JP4807632B2 - 検出センサ - Google Patents

Description

本発明は、質量を有した物質の有無の検出、物質の質量の検出等を行うために用いるのに適した検出センサに関するものであり、特にＭＥＭＳ（Micro Electro Mechanical Systems）技術を用いた微小な機械的振動子を備えた検出センサに関する。

マイクロマシン／ＭＥＭＳ技術などの微細加工技術の進展により、機械的な振動子を極めて小さく作ることが可能となっている。これにより振動子そのものの質量を小さく作ることが可能になったことから、分子レベルの極微小な物質（例えば分子やウイルス等）の付着による質量変化によっても、周波数やインピーダンス特性の変動が生ずるほどに高感度な振動子が実現しつつある。このような高感度な振動子を用いれば、極微小な物質の存在や量を検出できるセンサ等を構成することが可能となる。
機械的振動子の周波数変化等によって物質の量を検出する装置は、ＱＣＭ(Quarts Crystal Micro balance: 水晶天秤)センサとして良く知られている。これは、水晶振動子に物質が付着すると、付着したその質量に応じて振動周波数が変動する（下がる）性質を利用したもので、微小な質量を計測する質量センサとして優れた性能を有しており、さらに膜厚計（蒸着モニタ）としてもよく用いられている。
このような振動子、特にＭＥＭＳ技術を用いた微小な機械的振動子は、その大きさが大幅に小さくなったことにより、振動子の周波数がＧＨｚレベルにまで高くなり、しかもＳｉを材料とすることができるため、半導体回路との一体化を目指した研究に発展しつつある。

また携帯電話などのパーソナル無線通信機等に盛んに用いられる高周波濾波器は、主に電気的共振器の小型化高性能化を図った誘電体共振器、音波の特性を利用した表面波濾波器（SAW Filter）、および水晶振動子の機械振動特性を用いた水晶濾波器（Quarts Crystal Filter）等があり、それぞれの特性を生かして携帯電話の高周波部などに広く用いられている。しかし、無線装置の更なる小型化や高周波数化などの高性能化と共に低価格化への要求も強いことから、これら従来の濾波器に変わり、半導体集積回路と一体化、すなわちOne-chip化による小型・低価格化が可能な新方式の高周波濾波器が求められている。ＭＥＭＳ加工技術で作成する機械振動子は、材料が半導体と同じＳｉを用いているため、その有力な候補である。そこで、ＭＥＭＳ振動子の高周波数化、高Ｑ値（High Quality Factor）化等を目的とする基礎的な研究、このＭＥＭＳ振動子を用いた高周波濾波器や発信器等への応用研究も盛んになってきた（例えば、非特許文献１参照。）。

このような振動子の一種として、ディスク状の振動子がある。ディスク状の振動子の機械的振動に関する基礎的研究は、古くから行われてきており、ディスク状の振動子の振動状態を規定する振動姿態（振動モード）等の基礎的研究は既に終了したと言っても良い。

C. T.-C. Nguyen, "Vibrating RF MEMS Technology : Fuel for an Integrated Microchemical Circuit Revolution?." The 13th International Conference on Solid-State Sensors, Actuators and Microsystems (Transducers `05), Korea, June 5-9, 2005

しかしながら、上記したような、微小質量の付着によって振動特性が変化する振動子を用いたセンサや濾波器においては、さらなる高感度化、小型化、低価格化が常に求められている。そこで、ディスク状の振動子のＭＥＭＳ化に伴う研究課題として、高感度化のためのＱ値の向上、振動子の駆動・検出法、濾波器への応用を目的として振動子の組み合わせによる特性制御等があり、これらについては継続的に鋭意研究が行われている。
本発明は、上記のような技術的課題のうち、振動子のさらなる高感度化を図ることのできる技術を提供することを目的とする。

本発明における検出センサは、ディスク状の振動子と、振動子を振動させる駆動部と、振動子における振動の変化を検出することで、物質を検出する検出部と、を備える。このような検出センサにおいては、物質の質量の影響により生じる振動子の振動の変化を検出し、これによって物質を検出する。なお、物質の検出は、物質の有無の検出だけでなく、物質の量を検出することも可能である。
このような振動子は、特定の共振モードで振動する。このため振動子の表面では振幅の大きな領域や殆ど振動しない領域が生じ、しかもその領域が共振モードによって異なることから、振動子の表面のどこに検出すべき物質が付着するかによって検出感度が異なってしまう問題がある。これにともない、振動子の表面に一様に物質が付着または吸着したとしても、感度には部位によるばらつきがあるために、ここに感度向上の余地があるのではないか、と本発明者らは考えた。
このような振動子において感度向上を図る一つの手段とは、感度の高い（振幅の大きい）部位に、物質を集中的・選択的に付着または吸着させるというものであり、これについては本出願人が既に提案を行っている（特願２００６−４１９７）。
また、振動子が部位によって振幅が異なる特性を利用し、振動の少ない部位で振動子を支持することで、振動子の振動を妨げることによるロスを抑制して、高感度化を図るという手法も本出願人が既に提案をなしている（特願２００６−７３７４２）。

今回、本発明者らがなした発明は、物質を付着または吸着させるためのプラットフォームを、振動子に機械的に結合して設けることを主なポイントとしたものである。
すなわち、本発明の検出センサは、ディスク状の振動子と、振動子に機械的に結合され、質量を有した物質が付着または吸着するプラットフォームと、振動子を振動させる駆動部と、振動子における振動の変化を検出することで、物質を検出する検出部と、を備えることを特徴とする。

これにより、プラットフォーム上に付着または吸着した物質の質量の影響は、結合部分から振動子に伝わるので、プラットフォーム上に付着または吸着した物質の質量は、あたかも、振動子においてプラットフォームが結合された部分（以下、これを結合部分と称することがある）の上に付着または吸着したかのように振舞う。このとき、プラットフォームを、振動子と共振せず、振動子と一体的に挙動するように設けると、プラットフォームは、結合部分における振動子の振動特性で挙動する。これにより、プラットフォーム全体に付着または吸着した物質が、あたかも振動子の結合部分に（集中的に）付着または吸着しているかのように、振動子の振動が変化する。プラットフォーム上においては、どの部位においても同様の感度を示すため、物質が付着または吸着する部分の面積が大幅に増大し、つまりこれにより、全体としての感度の向上が図れる。
また、プラットフォームの共振周波数を振動子よりも高いものとすることで、プラットフォームは振動子によって励振されず、プラットフォームは、振動子の振動の影響を受けることがない。

プラットフォームを振動子と一体的に挙動させるには、プラットフォームは、振動子において振動子のＲａｄｉａｌ方向（振動子の径方向）またはＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向（振動子の中心周りの回転方向）の一方のみに振動が生じる部位にて、振動子に結合するのが好ましい。このとき、プラットフォームは、１箇所以上で振動子に結合するが、振動子の中心に対し点対称または線対称な位置にて、２箇所以上で結合するのが好ましい。これにより、振動子の振動モード、ブリッジによる接続箇所によっては、プラットフォームは、振動子と一体的に、振動子のＲａｄｉａｌ方向への直線な振動、または振動子のＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向への回転振動を行う。
また、プラットフォームは、振動子において、振幅が最大となる部位またはその近傍に結合するのが好ましい。これにより、プラットフォームからを介して振動子に伝達されるプラットフォーム上の物質の質量の影響を、より高感度に検出することが可能となる。
また、振動子の振動によって、プラットフォームが励振されてしまうと、これが振動子側にも影響を及ぼし、検出感度が低下する可能性がある。そこで、本発明においては、振動子によるプラットフォームの励振を避けるには、プラットフォームの共振周波数を、振動子の共振周波数よりも高くなるように形成する。

振動子は、ディスク状であればいかなる形状であっても良いが、振動子の中央部に開口部を形成する。プラットフォームは開口部の内側に配置し、ブリッジを介して振動子の開口部の内縁部に結合する。

ところで、このような振動子は、振動の少ない部位で支持することで、振動子の振動を妨げることによるロスを抑制して、高感度化を図るのが好ましい。
振動子を評価するパラメータであるＱ値は、振動子が振動エネルギを失わずにいられるかによってきまり、式（１）のような関係で表すことができる。

すなわち、振動子の振動エネルギが失われる主な原因として、
１）空気など周囲の媒質による損失Ｑ_ａｉｒ、
２）振動子が振動し変形することによって生じる損失Ｑ_ＴＥＤ、
３）振動子の保持機構による損失Ｑ_{ａｎｃｈｏｒ Ｌｏｓｓ}、
およびその他の損失Ｑ_{ｏｔｈｅｒｓ}が考えられている。
１）のＱ_ａｉｒを決める空気を代表とする周囲の媒質へのエネルギ損失を少なくするためは、振動子の振動を制御して、振動子の振動エネルギは大きいが周囲の媒質へのエネルギ移動が少ない振動モードを選ぶことで対処している。例えばディスク状機械的振動子は振動子のディスク面内方向にだけ振動し（円柱座標で言えばｒ、θ方向だけの振動で、Ｚ方向には振動しない）、太鼓の膜のように（Ｚ方向に）振動して大きな振動エネルギを周囲の媒質に移動することが少ない。
また２）のＱ_ＴＥＤは、振動子が振動することで変形し、この変形により断熱膨張や断熱圧縮が起こる。このため断熱膨張領域は冷え、逆に断熱圧縮する領域は熱くなり、振動子に温度傾斜が生まれて、その温度が伝導して平均化することでエネルギが失われると言われている。すなわちこのエネルギ損失は振動子の振動モードと振動子の材質によって決まるものと言える。
さて３）のＱ_{ａｎｃｈｏｒ ｌｏｓｓ}は振動子の保持部による損失で、保持部に振動子の振動が伝わることによって生ずる。例えば振動子が振動しない所に保持部を設けることによってエネルギ損失を無くすことが可能になると考えられるが、通常の円盤状のディスク状振動子では、最も一般的な振動子材料であるＳｉ単結晶を用いる限り、この様な条件を見いだすには至っていない。

例えば、ディスク状振動子の共振モードの中で最もよく知られているモードにＷｉｎｅ−Ｇｌａｓｓモード（２、１）がある。このようなディスク状振動子の振動における、モード関数であるＲａｄｉａｌ方向の変位Ｕ（ｒ、θ）とＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の変位Ｖ（ｒ、θ）は次式（２）で示すことができる。

この式（２）において、Ｗｉｎｅ−Ｇｌａｓｓモード（２、１）は、ｎ＝２における最低周波数の共振モードであることを意味しており、この（２、１）モードの振動の様子は、Ｒａｄｉａｌ方向では、ｒ成分は振動子のｒ＝０を除く全てｒにおいて有限の値を持ち、それがｃｏｓ２θに従って円周方向に変化しており、θ＝π／４、３π／４、−３π／４、−π／４の角度ではＲａｄｉａｌ方向の振動は無くなる。このような位置を、ｎｏｄａｌ ｐｏｉｎｔと称し、その位置で振動子を保持する手法も提案されている。
しかしこの（２、１）モードはＣｏｍｐｏｕｎｄモードであり、Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ方向にも振動成分があるため、このＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の振動においてもｒ成分はｒ＝０を除く全てのｒに対して有限の値を持ち、それが円周方向ではｓｉｎ２θに従って変化している。このためＵ（ｒ、θ）が０、すなわちｃｏｓ２θが０になるθ＝π／４、３π／４、−３π／４、−π／４の各角度において、Ｖ（ｒ、θ）はｓｉｎ２θが１、−１、１、−１となるため、逆に振幅が最大になってしまう。すなわちＷｉｎｅ−Ｇｌａｓｓモード（２、１）で振動する円形振動子には、Ｒａｄｉａｌ成分とＴａｎｇｅｎｔｉａｌ成分の振動の双方が０となる部位は存在しない。

しかし、本発明者らが鋭意検討を重ねた結果、上記の例とは異なり、振動子上において、Ｒａｄｉａｌ成分とＴａｎｇｅｎｔｉａｌ成分の振動が共に０となる部位を存在させることのできる手法を見出すに至った。
このようにしてなされた見出した手法においては、振動子を、中央部に開口部が形成されたリング状とし、その外径をＲａ、内径をＲｂとする。この振動子が振動したときの位置座標（ｒ、θ）における位置ｒでの変位は、式（３）に示すように、Ｒａｄｉａｌ方向の変位がＵ（ｒ）、Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の変位がＶ（ｒ）によって表されるので、ｒ＝ＲａまたはＲｂとしたときにＵ（ｒ）＝０またはＶ（ｒ）＝０をほぼ満足する外径Ｒａと内径Ｒｂで、振動子を形成するのである。

なお、式（３）において、Ａ６、Ａ７、Ａ８は、振動子の外径Ｒａと内径Ｒｂ、振動子材料のヤング率、密度およびポアソン比と、振動子の境界条件（この場合はFree−Free条件）によって規定される固有振動モードに伴って一意的に決まる定数である。具体的には、後述する式（９）においてＡ５＝１とした場合、Ａ６、Ａ７、Ａ８は、式（９）の連立一次方程式の解である。

このように、リング状の振動子において、その外径Ｒａと内径Ｒｂの比によって、外径部分または内径部分で振動の生じない部位が出現することがある。このときの比は、振動子を形成する材料のポアソン比や、振動子を振動させるときの振動モードのモード数ｎ、高調波振動の次数ｍによって異なってくる。
そして、式（３）においてｒ＝ＲａであるときにＵ（ｒ）＝０またはＶ（ｒ）＝０をほぼ満足する場合、振動子は、外径部分に、振動の生じない部位が存在する。また、式（３）においてｒ＝ＲｂであるときにＵ（ｒ）＝０またはＶ（ｒ）＝０をほぼ満足する場合は、振動子は、内径部分に、振動の生じない部位が存在する。
さらに、式（３）においてｒ＝ＲａまたはＲｂであるときにＵ（ｒ）＝０をほぼ満足する場合、振動子は、ｓｉｎ（ｎθ）＝０となる位置θに、振動の生じない部位が存在する。また、式（３）においてｒ＝ＲａまたはＲｂであるときにＶ（ｒ）＝０をほぼ満足する場合、振動子は、ｃｏｓ（ｎθ）＝０となる位置θに、振動の生じない部位が存在する。
このようにして、振動子における、Ｒａｄｉａｌ成分とＴａｎｇｅｎｔｉａｌ成分の振動を共に無くすことができる。

ここで、本発明においては、Ｕ（ｒ）＝０またはＶ（ｒ）＝０の条件を完全に満足する場合だけでなく、ほぼ満足する場合を許容する。これは、製造誤差等により、Ｕ（ｒ）＝０またはＶ（ｒ）＝０の条件を完全に満足できる外径Ｒａ、内径Ｒｂで、振動子を形成することが困難であるからであり、また、Ｕ（ｒ）＝０またはＶ（ｒ）＝０の条件を若干外れた場合であっても、外径部分または内径部分において、十分に振動が小さい場合があるからである。

上記したような条件を満足する部位は、振動子における、Ｒａｄｉａｌ成分とＴａｎｇｅｎｔｉａｌ成分の振動を共に無くすことができるため、このような部位で振動子を保持するのが好ましい。

ここで、振動子の中央部に開口部を形成し、ブリッジを介してプラットフォームを振動子の開口部の内縁部に結合する場合、駆動部では、振動子を、高調波振動の次数ｍ＝１、振動モードのモード数ｎ＝３とした（３、１）モードで駆動するのが、高感度化という点で特に好ましい。
この場合、振動子は、外径をＲａとし、開口部の内径をＲｂとしたときに、Ｒｂ／Ｒａを０．６５〜０．８１とすることができる。これにより、大きな開口部を形成することができ、ここにプラットフォームを設けることで、大きな面積のプラットフォームを有した検出センサを構成できる。

振動子は、その外径部分において、振動子のＲａｄｉａｌ方向およびＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の振動がほぼゼロとなる複数の位置で支持する。（３、１）モードの場合、その支持位置は、振動子の中心に対する角度が６０°または６０°の整数倍となる間隔となる。特に、振動子を、外径部分において１２０°間隔の３箇所で支持すれば、高調波振動の次数ｍ＝１、振動モードのモード数ｎ＝２とした(２、１)モードの振動を抑圧することができる。

一方、プラットフォームは、振動子の開口部に対して、振動子と一体的に挙動する位置で結合する。その結合位置は、振動子の中心に対して対称となる２箇所となる。このような結合位置においては、振動子の最大振幅の０．９７倍といった大きな振幅となる。
また、プラットフォームを、振動子における、（２、１）モードの振動を抑圧する位置にて振動子の開口部に結合すれば、プラットフォームによって、振動子の（２、１）モードの振動を抑制することができる。

プラットフォームに物質を付着または吸着させるには、例えば、プラットフォームの表面に、分子の吸着を効率よく行えるような吸着材料を付加しても良い。これには、グローバルな認識材と、選択認識材がある。グローバルな認識材は、選択性は強くないが、ある特定の分子群、例えばアルコールやエーテル等を吸着するポリマーである。これらのポリマーをナノファイバー化したり、またポーラスにして表面積を増やすことも有効である。また選択性の強い認識材としては、抗原−抗体反応を起こすような生物由来の材料や、アクセプター−レセプターの組み合わせや、遺伝子やＤＮＡ、ＲＮＡとハイブリダイゼーションする特定の塩基配列を持ったプローブ等がある。また、脂質二重膜でも良い。

このような検出センサにおいては、検出対象となる物質を特定の分子、あるいは特定の特性または特徴を有する複数種の分子とすることができる。これにより、例えば、ガス検出センサ、匂いセンサ等に本検出センサを用いることができる。これには、特定の分子としてガスや生体由来の分子、生活空間の浮遊分子、揮発性分子等を対象とする場合、特定種の分子のみを高い選択性を持って検出するのが望ましい。また、このように選択性の高い検出センサを複数用い、複数種の分子を認識したり、用途の応用範囲を広げることができる。また、グローバル認識と称される、特定の特徴を持った分子群や、同じ側鎖を持つ分子群等を検出することもできる。この場合、検出センサを複数用い、これら複数の検出センサ間における検出能の差から、信号処理やソフトフェアを用いた処理等によって分子群の認識を行うようにしても良い。また、液中で動作するように構成を変更して、特定のたんぱく質や酵素、糖鎖等を検出しても良い。

微小質量の検出は、薄膜形成の際の膜厚モニタ、抗体抗原反応や蛋白質吸着作用などのバイオ研究にも用いることができる。本発明の検出センサは、このような用途に好適である。
また、小型で安定な高感度な家庭用や個人用のガスセンサや、携帯性に優れる使い捨て型で空気中などに浮遊する有害物質の検出等の用途にも、本発明の検出センサや振動子を用いることも考えられる。更に高感度化が進めばその応用範囲はさらに広がり、「におい」の検出識別が可能となるまで発展することが可能であり、さらにこれ以外の用途に対しても、本発明の検出センサの利用を妨げるものではない。
しかも本発明の検出センサは、いわゆるＳｉ単結晶を構造材料として用いることで、ＭＥＭＳ技術により製造することができることから、Ｓｉ半導体と同一チップ内への作り込むことも可能となる。その場合、極めて安価でしかも高性能な微小物質の検出装置とすることができる。

本発明によれば、プラットフォームを振動子に付加して設けることで、プラットフォーム上に物質が付着または吸着すると、あたかも振動子においてプラットフォームが接続されている部位に、物質が集中的に付着または吸着したかのようになるため、検出センサにおいて、高感度な質量の物体の検出や、質量の検出を行うことが可能となる。また、このようなプラットフォームは、半導体加工プロセス等を用い、振動子と一体に形成することも可能であるため、低コストで形成することができる。

以下、添付図面に示す実施の形態に基づいてこの発明を詳細に説明する。
図１は、本実施の形態におけるセンサ（検出センサ）１０の基本的な構成を説明するための図である。
この図１に示すセンサ１０は、ディスク状で、全体として円形、矩形、あるいは適宜他の形状を有し、質量を有した分子等の検出対象物が付着すると振動周波数が変化する振動子２０と、ディスク状の振動子２０を振動させるための駆動源３０と、振動子２０における振動特性の変化を検出する検出部４０と、を備えている。

駆動源３０では、外部の図示しないコントローラで発生する電流によって、静電効果やピエゾ効果（圧電効果）を用い、振動子２０を振動させる。
また、検出部４０も、静電効果やピエゾ効果により、振動子２０における振動を検出し、電気信号として出力するようになっている。このとき、振動子２０に質量を有した物質が付着すると、その質量の影響を受けて振動子２０の振動数が変化する。検出部４０では、検出部４０から出力される電気的な振動をモニタリングすることで、振動子２０への物質の付着の有無、あるいは振動子２０への物質の付着量を検出することが可能となっている。

このようなセンサ１０において、振動子２０には、その中央部に開口部２１が形成されている。そして、この振動子２０は、外周部の所定の位置に接続された支持部材２２のみによって支持され、残る他の部分は全てフリー状態とされている。
ここで、振動子２０の外径をＲａ、開口部２１の径をＲｂとすると、振動子２０は、Ｒｂ／Ｒａが以下のような条件をほぼ満足するように、振動子２０の外径Ｒａ、開口部２１の径（振動子２０の内径）Ｒｂを設定するのが好ましい。

ディスク状の振動子２０に生じる振動には、（ａ）Ｒａｄｉａｌモード（径方向（ｒ方向）にのみ振動するモード）、（ｂ）Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌモード（θ方向にのみ振動するモード）、（ｃ）Ｃｏｍｐｏｕｎｄモード（径方向の振動およびθ方向の振動が複合したモード）、の３通りがある。
振動子２０におけるＣｏｍｐｏｕｎｄモードにおける共振周波数の決定式は、以下の式（４）のようになる。

ただし、ａ_１１〜ａ_４４は以下の通りである。

なお、σ：振動子材料のポアソン比、Ｅ：振動子材料のヤング率、ρ：振動子材料の密度、ω：角周波数（＝２πｆ）である。

さて、開口部２１を有した振動子２０における２つの境界、すなわち外径部分と内径部分では、Ｆｒｅｅ−Ｆｒｅｅ条件であることから、Ｒａｄｉａｌ方向の残留ストレスとＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の残留ストレスが無くなり、これにより４つの境界条件が定まることが判る。また、モード関数であるＲａｄｉａｌ方向の変位Ｕ（ｒ、θ）とＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の変位Ｖ（ｒ、θ）は、次式で表すことができる。

そして、この式（６）に、先に述べた４つの境界条件を適用することで、以下の関係式が求まる。

さらに式（３）の共振周波数の決定式は、式（７）がいかなるＡ５、Ａ６、Ａ７、Ａ８においても成り立つことを意味し、これは式（７）の４×４マトリクスのＤｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ＝０が条件となる。これは共振周波数を決定する式（３）である。

さて、モード関数である式（６）の係数Ａ５、Ａ６、Ａ７、Ａ８は、未だ未定であり、これが決まらなければ振動子２０の振動状態は定まらない。また共振条件では式（７）はいかなるＡ５、Ａ６、Ａ７、Ａ８においても成立しているため、共振時における係数Ａ５、Ａ６、Ａ７、Ａ８は未定でありこのままでは決定出来ない。しかし式（７）のマトリクスを１次式に分解して表せば、次式（８）となる。

この様にして求めた式（８）の４つの１次式の中から、任意の３つの式を取り出し、さらにその中の係数Ａ５、Ａ６、Ａ７、Ａ８のどれか一つに対する比としてなら、係数を定めることができる。例えば、式（８）から例えば上の３つの式を取り出し、全てＡ５で割ると、次式（９）のような連立一次方程式が得られる。

この式（９）から、Ａ５を分母とする係数比Ａ６／Ａ５、Ａ７／Ａ５、Ａ８／Ａ５を求めることができる。この結果を式（６）に代入すれば、共振時のＲａｄｉａｌ方向とＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の変位、すなわちモード関数を全て決定できる。なお、ここでは式（８）の上３つの式を用いたが、任意の異なる３個の式を用いて同様に解くことができ、ここでは４組の異なる連立一次方程式が得られるが、求めた結果は全て同じである。
また全てがＡ５に対して比例関係にあるためＡ５＝１としてもモード関数に本質的に変化は無いことから、改めてＡ５＝１として、各モードにおけるＲａｄｉａｌ方向のｒ成分をＵ（ｒ）、Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ方向のｒ成分をＶ（ｒ）として表せば、式（６）のモード関数は、次式（１０）となる。

ここで、Ｕ（ｒ）、Ｖ（ｒ）は、次式（１１）の通りである。

さて、この解析は、通常のディスク状の振動子と異なり、開口部２１を有した円形のディスク状の振動子２０に対するものである。この振動子２０においては、この振動子２０の外径Ｒａと内径Ｒｂの比によって、式（１１）に示すＵ（ｒ）とＶ（ｒ）が大きく変わり、振動子２０外径Ｒａと内径Ｒｂの比が特定の値になったとき、Ｕ（ｒ）またはＶ（ｒ）が０になることが起こりうる。
例えば振動子２０の外径ＲａにおいてＵ（Ｒａ）＝０になる場合には、振動子２０の外径部分での振動がなくなる。したがって、振動子２０を、支持部材２２によってその外径部分で支持する。
このとき、Ｖ（Ｒａ）≠０であっても、式（１０）に示すようにＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の変位は、これにｓｉｎ（ｎθ）をかけたものであるから、ｓｉｎ（ｎθ）＝０となる位置においては、式（１０）のＶ（ｒ、θ）では振動が生じない。ｎ＝１の振動モードの場合、Ｖ（Ｒａ、０）、Ｖ（Ｒａ、π）の位置で、支持部材２２によって振動子２０を保持すれば、振動子２０の振動エネルギは支持部材２２を通して失われることは無い。
逆にＶ（Ｒａ）＝０の場合には、Ｕ（Ｒａ）≠０であってもＲａｄｉａｌ方向の変位はこれにｃｏｓ（ｎθ）をかけたものであるからｃｏｓ（ｎθ）＝０となる位置で、振動子２０を保持すれば良いことになる。
なお、ここでは穴あきのディスク状の振動子２０の外径部分における保持方法を述べたが、これが内径部分で保持する場合であっても同様の考え方でその位置を決めることができる。

図２〜図４は、それぞれｎ＝１からｎ＝３までの各振動モードにおけるｒ成分、すなわち式（１１）に示したＵ（ｒ）とＶ（ｒ）の変動の様子を、内径Ｒｂと外径Ｒａの比Ｒｂ／Ｒａを横軸にして図示したものである。なおこのとき、振動子２０の材料としてＳｉ単結晶を想定し、ポアソン比をσ＝０．２８とした。また、ｎは振動モードのモード数、ｍは高調波振動の次数を示す。
なお図２〜図４では、各モードにおいて最低次の共振周波数（ｍ＝１）から４番目の共振周波数（ｍ＝４）まで示し、これを通常のモード表現に従い（ｎ、ｍ）と表示している。

図２〜図４を見ると、図３（ａ）の（２、１）モードと図４（ａ）の（３、１）モードを除き、Ｕ（Ｒａ）、Ｕ（Ｒｂ）、Ｖ（Ｒａ）およびＶ（Ｒｂ）のいずれかが、適当なＲｂ／Ｒａにおいて０になること観察される。
例えば図２（ｂ）に示す（１、２）モードでは、Ｖ（Ｒａ）がＲｂ／Ｒａ＝０．１７において０になっていることが示されている。従ってポアソン比０．２８の材料（例えば、単結晶Ｓｉ）を用い、（１、２）モードで用いる振動子２０を設計するには、内径Ｒｂと外径Ｒａの比を０．１７に選び、ｃｏｓθ＝０の角度、すなわちθ＝±π／２の位置の内径部分で振動子２０を保持するように設計すれば、振動子２０の共振振動になんら影響を与えず振動子２０を保持することが可能である。

すなわち、外径Ｒａが１００μｍで、（１、２）モードで用いる振動子２０の場合、Ｒｂ／Ｒａ＝０．１７となる、開口部２１の径を１７μｍとしたときに、振動子２０の外径部分におけるＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の振動を０とすることができる。そして、このときに、開口部２１の外径部分において、ｃｏｓθ＝０の角度、すなわちθ＝±π／２の位置で振動子２０を支持することで、共振振動に全く影響を与えない振動子２０の保持法を実現できる。

ところで、一般の材料、例えばポアソン比がσ＝０からσ＝０．５の材料では、Ｕ（Ｒａ）、Ｕ（Ｒｂ）、Ｖ（Ｒａ）およびＶ（Ｒｂ）が０になる場合は、いかなるＲｂ／Ｒａの場合に起こるのかを調べることが非常に重要になる。このため式（１１）から、次式（１２）が成り立つＲｂ／Ｒａとポアソン比σの組み合わせを、各モード（ｎ＝１〜３、ｍ＝１〜４）について調べた。

その結果を図５〜図７に示す。

なお、ポアソン比だけを変数とすることで全ての材料について調べたことになる理由は、式（６）から、ｈとｋに、
ｋ＝ｈ（２／（１−σ））^１／２
という関係があり、ｈとｋを変数として見ると、この二つの変数がポアソン比σでのみ関係付けられていることによる。

図５〜図７では、ｎ＝１〜３、ｍ＝１〜４の各モードにおいて式（１２）を満足するポアソン比σ（縦軸）と、振動子２０の内径Ｒｂと外径Ｒａの比Ｒｂ／Ｒａ（横軸）との関係を示した。すなわち振動子材料のポアソン比が判れば、図５〜図７の関係から、振動モードとその振動子２０を保持する位置や、振動子２０の内径Ｒｂと外径Ｒａの比を決めることができる。なお共振周波数は振動子２０、例えば大きさ、すなわち外径Ｒａを変えることで決定する。

このように、図５〜図７の関係を予め知ることにより、振動エネルギが保持部を通して逃げることの無い高性能なディスク状の振動子２０を実現することが可能になる。

さて、支持部材２２は、Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ方向に振動させて使用する振動子２０の場合、次式（１３）で示される長さＬ_Ｒを有するものとするのが好ましい。なお、駆動源３０でピエゾ効果を用いた駆動方式を採用する場合、振動子２０はＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向に振動させて使用することになるので、この場合、支持部材２２の長さを、式（１３）で表されるＬ_Ｒにするのが好ましい。

また、Ｒａｄｉａｌ方向に振動させて使用する振動子２０の場合、支持部材２２は、次式（１４）で示される長さＬ_Ｓを有するものとするのが好ましい。

このように、振動子２０の内径Ｒｂと外径Ｒａとの比Ｒｂ／Ｒａを適切に選ぶことにより、振動子２０の外径部分もしくは内径部分においてＲａｄｉａｌ方向の変位のｒ成分すなわちＵ（Ｒａ）もしくはＵ（Ｒｂ）、ならびにＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の変位のｒ成分すなわちＶ（Ｒａ）もしくはＶ（Ｒｂ）が０になる場合がある。このようなディスク状で開口部２１を有した振動子２０に特有な現象を用いることで、振動子２０の共振振動に全く影響を与えず振動子２０を保持することが可能となり、極めてＱの高い振動子２０が提供できる。

さらに、図８に示すように、本発明においては、振動子２０の開口部２１に、プラットフォーム５０が形成されている。このプラットフォーム５０は、例えば円板状で、その外周部が、ブリッジ５１によって振動子２０の開口部２１の内径部分に接続・支持されている。

このとき、プラットフォーム５０は、後に詳述するように、ブリッジ５１を介し、振動子２０と一体的に振動するような箇所に接続されている。
プラットフォーム５０を振動子２０と一体的に挙動させるには、振動子２０において、ｒ方向またはθ方向のいずれか一方のみに振動が生じる部位に、ブリッジ５１を介してプラットフォーム５０を機械的に結合するのが好ましい。
このとき、ブリッジ５１は、１箇所以上設けるが、２箇所以上設けても良い。この場合、プラットフォーム５０に不要な歪を生じさせない、すなわちプラットフォーム５０の付加によって不要な損失を振動子２０に与えないためには、ブリッジ５１を設ける箇所における振動子２０の振幅が等しいのが好ましい。このため、振動子２０の中心に対し、線対称または点対称となる２箇所以上に設けるのが良い。
これにより、振動子２０の振動モード、ブリッジ５１による接続箇所により、プラットフォーム５０を、振動子２０と一体的にｒ方向またはθ方向に挙動させることができる。
また、プラットフォーム５０を振動子２０にブリッジ５１を介して接続する部位は、振動子２０においてその振動振幅がなるべく大きな部位とするのが好ましい。これにより、プラットフォーム５０、ブリッジ５１を介して振動子２０に伝達されるプラットフォーム５０上の物質の質量の影響を、より高感度に検出することが可能となる。

また、プラットフォーム５０は、その共振周波数が、振動子２０の共振周波数よりも高くなるように形成されている。これにより、振動子２０によってプラットフォーム５０が励振されるのを防ぐことができる。さらに、ブリッジ５１は、なるべく短く形成するのが好ましい。ブリッジ５１が長いほど、振動子２０の振動によってブリッジ５１が励振され、プラットフォーム５０にその振動成分が伝達してしまう可能性があるからである。
プラットフォーム５０、ブリッジ５１は、いかなる材料で形成しても良いが、製造の容易性を考慮すると、振動子２０と同材料で形成するのが好ましい。その場合、例えば振動子２０、プラットフォーム５０、ブリッジ５１を、フォトリソグラフィ法等の半導体加工技術によって、同一層に形成するのが好ましい。もちろん、振動子２０に対し、プラットフォーム５０、ブリッジ５１を立体的に形成するような構成を本発明は排除するものではない。
プラットフォーム５０と振動子２０を同一材料で形成する場合、プラットフォーム５０の共振周波数を振動子２０の共振周波数よりも高くするには、プラットフォーム５０の外形寸法を、振動子２０の開口部２１の内径Ｒｂよりも小さくすればよい。しかし、プラットフォーム５０上になるべく多くの物質を付着または吸着させるには、プラットフォーム５０をなるべく大きく形成するのが好ましい。

さて、上記のようなプラットフォーム５０の振動子２０に対する取り付け位置等について、具体例を用いて検討する。
［第１の例］
振動子２０の材料をＳｉとし、例えばｎ＝１、ｍ＝２、すなわち（１、２）モードを選び、φ＝Ｒｂ／Ｒａ＝０．１６５の場合について式（１１）を計算した結果が図９である。図１０は、そのモード姿態であり、振動子２０上における振動振幅の大きさを１０段階に区分して示しており、Ｓ０で示す部分が振幅最小（ゼロ）、Ｓ９で示す部分が振幅最大である。
式（１０）のＵｎ（ｒ、θ）とＶｎ（ｒ、θ）は、それぞれｒ方向とθ方向の変位を示し、この計算例において、ｒ／Ｒａ＝１すなわちｒ＝Ｒａの時には、Ｖ_１（Ｒａ）＝０となることから、振動子２０の外径部分においてθ方向の変位はいかなるθでも０であることを示している。またｒ方向のモード関数Ｕ_１（ｒ、θ）がθ＝π／２またはθ＝３π／２においてｃｏｓθ＝０になることから、この位置ではｒ方向の変位も０になる。
すなわちφ＝０．１６５の振動子２０の外径部分において、角度θ＝π／２またはθ＝３π／２の位置では全く振動が無い。従ってこの位置で振動子２０を保持すれば、振動エネルギが保持部を通して失われない。

さらに図１０から判るように、この条件の振動子２０では、振動子２０の内径部分で角度θ＝π／２およびθ＝３π／２において大きな振動振幅を持っていること判る。この位置での振動成分は、角度θ＝π／２およびθ＝３π／２の位置にあるためｃｏｓθ＝０であることからｒ成分の振動ではなく、θ成分の振動であり、さらにｓｉｎπ／２＝１、ｓｉｎ３π／２＝−１であることから、互いに逆の角度方向に振動している。すなわち図１０に示すように、（１、２）モードの振動子２０の内径部分の位置（Ｒｂ、π／２）と位置（Ｒｂ、３π／２）では、共に、右もしくは左方向に互いに平行して振動していることになる。

図８は、これらの考察結果をもとに作成した、（１、２）モードで振動する振動子２０の開口部２１に、プラットフォーム５０を付加して設けた例で、振動子２０の内径部分においてθ＝π／２とθ＝３π／２となる２箇所で、プラットフォーム５０と振動子２０をブリッジ５１によって機械的に結合している。すなわちプラットフォーム５０は、振動子２０の中心に対して対称な、振動振幅の大きな２箇所で機械的に結合している。
この場合、プラットフォーム５０は、振動子２０の振動成分のうちのθ成分によって、水平方向に振動させられる状態になっており、この状態は、プラットフォーム５０はｎが奇数のモードで励振されている状態でもある。すなわち、プラットフォーム５０がｎ＝１、３、５・・などの奇数モードの共振条件を満たす大きさになっている場合には、プラットフォーム５０にはモードに伴う振動振幅の分布が現れてセンサ１０として使うには不都合な状態になる。一方、プラットフォーム５０が小さく共振条件を満たさない場合には、プラットフォーム５０は完全な剛体と見なすことができ、プラットフォーム５０は一様に水平方向に振動することになる。この状態において、プラットフォーム５０は大きな振幅の水平方向の一様な振動をしていることからセンサ１０として使うに都合が良い状態になっている。

図８において矢印（Ａ）、（Ｂ）は、それぞれ振動子２０のｒ方向およびθ方向の変位を示し、矢印（Ｃ）はプラットフォーム５０の振動を示す。このようにｎが奇数のモードでは、ｍの値に関わらず、プラットフォーム５０全体を特定の方向に一様に振動させることができる。

［第２の例］
次にｎ＝２の場合の実施例を示す。振動子２０に振動モードとして（２、３）モードを選び、φ＝０．４１として式（１１）を計算した結果が図１１である。
図１１から判るようにｒ／Ｒａ＝１のとき、Ｖ_２（Ｒａ）＝０であることから、振動子２０の外径部分では、θ方向の変位が常に０になる。さらにｒ方向のモード関数であるＵ_２（ｒ、θ）は、θ＝π／４、θ＝３π／４、θ＝５π／４、θ＝７π／４の各角度においてｃｏｓ２θ＝０になることから、この角度でｒ方向の変位も０になる。すなわちφ＝０．４１０の振動子２０では、外径部分において角度θ＝π／４、θ＝３π／４、θ＝５π／４、θ＝７π／４の位置では全く振動がない。すなわちこの位置で振動子２０を保持すれば、振動エネルギが保持部を通して失われることは無い。この例のモード姿態を図１２に示す。

この図１２より、（２、３）モードでは、振動子２０の内径部分付近の角度θ＝π／４、θ＝３π／４、θ＝５π／４、およびθ＝７π／４の位置において、大きな振動振幅を持っていることがわかる。この振動成分は角度θ＝π／４、θ＝３π／４、θ＝５π／４、θ＝７π／４の位置においてｃｏｓ２θ＝０であることから、ｒ成分の振動ではなく、θ成分の大きな振動である。またθ＝π／４とθ＝５π／４の位置では、ｓｉｎ２θ＝１であることから、同一の角度方向の振動であり、θ＝３π／４、θ＝７π／４の位置においては、ｓｉｎ２θ＝−１であることから、先の場合と反対の角度方向への振動となることが判る。

図１３は、この（２、３）モードの振動子２０の開口部２１に、プラットフォーム５０を設けた例であり、（２、３）モードで振動する振動子２０の中心に対して点対称の位置で、かつ振動振幅が大きい２箇所において、ブリッジ５１によってプラットフォーム５０と振動子２０を機械的に結合した例である。この場合、プラットフォーム５０は、（２、３）モードの振動子２０のθ成分によってプラットフォーム５０全面がθ方向に振動する。ここに、矢印（Ａ）、（Ｂ）は、それぞれ振動子２０のｒ方向およびθ方向の変位を示し、矢印（Ｃ）はプラットフォーム５０の振動の状態を示している。

図１２から判るように、ｎ＝２の穴あき振動子２０の内径部分付近において振動振幅の大きな箇所は４箇所現れるが、このうち点対称な２箇所、もしくは４箇所全てで振動子２０とプラットフォーム５０を機械的に結合させた場合には、プラットフォーム５０をｎ＝２、４・・等の偶数次モード（２箇所、４箇所の場合）や、Ｐｕｒｅ Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ Ｍｏｄｅ（２箇所の場合）で励振する。このとき、プラットフォーム５０が偶数次モードもしくはＰｕｒｅ Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ Ｍｏｄｅの励振条件を満たす場合には、プラットフォーム５０は偶数次モードもしくはＰｕｒｅ Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ Ｍｏｄｅで振動し、プラットフォーム５０にはモードに伴う振動振幅の分布ができる。またこれらの振動条件を満たさない場合には、プラットフォーム５０が、２箇所で機械的に結合されているのであればプラットフォーム５０は一様な回転振動をするが、４箇所の機械的結合の場合には、振動子２０の振動条件が大きく変えられてしまうことになる。

このようにｎ＝２モードの振動子２０とプラットフォーム５０との機械的接続箇所は、振動子２０の中心に対して２箇所、もしくは振動子２０の確実な保持ができるなら１箇所でも良いことになる。
このことを一般化して言えば、ｎ次の振動モードでは、同じ角度方向の振動はθ＝０〜２πにおいてｓｉｎ（ｎθ）で決まることから、θ方向のみに大きな振動が生じる部位はｎ箇所となる。従って、穴あき型含む振動子２０とプラットフォーム５０のブリッジ５１による機械的結合を行うのに適した箇所はｎ個もしくはそれ以下となる。

［振動子２０の開口部２１にプラットフォーム５０を設ける場合の条件］
ここまで示したｎ＝２の例のように、ｎが偶数のモードにおいて、中心に対して点対称な２箇所で振動子２０とプラットフォーム５０を機械的に結合した場合、プラットフォーム５０が偶数次モードもしくはＰｕｒｅ Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ Ｍｏｄｅの振動条件を満たさないときには、ｍの値に関わらず、プラットフォーム５０は必ず一様な回転振動をする。これに対し、プラットフォーム５０が大きくなると、偶数次モードもしくはＰｕｒｅ Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ Ｍｏｄｅの振動条件を満たし、プラットフォーム５０はその振動条件を満たすモードで振動することになり、そのモード関数で決められた振幅分布に従って振動する。このように、振動子２０と２箇所で機械的に結合されたプラットフォーム５０は、常にその全面が一様に振動するとは限らない。
例えばプラットフォーム５０の共振周波数が、振動子２０の振動周波数より高い場合には、プラットフォーム５０が共振振動することは無く、プラットフォーム５０は完全剛体となり振動子２０の結合部の振動に従って一様な振動をする。

このときの、振動子２０における各モードの規格化共振周波数Ｋｏと、振動子２０の内径Ｒｂと外径Ｒａの比Ｒｂ／Ｒａの関係、プラットフォーム５０における各モードの規格化共振周波数Ｋｓと、プラットフォーム５０の半径Ｒｓと振動子２０の外径Ｒａの比Ｒｓ／Ｒａとの関係を、図１４と図１５に示す。
なお図１４はｎが奇数の場合の例で、振動子２０の材料として単結晶Ｓｉを想定してポアソン比を０．２８とし、振動子２０についてＣｏｍｐｏｕｎｄ Ｍｏｄｅのｎ＝１、３、ｍ＝１〜４、プラットフォーム５０についてはｎ＝１、３、最低次モードのｍ＝１について計算したものである。実際の共振周波数は式（１５）から計算できる。

ここにＫは、振動子２０の規格化共振周波数Ｋ_０ 又はプラットフォーム５０の規格化共振周波数Ｋ_Ｓであり、Ｒａは振動子２０の外径、ρは密度、Ｅはヤング率である。

図１４から判るとおり、振動子２０の共振周波数とプラットフォーム５０の共振周波数は、振動子２０のｍ＝１モードを除き交差する。すなわち、プラットフォーム５０を設ける振動子２０の内径Ｒｂを必要以上に大きくして、プラットフォーム５０の面積を大きくしようとすると、プラットフォーム５０の振動周波数が振動子２０の振動周波数より低くなってしまう。この領域では、プラットフォーム５０が振動モードに従う共振振動する場合があることを意味しており、プラットフォーム５０が単に機械的結合によって全面が一様に振動している状態ではなくなってしまうおそれがある。従って、プラットフォーム５０に共振振動が乗らないようにするには、プラットフォーム５０の共振周波数が振動子２０の共振周波数より高い領域であることが必要である。このような領域は、図１４の平行振動するモードの最低周波数を持つ（１、１）モードの周波数曲線より下方の領域であり、これを図中、ハッチングによって示した。
もちろんこの条件を満たさない場合であっても、プラットフォーム５０に共振振動が励振されない条件があると考えられるが、細かな条件分けが必要であり、さらに深く研究を行い、条件を把握していくことが必要である。

またｎが偶数の場合には図１５のようになる。
図１５はｎが偶数の場合の例で、振動子２０の材料として単結晶Ｓｉを想定してポアソン比を０．２８とし、振動子２０についてＣｏｍｐｏｕｎｄ Ｍｏｄｅのｎ＝２、４、ｍ＝１〜４、プラットフォーム５０についてはｎ＝２、４の最低次モードのｍ＝１とし、Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ Ｍｏｄｅのｍ＝１について計算したものである。ここでもプラットフォーム５０の大きさをハッチングで示した領域内となるように形成すれば、プラットフォーム５０はモードによる振動は発生することなく一様な回転振動をすることになる。

上述したようなセンサ１０によれば、プラットフォーム５０を、振動子２０に機械的に結合して設けることで、プラットフォーム５０上に付着または吸着した物質の質量が、あたかもプラットフォーム５０が振動子２０に接続された箇所に集中的に付着または吸着しているかのように作用するので、つまりこれにより、センサ１０の感度を向上させることができる。
このようにして、センサ１０においては高感度な質量の物体の検出や、質量の検出を行うことが可能となる。また、振動子２０は、いわゆるＳｉ単結晶を構造材料として用い、ＭＥＭＳ技術によって製造することができることから、Ｓｉ半導体と同一チップ内にセンサ１０を組み込んで作ることも可能となる。

さて、上記のような検討を行うことで得た知見に基づき、本発明者らがさらなる検討を重ねたところ、振動子２０を、ｍ＝１、ｎ＝３、つまり（３、１）モードで駆動するのが感度向上の面で特に好ましいことを見出した。さらに、また、（３、１）モードで駆動する場合、振動子２０は、φ＝Ｒｂ／Ｒａを０．６５〜０．８１とするのが好ましく、さらにはφ＝０．７０〜０．７８、特にφ＝０．７３〜０．７４とするのが好ましいことも見出した。

ここで、具体例を用いて説明を行う。
式（１０）において、ｍ＝１、ｎ＝３とし、振動子２０の材料として単結晶Ｓｉ（ポアソン比ρ＝０．２８、ヤング率Ｅ＝１３０ＧＰａ、密度σ＝２３００ｋｇ／ｍ^３）を想定し、φ＝Ｒｂ／Ｒａ＝０．７３とした場合、計算結果は図１６のようになる。
この図１６に示すように、ｒ／Ｒａ＝１、すなわち振動子２０の外径部分においては、Ｖ_３（Ｒａ）＝０であることから、振動子２０の外径部分ではθ方向の変位が常に０になる。また、ｒ方向のモード関数であるＵ_３（ｒ、θ）はｃｏｓ３θの関数でもあり、θ＝π／６±ｉπ／３（ここでｉ＝０、１、２、・・・）においてＵ_３（ｒ、θ）＝０になることから、これらの角度でｒ方向の変位も０になる。すなわちφ＝０．７３の振動子２０では、外径部分において角度θ＝π／６、θ＝３π／６、５π／６、７π／６、９π／６、１１π／６の６箇所の位置Ｐ１〜Ｐ６では全く振動がない。すなわちこの位置で振動子２０を保持すれば、振動エネルギが保持部を通して失われることは無い。
この例のモード姿態を図１７に示す。図１７は、振動子２０上における振動振幅の大きさを１０段階に区分して示しており、Ｓ０で示す部分が振幅最小（ゼロ）、Ｓ９で示す部分が振幅最大である。

また、この図１７より、（３、１）モードでは、振動子２０の内径部分において角度θ＝０、２π／６、４π／６、６π／６、８π／６、１０π／６の６箇所の位置Ｐ１１〜Ｐ１６において、大きな振動振幅を持っていることがわかる。この振動の大きさは、最大振幅の０．９７倍と極めて大きな振幅である。
また、これらの位置における振動成分はｓｉｎ３θ＝０であることから、θ成分の振動ではなくｒ成分の振動である。またθ＝０の位置Ｐ１１とθ＝６π／６の位置Ｐ１４、θ＝２π／６の位置Ｐ１２とθ＝８π／６の位置Ｐ１５、θ＝４π／６の位置Ｐ１３とθ＝１０π／６の位置Ｐ１６の、それぞれ振動子２０の中心に対して点対象となる２箇所から構成される各組においては、それぞれ振動の向きが同一方向に揃っている。したがって、これらの位置にプラットフォーム５０を連結して設ければ、プラットフォーム５０が振動モードに影響を与えることがない。

図１８は、この（３、１）モードの振動子２０の開口部２１に、プラットフォーム５０を設けた例であり、（３、１）モードで振動する振動子２０の内周部において、振動子２０の中心に対して点対称の位置で、かつ振動振幅が大きい２箇所の位置Ｐ１１、Ｐ１４において、ブリッジ５１によってプラットフォーム５０と振動子２０を機械的に結合した例である。この場合、プラットフォーム５０は、（３、１）モードの振動子２０のｒ成分によってプラットフォーム５０全面が、ブリッジ５１によって結合した振動子２０の位置に対応したｒ方向に振動する。
このとき、プラットフォーム５０は、振動子２０におけるブリッジ５１による連結位置と同一方向に直線的に変位するため、振動子２０において、近似的に振動子２０の質量がプラットフォーム５０の質量分だけ増えたことに相当するとして考えることができ、質量の増加により振動子２０の振動周波数は低下する。
表１は、振動子２０の外径Ｒａ＝１００μｍ、内径Ｒｂ＝７３．４μｍ、プラットフォーム５０の外径Ｒｓ＝７０．７μｍ、振動子２０およびプラットフォーム５０を単結晶シリコン材料で形成した場合における、プラットフォーム５０の有無による振動子２０の振動周波数の違いを示すものである。

さて、上記において、φ≒０．７３のときには、振動子２０の外径部分ではθ方向の変位がいかなる方向においても０であることを示した。また、先に式（３）で示したモード関数の振幅成分のうち、Ｖｎ(r)で示すＴａｎｇｅｎｔｉａｌ成分は、Ｂｅｓｓｅｌ関数（周期関数）からなりその変数は、式（３）に示したｈ、ｋとｒの積であり、ポアソン比σを除き同じであることから、ポアソン比σの関数と見ることもできる。
このことから、振動子２０の外径部分におけるＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の振動を示すＶｎ（ｒ）｜ｒ＝Ｒａが０になるポアソン比σを縦軸に、Ｒｂ／Ｒａを横軸にしてこの関係を図示すると図７（ａ）のようになる。
この図７（ａ）を見ると、Ｒｂ／Ｒａを０．７３付近に選べば、振動子２０の材料のポアソン比依存性が非常に小さくなっていることがわかる。すなわち振動子２０を構成する材料のポアソン比がバラついてもＲｂ／Ｒａの比がほとんど変化しないことを意味し、振動子２０にとって最も重要なファアクターと考えられるＱ値（Ｑｕａｌｉｔｙ Ｆａｃｔｏｒ）に対する設計性が高いことを意味する。これにより、振動子２０は、φ＝０．７０〜０．７８、特にφ＝０．７３〜０．７４とするのが好ましい。

上記において、穴あきディスク型の振動子２０の振動モードが（３，１）モードで、内径と外径の比φ（Ｒｂ／Ｒａ）≒０．７３の時、振動子の外周において６箇所の全く振動しない箇所が生ずる事を図１７に示し、これらの６箇所で振動子２０を保持すれば振動エネルギが支持部材２２を通じて散逸することなく高性能な振動子２０が実現できることを示した。
また、図１８に示したように、振動子２０の中心に対して対称で保持部材２２との角度が３０度（π／６）である内径部分の２箇所においてブリッジ５１によってプラットフォーム５０を機械的に接続すれば、プラットフォーム５０は振動子２０の振動によって一様に振動する。
しかし、プラットフォーム５０をこのような形で振動子２０と機械的に接続することによって振動子２０の振動に影響を与え、振動子２０の外径部分において、６箇所で全く振動の生じない場所が生ずる条件であるφ≒０．７３等に影響を与える事が予想される。
すなわち、図１８に示すように、振動子２０にブリッジ５１を介してプラットフォーム５０を付加すると、プラットフォーム５０は振動子２０と共に振動することになり、近似的に振動子２０の振動質量が増えたこと、すなわち振動子２０の密度が増えたことと考えることができる。
例えば、振動子２０を、外径Ｒａ＝１００ｕｍ，内径Ｒｂ＝７３．４ｕｍ，プラットフォーム５０の外径をＲｓ＝７０．７ｕｍとし、材料に単結晶シリコン（Ｅ＝１３０Ｇｐａ，ρ＝２３００Ｋｇ／ｍ^３，σ＝０．２８）を用いた場合、振動子２０の質量は、式（１６）のようになる。

また、プラットフォーム５０の質量は式（１７）、プラットフォーム５０を付加した振動子２０の全質量は式（１８）のようになる。

この状態を振動子２０の密度の変化ととらえると、振動子２０の密度の増加分は式（１９）のようになると考えることができる。

このような状態においても、振動子２０の固有値すなわちＫｏは変化しないものと仮定すると、式（２０）の関係から、元々はρ＝１３０ＧｐａでＫｏ≒０．７０より、振動周波数は８．３８ＭＨｚであったものが、プラットフォーム５０を付けた場合には、密度ρが
ρ＝１３０Ｇｐａ＊［１＋Ｒｓ^２／（Ｒａ^２−Ｒｂ^２）］
となり、振動周波数は５．８０ＭＨｚまで下がることになる。

さて図１９は、（３、１）モードの穴あきディスク型の振動子２０の振動周波数パラメータＫｏとφ＝Ｒｂ／Ｒａの関係を示したものである。この関係において、φ＞０．３ではほぼ直線の関係にあり、この関係は式（２１）のように近似的に表すことができる。

式（２１）の関係を図１９に当てはめ、周波数の変化をＫｏの変化として捕らえると、φ＝０．７３からφ≒０．８１に変化した事に相当することが判る。このような場合でも振動モードの形状がそのまま保たれると仮定すれば、振動子２０の外径部分においての全く振動しない６箇所もそのまま存在することになる。
一方、図７（ａ）において、φ≒０．８１における状態を見ると、Ｖ_３，１（Ｒａ）＝０を満たす状態は存在せず、振動エネルギは振動子２０の外径部分に設けられた支持部材２２を通じて逃げてしまう状態とも考えることができる。この状態はプラットフォーム５０を設けた場合でもプラットフォームの無い状態のφ＝０．７３の時の周波数となるように、予めφを小さくし、例えばφ≒０．６５前後にしてプラットフォーム５０を設ければφ≒０．７３の状態になることが式（１９）および式（２１）を計算する事によってわかる。
この様に、周波数の変動から振動子２０の振動状態を推定することによって、φの最良の値は、０．６５から０．８１前後まで変わる場合が起こりうると考えることができる。

次にＲｂ／Ｒａ≒０．７３としたときの、振動子２０における各モードの規格化共振周波数Ｋｏと、振動子２０の内径Ｒｂと外径Ｒａの比Ｒｂ／Ｒａの関係を調べると、図２０のとおりになる。
ここで、今検討している（３、１）モードはｎ＝３、ｍ＝１の場合であり、この（３、１）モードより低い共振周波数が起こるモードは、図２０から（２、１）モードのみであることが判る。例えばトランジスタ等の半導体素子とこの振動子２０を組み合わせて発信器を構成した場合、トランジスタ等の半導体素子は一般に低い周波数ほど増幅度が高いため、目的とする発振周波数より低い周波数については発信能力を有しており、（２、１）モードの振動周波数が発信器のスプリアス振動周波数になりかねない。従って、この（２、１）モードの振動が発生しないようにしておくことが必要である。

図２１は、振動子２０においてＲａ／Ｒａ≒０．７３である場合の振動モードと最大振動領域での振動方向を図示したものである。この図２１において、（２、１）モードにおいて振動子２０は、その内径部分および外径部分で、角度θ＝０、π／２、２π／２、３π／２の４箇所の位置Ｐ２１〜Ｐ２４において、大きな振動振幅を持っていることがわかる。そして、振動子２０の中心に対して対称な最大振動が生じている２つの位置Ｐ２１、Ｐ２３において、振動子２０は互いに逆の方向に振動している。一方、図７（ａ）で示したように、（３、１）モードにおいて振動子２０は、前記の位置Ｐ２１、Ｐ２３に対応した位置Ｐ１１、Ｐ１４では、振動が同一方向となっている。したがって、これら２つの領域にてブリッジ５１を介してプラットフォーム５０を設けると、プラットフォーム５０は、（３、１）モードの振動に対しては振動子２０の振動を阻害することなく振動子２０と一体的に振動するが、（２、１）モードの振動に対しては、ブリッジ５１を介してプラットフォーム５０に入力される振動子２０の振動は、プラットフォーム５０の面内方向においてプラットフォーム５０を径方向に押しつぶしたり、引き伸ばしたりするような振動になる。したがって、プラットフォーム５０は（２、１）モードの振動を抑制する効果を発する。

また、振動子２０は、その外径部分の３箇所を１２０°間隔で保持することにより、（２、１）モードにおける振動の大きい部分と小さい部分を必ず保持することになり、これも（２、１）モードの振動を阻害することになるため、（２、１）モードの振動抑制機構として機能する。

図２２は、以上のような検討に基づいて得られた知見に基づいて構成した、プラットフォーム５０を備えた振動子２０の例である。
この振動子２０は、（３、１）モードで振動させて使用されるもので、振動子２０の内径と外径との比φは、φ＝Ｒｂ／Ｒａ＝０．７３とした。この振動子２０は、外径部分において角度θ＝３π／６、７π／６、１１π／６の３箇所において、支持部材２２により１２０°間隔で保持されている。
そして、振動子２０に形成された開口部２１には、ブリッジ５１を介してプラットフォーム５０が一体に接合されている。ブリッジ５１は、振動子２０の中心に対して点対称の位置で、かつ振動振幅が大きいθ＝０、６π／６の２箇所において、１８０°間隔で設けられている。
このような振動子２０とプラットフォーム５０、ブリッジ５１は、同一平面内に位置するのが好ましい。これによりこれらを同一材料によって形成することができる。

振動子２０の外周部には、振動子２０の外径部分から所定のクリアランスを隔てて、駆動源３０、検出部４０を構成する電極３１、４１が設けられている。これら電極３１、４１は、互いに隣接する２つの支持部材２２間に例えば１組ずつが配置されている。

上述したような構成の振動子２０を備えたセンサ１０によれば、前記したように、高感度な質量の物体の検出や、質量の検出を行うことが可能となる。このような振動子２０も、いわゆるＳｉ単結晶を構造材料として用い、ＭＥＭＳ技術によって製造することができることから、Ｓｉ半導体と同一チップ内にセンサ１０を組み込んで作ることも可能となる。
さらに、上記したような、プラットフォーム５０を備えて（３、１）モードで振動して用いられるディスク型の振動子２０は、外径と内径との比φが、φ＝０．７以上と大きく、プラットフォーム５０の面積を大きくすることができる。つまりこれにより、センサ１０の感度を特に高いものとすることができる。また、振動子２０の外径と内径の比が前記した範囲内であれば、材料依存性が低いため、例えば今後、単結晶Ｓｉ以上に優れた材料が出現した場合にも、本発明と同様の構成を適用することが可能となる。加えて、このような構成においては、（２、１）モードの振動を抑制できるので、共振を防ぎ、この点においても高感度化を図ることができる。

ところで、上記では、振動子の材料としてＳｉ単結晶（ポアソン比σ＝０．２８）を用いた振動子２０の例を示したが、もちろん、他の材料においても、同様の検討を行うことで、同様の効果を得ることのできる構成を実現できる。
また、図２２に示した例では、振動子２０を１２０°間隔の３箇所の不動点で支持するようにしたが、６箇所の不動点の全てで振動子２０を支持するようにしても良い。また、振動子２０を支持する支持部を機械的に十分に高い強度を有したものとできるのであれば、振動子２０は１箇所のみで支持するようにしても良い。また、図２２の例では、駆動源３０、検出部４０を構成する電極３１、４１を、それぞれ３個ずつ設ける例を示したが、その数を適宜少なくすることも可能である。一般には駆動や検出のための電極３１、４１の結合面積を小さくすると動作インピーダンスが高くなることによって生ずるインピーダンス不整合による通過損が増大してしまうが、発信器を作る時にはループゲインを十分で取ることで、これを補うこともできる。
これ以外にも、本発明の主旨を逸脱しない限り、上記実施の形態で挙げた構成を取捨選択したり、他の構成に適宜変更することが可能である。

本実施の形態のセンサの構成を示す図である。 ｎ＝１モードにおける、ディスク状の振動子の外径と内径の比と、Ｕ（Ｒａ）、Ｕ（Ｒｂ）、Ｖ（Ｒａ）、Ｖ（Ｒｂ）の値との関係を示す図である。 ｎ＝２モードにおける、ディスク状の振動子の外径と内径の比と、Ｕ（Ｒａ）、Ｕ（Ｒｂ）、Ｖ（Ｒａ）、Ｖ（Ｒｂ）の値との関係を示す図である。 ｎ＝３モードにおける、ディスク状の振動子の外径と内径の比と、Ｕ（Ｒａ）、Ｕ（Ｒｂ）、Ｖ（Ｒａ）、Ｖ（Ｒｂ）の値との関係を示す図である。 ｎ＝１モードにおける、式（１２）が成立するときのディスク状の振動子の外径と内径の比と、ポアソン比との関係を示す図である。 ｎ＝２モードにおける、式（１２）が成立するときのディスク状の振動子の外径と内径の比と、ポアソン比との関係を示す図である。 ｎ＝３モードにおける、式（１２）が成立するときのディスク状の振動子の外径と内径の比と、ポアソン比との関係を示す図である。 （１、２）モードにおいて、ディスク状の振動子にプラットフォームを設けた構成の例を示す図である。 （１、２）モードにおける、ディスク状の振動子の半径ｒの位置におけるＵ（ｒ）、Ｖ（ｒ）の値を示す図である。 （１、２）モードにおける、ディスク状の振動子の振幅の分布を示す図である。 （２、３）モードにおける、ディスク状の振動子の半径ｒの位置におけるＵ（ｒ）、Ｖ（ｒ）の値を示す図である。 （２、３）モードにおける、ディスク状の振動子の振幅の分布を示す図である。 （２、３）モードにおいて、ディスク状の振動子にプラットフォームを設けた構成の例を示す図である。 ｎが奇数の場合のモードにおける、振動子の共振周波数と振動子の内径Ｒｂと外径Ｒａとの関係、ならびにプラットフォームの共振周波数とプラットフォームの半径Ｒｓおよび振動子の外径Ｒａとの関係を示す図である。 ｎが偶数の場合のモードにおける、振動子の共振周波数と振動子の内径Ｒｂと外径Ｒａとの関係、ならびにプラットフォームの共振周波数とプラットフォームの半径Ｒｓおよび振動子の外径Ｒａとの関係を示す図である。 （３、１）モードにおける、ディスク状の振動子の半径ｒの位置におけるＵ（ｒ）、Ｖ（ｒ）の値を示す図である。 （３、１）モードにおける、ディスク状の振動子の振幅の分布を示す図である。 （３、１）モードにおいて、ディスク状の振動子にプラットフォームを設けた場合の結合位置を示す図である。 （３、１）モードのディスク状の振動子の振動周波数パラメータＫｏと、振動子の内径Ｒｂと外径Ｒａの比との関係を示したものである。 振動モード毎の共振周波数と振動子の内径Ｒｂと外径Ｒａとの関係を示す図である。 図１７の振動子が（２、１）モードで振動したときの振幅の分布を示す図である。 （３、１）モードにおいて、ディスク状の振動子にプラットフォームを設けた構成の例を示す図である。

符号の説明

１０…センサ（検出センサ）、２０…振動子、２１…開口部、２２…支持部材、４０…検出部、５０…プラットフォーム、５１…ブリッジ

Claims (14)

1. ディスク状の振動子と、
   前記振動子に機械的に結合され、質量を有した物質が付着または吸着するプラットフォームと、
   前記振動子を振動させる駆動部と、
   前記振動子における振動の変化を検出することで、前記物質を検出する検出部と、を備え、
   前記振動子の中央部に開口部が形成され、前記プラットフォームは前記開口部の内側に配置され、ブリッジを介して前記振動子の前記開口部の内縁部に結合されていることを特徴とする検出センサ。
2. 前記プラットフォームは、その共振周波数が前記振動子の共振周波数よりも高くなるように形成されていることを特徴とする請求項１に記載の検出センサ。
3. ディスク状の振動子と、
   前記振動子に機械的に結合され、質量を有した物質が付着または吸着するプラットフォームと、
   前記振動子を振動させる駆動部と、
   前記振動子における振動の変化を検出することで、前記物質を検出する検出部と、
   を備え、
   前記プラットフォームは、その共振周波数が前記振動子の共振周波数よりも高くなるように形成されていることを特徴とする検出センサ。
4. 前記プラットフォームは、前記振動子において前記振動子のＲａｄｉａｌ方向またはＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の一方のみに振動が生じる部位にて、前記振動子に結合されていることを特徴とする請求項１から３のいずれか一項に記載の検出センサ。
5. 前記プラットフォームは、前記振動子と一体的に、前記振動子のＲａｄｉａｌ方向への直線な振動、または前記振動子のＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向への回転振動を行うことを特徴とする請求項４に記載の検出センサ。
6. 前記プラットフォームは、前記振動子において、振幅が最大となる部位またはその近傍に結合されていることを特徴とする請求項４または５に記載の検出センサ。
7. 前記振動子は、外径がＲａとされ、中央部に前記開口部が形成されることで内径がＲｂとされたリング状で、
   前記振動子が振動したときの位置座標（ｒ、θ）における位置ｒでの、式（１）で表されるＲａｄｉａｌ方向の変位Ｕ（ｒ）、Ｔａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の変位Ｖ（ｒ）が、ｒ＝ＲａまたはＲｂとしたときにＵ（ｒ）＝０またはＶ（ｒ）＝０をほぼ満足する外径Ｒａと内径Ｒｂで、前記振動子が形成されていることを特徴とする請求項１から６のいずれか一項に記載の検出センサ。
   

   
8. 前記式（１）においてｒ＝ＲａであるときにＵ（ｒ）＝０またはＶ（ｒ）＝０をほぼ満足する場合、前記振動子は外径部分で支持されていることを特徴とする請求項７に記載の検出センサ。
9. 前記振動子の中央部に前記開口部が形成され、前記プラットフォームは前記ブリッジを介して前記振動子の前記開口部の内縁部に結合され、
   前記駆動部は、前記振動子を、高調波振動の次数ｍ＝１、振動モードのモード数ｎ＝３とした（３、１）モードで駆動することを特徴とする請求項１または３に記載の検出センサ。
10. 前記振動子は、外径をＲａ、前記開口部の内径をＲｂとしたときに、Ｒｂ／Ｒａが０．６５〜０．８１であることを特徴とする請求項９に記載の検出センサ。
11. 前記振動子は、その外径部分において、前記振動子のＲａｄｉａｌ方向およびＴａｎｇｅｎｔｉａｌ方向の振動がほぼゼロとなる複数の位置で支持され、前記振動子の支持位置は、前記振動子の中心に対する角度が６０°または６０°の整数倍となる間隔とされていることを特徴とする請求項９または１０に記載の検出センサ。
12. 前記振動子は、１２０°間隔の３箇所で支持されていることを特徴とする請求項１１に記載の検出センサ。
13. 前記プラットフォームは、前記振動子の前記開口部に対して、前記振動子と一体的に挙動する、前記振動子の中心に対して対称となる２箇所において結合されていることを特徴とする請求項９から１２のいずれか一項に記載の検出センサ。
14. 前記プラットフォームは、前記振動子における、高調波振動の次数ｍ＝１、振動モードのモード数ｎ＝２とした（２、１）モードの振動を抑圧する位置にて前記振動子の前記開口部に結合されていることを特徴とする請求項１３に記載の検出センサ。

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