CN101952882B - 粘弹性声子晶体 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种音障和隔音方法。本发明的一个方面，音障包括第一固体介质，例如粘弹性固体，和第二介质，例如空气。两个介质中的至少一个形成设置在另一介质中的周期阵列。固体介质具有纵向声波传播速度和横向声波传播速度，纵向声波的传播速度是横向声波的传播速度的至少30倍。

Description

粘弹性声子晶体

本申请是于2008年12月15日以美国国内企业3M创新有限公司、美国大学Arizona Board of Regents(除美国外其他所有国家的申请人)、美国公民Ali Berker、印度公民Manish Jain、美国公民Mark D.Prugett、印度公民Sanat Mohanty、法国公民Pierre A.Deymier、以及法国和黎巴嫩公民Bassam Merheb(仅为美国申请的申请人)的名义作为PCT国际专利申请递交的，并且要求于2007年12月21日递交的美国临时专利申请第61/015796号的优先权。所述申请这里通过参考并入。

技术领域

本发明涉及一种音障。具体的布置还涉及采用声子晶体(phononiccrystals)的音障(sound barrier)。

背景技术

隔音材料和结构在声学应用领域或工业中具有重要的应用。用在工业中的传统材料，例如阻尼器或吸收体、反射器以及音障通常在宽的频率范围上起作用，而不能提供频率选择的声音控制。主动的噪音消音设备允许频率选择的声音减弱，但通常在限定的空间内是最有效的并且需要电子设备的投入或授权以及电子设备的运行以便提供功率和控制。

声子晶体，即周期性的非均匀介质，已经被用作具有声学通带(acousticpassbands)和带隙的音障。例如，空气中的铜管的周期性排列、具有覆盖软的弹性材料的高密度中心的复合元件的周期性排列以及空气中的水的周期性排列已经被用于形成具有频率选择特性的音障。然而，这些方法通常存在缺点，例如形成窄的带隙或形成对于声学应用太高的频率处的带隙，和/或需要大的物理结构。

因此，需要一种改进的音障，其削弱了传统技术中的缺点。

发明内容

本发明大体涉及音障，并且在具体的方面更具体地涉及用粘弹性材料构建的声子晶体。

在本发明的一个方面，音障包括(a)具有第一密度的第一介质，和(2)设置在第一介质内的基本上周期阵列的结构，该结构由具有与第一密度不同的第二密度的第二介质形成。所述第一和第二介质中的至少一个是具有纵向声波传播速度和横向声波传播速度的诸如固体粘弹性硅橡胶的固体介质，其中所述纵向声波传播速度是所述横向声波传播速度的至少大约30倍。

正如在本发明中应用的，“固体介质”是在有限长的时间内稳定弛豫模量倾向于有限的、非零值的介质。

本发明的另一方面涉及一种制作音障的方法。在一种配置中，该方法包括(a)选择第一候选介质，其包括具有纵向声波的传播速度、横向声波的传播速度、多个弛豫时间常数的粘弹性材料；(b)选择第二候选介质；(c)至少部分地基于所述多个弛豫时间常数，确定包括嵌入在所述第一和第二候选介质中的另一个中的所述第一和第二候选介质中的一个的基本上周期阵列的音障的声学透射性质；和至少部分地基于确定所述声学透射性质的结果确定所述第一和第二介质是否用于构建音障。

附图说明

图1示出马克斯韦尔(Maxwell)模型和开尔文-伏葛脱(Kelvin-Voigt)模型；

图2示出马克斯韦尔-威切尔特(Maxwell-Weichert)模型；

图3示意地示出根据本发明的一方面嵌入在聚合物基体中的空气圆柱的二维阵列。所述圆柱平行于笛卡尔坐标系统(OXYZ)的Z轴线。点阵常数a＝12mm；圆柱直径D＝8mm。

图4示意地示出根据本发明的另一方面的位于嵌入在空气中的蜂巢晶格上的聚合物圆柱的二维阵列。圆柱平行于笛卡尔坐标系统(OXYZ)的Z轴线。垂直点阵常数b＝19.9mm；水平点阵常数a＝34.5mm；圆柱直径D＝11.5mm。

图5(a)示出对聚合物基体中的空气圆柱阵列计算的光谱透射系数。

图5(b)示出图5(a)中示出的曲线的更详细的部分。

图6示出对聚合物基体中的空气圆柱阵列测量的透射能量光谱。

图7示出在由嵌入在聚合物基体中填充比f＝0.349的空气圆柱构成的二维方格点阵中使用时域有限差分(FDTD)方法计算的带结构，波矢方向垂直于圆柱轴线。

图8(a)示出在由嵌入在聚合物基体中填充比f＝0.349的空气圆柱构成的二维方格点阵中单模型(仅纵向声波)的色散关系曲线。波矢方向垂直于圆柱轴线。

图8(b)示出在图8(a)中的曲线中的更详细区域。

图9是对应于纵向激励(stimulus)信号的透射横波的剪切透射系数(shear transmission coefficient)的曲线。

图10示出对嵌入在聚合物基体中的空气圆柱阵列所计算的横波的透射系数光谱曲线。

图11示出嵌入在硅橡胶基体中的空气圆柱阵列的对应于横波速度的不同值的纵波的透射系数的光谱曲线。

图12(a)示出具有弛豫时间τ＝10^-5s的嵌入在硅橡胶基体中的空气圆柱阵列的对应于α₀的不同值的纵波的透射系数的光谱曲线。

图12(b)示出图12(a)中的曲线的部分的细节。

图13示出具有弛豫时间τ＝10^-6s的嵌入在硅橡胶基体中的空气圆柱阵列的对应于α₀的不同值的纵波的透射系数的光谱曲线。

图14示出具有弛豫时间τ＝10^-8s的嵌入在硅橡胶基体中的空气圆柱阵列的对应于α₀的不同值的纵波的透射系数的光谱曲线。

图15(a)示出具有α₀＝0.5的无量纲平衡拉伸模量(tensile modulus)的嵌入在硅橡胶基体中的空气圆柱阵列的对应于弛豫时间的不同值的纵波的透射系数的光谱曲线。

图15(b)示出图15(a)中曲线的部分的细节。

图16(a)示出在嵌入在硅橡胶基体中的空气圆柱阵列中纵波的基于广义的8元马克斯韦尔(Maxwell)模型计算的透射系数的光谱曲线。

图16(b)示出在弹性橡胶、硅粘弹性橡胶以及硅橡胶-空气中空气圆柱复合结构中的透射谱振幅对比图。

图17示出位于空气中蜂巢点阵上的接触的聚合物圆柱阵列(圆柱直径5.75mm，六边形点阵常数19.9mm)的光谱透射系数。沿正交于波传播方向的结构的总的厚度为103.5mm。

图18示出对具有弛豫时间10^-4s的位于空气中的蜂巢点阵上的接触的聚合物圆柱的阵列所测得的对应于α₀的不同值的不同透射系数的对比图。

图19示出对位于空气中的蜂巢点阵上的接触的聚合物圆柱的阵列(圆柱半径5.75mm，六边形点阵常数19.9mm)基于广义的8元马克斯韦尔(Maxwell)模型计算与弹性模型计算的光谱透射系数的对比图。沿正交于波传播方向的结构的总厚度为103.5mm。

具体实施方式

I.概述

本发明涉及用于声波、尤其是可听频率范围内的声波的频率选择阻塞的声子晶体。

隔音的挑战在于设计阻止声音在空气中在小于或波长量级的距离上的传播的结构。至少已经有两种方法已经用于发展这种材料。第一种依赖于由基体内的包含物的周期阵列带来的弹性波的布拉格散射(Braggscattering)。带隙的存在依赖于包含物和基体材料的物理和弹性性质的差异、包含物的填充比、阵列和包含物的几何结构。在具有大的周期(和大的包含物)和具有低音速的材料的阵列的情况下，可以获得在低频率处的光谱间隙。例如，对于沿平行于方格单胞的边缘方向传播的声波，在空气中的空的铜圆柱(28mm直径)的方形阵列(30个周期)获得位于4-7kHz范围内的明显的声学间隙。参见J.O.Vasseur，P.A.Deymier，A.Khelif，Ph.Lambin，B.Dajfari-Rouhani，A.Akjouj，L.Dobrzynski，N.Fettouhi，and J.Zemmouri；等人在Phys.Rev.E 65，056608(2002)中的文章“Phononic crystal with low fillingfraction and absolute acoustic band gap in the audible frequency range：Atheoretical and experimental study”。对于厘米尺寸结构，复合或混合水/空气介质具有向下延伸到1kHz的宽的阻带(stop bands)。参见，Ph.Lambin，A.Khelif，J.O.Vasseur，L.Dobrzynski，以及B.Djafari-Rouhani等人在Phys.Rev.E63，06605(2001)上发表的文章“Stopping of acoustic waves by sonicpolymer-fluid composites”。第二种方法采用由用软的弹性材料涂覆的重的包含物构成的结构(所谓的“局部共振材料)，其具有共振特征。参见Z.Liu，X.Zhang，Y.Mao，Y.Y.Zhu，Z.Yang，C.T.Chan，P.Sheng等人Science 289，1734(2000)上的文章。虽然所报道的共振的频率非常低(低于布拉格频率两个量级)，但相关的带隙窄。为了实现获得宽的阻带，需要叠置不同的共振结构。

因而，当文中描述的结构显示出预测的带隙时(以及在一些实验阐明的情形中)，但是它们通常对超音频率(20kHz+到GHz)有效。当以声音频率控制为目标，结构已经变大且变重(例如具有若干厘米直径的金属管被布置成具有外部尺寸为若干分米或米的阵列)。因此，声学频率控制的挑战是设计和形成在外部尺寸是合理的(厘米或更小)且重量轻的结构。

根据本发明的具体的方面，可以使用包括线性粘弹性材料、一些商业中可用的具体的材料，构建在可听范围具有带隙的声子晶体结构，其重量轻且具有几厘米或更小量级的外部尺寸。通过控制设计参数，带隙的频率、带隙的数量及其宽度可以调整。设计参数包括：

●点阵的类型(例如，二维(2D)：方形、矩形等；三维(3D)：面心立方(fcc)，体心立方(bcc)等)。

●位置间的间距(点阵常数，a)。

●单胞的构建和形状(例如在二维中，单胞被包含物占据的部分区域，也称为填充因子f)。

●包含物和基体材料的物理性质(物理性质的示例分别包括密度、泊松比、不同的模、纵向模型和横波模型的音速)。

●包含物的形状(例如，杆形、球或半球形、空棒形、方柱)。

在本发明的一方面，小尺寸的橡胶/空气声学带隙(ABG)结构被认为可以在非常宽的下带隙边缘低于1kHz的可听频率范围上削弱纵向声波。这些ABG结构不必显示绝对带隙(absolute band gaps)。然而，由于橡胶中声音的横波速度大小比纵波速度低接近两个数量级，导致纵波模型和横波模型的有效的去耦或退耦(decoupling)，因而对于纵波的透射，已经发现这些固体/流体复合物本质上类似流体/流体系统。因此，这些橡胶/空气ABG结构可以用作有效的音障。

更一般地，粘弹性介质可以用于构建声子晶体。根据本发明的另一方面，至少可以部分地通过预测、使用计算机模型、粘弹性对这些复合物介质的透射谱的影响选择声子晶体的声学性质。例如，时域有限差分方法(FDTD)可以用于计算在不均匀的粘弹性介质中的透射谱和声学带结构。而且，对于粘性介质使用诸如广义的马克斯韦尔模型结合可压缩的通常的线性粘弹性流体构成关系的模型可以将通常存在于粘弹性材料中的多个弛豫时间用作计算光谱响应的基础。

在本发明的另一方面，与传统的密度大的被嵌入在较轻的介质基体中的弹性-弹性声子晶体不同，空气圆柱被用作嵌入在线性粘弹性材料基体中的包含物。

II.结构示例

A.材料选择

根据本发明的一个方面，用于构建在可听区域内的声子晶体的材料被选定成具有低的声速传播特性。这遵循布拉格定律的结构，其认为带隙的中心频率直接与透射通过晶体的平均波速成比例。还要说明的是，对于给定频率，声波的波长将随着声音的速度减小而减小。可以认为，较短的波长允许压力波与较小的结构更多地相互作用，这允许制造具有可听频率范围和外部尺寸在厘米或更小的数量级的声子晶体。具有低的模量和高的密度的材料是有用的，因为它们具有低的声速，但是，通常当模量减小，密度也减小。一些橡胶、凝胶、泡沫等类似物是具有上述特性的组合的材料选择。

一些商业上可用的粘弹性材料具有使得它们潜在地成为有吸引力的候选材料的特性：一，它们在不同的频率上机械响应不同，这使得它们适于特定应用。二，它们具有线性弹性材料缺少的附加的耗散机制。三，虽然在这些材料中纵向声速通常在1000m/s量级，但是已经观察到它们的横向声速可以为或低于纵向声速的量级。相对于频率模量是恒定的弹性材料在不同的频率上具有恒定的纵向和横向声速，但是线性粘弹性材料具有随频率减小而减小的(动态)模量。这意味着在声学上较低的频率处具有想要的较低的速度。

这些在线性粘弹性材料中观察到的现象与线性弹性材料中完全不同。因此包含粘弹性材料的声子晶体在差异性和声学的表现方面比它们的纯的弹性另一部分好。更具体地，粘弹性可以将带隙的中心频率偏移成较低的值并且加宽带隙。

B.通过计算机模型化设计粘弹性声子晶体

在本发明的另一方面，使用计算机模型化设计声子晶体，同时考虑粘弹性材料中的多种特征弛豫时间。在一种结构中，FDTD方法包括将时域中的控制微分方程转换成有限差分并将它们求解为时间的一个小的增加的级数，采用多元模型用FDTD计算音障的声学性质。为了详细地描述使用计算机模型化设计粘弹性声子晶体音障的过程，见附录。

在本发明的一个方面，计算在固体/固体和固体/流体周期性二维二元复合物系统中的弹性和粘弹性波的传播。这些周期性系统被模型化为嵌入在各向同性的材料(基体)B中的无限个由各向同性材料形成的圆柱(例如具有圆形横截面)的阵列A。假定直径为d的圆柱平行于笛卡尔坐标(OXYZ)的Z轴。然后，该阵列被看成沿X和Z两个方向是无限的，而在探查波(Y)的传播方向上是有限的。圆柱轴线与(XOY)断面的交点形成特定几何形状的二维周期性阵列。模拟的(输入信号)声波当作余弦调制高斯波形被采用。这产生具有500kHz的中心频率的宽带信号。

作为示例，针对两种结构进行计算。第一种结构由密度＝1260kg/m³，纵向波速＝1200m/s且横向波速＝20m/s的类似橡胶的粘弹性材料(有机硅聚合物橡胶)构成。

在粘弹性基体310中的包含物是空气圆柱320(图3)。为了应用Mur边界吸收条件(Mur boundary absorption conditions)，通过在入口和出口区域设定“α₀＝1”入口和出口区被加到样品的沿Y方向的两端。然后这些区域性质类似弹性介质并且Mur边界吸收条件不改变。要说明的是，然而，从弹性区域到粘弹性区域的过渡将导致声波的一定的反射。在这种模型中，点阵参数“a”等于12mm，圆柱的直径为8mm。

图4中示出第二种结构。其包括空气基体410，在空气基体中嵌入位于具有六边形边尺寸为11.5mm的蜂巢点阵上的接触的聚合物圆柱420(圆柱半径5.75mm，六边形点阵参数19.9mm)的阵列。结构在正交于波传播方向的总的厚度为103.5mm。圆柱由与前面一样的相同的聚合物形成，外侧的介质是空气。

C.物理音障的示例

在本发明的一个方面，在由嵌入在聚合物基体中的36(6X6)个平行的空气圆柱方阵构成的二元复合物材料中实施实验测量。聚合物是硅橡胶(Dow Corning

HS II RTV High Strength Mold Making Silicone Rubber，可以从Ellsworth Adhesives，Germantown，Wisconsin获得；也可以在http://www.ellsworth.com/display/productdetail.html？productid＝425&Tab＝Vendors上找到)。点阵为12mm，圆柱的直径为8mm。样品的物理尺寸为8×8×8cm。测得的聚合物的物理性质为：密度＝1260kg/m³，纵向声速＝1200m/s。从公开的不同橡胶的物理常数数据知道，这种材料中的横向声速被估计接近20m/sec。例如参见Polymer Handbook，3^rd Edition，Edited byJ.Brandup&E.H.Immergut，Wiley，NY 1989。

用于实验中的超声发射源是具有脉冲装置/接收装置模型500PR的Panametrics delta宽带500kHz P-变换器。用装备有GPIB数据采集卡的Tektronix TDS 540示波镜(oscilloscope)执行信号的测量。测量的发射信号通过LabView经由GPIB卡采集，然后通过计算机处理(求平均以及傅里叶变换)。

圆柱变换器(直径3.175cm)居中位于复合物样品的表面上。发射源产生压缩波(P-波)，接收变换器仅探测发射波的纵向分量。声音的纵向速度由发射的脉冲和接收的信号之间的时间延迟的标准方法测量。

D.计算的和实际的性质的结果示例

1.橡胶基体/空气包含物

a.在橡胶/空气结构中传播

i.弹性FDTD

图5(a)和(b)示出计算的通过嵌入在聚合物基体中的空气圆柱的二维阵列的FDTD透射系数。这里我们选择α₀＝1.0，其是弹性材料的极限。这种透射谱通过求解常规的线性粘弹性等式(25)、(26)以及(27)超过2²¹次步(time steps)而得到，每一步持续7.3ns。沿X和Y方向用5×10^-5m网眼间隔离散空间。透射系数以在复合物中透射的谱强度与在基体材料构成的弹性均匀介质中透射的谱强度的比进行计算。

注意到，图5(a)中的谱由两个带隙。最重要的一个带隙是从大约1.5kHz到87kHz；第二个带隙是从90kHz到125kHz。还要注意的是，图5(a)的谱中，透射带在明确界定的频率上显示出尖锐的窄的下降。透射中的这些下降由复合带和对应于空气圆柱的振动模型的平带的杂化(hybridization)引起。发生这些平带处的频率可以从第一种类型贝塞尔函数(Bessel function)的第一次导数等于零得出，

其中c是声音在空气中的速度，r是空气圆柱的半径，m是贝塞尔函数的阶。

ii.测量值

图6示出在由嵌入在硅橡胶基体中的36(6×6)个平行的空气圆柱方阵构成的二元复合材料的样品(见上面)上测量的复合的谱强度。

图6中的透射谱显示，从1kHz以上到200kHz明确界定透射强度的的下降。谱的该区域可以分解成仅测量到噪音强度水平的频率区间(1-80kHz)，接着在80kHz到200kHz之间具有一定发射强度。与(图5)由FDTD模拟获得的结果对比，实验得出的带隙比计算的带隙窄。这说明，无弹性效应可能起一定作用。这在下面进一步解决。

尽管存在一些类似噪音的透射，图6显示在从1-2kHz以上到大于75kHz的可听范围内的极低的透射。因此，这种材料和其他类似橡胶的材料可以是非常好的隔音候选材料。

B.带结构

为了在FDTD和实验谱上遮蔽更多的光，计算硅橡胶-空气包含物结构的带结构。图7示出沿方形点阵的第一布里渊(Brillouin)区的不可约分的部分的ΓX方向的声波的色散关系(dispersion relation)的FDTD计算结果。FDTD方法假定在单胞中有N×N＝240²个点的格子(具有居中的圆形横截面的空气包含物的方形聚合物；填充因子f＝0.349)。在图7中，尽管在构成材料(聚合物-空气)之间存在大的声学失配，但是在频率范围图上没有完全的间隙。在这种点阵中色散关系的明显特征是多个类似光学的平分支(flat branch)的形式。这些分支(branch)的存在是由具有大的声学失配材料构成的复合物结构的另一特征。在计算的带结构和透射系数之间的差异表明，在带结构中的大多数分支(branch)对应禁带(deaf band)(即，具有不能通过用于透射计算的纵脉冲激发的对称的模型)。这些分支(branch)与在图5的透射谱中发现的那些匹配。

禁带(deaf band)的存在由第二带结构的计算证明，对于第二带结构的计算假定聚合物的横波速度等于零。也就是说，橡胶/空气系统近似为类似流体/流体复合物。由FDTD方法(其中在单胞内有N×N＝240²个点的格子)计算的色散关系在图8(a)和(b)中示出。带的数目显著地减少。这种带结构仅表示结构的纵向模型。因此，可以明确地指定图7中的未在图8中出现的分支(branch)为由橡胶的横向模型的布里渊区内的折叠导致的带。在橡胶中极低的横向声速(20m/s)导致极高的横向分支密度。

图8(a)示出两个宽的带隙，第一个带隙从1kHz到89kHz，第二个带隙从90kHz到132kHz。图8(b)更接近地示出图8(a)中的色散关系的第一区域。可以看到，第一通带的上边缘是大约900Hz。

为了清楚起见，空气圆柱的平带已经从图8(a)和(b)中去除。由对第一的五个平带的FDTD带计算获得的频率在表1中列出。这些频率与第一种类型贝塞尔函数(Bessel function)的第一次导数等于零匹配，

其中c是声音在空气中的速度，r是空气圆柱的半径，m是贝塞尔函数的阶。

因此，很清楚在图5(a)和(b)中的透射谱的通带对应硅橡胶/空气系统的纵向波模型的激励。

表I：硅橡胶中具有半径r＝4mm和周期a＝12mm的空气圆柱的理想方格点阵的本征频率(m是产生带的贝塞尔函数的阶)

c.横向激励

图9示出对应压缩的激励波包(wave packet)的透射剪切波的谱强度。该谱是位移的X分量(垂直于脉冲传播方向的分量)的时间响应的傅里叶转换。图9显示，正如图7中的带结构预测的那样，横向模型可以传播通过橡胶/空气复合物。然而，极低的透射剪切波强度表明从压缩波到剪切波几乎可忽略的转换比。

在第二个模拟中，结构被假定可以仅通过声学剪切波激励。因为声音的横向速度极低，采用FDTD方法对非常长的时间积分(10×10⁶次7.3ns步进)计算透射剪切波的透射谱(图10)。在图10中的透射谱可以看到两个带隙。第一带隙位于540到900Hz之间，第二个带隙从4150到4600Hz之间。如果对应压缩波的带被去除的话，这些带隙与在图7中的带结构非常好地一致。

d.横向速度的影响

对硅橡胶材料中的横向波速的不同值进行模拟。图11示出对于硅橡胶-空气复合物的对应横向波速的不同值(Ct＝0m/s到Ct＝100m/s)的纵波的透射系数的对比结果。与谱中对应Ct＝0m/s的已经存在的带对比，我们注意到对应于剪切波透射(对于不同的横波速度Ct＝20到100m/s)的附加带的出现。这些带大多数出现在25kHz以下的低频率和90kHz到130kHz之间。要注意的是，在Ct＝20m/s谱中存在的带在改变材料中横向速度时没有改变位置。

e.粘弹性的影响

i.单个马克斯韦尔元件。

为了进一步研究纵波的实验透射谱和模拟系统之间的差异，计算橡胶/空气系统的粘弹性特性的影响。对嵌入在粘弹性硅橡胶基体中的二维空气圆柱阵列执行几次相同的模拟。在下面的模拟中，使用确定橡胶的粘弹性水平的两个变量α₀和弛豫时间τ。弛豫时间范围从10^-2秒到10^-9秒和对于τ的每个值用α₀的不同值(0.75、0.5、0.25以及0.1)完成模拟。

图12表示弛豫时间等于10^-5秒、对应于α₀的不同值(0.25；0.5；0.75；以及最后的对应弹性情形的α₀＝1)的不同的透射谱。

当基体通过减小α₀变得更粘弹性，高频通带变得更弱并且移向较高频率。

最低的通带的上边缘(图12(b))要不是由于导致声学波削弱的损失带来的透射系数水平的降低，没有显示出受到大的影响。

已经观察到，弛豫时间从10^-2秒到10^-5秒变化的透射谱的类似行为。当弛豫时间τ达到10^-6到10^-7秒，透射谱中的高频带(在150kHz到500kHz之间)被极大地削弱了。

图13示出τ＝10^-6秒、对应于α₀的不同值的不同的透射谱。注意到，位于150kHz以上的带(图12中)在图13中被极大地削弱了。第一通带没有显示出受到这种效应的影响。

对于非常小的弛豫时间τ(小于10^-8秒)，透射谱不再被明显削弱。当基体通过减小α₀而变得更加粘弹性，通带变得更弱，但是频率不再偏移。图14示出弛豫时间等于10^-8秒、对应于α₀的不同值的不同的透射谱。更大的衰减与较小的α₀的值相关，但是带的位置不再改变。

图15(a)和(b)示出α₀为0.5不变、对应于弛豫时间τ从10^-2秒到10^-8变化的不同值的透射系数的对比结果。从图15(a)注意到，对于τ从10^-3秒到10^-6秒变化的、在150kHz到400kHz范围的频率处的透射系数有个下降。在这些带中弛豫时间τ＝10^-6秒时衰减达到最大。对于弛豫时间(τ＝10^-6秒)的较小值，在130kHz开始的频率处以及之上的对应弹性谱(α₀＝1)中的通带的开始的频率处透射再次出现。

图15(b)示出在图15(a)中的透射谱的第一区域的更详细的视图。从图15(b)可以看到，对于从10^-3秒到10^-4秒的τ透射的最大的下降在第一通带中。还注意到，当在τ＝10^-4秒附近达到最大的衰减时频率存在偏移。

ii.概括或广义的多元马克斯韦尔

在本发明的另一方面，使用如表II所示的八(8)元、基于上面描述的递归法(recursive)使用多元马克斯韦尔模型：

表II：用于模拟中的α_i和τ_i的值

弛豫时间τ	αi
			0.08
4.32×10-9	0.36
		5.84×10-8	0.17
3.51×10-7	0.12
		2.28×10-6	0.10
1.68×10-5	0.08
		2.82×10-4	0.05
7.96×10-3	0.03
		9.50×10-3	0.02

图16(a)示出硅橡胶-空气复合物用广义的多元马克斯韦尔模型得到的纵波的透射系数。注意到，带隙在2kHz处开始，并且在高频范围再没有其他通带。此外，1kHz到2kHz之间的带透射水平显著地降低(低于8％)。

在图16(b)，比较了在弹性橡胶中的透射谱振幅、硅粘弹性橡胶中透射谱振幅以及在硅橡胶-空气复合物结构中的透射谱振幅，其中弹性橡胶、硅粘弹性橡胶和硅橡胶-空气复合物结构具有相同的宽度和弹性特性。虽然硅粘弹性橡胶结构在高频率透射谱中表现出衰减，但是并不象硅橡胶-空气复合物结构，在低频率中并不存在任何带隙。这表明在硅橡胶基体中存在空气圆柱的周期阵列的重要性。透射系数以在复合物中透射的谱强度与在基体材料构成的弹性均匀介质中透射的谱强度的比进行计算。

2.空气基体/橡胶包含物

a.在空气/橡胶结构中的透射

对位于嵌入在空气中的蜂巢点阵(见图4)上的聚合物圆柱阵列进行计算。使用对非常长的时间积分(2.5×10⁶次14ns步进)的FDTD方法计算这种结构(如图16所示)的透射系数。注意在1.5kHz开始并延伸到超过50kHz的宽的带隙。另一个带隙在480Hz到1300Hz之间。在1300到1500Hz之间的带的透射水平低(3％)。

b.粘弹性的影响

对空气/橡胶结构实施几次相同的模拟，其中不变的弛豫时间等于10^-4秒，仅改变α₀。图18示出对应于α₀的不同值(0.25、0.5；0.75以及最后对应弹性情形的α₀＝1)的不同的透射谱。注意，当通过减小α₀粘弹性增大时，通带(对于α₀＝1的情况为1.3kHz到1.5kHz)消逝或显著地衰减。此外，在第一通带(小于480kHz)中不存在明显的改变。

最后，图19给出上述空气/橡胶结构中基于广义的8元马克斯韦尔模型与弹性模型的对比的谱透射系数的对比结果。注意到，第一透射带(小于500kHz)的振幅显著下降。此外，与单个元件求导方法类似，通带(对于α₀＝1的情况为1.3kHz到1.5kHz)消失。

3.应用

作为本发明的具体方面的应用示例，可以构建音障，音障包括：(a)具有第一密度的第一介质和(2)设置在第一介质内的基本上周期阵列的结构，该结构由具有与第一密度不同的第二密度的第二介质形成。所述第一和第二介质中的至少一个是具有纵向声波传播速度和横向声波传播速度的固体介质，优选至少在声学频率的可听范围内，所述纵向声波传播速度是所述横向声波传播速度的至少大约30倍。

作为另一示例，可以构建一种音障，其包括：(a)包括粘弹性材料的第一介质；和(b)具有小于所述第一介质的密度的密度的第二介质(例如空气)，所述第二介质以基本上周期阵列的结构配置并且嵌入在所述第一介质中。

作为又一示例，可以设计一种形成音障的方法，其包括：(a)选择第一候选介质，其包括具有纵向声波的传播速度、横向声波的传播速度、多个弛豫时间常数的粘弹性材料；(2)选择第二候选介质；(3)至少部分地基于所述多个弛豫时间常数，确定包括嵌入在所述第一和第二候选介质的另一个中的所述第一和第二候选介质一个的基本上周期阵列的音障的声学透射性质；和(4)至少部分地基于确定所述声学透射性质的结果确定所述第一和第二介质是否用于构建音障。

作为又一示例，一种隔音的方法，包括：采用厚度不超过大约300mm并且如上述构建的音障阻止在从大约4kHz或更低到大约20kHz或更高范围的频率的声功率的至少99.0％。

III总结

通过采用诸如橡胶等粘弹性材料可以构建在可听范围(例如从大约500Hz到15kHz以上)内显示出非常大的阻带的适当地小的结构。这些结构不必具有绝对带隙。然而，因为在橡胶中横向声速比纵向的声速低几乎两个数量级，这导致纵向模型和横向模型的有效地退偶，对于纵波的透射而言这些固体/流体复合物性质本质上类似流体/流体系统。

包括依赖于频率的粘弹性系数α₀和τ的材料性质对粘弹性聚合物-流体复合物中的通带的偏移或高度衰减或削弱有重要的影响。因此这些材料性质可用于设计具有所需的声学性质的音障。

上面的说明书、示例和数据提供了本发明的粘弹性声子晶体及其形成和用途的完整的描述。在不脱离本发明的精神和范围的情况下可以形成本发明的许多实施例，本发明的范围由权利要求确定。

附录：设计粘弹性声子晶体音障过程中的计算机模型化

首先，引入符号和相关的假定。d表示空间维度的数量，r是中的点，t是时间。假定有界域Ω由一些实体和材料占据。整篇文章将用下面的概念。位移，即点(r，t)位置的改变将由

表示。相关的速度v＝v(r，t)近似为v≈u’，其中’表示相对于时间求微分。应力张量由σ＝σ(x，t)表示。张量是对称的，

并且因此包含大多数不同的值。其解释本质上与相关的概念应力有关。应力ζ是物体内部的单位区域上力的测量值，具体地与具有法向量n的平面相关。可以用应力张量计算这个量，ζ＝σ·r_i。应变张量测量材料形状的改变，并由表示。

自始至终，假定材料或物体的变形是小的。在这种情况下，应变张量限定为：

$\mathrm{\ϵ}\left(u\right)=\frac{1}{2}(\mathrm{grad}u+{\mathrm{grad}u}^T)---\left(1\right)$

其中上标T表示转置矩阵。

观察到，ε’＝ε(u’)＝ε(v)。而且，认为变形小时，可以限定域的初始状态Ω₀＝Ω，并且看成该域的在前关系，而不是在任何时间t上的域Ω_i。这个假定使得可以用单个域Ω和边界

Ω进行操作。

1.模型化

下面描述用作用于声学波在损耗材料中传播的FDTD方法的基础的描述粘弹性材料行为的偏微分等式。

首先，选择真实地表示感兴趣的粘弹性材料宽的分类的本构关系(constitutive relation)。有许多选择形式，正如专用于这种主题的广义流变学学科显示的。在本发明的一方面，在线性声学的情形中，位移和应变小的情况下，所有的(非线性)本构关系缩减成一个、唯一的形式，其遵循材料客观性的原则。这类材料被称为广义的线性粘弹性流体(GLVF)。当GLVF材料也是可压缩的时候，总的应力张量由下式给出

$\mathrm{\σ}\left(t\right)=2\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}G(t-t^{\′})D\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}[K(t-t^{\′})-\frac{2}{3}G(t-t^{\′})][\▿\·v\left(t^{\′}\right)]I{\mathrm{dt}}^{\′}---\left(2\right)$

其中t是时间，v(t)是速度矢量，D(x，t)是变形张量的比，由下式给出

$D=\frac{1}{2}[(\▿v)+{(\▿v)}^T]---\left(3\right),$

以及G(t)和K(t)分别是稳剪切模量和体积模量。这些模量可以用流变测定法通过实验确定并且数据可以以多种方法进行拟合，包括使用诸如弹簧-阻尼器(下面示出)的机械模拟模型实现这些拟合。

粘弹性模型，或其有效地描述的行为方式可以通过分别表示弹性和粘性因素的弹簧和阻尼器的结合示意地示出。因此，假定弹簧反应弹性变形的性质，类似地阻尼器表示粘性流动的特性。很清楚，示意地构建粘弹性模型的最简单的方式是将串联或并联的每个组件中的一个组合。这些组合带来两种基本粘弹性模型，马克斯韦尔模型和开尔文-沃伊特模型。在图1中示出了它们的示意表示。

广义的马克斯韦尔模型，也称为马克斯韦尔-威切尔特(Maxwell-Weichert)模型，考虑的条件为在单个时间常数的情况下不发生弛豫，但是具有弛豫时间的分布。威切尔特(Weichert)模型通过使用与精确地表示该分布必要的一样多的弹簧-阻尼器马克斯韦尔元件来表示。见图2。

对于广义的马克斯韦尔模型：

$E\left(t\right)=E_{\∞}+\underset{i}{\mathrm{\Σ}}{E}_i{e}^{-\frac{t}{{\mathrm{\τ}}_i}}---\left(4\right).$

通过限定

$\mathrm{\α}\left(t\right)={\mathrm{\α}}_0+\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{e}^{\frac{-t}{{\mathrm{\τ}}_i}}---\left(5\right),$

其中

${\mathrm{\α}}_0=\frac{E_{\∞}}{E_{\mathrm{sum}}},$ ${\mathrm{\α}}_i=\frac{E_{\∞}}{E_{\mathrm{sum}}}$ 和 $\underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i=1,$

得到

E(t)＝E_sumα(t)    (6)

或得到

E(t)＝2G(t)(1+υ)=3K(t)(1-2υ)    (7)。

然后，在G_∞＝μ  (10)并且

的情况下，可以写出G(t)=G_sumα(t)  (8)和K(t)＝K_sumα(t)  (9)，

其中入和μ是拉姆常数，υ是泊松比。

准备FDTD方法，将等式2和3对二维(d＝2)空间域展开：

$\left[D\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}2\frac{\∂v_x}{\∂x}& (\frac{\∂v_x}{\∂y}+\frac{\∂v_y}{\∂x})\\ (\frac{\∂v_x}{\∂y}+\frac{\∂v_y}{\∂x})& 2\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\end{array}\right]---\left(12\right).$

将等式(8)、(9)以及(12)代入等式(2)，可以得到

$\left[\mathrm{\σ}\right]=\left[\begin{array}{cc}2\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}G(t-t^{\′})\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}& \underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}G(t-t^{\′})(\frac{{\∂v}_x}{\∂y}\left(t^{\′}\right)+\frac{{\∂v}_y}{\∂x}\left(t^{\′}\right)){\mathrm{dt}}^{\′}\\ \underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}G(t-t^{\′})(\frac{\∂v_x}{\∂y}\left(t^{\′}\right)+\frac{{\∂v}_y}{\∂x}\left(t^{\′}\right)){\mathrm{dt}}^{\′}& 2\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}G(t-t^{\′})\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}\end{array}\right]$

$+\left[\begin{array}{cc}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}(K(t-t^{\′})-\frac{2}{3}G(t-t^{\′}))(\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right)+\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right)){\mathrm{dt}}^{\′}& 0\\ 0& \underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}(K\left({t-t}^{\′}\right)-\frac{2}{3}G(t-t^{\′}))(\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right)+\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right)){\mathrm{dt}}^{\′}\end{array}\right]---\left(13\right)$

这个等式可以写成下面三个基本等式：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)=2\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}G(t-t^{\′})\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}(K(t-t^{\′})-\frac{2}{3}G(t-t^{\′}))(\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right)+\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right)){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(14\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}\left(t\right)=2\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}G(t-t^{\′})\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}(K(t-t^{\′})-\frac{2}{3}G(t-t^{\′}))(\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right)+\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right)){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(15\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}\left(t\right)={\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yx}}\left(t\right)=\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}G(t-t^{\′})(\frac{{\∂v}_x}{\∂y}\left(t^{\′}\right)+\frac{\∂v_y}{\∂x}\left(t^{\′}\right)){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(16\right)$

a.单个元件的马克斯韦尔模型

在一元马克斯韦尔的情形中，等式(8)和(9)简化成：

$G\left(t\right)=\frac{\mathrm{\μ}}{{\mathrm{\α}}_0}({\mathrm{\α}}_0+{\mathrm{\α}}_1{e}^{-t/\mathrm{\τ}})---\left(17\right)$

$K\left(t\right)-\frac{2}{3}G\left(t\right)=\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\α}}_0}({\mathrm{\α}}_0+a_1{e}^{-t/\mathrm{\τ}})---\left(18\right)$

现在展开等式(14)：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)=2\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{\mathrm{\μ}}{{\mathrm{\α}}_0}({\mathrm{\α}}_0+{\mathrm{\α}}_1{e}^{-(t-t^{\′})/\mathrm{\τ}})\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\α}}_0}({\mathrm{\α}}_0+{\mathrm{\α}}_1{e}^{-(t-t^{\′})/\mathrm{\τ}})(\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right)+\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right)){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(19\right)$

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)=(2\mathrm{\μ}+\mathrm{\λ})\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\mathrm{\λ}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(20\right)$

$+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}(2\mathrm{\μ}+\mathrm{\λ})\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{-(t-t^{\′})/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}\mathrm{\λ}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{-(t-t^{\′})/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}$

因为C₁₁＝2μ+λ，C₁₂＝λ以及C₄₄＝μ，等式(20)变成

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)=C_{11}\frac{{\mathrm{du}}_x}{\mathrm{dx}}\left(t\right)+C_{12}\frac{{\mathrm{du}}_y}{\mathrm{dy}}\left(t\right)$

$+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}{C}_{11}{e}^{-t/\mathrm{\τ}}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{t^{\′}/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}{C}_{12}{e}^{-t/\mathrm{\τ}}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{t^{\′}/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(21\right)$

替换地，等式(21)可以对于时间求微分：

$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}}{\∂t}\left(t\right)=C_{11}\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t\right)+C_{12}\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t\right)---\left(22\right)$

$+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}{C}_{11}\frac{\∂}{\∂t}\left[e^{-t/\mathrm{\τ}}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{t^{\′}/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}\right]+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}{C}_{12}\frac{\∂}{\∂t}\left[e^{-t/\mathrm{\τ}}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{t^{\′}/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}\right]$

$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}}{\∂t}\left(t\right)=C_{11}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t\right)+C_{12}\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}{C}_{11}[\frac{-1}{\mathrm{\τ}}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{-(t-t^{\′})/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+e^{-t/\mathrm{\τ}}{e}^{t/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t\right)]---\left(23\right)$

$+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}{C}_{12}[\frac{-1}{\mathrm{\τ}}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{-(t-t^{\′})/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+e^{-t/\mathrm{\τ}}{e}^{t/\mathrm{\τ}}\frac{{\∂v}_y}{\∂y}\left(t\right)]$

将等式(21)并入到等式(23)中，得到：

$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}}{\∂t}\left(t\right)=C_{11}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t\right)+C_{12}\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}{C}_{11}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t\right)+\frac{{\mathrm{\α}}_1}{{\mathrm{\α}}_0}{C}_{12}\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t\right)$

$-\frac{1}{\mathrm{\τ}}[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)-C_{11}\frac{\∂u_x}{\∂x}\left(t\right)-C_{12}\frac{\∂u_y}{\∂y}\left(t\right)]---\left(24\right)$

其中 $\underset{i=0}{\overset{n=1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i={\mathrm{\α}}_0+{\mathrm{\α}}_1=1.$

最后可以得到：

$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}}{\∂t}\left(t\right)=\frac{C_{11}}{{\mathrm{\α}}_0}\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t\right)+\frac{C_{12}}{{\mathrm{\α}}_0}\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t\right)-\frac{1}{\mathrm{\τ}}[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)-C_{11}\frac{\∂u_x}{\∂x}\left(t\right)-C_{12}\frac{\∂u_y}{\∂y}\left(t\right)]---\left(25\right)$

通过对σ_yy和σ_xy进行相同的计算，得到：

$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}}{\∂t}\left(t\right)=\frac{C_{11}}{{\mathrm{\α}}_0}\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t\right)+\frac{C_{12}}{{\mathrm{\α}}_0}\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t\right)-\frac{1}{\mathrm{\τ}}[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}\left(t\right)-C_{11}\frac{\∂u_y}{\∂y}\left(t\right)-C_{12}\frac{\∂u_x}{\∂x}\left(t\right)]---\left(26\right)$

$\frac{{\∂\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}}{\∂t}\left(t\right)=\frac{C_{44}}{{\mathrm{\α}}_0}(\frac{\∂v_x}{\∂y}\left(t\right)+\frac{\∂v_y}{\∂x}\left(t\right))-\frac{1}{\mathrm{\τ}}[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}\left(t\right)-C_{44}(\frac{\∂u_x}{\∂y}\left(t\right)+\frac{\∂u_y}{\∂x}\left(t\right))]---\left(27\right)$

b.广义的多元马克斯韦尔模型

对于多元马克斯韦尔模型，等式(4)可以写成下面的形式：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)=2\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{\mathrm{\μ}}{{\mathrm{\α}}_0}({\mathrm{\α}}_0+\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}})\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}$

$+\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\α}}_0}({\mathrm{\α}}_0+\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}})(\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right)+\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right)){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(28\right)$

展开等式(28)

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)=2\mathrm{\μ}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\frac{2\mathrm{\μ}+\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\α}}_0}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}}\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}$

$+\mathrm{\λ}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\mathrm{\λ}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\frac{\mathrm{\λ}}{{\mathrm{\α}}_0}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}}\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(29\right)$

该等式可以写成

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)=C_{11}\frac{\∂u_x}{\∂x}\left(t\right)+C_{12}\frac{{\∂u}_y}{\∂y}\left(t\right)$

$+\frac{C_{11}}{{\mathrm{\α}}_0}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\frac{C_{12}}{{\mathrm{\α}}_0}\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}}\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(30\right)$

其中C₁₁＝2μ+λ，C₁₂＝λ以及C₄₄＝μ。

通过执行积分和求和处理可以得到：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}\left(t\right)=C_{11}\frac{\∂u_x}{\∂x}\left(t\right)+C_{12}\frac{\∂u_y}{\∂y}\left(t\right)$

$+\frac{C_{11}}{{\mathrm{\α}}_0}\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}}\frac{\∂v_x}{\∂x}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}+\frac{C_{12}}{{\mathrm{\α}}_0}\underset{1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_i\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}}\frac{\∂v_y}{\∂y}\left(t^{\′}\right){\mathrm{dt}}^{\′}---\left(31\right)$

为了计算下面的积分以求出Ix_i(t)，

$\underset{-\∞}{\overset{t}{\∫}}\frac{\∂v_x\left(t^{\′}\right)}{\∂x}{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}}{\mathrm{dt}}^{\′}\≈\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{\∂v_x\left(t^{\′}\right)}{\∂x}{e}^{-\frac{(t-t^{\′})}{{\mathrm{\τ}}_i}}{\mathrm{dt}}^{\′}={\mathrm{Ix}}_i\left(t\right)---\left(32\right)$

假定w＝t-t′这导致dw＝-dt’。通过在等式(32)中替换，可以得到：

${\mathrm{Ix}}_i\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{\∂v_x(t-w)}{\∂x}{e}^{-\frac{w}{{\mathrm{\τ}}_i}}\mathrm{dw}---\left(33\right)$

现在，计算Ix_i(t+dt)。

${\mathrm{Ix}}_i(t+\mathrm{dt})=\underset{0}{\overset{t+\mathrm{dt}}{\∫}}\frac{\∂v_x(t+\mathrm{dt}-w)}{\∂x}{e}^{-\frac{w}{{\mathrm{\τ}}_i}}\mathrm{dw}---\left(34\right)$

${\mathrm{Ix}}_i(t-\mathrm{dt})=\underset{0}{\overset{\mathrm{dt}}{\∫}}\frac{\∂v_x(t+\mathrm{dt}-w)}{\∂x}{e}^{-\frac{w}{{\mathrm{\τ}}_i}}\mathrm{dw}+\underset{\mathrm{dt}}{\overset{t+\mathrm{dt}}{\∫}}\frac{{\∂v}_x(t+\mathrm{dt}-w)}{\∂x}{e}^{-\frac{w}{{\mathrm{\τ}}_i}}\mathrm{dw}---\left(35\right)$

通过变换s＝w-dt＝＞ds＝dw，

${\mathrm{Ix}}_i(t+\mathrm{dt})=\underset{-\mathrm{dt}}{\overset{0}{\∫}}\frac{{\∂v}_x}{\∂x}{e}^{-\frac{(s+\mathrm{dt})}{{\mathrm{\τ}}_i}}\mathrm{ds}+\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{{\∂v}_x(t-s)}{\∂x}{e}^{-\frac{(s+\mathrm{dt})}{{\mathrm{\τ}}_i}}\mathrm{ds}---\left(36\right)$

${\mathrm{Ix}}_i(t+\mathrm{dt})=\left[\frac{\frac{{\∂v}_x\left(t\right)}{\∂x}{e}^{-\frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{\τ}}_i}}+\frac{\∂v_x(t+\mathrm{dt})}{\∂x}}{2}\mathrm{dt}\right]+e^{-\frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{\τ}}_i}}\underset{0}{\overset{t}{\∫}}\frac{{\∂v}_x(t-s)}{\∂x}{e}^{-\frac{s}{{\mathrm{\τ}}_i}}\mathrm{ds}---\left(37\right)$

最后，我们得到用于积分计算的递归的形式：

${\mathrm{Ix}}_i(t+\mathrm{dt})=\left[\frac{\frac{\∂v_x\left(t\right)}{\∂x}{e}^{-\frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{\τ}}_i}}+\frac{\∂v_x(t+\mathrm{dt})}{\∂x}}{2}\mathrm{dt}\right]+e^{-\frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{\τ}}_i}}{\mathrm{Ix}}_i\left(t\right)---\left(38\right),$

其中Ix_i(0)＝0

对于yy和xy分量可以得到类似的等式。

2.FDTD带结构

复合物材料的声学带结构可以使用FDTD方法进行计算。这种方法可以用于传统的平面波展开(PWE)方法不能应用的结构中。参见Tanaka，Yukihiro，Yoshinobu Tomoyasu以及Shinichiro Tamura等人在PHYSICALREVIEW B(2000)：7387-7392上的文章“Band structure of acoustic waves inphononic lattices：Two-dimensional composites with large acousticmismatch”。由于在XOY平面内的周期性，点阵位移、速度以及应力张量采用符合布洛克定律的形式：

u_i(r，t)＝e^jk，rU_i(r，t)      (39)

v_i(r，t)＝e^ik，rV_i(r，t)      (40)

σ_ij(r，t)＝e^ik，rS_ij(r，t)   (41)

其中k＝(k_x，k_y)是布洛克波矢量，U(r，t)和V(r，t)以及S_ij(r，t)是在a点阵变换矢量情况下的满足U(r+a，t)＝U(r，t)和S_ij(r+a，t)＝S_ij(r，t)的周期函数。因此等式(25)、(26)以及(27)可以改写成：

$\frac{{\∂S}_{\mathrm{xx}}}{\∂t}\left(t\right)={\mathrm{ik}}_x\frac{C_{11}}{{\mathrm{\α}}_0}\frac{\∂V_x}{\∂x}\left(t\right)+{\mathrm{ik}}_y\frac{C_{12}}{{\mathrm{\α}}_0}\frac{\∂V_y}{\∂y}\left(t\right)-\frac{1}{\mathrm{\τ}}[S_{\mathrm{xx}}\left(t\right)-{\mathrm{ik}}_x{C}_{11}\frac{\∂U_x}{\∂x}\left(t\right)-{\mathrm{ik}}_y{C}_{12}\frac{\∂U_y}{\∂y}\left(t\right)]---\left(42\right)$

$\frac{{\∂S}_{\mathrm{yy}}}{\∂t}\left(t\right)={\mathrm{ik}}_y\frac{C_{11}}{{\mathrm{\α}}_0}\frac{\∂V_y}{\∂y}\left(t\right)+{\mathrm{ik}}_x\frac{C_{12}}{{\mathrm{\α}}_0}\frac{\∂V_x}{\∂x}\left(t\right)-\frac{1}{\mathrm{\τ}}[S_{\mathrm{yy}}\left(t\right)-{\mathrm{ik}}_y{C}_{11}\frac{\∂U_y}{\∂y}\left(t\right)-{\mathrm{ik}}_x{C}_{12}\frac{\∂U_x}{\∂x}\left(t\right)]---\left(43\right)$

$\frac{{\∂S}_{\mathrm{xy}}}{\∂t}\left(t\right)=\frac{C_{44}}{{\mathrm{\α}}_0}({\mathrm{ik}}_y\frac{\∂V_x}{\∂y}\left(t\right)+{\mathrm{ik}}_x\frac{\∂V_y}{\∂x}\left(t\right))-\frac{1}{\mathrm{\τ}}\left[S_{\mathrm{xx}}\left(t\right)-C_{44}\left({\mathrm{ik}}_x\frac{\∂U_y}{\∂x}\left(t\right)+{\mathrm{ik}}_y\frac{\∂U_x}{\∂y}\left(t\right)\right)\right]---\left(44\right).$

3.有限微分方法

根据本发明的一方面，FDTD方法用于单个马克斯韦尔元件，其包括将在时域内的控制微分方程(等式(25)、(26)以及(27))转变成有限微分并且将它们求解成时间的一个小的增加的级数。这些等式包括将FDTD应用在二维粘弹性系统的基础。对于FDTD方法的应用，可以将计算域分成N_xxN_y个具有dx、dy尺寸的子域(格子)。

对空间和时间求导可以近似有限差分。对于空间求导，可以使用中心差分，其中y方向与x方向交错。对于时间求导，可以使用前向差分。

对于等式(25)，使用在点(i，j)和时间(n)的展开，可以得到：

$\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^{n+1}(i,j)-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^n(i,j)}{\mathrm{dt}}=\frac{C_{11}(i+1/2,j)}{{\mathrm{\α}}_0(i+1/2,j)}\frac{v_x^n(i+1,j)-v_x^n(i,j)}{\mathrm{dx}}+\frac{C_{12}(i+1/2,j)}{{\mathrm{\α}}_0(i+1/2,j)}\frac{v_y^n(i,j)-v_y^n(i,j-1)}{\mathrm{dy}}$

$-\frac{1}{\mathrm{\τ}(i,j)}[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^{n+1}(i,j)-C_{11}(i+1/2,j)\frac{u_x^n(i+1,j)-u_x^n(i,j)}{\mathrm{dx}}-C_{12}(i+1/2,j)\frac{u_y^n(i,j)-u_y^n(i,j-1)}{\mathrm{dy}}]---\left(45\right)$

其中由位移场U_x、U_y以及速度场V_x、V_y以及在时间(n)时的旧的应力计算在点(i，j)和时间(n+1)的应力σ_xx。当变形等式(45)，得到：

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^{n+1}(i,j)=\frac{1}{(1+\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{\τ}(i,j)})}[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^n(i,j)+\mathrm{dt}\left(\begin{array}{c}\frac{C_{11}(i+1/2,j)}{{\mathrm{\α}}_0(i+1/2,j)}\frac{v_x^n(i+1,j)-v_x^n(i,j)}{\mathrm{dx}}+\\ \frac{C_{12}(i+1/2,j)}{{\mathrm{\α}}_0(i+1/2,j)}\frac{v_y^n(i,j)-v_y^n(i,j-1)}{\mathrm{dy}}+\\ \frac{1}{\mathrm{\τ}(i,j)}{C}_{11}(i+1/2,j)\frac{u_x^n(i+1,j)-u_x^n(i,j)}{\mathrm{dx}}+\\ \frac{1}{\mathrm{\τ}(i,j)}{C}_{12}(i+1/2,j)\frac{u_y^n(i,j)-u_y^n(i,j-1)}{\mathrm{dy}}\end{array}\right)]---\left(46\right)$

其中

$C_{11}(i+1/2,j)=\sqrt{C_{11}(i+1,j)C_{11}(i,j)},$

并且 $C_{12}(i+1/2,j)=\sqrt{C_{12}(i+1,j)C_{12}(i,j)},$

以及 ${\mathrm{\α}}_0(i+1/2,j)=\sqrt{{\mathrm{\α}}_0(i+1,j){\mathrm{\α}}_0(i,j)}.$

对于等式(26)，在(i，j)处展开，

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}^{n+1}(i,j)=\frac{1}{(1+\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{\τ}(i,j)})}[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}^n(i,j)+\mathrm{dt}\left(\begin{array}{c}\frac{C_{11}(i+1/2,j)}{{\mathrm{\α}}_0(i+1/2,j)}\frac{v_y^n(i,j)-v_y^n(i,j-1)}{\mathrm{dy}}+\\ \frac{C_{12}(i+1/2,j)}{{\mathrm{\α}}_0(i+1/2,j)}\frac{v_x^n(i+1,j)-v_x^n(i,j)}{\mathrm{dx}}+\\ \frac{1}{\mathrm{\τ}(i,j)}{C}_{11}(i+1/2,j)\frac{u_y^n(i,j)-u_y^n(i,j+1)}{\mathrm{dy}}+\\ \frac{1}{\mathrm{\τ}(i,j)}{C}_{12}(i+1/2,j)\frac{u_x^n(i+1,j)-u_x^n(i,j)}{\mathrm{dx}}\end{array}\right)]---\left(47\right)$

对于等式(27)，在(i，j)处展开，

${\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}^{n+1}(i,j)=\frac{1}{(1+\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{\τ}(i,j)})}\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}^n(i,j)+\mathrm{dt}\frac{C_{44}(i,j+1/2)}{{\mathrm{\α}}_0(i,j+1/2)}(\frac{v_x^n(i,j+1)-v_x^n(i,j)}{\mathrm{dy}}+\frac{v_y^n(i,j)-v_y^n(i-1,j)}{\mathrm{dx}})+\\ \mathrm{dt}\frac{C_{44}(i,j+1/2)}{\mathrm{\τ}(i,j)}(\frac{u_x^n(i,j+1)-u_x^n(i,j)}{\mathrm{dy}}+\frac{u_y^n(i,j)-u_y^n(i-1,j)}{\mathrm{dx}})\end{array}\right]---\left(48\right)$

其中 $C_{44}(i,j+1/2)=\sqrt{C_{44}(i,j+1)C_{44}(i,j)}$

上述等式的离散化确保对空间求导的第二阶精确度中心差分。场分量u_x和u_y必须是在不同空间点的中心。

最后，根据在各向同性不均匀介质中的弹性波等式计算速度场。

$\frac{\∂v_a}{\∂t}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ab}}}{\∂x_b}---\left(49\right)$

在二维空间中，等式(49)变成，

$\frac{{\∂v}_x}{\∂t}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}}(\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}}{\∂x}+\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}}{\∂y})---\left(50\right)$

和

$\frac{\∂v_y}{\∂t}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}}(\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}}{\∂y}+\frac{\∂{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}}{\∂x})---\left(51\right)$

对于等式(50)，在点(i，j)和时间(n)处展开，得到：

$\frac{v_x^{n+1}(i,j)-v_x^n(i,j)}{\mathrm{dt}}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}(i,j)}(\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^{n+1}(i,j)-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^{n+1}(i-1,j)}{\mathrm{dx}}+\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}^{n+1}(i,j)-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}^{n+1}(i,j-1)}{\mathrm{dy}})---\left(52\right)$

当变形等式(52)可以得到：

$v_x^{n+1}(i,j)=v_x^n(i,j)+\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{\ρ}(i,j)}(\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^{n+1}(i,j)-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^{n+1}(i-1,j)}{\mathrm{dx}}+\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}^{n+1}(i,j)-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}^{n+1}(i,j-1)}{\mathrm{dy}})---\left(53\right)$

在y方向，得到：

$v_y^{n+1}(i,j)=v_y^n(i,j)+\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{\ρ}(i+1/2,j+1/2)}(\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{yy}}^{n+1}(i,j+1)-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xx}}^{n+1}(i,j)}{\mathrm{dy}}+\frac{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}^{n+1}(i+1,j)-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{xy}}^{n+1}(i,j)}{\mathrm{dx}})---\left(54\right)$

其中

$\mathrm{\ρ}(i+1/2,j+1/2)=\sqrt[4]{\mathrm{\ρ}(i,j)\mathrm{\ρ}(i+1,j)\mathrm{\ρ}(i,j+1)\mathrm{\ρ}(i+1,j+1)}.$

有关FDTD带结构方法的离散化更详细的内容在Tanaka的文章中可以找到(见上文)。

Claims (20)

1.一种音障，包括：

具有第一密度的第一介质；和

设置在所述第一介质内的基本上周期阵列的结构，所述结构由具有与所述第一密度不同的第二密度的第二介质形成，

所述第一和第二介质中的至少一个是具有纵向声波传播速度和横向声波传播速度的固体介质，所述纵向声波传播速度是所述横向声波传播速度的至少30倍。

2.根据权利要求1所述的音障，其中所述第一和第二介质中的每一个在4kHz到20kHz没有声学共振频率。

3.根据权利要求1所述的音障，其中所述结构的阵列在至少一个维度具有不大于30mm的周期。

4.根据权利要求3所述的音障，其中所述结构的阵列中的每一个包括在至少一个维度不大于10mm的元件。

5.根据权利要求3所述的音障，其中所述结构的阵列的每一个包括圆柱元件。

6.根据权利要求1所述的音障，其中所述第一和第二介质中的至少一个包括粘弹性材料。

7.根据权利要求6所述的音障，其中所述粘弹性材料是粘弹性硅橡胶。

8.根据权利要求6所述的音障，其中所述第一介质包括粘弹性材料，并且所述第二介质包括流体。

9.根据权利要求7所述的音障，其中所述第二介质包括气相材料。

10.根据权利要求6所述的音障，其中所述粘弹性材料具有足以产生从4kHz到20kHz的声学带隙的粘弹性系数和粘性的结合，当所述音障具有不大于20cm的厚度时，在所述带隙内的频率的纵向声波的透射系数不大于0.05。

11.根据权利要求10所述的音障，其中所述粘弹性系数和粘性的结合，和所述基本上周期阵列的配置足以产生从4kHz到20kHz的声学带隙，对于在所述带隙内的频率纵向声波的透射振幅比对于所述频率通过参考音障的纵向声波的透射振幅小至少10倍，所述参考音障具有均匀的结构并且具有与包括所述粘弹性材料的所述介质的尺寸相同的尺寸并且由具有与包括所述粘弹性材料的所述介质的弹性性质相同的弹性性质的弹性或粘弹性材料形成。

12.根据权利要求1所述的音障，其中纵向声波的传播速度是横向声波的传播速度的至少50倍。

13.根据权利要求1所述的音障，其中所述基本上周期阵列包括二维阵列。

14.根据权利要求1所述的音障，其中所述基本上周期阵列包括三维阵列。

15.一种音障，包括：

包括粘弹性材料的第一介质；和

具有小于所述第一介质的密度的密度的第二介质，所述第二介质以基本上周期阵列的结构配置并且嵌入在所述第一介质中；其中所述第一介质具有纵向声波的传播速度和横向声波的传播速度，所述纵向声波的传播速度是所述横向声波的传播速度的至少30倍。

16.根据权利要求15所述的音障，其中所述第二介质包括流体。

17.根据权利要求16所述的音障，其中所述第二介质包括气相材料。

18.根据权利要求15所述的音障，其中所述基本上周期阵列在至少一个维度具有不大于30mm的周期。

19.根据权利要求18所述的音障，其中所述结构的阵列的每一个包括在至少一个维度不大于10mm的元件。

20.一种隔音的方法，包括：采用厚度不超过300mm的音障阻止在从4kHz到20kHz范围的频率的声功率的至少99.0％，所述音障包括具有第一密度的第一介质；和

设置在所述第一介质内的基本上周期阵列的结构，所述结构由具有与所述第一密度不同的第二密度的第二介质形成，

所述第一和第二介质中的至少一个是具有纵向声波传播速度和横向声波传播速度的固体介质，所述纵向声波传播速度是所述横向声波传播速度的至少30倍。

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