JP5457368B2 - 粘弾性フォノニック結晶を用いた防音材 - Google Patents
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Description
本開示は、周波数選択的に音響波を、特に可聴周波数域における音響波を遮断するフォノニック結晶に関する。
・格子の種類(例えば、2次元(2D):正方格子、三角格子など。3次元(3D):面心立方格子(fcc)、体心立方格子(bcc)など)。
・地点間の距離(格子定数、a)。
・単位セルの構成および形状(2次元では、封入体が占有する単位セルの分画面積。これは充填率、fとしても知られる)。
・封入体およびマトリックス素材の物理的特性(例えば、密度、ポアソン比、種々の係数、縦方向モードおよび横方向モードにおける音の速度など)。
・封入体の形状(例えば、棒状、球状、中空棒状、角柱状など)。
A.材料の選定
本開示の一態様では、音の伝播速度が遅い特性をもつように、可聴領域にフォノニック結晶を構築するための材料を選定する。この選定は、帯域ギャップの中心周波数は結晶を通って伝播する波の平均速度に直接比例するという、ブラッグ則の結論に従うものである。なお、対象とする周波数では、音の速度が減少するにつれて音の波長も短くなる。波長が短くなると、圧力波が小さな構造物と起こす相互作用がより大きくなると考えられているので、可聴周波数活性およびセンチメートル以下の外周サイズを有するフォノニック結晶を合成することが可能である。低い弾性係数および高密度の両方の性質をもつ材料は有用であるといえる。それは、こうした材料では音の速度が低くなるためであり、また通常の材料では弾性係数が減少するに従って密度も減少するからである。ある種のゴム、ゲル、泡などを、上記の好適な特性の組み合わせをもつ材料として選定してもよい。
本開示の別の態様としては、コンピュータモデリングを用いてフォノニック結晶を設計することがある。このコンピュータモデリングでは粘弾性材料に存在する多数の特徴的な緩和時間を考慮する。ある態様では、時間領域における支配微分方程式を有限差分方程式に変換して少増加分における時間の一要素として方程式を解くFDTD法を用いて、多要素モデルにより防音材の音響特性を計算で求める。コンピュータモデリングを用いた粘弾性フォノニック結晶防音材の設計過程の詳細については、補遺を参照されたい。
本開示の一態様では、ポリマーマトリックス中に埋め込んだ36個(6×6)の平行な空気筒状体の正方配列で構成した2成分複合材料からなる試料について、実験に基づき測定する。このポリマーはシリコンゴムである(Dow Corning HS II RTV High Strength Mold Making Silicon Rubber、米国ウイスコンシン州、ジャーマンタウン、Ellsworth Adhesives社から入手可能。または、http//www.ellsworth.com/display/productdetail.htm?productid=425&Tab=Vendorsから入手可能)。なお、格子は12mmであり、筒状体の直径は8mmである。この試料の物理的サイズは、8×8×8cmである。前記ポリマーを測定して得た物理的特性は、密度=1260kg/m3および音の縦方向速度=1200m/sである。この材料中、音の横方向速度は、様々なゴムの物理定数の発表データから、およそ20m/秒であると推定した。例えば、非特許文献4参照。
1.ゴムマトリックス/空気封入体
a.ゴム/空気構造物中での透過性
i)弾性的FDTD法
図5Aおよび図5Bに、ポリマーマトリックス中に埋め込んだ空気筒状体の2次元配列から得られた、FDTD透過係数のコンピュータ計算値を示す。ここで、弾性材料の限界をα0=0とした。この透過スペクトルは、一般線形粘弾性方程式(25)、(26)および(27)を、各時間工程を7.3nsかけて221時間工程にわたり解くことにより得た。計算格子間隔5×10−5mで、XおよびY軸方向に空間を分散した。マトリックス材料からなる弾性等質媒体中で送信したスペクトルパワーと、複合体中で送信したスペクトルパワーとの比として、透過係数を計算した。
図6に、シリコンゴムマトリックス(上記参照)中に埋め込んだ36(6×6)個の平行な空気筒状体の正方配列からなる2成分複合材料の試料について測定した複合的パワースペクトルを示す。
次に、FDTD法および実験で得たスペクトルをさらに解明するために、シリコンゴム−空気封入体構造によるバンド構造について計算した。 図7に、正方格子の第1ブリュアンゾーンの非帰結部分のGX方向に沿った、音響波に関する分散相関を、FDTD法で計算した結果を示す。なお、FDTDスキームでは、単位セル中、N×N=2402ポイントの格子とした(円形断面の中心空気封入体をもつポリマー正方形、充填率 f=0.349)。図7では、構成材料(ポリマー−空気)の間に大きな音響ミスマッチがあるのにもかかわらず、プロットした周波数領域中に完全なギャップは存在しない。この格子の分散相関の顕著な特徴は、視覚的に平坦な分岐が多数表れていることである。こうした分岐が存在することは、大きな音響ミスマッチをもつ材料で構成した複合構造の、もう一つの特徴である。計算で求めたバンド構造と透過係数との比較から、バンド構造中のほとんどの分岐が非可聴バンド(透過の計算に用いた縦方向のパルスによって励起することができない対象性をもつモードなど)に対応することが示される。こうした分岐は図5Aおよび図5Bの透過スペクトルに見られる分岐と合致する。
図9は、刺激粗密波束に対応する透過せん断波のパワースペクトルを示す。このスペクトルは、変位のX成分(パルスの伝播方向に垂直な成分)の時間応答をフーリエ変換である。図9は、図7のバンド構造で予測したようにゴム/空気複合体を通って、横方向モードが伝播することを示す。しかし、透過したせん断波の強度が非常に弱いことは、粗密波からせん断波への変換率がほとんど無視できることを示す。
シリコンゴム材料中の異なる値の横方向波の速度を用いてシミュレーションを行う。図11は、シリコンゴム−空気複合体の種々の横方向波速度(Ct=0m/sからCt=100m/s)に対応する縦方向波の透過係数の比較を示した。Ct=0m/sに対応するスペクトル中に既に存在するバンドと比較すると、せん断波(Ct=20−100m/sの異なる横方向速度)に対応する別のバンドが現れるのに気が付く。こうしたバンドは、25kHzよりも低周波数で90kHzから130kHzの周波数の間に最も多く現れる。
なお、前記材料中で横方向波が変化したときでも、Ct=20m/sにあるバンドは位置を変えない。
i).単一マックスウェル要素
縦方向波の実験的透過スペクトルとシミュレーションした系とをさらに比較研究するために、ゴム/空気系特性の粘弾性効果をコンピュータで求めた。また、同じシミュレーションを、粘弾性シリコンゴムマトリックスに埋め込んだ空気筒状体の2次元配列について7回実行する。以下のシミュレーションでは、ゴムの粘弾性レベルを決定するα0および緩和時間τの、2つの変数を用いた。緩和時間の値を10−2sから10−9sの範囲で変化させ、種々のα0値(0.75、0.5、0.25および0.1)を用いて、全てのτ値についてシミュレーションを行なう。
本開示の別の態様では、表IIに示した8個の要素を用いて、上記のような再帰法に基づき、多要素マックスウェルモデルを使用した。
a.空気/ゴム構造物中の透過
空中に埋め込んだハニカム格子に配設したポリマー筒状体配列全てについて計算を実行する(図4参照)。この構造体の透過係数(図16Aおよび図16Bに示す)は、非常に長時間の積算(14nsで2.5×106時間工程数)によるFDTD法を用いて算出した。なお、1.5kHzから始まり50kHzを超えて広がる、長い帯域ギャップがある。また、別のギャップが480kHzと1300kHzとの間に存在する。1300kHzと1500kHzの間にあるバンドの透過レベルは低い(3%)。
10−4sに固定した緩和時間をもつα0にパラメータを変えて、同様のシミュレーションを空気/ゴム構造物について数回実行する。図18は、種々のα0値(0.25、0.5、0.75、および弾性体に相当するα0=1)に対応する異なる透過スペクトルを示す。なお、α0の減少につれて粘弾性は減少するので、α0=1で1.3kHzから1.5kHzの通過バンドは消失するか、または非常に減衰する。また、第1の通過バンド(480kHz未満)中、明確な変化はない。
本開示の態様の応用例として、防音材を構築できる。この防音材は、(a)第1密度をもつ第1媒体と、(b)前記第1媒体中に略周期的に配設した配列構造体を有し、前記構造体は第1密度とは異なる第2密度をもつ第2媒体から製造する。前記第1媒体および第2媒体の少なくとも一方は、縦方向の音波伝播速度および横方向の音波伝播速度をもつ固形媒体であり、前記縦方向の音波伝播速度は前記横方向の音波伝播速度の少なくとも約30倍の速度であり、少なくとも可聴域の音響周波数であるのが好ましい。
可聴域(例えば、500kHz近くから約15kHz)に非常に広い遮断バンドを示す適度に小さな構造物を、ゴムなどの粘弾性材料を使用して構築することができる。このような構造物は、必ずしも完全な帯域ギャップを示す必要はない。しかし、ゴムの中の音の横方向速度は縦波速度よりも2桁近く遅いために、縦方向および横方向モードを効果的に緩和することができる。こうした固体/液体複合体は、縦波の透過に関し、液体/液体系と基本的に類似した挙動を示す。
不可逆的材料中の音響波の伝播について、粘弾性材料の挙動をFDTD法の基礎部分として記述する並行微分方程式を以下に説明する。
(式2)
(式2)
ここで、tは時間、v(t)は速度ベクトル、D(x,t)は以下の式(3)で与えられる変形テンソルの割合を示す。
(式3)
(式3)
また、G(t)およびK(t)は、それぞれ定常せん断係数およびかさ高さ係数を表す。これら係数は、流量測定によって実験的に測定することができて、そのデータは様々な方法に適用できる。バネダッシュポット(以下に示した)などの機械的アナログモデルの使用を含めて、この適用を行うことができる。
(式4)
(式4)
ここで、式5を以下に定義する。
(式5)
(式5)
ここで、α0、αiは、以下のように表される。
こうして、式6または式7を得る。
(式6)
(式6)
(式7)
(式7)
次に式8および式9と表すことができる。
(式8)
(式8)
(式9)
(式9)
このとき、G∞およびK∞は、式10および式11で表される。
(式10)
(式10)
(式11)
(式11)
なお、λおよびμは、ラーメの定数であり、vはポアソン比である。
マックスウェル要素が単一である場合、方程式(8)および方程式(9)は、以下の方程式(17)および方程式(18)で表される。
(式17)
(式17)
(式18)
(式18)
ここで、方程式(14)を以下のように展開する。
(式19)
(式19)
(式20)
(式20)
なお、C11=2μ+λ、C12=λ、およびC44=μなので、方程式(20)は以下のように方程式(21)となる。
(式21)
(式21)
(式24)
(式24)
ここで、αiは以下の式になる。
(式25)
(式25)
同様の計算をσyyおよびσxyに行って、以下の方程式(26)および方程式(27)を得る。
(式26)
(式26)
(式27)
(式27)
多要素マックスェルモデルについて、方程式(14)は以下の方程式(28)で表わされる。
(式28)
(式28)
この方程式(28)を展開すると、方程式(29)になる。
(式29)
(式29)
(式30)
(式30)
ここで、C11=2μ+λ、C12=λおよびC44=μである。
積分および加算処理を行い、以下の方程式を得る。
(式31)
(式31)
複合材料の音響バンド構造はFDTD法を用いてコンピュータ計算できる。この方法は従来の平面波拡大法(PWE:Plane Wave Expansion)を適用できない構造について使用することができる。非特許文献5参照。XOY平面内での周期性により、格子置換、速度および応力テンソルはブロック定理を満たす以下のように表わされる。
(式39)
(式39)
(式40)
(式40)
(式41)
(式41)
ここで、k=(kx、ky)はブロック波ベクトルであり、U(r,t),V(r,t)およびSij(r、t)は、U(r+a,t)=(Ur,t)およびSij(r+a,t)=Sij(r,t)を満たす周期関数である。「a」は格子翻訳ベクトルである。従って、方程式(25)、(26)および(27)は以下のようにある。
(式42)
(式42)
(式43)
(式43)
(式44)
(式44)
本開示の一態様では、FDTD法は単一マックスウェル要素とともに使用する。この方法は、時間領域中の微分方程式(方程式(25)、(26)および(27))を有限差分に変換し、時間小増加分における進捗として解く工程を有する。これらの方程式は、2次元粘弾性系にFDTD法を実行するために基礎となる。FDTD法を実行するために、Nx×Nyサブ領域(グリッド)の計算領域を、次元dx、dyを用いて分割する。
方程式(25)について、位置(i,j)および時間(t)で拡張して、以下の方程式を得る。
(式45)
(式45)
ここで、位置(i,j)および時間(n+1)における応力σxxを、変換領域Ux,Uyおよびベクトル領域Vx,Vyおよび時間(n)における旧応力から計算する。方程式(45)を展開して、以下の方程式を得る。
(式46)
(式46)
上記方程式において、以下の数式が成り立つ。
および
および
また、方程式(26)について、(i,j)で拡張すると、次式(47)となる。
(式47)
(式47)
最後に、等方的非等質媒体中の弾性波方程式に従って速度場を求める。
(式49)
(式49)
また、2次元空間において、方程式(49)は以下のようになる。
(式50)
(式50)
および、
(式51)
(式51)
方程式(50)について、位置(i,j)および時間(n)での拡張を行い、次式を得る。
(式52)
(式52)
さらに、方程式(52)を展開して次式を得る。
(式53)
(式53)
Claims (4)
- 第1密度を有する第1媒体と、
前記第1媒体中に配設した略周期的配列構造体であって、前記構造体は前記第1密度と異なる第2密度を有する第2媒体で作られた略周期的配列構造体とを有する防音材であって、
前記第1および第2媒体の少なくとも一方は、縦方向音波の伝播速度および横方向音波の伝播速度を有する固体媒体であり、前記縦方向音波の伝播速度は、前記横方向音波の伝播速度の少なくとも30倍であることを特徴とする防音材。 - 粘弾性材料を有する第1媒体と、
前記第1媒体よりも低い密度をもつ第2媒体であって、略周期性配列構造体の構造をもち、前記第1媒体中に埋め込まれた第2媒体とを有し、
前記第1媒体は、縦方向音波の伝播速度および横方向音波の伝播速度を有し、前記縦方向音波の伝播速度は、前記横方向音波の伝播速度の少なくとも30倍であることを特徴とする防音材。 - 前記第2媒体は液体を有することを特徴とする請求項1または請求項2に記載の防音材。
- 前記粘弾性材料は、少なくとも4kHz以下から20kHz以上の音響帯域ギャップを生じるのに十分な粘弾性係数および粘性の組み合わせを有し、防音材の厚さが20cm以下であるとき、前記帯域ギャップ内の周波数の縦方向音波の透過係数が0.05以下となることを特徴とする請求項2または請求項3に記載の防音材。
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