ユーザインターフェース１４０８は、オペレータが処理装置２００に対して指示を行う部分である。ユーザインターフェース１４０８は、例えば、ボタン、スイッチ、およびダイヤル等を有する。また、ユーザインターフェース１４０８は、ディスプレイ１４０９を用いたグラフィカルユーザインターフェースを有していてもよい。

ディスプレイ１４０９は、画像処理回路１４０６から出力された信号に基づく画像を表示する。Ｉ／Ｆ回路１４０７は、Ｉ／Ｆ回路１４０７に接続される装置との間でデータのやり取りを行う。図１４では、Ｉ／Ｆ回路１４０７に接続される装置として、ユーザインターフェース１４０８およびディスプレイ１４０９を示す。しかしながら、Ｉ／Ｆ回路１４０７に接続される装置は、これらに限定されない。例えば、可搬型の記憶媒体がＩ／Ｆ回路１４０７に接続されてもよい。また、ユーザインターフェース１４０８の少なくとも一部およびディスプレイ１４０９は、処理装置２００の外部にあってもよい。
出力部１４０８は、例えば、通信回路１４０４および信号処理回路１４０５と、画像処理回路１４０６、Ｉ／Ｆ回路１４０７、およびディスプレイ１４０９との少なくとも何れか一方を用いることにより実現される。

尚、ＣＰＵ１４０１、主記憶装置１４０２、補助記憶装置１４０３、信号処理回路１４０５、画像処理回路１４０６、およびＩ／Ｆ回路１４０７は、バス５１０に接続される。これらの構成要素間の通信は、バス１４１０を介して行われる。また、処理装置２００、７００のハードウェアは、前述した処理装置２００、７００の機能を実現することができれば、図１４に示すものに限定されない。

（その他の変形例）
尚、以上説明した本発明の実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ－ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。
また、以上説明した本発明の実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

本発明は、例えば、加速度センサで測定される加速度から変位を導出することに利用することができる。

Claims (20)

1. 加速度センサで測定された加速度の時系列データを取得する取得手段と、
   前記取得手段により取得された加速度の時系列データと、変位に対する作用素を行列で表現した作用素行列の逆行列と、に基づいて、変位の時系列データを導出する変位導出手段と、を含み、
   前記作用素行列は、第１の行列を用いて表され、
   前記第１の行列は、前記変位の時系列データからなるベクトルである変位ベクトルに対して、周期境界条件を課した２階時間微分を差分法により行うためのＮ行Ｎ列の正方行列であり、
   前記周期境界条件は、前記変位の時系列データの導出対象の期間の前後の期間における変位が当該変位の時系列データと同じ値を有するという条件であり、
   Ｎは、前記変位の時系列データの数であることを特徴とする処理装置。
2. 前記加速度の時系列データのサンプリング時刻を昇順に並べたときの順番を示す変数をｉ、前記加速度の時系列データのｉ番目のサンプリング時刻をｔ_ｉ、前記加速度の時系列データのサンプリング周期をΔｔ、前記加速度の時系列データのサンプリング時刻ｔ_ｉにおける加速度をｙ_ｉ、前記変位の時系列データのサンプリング時刻ｔ_ｉにおける変位をｕ_ｉ、前記第１の行列をｈ、前記作用素行列をＨ、前記変位ベクトルをｕとし、
   加速度ベクトルｙを以下の（Ａ）式のように定義し、且つ、前記変位ベクトルｕを（Ｂ）式のように定義したときに、
   前記作用素行列Ｈは、以下の（Ｃ）式で定義され、前記変位ベクトルｕは、以下の（Ｄ）式により導出されることを特徴とする請求項１に記載の処理装置。
   

   
3. 前記作用素行列は、前記第１の行列を有する第１の項と、Ｎ行Ｎ列の正方行列である第２の行列を有する第２の項とを用いて表され、
   前記第２の項は、前記第１の行列に依存しない項であって、前記作用素行列の固有値が０になることを抑制するための項であることを特徴とする請求項１または２に記載の処理装置。
4. 前記第２の行列は、Ｎ行Ｎ列の単位行列であり、
   前記第２の項は、所定の第１の値と前記第２の行列との積を用いて表されることを特徴とする請求項３に記載の処理装置。
5. 前記加速度の時系列データのサンプリング時刻の順番を示す変数をｉ、前記加速度の時系列データのｉ番目のサンプリング時刻をｔ_ｉ、前記加速度の時系列データのサンプリング周期をΔｔ、前記加速度の時系列データのサンプリング時刻をｔ_ｉにおける加速度をｙ_ｉ、前記変位の時系列データのサンプリング時刻ｔ_ｉにおける変位をｕ_ｉ、前記第１の行列をｈ、前記作用素行列をＨ、前記変位ベクトルをｕ、Ｎ行Ｎ列の単位行列をＩ、前記第１の値をδとし、
   加速度ベクトルｙを以下の（Ａ）式のように定義し、前記変位ベクトルｕを（Ｂ）式のように定義したときに、
   前記作用素行列Ｈは、以下の（Ｃ）式で定義され、前記変位ベクトルｕは、以下の（Ｄ）式により導出されることを特徴とする請求項４に記載の処理装置。
   

   
6. 前記第１の値δは、１．０×１０^－１２以上１．０×１０^－９以下の値であることを特徴とする請求項５に記載の処理装置。
7. 前記作用素行列は、前記第１の行列を有する第１の項と、Ｎ行Ｎ列の正方行列である第３の行列を有する第３の項とを用いて表され、
   前記第３の項は、前記第１の行列に依存する項であって、前記変位の高周波成分を抑制するための項であることを特徴とする請求項１～６の何れか１項に記載の処理装置。
8. 前記第３の行列は、前記第１の行列を２乗した行列であり、
   前記第３の項は、所定の第２の値と前記第１の行列の２乗との積を用いて表されることを特徴とする請求項７に記載の処理装置。
9. 前記加速度の時系列データのサンプリング時刻の順番を示す変数をｉ、前記加速度の時系列データのｉ番目のサンプリング時刻をｔ_ｉ、前記加速度の時系列データのサンプリング周期をΔｔ、前記加速度の時系列データのサンプリング時刻をｔ_ｉにおける加速度をｙ_ｉ、前記変位の時系列データのサンプリング時刻ｔ_ｉにおける変位をｕ_ｉ、前記第１の行列をｈ、前記作用素行列をＨ、前記変位ベクトルをｕ、前記第２の値をεとし、
   加速度ベクトルｙを以下の（Ａ）式のように定義し、且つ、前記変位ベクトルｕを（Ｂ）式のように定義したときに、
   前記作用素行列Ｈは、以下の（Ｃ）式で定義され、前記変位ベクトルｕは、以下の（Ｄ）式により導出されることを特徴とする請求項８に記載の処理装置。
   

   
10. 前記第２の値は、０以上１０．０以下の値であることを特徴とする請求項９に記載の処理装置。
11. 前記作用素行列は、前記第１の行列を有する第１の項と、Ｎ行Ｎ列の正方行列である第２の行列を有する第２の項と、Ｎ行Ｎ列の正方行列である第３の行列を有する第３の項と、を用いて表され、
    前記第２の項は、前記第１の行列に依存しない項であって、前記作用素行列の固有値が０になることを抑制するための項であり、
    前記第３の項は、前記第１の行列に依存する項であって、前記変位の高周波成分を抑制するための項であることを特徴とする請求項１～１０の何れか１項に記載の処理装置。
12. 前記第２の行列は、Ｎ行Ｎ列の単位行列であり、
    前記第２の項は、所定の第１の値と前記第２の行列との積を用いて表され、
    前記第３の行列は、前記第１の行列を２乗した行列であり、
    前記第３の項は、所定の第２の値と前記第１の行列の２乗との積を用いて表されることを特徴とする請求項１１に記載の処理装置。
13. 前記加速度の時系列データのサンプリング時刻の順番を示す変数をｉ、前記加速度の時系列データのｉ番目のサンプリング時刻をｔ_ｉ、前記加速度の時系列データのサンプリング周期をΔｔ、前記加速度の時系列データのサンプリング時刻をｔ_ｉにおける加速度をｙ_ｉ、前記変位の時系列データのサンプリング時刻ｔ_ｉにおける変位をｕ_ｉ、前記第１の行列をｈ、前記作用素行列をＨ、前記変位ベクトルをｕ、Ｎ行Ｎ列の単位行列をＩ、前記第１の値をδ、前記第２の値をεとし、
    加速度ベクトルｙを以下の（Ａ）式のように定義し、且つ、前記変位ベクトルｕを（Ｂ）式のように定義したときに、
    前記作用素行列Ｈは、以下の（Ｃ）式で定義され、前記変位ベクトルｕは、以下の（Ｄ）式により導出されることを特徴とする請求項１２に記載の処理装置。
    

    
14. 前記取得手段により取得された加速度の時系列データから、予め設定された低周波数成分を除去した加速度の時系列データを導出する加速度導出手段を更に有し、
    前記変位導出手段は、前記取得手段により取得された加速度の時系列データに代えて、前記加速度導出手段により導出された加速度の時系列データを用いて、前記変位の時系列データを導出することを特徴とする請求項１～１３の何れか１項に記載の処理装置。
15. 前記加速度導出手段は、前記取得手段により取得された加速度の時系列データをフーリエ変換することにより加速度のフーリエ変換関数を導出する第１の加速度導出手段と、
    前記第１の加速度導出手段により導出された加速度のフーリエ変換関数から予め設定された低周波数成分を除去した加速度のフーリエ変換関数を導出する第２の加速度導出手段と、
    前記第２の加速度導出手段により導出された加速度のフーリエ変換関数を逆フーリエ変換することにより加速度の時系列データを導出する第３の加速度導出手段と、を有することを特徴とする請求項１４に記載の処理装置。
16. 前記加速度導出手段は、予め設定された０Ｈｚを含む低周波数成分を除去した加速度の時系列データを導出することを特徴とする請求項１４または１５に記載の処理装置。
17. 前記加速度センサは、鉄道車両に取り付けられており、
    前記変位は、軌道狂いに係る変位であることを特徴とする請求項１～１６の何れか１項に記載の処理装置。
18. 前記加速度センサは、鉄道車両の軸箱に取り付けられていることを特徴とする請求項１７に記載の処理装置。
19. 加速度センサで測定された加速度の時系列データを取得する取得工程と、
    前記取得工程により取得された加速度の時系列データと、変位に対する作用素を行列で表現した作用素行列の逆行列と、に基づいて、変位の時系列データを導出する変位導出工程と、を含み、
    前記作用素行列は、第１の行列を用いて表され、
    前記第１の行列は、前記変位の時系列データからなるベクトルである変位ベクトルに対して、周期境界条件を課した２階時間微分を差分法により行うためのＮ行Ｎ列の正方行列であり、
    前記周期境界条件は、前記変位の時系列データの導出対象の期間の前後の期間における変位が当該変位の時系列データと同じ値を有するという条件であり、
    Ｎは、前記変位の時系列データの数であることを特徴とする処理方法。
20. 加速度センサで測定された加速度の時系列データを取得する取得工程と、
    前記取得工程により取得された加速度の時系列データと、変位に対する作用素を行列で表現した作用素行列の逆行列と、に基づいて、変位の時系列データを導出する変位導出工程と、をコンピュータに実行させ、
    前記作用素行列は、第１の行列を用いて表され、
    前記第１の行列は、前記変位の時系列データからなるベクトルである変位ベクトルに対して、周期境界条件を課した２階時間微分を差分法により行うためのＮ行Ｎ列の正方行列であり、
    前記周期境界条件は、前記変位の時系列データの導出対象の期間の前後の期間における変位が当該変位の時系列データと同じ値を有するという条件であり、
    Ｎは、前記変位の時系列データの数であることを特徴とするプログラム。

Images