JP2014511064A - 待ち時間が減少したカスケードデジタルフィルタ - Google Patents

Abstract

信号をフィルタリングするためのフィルタおよび方法が開示されている。フィルタは、直列接続の複数のバイカッドフィルタに等価であり、サンプリング期間により特徴付けされるサンプリングレートで一連の信号値を受信し、各受信信号値を受信するとフィルタリングされた信号値を生成するデジタルプロセッサで実施される。フィルタは、サンプリング期間より短い待ち時間を有する。フィルタリングされた値は、１つの項を受信信号値に加算し、その和をフィルタ定数に依存するゲイン定数により乗算することにより生成される。加算された項は、現在の受信信号値に依存しない。フィルタは、固定小数点演算で実施できる。

Description

フィルタのデジタル実施形態は、従来のアナログ実施形態に比べて多数の利点を提供する。電気信号に適用されるアナログフィルタのデジタル実施形態では、電気信号は周期的にサンプリングされ、サンプルはデジタル化されてデジタルストリームを形成し、デジタルストリームは計算回路に入力され、この計算回路はデジタル化サンプルにフィルタ計算を行って、出力デジタルストリームを生成し、次いで出力デジタルストリームは、アナログ信号に戻し変換される。この議論のために、フィルタ待ち時間との用語は、計算エンジンへデジタルサンプルが入った時点と、対象となる入力サンプルに依存する次の出力デジタルサンプルが生成された時点との間の時間遅延として規定される。

この時間遅延は、フィードバックループにより制御されるシステムで使用されるフィルタにとって特に重要である。フィルタは、選択された周波数で信号成分を低めるまたは高めるものと考えることができる。代替的に、周波数領域内で所望の形の伝達関数を生成するものと考えることもできる。デジタル的に実施されたフィルタが制御ループ内に置かれると、フィルタにより導入された遅延により制御システムは不安定になり、ひいては、制御すべきパラメータに振動が生じる。要するに、制御システムは、有効であるためには古すぎるデータに基づいてシステムを制御しようとするので、制御システムは対象となるシステムを過剰補償または不足補償する。

デジタル的に実施されたフィルタにおける別の問題は、フィルタリングされたデータストリームを正確に生成するために計算エンジンが必要とする計算精度である。これらの問題は、高精度浮動小数点演算ユニットを有する計算エンジンを利用することにより最小化できる。しかしながらこのような計算エンジンは、多数の用途にとって経済的に魅力がなく、しばしば、固定小数点ユニットより大幅に長い計算待ち時間が生じる。したがって固定小数点演算で実施できる実施形態が好ましい。

これらの問題は両方とも、制御されるシステム内の複数の共振および反共振を除去するために複数のフィルタをカスケードしなければならない用途で強まる。２つのフィルタがカスケードされると、この１対のフィルタの待ち時間は、個々のフィルタの待ち時間の２倍である。このカスケードされた１対のフィルタを、同一のフィルタリング動作を実施する単一のフィルタに替えると、この単一のフィルタの長さは、元の１対のフィルタのいずれのフィルタよりも長い。例えば、２つのカスケードされたバイカッドフィルタすなわち双２次フィルタは、分子および分母が４次多項式を実施する単一のフィルタに替えることも考えられる。いくつかの場合、固定小数点演算でフィルタを実施するのに必要な数値的精度は大幅に増す。

本発明は、信号をフィルタリングするためのフィルタおよび方法を含む。このフィルタは、直列接続された複数の双１次フィルタすなわち双線形フィルタに等価であり、このフィルタは、サンプリング間隔により特徴付けされるサンプリングレートで一連の信号値を受信するデジタルプロセッサであって、各受信信号値を受信すると、フィルタリングされた信号値を生成するデジタルプロセッサ上で実施される。このフィルタは、サンプリング間隔より短い待ち時間を有する。フィルタリングされた値は、１つの項を受信信号値に加算し、その和を、フィルタ定数に依存するゲイン定数により乗算することにより生成される。加算された項は、現在の受信信号値に依存しない。フィルタは、固定小数点整数演算で実施することができる。

デジタルバイカッドフィルタの計算のフローを示す。 カスケードされた一連のフィルタを示す。 ユニット直接フィードスルーゲインバイカッドのカスケードとして実施された本発明に係わるフィルタを示す。 本発明に係わるカスケードフィルタの別の実施例を示す。 本発明に係わるフィルタの別の実施例を示す。 本発明の１つの実施例で使用される計算アルゴリズムのフローチャートである。

本発明がその利点を提供する仕方は、図１を参照するとより容易に理解できる。図１は、バイカッドフィルタの計算のフローを示す。フィルタ２０は一連のデジタル信号値ｕ（ｋ）を受信し、一連のフィルタリングされたデジタル値ｙ（ｋ）を生成する。フィルタリングされた値を生成するのに関わる数学的計算は、次のように要約することができる。

ただし、ｂ_０は直接フィードスルーゲインと呼ばれ、出力ｙ（ｋ）で遅延なしに現れる入力ｕ（ｋ）のスケーリングを示す。
代替的に式（２）は次式により置換することができる。

パラメータａ_１、ａ_２、ｂ_１、ｂ_２はデジタルフィルタの所望の極およびゼロにより決定され、このように決定されたこれらのパラメータは、中心周波数などの特性を提供する。１つの実施例ではフィルタは、システムダイナミクスにおける１つの共振／反共振対を等化補償する１つ反共振／共振対となるように特定することができる。別の実施例ではフィルタは、単一リード／ラグフィルタまたは二重リード／ラグフィルタに設定することができる。さらなる実施例ではフィルタは、バンドパスまたはバンドストップフィルタに形成できる。これらのパラメータを選択する仕方は、以下により詳細に論じられる。

量−ａ_１ｄ（ｋ−１）−ａ_２ｄ（ｋ−２）は、ｕ（ｋ−１）を受信するとすぐに計算でき、したがってｄ（ｋ）を計算する際の待ち時間は、１つの加算を行う時間である。同様に

は、ｕ（ｋ−１）を受信するとすぐに計算することができ、

はｕ（ｋ−１）を受信するとすぐに計算することができる。したがって式２ａ、２ｂおよび３から、ｙ（ｋ）を計算する際の全待ち時間は、１つの加算と１つの乗算のための時間であることが分かる。

本発明の計算法がその利点を提供する仕方は、一連の遅延ベクトルを定義することによりより容易に理解できる。単一バイカッドフィルタにおいては、要素が

により与えられる一連のベクトル

を定義する。
これらのベクトルは、以下の議論において「Ｄベクトル」と呼ばれる。新信号値ｕ（ｋ）を受信するごとにＤベクトルは次式（６）のように更新され、

さらに、フィルタリングされた値が次式（７）にしたがって計算される。

次式（８）および（９）により積が定義され、

上記式（８）および（９）により定義される積は、ｕ（ｋ−１）を受信するとすぐに計算することができ、したがって待ち時間は、ｙ（ｋ）を得るための１つのスカラー加算と最後の乗算とのために必要な時間である。複数のスカラー加算は並列で行うことができ、したがってフィルタ待ち時間を増やさずに行える。

単一バイカッドフィルタは、１つの共振／反共振対のためのフィルタリングを提供する。複数の対をフィルタリングするためにまたはより高次の伝達関数を実施するために、図２Ａに示すように一連のバイカッドフィルタをカスケードすることができる。この例ではＮ個のバイカッドフィルタがあり、例示のフィルタは、４１〜４３に示されている。第ｉフィルタへの入力は、第（ｉ−１）フィルタの出力である。第１フィルタへの入力は入力ストリームであり、第Ｎフィルタの出力は、カスケードからのフィルタリングされた出力である。
単一バイカッドは伝達関数により次式（１０）で表す。
Ｎ（ｚ）＝（ｂ_０＋ｂ_１ｚ^−１＋ｂ_２ｚ^−２）／（１＋ａ_１ｚ^−１＋ａ_２ｚ^−２） （１０）
上記式（１０）は、前述のように時間領域では次のように実施できる。
ｄ（ｋ）＝−ａ_１ｄ（ｋ−１）−ａ_２ｄ（ｋ−２）＋ｕ（ｋ） （１１）
ｙ（ｋ）＝ｂ_０ｄ（ｋ）＋ｂ_１ｄ（ｋ−１）＋ｂ_２ｄ（ｋ−２） （１２）
１つの実施例ではｂ_０はくくり出され、したがって（１０）は次式（１３）になる。

この場合、次式が成り立つ。

次の議論において、次式で表す伝達関数を有するフィルタがユニット直接フィードスルーゲインバイカッドフィルタと呼ばれる、何故ならば直接フィードスルーゲインｂ_０におけるその値が１に設定されているからである。

図２Ｂは、バイカッドのチェーンとして実施されている本発明に係わるフィルタを示す。フィルタ７０は、７１〜７３に示されているＮ個のユニット直接フィードスルーゲインバイカッドから構築されている。最後のバイカッドの出力は、所望の全ゲインを提供するために出力を調整するゲイン段７４により増幅される。

式（１０）の分子は、ノッチに対応する周波数帯内の信号を減衰する。分子は、第２の周波数帯内のゲインを提供する。係数ａ_ｉおよびｂ_ｉはこれらのこれらの周波数帯の特性に関連する。ｂ_０係数は定義により、バイカッドの直接フィードスルーゲインである。ｂ_０項をくくり出すことにより、同一の（ユニット）直接フィードスルーゲインを有するバイカッドのカスケードを実施でき、このゲインには単一のゲイン段が続く。これは、ユーザが各バイカッドのパラメータおよびシステムの全ゲインを入力するのに応じてカスケードを実施する一般のフィルタプロセッサが提供されている実施形態の実施を容易にする。

次の議論を簡単にするために、バイカッドのチェーンにおいて、特別な下付き添字が、個々のバイカッドに関連する量を示すために使用される。関心の量は次のように表される。

各ｄ_ｉ（ｋ）において、２つの要素ｄ_ｉ，１（ｋ）およびｄ_ｉ，２（ｋ）は次のようになる。

係数ａ_ｉ，１、ａ_ｉ，２、ｂ_ｉ，１、ｂ_ｉ，２およびｂ_ｉ，０は、所望のフィルタ特性か次のように決定される。第１に第ｉのフィルタにおいて、次の表に示す記号が使用される。

問題のパラメータと、これらのフィルタパラメータとの関係は、次式により表される。

本発明がその利点を提供する仕方は、次式が表すベクトルによりより容易に理解することができる。

上記の定義から次式が得られる。

したがって、Ｍ_Ｄはマトリクスであり、Ｃ_Ｄは定数ベクトルである。例えば３つのバイカッドがカスケードされている場合、次式（２８ａ）のようになる。

マトリクスの積Ｍ_Ｄ＊Ｄ（ｋ−１）は、ｕ（ｋ−１）を受信するとただちに形成することができる。したがって上記の式では、バイカッドのカスケードに関連する待ち時間の増加が回避される。
同様に次のベクトルを定義する。

すると次式が成り立つ。
Ｙ（ｋ）＝Ｍ_Ｙ＊Ｄ（ｋ−１）＋ｕ（ｋ）＊Ｃ_Ｙ （２９）
ここで、Ｍ_Ｙはマトリクス、Ｃ_Ｙは定数ベクトルである。
例えば、３つのバイカッドがカスケードされている場合、次式（３０）が得られる。

マトリクスの積Ｍ_Ｙ＊Ｄ（ｋ−１）は、Ｄ（ｋ−１）の値が分かるとただちに計算上記式（２９）においてできる。上記のようにＤ（ｋ−１）は、ｕ（ｋ−１）を受信するとただちに計算上記式（２９）においてできる。計算が、サンプルを受信する速度より大幅に早いサイクル時間を有するコンピュータで実行されると仮定すると、計算は、順次のサンプル間の時間差より短い時間で終わらせられる。このようにしてフィルタの前もって計算された部分は準備完了であり、最も最近のサンプルに応答する時間は単に、１つの加算と１つ乗算のための時間である。これに関して、マトリクス乗算および加算は、複数のプロセッサを有するマシーンでまたはフィールドプログラマブルゲートアレイ（ＦＰＧＡ）などのプログラマブルロジックで並列に実行できることに留意されたい。

フィルタ出力は

すなわち

のみに依存し、したがって出力は、入力シーケンスの値であって前に受信された値にのみ依存する１つの項をｕ（ｋ）に加算し、次いで結果をスケーリングして出力を提供することにより計算できることに留意されたい。

実際の数値計算は、各バイカッドにおける２つの量は、マトリクスの積において多数回繰り返され、したがってこれらの量は、マトリクスの積を計算するのに一回だけ計算すれば後は得られた結果を使用することができる。特に次式は、マトリクスＤベクトル積をこれらの量の和および差として書けるので計算の複雑さを減じるのに有用である。

例えば３つのカスケードされたバイカッドは次のように表すことができる。

これらの前もって計算された量を使用しての図２Ｂに示したフィルタの実施形態が、図２Ｃに示されている。

サンプルレートが、（ノッチ／共振対などの）フィルタリングするダイナミクスの周波数に比して高く、計算が固定小数点演算で実行される場合、上述の和および差は、次の式が成り立つので丸め誤差を伴う。

この議論のためにサンプリングレートは、サンプリングレートが最低周波数ノッチの周波数より１０倍大きい場合、フィルタリングするダイナミクスの周波数に比して高いと言うこととする。上記式（３０）に現れる次の項を考える。

この項は、ほとんど等しい２つの量の差に関する。したがって固定小数点演算での差は、問題の量が１０または１２ビットを有する数により表される場合でさえも２〜３ビットの精度を有する数である。
本発明の１つの態様では丸め誤差問題を、次の４つの等式による置換により大幅に軽減する。

上述の前もって計算された量において、

の次の式により表される新しい形は、これらの係数を利用している。

ここで、上記式において

は、より正確な乗算のために次の式に示されているようにスケーリングされた係数を用いる。

次いでスケーリングは、

に加算する前に除去され、次の式のようになる。

上記式において係数Ｅ_ｉは、乗算が所望の精度を有するように選択される。さらに、上記式において各係数に対して異なる値のＥ_ｉを選択することもできる。同様に次の式が成り立つ。

図３は、本発明に係わるフィルタの実施形態を示す。フィルタ５０は、ソース５５からの電気信号または光学信号を処理する。ソース５５がアナログ信号を供給する場合、アナログ信号はＡ／Ｄ５４によりデジタル化される。ソースがすでにデジタル信号を生成するのであればＡ／Ｄ５４は省くことができる。プロセッサ５１は、メモリ５２に格納されたフィルタ係数から、フィルタリングされた信号を計算する。プロセッサ５１は、専用信号処理ハードウェア内で実施することもでき、あるいは従来の計算エンジンとして実施することもできる。新信号値がプロセッサ５１に入力される毎にプロセッサ５１は、デジタル出力信号を生成する。フィルタ５０の所望の出力がアナログ信号の場合、Ｄ／Ａ変換器５３をフィルタ５２に含むこともできる。

図４は、本発明のプロセスアルゴリズムの実施形態のフローチャートである。最初にプロセスは、６１に示すように次の入力値ｕ（ｋ）を待ってループする。新値ｕ（ｋ）を受信するとプロセッサは、６２に示すように最後の処理サイクルの終りに生成された計算されたベクトルを読み込み、６３に示すように新出力値ｙ（ｋ）を生成する。次いで新入力値が、６４に示すように次の入力値を処理するために必要なベクトルを計算するのに使用される。次いでこれらの値は格納され、プロセッサは、次の入力値を待つ状態に戻る。予め計算されているべきベクトルを計算するための処理時間は、サンプル間の時間より短くなければならない。上述のようにＦＰＧＡなどの専用ハードウェアを利用して、並列処理配置を利用して処理時間を減じることができる。

本発明の上述の実施例は、ノッチおよび共振を有するフィルタに関し、本発明の方法は、一連のバイカッドフィルタに等価のいかなるフィルタの計算にも利用できる。同様に、いかなるバイカッドでもａ_１，２および

を０に設定することにより（１つの極と１つのゼロを有する）双線形フィルタを実施するのに使用することができる。この場合、次の表のように定めることにより、

次の係数値が得られる。

このようにして、前述のものと同一のフィルタ構造を検査できる。しかしながら、精度改善のため、Δ係数の計算を変えることもできる。フィルタリングするダイナミクスに比して高いサンプルレートにおいて次の近似等式が成り立つ。

上記近似等式は、次のように計算することにより精度を高めることができることを意味する。

このバイカッドセクションにおいて次の式が成り立つ。

ここにおいてＥ_ｉは、乗算が所望の精度を有するように選択される。
同様に次の式が成り立つ。

この場合にも、式中の各係数に対して異なる値Ｅ_ｉを選択することができる。

前述の実施例は、単一入力単一出力（ＳＩＳＯ）フィルタを論じているが、この発明は、複数の入力（ＭＩ）を有するフィルタ、複数の出力（ＭＯ）を有するフィルタまたは両方（ＭＩＭＯ）を有するフィルタにも適用することができる。

本発明を実施するのに使用されるソフトウェアまたは論理ブロックは、状態空間実施（例えば、式２８〜３０など）、または伝達関数形式実施（例えば、式１７〜２４など）、またはその中間のもの（例えば、式３１〜３２など）のために最適化することができる。上述の議論から、これらの計算が、これらのうちのいずれによってもまたはその他の同様の形式によっても実施できることが明らかである。

本発明の上述の実施例は、本発明の種々の態様を説明するために提供された。しかしながら、異なる特定の実施例に示された本発明の異なる態様を、本発明の別の実施例を提供するために組み合わせることができると理解されるものとする。加えて、本発明への種々の変更が、前述の説明または添付図面から明らかになる。したがって本発明は、次の請求の範囲のみに制限されるものとする。

Claims (20)

1. 任意の正の整数の数の極またはゼロを含んで成るフィルタであって、該フィルタが、直列に接続された複数のバイカッドおよび／または双線形フィルタに等価であり、該フィルタが、サンプリング期間により特徴付けされるサンプリングレートで一連の信号値を受信し、各受信信号値を受信するとフィルタリングされた値を生成するデジタルプロセッサで実施され、該フィルタが、前記サンプリング期間より短い待ち時間を有するフィルタ。
2. 前記フィルタが多数のパラメータにより特徴付けされ、前記待ち時間が、前記多数のパラメータとは無関係である、請求項１に記載のフィルタ。
3. 前記プロセッサが、受信信号値に１つの項を加算し、該和を前記パラメータが表す定数に依存するゲイン定数により乗算することにより各フィルタリングされた信号を生成し、前記項は、前記受信信号値に依存しない、請求項１に記載のフィルタ。
4. 前記項が、前に受信された信号値と、前記直列接続バイカッドフィルタを特徴付ける定数とに依存する、請求項３に記載のフィルタ
5. 前記複数のバイカッドフィルタが、ゲイン段が後続する複数のユニット直接フィードスルーゲインバイカッドフィルタを含んで成る、請求項５に記載のフィルタ。
6. 複数の前記ユニット直接フィードスルーゲインバイカッドフィルタが、双線形フィルタを実施している、請求項５に記載のフィルタ。
7. 前記プロセッサが、次の信号値を受信する前に次のフィルタリングされた値を計算するために利用する前記項を生成する、請求項３に記載のフィルタ。
8. 前記プロセッサが、前記項を計算するために固定小数点演算を利用する、請求項３に記載のフィルタ。
9. 前記バイカッドフィルタが、所定の周波数で周波数ノッチまたは共振を提供するフィルタを含んで成り、前記サンプリングレートが、前記所定の周波数に比して高く、前記項が、前記項を計算する前に前記定数のうちの１つを、スケーリング係数により乗算することにより計算され、前記スケーリング係数が、前記項における丸め誤差を減じるように選択される、請求項８に記載のフィルタ。
10. 前記フィルタが、状態空間形式を使用して実施される、請求項１に記載のフィルタ。
11. 前記フィルタが、伝達関数形式を使用して実施される、請求項１に記載のフィルタ。
12. 前記バイカッドフィルタが、所望の周波数範囲内で周波数応答の整形を提供するフィルタを含んで成り、前記サンプリングレートが、前記所望の周波数範囲に比して高く、前記項が、前記項を計算する前に前記定数のうちの１つをスケーリング係数により乗算することにより計算され、前記スケーリング係数が、前記項における丸め誤差を減じるように選択される、請求項８に記載のフィルタ。
13. 信号をフィルタリングするための方法であって、直列接続された一連のバイカッドまたは双線形フィルタにより前記信号をフィルタリングした結果を近似するフィルタリングされた信号を生成するために前記信号をフィルタリングする方法であって、前記方法が、
    サンプリング期間により特徴付けされたサンプリングレートで一連の信号値を受信するステップと、
    各受信信号に対応するフィルタリングされた信号を生成するステップであって、前記受信信号値に１つの項を加算し、その結果をスケーリングして、前記フィルタリングされた信号を提供し、前記項が、前記対応する受信信号値とは無関係である、フィルタリングされた信号を生成するステップと、
    前記フィルタリングされた信号を出力するステップと、
    前記次の信号値を受信する前に前記次の信号値に対応する前記項を生成するステップと
    を含んで成る方法。
14. 前記項が、前に受信された信号値と、前記直列接続バイカッドフィルタを特徴付ける定数とに依存する、請求項１３に記載の方法。
15. 前記項を生成するステップが、固定小数点演算でも算術演算のみを含んで成る、請求項１３に記載の方法。
16. 前記バイカッドフィルタが、所定の周波数で周波数ノッチまたは共振を提供するフィルタを含んで成り、前記サンプリングレートが、前記所定の周波数に比して高く、前記項が、前記項を計算する前に前記定数のうちの１つをスケーリング係数により乗算することにより計算され、前記スケーリング係数が、前記項における丸め誤差を減じるように選択される、請求項１５に記載の方法。
17. 前記バイカッドフィルタが、所望の周波数範囲内で周波数応答の整形を提供するフィルタを含んで成り、前記サンプリングレートは、前記所望の周波数範囲に比して高く、前記項が、前記項を計算する前に前記定数のうちの１つをスケーリング係数により乗算することにより計算され、前記スケーリング係数が、前記項における丸め誤差を減じるように選択される、請求項１５に記載の方法。
18. 複数のユニット直接フィードスルーゲインバイカッドフィルタが、双線形フィルタを実施する、請求項１３に記載のフィルタ。
19. 前記フィルタが、状態空間形式を使用して実施される、請求項１３に記載の方法。
20. 前記フィルタが、伝達関数形式を使用して実施される、請求項１３に記載の方法。

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