JP4930957B2 - タッチ検知デバイス - Google Patents

Description

本発明は、タッチ検知スクリーンやタッチ検知パネルを含むタッチ検知デバイスに関する。

米国特許第４，８８５，５６５号、米国特許第５，６３８，０６０号、米国特許第５，９７７，８６７号、米国特許公開２００２／００７５１３５には、タッチしたユーザに触覚フィードバックを与えるタッチ駆動装置が記載されている。米国特許第４，８８５，５６５号には、通電されたときに、ＣＲＴを駆動して触覚フィードバックを返すアクチュエータが開示されている。米国特許第５，６３８，０６０号には、ユーザの指に反動力を与えるよう素子を震わせるためのスイッチを形成する圧電素子に、電圧を印加する点が記載されている。米国特許第５，９７７，８６７号には、タッチスクリーンに指あるいはポインタが触れたときに、ユーザに感知できるような機械的な振動を生成する触覚フィードバックユニットが記載されている。この機械的な振動における振幅、振動周波数およびパルス長については、感じられる程度に長く、かつ、次のキーにタッチする前に終わる程度には短いパルス幅となるように制御される。米国特許公開２００２／００７５１３５には、ボタンクリックをシミュレートする一瞬のスパイクとしてのパルスを生成するための、第２のトランスデューサを使用する点について記述されている。

従来技術に関する上記した各文献は、ユーザの指あるいはポインタによる個々のタッチに応答する触覚フィードバックを提案するものである。

本発明により提供されるタッチ検知デバイスは、屈曲波を支持することの可能なパネルと、このパネルの表面の一部上に配された、あるいは、この表面の一部を形成する、ユーザによりアクセス可能なタッチ検知スクリーンであって、複数の異なる検知領域を有するタッチ検知スクリーンと、上記のパネルに結合しており、ユーザが検知領域にタッチしたことに応答してパネルに屈曲波を印加して複数の検知領域において触覚フィードバックを生成する複数の振動励起子と、信号処理手段とを備えており、この信号処理手段が、振動励起子に信号を与えることで、複数の振動励起子によってパネルに印加される屈曲波を制御するように構成されており、これにより、印加される屈曲波の振幅を、ユーザにタッチされた検知領域において最大化する一方、他の検知領域のそれぞれにおいて低減するあるいは最小化するようになっている。

この信号処理手段の処理により、所望の信号（１つの検知領域での振動を最大化されたもの）および望まない信号（他の検知領域での振動が最小化されたもの）が生ずる。これら２つの比については、「信号対ノイズ比」すなわち「ＳＮＲ」によって表現し得る。これは、通常、ｄＢで表現され、小さい値よりも大きい値となっているほうが好ましい。

振動を制御することによって、各検知領域あるいは検知位置に対して同時に接触があった場合であっても、これらの位置が、その位置に関する触覚信号を主に受信するようになることを確実化できる。パネル上のどの他の領域においても、信号の結合が生じるけれども、この点については重要ではない。検知領域が２箇所である場合には、この構成を、同時二重領域触覚（ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｄｕａｌ ｒｅｇｉｏｎ ｈａｐｔｉｃｓ）と称してよい。なぜなら、空間的に離れた位置において、同時に２つの触覚フィードバックを得ることになるからである。また、これを多重信号および多重領域に拡張して同時多重領域触覚（ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓ ｍｕｌｔｉ−ｒｅｇｉｏｎ ｈａｐｔｉｃｓ）を実現してもよい。

代替的な構成として、あるいはこの構成に加えて、同時多重領域触覚を実現するために、上記の信号処理手段が、小さな、あるいは最小の音響成分を有する屈曲波信号を印加するように構成されていてもよい。これは、各位置に与えられる触覚信号を確実に無音にするために好ましい構成となり得る。

上記のパネルが意図的に共振しやすくなっており、振動励起子によって印加される信号によってパネルを共振させるような構成としてもよい。例えば、このパネルを、国際特許出願ＷＯ９７／０９８４２に記載されている共振屈曲波モードパネルとしてもよい。なお、この文献については、参照することによって組み込まれている。また、このパネルを、他の振動励起子が音響出力を生成する振動を励起するラウドスピーカーとしてもよい。

上記の振動励起子を、可動コイルトランスデューサおよび／または圧電性屈曲トランスデューサとしてもよい。例えば、ＷＯ０１／５４４５０に記載されているような共振素子を含んだものとしてもよい。なお、この文献については、参照することによって本明細書に組み込まれている。励起子については、慣性的（ｉｎｅｒｔｉａｌ）なものであってもよいし、そうでなくてもよい。

上記の信号については、ユーザにタッチされた信号検知領域が負ノーダルになる一方、他の信号検知領域のそれぞれがノーダルになるように制御するようにしてもよい。ノーダルポイント（ノード）は、いずれの励起周波数においても速度をもたないものである。一方、負ノーダルポイントは、最大の速度を有する。

上記のデバイスについては、ｎ個の信号検知領域と、ｎ個より多い、例えばｎ＋１個の振動励起子とを含んでもよい。これにより、印加される屈曲波の振幅が、ユーザにタッチされた検知領域において可能な最も大きい振幅にまで最大化され、他の各検知領域においてはほぼ０になる。すなわち、ｎ個のノード応答が得られる。ここでは、「無音（ｓｉｌｅｎｔ）」の要件は、軸上のノード圧力（ｎｏｄａｌ ｐｒｅｓｓｕｒｅ）を生成することと等価であるとみなしてもよい。無音二重領域触覚フィードバックを達成するためには、例えば他の検知領域でのノーダルポイントを形成することと、軸上の圧力を０にすることとの双方が必要となる。

あるいは、ｎ個の信号検知領域と、ｎ個あるいはｎ個より少ない振動励起子とを備えるようにしてもよい。この構成でも、「最低エネルギ」解を得ることは可能である。この解は、印加される屈曲波の振幅を、ユーザにタッチされた領域において最大化し、他の検知領域において最小化するものである。しかしながら、最大の振幅については、ｎ＋１個の信号励起子によって得られる可能な限り最大の振幅よりも小さくしてもよい。および／または、最小の振幅を、０に比べて有意に大きい値としてもよい。このような解により、全ての所望のノード応答を均一に取得するか、さもなくば、他よりもいくらか良いものを取得するように努めてよい。すなわち、ＭＲおよび無音触覚の解は、同時に、圧力および速度の応答性をともに低減させるが、０にまでできるわけではない。厳密解を得るには、他のｎより多い数の別の振動励起子が必要になる。

例えばｎ＋１個より多い、より多い数の振動励起子を設けることで、さらなるノーダルポイントを導入することが可能となり、これにより、触覚応答を改善できる。また、多極放射を促進することによって、音響出力をさらに低減することも可能となるであろう。

さらなるノーダルポイントを導入することにより、非移動領域を、「ノーダルライン（ｎｏｄａｌ ｌｉｎｅ）」に沿って選択されるポイントを超えて延ばしてもよい。ラインの方向および形状は、周波数に依存し、システムにおける各モードにおいて形状を変更する。ノードの群を観察することにより、ラインに沿った動きを低減してもよい。このラインが本来的に周波数レンジの部分を超えてノーダルとなっている場合には、この方法を用いることで、任意のラインに関するものよりも、成功する可能性がより高くなる。ノーダルラインについては、自然な対称軸から外れたものにしてもよい。

一般的な「ｍ」入力（すなわち、ｍ個の振動励起子に印加される信号）、「ｎ」出力（すなわち、ｎ個の検知領域あるいはｎ−１個の検知領域、および、無音触覚に関する要望）の問題に関しては、最高のｍ入力を発見するためのアルゴリズムにおいて、主に２つの変形がある。これらについては、並列的な「ａｌｌ ａｔ ｏｎｃｅ（全部一緒）」固有値方法、および、「ｏｎｅ ａｔ ａ ｔｉｍｅ（１つずつ）」固有値方法と称してよい。２つの振動励起子および１つの無音検知領域あるいは２つの検知領域を有するような特定の場合については、「ｔａｎ ｔｈｅｔａ」アルゴリズムを用いて、励起子に印加される信号を規定してもよい。

上記の信号処理手段は、複数の検知領域において触覚フィードバックを同時に与えるように、振動励起子に信号を印加するようにしてもよい。

本発明の他の態様により提供されるタッチ検知デバイスを操作する方法は、スクリーンにおけるユーザにタッチされた領域を検知するステップと、複数の振動励起子に信号を処理および印加してパネルにおける屈曲波を制御することによって、振動の振幅を、ユーザにタッチされた検知領域において最大化し、かつ他の検知領域のそれぞれにおいて低減するあるいは最小化するステップと、を含む。

複数の検知領域に対して同時に触覚フィードバックを与える一方、検知領域間のクロストークを低減するあるいは最小化するように、振動励起子に印加される信号を処理するようにしてもよい。

スクリーンへの接触については、本出願人による国際特許出願ＷＯ０１／４８６８４、ＷＯ０３／００５２９２および／またはＷＯ０４／０５３７８１に記載されているように検出および／または追跡してもよい。これらの国際特許出願については、参照することにより本明細書に組み込まれている。あるいは、他の公知の方法を用いて、上記のような接触を受信および記録あるいは検出するようにしてもよい。

本発明は、さらに、上記した方法を実施するための処理装置制御コードを提供する。より詳細には、このコードは、ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、またはＤＶＤ−ＲＯＭのようなデータ記憶媒体、読取専用メモリ（ファームウェア）のようなプログラムメモリ、あるいは、光学信号あるいは電気信号の記憶媒体のようなデータ記憶媒体に記憶されるものである。本発明の実施形態を実施するためのコード（および／またはデータ）については、Ｃ言語のような従来のプログラム言語（インタプリタ型あるいはコンパイラ型）によって記述されるソースコード、オブジェクトコードあるいは実行コードを含んでもよい。あるいは、アセンブリコード、ＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路）あるいはＦＰＧＡ（フィールド・プログラマブル・ゲート・アレイ）を設定あるいは制御するためのコード、または、Ｖｅｒｉｌｏｇ（商標）あるいはＶＨＤＬ（超高速集積回路設計用ハードウェア記述言語）のようなハードウェア記述言語のためのコードを含んでもよい。また、当業者であれば、このようなコードおよび／またはデータを、互いに連通している複数の結合した部品間に分散してもよいことを理解できるはずである。

タッチ検知スクリーンの平面図である。 図１ａに示したスクリーンにおけるＦＥモデルであり、内部的な音響および外部的な音響を示す図である。 ２つの位置に与えられた公称１Ｎの入力に関する、ノード２２における周波数に対する相互アドミタンス（ｄＢ）を示すグラフである。 ２つの位置に与えられた公称１Ｎの入力に関する、ノード４４における周波数に対する相互アドミタンス（ｄＢ）を示すグラフである。 ２つの位置に与えられた公称１Ｎの入力に関する、軸上１０ｃｍにおける周波数に対する音圧レベル（ｄＢ）を示すグラフである。 離れた位置における２つの触覚信号を示す図である。 デバイスの構成要素を示すブロック図である。 二重領域触覚を得るための、各励起子の入力スペクトルを示すグラフである。 無音二重領域触覚を最適化するための、各励起子の入力スペクトルを示すグラフである。 図４ａおよび図４ｂに示した入力に関する速度および圧力についての、周波数に対する残余応答（音圧レベル）を示すグラフである。 図４ａに示した入力に関する、タッチスクリーン上の２つのポイントにおいて結果的に得られた速度をプロットしたグラフである。 図４ａおよび図４ｂに示した入力に関する、周波数に対する信号対ノイズ比（ＳＮＲ）をプロットしたグラフである。 タッチ検知デバイスの代替的な構成を示す図である。 ３番目の信号に関する、スクリーン上のポイントおよび軸上１０ｃｍのポイントにおける、周波数に対する音圧（ｄＢ）を示すグラフである。 無音二重領域触覚に関する各励起子の入力スペクトルを示すグラフである。 図４ｂおよび図７ｂに示した入力スペクトルに関する、周波数に対するＳＮＲを比較して示す図である。 ２ポイント最小化スキームを用いたタッチスクリーン上の２つのポイントで同時に生じる速度減少をプロットした図である。 タッチスクリーン上のノーダルラインに関する、３つのサンプリングポイントを示す図である。 図８ｂに示したスクリーンに関して、２つおよび３つの入力をそれぞれ用いて３つのノードに関して最適化した場合における、周波数に対する信号対ノイズ比をプロットした図である。 図８ｂに示したスクリーンに関して、２つおよび３つの入力をそれぞれ用いて７つのノードに関して最適化した場合における、周波数に対する信号対ノイズ比をプロットした図である。 非対称性を有するシステムにおける各チャネルに関する、周波数に対する軸上の音圧レベルを示す図である。 結合されたチャネル、および、規格化された入力レベルによって最適化されたチャネルに関する、周波数に対するＲＭＳ平均化された音圧レベルを示す図である。 図９ｂに示した信号に関する信号対ノイズ比を示す図である。 並列的な解機のブロック図である。 再帰的な解機のブロック図である。 図１０ａおよび図１０ｂの解に関する速度低減性能を比較する図である。

本発明を、例示の方法で添付図面に図示する。

図１ａに、タッチ検知デバイス１０のモデルを示す。このタッチ検知デバイス１０は、ガスケット１４上に設けられたタッチ検知スクリーン１２を備えている。このスクリーン内には、信号を生成するためのＤＭＡからなる２つの振動励起子１６，１８が設けられている。また、１つ以上のセンサ（図示せず）が、スクリーン上でのスタイラスのタッチあるいは動きを検出するために使用されている。図１ｂでは、１０ｃｍまでの外気を明白にモデル化する一方、無限遠までの外気を暗示的にモデル化している。

このシステムをモデル化するために、２つの励起子を、大ざっぱに、点光源および周波数依存力（ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｆｏｒｃｅ）によってシミュレ−トした。パネル自体およびＤＭＡ配列の双方については、１つの軸あるいは他の軸について非対称になっている。第１のステップでは、駆動ポイントＲＰ−１（第１の励起子１６によって駆動されるポイント）および駆動ポイントＲＰ−２（第２の励起子１８によって駆動されるポイント）に対して別々に力を加える。そして、システムにおける全てのポイントからの応答を演算する。

図２ａに、外表面上の特定の出力ノード（ノード２２）におけるそれぞれの入力についての、周波数に対する速度応答（相互アドミタンス）を示す。図１ａに示したノード２２の周囲のボックスは、第１の検知領域を規定するものである。ｄＢスケ−ルは、１ｍ／ｓ／Ｎに関するものである。約３５０〜４００Ｈｚより下では、それぞれの入力からの応答性が、ともに同様に速くなっている。しかしながら、より高い周波数では、これらはバラバラになっている。図２ｂに、外表面上の第２の出力ノード（ノード４４）におけるそれぞれの入力についての、周波数に対する速度応答（相互アドミタンス）を示す。図１ａに示したノード４４の周囲のボックスは、第２の検知領域を規定するものである。このノードでの応答性は、ノード２２での応答性と同様の特性を示すが、詳細にみると異なっている。図２ｃに、軸上１０ｃｍの部分におけるそれぞれの入力についての、周波数に対する音圧レベルを示す。各図面では、信号の実数部分を実線で示す一方、虚数部分を破線で示している。

触覚信号（ｈａｐｔｉｃｓ ｓｉｇｎａｌ）は、タッチ検知スクリーンのユーザに対し、触覚フィードバックを与える信号である。スクリーンにおいてユーザにタッチされる位置は、２以上であってもよい。そして、これらの位置が同時に触られた場合であっても、それぞれの位置が、その位置に対する触覚信号だけを受信するようになっていることが望ましい。これについては、ポイントＡおよびポイントＢが同時に接触されたときに、図３ａに示すように、第１の励起子１６および第２の励起子１８に適用されている信号の伝達関数を、ポイントＡにおけるノードおよびポイントＢにおける必要な触覚信号を生成し、さらに、ポイントＢにおけるノードおよびポイントＡにおける必要な触覚信号を生成するように設定することによって、実現することが可能である。すなわち、各タッチポイントについて、他のタッチポイントにおけるノードを生成する必要がある伝達関数を取得する。そして、これらが、適切な触覚信号を供給するために使用される。ノーダルポイント（ノード）は、いずれの励起周波数においても速度をもたないポイントである。

図３ｂは、システムにおける主要な処理部材を示すブロック図である。タッチスクリーン１２に対する接触は、１つ以上のセンサ１７によって検出される。そして、センサ１７からの出力が、プロセッサ２０に供給される。プロセッサは、後でより詳細に説明するように、励起子１６，１８に与える信号を決定する。これらの信号は、信号生成器２２を用いて、励起子に与えられる。信号生成器およびプロセッサについては、別個の実体として示しているけれども、プロセッサの機能に、信号生成機能を組み込むようにしてもよいことは理解されるであろう。上記の励起子１６，１８は、タッチスクリーンに対して、屈曲波振動を与える。

図３ａに示すように、線形重ね合わせによって、各タッチポイントは、所望の触覚信号だけを受信するようになっている。パネルにおける他のどの部分であっても、信号の結合が生ずるが、この点については重要ではない。この構成については、同時二重領域触覚と称してもよい。なぜなら、空間的に離れた位置において、同時に２つの触覚フィードバックを得ることになるからである。また、これを多重信号および多重領域に拡張し、同時多重領域触覚を実現することも可能である。

代替的な構成として、あるいはこの構成に加えて、同時二重領域触覚を実現するために、各位置に出力される触覚信号を確実に無音にすることも望ましいかもしれない。ここでは、「無音」の要件は、軸上のノード圧力を生成することと均等とみなされ得る。無音二重領域触覚フィードバックを達成するためには、例えばノード２２でのノーダルポイントを形成することと、軸上の圧力を０にすることとの双方が必要となろう。図２ｂおよび図２ｃに示すように、この問題は、ふるまいおよび振幅の点で２つの出力が非常に異なっているために複雑になっており、このために、応答性をいくらかスケーリングする必要が生じるであろう。

ＪＷＳ Ｒａｙｌｅｉｇｈ、"Ｔｈｅ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ"、第２巻には、速度および圧力に関するスケーリング係数についてのＲａｙｌｅｉｇｈによる教示が記載されている。要するに、彼の第１の積分定理によれば、領域Ａのバッフル源（ｂａｆｆｌｅｄ ｓｏｕｒｃｅ）から距離ｒの位置における圧力については、平均加速度＜ａ＞で移動している場合、以下の式によって得ることが可能である。

ρ_０＝１．２ｋｇｍ^−３は空気の密度である。
ピストンについては、動きは画一化されており、＜ａ＞＝ａである。単純に支持された板（ｓｉｍｐｌｙ−ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｐｌａｔｅ）については、平均値は、＜ａ＞＝（２／ｐｉ）^２ａのように、ピーク値に依存する。したがって、速度に関する適切なデフォルトのスケーリング値については、以下の式によって得られる。

したがって、必要なスケーリングは、周波数、パネル領域および測定距離の関数となる。このスケーリングを用いて、総合誤差量を、以下の式で求める。
Ｍ＝ｓ（ｆ）・Ｍ１＋Ｍ２
ここで、Ｍ１およびＭ２は、速度および圧力のそれぞれに関する、個々のエラー量である。

ｓ（ｆ）を変更することで、速度あるいは音響の最小化問題のいずれか一方に適用する、相対的な重みを変更することが可能となる。ｓ＝０の場合、無音触覚行動が最適化される。また、ｓを無限大とする場合、多重領域行動が最適化される。

一般に、ｎ個のノード応答（ｎｏｄａｌ ｒｅｓｐｏｎｓｅ）を望む場合、ｎ＋１個の入力チャネルが必要となる（「無音」に対する要件を、軸上のノード圧力を生成することと等価であるとみなすことは有用である）。換言すれば、無音フィードバックおよび二重領域触覚フィードバックの双方を得るためには、２つのノード応答（１つはパネル上での応答、もう一つは軸上１０ｃｍでの応答）とともに、３つの入力チャネルが必要となる。しかしながら、図１ａのモデルでは、入力チャネルは２つしかない。したがって、厳密にこれら２つの入力チャネルしか用いない場合には、別の入力チャネルが必要になるから、無音同時二重領域触覚フィードバックを得られないかもしれない。しかしながら、この場合、入力チャネルがｎ＋１よりも少なくても、「最低のエネルギ」解を得ることは可能である。この解により、全ての所望のノード応答を均一に取得するか、さもなくば他よりもいくらか良いものを取得するように努めてもよい。この方法は、所望の効果を得るために、各入力に関する伝達関数を演算することを含む。

図４ａに、二重触覚問題を解決するために、ノード２２を静止したままにする（すなわち、ノーダルポイントを生成する）ための各励起子１６，１８に適用される入力信号スペクトルを示す。サブモーダル領域では、これらのスペクトルを生成する関数については、定数によって、あるいは、ゆっくりと変化するスペクトルによって近似してもよい。このスペクトルは、より広域の帯域にわたり、アクティブフィルタ部分を使用するに十分なものであり得る。このアクティブフィルタ部分とは、例えば、チャネル１定数に関するマイルドな（５００Ｈｚで３ｄＢ）のピーキングＥＱ、および、４００Ｈｚ〜７００Ｈｚの間において、ゲインを＋０．７から−０．７までの間で変更する、チャネル２に関する相変化器が挙げられる。図４ｂに、無音二重触覚問題の解を最適化するための、各励起子１６，１８に適用される入力信号スペクトルを示す。これらの結果は、以下に示すような「ｔａｎ ｔｈｅｔａ（タンジェント・シータ）」方法、あるいは、以下に示すような「スケーリングされた固有ベクトル（ｓｃａｌｅｄ ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒ）」方法によって実現できるものである。

図５ａに示すように、無音触覚問題を解決することにより、軸上の圧力が０となる一方、ノード２２における残留速度が残存することになる。逆にいえば、多重領域（ＭＲ）触覚問題を解決すれば、ノード２２での速度が０となるが、軸上の残留速度が残ることになる。図４ｂに示した最適解の組み合わせによれば、無音触覚最適化に比して、速度が一般的に減少する。同様に、図４ｂに示した最適解の組み合わせによれば、二重領域触覚最適化あるいは多重領域触覚最適化に比して、圧力が一般的に減少する。速度に関しては、低い周波数において集中した改善が見られる一方、圧力に関しては、高い周波数において集中した改善が見られる。これらの改善におけるバランスは、スケーリング係数ｓ（ｆ）を変更することによって変更することが可能である。

二重領域（ＭＲ）効果の有効性については、ノード４４（信号）とノード２２（ノイズ）との間における信号対ノイズ比（ＳＮＲ）として測定することが可能である。ＭＲ最適化については、これは無限である。図５ｂに、静穏触覚最適化（ｑｕｉｅｔ ｈａｐｔｉｃｓ ｏｐｔｉｍｉｓａｔｉｏｎ）および最適化の組み合わせに関する結果を示している。最適化を組み合わせることにより、４５０Ｈｚを下回る周波数についてＳＮＲを改善することができる。

ＭＲ最適化を含むいずれの最適化についても、その正確さは、ＦＥプログラムおよびそれ自身の処理に供給されるデ−タの数値的精度によって設定される。図５ｃに示すように、小数点以下６桁までの係数精度で、ノード２２とノード４４との間に１２０ｄＢの分離が得られた。このため、提案された信号により、ノード４４での出力が最大となる一方、ノード２２での出力が最小となる。

図３に示すような線形重ね合わせを使用することにより、ノード２２での静穏ゾーンを有する状態から、異なる信号すなわちノード２２およびノード４４における異なるフィードバック信号を有する２つのゾーンを有する状態とすることは、瑣末なステップになる。信号ノーダルポイントを生成することができる場合、同時二重領域触覚を実行することも可能である。すなわち、我々は、空間的に分離した位置における２つの同時触覚フィードバックを処理することが可能である。第１のタッチについては、特別な措置を必要としない（我々は、我々の２つのチャネルを使用して、音響出力をできるだけ低く維持する）。第２のタッチのあったときには、以下を実行する必要がある。各タッチポイントに関して、他のタッチポイントにおけるノードを生成するために必要な伝達関数を取得し、これらを適切な触覚信号を得るために使用する。線型重ね合わせにより、各タッチポイントが、所望の触覚信号だけを受信する。パネル上のどの領域においても、信号の結合が生じるけれども、この点については重要ではない。

上記したように、ＭＲおよび無音触覚の解は、同時に、圧力および速度の応答性を低減させるが、０にまでできるわけではない。厳密解を得るには、他の入力チャネルが必要になる。図６に、３つの入力を有する、図１ａに示したシステムの変形例を示す。入力の数が出力の数を上回るから、無音二重領域触覚最適化に対する厳密解が存在する。この場合、軸上の圧力は０となり、ノード２２の速度も０となる。信号ＲＰ−３を出力する第３の励起子２０が、第２の励起子１８について横方向に対称的な位置に付け加えられている。

図７ａに、ノード２２および軸上１０ｃｍにおける信号ＲＰ−３に関する、周波数に対するスケーリングされた音圧レベルを示す。無音・多重領域触覚問題を解決するために必要な３つの入力スペクトルにおける実数部分（実線）および虚数部分（破線）を図７ｂに示す。

この解によって得られるＭＲ触覚のＳＮＲは、ノード２２での速度が完全に同じように０になるように、理論的に無限大になる。軸上の圧力は０になるけれども音響放射は残るために、無音触覚部分の有効性について推定することはより難しい。おそらく、最良の測定法は、この解から放射された電力と、最大音響解（音響のみに関するエラーマトリクスから最も高い固有値を選択することによって求められる）による電力とを比較することである。この比較によって推定された結果を、図７ｃに示す。この図には、上記した２つの入力の最適化の組み合わせに関する、音響ＳＮＲについても示している。

より多くの入力を設けることで、さらなるノーダルポイントを導入することが可能となり、これにより、触覚応答を改善できる。また、多極放射を促進することによって、音響出力をさらに低減することも可能となろう。

さらなるノーダルポイントを導入することにより、非移動領域を、「ノーダルライン」に沿って選択されるポイントを超えて延ばしてもよい。ラインの方向および形状は周波数に依存し、システムにおける各モードにおいて形状を変更する。静止状態に維持されている領域を正規化するためには、２以上のサンプルポイントを使用する必要がある。この場合、相殺（ｃａｎｃｅｌｌａｔｉｏｎ）は完結ではない。例えば、ターゲットとしてノード２２とノード４４との双方を用いれば、応答の和の最大値と最小値との間の差を少なくとも１０ｄＢに分離するために、我々は、以下に示すような方法（例えばｔａｎ ｔｈｅｔａ）を用いることが可能である。これについては、図８ａに示している。

単一のノーダルポイントを生成するために使用されるのと同様の分析を使用して、ノードの群を観察することにより、ラインに沿った動きを低減してもよい。このラインが本来的に周波数レンジの部分にわたりノーダルである場合には、この方法を用いることで、任意のラインに関するものよりも、成功する可能性がより高くなる。２つのチャネルだけを用いる場合、延長された領域に対する制御はより難しくなる。このために、おそらく４つ以上のチャネルが必要となると考えられる。

図８ｂに、上記したようなタッチスクリーン上のノーダルラインに関する、サンプリングポイントの３つの例を示す。３つのポイント間において差異を見いだすことが可能である。低周波数では、このラインは、図４ａに示したスペクトルによって駆動される図１ａのタッチスクリーンにおける２００Ｈｚでのノーダルラインに続くものになる。以下に示す方法によれば、２つの励起子１６，１８に対する２つの入力セットが生成される。これらは、３つのノードに関する最低速度、あるいは、３つのノードに関する最高速度のいずれかを生じさせるものである。これら２つの比率については、「信号対ノイズ比」であるとみなしてよい。この比は、より大きな値となる場合に、成功の程度も大きくなるような比率である。図８ｃに、周波数に対するこの比（ＳＮＲ）をプロットした。この結果については、単一のノードに関するものに比して際立ったものではない。しかしながら、合理的な結果ではある。ノーダルラインは、自然な対称軸から外れたものとされている。

上記したように、入力を追加することで、触覚応答を改善することが可能となる。この目的のために、入力を追加して、図８ｂに示したノードのセットにおける速度の最小化を補助することとした（この実施例（ｅｘｅｒｃｉｓｅ）では、音響応答については考慮していない）。図８ｃに、これら３つの入力に関するＳＮＲをプロットしている。追加の入力を用いることで、ＳＮＲを明確に改善できることがわかる。ＳＮＲの典型的な改善値は、周波数レンジの全体にわたって１０ｄＢである。

ノードのセットを変えて、上記のプロセスを繰り返した。今回は、パネルを直接に横切って上記したノード２２を通過する、７つのノードからセットを構成した。図８ｄに示すように、３つの入力を用いたことで、２つの入力を用いた場合に比して、よりよい結果が得られる。

どのような多重領域システムについても、多数の入力および多数の測定ポイントがある。最も単純な場合には、入力が２つで、ターゲット位置は１つである。しかしながら、上記したように、入力をより多くしてターゲット領域を広げる場合、問題はもっとずっと複雑となる。単純な問題とより複雑な問題との双方を解決するためのさまざまな解機について、以下に示すこととする。

〔単純最小化問題および「ｔａｎ ｔｈｅｔａ」アプロ−チによる解〕
２つの入力と１つの出力とを有するシステムについて検討する。入力１（例えば、図１ａに示した第１の励起子１６）から出力への伝達関数をＰ１によって示すとともに、入力２（例えば、図１ａに示した第２の励起子１８）から出力への伝達関数をＰ２によって示す。この場合、入力信号ａおよびｂに関する出力信号スペクトルＴについては、
Ｔ＝ａ・Ｐ１−ｂ・Ｐ２
によって得ることが可能である。
ここで、ａ、ｂ、Ｐ１、Ｐ２およびＴの全ては、周波数の複素関数である。

解決すべき上記の問題は、全ての周波数に関してＴを最小化することにある。この問題に対する一意解はないものの、観察の結果、ａおよびｂが関連していることは明白である。具体的には、
ｂ＝ａ・Ｐ１／Ｐ２、あるいは、ａ＝ｂ・Ｐ２／Ｐ１
のようになる。

Ｐ１あるいはＰ２のいずれか一方が０を含んでいる可能性があるので、上記の比率を用いることは、一般的には、いい考えであるとはいえない。１つの単純な解としては、ａ＝Ｐ２およびｂ＝Ｐ１とすることが挙げられる。解を単位エネルギに標準化することも通例である。すなわち、｜ａ｜^２＋｜ｂ｜^２＝１である。Ｐ１およびＰ２は一般的には複素量なので、絶対値が重要である。したがって、Ｔを以下のような設定によって最小化する。

音響の場合には一般的であるごとく、Ｐ１あるいはＰ２を入力とは別に測定する場合、伝達関数は、遅延となる余分な位相を含むことになる。したがって、これらのａおよびｂの値は最良の選択ではないこともあり得る。ａ＝ｃｏｓ（θ）およびｂ＝ｓｉｎ（θ）に設定した場合、ｔａｎ（θ）＝Ｐ１／Ｐ２となる。この解は、「ｔａｎ ｔｈｅｔａ」解として説明できるものであり、余分な位相をほとんど含まないａおよびｂを生成することの可能なものである。三角恒等式により、ａ^２＋ｂ^２＝１であることは明らかである。一方、θが一般的には複素数であるから、｜ａ｜^２＋｜ｂ｜^２≠１となり、依然として標準化が必要になる。

このような単純な例では、検査によって最小化問題を解くこともできた。これは一般的には不可能であり得るから、解を発見するための体系的な方法を保持することは有用であろう。

〔変分法（Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ）〕
エネルギ関数の最小化は、数学を用いた物理的モデリングにおける多くの分枝のなかで主要なプロセスとなるものであり、例えば、有限要素解析（ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ）の基礎を形成するものである。目前の課題は、関数（すなわちノーダルポイント、ラインあるいは圧力を見いだすための関数）に対する停留値（ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｖａｌｕｅ）を導く、パラメータ値を決定することにある。プロセスの第１段階は、エネルギ関数を形成することにある。我々の例では、係数Ｔの２乗の絶対値、すなわち、Ｅ＝｜Ｔ｜^２＝｜ａ・Ｐ１−ｂ・Ｐ２｜^２を使用してもよい。停留値は、Ｅが最大値および最小値をとるときに生じる。

ａおよびｂの値については制限がある。すなわち、両方ともが０ではあり得ない。この制限は、いわゆる「ラグランジュの未定係数法」を使用することによって表現することが可能であり、これにより、エネルギ方程式を修正することが可能となる。すなわち、以下のような式を得られる。

これらのタイプの問題において、独立変数としての各変数の複素共役を考慮することは一般的なことである。ここで、我々は、この慣習に従うとともに、各共役変数についてのＥを、順々に、以下のように微分する。

停留点において、これら双方は０になるはずである。前記のセクションにおいて示した解をここでも適用していることについて、すぐに理解することが可能である。しかしながら、連立方程式（ｓｙｓｔｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎ）を本式に解くことを続ける場合には、まず、方程式を結合して、以下の式によってλを削除する。

これにより、ａおよびｂ、Ｅの最大値および最小値に対応する２つの解についての２次方程式が得られる。ａ＝ｃｏｓ（θ）およびｂ＝ｓｉｎ（θ）とすると（厳密にいえば、これではラグランジェの制限を満足することはできないけれども）、ｔａｎ（θ）に関する２次方程式が得られる。

なお、多くの場合には、以下のようになることに注意されたい。

また、われわれは、以下に示すように、前回と同様の回答に到達している。

完全を期すために、この単位元は、Ｐ１およびＰ２が応答の和あるいは積分となるような一般的な場合に当てはまらないかもしれない、ということに注意されたい。しかしながら、このような「ｔａｎ ｔｈｅｔａ」アプローチの変形を用いて、両方の停留値を体系的に見つけることが可能である。１つの応用について、上記した例においてこれらの解をどのように使用し得るかを示すために、以下に詳細に説明する。

〔応用１：無音触覚〕
全てが完全に対称的であるような場合には、無音触覚問題は瑣末である。すなわち、ａおよびｂが等しい値に設定される。システムにおいて非対称性がある場合、この前提は妥当ではなくなる。解決すべき問題は、入力値ａおよびｂにおける２つのセットを見つけることにある。これらのセットは、音声に関して最大出力を与える一方、無音触覚に関して最小出力を与えるものである。これは、「変分法」セクションにおいて解決した問題とまったく同一である。

Ｐ１およびＰ２は、図９ａにｄＢ ＳＰＬとして示しているが、１０ｃｍでの音響応答であり、この場合には、有限要素シミュレ−ション（ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ）によって得られるものである。これらについては、測定によって同等に得られている。公称１Ｎの力といくらかの周波数依存性を加えたＤＭＡのシミュレ−ションから、圧力レベルが得られる。（典型的なＤＭＡでは、公称の力、例えば１５〜３０ｍＮ／Ｖが使用される。したがって、図に示したＳＰＬレベルは、現実のＤＭＡを用いて得られるものよりも高くなっている。）

最適なフィルタペア（θに関する２つの解に従った最大および最小のペア）を用いることで得られた結果を、図９ｂに、単純な和および差のペアと比較して示す。なお、最小のペアにおける軸上の応答は圧力０（無限のｄＢ）であることに注意されたい。バンドの大半において、加算された応答は、減算された応答よりも高くなっているが、いつもこうなるわけではない。軸上の応答が全てを物語っているわけではないけれども、前半球（ｆｒｏｎｔ ｈｅｍｉｓｐｈｅｒｅ）にかかる平均の結果も、同様の特徴を示す。

最適化の手順の結果として、望まれた信号（最大値）および望まれない信号（最小値）を得られる。これら２つの比については、「信号対ノイズ比」すなわち「ＳＮＲ」として示してよい。これは、通常、ｄＢによって表現され、小さい値よりも大きい値の方がよいとされる。図９ｃに、最適化信号ペアが、全ての周波数においてＳＮＲをどのように最大化するのか、を明確に示している。これによれば、全スペクトル領域において、１０〜２０ｄＢの改善が見られる。標準和および標準差のペアを用いると、約３３０Ｈｚより下では、ＳＮＲは、実際にはマイナスになることに注意されたい。したがって、上記した技術を、非対称性を有するシステムにおける無音触覚問題に適用することにより、対称的なシステムに対しての適性を有する単純和および単純差の解に比して、多くのｄＢにおける信号対ノイズ比が改善される。

上記した解を、多数の離散的なサンプリングポイントにおけるターゲットを測定することによって、図８ｂに関して説明したような拡張領域に適用してもよい。この場合、入力を操作することによって、出力を同時に最小化することが望ましい。このため、入力信号より多くの出力信号が得られ、よってその結果は厳密ではない。これは、変分法における１つの長所であり、これにより、最もよい近似を見いだすことが可能となる。

これらを生成前のように解くと、以下のようになる。

この方法については、積分に対しても同様に拡張できるし、また、３以上の入力に対しても同様に拡張できる。
例えば、エラー関数および和については、積分に代えてもよい。

〔応用２；二重領域触覚〕
選択された応答における最小の応答、および、他の選択された位置における０でない応答を同時に特定することも可能である。これは、二重領域システムにおいて非常に有用となる可能性がある。

〔「強い（ｓｔｒｏｎｇ）」解〕
われわれは、例えば２つの入力を有している。これは、他のポイントにおいて１つのノーダルポイントおよび触覚フィードバックを得るためである。入力ｉから出力ｊへの伝達関数をＰｉ＿ｊとする。

ａ・Ｐ１＿１＋ｂ・Ｐ２＿１＝０、および．ａ・Ｐ２＿１＋ｂ・Ｐ２＿２＝ｇを同時に解く場合には、以下のようになる。

分母が０にならないようにするには、この伝達関数のペアによって、ポイント１でのノード応答、および、ポイント２でのｇに厳密に等しい複素伝達関数を生成することになる。

〔「弱い（ｗｅａｋ）解〕
これは、｜ａ・Ｐ１＿１＋ｂ・Ｐ２＿１｜^２＝０、および、｜ａ・Ｐ２＿１＋ｂ・Ｐ２＿２｜^２＝｜ｇ｜^２を同時に解くものである。

以下に説明するような変分法を用いて、ａおよびｂに関する第１の最小化を解く。また、結果を標準化することによって、第２の方程式を満足する。

分母が決して０にならないとすると、この伝達関数のペアによって、ポイント１でのノード応答、および、ポイント２での｜ｇ｜^２に等しい電力伝達関数を生成することになる。これにより、ポイント２の出力は、ｇと同じ位相の応答を有する必要がなくなる。このため、強制も同様なほどは強くない。

上記した方法について、２つより多くの入力チャネルを考慮する場合に、特に関連する他の拡張もある。これらの拡張は一般性を有しており、２チャネルのケースにもまったく同様に適用される。さらに、ツールとして固有値分析を用いることで、厳密解が得られない場合にも、「最高の」解を得られる。

〔変分法と固有値問題との間の関係〕
Ｅの形態のエネルギ関数を最小化する際に、以下に示すような連立方程式のセットにたどり着く。

ここで、Ｐｉはシステムへの入力であり、ａｉはこれらの入力に適用される定数である。すなわち、上記した２チャネルのシステムにおけるａおよびｂである。
この連立方程式を、以下に示すように、行列の形式でも表現できよう。

我々は、平凡でない解を見つけることを望んでいる。すなわち、平凡な解であるｖ＝０ではない解を得ることを望んでいるのである。平凡な解は、数学的には有効であるものの、役に立つものではない。

ｖの線形スケーリングならどれでもこの方程式の解であるが、ａｉを一意的に決めることはできない。我々は、スケーリングを制約するためのさらなる方程式を必要としている。物事を見る他の方法は、すなわち、厳密解に関して、入力変数の数を測定ポイントの数よりも多くしなければならないことに関するものである。いずれにせよ、自由変数を上回るもう１つの方程式があるため、Ｍの行列式は０になる。

行列の固有値問題を考慮するときには、我々は、以下の方程式に対する平凡でない解を見つけたいと考える。

Ｍが共役対称なので、全ての固有値は実数かつ負でない値になる。λ＝０が固有値問題の解なら、我々がオリジナルの方程式を有していることが明らかになったというべきである。そこで、ｖを、λ＝０に関する固有ベクトルとする。

この方法に関して特に力強い点は、（１）について解のない場合でも、λを最小値とする場合の（２）の解が最も近い近似解となることにある。

例えば、上記した問題を用いると、以下のようになる。なお、これは、λ＝０という解をもち、ｂ／ａ＝Ｐ１／Ｐ２である。

他の固有値は、最大値に対応するものである。すなわち、以下のような場合である。

ａｉの値を求めるために固有値解機を用いる場合、使用されるスケーリングは、本質的に任意である。固有ベクトルを標準化することは通常の慣行であり、そうすることは、振幅を以下のように設定することになる。

しかしながら、位相基準は、依然として任意のものである。ｖが固有値問題に対する標準化された解であれば、それはｖ．ｅｊθとなる。θに関する「最高の」値を構成するもの、および、それをどのように見いだすかについては、後述するセクションの課題である。

固有値λの値は、固有ベクトルの選択に関連づけられたエネルギそのものである。その証明については以下の通りである。

我々の固有値方程式および固有ベクトルの標準化から、我々は、続けて以下のように述べることができる。

〔固有値問題の解決〕
原則的には、ｎ次のシステムは、ｎ次の多項方程式を説くことによって求められるｎの固有値を有している。しかしながら、我々は全ての固有値を必要とせず、最小のものだけがあればよい。

仮に、問題の厳密解が存在する場合、行列式は、要素としてλを有することになる。例えば、以下の通りである。

ａ．ｃ−｜ｂ｜^２＝０であれば、厳密解が存在する。
未知数の数よりも方程式の数が多くなると、ｖに対する可能な解の組み合わせが１つよりも多くなるが、それらはみな等価なものである。

例えば、
ａ＝２、ｂ＝１＋１ｊ、ｃ＝３；６−２ｊ−５・λ＋λ^２＝０；λ＝１，４ （λ−２）／（１＋１ｊ）＝（−１＋１ｊ）／２、あるいは１−１ｊ （１−１ｊ）／（λ−３）＝（−１＋１ｊ）／２、あるいは１−１ｊ
したがって、方程式のペアに対する最高の解については、ｖ１／ｖ０＝（−１＋１ｊ）／２によって得られる。

〔解のための「最高の」スケーリングの選択〕
数学的にいえば、問題に対するいずれの解も、他のいずれのものと同等によいものである。しかしながら、我々は、工学技術的な問題を解こうとしているのである。行列Ｍおよびその固有ベクトルｖの双方は、周波数の関数である。我々は、ｖの要素を伝達関数として使用したいのであり、符合あるいは位相が突然に変わってしまうことは好ましくない。

２変数問題に関しては、我々は、ａ＝ｃｏｓ（θ）、および、ｂ＝ｓｉｎ（θ）なる代入、および解を得たｔａｎ（θ）を用いた。この方法は、余分な位相の低いａおよびｂの値を生成できるようにみえる。しかしながら、この方法をすぐに使うと扱いにくくなり、方程式はますます複雑化してしまい、解を得るどころではなくなってしまう。例えば、３変数に関しては、我々は、２つの角度をもち、ａ＝ｃｏｓ（θ）・ｃｏｓ（φ）、ｂ＝ｃｏｓ（θ）・ｓｉｎ（φ）、ｃ＝ｓｉｎ（θ）を与えるために、球面極マッピング（ｓｐｈｅｒｉｃａｌ ｐｏｌａｒ ｍａｐｐｉｎｇ）を使用することが可能である。

また、これに代えて、θに関する「最高の」値を決定するために、変分法を使用してみよう。我々は、「最高」を、虚数部分の全体を最小とするものという意味で使用している。

ここで、仮に、ｖ'＝ｖ・ｅｊθ、ｖ＝ｖｒ＋ｊ・ｖｉとすると、我々のエラーエネルギは、以下のように表現される。

とすると、
ＳＳＥ＝ｃｏｓ（θ）^２・ｉｉ＋２・ｃｏｓ（θ）・ｓｉｎ（θ）・ｒｉ＋ｓｉｎ（θ）^２・ｒｒ
（θ＝０のとき、ＳＳＥ＝ｉｉとなる。これは、我々の初期コストである。我々は、可能ならばこれを減らしたいと考えている）
さて、我々の方程式を得るために、θに関して微分すると、
２・（ｃｏｓ（θ）^２−ｓｉｎ（θ）^２）・ｒｉ＋２・ｃｏｓ（θ）・ｓｉｎ（θ）・（ｒｒ−ｉｉ）＝０
となる。２ｃｏｓ（θ）^２で割ると、我々は、以下のような、ｔａｎ（θ）の２次式を得る。
ｒｉ＋ｔａｎ（θ）・（ｒｒ−ｉｉ）−ｔａｎ（θ）^２・ｒｉ＝０

２つの解のうちの１つは、ＳＳＥの最小値を与えるものである。

ｒｉ＝０であれば、我々は２つの特別なケースを得られる。
ｒｉ＝０、かつ、ｒｒ＞＝ｉｉならば、θ＝０
ｒｉ＝０、かつ、ｒｒ＜ｉｉならば、θ＝π／２。

ｖに関する最高の値を選択することについての最後のステップは、第１要素の実数部分が正であることを確認することにある（この目的のためには、どの要素でも使用することが可能である）。すなわち、
ステップ１ ｖ'＝ｖ．ｅｊθ
ステップ２ ｖ'_０＜０ならば、ｖ'＝−ｖ'。

なお、ｉｉを最小化することは、同時に、ｒｒを最大化し、さらに、ｒｉを０に設定することになる、ということに注意されたい。

〔技術の比較...有効な実施例〕
２つの出力を有する２入力デバイス（すなわち、上記したようなデバイス）について検討する。各出力を個々に最小化する厳密解はあるであろうが、両方を同時に最小化することに関しては、近似解しかない。
出力１の伝達アドミタンス：Ｐ１＿１＝０．４７２＋０．００３４４ｊ、Ｐ２＿１＝０．４７９−０．１２９ｊ
出力２の伝達アドミタンス：Ｐ１＿２＝０．２０６−０．１９５ｊ、Ｐ２＿２＝０．２６２＋０．０００２７４ｊ
２つのエラー寄与行列（ｅｒｒｏｒ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｍａｔｒｉｃｓ）の形成については、以下の式が用いられる。

ここで、我々は、「ｔａｎ ｔｈｅｔａ」方法を使用して、これら３つのケースを解くこととする。

さて、次は、固有ベクトル方法を検討する。私は、２つの固有ベクトル解機を有している。一方は、全てのベクトルについて同時に解くものである。他方は、特定の固有値について解くものである。ベクトルが複雑である場合には、これらは、数値的に異なる回答を与えるものである（両方の回答とも正しい）。しかしながら、「最高の」スケーリングアルゴリズムに適用した後では、両方の解機は、上記したように、同じ結果をもたらす。

Ｍ１：固有値０および０．４６９：
スケーリング前の固有ベクトル：（−０．６９８＋０．１９５ｊ，０．６８９−０．００１３ｊ）、あるいは、（０．７２４，−０．６６４−０．１８４ｊ）
スケーリング後の固有ベクトル：（０．７１８−０．０９３ｊ，−０．６８２−０．０９８ｊ）。

Ｍ２：固有値０および０．１４９：
スケーリング前の固有ベクトル：（−０．５＋０．４６ｊ，０．７３４−０．００３０ｊ）、あるいは、（０．４９８−０．４６２ｊ，０．７２４）
スケーリング後の固有ベクトル：（０．６２３−０．２７０ｊ，０．６９２＋０．２４４ｊ）。

Ｍ１＋Ｍ２：固有値０．１３７および０．４８０：
スケーリング前の固有ベクトル：（−０．７１７＋０．０５１ｊ，０．６９５−０．０００７ｊ）、あるいは、（０．７１９，−０．６９３−０．０４９ｊ）
スケーリング後の固有ベクトル：（０．７１９−０．０２４ｊ，−０．６９４−０．０２５ｊ）。

〔３つめの入力の追加〕
次に、３つめの入力チャネルの寄与について検討する。
出力１の伝達アドミタンス：Ｐ３＿１＝−０．０６７−０．１８０ｊ
出力２の伝達アドミタンス：Ｐ３＿２＝０．２６４＋０．００１４ｊ
これらの寄与をエラー行列に加えると、以下のようになる。

これにより、ジョイント問題に対する厳密解を得られる。また、Ｍ１＋Ｍ２は０の固有値を有している（なお、Ｍ１とＭ２とは、それぞれ２つの０の固有値を有している。すなわち、これらは縮退した固有値である。この問題に対する完全に直交した２つの解があり、これらの２つの解に関するどのように線型和でも解となる）。

Ｍ１＋Ｍ２：固有値は、０、０．２１８、および、０．５０６：
スケーリング後の固有ベクトル：（０．４３４−０．０１１ｊ，−０．４１８＋０．１９９ｊ，０．７６４＋０．１１５ｊ）。

上記したように、２入力に関しては、「ｔａｎ ｔｈｅｔａ」方法は、手早くかつ単純に実行できるものであった。しかしながら、３つあるいは４つの入力では、「スケーリングされた固有ベクトル」方法のほうが簡単である。これら両方の方法は、同じ結果を出すものである。厳密解を得るためには、入力変数の数を、測定ポイントの数よりも多くする必要がある。一般的な問題解決のための道具として固有値分析を用いることによって、我々は、厳密解が得られないときに、「最高の」解を得ることが可能となる。

一般的な「ｍ」の入力、「ｎ」の出力についての最小化問題に関しては、最高のｍの入力を発見するためのアルゴリズムにおいて、２つの変分原理がある。これらについては、並列的な「ａｌｌ ａｔ ｏｎｃｅ（全部一緒）」方法、および、「ｏｎｅ ａｔ ａ ｔｉｍｅ（一つずつ）」方法と称してよい。一般に、これらを自由に組み合わせてもよい。ｍ＞ｎである場合、全てのルートは同じ結末、すなわち厳密解になる（丸め誤差の範囲で）。また、ｍ＜＝ｎであれば、近似解だけを得られることになり、ルート選択によって最終的な結果が変わってくる。ｍ＜＝ｎの場合には、連続的な方法が有効であるまた、ｎの出力のなかには、他の出力よりも重要なものもある。重要な出力については厳密に解き、残りの出力については最適な解を得る。

〔並列的な「ａｌｌ ａｔ ｏｎｃｅ（全部一緒）」アルゴリズム〕
図１０ａに、並列的解機におけるブロック図を示す。１つのエラー行列を形成し、最も低い固有値に対応する固有ベクトルを選択する。ｍ＞ｎである場合、この固有値は０になり、結果は厳密なものになる。

〔再帰的な、あるいは順次的な「ｏｎｅ ａｔ ａ ｔｉｍｅ（一つずつ）」アルゴリズム〕
図１０ｂは、再帰的な解機のブロック図である。最も重要な出力に関するエラー行列を形成し、（ｍ−１）番目に低い固有値に対応する固有ベクトルを形成する。そして、これらを新しい入力ベクトルとして使用し、このプロセスを繰り返す。プロセスは、２×２の固有値解をもって終了する。その後、引き返して、オリジナルの問題に対する解を再び集める。

再帰的な全てのアルゴリズムに関してのように、このプロセスを、反復（あるいは順次）的なプロセスに変更することも可能である。最初のｍ−２サイクルに関しては、全ての出力は厳密解を有する。残りのサイクルでは、これらの解における最高の線型結合を見つけ、これにより、残存エラーを最小化する。

〔実施例１〕ｍ＝３、ｎ＝２
出力１の伝達アドミタンス：Ｐ１＿１＝０．４７２＋０．００３４４ｊ
出力２の伝達アドミタンス：Ｐ１＿２＝−０．２０６−０．１９５ｊ

出力１の伝達アドミタンス：Ｐ２＿１＝０．４７９−０．１２９ｊ
出力２の伝達アドミタンス：Ｐ２＿２＝０．２６２＋０．０００２７４ｊ

出力１の伝達アドミタンス：Ｐ３＿１＝−０．０６７−０．１８０ｊ
出力２の伝達アドミタンス：Ｐ３＿２＝０．２６４＋０．００１４ｊ

〔Ａｌｌ ａｔ ｏｎｃｅ〕
Ｍ１＋Ｍ２：固有値は、０、０．２１８、および、０．５０６
スケーリング後の固有ベクトル：（０．４３４−０．０１１ｊ，−０．４１８＋０．１９９ｊ，０．７６４＋０．１１５ｊ）。

〔Ｏｎｅ ａｔ ａ ｔｉｍｅ〕
出力１を解き、その後、出力２を解く。３＞２であるから、我々は、同じ回答を得ることになる。

Ｍ１：固有値は、０、０、および０．５０６
固有ベクトルＶ１：（０．７４８，−０．５９６−０．１６５ｊ，０．０８５−０．２２４ｊ）
固有ベクトルＶ２：（−０．０６２＋０．０２６ｊ，０．０９６＋０．３５０ｊ，０．９２９）。

新しい問題。ａ・Ｖ１＋ｂ・Ｖ２が出力２を最小化するように、ａおよびｂを選択する。新しい伝達アドミタンスは、以下のようになる。
ｐｖ１＝（Ｐ１＿２ Ｐ２＿２ Ｐ３＿２）・Ｖ１＝−０．２８７−０．２５０ｊ
ｐｖ２＝（Ｐ１＿２ Ｐ２＿２ Ｐ３＿２）・Ｖ１＝０．２８７＋０．１００ｊ
我々は、次に、これら２つの伝達アドミタンスを出力として利用しながらプロセスを繰り返す。
新しいエラー行列は以下のようになる。

Ｍ１'の固有値は、０および０．２３７
スケーリング後の固有ベクトル：（０．６０８−０．１４５ｊ，０．７７２＋０．１１４ｊ）
新たにＶ１およびＶ２を結合し、入力を得る。
（０．６０８−０．１４５ｊ）Ｖ１＋（０．７７２＋０．１１４ｊ）Ｖ２＝（０．４０４−０．０９５ｊ，−０．３５２＋０．２６８ｊ，０．７３７−０．０４２ｊ）
結果を規格化し、スケーリングする。（０．４３４−０．０１１ｊ，−０．４１８＋０．１９９ｊ，０．７６４＋０．１１５ｊ）
なお、これは、ちょうどいいことに、従前と同様である。

〔実施例２〕ｍ＝３、ｎ＞＝３
ここでは、我々は、１つの音響圧出力および多数の速度出力を有する。音響のスケーリング済みエラー行列をＭ１、加算された速度スケーリング済みエラー行列をＭ２とする。

〔Ａｌｌ ａｔ ｏｎｃｅ〕
全てのｎ個の出力エラー行列を加算し、最も低い固有値に対応する固有ベクトルを求める。
固有値（Ｍ１＋Ｍ２）＝１．１４６，３．８６９，１３．１３７
解＝（０．７３９−０．２３５ｊ，０．４８３＋０．３０６ｊ，０．２４６＋０．１０４ｊ）。

〔Ｏｎｅ ａｔ ａ ｔｉｍｅ〕
実際に、我々は、まさに音響問題を解いている。このとき、我々は、残りを一度に実行する。すなわち、音響問題については、厳密に解く。
固有値（Ｍ１）＝０，０，１０．７１４
Ｖ１＝（０．７７０−０．１９９ｊ，０．３７６＋０．２０２ｊ，０．３７７＋０．２０６ｊ）
Ｖ２＝（０．０９７−０．０７１ｊ，０．７６５＋０．０１０ｊ，−０．６３２＋０．００１６ｊ）。

Ｖ１およびＶ２の双方が０の固有値に対応するので、ａ・Ｖ１＋ｂ・Ｖ２も、０の固有値に対応する固有ベクトルである。すなわち、これが音響問題に対する厳密解なのである。

構造的問題に関する「ａｌｌ ａｔ ｏｎｃｅ」最小化を、ａおよびｂを用いて形成する。

Ｍ１'の固有値は、１．２２２、および、４．１７２
スケーリング後の固有ベクトル：（０．９８４−０．０１６ｊ，０．１１３＋０．１１５ｊ）。

次に、Ｖ１とＶ２とを組み合わせて、入力を得る。
（０．９８４−０．０１６ｊ）Ｖ１＋（０．１１３＋０．１１５ｊ）Ｖ２＝（０．７７６−０．２０７ｊ，０．４７３＋０．２８３ｊ，０．２９０−０．１２４ｊ）
結果を規格化し、スケーリングする。（０．７５５−０．２１１ｊ，−０．４６６＋０．２７０ｊ，０．２４６＋０．１０４ｊ）。

これは「ａｌｌ ａｔ ｏｎｃｅ」の解と似ているが、同一ではないことに注意されたい。周波数レンジをカバーするように拡張されたとき、これは音響問題に関する正確な結果を与える。これにより、数値的に近似することで（ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｒｏｕｎｄｉｎｇ）、順次的なケースにおける非常に小さい非０の状態をもたらす。しかしながら、図１０ｃに示すように、順次的な解は、並列的な解に比して、構造問題に関しては僅かに悪い解となっている。

上記したように、２つの方法は、互いに排他的なものではない。そして、並列的な方法を、順次的なプロセスのどのポイントであっても（特に、プロセスに終了時）、導入してもよい。順次的な方法は、入力数が出力数を超えない場合、特に、出力のなかに他の出力よりも重要なもののある場合に有効である。重要な出力については厳密に解き、残りの出力については最適な解を得るのである。

Claims (17)

1. 屈曲波を支持することの可能なパネルと、
   前記パネルの表面の一部上に配された、あるいは、前記パネルの表面の一部を形成する、ユーザによりアクセス可能なタッチ検知スクリーンであって、複数の検知領域を有するタッチ検知スクリーンと、
   前記パネルに結合しており、ユーザが前記検知領域にタッチしたことに応答してパネルに屈曲波を印加し、これにより、複数の前記検知領域において触覚フィードバックを生成する振動励起子と、
   前記振動励起子に信号を与えることで、複数の前記振動励起子によってパネルに印加される屈曲波を制御するように構成された信号処理手段とを備え、
   ユーザが複数の前記検知領域を同時にタッチした場合に、前記信号処理手段により、印加される屈曲波の振幅を、ユーザにタッチされた１又は複数の前記検知領域において最大化する一方、ユーザにタッチされた他の前記検知領域において低減あるいは最小化する、タッチ検知デバイス。
2. 前記信号処理手段が、小さな、あるいは最小の音響成分を有する屈曲波信号を印加するように構成される、請求項１記載のタッチ検知デバイス。
3. ユーザに同時にタッチされるｎ個の前記検知領域と、ｎ＋１個の前記振動励起子とを備える、請求項１又は２記載のタッチ検知デバイス。
4. 前記パネルが、意図的に共振しやすくなっており、前記振動励起子によって印加される信号が前記パネルを共振させる、請求項１から３のいずれかに記載のタッチ検知デバイス。
5. ユーザにタッチされた前記検知領域が最大の速度を有する一方、ユーザにタッチされた他の前記検知領域が速度をもたないように信号が制御される、請求項４記載のタッチ検知デバイス。
6. 第１の前記検知領域で振幅を最大化し、第２の前記検知領域で振幅を低減あるいは最小化する信号と、第１の前記検知領域で振幅を低減あるいは最小化し、第２の前記検知領域で振幅を最大化する信号とを組み合わせて、第１の前記検知領域と第２の前記検知領域とに同時に触覚フィードバックを生成する請求項１から５のいずれかに記載のタッチ検知デバイス。
7. ユーザにタッチされた複数の前記検知領域のうち、１つの前記検知領域の振幅を最大化し、それ以外の前記検知領域の振幅を低減あるいは最小化する信号を複数組み合わせて、複数の前記検知領域に同時に触覚フィードバックを生成する請求項１から５のいずれかに記載のタッチ検知デバイス。
8. 前記振動励起子が、互いに分離した状態で、前記パネルの周囲上に前記パネルの中心軸に対して非対称に配される請求項１から７のいずれかに記載のタッチ検知デバイス。
9. 前記信号処理手段が、少なくとも１つのタイミングで、前記振動励起子の各々に対する信号の位相及び周波数をコントロールするように構成される、請求項１から８のいずれかに記載のタッチ検知デバイス。
10. 屈曲波を支持することの可能なパネルと、前記パネルの表面の一部上に配された、あるいは、前記パネルの表面の一部を形成する、ユーザによりアクセス可能なタッチ検知スクリーンであって、複数の検知領域を有するタッチ検知スクリーンと、前記パネルに結合しており、ユーザが前記検知領域にタッチしたことに応答してパネルに屈曲波を印加し、これにより、複数の前記検知領域において触覚フィードバックを生成する振動励起子とを備えたタッチ検知デバイスにおいて、前記パネルを振動させる方法であって、
    スクリーンにおけるユーザに同時にタッチされた複数の前記検知領域を検知するステップと、
    複数の前記振動励起子に信号を印加するステップと、
    前記パネルにおける屈曲波を制御することによって、振動の振幅を、ユーザにタッチされた１又は複数の前記検知領域において最大化する一方、ユーザにタッチされた他の前記検知領域において低減あるいは最小化するステップとを含む、方法。
11. ユーザに同時にタッチされた複数の前記検知領域に対して同時に複数の触覚フィードバックを与える一方、前記検知領域間のクロストークを低減あるいは最小化するように、前記振動励起子に印加される信号を処理するステップを含む、請求項１０記載の方法。
12. 信号を処理する前記ステップが、ユーザに同時にタッチされるｎ個の前記検知領域と、少なくともｎ＋１個の前記振動励起子とを含む、請求項１０又は１１記載の方法。
13. 前記パネルが意図的に共振しやすくなっており、前記振動励起子によって、前記パネルを共振させるように信号を印加するステップを含む、請求項１０から１２のいずれかに記載の方法
14. ユーザにタッチされた前記検知領域が最大の速度を有する一方、ユーザにタッチされた前記他の前記検知領域のそれぞれが速度をもたないように信号を制御するステップを含む、請求項１０から１３のいずれかに記載の方法。
15. 前記制御ステップが、少なくとも１つのタイミングで、少なくとも２つの前記振動励起子に対する信号の位相および周波数を調整するステップを含み、これにより、少なくとも２つの前記振動励起子からの進行波が交差する前記パネル上での位置をコントロールして、少なくとも２つの前記振動励起子からの進行波が交差位置において同時に最大の振幅をとるようにする、請求項１４記載の方法。
16. 複数の前記検知領域において複数の触覚フィードバックを同時に生成するように、前記振動励起子に複数の信号を与えるステップを含む、請求項１０から１５のいずれかに記載の方法。
17. 動作時に請求項１０から１６のいずれかに記載の方法を実施するコンピュータ・プログラム・コードを記憶した記憶媒体。