JP2017020620A - 折り畳み構造物 - Google Patents

Abstract

【課題】折り畳んで収納した状態で省スペース化可能な折り畳み構造物を提供すること。
【解決手段】軸方向に沿って延びる稜線部（７２）と、稜線部（７２）上に設定された節点（７５）から延びる山折り線（７３）と谷折り線（７４）と、を有し、前記節点を中心として稜線部（７２）、山折り線（７３）および谷折り線（７４）が折り畳み条件を満足する第１のシート（６８）と、第１のシート（６８）に対して対称に稜線部（７２）、山折り線（７３）および谷折り線（７４）が形成さた第２のシート（６９）と、を備え、立体化した筒状の状態と、稜線部（７２）に沿って折られつつ、山折り線（７３）および谷折り線（７４）に沿って折り畳まれた収納状態と、の間で変形可能な折り畳み構造物。
【選択図】図９

Description

本発明は、折り畳み構造物に関し、特に、２枚のシートを貼りあわせて形成される折り畳み構造物に関する。

折り紙のように、山折り線や谷折り線に折ることで折り畳み可能な折り畳み構造物について、下記の特許文献１に記載の技術が従来公知である。
特許文献１（特開２０１５−３３７７２号公報）には、円弧状または螺旋状の軸方向に沿って延びる筒状の折り畳み構造物において、筒の周方向に沿って、折り畳み条件を満たす折り線を形成して、軸方向に折り畳んでいく構造物が記載されている。

特開２０１５−３３７７２号公報

（従来技術の問題点）
特許文献１に記載の従来の構成では、折り畳まれた状態では、軸方向の長さは短くなるが、断面の大きさはほとんど小さくならない。したがって、元々の断面が大きい場合、折り畳まれた状態の構造物を倉庫等に収容したり、運搬したりする場合に、広いスペースが必要になる場合があった。

本発明は、折り畳んで収納した状態で省スペース化可能な折り畳み構造物を提供することを技術的課題とする。

前記技術的課題を解決するために、請求項１に記載の発明の折り畳み構造物は、
予め設定された幅方向と前記幅方向に交差する軸方向に延びるシート状に形成された第１のシートであって、前記軸方向に沿って延びる折り線により構成された稜線部と、軸方向に沿って間隔をあけて前記稜線部上に設定された節点に対して幅方向の一方に向かって延びる山折り線と幅方向の他方に向かって延びる谷折り線と、を有し、前記節点を中心として前記稜線部、山折り線および谷折り線が折り畳み条件を満足する前記第１のシートと、
前記第１のシートの稜線部、山折り線および谷折り線に対して対称に稜線部、山折り線および谷折り線が形成され、幅方向の両端の貼り合せ部で前記第１のシートに貼り合せられる第２のシートと、
を備え、
前記シートどうしの貼り合せ部に沿った折り線と、前記稜線部に沿って折って、シートどうしが離間して立体化して前記軸方向に延びる筒状の状態と、
前記筒状の状態における筒の内面どうしが密着する状態まで前記稜線部に沿って折られつつ、前記山折り線および前記谷折り線に沿って折り畳まれた収納状態と、
の間で変形可能であることを特徴とする。

請求項１に記載の発明によれば、筒の軸方向に向けて折り畳む折り畳み構造物に比べて、折り畳んで収納した状態で省スペース化可能な折り畳み構造物を提供することができる。

図１は貼り合せによる折り紙の基本形の説明図であり、図１（ａ）は２つのシートを貼り合わせた状態の図、図１（ｂ）は図１（ａ）の状態から立体化した状態の図、図１（ｃ）は図１（ｂ）の状態から貼り合せ部分どうしが近づく方向に収縮させながら折り畳む場合の説明図、図１（ｄ）〜（ｇ）は貼り合せ状態から立体化の後、軸方向に折り畳む過程の斜視図である。 図２は折り畳み条件の説明図であり、図２（ａ）は正方形の紙の中心線で２つ折りにした状態の説明図、図２（ｂ）は図２（ａ）の紙を展開した状態の図、図２（ｃ）は図２（ａ）の状態から右下部分を更に折り曲げた状態の説明図、図２（ｄ）は図２（ｃ）の紙を展開した状態の図、図２（ｅ）は１節点４折り線の図、図２（ｆ）は図２（ｅ）の折り線に沿って折り畳んだ状態の説明図、図２（ｇ）は円形の紙に図２（ｅ）の折り線が形成された場合の図、図２（ｈ）は図２（ｄ）の折り線を２つの２等辺三角形で置き換えた場合の図、図２（ｉ）は鏡面則の説明図、図２（ｊ）は円形膜を半径方向に折り畳む場合の折り畳み条件の説明図である。 図３は凸面体や凹面体の節点での折り畳み条件の説明図であり、図３（ａ）はお椀形状の説明図、図３（ｂ）は図３（ａ）の要部拡大図、図３（ｃ）は本発明の折り畳み構造物の展開図、図３（ｄ）は図３（ｃ）の折り畳み構造物が筒状の状態の斜視図、図３（ｅ）は図３（ｄ）の折り畳み構造物を折り畳む途中の状態の図、図３（ｆ）は図３（ｄ）の折り畳み構造物を上方から見た図、図３（ｇ）は図３（ｆ）の折り畳み構造物の要部拡大図、図３（ｈ）は図３（ｆ）の折り線の説明図、図３（ｉ）は図３（ｄ）の折り畳み構造物を側方から見た図、図３（ｊ）は図３（ｉ）の折り畳み構造物の要部拡大図、図３（ｋ）は図３（ｉ）の折り線の説明図、図３（ｌ）は図３（ｃ）の展開図を対称になるように配置した図、図３（ｍ）は図３（ｌ）の展開図に糊付け部を付加した状態の図、図３（ｎ）は図３（ｍ）の糊付け部どうしを筒の外側で貼りあわせた場合の図である。 図４は多角形や円筒形状の筒を折り畳む方法の説明図であり、図４（ａ）は軸方向に折り畳む場合の説明図、図４（ｂ）は径方向に折り畳んだ後に軸方向に折り畳む場合の説明図である。 図５は図４（ａ）の構造の折り畳み構造物の説明図であり、図５（ａ）は展開図、図５（ｂ）は図５（ａ）を折り畳んだ状態図、図５（ｃ）は図５（ｂ）の上面図、図５（ｄ）は図５（ｃ）の構成を２つ準備して対称に配置した状態の説明図、図５（ｅ）は図５（ｄ）の構成を２つの蝶番で接合する場合の概念図である。 図６は従来公知の二重蝶番法の説明図であり、図６（ａ）は蝶番で接合する前の状態の説明図、図６（ｂ）は折り畳み構造物の一例の一段分の展開図、図６（ｃ）は図６（ｂ）の展開図を筒の軸方向に複数段並べた図、図６（ｄ）は縫い目の拡大図、図６（ｅ）は斜視図、図６（ｆ）は図６（ｅ）の構造物を上方から見た図、図６（ｇ）は図６（ｅ）の構造物を軸方向に折り畳んだ状態の説明図である。 図７は本発明者が考案した単一蝶番法の説明図であり、図７（ａ）は展開図、図７（ｂ）は中央の蝶番部で折り返した状態の説明図、図７（ｃ）は図７（ａ）の構造物を斜め上方から見た図、図７（ｄ）は図７（ａ）の構造物を斜め側方から見た図、図７（ｅ）は図７（ｃ）の構造物を軸方向に折り畳んだ状態の説明図、図７（ｆ）は断面が六角形の構造物の展開図、図７（ｇ）は図７（ｆ）の構造物を斜め上方から見た図、図７（ｈ）は図７（ｆ）の構造物を斜め側方から見た図、図７（ｉ）は図７（ｆ）の構造物を軸方向に折り畳んだ状態の説明図である。 図８は本発明の一例の折り畳み構造物の説明図であり、図８（ａ）は図７（ａ）の一段のみの展開図、図８（ｂ）は図８（ａ）の構造物を筒状にした図、図８（ｃ）は図８（ｂ）を軸方向に折り畳んだ状態の説明図、図８（ｄ）は図８（ｃ）の辺を抽出した図、図８（ｅ）は図８（ａ）から折り線の間隔や高さを変えた他の例の展開図、図８（ｆ）は図８（ｅ）の構造物を筒状にした図、図８（ｇ）は図８（ｆ）を軸方向に折り畳んだ状態での辺を抽出した図、図８（ｈ）は図８（ａ）から折り線の間隔や高さを変えた他の例の展開図、図８（ｉ）は図８（ｈ）の構造物を筒状にした図、図８（ｊ）は図８（ｉ）を軸方向に折り畳んだ状態での辺を抽出した図である。 図９は本発明の折り畳み構造物の基本的な性質の説明図であり、図９（ａ）は展開図、図９（ｂ）は筒状の状態と収納状態との説明図、図９（ｃ）は径方向に折り畳む状態の説明図、図９（ｄ）は斜視図、図９（ｅ）は四角筒との関係の説明図、図９（ｆ）は図９（ｄ）の上面図、図９（ｇ）は一段分の帯板の斜視図および展開図、図９（ｈ）は図９（ｇ）を軸の周方向にずらして並べた展開図である。 図１０は対称２枚貼り合せ法の制約の説明図であり、図１０（ａ）は斜視図、図１０（ｂ）は図１０（ａ）の稜線部に沿って折った場合の断面図、図１０（ｃ）は図１０（ａ）の貼り合せ部に沿って折った場合の断面図、図１０（ｄ）は辺ＤＣを辺ＡＢの内側に食い込ませるように折り畳んだ場合の説明図、図１０（ｅ）は長方形断面の折り畳み構造物の説明図である。 図１１は対称２枚貼り合せ法の発展形の説明図であり、図１１（ａ）は稜線部が一対の貼り合せ部の中央からズレた位置にある場合の説明図、図１１（ｂ）はのりしろ部分を有する展開図の説明図、図１１（ｃ）は図１１（ｂ）の構造物の斜視図および収納する途中の状態の説明図、図１１（ｄ）は図１１（ａ）よりも稜線部の位置をさらに偏らせた展開図、図１１（ｅ）は図１１（ｄ）の構造物の斜視図および収納途中の状態の説明図、図１１（ｆ）は筒の周方向に沿った折り線をジグザグにした場合の展開図、図１１（ｇ）は図１１（ｆ）の構造物の斜視図、図１１（ｈ）は図１１（ｇ）の構造物を収納する途中の状態の説明図、図１１（ｉ）は図１１（ｆ）の要素の拡大説明図、図１１（ｊ）は図１１（ｉ）の４つの要素の長さの関係の説明図、図１１（ｋ）は図１１（ｆ）の構造物の１段分の要素が折り畳まれる場合の説明図、図１１（ｌ）は擬似六角筒の展開図、図１１（ｍ）は図１１（ｌ）の構造物の斜視図および収納途中の状態の説明図、図１１（ｎ）は図１１（ｍ）の構造物の断面図、図１１（ｏ）は図１１（ｎ）の状態から断面長方形の状態に変形した図、図１１（ｐ）は図１１（ｏ）の状態から径方向に折り畳む途中の状態の説明図である。 図１２は対称２枚貼り合せ法による応用構造の説明図であり、図１２（ａ）は四角筒を斜めに切断した断面の説明図、図１２（ｂ）は図１２（ａ）とは異なる傾きで斜めに切断した断面の説明図、図１２（ｃ）は筒状の構造物の帯板の説明図、図１２（ｄ）は円環状の構造物の帯板の説明図、図１２（ｅ）は図１２（ｃ）の帯板を並べて配置した場合の説明図、図１２（ｆ）は図１２（ｄ）の帯板を並べて配置した場合の説明図、図１２（ｇ）は１２（ｄ）の帯板を構成する大径をジグザグ方向でなく同方向に並べた場合の説明図、図１２（ｈ）は図１２（ｅ）、図１２（ｆ）の構造物が折り畳まれる場合の説明図、図１２（ｉ）は図１２（ｇ）の構造物が巻き取られるように収納される場合の説明図、図１２（ｊ）は図１２（ｉ）とは異なる巻き取り方の説明図、図１２（ｋ）は図１２（ｇ）において長手方向の折り線の間隔を徐々に変化させた巻き取る場合の展開図である。 図１３は湾曲する両端が自由に変改できない閉じない筒の説明図であり、図１３（ａ）は半円弧状の帯板を貼りあわせて作る折り畳み型の角筒の展開図、図１３（ｂ）は図１３（ａ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図、図１３（ｃ）は図１２（ｋ）を適用した構造物の展開図、図１３（ｄ）は図１３（ｃ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図、図１３（ｅ）は図１３（ａ）の構造物をＳ字クランク状につなぎあわせた構造物の展開図、図１３（ｆ）は図１３（ｅ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図、図１３（ｇ）は図１３（ｃ）の構造物をＳ字クランク状につなぎあわせた構造物の展開図、図１３（ｈ）は図１３（ｇ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図である。 図１４は螺旋形状の筒の説明図であり、図１４（ａ）はアルキメデス螺旋の説明図、図１４（ｂ）は螺旋形状の筒の展開図、図１４（ｃ）は図１４（ｂ）の構造物の斜視図、図１４（ｄ）は図１４（ｂ）の構造物の収納状態の図である。 図１５は鉤形の筒の説明図であり、図１５（ａ）は折り線および貼り合せ部の説明図、図１５（ｂ）は鉤形の筒の展開図、図１５（ｃ）は図１５（ｂ）の構造物を筒状に立ち上げる前の図、図１５（ｄ）は図１５（c）の構造物の筒状の状態の図、図１５（ｅ）は図１５（c）の構造物を収納する途中の状態の説明図、図１５（ｆ）は図１５（ｅ）の状態から更に折り畳んだ状態の説明図、図１５（ｇ）は図１５（ｃ）〜図１５（ｆ）における断面積の推移の説明図である。 図１６は環状に閉じた筒の説明図であり、図１６（ａ）は環状の筒の展開図、図１６（ｂ）は図１６（ａ）の展開図を貼りあわせた状態の説明図、図１６（ｃ）は図１６（ａ）の構造物の筒状の状態の説明図、図１６（ｄ）は図１６（ｃ）の構造物を収納した状態の説明図、図１６（ｅ）は図１６（ａ）の構造物の内径をゼロにした環状の筒の展開図、図１６（ｆ）は図１６（ｅ）の構造物を収納した状態の説明図、図１６（ｇ）は図１６（ｆ）の状態から筒の軸方向に延ばした状態の説明図、図１６（ｈ）は図１６（ｇ）の状態から筒の断面積を最大にして筒の状態にした説明図、図１６（ｉ）は帯板が径方向に２重になった筒の展開図、図１６（ｊ）は図１６（ｉ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図、図１６（ｋ）は帯板が径方向に３重になった筒の展開図、図１６（ｌ）は図１６（ｋ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図である。 図１７は環状に閉じた筒の説明図であり、図１７（ａ）は円弧状の部分と直線上の部分とが接合された楕円状の筒の展開図、図１７（ｂ）は図１７（ａ）の構造物の筒状の状態および収納した状態の説明図、図１７（ｃ）は図１７（ａ）の構造物の内径をゼロにした環状の筒の展開図、図１７（ｄ）は図１７（ｃ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の説明図、図１７（ｅ）は円弧状の部分と直線上の部分とを組み合わせたひょうたん型の筒の展開図、図１７（ｆ）は図１７（ｅ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の説明図、図１７（ｇ）は円弧状の部分と直線上の部分とを組み合わせた５弁花の筒の展開図、図１７（ｈ）は図１７（ｇ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の説明図である。 図１８は環状に閉じた筒の説明図であり、図１８（ａ）は図１６（ａ）の環状の筒において一部に直線部を設けた構造物の展開図、図１８（ｂ）は図１８（ａ）の展開図を張り合わせた状態および筒状の状態にした説明図、図１８（ｃ）は図１８（ｂ）の構造物を筒の径方向に閉じた状態の説明図、図１８（ｄ）は図１８（ｂ）の構造物を収納する途中の説明図、図１８（ｅ）は図１８（ｄ）の状態からさらに収納した状態の説明図、図１８（ｆ）はひょうたん型の一部に直線部を設けた構造物の展開図、図１８（ｇ）は図１８（ｆ）の構造物の筒状の状態の説明図、図１８（ｈ）は図１８（ｇ）の状態から筒の半径方向に閉じた状態および収納した状態の説明図、図１８（ｉ）は環状の筒において直線部を２箇所設けた構造物の展開図、図１８（ｊ）は図１８（ｉ）の構造物の貼り合わせた状態および筒状の状態の説明図、図１８（ｋ）は図１８（ｊ）の状態から筒の半径方向に閉じた状態および収納した状態の説明図である。 図１９は環状に閉じた筒の説明図であり、図１９（ａ）は図１６（ａ）の環状の筒において外に凸状のハット部を２箇所設けた構造物の展開図、図１９（ｂ）は図１９（ａ）の構造物を筒状の状態にした説明図、図１９（ｃ）は図１９（ｂ）の構造物を筒の径方向に閉じた状態の説明図、図１９（ｄ）は図１９（ｂ）の構造物を収納する過程の説明図、図１９（ｅ）はハート形の筒の構造物の展開図、図１９（ｆ）は図１９（ｅ）の構造物の筒状の状態および収納した状態の説明図、図１９（ｇ）はハート形の肩部分に直線部を設けた筒の構造物の展開図、図１９（ｈ）は図１９（ｇ）の構造物の筒状の状態および収納した状態の説明図、図１９（ｉ）は一部に直線部を設けた円形環の展開図、図１９（ｊ）は図１９（ｉ）の構造物の筒状の状態の説明図、図１９（ｋ）は図１９（ｊ）の状態から筒の半径方向に閉じた状態および収納した状態の説明図である。 図２０は正方形に閉じた筒の説明図であり、図２０（a）は各筒を４５度の面で切断した場合の側面図および上面図、図２０（ｂ）は図２０（ａ）の展開図、図２０（ｃ）は図２０（ａ）の構造物を２つ接合するように配置した図、図２０（ｄ）は図２０（ｃ）の筒を接合した状態の角度関係の説明図、図２０（ｅ）は折り畳めない正方形状の閉じた筒の展開図、図２０（ｆ）は折り畳める正方形状の閉じた筒の展開図、図２０（ｇ）は図２０（ｆ）の構造物の筒状の状態の図、図２０（ｈ）は図２０（ｆ）の構造物を収納した状態の説明図、図２０（ｉ）は正方形の対角の角に直線部を配置した構造物の展開図、図２０（ｊ）は図２０（ｉ）の構造物の筒状の状態から収納される過程の説明図である。 図２１は角錐形の筒の説明図であり、図２１（ａ）は対称２枚貼り合せの角錐の正面図、図２１（ｂ）は図２１（ａ）の角錐の斜視図、図２１（ｃ）は折り線が対象となるように設定した説明図、図２１（ｄ）は図２１（ｃ）において四角ＯＥＤＦを反転させた状態の図、図２１（ｅ）は図２１（ｄ）における角度関係の説明図、図２１（ｆ）は式（４−２）の説明図である。 図２２は概略直線上の角錐筒のジグザグ形の折り畳みの説明図であり、図２２（ａ）は各節点の位置や折り線の角度の説明図、図２２（ｂ）は図２２（ａ）において偶数段目を左右反転させた場合の説明図、図２２（ｃ）は図２２（ｂ）の方法を採用した折り畳み構造物の展開図、図２２（ｄ）は図２２（ｃ）の構造物の筒状の状態の説明図、図２２（ｅ）は図２２（ｄ）の構造物の収納途中の説明図、図２２（ｆ）は図２２（ｄ）の構造物の収納状態の説明図である。 図２３は湾曲した角錐筒のジグザグ形の折り畳みの説明図であり、図２３（ａ）は各節点の位置や折り線の角度の説明図、図２３（ｂ）は図２３（ａ）において偶数段目を左右反転させた場合の説明図、図２３（ｃ）は稜線部の傾斜角の説明図、図２３（ｄ）は図２３（ｂ）の方法を採用した折り畳み構造物の展開図、図２３（ｅ）は図２３（ｄ）の構造物の平面図、図２３（ｆ）は図２３（ｄ）の構造物の収納途中の説明図、図２３（ｇ）は巻き貝形の構造物の展開図、図２３（ｈ）は図２３（ｇ）の構造物の筒状の状態の図、図２３（ｉ）は図２３（ｇ）の構造物の収納状態の説明図である。 図２４は湾曲した角錐筒を巻き取るように折り畳む構造物みの説明図であり、図２４（ａ）は各節点の位置関係の説明図、図２４（ｂ）は図２４（ａ）において各接点の角度関係の説明図、図２４（ｃ）は図２４（ａ）の偶数段を反転させた折り畳み構造物の展開図、図２４（ｄ）は図２４（ｃ）の展開図を貼り合わせた状態の図、図２４（ｅ）は図２４（ｃ）の構造物を筒状にした状態の図、図２４（ｆ）は図２４（ｄ）の構造物の収納途中の説明図、図２４（ｇ）は図２４（ｄ）の構造物の収納状態の説明図、図２４（ｈ）は頂角が小さい角錐筒の展開図、図２４（ｉ）は図２４（ｈ）の展開図を貼り合わせた状態の図、図２４（ｊ）は図２４（ｈ）の構造物を収納する過程の説明図である。 図２５は近似設計法の説明図であり、図２５（ａ）は等角螺旋に基づく折り線を描く方法の説明図、図２５（ｂ）は反転型等角螺旋に基づく折り線を描く方法の説明図である。 図２６は近似設計法で作製した折り畳み構造物の説明図であり、図２６（ａ）は頂角を１０度に設定した折り畳み構造物の展開図、図２６（ｂ）は図２６（ａ）の構造物を筒状に立ち上げた状態の図、図２６（ｃ）は図２６（ｂ）の構造物を収納する途中の状態の説明図、図２６（ｄ）は図２６（ｂ）の構造物を収納した状態の説明図、図２６（ｅ）は頂角を４０度に設定した折り畳み構造物の展開図、図２６（ｆ）は図２６（ｅ）の構造物を筒状に立ち上げた状態の図、図２６（ｇ）は図２６（ｅ）の構造物を径方向に閉じた状態の説明図、図２６（ｈ）は図２６（ｅ）の構造物を収納した状態の説明図、図２６（ｉ）は頂角を８０度に設定した折り畳み構造物の展開図、図２６（ｊ）は図２６（ｉ）の構造物を筒状に立ち上げた状態の図、図２６（ｋ）は図２６（ｉ）の構造物を収納した状態の説明図、図２６（ｌ）は図２６（ｅ）の展開図を頂角で繋いだ折り畳み構造物の展開図、図２６（ｍ）は図２６（ｌ）の構造物を筒状に立ち上げた状態の図、図２６（ｎ）は図２６（ｌ）の構造物を収納する過程の説明図である。 図２７は螺旋形状の角筒のデザイン法の説明図であり、図２７（ａ）は稜線部および貼り合せ部の説明図、図２７（ｂ）は図２７（ａ）において稜線部等がジグザグになるように設定する場合の説明図、図２７（c）は図２７（ａ）の方法で作製した折り畳み構造物の展開図、図２７（ｄ）は図２７（ｃ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の図、図２７（ｅ）は図２７（ｂ）の方法で作製した折り畳み構造物の展開図、図２７（ｆ）は図２７（ｅ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の図である。 図２８は角錐筒の突き合わせ接合の説明図であり、図２８（ａ）は角筒の一端を斜めに切断した展開図、図２８（ｂ）は頂角が１０度の角錐の外端を斜めに切断した展開図、図２８（ｃ）は頂角が３０度の角錐の外端を斜めに切断した展開図、図２８（ｄ）図２８（ａ）の展開図を２枚対称に貼り合わせた折り畳み構造物の斜視図、図２８（ｅ）図２８（ｂ）の展開図を２枚対称に貼り合わせた折り畳み構造物の斜視図、図２８（ｆ）図２８（ｃ）の展開図を２枚対称に貼り合わせた折り畳み構造物の斜視図、図２８（ｇ）は図２８（ｄ）〜（ｆ）の構造物の四隅の点が同一平面上にないことの説明図、図２８（ｈ）は図２８（ｅ）の構造物と図２８（ｆ）の構造物を組み合わせた構造物の説明図、図２８（ｉ）は図２８（ｈ）において断面が正方形になるように接合線ＡＣで切断した上側部分の構造物の展開図、図２８（ｊ）は図２８（ｈ）において断面が正方形になるように接合線ＡＣで切断した下側部分の構造物の展開図、図２８（ｋ）は図２８（ｊ）の構造物を筒状にした状態で接合した図、図２８（ｌ）は図２８（ｋ）の構造物の展開図である。 図２９は角錐の頂角側の部分を突き合わせた構造物の説明図であり、図２９（ａ）は突き合わせ部分の傾斜角が２０度の構造物の展開図および折った状態の図、図２９（ｂ）は突き合わせ部分の傾斜角が６０度の構造物の展開図および折った状態の図、図２９（ｃ）は突き合わせ部分に切れ込みを入れた構造物の展開図および折った状態の図である。 図３０は２枚貼り合せによる分枝の折り畳みの説明図であり、図３０（ａ）は折り畳み可能なＴ字の分枝構造の展開図、図３０（ｂ）は図３０（ａ）の展開図を貼り合せた状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｃ）は図３０（ａ）の両袖部分を下がり気味にした折り畳み可能な矢印型の分枝構造の展開図、図３０（ｄ）は図３０（ｃ）の展開図を貼り合せた状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｅ）は図３０（ａ）の袖部が支えの筒部よりも太い折り畳み不能な分枝構造の展開図、図３０（ｆ）は図３０（ｅ）に補助折り線を形成した折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｇ）は図３０（ｆ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｈ）は袖部が支えの筒部よりも細い場合に補助折り線を形成した折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｉ）は図３０（ｈ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｊ）は袖部を台形にした折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｋ）は図３０（ｊ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｌ）は両袖部分を上がり気味にした折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｍ）は図３０（ｌ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｎ）は図３０（ａ）において切り込みを入れた折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｏ）は図３０（ｎ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｐ）は図３０（ｋ）において切り込みを入れた折り畳み可能な分枝構造の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｑ）は図３０（ｍ）において切り込みを入れた折り畳み可能な分枝構造の筒状の状態と収納する途中の状態の図である。 図３１は分枝構造の幾何学的な説明図であり、図３１（ａ）は対称２枚貼りのＴ字構造の右半分の展開図、図３１（ｂ）は図３１（ａ）を折り畳んで矢印ＸＸＸＩＢ方向から見た図、図３１（ｃ）は図３１（ａ）の小周防物を完全に折り畳んだ状態の図、図３１（ｄ）は切れ込みを入れる条件の説明図である。 図３２は分子構造を用いた応用構造の説明図であり、図３２（ａ）はＴ字分枝を連結させた網目状の筒構造の展開図、図３２（ｂ）は図３２（ａ）の構造物を筒状にした図、図３２（ｃ）は図３２（ｂ）の構造物の要部拡大図、図３２（ｄ）は図３２（ｂ）の構造物を収納する途中の図、図３２（ｅ）は図３２（ｄ）の状態からさらに収納した状態の図、図３２（ｆ）はＹ字分枝を連結させた網目状の筒構造の展開図、図３２（ｇ）は図３２（ｆ）の構造物を筒状にした図、図３２（ｈ）は図３２（ｇ）の構造物の要部拡大図、図３２（ｉ）は図３２（ｇ）の構造物を収納する途中の図、図３２（ｊ）は図３２（ｉ）の状態からさらに収納した状態の図、図３２（ｋ）は図３２（ｃ）の切れ込みをＶ字状にして支え部分に棒を貫通させた状態の説明図である。 図３３はＹ字状の分枝モジュールの説明図であり、図３３（ａ）は分枝の中心部が六角形のＹ字分枝構造の展開図、図３３（ｂ）は図３３（ａ）に貼り合せられる対称の展開図、図３３（c）は図３３（ａ）、図３３（ｂ）の展開図を貼り合わせて作成された構造物の図、図３３（ｄ）は図３３（ｃ）のモジュールを６つ連結して作成された構造物の図、図３３（ｅ）は図３３（ｄ）の構造物が収納された状態の図、図３３（ｆ）は図３３（ｄ）の構造物が連結された網目状の構造物の図、図３３（ｇ）は図３３（ａ）とは異なる折り線を有する分枝構造の中心部の説明図、図３３（ｈ）は図３３（ｇ）の中心部の折り線の説明図、図３３（ｉ）は図３３（g）の構造物を収納した状態の図である。 図３４は十字状の分枝モジュールの説明図であり、図３４（ａ）は分枝の中心部が八角形の十字分枝構造の展開図、図３４（ｂ）は図３４（ａ）の展開図を貼り合わせて作成された構造物の図、図３４（ｃ）は図３４（ｂ）の構造物が収納される途中の図、図３４（ｄ）は図３４（ｂ）のモジュールを４つ連結して作成された網目状の構造物の図、図３４（ｅ）は図３４（ｄ）の構造物が収納された状態の図、図３４（ｆ）は図３４（ａ）とは異なる折り線を有する分枝構造の中心部の折り線の説明図、図３４（ｇ）は図３４（ｆ）の中心部を有する網目状の構造物の説明図、図３４（ｈ）は図３４（g）の構造物を収納した状態の図である。 図３５は亀の子型の分枝モジュールの説明図であり、図３５（ａ）は分枝の中心部が１２角形の亀の子分枝構造の展開図、図３５（ｂ）は図３５（ａ）の展開図を貼り合わせて作成された構造物の図、図３５（ｃ）は図３５（ｂ）のモジュールを７つ連結して作成された網目状の構造物の図、図３５（ｄ）は図３５（ｃ）の構造物が収納される途中の図、図３５（ｅ）は図３５（ｃ）の構造物が収納された状態の図、図３５（ｆ）は図３５（ａ）とは異なる折り線を有する分枝構造の展開図、図３５（ｇ）は図３５（ｆ）の展開図を貼り合わせて作成された構造物の筒状の状態および収納される過程の図、図３５（ｈ）は図３５（ｇ）のモジュールを３つ連結して作成された網目状の構造物の図、図３５（ｉ）は図３５（ｈ）の構造物が収納される途中の図である。 図３６は正４面体の構造物の説明図であり、図３６（ａ）は正４面体の稜線部分の断面の説明図、図３６（ｂ）は図３６（ａ）を折り畳んだ場合の説明図および四面体の展開図、図３６（ｃ）は正４面体の稜線部分の外側のパーツの展開図、図３６（ｄ）は正４面体の稜線部分の内側のパーツの展開図、図３６（ｅ）は正４面体の角の部分の拡大図、図３６（ｆ）は図３６（ｃ）、図３６（ｄ）の展開図から構造物を組み立てる途中の状態の図、図３６（ｇ）は図３６（ｆ）の構造物が完成した状態の図、図３６（ｈ）は図３６（ｇ）の構造物の角を折り畳んだ状態の図、図３６（ｉ）は図３６（ｈ）の角の部分の拡大図である。 図３７は折り畳み可能な正４面体の構造物の説明図であり、図３７（ａ）は展開図、図３７（ｂ）は図３７（ａ）の構造物が立ち上がった状態の図、図３７（ｃ）は図３７（ｂ）の構造物が収納された状態の図、図３７（ｄ）は４面体を４つのモジュールに分割する説明図、図３７（ｅ）は分割されたモジュールの斜視図である。 図３８は正６面体の構造物の説明図であり、図３８（ａ）は正６面体の展開図、図３８（ｂ）は図３８（ａ）の構造物の斜視図、図３８（ｃ）は正６面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図３８（ｄ）は図３８（ｃ）の構造物の斜視図、図３８（ｅ）は正６面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図３８（ｆ）は図３８（ｅ）の構造物の斜視図、図３８（ｇ）は６面体を８つのモジュールに分割する説明図、図３８（ｈ）は図３８（ｅ）の角部分を採用した正６面体の展開図、図３８（ｉ）は図３８（ｈ）の構造物の斜視図および角部分を折り畳んだ図、図３８（ｊ）は図３８（ｅ）の角部を採用し且つ稜線が折り畳み可能な外側および内側パーツの展開図、図３８（ｋ）は図３８（ｊ）の構造物の斜視図、図３８（ｌ）は図３８（ｋ）の角部分を採用した正６面体の斜視図、図３８（ｍ）は図３８（ｌ）の構造物を収納する途中の状態の図、図３８（ｎ）は図３８（ｍ）からさらに収納した状態の図、図３８（ｏ）は図３８（ｌ）の構造物の展開図である。 図３９は正８面体の構造物の説明図であり、図３９（ａ）は正８面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図３９（ｂ）は図３９（ａ）の構造物の斜視図、図３９（ｃ）は図３９（ａ）の角部分を採用した正８面体の展開図、図３９（ｄ）は図３９（ｃ）の外側パーツのみを組み立てた構造物の斜視図、図３９（ｅ）は図３９（ｃ）の構造物の斜視図、図３９（ｆ）は図３９（ａ）の角部を採用し且つ稜線が折り畳み可能な外側および内側パーツの展開図、図３９（ｇ）は図３９（ｆ）の構造物の斜視図、図３９（ｈ）は図３９（ｇ）の構造物を収納する過程の図である。 図４０は正１２面体の構造物の説明図であり、図４０（ａ）は正１２面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図４０（ｂ）は図４０（ａ）の構造物の斜視図、図４０（ｃ）は図４０（ａ）の角部分を採用した正１２面体の展開図、図４０（ｄ）は図４０（ｃ）の外側パーツのみを組み立てた構造物の斜視図、図４０（ｅ）は図４０（ｃ）の構造物の斜視図、図４０（ｆ）は図４０（ａ）の角部を採用し且つ稜線が折り畳み可能な外側および内側パーツの展開図、図４０（ｇ）は図４０（ｆ）の構造物の斜視図、図４０（ｈ）は図４０（ｇ）の構造物を収納する過程の図である。 図４１は正２０面体の構造物の説明図であり、図４１（ａ）は正２０面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図４１（ｂ）は図４１（ａ）の構造物の斜視図、図４１（ｃ）は図４１（ａ）の角部分を採用した正２０面体の展開図、図４１（ｄ）は図４１（ｃ）の外側パーツのみを組み立てた構造物の斜視図、図４１（ｅ）は図４１（ｃ）の構造物の斜視図、図４１（ｆ）は図４１（ａ）の角部を採用し且つ稜線が折り畳み可能な外側および内側パーツの展開図、図４１（ｇ）は図４１（ｆ）の構造物の斜視図、図４１（ｈ）は図４１（ｇ）の構造物を収納する過程の図である。 図４２は角筒のつなぎあわせ方法の説明図であり、図４２（ａ）は対称の２つの角筒の展開図、図４２（ｂ）は図４２（ａ）の構造物の斜視図、図４２（ｃ）は図４２（ａ）の角筒どうしのつなぎあわせ方の説明図、図４２（ｄ）は図４２（ａ）の２つのパーツを１枚のシートで形成するための展開図、図４２（ｅ）は図４２（ｄ）の展開図を貼り合わせる途中の説明図、図４２（ｆ）は図４２（ｅ）の構造物が完成した状態の図、図４２（ｇ）は図４２（ｆ）の構造物を折り畳んだ状態の図、図４２（ｊ）は図４２（ｆ）の構造物を積層した構造物の説明図、図４２（ｋ）は図４２（ｊ）の構造物を折り畳んだ状態の図、図４２（ｌ）は図４２（ｆ）の構造物のプラスチック製品の図である。 図４３は角錐のつなぎあわせ方法の説明図であり、図４３（ａ）は対称の２つの角錐の展開図、図４３（ｂ）は図４３（ａ）の構造物の斜視図、図４３（ｃ）は図４３（ｂ）の構造物を折り畳んだ状態の図、図４３（ｄ）は対称の２つのパーツが半円状の場合の展開図、図４３（ｅ）は図４３（ｄ）の構造物の斜視図および折り畳んだ状態の図、図４３（ｆ）は対称の２つのパーツが円状の場合の展開図、図４３（ｇ）は図４３（ｆ）の構造物の斜視図および折り畳んだ状態の図である。 図４４は部分貼り合せ方法の説明図であり、図４４（ａ）は部分貼り合せの構造物の折り線の説明図、図４４（ｂ）は図４４（ａ）の帯板を２つ対称に並べた状態の図、図４４（ｃ）は図４４（ｂ）から空白部どうしを仮止めした状態の図、図４４（ｄ）は図４４（c）を模式的に示した図、図４４（ｅ）は図４４（ｄ）の折り目部分を拡大した図、図４４（ｆ）は図４４（ｄ）を正方形になるように折った図、図４４（ｇ）は図４４（ａ）の空白部に谷折り線を追加した図、図４４（ｈ）は図４４（ｇ）の構造物の斜視図、図４４（ｉ）は図４４（ｇ）を高さ方向に積み上げた展開図、図４４（ｊ）は図４４（ｉ）の構造物の外筒と内筒のそれぞれの斜視図および外筒と内筒を組み合わせた２重筒の斜視図と上面図である。 図４５は部分貼りあわせによる六角筒の説明図であり、図４５（ａ）は内筒の展開図、図４５（ｂ）は外筒の展開図、図４５（ｃ）は二重筒の斜視図、図４５（ｄ）は図４５（ｃ）の上面図、図４５（ｅ）は内筒のみの斜視図、図４５（ｆ）は外筒のみの斜視図である。 図４６は単一蝶番法による二重筒状の折り畳み構造物の説明図であり、図４６（ａ）は単一蝶番法による二重筒の概念図、図４６（ｂ）は外筒と内筒の角の部分の展開図、図４６（ｃ）は図４６（ｂ）の展開図を折り線に沿って折った図、図４６（ｄ）は図４６（ｂ）の折り線を採用した二重筒の半分の外筒及び内筒の展開図、図４６（ｅ）は図４６（ｄ）の半分の二重筒の上面図、図４６（ｆ）は図４６（ｅ）を２つ貼り合わせて作成された四角筒の側面図、図４６（ｇ）は図４６（ｆ）の斜視図および上面図である。 図４７は長尺の二重筒状の折り畳み構造物の説明図であり、図４７（ａ）はジグザグ形で折り畳みができる長尺の二重筒状の折り畳み構造物の概念図、図４７（ｂ）は図４７（ａ）を径方向に閉じる途中の状態の説明図、図４７（ｃ）はジグザグ形で折り畳みができる長尺の二重筒状の折り畳み構造物の外筒の展開図、図４７（ｄ）はジグザグ形で折り畳みができる長尺の二重筒状の折り畳み構造物の内筒の展開図、図４７（ｅ）は図４７（ｄ）の内筒の斜視図、図４７（ｆ）は図４７（ｅ）の内筒が収納される途中の図、図４７（ｇ）は図４７（ｃ）、図４７（ｄ）の二重筒の斜視図である。 図４８は二重の角錐状の折り畳み構造物の説明図であり、図４８（ａ）は二重の角錐筒の外筒の展開図、図４８（ｂ）は二重の角錐筒の内筒の展開図、図４８（ｃ）は図４８（ａ）の外筒の斜視図、図４８（ｄ）は図４８（ｂ）の内筒の斜視図、図４８（ｅ）は図４８（ｄ）の内筒を折り畳む途中の図、図４８（ｆ）は図４８（ｃ）の外筒と図４８（ｄ）の内筒を組み合わせた二重の角錐筒の斜視図である。 図４９は収縮／展開可能な３次元構造物の説明図であり、図４９（ａ）は円弧状のモジュールと亀の子モジュールの展開図、図４９（ｂ）は図４９（ａ）を組み立てた図、図４９（ｃ）は亀の子モジュールに円弧状の筒を接続する前後の説明図、図４９（ｄ）は図４９（ｃ）の構成を採用した球状の構造物が立ち上がった状態の図、図４９（ｅ）は図４９（ｄ）の構造物が収納された状態の図、図４９（ｆ）は図４９（ｄ）において亀の子モジュールを八角形に変更した場合の斜視図、図４９（ｇ）は図４９（ｄ）において亀の子モジュールを１２角形に変更した場合の斜視図、図４９（ｈ）は円弧状のモジュールと十字モジュールと長尺のモジュールとを組み合わせた構造物が立ち上がった状態の図、図４９（ｉ）は図４９（ｈ）の構造物が収納された状態の図、図４９（ｊ）は図４９（ｄ）から上側の亀の子モジュールを除去し且つ下側の亀の子モジュールを５角形に変更した構造物が立ち上がった状態の図、図４９（ｋ）は人の掌に基づく亀の子モジュールの展開図、図４９（ｌ）は人の指に基づく円弧状のモジュールの展開図、図４９（ｍ）は図４９（ｋ）および図４９（ｌ）のモジュールを組み合わせ且つ円弧状のモジュールを伸ばした状態の図、図４９（ｎ）は図４９（ｍ）において円弧状のモジュールを部分的に曲げた状態の図である。 図５０は正４面体用のモジュールに基づく構造物の説明図であり、図５０（ａ）は正４面体用のモジュールの外側パーツの一例の展開図、図５０（ｂ）は正４面体用のモジュールの内側パーツの一例の展開図、図５０（ｃ）は正４面体用のモジュールの外側パーツの他の例の展開図、図５０（ｄ）は図５０（ａ）および図５０（ｂ）を使用して作成された正４面体用のモジュールの斜視図、図５０（ｅ）は図５０（ｂ）および図５０（ｃ）を使用して作成された正４面体用のモジュールの斜視図、図５０（ｆ）は図５０（ｄ）を下側に配置し且つ図５０（ｅ）を上側に配置して接続された構造物の斜視図、図５０（ｇ）は図５０（ｆ）の構造物を複数つなげた構造物の斜視図、図５０（ｈ）は図５０（ｇ）の上面図、図５０（ｉ）は図５０（ｇ）のジグザグ構造の説明図、図５０（ｊ）は図５０（ｇ）の構造の模式図、図５０（ｋ）は図５０（ｇ）の構造を面内でつなげた構造物の斜視図、図５０（ｌ）は図５０（ｋ）の構造物を高さ方向に重ねた構造物の斜視図、図５０（ｍ）は図５０（ａ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５０（ｎ）は図５０（ｂ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５０（ｏ）は図５０（ｃ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５０（ｐ）は図５０（ｍ）〜図５０（ｏ）のパーツを使用して図５０（ｋ）の構造物を作製した図、図５０（ｑ）は図５０（ｍ）〜図５０（ｏ）のパーツを使用して図５０（ｌ）の構造物を作製した図、図５０（ｒ）は図５０（ｑ）の構造物を収納する途中の図、図５０（ｓ）は図５０（ｒ）からさらに収納した図である。 図５１は立方体用のモジュールに基づく構造物の説明図であり、図５１（ａ）は立方体用のモジュールの外側パーツの一例の展開図、図５１（ｂ）は立方体用のモジュールの内側パーツの一例の展開図、図５１（ｃ）は立方体用のモジュールの外側パーツの他の例の展開図、図５１（ｄ）はモジュールのつなげ方の説明図、図５１（ｅ）は図５１（ａ）〜図５１（d）の方式で図５０（ｋ）と同様にして作成された構造物の斜視図、図５１（ｆ）は図５１（ｅ）の構造物において配置される立方体の位置関係の説明図、図５１（ｇ）はＴ字分枝を結合した骨組み構造物の展開図、図５１（ｈ）は図５１（ｅ）の構成を高さ方向に重ねた構造物の斜視図、図５１（ｉ）は図５１（ｈ）の上面図、図５１（ｊ）は図５１（ａ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５１（ｋ）は図５１（ｂ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５１（ｌ）は図５１（ｃ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５１（ｍ）は図５１（ｊ）〜図５１（ｋ）のパーツを使用して作成される構造物の展開図、図５１（ｎ）は図５１（ｍ）の展開図を使用して作成される構造物の斜視図、図５１（ｏ）は図５１（ｎ）の構造物を高さ方向に２段重ねた構造物の斜視図、図５１（ｐ）は図５１（ｏ）の構造物を収納する途中の図、図５１（ｑ）は図５１（ｐ）からさらに収納した図である。 図５２は八面体用のモジュールに基づく構造物の説明図であり、図５２（ａ）は八面体用のモジュールの外側パーツの一例の展開図、図５２（ｂ）は八面体用のモジュールの内側パーツの一例の展開図、図５２（ｃ）は八面体用のモジュールの外側パーツの他の例の展開図、図５２（ｄ）は図５２（ａ）および図５２（ｂ）を使用して作成された正八面体用のモジュールの斜視図、図５２（ｅ）は図５２（ｂ）および図５２（ｃ）を使用して作成された正八面体用のモジュールの斜視図、図５２（ｆ）は図５１（ｄ）および図５１（ｅ）のモジュールを使用して図５０（ｋ）と同様にして作成された構造物の斜視図、図５２（ｇ）は図５２（ｆ）の構造物を高さ方向に２段に重ねた斜視図、図５２（ｈ）は図５２（ｇ）の上面図、図５２（ｉ）は切頂正八面体の説明図、図５２（ｊ）は切頂八面体を頂面で接合した図、図５２（ｋ）は図５２（ａ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５２（ｌ）は図５２（ｂ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５２（ｍ）は図５２（ｃ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５２（ｎ）は図５２（ｋ）〜図５２（ｍ）のパーツを使用して図５２（ｆ）と同様に作成された構造物の斜視図、図５２（ｏ）は図５２（ｎ）を高さ方向に２段に重ねた構造物の斜視図、図５２（ｐ）は図５２（ｏ）の構造物を収納した状態の図である。 図５３は胴部に沿うように折り畳める服飾品の説明図であり、図５３（ａ）はＴ字モジュールと服飾との関係の説明図、図５３（ｂ）は切れ込みの形成されたＴ字モジュールの展開図、図５３（ｃ）は袖が胴よりも太いＴ字モジュールの展開図、図５３（ｄ）は袖が胴よりも細いＴ字モジュールの展開図、図５３（ｅ）は図５３（ｄ）のモジュールにおいて形成する切り込みの説明図、図５３（ｆ）は袖と胴が台形のＴ字モジュールの図、図５３（ｇ）は分枝の中心部分に補助折り線の一例を形成した展開図、図５３（ｈ）は図５３（ｇ）の展開図を使用した構造物の斜視図、図５３（ｉ）は図５３（ｇ）とは異なる補助折り線の一例を形成した展開図、図５３（ｊ）は図５３（ｉ）の展開図を使用した構造物の斜視図および収納途中の図、図５３（ｋ）は図５３（ｉ）の補助折り線の描画法の説明図、図５３（ｌ）は袖部が台形の場合の補助折り線の一例を形成した展開図、図５３（ｍ）は図５３（ｌ）の展開図を使用した構造物の斜視図および収納途中の図、図５３（ｎ）は袖部および胴部が台形の場合の補助折り線の一例を形成した展開図、図５３（ｏ）は図５３（ｎ）の展開図を使用した構造物の斜視図および収納途中の図である。 図５４は前面と後面で折り線や切込みが異なる構造物の説明図であり、図５４（ａ）は図５３（ｇ）と同様の前面パーツの展開図、図５４（ｂ）は図５３（ｉ）と同様の後面パーツの展開図、図５４（ｃ）は図５４（ａ）および図５４（ｂ）のパーツを貼り合わせた構造物の斜視図、図５４（ｄ）は図５４（ｃ）を後方から見た図、図５４（ｅ）は図５４（ｃ）の上面図、図５４（ｆ）は袖の幅方向の中央よりも下方に稜線がずれた前面パーツの展開図、図５４（ｇ）は袖の幅方向の中央よりも上方に稜線がずれた後面パーツの展開図、図５４（ｈ）は図５４（ｆ）および図５４（ｇ）のパーツを貼り合わせた構造物の斜視図、図５４（ｉ）は図５４（ｈ）を前方から見た図、図５４（ｊ）は図５４（ｈ）を収納する途中の図、図５４（ｋ）は図５４（ｉ）からさらに収納された図、図５４（ｌ）は袖部に折り畳みに寄与しないダミーの補助線が形成されたパーツの展開図、図５４（ｍ）は図５４（ｌ）のパーツを貼り合わせた構造物の斜視図である。 図５５は折り畳み可能な服飾型の構造物の説明図であり、図５５（ａ）は折り畳み可能な服飾の前後のパーツの展開図、図５５（ｂ）は図５５（ａ）を貼り合わせた構造物の斜視図、図５５（ｃ）は図５５（ｂ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５５（ｄ）は図５５（ｃ）からさらに収納した状態の図、図５５（ｅ）は図５５（ｄ）からさらに収納した状態の図、図５５（ｆ）は図５５（ｅ）からさらに収納した状態の図、図５５（ｇ）は図５５（ａ）とは異なる折線の折り畳み可能な前後のパーツの展開図、図５５（ｈ）は図５５（ｇ）を貼り合わせた構造物の斜視図、図５５（ｉ）は図５５（ｈ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５５（ｊ）は図５５（ｉ）からさらに収納した状態の図である。 図５６は折り畳み可能な服飾型の構造物の説明図であり、図５６（ａ）は胴部を台形上にした折り畳み可能な服飾の前後のパーツの展開図、図５６（ｂ）は図５６（ａ）を貼り合わせた構造物の斜視図、図５６（ｃ）は図５６（ｂ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５６（ｄ）は図５６（ｃ）からさらに収納した状態の図、図５６（ｅ）は折り畳み可能なパンツの前後のパーツの展開図、図５６（ｆ）は図５６（ｅ）を貼り合わせたパンツ型の構造物の斜視図、図５６（ｇ）は図５６（ｆ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５６（ｈ）は図５６（ｇ）からさらに収納した状態の図、図５６（ｉ）は図５６（ｈ）からさらに収納した状態の図、図５６（ｊ）はダミーの折線を追加した角錐状の構造物の展開図、図５６（ｋ）は図５６（ｊ）の展開図を多角錐状にした図、図５６（ｌ）は図５６（ｋ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５６（ｍ）は図５６（ｌ）からさらに収納した状態の図である。

次に図面を参照しながら、本発明の実施の形態の具体例（以下、実施例と記載する）を説明するが、本発明は以下の実施例に限定されるものではない。
なお、以下の図面を使用した説明において、理解の容易のために説明に必要な部材以外の図示は適宜省略されている。

本出願は‘立体を同じ折り線図からなる展開図を２枚対称に貼り合わせて作る’新たに提案する折り畳み構造物について述べるものである。これを簡単に「対称２枚貼り折紙」と名付ける。

図１は貼り合せによる折り紙の基本形の説明図であり、図１（ａ）は２つのシートを貼り合わせた状態の図、図１（ｂ）は図１（ａ）の状態から立体化した状態の図、図１（ｃ）は図１（ｂ）の状態から貼り合せ部分どうしが近づく方向に収縮させながら折り畳む場合の説明図、図１（ｄ）〜（ｇ）は貼り合せ状態から立体化の後、軸方向に折り畳む過程の斜視図である。
なお、本願図面において、展開図における折り線については、一部例外を除いて、山折り線を実線で示し、谷折り線を破線で示すものとする。

図１において、この２枚対称に貼り合わせによる折り紙模型の基本形を示したものが図１（ａ）で、図の○点（貼り合せ部分１）を蝶番のようにして立体化するもので（図１（ｂ））、模型は図１の（ａ）と（ｂ）の間を行き来できる。折り畳みの基本中の基本は折り線の対称性にある。例えば、‘鶴’を折ってこれを元に戻すと、対称な折り線が多く見られる。これは折り線を対称に配置すると簡単に折り畳まれることと関連している。折り畳みを考慮しながら立体構造の展開図を作ることは折紙に精通していてもなかなか厄介であるが、２枚を対称に貼ることで、貼り合わせ部１でのこの厄介さから一挙に解放される。これが対称２枚貼りを提唱する基本理念になっている。図１（ｃ）は立体化したものを元の形態（頭１（ａ））に戻すのではなく、横幅あるいは半径方向に収縮させながら折畳む模型の模式図である。
図１（ｄ）〜（ｇ）は対称にその側面を貼り合わせた２枚の紙（シート）２，３の中心部（稜線部４）を持ち上げ４角形断面の筒に立体化しこれを長手方向（軸方向）に折り畳む考えを示したものであり、これが本発明で用いる基本モデルである。

（１節点での折り畳み（平坦折り）条件と折紙における対称な折り線の利便性）
図２は折り畳み条件の説明図であり、図２（ａ）は正方形の紙の中心線で２つ折りにした状態の説明図、図２（ｂ）は図２（ａ）の紙を展開した状態の図、図２（ｃ）は図２（ａ）の状態から右下部分を更に折り曲げた状態の説明図、図２（ｄ）は図２（ｃ）の紙を展開した状態の図、図２（ｅ）は１節点４折り線の図、図２（ｆ）は図２（ｅ）の折り線に沿って折り畳んだ状態の説明図、図２（ｇ）は円形の紙に図２（ｅ）の折り線が形成された場合の図、図２（ｈ）は図２（ｄ）の折り線を２つの２等辺３角形で置き換えた場合の図、図２（ｉ）は鏡面則の説明図、図２（ｊ）は円形膜を半径方向に折り畳む場合の折り畳み条件の説明図である。

図２（ａ）に示すように正方形の紙１１の中心線１２で２つ折りにすると左右対称である（図２（ｂ）参照）。図の右下部分を更に図２（ｃ）のように折って畳み、開くと図２（ｄ）のように新たな折り線１３，１４は中心線１２で対称になっている。これを逆に考えると、折り線１３，１４を対称に配置すると折り畳みができることが担保されることを示唆している。
図２（ｄ）の折り線が合流する点を節点１６と呼ぶ。このような１節点４折り線図は一般的に図２（ｅ）のように示され、４分割された角度を図のように定める。これを折り畳むと図２（ｆ）のようになる。図で折り線１７を基準に考えると、谷折り線１８はα−β、あるいはδ−γだけ回転した位置にある。これらの角度は互いに等しくならねばならないから、平坦に折り畳まれるとき次式が成り立つ。
α−β＝δ−γ …式（２−１）
全折り線１７，１８，１９，２０は１つの平面状にあるから、α＋β＋γ＋δ＝３６０°より、式（２−１）は次のようになる。
(α＋γ)＝(β＋δ)＝１８０° …式（２−２）

これは図２（ｅ）の４つの中心角を一つ飛びにたすと１８０°（補角）になることを示す。これを一般に‘平面紙の平坦折りのための補角条件’と呼ぶ。図２（ｇ）に示すように円形紙が４本の折り線１７〜２０で分割された領域をＩ〜ＩＶとする。折り畳まれたときＩとＩＩＩが表、ＩＩとＩＶが裏になるから裏と表の部分の角度の和が等しいこと、すなわち式（２−２）が成り立つことは考えるに当然のことではある。また、これより、一つの節点１６周りに平面を平坦に折り畳むためには４あるいは６，８本など偶数の折り線が必要であることに気付くだろう（２本の場合は図２（ｂ）で中央に○で示した節点を考える）。これも紙には表と裏しかなく、折り畳まれたとき折り線で紙の表、裏が交互に現れることを考えると納得できる。奇数本の折り線の場合はもちろん折り畳むことはできず節点１６で立体の頂点が作られる。

図２（ｄ）の対称形の折り線１２〜１４を図２（ｈ）のように斜辺の長さが等しい２つの２等辺３角形の斜辺で置き換え、これらの２等辺３角形は頂点Ｏでピンによりつながれているとする。上の２等辺３角形を回転させても補角条件は成り立っている。２つの２等辺３角形△ＡＯＤと△ＣＯＢの底辺ＡＤとＢＣは直交する。節点１６でこれらの辺に平行に点線で示した直交する線分を描きこれらを鏡Ｉ、ＩＩとする。点Ａから出た光は点Ｏで反射して点Ｄへ、点Ｂから出た光は点Ｏを経て点Ｃに至る。鏡ＩＩに対して点ＢとＣ、鏡Ｉに対して点ＡとＤは対称である（図２（ｉ）参照）。この折り畳み条件から得られる特性を理解していると、円形の紙や円錐殻の折り畳み構造を設計する際極めて重宝である。これを本発明者は４折り線法の「直交鏡面則」と名付けた。

上述の鏡面則を用いた描画例を以下で紹介する。図２（ｊ）は円形膜の一部を示したもので、本発明では円形膜を半径方向に折り畳むモデルや折り畳み出来る円錐の設計などに用いる。点Ａ、Ｂ、Ｃ、点Ｄ、Ｅ、Ｆは各々同一半径上に等間隔で配されたものであり、半径方向の折り線をジグザグにするため点Ｄ、Ｅ、Ｆは点Ａ、Ｂ、Ｃより中心角で角度θだけずれた位置にある。点Ｂから半径方向と角度φをなす折り線ＢＥを引く。点Ｅよりさらに中心に向けて折り線ＥＨをどのように引けば点Ｅで補角条件が成り立つのだろうか？点Ｄ、ＥおよびＦは同心円上にあるから、鏡面則により一つの鏡面は半径と垂直である。結果、別の鏡面は半径となる。すなわち∠ＨＥＯ＝∠ＢＥＪで、∠ＢＥＪ＝φ＋θであるから∠ＨＥＯ＝φ＋θとなり、∠ＥＨＢ=φ＋２θとなるから∠ＯＨＫ＝φ＋２θとなり、反射する毎に、半径方向となす角はθだけ順次増えてゆく。それゆえ、角度φやθが大きいと中心に近づくとφ＋２θが９０°を超え折り線が描けなくなる。これは円形膜の中心部までジグザグ折りで折り畳めないことを意味する。本発明者は折り線の描ける半径sinφになると明らかにした。円形膜を折り畳む模型を設計するときで中央にハブを設けることはこのことと関連している。ここでは節点１６での折り畳み条件を述べたが、立体折紙では折り畳めない１節点５折り線が度々現れる。本願明細書を読むにあたっては節点１６での折り線数を確認する努力をしてほしい。

（凸や凹面体の節点での折り畳みの条件）
図３は凸面体や凹面体の節点での折り畳み条件の説明図であり、図３（ａ）はお椀形状の説明図、図３（ｂ）は図３（ａ）の要部拡大図、図３（ｃ）は本発明の折り畳み構造物の展開図、図３（ｄ）は図３（ｃ）の折り畳み構造物が筒状の状態の斜視図、図３（ｅ）は図３（ｄ）の折り畳み構造物を折り畳む途中の状態の図、図３（ｆ）は図３（ｄ）の折り畳み構造物を上方から見た図、図３（ｇ）は図３（ｆ）の折り畳み構造物の要部拡大図、図３（ｈ）は図３（ｆ）の折り線の説明図、図３（ｉ）は図３（ｄ）の折り畳み構造物を側方から見た図、図３（ｊ）は図３（ｉ）の折り畳み構造物の要部拡大図、図３（ｋ）は図３（ｉ）の折り線の説明図、図３（ｌ）は図３（ｃ）の展開図を対称になるように配置した図、図３（ｍ）は図３（ｌ）の展開図に糊付け部を付加した状態の図、図３（ｎ）は図３（ｍ）の糊付け部どうしを筒の外側で貼りあわせた場合の図である。

垂直の軸周りに回転して作られた薄い殻からなる湾曲した面のお椀を図３（ａ）に示す。この湾曲面を図３（ａ）の要素３１〜３４のように平面の小要素の集まりで、すなわち湾曲面を多面体に置き換えて折り畳みを考える。これら４つの要素３１〜３４を取出し、要素３１と要素３４だけを切り離し平面の上に並べると、図３（ｂ）に示すように４要素３１〜３４の接合点をＯとしてこれらの間に隙間が生じる。これらの要素３１〜３４の折り畳み条件は線分ＯＣを基準にして、ＯＡ、ＯＥを折ったときこの隙間がなくなる条件から図２（ｆ）と同じ考えによりβ−α＝γ−δから、
α＋γ＝β＋δ …式（２−３）
となる。

図２（ｅ）との相違は凸面であるからα＋β＋γ＋δ＜３６０°である。式（２−３）は凹に湾曲した面の頂点でも成り立つ。平面の折り畳み条件式、式（２−２）と同じように湾曲した場合においても‘対角の角度の和が等しいとき’に折り畳まれることを示し、式（２−３）が平坦に折り畳むための一般形である。
本願明細書で取り扱う２枚対称貼り合わせ折紙を例にしてこの問題を考える。図３（ｃ）のように中央で少し曲がった上下端が平行の帯板３６，３７を考え、上下端中央に対称折り線（稜線部）３８を設け、角度を図のように定める（α＋β＝１８０°,α＜９０°β＞９０°）。この短冊帯板３６，３７を２枚対称に貼り合わせ、上下端を押すと図３（ｄ）のような矩形断面の管状になり、図３（ｅ）のように折畳まれてゆく。図３（ｄ）を上から見ると図３（ｆ）のようになっている。

この上面図の稜線ＢＯをカットすると中心Ｏに集まる４面の頂角の合計が４α＜３６０°であるから図３（ｇ）のように切れ目が現れる。頂点Ｏで合流する折り線は双方とも山折り型の稜線である（図３（ｈ）参照）。図３（ｉ）は下から見たものでその展開図は集まる４面の頂角の合計が４β＞３６０°になるため、稜線ＨＧをカットすると図３（ｊ）に示すように交差する。中心点Ｇで合流する長手方向の稜線ＦＧＨは山型、ＤＧは谷型である（図３（k）参照）。このような面構造は背反構造と呼ばれ、これは集まる面の頂角の和が３６０°以上であることに起因する。図３（ｇ）（ｊ）から分かるように上、下面の頂点（節点）ＯおよびＧで折り畳み条件が成り立っている。側面の頂点Ｄで折り畳み条件が成り立つようデザインしているからこの筒構造は折り畳みに必要な条件を満たしている。すなわち、本願明細書で用いる対称２枚貼り合わせによる折紙模型では貼り合わせで作られる頂点（節点）で折り畳み条件が自動的に成り立つため、折り畳み型の構造をデザインするのに極めて好都合なのである。

本願明細書で用いる対称２枚貼りの展開図の配置を上の例を用いて述べる。図３（ｃ）を直線ＡＢを対称軸にして配置したものが図３（ｌ）であり、直線ＡＢで折り返すと境界線３９と４０、境界線４１と４２が同じ位置に来る。「対称２枚貼り折紙」はこの対称配置に基づいて名付けられている。対称線ＡＢで折り畳む展開図を作ったものが図３（ｍ）でこの薄墨部（糊付け部）４３を糊付して折紙模型を作ると図３（ｎ）のようになり、筒の上、下にある糊付け部４３は一体化して図３（ｅ）のようにスムーズに折畳まれる。

（対称２枚貼り折紙による基本構造）
次に、新たに提案する２枚貼り合わせ折紙（pairing origami）によって作る基本的な模型の作り方について述べる。

（簡便に折り畳める筒構造）
図４は多角形や円筒形状の筒を折り畳む方法の説明図であり、図４（ａ）は軸方向に折り畳む場合の説明図、図４（ｂ）は径方向に折り畳んだ後に軸方向に折り畳む場合の説明図である。
図４に示すように多角形や円筒状の筒を折り畳む方法は大まかに軸方向に折り畳む方法と押しつぶすように折り畳むものに分類できる。底や上蓋のある多角形の筒を図４（ａ）のように折り畳む方法は本発明者により系統的にモデル化され、ランプシェード等で実用化された。図４（ｂ）のように貫通した底のない細長い筒は半径方向に押し潰し、２つ折りすることができる。ここでは、これを２枚の紙の貼り合わせで筒が作られていると考え、平面紙の折り畳みの手法で処理できる対称２枚貼り合わせ法で考える。この貼り合わせ法で作られる管状の筒は４あるいは６角形に限られるが、押し潰しと折り曲げが連動して折り畳まれるため極めて効率的かつ簡便であるため、製品作りの際にはその有用性を発揮すると期待される。

図５は図４（ａ）の構造の折り畳み構造物の説明図であり、図５（ａ）は展開図、図５（ｂ）は図５（ａ）を折り畳んだ状態図、図５（ｃ）は図５（ｂ）の上面図、図５（ｄ）は図５（ｃ）の構成を２つ準備して対称に配置した状態の説明図、図５（ｅ）は図５（ｄ）の構成を２つの蝶番で接合する場合の概念図である。
図５（ａ）の平面折りの基本図を折ると図５（ｂ）のように折られ、その上面図は図５（ｃ）のようになる。これを図５（ｄ）のように対称に配置し左右端を図５（ｅ）のように蝶番のような機能を持つ折り線図を作り上下をつなげて、折り畳みの可能な筒構造をデザインする。これをここでは縫い合わせ蝶番モデルと呼ぶ。この筒は半径方向から押し付けると元の平坦な２枚の紙になり、軸方向に押し付けると筒状で折り畳まれる。すなわち２方向に折り畳むことができる。つなぎ部となる蝶番の部分の作り方で以下の２つに分類する。

（二重蝶番法）
図６は従来公知の二重蝶番法の説明図であり、図６（ａ）は蝶番で接合する前の状態の説明図、図６（ｂ）は折り畳み構造物の一例の一段分の展開図、図６（ｃ）は図６（ｂ）の展開図を筒の軸方向に複数段並べた図、図６（ｄ）は縫い目の拡大図、図６（ｅ）は斜視図、図６（ｆ）は図６（ｅ）の構造物を上方から見た図、図６（ｇ）は図６（ｅ）の構造物を軸方向に折り畳んだ状態の説明図である。
図６（ａ）に示すように短冊を２つ折りにして、中央で１２０°、両端で６０°逆方向に折り曲げる。これで短冊には図６（ｂ）のような折り線が入る。これを横に並べると筒の一段分の展開図になり、数段縦方向に並べたものが図６（ｃ）で、中央の垂直線０１で折り返して筒にする。

図６（ｄ）に示す中央の折り線０１の対が蝶番と呼ぶ折り線図で、筒にしたとき左右端が合体してもう一つの蝶番が作られる。蝶番部分（縫い目部分）が鉛直方向のジグザグの折線２本（図６（ｄ）参照）でできているため二重蝶番と呼ぶ。三浦と舘はこの方法を用いている。
なお、二重蝶番法では、円筒の周方向に沿って、山折り線と谷折り線が交互に出現しており、縫い目に対して対称な配置となっていない。また、１２０°の折り線０２も左右で対称（線対称）になっていない。よって、縫い目（蝶番部分、貼り合せ部分）に沿って半径方向に折り畳んだ後に軸方向に折り畳むことは山折り線と谷折り線の関係上できない。

（単一蝶番法）
図７は本発明者が発明した単一蝶番法の説明図であり、図７（ａ）は展開図、図７（ｂ）は中央の蝶番部で折り返した状態の説明図、図７（ｃ）は図７（ａ）の構造物を斜め上方から見た図、図７（ｄ）は図７（ａ）の構造物を斜め側方から見た図、図７（ｅ）は図７（ｃ）の構造物を軸方向に折り畳んだ状態の説明図、図７（ｆ）は断面が六角形の構造物の展開図、図７（ｇ）は図７（ｆ）の構造物を斜め上方から見た図、図７（ｈ）は図７（ｆ）の構造物を斜め側方から見た図、図７（ｉ）は図７（ｆ）の構造物を軸方向に折り畳んだ状態の説明図である。

図７（ａ）は本発明者が発明した蝶番部分のジグザグを１本に簡素化したもので、単一蝶番法と呼ぶ展開図の例である。ここでは、直角２等辺３角形を２個つなぎ合わせて正方形を作るため９０°の折り曲げを４ヵ所設けたものである。図７（ｂ）は中央の蝶番部の折り返しの様子を示したもので、垂直線で１８０°折り曲げ、左のジグザグの谷折り線で９０°折り返すことを示したものである。図７（ｃ）〜（ｅ）はこの展開図による折紙模型の様子と２方向に折り畳んだ状態を示したものである。この蝶番法では蝶番部で直接折り返されているため、図７（ｃ）の矢印に示す３角形部分は一体化して常に接触して動く。図７（ｅ）の上面図の接合部分の内側に「凹み」がないことがこれに対応する（図６（ｇ）の接合部分０１と比較参照）。すなわち、プラスチックなどで成形するときには図７（ａ）の薄墨の菱形部分は不要で取り除くことができる。図７（ｆ）〜（ｉ）に６角形の筒を作る場合の展開図と折紙模型を折り畳む様子を示す。展開図は６０°で３回折り曲げた短冊を２枚貼り合わせたものを基本にしている。中央の蝶番と左右端を合体して作られる蝶の糊付け部が省かれている。

（単一蝶番法よる簡易折り畳み可能な長尺の筒）
図８は本発明の一例の折り畳み構造物の説明図であり、図８（ａ）は図７（ａ）の一段のみの展開図、図８（ｂ）は図８（ａ）の構造物を筒状にした図、図８（ｃ）は図８（ｂ）を軸方向に折り畳んだ状態の説明図、図８（ｄ）は図８（ｃ）の辺を抽出した図、図８（ｅ）は図８（ａ）から折り線の間隔や高さを変えた他の例の展開図、図８（ｆ）は図８（ｅ）の構造物を筒状にした図、図８（ｇ）は図８（ｆ）を軸方向に折り畳んだ状態での辺を抽出した図、図８（ｈ）は図８（ａ）から折り線の間隔や高さを変えた他の例の展開図、図８（ｉ）は図８（ｈ）の構造物を筒状にした図、図８（ｊ）は図８（ｉ）を軸方向に折り畳んだ状態での辺を抽出した図である。

上で述べた正方形に折り畳む模型の辺の長さを変えてみる。図８（ａ）は図７（ａ）の１段だけを示す展開図で、辺６１〜６３は各々上端，中央、下端を表すものとする。この短冊を折ると図８（ｂ）のような「く」の字形の筒模型が得られる。折り畳むと図８（ｃ）、（ｄ）に示すように、上端と下端は同じ位置に、中央部は上下端から少しだけ右にずれた位置にくる。段数を増やした図７（ａ）はこの「く」の字形を積み上げたものであるから、図７（ｃ）のように帯板を折り曲げて作った正方形を積み上げたように見える。辺の長さを短く、すなわち筒の形を小さくしてゆくと、図８（ｅ）から図８（ｈ）の展開図になり、図８（ｆ）から図８（ｉ）のように筒は相対的に縦長となる。このため、細長い筒では中央部分は上下端と離れた所で折り畳まれる（図８（ｊ））。これは図４（ｂ）で示した筒のジグザグ折りの形である。以下ではこれに基づき長尺の筒のジグザグ折りによる簡易な折り畳みを考える。

（基本的な性質）
図９は本発明の折り畳み構造物の基本的な性質の説明図であり、図９（ａ）は展開図、図９（ｂ）は筒状の状態と収納状態との説明図、図９（ｃ）は径方向に折り畳む状態の説明図、図９（ｄ）は斜視図、図９（ｅ）は四角筒との関係の説明図、図９（ｆ）は図９（ｄ）の上面図、図９（ｇ）は一段分の帯板の斜視図および展開図、図９（ｈ）は図９（ｇ）を軸の周方向にずらして並べた展開図である。

図８（ａ）を鉛直方向に引き伸ばした図形を積み上げると図９（ａ）になる。この展開図の折り線は節点７５で折り畳み条件を満たし、かつ、第１のシート６８と第２のシート６９との対称２枚貼りの形であるから自動的に折り畳むことができる。すなわち、折り畳みの条件について何らの幾何学的な考察なしで折り畳み模型を作ることができる。展開図を図３（ｌ）〜（ｎ）の要領で中央の対称線（貼り合せ部７１）で折り返し糊付けすると図９（ｂ）の折紙模型となる。正方形断面の筒を稜線部７２対角方向（径方向）に押しつぶすと、表裏の山折り線７３および谷折り線７４で自然に折れ曲がり、一枚の短冊を折るように折り畳まれる優れた特性を示す。折り畳み後の折り畳み部での断面形は（正方形から）図９（ａ）の垂直方向のジグザグの折り線のなす角度で決まる縦長の菱形になる（図９（ｃ））。

図９（ｄ）に見るようにこの角筒はどの方向から見てもジグザグ形であり、その形は図９（ｅ）、図９（ｆ）に示すように４角筒を斜め方向に平行に切断し、逆方向に並べ変えたものである。実際、図９（ｇ）に示すように、一段分を上の隅で切り開き、図のようにこれらを数段交互に並べると、図９（ｈ）の展開図になり、これは図９（ａ）と（見掛けは異なるが）同じものである。この折り畳み模型の製作は極めて簡単で、この折り畳みの機構を理解・習得すれば誰もがより進化した折紙構造を自由に開発・デザインできるであろうと考える。 特に、図６に示す構成では、折り畳んだ状態で折り線で囲まれた帯板（１段分）の要素４つ分の面積に加えて、４つの帯板で囲まれた中央の空間の面積分が、折り畳み後の軸方向から見た面積となるが、図９（ｂ）に示す収納状態では、帯板の要素２つ分の面積が折り畳み後の軸方向から見た面積となる。よって、帯板の要素の面積が同一の場合、図９に示す本発明の構成の方が省スペース化が可能である。

（対称２枚貼り合せ法の制約）
図１０は対称２枚貼り合せ法の制約の説明図であり、図１０（ａ）は斜視図、図１０（ｂ）は図１０（ａ）の稜線部に沿って折った場合の断面図、図１０（ｃ）は図１０（ａ）の貼り合せ部に沿って折った場合の断面図、図１０（ｄ）は辺ＤＣを辺ＡＢの内側に食い込ませるように折り畳んだ場合の説明図、図１０（ｅ）は長方形断面の折り畳み構造物の説明図である。

上で述べた折り畳みモデルは図１０に示すように（ｉ）対称に貼り合わせた２枚の紙を（ｉｉ）垂直方向から押し潰すように折畳むため、（ｉ）、（ｉｉ）から生じる幾何学的な制約がある。最初の貼り合わせるための条件より、図１０（ａ）（ｂ）のように寸法を与えると、Ａ＋Ｄ＝Ｂ＋Ｃとなる。平坦に押し潰した状態の図１０（ｃ）ではＡ＋Ｂ＝Ｃ＋Ｄでなければならない。この２つの関係より「ＡとＣ、ＢとＤが等しくなければならない」ことが判る。これより、図１０（ａ）に示す正方形断面だけでなく、図１０（ｅ）のような任意の長方形断面形状の筒でもジグザグ折りができることが判る。図１０（ｄ）のように折り畳む場合にはＡ＋Ｄ＝Ｂ＋Ｃ、Ａ−Ｄ＝Ｂ−Ｃより、Ａ＝Ｂ、Ｃ＝Ｄが導かれる。この形の折り畳みは後述の例で述べるように限られた条件のもとで可能である。

（対称２枚貼り合せ法の発展形）
この対称２枚貼り合せ法では基本的に正方形断面形状の筒の設計に限られる。しかしながら、上述したように長方形断面の筒や図１０（ｄ）のように長さの違う場合も折り畳み可能な場合がある。また、展開図上で細工を施すことにより折り畳み可能な筒の断面形状の種類を少し増やすことができる。以下にそのような例を述べる。

（長方形断面の筒）
図１１は対称２枚貼り合せ法の発展形の説明図であり、図１１（ａ）は稜線部が一対の貼り合せ部の中央からズレた位置にある場合の説明図、図１１（ｂ）はのりしろ部分を有する展開図の説明図、図１１（ｃ）は図１１（ｂ）の構造物の斜視図および収納する途中の状態の説明図、図１１（ｄ）は図１１（ａ）よりも稜線部の位置をさらに偏らせた展開図、図１１（ｅ）は図１１（ｄ）の構造物の斜視図および収納途中の状態の説明図、図１１（ｆ）は筒の周方向に沿った折り線をジグザグにした場合の展開図、図１１（ｇ）は図１１（ｆ）の構造物の斜視図、図１１（ｈ）は図１１（g）の構造物を収納する途中の状態の説明図、図１１（ｉ）は図１１（ｆ）の要素の拡大説明図、図１１（ｊ）は図１１（ｉ）の４つの要素の長さの関係の説明図、図１１（ｋ）は図１１（ｆ）の構造物の１段分の要素が折り畳まれる場合の説明図、図１１（ｌ）は擬似六角筒の展開図、図１１（ｍ）は図１１（ｌ）の構造物の斜視図および収納途中の状態の説明図、図１１（ｎ）は図１１（ｍ）の構造物の断面図、図１１（ｏ）は図１１（ｎ）の状態から断面長方形の状態に変形した図、図１１（ｐ）は図１１（ｏ）の状態から径方向に折り畳む途中の状態の説明図である。

正方形断面の筒の展開図（図９（ａ））のジグザグの折り線を短冊の幅方向で不等分に分割し、貼りつける２枚の帯板を図１１（ａ）のように配置すると折り畳み可能な長方形断面形状の筒の模型を作ることができる。この図は中央線で折り返す展開図、図１１（ｂ）は２枚貼りの展開図で、折紙模型と折り畳みの様子を図１１（ｃ）に示す。極めて薄い筒を作る場合の展開図と模型、折り畳みの様子を図１１（ｄ）（ｅ）に示す。

（擬正４角断面筒）
平面折りで水平方向のみならず鉛直方向の折り線もジグザグにして折畳む方法がある。これを用いた展開図と折紙模型、折り畳みの様子を図１１（ｆ）〜（ｈ）に示す。図１１（ｉ）（ｊ）に示すように展開図は２種類の平行４辺形要素で構成され、折り線ＡＢとＡＣの長さを等しくとってもそれらの高さｐとｑは異なる（ｐ＜ｑ）。そのため折り畳まれる際には図１１（ｋ）および（ｈ）に示すように大きい平行４辺形を上にして「く」の字ハット形に折られ、その後、２つ折りされて平坦に折り畳まれる。これは図１０（ｄ）の折り畳みに対応する。

（擬６角断面筒）
図１１（ｌ）（ｍ）は疑似的な６角形断面の筒を作る展開図とその模型を示す。展開図は図１１（ａ）の長方形断面の展開図に筒の径方向の折り線（第２の稜線部７６）を付加したもので、図１１（ｍ）のように折り畳まれる。ここでは付加した折り線７６が蝶番のように作用し、正６角形断面を潰して長方形断面筒として、最終的に稜線部７２に沿って径方向に折り畳まれている（図１１（ｎ）〜（ｐ））。

（対称２枚貼り合わせ折り紙による応用構造）
ここまでジグザグ状に折り畳みのできる一様太さの直線状の筒の製作法とその特性などについて述べた。次に、これを基に湾曲する筒のジグザグの折り畳み法や巻き取って収納する方法、折り畳みのできる角錐状の筒のデザイン法について述べる。

（折り畳みのできる任意形状の４角筒のデザイン法）
図１２は対称２枚貼り合せ法による応用構造の説明図であり、図１２（ａ）は四角筒を斜めに切断した断面の説明図、図１２（ｂ）は図１２（ａ）とは異なる傾きで斜めに切断した断面の説明図、図１２（ｃ）は筒状の構造物の帯板の説明図、図１２（ｄ）は円環状の構造物の帯板の説明図、図１２（ｅ）は図１２（ｃ）の帯板を並べて配置した場合の説明図、図１２（ｆ）は図１２（ｄ）の帯板を並べて配置した場合の説明図、図１２（ｇ）は１２（ｄ）の帯板を構成する大径をジグザグ方向でなく同方向に並べた場合の説明図、図１２（ｈ）は図１２（ｅ）、図１２（ｆ）の構造物が折り畳まれる場合の説明図、図１２（ｉ）は図１２（ｇ）の構造物が巻き取られるように収納される場合の説明図、図１２（ｊ）は図１２（ｉ）とは異なる巻き取り方の説明図、図１２（ｋ）は図１２（ｇ）において長手方向の折り線の間隔を徐々に変化させた巻き取る場合の展開図である。

正方形の筒を対角の方向に斜めに切断すると、どのような角度で切断してもその切断面は机の上に隙間なく置かれる（図１２（ａ）（ｂ））。すなわち切断で得られる４辺は常に同じ平面上にあり、４角形の筒の断面の形が押し潰される過程においても平面を保つ特性がなくなることはない。これは同じ角度で切断した矩形の筒を対称につないでも、筒は自由に変形することができることを示す。このことより、折り畳みのできる種々の形の筒を設計する際には、筒をあたかも一枚の短冊で置き換たように考え簡便に取り扱うことができる。
前述のジグザグ状の（概略）直線的な筒は図１２（ｃ）に示される左端と右端が平行な要素のつなぎ合わせで作られ、円環状の筒は図１２（ｄ）のような左端と右端の傾きが異なる要素をつなぎ合わせて作ることが出来る。これらの展開図を各々図１２（ｅ）と図１２（ｆ）に示す。台形状に切断した要素を同方向に接合しても円弧状になる（図１２（ｇ））。

図１２（ｅ）（ｆ）のいずれの場合も基本的にジグザグ状であるから図１２（ｈ）のように積み重ねるように折り畳まれる。図１２（ｇ）のように同方向に曲がる場合には図１２（ｉ）（ｊ）のように巻き取るように収納することになるが、折り線を等間隔に設けると紙の厚みなどの影響で巻き取りが困難になる。また、折り線間隔の配置は丸めながら巻き取るのか、完全に平坦に折り畳みながら巻き取りたいのかでも異なる。図１２（ｋ）は長手方向の折り線の間隔を徐々に大きくして巻き取る形で平坦に折り畳むものの展開図の例を示したものである。

（任意形状の一様太さの筒）
次に、竹輪のように端を持つ閉じない筒とドーナツのような環状に閉じる筒に分類して述べる。筒の形状が自ら閉じて端がなくなると構造の変形の自由度が低減し、折り畳みの特性や機能が大きな影響を受けるためである。

（湾曲する両端が自由に変形できる閉じない筒）
図１３は湾曲する両端が自由に変改できない閉じない筒の説明図であり、図１３（ａ）は半円弧状の帯板を貼りあわせて作る折り畳み型の角筒の展開図、図１３（ｂ）は図１３（ａ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図、図１３（ｃ）は図１２（ｋ）を適用した構造物の展開図、図１３（ｄ）は図１３（ｃ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図、図１３（ｅ）は図１３（ａ）の構造物をＳ字クランク状につなぎあわせた構造物の展開図、図１３（ｆ）は図１３（ｅ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図、図１３（ｇ）は図１３（ｃ）の構造物をＳ字クランク状につなぎあわせた構造物の展開図、図１３（ｈ）は図１３（ｇ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図である。

図１３（ａ）（ｂ）は半円弧状の短冊を貼り合わせて作る折り畳み型の角筒の展開図、折紙模型とその折り畳みの様子である。図１３（ｃ）は円弧の一部を貼り合わせて作る巻き取り型の角筒の展開図で図１３（ｄ）に示すように３角形状に巻き取ったり、あるいはほぼ平坦に折り畳むように巻き取ったりすることが出来る。図１３（ａ）の半円形の筒をつなぎ合わせるとＳ字形のクランクの展開図になる。この展開図を図１３（ｅ）に、その折紙模型と折り畳みの様子を図１３（ｆ）に示す。この模型は両端からジグザグで平坦に折り畳むことができる。図１３（ｇ）は図１３（ｄ）の模型を繋ぎ合わせたものであり、図１３（ｈ）に示すように両端から巻き取る形で収納される。

図１４は螺旋形状の筒の説明図であり、図１４（ａ）はアルキメデス螺旋の説明図、図１４（ｂ）は螺旋形状の筒の展開図、図１４（ｃ）は図１４（ｂ）の構造物の斜視図、図１４（ｄ）は図１４（ｂ）の構造物の収納状態の図である。
上述したように筒を短冊や帯板に置き換えて設計する方法を用いると任意形状の筒を自由にデザインすることができる。この例として、市販の円形の丸型グラフ用紙を用い、アルキメデスの螺旋形状の筒の模型をデザインする方法を簡単な６角形を基本にして述べる（図１４（ａ））。円の中心０から６０°毎に設けた放射線でこの円を分割し、外周上の点Ａの半径を１とし、反時計周りに点Ｂ、Ｃ、Ｄ・・を放射線上に定め、それらの半径を０．９，０．８，０．７のように等差的に小さく描く。これらの点を結んだものを中央線８１（稜線部７２）とする。点Ｂ、Ｃ・・において∠ＡＢＣ、∠ＢＣＤ・・・を２等分する線分ＩＪ、ＫＬを引く。これは折り線が対称になるようにするためである。これらの２等分線上に線分ＡＧ、ＡＨ、ＢＩ、ＢＪ、ＣＫ、ＣＬの長さを等しく採って、点Ｇ、Ｈ、Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌ・・を定める。点Ｇ、Ｉ、Ｋ・・および点Ｈ、Ｊ、Ｌ・・を連ねて得る螺旋８２および８３（貼り合せ部分７１）を内周と外周としたものを展開図とする。このようにして得た展開図の例を図１４（ｂ）に示す。図１４（ｃ）に示す折紙模型は図１４（ｄ）のように４角形形状で巻き取られて収納される。

図１５は鉤形の筒の説明図であり、図１５（ａ）は折り線および貼り合せ部の説明図、図１５（ｂ）は鉤形の筒の展開図、図１５（ｃ）は図１５（ｂ）の構造物を筒状に立ち上げる前の図、図１５（ｄ）は図１５（ｃ）の構造物の筒状の状態の図、図１５（ｅ）は図１５（ｃ）の構造物を収納する途中の状態の説明図、図１５（ｆ）は図１５（ｅ）の状態から更に折り畳んだ状態の説明図、図１５（ｇ）は図１５（ｃ）〜図１５（ｆ）における断面積の推移の説明図である。
次に、より一般的な例として図１５（ａ）のような鉤形の筒を考える。ここでは、右端の点Ａから点Ｅまでジグザグ状に、この点Ｅから終点Ｋまで同方向に曲げた中心線８６が描かれている。外側の境界線８７と８８は８６と平行に描かれており、これらの境界線は、例えば、点Ｄ では∠ＣＤＥを２等分する線分で折り曲げられている。これを２枚貼りする展開図を図１５（ｂ）に示す。貼り合わせた状態の折り紙模型（図１５（ｃ））は断面が正方形の状態（図１５（ｄ））から（ｅ）を経て上部（図１５（ａ）における左側部分）が巻き取り型、下部（図１５（ａ）における右側部分）が折り畳み型で折畳まれる（図１５（ｆ））。

図１５に示す折り畳みの過程で矩形の管の断面積は変化する。この変化は図１５（ｇ）のようなサイン曲線で表され、最初の貼り付けた状態では断面積は０（状態Ｉ）、正方形のときに最大（状態ＩＩ）になり、折り畳まれた状態で０（状態ＩＩＩ）になる。これより折畳まれた状態あるいは巻き取りされた状態ＩＩＩで内部を加圧すると最大の断面積の状態ＩＩまで変化して立体になり、減圧で元に帰る。これより正方形断面状態あるいは折り畳まれた状態あるいは巻き取りされた状態に近い状態で端を閉じてプラスチック製品が成形できれば内部の減圧、あるいは加圧などで駆動できる機能を持つ大変形の可能な製品が作成できると考える。これについては後述する種々の模型ついても同じことが言える。

（ドーナツ状に環状に閉じた筒）
図１６は環状に閉じた筒の説明図であり、図１６（ａ）は環状の筒の展開図、図１６（ｂ）は図１６（ａ）の展開図を貼りあわせた状態の説明図、図１６（ｃ）は図１６（ａ）の構造物の筒状の状態の説明図、図１６（ｄ）は図１６（ｃ）の構造物を収納した状態の説明図、図１６（ｅ）は図１６（ａ）の構造物の内径をゼロにした環状の筒の展開図、図１６（ｆ）は図１６（ｅ）の構造物を収納した状態の説明図、図１６（ｇ）は図１６（ｆ）の状態から筒の軸方向に延ばした状態の説明図、図１６（ｈ）は図１６（ｇ）の状態から筒の断面積を最大にして筒の状態にした説明図、図１６（ｉ）は帯板が径方向に２重になった筒の展開図、図１６（ｊ）は図１６（ｉ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図、図１６（ｋ）は帯板が径方向に３重になった筒の展開図、図１６（ｌ）は図１６（ｋ）の構造物の筒状の状態および収納状態の説明図である。
図１７は環状に閉じた筒の説明図であり、図１７（ａ）は円弧状の部分と直線上の部分とが接合された楕円状の筒の展開図、図１７（ｂ）は図１７（ａ）の構造物の筒状の状態および収納した状態の説明図、図１７（ｃ）は図１７（ａ）の構造物の内径をゼロにした環状の筒の展開図、図１７（ｄ）は図１７（ｃ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の説明図、図１７（ｅ）は円弧状の部分と直線上の部分とを組み合わせたひょうたん型の筒の展開図、図１７（ｆ）は図１７（ｅ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の説明図、図１７（ｇ）は円弧状の部分と直線上の部分とを組み合わせた５弁花の筒の展開図、図１７（ｈ）は図１７（ｇ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の説明図である。

自由に変形できる端のない閉じた筒に折り畳みの機能を持たせるには自由端があるものと少し状況が異なり工夫を要する。図１６（ａ）〜図１６（ｄ）において、最初、中心角が３００°の円弧を対称２枚貼りでドーナツ状の角筒を作る場合を考える。３０°の要素を１０個つなげてジグザグとした展開図を図１６（ａ）に示す。図１６（ｂ）のよう貼り付け後、厚み方向に膨らしながら、左右端を差し込むように接合すると幾何学的な拘束から膨張する時には安定な構造（図１６（ｃ））になるが、容易に図１６（ｄ）のように折畳まれて小さく収納される折紙模型が作られる。
図１６（ｅ）は上の円環状の筒の内径を０にした模型を作る展開図である。ここでは半径の１／２の大きさの環状の山折り線を設け、この折り線で扇形が作る円錐を折り返している。最初、図１６（ｅ）を貼り合わせたものを図１６（ｆ）のように平坦に折り畳み、これを円周方向に広げてゆくと、円環が最も収縮した状態を示す図１６（ｇ）に変化させることができる。これを上から押し付けると大きな抵抗もなく図１６（ｈ）へと形を変える。この形は幾何学的な拘束で定まり、押しつけに対しては安定な構造である。

筒を２重の環状に並べるものや３重の折紙模型などが同じようにデザインできる。これらの展開図と折紙模型、折り畳みの様子を図１６（ｉ）〜（ｌ）に各々示す。このような模型も膨らませた時は安定で半径方向に収縮させて収納することができる。
図１７（ａ）〜（ｄ）のように円弧と直線の筒を繋ぐと概略楕円形の折紙模型や多重にした模型を作ることができる。また、円弧を部分的に反対方向に用いることで、ひょうたん形（図１７（ｅ）、図１７（ｆ））や５弁花（図１７（ｇ）、図１７（ｈ））のように変形した模型をつくることが出来る。

図１８は環状に閉じた筒の説明図であり、図１８（ａ）は図１６（ａ）の環状の筒において一部に直線部を設けた構造物の展開図、図１８（ｂ）は図１８（ａ）の展開図を張り合わせた状態および筒状の状態にした説明図、図１８（ｃ）は図１８（ｂ）の構造物を筒の径方向に閉じた状態の説明図、図１８（ｄ）は図１８（ｂ）の構造物を収納する途中の説明図、図１８（ｅ）は図１８（ｄ）の状態からさらに収納した状態の説明図、図１８（ｆ）はひょうたん型の一部に直線部を設けた構造物の展開図、図１８（ｇ）は図１８（ｆ）の構造物の筒状の状態の説明図、図１８（ｈ）は図１８（ｇ）の状態から筒の半径方向に閉じた状態および収納した状態の説明図、図１８（ｉ）は環状の筒において直線部を２箇所設けた構造物の展開図、図１８（ｊ）は図１８（ｉ）の構造物の貼り合わせた状態および筒状の状態の説明図、図１８（ｋ）は図１８（ｊ）の状態から筒の半径方向に閉じた状態および収納した状態の説明図である。

図１６、図１７では、半径方向に収縮させる標準的な折り畳み構造物を述べた。次に、折紙構造が持つ折り畳みの優れた特性を上手に活用して創出した閉じた筒の少しスマートな折り畳み方法を紹介する。図１８（ａ）は折り畳み可能な円環状の筒を作る展開図で、図のジグザグの円弧の一部に直線部９１を設けることで、この直線部９１に円弧部が吸い寄せられるように折り畳まれる。この展開図を貼り合わせ円弧の両端を糊付すると図１８（ｂ）のような環状の筒になる。この筒は最初、図１８（ｃ）のように簡単に折られ、図１８（ｄ）を経て、最終的に図１８（ｅ）のように想定外の形に折畳まれる。同じ手法で折り畳むことが出来るひょうたん形の構造物の展開図とこの構造物が折り畳まれる様子を図１８（ｆ）〜（ｈ）に示す。
図１８（ｉ）は展開図に直線部９１を２か所設けたもので、この展開図で作られる図１８（ｊ）に示す構造物は図１８（ｋ）のように設けた２つの直線部９１に挟まれるようにして平坦に折り畳まれてゆく。

図１９は環状に閉じた筒の説明図であり、図１９（ａ）は図１６（ａ）の環状の筒において外に凸状のハット部を２箇所設けた構造物の展開図、図１９（ｂ）は図１９（ａ）の構造物を筒状の状態にした説明図、図１９（ｃ）は図１９（ｂ）の構造物を筒の径方向に閉じた状態の説明図、図１９（ｄ）は図１９（ｂ）の構造物を収納する過程の説明図、図１９（ｅ）はハート形の筒の構造物の展開図、図１９（ｆ）は図１９（ｅ）の構造物の筒状の状態および収納した状態の説明図、図１９（ｇ）はハート形の肩部分に直線部を設けた筒の構造物の展開図、図１９（ｈ）は図１９（ｇ）の構造物の筒状の状態および収納した状態の説明図、図１９（ｉ）は一部に直線部を設けた円形環の展開図、図１９（ｊ）は図１９（ｉ）の構造物の筒状の状態の説明図、図１９（ｋ）は図１９（ｊ）の状態から筒の半径方向に閉じた状態および収納した状態の説明図である。

図１９(ａ)に示す展開図は上の構造物で用いた２つの直線部９２をハット形にし、平行４辺形と台形の要素を用いてジグザグの円弧をつないで作られている。この展開図で作られる図１９（ｂ）の構造物は図１９（ｃ）を経て図１９（ｄ）のようにハット部９２に挟まれて折り畳み収納される。
図１９（ｅ）は折り畳みのできるハート形の筒を作る展開図とその構造物を示したもので、ジグザグの円弧と直線のジグザグ折りを組み合わせたものを左右対称に配置したものである。この模型は図１９（ｆ）のように中央の対称軸に左右から押し付けられるように折り畳まれる。同じハート形の筒を作る別の展開図と構造物模型を図１９（ｇ）に示す。ここでは、円弧部とジグザグ折り部の間に直線部を設けたものを対称に配置している。この構造物は図１９（ｈ）のように、２つの直線部９１に挟まれるように折り畳まれる。

図１９（ｉ）（ｊ）は図１８（ｉ）の２か所設けた直線部９１に挟んで折り畳む構造物を基にして多重の円環にした展開図とその構造物で、図１９（ｋ）に示すように図１８（ｉ）の構造物と同じように問題なく良好に直線部９３に挟まれて平坦に折り畳まれる。
ここではいくつかの基本的な形状を例にその形状に対応した種々の折り畳み法を紹介し、あたかも一枚の短冊を折るように折り畳むことができることを述べた。

（正方形状に閉じた筒）
図２０は正方形に閉じた筒の説明図であり、図２０（ａ）は各筒を４５度の面で切断した場合の側面図および上面図、図２０（ｂ）は図２０（ａ）の展開図、図２０（ｃ）は図２０（ａ）の構造物を２つ接合するように配置した図、図２０（ｄ）は図２０（ｃ）の筒を接合した状態の角度関係の説明図、図２０（ｅ）は折り畳めない正方形状の閉じた筒の展開図、図２０（ｆ）は折り畳める正方形状の閉じた筒の展開図、図２０（ｇ）は図２０（ｆ）の構造物の筒状の状態の図、図２０（ｈ）は図２０（ｆ）の構造物を収納した状態の説明図、図２０（ｉ）は正方形の対角の角に直線部を配置した構造物の展開図、図２０（ｊ）は図２０（ｉ）の構造物の筒状の状態から収納される過程の説明図である。

図２０（ａ）に示すように垂直に置いた正方形断面の筒（一辺の長さ１）を軸方向と４５°の平面で対角線方向に切断すると、切断高さは√２となる。切断された筒の展開図は図２０（ｂ）のようになる。切断された角筒を２個つくり、図２０（ｃ）のように接合すると正方形断面の筒を直角につなぎ合わせることができる。図２０（ｂ）の展開図を用いると図２０（ｃ）のカド部は図２０（ｄ）のような曲がった短冊を２枚対称に貼り合わせて作ることでできる。これより正方形状に閉じた正方形断面の筒は図２０（ｄ）をつないだ図２０（ｅ）の展開図を貼り合わせて作ることができる。図２０（ｅ）の４辺部分を図９（ａ）のジグザグの平面折りで置き換えると、ジグザグ折りのできる閉じた角筒の展開図が得られる。これを図２０（ｆ）に、作られた構造物と折り畳みの様子を図２０（ｇ）（ｈ）に示す。
図１８、図１９で前述した２つの直線部９１に挟み込んで折り畳む手法を正方形状の筒に用いたものが図２０（ｉ）の展開図で、この構造物は図２０（ｊ）のように良好に折り畳まれる。

（角錐形の筒）
図２１は角錐形の筒の説明図であり、図２１（ａ）は対称２枚貼り合せの角錐の正面図、図２１（ｂ）は図２１（ａ）の角錐の斜視図、図２１（ｃ）は折り線が対象となるように設定した説明図、図２１（ｄ）は図２１（ｃ）において四角ＯＥＤＦを反転させた状態の図、図２１（ｅ）は図２１（ｄ）における角度関係の説明図、図２１（ｆ）は式（４−２）の説明図である。
平面の紙でモデル化できるもので残るものは円錐や角錐である。次に、対称２枚貼りによって４角錐筒の簡易折り畳み構造物を作る。図２１（ａ）のような頂角θの２等辺３角形２個からなる展開図を考え、これを対称に貼り合わせて角錐形状を作る。図は貼り合わせ時の状態を表し、これより図２１（ｂ）のような角錐の筒になる。図９（ｅ）（ｆ）の一様太さの筒の場合と同じように斜めに切断してジグザグにつなぐことを考える。折り畳まれた状態の図２１（ａ）の線分ＤＦで切断すると、線分ＤＥとＥＦの長さが異なるから、反転させてつなぐにはこのような直線の切断では不可能であることが判る。図２１（ｂ）の４角錐形に開いた状態を平面で切断しても同様にこの寸法の相違の問題は解決しない。

そこで図２１（ｃ）のように直線ではなく屈曲した線分ＤＥＦで切断することを考える。図の切断線より上の４角形ＯＤＥＦの左右を図２１（ｄ）のように反転させて連続させるためには、線分ＤＥとＥＦの長さが同じでなければならない。これを満たす条件を以下で導く。正弦定理によりＤＥ／ＯＥ＝sinθ／sin（１８０°−θ−β）、ＥＦ／ＯＥ＝sinθ／sin（１８０°−θ−α）が得られる。線分ＤＥとＥＦの長さ等しいとき、次式が成り立つ。
sin（1８０°−θ−β）＝sin（１８０°−θ−α） …式（４−１）
これより、β＝α、あるいは１８０°−θ−β＝θ＋αを得る。前者の場合は左右対称で図形は折れ曲がらないから、結局、後者の条件式でジグザグにつなぐ条件が与えられる。
２θ＋α＋β＝１８０° …式（４−２）

点Ｅ周りの角度を図２１（ｃ）のようにα〜δで表すと、上部の反転後の状態を示す図２１（ｅ）は折り畳みのための補角条件は、α＋δ＝β＋γ＝１８０°となる。この条件は図２１（ｃ）で点Ｏ、Ｅ、Ｂが直線上にある（α＋δ＝180°）から自動的に満たされる。
式（４−２）の幾何学的意味を示したものが図２１（ｆ）で、点Ｄの垂直線ＯＥに対する対称点をＦ′、点Ｅから辺ＯＦ′に引いた垂直線ＯＨを対称軸として、点Ｆが点Ｆ′に対称であるとすると∠ＯＥＤ＝β、∠ＯＥＦ＝αとなる。
図２１（ｃ）の切断法と式（４−２）を用いて、（ａ）概略直線状の角錐筒、（ｂ）湾曲した角錐筒のジグザグ形の折り畳み模型と（ｃ）湾曲した角筒を巻き取るように折る折り畳み構造物の例を以下に示す。

（（ａ） 概略直線状の角錐筒のジグザグ形の折り畳み）
図２２は概略直線上の角錐筒のジグザグ形の折り畳みの説明図であり、図２２（ａ）は各節点の位置や折り線の角度の説明図、図２２（ｂ）は図２２（ａ）において偶数段目を左右反転させた場合の説明図、図２２（ｃ）は図２２（ｂ）の方法を採用した折り畳み構造物の展開図、図２２（ｄ）は図２２（ｃ）の構造物の筒状の状態の説明図、図２２（ｅ）は図２２（ｄ）の構造物の収納途中の説明図、図２２（ｆ）は図２２（ｄ）の構造物の収納状態の説明図である。

式（４−２）でθ＝１０°、α＝８５°とすると、β＝７５°となる。図２２（ａ）で点Ｇ、Ｂ、Ｃを外周円上の点とし、点Ｂを起点に角度αとβを用いて切断線ＡＢＣを定める。次にこの切断線と平行に、切断線ＤＥＦ、ＨＩＪを円の中心に向かって描く。ここでは中心線ＯＢ上の起点Ｅ、Ｉ、Ｋの半径を０．８５，０．８５２，０．８５３と等比数列的に小さくしているが、基本的に起点の位置は自由に選ぶことができる。切断線で分割された領域を下(外周部)からＩ段目，ＩＩ段目、ＩＩＩ段目・・として、偶数段目の左右を逆転させて積み上げると図２２（ｂ）となる。この手順によって図２２（ｃ）のような展開図が得られる。図の右のパーツを裏返して貼りつけると図２２（ｄ）のような角錐の折り畳み構造物が得られ、これを左右から押しつけると図２２（ｅ）のように自動的にジグザグ凸凹に折られ最終的に図２２（ｆ）のように完全に折り畳まれる。

（（ｂ） 湾曲した角錐筒のジグザグ形の折り畳み）
図２３は湾曲した角錐筒のジグザグ形の折り畳みの説明図であり、図２３（ａ）は各節点の位置や折り線の角度の説明図、図２３（ｂ）は図２３（ａ）において偶数段目を左右反転させた場合の説明図、図２３（ｃ）は稜線部の傾斜角の説明図、図２３（ｄ）は図２３（ｂ）の方法を採用した折り畳み構造物の展開図、図２３（ｅ）は図２３（ｄ）の構造物の平面図、図２３（ｆ）は図２３（ｄ）の構造物の収納途中の説明図、図２３（ｇ）は巻き貝形の構造物の展開図、図２３（ｈ）は図２３（ｇ）の構造物の筒状の状態の図、図２３（ｉ）は図２３（ｇ）の構造物の収納状態の説明図である。

図２３において、ＩとＩＩ段目、ＩＩＩとＩＶ段目のように２つの段を一組にして取り扱う。θ＝５°にすると、α＋β＝１７０°となる。Ｉ段目の下辺の切断線ＡＢＣはα＝１１０°、β＝６０°、ＩＩ段目の切断線ＤＥＦをα＝９５°、β＝７５°とする。ＩＩＩ、ＩＶ段目は各々Ｉ、ＩＩ段目と同じ切断角として順次この組み合わせを繰り返す。これを示したものが図２３（ａ）で、ここではＩ、ＩＩＩ、∨段目の起点とする点Ｂ、Ｉ、Ｌ・・の半径は等比数列的に小さくなるよう１，０．８５，０．８５２・・とし、ＩＩ、ＩＶ・・の起点Ｅ、Ｋの半径を０．８５，０．８５×０．７・・とした。図２３（ａ）の偶数段目の左右を反転させたものが図２３（ｂ）で２つの段を組み合わせたものになっているから図２３（ｃ）に示すように、２つの段の組で角度（α−β）だけ折れ曲がって積み上げられ、その結果、螺旋状に配置された図２３（ｄ）が得られる。２枚の貼り合わせにより図２３（ｅ）のようなジグザグの折紙模型が得られ、これは図２３（ｆ）のように折られ、最終的に積み重なって平坦に折り畳まる。同じ手法で作られた巻貝状の模型の展開図と平坦に折り畳まれる様子を図２３（ｇ）〜（ｉ）に示す。

（（ｃ）湾曲した角筒を巻き取るように折り畳む折り畳み構造物）
図２４は湾曲した角錐筒を巻き取るように折り畳む構造物みの説明図であり、図２４（ａ）は各節点の位置関係の説明図、図２４（ｂ）は図２４（ａ）において各接点の角度関係の説明図、図２４（ｃ）は図２４（ａ）の偶数段を反転させた折り畳み構造物の展開図、図２４（ｄ）は図２４（ｃ）の展開図を貼り合わせた状態の図、図２４（ｅ）は図２４（ｃ）の構造物を筒状にした状態の図、図２４（ｆ）は図２４（ｄ）の構造物の収納途中の説明図、図２４（ｇ）は図２４（ｄ）の構造物の収納状態の説明図、図２４（ｈ）は頂角が小さい角錐筒の展開図、図２４（ｉ）は図２４（ｈ）の展開図を貼り合わせた状態の図、図２４（ｊ）は図２４（ｈ）の構造物を収納する過程の説明図である。

切断角α、βやθを図２２（ａ）と同じ値にして、切断の方向を一段毎に逆方向に行う例を示す。切断して得られる領域を上述の例と同じように下からＩ、ＩＩ、ＩＩＩ、・・とし、偶数段目の下辺の切断角をα＝７５°、β＝８５°に、奇数段目の下辺のそれらをα＝８５°、β＝７５°にして得た図形が図２４（ａ）である。図２４（ｂ）はその拡大図である。図２４（ａ）の偶数段の左右を反転させて積み上げると図２４（ｃ）の展開図になる。これを貼り合わせたものが図２４（ｄ）で、この模型は図２４（ｅ）のように丸まり、図２４（ｆ）のように３，４角形状あるいは図２４（ｇ）のように丸めながら完全に平坦に折り畳むことができる。
図２４（ｈ）〜（ｊ）に示されるように、頂角の小さな角錐の場合は上述の例以上に容易に丸めながら折りで平坦に折り畳むことができる。頂角が大きな角錐になると平坦に折り畳める展開図の作図が幾何学的に窮屈になるため、この巻き取り法は頂角が大きな角錐の設計には不向きである。

（反転型の等角螺旋状折り線を用いた近似設計法）
図２５は近似設計法の説明図であり、図２５（ａ）は等角螺旋に基づく折り線を描く方法の説明図、図２５（ｂ）は反転型等角螺旋に基づく折り線を描く方法の説明図である。
前述したように、角錐筒の設計法は数理的に厳密なものであるが、習熟するまで作業が面倒で容易さが要求される物づくりの観点から問題が残るように考える。ここでは等角螺旋による近似作図法を述べる。円形のグラフ用紙を用意し、図２５（ａ）に示すように周辺に点Ａ、Ｂ、Ｃを等角度で定める（図では１５°）。中心をＯ、円の半径を１とする。点Ａから反時計周りに５°ずつ回転した半径上に点Ｄ、Ｇ・・を定める。ここでは、点Ｄ、Ｇ・・の半径を０．８，０．８^２、０．８^３、・・のように０．８倍で等比数列的に小さくしている。点Ａ、Ｄ、Ｇ・・は等角螺旋上にある。何故なら、これらを結んだ曲線は各点で半径方向と同じ角度になるからである。点Ｂ、Ｃからも同様の螺旋を描く。

図２５（ａ）において、ゆがんだ４辺形を外側からＩ、ＩＩ、ＩＩＩ、ＩＶとして、ＩＩ、ＩＶを逆方向にすると図２５（ｂ）になる。この半径方向のジグザグ線を反転螺旋と呼び、ジグザグ幅を振り角θと名付けた。この反転螺旋図を描く場合には、円形のグラフ用紙の外周部（半径１）に点Ａ、Ｂ、Ｃを定め、基準とする半径ＯＡ、ＯＢ、ＯＣを描く。次に、任意の小さな角θだけずらせて半径ＯＤ、ＯＥ、ＯＦを引き、半径０．８（＝ｒ）の点Ｄ、Ｅ、Ｆ・・を打つ。元の半径に戻って半径０．８^２（＝ｒ２）で点Ｇ、Ｈ、Ｉ・・を定める。この行き来を繰り返しながら半径を０．８^３、０．８^４・・と中心に向かって小さくして打点してゆくと所望するジグザグの折り線図が得られる。

図２３では厳密に折り畳み条件が成立するよう折り線を定めたが、この反転型の等角螺旋状折り線を用いると振り角θ分だけ平坦に折り畳む条件を満たさない。しかしながら、θを小さな値、例えば１〜３°に選択すれば紙やプラスチック材などの柔らかい材料では折り畳みに問題が生じることはほとんどない。θ値が小さいほど直線に近い折り畳み構造になるため、実用的には極めて簡便でこの等角螺旋法による設計法を推奨したい。

図２６は近似設計法で作製した折り畳み構造物の説明図であり、図２６（ａ）は頂角を１０度に設定した折り畳み構造物の展開図、図２６（ｂ）は図２６（ａ）の構造物を筒状に立ち上げた状態の図、図２６（ｃ）は図２６（ｂ）の構造物を収納する途中の状態の説明図、図２６（ｄ）は図２６（ｂ）の構造物を収納した状態の説明図、図２６（ｅ）は頂角を４０度に設定した折り畳み構造物の展開図、図２６（ｆ）は図２６（ｅ）の構造物を筒状に立ち上げた状態の図、図２６（ｇ）は図２６（ｅ）の構造物を径方向に閉じた状態の説明図、図２６（ｈ）は図２６（ｅ）の構造物を収納した状態の説明図、図２６（ｉ）は頂角を８０度に設定した折り畳み構造物の展開図、図２６（ｊ）は図２６（ｉ）の構造物を筒状に立ち上げた状態の図、図２６（ｋ）は図２６（ｉ）の構造物を収納した状態の説明図、図２６（ｌ）は図２６（ｅ）の展開図を頂角で繋いだ折り畳み構造物の展開図、図２６（ｍ）は図２６（ｌ）の構造物を筒状に立ち上げた状態の図、図２６（ｎ）は図２６（ｌ）の構造物を収納する過程の説明図である。

上述の誤差１〜２％を許容して作った折り畳み構造物を図２６に示す。片面の頂角１０°の扇形に反転型等角螺旋の等比数列の公比（縮小率ｒ）を０．８５とし、振り角θを０．５°として描いた展開図を図２６（ａ）に、これを２枚貼りして得た折紙模型と折り畳まれる様子を図２６（ｂ）〜（ｄ）に示す。角筒の場合と同じように短冊を折るように極めてスムーズに折り畳まれる。
図２６（ｅ）に片面の頂角４０°の扇形に螺旋の縮小率を０．８、振り角２°で描いた展開図を、図２６（ｆ）〜（ｈ）にその折紙模型と折り畳まれる様子を示す。図２６（ｉ）に片面の頂角８０°の扇形に螺旋の縮小率を０．８、振り角２°で描いた展開図を、図２６（ｊ）（ｋ）に折紙模型と折り畳みの様子を示す。図２６（ｌ）に２つの角錐を頂点でつないだときの展開図、その折紙模型を図２６（ｍ）（ｎ）に示す。

（螺旋形状の角筒の簡便なデザイン法）
図２７は螺旋形状の角筒のデザイン法の説明図であり、図２７（ａ）は稜線部および貼り合せ部の説明図、図２７（ｂ）は図２７（ａ）において稜線部等がジグザグになるように設定する場合の説明図、図２７（ｃ）は図２７（ａ）の方法で作製した折り畳み構造物の展開図、図２７（ｄ）は図２７（ｃ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の図、図２７（ｅ）は図２７（ｂ）の方法で作製した折り畳み構造物の展開図、図２７（ｆ）は図２７（ｅ）の構造物を筒状にした状態および収納した状態の図である。

次に市販の円形グラフ用紙を用い、角錐状の筒をデザインする方法を図２７（ａ）を用いて述べる。一例として６角形を基本にし、円の中心０から６０°の放射線で円を分割する。外周上の点Ａの半径を１とし、反時計周りに点Ｂ、Ｃ、Ｄ・・を放射線上に定め、それらの半径を０．８、０．８^２、０．８^３のように等比的に小さくとる（公比ｒ＝０．８）。これらの点を結んだものを中心線１０１とする。点Ｂ、Ｃ・・において∠ＡＢＣ、∠ＢＣＤの２等分線ＦＪ、ＧＫを引く。ここで、点Ｆ、Ｇの半径を点Ｂ、Ｃのそれらより１５％大きくとる（幅拡大比ｓ＝１．１５）。すなわち、それぞれの半径は１．１５×０．８，１．１５×０．８^２である。点Ｂ、Ｃが中点となるよう線分ＦＪ、ＧＫを定め、∠ＩＡＢ=∠ＪＢＣとなる線分ＥＩを点Ａに引く。点Ｅの半径を１．１５とし、点Ａが中点になるよう点Ｉを定める。点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌ・・と点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ・・を連ねた１０２，１０３が展開図の内周と外周を与える。このようにして得た展開図を図２７（ｃ）に示す。図２７（ｄ）に見られるようにこの折紙模型は巻き取る形で折り畳まれる。

図２７（ａ）をジグザグにする場合の例を図２７（ｂ）に示す。円の中心０から３０°の放射線で円を分割し、外周上の点Ａ（半径１）から、反時計周りに点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ・・を放射線上に定める。ここで、一つ飛びの点Ａ、Ｃ、Ｅ・・の半径を１，０．８（＝ｐ）、０．６４（＝ｐ^２）のように等比的に小さくなるよう定める。次に、これらの点の中央の点Ｂ、Ｄ、Ｆ・・の半径を０．７５（＝ｑ）、０．６（＝ｐｑ）、０．４８（＝ｑｐ^２）、０．３８４（＝ｑｐ^３）のように（ジグザグになるよう）小さく選ぶ。これらの点を結び中心線１０１′とする。先のモデルと同じように、点Ｂ、Ｃ・・において∠ＡＢＣ、∠ＢＣＤ・・の２等分線ＩＪ、ＫＬ・・を引き、ジグザグ状の展開図の内周１０２′と外周１０３′を定める。図では外周の点Ｈ、Ｊ、Ｌ・・は中心線１０１′を形作る点Ａ、Ｂ、Ｃ・・の半径のそれらより２５％大きくしている。このようにして得た展開図を図２７（ｅ）に、その折紙模型はジグザグ型のため平坦に折り畳まれる（図２７（ｆ））。

（角錐筒の突合せ接合）
図２８は角錐筒の突き合わせ接合の説明図であり、図２８（ａ）は角筒の一端を斜めに切断した展開図、図２８（ｂ）は頂角が１０度の角錐の外端を斜めに切断した展開図、図２８（ｃ）は頂角が３０度の角錐の外端を斜めに切断した展開図、図２８（ｄ）図２８（ａ）の展開図を２枚対称に貼り合わせた折り畳み構造物の斜視図、図２８（ｅ）図２８（ｂ）の展開図を２枚対称に貼り合わせた折り畳み構造物の斜視図、図２８（ｆ）図２８（ｃ）の展開図を２枚対称に貼り合わせた折り畳み構造物の斜視図、図２８（ｇ）は図２８（ｄ）〜（ｆ）の構造物の四隅の点が同一平面上にないことの説明図、図２８（ｈ）は図２８（ｅ）の構造物と図２８（ｆ）の構造物を組み合わせた構造物の説明図、図２８（ｉ）は図２８（ｈ）において断面が正方形になるように接合線ＡＣで切断した上側部分の構造物の展開図、図２８（ｊ）は図２８（ｈ）において断面が正方形になるように接合線ＡＣで切断した下側部分の構造物の展開図、図２８（ｋ）は図２８（ｊ）の構造物を筒状にした状態で接合した図、図２８（ｌ）は図２８（ｋ）の構造物の展開図である。

図２８（ａ）〜（ｃ）は４角形の筒および頂角の異なる２種類の角錐筒の展開図を２枚貼り合わせた状態で下部を水平方向と２０°で切断したものである。これらを左右から押し付けて断面を正方形の状態にした４角筒、４角錐筒の側面の様子は各々図２８（ｄ）〜（ｆ）のようになる。図２８（ｄ）の４角筒の場合（頂角θ＝０°）には４隅の点Ａ〜Ｄは筒の断面の形を変えても常に一つの平面上にある。これが前章で述べた切断してつなぐ模型の容易な変形と折り畳みを担保している。一方、角錐の場合には図２８（ｅ）（ｆ）から判るように４隅の点Ａ、Ｂ′、Ｃ、Ｄ′は同一平面上にはなく、図２８（ｇ）に模式的に示すように中央の点Ｂ′やＤ′で凹んだ位置にくる。断面形状を変えるとこの凹み量が変化し、凹み量は頂角θが大きなものほど顕著である。

図２８（ｈ）のようにθが１０°と３０°角錐を組み合わせで作られた段付きの展開図を貼り合わせた模型の挙動を上述の角錐の幾何学的特性に留意して以下で検討する。図２８（ｉ）と（ｊ）は図２８（ｈ）を接合線Ａ−Ｃで切断し、その上部分と下部分を各々２枚貼りして、断面を正方形にしたときの側面の様子を模式的に示したものであり、上部（図２８（ｉ））の下辺ＡＢＣと下部（図２８（ｊ））の上辺ＡＢＣの形には明らかな相違が生じる。これは図２８（ｈ）のようなパーツを２枚貼りしても面の大きな曲がりを許容しない限り立体化して筒状には出来なことを意味する。また、図２８（ｋ）のように、頂角の大きな角錐の底部分を突合せて接合した展開図の場合も、図２８（ｌ）のように接合部に大きな隙間が生じるため、このような形状の２枚貼り模型も面の曲りなしに立体化や折り畳みができない。

図２９は角錐の頂角側の部分を突き合わせた構造物の説明図であり、図２９（ａ）は突き合わせ部分の傾斜角が２０度の構造物の展開図および折った状態の図、図２９（ｂ）は突き合わせ部分の傾斜角が６０度の構造物の展開図および折った状態の図、図２９（ｃ）は突き合わせ部分に切れ込みを入れた構造物の展開図および折った状態の図である。
上述のように、頂角の異なる角錐筒を接合して接合面で折り畳める模型を作ることは幾何学的観点からは不可能であると考えられる。しかしながら、種々の折紙模型を作ると図２９（ａ）（ｂ）のように頂角の小さな角錐を頂点方向に突合せて接合した場合や頂角の大きな角錐であっても少し曲がった状態で突き合わせて接合した場合には、折り畳み時に（平）面が相応に湾曲し簡単に折り畳める場合がある。そのため、紙や布のように柔らかな素材を用いた製品のデザインにおいては、実用的観点から上述の幾何学的な議論はその意味を失う。また、服飾品などのデザインの場合には図２９（ｃ）のように上部に切込みを入れる作品も多く、このような場合には上述の幾何学的な拘束の問題が氷解してしまう。

（２枚貼り合わせによるＴ字分枝とY字分枝の折り畳み）
図３０は２枚貼り合せによる分枝の折り畳みの説明図であり、図３０（ａ）は折り畳み可能なＴ字の分枝構造の展開図、図３０（ｂ）は図３０（ａ）の展開図を貼り合せた状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｃ）は図３０（ａ）の両袖部分を下がり気味にした折り畳み可能な矢印型の分枝構造の展開図、図３０（ｄ）は図３０（ｃ）の展開図を貼り合せた状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｅ）は図３０（ａ）の袖部が支えの筒部よりも太い折り畳み不能な分枝構造の展開図、図３０（ｆ）は図３０（ｅ）に補助折り線を形成した折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｇ）は図３０（ｆ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｈ）は袖部が支えの筒部よりも細い場合に補助折り線を形成した折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｉ）は図３０（ｈ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｊ）は袖部を台形にした折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｋ）は図３０（ｊ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｌ）は両袖部分を上がり気味にした折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｍ）は図３０（ｌ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｎ）は図３０（ａ）において切り込みを入れた折り畳み可能な分枝構造の展開図、図３０（ｏ）は図３０（ｎ）の構造物の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｐ）は図３０（ｋ）において切り込みを入れた折り畳み可能な分枝構造の筒状の状態と収納する途中の状態の図、図３０（ｑ）は図３０（ｍ）において切り込みを入れた折り畳み可能な分枝構造の筒状の状態と収納する途中の状態の図である。

図２９で前述した突き合わせ構造の発展形として、ここでは左右対称のＴ字やＹ字形の分枝構造の折り畳みを考える。図３０（ａ）（ｂ）はＴ字の横棒（袖部１１１）と垂直の支えの筒部分１１２が同径のＴ字分枝の展開図と２枚貼りによる折紙模型で水平の両袖１１１が垂直の筒部１１２に沿うように折り畳まれる例を示したものである。このように折り畳むためには、袖部１１１と支え筒１１２の脇から描かれた谷折り線が脇の角度を２等分するよう設けることが必要である。これについては後述する。
このような構造の折り畳みは幾何学的な拘束を強く受け、模型が折り畳めるのは素材の柔軟性に因る。折り畳めるか否かの判定は多分に主観的なものであるため、ここではグラフ用紙程度の厚さの紙で作られた模型が破損なく折り畳まれるか否かを一つの目安とする。どのような模型が折り畳めるのかを数理的に明らかにするのは現状では容易なことではないため試行錯誤的な取扱いになる。以下にこのような模型の折り畳みの例を述べる。

図３０（ｃ）（ｄ）のように両袖部分１１１を少し下がり気味にした２枚貼りの構造物も容易に折り畳まれる。図３０（ｅ）は袖部１１１が支えの筒部分１１２より太い場合で、この模型を折り畳むことはできないが、図３０（ｆ）の展開図のような補助折り線１１３を設けると、分枝中心付近の折り目が移動することで辛うじて折り畳まれる（図３０（ｇ））。
図３０（ｈ）は袖部１１１が垂直の支えの筒部分１１２より細い場合で図に設けた補助折り線１１３で図３０（ｉ）のように、また、袖部１１１を台形した場合も図３０（ｊ）のような補助折り線１１３を用いると、図３０（ｋ）のように良好に折り畳まれる。両袖１１１の上がったＴ字分枝の折り畳みは困難であるが、図３０（ｋ）のように補助折り線１１３を上手に設けると折り畳むことが出来る。このような例から「曲げられるＴ字の横棒（袖部１１１）が支え１１２に対して（分枝中心付近で）細いものや下がり気味の構造物は直接あるいは補助折り線１１３を適切に導入することで折り畳むことが出来るが、太くなるほど難しくなる」と大まかにまとめることができる。

上述した構造物を厚紙や高分子材などで作ると折り畳むのは容易なことではない。このような場合には切込み１１４を入れることで簡便に折り畳むことができる。図３０（ｎ）は上の基本の模型の中央に幅の半分だけ上から切込みを入れたもので、図３０（ｏ）のように容易に折り畳まれる。図３０（ｐ）（ｑ）はＴ字の袖部１１１と支え部１１２を台形にした場合とＹ字の全ての部分を台形にした場合である。これらの構造物を折り畳むことは不可能ではあるが、切り込み１１４を設けることで折り畳みが極めて容易になる。このため、切込み法は実用性に富んだ簡便法として一つの有用な手法になると考える。
図３０ではＴ字とＹ字分枝型の袖部分の可動性を検討し、補助折り線１１３を設けて折り畳む方法や切込み１１４を入れる簡便方法を述べた。しかしながら、両袖１１１と支え部１１２を一体化して平坦に折りに畳むためには、展開図が次に述べる幾何学的な条件を満たしていなければならない。

図３１は分枝構造の幾何学的な説明図であり、図３１（ａ）は対称２枚貼りのＴ字構造の右半分の展開図、図３１（ｂ）は図３１（ａ）を折り畳んで矢印ＸＸＸＩＢ方向から見た図、図３１（ｃ）は図３１（ａ）の小周防物を完全に折り畳んだ状態の図、図３１（ｄ）は切れ込みを入れる条件の説明図である。
図３１（ａ）は対称２枚貼りのＴ字模型の右半分の展開図を示したものである。この模型を折って図３１（ａ）の左方向（矢印ＸＸＸＩＢ方向）から見ると図３１（ｂ）のようになっている。完全に折り畳んだ状態を示したものが図３１（ｃ）である。袖部１１１を平坦に折り畳んだとき、鉛直方向の筒の稜線BCが中央に来て左右の連続性を保つためには図３１（ａ）の展開図で「∠ＡＢＣ、すなわち袖部１１１と支えの筒１１２がなす脇の角を谷折り線ＢＤが２等分するように定めねばならない」。これが基本となる条件である。図３０で示した全ての模型はこの条件を満たすように引いた谷折り線で折紙模型が作られている。

第２の条件は谷折り線を引いたことから生じる問題で、図３１（ｄ）で谷折り線ＢＤの左の上端の点Ｄが水平方向の筒の稜線１２１より下に来る場合はこの点Ｄまで切込むことが必要である。図３１（ｄ）のように点Ｄが稜線１２１より上にあると線分ＥＤに切込みを入れても折り畳むことはできない。これについては後述する。

（分枝構造を用いた応用構造）
分枝構造を組み合わせると平面を特定の模様で埋め尽くす網目模様が作られる。この構造に折り畳みの機能を持たせると大きな構造を効率よく収納できる構図物が設計出来る。次に、このような折り畳み構造や分枝構造を改良して基礎的な立体構造物を作ることを２枚貼りの折紙手法で考える。

（Ｔ字分枝およびＹ字分枝の連結構造）
図３２は分子構造を用いた応用構造の説明図であり、図３２（ａ）はＴ字分枝を連結させた網目状の筒構造の展開図、図３２（ｂ）は図３２（ａ）の構造物を筒状にした図、図３２（ｃ）は図３２（ｂ）の構造物の要部拡大図、図３２（ｄ）は図３２（ｂ）の構造物を収納する途中の図、図３２（ｅ）は図３２（ｄ）の状態からさらに収納した状態の図、図３２（ｆ）はＹ字分枝を連結させた網目状の筒構造の展開図、図３２（ｇ）は図３２（ｆ）の構造物を筒状にした図、図３２（ｈ）は図３２（ｇ）の構造物の要部拡大図、図３２（ｉ）は図３２（ｇ）の構造物を収納する途中の図、図３２（ｊ）は図３２（ｉ）の状態からさらに収納した状態の図、図３２（ｋ）は図３２（ｃ）の切れ込みをＶ字状にして支え部分に棒を貫通させた状態の説明図である。

図３２（ａ）のＴ字分枝を連結させると網の目状の筒状構造になる。その展開図、筒状に立ち上げた状態を各々図３２（ａ）（ｂ）に示す。ここでは、変形を可能にするため分枝の中心上部に切込み１１４を設けた（図３２（ｃ））。これは図３２（ｄ）を経て図３２（ｅ）のように折り畳まれる。
Ｙ字分枝を連結した展開図、筒状に立ち上げた状態、切込み１１４の様子を図３２（ｆ）〜（ｈ）に示す。折紙模型は正６角形模様が連なった筒状構造になり、図３２（ｉ）（ｊ）のように変形する。これらは筒部材を蝶番でつないだ構造で、切り込み部分１１４が蝶番の働きをする。そのためプラスチックなどで製品化した際には耐久性などの問題があるが簡便ゆえの利便性は大きいと考えている。図３２（ｃ）の切込み１１４を∨字形にして図３２（ｋ）のように丈夫な棒１１６を差し込んで貫通させると、碁盤目のメッシュ構造になり、工事現場や園芸用品などで収納効率の良い組み立て式の製品になると期待される。

（分枝モジュールの折り畳み構造物）
図３２では分枝の中心部分の一部に切込みを入れて蝶番機能を持たせて折り畳む方法を述べた。ここでは切込みをなくし、分枝構造の枝の部分を長くしてこれに折り畳み機能を持たせるモジュールと名付けた部品を２枚貼り手法で製作し、これらを接合して大きな構造を作る方法について述べる。このような部品は高分子材料で簡単に成型できるため、端末を閉じて空気や水圧で構造全体を収縮・展開(拡張)させることを考えている。

（Ｙ字モジュール）
図３３はＹ字状の分枝モジュールの説明図であり、図３３（ａ）は分枝の中心部が六角形のＹ字分枝構造の展開図、図３３（ｂ）は図３３（ａ）に貼り合せられる対称の展開図、図３３（ｃ）は図３３（ａ）、図３３（ｂ）の展開図を貼り合わせて作成された構造物の図、図３３（ｄ）は図３３（ｃ）のモジュールを６つ連結して作成された構造物の図、図３３（ｅ）は図３３（ｄ）の構造物が収納された状態の図、図３３（ｆ）は図３３（ｄ）の構造物が連結された網目状の構造物の図、図３３（ｇ）は図３３（ａ）とは異なる折り線を有する分枝構造の中心部の説明図、図３３（ｈ）は図３３（ｇ）の中心部の折り線の説明図、図３３（ｉ）は図３３（ｇ）の構造物を収納した状態の図である。

図３３（ａ）（ｂ）は分枝の中心部１３１を６角形で作ったものの表裏１対の展開図とその構造物でＹ字モジュール１３２と呼ぶ。この構造物の枝部分１３３は図３３（ａ）（ｂ）に基づく折り畳みのできるものでジグザグの数と周期長は自由に選べるため枝部１３３の長さに制限はない。図３３（ｄ）は６個つないで正６角形を作ったもの、図３３（ｆ）はこのモジュール１３２を更につないで網目構造を作ったもので、図３３（ｄ）の正６角形のモジュール１３２は図３３（ｅ）のように小さく収納される。図３３（ｇ）は分枝の中心部１３１が図３３（ｈ）のように図３３（ａ）とは異なる展開図によるもので、図３３（ｉ）のように収納される。

（十字モジュール）
図３４は十字状の分枝モジュールの説明図であり、図３４（ａ）は分枝の中心部が八角形の十字分枝構造の展開図、図３４（ｂ）は図３４（ａ）の展開図を貼り合わせて作成された構造物の図、図３４（ｃ）は図３４（ｂ）の構造物が収納される途中の図、図３４（ｄ）は図３４（ｂ）のモジュールを４つ連結して作成された網目状の構造物の図、図３４（ｅ）は図３４（ｄ）の構造物が収納された状態の図、図３４（ｆ）は図３４（ａ）とは異なる折り線を有する分枝構造の中心部の折り線の説明図、図３４（ｇ）は図３４（ｆ）の中心部を有する網目状の構造物の説明図、図３４（ｈ）は図３４（ｇ）の構造物を収納した状態の図である。

図３４（ａ）〜（ｃ）は分枝の中心部を８角形にした４本枝の分枝モデルの展開図とその模型、および枝部１３３′が折られる様子を示したものである。これを十字モジュール１３２′と名づける。枝部１３３′が折り畳まれた時、モジュール１３２′の中心部１３１′は上面図が正方形の直方体状になる。図３４（ｄ）はこれを連ねて作った網目構造の基本要素で図３４（ｅ）のように折畳まれて収納される。分枝の中心部１３１′を図３４（ｆ）のような展開図に変えることもでき、これによって作られた網目構造と収納の様子を図３４（ｇ）（ｈ）に示す。

（亀の子モジュール）
図３５は亀の子型の分枝モジュールの説明図であり、図３５（ａ）は分枝の中心部が１２角形の亀の子分枝構造の展開図、図３５（ｂ）は図３５（ａ）の展開図を貼り合わせて作成された構造物の図、図３５（ｃ）は図３５（ｂ）のモジュールを７つ連結して作成された網目状の構造物の図、図３５（ｄ）は図３５（ｃ）の構造物が収納される途中の図、図３５（ｅ）は図３５（ｃ）の構造物が収納された状態の図、図３５（ｆ）は図３５（ａ）とは異なる折り線を有する分枝構造の展開図、図３５（ｇ）は図３５（ｆ）の展開図を貼り合わせて作成された構造物の筒状の状態および収納される過程の図、図３５（ｈ）は図３５（ｇ）のモジュールを３つ連結して作成された網目状の構造物の図、図３５（ｉ）は図３５（ｈ）の構造物が収納される途中の図である。

図３５（ａ）は分枝の中心部が１２角形の亀の子（亀の甲）モジュール１３２″と名づけた分枝構造の展開図で、その折紙模型を図３５（ｂ）に示す。図３５（ｃ）〜（ｅ）はこれをつないで作った正３角形による平面充填模様の網目構造と枝部１３３″が折り畳まれて効率よく収納されることを示したものである。図３５（ｆ）〜（ｉ）は枝部１３３″を長くしたモジュールの展開図とその模型、これをつないだ模型の折り畳みの様子を示したものである。

（概略対称のパーツの貼り合わせによる構造物）
次に、以下では、正４面体や正６面体などのプラトンの正多面体の稜線がなす骨格構造やそれらの折り畳み構造を外側と内側のパーツで置き換え、それらを貼り合わせる２枚貼り方法を用いて作る。外側のパーツの展開図を基本に、折り返しのための折り線を付加した展開図を内側パーツとして用いるため「概略」対称貼り合わせとした。ここでは、（ｉ）頂点に集まる稜線を枝と考え、この集まりを分枝構造(分枝モジュールと呼ぶ)と見て、これらをつないで多面体を作る方法と、（ｉｉ）一体化した展開図を貼り合わせて構造を作る２つの方法を述べる。前者はプラスチックなどで成形した部品をつないで製品を作ることを考えたものであり、後者は折紙的な方法によるものづくりを考えている。

（正４面体）
図３６は正４面体の構造物の説明図であり、図３６（ａ）は正４面体の稜線部分の断面の説明図、図３６（ｂ）は図３６（ａ）を折り畳んだ場合の説明図および四面体の展開図、図３６（ｃ）は正４面体の稜線部分の外側のパーツの展開図、図３６（ｄ）は正４面体の稜線部分の内側のパーツの展開図、図３６（ｅ）は正４面体の角の部分の拡大図、図３６（ｆ）は図３６（ｃ）、図３６（ｄ）の展開図から構造物を組み立てる途中の状態の図、図３６（ｇ）は図３６（ｆ）の構造物が完成した状態の図、図３６（ｈ）は図３６（ｇ）の構造物の角を折り畳んだ状態の図、図３６（ｉ）は図３６（ｈ）の角の部分の拡大図である。

まず、正４面体の６本の稜線部分１４１を４角形断面の筒にした骨格構造を２枚貼り手法でデザインする。次に、これを基に折り畳むことができる正４面体の骨格構造を作る。図３６（ａ）はこの製作法を概念的に示したもので稜線部１４１を外側と内側の２つのパーツ１４２，１４３からなる４角形断面の筒とし、正４面体の頂点部分１４４は図３６（ｂ）に示すように内側のパーツ１４３の展開図に折り返しのための谷折り線１４６を設けたものにする。
６本の稜線部分を４角形断面の筒にした構造を示したものが図３６（ｃ）（ｄ）で各々が外側パーツ１４２と内側パーツ１４３に対応し、頂点部１４４は図３６（ｅ）に示すように半平面１８０°を９等分して３本の稜線部分１４１を配置したもので、デザインの手法は、図３３〜図３５のモジュール中心部１３１，１３１′，１３１″と同じ考えに基づいている。

パーツ１４２，１４３の相違は内側パーツ１４３には折り返しのため中心軸と８０°で交差する谷折り線１４６が追加して設けられていること（図３６（ｅ））と糊しろ部が付与されていることである。図３６（ｃ）を折ると図３６（ｆ）になり、図中の点ＥとＦを貼り合わせると図３６（ｇ）に示すように正４面体の外側部分になる。図３６（ｄ）を折ると図３６（ｈ）の内側部分が作られる。図３６（ｉ）に内側パーツ１４３の頂点部１４４の拡大図を示す。製作手順は内外パーツ１４２，１４３を貼り合わせた後、最後にＥ−Ｆ部を結合すると作りやすいように思われる。

図３７は折り畳み可能な正４面体の構造物の説明図であり、図３７（ａ）は展開図、図３７（ｂ）は図３７（ａ）の構造物が立ち上がった状態の図、図３７（ｃ）は図３７（ｂ）の構造物が収納された状態の図、図３７（ｄ）は四面体を４つのモジュールに分割する説明図、図３７（ｅ）は分割されたモジュールの斜視図である。
折り畳みができる正４面体の骨格構造の構造物は上述の頂点部分１４４をそのまま用い６本の稜線部分１４１′を折り畳みにした２つのパーツの展開図（図３７（ａ））を用いる。これらを折って貼り合わせると図３７（ｂ）のような折り畳み可能な構造物になる。図３７（ｂ）の模型は図３７ （ｃ）のようにその枝（稜線）部１４１′がコンパクトに折り畳まれる。稜線部分１４１′がより長いものを製作するときは図３７（ｄ）のように頂点１４４を起点に正４面体を４分割し、これをモジュール１４７（図３７（ｅ））としてつなぎ合わせると便利である。

（立方体(正６面体)）
図３８は正６面体の構造物の説明図であり、図３８（ａ）は正６面体の展開図、図３８（ｂ）は図３８（ａ）の構造物の斜視図、図３８（ｃ）は正６面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図３８（ｄ）は図３８（ｃ）の構造物の斜視図、図３８（ｅ）は正６面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図３８（ｆ）は図３８（ｅ）の構造物の斜視図、図３８（ｇ）は６面体を８つのモジュールに分割する説明図、図３８（ｈ）は図３８（ｅ）の角部分を採用した正６面体の展開図、図３８（ｉ）は図３８（ｈ）の構造物の斜視図および角部分を折り畳んだ図、図３８（ｊ）は図３８（ｅ）の角部を採用し且つ稜線が折り畳み可能な外側および内側パーツの展開図、図３８（ｋ）は図３８（ｊ）の構造物の斜視図、図３８（ｌ）は図３８（ｋ）の角部分を採用した正６面体の斜視図、図３８（ｍ）は図３８（ｌ）の構造物を収納する途中の状態の図、図３８（ｎ）は図３８（ｍ）からさらに収納した状態の図、図３８（ｏ）は図３８（ｌ）の構造物の展開図である。

次に、折り畳みのできる立方体の骨格構造を貼り合せ法で作る方法を述べる。外側のパーツ１５２の最も簡単な展開図とその模型を示したものが図３８（ａ）（ｂ）である。立方体の頂点１５４を形作る内側のパーツ１５３の展開図の例を外側パーツ１５２とともに示したものが図３８（ｃ）（ｄ）である。この展開図を折るのは極めて窮屈な作業で実用性は期待できない。これに換えて頂点部分１５４に余裕をもたせた図３８（ｅ）に示す展開図を用いる。展開図の分枝中心で枝部分１５１の中心角を５０°、分枝間の余白部を４０°とした。内側パーツ１５３の折り返し角度を６７．５°としている。この模型は図３８（ｆ）のようになる。その結果、外側のパーツ１５２と内側のパーツ１５３の展開図は内側のそれに折り返しの折り線１５６を追加するだけの相違になっている。ここで、完成したモジュール１５７をつなぐための糊しろ部分は削除されている。図３８（ｆ）をモジュールとして図３８（ｇ）のように８個を立方体の頂点にしてなぎ合わせると立方体の稜線を筒部材とした骨組み構造が得られる。

図３８（ｈ）はこのパーツを８個つないで一体化した展開図で、これらを用いて作った外側パーツ１５２、内側パーツ１５３、これを組み合わせた完成品の折紙模型の様子を図３８（ｉ）に示す。
折り畳みができる立方体の骨格構造の模型は上述のそれらの頂点部分をそのまま用い、稜線部分１５１′をジグザグ折りに置き換えて折り畳めるようにした展開図（図３８（ｊ））で作られる。これらを折って貼り合わせると図３８（ｋ）のようなモジュール１５７′を得る。これを８個つなぐと図３８（ｌ）の折り畳み構造物になり、この構造物は図３８（ｍ）（ｎ）のようにコンパクトに折り畳まれる。図３８（ｏ）はこの折り畳み立方体を２枚の紙の貼り合わせで作るための一体化された展開図である。

（正８面体）
図３９は正８面体の構造物の説明図であり、図３９（ａ）は正８面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図３９（ｂ）は図３９（ａ）の構造物の斜視図、図３９（ｃ）は図３９（ａ）の角部分を採用した正８面体の展開図、図３９（ｄ）は図３９（ｃ）の外側パーツのみを組み立てた構造物の斜視図、図３９（ｅ）は図３９（ｃ）の構造物の斜視図、図３９（ｆ）は図３９（ａ）の角部を採用し且つ稜線が折り畳み可能な外側および内側パーツの展開図、図３９（ｇ）は図３９（ｆ）の構造物の斜視図、図３９（ｈ）は図３９（ｇ）の構造物を収納する過程の図である。

正８面体の頂点数は６で、面は正３角形８つで構成され、一つの頂点に集まる稜線とこれで構成される面の数はいずれも４である。この頂点部分を４本の分枝構造と見なして作った展開図と折紙模型を図３９（ａ）（ｂ）に示す。ここで分枝の中心は２０°毎に分割され、中心角は６０°が４面分の２４０°で作られている。２枚貼りした分枝構造のモジュールを６個つなぐと正８面立方体の骨格が作られる。６個を一体化したものは図３９（ｃ）の展開図で作られ、各々、外側と内側の展開図を表している。外側だけを折ったものと内側と外側を貼り合わせたものの様子を図３９（ｄ）（ｅ）に示す。折り畳みのできる正８面立方体の骨格構造を一体化して作る展開図を図３９（ｆ）に、その模型と折り畳みの様子を図３９（ｇ）（ｈ）に示す。

（正１２面体および正２０面体）
図４０は正１２面体の構造物の説明図であり、図４０（ａ）は正１２面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図４０（ｂ）は図４０（ａ）の構造物の斜視図、図４０（ｃ）は図４０（ａ）の角部分を採用した正１２面体の展開図、図４０（ｄ）は図４０（ｃ）の外側パーツのみを組み立てた構造物の斜視図、図４０（ｅ）は図４０（ｃ）の構造物の斜視図、図４０（ｆ）は図４０（ａ）の角部を採用し且つ稜線が折り畳み可能な外側および内側パーツの展開図、図４０（ｇ）は図４０（ｆ）の構造物の斜視図、図４０（ｈ）は図４０（ｇ）の構造物を収納する過程の図である。

正１２面体は頂点数２０、面の数は正５角形１２で、一つの頂点に集まる稜線と面の数はいずれも３であることが判る。この頂点部分を３本の分枝構造にした展開図と分枝モジュールの模型を図４０（ａ）（ｂ）に示す。ここで分枝の中心は２７°毎に分割し、中心角を３２４°、すなわち、正５角形の内角１０８°を３つ分にしたものである。この分枝モジュールを２０個つなぐと正１２面体の骨格を得る。これを一体化した展開図は図４０（ｃ）のようになり、外側だけを折ったものを図４０（ｄ）に、内、外パーツを貼り合わせた完成模型を図４０（ｅ）に示す。折り畳みのできる正１２面体の骨格構造を一体化して作る展開図を図４０（ｆ）に、その模型と折り畳みの様子を図４０（ｇ）（ｈ）に示す。

図４１は正２０面体の構造物の説明図であり、図４１（ａ）は正２０面体の角部分の外側および内側パーツの展開図、図４１（ｂ）は図４１（ａ）の構造物の斜視図、図４１（ｃ）は図４１（ａ）の角部分を採用した正２０面体の展開図、図４１（ｄ）は図４１（ｃ）の外側パーツのみを組み立てた構造物の斜視図、図４１（ｅ）は図４１（ｃ）の構造物の斜視図、図４１（ｆ）は図４１（ａ）の角部を採用し且つ稜線が折り畳み可能な外側および内側パーツの展開図、図４１（ｇ）は図４１（ｆ）の構造物の斜視図、図４１（ｈ）は図４１（ｇ）の構造物を収納する過程の図である。

正２０面体の頂点数は１２、面の数は正３角形２０で、一つの頂点に集まる稜線と面の数は５である。この頂点部分を５本の分枝構造にした展開図と分枝モジュールの模型を図４１（ａ）（ｂ）に示す。ここで分枝の中心は２０°毎に分割し、中心角を正３角形の内角６０°の５個分として３００°としている。モジュールを１２個つなぐと正２０面体の骨格になる。これを一体化した展開図の一例を図４１（ｃ）に示す。外側だけを折ったものと貼り合わせ後の完成模型を図４１（ｄ）（ｅ）に示す。折り畳みのできる正２０面体の骨格構造を一体化して作る展開図を図４１（ｆ）に、その模型と折り畳みの様子を図４１（ｇ）（ｈ）に示す。

（準対称の貼り貼り合わせによる折紙構造）
（平面折りの積み重ねによる角筒のつなぎ合わせ）
図４２は角筒のつなぎあわせ方法の説明図であり、図４２（ａ）は対称の２つの角筒の展開図、図４２（ｂ）は図４２（ａ）の構造物の斜視図、図４２（ｃ）は図４２（ａ）の角筒どうしのつなぎあわせ方の説明図、図４２（ｄ）は図４２（ａ）の２つのパーツを１枚のシートで形成するための展開図、図４２（ｅ）は図４２（ｄ）の展開図を貼り合わせる途中の説明図、図４２（ｆ）は図４２（ｅ）の構造物が完成した状態の図、図４２（ｇ）は図４２（ｆ）の構造物を折り畳んだ状態の図、図４２（ｊ）は図４２（ｆ）の構造物を積層した構造物の説明図、図４２（ｋ）は図４２（ｊ）の構造物を折り畳んだ状態の図、図４２（ｌ）は図４２（ｆ）の構造物のプラスチック製品の図である。

ジグザグの平面折りの周期を交互に極く少量ずらすことにより２枚のジグザグ面を貼り合わせることができる。ここではこれを準対称貼りあわせと呼ぶ。この展開図と折紙模型の例を図４２（ａ）（ｂ）に示す。この展開図の鉛直方向のジグザグの折り線は等間隔ではなく薄墨分だけ交互に広くしたもので構成されている。２枚の展開図は同じもので、裏面どうしを薄墨部で接合する。展開図をジグザグに折り２枚の紙を図４２（ｃ）の模式図のように配置し、接触部(薄墨部)を貼り合わせる。図４２（ｄ）（ｅ）はこれを１枚の紙で作れるようにしたもので中央の垂直線で折り返す。図４２（ｃ）のように配置後接触部を貼り合わせ、上から押し付けると図４２（ｆ）のようにジグザグの筒が並んだ折紙模型が得られる。この折紙模型は図４２（ｇ）のようにあたかも１枚の紙のように平坦に折り畳まれる。この積み重ねは何層であっても折り畳みは容易にできるため、高効率の収納可能な３次元の折り畳み構造が作られる（図４２（ｊ）（ｋ））。図４２（ｌ）にこの模型に基づく実用的なプラスチック製品の例を示す。

（角錐筒のつなぎ合わせによる扇形および円形構造）
図４３は角錐のつなぎあわせ方法の説明図であり、図４３（ａ）は対称の２つの角錐の展開図、図４３（ｂ）は図４３（ａ）の構造物の斜視図、図４３（ｃ）は図４３（ｂ）の構造物を折り畳んだ状態の図、図４３（ｄ）は対称の２つのパーツが半円状の場合の展開図、図４３（ｅ）は図４３（ｄ）の構造物の斜視図および折り畳んだ状態の図、図４３（ｆ）は対称の２つのパーツが円状の場合の展開図、図４３（ｇ）は図４３（ｆ）の構造物の斜視図および折り畳んだ状態の図である。

鏡面則を用いて得た角錐の展開図（図２６（ｅ））についても前項と同じように２枚貼りをすることができる。図２６（ｅ）の展開図の右半分を３つ円周方向に極狭い隙間を持たせて貼り合わせたものを図４３（ａ）に示す。これを２枚貼り合わせて折ると図４３（ｂ）のようになり、この模型は図４３（ｃ）のように簡単に折ることができ、最終的に平坦に折り畳まれる。半円および円形膜の展開図と模型、折り畳みの過程を各々図４３（ｄ）（ｅ）と図４３（ｆ）（ｇ）に示す。これらの展開図も鏡面側に従い得られたもので、中心部を含めた円形膜の折り畳みはできないため、図示した模型は中心部を大きく切り取った環状模型にしている。

（部分貼り合わせによる折紙手法）
図４４は部分貼り合せ方法の説明図であり、図４４（ａ）は部分貼り合せの構造物の折り線の説明図、図４４（ｂ）は図４４（ａ）の帯板を２つ対称に並べた状態の図、図４４（ｃ）は図４４（ｂ）から空白部どうしを仮止めした状態の図、図４４（ｄ）は図４４（c）を模式的に示した図、図４４（ｅ）は図４４（ｄ）の折り目部分を拡大した図、図４４（ｆ）は図４４（ｄ）を正方形になるように折った図、図４４（ｇ）は図４４（ａ）の空白部に谷折り線を追加した図、図４４（ｈ）は図４４（ｇ）の構造物の斜視図、図４４（ｉ）は図４４（ｇ）を高さ方向に積み上げた展開図、図４４（ｊ）は図４４（ｉ）の構造物の外筒と内筒のそれぞれの斜視図および外筒と内筒を組み合わせた２重筒の斜視図と上面図である。

以下に、予め折り目を付けた紙を周期的に貼り合わせ、これを一枚の紙と考えて折る折紙手法について述べる。これによって折り畳みのできる２層構造を設計することができ、新しい造形作品を創出することが出来るのは勿論のこと、層間に空気などを注入して管を駆動するアクチュエータなどの工業製品をデザインする際に応用できると考えられる。３つの例を以下に示す。
図４４（ａ）は短冊の中央に水平の折り線を設け、鉛直方向に角度α（図では７５°）で折り線２０１，２０２，２０３を等間隔ａで引き、長さｂの空白部２０４を設けたのち、折り線２０１〜２０３と空白部２０４を繰り返し設けたものである。これを２枚用意し、図４４（ｂ）に示すように折り線２０１〜２０３を各々、谷、山、谷折り線とし、空白部２０４を（仮止めの）糊付けし、糊付けされたものを折り目入りの一枚の紙と考える（図４４（ｃ））。図４４（ｃ）を模式化したものが図４４（ｄ）で、図４４（ｅ）のように折り目部分を蝶番Ａ〜Ｆで置き換えて考える。図４４（ｄ）を図４４（ｆ）のように正方形に折ると、外側の紙の蝶番ＡとＣ（図４４（ａ）の折り目２０１と２０３）は伸びて平面状になり、Ｂだけが直角に曲がる。一方、内側の紙ではすべての蝶番が直角に折れ曲がる。

図４４（ａ）の空白部２０４に図４４（ｇ）に示すように新たにβ＝３０°の谷折り線２０６を設ける。山折り線２０２はα＝７５°としたから、α−β＝４５°となり、この山折り線２０２と新たな谷折り線２０６とのペアで短冊は（７５−３０）×２＝９０°だけ折れ曲がる。図４４（ｇ）にはこの折れ線のペアが４個あるから、図４４（ｈ）のように概略正方形状で４隅に穴の開いた断面が作られ、この筒は垂直方向に折り畳むことができる。図４４（ｇ）の短冊を高さ方向に積み上げると折り畳みができる概略正方形状の筒の展開図になる、外筒２１１と内筒２１２のみの模型およびこれらを組み合わせた２層筒２１３を図４４（ｊ）に示す。これは本発明者が過去に提案した反転らせん型の多角形筒の折り畳み法を基にしたものである。

図４５は部分貼りあわせによる六角筒の説明図であり、図４５（ａ）は内筒の展開図、図４５（ｂ）は外筒の展開図、図４５（ｃ）は二重筒の斜視図、図４５（ｄ）は図４５（ｃ）の上面図、図４５（ｅ）は内筒のみの斜視図、図４５（ｆ）は外筒のみの斜視図である。
上述の部分貼りつけ法を用いて、６角形状の折り畳み筒をデザインしたものが図４５（ａ）（ｂ）で、各々内筒２１２と外筒２１１の展開図である。内筒の薄墨部分が仮止め部（空白部２０４）で図４５（ａ）と（ｂ）のαとβを各々７５°、４５°とした。これらの角度の折り線２０２，２０６のペアで、（７５−４５）×２＝６０°だけ短冊が折れ曲がり、図４５（ａ）（ｂ）の展開図には６つのペアの折り線２０２，２０６を配されているため、折り畳み時の閉じる条件が満たされ、６角形の星形で平坦に折り畳まれる。

ここで、図４５（ｂ）の外筒の展開図では引き伸ばされる図４４（ａ）で示した折り線２０１，２０３は描いていない。この折紙模型の側面と上面の様子を図４５（ｃ）（ｄ）に各々示す。図４４では仮の貼り付け後に２層の筒を製作すると述べた。しかしながら、内筒２１２、外筒２１１は図４４（ｅ）（ｆ）に示すように個別に折り畳むことができ、かつ、それらは仮止め部２０４で完全に接触した状態で変形するから原理的には内筒２１２、外筒２１１を糊付する必要はない。すなわち、内筒２１２を作った後、外筒２１１をかぶせるようにして作ることもでき、そのようにすることで折り畳み構造物の製作がより容易になる。

図４６は単一蝶番法による二重筒状の折り畳み構造物の説明図であり、図４６（ａ）は単一蝶番法による二重筒の概念図、図４６（ｂ）は外筒と内筒の角の部分の展開図、図４６（ｃ）は図４６（ｂ）の展開図を折り線に沿って折った図、図４６（ｄ）は図４６（ｂ）の折り線を採用した二重筒の半分の外筒及び内筒の展開図、図４６（ｅ）は図４６（ｄ）の半分の二重筒の上面図、図４６（ｆ）は図４６（ｅ）を２つ貼り合わせて作成された四角筒の側面図、図４６（ｇ）は図４６（ｆ）の斜視図および上面図である。

部分貼り合わせ構造物の別のタイプの例として前述した単一蝶番法による折り畳み構造物を２層にすることを考える。ここでは最も簡単な４隅に穴２２１のあいた正方形に折り畳まれる模型作りを考え、その概念図を図４６（ａ）に示す。この模型の外筒２１１と内筒２１２を一段だけで表すと図４６（ｂ）のようになる。正方形状に折るため、鉛直方向のすべての折り線２２２，２２３は水平軸と４５°とし、展開図は左右対称形である。これらの展開図は各々図４６（ｃ）のように折られる。図４６（ｂ）の短冊を鉛直方向に積み上げたものが図４６（ｄ）の展開図である。これを貼り合わせて折ると筒の外筒の半分が出来る（図４６（ｅ））。２層の筒はこれを一段ずらせて貼り合わせて作られる（図４６（ｆ）（ｇ））。外筒２１１の薄墨部は図４６（ａ）の外筒２１１と内筒２１２の接触部で糊付け部であるが、工作時の仮止め程度とし、しっかりと接合する必要はない。

（長尺の筒と角錐筒の２層化）
（長尺の２層の筒）
図４７は長尺の二重筒状の折り畳み構造物の説明図であり、図４７（ａ）はジグザグ形で折り畳みができる長尺の二重筒状の折り畳み構造物の概念図、図４７（ｂ）は図４７（ａ）を径方向に閉じる途中の状態の説明図、図４７（ｃ）はジグザグ形で折り畳みができる長尺の二重筒状の折り畳み構造物の外筒の展開図、図４７（ｄ）はジグザグ形で折り畳みができる長尺の二重筒状の折り畳み構造物の内筒の展開図、図４７（ｅ）は図４７（ｄ）の内筒の斜視図、図４７（ｆ）は図４７（ｅ）の内筒が収納される途中の図、図４７（ｇ）は図４７（ｃ）、図４７（ｄ）の二重筒の斜視図である。

図９（ａ）のジグザグ形で折り畳みができる長尺の正方形断面筒を２層の構造にする折り畳み構造物の概念図と折り畳みの過程を、外筒２１１、内筒２１２として図４７（ａ）（ｂ）に示す。このような模型を作る展開図を図４７（ｃ）（ｄ）に示す。図４７（ｄ）の内筒２１２には折り返して∨字形のみ溝を作る２本の折り線２３１を図４７（ｃ）に新たに２組追加している。図４７（ｅ）の内筒２１２の模型は図４７（ｆ）のように折り畳まれ、結果として、単層の角筒のように内外筒２１１，２１２が一体化して折り畳まれる（図４７（ｇ））。前述した模型と同様、必ずしも内外筒２１１，２１２を強固に糊付する必要はない。断面隅に作られる２本の穴に空気などの気体を注入・吸引することでこの４角管を自在に伸縮することが期待出来る。

（２層の角錐の筒）
図４８は二重の角錐状の折り畳み構造物の説明図であり、図４８（ａ）は二重の角錐筒の外筒の展開図、図４８（ｂ）は二重の角錐筒の内筒の展開図、図４８（ｃ）は図４８（ａ）の外筒の斜視図、図４８（ｄ）は図４８（ｂ）の内筒の斜視図、図４８（ｅ）は図４８（ｄ）の内筒を折り畳む途中の図、図４８（ｆ）は図４８（ｃ）の外筒と図４８（ｄ）の内筒を組み合わせた二重の角錐筒の斜視図である。

図２２の角錐筒を２層構造にする模型の展開図を、外筒２１１と内筒２１２について図４８（ａ）（ｂ）に各々示す。これらの展開図は基本的に同じもので、図４８（ｂ）には鉛直方向に２本の折り線２３６が付加されている。これらの折り線２３６は図４８（ａ）の台形要素の上下辺の中点を結んだものである。この簡易な作図法では、新たに設けた節点（台形要素の中点）での折り畳み条件（補角条件）は厳密には満たされないが（凡そ０．６％程度の誤差）、簡便性を考慮すれば工学的には十分に許容できる近似である。この展開図より得た折紙模型を図４８（ｃ）（ｄ）に示し、図４８（ｄ）に導入された２本の谷折り線２３７が内筒２１２の凹み部を作る。図４８（ｄ）の内筒２１２は図４８（ｅ）のように折られ、この２層の角錐状の筒（図４８（ｆ））は素材が薄い場合にはあたかも単層の筒のように折畳まれる。

（直線や曲線の折り畳み模型の組み合わせによる応用模型）
前述した角筒や角錐形状筒あるいは分枝モジュールをつなぎ合わせたり、組み合わせて、より複雑な構造物を作成した。ここでは、これらの構造物について述べる。

（水圧や空気圧などで駆動して収縮／展開される３次元模型）
図４９は収縮／展開可能な３次元構造物の説明図であり、図４９（ａ）は円弧状のモジュールと亀の子モジュールの展開図、図４９（ｂ）は図４９（ａ）を組み立てた図、図４９（ｃ）は亀の子モジュールに円弧状の筒を接続する前後の説明図、図４９（ｄ）は図４９（ｃ）の構成を採用した球状の構造物が立ち上がった状態の図、図４９（ｅ）は図４９（ｄ）の構造物が収納された状態の図、図４９（ｆ）は図４９（ｄ）において亀の子モジュールを八角形に変更した場合の斜視図、図４９（ｇ）は図４９（ｄ）において亀の子モジュールを１２角形に変更した場合の斜視図、図４９（ｈ）は円弧状のモジュールと十字モジュールと長尺のモジュールとを組み合わせた構造物が立ち上がった状態の図、図４９（ｉ）は図４９（ｈ）の構造物が収納された状態の図、図４９（ｊ）は図４９（ｄ）から上側の亀の子モジュールを除去し且つ下側の亀の子モジュールを５角形に変更した構造物が立ち上がった状態の図、図４９（ｋ）は人の掌に基づく亀の子モジュールの展開図、図４９（ｌ）は人の指に基づく円弧状のモジュールの展開図、図４９（ｍ）は図４９（ｋ）および図４９（ｌ）のモジュールを組み合わせ且つ円弧状のモジュールを伸ばした状態の図、図４９（ｎ）は図４９（ｍ）において円弧状のモジュールを部分的に曲げた状態の図である。

図１３（ａ）のジグザグに折り畳める円弧状の筒と図３３（ａ）の亀の子モジュールを糊づけあるいは差し込んで組み合わせると折り畳みのできる球状の骨組み構造が作られる。これらの展開図と模型を示したものが図４９（ａ）（ｂ）で、組み合わせる過程と作られた模型を図４９（ｃ）（ｄ）に各々示す。この概略球状の骨組み構造の円弧部分は上下に配置された亀の子モジュールに挟まれるように折り畳まれて収納される（図４９（ｅ））。ジグザグに折り畳める円弧部品や亀の子モジュールはより細かな配置にすることができる。亀の子モジュールを８角形および１２角形にした折紙模型を図４９（ｆ）（ｇ）に示す。

円弧モジュールと十字モジュールと上下に伸びる長尺のモジュールを組み合わせると図４９（ｈ）のような構造が作られ、この構造も効率よく収納される（図４９（ｉ））。このような構造は空気圧や水圧で収縮や展開が容易にでき、また、パーツやモジュールの製作と接合は汎用のプラスチックの成型技術で可能であるから、このような折り畳み製品がデフォルメされて製品化されることが期待される。
図４９（ｄ）の骨組みから上面の亀の子モジュールを取り去ると図４９（ｊ）のような鷲掴みする人の掌と指を連想させる模型が得られる。人の手の動きを摸擬することを意図してデザインされた掌と指の展開図を図４９（ｋ）（ｌ）に示す。これらを２枚貼りした後、組み合わせ作られた模型を図４９（ｍ）（ｎ）に示す。このような模型に手を加えることでロボットの掴み装置に進化させることが期待できる。

（多面体の稜線を繋いで作る折り畳み可能な３次元の網目構造）
ジャングルジムのような３次元の網目状の構造をデザインできれば種々の産業応用が期待できると思われる。しかしながら、平面の展開図を貼り合わる本書の手法でこのような構造を製作することは困難であり、この手法の限界でもある。以下では、前述した正４面体や立方体などの折り畳み模型を作った手法を転用して、最初、立体的なジグザグ面状の網目構造を作り、これを基本要素として積み重ねて３次元の網目構造を作る方法を採用する。

（正４面体の稜線に基づく構造物）
図５０は正４面体用のモジュールに基づく構造物の説明図であり、図５０（ａ）は正４面体用のモジュールの外側パーツの一例の展開図、図５０（ｂ）は正４面体用のモジュールの内側パーツの一例の展開図、図５０（ｃ）は正４面体用のモジュールの外側パーツの他の例の展開図、図５０（ｄ）は図５０（ａ）および図５０（ｂ）を使用して作成された正４面体用のモジュールの斜視図、図５０（ｅ）は図５０（ｂ）および図５０（ｃ）を使用して作成された正４面体用のモジュールの斜視図、図５０（ｆ）は図５０（ｄ）を下側に配置し且つ図５０（ｅ）を上側に配置して接続された構造物の斜視図、図５０（ｇ）は図５０（ｆ）の構造物を複数つなげた構造物の斜視図、図５０（ｈ）は図５０（ｇ）の上面図、図５０（ｉ）は図５０（ｇ）のジグザグ構造の説明図、図５０（ｊ）は図５０（ｇ）の構造の模式図、図５０（ｋ）は図５０（ｇ）の構造を面内でつなげた構造物の斜視図、図５０（ｌ）は図５０（ｋ）の構造物を高さ方向に重ねた構造物の斜視図、図５０（ｍ）は図５０（ａ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５０（ｎ）は図５０（ｂ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５０（ｏ）は図５０（ｃ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５０（ｐ）は図５０（ｍ）〜図５０（ｏ）のパーツを使用して図５０（ｋ）の構造物を作製した図、図５０（ｑ）は図５０（ｍ）〜図５０（ｏ）のパーツを使用して図５０（ｌ）の構造物を作製した図、図５０（ｒ）は図５０（ｑ）の構造物を収納する途中の図、図５０（ｓ）は図５０（ｒ）からさらに収納した図である。

図３６を参考にして正４面体の頂点を作るパーツの展開図として図５０（ａ）〜（ｃ）を用いる。図５０（ａ）（ｂ）と（ｂ）（ｃ）の貼り合わせで各々頂点が尖ったモジュールＩと凹んだモジュールＩＩが作られ、これらを図５０（ｄ）（ｅ）に各々示す（図５０（ａ）と（ｂ）のパーツを各々外側、内側にしてモジュールＩ、図５０（ｃ）と（ｂ）のパーツを各々外側、内側にしてモジュールＩＩが作られる）。これらのモジュールを図５０（ｆ）のように正４面体を作る場合とは逆の方向に貼りつける。この時、尖ったモジュールＩを下向き、凹んだモジュールＩＩを上向きとする。このようにして作られたジグザグ折紙構造の側面図と上面図を図５０（ｇ）（ｈ）に示す。図５０（ｇ）のＡ〜Ｄが正４面体の頂点をなし、点Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ａを結ぶと正８面体となっている。このジグザグの骨組構造は図５０（ｉ）に示すように正３角形の底面（薄墨部）を網目状に並べた正４面体群のジグザグの奥行方向の稜線２４１と横方向の２本の稜線２４２を組み合わせたものになっている。

このジグザグ構造の積み重ねで３次元の網目構造が作られる。この積み重ねは図５０（ｊ）に模式的に示すように、ジグザグ構造の上部の尖った頂点を下部の凹んだ頂点に配置することによる。１段だけのジグザグ面の折紙模型を図５０（ｋ）に、これを積み重ねて２段にした模型を図５０（ｌ）に示す。
この正４面体の頂点を作るパーツの枝部分を折り畳みにしたものの展開図の例を図５０（ｍ）〜（ｏ）に示す。図５０（ｍ）（ｎ）と（ｎ）（ｏ）の貼り合わせで枝部が折り畳める頂点の尖ったモジュールＩと凹んだモジュールＩＩが作られる。これらのモジュールを図５０（ｇ）のように枝部を糊付けしてつなぐ。製作した折り畳み可能な１段と２段の折り畳み構造を図５０（ｐ）（ｑ）に示す。２段の構造を折り畳む途中と折り畳まれた様子を図５０（ｒ）（ｓ）に示す。

（立方体の稜線に基づく構造物）
図５１は立方体用のモジュールに基づく構造物の説明図であり、図５１（ａ）は立方体用のモジュールの外側パーツの一例の展開図、図５１（ｂ）は立方体用のモジュールの内側パーツの一例の展開図、図５１（ｃ）は立方体用のモジュールの外側パーツの他の例の展開図、図５１（ｄ）はモジュールのつなげ方の説明図、図５１（ｅ）は図５１（ａ）〜図５１（ｄ）の方式で図５０（ｋ）と同様にして作成された構造物の斜視図、図５１（ｆ）は図５１（ｅ）の構造物において配置される立方体の位置関係の説明図、図５１（ｇ）はＴ字分枝を結合した骨組み構造物の展開図、図５１（ｈ）は図５１（ｅ）の構成を高さ方向に重ねた構造物の斜視図、図５１（ｉ）は図５１（ｈ）の上面図、図５１（ｊ）は図５１（ａ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５１（ｋ）は図５１（ｂ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５１（ｌ）は図５１（ｃ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５１（ｍ）は図５１（ｊ）〜図５１（ｋ）のパーツを使用して作成される構造物の展開図、図５１（ｎ）は図５１（ｍ）の展開図を使用して作成される構造物の斜視図、図５１（ｏ）は図５１（ｎ）の構造物を高さ方向に２段重ねた構造物の斜視図、図５１（ｐ）は図５１（ｏ）の構造物を収納する途中の図、図５１（ｑ）は図５１（ｐ）からさらに収納した図である。

立方体の頂点を作るパーツの展開図として図５１（ａ）〜（ｃ）を用いる。図５１（ａ）と（ｂ）および（ｂ）と（ｃ）を貼り合わせて、頂点が尖ったモジュールＩと凹んだモジュールＩＩを作る。これらのモジュールＩ、ＩＩを図５１（ｄ）のように枝部が逆の方向になるよう貼りつけて行く。作られたジグザグ面の折紙模型を図５１（ｅ）に示す。この骨組み構造は図５１（ｆ）に示すように１段目は立方体Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ・・を碁盤目上に一つ飛びに並べ、２段目は立方体Ｅのように１段目の４個の立方体の４つの頂点上に下段と同じように配置したとき立方体の稜線が作る網目模様に沿って太い実線のように結んだものに対応している。

図５１（ｅ）の骨組構造は図５１（ｇ）に示すようなＴ字分枝の結合（図３２（ａ）（ｂ））で表される展開図でも製作できる。図５１（ｅ）を積み重ねると３次元の網目状の構造ができる。２段重ねにした例の側面図と上面図を図５１（ｈ）（ｉ）に各々示す。
この構造物の枝部分を折り畳みにした場合のパーツの展開図を図５１（ｊ）〜（ｌ）に示す。図５１（ｊ）と（ｋ）、（ｋ）と（ｌ）を貼り合わせて折り畳み可能な２種類のモジュールを作る。これらのモジュールを用いると図５１（ｎ）のような一段のジグザグ模型を作ることができる。このジグザグ模型は図５１（ｍ）に示す一体化した展開図でも作られる。これを積み上げると折り畳みのできる網目状の立体構造になる。２段積み重ねた折紙模型とその折り畳みの様子を図５１（ｏ）〜（ｑ）に示す。

（切頂８面体の稜線に基づく模型）
図５２は八面体用のモジュールに基づく構造物の説明図であり、図５２（ａ）は八面体用のモジュールの外側パーツの一例の展開図、図５２（ｂ）は八面体用のモジュールの内側パーツの一例の展開図、図５２（ｃ）は八面体用のモジュールの外側パーツの他の例の展開図、図５２（ｄ）は図５２（ａ）および図５２（ｂ）を使用して作成された正八面体用のモジュールの斜視図、図５２（ｅ）は図５２（ｂ）および図５２（ｃ）を使用して作成された正八面体用のモジュールの斜視図、図５２（ｆ）は図５１（ｄ）および図５１（ｅ）のモジュールを使用して図５０（ｋ）と同様にして作成された構造物の斜視図、図５２（ｇ）は図５２（ｆ）の構造物を高さ方向に２段に重ねた斜視図、図５２（ｈ）は図５２（ｇ）の上面図、図５２（ｉ）は切頂正八面体の説明図、図５２（ｊ）は切頂八面体を頂面で接合した図、図５２（ｋ）は図５２（ａ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５２（ｌ）は図５２（ｂ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５２（ｍ）は図５２（ｃ）のパーツの稜線部を折り畳めるようにした展開図、図５２（ｎ）は図５２（ｋ）〜図５２（ｍ）のパーツを使用して図５２（ｆ）と同様に作成された構造物の斜視図、図５２（ｏ）は図５２（ｎ）を高さ方向に２段に重ねた構造物の斜視図、図５２（ｐ）は図５２（ｏ）の構造物を収納した状態の図である。

正８面体の頂点を作るパーツの展開図として図５２（ａ）〜（ｃ）を用いる。図５２（ａ）（ｂ）と（ｂ）（ｃ）を貼りつけると、各々図５２（ｄ）（ｅ）のような頂点が尖ったモジュールと凹んだモジュールの製作途中の状態になり、前面の隙間をなくすよう上から貼りつけると２種類のモジュールが得られる。ここでは切頂８面体による空間充填形を考慮して図５２（ｅ）の上部の凹み量を前述の２例に比べて大きくしている。立方体のときと同様にして逆方向に貼りつけてゆくと図５２（ｆ）のようなジグザグ面状の骨組み構造が作られる。２段重ねにした模型の側面と上面から見た様子を図５２（ｇ）（ｈ）に示す。図５２（ｇ）の骨組み構造は図５２（ｉ）の正８面体の点線で示された６個の頂点部分（点線部）を切り落とした切頂８面体を積み上げた図５２（ｊ）の構造の稜線をつないだものになっている。
この構造物の枝部分を折り畳み型にしたパーツを作る展開図を図５２（ｋ）〜（ｍ）に示す。折り畳み可能なジグザグ状の構造を図５２（ｎ）、これを２段積んだ模型とその折り畳みの様子を図５２（ｏ）（ｐ）に示す。

（折り畳み式の服飾品のデザインへの応用）
次に、対称２枚貼りによるＴ字分枝やそれを変形した分枝で作った模型を応用して折り畳みの機能を持つ服飾品をデザインする方法について考える。最初に、図２８、図２９で述べた切込みや補助折り線を設けた構造物の例、次に前面と後面の切込み量を変える構造物、最後に分枝構造の枝部を細かく折り畳む方法とこれによる構造物などについて述べる。

（切込み領域の検討と補助折り線の設定）
図５３は胴部に沿うように折り畳める服飾品の説明図であり、図５３（ａ）はＴ字モジュールと服飾との関係の説明図、図５３（ｂ）は切れ込みの形成されたＴ字モジュールの展開図、図５３（ｃ）は袖が胴よりも太いＴ字モジュールの展開図、図５３（ｄ）は袖が胴よりも細いＴ字モジュールの展開図、図５３（ｅ）は図５３（ｄ）のモジュールにおいて形成する切り込みの説明図、図５３（ｆ）は袖と胴が台形のＴ字モジュールの図、図５３（ｇ）は分枝の中心部分に補助折り線の一例を形成した展開図、図５３（ｈ）は図５３（ｇ）の展開図を使用した構造物の斜視図、図５３（ｉ）は図５３（ｇ）とは異なる補助折り線の一例を形成した展開図、図５３（ｊ）は図５３（ｉ）の展開図を使用した構造物の斜視図および収納途中の図、図５３（ｋ）は図５３（ｉ）の補助折り線の描画法の説明図、図５３（ｌ）は袖部が台形の場合の補助折り線の一例を形成した展開図、図５３（ｍ）は図５３（ｌ）の展開図を使用した構造物の斜視図および収納途中の図、図５３（ｎ）は袖部および胴部が台形の場合の補助折り線の一例を形成した展開図、図５３（ｏ）は図５３（ｎ）の展開図を使用した構造物の斜視図および収納途中の図である。

Ｔ字および変形したＴ字形の２枚貼り折紙模型の展開図を図５３（ａ）〜（ｄ）に示す。図５３（ａ）のように各部分を袖部３０１、胴部３０２を名づけ、袖部３０１と胴部３０２の中心線の交点を分枝の中心Ｏ、袖部３０１の中心の折り線を３０３とする。図２８、図２９で袖部３０１を胴部３０２に沿うように折り畳むには図５３（ａ）の脇角を谷折り線３０４が２等分するよう設けることが幾何学的に必要であることや分枝の中央上部に切込みや∨字のカットを適切に導入すればほぼ無条件に折り畳めることを概説した。

最初、折り畳むために必要な切込み量を考えるために、袖部３０１と胴部３０２の寸法を図５３（ｂ）に示すようにそれぞれｄ１とｄ２とし、これらの大小で区分けして基本的に必要な切込み量を考える。袖部３０１と胴体部３０２が同じ（ｄ１＝ｄ２）場合には図５３（ｂ）の谷折り線３０４が分枝の中心点で稜線３０６と交差するため点Oまで、図５３（ｃ）の袖部３０１が太い場合（ｄ１＞ｄ２）には谷折り線３０４と中心線３０６との交点Ｄが分枝中心Ｏより下にあるため点Ｄまでの深い切り込みが必要となる。服飾品として用いられる可能性が高い図５３（ｄ）の胴が太い場合（ｄ１＜ｄ２）には谷折り線３０４が折り線３０３と直接交差し折り畳みに影響するため、図５３（ｅ）の薄墨で示した領域、すなわち谷折り線３０４と折り線３０３との交点を含む広い領域を削除しなければならなくなる。この切込み法は袖部３０１や胴部３０２が図５３（ｆ）のように台形の組み合わせであっても折り畳みに極めて有効であり、切込みが許される服飾品の場合には、折り畳みの問題はほぼこのような簡便法で対処できると思われる。

しかしながら、服飾品として用いられる可能性が最も期待できる図５３（ｅ）の場合の切込み量は大きく、これが自由なデザインの一つの障害になると思われる。図３０（ｅ）で述べた補助折り線法を用いることで袖部が太い場合のこの問題にある程度対処できる。２，３の例を示す。図５３（ｇ）（ｈ）に示す展開図と模型は谷折り線３０４と稜線３０３の交点で補助折り線３０７を上方に設ける例を示したもの（首の部分は糊付けなし）で良好に折り畳まれる。図５３（ｉ）は上と同じ外形の展開図で補助折り線３０７を脇から上部の中央点に引いたもので、図５３（ｊ）のように良好に折り畳まれる。これらの展開図の補助折り線３０７の描画法を図５３（ｉ）を例に図５３（ｋ）を用いて述べる。図５３（ｋ）の脇を２等分するように谷折り線３０４を引き、稜線３０３との交点を定める。この点から上部中点に山折り線３０７ａを引くと平坦に折り畳むための条件（補角条件,式（２−２））より山折り線３０７ｂが決められる。図５３での展開図の補助折り線３０７はすべてこの手法で描かれている。両袖部３０１を台形にした展開図と胴部３０２も台形にした展開図を各々図５３（ｌ）（ｎ）に示す。これらの模型も想定以上にうまく折り畳まれる（図５３（ｍ）（ｏ））。

（前面と後面の折り線図や切込みが異なる折り畳み構造物）
図５４は前面と後面で折り線や切込みが異なる構造物の説明図であり、図５４（ａ）は図５３（ｇ）と同様の前面パーツの展開図、図５４（ｂ）は図５３（ｉ）と同様の後面パーツの展開図、図５４（ｃ）は図５４（ａ）および図５４（ｂ）のパーツを貼り合わせた構造物の斜視図、図５４（ｄ）は図５４（ｃ）を後方から見た図、図５４（ｅ）は図５４（ｃ）の上面図、図５４（ｆ）は袖の幅方向の中央よりも下方に稜線がずれた前面パーツの展開図、図５４（ｇ）は袖の幅方向の中央よりも上方に稜線がずれた後面パーツの展開図、図５４（ｈ）は図５４（ｆ）および図５４（ｇ）のパーツを貼り合わせた構造物の斜視図、図５４（ｉ）は図５４（ｈ）を前方から見た図、図５４（ｊ）は図５４（ｈ）を収納する途中の図、図５４（ｋ）は図５４（ｉ）からさらに収納された図、図５４（ｌ）は袖部に折り畳みに寄与しないダミーの補助線が形成されたパーツの展開図、図５４（ｍ）は図５４（ｌ）のパーツを貼り合わせた構造物の斜視図である。

上述の図５３（ｇ）と図５３（ｉ）のように折り線図は異なるが外形が同じ展開図を前面と後面に用い貼り合わせても基本的な折り畳みの動作に影響しないため、デザインの幅を広げることができる。この例を示したものが図５４（ａ）〜（ｅ）で前、後面の展開図、前、後から見た様子および上面の様子を示したものである。
正方形断面筒を長方形断面にして折り畳む手法（図１１参照）をＴ字分枝の袖部分に用い、分枝中心を前面と後面でずらせた例を図５４（ｆ）〜（ｋ）に示す。前面の展開図の中央の薄墨部分に切込みを入れ除去したものが図５４（ｆ）で、後面には切込みがない展開図（図５４（ｇ））を用いている。この模型の様子は図５４（ｈ）（ｉ）のようになり、図５４（ｊ）（ｋ）のように折り畳まれる。扁平な長方形筒には最終的な折り畳みに寄与しないダミーの補助折り線３１１を図５４（ｋ）のように（任意に）追加することで図５４（ｌ）（ｍ）のように多角形化して丸みをつけることも出来る。展開図の胴部前面の折り線３１２は模様を作るため導入したもので折り畳みを考慮して対称形の折り線を採用している。

（折り畳み機能を持つ服飾品設計のための折紙模型）
図５５は折り畳み可能な服飾型の構造物の説明図であり、図５５（ａ）は折り畳み可能な服飾の前後のパーツの展開図、図５５（ｂ）は図５５（ａ）を貼り合わせた構造物の斜視図、図５５（ｃ）は図５５（ｂ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５５（ｄ）は図５５（ｃ）からさらに収納した状態の図、図５５（ｅ）は図５５（ｄ）からさらに収納した状態の図、図５５（ｆ）は図５５（ｅ）からさらに収納した状態の図、図５５（ｇ）は図５５（ａ）とは異なる折線の折り畳み可能な前後のパーツの展開図、図５５（ｈ）は図５５（ｇ）を貼り合わせた構造物の斜視図、図５５（ｉ）は図５５（ｈ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５５（ｊ）は図５５（ｉ）からさらに収納した状態の図である。

図５３と図５４で述べたＴ字やＹ字分枝は角筒や角錐で作られている。これらの枝部や胴部を更に折り畳みの様式にすることでより細かな折り畳みのできる服飾品をデザインすることができる。以下に基本的な模型を示す。紹介する模型はまさに着せ替え人形の洋服の域を出ない幾何学模型であるが、このような無機質な模型が一流のデザイナーの手でエレガントな作品に進化することが期待される。
図５５（ａ）〜（ｆ）および（ｇ）〜（ｋ）の２つのモデルは前首と後ろ首の形が違う図５４（ｈ）の模型の袖部と胴部を折り畳み型にしたもので、その展開図を図５５（ａ）と（ｇ）に示す。折り畳まれる過程を示した図５５（ｂ）〜（ｆ）および（ｈ）〜（ｊ）から判るように、前者は袖３０１を外側に、後者は袖３０１を脇の下に折り畳むもので、折り畳みの間隔は自由に選択してデザインできる。

図５６は折り畳み可能な服飾型の構造物の説明図であり、図５６（ａ）は胴部を台形上にした折り畳み可能な服飾の前後のパーツの展開図、図５６（ｂ）は図５６（ａ）を貼り合わせた構造物の斜視図、図５６（ｃ）は図５６（ｂ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５６（ｄ）は図５６（ｃ）からさらに収納した状態の図、図５６（ｅ）は折り畳み可能なパンツの前後のパーツの展開図、図５６（ｆ）は図５６（ｅ）を貼り合わせたパンツ型の構造物の斜視図、図５６（ｇ）は図５６（ｆ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５６（ｈ）は図５６（ｇ）からさらに収納した状態の図、図５６（ｉ）は図５６（ｈ）からさらに収納した状態の図、図５６（ｊ）はダミーの折線を追加した角錐状の構造物の展開図、図５６（ｋ）は図５６（ｊ）の展開図を多角錐状にした図、図５６（ｌ）は図５６（ｋ）の構造物を収納する途中の状態の図、図５６（ｍ）は図５６（ｌ）からさらに収納した状態の図である。

図５６（ａ）（ｂ）は胴部を台形状にしたものの展開図と折紙模型で、洋服の形としてはより現実に近いものである。基本的な折り畳みの手順と過程は上の例と同じで、図５６（ｃ）（ｄ）のように折り畳まれ、最終的に平坦に折り畳まれる。
図２６の折り畳み可能な角錐の筒を２個並べて折り畳みのできるパンツをデザインしたものの展開図と折紙模型を図５６（ｅ）（ｆ）に示す。ここで一つの要素の角度を５°の扇形としてこれを４個並べたもの（合計の頂角２０°）を対として用い、中央を切断して貼り合わせている。折り畳みの手順と様子を図５６（ｇ）〜（ｉ）に示す。
このような筒構造は角錐形状であるが半径方向に折り畳みに寄与しないダミーの折り線を図５６（ｊ）のように入れると図５６（ｋ）のように概略円形の多角形断面に近づけることができる。これは最終的に基本の角錐の折り線で図５６（ｌ）（ｍ）のように折り畳まれる。

以上、本発明の実施例を詳述したが、本発明は、前記実施例に限定されるものではなく、特許請求の範囲に記載された本発明の要旨の範囲内で、種々の変更を行うことが可能である。

６８…第１のシート、
６９…第２のシート、
７１…貼り合せ部、
７２…稜線部、
７３…山折り線、
７４…谷折り線、
７５…節点。

Claims (1)

1. 予め設定された幅方向と前記幅方向に交差する軸方向に延びるシート状に形成された第１のシートであって、前記軸方向に沿って延びる折り線により構成された稜線部と、軸方向に沿って間隔をあけて前記稜線部上に設定された節点に対して幅方向の一方に向かって延びる山折り線と幅方向の他方に向かって延びる谷折り線と、を有し、前記節点を中心として前記稜線部、山折り線および谷折り線が折り畳み条件を満足する前記第１のシートと、
   前記第１のシートの稜線部、山折り線および谷折り線に対して対称に稜線部、山折り線および谷折り線が形成され、幅方向の両端の貼り合せ部で前記第１のシートに貼り合せられる第２のシートと、
   を備え、
   前記シートどうしの貼り合せ部に沿った折り線と、前記稜線部に沿って折って、シートどうしが離間して立体化して前記軸方向に延びる筒状の状態と、
   前記筒状の状態における筒の内面どうしが密着する状態まで前記稜線部に沿って折られつつ、前記山折り線および前記谷折り線に沿って折り畳まれた収納状態と、
   の間で変形可能な折り畳み構造物。