JP2019025755A - 可塑性材料の混練シミュレーション方法 - Google Patents

Abstract

【課題】バンバリーミキサーの混練性能を事前に評価する。【解決手段】フィラー含有可塑性材料に対するバンバリーミキサーの混練性能を事前評価するためのシミュレーション方法であって、前記シミュレーション方法は、予め定めた条件に基づいて、チャンバーモデル内に前記可塑性材料モデルを配置しかつ前記ロータモデルを回転させることにより、チャンバーでの可塑性材料が練られた状態をシミュレーションする計算ステップＳ２を含んでおり、前記計算ステップＳ２は、前記可塑性材料の分散状態に関するパラメータを計算するステップを含むシミュレーション方法。【選択図】図４

Description

本発明は、可塑性材料を混練するバンバリーミキサーの混練性能を調べるための方法に関する。

下記非特許文献１は、例えば、ポリマーを混練するバンバリーミキサーの混練性能（例えば、ポリマーの分散性能）を評価するための方法を提案している。下記非特許文献１では、先ず、混練中のポリマーからせん断速度γ、及び、渦度ωが測定され、下式を用いて、ポリマーの分散状態に関するパラメータ（せん断応力λ）が計算される。
λ＝｜γ｜／（｜γ｜＋｜ω｜）

Ica Manas-Zloczower著、「Mixing and Compounding of Polymers」、第２版、Hanser Gardner Pubns、2009年

ところで、バンバリーミキサーは、チャンバー内に回転するロータを具えている。このロータには、チャンバーの外周面に接近するように突出したチップ部が設けられている。バンバリーミキサーでは、チップ部とチャンバーの外周面との間の隙間（チップクリアランス）において、ポリマーの圧縮及びせん断が効果的に行われる。従って、ポリマーの分散状態に関するパラメータの計算には、チップ部の影響を考慮することが重要である。

しかしながら、上記非特許文献１の方法では、チップ部の影響が考慮されていないため、バンバリーミキサーの混練性能を評価するには十分でないという問題があった。

本発明は、以上のような実状に鑑み案出されたもので、ロータのチップ部の影響を考慮したバンバリーミキサーの混練性能を評価しうる方法を提供することを主たる目的としている。

本発明は、可塑性材料を混練するための空間であるチャンバーと、前記チャンバー内で回転する少なくとも１本のロータとを有し、前記ロータが前記チャンバーの外周面に接近するように突出したチップ部を具え、前記可塑性材料がフィラーを含むものであるバンバリーミキサーの混練性能を調べるためのシミュレーション方法であって、コンピュータに、前記ロータを有限個の要素で分割してロータモデルを入力するステップと、前記コンピュータに、前記チャンバーを有限個の要素で分割してチャンバーモデルを入力するステップと、前記コンピュータに、前記可塑性材料をモデル化した可塑性材料モデルを入力するステップと、予め定めた条件に基づいて、前記チャンバーモデル内に前記可塑性材料モデルを配置しかつ前記ロータモデルを回転させることにより、前記チャンバーでの前記可塑性材料が練られた状態をシミュレーションする計算ステップとを含み、前記計算ステップは、下記式（１）により、前記可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤを計算するステップを含む可塑性材料の混練シミュレーション方法。

ここで、
Ｖ：可塑性材料モデルの体積
Ｒ：フィラーの半径
ｔ：単位時間
Ｔ：可塑性材料モデルがチップ部を通過するのに要する時間
Ｑ：チップ部を通過する可塑性材料モデルの単位時間当たりの流量
τ：可塑性材料モデルのせん断応力
γ：可塑性材料モデルのせん断速度
α、τ_ｃ：定数

本発明に係る前記可塑性材料の混練シミュレーション方法において、前記計算ステップは、前記ロータモデルが１回転以上する期間において、前記パラメータＤの時間平均を計算するステップをさらに含んでもよい。

本発明の可塑性材料の混練シミュレーション方法は、予め定めた条件に基づいて、前記チャンバーモデル内に前記可塑性材料モデルを配置しかつ前記ロータモデルを回転させることにより、前記チャンバーでの前記可塑性材料が練られた状態をシミュレーションする計算ステップを含んでいる。前記計算ステップは、下記式（１）により、前記可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤを計算するステップを含んでいる。

ここで、
Ｖ：可塑性材料モデルの体積
Ｒ：フィラーの半径
ｔ：単位時間
Ｔ：可塑性材料モデルがチップ部を通過するのに要する時間
Ｑ：チップ部を通過する可塑性材料モデルの単位時間当たりの流量
τ：可塑性材料モデルのせん断応力
γ：可塑性材料モデルのせん断速度
α、τ_ｃ：定数

上記式（１）では、可塑性材料モデルのせん断応力τ、及び、せん断速度γとともに、前記チップ部に関するパラメータ（時間Ｔ、流量Ｑ）が含まれている。従って、本発明の可塑性材料の混練シミュレーション方法は、ロータのチップ部の影響を考慮して、バンバリーミキサーの混練性能を評価することができる。

バンバリーミキサーの一例を示す部分断面図である。 可塑性材料を混練しているバンバリーミキサー１の一例を示す部分断面図である。 可塑性材料の混練シミュレーション方法を実行するためのコンピュータの一例を示す斜視図である。 可塑性材料の混練シミュレーション方法の処理手順の一例を示すフローチャートである。 ミキサーモデル入力ステップの処理手順の一例を示すフローチャートである。 バンバリーミキサーモデルの一例を示す断面図である。 図６の部分拡大図である。 チャンバーモデル及びロータモデルの斜視図である。 チャンバーモデルの断面図である。 チャンバーモデルを分解して示す断面図である。 計算ステップの処理手順の一例を示すフローチャートである。 可塑性材料モデルと気相モデルとが混在して配置されたチャンバーモデルを示す断面図である。 ランド幅が互いに異なる第１ロータ及び第２ロータについて、可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤと時刻ｔとの関係を示すグラフである。 本発明の他の実施形態の計算ステップの処理手順の一例を示すフローチャートである。 ランド幅が互いに異なる第１ロータ及び第２ロータについて、可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤの時間平均と時刻ｔとの関係を示すグラフである。 実施例の可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤと時刻ｔとの関係を示すグラフである。 比較例のせん断応力と時刻ｔとの関係を示すグラフである。

以下、本発明の実施の一形態が図面に基づき説明される。
本実施形態の可塑性材料の混練シミュレーション方法（以下、単に「シミュレーション方法」ということがある。）では、コンピュータを用いて、可塑性材料を混練するバンバリーミキサーの混練性能が評価される。さらに、本実施形態では、評価されたバンバリーミキサーの混練性能に基づいて、高い混練性能を発揮しうるロータの形状等が設計されている。

ここで、「混練」とは、例えば、ゴム材料や樹脂材料を含む可塑性材料の成形時の前処理として、原材料の薬品、粉体などと液状バインダを分散させながら互いに濡らし、それらを均質にする作用乃至操作として定義される。代表的な混練工程は、バンバリーミキサー（混練機）を用いて行われる。図１は、バンバリーミキサーの一例を示す部分断面図である。図２は、可塑性材料５を混練しているバンバリーミキサー１の一例を示す部分断面図である。

図１に示されるように、バンバリーミキサー１は、可塑性材料５（図２に示す）を混練するための空間であるチャンバー４と、チャンバー４内で回転する少なくとも１本のロータ３（本実施形態では、一対のロータ３、３）とを含んで構成されている。さらに、本実施形態のバンバリーミキサー１は、チャンバー４を画定する内壁面９を具えたケーシング２を具えている。本実施形態のケーシング２は、筒状に形成されている。

各ロータ３は、円筒状の基部３ａと、基部３ａから筒状に形成されたケーシング２の内壁面９に向かってのびる翼部３ｂとを含んで構成されている。図２に示されるように、翼部３ｂは、チャンバー４の外周面４ｏ（ケーシング２の内壁面９）に接近するように突出したチップ部８を具えている。このチップ部８とチャンバー４の外周面４ｏとの間の隙間（チップクリアランス）１０において、可塑性材料５の圧縮及びせん断が効果的に行われる。

チップ部８のロータ周方向の長さであるランド幅Ｌ１は、例えば、混練対象の可塑性材料５の配合等に応じて適宜設定される。なお、ランド幅Ｌ１が大きいと、可塑性材料５を短時間で混練することができるが、可塑性材料５が加熱しやすい傾向がある。逆に、ランド幅Ｌ１が小さいと、可塑性材料５の加熱を抑えることができるが、可塑性材料５の混練時間が増大する傾向がある。従って、バンバリーミキサー１の混練性能の評価には、チップ部８の影響（ランド幅Ｌ１）を考慮することが重要である。

図１に示されるように、チャンバー４は、ロータ３、３と、ケーシング２との間に区画される。本実施形態のチャンバー４は、断面横向きの略８の字状に形成されている。なお、チャンバー４は、このような形状に限定して解釈されるものではない。

図２に示されるように、本実施形態の可塑性材料５は、架橋前のゴム材料である。ただし、このようなゴム材料以外にも、樹脂材料やエラストマー等の流動性を有するものを、可塑性材料５として採用することができる。また、可塑性材料５は、十分に練られて安定的な流動状態（流体）とみなすことができる状態のものが前提とされる。このような状態としては、架橋前のゴムの場合、十分に練られて約８０℃程度まで昇温した状態が相当する。

可塑性材料５には、フィラー（図示省略）が含まれている。フィラーとしては、例えば、シリカ、カーボンブラック、又は、アルミナ等が採用される。このようなフィラーは、バンバリーミキサー１による混練によって細かくすり潰され、可塑性材料５に万遍なく分散される。

図３は、可塑性材料の混練シミュレーション方法を実行するためのコンピュータの一例を示す斜視図である。コンピュータ６は、本体６ａ、キーボード６ｂ、マウス６ｃ及びディスプレイ装置６ｄを含んでいる。本体６ａには、例えば、演算処理装置（ＣＰＵ）、ＲＯＭ、作業用メモリ、磁気ディスクなどの記憶装置、及び、ディスクドライブ装置６ａ１、６ａ２が設けられている。また、記憶装置には、本実施形態のシミュレーション方法を実行するためのソフトウェア等が予め記憶されている。図４は、可塑性材料の混練シミュレーション方法の処理手順の一例を示すフローチャートである。

本実施形態のシミュレーション方法では、先ず、コンピュータ６に、図１に示したバンバリーミキサー１をモデル化したバンバリーミキサーモデル１１が入力される（モデル入力ステップＳ１）。図５は、モデル入力ステップＳ１の処理手順の一例を示すフローチャートである。図６は、バンバリーミキサーモデル１１の一例を示す断面図である。図６において、チャンバーモデル１４の要素Ｈ（ｉ）（図９に示す）を省略して表示している。

本実施形態のモデル入力ステップＳ１では、先ず、コンピュータ６に、ケーシング２（図１に示す）を有限個の要素Ｆ（ｉ）（ｉ＝１、２、…）で分割したケーシングモデル１２が入力される（ステップＳ１１）。ステップＳ１１では、ケーシング２（図１に示す）の設計データ（例えば、ＣＡＤデータ）に基づいて、ケーシング２の輪郭の少なくとも一部が、数値解析法により取り扱い可能な有限個の要素Ｆ（ｉ）で離散化（モデル化）される。これにより、ケーシングモデル１２が定義される。ケーシングモデル１２には、ケーシング２の内壁面９（図１に示す）を定義した内壁面モデル１９を有している。

本実施形態の要素Ｆ（ｉ）としては、例えば、３次元のソリッド要素が採用されている。ソリッド要素は、精度がよく、しかも接触面の設定が容易な６面体要素が好ましいが、複雑な形状を表現するのに適した４面体要素や多面体要素等でもよい。なお、これらの要素以外にも、ソフトウェアで使用可能な３次元のソリッド要素や２次元のシェル要素であれば、特に限定されない。各要素Ｆ（ｉ）には、要素番号、節点（図示省略）の番号、及び、節点の座標値等の数値データや熱条件等が定義される。また、各要素Ｆ（ｉ）には、外力が作用しても変形不能な剛体として定義される。これにより、ケーシングモデル１２での応力計算を省略することができるため、計算コストを低減しうる。ケーシングモデル１２は、コンピュータ６（図３に示す）に記憶される。

なお、本実施形態のシミュレーション方法は、バンバリーミキサー１で練られる可塑性材料５の混練状態の計算に特化しているため、内壁面モデル１９のみでケーシングモデル１２が定義されてもよい。この場合、要素Ｆ（ｉ）として、２次元のシェル要素が採用されるのが望ましい。

次に、本実施形態のモデル入力ステップＳ１では、コンピュータ６に、ロータ３を有限個の要素Ｇ（ｉ）（ｉ＝１、２、…）で分割してロータモデル１３が入力される（ステップＳ１２）。ステップＳ１２では、各ロータ３、３（図１に示す）の設計データ（例えば、ＣＡＤデータ等）に基づいて、図１に示した基部３ａ及び翼部３ｂの輪郭が、有限個の要素Ｇ（ｉ）で離散化（モデル化）される。これにより、基部モデル１３ａ及び翼部モデル１３ｂをそれぞれ含む一対のロータモデル１３、１３が定義される。一対のロータモデル１３、１３は、ケーシングモデル１２の内部に配置される。また、一対のロータモデル１３、１３は、その中心Ｏａ、Ｏｂの周りで回転可能な回転領域として定義される。

図７は、図６の部分拡大図である。図７では、図６に示した要素Ｇ（ｉ）を省略して表示している。翼部モデル１３ｂの先端には、ケーシングモデル１２の内壁面モデル１９（チャンバーモデル１４の外周面１４ｏ）に接近するように突出したチップ部１８が設けられている。チップ部１８のランド幅Ｌ２は、ロータ３のチップ部８のランド幅Ｌ１（図２に示す）に基づいて設定される。

図６に示されるように、本実施形態の要素Ｇ（ｉ）としては、要素Ｆ（ｉ）と同様に、３次元のソリッド要素を採用することができ、変形不能な剛性が定義される。なお、ロータモデル１３は、ケーシングモデル１２と同様に、ロータ３の表面のみがモデル化されたものでもよい。一対のロータモデル１３、１３は、コンピュータ６（図３に示す）に記憶される。

次に、本実施形態のモデル入力ステップＳ１では、コンピュータ６に、チャンバー４（図１に示す）を有限個の要素Ｈ（ｉ）（ｉ＝１、２、…）で分割してチャンバーモデル１４が入力される（ステップＳ１３）。図８は、チャンバーモデル１４及びロータモデル１３の斜視図である。図９は、チャンバーモデル１４の断面図である。図１０は、チャンバーモデル１４を分解して示す断面図である。図１０では、要素Ｈ（ｉ）の形状を単純化して表示している。

本実施形態のステップＳ１３では、図１に示したケーシング２及び一対のロータ３、３の設計データ（例えば、輪郭等）に基づいて、ケーシング２の内壁面９と、一対のロータ３、３の外周面３ｏとで閉じられた３次元空間（輪郭）が、図９に示した有限個の要素Ｈ（ｉ）で離散化（モデル化）される。これにより、密閉状態のチャンバーモデル１４が入力される。チャンバーモデル１４は、図６及び図８に示されるように、ケーシングモデル１２の内壁面モデル１９によって区画される外周面１４ｏと、一対のロータモデル１３、１３の外周面１３ｏで区画される内周面１４ｉとを有している。

図９及び図１０に示されるように、要素Ｈ（ｉ）は、例えば、オイラー要素が採用されている。要素分割（離散化）は、例えば、四面体、六面体などの他、多面体セルによって行われる。なお、これらの要素以外にも、ソフトウェアで使用可能な３次元の格子状の要素であれば、特に限定されない。また、各要素Ｈ（ｉ）には、後述する可塑性材料モデル１６や気相モデル１７について、圧力、温度、又は、速度等の物理量が計算される。

本実施形態のチャンバーモデル１４は、図１０に分離して示されるように、一対の回転可能な回転部１４Ａ、１４Ｂと、一対の回転部１４Ａ、１４Ｂ間を継ぎ、かつ、一対の回転部１４Ａ、１４Ｂが収容される外枠部１４Ｃとが含まれる。従って、チャンバーモデル１４は、３つの部分（即ち、一対の回転部１４Ａ、１４Ｂ、及び、外枠部１４Ｃ）を含んで構成されている。

回転部１４Ａ、１４Ｂは、各々、円形の外周１４Ａｏ、１４Ｂｏと、ロータモデル１３の外周面１３ｏ（図６に示す）に等しい内周１４Ａｉ、１４Ｂｉとを有している。回転部１４Ａ、１４Ｂは、外枠部１４Ｃの内部にそれぞれ填め込まれる。また、回転部１４Ａ、１４Ｂは、ロータモデル１３、１３とともに、中心（回転軸）Ｏａ、Ｏｂの周りで回転可能に定義されている。このような回転部１４Ａ、１４Ｂ内の要素Ｈ（ｉ）により、図１に示したロータ３、３の回転に伴うチャンバー４の容積形状の変化が表現されうる。

外枠部１４Ｃは、回転部１４Ａ、１４Ｂを囲む筒状に形成されている。外枠部１４Ｃの軸方向両端は、両端面１４ｔ（図８に示す）によって閉じられている。外枠部１４Ｃは、各回転部１４Ａ、１４Ｂと接触する凹円弧面１４Ｃｏを有している。外枠部１４Ｃの凹円弧面１４Ｃｏと、回転部１４Ａ、１４Ｂの外周１４Ａｏ、１４Ｂｏとは、スライディングサーフェース等の境界条件が定義されている。これにより、ロータモデル１３、１３を回転させる後述の計算ステップＳ２において、チャンバーモデル１４の回転部１４Ａ、１４Ｂ内で生じる物理的な作用（力及び熱等）が、この凹円弧面１４Ｃｏを介して外枠部１４Ｃへと伝達される。チャンバーモデル１４は、コンピュータ６（図３に示す）に記憶される。

次に、本実施形態のシミュレーション方法では、コンピュータ６が、チャンバー４での可塑性材料５が練られた状態を計算（シミュレーション）する（計算ステップＳ２）。本実施形態の計算ステップＳ２では、予め定めた条件（本実施形態では、境界条件）に基づいて、チャンバーモデル１４内に可塑性材料モデル１６を配置し、かつ、ロータモデル１３を回転させている。これにより、計算ステップＳ２では、チャンバー４での可塑性材料５が練られた状態（図２に示す）がシミュレーションされる。図１１は、計算ステップＳ２の処理手順の一例を示すフローチャートである。

本実施形態の計算ステップＳ２では、先ず、コンピュータ６に、可塑性材料５（図２に示す）をモデル化した可塑性材料モデル１６が入力される（ステップＳ２１）。図１２は、可塑性材料モデル１６と気相モデル１７とが混在して配置されたチャンバーモデル１４を示す断面図である。なお、図１２において、可塑性材料モデル１６が着色されて表示されている。

本実施形態の可塑性材料モデル１６は、図１０に示したオイラー要素が採用されたチャンバーモデル１４の要素Ｈ（ｉ）によって定義される。チャンバーモデル１４の要素Ｈ（ｉ）には、可塑性材料５（図２に示す）の物性（例えば、せん断粘度、比熱、及び、熱伝導率等）が定義される。なお、本実施形態のステップＳ２１では、フィラー（図示省略）を含んだ可塑性材料５の物性が定義される。従って、可塑性材料５に含まれるフィラーの種類によって、異なる物性が定義される。これにより、ステップＳ２１では、チャンバーモデル１４に配置された可塑性材料モデル１６が設定される。本実施形態の可塑性材料モデル１６は、圧力によって密度が変化しない非圧縮流体として定義される。また、チャンバーモデル１４には、境界条件を設定する後述のステップＳ２３において、可塑性材料モデル１６の充填率が設定される。

せん断粘度は、例えば、解析対象となる可塑性材料５（図２に示す）から粘弾性特性（Ｇ'及びＧ”）が複数の温度条件で測定され、Cox-Merz則などを用いてせん断粘度に変換することで得られる。このようにして得られたせん断粘度ηは、例えば、特許文献（特許第５５１４２３６号公報）に記載の式（１）と同様に、べき乗法則で近似される。

比熱は、解析対象の可塑性材料５（図２に示す）から、例えば断熱型連続法（＠２５℃）にて測定される。熱伝導率は、解析対象の粘性流体から、例えば熱線法（＠２５℃）にて測定される。可塑性材料モデル１６は、コンピュータ６（図３に示す）に入力される。

次に、本実施形態の計算ステップＳ２では、コンピュータ６（図３に示す）に、チャンバー４（図１に示す）内に存在する空気（図示省略）を、有限個の要素でモデル化した気相モデル１７が入力される（ステップＳ２２）。本実施形態の気相モデル１７は、可塑性材料モデル１６と同様に、図１０に示したオイラー要素が採用されたチャンバーモデル１４の要素Ｈ（ｉ）によって定義される。チャンバーモデル１４の要素Ｈ（ｉ）には、空気の粘度、及び、比重といった物性が定義される。これにより、ステップＳ２２では、チャンバーモデル１４に配置された気相モデル１７が設定される。

本実施形態の気相モデル１７は、可塑性材料モデル１６と同様に、圧力によって密度が変化しない非圧縮流体として定義されている。なお、チャンバーモデル１４には、境界条件を設定する後述のステップＳ２３において、気相モデル１７の充填率が設定される。気相モデル１７は、コンピュータ６（図３に示す）に入力される。

次に、本実施形態の計算ステップＳ２では、コンピュータ６（図３に示す）に、可塑性材料モデル１６の流動計算に必要な境界条件等の各種の条件が定義される（ステップＳ２３）。本実施形態の境界条件としては、図６に示されるように、チャンバーモデル１４の外周面１４ｏに定義される流速境界条件、及び、温度境界条件が含まれている。

本実施形態の流速境界条件としては、壁面スリップ条件が採用される。壁面スリップ条件において、チャンバーモデル１４の可塑性材料モデル１６（図１２に示す）は、ケーシングモデル１２の内壁面モデル１９（チャンバーモデル１４間の外周面１４ｏ）において流速を持っている。この場合、可塑性材料モデル１６とチャンバーモデル１４との接触面のスリップ現象は、例えば、特許文献（特許第５５１４２３６号公報）に記載のシミュレーション方法と同様に、Navier's Lawなどが用いられることにより、シミュレートされうる。

温度境界条件としては、全てのチャンバーモデル１４の外面温度が温調温度（例えば５０℃）に設定される条件、又は、断熱条件のいずれかが採用される。なお、断熱条件は、チャンバーモデル１４の各外面において、熱が外に逃げない条件である。本実施形態では、計算負荷を軽減する観点より、チャンバーモデル１４の温度境界条件として、断熱条件が採用されている。

他の条件としては、流動計算の初期状態、シミュレーションの単位時間（微小時間）の大きさ、内部処理でのイタレーションの反復回数、計算終了時刻、及び、フィラーの半径Ｒなど含まれる。フィラーの半径Ｒは、可塑性材料５（図２に示す）に配合されているフィラーに基づいて設定される。

さらに、他の条件としては、ロータモデル１３の回転数（図１０に示したチャンバーモデル１４の回転部１４Ａ、１４Ｂの回転数）、チャンバーモデル１４の外周面１４ｏのスリップ率、チャンバーモデル１４の容積に対する可塑性材料モデル１６及び気相モデル１７の充填率などが含まれる。このような充填率が設定されることにより、粘性流体の充填率が１００％以下（例えば、５０％〜９０％）の状態での流動計算が実施されうる。

図１２に示されるように、初期状態のチャンバーモデル１４は、チャンバーモデル１４を横切る水平な境界面Ｓを基準として、それよりも上部を気相モデル１７の領域Ａとし、それよりも下部を可塑性材料モデル１６の領域Ｍとして混在配置される。境界面Ｓは、可塑性材料モデル１６及び気相モデル１７の充填率に基づいて設定される。また、境界面Ｓのレベルが変更されることにより、可塑性材料モデル１６の充填率が調節されてもよい。これらの条件は、シミュレーションの目的等に応じて任意に定められる。

次に、本実施形態の計算ステップＳ２では、ロータモデル１３、１３を回転させて、チャンバーモデル１４での可塑性材料モデル１６が練られた状態がシミュレーションされる（ステップＳ２４）。ステップＳ２４では、ロータモデル１３、１３の回転に基づいて、可塑性材料モデル１６の流動計算が行われる。流動計算では、例えば、特許文献（特許第５５１４２３６号公報）に記載のシミュレーション方法と同様に、流体の運動状態を特定する３方向（ｘ，ｙ，ｚ）の速度成分と、流体の内部状態を特定する未知量である圧力ｐ及び温度Tとが計算される。本実施形態の圧力ｐには、内壁面モデル１９の少なくとも可塑性材料モデル１６が接触している部分の圧力を含んでいる。また、本実施形態では、非圧縮性流れの場合のNavier-Stokes方程式とし、可塑性材料モデル１６及び気相モデル１７の各密度を一定としている。

本実施形態において、可塑性材料モデル１６は、全温度領域で流体として扱われる。このため、流体の方程式（Navier-Stokes 方程式、質量保存式、及び、エネルギー方程式の連立）を解くことになる。また、本実施形態では、可塑性材料５（図２に示す）と空気（図示省略）との２つの流体を一度に扱う必要があるため、自由界面の流れの計算で用いられるＶＯＦ（Volume of Fluid）法が用いられる。ＶＯＦ法では、２つ流体（即ち、可塑性材料５及び空気）の界面の移動を直接計算するのではなく、各要素（「セル」ということもある。）の体積中の流体の充填率（体積分率）を定義して自由界面を表現するものである。なお、支配方程式（運動方程式、質量保存式、エネルギー方程式、及び、体積分率輸送方程式）は、例えば、特許文献（特許第５５１４２３６号公報）に記載のとおりである。流動計算は、例えば、ANSYS社のFLUNETやCFX、又は、Siemens PLM Software社のSTAR-CCM+の汎用の流体解析ソフトウェアが用いられることにより、容易に計算されうる。

また、本実施形態において、支配方程式は、圧力ベースの分離型解法で解かれている。圧力方程式と運動方程式とのカップリングには、例えばSIMPLE（Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations）アルゴリズムが用いられるのが望ましい。

これにより、ステップＳ２４では、図２に示したチャンバー４での可塑性材料５が練られた状態を、単位時間（時刻ｔ）毎にシミュレーションすることができる。本実施形態のステップＳ２４では、チャンバーモデル１４内の可塑性材料モデル１６を構成する各要素Ｈ（ｉ）について、せん断応力τ及びせん断速度γが、単位時間（時刻ｔ）毎に計算される。せん断応力τ及びせん断速度γ等の計算結果は、コンピュータ６（図３に示す）に記憶される。

次に、本実施形態の計算ステップＳ２では、下記式（１）により、可塑性材料５（図２に示す）の分散状態に関するパラメータＤが計算される（ステップＳ２５）。本実施形態の可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤは、その数値が大きくなるほど、可塑性材料５（図２に示す）の分散状態が良好であることを示している。

ここで、
Ｖ：可塑性材料モデルの体積
Ｒ：フィラーの半径
ｔ：時刻
Ｔ：可塑性材料モデルがチップ部を通過するのに要する時間
Ｑ：チップ部を通過する可塑性材料モデルの単位時間当たりの流量
τ：可塑性材料モデルのせん断応力
γ：可塑性材料モデルのせん断速度
α、τ_ｃ：定数

上記式（１）の可塑性材料モデルの体積Ｖは、チャンバーモデル１４内に定義された可塑性材料モデル１６（図１２に示す）の体積である。上記式（１）のフィラーの半径Ｒは、上述の境界条件を入力するステップＳ２３で入力されたパラメータである。上記式（１）の時刻ｔは、単位時間毎に刻まれたシミュレーションの時間である。

上記式（１）の時間Ｔは、可塑性材料モデル１６（図１０に示す）がロータモデル１３のチップ部１８（図７に示す）を通過するのに要する時間を示している。時間Ｔは、チップ部１８のランド幅Ｌ２を、チップ部１８とチャンバーモデル１４の外周面１４ｏとの間の隙間（チップクリアランス）２０（図７に示す）を通過する可塑性材料モデル１６の速度ｖで除することで求めることができる。速度ｖは、時刻ｔにおいて、ロータモデル１３のチップ部１８の幅方向（ロータ周方向）の中心部１８ｃでの接線と平行な（本実施形態では、チップ部１８に沿った方向の）可塑性材料モデル１６の速度成分として定義される。このような時間Ｔは、その値が大きいほど、チップ部１８を可塑性材料モデル１６が通過するのに多くの時間を要しており、可塑性材料モデル１６の圧縮及びせん断が効果的に行われるため、可塑性材料５（図２に示す）の分散状態が良好であることを意味する。

上記式（１）の流量Ｑは、チップ部１８（図７に示す）を通過する可塑性材料モデル１６（図１０に示す）の単位時間当たりの流量を示している。流量Ｑは、現在の時刻ｔよりも一つ前の時刻ｔ−１において、隙間（チップクリアランス）２０に配置されている可塑性材料モデル１６の要素Ｈ（ｉ）（図１０に示す）のうち、現在の時刻ｔにおいて、隙間２０から排出された要素Ｈ（ｉ）の合計体積として求められる。このような流量Ｑは、その値が大きいほど、多くの可塑性材料モデル１６が圧縮及びせん断が行われるため、可塑性材料の分散状態が良好であることを意味している。

本実施形態において、隙間２０に配置されている可塑性材料モデル１６の要素Ｈ（ｉ）（図１０に示す）とは、図７に示されるように、チップ部１８のロータ周方向の各端部１８ｔ、１８ｔからチャンバーモデル１４の外周面１４ｏにのびる境界面２１、２１間で囲まれる領域２２に配置される要素である。本実施形態の境界面２１、２１は、チップ部１８の幅方向（ロータ周方向）の中心部１８ｃでの接線と直交する方向（本実施形態では、チップ部１８と直交する方向）に対して平行にのびている。

上記式（１）の可塑性材料モデルのせん断応力τは、時刻ｔにおいて、可塑性材料モデル１６を構成する各要素Ｈ（ｉ）のうち、チップ部１８とチャンバーモデル１４の外周面１４ｏとの間の隙間（チップクリアランス）２０に配置されている要素Ｈ（ｉ）で計算されたせん断応力の平均値である。上記式（１）の可塑性材料モデルのせん断速度γも、せん断応力τと同様に、隙間（チップクリアランス）２０に配置されている要素Ｈ（ｉ）で計算されたせん断速度の平均値である。

上記式（１）の定数αは、可塑性材料５（図２に示す）の材料定数である。また、上記式（１）の定数τ_ｃは、可塑性材料５が塑性変形するか否かの境界を示す臨界せん断応力である。これらの定数α、τ_ｃは、例えば、可塑性材料５を用いた実験や測定結果等に基づいて適宜設定することができる。本実施形態の計算ステップＳ２では、例えば、論文（Ica Manas-Zloczower著、「Mixing and Compounding of Polymers」、（デンマーク）、UNIVERSITE CATHOLIQUE DE LOUVAIN、第２版、Hanser Gardner Pubns、2009年）に基づいて、下記のように定義される。
α＝１．３×１０^-5［μｍ／Ｐａ］
τ_ｃ＝７２０００［Ｐａ］

上記式（１）において、フィラーの半径Ｒを時刻ｔで微分したｄＲ／ｄｔは、時刻ｔでのフィラーの半径Ｒの減少量を示している。

上記式（１）において、可塑性材料モデル１６のせん断応力τが、定数（臨界せん断応力）τ_ｃ以下である場合、図２に示したバンバリーミキサー１において、隙間１０に配置されている可塑性材料５が塑性変形せず、フィラー（図示省略）の大きさが変化しないと判断される。この場合、フィラーの半径の減少量ｄＲ／ｄｔには、０が定義される。

他方、上記式（１）において、可塑性材料モデル１６のせん断応力τが、定数（臨界せん断応力）τ_ｃよりも大である場合、図２に示したバンバリーミキサー１において、隙間１０に配置される可塑性材料５が塑性変形し、フィラー（図示省略）の大きさが小さくなると判断される。この場合、フィラーの半径の減少量ｄＲ／ｄｔには、−（α（τ−τ_ｃ）γ）／３Ｒ²が定義される。

上記式（１）の−（α（τ−τ_ｃ）γ）／３Ｒ²は、材料定数α、せん断応力と臨界せん断応力との差τ−τ_ｃ、及び、せん断速度γに比例して、フィラーの半径Ｒの減少量を大きく（即ち、負の数であるｄＲ／ｄｔを小さく）するものである。計算式の詳細等については、上記論文に記載のとおりである。このように、フィラーの半径の減少量ｄＲ／ｄｔは、その値が小さい（絶対値が大きい）ほど、フィラーが細かく粉砕されて、可塑性材料の分散状態が良好であることを意味している。

上記式（１）の可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤは、フィラーの半径の減少量に−１を乗じた−ｄＲ／ｄｔ、可塑性材料モデルがチップ部を通過するのに要する時間Ｔ、及び、チップ部を通過する可塑性材料モデルの単位時間当たりの流量Ｑを乗じ、さらに、可塑性材料モデルの体積Ｖで除することで求められている。

上述したように、可塑性材料モデルがチップ部を通過するのに要する時間Ｔ、及び、チップ部を通過する可塑性材料モデルの単位時間当たりの流量Ｑは、その値が大きいほど、可塑性材料５（図２に示す）の分散状態が良好であることを示している。

他方、フィラーの大きさの減少量ｄＲ／ｄｔは、その値が小さいほど、フィラーの半径Ｒの減少量が大きくなり、可塑性材料５（図２に示す）の分散状態が良好であることを示すものである。このため、フィラーの大きさの減少量ｄＲ／ｄｔと、時間Ｔ及び流量Ｑとは、大小関係が互いに異なる。このため、上記式（１）では、フィラーの大きさの減少量ｄＲ／ｄｔに−１が乗じられることで正の数に変換されるため、時間Ｔ及び流量Ｑと大小関係を一致させている。

上記式（１）のうち、正の値に変換されたフィラーの半径の減少量−ｄＲ／ｄｔ、可塑性材料モデルがチップ部を通過するのに要する時間Ｔ、及び、チップ部を通過する可塑性材料モデルの単位時間当たりの流量Ｑを乗じたパラメータ−ｄＲ／ｄｔ・Ｔ・Ｑは、その値が大きいほど、時刻ｔにおいて、可塑性材料５（図２に示す）の分散状態が良好であることを示している。ただし、パラメータ−ｄＲ／ｄｔ・Ｔ・Ｑは、例えば、複数のバンバリーミキサー１の混練性能（可塑性材料５の分散状態）の比較に用いられる場合、図１２に示したチャンバーモデル１４に配置される可塑性材料モデル１６の体積Ｖが同一であることが前提となる。

このような前提を不要とするために、本実施形態では、パラメータ−ｄＲ／ｄｔ・Ｔ・Ｑに、可塑性材料モデルの体積Ｖで除することで、可塑性材料モデル１６の単位体積当たりの分散状態に関するパラメータＤが求められている。パラメータＤは、その値が大きくなるほど、時刻ｔにおいて、可塑性材料モデル１６の分散効率が良好であり、バンバリーミキサー１の混練性能が良好であることを意味している。

このように、上記式（１）では、可塑性材料モデルのせん断応力τ、及び、せん断速度γとともに、図２に示したチップ部８（図７に示したチップ部１８）に関するパラメータ（時間Ｔ、流量Ｑ）が含まれている。従って、本実施形態の混練シミュレーション方法は、ロータ３のチップ部８の影響を考慮して、バンバリーミキサー１の混練性能（可塑性材料５の分散状態）を評価することができる。可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤは、コンピュータ６に記憶される。

次に、計算ステップＳ２では、現在の時刻ｔが計算終了時刻に至っているか否かが判断される（ステップＳ２６）。計算終了時刻は、境界条件等を定義するステップＳ２３で適宜設定される。

ステップＳ２６において、現在の時刻ｔが計算終了時刻に至っていると判断された場合（ステップＳ２６で、「Ｙ」）、計算ステップＳ２の一連の処理が終了する。他方、ステップＳ２６において、現在の時刻ｔが計算終了時刻に至っていないと判断された場合（ステップＳ２６で、「Ｎ」）、単位時間（時刻ｔ）を一つ進めて（ステップＳ２７）、ステップＳ２４〜ステップＳ２６が再度実施される。これにより、計算ステップＳ２では、計算開始から計算終了時刻に至るまでの間、図６に示したロータモデル１３、１３を単位時間毎に回転させて、チャンバー４での可塑性材料５が練られた状態をシミュレーションすることができる。さらに、計算ステップＳ２では、時刻ｔ毎に、可塑性材料５（図２に示す）の分散状態に関するパラメータＤを計算することができる。

次に、本実施形態のシミュレーション方法では、バンバリーミキサー１（図１に示す）の混練性能が、良好か否かが判断される（ステップＳ３）。バンバリーミキサー１の混練性能が良好か否かの判断は、適宜実施することができる。本実施形態では、時刻ｔ毎に計算された可塑性材料５の分散状態に関するパラメータＤが、予め定められた閾値以上である場合に、バンバリーミキサー１の混練性能が良好であると判断している。閾値については、バンバリーミキサー１に求められる混練性能に応じて適宜設定することができる。

上述したように、可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤには、図２に示したロータ３のチップ部８の影響が考慮されている。このため、上記非特許文献１の方法に比べて、バンバリーミキサー１の性能を精度よく評価することができる。

ステップＳ３において、バンバリーミキサー１の混練性能が良好であると判断された場合（ステップＳ３において、「Ｙ」）、バンバリーミキサーモデル１１（図６に示す）に基づいて、バンバリーミキサー１が製造される（ステップＳ４）。他方、ステップＳ３において、バンバリーミキサー１の混練性能が良好でないと判断された場合（ステップＳ３において、「Ｎ」）、図１及び図２に示したバンバリーミキサー１（ロータ３）の設計因子（例えば、チップ部８のランド幅Ｌ１等）等が変更され（ステップＳ５）、ステップＳ１〜ステップＳ３が再度実行される。これにより、本実施形態のシミュレーション方法では、高い混練性能を発揮しうるバンバリーミキサー１（ロータ３を含む）を確実に設計することができる。

本実施形態のシミュレーション方法では、図１２に示されるように、チャンバーモデル１４内に、可塑性材料モデル１６及び気相モデル１７が定義されたが、このような態様に限定されるわけではない。例えば、チャンバーモデル１４内に可塑性材料モデル１６のみが定義されてもよい。これにより、チャンバーモデル１４の計算対象を、可塑性材料モデル１６のみに限定されるため、計算負荷を小さくすることができる。さらに、チャンバーモデル１４内に可塑性材料モデル１６のみが充填される場合、ＶＯＦ法を省略して有限体積法のみで計算することができるため、計算負荷を小さくすることができる。

図１３は、ランド幅Ｌ２（図７に示す）が互いに異なる第１ロータモデル及び第２ロータモデルについて、可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤと時刻ｔとの関係を示すグラフである。第２ロータモデルのランド幅Ｌ１は、第１ロータモデルのランド幅Ｌ１の１．１倍に設定されている。

ところで、時刻ｔ毎に計算された可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤに基づいて、例えば、一対の第１ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデル（図示省略）の混練性能と、一対の第２ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデル（図示省略）の混練性能とを比較すると、図１３に示されるように、第１ロータモデルのパラメータＤと、第２ロータモデルのパラメータＤとの大小関係が入れ替わり、混練性能の優劣を評価することが難しい場合がある。このようなパラメータＤの大小関係の入れ替わりは、ランド幅Ｌ１の相違によって、第１ロータモデル及び第２ロータモデルの各チップ部８周辺の可塑性材料モデル１６の流れ（即ち、可塑性材料モデル１６がチップ部８を通過する時刻、可塑性材料モデル１６にせん断が作用する時刻、及び、せん断速度等）がそれぞれ異なることによるものと考えられる。

可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤの大小関係を明確にするために、計算ステップＳ２では、ロータモデル１３が１回転以上する期間において、パラメータＤの時間平均を計算するステップＳ２８がさらに含まるのが望ましい。図１４は、本発明の他の実施形態の計算ステップＳ２の処理手順の一例を示すフローチャートである。なお、この実施形態において、これまでの実施形態と同一の構成については、同一の符号を付し、説明を省略することがある。

本実施形態のステップＳ２８では、ロータモデル１３（図６に示す）が１回転する期間において、パラメータＤの時間平均が計算される。例えば、ロータモデル１３が１回転する期間が１．０秒であり、かつ、単位時間が０．１秒である場合、１回転した時刻ｔ（１．０秒）でのパラメータＤの時間平均は、時刻ｔ（０秒）から時刻ｔ（１．０秒）までに単位時間（０．１秒）毎に計算された１１個のパラメータＤの平均値として求められる。

また、１回転した時刻ｔ（１．０秒）から単位時間０．１秒が経過した時刻ｔ（１．１秒）でのパラメータＤの時間平均は、時刻ｔ（０．１秒）から時刻ｔ（１．１秒）までに単位時間（０．１秒）毎に計算された１１個のパラメータＤの平均値として求められる。このようなパラメータＤの時間平均は、ロータモデルが１回転に要する時刻ｔ（１．０秒）から計算終了時刻までの間、単位時間（０．１秒）毎に計算される。

図１５は、ランド幅Ｌ１が互いに異なる第１ロータモデル及び第２ロータモデルについて、可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤの時間平均と時刻ｔとの関係を示すグラフである。図１５に示されるように、ステップＳ２８では、全ての時刻ｔにおいて、第２ロータモデルのパラメータＤの時間平均は、第１ロータモデルのパラメータＤの時間平均よりも大きく計算されている。従って、この実施形態では、パラメータＤの時間平均を求めることで、バンバリーミキサー１の混練性能を確実に評価することができる。

この実施形態のパラメータＤの時間平均は、ロータモデル１３が１回転する期間毎に計算されたが、ロータモデル１３が１回転以上する期間であれば、適宜設定された期間毎に、パラメータＤの時間平均が計算されてもよい。なお、期間が長いと、パラメータＤの時間平均のサンプル数が少なくなるおそれがある。このような観点より、パラメータＤの時間平均が計算される期間は、ロータモデル１３が３回転する期間よりも短いのが望ましい。

以上、本発明の特に好ましい実施形態について詳述したが、本発明は図示の実施形態に限定されることなく、種々の態様に変形して実施しうる。

［実施例Ａ］
図４及び図５に示した処理手順に従って、一対の第２ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデル、及び、第２ロータモデルとはチップ部のランド幅が異なる一対の第３ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデルがコンピュータに入力された（実施例１、比較例）。実施例１、及び、比較例では、各バンバリーミキサー内に可塑性材料モデルを配置して、チャンバーでの可塑性材料が練られた状態をシミュレーションする計算ステップがそれぞれ実施された。

実施例１の計算ステップでは、図１１に示した処理手順に従って、一対の第２ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデル、及び、一対の第３ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデルについて、上記式（１）の可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤが計算された。図１６は、実施例１の可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤと時刻ｔとの関係を示すグラフである。

比較例の計算ステップでは、上記非特許文献１と同様の手順に従って、一対の第２ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデル、及び、一対の第３ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデルについて、ポリマーの分散状態に関するパラメータ（せん断応力λ）が計算された。図１７は、比較例のせん断応力と時刻ｔとの関係を示すグラフである。

そして、実施例及び比較例において、一対の第２ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデル、及び、一対の第３ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデルの混練性能がそれぞれ評価された。共通仕様は、次のとおりである。
バンバリーミキサー（バンバリーミキサーモデル）：
ロータ（ロータモデル）の個数：２個
一方のロータ（ロータモデル）の回転数：４２rpm
他方のロータ（ロータモデル）の回転数：３８rpm
粘性流体（粘性流体モデル）の充填率：７０％
第３ロータモデルのチップ部のランド幅：第２ロータモデルのチップ部のランド幅の１／３倍

テストの結果、実施例１では、図１６に示されるように、全ての時刻において、第２ロータモデルのパラメータＤは、第３ロータモデルのパラメータＤよりも大きく計算された。これにより、一対の第２ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデルは、一対の第３ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデルよりも混練性能が優れることを評価することができた。

他方、比較例では、図１７に示されるように、第２ロータモデルのせん断応力と、第３ロータモデルのせん断応力とが互いに近似しており、優劣を評価することができなかった。

このように、実施例１では、比較例に比べて、ロータのチップ部の影響を考慮して、バンバリーミキサーの混練性能を評価できた。

［実施例Ｂ］
図４及び図５に示した処理手順に従って、一対の第１ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデル、及び、一対の第２ロータモデルモデルを有するバンバリーミキサーモデルがコンピュータに入力された（実施例２）。実施例２では、各バンバリーミキサー内に可塑性材料モデルを配置して、チャンバーでの可塑性材料が練られた状態をシミュレーションする計算ステップが実施された。

実施例２の計算ステップでは、図１４に示した処理手順に従って、一対の第１ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデル、及び、一対の第２ロータモデルを有するバンバリーミキサーモデルについて、ロータモデルが１回転する期間において、上記式（１）の可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤの時間平均が計算された。

そして、一対の第１ロータモデルを有するバンバリーミキサー、及び、一対の第２ロータモデルを有するバンバリーミキサーの混練性能が評価された。共通仕様は、第２ロータモデルのチップ部のランド幅を除いて、実施例Ａと同一である。
第２ロータモデルのチップ部のランド幅：第１ロータモデルのチップ部のランド幅の１．１倍

図１５に示したように、実施例２では、全ての時刻ｔにおいて、第２ロータモデルのパラメータＤの時間平均は、第１ロータモデルのパラメータＤの時間平均よりも大きく計算された。従って、実施例２は、チップ部のランド幅が互いに近似する第１ロータモデル、第２ロータモデルを有するバンバリーミキサーの混練性能を、確実に評価できた。

Ｓ２ 計算ステップ

Claims (2)

1. 可塑性材料を混練するための空間であるチャンバーと、前記チャンバー内で回転する少なくとも１本のロータとを有し、前記ロータが前記チャンバーの外周面に接近するように突出したチップ部を具え、前記可塑性材料がフィラーを含むものであるバンバリーミキサーの混練性能を調べるためのシミュレーション方法であって、
   コンピュータに、前記ロータを有限個の要素で分割してロータモデルを入力するステップと、
   前記コンピュータに、前記チャンバーを有限個の要素で分割してチャンバーモデルを入力するステップと、
   前記コンピュータに、前記可塑性材料をモデル化した可塑性材料モデルを入力するステップと、
   予め定めた条件に基づいて、前記チャンバーモデル内に前記可塑性材料モデルを配置しかつ前記ロータモデルを回転させることにより、前記チャンバーでの前記可塑性材料が練られた状態をシミュレーションする計算ステップとを含み、
   前記計算ステップは、下記式（１）により、前記可塑性材料の分散状態に関するパラメータＤを計算するステップを含む、
   可塑性材料の混練シミュレーション方法。
   
   ここで、
   Ｖ：可塑性材料モデルの体積
   Ｒ：フィラーの半径
   ｔ：単位時間
   Ｔ：可塑性材料モデルがチップ部を通過するのに要する時間
   Ｑ：チップ部を通過する可塑性材料モデルの単位時間当たりの流量
   τ：可塑性材料モデルのせん断応力
   γ：可塑性材料モデルのせん断速度
   α、τ_ｃ：定数
2. 前記計算ステップは、前記ロータモデルが１回転以上する期間において、前記パラメータＤの時間平均を計算するステップをさらに含む請求項１記載の可塑性材料の混練シミュレーション方法。