JP4685860B2 - マルチキャリア変調システムにおける改善 - Google Patents

Description

この出願は、米国仮出願番号第６０／５７５，１６６号、出願日２００４年５月２８日、発明の名称「マルチキャリア変調システムにおける改善」に関連し、前記出願から優先権を主張し、ここで全体として参照によって組み込まれる。この出願は、豪州仮出願番号第２００４９０２３０３号、出願日２００４年４月３０日、発明の名称「マルチキャリア変調システム内でのデータ送信および受信」にも関連し、前記出願から優先権を主張し、ここで全体として参照によって組み込まれる。この発明はさらに、豪州仮出願番号第２００４９０２８８８号、出願日２００４年５月３１日、発明の名称「マルチキャリア変調システムにおける改善」に関連し、前記出願から優先権を主張し、ここで全体として参照によって組み込まれる。この出願はさらに、豪州仮出願番号第２００４９０４１７３号、出願日２００４年７月２６日、発明の名称「ＯＦＤＭ用途のＩＦＦＴとＦＦＴの固定小数点ＤＳＰ実装内の丸め込みと飽和の効果」に関連し、前記出願から優先権を主張し、ここで全体として参照によって組み込まれる。

この発明は、マルチキャリア変調システムを改善する方法に関する。この発明はより詳細には、変換処理を用いて数字によって表された信号を操作することに関する。この発明はさらに詳細にはマルチキャリア変調システム内のデータの送信および受信に関し、前記システムは直交変換対を用いて複数のサブキャリア上での通信を可能にするが、このような使用には限定されない。

特に、この発明は、直交周波数分割多重（ＯＦＤＭ：Orthogonal Frequency Division Multiplexing）送信器および受信器を含むマルチキャリア通信システム用に、逆高速フーリエ変換（ＩＦＦＴ：Fast Fourier Transform）と高速フーリエ変換（ＦＦＴ：Fast Fourier Transform）を実行する方法に関する。それは、ＦＦＴ／ＩＦＦＴの構造内の固定小数点の数字をスケーリングし量子化することに関する。

マルチキャリア変調システム（Multicarrier modulation systems）は、シリアルデータストリームをいくつかのパラレル成分のデータストリームに分割し、これらのパラレルデータストリームを別個のサブキャリア上に各々送信する。受信端末では、パラレルデータストリームを各々受け取り、送信器に提供されたシリアルデータストリームに対応するシリアルデータストリームに構成する。従って、この主のシステムでは、全データのわずかな部分だけが各サブキャリア上に送られる。

各パラレルデータストリームのパワースペクトルは重なり合っているが、サブキャリアはシンボル期間全体で一般に互いに直交（orthogonal）しているので通信が可能になる。これは、送信器と受信器で各々直交変換（orthogonal transforms）を用いる直接的結果である。Ｎポイント変換を用いれば（従って、Ｎ個のサブキャリアを提供すれば）、因子Ｎだけシンボル期間は効果的に増大される。

実際には様々な設計上の問題があり、マルチキャリア変調システムの実装を制限している。

設計上の問題は、演算処理による制限の原因となっている。直交周波数分割多重（ＯＦＤＭ）は、無線ローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）、高品位テレビ（ＨＤＴＶ）および４Ｇシステムを含む多くの新しく出現した広帯域通信システムで用いられる変調技術である。

ＯＦＤＭ送信器における主な構成要素は逆離散フーリエ変換（ＩＤＦＴ：inverse discrete Fourier transform）であり、受信器では離散フーリエ変換（ＤＦＴ：discrete Fourier transform ）である。通常、送信器は逆方向ＤＦＴを行い、受信器は順方向ＤＦＴを行う。変換の実装には通常、何らかの形態の高速フーリエ変換（ＦＦＴ）のアルゴリズムが用いられる。

ＤＳＰの計算パワーと性能が増大するにつれて、それらはＯＦＤＭ機能の実装に理想的になっている。消費者製造は通常コストや消費電力に敏感であり、このため固定小数点ＤＳＰ方式が好まれる。しかし、固定小数点システムは動的範囲を制限し、丸め込みノイズや算術オーバフローに関連した問題を引き起こす。

大部分のＯＦＤＭ用途では、信号処理の複雑さを最小にすることが重要である。用途に応じて、これはコストを最小化するためであっても、高データ速度を実現するためであっても、消費電力を低減するためであってもよい。ＩＦＦＴおよびＦＦＴ演算は送信器および受信器では、かなり計算集約的演算であるので、これらの機能を最適化することが特に重要である。当然のことながら、この文書全体で、ＤＳＰ（デジタル信号プロセッサ）という用語の参照は一例として用いられているだけであり、任意のプロセッサ、マイクロプロセッサ、マイクロコントローラ、マイクロコンピュータ、ＦＰＧＡ、ＣＰＬＤ、ＰＬＤ、ＡＳＩＣ、シーオブゲート、プログラマブル素子、個別論理素子、個別アナログ、デジタルまたは受動型部品、またはＯＦＤＭ用途と共に使用可能な他の任意の実装技術と置き換えることもできる。

ＦＦＴについては、既に広範囲の資料が存在する。しかし、ＯＦＤＭの要件は、大部分のＦＦＴ用途のものとは著しく異なる。主要な違いは、ＯＦＤＭにおいて最小化すべきなのは各出力の最大誤差ではなく、出力全体の誤差であることである。これは、ＦＦＴ設計に大きな影響を有する。

ＦＦＴは、ＤＦＴを計算するためのアルゴリズムである。時間間引き（decimation in time）、周波数間引き（decimation in frequency）、基数２（radix 2）、基数４など、多数の異なるアルゴリズムが存在する。しかし、それらは全てバタフライ構造を用いている。基数２の場合、二つの入力を二つの回転因子と乗算し、その積の合計と差を計算する。

ＦＦＴ内の数字は、固定小数点または浮動小数点形式で表される。浮動小数点表示は一般により大きな精度を与えるが、ＯＦＤＭ実装では固定小数点実装が望まれることが多いのは、その低コストおよび低消費電力のためである。固定小数点実装では、ビットは端数部分と符号ビットを表すことが多く、全ての数字は±１内になるようにスケーリングされる。以下、これは（一般性を損なうことなく）、説明を簡略化するような場合に用いると理解されたい。

各算術演算において表示の精度を低下させる可能性がある機構には、例えば丸め込み等の切り捨てと、飽和の二つがある。

飽和は、計算結果が±１の範囲外になった場合に発生する。二つの数字が±１の範囲内にあれば、その積もまた±１の範囲内になるので、これは乗算演算の結果ではなく加算演算の結果としてのみ発生する。飽和の正確な影響は、合計を行う方法の詳細に依存する。＋１より大きな値は１に設定され、−１より小さな値は−１に設定されるように、ＦＦＴを設計することが重要である。言い換えると、信号の「切り出し（clipped）」が行われる。２の補数等のいくつかの算術実装によって「ラップアラウンド」が生じ、１より大きな数字が負の数に変換されたり、その逆のことが生じたりする。飽和の可能性を最小化または除去する一つの方法は、うまく±１の範囲内になるように数字をスケーリングすることである。

一方、丸め込み等の切り捨ては、加算ではなく乗算の結果としてのみ発生する。二つのｂビットの数字を乗算した場合、結果は２ｂビット長となり、最下位のｂビットが破棄される。これは、各バタフライにおいてわずかな誤差をもたらす。所望の信号に対するこの誤差のサイズは所望の信号の強度に依存し、相対的な誤差を最小にするために、信号は±１の範囲内でできるだけ大きくスケーリングすべきである。従って、丸め込み等の切り捨てによって、飽和の可能性を最小にすることと誤差を最小にすることの間には対立が生じる。

ＦＦＴ内の信号の正確な値は未知であるが、信号の統計的性質は計算できる。従って、設計上の問題は、信号の統計的分布を考慮して、丸め込み誤差等の切り出しおよび切り出しの間のトレードオフが最適になるようにスケーリングを設計することである。

従来方式のＦＦＴ設計では、オーバフローを避けるように信号をスケーリングしていた。より大きなＦＦＴと固定少数点実装を用いるＯＦＤＭシステムの場合、丸め込み誤差がシステム性能を著しく劣化させない場合は大きなワード長が必要とされる。これは丸め込み誤差の全体の影響を低減するので、スケーリングはＦＦＴ構造全体に通常は分散される。基数２の実装のオーバフローの可能性を完全に除去するために、数字は各バタフライ段階後に１／２の因子だけスケーリングしなければならない。オーバフローを避ける別の方法は、ブロック浮動小数点（ＢＦＰ：Block Floating Point ）スケーリングを用いることである。これはデータに従ってＦＦＴの各段階でスケーリングを調整し、所定の入力データに対してオーバフローが発生しないようにする。しかし、単一の大きな信号サンプルは、他の全ての信号値において大きな丸め込み誤差を引き起こすスケーリングを生じさせる。この問題を避けるために、一部の研究者たちは、集束ＢＦＰと呼ばれる折衷法を提案しており、その方法ではデータの異なる部分に対して異なるスケーリング因子が用いられる。

この発明の目的は、従来技術の一つ以上の問題の少なくとも一部を緩和するか、または別の方式を提供することである。より詳細には、この発明の実施例はマルチキャリア変調通信システムの提供を試み、前記通信システムはＯＦＤＭシステムのＩＦＦＴおよびＦＦＴ演算用のＤＳＰ内のより低いビット数を用いるオプションを提供するものである。

この発明はマルチキャリア変調システム内でデータを送信および受信する方法を提供し、前記システム内では変換対が複数のサブキャリアを用いて通信を可能にし、前記方法は送信器および受信器構造全体で所定量の信号の飽和を許容する。

送信器および受信器を備えたマルチキャリア変調システム内でデータを送信および受信する方法であって、前記送信器および受信器は各々入力、計算ブロックおよび出力を備え、送信器または受信器の少なくとも一方の計算ブロックが、入力で受けた信号上で数値計算を行うために相互接続した複数の計算段階と、実質的にアクティブウィンドウ内に数値計算を保持するための少なくとも一つのスケーリング部を有し、前記数値計算に従って入力で受けた信号から導いた出力を提供し、前記方法が送信器および受信器構造のいずれかまたは両方の計算ブロック内でスケーリングすることによって、アクティブウィンドウを超えて信号が飽和する確率を所定以下に許容する。飽和は、計算ブロックの所定の複数の計算段階で許可できる。

この方法は好ましくは直交周波数分割多重（ＯＦＤＭ）と共に使用し、受信器内に誤差検出および訂正ステップを有し、飽和した信号を実質的に補償できる。

好ましくは、計算ブロックはデジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）に基づいている。

計算ブロックは、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）や逆高速フーリエ変換（ＩＦＦＴ）構造等の変換構造から少なくとも部分的に構成可能で、その方法はＦＦＴおよびＩＦＦＴ構造の一方または両方で所定量の飽和を許容することを含んでいる。

この方法は複素数によって表示されている信号を含むことができ、計算段階は前記表示された複素数の算術演算を行い、許容された飽和は計算ブロック内の信号の統計的特性に従ってスケーリングを制御することによって所定の方法で制限される。

信号の実部と虚部は、ガウス分布または準ガウス分布を有することができる。

ガウス分布または準ガウス分布を備えた信号の実部と虚部、およびガウス信号の標準偏差に対する最大量子化レベルの比率であるヘッドルームは、最適なシンボル歪み（symbol distortion）を提供するように選択される。

この方法は、ガウス分布または準ガウス分布を備えた信号の実部と虚部を有することができ、ガウス信号の標準偏差に対する最大量子化レベルの比率であるヘッドルームは、最適なシンボル歪みを提供するように選択される。

さらに、この発明はそれに応じて、上記のようにデータを送信および受信するこの発明の方法を実行可能な手段を各々含む送信器と受信器を提供し、デジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）に基づくことができる。

固定小数点実装により、合計が可能な範囲より大きな数または小さな数になった際に発生する切り出しと、積の最下位ビットが破棄された際に発生する丸め込み誤差等の切り捨てという二種類の誤差が発生することがある。

この発明はさらに、信号の送信および受信を各々行うための送信器と受信器を備えたマルチキャリア変調システム内でデータを送信および受信する方法を提供し、該送信器および受信器は信号の一部に関連した実数と虚数を含む入力数字を各々受け取る複数の入力と、受け取った複数の入力数字の数値変換を行うための計算ブロックと、数値変換に従って入力数字から導いた実数と虚数を含む出力数字を各々提供するための複数の出力を有し、計算ブロックは数値変換を行い、信号の一部に関連した入力数字から導いた数字上で数値演算を行うための互いに関連した計算段階を有し、計算ブロックはさらに計算ブロック内で一つ以上の数字のスケーリングを行う為の少なくとも一つのスケーリング部を有し、数値変換全体で所定の範囲のアクティブウィンドウ内に実質的に数字を維持し、その方法は少なくとも一つのスケーリング部によってスケーリングし、計算ブロック内の数字がアクティブウィンドウの範囲を超えて飽和する確率を所定より低くでき、前記飽和した数字をアクティブウィンドウの範囲に切り出すことを含んでいる。

この発明は、ＯＦＤＭ等のマルチキャリア変調システムに適用されるように、ＦＦＴ設計により適した新規な方式を提供する。信号は、オーバフローを完全に避けるのではなく、ＩＦＦＴおよびＦＦＴ構造全体で低確率で発生するようにスケーリングする。オーバフローから生じる誤差のサイズは、ＤＳＰ内でオーバフローを処理する方法に依存する。劣化を最小限にするために、オーバフローは最大の正または負の値のオプションにおいて値を飽和させるべきである。これは、信号を切り出すことと等価である。新しい技術を用いて、ＦＦＴ構造内の信号をスケーリングし、切り出しと丸め込みの影響のバランスを取る。切り出しはいくつかの信号値に比較的大きな誤差をもたらすことがあるが、ＦＦＴの拡散効果、およびＯＦＤＭシステムが一般に誤差符号化／訂正を含むために、システム性能は全誤差に依存し、言い換えると、個々の値ではなくＦＦＴ出力全体のノイズパワーに依存する。

この発明では、飽和による切り出しは許容されているが、信号の統計的特性に従ってスケーリングを制御することと組み合わせて発生する。この発明は、信号の統計的特性を考慮し、切り出し誤差と丸め込み誤差等の切り捨ての間でＯＦＤＭに最適なバランスを与えるスケーリング因子を用いる方法で、ＦＦＴ／ＩＦＦＴ構造全体で固定小数点数字をスケーリングすることを含んでいる。ＦＦＴ／ＩＦＦＴ内の多くのポイントにおいて、信号の実部と虚部はガウス分布または準ガウス分布を有する。これらのポイントにおいて、ガウス分布に最適であると示された範囲内に適合するように、数字をスケーリングする。

ＦＦＴ／ＩＦＦＴの通常の設計プロセスでは、オーバフローが決して起こらないように数字をスケーリングする。これは通常、固定スケーリングまたはブロックスケーリングによって実現される。しかし、オーバフローを避けるために、量子化ステップを比較的大きくしなければならず、これは丸め込み誤差等の不要に大きな切り捨てをもたらす。これは文献では明確には述べられていないが、暗黙の設計基準は、ＦＦＴが任意出力の誤差の最大強度を最小限にするように設計されることである。

これは、ＯＦＤＭ用の最適なＦＦＴ／ＩＦＦＴ実装ではない。ＯＦＤＭでは、最終的な性能測定は通常、与えられた計算の複雑さに対する受け取った信号内のビットエラー率である。受信器内のＦＦＴ処理および誤差符号化の使用のために、これはさらに任意の一つの出力内の誤差の最大値ではなく、ＦＦＴ／ＩＦＦＴ出力全体での誤差の統計的特性に依存する。

この発明は、与えられた算術処理に対して最小の誤差率を実現できるか、または与えられた最大誤差率に対して算術処理を最小限に許容する。必要なビット数を低減することによって、さらに１６ビットのワード長内で二つの８ビットの数字を表す等の新規な構造を可能にし、ＦＦＴ／ＩＦＦＴの実装に必要な演算数を低減できる。

この発明は、ＯＦＤＭ内で使用可能な、ピーク対平均パワー低減技術（peak to average power reduction techniques）およびインパルス緩和技術（impulse mitigation techniques）で用いられる特別なＦＦＴ／ＩＦＦＴ演算で用いることもできる。この発明はさらに過大な変換を使用し、フィルタ処理を容易にすることを含むことができる。それはさらに、ＯＦＤＭＡ（直交周波数分割多重アクセス）内のいくつかの入力や出力をゼロにする変換に使用すること、または複数入力複数出力システムを含む複数アンテナを用いるＯＦＤＭシステム内で使用することを含むことができる。

この発明の実施例は直交周波数分割多重（ＯＦＤＭ）システムに関連して説明し、前記システムは特に一般的な種類のマルチキャリアシステムであり、そこでは離散フーリエ変換を用いて変調および復調を行う。

新しい技術を理解し分析するために、いくつかの異なるテーマについて背景情報が必要とされる。これらは、
ｉ．信号特性
ｉｉ．ＯＦＤＭ、特にＯＦＤＭ内のノイズの影響
ｉｉｉ．ＦＦＴ構造と固定小数点実装、および制限された算術精度の影響
ｉｖ．ＯＦＤＭのＩＦＦＴ／ＦＦＴ内の信号の統計値
ｖ．ガウス信号の量子化である。

この背景は以降の説明で与えられ、新しい技術に対してシミュレーション結果を提供し、既存の技術の結果と比較される。固定小数点ＤＳＰについての新技術の実装も提供される。

ＯＦＤＭ信号の実部と虚部は、準ガウス分布を有する。これは、高ピーク対平均比（ＰＡＰＲ）をもたらす。高ＰＡＰＲに最も一般的に関連した問題は、大きなダイナミックレンジを備えた送信器の出力増幅器の設計である。しかし、それは、受信器の入力における信号の量子化範囲を注意深く選択しなければならないことも意味する。

実際には、限定されたビット数を用いて、送信器および受信器のデジタル領域内の信号を表す。この制限は、受信器のフロントエンドのアナログ−デジタル変換の精度、または固定小数点デジタル信号処理（ＤＳＰ）実装内で数字を表すために用いられるビット数のいずれかによって設定される。

図１は、ガウスランダム変数のサンプル波形を示している。この例では、ランダム変数は単一の分散を有する。図２は、同じ信号の値の確率分布を示している。

大部分の値は０の近くに集中しているが長いテーリングがあり、図２に示した例では５に近い値もいくつかある。大きな振幅を備えた値は低い確率で発生するが、それらが発生する確率は小さいとはいえ有限である。データ速度が高いＯＦＤＭ受信器の関連では、毎秒数百万個のサンプルを受信でき、低い確率の事象でも比較的短い時間間隔で発生する。例えば、数分毎に故障するテレビジョン受信器は許容されないので、受信器は比較的希な高レベルサンプルが発生した場合でも適切に動作するように設計しなければならない。

ＯＦＤＭ信号を量子化する際には、切り出し誤差と量子化誤差という二種類の誤差が発生する。値がアナログデジタル変換器（ＡＤＣ）のアクティブウィンドウの範囲外にあり（飽和または過負荷領域とも呼ばれる）、最大または最小のレベルで量子化しなければならない場合は切り出し誤差が発生する。量子化器の範囲内の（粒状領域（granular region）と呼ばれることが多い）アナログ信号は量子化レベルの限定された数字の一つで近似されるので、量子化誤差が発生する。

ＯＦＤＭ信号を量子化する場合、与えられたビット数に対して切り出しと量子化ノイズの間にトレードオフの関係がある。ガウス分布は長いテーリングを有するので、個々の切り出し事象は非常に大きな誤差を発生させるが、これらの誤差は希にしか発生しない。図３は、−２と＋２の間に１７個の量子化レベルを備えたシステム内のガウス信号を示しており、粒状領域の外側のサンプルは切り出されている。本明細書では、「ヘッドルーム」は、ガウス信号の標準偏差に対する最大量子化レベルの比率のことである。ヘッドルームは、ｄＢ単位で測定すると便利なことが多い。従って、図３では、ヘッドルームは２０ｌｏｇ１０（２／１）ｄＢ、または６ｄＢである。量子化レベルの間の距離は、ｄによって表される。従って、ｋ個の量子化レベルを備えたシステムの場合は（数式１）となる。

量子化による誤差は通信システム内のノイズとして現れるので、それらは「切り出しノイズ（clipping noise）」および「量子化ノイズ（quantization noise）」と呼ばれる。量子化ノイズと切り出しノイズは、非常に異なる統計的特性を有する。ＯＦＤＭシステムでは切り出しは比較的希な事象であり、大部分の入力サンプルは量子化ノイズにさらされる。量子化ノイズは、ランダム変数である。量子化ノイズの分布は受けたアナログ信号の特性に依存するが、ＯＦＤＭ信号の場合は−ｄ／２と＋ｄ／２の間にほぼ均一に分布している。既知の結果によると、量子化レベルの間で信号が均一に分布している場合、量子化による平均二乗誤差は（数式２）によって与えられる。

ここで、ｎ_ｑ＝量子化レベルの数、ｄ＝量子化レベルの間の差である。

所定のヘッドルームに対してレベル数が増えると、ｄは減少し、平均二乗誤差も減少する。従って、レベル数が二倍になれば、（数式２）に従って量子化ノイズは６ｄＢだけ減少する。同様に、レベル数が一定に保持され、ヘッドルームｈ_ｒが二倍になれば（つまり、６ｄＢだけ増大すれば）、量子化ノイズも６ｄＢだけ増大する。ヘッドルームが１ｄＢ増大する毎に、量子化ノイズも１ｄＢだけ増大する。従って、量子化ノイズのパワーと分布はどちらも簡単に説明できる。

切り出しノイズは、より複雑な特性を有する。切り出しノイズは、インパルス形態である。切り出しノイズのインパルスは希にしか発生しないが、量子化よりずっと大きな振幅を有する。ヘッドルームが増大すると、切り出しの確率は減少する。

図４は、ヘッドルームの関数としてサンプルを切り出す確率を示している。目盛りは対数である。ヘッドルームの比較的小さな増加によって、切り出し確率は数桁低下する。例えば、ヘッドルームが１０ｄＢから１４ｄＢまで増大すると、切り出し確率は１０^−３から１０^−６まで減少する。図５は、切り出し毎の平均エネルギがヘッドルームによってどのように変化するかを示している。ヘッドルームの増大は、切り出し毎の平均エネルギを徐々にしか減少させない。

最適なヘッドルームを決定することは簡単な問題ではなく、システム設計全体の多くの要素に依存する。量子化ノイズと切り出しノイズの合計は、ヘッドルームによって変化する。ヘッドルームが増大すると、量子化ノイズは増大し、切り出しノイズは低下する。

図６は、ビット数の分解能を変えて、ガウスランダム変数の量子化についてヘッドルームに対する平均二乗誤差のシミュレーション結果を示している。それは、各ビット数の場合に、最小平均二乗誤差（ＭＭＳＥ：minimum mean square error）を与えるヘッドルームがあることを示している。これは最適なヘッドルームと考えられるが、多くの場合、ＯＦＤＭシステム内の最適ヘッドルームはＭＭＳＥのヘッドルームの数ｄＢ上にある。

最小値の右と左に対してガウス信号を量子化した結果として誤差分布を調べるために、我々は１６ビット表示で、１６ｄＢのヘッドルームと１２．５ｄＢのヘッドルームに対するシミュレーションを考慮し、最小値の両側で誤差分布を観察する。

図７は、１６ビットのＡＤＣと１６ｄＢのヘッドルームの結果のヒストグラムを示している。誤差パワーは平均信号レベルに対して規格化されているので、誤差パワーは信号パワーに対してノイズを測定することである。この量のヘッドルームでは切り出し量は無視でき、誤差分布は量子化レベルの間のサンプルの分布を表している。このヒストグラムで、平均誤差パワーより高いものを備えている「悪いサンプル」の周波数を確認することは簡単ではない。相補的累積分布（ＣＣＤ：complementary cumulative distribution）のグラフは、より高いパワー、低い確率の事象の発生をより明らかにする。

図８は、同じデータのＣＣＤを示している。グラフの−８２ｄＢ付近に急峻な減衰がある。このレベルを超えるサンプル内の誤差パワーの確率は非常に小さい。図９と１０は、ヘッドルームを１２．５ｄＢまで低減して同様の結果を示している。

図７と９の違いは、あまり明らかではない。しかし、図１０の累積分布は、ヘッドルームの低減効果をずっと明らかにしている。ここで、０ｄＢに近い誤差パワーを備えたサンプルがある。０ｄＢでは、サンプルの誤差パワーは信号の平均パワーに等しい。

図１０のグラフは、二つの別個の領域を有する。左側の領域は、量子化ノイズの結果である。右側の領域は、切り出しノイズの結果である。確率が急激に低下する値は、量子化レベルの間隔ｄに依存する。従って、量子化レベルの数を増減させると、低下が生じるｄＢが移動する。「平坦部」のレベルは切り出し確率を示し、ヘッドルームが増大すると平坦部はより低い確率で発生する。

平均二乗ノイズと切り出し確率の間にどのようなトレードオフがあるかを理解するために、ＯＦＤＭ受信器を全体として考える必要がある。図１１は、一般的に簡略化したＯＦＤＭ受信器のブロック図である。サンプリングされ量子化されるガウス信号は、シリアル−パラレル変換器への入力に存在する。ＯＦＤＭ信号の重要な特性は、このポイントにおけるサンプルが実質的に無相関なことである。従って、切り出し事象も実質的に無相関となる。あるサンプルを切り出したという事実は、周りのサンプルを切り出す確率を有意に変化させない。シリアル−パラレル変換器と誤差復号器（error decoder）からのデータ出力の間には、平均効果を有するいくつかのブロックがある。これらは、ＦＦＴと誤差復号器である。

切り出しノイズと量子化ノイズ効果の解析は、ＯＦＤＭ内でのインパルスノイズの解析と非常に密に関連している。インパルスノイズに関する文献では、その効果は「ノイズバケット」の概念を用いることによって予想できることが示されている。誤差性能は、一つの変換演算に対してＦＦＴへの全ての入力上でノイズの合計を考慮することによって正確に予想でき、ＦＦＴ入力間のエネルギ分布はほとんど影響しないことが実用上および理論上見出されている。誤差符号化の平均効果は、システムに依存する。デジタルビデオ放送（ＤＶＢ）の場合はシンボル間にインタリーブ（interleaving）はなく、誤差符号化器は一つのＦＦＴ演算内の誤差を補正できるだけである。いくつかの他のシステムでは、シンボル間にインタリーブがある。

図１２は、ＦＦＴへのパラレル入力上でノイズを平均化した結果を示している。ここで、ｘ軸は、６４サンプルおよび２０４８サンプルのフレーム上で平均化したノイズ対信号比である。これは、このノイズが６４個および２０４８個のサブキャリアを各々用いるシステム内で有する効果を示している。６４個のサブキャリアを用いる場合、一つ以上の入力を切り出す確率は約６４の因子だけ増大するが、平均ノイズパワーは因子６４（１８ｄＢ）だけ減少する。サブキャリアの数が２０４８まで増大すると、平均効果も増大する。この例では、ヘッドルームが増大すると全体のシステム性能は改善し、切り出し確率は低下する。これは、量子化ノイズの小さな増大を補償する以上の効果となる。

従って、図６に示した平均二乗誤差の結果は１２．５ｄＢが最適ヘッドルームに近いことを指摘しているが、ＯＦＤＭシステム全体を考慮するとヘッドルームはもっと高い方が全体の性能は良好になる。

直交周波数分割多重（ＯＦＤＭ）についてのこの発明の開示された実施例として、ＩＦＦＴとＦＦＴの固定小数点デジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）内の丸め込みと飽和の効果を示す。このＯＦＤＭは無線ＬＡＮ、ＨＤＴＶおよび４Ｇシステムを含む多くの新しく出現した広帯域通信システム内で用いられる変調技術である。

ＯＦＤＭ送信器の主な構成要素は逆高速フーリエ変換（ＩＦＦＴ）であり、受信器の場合はＦＦＴである。変換のサイズは用途に依存し、いくつかの無線ローカルエリアネットワーク（ＬＡＮ）規格の６４ポイントから、いくつかの放送デジタルテレビジョンシステムの８１９２ポイントの範囲である。ＤＳＰの計算能力と性能の増大によって、それらはＯＦＤＭ機能の実装に理想的な候補者となっている。実際の民生品は通常、コストおよび消費電力に敏感であり、このため、固定小数点ＤＳＰ方式が望まれる。しかし、固定小数点システムはダイナミックレンジが限られ、丸め込みノイズや算術オーバフローに関連した問題が発生する。

ＦＦＴ設計の方式は、オーバフローを避けるように信号をスケーリングすることである。より大きなＦＦＴと固定小数点実装を用いるＯＦＤＭシステムの場合、丸め込み誤差がシステム性能を著しく劣化させないように大きなワード長が必要とされる。最悪の場合、ＮポイントＦＦＴの場合、ＦＦＴ出力の値は最大値Ｎ×最大入力値を有することができ、入力と出力の間でＮに依存した因子でスケーリングする必要がある。通常のスケーリングは丸め込み誤差の全体の効果を低減するので、ＦＦＴ構造全体で分散される。基数２の実装のオーバフローの可能性を完全に除去するために、数字は各バタフライ段階後に１／２の因子でスケーリングしなければならない。オーバフローを避ける別の方法は、ブロック浮動小数点スケーリング（Block Floating Point scaling）を用いることである。これは、データに従ってＦＦＴの各段階でスケーリングを調整し、与えられた入力データに対してオーバフローが発生しないようにする。

しかし、この発明は、ＯＦＤＭ用のＦＦＴ設計により適した新しい方式を提供する。ＯＦＤＭでは、任意の一つの値のピーク誤差を最小にするのではなく、最適化すべきなのは受信器ＦＦＴの出力全体の合計の平均二乗誤差の統計値である。これは、ＦＦＴの拡散効果、およびＯＦＤＭが通常いくつかの誤差訂正または検出形式を用いるために、他の出力の誤差が小さい限りいくつかのＦＦＴ出力の大きな誤差は訂正されるからである。

最適な統計値は、オーバフローを避けるのではなく、ある低確率で発生可能にすることによって実現できる。オーバフローから生じる誤差のサイズは、ＤＳＰ内でオーバフローを処理する方法に依存する。劣化を最小にするために、オーバフローは最大の正または負の値のオプションにおいて値を飽和させるべきである。これは、信号を切り出すことと等価である。

新しい技術を用いて、平均二乗誤差を最適化するためにＦＦＴ構造内の信号をスケーリングする。信号が大きすぎると、切り出し確率が増大する。信号が小さすぎると、信号レベルに対して丸め込み誤差が大きくなる。最適なスケーリングは、ＩＦＦＴ／ＦＦＴ構造内の各段階における信号の統計的特性に依存する。

結果は、新しい技術を用いてＩＦＦＴ／ＦＦＴ構造を設計できることを示しており、所定の固定小数点精度の場合、それは切り出しを避ける既存の技術より著しく性能が優れている。ＦＦＴのサイズが増大するほど、実現可能な改善も増大する。システムの複雑さは既存の固定スケーリングと同様であり、ブロック浮動小数点のほど複雑ではない。固定小数点ＤＳＰに上記の方式を実装する際に派生する影響も決定されている。

算術オーバフローの問題は、より大きなＦＦＴを用いるＯＦＤＭシステムでは特に重要である。どんな入力条件でもオーバフローが生じないように、スケーリングを用いてＦＦＴを設計する場合は、丸め込み誤差が非常に重要となり、信号に対して許容不可能な信号対ノイズ比（ＳＮＲ：signal to noise ratio）をもたらすことがある。

別の方式は、ある低い確率で算術オーバフローを発生可能にすることである。これによって、信号内にいくらかのノイズも生じる。ノイズのレベルは、ＤＳＰ内でオーバフローを処理する方法と、ＦＦＴバタフライ構造内でオーバフローが発生する場所に依存する。劣化を最小にするために、オーバフローはフルスケールの正または負の値において飽和させるべきである。これは、信号を切り出すことと等価になる。出力段階における切り出しは、単一のバタフライ構造の出力だけに影響する。より早い段階における切り出しは、そのバタフライに依存する全ての出力に影響を与える。

図１３（ａ）と１３（ｂ）は、ＯＦＤＭ送信器と受信器の簡略化したブロック図を各々示している。ＦＦＴ設計に関して重要ではないいくつかのブロックは省略されている。送信器の主な構成要素はＩＦＦＴブロックであり、受信器はＦＦＴブロックである。

送信されるデータはまずシリアル−パラレル変換し、それから信号点配置からの値を表す複素数上にマッピングし、前記信号点配置は図１３（ａ）に示した１６ポイント信号点配置等に使用される。各入力は、一つの周波数において信号を制御する。ＩＦＦＴは、一つの演算において各サブキャリアの変調と、これらのサブキャリアの多重化を行う。それから、信号はパラレル−シリアル変換し、アナログ変換し、高周波数キャリア上で変調する。これを実現する方法の詳細とブロックの順番は、実際には変更できる。

受信器では、信号は低周波数に変換し、デジタル変換し、シリアル−パラレル変換し、ＦＦＴに入力する。ＦＦＴは、各サブキャリアの復調と逆多重化を行う。チャネルがノイズや歪みを生じない場合、受信器ＦＦＴの出力は送信器ＩＦＦＴの入力と一致する。実際には、チャネルは信号を歪ませ、ノイズを加える。チャネル内の歪みは、各サブキャリアの位相と振幅を変える効果を有する。これは単一のタップ等化器によって補正され、ＦＦＴの各出力と複素数を乗算し、位相と振幅の変化を補償する。それから、データは誤差復号器に入力される。深い減衰内にあるサブキャリアは非常に高い誤差率を有するので、ＯＦＤＭは通常誤差訂正用の誤差復号手段と共に用いられる。誤差復号手段の存在は、誤差率全体がＦＦＴ出力の任意の一つのノイズに依存せず、ＦＦＴ出力全体のノイズの統計値に依存することを意味する。これは、ＯＦＤＭ内のインパルスノイズに対して観察される「ノイズバケット」効果と密接に関連している。

ＦＦＴは、ＤＦＴを計算するためのアルゴリズムである。時間間引き、周波数間引き、基数２、基数４等の複数の異なるアルゴリズムが存在する。しかし、それらは全て、バタフライ構造を用いている。図１４（ａ）と１４（ｂ）は８ポイント、基数２のＦＦＴ用のバタフライ構造を示しており、個々のバタフライは丸め込み誤差等の切り捨てによるノイズを示している。このＦＦＴのアルゴリズムは、バタフライ構造に基づいている。

各バタフライは、乗算と加算を含んでいる。固定小数点算術を用いる場合、丸め込みとおそらくオーバフローが発生する。これらが発生するバタフライ内の正確なポイントは、実装の詳細に依存する。各段階の間では、スケーリング因子も用いられる。ＭａｔｈｗｏｒｋｓシミュレーションのＭａｔｌａｂ（登録商標）では、図１４（ｃ）の構造を用いて各段階をモデル化した。量子化は、各段階の出力においてのみモデル化した。各段階内では、無限精度であると仮定した。各バタフライにおいて、二つの入力を二つの回転因子と乗算し、積の合計と差を計算した。

デジタル信号プロセッサ上には、図１４（ａ）のスケーリング因子を備えた８ポイント、基数２のＦＦＴのバタフライ構造を適用した。この実施例のデジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）は固定数の処理ビットを有し、信号を受け取るための入力、信号を処理するための計算ブロック、および前記処理した信号を出力するための出力を備え、計算ブロックは高速フーリエ変換（ＦＦＴ）または逆高速フーリエ変換（ＩＦＦＴ）構造を有し、ＦＦＴまたはＩＦＦＴ構造内の入力で受け取った信号の所定量の飽和を可能にするようにプログラムされる。

デジタル信号プロセッサの計算ブロックは信号の実部と虚部を処理するように構成し、前記信号はガウス分布または準ガウス分布を有し、ガウス信号の標準偏差に対する最大量子化レベルの比であるヘッドルームはＥ［ｎ_ｑ ^２］＝ｄ^２／１２によって与えられる量子化による所定の平均二乗誤差（Ｅ）を提供するように選択し、ここでｎ_ｑは量子化レベルの数であり、ｄは量子化レベルの間の距離である。

デジタル信号プロセッサは計算ブロック内に複数の段階を有し、前記段階はガウス分布または準ガウス分布を備えた信号の実部と虚部の累積分布に作用する。図１８に示したように、各計算段階におけるスケーリングは各部の入力で１／２となるように示されており、右側にはスケーリングはない（つまり１）。計算ブロックはアクティブウィンドウ内で信号の実部と虚部を処理するように構成し、限られた数の量子化レベルの一つに信号を量子化し、計算ブロックの計算段階の所定の複数のバタフライ段階による変換に従って処理する。

全体のシステム性能を理解するには、シンボル歪みの統計値を考慮しなければならない。多くのシステムの誤差訂正または検出はシンボルベースによりシンボル毎に動作するので、各シンボル内のシンボル歪みは重要である。一つのシンボル内の高い歪みは、別のシンボル内の低い歪みでは補償されない。

ＦＦＴまたはＩＦＦＴを設計し、固定小数点実装の所定のビット数に対してシンボル歪みの統計値を最適化するために、送信器ＦＦＴと受信器ＩＦＦＴ全体で信号の統計的特性を決定する必要がある。

送信器では、送信器ＩＦＦＴへの入力における信号は信号点配置に依存する。４ＱＡＭを用いる場合、各複素入力は四つの可能な値±１±ｊ（おそらくスケーリング因子で乗算される）の一つを有する。１６ＱＡＭの場合は１６個の可能な入力値があり、６４ＱＡＭの場合は６４個ある。

ＯＦＤＭシステムのＩＦＦＴとＦＦＴ内の信号は、複素ランダム変数である。丸め込みと切り出しの効果は、ＦＦＴとＩＦＦＴの構造全体の信号の確率分布に依存する。図１５（ａ）と１５（ｂ）は、送信器ＩＦＦＴ構造内の様々な段階における実部の相補的累積分布のグラフである。スケーリングを用いないので、前の段階からの信号を合計すると信号の平均二乗値は各段階で増大する。この形態の表現は、分布のテーリングを容易に比較するために用いられる。切り出しの確率は高すぎないようにしなければならないので、これらは切り出しを用いる設計では重要である。図１５（ａ）は、４ＱＡＭ用の分布を示している。最初の三段階の場合、出力は明らかにガウス分布を有していないが、第四段階までには分布のテーリングはガウス分布にかなり接近し、第四段階後はガウス分布からの違いは無視できる。図１５（ｂ）は、６４ＱＡＭの場合の分布を示している。可能な入力値の数が増えたために信号はより早い段階で準ガウス分布になる。

図１５（ａ）と１５（ｂ）で注意すべき別の重要なポイントは、任意の段階への入力がガウス分布であれば、出力はパワーを３ｄＢ増大させたガウス分布となることである。つまり、平均パワーが因子２だけ増大し、振幅は√２だけ増大する。なお、最大信号は因子２だけ増大するが、平均振幅は√２だけ増大する。これは、各段階でスケーリング因子０．５を用いるＦＦＴ設計の「古典的」方法を用いると、平均パワーは各段階で３ｄＢだけ低下することを意味する。

大部分のＯＦＤＭシステムは６４個以上のサブキャリアを用い、送信器ＩＦＦＴの出力における信号の実部と虚部の分布はガウス分布に非常に近いことがわかっている。

受信器ＦＦＴ内の信号の解析は通信チャネルに依存するので、より複雑である。歪みを発生させずノイズを追加しない「理想的な」チャネルの場合、受信器ＩＦＦＴ内の分布は送信器ＦＦＴ内のものと一致するが、逆の順番になる。言い換えると、分布は早い段階ではガウス分布であるが、出力では信号点配置によって離散的な値を取る。実際には、最も良好なラジオチャネルでさえ受信したサブキャリアに位相変化を引き起こし、−πから＋πの範囲で実質的に不均一な分布となってもよく、その結果、ＦＦＴ出力においてでさえ分布は離散的ではなく連続的になる。分布はチャネルに依存し、通常はガウス分布にはならないが、大きな値は比較的希に発生し、小さな値はより一般的であるという特性は共有している。

ＩＦＦＴとＦＦＴ内の多くのポイントにおいて、信号の実部と虚部が少なくとも実質的にガウス分布を有することを実現するという観点において、ガウス信号の最適量子化を決定できる。従って、主な問題は、この信号をどのように表せば、シンボル歪みの統計値を最適化できるかということである。この問題はＯＦＤＭ内のＦＦＴ設計に関してはこれまで解析されていなかったが、丸め込みと同様に切り出しを可能にする場合、その問題はガウス信号の最適量子化の問題と非常に密接に関係している。所定のビット数の場合、小さな切り出し確率と大きな丸め込み誤差をもたらす大きな量子化ステップと、高確率の切り出しと小さな丸め込み誤差を備えた小さな量子化ステップの間にはトレードオフの関係がある。この問題は、アナログデジタル変換器に関しては文献で検討されている。

ガウスランダム変数の量子化は従来、一般的、およびＯＦＤＭ用のアナログデジタル変換器（ＡＤＣ）の設計に関しての両方で広く研究されていた。これらの結果は、固定小数点算術の飽和および丸め込みの問題に直接適用できる。均一な量子化器の特性を説明するために、三つの関連パラメータを定義しなければならない。これらは、量子化レベル間の距離ｄ、量子化レベルの数ｋ、および最大量子化レベルとなるヘッドルームｈ_ｒである。この明細書では、ｈ_ｒは信号の二乗平均平方根（ＲＭＳ：root mean square）に対して規格化される。量子化がゼロの周りで対称な場合、三つのパラメータは（数式３）によって関連づけられる。

量子化ノイズと切り出しノイズは、非常に異なる統計的特性を有する。ＯＦＤＭシステムでは切り出しは比較的希な事象であるが、大部分のサンプルは量子化ノイズにさらされる。通常、量子化ノイズは、−ｄ／２と＋ｄ／２の間にほぼ均一に分布している。所定のｈ_ｒに対してｋが二倍になると、量子化ノイズは６ｄＢだけ減少する。同様に、ｋが一定に保持され、ｈ_ｒが６ｄＢだけ増大すれば、量子化ノイズも６ｄＢだけ増大する。切り出しノイズは、より複雑な特性を有する。切り出しノイズは、インパルス形態である。切り出しノイズのインパルスは希にしか発生しないが、量子化よりずっと大きな振幅を有することができる。ｈ_ｒが増大すると、切り出しの確率は減少する。

図１６は、ビット数の分解能を変えた場合のヘッドルームの関数として最小平均二乗誤差（ＭＭＳＥ：minimum mean square error）を示している。「ヘッドルーム」は、信号の実部の二乗平均平方根（ｒｍｓ：root mean square）に対する最大量子化レベルの比率として定義されている。図１０は、１２．５ｄＢのヘッドルームｈ_ｒと、ｋ＝２^１６、つまり各値を表すために１６ビットを用いる場合に、ガウス変数の量子化における誤差の相補的累積分布を示している。グラフは、二つの別個の領域を有する。左側の領域は、量子化ノイズの結果である。右側の領域は、切り出しノイズの結果である。領域の間の遷移部におけるノイズ対信号レベルは、ｄに依存する。「平坦部」のレベルは切り出し確率を示し、ｈ_ｒが増大すると平坦部はより低い確率で発生する。しかし、ガウス分布の無限のテーリングのために、常にゼロではない切り出し確率があり、グラフはパラメータの値にかかわらず、同じ基本形態を有する。

図６に戻ると、８、１０、１２、１４、１６ビット分解能の値の量子化レベル数に対して、ガウス信号の平均二乗誤差が示されている。それは、各ビット数に対して、最小平均二乗誤差（ＭＭＳＥ）を与えるヘッドルームがあることを示している。しかし、ＭＭＳＥヘッドルームは、ＯＦＤＭにおいて最善なシステム性能を与えるとは限らない。低確率の高ノイズおよび切り出し事象の影響も考慮しなければならない。図６からは、ガウス変数を表すために８ビット以上を用いる場合、サンプル毎の平均二乗誤差を最小にするヘッドルームは１０〜１５ｄＢの間であることがわかる。

平均二乗誤差が実際のヘッドルームに対してどの程度敏感であるかを知ることも有用である。言い換えると、最小ポイントからわずかに移動しただけで、平均二乗誤差が著しく変化するかどうかということである。

図６は、ビット数が増大すると、最小平均二乗誤差は減少することを示している。特に、ヘッドルームが最適値より低い場合、最小値はヘッドルームにかなり敏感な関数となる。この場合、あまりにも多くの信号サンプルが切り出されてしまう。逆に、ヘッドルームが高すぎる場合、平均二乗誤差はあまり急速には増大しない。大きすぎるヘッドルームの影響は、丸め込み誤差をわずかに増大させるだけである。

よりよいＯＦＤＭ送信器および受信器を設計するために、変換構造用の固定スケーリング因子はシンボル歪みを最適化するように考慮する必要がある。その性能はブロック浮動小数点実装を用いる変換と比較され、ブロック浮動小数点実装の場合、特定のデータがオーバフローを引き起こすかどうかに依存して各段階でスケーリングを行う。

ここで、切り出しを制御したＦＦＴを特定のＯＦＤＭ用途に設計可能な方法を示すために、上記の情報をまとめて提示する。

前項の主要な結果をまとめると、
（ａ）ＯＦＤＭシンボルの性能は、そのシンボルに追加された全ノイズの統計値に依存する。
（ｂ）ＩＦＦＴおよびＦＦＴ内の多くのポイントにおける信号は、ガウス分布を有する。
（ｃ）ガウス信号を量子化する場合、量子化器のヘッドルームに依存して、切り出し誤差と丸め込み誤差の間にトレードオフの関係がある。
（ｄ）各段階において、少なくともガウス分布または準ガウス分布の信号に対してＦＦＴ内で信号パワーが二倍になれば、平均振幅は√２だけ増大する。

スケーリングの最適設計および選択を行うことは、ＦＦＴ／ＩＦＦＴ全体で信号パワーを調整し、各ポイントにおけるヘッドルームによって切り出しと丸め込みを最適に折衷させることである。最適値は、システム設計全体の多くの面に依存し、それらはサブキャリアの数、他のノイズ源のパワーおよび統計値、固定小数点表示で用いられるビット数を含んでいる。ガウス信号の場合、最適ヘッドルームは一般に、ＭＭＳＥのヘッドルームのやや上にある。変換全体で最適ヘッドルームを保持するために、信号パワーは一定またはほぼ一定に保持しなければならない。従って、基数２ベースの構造の場合、最適スケーリング因子は各段階で１／√２となる。ＤＳＰ上により容易に実装されるやや部分最適な構造は、一つおきの段階で１と１／２でスケーリングする（単に左にシフトさせる）ことである。

新しい技術を用いて設計したＦＦＴを組み込んだＯＦＤＭ受信器の性能を調べるために、Ｍａｔｌａｂ（登録商標）シミュレーションを用い、既存の固定スケーリングとブロック浮動小数点実装を用いた場合の性能と比較した。図１７は、受信器のシミュレーションで用いたモデルを示している。

全体のシステム性能に対する受信器ＦＦＴの設計の効果を理解するために、ＦＦＴへの入力において信号を固定小数点形式で表す方法を考慮しなければならない。必然的に入力における信号がアナログ−デジタル変換器（ＡＤＣ）の有限の範囲によって既に制限される場合、切り出しを完全に避けるＦＦＴ設計にはほとんどポイントが現れなくなる。

図１７では、これは「ＡＤＣ」ブロックによって示されている。しかし、実際には、この高周波アナログからベースバンドデジタルへの変換は複数の機能を含むことができる。ＦＦＴ内に発生する切り出しの量は、ＡＤＣのヘッドルームに直接依存する。このシミュレーションは、ＡＤＣの効果を含んでいる。図１７の基数２のバタフライ段階は各々、図１４（ｃ）に示した構造を有する。

図１７の第一段階は入力パワーと入力ＡＤＣの形態を変化させることと等価であるのでスケーリングはなく、それを除いてスケーリングはブロックの入力で発生し、量子化は出力で発生する。入力信号は、ガウス分布の実部と虚部を備えた複素信号としてモデル化される。実際には、受信したＯＦＤＭ信号の形態はチャネルに依存する。ガウス入力の性能は、大部分のチャネルの可能な性能とＦＦＴの異なる設計の相対性能について良好な指標を与える。

シミュレーションは、異なる設計のＦＦＴに対して実行した。新技術からの出力のＭＳＥは、サンプル毎とシンボル毎の二つの方法で計算した。「サンプル毎の誤差」は、各変換演算のＦＦＴ出力における各複素値に対して計算した。「シンボル毎の誤差」は、各変換演算に対してサンプル毎のＭＳＥを平均化することによって計算した。多くのシステムでは、誤差符号化はシンボル毎にのみ動作し、シンボル間にインタリーブはないので、第二の方法はＯＦＤＭシステムの性能について良好な指標を与える。結果は、各段階で１／√２のスケーリングを用いる新技術、一つおきの段階で１と０．５のスケーリングを用いる新技術、各段階で０．５のスケーリングを用いる既存のＦＦＴ設計、ＢＦＰを用いるＦＦＴの四つの異なるＦＦＴ設計に対して考察した。ＡＤＣだけで引き起こされる障害も計算した。シミュレーションは、複数値のＦＦＴサイズＮ、および固定小数点精度のビット数ｂを変えて行った。

図１９は、異なるＦＦＴ設計、および１６ビット精度を用いたＡＤＣのみの場合のサンプル毎のＭＳＥを示している。ヘッドルームが０ｄＢから約１４ｄＢまで増大すると、ＡＤＣのみの場合の誤差は低下する。ＦＦＴの結果は、一般に同様の形態を有する。最小値は３ｄＢだけ増加するが、これはＡＤＣへの入力と第一バタフライの量子化の間にパワーで３ｄＢの上昇があるためである。言い換えると、最小値も、量子化段階の約１４ｄＢのヘッドルームにおいて発生している。これは、ガウス変数の量子化に対する図６の結果と一致している。最小値の右側では、大部分のグラフは単一の傾斜で上昇している。各段階で０．５のスケーリングを用いる既存の設計は、最悪の性能を有する。これは、信号パワーが各段階で低下しているためである。二つの形式の新技術は、０．５と１のスケーリングを交互に用いる場合に小さな損失があるだけでよりよい性能を与える。

ＢＦＰの性能は、ヘッドルームがやや変化すると非常に大きく変化することを示している。ＢＦＰの結果は、シミュレーションの実行中も劇的に変化する。これは、性能が非常に低い確率の「悪いシンボル」に支配されているためである。これらは、非常に高いピーク対平均比を備えたシンボルであり、切り出しを避けるためにＢＦＰを各段階で０．５だけスケーリングさせる。これによって、高い値の丸め込みノイズをもたらす。これらの悪いシンボルに対する性能は、ヘッドルームの小さな変化で著しく変化することがある。これは、ＡＤＣで高いピークが切り出される場合、ブロック浮動小数点ではあまりスケーリングを必要としないためである。

図２０、２１および２２は、異なる設計のサブキャリア数に対してＭＳＥがどのように変化するかを示している。図２０と２１を比較すると、新しい設計の場合はＮが増大しても性能はあまり劣化しないことがわかる。ＢＦＰの場合、切り出しを避けるためのスケーリングの変化が補償するので性能はヘッドルームに対してずっと敏感ではなくなる。

ＯＦＤＭでは、シンボル毎の統計値も重要である。図２３と２４は、サンプル毎のＭＭＳＥの値のちょうど上下のｈ_ｒの値に対して、既存の０．５重み付けと、０．５と１の重み付けを交互に用いた新しい方法のＣＣＤを示している。パラメータは、図１９の場合と同様である。図２５では、ｈ_ｒ＝１４ｄＢの場合、大部分のシンボルに対してシンボル毎のＭＳＥは低くなるが、約０．０５に平坦部があることがわかる。言い換えると、ｈ_ｒ＝１４ｄＢの場合、約５％のシンボルではシンボル毎のＭＥＳはより高い値を有する。閾値が増大すると平坦部の確率は急速に低下し、１８ｄＢと２０ｄＢの場合はグラフではもはや確認できない。しかし、ガウス分布の無限の性質のために常に平坦部は存在する。ヘッドルームは、この平坦部に関連した確率が許容可能になるように選択すべきである。これは通常、ＭＭＳＥのヘッドルームのやや上になる。図２４は、新しい方法の結果を示している。なお、ノイズパワーは著しく低くなる。

これらの新しいスケーリング方法をＤＳＰ上に実装する実現可能性を示すために、Ａｎａｌｏｇ Ｄｅｖｉｃｅｓ Ｂｌａｃｋｆｉｎ（登録商標）プロセッサに対してコードを書き込んだ。このプロセッサは、ＤＳＰとＭＣＵの両方の機能を特徴としている。この場合に用いたＢｌａｃｋｆｉｎプロセッサはＡＤＳＰ−ＢＦ５３３であり、最大１，５１２ＭＭＡＣ（メガ積和演算／秒）、１．２Ｍビットの高速ＳＲＡＭおよび極めて低い消費電力を特徴としている。

コードは、Ｂｌａｃｋｆｉｎのウェブサイトから容易に入手可能な現在の範囲のＦＦＴアルゴリズムから適用した。実装は既に非常に最適化され、ＦＦＴ用にサポートされた既存のＢｌａｃｋｆｉｎ命令セットを十分に利用している。Ａｎａｌｏｇ Ｄｅｖｉｃｅｓ ＶｉｓｕａｌＤＳＰ＋＋ＩＤＥ（統合開発環境）を用いて、コードの実装およびデバッグを行った。

原理の一例は、「時間間引き（decimation in time）」のバタフライである。各バタフライは、上側と下側の二つの出力結果を有する。上側はａと呼び、下側はｂと呼ぶ。回転因子は、Ｗ_ｎである。シミュレーション内のＤＩＴバタフライの実装用のコードには次のものが含まれる。

上側出力：Ｏ_ａ＝Ｉ_ａ＋Ｗ_ｎ.Ｉ_ｂ
下側出力：Ｏ_ｂ＝Ｉ_ａ−Ｗ_ｎ.Ｉ_ｂ

全ての数字は、複素数である。ＤＳＰは、離散的乗算を用いてこれらの計算を行う必要がある。従って、それらは実部と虚部に分ける必要がある。次式では、簡略化のために「Ｏ_ｂ」の「ａ」と「ｂ」の部分は省略している。

Ｗ＝Ｗ_ｒ＋Ｗ_ｉ.ｉ
Ｉ＝Ｉ_ｒ＋Ｉ_ｉ.ｉ

Ｉ.Ｗ＝（Ｗ_ｒ＋Ｗ_ｉ.ｉ）.（Ｉ_ｒ＋Ｉ_ｉ.ｉ）
＝Ｗ_ｒ.Ｉ_ｒ−Ｗ_ｉ.Ｉ_ｉ＋（Ｗ_ｉ.Ｉ_ｒ＋Ｗ_ｒ.Ｉ_ｉ）.ｉ

Ｏ_ａを計算する場合、実部と虚部の二つの別個の結果を計算する。
実部：Ｏ（ａ）＝Ｉ（ａ）_ｒ＋［Ｗ_ｒ.Ｉ（ｂ）_ｒ−Ｗ_ｉ.Ｉ（ｂ）_ｉ］
虚部：Ｏ（ａ）＝Ｉ（ａ）_ｉ＋［Ｗ_ｉ．Ｉ（ｂ）_ｒ＋Ｗ_ｒ．Ｉ（ｂ）_ｉ］

Ｏ_ｂの計算は、実質的に同一である。
実部：Ｏ（ｂ）＝Ｉ（ａ）_ｒ−［Ｗ_ｒ.Ｉ（ｂ）_ｒ−Ｗ_ｉ.Ｉ（ｂ）_ｉ］
虚部：Ｏ（ｂ）＝Ｉ（ａ）_ｉ−［Ｗ_ｉ.Ｉ（ｂ）_ｒ＋Ｗ_ｒ.Ｉ（ｂ）_ｉ］

従って、実部は、二つの乗算と三つの加算／減算を有する。下に示したコードでは、スケーリングはバタフライ段階毎に行われ、一例を表している。

最初に、段階数−３のループを設定する。それは、バタフライ計算の一般的な実装である。第一入れ子ループ（nested loop）は、各段階においてバタフライ数の半分用に設定する。第二入れ子ループは、各バタフライ内のライン数用に設定する。計算は、出力アレイ上で行われる。スケーリングのために２で除算した後、出力を格納する。一つのループでは、二つのバタフライデータを読み込み、処理する。

Ｉ０＝Ｂ０；
Ｉ２＝Ｂ２；
Ｉ３＝Ｂ２； ／／出力アレイのアドレス
Ｐ０＝Ｐ３＜＜２；
Ｍ２＝Ｐ０； ／／Ｍ２は複製ラインのオフセットを保持する
Ｐ０＋＝−４；
Ｍ０＝Ｐ０；

Ｐ５＝Ｐ５＞＞１；
Ｒ７＝Ｒ７＞＞＞１‖Ｉ３＋＝Ｍ２；
Ｍ１＝Ｒ７
Ｐ３＋＝−１；
１ｓｅｔｕｐ（Ｌｏｏｐ１＿ｓｔｒｔ，Ｌｏｏｐ１＿ｅｎｄ）ＬＣ０＝Ｐ５；
／／バタフライ数用にループを設定する
Ｌｏｏｐ１＿ｓｔｒｔ：
Ｉ１＝Ｂ３； ／／回転因子のアドレス
Ｒ２＝［Ｉ２＋＋］；
Ｒ３＝［Ｉ１＋＋Ｍ１］‖Ｒ４＝［Ｉ３＋＋］；

１ｓｅｔｕｐ（Ｌｏｏｐ２＿ｓｔｒｔ，Ｌｏｏｐ２＿ｅｎｄ）ＬＣ１＝Ｐ３；
／／ライン数用にループを設定する
Ｌｏｏｐ２＿ｓｔｒｔ：
Ｒ５＝Ｒ２＋｜＋Ｒ４，
Ｒ６＝Ｒ２−｜−Ｒ４（ＡＳＲ）‖Ｒ３＝［Ｉ１＋＋Ｍ１］
‖Ｒ４＝［Ｉ３＋＋］；
Ａ１＝Ｒ３．Ｌ^＊Ｒ４.Ｈ，
Ａ０＝Ｒ３．Ｌ^＊Ｒ４.Ｌ‖［Ｉ０＋＋Ｍ２］＝Ｒ５‖Ｒ２＝［Ｉ２＋＋］；

Ｌｏｏｐ２＿ｅｎｄ：Ｒ４.Ｈ＝（Ａ１＋＝Ｒ３.Ｈ^＊Ｒ４.Ｌ），Ｒ４.Ｌ＝（Ａ０−＝Ｒ３.Ｈ^＊Ｒ４.Ｈ）
‖Ｉ０−＝Ｍ０‖［Ｉ０］＝Ｒ６；

Ｒ５＝Ｒ２＋｜＋Ｒ４，Ｒ６＝Ｒ２−｜−Ｒ４（ＡＳＲ）‖＝Ｉ２＋＝Ｍ２；
Ｉ３＋＝Ｍ２‖［Ｉ０＋＋Ｍ２］＝Ｒ５；
Ｌｏｏｐ１＿ｅｎｄ：
［Ｉ０＋＋］＝Ｒ６；

Ｐ３＋＝１；
Ｐ３＝Ｐ３＜＜１；
Ｒ０＋＝−１；
Ｂ１＝Ｂ０；
Ｂ０＝Ｂ２；
Ｂ２＝Ｂ１；
ＣＣ＝Ｒ０＝＝０；
Ｉｆ！ＣＣ Ｊｕｍｐ Ｌｏｏｐｆｏｒ＿ｍ（ＢＰ）；
／／ｍ用のループ，
ｊｕｍｐ Ｅｓｃ＿ｍｉｄ；

ここは、各バタフライ段階でシフトを行わないバタフライ実装の一例である。この例では、一つおきのバタフライ段階のみでシフトを行う。

ｃｃ＝ｂｉｔｔｓｔ（Ｒ０，０）；
ｉｆ ｃｃ ｊｕｍｐ ＮＯ＿ＳＨＩＦＴ；

Ｉ０＝Ｂ０；
Ｉ２＝Ｂ２；
Ｉ３＝Ｂ２； ／／出力アレイのアドレス
Ｐ０＝Ｐ３＜＜２；
Ｍ２＝Ｐ０； ／／Ｍ２は複製ラインのオフセットを保持する
Ｐ０＋＝−４；
Ｍ０＝Ｐ０；

Ｐ５＝Ｐ５＞＞１；
Ｒ７＝Ｒ７＞＞＞１‖Ｉ３＋＝Ｍ２；
Ｍ１＝Ｒ７；
Ｐ３＋＝−１；

１ｓｅｔｕｐ（Ｌｏｏｐ１ａ＿ｓｔｒｔ，Ｌｏｏｐ１ａ＿ｅｎｄ）ＬＣ０＝Ｐ５；
／／バタフライ数用にループを設定する
Ｌｏｏｐ１ａ＿ｓｔｒｔ：
Ｉ１＝Ｂ３； ／／回転因子のアドレス
Ｒ２＝［Ｉ２＋＋］；
Ｒ３＝［Ｉ１＋＋Ｍ１］‖Ｒ４＝［Ｉ３＋＋］；

１ｓｅｔｕｐ（Ｌｏｏｐ２ａ＿ｓｔｒｔ，Ｌｏｏｐ２ａ＿ｅｎｄ）ＬＣ１＝Ｐ３；
／／ライン数用にループを設定する
Ｌｏｏｐ２ａ＿ｓｔｒｔ：
Ｒ５＝Ｒ２＋｜＋Ｒ４，Ｒ６＝Ｒ２−｜−Ｒ４（ＡＳＲ）‖Ｒ３＝［Ｉ１＋＋Ｍ１］
‖Ｒ４＝［Ｉ３＋＋］；
Ａ１＝Ｒ３．Ｌ^＊Ｒ４.Ｈ，
Ａ０＝Ｒ３．Ｌ^＊Ｒ４.Ｌ‖［Ｉ０＋＋Ｍ２］＝Ｒ５｜｜Ｒ２＝［Ｉ２＋＋］；
Ｌｏｏｐ２ａ＿ｅｎｄ：Ｒ４.Ｈ＝（Ａ１＋＝Ｒ３.Ｈ^＊Ｒ４.Ｌ），
Ｒ４.Ｌ＝（Ａ０−＝Ｒ３.Ｈ^＊Ｒ４.Ｈ）
‖Ｉ０−＝Ｍ０‖［Ｉ０］＝Ｒ６；

Ｒ５＝Ｒ２＋｜＋Ｒ４，Ｒ６＝Ｒ２−｜−Ｒ４（ＡＳＲ） ‖＝Ｉ２＋＝Ｍ２；
Ｉ３＋＝Ｍ２‖［Ｉ０＋＋Ｍ２］＝Ｒ５；
Ｌｏｏｐ１ａ＿ｅｎｄ：
［Ｉ０＋＋］＝Ｒ６；

Ｐ３＋＝１；
Ｐ３＝Ｐ３＜＜１；
Ｒ０＋＝−１；
Ｂ１＝Ｂ０；
Ｂ０＝Ｂ２；
Ｂ２＝Ｂ１；
ＣＣ＝Ｒ０＝＝０
Ｉｆ！ＣＣ Ｊｕｍｐ Ｌｏｏｐｆｏｒ＿ｍ（ＢＰ）；
／／ｍ用のループ

ＮＯ＿ＳＨＩＦＴ：
Ｉ０＝Ｂ０；
Ｉ２＝Ｂ２；
Ｉ３＝Ｂ２； ／／出力アレイのアドレス
Ｐ０＝Ｐ３＜＜２；
Ｍ２＝Ｐ０； ／／Ｍ２は複製ラインのオフセットを保持する
Ｐ０＋＝−４；
Ｍ０＝Ｐ０；

Ｐ５＝Ｐ５＞＞１；
Ｒ７＝Ｒ７＞＞＞１‖Ｉ３＋＝Ｍ２；
Ｍ１＝Ｒ７
Ｐ３＋＝−１；
１ｓｅｔｕｐ（Ｌｏｏｐ１ｂ＿ｓｔｒｔ，Ｌｏｏｐ１ｂ＿ｅｎｄ）ＬＣ０＝Ｐ５；
／／バタフライ数用にループを設定する
Ｌｏｏｐ１＿ｓｔｒｔ；
Ｉ１＝Ｂ３； ／／回転因子のアドレス
Ｒ２＝［Ｉ２＋＋］；
Ｒ３＝［Ｉ１＋＋Ｍ１］‖Ｒ４＝［Ｉ３＋＋］；
１ｓｅｔｕｐ（Ｌｏｏｐ２ｂ＿ｓｔｒｔ，Ｌｏｏｐ２ｂ＿ｅｎｄ）ＬＣ１＝Ｐ３；
／／ライン数用にループを設定する
Ｌｏｏｐ２ｂ＿ｓｔｒｔ；
Ｒ５＝Ｒ２＋｜＋Ｒ４，Ｒ６＝Ｒ２−｜−Ｒ４‖Ｒ３＝［Ｉ１＋＋Ｍ１］
‖Ｒ４＝［Ｉ３＋＋］；
Ａ１＝Ｒ３．Ｌ^＊Ｒ４．Ｈ，
Ａ０＝Ｒ３．Ｌ^＊Ｒ４．Ｌ‖［Ｉ０＋＋Ｍ２］＝Ｒ５‖Ｒ２＝［Ｉ２＋＋］；
Ｌｏｏｐ２ｂ＿ｅｎｄ：Ｒ４．Ｈ＝（Ａ１＋＝Ｒ３．Ｈ^＊Ｒ４．Ｌ），
Ｒ４．Ｌ＝（Ａ０−＝Ｒ３．Ｈ^＊Ｒ４．Ｈ）
‖Ｉ０−＝Ｍ０‖［Ｉ０］＝Ｒ６；

Ｒ５＝Ｒ２＋｜＋Ｒ４，Ｒ６＝Ｒ２−｜−Ｒ４ ‖＝Ｉ２＋＝Ｍ２；
Ｉ３＋＝Ｍ２‖［Ｉ０＋＋Ｍ２］＝Ｒ５；
Ｌｏｏｐ１ｂ＿ｅｎｄ
［Ｉ０＋＋］＝Ｒ６；

Ｐ３＋＝１；
Ｐ３＝Ｐ３＜＜１；
Ｒ０＋＝−１；
Ｂ１＝Ｂ０；
Ｂ０＝Ｂ２；
Ｂ２＝Ｂ１；
ＣＣ＝Ｒ０＝＝０；
Ｉｆ！ＣＣ Ｊｕｍｐ Ｌｏｏｐｆｏｒ＿ｍ（ＢＰ）；

Ｍａｔｌａｂ（登録商標）は、データ生成および解析ツールとして用いた。Ｍａｔｌａｂ（登録商標）内のＦＦＴ機能は、参照ＦＦＴ実装を提供し、さらに入力ノイズサンプルを生成するために用いた。結果を解析するために、Ｍａｔｌａｂ（登録商標）のスクリプトも作成した。

この特定の場合、実装には２５６ポイント、基数２、時間間引きアルゴリズムを選択した。このアルゴリズムでは、１６ビット複素ＦＦＴを実装している。二つのスケーリング方法を比較した。第一は、バタフライ段階毎に１／２だけスケーリングする標準的なスケーリング方法である。第二の方法は、一つおきのバタフライ段階毎に１／２だけスケーリングした。

試験ハーネスはガウス分布の入力データを生成し、入力ファイルの手段を介してＤＳＰ実装に渡す場所に生成した。ＤＳＰ試験ハーネスは入力データを読み込み、出力ファイルを生成するＤＳＰコードを介してデータを処理し、前記出力ファイルはＭａｔｌａｂ（登録商標）スクリプトによって読み込まれ解析される。

ＤＳＰ実装は、コンパイル済みシミュレータと呼ばれるＶｉｓｕａｌＤＳＰ＋＋で提供される非常に有用なツールを利用する。コンパイル済みシミュレータはｘ８６ＰＣベースの実行可能部を生成し、前記実行可能部はビット精度レベルでＤＳＰプログラムをシミュレートする。このＰＣ実行可能部は、標準シミュレーションより数千回速く実行しながら、全てのデバッグ機能を利用できる。コンパイル済みシミュレータは、Ｍａｔｌａｂ（登録商標）から実行可能部として直接呼び出すこともできるので、この場合特に有用である。コンパイル済みＤＳＰ実行可能部はＰＣのハードドライブからファイルを読み出し、バッチ試験および解析を簡単に行うことができる。

Ｍａｔｌａｂ（登録商標）解析では、ＤＳＰからの出力データは、Ｍａｔｌａｂ（登録商標）で提供される参照ＦＦＴ実装と比較される。ＭＳＥは、これらの二つの結果を比較することによって計算する。そのレベルは入力精度の完全な１６ビット範囲全体で変化させ、そのレベルに対してＭＳＥをプロットする。

結果は、図２５に示されている。図２５の全ての曲線は、ガウス分布入力を処理した結果である。信号レベルが増大する際、ＦＦＴ性能が改善する様子に注意しなければならない。これは、信号レベルが増大すると、丸め込み誤差があまり重要ではなくなることによる。標準スケーリングの場合、最善のＭＳＥは−５９．３ｄＢに見られる。一つおきのスケーリングの場合、最善のＭＳＥは−７３．３ｄＢに見られる。この改善は、ＦＦＴの中間信号をスケーリングすることで、飽和を制御可能にしながら丸め込みノイズの影響を低減した結果だと考えられる。

ＡＤＳＰ−ＢＦ５３３（登録商標）上にこのＦＦＴを実装するために必要なサイクルは、３１７１である。コードサイズは、５００バイトである。データサイズは主に回転表からなり、２５６ポイント複素ＦＦＴの場合、入出力データアレイは全部で約３０００バイトになる。一つおきのスケーリング方式を実装するために、余分に８０サイクル、コード空間１００バイトを必要としただけで、余分なデータ空間は不要であった。

可能なＦＦＴの種類、サイズおよび精度は極めて多数ある。この特定の例では、非常にわずかのサイクルオーバヘッドで、ＭＳＥの結果で約１５ｄＢの改善を示した。ＦＦＴサイズが大きくなるほど、この改善は大きくなる。この改善は十分重要であり、ＯＦＤＭ実装の性能改善、ＤＳＰ上へのより小さな／より速い実装、またはより少ないビットを用いたシリコンベース設計の実装のいずれかを実現できる。シリコンベース設計における改善は、算術ユニット内で必要とされるメモリ要件およびビット数の低下からもたらされる。これは、基板面積の縮小、消費電力の低下、コストの低減に変換される。

固定小数点実装によって生じる全体の誤差は、各段階で導入される誤差に依存する。以下では、ある段階の誤差は他の段階の誤差には依存しないと仮定している。これは丸め込み誤差の場合は厳密に正しく、切り出しによる誤差の場合はほぼ正しい。ある段階のある値で飽和が発生した場合、この値を入力として用いる次のバタフライで切り出しが発生する確率はやや増大するが、これは二次的効果であり実際には無視できる。従って、問題は、ＦＦＴ構造内で各段階を別個に設計することによって簡略化できる。

送信器ＩＦＦＴでは、送信器ＩＦＦＴの最初の数段階の場合、信号値は離散的分布を有する。離散的分布の段階の数は、点配置のサイズに依存する。これらの段階では、可能な最大値が切り出されるように、スケーリングを設計すべきである。これらの値は非常に頻繁に発生し、それらが引き起こす切り出しノイズは丸め込み誤差の低減よりずっと多いので、こうする必要がある。後の段階では、スケーリングは１／√２にすべきである。広範囲のシミュレーションによると（結果は図示せず）、特に６４ＱＡＭの場合、最初の数個の離散的段階の利得を微調整しても、非常にわずかしか改善しないことがわかっている。

図２６〜３０は、異なる設計基準、固定１／√２スケーリング、交互に０．５と１でスケーリング、固定０．５スケーリングおよびブロック浮動小数点に対して、ＩＦＦＴ出力のおける信号対ノイズ比のプロットを示している。図２６は、ＩＦＦＴ入力におけるパワーレベルの関数として、８ビット算術および異なるＦＦＴサイズに対してＩＦＦＴ出力におけるＳＮＲを示している。それは、注意深く設計すれば、８ビット算術だけを用いて非常に低レベルのノイズを実現できることを示している。最小平均二乗誤差は、約−１５ｄＢの入力レベルで発生する。二つの信号を加算し、信号レベルで平均３ｄＢ上昇した後、丸め込みと切り出しが発生しているので、これはガウス信号の最小レベルより３ｄＢ上になる。グラフの一般的な形態は図６と同様であるが、ｘ軸は反転している。これは、入力パワーの増加がヘッドルームの低下に対応しているためである。最適パワー入力より上では切り出しはより頻繁に発生するのでＳＮＲは急速に低下し、最適パワーより下では丸め込み誤差は徐々にしか増大しないのでＳＮＲの低下はあまり速くはない。ＩＦＦＴのサイズを二倍にするには変換で別の段階が必要となるので、変換サイズが増大するとＳＮＲは低下する。しかし、ノイズは段階数に対して直線的にだけ増大するので、Ｎが増大しても劣化はほとんどない。

図２７は、６４ＱＡＭ、６４ポイントＩＦＦＴ用の精度改善効果を示している。精度を２ビットだけ改善すると、ノイズは１２ｄＢ低下する。

図２６は、各段階で固定スケーリング因子１／√２、８ビット固定小数点精度で設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数としてのＩＦＦＴ出力におけるＳＮＲであり、６４、１２８、２５６、５１２、１０２４ポイントＩＦＦＴ、６４ＱＡＭ変調の結果である。

図２７は、各段階６４ポイントＩＦＦＴおよび６４ＱＡＭ変調において、固定スケーリング因子１／√２で設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数としてのＩＦＦＴ出力におけるＳＮＲであり、６、８、１０、１２、１４、１６ビット固定小数点精度の結果である。

因子１／√２はデジタル信号処理では容易には実装されないので、スケーリング因子として１と０．５を交互に用いて、性能を著しく劣化させるかどうかを調べるためにシミュレーションを行った。因子０．５はデジタル信号処理では、単にビットを右にシフトさせることによって実装できる。結果は、図２８に示されている。最大ＳＮＲは、２〜３ｄＢ低下する。

他のＩＦＦＴ構造に対しても、シミュレーションを行った。共通技術は各段階でスケーリング因子０．５を用いることであり、これはオーバフローが決して発生しないようにするためである。図２９は、この技術のシミュレーション結果を示している。性能は新技術の場合よりずっと悪く、劣化はより大きなポイントのＩＦＦＴより悪い。これは、信号レベルが各段階で低下しているためである。ＳＮＲの全体の低下は、ノイズが増大しているためではなく信号が低下しているためである。

最後に、ブロック浮動小数点を用いるシステムの性能を調べた。各段階、各変換演算に対して、システムはオーバフローの可能性を調べた。オーバフローがその段階のいずれかの出力で発生した場合、全ての値を０．５と掛け合わせた。結果は、図３０に示されている。浮動小数点を使用すると、平坦なグラフが得られる。スケーリング因子が調整し補償するので、入力レベルの選択はそれほど重要ではない。Ｎ＝６４の場合、最小平均二乗誤差性能は新しい技術と同様であるが、Ｎが増大すると性能はより急速に劣化する。これは、Ｎが大きくなるほど大きな信号サンプルの確率も大きくなるためである。

図２８と３０を比較すると、Ｎが大きい場合、浮動小数点を用いるより新しい方法を用いる方が著しく良好な性能を実現できることがわかる。このより良好な性能は、信号処理の複雑さがより低いことによって実現される。

図２８は、各段階で交互に０．５と１の固定スケーリング因子を用い、８ビット固定小数点精度で設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数としてのＩＦＦＴ出力におけるＳＮＲであり、６４、１２８、２５６、５１２、１０２４ポイントＩＦＦＴ、６４ＱＡＭ変調の結果である。

図２９は、各段階で固定スケーリング因子０．５、８ビット固定小数点精度で設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数としてのＩＦＦＴ出力におけるＳＮＲであり、６４、１２８、２５６ポイントＩＦＦＴ、６４ＱＡＭ変調の結果である。

図３０は、各段階でブロック浮動小数点、８ビット固定小数点精度を用いて設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数としてのＩＦＦＴ出力におけるＳＮＲであり、６４、１２８、２５６、５１２、１０２４、２０４８ポイントＩＦＦＴ、６４ＱＡＭ変調の結果である。

当然のことながら、上記の内容は例示的なものにすぎず、この発明を限定するものではない。明らかに、当業者は上記の内容を理解し、さらに発明性を追加することなく、上記の内容における変形および改善を理解し、そのようなものもこの発明の範囲内に含まれる。

例えば、上記のシステムは、異なるビットのＦＦＴおよび異なる基数の変換に適用できる。異なる基数は異なる性能を有し、基数が高いＦＦＴほど性能も良好になる。また、異なる飽和および指数検出方式を用いることもできる。

さらに、最大の精度を可能にするために、全ＤＦＴまたは部分ＤＦＴを実装することもできる。ＦＦＴの早い段階でＤＦＴを用い、後でバタフライを用いる。この方法では、フーリエ変換の早い段階で十分な精度を利用できる。

この発明の実施例は、任意の適切な方式を用いてサブキャリアを変調するマルチキャリア変調システムに適用できる。例えば、位相シフトキーイングまたは直交振幅変調を用いることができる。原則として、実施例では、一般にマルチキャリア変調システムに適した変調方式を用いることができる。

この発明の実施例は、任意の統計的分布を備えた入力データに適用できる。例えば、入力データは、情報源符号化、または符号分割多重接続（ＣＤＭＡ；code division multiple access）等の他の関連の符号化方式によって、誤差訂正符号を用いて事前に符号化することもできる。

この発明の実施例は、地上システムおよび無線システムに適している。特定の実施例の様々な用途には、（ａ）公衆電話網上でのデジタル伝送（例えば、非対称デジタル加入者ループ（ＡＤＳＬ）や高速デジタル加入者回線（ＨＤＳＬ）等）（ｂ）デジタル音声放送（ｃ）デジタル携帯電話技術（ｄ）デジタルテレビジョン放送（ｅ）衛星通信（ｆ）無線ローカルエリアネットワークが含まれる。

広帯域データ蓄積技術等に関連した他の用途にも利用できる。この発明の実施例はキャリアシステムに関連して説明したが、この発明の原理はベースバンドシステムにも適用できる。

発明がより容易に理解されるように、図面を参照しながら単なる一例として実施形態を説明する。
単一分散のガウス変数の１００個のサンプルのグラフである。 単一分散のガウス変数の１０００００個のサンプルの確率密度のグラフである。 標準偏差が単一で１７個の量子化レベルを備えたガウスランダム変数のグラフである。 ガウスランダム変数のヘッドルームに対する切り出し確率の図である。 ガウス分布を備えた信号のヘッドルームに対する切り出し毎の平均エネルギのグラフである。 量子化レベル数を変えた場合のヘッドルームに対して、量子化したガウスランダム変数の誤差を示す図である。 １６ビットのＡＤＣと１６ｄＢのヘッドルームの場合のサンプル内の誤差パワーのヒストグラムである。 １６ビットでガウス信号を量子化し、ヘッドルームが１６ｄＢである場合の誤差パワーの相補的累積分布のグラフである。 １６ビットのＡＤＣと１２．５ｄＢのヘッドルームの場合のサンプル内の誤差パワーのヒストグラムである。 １６ビットでガウス信号を量子化し、ヘッドルームが１２．５ｄＢである場合の誤差パワーの相補的累積分布のグラフである。 一般的に簡略化したＯＦＤＭ受信器のブロック図である。 １６ビットの相補的累積分布のグラフであり、ガウス分布、６４個のサブキャリアを備えたＯＦＤＭシステム、および２０４８個のサブキャリアを備えたＯＦＤＭの場合で、１２．５ｄＢのヘッドルームを備えている。 一般的に簡略化したＯＦＤＭ送信器のブロック図である。 一般的に簡略化したＯＦＤＭ受信器のブロック図である。 ８ポイント、基数２のＦＦＴのバタフライ構造である。 丸め込み誤差によるノイズを示すバタフライである。 Ｍａｔｌａｂシミュレーションで用いられる各ＦＦＴ段階のモデルである。 ４ＱＡＭ、６４ポイントＩＦＦＴ、基数２変換用のＩＦＦＴ構造内の信号の実部の相補的累積分布の概略図である。 ６４ＱＡＭ、６４ポイントＩＦＦＴ、基数２変換用のＩＦＦＴ構造内の信号の実部の相補的累積分布の概略図である。 複数の量子化レベルに対して、ガウス信号の所定の最小平均二乗誤差を与えるヘッドルームのプロットである。 デジタル信号プロセッサに適用したこの発明の一実施例の受信器ＦＦＴを評価するために用いられるモデルである。 デジタル信号プロセッサに適用したこの発明の一実施例の場合のスケーリング因子を備えた基数２ＦＦＴからのバタフライ構造である。 異なるＦＦＴ設計、１６ビット精度、およびＮ＝６４のＡＤＣへの入力において、ヘッドルームに対するサンプル毎の規格化したＭＳＥのグラフである。 １／√２スケーリング、８ビット精度、および異なるＮのＡＤＣへの入力において、ヘッドルームに対するサンプル毎の規格化したＭＳＥのグラフである。 １／２スケーリング、８ビット精度、および異なるＮのＡＤＣへの入力において、ヘッドルームに対するサンプル毎の規格化したＭＳＥのグラフである。 ブロック浮動小数点、８ビット精度、および異なるＮのＡＤＣへの入力において、ヘッドルームに対するサンプル毎の規格化したＭＳＥのグラフである。 ０．５重み付け、１６ビット固定小数点、Ｎ＝６４およびｈ_ｒ＝１４、１６、１８および２０ｄＢに対するシンボル毎のＭＳＥの相補的累積分布のグラフである。 交互に０．５と１を重み付け、１６ビット固定小数点、Ｎ＝６４、ｈ_ｒ＝１４、１６、１８および２０ｄＢに対するシンボル毎のＭＥＳの相補的累積分布のグラフである。 時間ＦＦＴ内の２５６ポイント、基数２、複素間引きの二つのＡＤＳＰ−ＢＦ５３３実装を比較するグラフである。 各段階、８ビット固定小数点精度において、固定スケーリング因子１／√２で設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数として、ＩＦＦＴ出力における信号対ノイズ比（ＳＮＲ）のプロットしたものである。 各段階、６４ポイントＩＦＦＴおよび６４ＱＡＭ変調において、固定スケーリング因子１／√２で設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数として、ＩＦＦＴ出力における信号対ノイズ比（ＳＮＲ）のプロットしたものである。 各段階、８ビット固定小数点精度において、交互に０．５と１の固定スケーリング因子で設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数として、ＩＦＦＴ出力における信号対ノイズ比（ＳＮＲ）のプロットしたものである。 各段階、８ビット固定小数点精度において、０．５の固定スケーリング因子で設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数として、ＩＦＦＴ出力における信号対ノイズ比（ＳＮＲ）のプロットしたものである。 各段階、８ビット固定小数点精度において、ブロック浮動小数点を用いて設計したＩＦＦＴの入力信号パワーの関数として、ＩＦＦＴ出力における信号対ノイズ比（ＳＮＲ）のプロットしたものである。

Claims (42)

1. 各々が入力、計算ブロックおよび出力を備えた送信器と受信器を有するマルチキャリア変調システム内でデータを送信および受信する方法であって、
   送信器または受信器の少なくとも一方の計算ブロックが、入力で受けた信号に基づき数値計算を行うための複数の相互接続計算段階と、実質的にアクティブウィンドウ内に数値計算を保持し、前記計算に従って入力で受けた信号から導いた出力を提供する少なくとも一つのスケーリング部を有し、
   送信器および受信器構造のいずれかまたは両方の計算ブロック内でスケーリングすることによって、アクティブウィンドウを超えて、信号が飽和する確率を所定以下に許容し、
   前記アクティブウィンドウ内の信号の実部と虚部を限られた数の量子化レベルの一つに量子化し、計算ブロックの所定の複数の計算段階で処理し、
   さらに、ガウス分布または準ガウス分布を備えた信号の実部と虚部、および信号の実部の二乗平均平方根（ｒｍｓ）の値に対する最大量子化レベルの比率であるヘッドルームを用い、ガウス信号の標準偏差に対する最大量子化レベルの比率になるように前記ヘッドルームを選択し、所定のシンボル歪み統計値を提供することを特徴とする方法。
2. 計算ブロックの所定の複数の計算段階で、飽和する確率を所定以下に許容する請求項１記載の方法。
3. 受信器内に誤差検出および訂正ステップを有する請求項２記載の方法。
4. 計算ブロックの所定の複数の計算段階で、実質的にガウス分布の信号を提供するように選択された請求項３記載の方法。
5. 直交周波数分割多重（ＯＦＤＭ）を用いる請求項１〜４のいずれか一つに記載の方法。
6. 受信器内に誤差検出および訂正ステップを有する請求項５記載の方法。
7. 計算ブロックがデジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）上で行われる請求項１〜６のいずれか一つに記載の方法。
8. 計算ブロックが、プロセッサ、マイクロプロセッサ、マイクロコントローラ、マイクロコンピュータ、ＦＰＧＡ、ＣＰＬＤ、ＰＬＤ、ＡＳＩＣ、シーオブゲート、プログラマブル素子、個別論理素子、個別アナログ、デジタルまたは受動型部品、またはＯＦＤＭ用途と共に使用可能な他の任意の実装技術のいずれか一つ以上に基づく請求項１〜６のいずれか一つに記載の方法。
9. 計算ブロックが少なくとも部分的に変換構造から構成され、該変換構造内で信号が飽和する確率を所定以下に許容することを含む請求項１記載の方法。
10. 計算ブロックが少なくとも部分的に、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）および／または逆高速フーリエ変換（ＩＦＦＴ）構造から構成され、ＦＦＴおよびＩＦＦＴ構造の一方または両方内で所定量の飽和が許容されることを含む請求項９記載の方法。
11. 信号が複素数によって表され、計算段階が前記複素数の算術数値計算を行い、計算ブロック内の累積信号の統計的特性に従ってスケーリングを制御することによって、飽和による可能な切り出しを所定の方法に制限する請求項９または１０記載の方法。
12. 信号の実部と虚部が、少なくとも一つの計算段階でガウス分布または準ガウス分布を有する請求項１１記載の方法。
13. 切り出し誤差と量子化をバランスさせることによって所定の低確率の飽和を決定し、計算ブロックが数値計算およびヘッドルームを用いて得られるスケーリングを提供し、前記ヘッドルームが信号の実部の二乗平均平方根（ｒｍｓ）の値に対する最大量子化レベルの比率であり、量子化による最小平均２乗誤差（ｍｍｓｅ）のヘッドルームより大きく、前記量子化による平均二乗誤差（Ｅ）が数式：Ｅ［ｎ_q ²］＝ｄ²／１２によって与えられ、ｎ_qが量子化レベルの数であり、ｄが量子化レベルの間の距離であることを含む請求項１１または１２記載の方法。
14. 受信器内に誤差検出および訂正ステップを有する請求項１３記載の方法。
15. 直交周波数分割多重（ＯＦＤＭ）を用いる請求項１４記載の方法。
16. デジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）上で計算ブロックを行う請求項１３、１４または１５記載の方法。
17. 計算ブロックが、プロセッサ、マイクロプロセッサ、マイクロコントローラ、マイクロコンピュータ、ＦＰＧＡ、ＣＰＬＤ、ＰＬＤ、ＡＳＩＣ、シーオブゲート、プログラマブル素子、個別論理素子、個別アナログ、デジタルまたは受動型部品、またはＯＦＤＭ用途と共に使用可能な他の任意の実装技術のいずれか一つ以上に基づく請求項１３、１４または１５記載の方法。
18. 各計算段階におけるスケーリングが、基数２ベースの変換内の各段階において１／√２である請求項１１〜１７のいずれかに記載の方法。
19. 各計算段階におけるスケーリングが、基数２ベースの変換内の後の段階において交互に１と１／２である請求項１１〜１７のいずれかに記載の方法。
20. 各計算段階におけるスケーリングが、基数４の変換の各段階で１／２である請求項１１〜１７のいずれかに記載の方法。
21. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して８〜３０ｄＢの間にある請求項１記載の方法。
22. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して９〜２５ｄＢの間にある請求項１記載の方法。
23. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して１０〜２０ｄＢの間にある請求項１記載の方法。
24. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して１０〜１５ｄＢの間にある請求項１記載の方法。
25. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して１０〜１３ｄＢの間にある請求項１記載の方法。
26. 信号の実部と虚部がガウス分布または準ガウス分布を有し、ガウス信号の標準偏差に対する最大量子化レベルの比率であるヘッドルームが、所定のシンボル歪み統計値を提供するように選択され、該シンボル歪みが一つの変換演算からの出力全ての平均二乗誤差の合計である請求項１記載の方法。
27. 固定数のデジタル処理ビットを備えた装置であって、信号を受け取るための入力と、信号を処理するための計算ブロックと、前記処理した信号を出力するための出力を備え、計算ブロックが高速フーリエ変換（ＦＦＴ）または逆高速フーリエ変換（ＩＦＦＴ）構造を含み、ＦＦＴまたはＩＦＦＴ構造の入力で受け取った信号の所定量の飽和を許容するようにプログラムされ、
    さらに、ヘッドルームを用いて得られる計算ブロックの複数のバタフライ段階による数値計算の提供とスケーリングによって、所定の低確率の飽和を決定し、前記ヘッドルームが量子化による最小平均二乗誤差におけるヘッドルームより大きいことを特徴とする装置。
28. 計算ブロック内に複数の段階を備え、ガウス分布または準ガウス分布を備えた信号の実部と虚部の累積分布を提供する請求項２７記載の装置。
29. 各計算段階におけるスケーリングが、基数２ベースの変換内で１／√２である請求項２７または２８記載の装置。
30. 各計算段階におけるスケーリングが、基数２ベースの変換内の後の段階において交互に１と１／２である請求項２７または２８記載の装置。
31. 各計算段階におけるスケーリングが、基数４の変換の１／２である請求項２７または２８記載の装置。
32. 計算ブロックが、アクティブウィンドウ内で信号の実部と虚部を処理するように構成され、計算ブロックの所定の複数の計算段階内で処理するために限定された数の量子化レベルの一つに量子化された請求項２７記載の装置。
33. ガウス分布または準ガウス分布を備えた信号の実部と虚部を処理するように計算ブロックを構成し、ガウス信号の標準偏差に対する最大量子化レベルの比率であるヘッドルームが、所定のシンボル歪み統計値を提供するように選択され、前記シンボル歪みが一つの変換演算からの出力全体の平均二乗誤差の合計である請求項３２記載の装置。
34. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して８〜３０ｄＢの間にある請求項３３記載の装置。
35. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して９〜２５ｄＢの間にある請求項３３記載の装置。
36. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して１０〜２０ｄＢの間にある請求項３３記載の装置。
37. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して１０〜１５ｄＢの間にある請求項３３記載の装置。
38. ヘッドルームのトレードオフが、信号の平均パワーに対して１０〜１３ｄＢの間にある請求項３３記載の装置。
39. ガウス信号の標準偏差に対する最大量子化レベルの比率である所定のヘッドルームを有し、ガウス分布または準ガウス分布を備えた信号の実部と虚部を処理するように計算ブロックが構成され、所定のシンボル歪み統計値を提供するように選択され、前記シンボル歪みが一つの変換演算からの出力の全ての平均二乗誤差の合計である請求項３２記載の装置。
40. 計算ブロックが、デジタル信号プロセッサ（ＤＳＰ）に基づく請求項２７記載の装置。
41. 計算ブロックが、プロセッサ、マイクロプロセッサ、マイクロコントローラ、マイクロコンピュータ、ＦＰＧＡ、ＣＰＬＤ、ＰＬＤ、ＡＳＩＣ、シーオブゲート、プログラマブル素子、個別論理素子、個別アナログ、デジタルまたは受動型部品、またはＯＦＤＭ用途と共に使用可能な他の任意の実装技術のいずれか一つ以上に基づく請求項２７記載の装置。
42. 各々信号の送信および受信を行うための送信器と受信器を備えたマルチキャリア変調システム内でデータを送信および受信する方法であって、
    送信器と受信器が、信号の一部に関連した実数と虚数を含む入力数字を各々受け取るための複数の入力と、受け取った複数の入力数字の数値変換を行うための計算ブロックと、数値変換に従って、入力数字から導いた実数または虚数を含む出力数字を各々提供するための複数の出力を有し、
    計算ブロックが数値変換を行い、信号の一部に関連した入力数字から導いた数字上で数値演算を行うための相互に関連した複数の計算段階を有し、数値変換全体でアクティブウィンドウの所定の範囲内に実質的に数字を保持するための少なくとも一つのスケーリング部を有し、さらに計算ブロック内で一つ以上の数字のスケーリングを行い、
    少なくとも一つのスケール部によりスケーリングされ、計算ブロック内の数字が、アクティブウィンドウの範囲を超えて飽和する確率を所定以下にし、前記飽和した数字をアクティブウィンドウの範囲まで切り出すことを含み、
    前記数値変換が、直交周波数分割多重（ＯＦＤＭ）送信器および受信器で使用するための高速フーリエ変換（ＦＦＴ）であり、ＦＦＴ構造内の信号をスケーリングし、計算ブロックが数値計算を提供し、ヘッドルームを用いて得られるスケーリングを行うことによって、所定の低確率の飽和を決定可能にすることで飽和と量子化をバランスさせ、前記ヘッドルームが信号の実部の二乗平均平方根（ｒｍｓ）の値に対する最大量子化レベルの比率であり、量子化による最小平均二乗誤差におけるヘッドルームより大きく、前記量子化による平均二乗誤差（Ｅ）が数式：Ｅ［ｎ _q ² ］＝ｄ ² ／１２によって与えられ、ｎ _q が量子化レベルの数であり、ｄが量子化レベルの間の距離であることを特徴とする方法。

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