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Hintergrund der Erfindung
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Digitale Implementierungen von Filtern liefern viele Vorteile gegenüber herkömmlichen analogen Implementierungen. Bei einer digitalen Implementierung eines analogen Filters, das an ein elektrisches Signal angelegt wird, wird das elektrische Signal periodisch abgetastet, und die Abtastwerte werden digitalisiert, um einen digitalen Strom zu bilden, der in eine Rechenschaltung eingegeben wird, die die Filterberechnungen an den digitalisierten Abtastwerten durchführt, um einen digitalen Ausgangsstrom zu erzeugen, der dann wieder in ein analoges Signal umgewandelt werden kann. Für die Zwecke dieser Erörterung wird der Begriff Filterlatenz als Zeitverzögerung zwischen der Eingabe eines digitalen Abtastwerts in die Rechenmaschine und der Erzeugung des nächsten digitalen Ausgangsabtastwertes, der von dem betreffenden Eingangsabtastwert abhing, definiert.
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Diese Zeitverzögerung ist besonders wichtig für Filter, die in Systemen verwendet werden, die mittels Rückkopplungsschleifen gesteuert werden. Ein Filter kann man sich so vorstellen, dass es Signalkomponenten bei gewählten Frequenzen verringert oder verstärkt. Alternativ kann man es sich so vorstellen, dass es eine Übertragungsfunktion einer gewünschten Gestalt in dem Frequenzbereich erzeugt. Falls ein digital implementiertes Filter in der Steuerschleife platziert wird, kann die durch das Filter bewirkte Verzögerung dazu führen, dass das Steuersystem instabil wird, was zu Oszillationen in dem Parameter, der zu steuern war, führt. Im Wesentlichen versucht das Steuersystem, das System auf der Basis von Daten zu regulieren, die zu alt sind, um gültig zu sein, und somit überkompensiert oder unterkompensiert das Steuersystem das betreffende System.
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Ein weiteres Problem bei digital implementierten Filtern ist die Rechengenauigkeit, die seitens der Rechenmaschine benötigt wird, um den gefilterten Datenstrom präzise zu erzeugen. Diese Probleme können minimiert werden, indem Rechenmaschinen verwendet werden, die Hochpräzisions-Gleitkommaarithmetikeinheiten aufweisen. Jedoch sind derartige Rechenmaschinen für viele Anwendungen wirtschaftlich unattraktiv und beinhalten oft beträchtlich mehr rechentechnische Latenz als Festkommaeinheiten. Somit werden Implementierungen bevorzugt, die in Festkommaarithmetik ausgeführt werden können.
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Diese beiden Probleme verstärken sich noch bei Anwendungen, bei denen eine Mehrzahl von Filtern kaskadiert werden muss, um die Effekte von Mehrfachresonanzen und Antiresonanzen innerhalb des gesteuerten Systems zu beseitigen. Falls zwei Filter kaskadiert sind, beträgt die Latenz des Filterpaars das Doppelte eines einzelnen Filters. Falls das kaskadierte Paar durch ein einzelnes Filter ersetzt wird, das dieselbe Filteroperation implementiert, ist die Länge des einzelnen Filters länger als die jedes der ursprünglichen Filter. Beispielsweise würden zwei kaskadierte Biquad-Filter durch ein einzelnes Filter ersetzt, dessen Zähler und Nenner Polynome der vierten Ordnung implementierten. In manchen Fällen nimmt die numerische Genauigkeit, die zum Implementieren des Filters in Festkommaarithmetik erforderlich ist, beträchtlich zu.
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Zusammenfassung der Erfindung
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Die vorliegende Erfindung umfasst ein Filter und ein Verfahren zum Filtern eines Signals. Das Filter ist äquivalent zu einer Mehrzahl von in Reihe geschalteten Biquad- oder bilinearen Filtern und ist an einem Digitalprozessor implementiert, der eine Sequenz von Signalwerten mit einer Abtastrate empfängt, die durch ein Abtastintervall gekennzeichnet ist, und der auf den Empfang jedes empfangenen Signalwerts hin einen gefilterten Signalwert erzeugt. Das Filter weist eine Latenz auf, die geringer ist als das Abtastintervall. Die gefilterten Werte können erzeugt werden, indem ein Term zu einem empfangenen Signalwert addiert wird und indem die Summe mit einer Gewinnkonstanten multipliziert wird, die von den Filterkonstanten abhängt. Der addierte Term hängt nicht von dem aktuellen empfangenen Signalwert ab. Das Filter kann in Festkommaganzzahlarithmetik implementiert werden.
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Kurze Beschreibung der Zeichnungen
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1 veranschaulicht den Rechenfluss eines digitalen Biquad-Filters.
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2A veranschaulicht eine Serie von Biquad-Filtern, die kaskadiert sind.
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2B veranschaulicht ein Filter gemäß der vorliegenden Erfindung, das als Kaskade von Biquads mit einem Direktdurchführungsgewinn von Eins implementiert ist.
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2C veranschaulicht ein weiteres Ausführungsbeispiel eines kaskadierten Filters gemäß der vorliegenden Erfindung.
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3 veranschaulicht ein weiteres Ausführungsbeispiel eines Filters gemäß der vorliegenden Erfindung.
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4 ist ein Flussdiagramm des bei einem Ausführungsbeispiel der vorliegenden Erfindung verwendeten Rechenalgorithmus.
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Ausführliche Beschreibung der bevorzugten Ausführungsbeispiele der Erfindung
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Die Art und Weise, auf die die vorliegende Erfindung ihre Vorteile bietet, werden unter Bezugnahme auf 1 besser verständlich, die den Rechenfluss eines Biquad-Filters veranschaulicht. Ein Filter 20 empfängt eine Sequenz von digitalen Signalwerten u(k) und erzeugt eine Sequenz von gefilterten digitalen Werten y(k). Die am Erzeugen der gefilterten Werte beteiligte mathematische Berechnung lässt sich wie folgt zusammenfassen: d(k) = –a1d(k – 1) – a2d(k – 2) + u(k), (1) y ~(k) = d(k) + b ~1d(k – 1) + b ~2d(k – 2), (2) und y(k) = b0y ~(k) (3) wobei b0 insofern als Direktdurchführungsgewinn bezeichnet wird, als es die Skalierung des Eingangs u(k) ist, die sich ohne Verzögerung an dem Ausgang y(k) zeigt.
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Alternativ dazu kann Gleichung (2) durch y ~(k) = b ~1d(k – 1) + b ~2d(k – 2) – a1d(k – 1) – a2d(k – 2) + u(k) (2a) oder y ~(k) = (b ~1 – a1)d(k – 1) + (b ~2 – a2)d(k – 2) + u(k). (2b) ersetzt werden. Die Parameter a1, a2, b0, b1, b2 werden durch die gewünschten Pole und Nullen des digitalen Filters bestimmt, die wiederum Eigenschaften wie beispielsweise die Mittenfrequenz usw. liefern. Bei einem Ausführungsbeispiel kann festgelegt werden, dass das Filter ein Antiresonanz/Resonanz-Paar ist, das die Effekte eines Resonanz/Antiresonanz-Paars in der Systemdynamik ausgleicht. Bei einem anderen Ausführungsbeispiel kann festgelegt werden, dass das Filter ein Filter mit einfachem Vorhalt/einfacher Verzögerung oder ein Filter mit doppeltem Vorhalt/doppelter Verzögerung ist. Bei einem anderen Ausführungsbeispiel kann das Filter ein Filter mit einfachem Vorhalt/einfacher Verzögerung oder mit doppeltem Vorhalt/doppelter Verzögerung sein. Bei einem weiteren Ausführungsbeispiel kann das Filter so geformt sein, dass es ein Bandpass- oder ein Bandsperrfilter ist. Die Art und Weise, wie diese Parameter ausgewählt werden, wird nachstehend ausführlicher erörtert.
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Es sollte erwähnt werden, dass die Quantität –a1d(k – 1) – a2d(k – 2) berechnet werden kann, sobald u(k – 1) empfangen wird, und somit beträgt die Latenz beim Berechnen von d(k) genau die Zeit zum Durchführen einer einzelnen Addition. Desgleichen kann b ~1d(k – 1) + b ~2d(k – 2) berechnet werden, sobald u(k – 1) empfangen wird, und (b ~1 – a1)d(k – 1) + (b ~2 – a2)d(k – 2) kann berechnet werden, sobald u(k – 1) empfangen wird. Somit ist aus den Gleichungen 2a, 2b und 3 ersichtlich, dass die Gesamtlatenz beim Berechnen von y(k) die Zeit für eine Addition und eine Multiplikation ist.
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Die Art und Weise, wie das Rechenverfahren der vorliegenden Erfindung seine Vorteile liefert, wird durch Definieren einer Sequenz von Verzögerungsvektoren besser verständlich. Für ein einzelnes Biquad-Filter sei die Sequenz von Vektoren
definiert, deren Komponenten durch
d ~1(k) = d ~(k) (4) d ~2(k) = d ~1(k – 1) (5) gegeben sind. Diese Vektoren werden in der folgenden Erörterung als „D-Vektoren” bezeichnet. Jedes Mal, wenn ein neuer Signalwert u(k) empfangen wird, wird der D-Vektor wie folgt aktualisiert:
und der gefilterte Wert wird gemäß
berechnet.
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Die durch die Produkte
definierten Vektoren können berechnet werden, sobald u(k – 1) empfangen wird, und somit ist die Latenz die Zeit, die für eine skalare Addition und die abschließende Multiplikation benötigt wird, um y(k) zu erhalten. Ferner sei erwähnt, dass die mehreren skalaren Additionen parallel durchgeführt werden können und somit durchgeführt werden können, ohne die Filterlatenzzeit zu erhöhen.
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Ein einzelnes Biquad-Filter sieht ein Filtern für ein Resonanz/Antiresonanz-Paar vor. Um mehrere Paare herauszufiltern oder eine Übertragungsfunktion einer höheren Ordnung zu implementieren, kann eine Serie von Biquad-Filtern kaskadiert sein, wie in 2A gezeigt ist. Bei diesem Beispiel gibt es N Biquad-Filter; beispielhafte Filter sind bei 41–43 gezeigt. Der Eingang in das i.te Filter ist der Ausgang des (i – 1.ten) Filters. Der Eingang des ersten Filters ist der Eingangsstrom, und der Ausgang des N.ten Filters ist der gefilterte Ausgang aus der Kaskade.
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Ein einzelnes Biquad wird durch die Übertragungsfunktion:
dargestellt, die, wie oben erwähnt wurde, im Zeitbereich als:
d(k) = –a1d(k – 1) – a2d(k – 2) + u(k), (11) y(k) = b0d(k) + b1d(k – 1) + b2d(k – 2), (12) implementiert werden kann.
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Bei einem Ausführungsbeispiel wird b
0 ausgeklammert, und somit gilt:
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In diesem Fall gilt: d(k) = –a1d(k – 1) – a2d(k – 2) + u(k), (14) y ~(k) = d(k) + b ~1d(k – 1) + b ~2d(k – 2), and (15) y(k) = b0y ~(k) (16)
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In der folgenden Erörterung wird ein Filter, das die Übertragungsfunktionsform
aufweist, als Biquad-Filter mit einem Direktdurchführungsgewinn von Eins bezeichnet, da sein Wert für den Direktdurchführungsgewinn b
0 auf 1 festgelegt ist. Nun sei auf
2B Bezug genommen, die ein Filter gemäß der vorliegenden Erfindung veranschaulicht, das als Kette von Biquads implementiert ist. Ein Filter
70 ist aus N Biquads mit einem Direktdurchführungsgewinn von Eins aufgebaut, die bei
71–
73 gezeigt sind. Der Ausgang des letzten Biquads wird durch eine Gewinnstufe
74 verstärkt, die den Ausgang anpasst, um den gewünschten Gesamtgewinn bereitzustellen.
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Es ist zu beachten, dass der Zähler der Gleichung (10) Signale in einem Frequenzband, das der Kerbe entspricht, dämpft. Der Nenner liefert den Gewinn in einem zweiten Frequenzband. Die Koeffizienten ai und bi sind auf die Eigenschaften dieser Bänder bezogen. Der b0-Koeffizient ist per definitionem der Direktdurchführungsgewinn des Biquads. Durch Ausklammern des b0-Terms kann eine Kaskade von Biquads, die denselben Direktdurchführungsgewinn (von Eins) aufweisen, implementiert werden, auf die eine Einzelgewinnstufe folgt. Dies ermöglicht Implementierungen, bei denen ein allgemeiner Filterprozessor bereitgestellt wird, der ansprechend darauf, dass der Nutzer die Parameter für jedes Biquad und den Gesamtgewinn des Systems eingibt, die Kaskade implementiert.
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Um die folgende Erörterung zu vereinfachen, werden in einer Kette von Biquads zusätzliche Tiefstellungen verwendet, um die jeweilige Quantität, die den individuellen Biquads zugeordnet ist, zu benennen. Die interessierenden Quantitäten lauten wie folgt: u0(k) = u(k), (17) u1(k) = y ~0(k), (18) u2(k) = y ~1(k), ... (19) uN-1(k) = y ~N-2(k), u ~N-1(k) = y~N-2(k), (20) y ~(k) = y ~N-1(k), und (21) y(k) = (bN-1,0bN-2,0...b1,0b0,0)y ~(k) (22) di(k) = –ai,1d(k – 1) – ai,2d(k – 2) + ui(k) (23) y ~i(k) = di(k) + b ~i,1di(k – 1) + b ~i,2di(k – 2) (24)
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Für jedes di(k) werden zwei Komponenten di,1(k) und di,2(k) wie folgt definiert: d ~i,1(k) = di(k) (25) d ~i,2(k) = d ~i,1(k – 1) (26)
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Die Koeffizienten a
i,1, a
i,2, b
i,1, b
i,2 und b
i,0 werden anhand der gewünschten Filtereigenschaften wie folgt ermittelt. Für das i.te Filter wird zunächst Folgendes benannt:
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Die betreffenden Parameter werden dann wie folgt auf diese Filterparameter bezogen:
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Die Art und Weise, auf die die vorliegende Erfindung ihre Vorteile liefert, lässt sich anhand eines Vektors leichter nachvollziehen.
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Aus den obigen Definitionen lässt sich zeigen, dass D ~(k) = MD·D(k – 1) + u(k)CD (28)
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Hier ist M
D eine Matrix und C
D ist ein konstanter Vektor. Beispielsweise kann in dem Fall, in dem drei Biquads kaskadiert sind, gezeigt werden, dass
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Es ist zu beachten, dass das Matrixprodukt MD·D(k – 1) berechnet werden kann, sobald u(k – 1) empfangen wird. Somit vermeidet diese Formulierung die erhöhte Latenz, die mit einer Kaskade von Biquads zusammenhängt.
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Desgleichen sei ein Vektor
definiert. Es kann gezeigt werden, dass
Y(k) = My·D(k – 1) + u(k)·Cy (29) -
Hier ist My eine Matrix und Cy ist eine konstanter Vektor.
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Beispielsweise kann in dem Fall, in dem drei Biquads kaskadiert sind, gezeigt werden, dass
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Das Matrixprodukt My·D(k – 1) kann berechnet werden, sobald D(k – 1) bekannt ist. Wie oben angegeben wurde, kann D(k – 1) berechnet werden, sobald u(k – 1) empfangen wird. Angenommen, dass die Berechnungen an einem Computer durchgeführt werden, der eine Zykluszeit aufweist, die viel schneller ist als die Geschwindigkeit, mit der Abtastwerte empfangen werden, können sie in einem Zeitraum abgeschlossen werden, der geringer ist als die Zeitdifferenz zwischen aufeinander folgenden Abtastwerten. Somit sind die vorab berechneten Teile des Filters bereit, und die Zeit, die benötigt wird, um auf den jüngsten Abtastwert anzusprechen, ist einfach die Zeit für eine Addition und eine Multiplikation. Diesbezüglich ist zu erwähnen, dass die Matrixmultiplikationen und -additionen parallel auf einer Maschine, die mehrere Prozessoren aufweist, oder in einer programmierbaren Logik wie beispielsweise einem feldprogrammierbaren Gatterarray (FPGA – Field Programmable Gate Array) ausgeführt werden können.
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Ferner ist zu beachten, dass der Filterausgang lediglich von y ~2(k) abhängt, d. h. y(k) = b 0y ~(k) = (b2,0b1,0b0,0)y ~2(k), und dass der Ausgang somit berechnet werden kann, indem ein Term, der lediglich von den zuvor empfangenen Werten der Eingangssequenz abhängt, zu u(k) addiert wird und indem anschließend das Ergebnis skaliert wird, um den Ausgang zu liefern.
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Die tatsächlichen numerischen Berechnungen können vereinfacht werden, indem beachtet wird, dass zwei Quantitäten für jedes Biquad eine bestimmte Anzahl von Malen in den Matrixprodukten wiederholt werden und dass diese Quantitäten somit einmal berechnet werden können und zum Berechnen der Matrixprodukte verwendet werden können. Insbesondere sind die Quantitäten
pr ~eci,1(k) = ai,1d ~i,1(k – 1) + ai,2d ~i,2(k – 1) and (31a) pr ~eci,2(k) = b ~i,1d ~i,1(k – 1) + b ~i,2d ~i,2(k – 1) (31b) nützlich beim Verringern der rechentechnischen Komplexität insofern, als die Matrix-D-Vektorprodukte anhand von Summen und Differenzen dieser Quantitäten geschrieben werden können. Beispielsweise gilt im Fall von drei kaskadierten Biquads:
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Eine Implementierung des in 2B gezeigten Filters unter Verwendung dieser vorab berechneten Quantitäten ist in 2C gezeigt.
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Falls die Abtastrate im Vergleich zu den Frequenzen der zu filternden Dynamik (beispielsweise das Biquad, das ein Kerbe/Resonanz-Paar bereitstellt) hoch ist und die Berechnungen in einer Festkommaganzzahlarithmetik ausgeführt werden, können die oben erörterten Summen und Differenzen Rundungsfehler aufweisen, da b ~i,1 ≈ –2 und b ~i,2 ≈ 1 und ai,1 ≈ –2 und ai,2 ≈ 1.
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Für die Zwecke dieser Erörterung wird die Abtastrate im Vergleich zu den Frequenzen der zu filternden Dynamik als hoch bezeichnet, falls die Abtastrate größer als das Zehnfache der Frequenz der niedrigsten Frequenzkerbe ist. Man betrachte den Term: b ~0,1 – a0,1, der in Gleichung (30) erscheint. Dieser Term beinhaltet die Differenz zweier Quantitäten, die nahezu gleich sind. Somit kann die Differenz in der Festkommaarithmetik sogar dann eine Zahl mit einer Genauigkeit von lediglich einigen wenigen Bits sein, wenn die betreffenden Quantitäten durch Zahlen dargestellt werden, die 10 oder 12 Bits aufweisen.
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Bei einem Aspekt der vorliegenden Erfindung werden die Rundungsfehlerprobleme beträchtlich verringert, indem man Folgendes ersetzt: b ~i,1 = 1 + b ~i,1Δ b ~i,2 = 1 + b ~i,2Δ ai,1 = –2 + ai,1Δ ai,2 = 1 + ai,2Δ
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Bezüglich oben beschriebener vorab berechneter Quantitäten nutzt die neue Form von
pr ~eci,1(k) und
pr ~eci,2(k) diese Koeffizienten:
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Hier verwendet
pr ~eci,1F(k) skalierte Koeffizienten für eine genauere Multiplikation:
und anschließend wird die Skalierung vor einer Addition zu
pr ~eci,1W(k) beseitigt:
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Hier ist der Koeffizient E
i derart gewählt, dass die Multiplikationen die gewünschte Genauigkeit aufweisen. Ferner ist es möglich, für jeden Koeffizienten in der Gleichung einen anderen Wert E
i zu wählen. Desgleichen gilt:
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Nun sei auf 3 Bezug genommen, die ein Ausführungsbeispiel eines Filters gemäß der vorliegenden Erfindung veranschaulicht. Ein Filter 50 verarbeitet ein elektrisches oder optisches Signal von einer Quelle 55. Falls die Quelle 55 ein analoges Signal liefert, wird das Signal durch einen A/D 54 digitalisiert. Falls die Quelle bereits ein digitales Signal erzeugt, kann auf den A/D 54 verzichtet werden. Ein Prozessor 51 berechnet das gefilterte Signal aus Filterkoeffizienten, die in einem Speicher 52 gespeichert sind. Der Prozessor 51 kann in einer Spezial-Signalverarbeitungshardware oder als herkömmliche Rechenmaschine implementiert sein. Jedes Mal, wenn ein neuer Signalwert in den Prozessor 51 eingegeben wird, erzeugt der Prozessor 51 ein digitales Ausgangssignal. Falls der gewünschte Ausgang des Filters 50 ein analoges Signal ist, kann ein D/A-Wandler 53 in dem Filter 52 enthalten sein.
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Nun wird auf 4 Bezug genommen, die ein Flussdiagramm für ein Ausführungsbeispiel des Verarbeitungsalgorithmus der vorliegenden Erfindung ist. Anfänglich warten die Prozessschleifen auf den nächsten Eingangswert u(k), wie bei 61 gezeigt ist. Wenn ein neuer Wert u(k) empfangen wird, gewinnt der Prozessor die berechneten Vektoren, die am Ende des letzten Verarbeitungszyklus erzeugt wurden, wieder, wie bei 62 gezeigt ist, und erzeugt einen neuen Ausgangswert y(k), wie bei 63 gezeigt ist. Der neue Eingangswert wird dann dazu verwendet, Vektoren, die zum Verarbeiten des nächsten Eingangswerts benötigt werden, vorab zu berechnen, wie bei 64 gezeigt ist. Diese Werte werden anschließend gespeichert, und der Prozessor kehrt in den Zustand zurück, in dem er auf den nächsten Eingangswert wartet. Die Verarbeitungszeit zum Berechnen der vorab berechneten Vektoren muss geringer sein als die Zeit zwischen Abtastwerten. Wie oben erwähnt wurde, könnte Spezialhardware wie beispielsweise FPGAs verwendet werden, um die Verarbeitungszeit unter Verwendung einer parallelen Verarbeitungsanordnung zu verringern.
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Obwohl die oben beschriebenen Ausführungsbeispiele der vorliegenden Erfindung auf Filter abzielen, die Kerben und Resonanzen aufweisen, kann das Verfahren der vorliegenden Erfindung auf die Berechnung eines beliebigen Filters angewendet werden, das zu einer Serie von Biquad-Filtern äquivalent ist. Desgleichen kann eine beliebige Biquad-Stufe dazu verwendet werden, ein bilineares Filter (mit einem Pol und einer Null) zu implementieren, indem a
i,2 und
b ~i,2 auf 0 gesetzt werden. In diesem Fall gilt:
| fN,i | Nullfrequenz des Zählers (Hz) |
| ωN,i = 2πfN,i | Nullfrequenz des Zählers (rad/s) |
| fD,i | Polfrequenz des Nenners (Hz) |
| ωD,i = 2πfD,i | Polfrequenz des Nenners (rad/s) |
was zu Koeffizientenwerten
führt.
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Nun konnte dieselbe Filterstruktur wie zuvor berechnet werden. Zum Zweck einer verbesserten Genauigkeit ist es jedoch möglich, die Berechnung der Δ-Koeffizienten zu verändern. Für hohe Abtastraten im Vergleich zu den zu filternden Dynamiken gilt dann: ai,1, b ~i,1 ≈ –1, was bedeutet, dass eine erhöhte Genauigkeit erhalten werden kann, indem Folgendes berechnet wird: ai,1 = –1 + ai,1Δ so ai,1Δ = ai,1 + 1, ai,2 = 0 so ai,2Δ = 0, b ~i,1 = –1 + b ~i,1Δ so b ~i,1Δ = b ~i,1 + 1, und schließlich b ~i,2 = 0 so b ~i,2Δ = 0.
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Für diesen Biquad-Abschnitt gilt:
wobei der Koeffizient E
i so gewählt ist, dass die Multiplikationen die gewünschte Präzision aufweisen, und desgleichen
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Wiederum ist es möglich, für jeden Koeffizienten einen anderen Wert Ei in den Gleichungen zu wählen.
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Obwohl Ausführungsbeispiele oben ein Filter mit einem einzigen Eingang und einem einzigen Ausgang (SISO-Filter, SISO = Single-Input, Single-Output) erörterten, versteht es sich, dass diese Erfindung auf Filter mit mehreren Eingängen (MI – Multiple Inputs), mehreren Ausgängen (MO – Multiple Outputs) oder beides (MIMO) angewendet werden kann.
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Die Software oder Logikblöcke, die zum Implementieren der vorliegenden Erfindung verwendet werden, kann bzw. können für eine Zustandsraumimplementierung (wie beispielsweise Gleichungen 28–30) oder Übertragungsfunktionsform-Implementierungen (beispielsweise Gleichungen 17–24) oder irgendetwas dazwischen (beispielsweise Gleichungen 31–32) optimiert werden. Aus der obigen Erörterung wird deutlich, dass diese Berechnungen in beliebigen dieser Formen oder in anderen, ähnlichen Formen implementiert werden können.
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Die oben beschriebenen Ausführungsbeispiele der vorliegenden Erfindung wurden bereitgestellt, um diverse Aspekte der Erfindung zu veranschaulichen. Jedoch versteht es sich, dass verschiedene Aspekte der vorliegenden Erfindung, die in verschiedenen spezifischen Ausführungsbeispielen gezeigt sind, kombiniert werden können, um andere Ausführungsbeispiele der vorliegenden Erfindung zu liefern. Außerdem ergeben sich aus der vorstehenden Beschreibung und den beiliegenden Zeichnungen diverse Modifikationen der vorliegenden Erfindung. Demgemäß soll die vorliegende Erfindung lediglich durch den Schutzumfang der folgenden Patentansprüche beschränkt sein.
berechnet.
