JP6032924B2 - エンコーダ - Google Patents

Description

本発明は、エンコーダに関する。

特許文献１は、スケール格子からの透過光を固定部のインデックス格子を通して受光する光学式エンコーダにおいて、スケール格子の開口幅を２／３ピッチにすることによって変調信号波形の高調波歪（第３高調波成分）を除去する方法を提案している。

特開平９−１９６７０５号公報

しかしながら、特許文献１は、スケール格子からインデックス格子に至る伝搬において回折の影響が大きくなる条件下では高調波低減の効果が低下するという問題があった。

そこで、本発明は、安定して高調波歪を抑え、位置を高精度に検出することが可能なエンコーダを提供することを例示的な目的とする。

本発明のエンコーダは、光源と、受光素子と、前記光源からの光を反射または透過することによって前記受光素子に導くパターンを含む複数の単位ブロックパターンを含み、前記光源および前記受光素子に対して相対移動可能に設けられたスケールと、を備えるエンコーダであって、前記複数の単位ブロックパターンは、測位方向に沿って、ピッチＰの周期で配置されており、前記単位ブロックパターンの前記パターンは、前記測位方向に垂直な対称線に関して対称な形状であり、各単位ブロックパターンは前記測位方向に垂直な方向に沿って複数の分割領域を含み、各分割領域において前記パターンの面積を前記分割領域の面積で割った値である前記パターンの面積比は、隣接する２つの分割領域の間で異なり、各分割領域において、前記パターンは、前記測位方向に延びる２つの平行な直線と前記測位方向に垂直な方向に延びる２つの平行な直線によって規定される矩形形状を有し、前記複数の分割領域のうち、少なくとも２つの分割領域によってそれぞれ形成される前記受光素子上の干渉像に含まれる特定次数の高調波成分の位相が反転していることを特徴とする。

本発明によれば、安定して高調波歪を抑え、位置を高精度に検出することが可能なエンコーダを提供することができる。

エンコーダのブロック図である。（実施例１、２、３） トラックの部分拡大平面図である。（実施例１） 受光素子アレイの受光面の平面図である。（実施例１） 数式７、８、９を説明するための図である。（実施例１） 図２に示す構成において光学ギャップと３倍波成分の振幅との関係を示すグラフである。（実施例１） 図２（ｂ）に示すＤ１のスリットとＤ２のスリットをＸ方向に分散させ、交互に並べた場合の回折積分計算の結果を示すグラフである。 トラックの部分拡大平面図である。（実施例２） 数式２２〜２６を説明するための図である。（実施例２） 図７に示す構成において光学ギャップと３倍波成分の振幅との関係を示すグラフである。（実施例２） 図７（ｂ）の変形例の拡大平面図である。（実施例２） 図１０に示す構成において基本波振幅と３倍波成分、５倍波成分、７倍波成分の絶対値振幅の比較を示すグラフである。（実施例２） トラックの部分拡大平面図である。（実施例３） 図１２の部分拡大平面図である。（実施例３） 図１２の部分拡大平面図である。（実施例３） 図１２の部分拡大平面図である。（実施例３） 数式３６〜３９を説明するための図である。（実施例３） 図１３Ｂに示す構成において光学ギャップと高調波成分の振幅との関係を示すグラフである。（実施例３） 数式４８〜５６を説明するための図である。（実施例３） 図１３Ｃに示す構成において光学ギャップと高調波成分の振幅との関係を示すグラフである。（実施例３） 基本波振幅と高調波の絶対値振幅の比較を示すグラフである。 図１３Ａの領域を検出するときの受光素子アレイの受光面の配置を示す平面図である。 図１３Ｂの領域を検出するときの受光素子アレイの受光面の配置を示す平面図である。 図１３Ｃの領域を検出するときの受光素子アレイの受光面の配置を示す平面図である。 位相信号とスケール位置との関係を示す図である。 エンコーダのブロック図である。（実施例４） 図２１に示す構成において光学ギャップと高調波成分の振幅との関係を示すグラフである。（実施例４） トラックの部分拡大平面図である。（実施例５） 図２３の部分拡大平面図である。（実施例５） 図２３の部分拡大平面図である。（実施例５） 図２３の部分拡大平面図である。（実施例５） 図２３の部分拡大平面図である。（実施例６） エンコーダのブロック図である。（実施例７） センサユニットのブロック図である。（実施例７） トラックの部分拡大平面図である。（実施例７） トラックの部分拡大平面図である。（実施例７）

図１は、本実施形態のエンコーダのブロック図である。本実施形態のエンコーダは、インクリメンタルエンコーダとして機能してもよいし、アブソリュートエンコーダとして機能してもよい。

本実施形態のエンコーダはここでは光学式エンコーダとする。エンコーダは、固定部に取り付けられるセンサユニット１０、不図示の可動部に取り付けられるスケール２０、信号処理回路（信号処理手段）３０を有する。なお、固定部と可動部の関係は逆でもよく、センサユニット１０とスケール２０が相対的に移動可能な構成であれば足りる。

センサユニット１０は、光源１２と受光素子アレイ１６を有する受光ＩＣ１４が同一パッケージ内に実装された受発光一体型のセンサユニットである。

光源１２は、電狭窄型のＬＥＤ（波長λ＝８５０ｍｍ）、半導体レーザ等を使用することができる。受光素子アレイ１６は、スケール２０のパターンからの光の分布を検出する複数の検出素子が、スケール２０（または可動部の）移動方向（測位方向）であるＸ方向に並べられた検出素子アレイとして機能する。ここで、「測位方向」とは、光源及び検出素子（受光素子）に対してスケールが移動する方向、つまり光源及び検出素子に対してスケールの位置を検出可能な方向であるが、移動するのはスケールでは無く、光源及び検出素子であっても構わない。また、測位方向における位置情報は、スケール（又はスケールに対して固定された部材）の、光源或いは検出素子（又はそれらのいずれかに固定された部材）に対する位置情報でも、この位置に付随する情報でも構わない。

スケール２０は、ガラス基板上にクロム反射膜のパターンを複数有するパターン列がトラック２１にパターニングされている。パターンは光の分布を空間変調するためのパターンである。特に、ここでのパターン（或いはスケール上でパターンが形成された領域）は、光源からの光を検出素子に導く特性（反射又は透過）を有する部分のことである。このスケール上でのパターンが形成されている部分（パターン部）とパターンが形成されていない部分とは、互いに光学特性が異なり、それは、反射と非反射（透過又は吸収）の組合せか、透過と非透過（反射又は吸収）の組合せであることが望ましい。

各トラック２１は、Ｘ方向に垂直なＹ方向に周期的に配列され、所定のピッチ（変調周期）を有する領域を有する。ここでいう「ピッチ（変調周期）」とは、トラック内に形成されたパターンのＸ方向における空間的な周期のことである。ピッチ（変調周期）は、空間周波数の逆数（又はそれに比例した値）である。

なお、本実施形態では、受光素子アレイ１６はスケール２０のパターンの反射光を受光しているが、スケール２０のパターンの透過光を受光する場合にも本実施形態は適用可能である。即ち、受光素子アレイ１６は、スケール２０のパターンからの光を受光できれば足りる。

信号処理回路３０は、センサユニット１０の受光素子アレイ１６の出力信号を処理して位置情報に変換する。信号処理回路３０は、センサユニット１０で得られた信号の内挿処理や、位置信号の出力なども行う。

信号処理回路３０は、不図示のノイズフィルタ、増幅回路、Ａ／Ｄ変換回路の他に、様々な手段を有してもよい。信号処理回路３０に含まれる手段は、エンコーダがインクリメンタルエンコーダとして機能するか、アブソリュートエンコーダとして機能するかに応じて変わる。

動作において、センサユニット１０内の光源１２から出射した発散光束はスケール２０のトラック２１に照射され、トラック２１で反射した光束はセンサユニット１０の受光素子アレイ１６に受光される。受光素子アレイ１６は、トラック２１の反射率分布が２倍拡大された像として受光する。受光素子アレイ１６によって受光された光束は電気信号に変換され、信号処理回路３０に送られる。信号処理回路３０は、受光素子アレイ１６からの出力を位置情報に変換し、スケール２０の位置の情報を高精度に取得および出力する。

図２（ａ）は、図１に示すトラック２１に適用可能な実施例１のトラック２１Ａの部分拡大平面図である。トラック２１Ａは、点線で示す単位ブロックパターンＫＡを、スケール２０の移動方向（測位方向、Ｘ方向）と測位方向に垂直な方向（Ｙ方向）にそれぞれ周期的に並べたパターンとなっている。図２（ａ）において、黒色部は光を反射する反射部（開口部）であり、白色部は光（光源から出射する波長の光）を透過または吸収する非反射部２２である。つまり、本実施例における開口部は反射部（パターン）のことであり、開口比（開口率）とは全体の領域に対する開口部、つまり反射部、が占める割合（面積比）である。本実施例では上記のように反射部を開口部としているが、本発明はこの構成に限られるものではなく、透過部を開口部とし、光源とセンサユニットの受光素子アレイとを、スケールを挟んで反対側に配置しても構わない。すなわち、開口部とは、スケールの中の光源からの光をセンサユニットの受光素子アレイに導く役割を果たす部分を意味する。

図２（ｂ）は、単位ブロックパターンＫＡの拡大平面図である。単位ブロックパターンＫＡは、Ｘ方向の幅Ｐが６４μｍ、Ｙ方向の幅Ｗが１００μｍであり、反射膜から構成されて光を反射するパターンである反射部（開口部）２４Ａと非反射部（非開口部）２２から構成されている。

単位ブロックパターンＫＡ内のＹ方向の位置によって、反射部２４ＡのＸ方向（測位方向）の幅が異なる。Ｘ方向に延びて単位ブロックパターンＫＡを半分にするＹ方向の対称線（第２の中心線）Ｙｃに関して、下側の反射部２４ＡのＸ方向の幅はＤ１＝Ｐ・２／３（開口比２／３）であり、上側の反射部２４ＡのＸ方向の幅はＤ２＝Ｐ・１／３（開口比１／３）である。つまり、この単位ブロックパターンは、測位方向（Ｘ方向）と垂直な方向（Ｙ方向）に沿って、開口率（開口比）が互いに異なる２つの領域（分割領域）を含んでいる。この２つの領域の各々においては、パターンは、Ｘ方向に延びる線とＹ方向に延びる線によって規定される矩形形状を有する。パターンの範囲がＹ方向に延びる線によって規定される場合、Ｙ方向に対して斜めに延びる線によって規定されているパターンよりも高調波歪を抑え易く、また、製造も容易となるので高調波歪の抑制効果も安定する。

このため、開口率が１／３、２／３でそれぞれ実質的に一定である。尚、「実質的に一定」とは、各々の領域（分割領域）の測位方向と垂直なＹ方向における幅のうち８０％（好ましくは９０％）以上の幅において、測位方向における開口率（開口比）がある位置での開口率に対して９０％以上１１０％以下であることを意味する。このように、開口率が実質的に一定となっている各領域（各々の分割領域）は、測位方向（Ｘ方向）に延びる２つの平行な直線と、測位方向に垂直な方向（Ｙ方向）に延びる２つの平行な直線とで規定される矩形形状となる。これは、分割領域が２つより多くなっても同様である。

また、反射部２４Ａは凸形状を有し、Ｙ方向に延びて単位ブロックパターンＫＡを半分にする単位ブロックパターンＫＡのＸ方向の対称線（第１の中心線）Ｘｃに関して対称に形成されている。ここでの対称とは完全に対称である必要は無く、対称線（対称の中心となる直線）によって反射部（パターン）を折り曲げた際、対称線の左右のパターン形状が９０％以上（好ましくは９５％以上）一致していれば良い。つまり、対称線の左側にある反射部の９０％以上が、対称線の右側にある反射部と一致していれば、それは対称とみなす。

図３は、実施例１の受光素子アレイ１６の受光面（検出面）の配置を示す平面図である。受光素子アレイ１６は、受光素子１７がＸ軸方向に３２μｍピッチで３２個並んでおり、一つの受光素子１７はＸ方向の幅Ｘ＿ｐｄが３２μｍであり、Ｙ方向の幅Ｙ＿ｐｄは８００μｍである。受光素子アレイ１６の全幅Ｘ＿ｔｏｔａｌは１０２４μｍである。

スケール上のパターンは２倍の拡大投影となるため、スケール上の検出範囲はＹ方向に４００μｍ、Ｘ方向に５１２μｍの範囲となる。よって、スケール上の検出範囲には、単位ブロックパターンＫＡがＹ方向に４周期分含まれる。

以下、第３高調波の成分を除去する単位ブロックパターンＫＡの設計方法について、図４を参照して説明する。まず、次式に示す複数の矩形関数の合計Ｒ（ｘ）を考える。
Ｒ（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（（ｘ−Ｐ・Ｎ）／Ｂ＋Ｐ／（２・Ｂ）×（・・・（（±１／２ａ）±１／２ｂ）±１／２ｃ）・・・）））−Ｃ …（１）
但し、矩形関数ｒｅｃｔ（ｘ）は次式で与えられるように｜ｘ｜≦１／２のときに１で｜ｘ｜≦１／２ではないときに０である。ｘは中心線Ｘｃからの距離、Ａ、Ｂ、Ｃは任意の係数、ａ、ｂ、ｃ、…は自然数、Ｎは整数である。

ここで、ａ、ｂ、ｃ・・・は低減したい高調波成分の次数に対応する。本実施例は３倍波を低減するためにａ＝３と設定し、ｂ以降は設定しない（０に設定する）。また、Ｂは矩形形状のＸ方向の幅を表し、本実施例ではＢ＝Ｐ／２とする。よって、Ｒ（ｘ）は、周期Ｐを有する２つの矩形関数Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）で次式のように表わすことができる。
Ｒ１（ｘ）＝Ａ・ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−２Ｎ＋１／６）−Ｃ …（３）
Ｒ２（ｘ）＝Ａ・ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−２Ｎ−１／６）−Ｃ …（４）
ここで、それぞれ１周期分のみの範囲（−Ｐ／２＜Ｘ＜Ｐ／２）を考えると次式のようになる。
Ｒ１（ｘ）＝Ａ・ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／６）−Ｃ …（５）
Ｒ２（ｘ）＝Ａ・ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／６）−Ｃ …（６）
さらに、矩形関数Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）の和Ｙ（ｘ）は次式のようになる。
Ｙ（ｘ）＝Ｒ１（ｘ）＋Ｒ２（ｘ） …（７）
単位ブロックパターンＫＡは、反射部２４ＡのＹ方向の幅の積算が関数Ｙ（ｘ）に等しい。本実施例では、関数Ｙ（ｘ）の最小値が０となるようにＣ＝０とし、関数Ｙ（ｘ）の最大値が単位ブロックパターンＫＡのＹ方向の幅になるようにＡ＝Ｗ／２としている。これにより、信号に寄与しない開口比１もしくは０の領域を無くし、信号効率を大きくとることができる。この結果、本実施例では、数式５、６は次式に示す２つの矩形関数Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）となる。なお、開口比は、各分割領域において前記パターンの面積を前記分割領域の面積で割った値であるパターンの面積比であり、百分率で表すことも可能である。パターンの面積比は隣接する二つの分割領域の間で異なる。
Ｒ１（ｘ）＝Ｗ／２・ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／６） …（８）
Ｒ２（ｘ）＝Ｗ／２・ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／６） …（９）
Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）は図４（ａ）に示す２つの長方形に対応し、Ｙ（ｘ）は図４（ｂ）に示す関数に対応する。単位ブロックパターンＫＡの反射領域は、図４（ｂ）に示す関数の相似形であり、図２（ｂ）に示す単位ブロックパターンＫＡが設計される。

スケール上の検出範囲には、単位ブロックパターンＫＡがＹ方向に４周期分含まれる。よって、スケール上の検出領域内に含まれる反射領域をＹ方向に積算した幅は、任意のＸ方向の位置ｘにおいて、４Ａ・ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−２Ｎ＋（・・・（（±１／２ａ）±１／２ｂ）±１／２ｃ）・・・）））で表される複数の矩形関数の合計に等しくなる。

次に、受光素子アレイ１６の受光面上の光強度分布の計算方法について説明する。計算にはスカラーの回折理論を用いる。点光源から距離ｚ１離れたスケール面までの光の伝搬は、スケール面上での光電界分布をＵ１（ｘ１）として次式のように表すことができる。
Ｕ１（ｘ１）＝Ａ／ｒ１・ｅｘｐ（ｉ・２π／λ・ｒ１） …（１０）
ｒ１＝ｓｑｒｔ（ｚ１^２＋ｘ１^２） …（１１）
更に、スケール面上の開口ｇ（ｘ）を通過し、距離ｚ２だけ離れた受光面での光電界分布Ｕ２（ｘ２）は次式のように書くことができる。
Ｕ２（ｘ２）＝∫Ｕ１（ｘ１）／（ｉ・λ・ｒ２）・ｇ（ｘ１）・ｅｘｐ（ｉ・２π／λ・ｒ２）ｄｘ１ …（１２）
ｒ２＝ｓｑｒｔ（ｚ２^２＋（ｘ２−ｘ１）^２） …（１３）
開口関数ｇ（ｘ）は、スケール上の開口部を１とし遮光部を０とする関数である。以上の結果、受光面上の光強度分布Ｉ（ｘ２）は次式で表される。
Ｉ（ｘ２）＝｜Ｕ２（ｘ２）^２｜ …（１４）
光源とスケール間の距離と、スケールと受光素子アレイ間の距離が等しい場合には、Ｚ１＝Ｚ２＝Ｚとなる。以降このＺを光学ギャップと呼ぶ。受光面上の総光量は光学ギャップＺの増加とともに減少するが、以降に示す高調波成分の光学ギャップ変化に対する特性は、各光学ギャップの総光量で正規化して示す。

図５（ａ）は、受光面上での光強度分布に含まれる３倍波成分の振幅を示すグラフである。横軸は光学ギャップで光源１２および受光素子アレイ１６とスケール２０との間の光学的な距離である。単位ブロックパターンＫＡの周期Ｐと、光源１２の波長λを用いＰ^２／λにより正規化された値となっている。縦軸の振幅の正負は互いに位相が１８０°反転していることを示している。

スケールパターンはＹ方向の格子開口比がＤ１＝Ｐ・２／３とＤ２＝Ｐ／３の領域に分けられるため、それぞれの開口比に応じた開口関数での回折積分計算を行っている。一点鎖線はＤ２、破線はＤ１に対応している。

それぞれの開口比による回折像は、光学ギャップが０から離れると３倍波成分が発生していることが分かる。これは、格子開口比をＰ・２／３あるいはＰ／３で一様とした場合、光学ギャップが大きい領域で３倍波成分を十分に低減することはできないことを示している。

ここで、ａ、ｂ、ｃ…の自然数の最大値をｍとする。すると、ｍ次の高調波のギャップ方向の変動周期は谷からピークまでが（Ｐ／ｍ）^２／λで与えられるため、光学ギャップをＺ＜（Ｐ／ｍ）^２／λとしなければ、高調波の影響を十分抑えることができない。

２種の開口比による回折像は光学ギャップによらず振幅が等しく位相が逆であるため、２種の開口比の格子からの反射光が等しい重みづけで受光素子アレイ１６に入射すると受光素子１７のＹ方向の幅で電気的に積算され、３倍波が低減された出力が得られる。

図５（ａ）の実線は、受光素子１７の積算効果により合計された結果を示している。ここで、単位ブロックパターンＫＡのＹ方向の幅Ｗは、２種の格子開口比の成分が等しい重みづけとなるようにスケール上の検出領域のＹ方向の幅の整数分の１としている。

光源１２とスケール２０との距離とスケール２０と受光素子アレイ１６との距離が等しくＺ１＝Ｚ２となる場合は、像倍率が２倍の拡大系となるため、受光素子アレイ１６のＹ方向の幅の半分の整数分の１とすればよい。なお、光源１２のＹ方向の幅の半分の整数分の１としても同様の効果が得られる。

図５（ｂ）は、実線で示す基本波振幅と白い菱形の入った線で示す第３高調波の絶対値振幅の比較を示すグラフである。信号に寄与する基本波成分に対し、位置検出誤差要因となる３倍波成分が光学ギャップによらず十分に抑制されていることが分かる。

図６は、Ｄ１のスリットとＤ２のスリットをＸ方向に分散させ、交互に並べた場合の実線で示す基本波振幅と白い菱形の入った線で示す３倍波成分の絶対値振幅の比較を示すグラフである。この場合、ギャップが離れると３倍波成分が残留してしまうことが分かる。また、Ｘ方向の光量分布や像倍率誤差によって、２・Ｐ周期で検出位相が変動してしまい、位置信号のリニアリティが低下するという問題もある。

別の方法として、Ｙ方向に領域を分け、パターン中心をシフトさせて高調波成分をキャンセルする方法もあるが、スケールの斜行によって、検出位相が変動しやすくなる。例えば、Ｙ方向に光量分布を持つ場合や像倍率に誤差がある場合、斜行によって検出領域に含まれる各シフトパターンの光量比が変動し、検出位相が変動してしまう。

一方、本実施例は、Ｙ方向にパターンの領域を分け異なる開口比を持たせ、各領域の反射部２４Ａの中心を移動方向で等しくするようにしたので、光量分布による位相変動が生じにくくかつ広いギャップ範囲での高調波低減が可能となっている。

各受光素子１７からの出力は、後段の４つの不図示の初段増幅器に接続されている。４つの初段増幅器は、出力端子Ａ＋、Ｂ＋、Ａ−、Ｂ−（それぞれＡ＋相、Ｂ＋相、Ａ−相、Ｂ−相を表す）に対応する受光素子１７がそれぞれ接続され、４相正弦波出力Ｓ（Ａ＋）、Ｓ（Ｂ＋）、Ｓ（Ａ−）、Ｓ（Ｂ−）を出力する。

４相正弦波状信号の相対位相はそれぞれの検出ピッチに対し、Ｓ（Ａ＋）を基準とすると、Ｓ（Ｂ＋）は約＋９０度Ｓ（Ａ−）は約＋１８０度Ｓ（Ｂ−）は約＋２７０度の関係にある。

本実施例のエンコーダは、スケール２０の相対位置を検出するインクリメンタルエンコーダとして機能し、信号処理回路３０は位相取得手段を含む。

位相取得手段は、受光素子アレイ１６の出力信号（デジタル信号）に対して逆正接演算を行うことによってパターン領域の光の分布の位相を取得する。

信号処理回路３０は、４相正弦波出力Ｓ（Ａ＋）、Ｓ（Ｂ＋）、Ｓ（Ａ−）、Ｓ（Ｂ−）について次式の演算を行って直流分が除去された２相正弦波状信号Ｓ（Ａ）、Ｓ（Ｂ）を生成する。
Ｓ（Ａ）＝Ｓ（Ａ＋）−Ｓ（Ａ−） …（１５）
Ｓ（Ｂ）＝Ｓ（Ｂ＋）−Ｓ（Ｂ−） …（１６）
信号処理回路３０の位相取得手段はパターン領域の光の分布の位相（位相信号）Φ１を次式の演算によって取得する。ＡＴＡＮ２［Ｙ，Ｘ］は、象限を判別して０〜２π位相に変換する逆正接演算関数である。
Φ１＝ＡＴＡＮ２［Ｓ（Ａ），Ｓ（Ｂ）］ …（１７）
信号処理回路３０は、位相取得手段の出力を相対位置信号として取得する。相対位置信号の変化を計数することによってスケール２０が測定開始位置から所定周期として何周期目に位置するかの情報を取得することができる。「相対位置」とは、位置の変化量のことであり、単位時間当たり、或いはサンプリング周期当たり（位置信号を得る周期）の位置の変化方向、変化量のことである。もしくは、この相対位置は、ある基準時点（電源投入時、或いはある基準タイミング）の位置に対しての位置の変化方向、変化量としても構わない。

なお、光源１２からの光束をマスクに照射し、その透過光をスケールに照射してもよい。マスクの形状はピンホール、単スリット、回折格子等を用いることができ、受光素子上の基本波コントラストが得られる範囲で、２次光源の形状を決定すればよい。

以上、本実施例によれば、広範囲の光学ギャップに対して正弦波に近い検出波形が取得でき、高精度な位置検出が可能となる。

図７（ａ）は、図１に示すトラック２１に適用可能な実施例２のトラック２１Ｂの部分拡大平面図である。トラック２１Ｂは、点線で示す単位ブロックパターンＫＢを、スケール２０のＸ方向とＹ方向にそれぞれ周期的に並べたパターンとなっている。

図７（ｂ）は、単位ブロックパターンＫＢの拡大平面図である。単位ブロックパターンＫＢは、Ｘ方向の幅Ｐが６４μｍ、Ｙ方向の幅Ｗが１００μｍであり、反射部２４Ｂと非反射部２２から構成されている。

単位ブロックパターンＫＢ内のＹ方向の位置によって、反射部２４ＢのＸ方向の幅が異なる。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＜Ｗ×１／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜Ｐ×２３／６０の範囲に反射部２４Ｂが形成されている。

同様に、中心線Ｙｃからの距離ＹがＷ×１／８≦Ｙ＜Ｗ×２／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜Ｐ×１７／６０の範囲に反射部２４Ｂが形成されている。中心線Ｙｃからの距離ＹがＷ×２／８≦Ｙ＜Ｗ×３／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜Ｐ×１３／６０の範囲に反射部２４Ｂが形成されている。

中心線Ｙｃからの距離ＹがＷ×３／８≦Ｙ＜Ｗ×４／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜Ｐ×７／６０の範囲に反射部２４Ｂが形成されている。反射部２４Ｂはほぼ菱形形状を有して単位ブロックパターンＫＢの中心線Ｘｃ、Ｙｃの両方に関して対称に形成されている。

以下、第３高調波と第５高調波の成分を除去する単位ブロックパターンＫＢの設計方法について、図８を参照して説明する。

まず、数式１において、ａ＝３、ｂ＝５とし、ｃ以降は無しとし（０とし）、係数ＢはＢ＝Ｐ／２とすると、実施例１と同様に、次式に示す４つの矩形関数Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）、Ｒ３（ｘ）、Ｒ４（ｘ）が得られる。
Ｒ１（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／６＋１／１０）−Ｃ …（１８）
Ｒ２（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／６−１／１０）−Ｃ …（１９）
Ｒ３（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／６＋１／１０）−Ｃ …（２０）
Ｒ４（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／６−１／１０）−Ｃ …（２１）
４つの矩形関数Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）、Ｒ３（ｘ）、Ｒ４（ｘ）の和Ｙ（ｘ）は次式で表される。
Ｙ（ｘ）＝Ｒ１（ｘ）＋Ｒ２（ｘ）＋Ｒ３（ｘ）＋Ｒ４（ｘ） …（２２）
単位ブロックパターンＫＢは、Ｙ方向への反射部２４Ｂの幅の積算が関数Ｙ（ｘ）に等しい。本実施例では、関数Ｙ（ｘ）の最小値が０となるようにＣ＝０とし、関数Ｙ（ｘ）の最大値が単位ブロックパターンＫＢのＹ方向の幅になるようにＡ＝Ｗ／４としている。これにより、数式１８〜２１は次式のようになる。
Ｒ１（ｘ）＝Ｗ／４×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／６＋１／１０） …（２３）
Ｒ２（ｘ）＝Ｗ／４×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／６−１／１０） …（２４）
Ｒ３（ｘ）＝Ｗ／４×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／６＋１／１０） …（２５）
Ｒ４（ｘ）＝Ｗ／４×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／６−１／１０） …（２６）
Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）、Ｒ３（ｘ）、Ｒ４（ｘ）は図８（ａ）に示す４つの長方形に対応し、Ｙ（ｘ）は図８（ｂ）に示す関数に対応する。単位ブロックパターンＫＢの反射領域を図８（ｂ）の関数と相似形のピラミッド型としてもよいが、図７（ｂ）に示すようにＹ方向に対称形状としたり、４つの開口比の順番を入れ替えたりしても効果は同様である。以上のようにして、図７（ｂ）に示す単位ブロックパターンＫＢが設計される。

図９（ａ）は、受光面上での光強度分布に含まれる３倍波成分の振幅を示すグラフであり、図９（ｂ）は、受光面上での光強度分布に含まれる５倍波成分の振幅を示すグラフである。横軸は光学ギャップで光源１２および受光素子アレイ１６とスケール２０との間の光学的な距離である。単位ブロックパターンＫＢの周期Ｐと、光源１２の波長λを用いＰ^２／λにより正規化された値となっている。

スケールパターンをＹ方向に分離すると、格子開口比Ｄ１＝７Ｐ／３０、Ｄ２＝１３Ｐ／３０、Ｄ３＝１７Ｐ／３０、Ｄ４＝２３Ｐ／３０の４領域に分けられるため、それぞれの開口比で回折積分計算を行っている。二点鎖線はＤ１、破線はＤ２、点線はＤ３、一点鎖線はＤ４に対応している。

それぞれの開口比による回折像は、ギャップ変化によって高調波成分の振幅変動および位相反転が起こるが、４領域を合計された結果（実線）はギャップによらず高調波成分が低減されている。

図９（ｃ）は、実線で示す基本波振幅と白い菱形の入った線で示す第３高調波、×の入った点線で示す第５高調波の絶対値振幅の比較を示すグラフである。信号に寄与する基本波成分に対し、位置検出誤差要因となる３倍波成分と５倍波成分が光学ギャップによらず十分に抑制されていることが分かる。

数式１におけるＢの係数はＰ／２の時が最も広いギャップ範囲で３倍波成分、５倍波成分を低減することができるが、３倍波成分と５倍波成分以外の高調波成分が残留している場合は、Ｂ係数をＰ／２とすることが必ずしも最適とはならない。Ｂの係数をＰ／２からずらすことによって、３倍波成分、５倍波成分以外の特定の高調波振幅を設計中心ギャップ付近で低減させることも可能である。つまり、各高調波振幅の位相検出誤差への影響を考慮した上で、Ｂの係数をＰ／２からわずかにずらすことで使用するギャップ範囲での高調波を最小限にすることができる。

例えば、図１０は、数式１におけるＢの係数を、２９／６０×Ｐとした場合の単位ブロックパターンＫＢの例である。３倍波成分、５倍波成分の振幅を低減するとともに、７倍波成分の振幅を使用するギャップ範囲（ここでは０．２５〜０．３ｍｍ）で低減する設計例となっている。光源の発光領域の測位方向の大きさは２Ｐ以下である。ｍ＝５、Ｐ＝６４μｍ、λ＝０．８５μｍなので、（Ｐ／ｍ）^２／λ＝０．１９ｍｍ程度となる。また、Ｚは０．２５〜０．３ｍｍなので、Ｚ＞（Ｐ／ｍ）^２／λとなる。

このとき、数式１８〜２１は次式で置き換えられる。
Ｒ１（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（（６０×ｘ／（２９×Ｐ）＋６０／５８×（１／６＋１／１０）−Ｃ …（２７）
Ｒ２（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（（６０×ｘ／（２９×Ｐ）＋６０／５８×（１／６−１／１０）−Ｃ …（２８）
Ｒ３（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（（６０×ｘ／（２９×Ｐ）＋６０／５８×（−１／６＋１／１０）−Ｃ …（２９）
Ｒ４（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（（６０×ｘ／（２９×Ｐ）＋６０／５８×（−１／６−１／１０）−Ｃ …（３０）
よって、スケールパターンは、格子開口比がＤ１´＝１３Ｐ／６０、Ｄ２´＝２５Ｐ／６０、Ｄ３´＝３３Ｐ／６０、Ｄ４´＝４５Ｐ／６０となる４領域をＹ方向に分散させて配置させた形状となる。

図１１は、実線で示す基本波振幅と白い菱形の入った線で示す第３高調波、×の入った点線で示す第５高調波、黒い菱形の入った破線で示す第７高調波の絶対値振幅の比較を示すグラフである。３倍波、５倍波振幅が低減されており、さらに７倍波振幅が使用するギャップ範囲（ここでは０．２５〜０．３ｍｍ）で低減されていることが分かる。このように、複数の次数の高調波成分に対しても同時に低減することが可能である。

図１２は、図１に示すトラック２１に適用可能な実施例３のトラック２１Ｃの部分拡大平面図である。トラック２１Ｃは、Ｙ方向に、３種類の領域（領域２３、２５、２８）が交互に並べられており、図１２の全幅を含む範囲（受光素子アレイ１６の受光面で走査され得る領域）が１トラックである。図１２において、白色部は光を透過または吸収する非反射部２２である。

図１３Ａは、領域（第１の領域）２３のＸ方向の１周期分の単位ブロックパターン（第１の単位ブロックパターン）ＫＣを示す平面図である。図１３Ｂは、領域（第２の領域）２５のＸ方向の１周期分の単位ブロックパターンＫＤを示す平面図である。図１３Ｃは、領域（第３の領域）２８のＸ方向の１周期分の単位ブロックパターンＫＥを示す平面図である。

領域２３は、Ｘ方向のピッチＰ１（＝１２７．２０４９６９μｍ）ごとに図１３Ａの単位ブロックパターンＫＣが配置されたパターン列からなる。領域２３のＹ方向の幅はＷ１＝５０μｍである。ピッチＰ１は領域２３の変調周期（第１の変調周期）に対応する。

図１３Ａに示すように、領域２３は単位ブロックパターン内のＹ方向の位置によって反射部（第１のパターン）２４ＣのＸ方向の幅が異なる。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＜（Ｗ１）×１／４の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ１）×１／３の範囲に反射部２４Ｃが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ１）×１／４≦Ｙ＜（Ｗ１）×１／２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ１）×１／６の範囲に反射部２４Ｃが形成されている。反射部２４Ｃは十字形状を有して単位ブロックパターンＫＣの中心線Ｘｃ、Ｙｃの両方に関して対称に形成されている。

領域２５は、Ｘ方向のピッチＰ２（＝２５６μｍ）ごとに図１３Ｂの単位ブロックパターン（第２の単位ブロックパターン）ＫＤが配置されたパターン列からなる。領域２５のＹ方向の幅はＷ２＝５０μｍである。ピッチＰ２は領域２５の変調周期（第２の変調周期）に対応する。

図１３Ｂに示すように、領域２５は単位ブロックパターン内のＹ方向の位置によって反射部（第２のパターン）２６のＸ方向の幅が異なる。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＜（Ｗ２）×１／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ２）×１１／２４の範囲に反射部２６が形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ２）×１／８≦Ｙ＜（Ｗ２）×２／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ２）×７／２４の範囲に反射部２６が形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ２）×２／８≦Ｙ＜（Ｗ２）×３／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ２）×５／２４の範囲に反射部２６が形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ２）×３／８≦Ｙ＜（Ｗ２）×４／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ２）×１／２４の範囲に反射部２６が形成されている。反射部２６はほぼ菱形形状を有して単位ブロックパターンＫＤの中心線Ｘｃ、Ｙｃの両方に関して対称に形成されている。

領域２８は、Ｘ方向のピッチＰ３（＝５５３．５１３５１４μｍ）ごとに図１３Ｃの単位ブロックパターン（第３の単位ブロックパターン）ＫＥが配置されたパターン列からなる。領域２８のＹ方向の幅はＷ３＝５０μｍである。ピッチＰ３は領域２８の変調周期（第３の変調周期）に対応する。

図１３Ｃに示すように、領域２８は単位ブロックパターン内のＹ方向の位置によって反射部（第３のパターン）２９のＸ方向の幅が異なる。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＜（Ｗ３）／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×４９／１２０の範囲、および（Ｐ３）×５９／１２０＜Ｘ＜（Ｐ３）×６０／１２０の範囲に反射部２９が形成されている。

中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ３）／１２≦Ｙ＜（Ｗ３）×２／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×４１／１２０の範囲に反射部２９が形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ３）×２／１２≦Ｙ＜（Ｗ３）×３／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×３１／１２０の範囲に反射部２９が形成されている。

中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ３）×３／１２≦Ｙ＜（Ｗ３）×４／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×２９／１２０の範囲に反射部２９が形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ３）×４／１２≦Ｙ＜（Ｗ３）×５／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×１９／１２０の範囲に反射部２９が形成されている。

中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ３）×５／１２≦Ｙ＜（Ｗ３）×６／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離Ｘが（Ｐ３）×１／１２０＜Ｘ＜（Ｐ３）×１１／１２０の範囲に反射部２９が形成されている。反射部２９はほぼ菱形形状を有して単位ブロックパターンＫＥの中心線Ｘｃ、Ｙｃの両方に関して対称に形成されている。

以下、単位ブロックパターンＫＣ、ＫＤ、ＫＥの設計方法について説明する。

領域２３の単位ブロックパターンＫＣは３倍波成分を除去する設計であり、実施例１の設計方法を適用する。

領域２５の単位ブロックパターンＫＤは２倍波と３倍波の成分を除去する設計である。まず、数式１において、ａ＝２、ｂ＝３とし、ｃ以降は無しとし（０とし）、係数ＢはＢ＝Ｐ／２とすると、実施例１と同様に、以下に示す４つの矩形関数Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）、Ｒ３（ｘ）、Ｒ４（ｘ）が得られる。
Ｒ１（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４＋１／６）−Ｃ …（３１）
Ｒ２（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４−１／６）−Ｃ …（３２）
Ｒ３（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４＋１／６）−Ｃ …（３３）
Ｒ４（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４−１／６）−Ｃ …（３４）
４つの矩形関数Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）、Ｒ３（ｘ）、Ｒ４（ｘ）の和Ｙ（ｘ）は次式で表される。
Ｙ（ｘ）＝Ｒ１（ｘ）＋Ｒ２（ｘ）＋Ｒ３（ｘ）＋Ｒ４（ｘ） …（３５）
領域２５の単位ブロックパターンＫＤは、Ｙ方向への反射部２６の幅の積算が関数Ｙ（ｘ）に等しい。本実施例では、関数Ｙ（ｘ）の最小値が０となるようにＣ＝０とし、関数Ｙ（ｘ）の最大値が単位ブロックパターンＫＤのＹ方向の幅になるようにＡ＝Ｗ／４としている。

これにより、数式３１〜３４は次式のようになる。
Ｒ１（ｘ）＝Ｗ／４×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４＋１／６） …（３６）
Ｒ２（ｘ）＝Ｗ／４×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４−１／６） …（３７）
Ｒ３（ｘ）＝Ｗ／４×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４＋１／６） …（３８）
Ｒ４（ｘ）＝Ｗ／４×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４−１／６） …（３９）
Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）、Ｒ３（ｘ）、Ｒ４（ｘ）は図１４（ａ）に示す２つの長方形に対応し、Ｙ（ｘ）は図１４（ｂ）に示す関数に対応する。単位ブロックパターンＫＤの反射領域を図１４（ｂ）の関数と相似形のピラミッド型としてもよいが、図１３Ｂに示すようにＹ方向に対称形状としたり、４つの開口比の順番を入れ替えたりしても効果は同様である。以上のようにして、図１３Ｂに示す単位ブロックパターンＫＤを設計する。

図１５（ａ）は、受光面上での光強度分布に含まれる２倍波成分の振幅を示すグラフであり、図１５（ｂ）は、受光面上での光強度分布に含まれる３倍波成分の振幅を示すグラフである。横軸は光学ギャップで光源１２および受光素子アレイ１６とスケール２０との間の光学的な距離である。単位ブロックパターンＫＤの周期Ｐ２＝Ｐと、光源１２の波長λを用いＰ^２／λにより正規化された値となっている。

スケールパターンをＹ方向に分離すると、格子開口比Ｄ１＝Ｐ／１２、Ｄ２＝５Ｐ／１２、Ｄ３＝７Ｐ／１２、Ｄ４＝１１Ｐ／１２の４領域に分けられるため、それぞれの開口比で回折積分計算を行っている。二点鎖線はＤ１、破線はＤ２、点線はＤ３、一点鎖線はＤ４に対応している。

図１５（ａ）に示すように、光学ギャップＺがＺ＜０．０７×（Ｐ^２／λ）の領域までは２倍波が低減されている。本実施例では、Ｐ＝Ｐ２＝２５６μｍ、λ＝８５０ｎｍなので、光学ギャップＺがＺ＜５．４ｍｍ程度までは２倍波を低減した状態で使用できる。２倍波を低減することにより、領域２３のパターンの反射像位相に対する領域２５のパターンの反射像による干渉を抑制することができる。

図１５（ｂ）に示すように、それぞれの開口比による回折像は、ギャップ変化によって高調波成分の振幅変動および位相反転が起こるが、４領域を合計された結果（実線）はギャップによらず３倍波成分が低減されている。

図１５（ｃ）は、実線で示す基本波振幅、＋の入った破線で示す第２高調波、白い菱形の入った線で示す第３高調波の絶対値振幅の比較を示すグラフである。信号に寄与する基本波成分に対し、位置検出誤差要因となる３倍波成分が光学ギャップによらず十分に抑制されていることが分かる。

領域２８の単位ブロックパターンＫＥは、２倍波成分、３倍波成分、５倍波成分を除去する設計である。まず、数式１において、ａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝５とし、ｄ以降は無しとし（０とし）、係数ＢはＢ＝Ｐ／２とする。実施例１と同様に、以下に示す８つの矩形関数Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）、Ｒ３（ｘ）、Ｒ４（ｘ）、Ｒ５（ｘ）、Ｒ６（ｘ）、Ｒ７（ｘ）、Ｒ８（ｘ）が得られる。
Ｒ１（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４＋１／６＋１／１０）−Ｃ …（４０）
Ｒ２（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４＋１／６−１／１０）−Ｃ …（４１）
Ｒ３（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４−１／６＋１／１０）−Ｃ …（４２）
Ｒ４（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４−１／６−１／１０）−Ｃ …（４３）
Ｒ５（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４＋１／６＋１／１０）−Ｃ …（４４）
Ｒ６（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４＋１／６−１／１０）−Ｃ …（４５）
Ｒ７（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４−１／６＋１／１０）−Ｃ …（４６）
Ｒ８（ｘ）＝Ａ×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４−１／６−１／１０）−Ｃ …（４７）
８つの矩形関数Ｒ１（ｘ）、Ｒ２（ｘ）、Ｒ３（ｘ）、Ｒ４（ｘ）、Ｒ５（ｘ）、Ｒ６（ｘ）、Ｒ７（ｘ）、Ｒ８（ｘ）の和Ｙ（ｘ）は次式で表される。
Ｙ（ｘ）＝Ｒ１（ｘ）＋Ｒ２（ｘ）＋Ｒ３（ｘ）＋Ｒ４（ｘ）＋Ｒ５（ｘ）＋Ｒ６（ｘ）＋Ｒ７（ｘ）＋Ｒ８（ｘ） …（４８）
領域２８の単位ブロックパターンＫＥは、Ｙ方向への反射部２９の幅の積算が関数Ｙ（ｘ）に等しい。本実施例では、関数Ｙ（ｘ）の最小値が０となるようにＣ＝Ａ／８とし、関数Ｙ（ｘ）の最大値が単位ブロックパターンのＹ幅になるようにＡ＝Ｗ／６としている。これにより、Ｙ（ｘ）は、下記に示す８つの矩形関数の合計に、８Ｃ（＝Ｗ／６）のＤＣ分を除いた関数となる。
Ｒ１´（ｘ）＝Ｗ／６×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４＋１／６＋１／１０） …（４９）
Ｒ２´（ｘ）＝Ｗ／６×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４＋１／６−１／１０） …（５０）
Ｒ３´（ｘ）＝Ｗ／６×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４−１／６＋１／１０） …（５１）
Ｒ４´（ｘ）＝Ｗ／６×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ＋１／４−１／６−１／１０） …（５２）
Ｒ５´（ｘ）＝Ｗ／６×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４＋１／６＋１／１０） …（５３）
Ｒ６´（ｘ）＝Ｗ／６×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４＋１／６−１／１０） …（５４）
Ｒ７´（ｘ）＝Ｗ／６×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４−１／６＋１／１０） …（５５）
Ｒ８´（ｘ）＝Ｗ／６×ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐ−１／４−１／６−１／１０） …（５６）
Ｒ１´（ｘ）、Ｒ２´（ｘ）、Ｒ３´（ｘ）、Ｒ４´（ｘ）、Ｒ５´（ｘ）、Ｒ６´（ｘ）、Ｒ７´（ｘ）、Ｒ８´（ｘ）は図１６（ａ）の８つの長方形に対応し、Ｙ（ｘ）は図１６（ｂ）に示す関数に対応する。

このとき、Ｒ１（ｘ）とＲ８（ｘ）の２つの矩形関数は、単位ブロックパターンＫＥのＸ方向の幅Ｐ３をそれぞれ（Ｐ３）／１２０ずつはみだしてしまう。単位ブロックパターンＫＥはＸ方向に隣接して並べられるので、隣接ブロックからのはみ出し分として両端部から（Ｐ３）／１２０幅ずつの矩形関数を加え、合計することで図１６（ｂ）に示す関数となる。

この関数をＹ方向に分離すると、７種の開口パターンとなる。数式４８で表わされる矩形関数の和Ｙ（ｘ）は、この関数からＷ／６のＤＣ分を除いた関数であるので最小値が０となる。単位ブロックパターンＫＥは、１３（ｃ）に示すように、６種の開口パターンからなる設計となる。

図１７（ａ）は、受光面上での光強度分布に含まれる２倍波成分の振幅、図１７（ｂ）は、受光面上での光強度分布に含まれる３倍波成分の振幅、図１７（ｃ）は、受光面上での光強度分布に含まれる５倍波成分の振幅、をそれぞれ示すグラフである。横軸は光学ギャップで光源１２および受光素子アレイ１６とスケール２０との間の光学的な距離である。単位ブロックパターンＫＥの周期Ｐ＝Ｐ３と、光源１２の波長λを用いＰ^２／λにより正規化された値となっている。

スケールパターンをＹ方向に分離すると、図１６（ｂ）の関数で示す６種の開口パターンの領域に分けられるため、それぞれの開口比で回折積分計算を行っている。点線は一段目、短破線は二段目、長破線は三段目、二点鎖線は四段目、一点鎖線（長破線）は五段目、一点鎖線（短破線）は六段目にそれぞれ対応している。

図１７（ａ）に示すように、光学ギャップＺがＺ＜０．０１×（Ｐ^２／λ）の領域までは２倍波が低減されている。本実施例では、Ｐ＝Ｐ３＝５５３．５１３５１４μｍ、λ＝８５０ｎｍなので、光学ギャップＺがＺ＜３．６ｍｍ程度までは２倍波を低減した状態で使用できる。２倍波を低減することにより、領域２５のパターンの反射像位相に対する領域２８のパターンの反射像による干渉を抑制することができる。

図１７（ｂ）、（ｃ）に示すように、それぞれの開口比による回折像は、ギャップ変化によって高調波成分の振幅変動および位相反転が起こるが、４領域を合計された結果（実線）はギャップによらず３倍波、５倍波成分が低減されている。

図１８は、実線で示す基本波振幅、＋の入った破線で示す第２高調波、白い菱形の入った線で示す第３高調波、×の入った点線で示す第５高調波の絶対値振幅の比較を示すグラフである。信号に寄与する基本波成分に対し、位置検出誤差要因となる３倍波成分、５倍波成分が光学ギャップによらず十分に抑制され、２倍波成分もある程度抑制されていることが分かる。

図１９Ａは、図１３Ａの領域２３Ｃを検出するときの受光素子アレイ１６の受光面の配置を示す平面図である。図１９Ｂは、図１３Ｂの領域２５を検出するときの受光素子アレイ１６の受光面の配置を示す平面図である。図１９Ｃは、図１３Ｃの領域２８を検出するときの受光素子アレイ１６の受光面の配置を示す平面図である。

受光素子アレイ１６は、受光素子１７がＸ方向に３２μｍピッチで６４個並んでおり、一つの受光素子１７はＸ方向の幅Ｘ＿ｐｄが３２μｍ、Ｙ方向の幅Ｙ＿ｐｄが９００μｍである。受光素子アレイ１６の全幅Ｘ＿ｔｏｔａｌは２０４８μｍである。

スケール上のパターンは２倍の拡大投影となるため、スケール上の検出範囲はＹ方向４５０μｍ、Ｘ方向１０２４μｍの範囲となるため、領域２３、２５、２８がＹ方向にそれぞれ３ライン分ずつ含まれる。

各受光素子１７からの出力は、スイッチ回路１８を介して切り替えられ、選択的に後段の４つの不図示の初段増幅器に接続されている。４つの初段増幅器は、出力端子Ａ＋、Ｂ＋、Ａ−、Ｂ−（それぞれＡ＋相、Ｂ＋相、Ａ−相、Ｂ−相を表す）に対応する受光素子１７がそれぞれ接続され、４相正弦波出力Ｓ（Ａ＋）、Ｓ（Ｂ＋）、Ｓ（Ａ−）、Ｓ（Ｂ−）を出力する。

本実施例では信号処理回路３０は信号分離手段を有する。信号分離手段は受光素子アレイ１６の出力をトラック２１の各領域に対応する信号に分離する機能を有し、スイッチ回路１８による接続を切り替える信号を送信する。なお、受光ＩＣ１４にスイッチ回路１８が設けられない場合には高速フーリエ変換（ＦＦＴ）を行うことによって信号を分離することができる。

スイッチ回路１８は信号処理回路３０の信号分離手段からの入力によって受光素子１７と出力端子との接続を切り替えることができる。この結果、複数の受光素子１７において電気的に加算される間隔が切り替わる。

信号処理回路３０からの入力がハイレベルの場合は、図１９Ａに示す受光面配置となり、スケールパターン１２８μｍ（反射像周期２５６μｍ）の検出ピッチとなり、領域２３を検出することができる。

信号処理回路３０からの入力がローレベルの場合は、図１９Ｂに示す受光面配置となり、スケールパターン２５６μｍ（反射像周期５１２μｍ）の検出ピッチとなり、領域２５を検出することができる。

信号処理回路３０からの入力がミドルレベルの場合は、図１９Ｃに示す受光面配置となり、スケールパターン５１２μｍ（反射像周期１０２４μｍ）の検出ピッチとなり、領域２８を検出することができる。

４相正弦波状信号の相対位相はそれぞれの検出ピッチに対し、Ｓ（Ａ＋）を基準とすると、Ｓ（Ｂ＋）は約＋９０度、Ｓ（Ａ−）は約＋１８０度、Ｓ（Ｂ−）は約＋２７０度の関係にある。

信号処理回路３０は、４相正弦波出力Ｓ（Ａ＋）、Ｓ（Ｂ＋）、Ｓ（Ａ−）、Ｓ（Ｂ−）について数式１５、１６の演算を行って直流分が除去された２相正弦波状信号Ｓ（Ａ）、Ｓ（Ｂ）を生成する。

本実施例のエンコーダはアブソリュートエンコーダとして機能する。このため、信号処理回路３０は、スケール２０の絶対位置の情報を取得し、第１の位相取得手段、第２の位相取得手段、第３の位相取得手段を有する。

ここで、「絶対位置」とは、駆動部を持つ装置において、この駆動部の装置に対する位置のことであり、ある基準タイミングでの位置に対する位置の変化量とは異なる。この駆動部の装置に対する位置（絶対位置）が決まれば、この駆動部の装置に対する位置が一義的に決まる。本実施例のエンコーダが取り付けられた装置においては、駆動部と、駆動部と一体的に動かない固定部（固定でなくても良い）との一方にスケールを、他方に検出素子アレイを配置する。これにより、検出素子アレイを持つ固定部（装置本体側）に対する、スケールを持つ駆動部の位置を検出することができる。

第１の位相取得手段は、（領域２３に対応する）受光素子アレイ１６の出力信号（デジタル信号）に対して数式１７に示す逆正接演算を行うことによって領域２３からの光の分布の位相（第１の位相）Φ１を取得する。

第２の位相取得手段は、（領域２５に対応する）受光素子アレイ１６の出力信号（デジタル信号）に対して次式に示す逆正接演算を行うことによって領域２５からの光の分布の位相（第２の位相）Φ２を取得する。
Φ２＝ＡＴＡＮ２［Ｓ（Ａ），Ｓ（Ｂ）］ …（５７）
第３の位相取得手段は、（領域２８に対応する）受光素子アレイ１６の出力信号（デジタル信号）に対して次式に示す逆正接演算を行うことによって領域２８からの光の分布の位相（第３の位相）Φ３を取得する。
Φ３＝ＡＴＡＮ２［Ｓ（Ａ），Ｓ（Ｂ）］ …（５８）
移動範囲の片方の端（Ｘ＝０ｍｍ）において、Φ１＝Φ２＝Φ３＝０となるように、スケール２０上の３つの周期パターンの初期位相が設定されている。次に、位相信号Φａ、Φｂを次式の演算によって取得する。
Φａ＝Φ１−２・Φ２ …（５９）
Φｂ＝Φ２−２×Φ３ …（６０）
このとき、Φａ＜０のときはΦａ＝Φａ＋２π、Φａ＞２πのときはΦａ＝Φａ−２πの演算を繰り返し行って０〜２πの出力範囲に変換する。Φｂについても同様である。ΦａとΦｂのＸ方向に対する信号周期Ｔａ、Ｔｂはそれぞれ、Ｔａ＝２０４８０［μｍ］、Ｔｂ＝３４１３．３３３［μｍ］となる。よって、Φａとスケール位置の関係は図２０（ａ）のようになる。また、Φｂとスケール位置の関係は図２０（ｂ）のようになる。

次に、信号処理回路３０の位置情報取得手段による絶対位置の情報を取得するための処理について説明する。まず、信号処理回路３０は、絶対位置信号としての上位信号Ｓｃを位相信号Φａとして取得し、検出可能な総ストロークはＴａ＝２０４８０［μｍ］となる。

次に、信号処理回路３０は、上位信号ＳｃとΦｂとの同期をとり、上位信号ＣからΦｂの周期の何番目にあるかを算出し、Φｂをつなぎ合わせてΦｂの位置精度を持つ絶対位置信号（次式の中位信号Ｓｍ）を取得する。
Ｓｍ＝（２π・ＲＯＵＮＤ［（（Ｔａ／Ｔｂ・Ｓｃ−Φｂ）／
（２π）］＋Φｂ）・Ｔｂ／Ｔａ …（６１）
ここで、ＲＯＵＮＤ［ｘ］はｘに最も近い整数に変換する関数である。

続いて、信号処理回路３０は、中位信号ＳｍとΦ３との同期をとり、中位信号ＳｍからΦ３の周期の何番目にあるかを算出し、Φ３をつなぎ合わせてΦ３の位置精度を持つ絶対位置信号（次式の下位信号Ｓｆ）を取得する。
Ｓｆ＝（２π・ＲＯＵＮＤ［（（Ｔａ／Ｐ３・Ｓｍ−Φ３）／
（２π）］＋Φ３）・Ｐ３／Ｔａ …（６２）
更に、信号処理回路３０は、下位信号ＳｆとΦ１との同期をとり、下位信号ＳｆからΦ１の周期の何番目にあるかを算出し、Φ１をつなぎ合わせてΦ１の位置精度を持つ絶対位置信号ＡＢＳを取得する。
ＡＢＳ＝（ＲＯＵＮＤ［（（Ｔａ／Ｐ１・Ｓｆ−Φ１）／（２π）］＋Φ１／（２π））・Ｐ１［μｍ］ …（６３）
以上、高精度なインクリメントパターン信号を使用して、長ストロークの絶対位置の情報を取得することができる。

図２１は、実施例４のエンコーダのブロック図である。本実施例のエンコーダは、図１のエンコーダにおいてセンサユニット１０から光源１２が除かれたセンサユニット１０Ａを使用し、また受光素子アレイ１６は透過光を受光する。

即ち、光源１２は固定部に取り付けられて光源１２から出射した発散光束はコリメートレンズ１３によって平面波に変換された後、スケール２０Ａのトラック２１Ａに照射される。トラック２１Ａを透過した光束は、センサユニット１０Ａ内の受光素子アレイ１６に照射され、受光素子アレイ上でトラック２１Ａの透過率分布が等倍像として受光される。

本実施例におけるスケール２０Ａは図２に示すパターン列を有するが、非反射部２２は遮光部として反射部２４Ａは透過部として機能する。受光素子アレイ１６の配置は図３と同様であるが、本実施例では拡大投影でなく等倍の投影像となるため、受光素子アレイ１６のサイズを１／２に縮小したものになっている。

即ち、受光素子アレイ１６は、受光素子１７がＸ方向に１６μｍピッチで３２個並んでおり、一つの受光素子１７はＸ方向の幅Ｘ＿ｐｄが１６μｍ、Ｙ方向の幅Ｙ＿ｐｄが４００μｍである。受光素子アレイ１６の全幅Ｘ＿ｔｏｔａｌは５１２μｍである。

スケール上のパターンは等倍像となるため、スケール上の検出範囲は受光素子アレイ１６の受光面サイズと同様にＹ方向４００μｍ、Ｘ方向５１２μｍの範囲となる。よって、スケール上の検出範囲には、単位ブロックパターンＫＡがＹ方向に４周期分含まれる。

受光面上での光強度分布の計算において、平面波の入射であるので、スケール面上での光電界分布Ｕ１（ｘ１）として数式１０の代わりに次式を使用する。
Ｕ１（ｘ１）＝Ａ・ｅｘｐ（ｉ・２π／λ・ｚ１） …（６４）
図２２（ａ）は、受光面上での光強度分布に含まれる３倍波成分の振幅を示すグラフである。横軸は光学ギャップで受光素子アレイ１６とスケール２０Ａとの間の光学的な距離である。単位ブロックパターンＫＡの周期Ｐと、光源１２の波長λを用いＰ^２／λにより正規化された値となっている。縦軸の振幅の正負は互いに位相が１８０°反転していることを示している。

スケールパターンは、Ｙ方向の格子開口比が図２（ｂ）のＤ１、Ｄ２の領域に分けられるため、それぞれの開口比に応じた開口関数での回折積分計算を行っている。一点鎖線はＤ２、破線はＤ１に対応している。

図２２（ａ）は、受光素子１７の積算効果により合計された結果を示すグラフである。実施例１と同様に、２種の開口比による回折像に含まれる３倍波成分は互いに打ち消しあい、合計された結果は光学ギャップによらず低減されていることが分かる。

図２２（ｂ）は、基本波振幅と３倍波成分の絶対値振幅の比較を示すグラフである。実施例１と同様に、信号に寄与する基本波成分に対し、位置検出誤差要因となる３倍波成分が光学ギャップによらず十分に抑制されていることが分かる。但し、光学ギャップ（距離Ｚ）に対する変動周期は、球面波をスケールに照射する場合に比べ、１／２になっている。このため、Ｚ＞（Ｐ／ｍ）^２／（２・λ）となることが明らかである。

ここで、単位ブロックパターンＫＡのＹ方向の幅Ｗは、２種の格子開口比の成分が等しい重みづけとなるようにスケール上の検出領域のＹ方向幅の整数分の１とする。本実施例のように、等倍系であれば受光素子アレイ１６のＹ方向の幅の整数分の１とすればよい。

以上のように、平面波をスケールに入射する場合であっても実施例１と同様の効果が得られる。

図２３は、図１に示すトラック２１に適用可能な実施例５のトラック２１Ｄの部分拡大平面図である。トラック２１Ｄは、Ｙ方向に、３種類の領域（領域２３、２５、２８）が順に並べられている。図２３において、白色部は光を透過または吸収する非反射部２２である。

図２４Ａは、（第１の）領域２３のＸ方向の１周期分の単位ブロックパターンＫＦを示す平面図である。図２４Ｂは、（第２の）領域２５のＸ方向の１周期分の単位ブロックパターンＫＧを示す平面図である。図２４Ｃは、（第３の）領域２８のＸ方向の１周期分の単位ブロックパターンＫＨを示す平面図である。

領域２３は、Ｘ方向のピッチＰ１（＝１２７．２０４９６９μｍ）ごとに図２４Ａの単位ブロックパターンＫＦが配置されたパターン列からなる。領域２３のＹ方向の幅はＷ１＝５０μｍである。ピッチＰ１は領域２３の変調周期（第１の変調周期）に対応する。

図２４Ａに示すように、領域２３は単位ブロックパターン内のＹ方向の位置によって反射部２４ＦのＸ方向の幅が異なる。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＜１μｍの領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｆが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ≦Ｙ＜（Ｗ１）×１／４の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ１）×１／３の範囲に反射部２４Ｆが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ１）×１／４≦Ｙ＜（Ｗ１）×１／２−１μｍの領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ１）×１／６の範囲に反射部２４Ｆが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ１）×１／２−１μｍ≦Ｙの領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｆが存在しない。反射部２４Ｆはほぼ菱形形状を有して単位ブロックパターンＫＦの中心線Ｘｃ、Ｙｃの両方に関して対称に形成されている。

領域２５は、Ｘ方向のピッチＰ２（＝２５６μｍ）ごとに図２４Ｂの単位ブロックパターンＫＧが配置されたパターン列からなる。領域２５のＹ方向の幅はＷ２＝５０μｍである。ピッチＰ２は領域２５の変調周期（第２の変調周期）に対応する。

図２４Ｂに示すように、領域２５は単位ブロックパターン内のＹ方向の位置によって反射部２４ＧのＸ方向の幅が異なる。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＜１μｍの領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｇが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ２−４μｍ）×１／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ２）×１１／２４の範囲に反射部２４Ｇが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ２−４μｍ）×１／８≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ２−４μｍ）×２／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ２）×７／２４の範囲に反射部２４Ｇが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ２−４μｍ）×２／８≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ２−４μｍ）×３／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ２）×５／２４の範囲に反射部２４Ｇが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ２−４μｍ）×３／８≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ２−４μｍ）×４／８の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ２）×１／２４の範囲に反射部２４Ｇが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ２−４μｍ）×４／８≦の領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｇが存在しない。反射部２４Ｇはほぼ菱形形状を有して単位ブロックパターンＫＧの中心線Ｘｃ、Ｙｃの両方に関して対称に形成されている。

領域２８は、Ｘ方向のピッチＰ３（＝５５３．５１３５１４μｍ）ごとに図２４Ｃの単位ブロックパターンＫＨが配置されたパターン列からなる。領域２８のＹ方向の幅はＷ３＝５０μｍである。ピッチＰ３は領域２８の変調周期（第３の変調周期）に対応する。

図２４Ｃに示すように、領域２８は単位ブロックパターン内のＹ方向の位置によって反射部２４ＨのＸ方向の幅が異なる。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＜１μｍの領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｈが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×４９／１２０の範囲、および（Ｐ３）×５９／１２０＜Ｘ＜（Ｐ３）×６０／１２０の範囲に反射部２４Ｈが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）／１２≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×２／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×４１／１２０の範囲に反射部２４Ｈが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×２／１２≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×３／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×３１／１２０の範囲に反射部２４Ｈが形成されている。

中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×３／１２≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×４／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×２９／１２０の範囲に反射部２４Ｈが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×４／１２≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×５／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ３）×１９／１２０の範囲に反射部２４Ｈが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×５／１２≦Ｙ＜１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×６／１２の領域は中心線Ｘｃからの距離Ｘが（Ｐ３）×１／１２０＜Ｘ＜（Ｐ３）×１１／１２０の範囲に反射部２４Ｈが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ+（Ｗ３−４μｍ）×６／１２≦Ｙの領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｈが存在しない。反射部２４Ｈはほぼ菱形形状を有して単位ブロックパターンＫＨの中心線Ｘｃ、Ｙｃの両方に関して対称に形成されている。

以下、単位ブロックパターンＫＦ、ＫＧ、ＫＨの設計方法について説明する。

領域２３の単位ブロックパターンＫＦは３倍波成分を除去する設計であり、実施例１の設計方法と同様であるが、数式５、数式６における定数ＡおよびＣの設定が異なる。本実施例では、Ｃ＝１μｍ、Ａ＝（Ｗ−４μｍ）／２とする。単位ブロックパターンＫＦは、Ｙ方向への反射部２４Ｆの幅の積算が、本実施例での定数ＡおよびＣの設定での数式７の関数Ｙ（ｘ）に等しい。この条件の下、Ｙ方向に対称、かつ、開口比の順に並べることにより、図２４Ａに示す単位ブロックパターンＫＦが設計される。本実施例では、Ｙ方向中心線Ｙｃに近い順に、Ｘ方向の開口比（反射領域の割合）が大きい順に配列しているが、逆の順番にしてもよい。開口比０％および１００％の領域は高調波発生に寄与しないので、実施例１と同様の高調波低減効果が得られる。

図２４Ａを図１３Ａと比較すると、まず、単位ブロックパターンＫＦは、対称線（第２の中心線）Ｙｃを含んで単位ブロックパターンＫＦのＸ方向の幅Ｐ１だけＸ方向に延びる一定幅の矩形形状の領域ＫＦａを中央に含んでいる。また、単位ブロックパターンＫＦは、Ｘ方向に延びる単位ブロックパターンＫＦのＹ方向の境界を規定する辺を含んで幅Ｐ１だけＸ方向に延びる一対の一定幅の矩形形状の領域ＫＦｂを有する。そして、本実施例は、領域ＫＦａの開口比を１００％に設定し、領域ＫＦｂの開口比を０％に設定している。なお、本実施例は、領域ＫＦａのＹ方向における幅Ｗｙａの半分（Ｗｙａ/２）を領域ＫＦｂのＹ方向における幅Ｗｙｂと等しくしているが、これに限定されるものではない。

Ｙ方向においてパターンの開口比が極値を取る領域である、中央の領域ＫＦａと端部の領域ＫＦｂは反射部２４Ｆのパターンを形成する際にエッチング（特に、ウエットエッチング）工程において設計値に対する実際の線幅がばらつき易い箇所である。即ち、エッチング工程によって開口比が極大値をとる領域は線幅が細くなり易く、開口比が極小値を取る領域は線幅が太くなり易い。このバラツキによって各デューティ成分の比率がずれて高調波歪の低減効果が減少する、隣接パターンとの位相関係によって不要な反射領域ができて波形誤差が増大する、などの問題が発生する。

そこで、本実施例は、領域ＫＦａ、ＫＦｂの開口比を（開口比のＹ方向における単調増加または単調減少が維持されるように）変調信号０％または１００％に設定した。開口比０％または１００％の領域は高調波の発生に寄与しないからである。この結果、変調信号の生成に寄与しない領域ＫＦａ、ＫＦｂを除いた領域では、エッチングによる線幅ばらつきが仮に発生しても開口比がほぼ一定に維持される。

また、本実施例のように、領域ＫＦａ（開口率が最も高い第１の分割領域）の開口比を１００％、領域ＫＦｂ（開口率が最も低い第２の分割領域）の開口比を０％に設定すると、０％から１００％に向かうＹ方向では、開口比は単調増加となる。要するに、単位ブロックパターンの中において、開口率が最も低い分割領域から開口率が最も高い分割領域に向かうに従って、その両者の間に挟まれた分割領域の開口率は単調に増加する。その逆も成り立つ。つまり、単位ブロックパターンの中において、開口率が最も高い分割領域と開口率が最も低い分割領域との間に挟まれた１つ以上（好ましくは複数）の分割領域の開口率は、開口率が最も高い分割領域から開口率が最も低い分割領域に向かうに従って、単調に低下する。

開口比０％の領域と開口比１００％の領域の間に配置された領域の開口数を決定するに際し、図２４Ａでは、中央線Ｙｃから上側と下側のそれぞれにある領域の開口比は、外側から中央線Ｙｃに向かう方向で増加するように設定されているが、これは逆でもよい。

この場合、中央線Ｙｃから上側では、（Ｙ方向に沿って）中央線Ｙｃから上側に向かう方向に開口比が順に０％、３３％、６７％、１００％となるように各領域が配置される。同様に、中央線Ｙｃから下側では、（Ｙ方向に沿って）中央線Ｙｃから下側に向かう方向に開口比が順に０％、３３％、６７％、１００％となるように各領域が配置される。

中央線Ｙｃに関する開口比の対称性は必ずしも必要ではない。また、後述する実施例６に示すように、中央線Ｙｃから上側と下側で開口比が単調増加、減少となっていなくてもよい。

領域２５の単位ブロックパターンＫＧは２倍波と３倍波の成分を除去する設計であり、実施例３の単位ブロックパターンＫＤの設計方法と同様であるが、数式３１〜数式３４における定数ＡおよびＣの設定が異なる。本実施例では、Ｃ＝０．５μｍ、Ａ＝（Ｗ−４μｍ）／４とする。単位ブロックパターンＫＧは、Ｙ方向への反射部２４Ｇの幅の積算が、本実施例での定数ＡおよびＣの設定での数式３５の関数Ｙ（ｘ）に等しい。この条件の下、Ｙ方向に対称、かつ、開口比の順に並べることにより、図２４Ｂに示す単位ブロックパターンＫＧが設計される。本実施例では、Ｙ方向中心線Ｙｃに近い順に、Ｘ方向の開口比（反射領域の割合）が大きい順に配列しているが、逆の順番にしてもよい。開口比０％および１００％の領域は高調波発生に寄与しないので、実施例３の単位ブロックパターンＫＤと同様の高調波低減効果が得られる。

領域２８の単位ブロックパターンＫＨは、２倍波成分、３倍波成分、５倍波成分を除去する設計であり、実施例３の単位ブロックパターンＫＥの設計方法と同様であるが、数式４０〜数式４７における定数ＡおよびＣの設定が異なる。本実施例では、Ｃ＝Ａ／８−０．２５μｍ、Ａ＝（Ｗ−４μｍ）／６とする。単位ブロックパターンＫＨは、Ｙ方向への反射部２４Ｈの幅の積算が、本実施例での定数ＡおよびＣの設定での数式４８の関数Ｙ（ｘ）に等しい。この条件の下、Ｙ方向に対称、かつ、開口比の順に並べることにより、図２４Ｃに示す単位ブロックパターンＫＨが設計される。本実施例では、Ｙ方向中心線Ｙｃに近い順に、Ｘ方向の開口比（反射領域の割合）が大きい順に配列しているが、逆の順番にしてもよい。開口比０％および１００％の領域は高調波発生に寄与しないので、実施例３の単位ブロックパターンＫＥと同様の高調波低減効果が得られる。

以上、本実施例は、単位ブロックパターンＫＦのＹ方向における中央部の領域ＫＦａと端部の領域ＫＦｂの開口比を０％または１００％に設定している。これにより、エッチングによる線幅ばらつきが発生しても領域ＫＦａとＫＦｂのＹ方向幅が変動するだけで、高調波発生に寄与する領域のＹ方向の幅をほぼ一定に維持することができ、高精度なエンコーダを提供することができる。また、開口比の配列を中央線Ｙｃによって形成された単位ブロックパターンの半分の領域内でＹ方向に単調増加または単調減少とすることによって数式１の条件を満足し易くしている。

図２５は、実施例５の領域（第１の領域）２３のＸ方向の１周期分の単位ブロックパターンＫＦの他の例を示す平面図である。それ以外の構成は実施例５と共通である。

領域２３は、Ｘ方向のピッチＰ１（＝１２７．２０４９６９μｍ）ごとに図２５の単位ブロックパターンＫＦが配置されたパターン列からなる。領域２３のＹ方向の幅はＷ１＝５０μｍである。ピッチＰ１は領域２３の変調周期（第１の変調周期）に対応する。

図２５に示すように、領域２３は単位ブロックパターン内のＹ方向の位置によって反射部２４ＦのＸ方向の幅が異なる。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＜１μｍの領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｆが存在しない。中心線Ｙｃからの距離Ｙが１μｍ≦Ｙ＜（Ｗ１）×１／４−１μｍの領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ１）×１／３の範囲に反射部２４Ｆが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ１）×１／４−１μｍ≦Ｙ＜（Ｗ１）×１／４＋１μｍの領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｆが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ１）×１／４＋１μｍ≦Ｙ＜（Ｗ１）×１／２−１μｍの領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜（Ｐ１）×１／６の範囲に反射部２４Ｆが形成されている。中心線Ｙｃからの距離Ｙが（Ｗ１）×１／２−１μｍ≦Ｙの領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｆが存在しない。

図２４Ａと同様に、本実施例は、領域ＫＦａ、ＫＦｂの開口比を（開口比のＹ方向における単調増加または単調減少が維持されるように）変調信号の生成に寄与しない値（ここでは、共に０％）に設定した。この結果、変調信号の生成に寄与しない領域ＫＦａ、ＫＦｂを除いた領域では、エッチングによる線幅ばらつきが仮に発生しても開口比がほぼ一定に維持される。

図２４Ａと異なり、本実施例は、領域ＫＦａの開口比を０％に設定し、開口比１００％の領域ＫＦｃを設けている。これによって、中心線Ｙｃの上側（単位ブロックパターンＫＦの半分の領域）では、中心線Ｙｃから外側に向かって、開口比が最小値である０％、６７％、開口比が最大値である１００％、３３％、０％となっている。即ち、図２４Ａの中心線Ｙｃの上側では、開口比が単調減少となる配列が形成されているが、本実施例では開口比が単調増加となる配列の開口比の最大値から単調減少となる配列が結合されている。このような、開口比が単調増加となる配列領域、開口比が単調減少となる配列領域が複数結合されてもよく、この結果、開口比の単調増加と単調減少は繰り返されてもよい。このような配置も、図２４Ａと同様に、数式１を満足し易くなる。一般には、開口比が０％と１００％の領域を全て除去してＹ方向に結合したパターンが数式１を満足するように構成されていればパターンの検出精度は維持される。

以上、本実施例は、単位ブロックパターンＫＦのＹ方向における中央部の領域ＫＦａと端部の領域ＫＦｂの開口比を０％に設定している。これにより、エッチングによる線幅ばらつきが中央部と端部で発生しても領域ＫＦａとＫＦｂのＹ方向幅が変動するだけで、高調波発生に寄与する領域のＹ方向の幅をほぼ一定に維持することができ、高精度なエンコーダを提供することができる。また、開口比の配列を中央線Ｙｃによって形成された単位ブロックパターンの半分の領域内でＹ方向に単調増加・単調減少が結合したものとすることによって数式１の条件を満足し易くしている。

図２６は、実施例７のエンコーダのブロック図である。固定部に取り付けられるセンサユニット１０Ｂ、不図示の可動部に取り付けられるスケール２０Ｂ、信号処理回路（信号処理手段）３０を有する。スケール２０Ｂは、Ｘ方向とＹ方向ともに移動可能である。センサユニット１０Ｂ内の光源１２から出射した発散光束はスケール２０Ｂのトラック２１に照射され、トラック２１で反射した光束はセンサユニット１０Ｂの２つの受光素子アレイ１６Ａ、１６Ｂに受光される。受光素子アレイ１６Ａ、１６Ｂは、トラック２１の反射率分布が２倍拡大された像として受光する。受光素子アレイ１６Ａ、１６Ｂによって受光された光束は電気信号に変換され、信号処理回路３０に送られる。受光素子アレイ１６ＡはＸ方向の移動量、光素子アレイ１６ＢはＹ方向の移動量をそれぞれ検出する。信号処理回路３０は、受光素子アレイ１６Ａ、１６Ｂからの出力を位置情報に変換し、スケール２０ＢのＸ方向およびＹ方向の位置情報を高精度に取得および出力する。

図２７は、センサユニット１０ＢをＺ方向から見た図である。本実施例では、センサユニット１０Ｂ内に、互いにＸＹ平面内にて９０度傾けられて配された２つの受光素子アレイ１６Ａ、１６Ｂを備える。

図２８は、図２６に示すトラック２１に適用可能なトラック２１Ｅの部分拡大平面図である。トラック２１Ｅは、点線で示す単位ブロックパターンＫＩを、スケール２０Ｂの移動方向（測位方向、すなわちＸ方向およびＹ方向）にそれぞれ周期的に並べたパターンとなっている。図２８において、白色部は光を透過または吸収する非反射部２２である。

本実施例では、測位方向は互いに直交する２方向であり、測位方向に垂直な方向は互いに直交する２方向の一方を測位する場合の互いに直交する２方向の他方であり、Ｘ方向においてもＹ方向においても数式１が成立する。

図２９は、単位ブロックパターンＫＩの拡大平面図である。単位ブロックパターンＫＩは、Ｘ方向（第１の方向）の幅Ｐｘ（ピッチＰｘ）が６４μｍ、Ｙ方向（第２の方向）の幅Ｐｙ（ピッチＰｙ）が６４μｍであり、反射膜から構成されて光を反射するパターンである反射部２４Ｉと非反射部２２から構成されている。

単位ブロックパターンＫＩ内のＹ方向の位置によって、反射部２４ＩのＸ方向の幅が異なる。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＜Ｐｙ×１／６の領域は、中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜Ｐｘ×１／３の範囲に反射部２４Ｉが形成されている。同様に、中心線Ｙｃからの距離ＹがＰｙ×１／６＜Ｙ＜Ｐｙ×１／３の領域は中心線Ｘｃからの距離ＸがＸ＜Ｐｘ×１／６の範囲に反射部２４Ｉが形成されている。中心線Ｙｃからの距離ＹがＹ＞Ｐｙ×１／３の領域はＸ方向全域にわたって反射部２４Ｉが存在しない。反射部２４Ｉは十字形状を有して単位ブロックパターンＫＩの中心線Ｘｃ、Ｙｃの両方に関して対称に形成されている。

本実施例の２つの受光素子アレイ１６Ａ、１６Ｂは、ともに図３に示す実施例１のものと同様であるが、Ｙ方向の幅Ｙｐｄが異なる。

本実施例ではＹｐｄ＝５１２μｍである。スケール上のパターンは２倍の拡大投影となるため、受光素子アレイ１６Ａのスケール上の検出範囲はＹ方向に２５６μｍ、Ｘ方向に５１２μｍの範囲となる。よって、受光素子アレイ１６Ａのスケール上の検出範囲には、単位ブロックパターンＫＩがＹ方向に４周期分含まれる。

受光素子アレイ１６Ａのスケール上の検出領域に含まれる反射領域をＹ方向に積算した幅は、位置ｘにおいて４Ａ・ｒｅｃｔ（２・ｘ／Ｐｘ−２Ｎ＋（・・・（（±１／２ａ）±１／２ｂ）±１／２ｃ）・・・）））で表される複数の矩形関数の合計に等しい。本実施例は、３倍波を低減するために、ａ＝３と設定し、ｂ以降は設定しない（０に設定している）。

受光素子アレイ１６Ｂのスケール上の検出範囲はＹ方向に５１２μｍ、Ｘ方向に２５６μｍの範囲となる。よって、受光素子アレイ１６Ｂのスケール上の検出範囲には、単位ブロックパターンＫＩがＸ方向に４周期分含まれる。

受光素子アレイ１６Ｂのスケール上の検出領域内に含まれる反射領域をＸ方向に積算した幅は、位置ｙにおいて４Ａ・ｒｅｃｔ（２・ｙ／Ｐｙ−２Ｎ＋（・・・（（±１／２ａ）±１／２ｂ）±１／２ｃ）・・・）））で表される複数の矩形関数の合計に等しい。本実施例は、３倍波を低減するために、ａ＝３と設定し、ｂ以降は設定しない（０に設定している）。

なお、本実施例ではＰｘとＰｙを等しくしているが、本発明はそれに限るものではなく、ＰｘとＰｙを異ならせても同様な効果を得ることができる。その場合、受光素子アレイ１６Ａのスケール上の検出範囲のＹ方向幅を、単位ブロックパターンＫＩのＹ方向幅の整数倍にする。また、受光素子アレイ１６Ｂのスケール上の検出範囲のＸ方向幅を、単位ブロックパターンＫＩのＸ方向幅の整数倍にする。

以上、本実施例では２次元の検出が行えるエンコーダであって、Ｘ方向の検出、Ｙ方向の検出、ともに実施例１と同様な３倍波の減衰効果が得られる。

以上、本発明の好ましい実施例について説明したが、本発明はこれらの実施例に限定されず、その要旨の範囲内で種々の変形及び変更が可能である。

例えば、本発明のエンコーダを有する位置検出装置に適用可能である。この位置検出装置は、移動部と、この移動部の位置を検出するように構成された、上述のエンコーダを有する点を特徴とする。ここで、移動部にはスケールを設け、位置検出装置内の固定部には光源と検出素子（受光素子）を設けることにより、固定部に対する移動部の位置を正確に検出することが可能となる。また、本発明はレンズ装置や撮像装置を含む光学機器などにも適用可能である。光学機器は、ズーミング時に移動する変倍レンズ群や合焦（調整）時に移動する合焦レンズ群や光量調整時に駆動される絞りの移動光学ユニットを含む光学系と、移動光学ユニットの位置を検出する本発明のエンコーダと、を含む。本発明を適用した光学機器においては、変倍群或いは合焦レンズ群にスケールを設け、変倍時や合焦時に移動しない固定部に光源と検出素子（受光素子）を設けることにより、変倍レンズ群の位置や合焦レンズ群の位置を検出することができる。

また、本発明は光学式エンコーダとして記載しているが、磁気式エンコーダにも適用可能である。すなわち、本発明のスケールにおいて、反射部と非反射部（透過部、吸収部）のそれぞれをＳ極或いはＮ極とし、光源及び検出素子（受光素子）を磁力センサーに置き換えれば、磁気式エンコーダにも適用可能である。

エンコーダは位置（変位）を検出する用途に適用することができる。

１２…光源、１６…受光素子アレイ、１７…受光素子、２０、２０Ａ…スケール、２４Ａ〜Ｃ、２６、２９…反射部（パターン）、ＫＡ〜ＫＥ…単位ブロックパターン

Claims (17)

1. 光源と、受光素子と、前記光源からの光を反射または透過することによって前記受光素子に導くパターンを含む複数の単位ブロックパターンを含み、前記光源および前記受光素子に対して相対移動可能に設けられたスケールと、を備えるエンコーダであって、
   前記複数の単位ブロックパターンは、測位方向に沿って、ピッチＰの周期で配置されており、
   前記単位ブロックパターンの前記パターンは、前記測位方向に垂直な対称線に関して対称な形状であり、
   各単位ブロックパターンは前記測位方向に垂直な方向に沿って複数の分割領域を含み、
   各分割領域において前記パターンの面積を前記分割領域の面積で割った値である前記パターンの面積比は、隣接する２つの分割領域の間で異なり、
   各分割領域において、前記パターンは、前記測位方向に延びる２つの平行な直線と前記測位方向に垂直な方向に延びる２つの平行な直線によって規定される矩形形状を有し、前記複数の分割領域のうち、少なくとも２つの分割領域によってそれぞれ形成される前記受光素子上の干渉像に含まれる特定次数の高調波成分の位相が反転している
   ことを特徴とするエンコーダ。
2. 各単位ブロックパターンの前記パターンの前記測位方向に垂直な方向の幅の積算が、
   Ｒ（ｘ）＝Ａ・ｒｅｃｔ（（ｘ−Ｐ・Ｎ）／Ｂ＋Ｐ／（２・Ｂ）×（…（（±１／２ａ）±１／２ｂ）±１／２ｃ）…）））−Ｃ
   で表される複数の矩形関数の合計に等しくなるような形状を有することを特徴とする請求項１に記載のエンコーダ。
   但し、Ｒ（ｘ）は前記複数の矩形関数の合計、ｒｅｃｔ（ｘ）は矩形関数で｜ｘ｜≦１／２のときに１で｜ｘ｜≦１／２ではないときに０であり、ｘは前記対称線からの前記測位方向における距離、Ａ、Ｂ、Ｃは任意の係数、ａ、ｂ、ｃ、…は自然数、Ｎは整数である。
3. Ｂは前記ピッチＰの半分であることを特徴とする請求項２に記載のエンコーダ。
4. 前記複数の矩形関数の合計の最小値が０で、最大値が前記単位ブロックパターンの前記測位方向に垂直な方向の幅であることを特徴とする請求項２又は３に記載のエンコーダ。
5. 各単位ブロックパターンの前記パターンは、前記測位方向に延びる対称線に関して対称な形状を有することを特徴とする請求項１乃至４いずれか１項に記載のエンコーダ。
6. 前記受光素子は、前記スケールに相対的に移動するように配置され、前記スケールからの光の分布を検出する複数の検出素子が移動方向に並べられた検出素子アレイを有し、
   前記光源の発光領域の前記測位方向の大きさが２Ｐ以下であり、
   前記光源からの発散光が前記スケールに照射され、
   ｍをａ、ｂ、ｃ、…の自然数の最大値とするとＺは次式を満たすことを特徴とする請求項２乃至４のうちいずれか１項に記載のエンコーダ。
   Ｚ＞（Ｐ／ｍ）^２／λ
   但し、λは前記光の波長、Ｚは前記スケールと前記検出素子の検出面との距離である。
7. 前記受光素子は、前記スケールに相対的に移動するように配置され、前記スケールからの光の分布を検出する複数の検出素子が移動方向に並べられた検出素子アレイを有し、
   前記エンコーダは前記光源からの光束を平面波に変換するコリメートレンズを更に有し、
   該コリメートレンズを通過した前記光源からの光が前記スケールに照射され、
   ｍをａ、ｂ、ｃ、…の自然数の最大値とするとＺは次式を満たすことを特徴とする請求項２乃至４のうちいずれか１項に記載のエンコーダ。
   Ｚ＞（Ｐ／ｍ）^２／（２・λ）
   但し、λは前記光の波長、Ｚは前記スケールと前記検出素子の検出面との距離である。
8. 前記スケールは、前記単位ブロックパターンとは異なる複数の第２の単位ブロックパターンを更に有し、
   前記複数の第２の単位ブロックパターンは、前記測位方向に沿って、前記ピッチＰとは異なるピッチで配置されており、
   前記複数の第２の単位ブロックパターンの各々は、前記光源からの光を反射または透過することによって前記受光素子に導く第２のパターンを含んでおり、
   前記第２のパターンは、前記測位方向に垂直な対称線に関して対称な形状であり、
   各第２の単位ブロックパターンは前記測位方向に垂直な方向に沿って複数の分割領域を含み、
   前記第２の単位ブロックパターンの各分割領域において前記第２のパターンの面積を前記第２の単位ブロックパターンの前記分割領域の面積で割った値である前記第２のパターンの面積比は、前記第２の単位ブロックパターンの隣接する２つの分割領域の間で異なり、
   前記第２の単位ブロックパターンの各分割領域において、前記第２のパターンは、前記測位方向に延びる２つの平行な直線と前記測位方向に垂直な方向に延びる２つの平行な直線によって規定される矩形形状を有する
   ことを特徴とする請求項１乃至７のうちいずれか１項に記載のエンコーダ。
9. 前記複数の分割領域にうちの１つの分割領域において、前記パターンの前記測位方向の幅と前記単位ブロックパターンの前記測位方向の幅とが一致している
   ことを特徴とする請求項１乃至８のうちいずれか１項に記載のエンコーダ。
10. 前記複数の分割領域にうちの１つの分割領域には前記パターンがない
    ことを特徴とする請求項１乃至９のうちいずれか１項に記載のエンコーダ。
11. 前記複数の分割領域は、前記パターンの面積比が最も高い第１の分割領域と、前記パターンの面積比が最も低い第２の分割領域と、前記第１の分割領域と前記第２の分割領域との間に挟まれた１つ以上の分割領域とを含んでおり、
    前記１つ以上の分割領域における前記パターンの面積比は、前記第１の分割領域から前記第２の分割領域に向かって単調に減少している、ことを特徴とする請求項１乃至１０のうちいずれか１項に記載のエンコーダ。
12. 前記第１の分割領域の前記パターンの前記測位方向の幅と前記第１の分割領域の前記測位方向の幅が一致し、前記第２の分割領域には前記パターンがないことを特徴とする請求項１１に記載のエンコーダ。
13. 前記測位方向は互いに直交する２方向であり、前記測位方向に垂直な方向は前記互いに直交する２方向の一方を測位する場合の前記互いに直交する２方向の他方であることを特徴とする請求項１乃至１２のうちいずれか１項に記載のエンコーダ。
14. 移動部と、前記移動部の位置を検出する、請求項１乃至１３のうちいずれか１項に記載のエンコーダと、を備えることを特徴とする位置検出装置。
15. 移動光学ユニットを含む光学系と、該移動光学ユニットの位置を検出する、請求項１乃至１３のうちいずれか１項に記載のエンコーダと、を備えることを特徴とする光学機器。
16. 光源からの光を反射または透過することによって受光素子に導くパターンを含む複数の単位ブロックパターンを含み、前記光源および前記受光素子に対して相対移動可能に設けられたスケールであって、
    前記複数の単位ブロックパターンは、測位方向に沿って、ピッチＰの周期で配置されており、
    前記単位ブロックパターンの前記パターンは、前記測位方向に垂直な対称線に関して対称な形状であり、
    各単位ブロックパターンは前記測位方向に垂直な方向に沿って複数の分割領域を含み、
    各分割領域の前記パターンの面積を前記分割領域の面積で割った値である前記パターンの面積比は、隣接する二つの分割領域の間で異なり、
    各分割領域において、前記パターンは、前記測位方向に延びる２つの平行な直線と前記測位方向に垂直な方向に延びる２つの平行な直線によって規定される矩形形状を有し、前記複数の分割領域のうち、少なくとも２つの分割領域によってそれぞれ形成される前記受光素子上の干渉像に含まれる特定次数の高調波成分の位相が反転している
    ことを特徴とするスケール。
17. 前記パターンの前記測位方向に垂直な方向の幅の積算が、
    Ｒ（ｘ）＝Ａ・ｒｅｃｔ（（ｘ−Ｐ・Ｎ）／Ｂ＋Ｐ／（２・Ｂ）×（…（（±１／２ａ）±１／２ｂ）±１／２ｃ）…）））−Ｃ
    で表される複数の矩形関数の合計に等しくなるような形状を有することを特徴とする請求項１６に記載のスケール。
    但し、Ｒ（ｘ）は前記複数の矩形関数の合計、ｒｅｃｔ（ｘ）は矩形関数で｜ｘ｜≦１／２のときに１で｜ｘ｜≦１／２ではないときに０であり、ｘは前記対称線からの前記測位方向における距離、Ａ、Ｂ、Ｃは任意の係数、ａ、ｂ、ｃ、…は自然数、Ｎは整数である。