JP2014052832A - ビア接続の多層配線の信頼性を評価する信頼性評価シミュレーションプログラム、ビア接続の多層配線の許容電流密度向上方法およびビア接続の多層配線 - Google Patents

Abstract

【課題】リザーバ構造を有するビア接続の多層配線について、ＥＭ損傷過程の数値シミュレーションを実施しリザーバ効果を考慮しつつ閾電流密度を評価することにより配線の信頼性を評価するシミュレーション方法等を提供する。
【解決手段】電流密度分布および温度分布を２次元ＦＥ分析により計算する。上記解析結果と薄膜特性とから各要素における支配パラメータ（ＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}、ＡＦＤ^＊ _ｇｅｎ）を計算する。θに関する原子濃度Ｎ^＊を支配パラメータの値に基づき計算する。各要素における原子濃度Ｎはすべてのθの値についてのＮ^＊の平均により計算する。定常状態に達するまで繰返し計算のための設定を行った後、支配パラメータの計算を繰返す。リザーバ構造を有するビア接続の多層配線構造において、陰極端のビア側にのみリザーバを設け、当該多層配線内部の最小原子濃度を増加させることにより、多層配線の許容電流密度を増加させることができる。
【選択図】図２

Description

本発明は、リザーバ構造を有するビア接続の多層配線について、エレクトロマイグレーション損傷過程におけるビア接続の多層配線の信頼性を評価する信頼性評価シミュレーションプログラム等に関する。

近年、電子デバイスの高集積化によって、金属配線の微細化が進んでいる。一方、微細化された配線においては高密度電流およびそれに伴うジュール熱の上昇に起因して、エレクトロマイグレーション（Electromigration : ＥＭ）による損傷が問題となっている。ＥＭとは、高密度電子流による金属原子の拡散現象である。

図９は、リザーバ構造を有する多層配線５０を示す。図９に示されるように、ビア接続５６を有する多層配線５０において、配線端部５４ｎ（陰極側−）および５４ｐ（陽極側＋）から外側へ張り出し部（リザーバ）５５ｎおよび５５ｐを設けることにより、リザーバ効果によってＥＭ損傷による断線を遅延させることが知られている（非特許文献１参照）。この効果は、張り出し部（リザーバ）５５ｎおよび５５ｐから供給される金属原子が金属配線５１、５２および５３への原子のリザーバとなるためである。

一方、ビア接続ではＥＭ損傷の閾電流密度ｊ_ｔｈが存在することが知られている。従来、閾電流密度ｊ_ｔｈの評価方法の研究が行われてきた（非特許文献２参照）。閾電流密度ｊ_ｔｈは数値シミュレーションによっても評価され、配線における原子濃度分布の生成プロセスがシミュレーションされている。このシミュレーションは、多結晶構造配線におけるＥＭ損傷の支配パラメータＡＦＤ^＊ _ｇｅｎに基づく（非特許文献３参照）。このパラメータは２次元配線形状へ適用可能であり、種々の評価が行われている（非特許文献４参照）。リザーバ効果を考慮したＥＭ損傷評価シミュレーションの開発も試みられてきた（非特許文献５および６参照）。

上述した非特許文献３〜６のシミュレーションでは、ボイドが発生、成長し断線に至るＥＭ損傷過程のシミュレーションには至っておらず、リザーバ効果を考慮しつつ配線の信頼性を評価可能なシミュレーション手法は未だに開発されていないという問題があった。そこで、本発明の目的は上記問題を解決するためになされたものであり、リザーバ構造を有するビア接続の多層配線について、ボイドの発生に至るＥＭ損傷過程のシミュレーションを実施し、リザーバ効果を考慮しつつ閾電流密度を評価することにより多層配線の信頼性を評価する信頼性評価シミュレーションプログラム等を提供することにある。

この発明のビア接続の多層配線の信頼性を評価する信頼性評価シミュレーションプログラムは、リザーバ構造を有するビア接続の多層配線について、エレクトロマイグレーション損傷過程における多層配線の信頼性を評価する信頼性評価シミュレーションプログラムであって、コンピュータに、前記多層配線を二次元的に要素分割する要素分割ステップ、前記要素分割ステップで分割された各要素の初期原子濃度をＮ_０とする初期設定ステップ、２次元有限要素法により前記多層配線内の電流密度分布及び温度分布を計算する２次元有限要素法ステップ、前記２次元有限要素法ステップにより計算された前記多層配線内の電流密度分布及び温度分布と記録部に記録された該多層配線材料の物性定数とに基づき、単位時間に単位体積当たりエレクトロマイグレーションにより何個原子が消失するかを示す以下の支配パラメータ（陰極および陽極端の要素とビアとではＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}、他の要素ではＡＦＤ^＊ _ｇｅｎ）、

ここで、Ｎ：原子濃度、Ｄ_０：振動数項、ｋ:ボルツマン定数、Ｔ：絶対温度、Ｑ_ｇｂ：原子拡散の活性化エネルギ、κ：保護膜拘束下の濃度変化と応力変化との間の係数、Ω：原子体積、σＴ：引張の熱応力、Ｎ_Ｔ：σＴが作用したときの原子濃度、Ｎ_０：無応力状態における原子濃度、Ｚ^＊：有効電荷数、ｅ：単位電荷、ρ：電気抵抗率、ｊ^＊：電流密度ベクトルのＪ方向の成分、∂Ｎ／∂ｌ：原子濃度勾配のＪ方向成分、δ：結晶粒界の有効幅、θ：微小単位構造とｘ軸との間の角度、ｄ：平均結晶粒径、Δφ：結晶粒界間の角度に関する定数、Ｑ_ｇｂ：粒界拡散の活性化エネルギ、Ｄ_ｘ＝Ｚ^＊eρｊ_ｘ−κΩ／Ｎ_０（∂Ｎ／∂ｘ）、Ｄ_ｙ＝Ｚ^＊eρｊ_ｙ−κΩＮ_０（∂Ｎ／∂ｙ）であり、

ここで、β：配線端がｘ軸となす角度、ｄ：平均結晶粒径、Ｄ_ｘ＝Ｚ^＊eρｊ_ｘ−κΩ／Ｎ_０（∂Ｎ／∂ｘ）、Ｄ_ｙ＝Ｚ^＊eρｊ_ｙ−κΩＮ_０（∂Ｎ／∂ｙ）、を計算する支配パラメータ計算ステップ、前記支配パラメータ計算ステップで計算された支配パラメータの値に基づき、θに関する原子濃度Ｎ^＊、ここで、Ｎ^＊：式２で表されるＡＦＤ^＊ _ｇｂθに含まれるθを０から２πのそれぞれの値としてＡＦＤ^＊ _ｇｂθ値を計算し、その値から求めるθの値毎の原子濃度、を計算する原子濃度Ｎ^＊計算ステップ、前記原子濃度Ｎ^＊計算ステップで計算されたθの値毎に持っている原子濃度Ｎ^＊を要素内の全てについて平均した原子濃度Ｎを計算する原子濃度Ｎ計算ステップ、δＮ／δｘ、δＮ／δｙ等、濃度分布の計算ステップ、原子濃度が変化しなくなる定常状態に達したか否かを判断する判断ステップ、前記判断ステップで定常状態に達していないと判断された場合、繰返し計算のための設定を行って、前記支配パラメータ計算ステップへ戻って計算を繰返す繰返ステップを実行させるための多層配線の信頼性を評価する信頼性評価シミュレーションプログラムである。

この発明のビア接続の多層配線の許容電流密度向上方法は、リザーバ構造を有するビア接続の多層配線について、陰極端のビア側にのみリザーバを設け、該多層配線内部の最小原子濃度を増加させることにより、多層配線の許容電流密度を増加させることを特徴とする。

この発明のビア接続の多層配線構造は、リザーバ構造を有するビア接続の多層配線において、陰極端のビア側にのみリザーバを設け、該多層配線内部の最小原子濃度を増加させることにより、多層配線の許容電流密度を増加させることを特徴とする。

本発明では、ＥＭ損傷支配パラメータを用いた本数値シミュレーションを実施することにより、集積回路配線におけるリザーバ効果の評価を行った。本数値シミュレーションは、まず電流密度分布および温度分布を２次元ＦＥ分析（有限要素法による分析。一般的には数値解析としてもよい。）により計算する。上記解析結果（電流密度分布および温度分布）とディスク等に記録された薄膜特性（配線材料の物性定数）とから各要素における上記支配パラメータ（ＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}、ＡＦＤ^＊ _ｇｅｎ）を計算する。次に、θに関する原子濃度Ｎ^＊を上記支配パラメータの値に基づき計算する。各要素における原子濃度Ｎはすべてのθの値についてのＮ^＊の平均により計算する。δＮ／δｘ、δＮ／δｙ等、濃度分布の計算を行い、臨界原子濃度または原子濃度が変化しなくなる定常状態に達したか否かを判断し、達したと判断した場合は終了し、そうでないと判断した場合は、上記支配パラメータの計算を繰返す。

本数値シミュレーションにより、陰極端側にリザーバを設けると、配線内部の最小原子濃度が増加し、配線の許容電流密度が増加することがわかった。また、リザーバを有する配線に許容値以上の電流が作用した場合、陰極側のビア部で原子濃度はボイド発生の臨界値に到達するため、ボイド発生箇所は陰極側のビア部であると評価できた。即ち、許容値以上の電流が作用した場合、陰極側のビア部にボイドが発生することが実験事実と符合していることがわかったため、本数値シミュレーションによる結果は妥当であると言える。つまり、従来あまり行われない陰極端側のみにリザーバを設けることを行うと、配線の許容電流密度が増加し、損傷しにくくなることがわかった。以上により、リザーバ構造を有するビア接続の多層配線について、ボイドの発生に至るＥＭ損傷過程の本数値シミュレーションを実施し、リザーバ効果を考慮しつつ閾（許容）電流密度を評価することにより配線の信頼性を評価するシミュレーション方法等を提供することができるという効果がある。

多結晶構造のモデルを示す図である。 本数値シミュレーションまたは方法の流れを示すフローチャートである。 繰返し計算による配線の原子濃度分布の時間に伴う変化をグラフで示す図である。 本数値シミュレーションで評価した４種類の配線構造を示す図である。 定常状態でのすべての要素における原子濃度Ｎ^＊の最小値と想定した電流密度ｊとの関係をグラフで示す図である。 サンプル１、２および３の配線に沿った原子濃度Ｎ／Ｎ_０の分布をグラフで示す図である。 本数値シミュレーション終了時の原子濃度分布をグラフで示す図である 本発明のシミュレーションプログラムを実行するコンピュータの内部回路３０を示すブロック図である。 リザーバ構造を有する多層配線５０を示す図である。

本発明では、リザーバを有する配線の信頼性評価法を開発するための第一段階として、ボイド発生に至る許容電流密度の評価と許容値以上の電流を作用させたときのボイド発生箇所の評価とを行うためのＥＭ損傷の本発明の数値シミュレーションプログラム（または数値シミュレーション方法。以下、単に「本数値シミュレーション」と言う。）方法を開発した。以下、各実施例について図面を参照して詳細に説明する。

本数値シミュレーションプログラムを構築するために、ＥＭ損傷の支配パラメータＡＦＤ^＊ _ｇｅｎが用いられる（非特許文献３参照）。当該パラメータはＥＭ損傷に起因する原子流束の定式化で与えられる。原子濃度勾配（応力勾配）に起因するバックフローと拡散率における金属配線内で生成された応力の効果とを考慮したＥＭ原子流束Jは式１で与えられる（非特許文献７参照）。

ここで、Ｎ：原子濃度、Ｄ_０：振動数項、ｋ:ボルツマン定数、Ｔ：絶対温度、Ｑ_ｇｂ：原子拡散の活性化エネルギ、κ：保護膜拘束下の濃度変化と応力変化との間の係数、Ω：原子体積、σＴ：引張の熱応力、Ｎ_Ｔ：σＴが作用したときの原子濃度、Ｎ_０：無応力状態における原子濃度、Ｚ^＊：有効電荷数、ｅ：単位電荷、ρ：電気抵抗率、ｊ^＊：電流密度ベクトルのＪ方向の成分、∂Ｎ／∂ｌ：原子濃度勾配のＪ方向成分である。

本数値シミュレーションでは保護層で覆われた広いＣｕ配線を想定したため、結晶粒界拡散（grain boundary diffusion）を主要な拡散メカニズムとして仮定した。非特許文献８、９によれば広いＣｕ配線（interconnetcs）において、結晶粒界はＥＭ経路（path）となる。発明者らは原子流束発散を計算するモデルを導入した（非特許文献１０参照）。そこで、発明者はＣｕ配線に関しても当該モデルに基づいてＥＭ損傷の支配パラメータを用いた。

微小単位構造（後述）に出入りする原子を考慮すると、多結晶構造配線の原子流束発散は式２で与えられるように定式化される。

ここで、Ｃ^＊ _ｇｂはＤ_０δ／ｋを表しており、結晶粒界の有効幅をδで示す。ｄは平均結晶サイズ、Δφは結晶粒界間の相対角度に関連した定数、ｊ_ｘおよびｊ_ｙはデカルト座標系における電流密度ベクトルｊのｘ、ｙ成分、θは微小単位構造とｘ軸との間の角度である。図１（Ａ）は多結晶構造のモデルを示し、図１（Ｂ）は図１（Ａ）の一部拡大図（微小単位構造）を示す。図１（Ａ）中では金属配線（Metal line）１０の一部拡大図が示されており、当該拡大図において金属結晶粒１２はサイズｄの矩形（６角形のGrain）で表されている。図１（Ｂ）に示される微小単位構造では結晶粒界（Grain Boundary）１（アラビア数字）、２（アラビア数字）および３（アラビア数字）、微小単位構造とｘ軸との間の角度θ、定数Δφ等が示されている。

式２のＡＦＤ^＊ _ｇｅｎの正の値のみの期待値がＥＭ損傷を支配するパラメータＡＦＤ^＊ _ｇｅｎを表し、多結晶構造配線におけるボイド形成に関して式３が得られる。

式３は単位時間、単位体積当たりで減少する原子数を意味する。

配線端部では、原子流に関する境界条件を上記パラメータの形成に与える必要がある。つまり、配線の陰極端では原子の流入はなく陽極端では原子の流出はないからである。当該境界条件は、可能なゼロ流束を図１（Ｂ）に示される微小単位構造内に各θ範囲について割当てることにより表すことができる。表１は原子流束に関する上記境界条件を示す（非特許文献１１参照）。表１中のＪ_{１（アラビア数字）}、Ｊ_{２（アラビア数字）}、Ｊ_{３（アラビア数字）}等の１（アラビア数字）、２（アラビア数字）および３（アラビア数字）は図１の結晶粒界（Grain Boundary）１（アラビア数字）、２（アラビア数字）および３（アラビア数字）の１（アラビア数字）、２（アラビア数字）および３（アラビア数字）である。

以上より、図１（Ｂ）に示される微小単位構造内の原子の出入りを考慮すると、ビア接続配線端部における原子流束発散ＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜end}は式４により与えられる。

ここで、δ：結晶粒界の有効幅、β：配線端がｘ軸となす角度（図１（Ｂ）参照）、ｄ：平均結晶粒径、Ｑ_ｇｂ：粒界拡散の活性化エネルギ、Ｄ_ｘ＝Ｚ^＊eρｊ_ｘ−κΩ／Ｎ_０（∂Ｎ／∂ｘ）、Ｄ_ｙ＝Ｚ^＊eρｊ_ｙ−κΩＮ_０（∂Ｎ／∂ｙ）である。原子流束勾配ＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}は結晶粒界における流束発散の量を表し、単位時間、単位体積当たりで減少する原子数を意味する。

上記ＥＭ損傷の支配パラメータを用いて、配線内における原子濃度分布の本数値シミュレーションを数種類の入力電流密度ｊ、基板温度Ｔ_ｓを条件として実行した。評価される配線は二次元的に要素分割し、原子濃度分布の生成プロセスは上記支配パラメータに基づき各要素の原子濃度を変化させながらシミュレートした。温度に関する境界条件は配線の両端に与え、電流密度に関する境界条件はビア位置に与えた。原子流は金属配線の周囲では遮断した。端部のパラメータであるＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}は陰極および陽極端の要素とビアとで用い、ＡＦＤ^＊ _ｇｅｎは他の要素で用いた。

図２は、本数値シミュレーションまたは方法の流れをフローチャートで示す。図２に示されるように、要素の初期原子濃度をＮ_０とする。まず、電流密度分布および温度分布を２次元ＦＥ分析（有限要素法。一般的には数値解析としてもよい。）により計算する（ステップＳ１０）。上記分析結果（電流密度分布および温度分布）とディスク３８（後述）等に記録された薄膜特性（配線材料の物性定数。非特許文献４参照）とから各要素における上記支配パラメータ（ＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}、ＡＦＤ^＊ _ｇｅｎ）を計算する（ステップＳ１２、Ｓ１４）。時間経過に伴い配線内の原子濃度分布は変化し、これら支配パラメータ値も変化する。次に、θに関する原子濃度Ｎ^＊を上記支配パラメータの値に基づき計算する。各要素における原子濃度Ｎはすべてのθの値についてのＮ^＊の平均により計算する。δＮ／δｘ、δＮ／δｙ等の濃度分布の計算も行う（以上、ステップＳ１６）。臨界原子濃度または原子濃度が変化しなくなる定常状態に達したか否かを判断し（ステップＳ１８）、達したと判断した場合は終了し、そうでないと判断した場合はステップＳ１４へ戻って計算を繰返す。繰り返すときは、ステップＳ１６の結果の、Ｎ、δＮ／δｘ、δＮ／δｙを使って、ステップＳ１４の計算を行う。

本数値シミュレーションでは各要素に２種類の原子濃度（Ｎ^＊、Ｎ）を使っている。一つは、式２で表されるＡＦＤ^＊ _ｇｂθに含まれるθ（図１参照）を０から２πのそれぞれの値としてＡＦＤ^＊ _ｇｂθ値を計算し、その値から求める原子濃度（Ｎ^＊）である。よって、Ｎ^＊はθの値毎に計算される。もう一つは、θの値毎に持っているＮ^＊を要素内の全てについて平均した原子濃度Ｎである。このＮが要素の原子濃度として、式２で用いられている。原子濃度の初期値Ｎ_０からＥＭ損傷前の要素内の原子数がわかる。ＡＦＤ^＊ _ｇｅｎまたはＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}は、単位時間に単位体積当たりＥＭにより何個原子が消失するかを求めるパラメータであるから、この値から１計算ステップの間にどのくらい要素から原子が消失するかを計算することができ、時間経過後の要素の原子濃度Ｎを求めることができる。要素の原子濃度Ｎ（とその勾配δＮ／δｘ、δＮ／δｙ等も）が変化すると、それらの関数であるＡＦＤ^＊ _ｇｅｎまたはＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}の値も変化する。これによる時間ステップを進行させた繰り返し計算を行う。繰り返し計算はある入力電流密度を仮定して行う。

図３は、繰返し計算による配線の原子濃度分布の時間に伴う変化をグラフで示す。図３で横軸は配線中央部（図４参照）からの距離（μｍ。負が陰極側で正が陽極側）、縦軸は原子濃度（Ｎ／Ｎ_０）である。原図では繰返し数（step。時間の経過）が色分けされて示されている(青色：５０００ステップ、赤色：１０，０００ステップ、緑色：２０，０００ステップ、紫色：３０，０００ステップ）。図３に示されるように、繰返し数が多くなるほど（時間の経過に伴い）、同じ位置における原子濃度は変化していき、十分に時間が経過すると原子濃度が変化しなくなる定常状態になることがわかる。図３に示されるように、時間経過に伴い、要素毎のＮ^＊、さらにはＮが変化していき、その後濃度分布が定常状態になる。

図４は、本数値シミュレーションで評価した４種類の配線構造を示す。図４で図９と同じ符号を付した個所は同じ要素を示すため、説明は省略する。図４（Ａ）は両端にリザーバがないサンプル１を示し、図４（Ｂ）は陰極ビアにリザーバを配置したサンプル２を示し、図４（Ｃ）は陽極ビアにリザーバを配置したサンプル３を示し、図４（Ｄ）は陰極ビアおよび陽極ビアの両方にリザーバを配置したサンプル４を示す。図４（Ａ）〜（Ｄ）に示すような直線形状のＣｕ配線を想定し、リザーバの有無が閾電流密度の大きさに与える影響を評価した。図４（Ａ）〜（Ｄ）に示すように、リザーバがない場合（サンプル１）、陽極端から密度ｊの電流を入力し、陰極端からｊの電流を出力する（矢印参照）。両端に想定したビア間の距離は１５０（μｍ）、配線５２の幅Ｗは１０（μｍ）、厚さｔは４１０（ｎｍ）である。リザーバがある場合（サンプル２および３）も同様に１５０（μｍ）離れたビア間で密度ｊの電流を入出力した。張り出し部５５ｎ、５５Ｐの長さはいずれも２５（μｍ）である。本数値シミュレーションは各々のサンプルにおいて、基板温度５７３（Ｋ）下で、３種類の電流密度を想定して実施した。

本数値シミュレーションにおいて、Ｃｕ配線は表２で示される特性定数を有するものと想定した（非特許文献１２〜１６参照）。

入力電流密度は、０．２、０．４および０．６（ＭＡ／ｃｍ^２）の３つの値を想定した。環境温度はすべてのサンプル１〜４において５７３（Ｋ）と想定した。

想定した電流密度が小さい場合は、配線内の原子濃度Ｎ^＊の最小値がボイド形成に至る臨界の原子濃度Ｎ^＊ _ｍｉｎに達することなく配線内の原子濃度分布が変化しなくなる定常状態となる。配線内における原子濃度の最小値がちょうどＮ^＊ _ｍｉｎに一致する電流密度を閾電流密度とし、配線の許容電流密度として評価する。閾電流密度より小さい電流密度で本数値シミュレーションを実行後、原子濃度分布の定常状態を得た。図５（Ａ）は、定常状態でのすべての要素における原子濃度Ｎ^＊の最小値と想定した電流密度ｊとの関係を示すグラフである。図５（Ａ）で横軸は電流密度（ＭＡ／ｃｍ^２）、縦軸は最小原子濃度（Ｎ^＊／Ｎ_０）であり、各サンプル１〜４毎にプロットした。詳しくは、定常状態になった原子濃度Ｎ^＊の配線内での最小値を、仮定した入力電流密度に対してプロットした。図５（Ａ）に示されるように、各サンプル１〜４のプロットを結ぶ線と臨界の原子濃度（Ｎ^＊ _ｍｉｎ／Ｎ_０）の線との交点から閾電流密度が評価される。図５（Ｂ）はこのようにして評価された各サンプル１〜４についての閾電流密度ｊ_ｔｈ（ＭＡ）を示す。配線内の原子濃度Ｎ^＊がＮ^＊ _ｍｉｎの値に達するとボイドができて損傷するモデルとなっているため、定常になった時にちょうど配線内の原子濃度Ｎ^＊の最小値がＮ^＊ _ｍｉｎの値になる入力電流密度を図５（Ａ）に示されるグラフの交点から求め、それを閾電流密度ｊ_ｔｈとして評価する。

図５（Ａ）、（Ｂ）に示されるように、サンプル１と４の閾電流密度ｊ_ｔｈはほとんど同じである。これに対して、サンプル２では閾電流密度ｊ_ｔｈはサンプル１および４の閾電流密度ｊ_ｔｈより大きい。サンプル３では閾電流密度ｊ_ｔｈはサンプル１および４の閾電流密度ｊ_ｔｈより小さい。リザーバが陰極ビア側に配置されたサンプル２の場合、閾電流密度ｊ_ｔｈは他のサンプルより大きくなった。これは、定常状態におけるビア間通電部の原子濃度分布はサンプル１と３とでは変化しないが、サンプル２の分布はそれらよりも高い濃度となり配線内の原子濃度の最小値も増加したためと考えられる。つまり、サンプル２は他の形状のサンプルよりも多く電流を流すことができるため、ＥＭ損傷しにくい形状であるということができる。

図６は、サンプル１、２および３の配線に沿った原子濃度Ｎ／Ｎ_０の分布を示すグラフである。図６で横軸は配線中央部（図４参照）からの距離（μｍ。負が陰極側で正が陽極側）、縦軸は原子濃度（Ｎ／Ｎ_０）であり、サンプル１は実線、サンプル２は破線、サンプル３はピッチの短い破線で示す。サンプルはすべて入力電流密度が等しい。式１によれば、電流密度が等しい場合、ＥＭの駆動力は等しい。このため、定常状態では原子濃度の傾きは互いに対応している。一方、リザーバでは電流密度はほとんどゼロであり、ＥＭの駆動力はない。従って、定常状態ではリザーバにおける傾きはほとんど水平となる。質量の法則によれば、サンプル２における原子濃度分布はサンプル１における分布から広域的に上方へシフトすることになる。

図７は、本数値シミュレーション終了時の原子濃度分布を示すグラフである。図７で横軸は配線中央部（図４参照）からの距離（μｍ。負が陰極側で正が陽極側）、縦軸は原子濃度Ｎ^＊（１／μｍ^３）、入力電流密度ｊ＝２．０（ＭＡ／ｃｍ^２）でありサンプル３について示す。図７はＮ^＊の分布であるため、各要素に複数のＮ^＊がありそれらをプロットしていることから、太い線にみえている。図７に示されるように、陰極側のビア部において濃度がＮ^＊ _ｍｉｎに達し、ボイドが発生すると考えられた。この結果は実験におけるボイド発生箇所（非特許文献１７参照）に一致する。

以上より、本発明の実施例１によれば、ＥＭ損傷支配パラメータを用いた本数値シミュレーションを実施することにより、集積回路配線におけるリザーバ効果の評価を行った。本数値シミュレーションは、まず電流密度分布および温度分布を２次元ＦＥ分析（有限要素法。一般的には数値解析でもよい。）により計算する。上記解析結果（電流密度分布および温度分布）とディスク３８（後述）等に記録された薄膜特性（配線材料の物性定数。非特許文献４参照）とから各要素における上記支配パラメータ（ＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}、ＡＦＤ^＊ _ｇｅｎ）を計算する。次に、θに関する原子濃度Ｎ^＊を上記支配パラメータの値に基づき計算する。各要素における原子濃度Ｎはすべてのθの値についてのＮ^＊の平均により計算する。臨界原子濃度または原子濃度が変化しなくなる定常状態に達したか否かを判断し、達したと判断した場合は終了し、そうでないと判断した場合は上記支配パラメータの計算を繰返す。本数値シミュレーションにより、陰極端側にリザーバを設けると、配線内部の最小原子濃度が増加し、配線の許容電流密度が増加することがわかった。また、リザーバを有する配線に許容値以上の電流が作用した場合、陰極側のビア部で原子濃度はボイド発生の臨界値に到達するため、ボイド発生箇所は陰極側のビア部であると評価できた。即ち、許容値以上の電流が作用した場合、陰極側のビア部にボイドが発生することが実験事実と符合していることがわかったため、本数値シミュレーションによる結果は妥当であると言える。つまり、従来あまり行われない陰極端側のみにリザーバを設けることを行うと、配線の許容電流密度が増加し、損傷しにくくなることがわかった。以上により、リザーバ構造を有するビア接続の多層配線について、ボイドの発生に至るＥＭ損傷過程の本数値シミュレーションを実施し、リザーバ効果を考慮しつつ閾電流密度を評価することにより配線の信頼性を評価するシミュレーション方法等を提供することができた。リザーバ構造を有するビア接続の多層配線構造において、陰極端のビア側にのみリザーバを設け、当該多層配線内部の最小原子濃度を増加させることにより、多層配線の許容電流密度を増加させるビア接続の多層配線構造を提供することができた。

図８は、本発明のシミュレーションプログラムを実行するＰＣ等のコンピュータの内部回路３０を示すブロック図である。図８に示されるように、ＣＰＵ３１、ＲＯＭ３２、ＲＡＭ３３、画像制御部３６、コントローラ３７、入力制御部４０および外部Ｉ／Ｆ部４２はバス４３に接続されている。図８において、上述の本発明のシミュレーションプログラムは、ＲＯＭ３２、ディスク３８またはＤＶＤ若しくはＣＤ−ＲＯＭ３９等の記録媒体（脱着可能な記録媒体を含む）に記録されている。ディスク３８等の記録媒体（記録部）には、上述した表２で示される物性定数等の薄膜特性が記録されている。シミュレーションプログラムは、ＲＯＭ３２からバス４３を介し、あるいはディスク３８またはＤＶＤ若しくはＣＤ−ＲＯＭ３９等の記録媒体からコントローラ３７を経由してバス４３を介しＲＡＭ３３へロードされる。画像制御部３６は、シミュレーションプログラムによる計算結果のデータをＶＲＡＭ３５へ送出する。表示部３４はＶＲＡＭ３５から送出された上記データ等を表示する。ＶＲＡＭ３５は表示部３４の一画面分のデータ容量に相当する容量を有している画像メモリである。入力操作部４１はコンピュータに入力、指定等を行うためのマウス、キーボード、タッチパネル、スイッチ等の入力装置であり、入力制御部４０は入力操作部４１と接続され入力制御等を行う。外部Ｉ／Ｆ部４２はコンピュータ（ＣＰＵ）３１の外部と接続する際のインタフェース機能を有している。

上述のようにコンピュータ（ＣＰＵ）３１が本発明のシミュレーションプログラムを実行することにより、本発明の目的を達成することができる。シミュレーションプログラムは上述のようにＤＶＤ若しくはＣＤ−ＲＯＭ３９等の記録媒体の形態でコンピュータ（ＣＰＵ）３１に供給することができ、シミュレーションプログラムを記録したＤＶＤ若しくはＣＤ−ＲＯＭ３９等の記録媒体も同様に本発明を構成することになる。シミュレーションプログラムを記録した記録媒体としては上述された記録媒体の他に、例えばメモリ・カード、メモリ・スティック、光ディスク等を用いることができる。

本発明の活用例として、ビア接続を有する多層配線（特に集積回路配線）における許容電流密度の向上（増加）に適用することができる。

１０ 金属配線、 １２ 金属結晶粒、 ３０ コンピュータの内部回路、 ３１ ＣＰＵ、 ３２ ＲＯＭ、 ３３ ＲＡＭ、３４ 表示部、 ３５ ＶＲＡＭ、 ３６ 画像制御部、 ３７ コントローラ、 ３８ ディスク、 ３９ ＤＶＤ若しくはＣＤ−ＲＯＭ、 ４０ 入力制御部、 ４１ 入力操作部、 ４２ 外部Ｉ／Ｆ部、 ４３ バス、 ５０ 多層配線、 ５１、５２、５３ 金属配線、 ５４ｎ、５４Ｐ 配線端部、 ５５ｎ、５５ｐ 張り出し部（リザーバ）、 ５６ ビア接続。

Fu, C. M. et al., Width Dependence of The Effectiveness of ReservoirLength in Improving Electromigration for Cu/Low-k Interconnects,Microelectronics Reliability,Vol.50, No.9-11, (2010), pp.1332-1335. e.g. Hau-Riege, C.S., MicroelectronicsReliability, Vol.44 (2004), pp.195-205. Abe, H., Sasagawa, K. and Saka, M., InternationalJournal of Fracture, Vol.138 (2006), pp.219-240. Sasagawa, K. et al., Evaluation of Threshold Current Density of Electromigration Damage in Interconnect Tree with Angled Cu Lines, Proc. 12thInt. Conf. on Electronics Materials and Packaging, (2010), pp.110-116. Hieu, N. V. et al., Effect of Current Crowding on Electromigration Lifetime Investigated by Simulation and Experiment, Computational Materials Science, Vol.49 (2010), pp. S235-S238. Tan, C. M. et al., Applications of Finite Element Methods for Reliability Study of ULSI Interconnections, Microelectronics Reliability, in Press. Sasagawa, K. et al., Governing Parameter for Electromigration Damage in the Polycrystalline Line with a Passivation Layer,Journal of Applied Physics, Vol.91, (2002), pp.1882-1890. Lin, M. H., Chang, K. P., Su, K. C. and Wang, T.Microelectronics Reliability, Vol.47, (2007), pp.2100-2108. Hu, C. -K., R. Rosenberg, and K. Y. Lee, Applied Physics Letters, Vol.74, Iss.20 (1999), pp.2945-2947. Sasagawa, K., Hasegawa, M., Saka, M. and Abe,H., Journal of Applied Physics, Vol.91, (2002), pp.1882-1890. Hasegawa, M,. Sasagawa, K., Saka, M. and Abe,H., Proc. of IPACK’03 (CD-ROM), ASME (2003), IPACK2003-35064. Choi, Z. S., Ronig, R. and Thompson, C. V.,Journal of Applied Physics, Vol. 102(2007), 083509. Hu, C. K., Gignac, L. and Rosenberg, R.,Microelectronics Reliability, Vol. 46, (2006), pp.213-231. Gan, C. L., Thompson, C. V., Pey, K. L., and Choi, W. K., Journal of Applied Physics, Vol. 94, (2003), pp.1222-1228. Figliola, R. S., Beasley, D. E., Theory and Design for Mechanical Measurements, Second-ed. New York: John Wiley & Sons, Inc.,(1995). Sasagawa, K., Hasegawa, M., Yoshida, N., Saka,M. and Abe, H., Proc. of InterPACK’03 (CD-ROM), ASME, 2003, IPACK2003-35065. Vairagar, A. V. et al., Reservoir Effect on Electromigration Mechanisms in Dual-damascene Cu Interconnect Structures, Microelectronic Engineering,Vol.82, (2005), pp.675-679.

Claims (3)

1. リザーバ構造を有するビア接続の多層配線について、エレクトロマイグレーション損傷過程におけるビア接続の多層配線の信頼性を評価する信頼性評価シミュレーションプログラムであって、コンピュータに、
   前記多層配線を二次元的に要素分割する要素分割ステップ、
   前記要素分割ステップで分割された各要素の初期原子濃度をＮ_０とする初期設定ステップ、
   ２次元有限要素法により前記多層配線内の電流密度分布及び温度分布を計算する２次元有限要素法ステップ、
   前記２次元有限要素法ステップにより計算された前記多層配線内の電流密度分布及び温度分布と記録部に記録された該多層配線材料の物性定数とに基づき、単位時間に単位体積当たりエレクトロマイグレーションにより何個原子が消失するかを示す以下の支配パラメータ（陰極および陽極端の要素とビアとではＡＦＤ^＊ _{ｇｅｎ｜ｅｎｄ}、他の要素ではＡＦＤ^＊ _ｇｅｎ）、
   ここで、Ｎ：原子濃度、Ｄ_０：振動数項、ｋ:ボルツマン定数、Ｔ：絶対温度、Ｑ_ｇｂ：原子拡散の活性化エネルギ、κ：保護膜拘束下の濃度変化と応力変化との間の係数、Ω：原子体積、σＴ：引張の熱応力、Ｎ_Ｔ：σＴが作用したときの原子濃度、Ｎ_０：無応力状態における原子濃度、Ｚ^＊：有効電荷数、ｅ：単位電荷、ρ：電気抵抗率、ｊ^＊：電流密度ベクトルのＪ方向の成分、∂Ｎ／∂ｌ：原子濃度勾配のＪ方向成分、δ：結晶粒界の有効幅、θ：微小単位構造とｘ軸との間の角度、ｄ：平均結晶粒径、Δφ：結晶粒界間の角度に関する定数、Ｑ_ｇｂ：粒界拡散の活性化エネルギ、Ｄ_ｘ＝Ｚ^＊eρｊ_ｘ−κΩ／Ｎ_０（∂Ｎ／∂ｘ）、Ｄ_ｙ＝Ｚ^＊eρｊ_ｙ−κΩＮ_０（∂Ｎ／∂ｙ）であり、
   ここで、β：配線端がｘ軸となす角度、ｄ：平均結晶粒径、Ｄ_ｘ＝Ｚ^＊eρｊ_ｘ−κΩ／Ｎ_０（∂Ｎ／∂ｘ）、Ｄ_ｙ＝Ｚ^＊eρｊ_ｙ−κΩＮ_０（∂Ｎ／∂ｙ）、
   を計算する支配パラメータ計算ステップ、
   前記支配パラメータ計算ステップで計算された支配パラメータの値に基づき、θに関する原子濃度Ｎ^＊、ここで、Ｎ^＊：式２で表されるＡＦＤ^＊ _ｇｂθに含まれるθを０から２πのそれぞれの値としてＡＦＤ^＊ _ｇｂθ値を計算し、その値から求めるθの値毎の原子濃度、を計算する原子濃度Ｎ^＊計算ステップ、
   前記原子濃度Ｎ^＊計算ステップで計算されたθの値毎に持っている原子濃度Ｎ^＊を要素内の全てについて平均した原子濃度Ｎを計算する原子濃度Ｎ計算ステップ、
   原子濃度が変化しなくなる定常状態に達したか否かを判断する判断ステップ、
   前記判断ステップで定常状態に達していないと判断された場合、繰返し計算のための設定を行って、前記支配パラメータ計算ステップへ戻って計算を繰返す繰返ステップを実行させるためのビア接続の多層配線の信頼性を評価する信頼性評価シミュレーションプログラム。
2. リザーバ構造を有するビア接続の多層配線について、陰極端のビア側にのみリザーバを設け、該多層配線内部の最小原子濃度を増加させることにより、多層配線の許容電流密度を増加させることを特徴とするビア接続の多層配線の許容電流密度向上方法。
3. リザーバ構造を有するビア接続の多層配線構造において、陰極端のビア側にのみリザーバを設け、該多層配線内部の最小原子濃度を増加させることにより、多層配線の許容電流密度を増加させることを特徴とするビア接続の多層配線構造。