JP2020064497A - ヤード管理装置、ヤード管理方法、およびプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】初期山から最終山に金属材を積み替える際の、最終山の山姿、金属材の搬送順、および仮山の山姿を同時に最適化することを実操業上使用可能な時間内に実現できるようにする。【解決手段】ヤード管理装置１００は、初期搬送順変数、最終搬送順変数、最終山割り当て変数、仮山位置割り当て変数を用いて、初期搬送と最終搬送の先後が異なる２つの鋼材グループのうち、初期搬送が先の鋼材グループの仮置きが必要になることを表す制約式と、同一の仮山に仮置きする２つの鋼材グループの初期搬送と最終搬送の順番の先後が逆になることを表す制約式を設定する。そして、ヤード管理装置１００は、設定した制約式を満足するように、最終山および仮山の山数と仮置きの発生とが最小になることを目的とする目的関数の値が最小になるときの前記初期搬送順変数、最終搬送順変数、最終山割り当て変数、仮山位置割り当て変数を導出する。【選択図】図１

Description

本発明は、ヤード管理装置、ヤード管理方法、およびプログラムに関し、金属製造プロセスにおいて、スラブやコイルなどの金属材を次工程へ円滑に供給するために設けられたヤードで金属材の山仕分けや物流分野等におけるコンテナの山仕分けを行うために用いて好適なものである。

金属製造プロセスの一例である製鉄プロセスにおいて、例えば製鋼工程から次工程の圧延工程へ、金属材の一例である鋼材を搬送する際、鋼材は、一旦ヤードと呼ばれる一時保管場所に置かれた後、次工程である圧延工程の処理時刻に合わせてヤードから搬出される。そのヤードのレイアウトの一例を図５に示す。ヤードとは、図５に示すように、上流工程より払い出されたスラブなどの鋼材を、下流工程に供給するためのバッファーエリアとして、縦横に区画された置場５０１〜５０４である。縦方向の分割区分を"棟"、横方向の分割区分を"列"と称することが多い。つまり、クレーン(１Ａ、１Ｂ、２Ａ、２Ｂ)は棟内を移動可能であり、同一棟内での異なる列の間で鋼材の移送を行う。また搬送テーブルにより棟間の鋼材の移送を行う。搬送指令を作成する際は"棟"及び"列"を指定することにより、どこへ鋼材を搬送するかを示す（図５の置場５０１〜５０４に括弧書きで付されている番号（１１）、（１２）、（２１）、（２２）を参照）。

次に、図５を例にヤードでの基本的な作業の流れを示す。まず、前工程である製鋼工程の連鋳機５１０から搬出された鋼材は、パイラー５１１を経由して受入テーブルＸでヤードまで運ばれ、クレーン１Ａ、１Ｂ、２Ａ、２Ｂにより、区画された置場５０１〜５０４の何れかに搬送され、山積みして置かれる。そして、後工程である圧延工程の製造スケジュールに合わせ、再びクレーン１Ａ、１Ｂ、２Ａ、２Ｂにより払出テーブルＺに載せられ、圧延工程へと搬送される。一般に、ヤードにおいて鋼材は、前記の様に山積みされた状態で置かれる。これは、限られたヤード面積を有効に活用するためである。
本明細書、特許請求の範囲、および図面では、「既着山」、「仮想山」、「初期山」、「最終山」、「仮山」を以下の意味で用いることとする。
既着山：現時点で、既にヤードにおいて形作られている山。
仮想山：現時点で、ヤードに到着していない金属材を、ヤードへの到着順が早いものほど上に山積みすると仮定した場合の山（現実に存在する山ではない）。
初期山：既着山と仮想山の総称。
最終山：後工程に払出すために積み上げた最終的な山（払出山ともいう）。
仮山：現時点以降に、初期山から、最終山へ移送する際に、やむを得ず仮置きを行う山。

ヤードでは、次工程である熱間圧延工程における加熱炉の燃料原単位の削減のため、鋼材ができるだけ高い温度を保持した状態で加熱炉に装入されるようにすることが求められる。そのため、昨今ヤード内に保温設備を設置し、その中に鋼材を山積みされた状態で保管する場合がある。限られた保温設備を有効に活用するため、できるだけ設備限界まで高く鋼材を積み上げることが必要となる。一方、鋼材を積み上げる際には、次工程へ供給し易いよう、最終山において、次工程における処理順番に鋼材が上から積まれていること、最終山の積み形状が不安定な逆ピラミッド状でないことなどの制約（これを「積姿制約」と称する）がある。更に、山立て（最終山をつくること）を行う際の作業負荷も見逃せない要素である。従って、ヤード管制では、前述した積姿制約の下でできるだけ少ない作業負荷で、できるだけ高い最終山となるように山立てを行う作業計画を策定することが望まれる。

また、ヤードにおいて後工程にスムーズに要求された鋼材を払い出すべく行う山仕分け（鋼材を複数の山に分けること）を行う際には、到着予定の鋼材が降格となる（鋼材の造り込みの際に生ずる品質トラブルなどの理由により当初予定の用途からグレードを下げ別の用途に振り替える）こと、或いは到着予定の鋼材に対して予定されていない精整処理が必要となったり、サイズが変わったりすることにより、当初の予定通りの鋼材が到着しないことは頻繁に起こり得る。また、ヤードの置場の状態も当初の予定通りに淡々と遷移することは、ほとんど期待できず、予定していない鋼材を予定していない置場に置かざるを得ないことは日常茶飯事である。

更には、ヤードから後工程である熱間圧延工程への払出順に山に積まれていた鋼材の、後工程である熱間圧延工程における圧延順が、当該鋼材がヤードに到着した後に変更となることにより、当該山が払出順に積まれていなくなり、変更された圧延順に従い鋼材の積み替えを余儀なくされるケースも頻繁に起こり得る。ここで、鋼材が払出順に山に積まれるとは、当該山の何れの積位置においても、相対的に上にある１つまたは同時に搬送される複数の鋼材の方が、当該鋼材よりも下にある鋼材よりも早く後工程に払い出されることをいう。

しかしながら、ここで要求される積み替え作業は、ヤードへの鋼材の受入作業や、ヤードからの鋼材の払出作業と並行して行う必要があることから、鋼材の積み替えの対応が可能な時間帯や、置場スペースが限られる。このため、効率的に且つ省スペースで鋼材の積み替え作業を実行することが求められる。
従って、ヤードへの到着前後の様々な事情により、ヤード到着時の積み姿が払出順でなくなった山を払出順に積み替える作業を、効率的に（即ち、できるだけ少ない搬送数で）且つできるだけ少ない最終山数となるようにすると共に、できるだけ少ない仮置き場に留めて行うニーズは極めて高い。

これらのことが要求されるヤード管理方法に関し、特許文献１〜３に記載の発明がある。特許文献１〜３に記載の発明は、山仕分けの対象となる全ての鋼材のヤードへの受入が完了している場合、あるいは山仕分けの対象となる鋼材のうちの一部が受入途上にありながら受入れ済みの鋼材が払出順に山に積まれていない場合に、最終山において払出順に鋼材が積まれるように鋼材の積み替えを効率的に且つ省スペースで行う課題に対応する発明である。

まず、特許文献１には、既にヤードにある既着山の鋼材を払出順に積み替える際、必要とされる配替負荷や積姿制約を考慮して最適な最終山の山姿を、組み合わせ最適化問題として定式化し、タブサーチ手法を用いて算出する手法が開示されている。しかしながら、特許文献１に記載の発明では、最終山の山姿を求める手法は示されているが初期山から最終山へ至る搬送順を求める手法をどのようにするかという点は明確に示されていない。また、最終山の山姿もヒューリスティックな手法で算出されているのでその最適性に対する保証はない。

次に、特許文献２には、ヤードに到着済みの鋼材と未到着材とが混在する状況下で、当該時点での初期山の状態と最終山の状態とが与えられた場合の、初期山の状態から最終山の状態への鋼材の積み替え搬送問題に対し、各鋼材の搬送は高々２回という前提で初期搬送時刻変数および最終搬送時刻変数を用いて混合整数計画問題として定式化する手法が開示されている。しかしながら、特許文献２に記載の発明では、最終山を求めた後に搬送順を求める。つまり、最終山と鋼材の搬送順とを個別に最適化する。従って、鋼材の搬送数、即ち、仮置き数を最小化することができない虞がある。

最後に、特許文献３に記載の発明は、山立ておよび搬送に関する制約条件を満たす数理計画問題に帰着させ、山仕分けおよび搬送順を同時に最適化する発明である。しかしながら、特許文献３に記載の発明では、鋼材を最終山および搬送順に割り当てる２次元の割り当て問題としている。従って、解空間が大きくなり、求解時間を要し、実規模の問題（例えば、搬送対象の鋼材数が３０以上の問題）に適用した場合、許容可能な計算時間内（例えば５分程度）では求解できない虞がある。更に特許文献３に記載の発明では、仮山を考慮していないので、仮山の数を最小化することはできない。

特許第４９３５０３２号公報 特許第５３６５７５９号公報 特開２０１０−２６９９２９号公報 特開２０１６−８１１８６号公報

山姿積み替え問題、即ち所与である初期山の山姿から、未知なる適切な最終山姿へ金属材を積み替える問題において、その積み替え過程で発生する仮置きおよびそれにより構成される仮山を考慮するには、初期山から最終山に金属材を積み替える際の、最終山の山姿、金属材の搬送順、および仮山の山姿を同時に最適化する必要がある。しかしながら、従来の技術では、この課題が解決されていない。
本発明は、以上のような問題点に鑑みてなされたものであり、初期山から最終山に金属材を積み替える際の、最終山の山姿、金属材の搬送順、および仮山の山姿を同時に最適化することを実操業上使用可能な時間内に実現できるようにすることを目的とする。

本発明のヤード管理装置は、工程間の置場であるヤードに山積みされる金属材からなる初期山の当該金属材を、搬送機器により搬送して、当該ヤードの後工程への払出順に従った積順で山積みされる金属材からなる最終山を作成するためのヤード管理装置であって、任意の２つの前記金属材についての、前記初期山からの搬送である初期搬送の相対的な順序を定める二項変数である初期搬送順変数と、任意の２つの前記金属材についての、前記最終山への搬送である最終搬送の相対的な順序を定める二項変数である最終搬送順変数と、前記金属材が何れの前記最終山に属するのかを表す変数である最終山割り当て変数と、前記ヤードの仮置場に山積みされる金属材からなる仮山に前記金属材が山積みされる場合に当該金属材が何れの前記仮山に属するのかを表す変数である仮山割り当て変数とを決定変数とし、前記初期山の識別情報および当該初期山の各積位置における前記金属材の識別情報と、前記金属材の前記払出順とを含む金属材情報を取得する金属材情報取得手段と、第１の制約式と第２の制約式とを含む制約式を、前記金属材情報に基づいて設定する制約式設定手段と、前記最終山の数を評価する評価指標と、前記ヤードの仮置場への仮置きが発生する前記金属材の数を評価する評価指標と、前記仮山の数を評価する評価指標とを含む目的関数を、前記金属材情報に基づいて設定する目的関数設定手段と、前記制約式を満足する範囲で前記目的関数の値が最小または最大になるときの前記決定変数の値を最適解として導出することを、数理計画法による最適化計算を行うことにより実行する最適化計算手段とを有し、前記第１の制約式は、任意の２つの前記金属材について、前記初期山からの搬送順の先後と、前記最終山への搬送順の先後とが異なる場合に、当該２つの金属材のうち、前記初期山からの搬送順が先の前記金属材は、前記仮置場に仮置きすることが必要であることを、前記決定変数を用いて表す制約式であり、前記第２の制約式は、任意の２つの前記金属材が、同一の前記仮山に山積みされるためには、当該２つの前記金属材について、前記初期山からの搬送順の先後と、前記最終山への搬送順の先後とが異なる必要があることを、前記決定変数を用いて表す制約式であることを特徴とする。

本発明のヤード管理方法は、工程間の置場であるヤードに山積みされる金属材からなる初期山の当該金属材を、搬送機器により搬送して、当該ヤードの後工程への払出順に従った積順で山積みされる金属材からなる最終山を作成するためのヤード管理方法であって、任意の２つの前記金属材についての、前記初期山からの搬送である初期搬送の相対的な順序を定める二項変数である初期搬送順変数と、任意の２つの前記金属材についての、前記最終山への搬送である最終搬送の相対的な順序を定める二項変数である最終搬送順変数と、前記金属材が何れの前記最終山に属するのかを表す変数である最終山割り当て変数と、前記ヤードの仮置場に山積みされる金属材からなる仮山に前記金属材が山積みされる場合に当該金属材が何れの前記仮山に属するのかを表す変数である仮山割り当て変数とを決定変数とし、前記初期山の識別情報および当該初期山の各積位置における前記金属材の識別情報と、前記金属材の前記払出順とを含む金属材情報を取得する金属材情報取得ステップと、第１の制約式と第２の制約式とを含む制約式を、前記金属材情報に基づいて設定する制約式設定ステップと、前記最終山の数を評価する評価指標と、前記ヤードの仮置場への仮置きが発生する前記金属材の数を評価する評価指標と、前記仮山の数を評価する評価指標とを含む目的関数を、前記金属材情報に基づいて設定する目的関数設定ステップと、前記制約式を満足する範囲で前記目的関数の値が最小または最大になるときの前記決定変数の値を最適解として導出することを、数理計画法による最適化計算を行うことにより実行する最適化計算ステップとを有し、前記第１の制約式は、任意の２つの前記金属材について、前記初期山からの搬送順の先後と、前記最終山への搬送順の先後とが異なる場合に、当該２つの金属材のうち、前記初期山からの搬送順が先の前記金属材は、前記仮置場に仮置きすることが必要であることを、前記決定変数を用いて表す制約式であり、前記第２の制約式は、任意の２つの前記金属材が、同一の前記仮山に山積みされるためには、当該２つの前記金属材について、前記初期山からの搬送順の先後と、前記最終山への搬送順の先後とが異なる必要があることを、前記決定変数を用いて表す制約式であることを特徴とする。

本発明のプログラムは、前記ヤード管理装置の各手段としてコンピュータを機能させることを特徴とする。

本発明によれば、初期山から最終山に金属材を積み替える際の、最終山の山姿、金属材の搬送順、および仮山の山姿を同時に最適化することを実操業上使用可能な時間内に実現できるようにすることができる。

図１は、ヤード管理装置の機能的な構成の一例を示す図である。 図２は、ヤード管理方法の一例を説明するフローチャートである。 図３は、初期山に固定部がある場合の鋼材の搬送の形態の一例を示す図である。 図４は、発明例による最適化計算の結果と、比較例の手法による最適化計算の結果とを表形式で示す図である。 図５は、ヤードのレイアウトの一例を示す図である。

以下、図面を参照しながら、本発明の一実施形態を説明する。以下の各実施形態では、鉄鋼製造プロセスにおいて、初期山の山姿を所与として、最終山の山姿と、初期山から最終山へ搬送する際の各鋼材の搬送数と、仮山の山姿とを同時に最適化（導出）する場合を例に挙げて説明する。尚、初期山の少なくとも一部では、製鋼工程で製造された鋼材（スラブ）が圧延工程への搬送順に積まれていないものとする。また、以下の説明では、各鋼材の圧延工程への搬送順を必要に応じて払出順と称する。また、ヤードに未だ山積みされていない鋼材を必要に応じて未到着材と称し、ヤードに山積みされている鋼材を必要に応じて既到着材と称する。

＜経緯＞
まず、最終山の山姿と、初期山からその最終山へ鋼材を積み替える際の搬送順と、仮山の山姿とを同時に最適化することとした経緯について説明する。
特許文献４には、未到着材を対象に山仕分け計画を行うケースに対する発明が開示されている。既到着材を積み替える問題（以下、「既到着材積み替え問題」と称する）は、特許文献４に開示されているような未到着材を山分けする問題（以下、「未到着材山分け問題」と称する）とは本質的な違いがあり、それを以下に示す。

鋼材がヤードに未到着の状態では、２つの鋼材のヤードへの受入順と払出順とが一致している場合（即ち、２つの鋼材の一方の鋼材の受入順および払出順が他方の鋼材よりも早い場合）、それら２つの鋼材を同じ最終山に積もうとすれば、先にヤードに受け入れた鋼材を一旦仮置きし、積み順を入れ替える必要がある。つまり受入順と払出順との関係で仮置きとなるか否かが決められる。一方、ヤードに到着している状態で考える場合には、受入順に対応する要素が、初期山での鋼材の積み順となる。つまり、初期山にて上に積まれている鋼材からアクセス出来るので、これが、受入順に対応する。ここで、ヤードに鋼材が未到着の状態では、「受入順」は全ての鋼材について一意に順序づけられる。これに対し、既到着の状態では、複数の初期山がある場合には、異なる初期山にある鋼材間でのアクセスが可能であることから、初期山の数分の自由度があり、搬送順を一意に決めることが出来ない。従って、全ての鋼材がヤードに未到着の状態を初期状態とする「未到着材山分け問題」より、鋼材がヤードに既に到着している状態を初期状態とする「既到着材積み替え問題」の方が問題の難易度が高いことが分かる。

この「既到着材積み替え問題」の難しさは評価の一つである仮置きの計数の難しさに表れる。つまり、仮置きの発生数は「未到着材山分け問題」では、鋼材のヤードへの到着順により判断できるので、最終山の山姿を決めれば山単位に個別に決定できる（他の山の影響はない）。これに対し、「既到着材積み替え問題」では、 単独の最終山の山姿を与えても、それを構成する際に必要な仮置きは、その最終山を構成する鋼材が存在していた（複数の）初期山の山姿や、それらの初期山から作られる他の（複数の）最終山の山姿や、初期山からの鋼材の搬送順（初期山の分解順）や、最終山への鋼材の搬送順（最終山の組立順）にも依存する。

従って、「既到着材積み替え問題」では、「未到着材山分け問題」を解く場合のように、仮置きの発生数を山単位で決めることが出来ない。別の表現をすると、「既到着材積み替え問題」では、最終山の山姿を決める際、搬送順には、初期山の山数分の自由度があるので、搬送順と同時に考えない限り、仮置き数を最小化する最終山の山姿を解く問題を解決することが出来ない。更には、仮置き数を少なくしても、仮置き対象の鋼材を同じ仮山にまとめられず、仮置きスペースが増えることは、ヤードにおける置場スペースが限られていることから好ましくない。従って、どの鋼材を仮置きとするかを判断する際に、それらの仮置きとなる鋼材をどの様な仮山にまとめるべきかを同時に考える必要がある。

以上のような知見の下、本発明者らは、最終山の山姿と、所与の初期山からその最終山に鋼材を積み替える際の鋼材の搬送順と、仮山の山姿とを同時に最適化することを、実操業上使用可能な時間内に実行する手法に想到した。以下に、その手法の具体例を説明する。

＜第１の実施形態＞
まず、第１の実施形態を説明する。

（問題設定（所与の要素））
本実施形態では、各鋼材の初期山の山姿および払出順（圧延順）は所与として、最終山の山姿と、所与の初期山からその最終山に鋼材を積み替える際の鋼材の搬送順と、その積み替え搬送の過程で発生する仮山の山姿とを同時に最適化する。ここで、鋼材グループの集合をＮ＝｛１，２，・・・，ｎ｝と表記する。鋼材グループとは、搬送機器（主にクレーン）にて搬送する際に、分割されることのない（最小単位となる）複数の鋼材の纏まりを指す。従って一枚の鋼材単位で搬送される場合には、鋼材グループは鋼材とみなす。本実施形態では、最終山作成、仮山作成、搬送を、鋼材グループを単位として行う場合を基本として説明する。また、最終山は、上から払出順に積まれた山であるものとする。

（仮定）
本実施形態では、以下の（１）および（２）の仮定の下で、最終山の山姿と、所与の初期山からその最終山に鋼材を積み替える際の鋼材の搬送順と、仮山の山姿とを同時に最適化する。
（１） 初期山（初期置場）から最終山（最終置場）への搬送回数は、何れの鋼材についても最大２回とする。即ち、２回搬送する鋼材は仮置きされることになるものとする。また、仮山（仮置場）に搬送された鋼材は、次の搬送時には必ず最終山（最終置場）に搬送されるものとし、異なる仮山（仮置場）間で搬送されることはないものとする。
（２） 初期山と最終山の置場は異なっており、必ず全ての鋼材を初期山（初期置場）から最終山（最終置場）へ搬送する必要があるものとする（即ち、全ての鋼材が搬送対象になる）。

（決定すべき要素とその評価方法）
前述したように本実施形態では、最終山の山姿と、仮山の山姿と、所与の初期山からその最終山に鋼材を積み替える際の鋼材の搬送順とを同時に最適化する。具体的には、以下の（I）〜（III）に示す通りである。
（I） 最終山の構成：上から払出順に積まれた全ての最終山の山姿を求める。最終山の山姿は、積姿制約を満たし、最終山の総数が少ないほど高評価とする。
（II） 仮山の構成：最終山を作成する過程で、一次的に作成する仮山の山姿を求める。仮山の山姿は、上から順に最終山へ搬送する順番に積まれていることが要請される。仮山の山姿は積姿制約を満たし、仮山の総数が少ないほど高評価とする。
（III） 搬送順：初期山の山姿（所与）から最終山(前記（I）)に至るまでの（仮置きする際には初期山から仮山への搬送及び、仮山から最終山への搬送順を含む）全ての搬送順を求める。総搬送数が少ないほど高評価とする。

（積姿制約）
また、本実施形態では、以下の幅制約、長さ制約、高さ制約、最終山への配置が禁止される鋼材ペアに関する制約（同一最終山配置禁止鋼材ペア集合）、および仮山への配置が禁止される鋼材ペアに関する制約（同一仮山上下積禁止鋼材ペア集合）を積姿制約とする。
・幅制約
或る鋼材グループの最大幅が、当該或る鋼材グループの下に位置する鋼材グループの最小幅よりも狭いならば、当該或る鋼材グループを、当該下に位置する鋼材グループの上に無条件で置ける。或る鋼材グループの最大幅が、当該或る鋼材グループの下に位置する鋼材グループの最小幅よりも広い場合には、両者の幅の差が、作業制約により定まる基準値（例えば２００［ｍｍ］）未満であれば、当該或る鋼材グループを、当該下に位置する鋼材グループの上に置けるが、それを越えると置けない。

即ち、幅制約を満たすのは、或る鋼材グループの最大幅が、当該或る鋼材グループの下に位置する鋼材グループの最小幅よりも狭い場合と、或る鋼材グループの最大幅が、当該或る鋼材グループの下に位置する鋼材グループの最小幅よりも広く、且つ、両者の幅の差が基準値（例えば２００［ｍｍ］）未満である場合である。

・長さ制約
或る鋼材グループの最大長が、当該或る鋼材グループの下に位置する鋼材グループの最小長よりも短いならば、当該或る鋼材グループを、当該下に位置する鋼材グループの上に無条件置ける。或る鋼材グループの最大長が、当該或る鋼材グループの下に位置する鋼材グループの最小長よりも長い場合には、両者の長さの差が、作業制約により定まる基準値（例えば２０００［ｍｍ］）未満であれば、当該或る鋼材グループを、当該下に位置する鋼材グループの上に置けるが、それを越えると置けない。

即ち、長さ制約を満たすのは、或る鋼材グループの最大長が、当該或る鋼材グループの下に位置する鋼材グループの最小長よりも短い場合と、或る鋼材グループの最大長が、当該或る鋼材グループの下に位置する鋼材グループの最小長よりも長く、且つ、両者の長さの差が基準値（例えば２０００［ｍｍ］）未満である場合である。

・高さ制約
最終山の積段数ｈは、最終山として山積みできる鋼材の数の上界ｈ_max以下でなければならない。最終山として山積みできる鋼材の数の上界ｈ_maxは、例えば１０である。

・同一最終山配置禁止鋼材ペア集合Ｆ
前述した幅制約および長さ制約により、任意の鋼材グループのペア（２つの鋼材グループ）｛ｓ，ｓ'｝⊆Ｎについて、鋼材グループｓ、ｓ'を同じ最終山に積んで良いかどうかが一意に定まる。従って、以下の（１）式および（２）式のように、同一最終山配置禁止鋼材ペア集合Ｆが定義される。ここで、ｓ、ｓ'は、各鋼材グループを一意に識別する識別情報（鋼材グループＩＤ）である（このことは、後述するｓ''も同様である）。本実施形態では、鋼材グループＩＤは、当該鋼材グループＩＤで識別される鋼材グループの払出順と一致するものとする。

ここで、（問題設定（所与の要素））で説明した「最終山の山姿は、その最終山の上から払出順になる」ように決定されることと、「積姿制約（幅制約および長さ制約）」とにより、任意の鋼材グループのペア｛ｓ，ｓ'｝⊆Ｎについて、鋼材グループｓ，ｓ'を同一の最終山に積んで良いか悪いかが一意に定まる。前者の条件により、最終山における鋼材グループの積順の上下関係が定まり、この上下関係で鋼材グループを積んだ場合に、後者の条件（幅制約および長さ制約の少なくとも一方）に違反する場合、それらの鋼材グループは、同一の最終山に山積みできないことになる。従って、（２）式のように、同一の最終山に山積みすることができない鋼材グループのペア（禁止対）の集合を、同一最終山配置禁止鋼材ペア集合Ｆとして定義することができる。

・同一仮山上下積禁止鋼材ペア集合Ｆ'
（問題設定（所与の要素））で説明したように払出順は所与であるので、最終山においては、この払出順により最終山における鋼材グループの積順の上下関係が定まる。これに対し、仮山から最終山への搬送順は未知（決定変数）である。従って、同一の仮山に山積みすることができない鋼材グループのペア（禁止対）を定める際には、鋼材グループｓ、ｓ'の仮山における積順の上下関係を指定する必要がある。従って、以下の（３）式のように、払出順とは無関係に、同一の仮山において、鋼材グループｓを下、鋼材グループｓ'をその上に積んだ場合に積姿制約（幅制約および長さ制約）に違反する鋼材グループのペアを (ｓ，ｓ')と表し、これを要素とする集合を同一仮山上下積禁止鋼材ペア集合Ｆ'として定義する。

（制約）
（ｉ） 最終山は、積姿制約を満たし、上から順に払出順に積まれるものとする。
（ii） 各初期山の鋼材は、当該初期山の上から順にしか搬送できない。
（iii） 最終山を作成する際には、最下段から順に上にしか積み上げることができない。
前述したように、初期山（初期置場）から最終山（最終置場）への搬送回数は、何れの鋼材についても最大２回とするので（前記（仮定）の（１）を参照）、鋼材の搬送回数を最小とすることは、仮置きの回数を最小にすることと等しい。

＜決定変数＞
本実施形態では、任意の鋼材グループのペアに対し、初期山から鋼材グループを取り除く順序を定める変数と、最終山に鋼材グループを配置する順序を定める変数と、任意の鋼材グループが何れの仮山位置ｔに属するかを表す変数と、仮山位置ｔを使用するか否かを表す変数と、任意の鋼材グループが何れの最終山位置ｌに属するかを表す変数と、最終山位置ｌを使用するか否かを表す変数とを決定変数とする。尚、最終山位置とは、ヤードにおいて最終山が作られる位置（最終置場の位置）を示す。仮山位置とは、ヤードにおいて仮山が作られる位置（仮置場の位置）を指す。

以下の説明では、任意の鋼材グループのペアに対し、初期山から鋼材グループを取り除く順序を定める変数を必要に応じて、初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）と称する。また、最終山に鋼材グループを配置する順序を定める変数を必要に応じて、最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）と称する。任意の鋼材グループsが何れの仮山位置ｔの仮山に属するかを表す変数を必要に応じて、仮山位置割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）と称する。仮山位置ｔを使用するか否かを表す変数を必要に応じて、仮山有無変数ｑ（ｔ）と称する。任意の鋼材グループｓが何れの最終山位置ｌに属するかを表す変数を必要に応じて、最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）と称する。最終山位置ｌを使用するか否か表す変数を必要に応じて最終山有無変数δ（ｌ）と称する。

（ａ）初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）：変数の数＝_nＣ₂
鋼材グループの集合Ｎの各要素が１つの頂点を持つ完全有向グラフをＧ＝（Ｎ，Ｅ）とする。このとき、Ｅ＝｛（ｓ，ｓ')∈Ｎ²｜ｓ≠ｓ'）である。有向枝集合Ｅ上に定義された０−１変数ｙ（ｅ）(∀ｅ∈Ｅ)を導入し、以下の（４）式のように初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）を定義する。初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）は、２つの鋼材グループｓ、ｓ'の初期搬送の相対順序を定める変数である。ここで、初期搬送とは、初期山にある鋼材グループを最終山（最終置場）または仮山（仮置場）に搬送することをいう。

（ｂ）最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）：変数の数＝_nＣ₂
初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）と同様に、有向枝集合Ｅ上に定義された０−１変数ｚ（ｅ）(∀ｅ∈Ｅ)を導入し、以下の（５）式のように最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）を定義する。最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）は、２つの鋼材グループｓ、ｓ'の最終搬送の相対順序を定める変数である。ここで、最終搬送とは、初期山または仮山（仮置場）にある鋼材を最終山（最終置場）に搬送することをいう。

（ｃ）仮山位置割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）：変数の数＝ｎ×ｔ_max
仮山割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）は、鋼材グループｓ（∈Ｎ）を仮山位置ｔ（∈Ｔ）に仮置きするか否かを表す０−１変数である。従って、以下の（６）式のように仮山位置割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）を定義する。ｔ_maxは、仮山位置の数として想定される数の最大値である。ｔ_maxは、例えば、鋼材グループ数ｎである。

（ｄ）仮山有無変数ｑ（ｔ）：変数の数＝ｔ_max
仮山有無変数ｑ（ｔ）は、仮山位置ｔを使用するか否か（仮山位置ｔに仮山があるか否か）を表す０−１変数である。従って、以下の（７）式のように仮山有無変数ｑ（ｔ）を定義する。ｔ_maxは、仮山の数として想定される数の最大値である。ｔ_maxは、例えば、鋼材グループ数ｎである。

（ｅ）最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）：変数の数＝ｎ×Ｌ_max
最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）は、鋼材グループｓ（∈Ｎ）を配置する最終山位置ｌ（∈Ｌ）を指定する０−１変数である。従って、以下の（８）式のように最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）を定義する。Ｌ_maxは、最終山の数として想定される数の最大値である。Ｌ_maxは、例えば、鋼材グループ数ｎである。

（ｆ）最終山有無変数δ（ｌ）：変数の数Ｌ_max
最終山有無変数δ（ｌ）は、最終山位置ｌを使用するか否か（最終山位置ｌに最終山があるか否か）を表す０−１変数である。従って、以下の（９）式のように最終山有無変数δ（ｌ）を定義する。

（ヤード管理装置１００の機能構成）
図１は、ヤード管理装置１００の機能的な構成の一例を示す図である。ヤード管理装置１００のハードウェアは、例えば、ＣＰＵ、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ＨＤＤ、および各種のインターフェースを備える情報処理装置、または専用のハードウェアを用いることにより実現される。図２は、ヤード管理装置１００により実行されるヤード管理方法の一例を説明するフローチャートである。
［鋼材情報取得部１０１、ステップＳ２０１］
鋼材情報取得部１０１は、山積みの対象となる鋼材についての鋼材情報を取得する。鋼材情報は、鋼材グループ情報と、各鋼材グループの初期山の山姿を特定する情報と、山の最大高さを特定する情報と、を含む。

鋼材グループ情報には、最終山の作成対象となる鋼材グループ（鋼材グループの集合Ｎ＝｛１，２，・・・，ｎ｝）のそれぞれについて、識別情報と、払出順と、鋼材数と、最大幅と、最小幅と、最大長と、最小長の情報が含まれる。鋼材グループとは、搬送機器（主にクレーン）にて搬送する際に、分割されることのない（最小単位となる）鋼材の纏まりを指す。
識別情報は、各鋼材グループを一意に識別する識別情報（鋼材グループＩＤ）である。
払出順は、各鋼材グループの払出順（圧延工程への搬送順）である。

鋼材数（ｗ：Ｎ→Ｚ＋）は、各鋼材グループを構成する鋼材の数である。１つの鋼材グループに含まれる鋼材の数ｗ（ｉ）は、例えば、１以上６以下（∀ｉ∈Ｎ、１≦ｗ（ｉ）≦６）である。このように鋼材グループには、複数の鋼材が含まれる場合だけでなく、１つの鋼材のみが含まれる場合もある。
最大幅・最小幅は、それぞれ、各鋼材グループを構成する鋼材の最大幅・最小幅である。
最大長・最小長は、それぞれ、各鋼材グループを構成する鋼材の最大長・最小長である。

初期山の山姿を特定する情報は、初期山を一意に識別する識別情報である初期山ＩＤと、当該初期山ＩＤで識別される初期山の各積段に位置する鋼材グループＩＤとを含む。
前述したように、初期山には、既着山と仮想山とが含まれる。既着山は、最終山の作成対象となる鋼材のうち、鋼材情報が作成された時点（即ち、最終山を作成する時点）でヤードに山積みされている山である。仮想山は、最終山の作成対象となる鋼材のうち、鋼材情報が作成された時点（即ち、最終山を作成する時点）でヤードに未だ山積みされていない鋼材を、ヤードへの予定到着順が早いものほど上になるように山積みしたと仮定した場合の山である。本実施形態では、最終山の作成対象となる鋼材のうちヤードに未到着で未だ山積みされていない全ての鋼材が１つの仮想山に山積みされるものとする。このように本実施形態では、ヤードに未到着で未だ山積みされていない鋼材も仮想山として山積みされているとし（即ち、最終山の作成対象となる全ての鋼材がヤードにおいて山積みされているものとし）、その積姿を所与とする。

山の最大高さを特定する情報は、最終山として山積みできる鋼材の数の上界ｈ_max（∈Ｚ＋）を含む情報である。仮山および最終山として山積みできる鋼材の数の上界ｈ_maxは、例えば、１０である。ここでは、各鋼材の厚みが同じであるものとして、山の最大高さを特定する情報を、最終山として山積みできる鋼材の数の上界とする。各鋼材の厚みの情報が鋼材情報に含まれる場合には、山の最大高さを特定する情報として、最終山の最大の高さを採用してもよい。
尚、最終山の作成対象となる全ての鋼材を１つずつ搬送する場合には、個々の鋼材について、識別情報（鋼材ＩＤ）、払出順、幅、および長さの情報が鋼材グループ情報の代わりに取得される。また、初期山の山姿を特定する情報として、初期山の識別情報（初期山ＩＤ）が取得されると共に、初期山の各積段に位置する鋼材グループＩＤの代わりに、初期山の各積段に位置する鋼材ＩＤが取得される。
鋼材情報の取得形態としては、例えば、ヤード管理装置１００のユーザインターフェースの入力操作、外部装置からの送信、または可搬型の記憶媒体からの読み出しが挙げられる。

［制約式・目的関数設定部１０２、ステップＳ２０２、Ｓ２０３］
制約式・目的関数設定部１０２は、前述した制約を数式で表した制約式と、前述した目的を数式で表した目的関数とを設定する。
<<制約式>>
まず、制約式について説明する。
（ａ）初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）の定義制約
任意の２つの鋼材グループを初期山から取り除く順序は、鋼材グループの集合Ｎの全順序（反対称且つ完全（以下の（１０）式）であり、推移的（以下の（１１）式）な二項関係を言う）となることから、任意の２つの鋼材グループｓ、ｓ'を初期山から取り除く相対的な順序を定める初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）は、以下の（１０）式の線形等式で表される完全律（比較可能)および以下の（１１）式の線形不等式で表される推移律を満たす。また、以下の（１０）式および（１１）式を満たす初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）は、鋼材グループの全順序に対応する。

（１０）式は、鋼材グループのｓ初期搬送と、鋼材グループｓ'の初期搬送は、必ず一方が先で他方が後になることを示す。尚、これら２つの鋼材グループは、別の鋼材グループである。
（１１）式は、鋼材グループｓの初期搬送が、鋼材グループｓ'の初期搬送よりも先であり、鋼材グループｓ'の初期搬送が、鋼材グループｓ''の初期搬送よりも先であるなら、鋼材グループｓの初期搬送は、鋼材グループｓ''の初期搬送よりも先であることを示す。尚、これら３つの鋼材グループは、互いに異なる鋼材グループである。

また、初期山から鋼材グループを取り除く作業は、各初期山の上から順に行う必要がある。従って、同一の初期山において、鋼材グループｓよりも、鋼材グループｓ'の方が下である場合、当該２つの鋼材グループｓ、ｓ'に対し、以下の（１２）式の線形等式が成り立つ。

（ｂ）最終山への搬送制約
任意の２つの鋼材グループを最終山に配置（搬送）する順序も、任意の２つの鋼材グループを初期山から取り除く順序と同様に、鋼材グループの集合Ｎの全順序（反対称且つ完全（以下の（１３）式）であり、推移的（以下の（１４）式）な二項関係を言う）となることから、任意の２つの鋼材グループｓ、ｓ'を最終山に配置する相対的な順序を定める最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）は、以下の（１３）式の線形等式で表される完全律（比較可能)および以下の（１４）式の線形不等式で表される推移律を満たす。また、以下の（１３）式および（１４）式を満たす最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）も、鋼材グループの全順序に対応する。

（１３）式は、鋼材グループｓの最終搬送と、鋼材グループｓ'の最終搬送は、必ず一方が先で他方が後になることを示す。尚、これら２つの鋼材グループｓ、ｓ'は、別の鋼材グループである。
（１４）式は、鋼材グループｓの最終搬送が、鋼材グループｓ'の最終搬送よりも先であり、鋼材グループｓ'の最終搬送が、鋼材グループｓ''の最終搬送よりも先であるなら、鋼材グループの最終搬送ｓは、鋼材グループｓ''の最終搬送よりも先であることを示す。尚、これら３つの鋼材グループは、互いに異なる鋼材グループである。

（ｃ）最終山への搬送に伴う最終搬送順制約
任意の２つの鋼材グループを最終山に配置（搬送）する順序は、最終山毎に、当該最終山の最下段から数えた場合の積順に対応する。例えば、或る最終山に対し、最初に当該最終山に搬送される鋼材グループの当該最終山の最下段から数えた場合の積順は１になり、２番目に当該最終山に搬送される鋼材グループの当該最終山の最下段から数えた場合の積順は２になる。従って、払出順が相対的に先の鋼材グループｓと払出順が相対的に後の鋼材グループｓ'とが同一の最終山に配置される場合（即ち、ｓ＜ｓ'、ｒ（ｓ，ｌ）＝１、且つ、ｒ（ｓ’，ｌ）＝１の場合）、それらの鋼材グループｓ、ｓ’は、当該最終山において、上から払出順に積まれている必要がある。従って、この場合、鋼材グループｓ’の最終搬送の方が鋼材グループｓの最終搬送よりも先にならなければならず、以下の（１５）式の線形不等式が成り立つ。尚、前述の様に鋼材グループＩＤは、当該鋼材グループＩＤで識別される鋼材グループの払出順と一致するものとしている。

（ｄ）仮置き発生制約
任意の２つの鋼材グループｓ、ｓ'について、鋼材グループｓを鋼材グループｓ'よりも先に初期搬送し（即ち、ｙ（ｓ，ｓ'）＝１）且つ鋼材グループｓ'を鋼材グループｓよりも先に最終搬送するならば（即ち、ｚ（ｓ'，ｓ）＝１）、初期山から鋼材グループｓを取り除いてから鋼材グループｓ'を取り除き、最終山には鋼材グループｓ'を配置してから鋼材グループｓを配置しなければならない。即ち、このような２つの鋼材グループｓ、ｓ'では、初期搬送の順番の先後と最終搬送の順番の先後とが異なるため、鋼材グループｓを仮置きしなければならない。このことを、仮山位置割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）を用いて以下の（１６）式の線形不等式のように表す。（１６）式において、仮置きが必要な鋼材グループｓについてはΣ_t∈Tｐ（ｓ，ｔ）は必ず１になる。

（ｅ）最終山への山分け制約
最終山への山分け制約は、以下の（１７）式〜（１９）式を含む。
まず、以下の（１７）式の線形等式のように、最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）を使って、全ての鋼材グループは必ず何れかの最終山に山積みされなければならないことを表す制約式を用いる。

また、前述した積み制約を表す制約式として、以下の（１８）式を用いる。幅制約および長さ制約を表す制約式は、（２）式で定義される同一最終山配置禁止鋼材ペア集合Ｆを用いて、以下の（１８）式の線形不等式のように表される。

（１８）式は、鋼材グループｓ、ｓ'のペアが、同一最終山配置禁止鋼材ペア集合Ｆに属する場合、その鋼材グループｓ、ｓ'のペアを同一の最終山に山積みすることができないことを表す。
また、高さ制約を表す制約式は、（９）式で定義される最終山有無変数δ（ｌ）を用いて、以下の（１９）式の線形不等式のように表される。尚、（１９）式の代わりに、以下の（２０）式の線形不等式を用いてもよい。（１９）式および（２０）式の何れを用いても、最終山として山積みできる鋼材の数が、その上限値を上回らないようにする制約を課すことができる。（１９）式および（２０）式において、ｗ（ｓ）は、変数ｓで特定される鋼材グループに含まれる鋼材の数である。

（ｆ）最終山有無変数δ（ｌ）の定義制約
最終山有無変数δ（ｌ）は、最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）を用いて、以下の（２１）式の線形不等式のように定義される。

（ｇ）最終山位置区別制約
最終山位置区別制約は、最終山（の位置）ｌの区別をつけるための制約である。本実施形態では、以下の（２２）式の線形不等式のように、最終山位置区別制約は、変数ｌが小さいものほど、高い最終山とする（最終山に含まれる鋼材の数を多くする）ことを表す制約であるものとする。

最終山位置区別制約は、必ずしも必要な制約ではない。ただし、最終山位置区別制約により、計算時間を削減できる可能性がある。

（ｈ）同一仮山可能制約
同一の仮山位置ｔに仮置きされる鋼材グループペアｓ、ｓ'において、初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）で表される順列と、最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）で表される順列とは逆順になっていなければならない。或る鋼材グループｓが初期山から仮山に搬送されて当該仮山に積み上げられた後、別の鋼材グループｓ'が初期山から仮山に搬送されて当該或る鋼材グループｓの上に積み上げられた場合、当該別の鋼材グループｓ'の方が当該或る鋼材グループｓよりも先に最終搬送されるからである。即ち、２つの任意の鋼材グループｓ、ｓ'を同一の仮山位置ｔに仮置きするならば（即ち、ｐ（ｓ，ｔ）＝ｐ（ｓ'，ｔ）＝１）、当該鋼材グループｓ、ｓ'の初期搬送の順番の先後と最終搬送の順番の先後とが逆になる（即ち、ｙ（ｓ，ｓ'）＝ｚ（ｓ'，ｓ））。このことを線形不等式で表すと、以下の（２３）式の線形不等式のようになる。

尚、２つの任意の鋼材グループｓ、ｓ'の少なくとも何れか１つを仮山位置ｔに仮置きしない場合（即ち、ｐ（ｓ，ｔ）＋ｐ（ｓ'，ｔ）＜２）の場合、（２３）式のｐ（ｓ，ｔ）＋ｐ（ｓ'，ｔ）−２は、−２または−１となり（即ち、−１以下）となり、（２３）式の２−ｐ（ｓ，ｔ）−ｐ（ｓ'，ｔ）は、２または１となる（即ち、１以上となる）。従って、鋼材グループｓ、ｓ'の両方とも仮山位置ｔに仮置きしない場合には、−２≦ｙ（ｓ，ｓ'）−ｚ（ｓ'，ｓ）≦２となる。また、鋼材グループｓ、ｓ'の一方を仮山位置ｔに仮置きし、他方を仮山位置ｔに仮置きしない場合、（２３）式は、−１≦ｙ（ｓ，ｓ'）−ｚ（ｓ'，ｓ）≦１となり、初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）および最終搬送順変数ｚ（ｓ'，ｓ）のどちらを０（ゼロ）にしてもよいし、両方とも１、或いは両方とも０（ゼロ）にしてもよいことになる。従って、２つの任意の鋼材グループｓ、ｓ'の少なくとも何れか１つを仮山位置ｔに仮置きしない場合、当該鋼材グループｓ、ｓ'についての初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）および最終搬送順変数ｚ（ｓ'，ｓ）の値は何ら制約を受けない。

（ｉ）仮山積姿制約
仮山積姿制約は、以下の（２４）式〜（２５）式を含む。
まず、幅制約および長さ制約を表す制約式は、（３）式で定義される同一仮山上下積禁止鋼材ペア集合Ｆ'を用いて、以下の（２４）式の線形不等式のように表される。

（２４）式は、左辺の３つの項のうち何れか１つの項でも０（ゼロ）である場合には、自明な不等式となる。従って、（２４）式は、左辺の３つの項が共に１となることを禁止する制約式である。具体的に説明すると（２４）式は、鋼材グループｓを下、鋼材グループｓ'をその上に積んだ場合に積姿制約（幅制約および長さ制約）に違反する鋼材グループｓ、ｓ'を同じ仮山位置ｌに仮置きすることと（ｐ（ｓ，ｔ）＝ｐ（ｓ'，ｔ）＝１）、鋼材グループｓを鋼材グループｓ'よりも先に初期搬送すること（ｚ（ｓ，ｓ'）＝１）とが同時に成り立つことを禁止することを表す。言い換えると、（２４）式は、鋼材グループｓを下、鋼材グループｓ'をその上に積んだ場合に積姿制約（幅制約および長さ制約）に違反する鋼材グループｓ、ｓ'について、鋼材グループｓを鋼材グループｓ'よりも先に初期搬送する場合、鋼材グループｓ、ｓ'は、同じ仮山位置ｌに仮置きされないことを表す。

高さ制約を表す制約式は、（６）式で定義される仮山位置割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）を用いて、以下の（２５）式の線形不等式のように表される。尚、（２５）式の代わりに、（７）式で定義される仮山有無変数ｑ（ｔ）を用いて以下の（２６）式の線形不等式を用いてもよい。（２５）式および（２６）式の何れを用いても、仮山として山積みできる鋼材の数が、その上限値を上回らないようにする制約を課すことができる。（１９）式および（２０）式と同様、（２５）式および（２６）式において、ｗ（ｓ）は、変数ｓで特定される鋼材グループに含まれる鋼材の数である。

（ｊ）仮山位置区別制約
仮山位置区別制約は、仮山位置ｔの区別をつけるための制約である。本実施形態では、以下の（２７）式の線形不等式のように、仮山位置区別制約は、変数ｔの小さなものから順に仮山位置として使用することを表す制約であるものとする。また、以下の（２８）式の線形不等式のように、仮山有無変数ｑ（ｔ）について、仮山位置ｔに鋼材グループｓを配置する場合には、仮山位置ｔを使用しなければならないことを表す制約式を用いる。

尚、（２７）式の仮山位置区別制約は、前述した（２２）式の最終山位置区別制約と同様、必ずしも必要な制約ではない。ただし、（２７）式の仮山位置区別制約により、計算時間を削減できる可能性がある。また、（２６）式を用いる場合には、（２８）式は用いても用いなくてもよい。

制約式・目的関数設定部１０２は、例えば、（１０）式〜（１９）式、（２１）式〜（２５）式、（２７）式〜（２８）式に対し、変数ｓ、ｓ'、ｓ''、ｋ、ｗ（ｓ）、ｈ_max、Ｌ_max、ｔ_maxを設定することにより、（１０）式〜（１９）式、（２１）式〜（２５）式、（２７）式〜（２８）式の制約式を設定する。尚、（１９）式に代えて（２０）式、（２５）式に代えて（２６）式を用いてもよいことは、前述した通りである。

（１０）式、（１３）式、（１６）式、および（２３）式については、鋼材グループの集合Ｎの任意の２つの鋼材グループの組み合わせのそれぞれについて、ｓ、ｓ'を設定する。（１１）式および（１４）式については、鋼材グループの集合Ｎの任意の３つの鋼材グループの組み合わせのそれぞれについて、ｓ、ｓ'、ｓ''を設定する。

（１２）式を設定する際には、初期山姿特定情報から、同一の初期山において相対的に下にある鋼材グループと上にある鋼材グループとを特定し、それら２つの鋼材グループのうち上にある鋼材グループに対して設定されている変数をs、下にある鋼材グループ対して設定されている変数をs'とする。

また、（１５）式を設定する際には、鋼材グループ情報から、各鋼材グループの払出順を特定し、２つの鋼材グループのうち、払出順が先の鋼材グループに対して設定されている変数をｓ、後の鋼材グループに対して設定されている変数をｓ'とする。
また、（１８）式を設定する際には、同一の最終山に積んではいけない２つの鋼材グループの組み合わせ（即ち、同一最終山配置禁止鋼材ペア集合Ｆ）のそれぞれについて、ｓ、ｓ'を設定する。
また、（２４）式を設定する際には、２つの鋼材グループの組み合わせのうち、同一の仮山において、鋼材グループｓを下、鋼材グループｓ'をその上に積んではいけない２つの鋼材グループｓ、ｓ'（即ち、同一仮山上下積禁止鋼材ペア集合Ｆ'）のそれぞれについて、ｓ、ｓ'を設定する。

<<目的関数>>
次に、目的関数について説明する。
前述したように本実施形態では、最終山の山数と、鋼材グループの総搬送回数（即ち、仮置き鋼材グループの数）と、仮山の山数とを少なくすることとを目的とするので、以下の（２９）式に示す目的関数Ｊを用いる。

（２９）式において、重み係数ｋ₁、ｋ₂、ｋ₃は、それぞれの評価項目をどの程度重視するかによって予め設定されるものであり、各評価項目（最終山の山数、鋼材グループの総搬送回数、仮山の山数）間の評価のバランスを表す。例えば、鋼材グループの総搬送回数および仮山の山数よりも、最終山の山数を重要な評価項目とする場合には、重み係数ｋ₁の大きさを重み係数ｋ₂、ｋ₃の大きさよりも大きくする。
制約式・目的関数設定部１０２は、例えば、（２９）式に対し、変数ｓ、Ｎ、Ｌ、Ｔ、ｋ₁、ｋ₂、ｋ₃を設定することにより、（２９）式の目的関数Ｊを設定する。

［最適化計算部１０３、ステップＳ２０４］
最適化計算部１０３は、（１０）式〜（１９）式、（２１）式〜（２５）式、（２７）式〜（２８）式の制約式を満足する範囲で、（２９）式の目的関数Ｊの値が最小になるときの初期搬送順序変数ｙ（ｓ，ｓ'）、最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）、仮山位置割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）、仮山有無変数ｑ（ｔ）、最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）、および最終山有無変数δ（ｌ）を最適解として算出する。また、最適解の算出は、最適化問題を混合整数計画法等の数理計画法により解くための公知のアルゴリズム（solver等の利用を含む）を用いることにより実現できる。

［後処理部１０４、ステップＳ２０５］
以上のようにして初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）が導出されると、鋼材グループの集合Ｎに含まれるそれぞれの鋼材グループの初期搬送順（初期山から取り除く順序）を決定することができる。ただし、仮置きが発生すると判定された鋼材グループ（Σ_t∈Tｐ（ｓ，ｔ）＝１となった鋼材グループｓ）の最終搬送順（仮山（仮置場）から最終山（最終置場）への搬送順）が初期搬送順との関係に於いて定まらないので、これを決定する必要がある。即ち、前述したようにして決定した初期搬送順のどこに、仮置きが発生すると判定された鋼材グループの最終搬送順を割り込ませるのかを決定する必要がある。そこで、本実施形態では、後処理部１０４は、以下のようにして、各鋼材グループの最終的な搬送順を決定する。

仮置きが発生すると判定された鋼材グループについては、初期搬送と最終搬送の２回の搬送が必要である。一方、仮置きが発生しないと判定された鋼材グループについては、初期搬送と最終搬送は一致する。従って、仮置きが発生すると判定された鋼材グループについては、仮置場から最終山への最終搬送を、仮想的な鋼材グループの初期搬送とみなす。そして、初期搬送に対応する本来の鋼材ＩＤと、最終搬送に対応する仮想的な鋼材グループに対応する鋼材ＩＤをそれぞれ変数ｓとして設定する。つまり、当該鋼材グループについては、仮想的に異なる２つの鋼材グループがあるがごとく２つの変数ｓを設定する。従って、ここでの搬送対象となる鋼材グループの数は、実際の搬送対象の鋼材グループの数に、仮置きが発生すると判定された鋼材グループの数を加算した値になる。このようにして前述したアルゴリズムに与える情報を変更することにより、搬送対象となる鋼材グループを全て初期搬送により初期山から最終山へ積み替えることができ、各鋼材グループの最終的な搬送順を求めることができる。具体的には、前述したアルゴリズムに対し、以下の変形を行う。尚、以下の説明では、仮置きが発生すると判定された鋼材グループを必要に応じて仮置き対象鋼材グループと称する。

変数ｓは、初期搬送を特定する変数であり、鋼材グループの集合Ｎに含まれる各鋼材グループに対して設定される。また、仮置き対象鋼材グループに対しては、２つの変数ｓが設定される。本実施形態では、各鋼材グループに対する変数ｓは、当該鋼材グループの鋼材グループＩＤである。従って、鋼材グループＩＤとは異なるＩＤを仮想鋼材グループＩＤとして、仮置き対象鋼材グループ毎に設定する。そして、仮置き対象鋼材グループの鋼材グループＩＤと、当該仮置き対象鋼材グループに対して設定したその仮想鋼材グループＩＤとを当該仮置き対象鋼材グループに対する２つの変数ｓとして設定する。仮置き対象鋼材グループの数をｍ、その仮想鋼材グループ集合をＭとすると、変数ｓの数は（ｎ＋ｍ）になる。このように、仮置き対象鋼材グループについては、初期搬送を特定する２つの変数ｓが設定される。これら２つの変数ｓのうちの一方は、初期山からの初期搬送を特定する変数であり、他方は、仮山からの最終搬送(前述の様にこれを仮想鋼材グループの初期搬送として扱う)を特定する変数である。以上のように、仮置きが発生すると判定された鋼材グループを２つの鋼材グループと見なすことにより、当該鋼材グループの２回の搬送（初期山から仮山への初期搬送と、仮山から最終山への最終搬送）を、それぞれ初期搬送として扱うことができる。

次に、初期山からの初期搬送を特定する変数ｓで特定される仮置き対象鋼材グループについての、初期搬送を考慮する際の仮想的な初期山の山姿は、初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）により定まる初期搬送順が早い鋼材グループから順に上から積まれた１つの仮想的な第１の山とする。この第１の山の積段数はｎである。また、この第１の山の各積段には、最適化計算部１０３により算出された初期搬送順に従い上から該当する鋼材グループの鋼材グループＩＤが割り当てられる。一方、最適化計算部１０３により仮置きと判定された鋼材グループについての、最終搬送を考慮する際の仮想的な初期山は、積段数２段の仮想的な第２の山とする。第２の山の２段目は、当該第２の山を構成する鋼材グループの鋼材グループＩＤであるｓであり、１段目は、当該鋼材グループの最終搬送(仮山から最終山への搬送)に該当する鋼材グループＩＤであるｎ＋ｓである（第１の山の数は１つで、第２の山の数は最適化計算部１０３により仮置きと判定された鋼材グループの数である）。

ここで、初期山として、積段数ｎの第１の山を作るのは、最適化計算部１０３（ステップＳ２０４）で決定された、全ての鋼材グループの初期搬送順を、後処理部１０４（ステップＳ２０５）によって得られる搬送順に於いても維持する為である。また、仮置き対象鋼材グループに対応する積段数２段の第２の山を作るのは、仮置き対象鋼材グループについて、初期搬送と最終搬送の順序を規定する為である。仮置き対象鋼材グループの初期搬送に対応する鋼材グループＩＤが、積段数ｎの第１の山と積段数２の第２の山の両方に重複して割り当てられることにより、仮置き対象鋼材グループの初期搬送と最終山に直行する鋼材グループの初期搬送との順序関係と、仮置き対象鋼材グループの初期搬送と最終搬送との順序関係とが、後処理部１０４（ステップＳ２０５）によって同時に決定される。
次に、最終山の山姿は、最終山姿特定情報に対し、仮置き対象鋼材グループとなる鋼材グループの鋼材ＩＤを、当該仮置き対象鋼材グループに与えられた仮想鋼材グループＩＤに置き換えたものとなる。

後処理部１０４は、（１０）式〜（１２）式の制約式に対し変数ｓ、ｓ'、ｓ''を設定する。ただし、（１０）式、（１１）式の集合ＮはＮ∪Ｔに置き換えるものとする。 また（１２）式も上記第１の山と第２の山に対して適用する。更に、前記本処理にて求められた最終山において、変数sで特定される初期搬送が行われる鋼材グループｓよりも、変数s'で特定される初期搬送が行われる鋼材グループs'の方が下である場合、当該鋼材グループのペア｛ｓ，ｓ'｝⊆Ｎに対し、以下の（３０）式が成り立つ。ここで、ｘ（ｓ）は、初期山から最終山へ鋼材グループを初期搬送する際に、当該初期搬送が、仮山（仮置場）への搬送である場合に「１」を、そうでない場合に「０（ゼロ）」となる０−１変数（仮置き発生有無変数）である（変数の数＝ｎ）。

そして、後処理部１０４は、（１０）式〜（１２）式及び（３０）式の制約式を満足する範囲で、以下の（３１）式の目的関数Ｊの値が最小になるときの初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）を最適解として算出する。

あるいは、この後処理においては（３１）式の目的関数は「０」となることが明らかなので、（３１）式の目的関数を用いずに、その代わりに以下の（３２）式の制約式を追加しても良い。

後処理部１０４は、このようにして算出した初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）の最適解に基づいて、鋼材グループの集合Ｎ及び仮想鋼材グループ集合Ｔに含まれる各鋼材グループが初期山から最終山に至るまでの全ての搬送の順序を導出する。

［出力部１０５、ステップＳ２０６］
出力部１０５は、後処理部１０４で導出された、鋼材集合Ｎ及び仮想鋼材グループ集合Ｔに含まれる各鋼材の初期山から最終山に至るまでの搬送順を示す情報を出力する。出力の形態は、コンピュータディスプレイへの表示、ヤード管理装置１００の内部または外部の記憶媒体への記憶、および外部装置への送信のうち、少なくとも１つを含む。外部装置としては、例えば、クレーン、またはクレーンの動作を制御する制御装置が挙げられる。

（まとめ）
以上のように本実施形態では、ヤード管理装置１００は、任意の２つの鋼材グループの初期搬送の相対的な順序を定める二項変数である初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）と、ヤード管理装置１００は、任意の２つの鋼材グループの最終搬送の相対的な順序を定める二項変数である最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）と、鋼材グループが何れの最終山に配置されるかを表す変数である最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）と、鋼材グループが何れの仮山に配置されるかを表す変数である仮山位置割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）と、を用いて、初期搬送の順番の先後と最終搬送の順番の先後とが異なる２つの鋼材グループのうち、初期搬送が先の鋼材グループの仮置きが必要になることを表す線形不等式と、同一の仮山に仮置きする２つの鋼材グループの初期搬送の順番の先後と最終搬送の順番の先後とが逆になることを表す線形不等式とを含む制約式を設定する。そして、ヤード管理装置１００は、設定した制約式を満足するように、最終山の山数と仮置きの発生と仮山の山数とが、それらの評価のバランスに応じて最小になることを目的とする目的関数Ｊの値が最小になるときの、初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）、最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）、最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）、仮山位置割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）を導出し、これらに基づいて、鋼材グループの集合Ｎに含まれる各鋼材グループの初期山から最終山に至るまでの搬送順を導出する。従って、初期山から最終山へ鋼材グループを積み替える際の最終山の山姿と鋼材グループの搬送順と仮山の山姿とを同時に最適化することを、実操業上使用可能な時間内に実現することができる。

（変形例）
本実施形態では、目的関数Ｊを最小化する問題を例に挙げて説明した。しかしながら、鋼材グループの総搬送回数を評価する評価指標と、最終山の山数を評価する評価指標とを含む目的関数を用いていれば、目的関数Ｊを最小化する問題としなくてもよい。例えば、（２９）式の右辺の各項に（−１）を掛けたものを目的関数とし、当該目的関数を最大化する問題としてもよい。

また、工程間の置場として、２つの製造工程間の置場を対象とし、金属材として、半製品を対象としてもよいし、工程間の置場として、製造工程と出荷工程の間の置場を対象とし、金属材として、最終製品を対象としてもよい。この際に、複数の金属材をコンテナに収容して輸送、配置する場合には、金属材が収容されたコンテナを１つの金属材として取り扱ってもよい。さらに、工程間の置場としては、金属製造プロセスにおける置場に限定されるものでなく、一般的な工程間の物流、搬送を対象としてもよい。物流分野では内容物に限定されずコンテナの搬送、配置でも適用できる。従って、本発明では、金属材は、最終製品と、半製品と、コンテナとの何れか１つを含むものとする。

＜第２の実施形態＞
次に、第２の実施形態を説明する。第１の実施形態では、初期山と最終山の置場は異なっており、必ず全ての鋼材グループを初期山（初期置場）から最終山（最終置場）へ搬送する必要があることを前提とする場合を例に挙げて説明した。しかしながら、初期山において既に、最下段からの積順が払出順（下から上に向かって払出順が降順）となっている場合がある。このような場合、初期山において最下段からの積順が払出順（下から上に向かって払出順が降順）となっている部分は、積み替える必要がない。そこで、本実施形態では、このような部分については、初期山と最終山の置場が同一となることも許容する（即ち、初期山の状態から動かさない）場合について説明する。このように本実施形態と第１の実施形態とは、第１の実施形態で説明した（仮定）の（２）が異なることによる処理が主として異なる。従って、本実施形態の説明において、第１の実施形態と同一の部分については、図１〜図２に付した符号と同一の符号を付す等して詳細な説明を省略する。

本実施形態では、第１の実施形態で説明した（仮定）の（２）に代えて、以下の（３）の仮定を採用する。
（３） 初期山と最終山の置場が同一となることも許容し、初期山において最下段からの積順が払出順（下から上に向かって払出順が降順）となっている部分は搬送しないこととする（即ち、初期山の一部の鋼材グループ（最下段から連続する１つまたは複数の鋼材グループ）が搬送対象とならない場合があるものとする）。

第１の実施形態で説明した（仮定）の（２）と前記（３）との違いは、前記（３）の下では、（仮定）の（２）では起こり得ない、同一の置場（山）で上部の鋼材グループの入れ替えが許容されている点である。このような鋼材グループの入れ替えを行うには、初期山の上部に存在していた鋼材グループが、仮山または最終山に搬送され、初期山の残った部分（下部）の上に別の鋼材グループが搬送されることになる。初期山の残った下部の上に搬送される鋼材グループには、当該初期山とは別の初期山にある鋼材グループと、当該初期山の上部にあった鋼材グループのうち、仮山に仮置きされた鋼材グループとが含まれる。

従って、初期山に元々あった移動対象鋼材グループの"初期搬送順"が、初期山の残った部分の上に他の山から搬送される鋼材グループの"最終搬送順"よりも先でなければならない（以下の説明では、このことを必要に応じて入れ替えのための拘束条件と称する）。この入れ替えのための拘束条件を厳密に設定するには、任意の２つの鋼材グループ間の初期搬送順と最終搬送順との順序関係を規定する必要があるが、本実施形態では、そこまでの大掛かりな問題設定とせず、第１の実施形態で説明したアルゴリズムの変数体系の中で十分条件として、入れ替えのための拘束条件を表現する。尚、以下の説明では、初期山において最下段からの積順が払出順（下から上に向かって払出順が降順）となっており、積み替えの為の搬送を行わない部分を必要に応じて固定部と称し、当該初期山において固定部よりも上の、積み替えの為の搬送を行う部分を必要に応じて移動部と称する。

このアルゴリズムは、第１の実施形態の（１０）式〜（２８）式の制約式に対し、以下の変更を行うことで実現できる。
まず、第１の実施形態で説明した（１０）式〜（２８）式の制約式に対し追加する制約式について説明する。
全ての鋼材グループを搬送対象とせず、初期山の一部をそのまま最終山として流用する場合には、全ての鋼材を搬送対象とする場合にはない以下のケースが想定されるので、そのための新たな制約を追加する必要がある。
図３は、初期山に固定部がある場合の鋼材の搬送の形態の一例を示す図である。
図３に示す初期山において、最下段から２段の鋼材グループＩ、IIが固定部であり、その上の鋼材グループIII、IV、Ｖが移動部であるとする。この場合、最終山では、固定部の鋼材グループＩ、IIがそのままである。また、初期山の移動部の鋼材グループIII、IV、Ｖのうち、鋼材グループIII、Ｖは別の最終山に搬送され、鋼材グループIVは仮山に搬送された後、再び当該初期山（即ち最終山）に搬送され、その鋼材グループIVの上に別の初期山から鋼材グループVI、VIIが搬送される。この様なケースに対しても適切に搬送順を計算するために、初期搬送順に制約を設ける必要がある。

他の初期山または仮山から、固定部を持つ初期山（即ち最終山）へ鋼材グループを搬送する場合には、固定部の上部にある移動部の鋼材グループIII、IV、Ｖが初期搬送された後でないと、鋼材グループIV、VI、VIIの最終搬送はできない。従って、鋼材グループIV、VI、VIIの最終搬送は鋼材グループIII、IV、Ｖの初期搬送の後でなくてはならないという制約を設ける必要がある。よって、鋼材グループIII、IV、Ｖのような固定部の上部にある鋼材グループの初期搬送順は、鋼材IV、VI、VIIのような別の初期山または仮山から固定部の上部に搬送される鋼材グループの最終搬送順よりも先であることが必要十分条件である。ただし、第１の実施形態で説明したアルゴリズムでは、初期搬送順と最終搬送順との順序関係を陽に付与することができない。よって、本実施形態では、以下のように十分条件を与える制約式を追加する。
即ち、初期山lの移動部の鋼材グループの初期搬送を特定する変数をｉ_Uとし、初期山ｌとは別の山（初期山または仮山）から初期山ｌに搬送される鋼材グループの初期搬送を特定する変数をｉ_Tとし、以下の（３３）式の制約式を追加する。

変数ｉ_Tで特定される初期搬送が最終山への搬送である場合には、（３３）式は前述した必要十分条件になるが、変数ｉ_Tで特定される初期搬送が仮山への搬送である場合には、（３３）式は十分条件になり、過剰な規制になる。尚、以下の（３４）式が成り立つとすると、以下の（３５）式の場合、無条件となり、必要条件にしかならない。

また、図３の例における鋼材グループIVの様な、初期山lから初期搬送されて再び当該初期山ｌに戻る鋼材グループ（即ち、ｉ_Uでありｉ_Tである）場合には（３３）式は意味をなさなくなるが、この様な鋼材グループに対しては、以下の（３６）式を設定する。

次に、第１の実施形態で説明した（１０）式〜（２８）式の制約式に対し変更する部分について説明する。
初期搬送を特定する変数ｓ、ｓ'、ｓ''のうち、少なくとも何れか１つが、初期山の固定部の鋼材グループに対して設定された変数である場合には、それらの変数ｓ、ｓ'、ｓ''による初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）、ｙ（ｓ'，ｓ）、ｙ（ｓ'，ｓ''）、ｙ（ｓ，ｓ''）については、（１０）式および（１１）式の制約式を設定しないものとする。あるいは（１２）式を以下の様に拡張することにより、固定部の鋼材に対しても（１２）式以外の制約式は全て移動部（非固定部）の鋼材グループと同様に設定すれば良い。

つまり、前記の（１２）式は移動部（非固定部）の鋼材に対してのものであったが、一方の鋼材グループが固定部、もう一方の鋼材グループが非固定部の場合は、以下の（３７）式の制約式を設定し、両方の鋼材グループが固定部の場合であって、それらが同一の初期山にある場合には、以下の（３８）式の制約式を設定する。

本実施形態では、制約式・目的関数設定部１０２は、例えば、以上のようにして（１０）式〜（１９）式、（２１）式〜（２５）式、（２７）式〜（２８）式、（３３）式、（３６）式の制約式を設定する。尚、前述したように、（３７）式および（３８）式の制約式を設定してもよい。そして、最適化計算部１０３は、（１０）式〜（１９）式、（２１）式〜（２５）式、（２７）式〜（２８）式、（３３）式、（３６）式（または、（１０）式〜（１９）式、（２１）式〜（２５）式、（２７）式〜（２８）式、（３３）式、（３６）式〜（３８）式）を満足する範囲で、（２９）式の目的関数Ｊの値が最小になるときの、初期搬送順序変数ｙ（ｓ，ｓ'）、最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）、仮山位置割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）、仮山有無変数ｑ（ｔ）、最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）、および最終山有無変数δ（ｌ）を算出する。

以上のように本実施形態では、鋼材のグループ少なくとも１つが初期山の固定部の鋼材グループである場合には、鋼材グループを搬送する際の制約を表す制約式である（１２）式を設定しない、或いは、（３４）式、（３５）式の制約式を設定する。また、初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）を用いて、初期山の移動部の鋼材グループの初期搬送が、当該移動部を有する初期山に搬送される鋼材グループの初期搬送よりも先になることを表す制約式（（３２）式）を加える。従って、第１の実施形態で説明した効果に加えて、搬送する必要がない初期山の固定部の鋼材グループを搬送しないように、初期山から最終山へ金属材を積み替える際の鋼材の搬送順を求めることができる。

前述したように（１２）式は、入れ替えのための拘束条件を十分条件で表現するので、このようにして得られる解は、最適解である保証はなく、実行可能解空間を狭めているので極端な場合には、最適解があるのに、実現不能（解なし）として計算される可能性がある。そこで、（１２）式に代えて、入れ替えのための拘束条件を必要条件で表現する以下の（３９）式の制約式を用いてもよい。

（３９）式は、初期山の移動部を有する初期山に搬送される鋼材グループが仮置きされる場合には、その鋼材グループの初期搬送と当該移動部の鋼材グループの初期搬送との順序は問わず、そうでない場合には、（１２）式と同様に、初期山の移動部の鋼材グループの初期搬送が、当該移動部を有する初期山に搬送される鋼材グループの初期搬送よりも先になることを示す。（３９）式では、移動部を有する初期山に搬送される鋼材グループが仮置きされる場合には、制限がなくなるので必要条件にしかならず、実行可能解空間を広げているので得られた解が実現不能な解になる（即ち、得られた解では搬送ができない）可能性がある。

例えば、実現不能な解が求められることを確実に防止したい場合には（１２）式を用い、移動部を有する初期山に搬送される鋼材グループが仮置きされることは稀である場合には（３９）式を用いるというようにして、採用する制約式を選択すればよい。（３９）式を用いた場合に実行可能解が得られればそれは真の最適解である。
また、本実施形態においても第１の実施形態で説明した変形例を採用することができる。

＜実施例＞
次に、実施例を説明する。
以下の実施例では、以下の計算環境で計算を行った。
（ｉ）プロセッサ：Intel(登録商標) Xeon(登録商標) CPU E5-2687W @ 3.1.GHz (２プロセッサ)
（ii）実装メモリ(ＲＡＭ)：128GB
（iii）ＯＳ： Windows(登録商標)7 Professional 64ビットオペレーティングシステム
（iv）最適計算ソフト：ILOG CPLEX Cplex11.0 Concert25(登録商標)

本実施例では、最終山の作成対象の全ての鋼材（スラブ）の初期山の山姿と払出順とを与え、その全ての鋼材を移動する前提で、その初期山のそれぞれを、上から払出順に山積みされる最終山に積み替えるものとする。このとき、鋼材は１つずつ搬送されるものとする。この積み替えに対し、出来るだけ少ない搬送数で鋼材を搬送し、最終山および仮山の数を出来るだけ少なくすることを目的とする。尚、ここでは、全ての鋼材が移動することを前提としているので、搬送数を少なくすることは仮置き数を少なくすることと等価である。（２９）式の重み係数は、ｋ₁（最終山の数に対する重み係数）＝１０、ｋ₂（仮置き数に対する重み係数）＝１、ｋ₃（仮山の数に対する重み係数）＝５とした。また、最終山として山積みできる鋼材の数の上界ｈ_maxは１０とした。

また、特許文献３に記載の手法は、第１、第２の実施形態の手法と同様に、最終山と搬送順とを同時に最適化する手法である。そこで、第１の実施形態の手法（発明例）に対する比較例として、特許文献３に記載の手法を用い、両者の比較を行った。尚、特許文献３に記載の手法は、最終山の山姿と、最終山を作成するための搬送順までを求める手法であり、仮山の山姿については考慮されていない。従って、ここでは、特許文献４における到着順を、特許文献３により得られた搬送順とし、最終山の実現可能山を仮山の実現可能山を求める問題として特許文献４に記載の手法を適用し、仮山の山姿を求めた。また、比較例においても発明例と同様に、ｋ₁（最終山の数に対する重み係数）＝１０、ｋ₂（仮置き数に対する重み係数）＝１とした。

図４は、発明例による最適化計算の結果と、比較例の手法による最適化計算の結果とを表形式で示す図である。
図４において、計算条件のＤａｔａは、鋼材情報を識別するものであり、１３通りの鋼材情報について、発明例と比較例との比較を行っていることを示す。また、計算条件のＳＬは、最終山の作成対象の鋼材の数である。また、計算条件の初期山数は、初期山の数である。比較例・発明例における最終山、仮置き数、仮山数は、それぞれ、最適化計算の結果として得られた最終山の数、仮置き数、仮山の数である。また、比較例・発明例における時間は、最適化計算に要した時間である。

ここで、Ｄａｔａ１〜５については、比較例においても、最適解が得られるまで計算を継続させた。一方、Ｄａｔａ６〜１３については、実用上許容される計算時間の限界値として想定される１０分で解が求まらない場合には、その段階で計算を打ち切り、その段階で得られた実行可能解を、最終山数、仮置き数、仮山数の欄に記載している。１０分かけても実行可能解すら得られない場合には、当該欄に、実行可能解得られずと記載している。

まず、小規模の問題（ｎ＜２０）で、両者の解が一致することを確認した。この結果を、図４のＤａｔａ１、２に示す。両者の解で、最終山数、仮置き数、および仮山数が一致していることが分かる。また、比較的規模の大きい問題でも、両者の解の一致を確認した（図４のＤａｔａ５を参照)。

次に、仮置きとなる鋼材が複数あり、仮山が複数必要となる可能性のある問題について検証した。その結果をＤａｔａ３、４に示す。Ｄａｔａ３では、５つの鋼材が仮置きとなり、比較例では、これら５つの鋼材を４つの仮山にしかまとめられなかった。これに対し、発明例では、仮置きとなる鋼材の決定と同時に仮山を考慮しているので、仮置きとなる５つの鋼材を１つの仮山にまとめられることが分かる。同様にＤａｔａ４でも、比較例および発明例共に仮置きとなる鋼材の数は３であるが、これら３つの鋼材を、比較例では、２つの仮山にしかまとめられないのに対し、発明例では、１つの仮山にまとめられることが分かる。

最後に、実際の操業と同程度の規模の問題で、計算時間を比較した結果を、図４のＤａｔａ６〜１３に示す。前述したように、ここでは、実用上許容される計算時間の限界値として想定される１０分で解が求まらない場合には、その段階で計算を打ち切り、その段階で得られた実行可能解を記載している。最適解に到達していない場合にはその時点での双対ギャップを記載している（Ｄａｔａ９、１１を参照）。Ｄａｔａ６〜１３の８つのケースのうち、比較例では１０分かけても実行可能解すら得られないケースが６つあり（Ｄａｔａ６、７、８、１０、１２、１３を参照）、残りの２つのケース（Ｄａｔａ９、１１）も最適解が得られなかった。これに対し、発明例ではいずれの場合も５分以内には最適解が得られることが分かる。

＜その他の変形例＞
以上説明した本発明の実施形態は、コンピュータがプログラムを実行することによって実現することができる。また、前記プログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体及び前記プログラム等のコンピュータプログラムプロダクトも本発明の実施形態として適用することができる。記録媒体としては、例えば、フレキシブルディスク、ハードディスク、光ディスク、光磁気ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、磁気テープ、不揮発性のメモリカード、ＲＯＭ等を用いることができる。
また、以上説明した本発明の実施形態は、何れも本発明を実施するにあたっての具体化の例を示したものに過ぎず、これらによって本発明の技術的範囲が限定的に解釈されてはならないものである。すなわち、本発明はその技術思想、またはその主要な特徴から逸脱することなく、様々な形で実施することができる。

＜請求項との関係＞
以下に、請求項と実施形態との関係の一例を示す。尚、請求項の記載が実施形態の記載に限定されないことは、変形例などに示した通りである。
（請求項１、７）
初期搬送順変数は、例えば、初期搬送順変数ｙ（ｓ，ｓ'）を用いることにより実現される。最終搬送順変数は、例えば、最終搬送順変数ｚ（ｓ，ｓ'）を用いることにより実現される。最終山割り当て変数は、例えば、最終山割り当て変数ｒ（ｓ，ｌ）を用いることにより実現される。仮山割り当て変数は、例えば、仮山割り当て変数ｐ（ｓ，ｔ）を用いることにより実現される。
金属材情報取得手段は、例えば、鋼材情報取得部１０１を用いることにより実現される。鋼材情報は、例えば、鋼材グループ情報を用いることにより実現される。初期山の識別情報および当該初期山の各積位置における前記金属材の識別情報は、例えば、各鋼材グループの初期山の山姿を特定する情報（初期山ＩＤと、当該初期山ＩＤで識別される初期山の各積段に位置する鋼材グループＩＤ）を用いることにより実現される。前記金属材の前記払出順は、例えば、各鋼材グループの払出順（圧延工程への搬送順）を用いることにより実現される。
制約式設定手段は、例えば、制約式・目的関数設定部１０２を用いることにより実現される。第１の制約式は、例えば、（１６）式を用いることにより実現される。第２の制約式は、例えば、（２３）式を用いることにより実現される。
目的関数設定手段は、例えば、制約式・目的関数設定部１０２を用いることにより実現される。目的関数は、例えば、（２９）式を用いることにより実現される。
最適化計算手段は、例えば、最適化計算部１０３を用いることにより実現される。
（請求項２）
第３の制約式は、例えば、（２４）式を用いることにより実現される。
積姿制約は、例えば、幅制約および長さ制約を用いることにより実現される。
（請求項３）
第４の制約式は、例えば、（１０）式を用いることにより実現される。
第５の制約式は、例えば、（１１）式を用いることにより実現される。
（請求項４）
第６の制約式は、例えば、（１３）式を用いることにより実現される。
第７の制約式は、例えば、（１４）式を用いることにより実現される。
（請求項５）
第８の制約式は、例えば、（１２）式を用いることにより実現される。
（請求項６）
第９の制約式は、例えば、（１５）式を用いることにより実現される。

１００：ヤード管理装置、１０１：鋼材情報取得部、１０２：制約式・目的関数設定部、１０３：最適化計算部、１０４：後処理部、１０５：出力部

Claims (12)

1. 工程間の置場であるヤードに山積みされる金属材からなる初期山の当該金属材を、搬送機器により搬送して、当該ヤードの後工程への払出順に従った積順で山積みされる金属材からなる最終山を作成するためのヤード管理装置であって、
   任意の２つの前記金属材についての、前記初期山からの搬送である初期搬送の相対的な順序を定める二項変数である初期搬送順変数と、任意の２つの前記金属材についての、前記最終山への搬送である最終搬送の相対的な順序を定める二項変数である最終搬送順変数と、前記金属材が何れの前記最終山に属するのかを表す変数である最終山割り当て変数と、前記ヤードの仮置場に山積みされる金属材からなる仮山に前記金属材が山積みされる場合に当該金属材が何れの前記仮山に属するのかを表す変数である仮山割り当て変数とを決定変数とし、
   前記初期山の識別情報および当該初期山の各積位置における前記金属材の識別情報と、前記金属材の前記払出順とを含む金属材情報を取得する金属材情報取得手段と、
   第１の制約式と第２の制約式とを含む制約式を、前記金属材情報に基づいて設定する制約式設定手段と、
   前記最終山の数を評価する評価指標と、前記ヤードの仮置場への仮置きが発生する前記金属材の数を評価する評価指標と、前記仮山の数を評価する評価指標とを含む目的関数を、前記金属材情報に基づいて設定する目的関数設定手段と、
   前記制約式を満足する範囲で前記目的関数の値が最小または最大になるときの前記決定変数の値を最適解として導出することを、数理計画法による最適化計算を行うことにより実行する最適化計算手段とを有し、
   前記第１の制約式は、任意の２つの前記金属材について、前記初期山からの搬送順の先後と、前記最終山への搬送順の先後とが異なる場合に、当該２つの金属材のうち、前記初期山からの搬送順が先の前記金属材は、前記仮置場に仮置きすることが必要であることを、前記決定変数を用いて表す制約式であり、
   前記第２の制約式は、任意の２つの前記金属材が、同一の前記仮山に山積みされるためには、当該２つの前記金属材について、前記初期山からの搬送順の先後と、前記最終山への搬送順の先後とが異なる必要があることを、前記決定変数を用いて表す制約式であることを特徴とするヤード管理装置。
2. 前記制約式は、同一の前記仮山において、一方の前記金属材を下、他方の前記金属材を上に積んだ場合に、積姿制約を満たさない２つの前記金属材について、当該一方の金属材を当該他方の金属材よりも先に初期搬送する場合、当該２つの金属材を同一の前記仮山に仮置きしてはいけないことを、前記決定変数を用いて表す第３の制約式を更に含み、
   前記積姿制約は、前記金属材のサイズに基づいて定められる制約であって、同一の山における複数の前記金属材の積み順に関する制約であることを特徴とする請求項１に記載のヤード管理装置。
3. 前記初期搬送順変数は、前記金属材の前記初期山からの初期搬送の順序を全順序とみなして任意の２つの前記金属材の前記初期山からの初期搬送の相対的な順序を定める二項変数であり、
   前記制約式は、前記初期搬送順変数が比較可能であることが、前記初期搬送順変数を用いて表された線形等式である第４の制約式と、前記初期搬送順変数が推移的であることを、前記初期搬送順変数を用いて表した線形不等式である第５の制約式とを更に含むことを特徴とする請求項１または２に記載のヤード管理装置。
4. 前記最終搬送順変数は、前記金属材の前記最終山への最終搬送の順序を全順序とみなして任意の２つの前記金属材の前記最終山への最終搬送の相対的な順序を定める二項変数であり、
   前記制約式は、前記最終搬送順変数が比較可能であることが、前記最終搬送順変数を用いて表された線形等式である第６の制約式と、前記最終搬送順変数が推移的であることを、前記最終搬送順変数を用いて表した線形不等式である第７の制約式とを更に含むことを特徴とする請求項１〜３のいずれか１項に記載のヤード管理装置。
5. 前記制約式は、同一の前記初期山において、下にある前記金属材よりも上にある前記金属材を先に前記初期山から初期搬送しなければならないことを、前記初期搬送順変数を用いて表した線形等式である第８の制約式を更に有することを特徴とする請求項１〜４のいずれか１項に記載のヤード管理装置。
6. 前記制約式は、前記払出順が相対的に先の前記金属材と前記払出順が相対的に後の前記金属材とが同一の前記最終山に配置される場合、前記払出順が相対的に後の前記金属材の当該最終山への最終搬送の方が、前記払出順が相対的に先の前記金属材の当該最終山への最終搬送よりも先になる必要があることを、前記最終搬送順変数と、前記最終山割り当て変数とを用いて表した線形不等式である第９の制約式を更に有することを特徴とする請求項１〜５のいずれか１項に記載のヤード管理装置。
7. 前記第１の制約式は、前記仮山割り当て変数と、前記初期搬送順変数と、前記最終搬送順変数とを用いて表した線形不等式であり、
   前記第２の制約式は、前記仮山割り当て変数と、前記初期搬送順変数と、前記最終搬送順変数とを用いて表した線形不等式であることを特徴とする請求項１〜６のいずれか１項に記載のヤード管理装置。
8. 前記初期山は、既着山と仮想山とを含み、
   前記既着山は、前記最終山を作成するときに前記ヤードにおいて山積みされている山であり、
   前記仮想山は、前記最終山を作成するときに前記ヤードに未到着の金属材であって、前記最終山の作成の対象となる金属材を、前記ヤードへの予定到着順が早いものほど上になるように山積みしたと仮定した場合の１つの山であることを特徴とする請求項１〜７のいずれか１項に記載のヤード管理装置。
9. 前記金属材は、金属材グループであり、
   前記金属材グループは、搬送機器にて前記金属材を搬送する際に分割されることのない複数の前記金属材からなることを特徴とする請求項１〜８のいずれか１項に記載のヤード管理装置。
10. 前記ヤードは、鉄鋼製造プロセスにおける製鋼工程と圧延工程との間の置場であり、
    前記金属材は、鋼材であることを特徴とする請求項１〜９のいずれか１項に記載のヤード管理装置。
11. 工程間の置場であるヤードに山積みされる金属材からなる初期山の当該金属材を、搬送機器により搬送して、当該ヤードの後工程への払出順に従った積順で山積みされる金属材からなる最終山を作成するためのヤード管理方法であって、
    任意の２つの前記金属材についての、前記初期山からの搬送である初期搬送の相対的な順序を定める二項変数である初期搬送順変数と、任意の２つの前記金属材についての、前記最終山への搬送である最終搬送の相対的な順序を定める二項変数である最終搬送順変数と、前記金属材が何れの前記最終山に属するのかを表す変数である最終山割り当て変数と、前記ヤードの仮置場に山積みされる金属材からなる仮山に前記金属材が山積みされる場合に当該金属材が何れの前記仮山に属するのかを表す変数である仮山割り当て変数とを決定変数とし、
    前記初期山の識別情報および当該初期山の各積位置における前記金属材の識別情報と、前記金属材の前記払出順とを含む金属材情報を取得する金属材情報取得ステップと、
    第１の制約式と第２の制約式とを含む制約式を、前記金属材情報に基づいて設定する制約式設定ステップと、
    前記最終山の数を評価する評価指標と、前記ヤードの仮置場への仮置きが発生する前記金属材の数を評価する評価指標と、前記仮山の数を評価する評価指標とを含む目的関数を、前記金属材情報に基づいて設定する目的関数設定ステップと、
    前記制約式を満足する範囲で前記目的関数の値が最小または最大になるときの前記決定変数の値を最適解として導出することを、数理計画法による最適化計算を行うことにより実行する最適化計算ステップとを有し、
    前記第１の制約式は、任意の２つの前記金属材について、前記初期山からの搬送順の先後と、前記最終山への搬送順の先後とが異なる場合に、当該２つの金属材のうち、前記初期山からの搬送順が先の前記金属材は、前記仮置場に仮置きすることが必要であることを、前記決定変数を用いて表す制約式であり、
    前記第２の制約式は、任意の２つの前記金属材が、同一の前記仮山に山積みされるためには、当該２つの前記金属材について、前記初期山からの搬送順の先後と、前記最終山への搬送順の先後とが異なる必要があることを、前記決定変数を用いて表す制約式であることを特徴とするヤード管理方法。
12. 請求項１〜１０のいずれか１項に記載のヤード管理装置の各手段としてコンピュータを機能させることを特徴とするプログラム。

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