JP2657301B2 - メッシング方法および装置 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明は、有限要素法による解析の対象となる形状モ
デルを格子点によってメッシュ分割する方法および装置
に係り、特にこの形状モデルに適合する写像モデルを構
築する方法および装置に関する。

〔従来の技術〕

従来、構造物等の強度計算等には有限要素法による解
析の手法が使われている。この解析の大部分を自動的に
おこなう装置の完備が望まれている。この自動解析装置
には、少なくとも形状モデル生成部、写像モデル生成
部、およびメッシュ生成部などの構成手段が含まれる。
形状モデル生成部は、有限要素法による解析の対象とな
る３次元の形状モデルを生成しディスプレイに表示す
る。この形状モデルは、有限要素法による解析手法が適
用されるように、表面及び内部に格子点が設けられなけ
ればならない。この格子は計算精度を高めるために、で
きるだけ歪みが小さく立方体に近い方がよい。

写像モデル生成部は、形状モデルを単一の直方体で適
合させ、この直方体に格子点を形成して写像モデルを設
定する。

メッシュ生成部は、この写像モデルの稜線上の格子点
に対応して形状モデルの稜線上に格子点を発生させる。
前記発生した格子点をつないで形状モデルの表面及び内
部にも格子点を導出する。このための手法として、曲線
座標変換法が用いられる。

この曲線座標変換法の概念を第11図（ａ）〜（ｅ）に
示す。これらの図は実際には３次元のものを２次元のも
のとして表現している。

すなわち、有限要素法による解析の対象となる形状モ
デルが与えられ（第11図ａ）、この形状モデルに適合し
た写像モデルを設定する（第11図ｂ）。この写像モデル
は通常立方体（図には正方形で示す）からなる格子を有
する。そして写像モデルの境界線（３次元モデルでは稜
線）上の格子点に対応して、形状モデルの境界線上に格
子点を発生させる（第11図ｃ）。発生させた格子点をつ
ないでメッシュ分割をする。このとき使用される曲線座
標変換法は、各格子点を結ぶ線をバネ体と考え、写像モ
デルの境界線上にある格子点を強制的に形状モデルの境
界線上に固定し（第11図ｄ）、前記バネ体がつり合うよ
うにして内部の格子点の位置が定まる（第11図ｅ）。

なお曲線座標変換法を用いたメッシュ分割に関する文
献としては、JOEF、THOMPSON AND ZAHIR U.A.WARSI;
“Boundery−Fitted Coordinate Systems for Numerica
l Solution of Partial Differential Equations";JOUR
NAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS47,1−108（1982）が
挙げられる。

〔発明が解決しようとする問題点〕

以上のような曲線座標変換法を使った自動メッシュ分
割装置においては、写像モデルとして直方体が設定でき
るのみであった。このため直方体の形状から大きく離れ
た形状や穴が穿設された形状モデルに対しては、形状モ
デルの有する各面を写像モデルである直方体の６つの面
のいずれかに強制的に割り当てることになり、無理な割
り当てになってしまう。そのため、形成された形状モデ
ルのメッシュ形状が立方体から大きく異なってしまって
大きな歪みが生じるものであった（第12図参照）。また
穴が穿設された形状モデル（第10図左図参照）に対して
は単一の写像モデルを設定することができなかった。

この発明の目的は、形状が直方体から大きく離れた
り、穴が穿設された形状モデルに対して、メッシュ形状
に大きな歪みの生じない写像モデルを設定することがで
きるメッシング方法および装置を提供することである。

〔問題点を解決するための手段〕

この発明は、有限要素法による解析を行うためのメッ
シュ分割に関して、形状モデルを、一辺が単位立方体の
整数倍となる直方体を集合させた形状で近似し、この形
状に格子を形成した写像モデルを基に形状モデルに格子
を形成するものである。

また他の発明は、有限要素法による解析の対象となる
形状モデルを生成する形状モデル生成部と、前記形状モ
デルに対応した写像モデルを設定し、該写像モデルに格
子を形成する写像モデル生成部と、前記写像モデルの稜
線又は境界線上の格子点に対応して形状モデルの稜線又
は境界線上に格子点を発生させ、該格子点を基にして曲
線座標変換法により形状モデルの表面及び内部に格子点
を導出し、この格子点から格子を形成するメッシュ生成
部と、を具備するメッシング装置において、前記写像モ
デル生成部は写像モデルの稜線を格子の単位立方体の一
辺の長さの整数倍に修正する手段と、修正後の単位立方
体を基に写像モデルの表面及び内部に格子を形成する手
段とを具備するものである。

〔作用〕

写像モデルは、従来のように、単に直方体とするもの
ではなく、形状モデルに対し形状がより適合しているた
め、表面が多数の矩形面からなる写像モデルを設定する
ことができる。

以上の作用を第９図及び第10図において説明する。こ
れらの図は３次元モデルを２次元モデルに置き換えた適
用例である。特に従来例として示した第12図の形状モデ
ルによる写像モデルの比較において、本発明によれば、
形状がより適合した写像モデル（第９図中右）が設定で
きる。したがって、この写像モデルを使用すると、形状
モデルのメッシュ分割がより歪みの小さい状態で行うこ
とができる。

第10図は他の形状モデルを使用した場合を示す。この
形状モデルでは、周辺に凹凸、内部に穴が設けられてい
るが、従来できなかったメッシュ分割を歪みの少ない状
態で行うことができる。

〔実施例〕

この発明の一実施例を第１図〜第８図において説明す
る。

第１図は、この発明の全体構成を示すコンピュータシ
ステムのブロック図である。１はCRTディスプレイ部２
への表示、及びスタイラスペン３の入力制御の他、表示
管理などをおこなう表示制御部、４はキー入力部、５は
ファイル装置、６は出力部、７は主記憶部、８は中央処
理装置（CPU）である。９は有限要素発生装置であっ
て、形状モデル生成部9a、写像モデル生成部9b、境界面
メッシュ生成部9c、内部メッシュ生成部9dより構成され
る。10〜13は具体的な演算をおこなう各機能部を示した
もので、線分の長さや円の角度などの幾何計算を行う図
形処理演算部10,3次元の図形を表現するためのデータの
構成、例えば立体→面→線→点→座標値、を定める形状
定義部11、形状モデルに位相特性（点及び線の結合状
態）及び幾何特性（線分の長さ及び構成線分間の長さの
比）が整合した写像モデルを構成する形状構成部12、曲
線座標変換法を用いて、２次元写像においては、２次元
メッシュを生成し、３次元写像においては３次元メッシ
ュを生成する写像演算部13から構成されている。

次に、有限要素発生装置の構成について説明する。

まず、形状モデルとして、従来の直方体の写像モデル
では歪みの小さい格子点によりメッシュ分割することが
到底不可能であった２つの長い突起部分を有する形状モ
デル（第２図ａ）により本発明の適用を説明する。

（１） 形状モデル生成部9aでは、有限要素法による解
析の対象となる３次元の形状モデルが生成される。

（２） この形状モデルに対し形状がより適合し格子を
有する写像モデルを設定する写像モデル生成部は、以下
の複数の手段からなる。

形状モデルが有する一定以上の曲率の円筒面や自由
曲面を分割する分割手段（第１図中9b1）。

第２図（ａ）の形状モデルには一定以上の曲率の曲面
が存在しないのでこの分割はおこなわれない。しかし他
の実施例において一定以上の曲率の円筒面や自由曲面を
有する場合には以下のように分割をおこなう。

まず円筒面の分割の場合、第７図に示すように円筒の
中心軸を中心に10゜くらいの角度で円筒面を中心軸と平
行に分割する。このようにして等分割された各面はそれ
ぞれ１つの面としてコンピュータに登録される。

次に自由曲面の分割については、この実施例で取り扱
う自由曲面は四つの辺で形成されるところのcoons曲面
であり、ｕ方向かｖ方向かにいずれかの変化の大きい方
向に分割する（第８図）。この曲面上の点はＰ（u,v）
（０≦ｕ≦１、０≦ｖ≦１）で表わされるもので、分割
する方向がｕ方向であれば、ｕ方向に関して曲率の大き
さを求め、曲率が大きいところがあればｕ＝u_n（_ｎ＝1,
2,……,u_nは定数）なる線において自由曲面を分割す
る。

分割をおこなった分割線及び前記稜線によって形状
モデル表面を複数の多角面に区分する区分手段。（図中
9b1） 第２図（ａ）において区分された各面（以下各区分面
という）には番号が付してある。このとき区分面１およ
び７は平面ではなく緩やかな曲面となっている。この実
施例において分割はおこなわれていないので分割線は図
には示されていない。

区分された各面を写像空間の座標面の１つと対応さ
せる手段。（図中9b2） 座標面にはＸ−Ｙ面、Ｙ−Ｚ面、Ｘ−Ｚ面の３種類が
存在する。この手段における操作は、各区分面がどの方
向を向いているかを全て決める操作である。対応の基準
としては例えば、区分面の各座標面への投影面積と区分
面自体の面積の面積比が１番大きな座標面を対応させる
ことが考えられる。同図（ｂ）には各区分面に対応する
座標面の記号を書き込んである。

区分された各面を構成する各線分を前記対応する座
標面に属する座標軸の１つに対応させる手段。（図中9b
2） により後で構築される写像モデルを構成する矩形
面のうち面の向きと辺（線分）の向きが決められること
になる。例えば区分面１に対しては対応する座標軸はＸ
軸とＺ軸である（第２図（ｃ））。

前記区分された面のうち指定された基準面に対応す
る座標面、座標軸、及び該基準面を構成する各線分の長
さを基にして該基準面に対応する基準矩形面を写像空間
に構成する手段。（図中9b3） 複数の区分面（第２図（ａ）の符号１〜９）のうち区
分面１を基準面に指定する。この基準面についてもすで
に〜において、座標面、座標軸が決まっている。次
にこの基準面１を構成する各線分X₁,X₂,Z₁,Z₂の長さを
基にして、対応する基準矩形面１′の線分Ｘ′,Z′を決
める。このときの基準として、基準面１の線分の長さの
平均値を採用する方法が考えられる。すなわち対となる
線分X₁,X₂又はZ₁,Z₂の長さの平均値を、これらに対応す
る基準矩形面１′の線分Ｘ′又はＺ′の長さとする。こ
のようにして基準面１に対応する基準矩形面１′が写像
空間に構成される（第３図ａ）。

基準面１に隣接する面２に対応する座標面（Ｙ−Ｚ
面）、座標軸（Ｙ軸,Z軸）、及び前記基準矩形面１′と
共有する線分（Ｚ′）の長さ及び該面２を構成する線分
の長さを基にして、該面２に対応する矩形面２′を構成
し、前記基準矩形面１′に隣接させる手段。

すでに基準面１に対応する基準矩形面１′は構成され
ているので、次に隣接する面に移る。隣接する面２に対
応する座標面（Ｙ−Ｚ面）、座標軸（Ｙ軸,Z軸）、はす
でに決まっている。また前記基準矩形面１′と共有する
線分Ｚ′の長さもすでに決っている。そこでこの面２を
構成する未だ決っていない長さの線分Ｙを基にして、こ
の長さの決っていない線分に対応する線分Ｙ′の長さを
決める。このときの基準は、例えば共有する線分Ｚと対
応する線分の長さの決っていない線分Ｙとの長さの比を
基にして、Ｚ′よりＹに対応する線分Ｙ′の長さを決め
る。これにより面２に対応する矩形面２′を構成する
（第３図ｂ）。矩形面２′は前記基準矩形面１′に隣接
される（第３図ｃ）。

前記構成された矩形面をあらためて基準矩形面とし
て前記構成及び隣接の操作を繰り返す手段。以上
の手段は第３図中の9b3である。

ここにいう構成とは、区分面に対応する矩形面を構成
する意味である。また隣接とは、構成した矩形面をその
操作における基準矩形に隣接させる意味である。この操
作（図中9b3）の繰り返しは立体を構成する過程であ
り、最終的に写像モデルが構築される（第６図）。

前記繰り返しによって最終的に構築された写像モデ
ルの稜線を形成する各線分が、格子の単位立方体の一辺
の長さの整数倍になるように修正する手段。（図中9b
4） この手段によって写像モデルに格子を形成する準備が
なされる。有限要素法による解析を可能とするメッシュ
分割においては形状モデルの稜線及び角部に格子点がく
るように分割される。

修正後に前記単位立方体の長さを基に写像モデルの
表面及び内部に格子を形成する手段。（図中9b5） 写像モデルは、表面がすべて矩形面によって構成され
ており、全体がいわば直方体によって構成されることに
なる。したがって表面及び内部に形成された格子は、写
像モデルを立方体に分割した状態となる（第４図ｂ）。

（３） 写像モデルに基づいて形状モデルに格子を生成
する境界面および内部メッシュ生成部9c,9dは、次の手
段により構成されている。

写像モデルの境界線（稜線）上の格子点に対して形
状モデルの境界線（稜線）上に格子点を発生する発生手
段（図中9c1,9d1）。

この手段における操作は、従来の直方体の写像モデル
から形状モデルへ格子点を移す操作と同一である。この
とき、第５図（ａ）に示すように、形状モデルを構成す
る各区分面を順に取り出し、取り出された区分面に対応
する矩形面の格子点の数を基に該区分面の境界線（稜
線）上に格子点を形成する。例えば区分面１を取りだし
た場合、対応する矩形面１′の格子点の数を基に区分面
１の境界線（稜線）上に格子点を形成する（第５図
（ｂ））。

前記発生した格子点を基にして曲線座標変換法によ
り形状モデルの表面（第５図ｃ）及び内部に格子点を導
出する導出手段。（図中9c2,9d2） この曲線座標変換法は従来より使用されている方法で
ある（第11図の２次元モデル参照）。

このようにして形状モデルに歪みの少ない格子を形成
することができる（第６図）。このように格子によって
メッシュ分割された形状モデルを使って有限要素法によ
る解析をおこなう。

次に、この実施例の効果について説明する。前記
（２）に示すように、円筒面及び自由曲面を適当な数
に分割し、同のように複数方向の面に対応可能とす
ることにより、形状モデルと写像モデルの形状の近似度
を高めることができる。また、形状モデルと写像モデル
の位相特性が等しくなることにより、モデルと線と線、
点と点が対応付けられるから、従来のように写像モデル
に直方体しか設定できなかったことに比べ、直方体の８
つの頂点や12本の稜線に対応する点、線、及び線群を指
定する必要がなくなった。

また、今まで直方体の写像モデルを用いる方法では扱
えなかった複雑な形状でも有限要素法を使用する際のメ
ッシュ分割の対象として扱えるようになった。

また、面と面（区分面と矩形面）を対応させているこ
とにより、境界面のメッシュ分割においても曲線座標変
換法を用いることができるようになり、したがって従来
は、直方体の６つの面と形状モデルの各面との対応付け
が難しく境界面のメッシュデータは操作員が１つ１つ入
力していたことに比べ、この発明では曲線座標変換法を
使った計算により境界面のメッシュを形成することがで
きるようになった。これにより操作員による入力作業の
省力化を実現できる。

形状モデルの各区分面に対応する写像空間における面
の方向（どの座標面に対応するかということ）、及び形
状モデルの各線分に対応する写像空間における線分の方
向（どの座標軸に対応するかということ）等を設定する
だけで、形状モデルを有限要素に分解できるので、入力
操作の省力化が図れる。

面と線の対応により写像モデルが構築できるような形
状モデルならば、メッシュ分割が可能となり、写像モデ
ルに直方体しか設定できなかった場合と比べて、扱える
形状モデルを多様化できる。

〔発明の効果〕

上述のとおり、本発明によれば、有限要素法による解
析の対象となる３次元の形状モデルに対し形状がより近
似した写像モデルを、設定できるので、形状モデルをメ
ッシュ分割した際のメッシュ形状を均一なものとするこ
とができ、メッシュ形状に大きな歪みを生じることを防
止できる。

【図面の簡単な説明】

第１図はこの発明の一実施例を示すコンピュータシステ
ムのブロック図、第２図は形状モデルを複数の面に区分
する操作手順を示す図、第３図は形状モデルの区分面を
写像モデルの矩形面に対応させる操作手順を示す図、第
４図は構築された写像モデルに格子を形成する操作手順
を示す図、第５図は格子が形成された写像モデルを基に
して形状モデルの各区分面に格子を形成する操作手順を
示す図、第６図は形状モデルの全体に格子が形成された
様子を示す斜視図、第７図は形状モデルが円筒面を有す
る場合の円筒面の分割をおこなう操作手順を説明する
図、第８図は同様に自由曲面を有する場合の自由曲面の
分割操作手順を示す図、第９図及び第10図は本発明の作
用を示すため３次元モデルを２次元モデルに置き換えて
説明する概念図、第11図（ａ）〜（ｅ）は曲線座標変換
法を用いたメッシュ分割の操作手順を２次元モデルを使
って説明する図、第12図は従来技術の問題点を示す図で
ある。 9a……形状モデル生成部、9b……写像モデル生成部、9
c,9d……メッシュ生成部。

Claims (2)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】有限要素法による解析を行うためのメッシ
   ュ分割に関して、形状モデルを、一辺が単位立方体の整
   数倍となる直方体を集合させた形状で近似し、この形状
   に格子を形成した写像モデルを基に形状モデルに格子を
   形成するメッシング方法。
2. 【請求項２】有限要素法による解析の対象となる形状モ
   デルを生成する形状モデル生成部と、前記形状モデルに
   対応した写像モデルを設定し、該写像モデルに格子を形
   成する写像モデル生成部と、前記写像モデルの稜線又は
   境界線上の格子点に対応して形状モデルの稜線又は境界
   線上に格子点を発生させ、該格子点を基にして曲線座標
   変換法により形状モデルの表面及び内部に格子点を導出
   し、この格子点から格子を形成するメッシュ生成部と、
   を具備するメッシング装置において、 前記写像モデル生成部は写像モデルの稜線を格子の単位
   立方体の一辺の長さの整数倍に修正する手段と、修正後
   の単位立方体を基に写像モデルの表面及び内部に格子を
   形成する手段とを有することを特徴とするメッシング装
   置。