JP2014004359A - 反復式再構成の方法及び装置 - Google Patents

Abstract

【課題】診断画質を保ちつつＣＴ走査の線量を有意に減少させるモデル・ベース反復式再構成（ＭＢＩＲ）アルゴリズムの計算時間及び計算資源を縮小する。
【解決手段】対象の画像を反復式で再構成する方法が提供される。この方法は、画像に関連する測定データを入手するステップと、画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップとを含んでいる。画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップは、ボクセル依存型であるスケーリング・ファクタを決定するステップと、画像を再構成するためにボクセル依存型スケーリング・ファクタを目的関数の勾配に適用するステップとを含んでいる。
【選択図】図１

Description

本書に開示される主題は一般的には、イメージング・システムに関し、さらに具体的には、反復式手法を用いて画像を再構成する方法及び装置に関する。

従来、画像は、計算機式断層写真法（ＣＴ）データからフィルタ補正逆投影（ＦＢＰ）又は畳み込み逆投影（ＣＢＰ）のような直接式再構成アルゴリズムを用いて再構成されている。近年、モデル・ベース反復式再構成（ＭＢＩＲ）アルゴリズムがＣＴ画像を再構成するために出回るようになってきた。ＭＢＩＲアルゴリズムの一つの利点は、これらのＭＢＩＲアルゴリズムがＣＴシステムから得られる測定をさらに正確にモデル化し得ることである。このことはマルチ・スライス検出器による螺旋ＣＴシステムについて特にあてはまる。というのは、螺旋ＣＴシステムは二次元（２Ｄ）再構成画像平面を斜めに通過する投影測定を発生し、取得されるデータは本質的に雑音を含むからである。これらの投影をさらに正確にモデル化することにより、ＭＢＩＲアルゴリズムは、高品質（例えば高分解能）で、雑音が少なく、アーティファクトが少ない再構成を生成することができる。結果として、診断画質を保ちつつＣＴ走査の線量を有意に減少させるツールとしてＭＢＩＲアルゴリズムを用いることができる。

しかしながら、ＭＢＩＲの大きな問題は、再構成を完了するのに必要とされる計算時間及び計算資源である。ＭＢＩＲアルゴリズムは典型的には、正確なシステム・モデル、統計学的雑音モデル、及び事前モデルを組み入れた目的関数を先ず形成することにより画像を再構成する。目的関数を利用し得るようにしておいて、次いで、目的関数を最小化する推定値を算出すること（典型的には反復式最適化アルゴリズムを用いて行なわれる）により画像を再構成する。かかる反復式最適化アルゴリズムの幾つかの実例として、反復式座標降下（ＩＣＤ）法、期待値最大化（ＥＭ）法の諸変形、共役勾配（ＣＧ）法、及び順序付きサブセット（ＯＳ）法がある。しかしながら、ＭＢＩＲ目的関数及び関連する反復式解法は複雑であるため、幾つかの反復式アルゴリズムは、最終的な推定値に到達するために比較的多数回の反復を必要とし得る。結果として、ＭＢＩＲ目的関数を解く公知の反復式アルゴリズムは、画像を再構成するのに比較的長時間を必要とし得る。

一実施形態では、対象の画像を反復式で再構成する方法が提供される。この方法は、画像に関連する測定データを入手するステップと、画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップとを含んでいる。画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップは、ボクセル依存型であるスケーリング・ファクタを決定するステップと、画像を再構成するためにボクセル依存型スケーリング・ファクタを目的関数の勾配に適用するステップとを含んでいる。

もう一つの実施形態では、イメージング・システムが、検出器アレイと、該検出器アレイに結合されたコンピュータとを含んでいる。コンピュータは、対象の画像に関連する測定データを入手して、画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるように構成されている。コンピュータは、ボクセル依存型であるスケーリング・ファクタを決定して、画像を再構成するためにボクセル依存型スケーリング・ファクタを目的関数の勾配に適用することにより、画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるように構成されている。

もう一つの実施形態では、対象の画像を反復式で再構成する方法が提供される。この方法は、画像に関連する測定データを入手するステップと、画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップとを含んでいる。同時型アルゴリズムは、正則化関数の勾配を算出することを含んでいる。画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップは、複数のサンプル勾配値をルックアップ・テーブルに記憶させるステップと、ルックアップ・テーブルのサンプル勾配値を入手するステップと、サンプル勾配値を用いて近似的な実際の勾配値を算出するステップとを含んでいる。

もう一つの実施形態では、対象の画像を反復式で再構成する方法が提供される。この方法は、画像に関連する測定データを入手するステップと、画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップとを含んでいる。同時型アルゴリズムは、正則化関数の勾配を算出することを含んでいる。画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップは、画像の再構成の反復において実際の勾配を算出するステップと、実際の勾配に補償項を加えるステップと、画像の再構成の次回の反復のための勾配として実際の勾配及び補償項を用いるステップとを含んでいる。

様々な実施形態に従って対象の画像を再構成する方法の一例の流れ図である。 図１に示す方法を用いて生成される係数マップの一例の視覚的表現の図である。 図１の方法に関連する順序付きサブセット分離可能型放物面代理（ＯＳ−ＳＰＳ）アルゴリズムの例の収束の例を示すグラフである。 図３のＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの例を用いて形成される多様な画像の視覚的表現の図である。 様々な実施形態に従って対象の画像を再構成する方法の一例を示すもう一つの流れ図である。 螺旋幾何学的構成の一例及びこの螺旋幾何学的構成での再構成画像の一例の視覚的表現の図である。 図５の方法に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの平均及び標準偏差の例を示すグラフである。 様々な実施形態に従って対象の画像を再構成するの方法の一例を示すもう一つの流れ図である。 様々な実施形態に従って対象の画像を再構成するの方法の一例を示すもう一つの流れ図である。 図９の方法に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの一例を用いて形成される多様な画像の視覚的表現の図である。 図９の方法に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの例に関連する収束速度を示すグラフである。 図９の方法に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの例に関連する収束速度を示すもう一つのグラフである。 図９の方法に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの例を用いて形成される多様な画像の視覚的表現の図である。 様々な実施形態に従って形成されるマルチ・モダリティ・イメージング・システムの一例の見取り図である。 図１４に示すシステムのブロック概略図である。

以上の概要及び以下の様々な実施形態の詳細な説明は、添付図面と併せて読むとさらに十分に理解されよう。図面が様々な実施形態の機能ブロックの線図を示す範囲までにおいて、機能ブロックは必ずしもハードウェア回路の間の区分を示す訳ではない。従って、例えば、機能ブロックの１又は複数（例えばプロセッサ若しくはメモリ）が単体のハードウェア（例えば汎用信号プロセッサ若しくはランダム・アクセス・メモリのブロック、又はハードディスク等）として実装されてもよいし、多数のハードウェアとして実装されてもよい。同様に、プログラムは独立型プログラムであってもよいし、オペレーティング・システムのサブルーチンとして組み込まれていてもよいし、インストールされているソフトウェア・パッケージの機能等であってもよい。尚、様々な実施形態は図面に示されている構成及び手段に限定されないことを理解されたい。

本書には、同時型アルゴリズムを用いて画像を反復式で再構成する様々な実施形態が記載される。画像は複数の画像要素で構成される。本書に開示される目的のために、「画像要素」との用語は、画像空間配列の内部での対象の要素を指すものとする。例えば、画像要素は画像ピクセル又は画素を含むことができ、画像ピクセル又は画素は二次元（２Ｄ）又は三次元（３Ｄ）再構成での単一のボクセル又は体積要素に対応し得る。画像は、目的関数を最適化することにより再構成される。本書で用いられる目的関数又は費用関数は一般的には、撮像データを取得するのに用いられるイメージング・システムのモデル、このイメージング・システムに関連する雑音のモデル、及び再構成されている画像の形式のモデルを含んでいる。以下では、「最適化する」及び「最小化する」の各用語、並びに「目的関数」及び「費用関数」の各用語は互換的である。

様々な実施形態は、「適応」型のボクセル依存型スケーリング・ファクタを算出する新規のアプローチを提供する。ボクセル依存型スケーリング・ファクタは、画像を再構成するために同時型アルゴリズムの勾配に適用される。様々な実施形態は、取得（例えばスキャナ／リコン）の幾何学的構成に依存して画像に対する更新を緩和（又はスケーリング）する新規のアプローチを提供する。画像に対する更新は、勾配の適当なスケーリングを行なうこと、又は画像更新を算出するために勾配に適用されるステップ幅を修正することの何れかにより緩和（又はスケーリング）され得る。ステップ幅は典型的には、勾配に適用されるスカラーである。最適なステップ幅を算出すると最適な収束を齎すことができる。様々な実施形態は、基礎となる単調アルゴリズムの単調性に影響を与えることなく、正則化関数の勾配を算出する時間量を短縮する新規案を提供する。様々な実施形態の少なくとも一つの技術的効果は、計算時間を固定したままで過渡現象の低減及び画質の改善が得られることである。様々な実施形態の少なくとも一つの技術的効果は、従来の同時型アルゴリズムよりも少ない回数の反復で本来の費用関数の解にさらに高速に収束することである。例えば、様々な実施形態は、当技術分野で公開されている従来のアルゴリズムに必要とされる５０回又は１００回の反復に比較して、５回から１０回の反復で許容可能な画質の収束尺度の類似値に収束し得る。

計算機式断層写真法（ＣＴ）撮像のためのモデル・ベース反復再構成（ＭＢＩＲ）アルゴリズムの開発は大きな注目を浴びている。というのも、ＭＢＩＲアルゴリズムは雑音を低減して分解能を高めることにより画質を高めることが実証されているからである。ＭＢＩＲアルゴリズムは典型的には、データ統計モデル、システムの幾何学的構成を記述するシステム・モデル、及び再構成画像の所望の特性を記述する事前モデルを含む費用関数を先ず形成することにより作動する。費用関数は典型的には複雑過ぎて測定から画像の直接的な再構成を１回で求めることができないため、画像は費用関数を何段階かで最小化することにより推定される。故に、かかるモデル・ベース費用関数を解くために反復最適化アルゴリズムが必要とされ、かかるアルゴリズムをＭＢＩＲアルゴリズムと呼ぶ。

μ∈Ｒ^Nを画像とし、ｙ∈Ｒ^Mを測定された投影データとする。最大事後確率（ＭＡＰ）推定問題は、データ対数尤度項Ｌと事前分布項Ｒとの和として定式化され得る。対数尤度項は、データの統計及びシステムの幾何学的構成に基づいて定式化される。事前分布項は、画像推定が何らかの確率密度関数（ｐｄｆ）に属することを保証するものであり、βは事前分布スケーリング又は事前分布強度であってこの制約条件はβと共に適用する必要がある。

Φ（μ）＝−Φ_L（ｙ，μ）＋βΦ_R（μ） （１）

データ統計のモデルに依存して、対数尤度項Ｌの幾つかの選択肢が存在し得る。Ｌの一つのかかる選択肢は次の二次形態である。

Φ_L（ｙ，μ）＝‖ｙ−Ａμ‖² _W （３）
式中、Ｗは、測定データの分散の近似的な逆行列として算出されるＭ×Ｍの対角行列であり、Ａ∈Ｒ^M×^Nはシステムの幾何学的構成のモデルである。一連の反復最適化アルゴリズムの一方に、反復座標降下（ＩＣＤ）法がある。ＩＣＤは、一度に１個の画像要素（「ボクセル」と呼ぶ）を、他の全てのボクセルを固定させたまま更新して、費用関数の勾配が１回１回のボクセル更新の後に更新されるような一連の一次元（１Ｄ）問題を作成する。１Ｄ費用関数の勾配及びヘッセ行列の更新を算出することは比較的簡単であり、良好な初期条件集合が与えられればＩＣＤは収束速度が比較的速い。ＩＣＤの一変種である非均一ＩＣＤ（ＮＨ−ＩＣＤ）は、幾つかのボクセルを他のボクセルよりも頻繁に更新して、さらに速い収束を実現する。ボクセルは一つのマップに基づいて選択され、このマップは全ての更新の履歴情報を用いて算出される。非均一ＩＣＤは、大きく更新されるボクセルはＰＷＬＳ解から最も離隔しており、故にさらに頻繁な更新を必要とするとの観察に基づいている。しかしながら、ＩＣＤ（及びこの各変種）は、高度並列化が可能なコンピュータ・プラットフォームであっても比較的効率よく比較的大規模に並列化することは困難である。

一連の反復最適化アルゴリズムの他方に、同時型アルゴリズムがある。本書で用いられる「同時型アルゴリズム」は、２個以上のボクセルを同時に更新するアルゴリズムである。また、「最適化」との用語は、画像を再構成する反復アルゴリズムの文脈での「更新」と同義である。ＭＢＩＲの同時型アルゴリズムは、各々の段階でＮ次元の問題を解くことができる。同時型アルゴリズムは、比較的高度に並列化したコンピュータ・プラットフォームでの並列化に馴染み易い。かかるアルゴリズムの１回の反復はＩＣＤよりも高速に計算され得るが、同時型最適化アルゴリズムは通常、ＩＣＤよりも著しく多い回数の反復を収束に要する。故に、問題は、比較的速く収束し、且つ比較的効率のよい並列化に馴染み易い最適化アルゴリズムを見出すことである。

ペナルティ付き尤度関数Φの最小化因子（minimizer）を求める殆どの反復アルゴリズムが、尤度関数Φの勾配∇Φを利用する。多くのかかるアルゴリズムは以下の形態に書くことができる。

μⁿ⁺¹＝μⁿ＋α_nＤ（μⁿ）∇Φ（μⁿ） （４）
式中、α_n＞０は緩和係数（又はステップ幅）であり、Ｎ×Ｎ行列Ｄ（μ）はボクセル依存型スケーリング行列である。スケーリング行列Ｄ（μ）を本書では「スケーリング関数」及び／又は「スケーリング・ファクタ」とも呼ぶ。Ｄは最適化アルゴリズムに依存して対角であってもなくてもよい。従来の勾配降下アルゴリズムでは、Ｄは単位行列であり、α_nを適正に選択することにより収束が保証され、α_nは直線探索と呼ばれる１Ｄ最適化を用いて算出される。しかしながら、勾配降下は比較的収束が遅いため、実用目的には不満がある。共役勾配（ＣＧ）は、よりよい探索方向を求める観点では勾配降下に勝る。ＣＧアルゴリズムを前処理すると、反復回数の関数として収束速度の高速化が得られる。理想的な前処理行列は費用関数のヘッセ行列の逆行列であり、この場合にはこの方法はニュートン法となり、二次の問題については単一段階で解かれ得る。しかしながら、断層写真法問題では、ヘッセ行列は空間不変であり、比較的大きく、反転が比較的困難である。費用関数のヘッセ行列のために明示型の対角行列及び循環行列による近似が提案されている。また、暗黙型前処理行列を導くこともできる。

また、現在の反復μⁿを用いることによりμⁿ⁺¹を算出するために、最適化転換（optimization transfer）の原理を用いて、最大化が比較的容易な代理関数φ（・；μⁿ）を構築して問題を解くことができる。代理関数は以下の特性を有するように構築される。

Φ（μ）≦φ（μ，μⁿ）
Φ（μⁿ）＝φ（μ，μⁿ）｜μ₌μ_n
∇Φ（μ）｜μ₌μ_n＝∇¹⁰φ（μ，μⁿ）｜μ₌μ_n （５）
分離可能型放物面代理（ＳＰＳ）アルゴリズム、交互最小化アルゴリズム、及び期待値最大化アルゴリズムのような最適化転換アルゴリズムは代理関数を用いる。

「ブロック反復」法（「順序付きサブセット」法とも呼ぶ）が提案されている。かかるアルゴリズムは、適正なブロック依存型スケーリングによって多くの同時型アルゴリズムの収束を著しく高速化することができる。順序付きサブセット・アルゴリズムは、前方投影演算のレンジ分解を用いて基礎となるアルゴリズムを高速化する。各々のサブセットはデータのサブセットから成っており、データのサブセットを用いて全勾配を近似することにより高速化が達成される。これにより、大雑把にサブセット数倍だけ高速化する。しかしながら、順序付きサブセットで高速化されるアルゴリズムは単調型でなく、望ましくないリミット・サイクルに入る。リミット・サイクルの大きさはサブセット数に依存し、サブセットが大きいほどリミット・サイクルが大きくなる。リミット・サイクルは大きいほど望ましくなく、アルゴリズムが終結したときに実際の望ましい解から著しく逸脱する場合がある。

同時法及び「ブロック反復」法は典型的には、高度並列化が可能であるが、ＮＨ−ＩＣＤにおいて提案されているように履歴情報に基づいて更新に影響を与えるという融通性を欠く場合がある。かかるアルゴリズムは通常、低周波収束が比較的速く、高周波収束が比較的遅い。ＮＨ−ＩＣＤは、収束から離隔したボクセルほど頻繁に更新することにより、ベースラインＩＣＤアルゴリズムの収束を著しく高速化することが銘記されている。図１に示す方法１００では、更新のために「適応」型のボクセル依存型スケーリング・ファクタＤ（μ）（式４）を算出し、従来の勾配に基づく最適化アルゴリズムよりも速く収束する新規のアプローチについて議論する。公知の再構成方法では、項「再スケーリング」Ｄを用いて「ブロック反復」アルゴリズムの収束を高速化しているが、再スケーリング・ファクタは幾何学的構成によって決まる固定的なファクタであり、反復番号と共に変化する訳ではなく、データに適応しない。本書に記載し且つ／又は図示する方法では、提案されるスケーリング・ファクタはデータに適応し、反復回数と共に変化し、履歴更新、取得幾何学的構成、データ値、画像特徴、及び／又は同様のもののようなファクタに基づいて算出され得る。

螺旋ＣＴのような幾何学的構成では、ボクセルは走査軌跡によって一様にサンプリングされる訳ではない。典型的には、利用者によって予め設定された三次元（３Ｄ）着目領域（ＲＯＩ）が再構成される。ビューの数はＲＯＩによって決まり、ＲＯＩの外部のボクセルの方がＲＯＩの内部のボクセルよりも少ない投影ビューによってサンプリングされ得る。収束過程の間に、これらのボクセルは顕著な過渡的アーティファクトを呈し、中間推定の画質を損なう場合がある。図５に示す方法２００では、取得幾何学的構成に依存して、更新μⁿ⁺¹−μⁿを緩和（又はスケーリング）する（式４を参照されたい）新規のアプローチについて記載し図示する。これらの更新は、勾配∇Φの適当なスケーリングを行なうこと又はステップ幅α_nを修正することの何れかによって緩和（又はスケーリング）され得る。方法２００は過渡現象を低減し、画質を高めることができる。文献には「ブロック反復」アルゴリズムの収束を保証する緩和係数α_nについて様々な方式が提案されている。しかしながら、文献の文脈でのスケーリング・ファクタは反復回数に依存する一連のスカラーである。本書に記載されるスケーリング・ファクタは空間変化する値であって、取得の幾何学的構成、履歴更新、データ値、画像特徴、及び／又は同様のもののような要因に依存し得る。

式１及び式４を参照すると、ＭＢＩＲ費用関数のための反復最適化アルゴリズムは、各回の反復で正則化項（regularizer）Ｒ（μ）の勾配を算出することを必要とする。正則化関数は典型的には、羃、対数、及び三角関数から成る。従って、正則化項の勾配を算出するのに必要とされる時間はかなり長くなる場合がある。図８及び図９にそれぞれ示す方法３００及び方法４００では、基礎となる単調アルゴリズムの単調性又はアルゴリズムの最適化の収束速度に影響を与えずに、正則化項の勾配を算出する時間を短縮する新規案を提示する。

図１に示す方法１００では、式４の対角行列Ｄ（μ）をスケーリングするのに用いられる「適応」型のボクセル依存型マップを効率よく構築するために用いられて、ＭＢＩＲ費用関数のための反復最適化アルゴリズムの高速化をさらに齎し得る様々なアプローチについて議論する。マップの適応性を高めると共にマップをさらに効率よく構築する幾つかの案について議論する。ボクセル依存型マップを用いて対角行列Ｄ（μ）を再スケーリングする一例を、順序付きサブセットＳＰＳ（ＯＳ−ＳＰＳ）アルゴリズムを用いて示す。

図５に示す方法２００では、更新（μⁿ⁺¹−μⁿ）を適正に緩和（又はスケーリング）して、過渡現象の低減及び画質の向上を齎す手法について記載する。取得幾何学的構成を用いて適当な緩和（又はスケーリング）ファクタを算出する一例を、ＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムについて記載する。

図１は、対象の画像を反復式で再構成する方法の一例１００の流れ図である。画像に関連する測定データが例示的なイメージング・システムを用いて取得される。ブロック１０２では、方法１００は、測定データを入手するステップを含んでいる。ブロック１０４では、画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いる。画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるブロック１０４のステップは、ブロック１０６においてボクセル依存型であるスケーリング・ファクタＤ（μ）を決定することを含んでいる。方法１００のこの実施形態の例では、スケーリング・ファクタは、ブロック１０８において係数マップを生成することにより、ブロック１０６において決定される。Thibault他によって、解から離隔したボクセルほど頻繁に更新することにより収束が高速化し得ることが特記されている。故に、かかるボクセルを識別する必要があり、また「係数マップ」はかかるボクセルから成るべきである。ＮＨ−ＩＣＤでは、ボクセルの更新順序を選択するように係数マップを直接組み入れることができる。同時型アルゴリズムでは、係数マップを組み入れるように対角スケーリング行列Ｄ（μ）を修正することができる。アルゴリズムの単調性が確実に変化しないように注意を払うべきである。

かかる係数マップの一つの自然な選択肢は、少なくとも２回の反復又は少なくとも２回の下位反復についての差である。少なくとも２回の反復又は下位反復は連続していてもいなくてもよい。一実施形態では、係数マップは２回の連続した反復の差であって、下式によって与えられる。

ｕ_j ⁿ＝｜μ_j ⁿ⁺¹−μ_j ⁿ｜₁ （６）
式６の差は、最も大きく変化し故に解から離隔している確率の高いボクセルを強調するものとなる。この差は反復回数と共に変化する。故に、係数マップは反復回数の関数となり、データに適応し得る。係数マップｕ_j ⁿは、式６の差のヒストグラムに基づいて変換され得る。この変換は、離散型であっても連続型であってもよい。理想的なマップは局所的に滑らかであり、故に最終的なマップは中間マップから低域通過フィルタ処理によって得ることができる。しかしながら、係数マップは１回の完全な反復が終わるまで利用可能にならないので、初期係数マップを初期画像から生成することができる。初期画像は典型的には、フィルタ補正逆投影（ＦＢＰ）アルゴリズムを用いて再構成されるが、選択肢はＦＢＰに限らない。初期画像にエッジ検出演算若しくは強度検出演算又は両方を施して用いて初期マップを生成することができ、この初期マップはまた幾何学的構成にも依存し得る。初期画像はかなりの低周波数内容を有すると想定すると、エッジ検出演算及び強度検出演算は、高周波収束を改善する妥当な選択肢であると言える。

係数マップは、画像容積についてスケーリングを適応式で選択する堅実な枠組みを提供する。係数マップを構築する判断は、限定しないが初期画像に関する事前知識、取得幾何学的構成に関する情報、現在の画像の特徴のような画像特徴（限定しないがエッジ、均一領域、及び／若しくは同様のもの等）、並びに／又は同様のもののような幾つもの要因を用いて強化され得る。例えば、ＦＢＰアルゴリズムは走査視野の外部の走査対象の切り捨てのためアーティファクトを呈し、この情報を利用して、切り捨てられた領域での更新をさらにスケーリングすることができる。もう一つの例は、同時型アルゴリズムは高周波収束が比較的遅いとの事実によって促されるものである。故に、あらゆる反復回での係数マップｕ_nが、μ_nの高域通過フィルタ処理済み画像から得られるマップによって強化され得る。

係数マップｕ_j ⁴：ｕ_j ⁿの一例を図２に示しており、同図では、係数マップがマップのヒストグラムを用いて離散化されている。最大の５％のボクセルに１６の値を割り当て、次の１０％、２０％、及び４０％のボクセルにそれぞれ８、４、及び２の値を割り当てている。ボクセルの残りには１の値を割り当てた後に、低域通過フィルタ処理を施している。通例のＳＰＳ更新は全てのボクセルを同等に更新するが、適応スケーリングされたＳＰＳ更新は、図で明るいボクセルほど大きい更新を施している。

図１へ戻り、係数マップの生成の後に、係数マップを用いて対角スケーリング行列Ｄ（μ）に作用させる。従って、方法１００はブロック１１０において、ボクセル依存型スケーリング・ファクタＤ（μ）を算出するために係数マップを用いるステップを含んでいる。一旦ボクセル依存型スケーリング・ファクタＤ（μ）が決定されたら、方法１００はブロック１１２において、画像を再構成するためにボクセル依存型スケーリング・ファクタＤ（μ）を目的関数の勾配∇Φに適用するステップを含んでいる。

係数マップは、本来のアルゴリズムの単調性に影響を与えずにボクセル依存型スケーリング・ファクタＤ（μ）に作用するものであるべきである。本来のアルゴリズムが単調でないとき、例えば「ブロック反復」アルゴリズムでは気にしなくてよい。無視すべきでない実際的な観点は、具現化形態において対角スケーリング行列をスケーリングするために係数マップを組み入れる効率である。以下、幾つかの可能な案について記載する。

対角スケーリング行列Ｄ（μ）をスケーリングするために係数マップを利用するという案は、限定しないが暗黙型又は明示型前処理行列によるＣＧアルゴリズムのような同時型アルゴリズムの殆どに用いることができる。ここで、方法１００の一実施形態を例示するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの一例について記載する。ＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムは、ボクセル依存型係数マップを用いて対角行列Ｄ（μ）を再スケーリングする一例である。

ペナルティ付き重み付き最小自乗費用関数は、下式のように書かれる。

Ｌ（ｙ，μ）＝−（１／２）Σ_i=1 ^Mｗ_i（ｙ_i−［Ａμ］_i）²＋
βΣ_r=1 ^KΨ_r（［Ｃμ］_r），Ｋ＝１３×Ｎ，Ｃ∈Ｒ^K×^N
＝（１／２）Σ_i=1 ^Mｑ_i（［Ａμ］_i）＋βΣ_r=1 ^KΨ_r（［Ｃμ］_r） （７）
式中、ｙはＭ個の要素を有する投影データであり、ｗは統計学的重み付け行列であり、Ａはシステム行列であり、μはＮ個の要素を有する画像であり、Ｃは有限差分行列であり、Ψは有向係数を含む任意のマルコフ確率場（ＭＲＦ）事前確率である。分離可能型代理アルゴリズムは、De Pierroによって提案された凸分解補題によって促されたものであり、代理関数のヘッセ行列の比較的容易な反転を可能にすると共に、非負制約を組み入れることが比較的容易である。以下の変換を用いてデータ・フィット項及び正則化項の代理式を導くことができる。

［Ａμ］_i＝Σ_j=1 ^Nａ_ijμ_j
＝Σ_j=1 ^Nπ_ij ⁿ［（ａ_ij／π_ij ⁿ）（μ_j−μ_j ⁿ）＋［Ａμⁿ］_i］
［Ｃμ］_r＝Σ_j=1 ^Nｃ_rjμ_j
＝Σ_j=1 ^Nκ_rj ⁿ［（ｃ_rj／κ_rj ⁿ）（μ_j−μ_j ⁿ）＋［Ｃμ］_r］ （８）
式中、Σ_j=1 ^Nπ_ij ⁿ＝１及びΣ_j=1 ^Nκ_rj ⁿ＝１である。式８を用いると、代理式を下式のように構築することができる。

ｑ_i（［Ａμ］_i）≦Ｑ_i（μ，μⁿ）
＝Σ_j=1 ^Nπ_ij ⁿｑ_i（［（ａ_ij／π_ij ⁿ）（μ_j−μ_j ⁿ）＋［Ａμⁿ］_i］）
Ψ_r（［Ｃμ］_r）≦Ｒ_r（μ，μⁿ）
＝Σ_j=1 ^Nκ_rj ⁿΨ_r（［（ｃ_rj／κ_rj ⁿ）（μ_j−μ_j ⁿ）＋［Ｃμⁿ］_r］）
（９）
正則化項（regularizer）の代理式についてπ_ij＝ａ_ij／Σ_jａ_ij及び最大曲率を用いるとＳＰＳアルゴリズムの一形態が導かれ、下式のように書くことができる。

μ_j ⁿ⁺¹＝μ_j ⁿ−
（Σ_j=1 ^M∇ｑ_i（［Ａμⁿ］_i）＋Σ_r=1 ^K∇Ψ_r（［Ｃμⁿ］_r））
／（ｄ_j ^Q,n＋ｄ_j ^R,n）
ｄ_j ^Q,n＝Σ_iａ_ijｗ_iΣ_jａ_ij
ｄ_j ^R,n＝Σ_rｃ_rj∇²Ψ_r（０）Σ_jｃ_rj （１０）
式１０では、対角スケーリング行列は、代理費用関数（式９）のヘッセ行列の逆行列である。このヘッセ行列は対角行列であって、故に比較的容易に反転させることができる。このスケーリング行列を選択すると、スケーリング行列はデータ統計及び幾何学的構成の両方にのみ依存するものとなる。故に、スケーリング行列は固定され、反復番号と共に変化することはない。

π_ij及びκ_rjを修正することにより非一様マップｕ_jをスケーリング行列に組み入れることができる。π_ij＝ａ_ijｕ_j／Σ_jａ_ijｕ_j及びκ_rj＝ｃ_rjｕ_j／Σ_jｃ_rjｕ_jを用いると、非一様更新によるＳＰＳ（ＮＵ−ＳＰＳ）の更新を下式のように書くことができる。

μ_j ⁿ⁺¹＝μ_j ⁿ−
（Σ_i=1 ^M∇ｑ_i（［Ａμⁿ］_i）＋Σ_r=1 ^K∇Ψ_r（［Ｃμⁿ］_r））
／（ｄ_j ^Q,n＋ｄ_j ^R,n）
ｄ_j ^Q,n＝（Σ_iａ_ijｗ_iΣ_jａ_ijｕ_j）／ｕ_j
ｄ_j ^R,n＝（Σ_rｃ_rj∇²Ψ_r（０）Σ_jｃ_rjｕ_j）／ｕ_j （１１）
ｕ_jを含めると、反復回数に依存し、データに適応し得る適応項ｄ_j・,ⁿが導かれる。式１１は、一つの完全な前方投影及び逆投影を用い、係数マップｕ_j ⁿを用いてｄ_j・,ⁿを算出している。図３（ａ）は、患者データについて収束済み画像からの自乗平均平方根（ＲＭＳ）差（ＨＵ単位）を反復回数に対してプロットしており、対角行列の適応スケーリングによって収束速度が約３倍高速化することを示している。また図４は、新たなスケーリング行列による再構成画像が、新たなスケーリングを行なわない場合よりも収束済みの画像に近いことを確認している。図４（ａ）は初期ＦＢＰ画像を示している。図４（ｂ）は収束済みの画像を示している。図４（ｃ）及び図４（ｄ）は、（ｃ）通常のＯＳ−ＳＰＳ（８２個のサブセット）及び（ｄ）適応スケーリングされたＯＳ−ＳＰＳ（８２個のサブセット）による２０回反復の後の再構成画像を示している。また、図３（ｂ）は、高周波成分の収束速度が３倍を上回って高速化していることを示している。（高周波項の収束は、高コントラスト・ワイヤの半値幅（ＦＷＨＭ）を算出することにより測定されている。）
無視すべきでない実際的な観点は、対角スケーリング行列をスケーリングするために係数マップを組み入れる効率である。以上の案は具現化形態毎に特定的であり、アルゴリズム間で異なり得る。計算量を小さくする幾つかの可能な案は以下の通りである。

１．係数マップを算出する頻度を減少させ、各回の反復でなく数回の反復（例えばｎ回の反復）毎に算出することができる。

２．係数マップをダウンサンプリングして前方投影及び逆投影の時間を短縮することができる。係数マップは局所的に滑らかであり、故にダウンサンプリングは収束に大きな影響がないと言える。

３．式１１の更新は勾配∇ｑ_iを算出することを必要とし、前方投影及び逆投影を必要とする。π_ijを算出するための前方投影及び逆投影を勾配計算と同時に行なうことができる。これにより、対角スケーリング行列Ｄ（μ）を算出するというオーバヘッドを減少させることができる。例えばＯＳアルゴリズムでは、勾配は部分的な前方投影及び逆投影を用いて算出される。この場合には、新たなスケーリング行列を勾配と共に算出することができるが、この完全な計算は、サブセットの全てではないとしても少なくとも幾つかを通じてのサイクル計算を必要とし得る。

図５は、対象の画像を反復式で再構成する方法のもう一つの例２００の流れ図である。マルチ・スライス螺旋ＣＴのような幾つかの取得幾何学的構成では、画像容積は非一様にサンプリングされる。図６（ｂ）に示すように、三次元着目領域（３Ｄ−ＲＯＩ）の内部のボクセルは、ＲＯＩの外部のボクセルに比較して多い投影ビューによってサンプリングされる。これらアンダーサンプリングされたボクセルのため、アルゴリズムの収束が著しく遅くなる場合があり、現在の画像に対する更新（式４）が適当にスケーリングされていなければ過渡的なアーティファクトを招き得る。

図５へ戻り、画像に関連する測定データが例示的なイメージング・システムを用いて取得される。ブロック２０２では、方法２００は、測定データを入手するステップを含んでいる。測定データは、３Ｄ取得幾何学的構成において非一様にサンプリングされている。ブロック２０４では、画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いる。画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるブロック２０４のステップは、ブロック２０６においてボクセル依存型であるスケーリング・ファクタＤ（μ）を決定することを含んでいる。方法２００のこの実施形態の例では、ボクセル依存型スケーリング・ファクタは、取得幾何学的構成に基づいて構築される。従って、ブロック２０８では、方法２００は取得幾何学的構成に基づいて直接ボクセル依存型スケーリング・ファクタを算出することを含んでいる。

一旦ボクセル依存型スケーリング・ファクタＤ（μ）が決定されたら、方法２００はブロック２１０において、画像を再構成するためにボクセル依存型スケーリング・ファクタＤ（μ）を目的関数の勾配∇Φ（式４を参照されたい）に適用するステップを含んでいる。安定性のために勾配∇Φをスケーリングしてもよいしステップ幅α_nを修正してもよい。例えば、幾つかの実施形態では、ボクセル依存型スケーリング・ファクタを勾配に適用するブロック２１０のステップは、ボクセル依存型スケーリング・ファクタを用いて勾配をスケーリングすることを含んでいる。このスケーリングは、Ａ^TＷＡを用いて得ることができる（式１５を参照されたい）。スケーリングを一つ一つのボクセルに対するサブセットの寄与と関係付けて、更新の適当なスケーリングを導くことができる。他の実施形態では、ボクセル依存型スケーリング・ファクタを勾配に適用するブロック２１０のステップは、画像データの各々のスライスについて緩和係数を算出することを含んでいる。画像容積のサンプリングは非一様であり、ＲＯＩの内部のスライスはＲＯＩの外部のスライスに比較して多くのビューによってサンプリングされている。ステップ幅（又は緩和係数）は通常スカラーであるが、各々のスライス毎にベクトルとなるように修正することもできる。これによりＲＯＩの外部のスライスをＲＯＩの内部のスライスよりも緩和させることが可能になり得る。しかしながら、これによりαを求める探索空間の次元が増加し、計算時間が増大する場合がある。

アンダーサンプリングされたボクセルについて更新を緩和（又はスケーリング）するという案は、全ての同時型アルゴリズムに適用可能である。ここで、方法２００の一実施形態を示すＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの一例について記載する。ＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムは、スケーリング・ファクタの構築、及び勾配∇Φをスケーリングするためのスケーリング・ファクタの利用の一例である。

式１０を用いて、ＳＰＳアルゴリズムについての更新を下式のように書くことができる。

μ_j ⁿ⁺¹＝μ_j ⁿ−
［Σ_iａ_ijｗ_i（Σ_jａ_ijμ_j ⁿ−ｙ_i）＋βΣ_r∇Φ_r（Σ_jｃ_rjμ_j ⁿ）］
／ｄ_j （１２）
式中、ｄ_jは、代理費用関数のヘッセ行列から決定されるスケーリング関数である（式４を参照されたい）。ｄ_jは、式１０に記述されているデータ・フィット項及び正則化項から成る。さて、ＯＳ−ＳＰＳにおいて、勾配はビューのサブセットを用いて算出され、１回の完全な反復は全Ｓ個のサブセットを通じたサイクル計算に対応する。各回の反復は多数回の下位反復を含んでおり、各回の下位反復は、データのサブセットを用いて正則化項の勾配及びデータ・フィット項を算出することを必要とする。ＯＳ−ＳＰＳ更新は、下式のように書くことができる。

μ_j ^n,s+1＝μ_j ^n,s−
［γ_j ^n,sΣ_iａ_isjｗ_is（Σ_jａ_isjμ_j ^n,s−ｙ_is）＋
βΣ_r∇Φ_r（Σ_jｃ_rjμ_j ⁿ）］
／ｄ_j （１３）
式中、ｓはサブセット番号を示し、ｎは反復番号を示す。適正にスケーリングされれば、ビューのサブセットを用いて算出される勾配は、全てのビューを用いて算出される勾配に一致し得る。これにより、本来のＳＰＳアルゴリズムに比較して収束がＳ倍高速化される。しかしながら、この理想的なスケーリング・ファクタ
γ_j ^n,s＝［Σ_isａ_isjｗ_is（Σ_jａ_isjμ_j ^n,s−ｙ_is）］
／［Σ_iａ_ijｗ_i（Σ_jａ_ijμ_j ^n,s−ｙ_i）］ （１４）
を算出することは実際的でない。ＯＳ−ＳＰＳの従来の実際的な具現化形態は、サブセット数に対応する定数スケーリング・ファクタγ_j ^n,s＝Ｓを用いるものである。しかしながら、この選択肢は、理想的なスケーリング・ファクタγ_j ^n,sが著しく非一様であるときには良好に作用しない。スケーリングのこの非一様性のため、アルゴリズムが望ましくない顕著な過渡的アーティファクトを有するものになる場合がある。この非一様性の理由の一つは取得幾何学的構成であり得る。取得幾何学的構成が画像容積の非一様サンプリングを招く場合がある。勾配に対するボクセル依存型スケーリングは、取得幾何学的構成に基づいて展開され得る。非一様マップの一つのかかる選択肢は、
γ_j＝Σ_s=1 ^SＩ｛Σ_isａ_isjｗ_is（Σ_jａ_isj）＞０｝ （１５）
である。式中、Ｉ_[B]はＢが真であるときには１であり、Ｂが偽であるときには０である。式１５では、ｊによって番号付けされた所与のボクセルがｓによって番号付けされたサブセットに属するビューからの寄与を受けるときに、Ｂは真となる。非一様マップ及び分母ｄ_j＝Σ_iａ_ijｗ_iΣ_jａ_ij＝Σ_s=1 ^SΣ_isａ_isjｗ_is（Σ_jａ_isj）は同時に計算され得る。

図６（ｂ）は、適正にスケーリングされたＯＳアルゴリズムが、ＲＯＩの外部で相対的に急速には収束しない通常のＯＳアルゴリズムに対して高められた画質を提供することを示す。ＲＯＩの外部に現われた不安定性は、ＲＯＩの内部の画質に影響を与える（図６（ｂ）の雑音標準偏差によって分かる）が、提案された緩和（又はスケーリング）によって減少している。図６（ａ）は、螺旋幾何学的構成の図を示している。斜線の領域は、ＲＯＩのボクセル及びＲＯＩの外部のボクセルの両方から寄与を受ける測定データを取得する検出器を示す。図６（ｂ）は、螺旋幾何学的構成におけるＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムでの勾配スケーリングの効果を示す。各々の画像は、通常のスケーリング・アプローチ及び提案しているスケーリング・アプローチを用いて、３２８個のサブセットによるＯＳアルゴリズムを３０回反復して実行した後に再構成されている。比較のために一様な領域（枠で囲まれている）の標準偏差σを算出している。（収束アルゴリズムの数回の反復を参照として示す。）
図７は、ＲＯＩの内部での通常のＯＳアルゴリズムはＲＯＩの外部での不安定性のため劣化するが、適正にスケーリングされたＯＳはＲＯＩの内部で堅牢であることをさらに証明している。図７は、ＲＯＩの末端スライスの一様な領域の内部での平均及び標準偏差を反復回数に対して示しており、提案しているＯＳアプローチ（３２８個のサブセット）に比較して通常のＯＳアプローチの不安定性を示す。

図８は、対象の画像を反復式で再構成する方法のもう一つの例３００の流れ図である。図８は、正則化項勾配計算の実施形態の一例を示す。ＭＢＩＲ費用関数のための反復最適化アルゴリズムは、現在の画像推定値を更新するために正則化関数の勾配を算出することを必要とする（式４を参照されたい）。正則化項の勾配を算出する時間は、正則化項ポテンシャル関数Φに依存してかなりのものとなり得る。最も一般的には、このポテンシャル関数は羃、対数、及び三角関数を含んでおり、かなりの計算を必要とする。かかるポテンシャル関数の例として、限定しないが下記のものがある。

Φ_R（μ）＝ｌｏｇ（１＋｜μ｜²） （１６）
Φ_R（μ）＝ｌｏｇ（ｃｏｓｈ（｜μ｜）） （１７）
Φ_R（μ）＝［（１／２）｜μ｜^p］／［１＋｜μ／δ｜^(p-q)］ （１８）
正則化関数の勾配を算出するのに必要とされる費用を減少させるために、正則化項勾配∇Φ_R（μ）の近似を、方法３００に記載するようにルックアップ・テーブルのサンプル勾配値に基づいて用いることができる。代替的には、図９の方法４００に記載するように、正則化関数についての代理式を構築することができ、この場合には代理式の勾配の方が実際の正則化関数の勾配よりも効率よく算出され得る。

ここで方法３００を参照すると、画像に関連する測定データが例示的なイメージング・システムを用いて取得される。ブロック３０２では、方法３００は測定データを入手するステップを含んでいる。ブロック３０４では、画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いる。画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるブロック３０４のステップは、ブロック３０６において複数のサンプル勾配値をルックアップ・テーブルに記憶させるステップを含んでいる。選択随意で、ブロック３０６の記憶させるステップは、固定されたサンプリング周波数で勾配値をサンプリングすることを含んでいる。ブロック３０６でサンプル勾配値をルックアップ・テーブルに記憶させるための一つのアプローチは、∇Φ_R（μ）の値をサンプリングする、すなわちｋ＝０，…，Ｋについてｄ_k＝∇Φ_R（μ_k）をテーブルとして構成するものである。Δがサンプリング周波数を表わす正の整数である場合に、点μ_k＝ｋΔであるならば、テーブルについて以下のインデクス生成関数を用いることができる。（式中、

は床関数を示す。）

ブロック３０８では、方法３００は、ルックアップ・テーブルのサンプル勾配値を入手するステップを含んでいる。次いで、ブロック３１０では、ルックアップ・テーブルからのサンプル勾配値を用いて近似的な実際の勾配値を算出する。ブロック３１０での近似的な実際の勾配値は、限定しないが線形補間方式、二変数三次補間方式、及び／又は同様のもののような任意の補間方式を用いて算出され得る。一実施形態では、近似的な実際の勾配値を算出するブロック３１０のステップは、再構成の各回の反復毎に近似的な実際の勾配値を算出することを含んでいる。

図９は、対象の画像を反復式で再構成する方法のもう一つの例４００の流れ図である。図９は正則化項勾配計算の実施形態の一例を示しており、上で概略的に述べたように正則化関数について代理式を構築する。画像に関連する測定データが例示的なイメージング・システムを用いて取得される。ブロック４０２では、方法４００は測定データを入手するステップを含んでいる。ブロック４０４では、画像を再構成するために同時型アルゴリズムが用いられる。

画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるブロック４０４のステップは、ブロック４０６において、画像の再構成の反復において実際の勾配を算出するステップを含んでいる。次いでブロック４０８では、実際の勾配に補償項を加えることにより正則化関数の代理式を構築する。補償項は比較的単純な数学的演算から成っていてよい。例えば、幾つかの実施形態では、補償項は加算、減算、除算、及び／又は乗算の少なくとも一つを含むのみである。

次いでブロック４１０では、実際の勾配及び補償項を、画像の再構成の次回の反復のための勾配として用いる。画像の再構成の各回の続く反復毎に、ブロック４０６において算出される実際の勾配を異なる補償項に加えて、この特定の続く反復のための勾配として用いる。一実施形態では、特定の回の反復についてブロック４１０で用いられる勾配は、当該特定の回の反復の全ての下位反復について勾配として用いられる。換言すると、幾つかの実施形態では、特定の回の反復についてブロック４１０において用いられる勾配は、当該特定の回の反復の下位反復について再計算されるのではなく、当該特定の回の反復の各回の下位反復で再利用される。

代理式という案は、任意の同時型再構成アルゴリズムに適用可能である。ここで、方法４００の一実施形態を例示するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの一例について記載する。ＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムは、データ・フィット項及び正則化項について代理式を用いる。勾配計算の計算時間を最短化するために、正則化項についての既存の代理式の冒頭にもう一つの代理式が導入され、故にこのＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムを「二重代理式による順序付きサブセット」アルゴリズムと呼ぶことができる。

下記の形態の一般的なＰＬ目的関数を考える。

Φ（μ）＝Φ_L（μ）＋Φ_R（μ） （２０）
式中、Φ_Lはデータ・フィット項であり、Φ_Rは正則化項である。データ・フィット項Φ_Lは、適当な対角行列Ｄ_Lと共に下記の形態の二次の代理式を有すると仮定する。

典型的な選択肢はＤ_L＝ｄｉａｇ（ｄ_j ^Q,n）である。また、正則化項Φ_R（μ）は、適当な対角行列Ｄ_Lと共に下記の形態の二次の代理式を有すると仮定する。

典型的な選択肢はＤ_R＝ｄｉａｇ（ｄ_j ^R,n）である。すると、以下の「二重代理」関数が定義される。

構築によってこの二次の代理式は以下の特性を有する。すなわち、従来の正則化された順序付きサブセット法では、各々のサブセットについての最小化ステップは下式のように与えられる。

μ^(n,m)＝ａｒｇ ｍｉｎμφ_m（μ；μ^(n,m-1)，μ^(n,m-1)）
＝μ^(n,m-1)−
［Ｄ_L（μ^(n,m-1)）＋Ｄ_R（μ^(n,m-1)）］^-1（Ｄ_m∇Φ_L（μ^(n,m-1)）
＋∇Φ_R（μ^(n,m-1)）） （２４）
μ^(n,0)：＝μ⁽ⁿ⁾，μ⁽ⁿ⁺¹⁾：＝μ^(n,M) （２５）
ｍ＝１，…，Ｍはサブセットの番号を表わす。順序付きサブセットのｎによって番号付けされた各回の反復は、Ｍ回の下位反復を含む。この反復は、一つ一つのサブセット毎に正則化勾配∇Φ_Rを算出するため望ましくないほど遅い。この代償を少なくするために、以下の新規の更新を用いることにより二重代理式２３の一般性を活用することが提案される。

μ^(n,m)＝ａｒｇ ｍｉｎμφ_m（μ；μ^(n,m-1)，μ⁽ⁿ⁾）
＝Ｄφ（μ^(n,m-1)，μ⁽ⁿ⁾）（Ｄ_L（μ^(n,m-1)）μ^(n,m-1)
＋Ｄ_R（μ⁽ⁿ⁾）μ⁽ⁿ⁾−Ｄ_m∇Φ_L（μ^(n,m-1)）
＋∇Φ_R（μ⁽ⁿ⁾）） （２６）
＝μ^(n,m-1)−Ｄφ（μ^(n,m-1)，μ⁽ⁿ⁾）（Ｄ_m∇Φ_L（μ^(n,m-1)）
＋∇Φ_R（μ⁽ⁿ⁾）
＋Ｄ_R（μ⁽ⁿ⁾）（μ^(n,m-1)−μ⁽ⁿ⁾））…［新たな項］ （２７）
式中、Ｄφ（μ^(n,m-1)，μ⁽ⁿ⁾）＝［Ｄ_L（μ^(n,m-1)）＋Ｄ_R（μ⁽ⁿ⁾）］^-1である。この新たな反復式２７は、全てのサブセットについて同じ正則化項勾配を用いる。式２４に比較して、式２７の更新は正則化項勾配を更新しないことを補償する余分な項があることを除けば比較的類似している。しかしながら、この余分な項は演算が比較的単純であり（例えば加算、減算、除算、及び／又は乗算）、故に算出が速い。上の記載では、正則化項勾配は、「全ての」サブセットが更新されて初めて更新されていた。このことは、式２４に記述されている本来のＯＳ法において勾配を各回の反復毎にＭ回ずつ算出するのではなく、各回の反復の開始時に勾配を１回算出して、この計算を全てのサブセットについて再利用することを意味している。明らかに、正則化項勾配は必要に応じた頻度で更新されることができ、この更新頻度をＵ_fと表わす。正則化項勾配を更新する頻度を少なくすると、早期の反復での収束速度を代償として計算費用が縮小される。

以上に述べたＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムを、ビュー角度を限定させた３Ｄコーン・ビームＣＴ画像再構成問題について調査した。

方法４００の収束速度を評価するために、ｎ回目の反復での画像推定μ⁽ⁿ⁾と、完全収束解μ⁽∞⁾及び真の画像μ^(true)の両方との間での自乗平均平方根差を算出した。

この形式の「緩和型」ＯＳは、最終段階で式２４が収束するような１個のみのサブセットを用いるので、収束することが保証されている。図１０は、１６４個の投影ビューによるコーン・ビームＣＴデータから、真のファントムの画像、ＦＢＰ再構成の画像、及び完全に収束した画像（μ⁽∞⁾）を示す。

投影を４１個のサブセットに分割し、すなわちサブセット当たり４個のビューに相当する。この分割は従来の選択肢に比較して寧ろ積極的な選択であって、収束を比較的顕著に高速化しようと試みる。

収束及び計算時間に対する効果を観察するために、正則化項勾配を異なる頻度で更新した。図１１は、異なる正則化項更新頻度について各回の反復での収束速度を示す。図１１の範囲内では、ＯＳ−４１−ＤＳ−ｎは４１個のサブセット及びＵ_f＝ｎによるＯＳを示し、「ｎ＝ａｌｌ」は、全てのサブセット更新が行なわれた後に１回だけ更新したことを意味する。図１１（ａ）はμ⁽ⁿ⁾をμ⁽∞⁾に関して示し、図１１（ｂ）はμ⁽ⁿ⁾をμ^(true)に関して示している。図１１は、方法４００に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの例が、正則化項が反復当たり比較的頻繁でなく更新されたときでも従来のＯＳと類似した自乗平均平方根（ＲＭＳ）差を与えることを示している。

一方、図１２は、同じ水準のＲＭＳ差を得るのに必要とされる計算費用が、方法４００に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの例によって減少したことを示している。図１２は、異なる正則化項更新頻度について収束速度を計算時間に対して示している。図１２（ａ）は、μ⁽ⁿ⁾をμ⁽∞⁾に関して示し、図１２（ｂ）はμ⁽ⁿ⁾をμ^(true)に関して示している。この例で最良の結果を与えたＵ_f＝１３の場合に、方法４００に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの例は従来のＯＳよりも約３倍速く収束している。

図１３は、様々な更新頻度によるＯＳＤＳの収束速度を比較している。左列において、図１３は同じ時間点（初期化から４０００秒後）にある画像を示している。右列において、図１３は、μ⁽∞⁾に関する絶対差画像を示している。同じ時間点での再構成画像を観察することにより、図１３は、方法４００に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの例がより速く収束していることを明らかに示している。収束速度と及び計算費用との間にはトレードオフがあり、ここの例では、正則化項勾配を１３回のサブセット更新毎に計算すると、実験に用いられた処理ハードウェアにおいては最も効率のよい結果を与えた。異なる問題については、最適な更新頻度は異なり得る。しかしながら、更新頻度を問わず、方法４００に関連するＯＳ−ＳＰＳアルゴリズムの例は従来のＯＳよりも速く収束することは注目に値する。問題が大規模になりサブセット数が増大するにつれて、正則化項の勾配を算出するのに必要とされる計算費用は遥かに大きくなり得る。従って、比較的実質的な利点を方法４００から期待することができる。

本書に記載される方法及びアルゴリズムを用いて対象の画像を反復式で再構成する。これらの方法及びアルゴリズムは、コンピュータに記憶されて、例えば図１３に示すモジュール５３０、ソフトウェア、ハードウェア、これらの組み合わせ、及び／又は有形の非一時的なコンピュータ可読の媒体を用いて実装される一組の命令として具現化され得る。一実施形態では、有形の非一時的なコンピュータ可読の媒体は信号を除く。

収束及び画質を改善するために係数マップを用いるという本書で用いられる概念（例えば段落[００２５]で議論されたようなもの）はモデル・ベース費用関数に限らず、モデル・ベース及びモデル・ベース以外の費用関数を解く全ての同時型アルゴリズムに適用可能である。

図１４は、様々な実施形態に従って形成されたイメージング・システムの一例５００の見取り図である。図１５は、図１４に示すマルチ・モダリティ・イメージング・システム５００の一部のブロック概略図である。イメージング・システムは、特に計算機式断層写真法（ＣＴ）イメージング・システム、陽電子放出断層写真法（ＰＥＴ）イメージング・システム、磁気共鳴イメージング（ＭＲＩ）・システム、超音波イメージング・システム、Ｘ線イメージング・システム、単光子放出計算機式断層写真法（ＳＰＥＣＴ）イメージング・システム、侵襲処置用Ｃアーム断層写真法イメージング・システム、四肢又は乳房走査のような専用目的のＣＴシステム、及びこれらの組み合わせとして具現化され得る。この実施形態の例では、方法１００はＣＴイメージング・システムに関して記載される。また、この実施形態の例では、費用関数を用いて本書に記載される様々な実施形態を説明する。

計算機式断層写真法（ＣＴ）イメージング・システムと、陽電子放出断層写真法（ＰＥＴ）イメージング・システム又は単光子放出計算機式断層写真法（ＳＰＥＣＴ）システムとを含む例示的な二重モダリティ・イメージング・システムの環境で様々な実施形態を説明するが、本書に記載される諸作用を果たすことが可能な他のイメージング・システムを用いることも思量されることを理解されたい。

マルチ・モダリティ・イメージング・システム５００が図示されており、このイメージング・システム５００はＣＴイメージング・システム５０２及びＰＥＴイメージング・システム５０４を含んでいる。イメージング・システム５００は、異なるモダリティでの多数の走査によって単一のモダリティ・システムよりも高い診断能力を容易にすることを可能にする。一実施形態では、例示的なマルチ・モダリティ・イメージング・システム５００はＣＴ／ＰＥＴイメージング・システム５００である。選択随意で、ＣＴ及びＰＥＴ以外のモダリティをイメージング・システム５００と共に用いる。例えば、イメージング・システム５００は、特に独立型ＣＴイメージング・システム、独立型ＰＥＴイメージング・システム、磁気共鳴イメージング（ＭＲＩ）・システム、超音波イメージング・システム、Ｘ線イメージング・システム、及び／又は単光子放出計算機式断層写真法（ＳＰＥＣＴ）イメージング・システム、侵襲処置用Ｃアーム断層写真法、四肢若しくは乳房走査のような専用目的のＣＴシステム、並びにこれらの組み合わせであってよい。

ＣＴイメージング・システム５０２はガントリ５１０を含んでおり、ガントリ５１０は、Ｘ線のビームをガントリ５１０の反対側に設けられた検出器アレイ５１４へ向けて投射するＸ線源５１２を有する。検出器アレイ５１４は複数の検出器素子５１６を含んでおり、これらの検出器素子５１６は横列及びチャネルを成して配列されて、被検体５０６のような対象を通過した投射Ｘ線を共に感知する。イメージング・システム５００はまた、検出器アレイ５１４からの投影データを受け取って、被検体５０６の画像を再構成するように投影データを処理するコンピュータ５２０を含んでいる。動作時には、操作者が供給した命令及びパラメータをコンピュータ５２０によって用いて、電動式テーブル５２２を再配置するための制御信号及び情報を与える。さらに明確に述べると、電動式テーブル５２２を用いてガントリ５１０の内外に被検体５０６を移動させる。具体的には、テーブル５２２は、ガントリ５１０を通して延在するガントリ開口５２４を通して被検体５０６の少なくとも一部を移動させる。

イメージング・システム５００はまた、本書に記載される様々な方法及びアルゴリズムを具現化するように構成されているモジュール５３０を含んでいる。モジュール５３０は、コンピュータ５２０に内蔵される単体のハードウェアとして実装され得る。選択随意で、モジュール５３０は、コンピュータ５２０にインストールされる一組の命令として実装されてもよい。この一組の命令は、独立プログラムであってもよいし、コンピュータ５２０にインストールされたオペレーティング・システムのサブルーチンとして組み込まれていてもよいし、コンピュータ５２０のインストールされたソフトウェア・パッケージの機能等であってもよい。尚、様々な実施形態は図面に示されている構成及び手段に限定されないことを理解されたい。

前述のように、検出器５１４は複数の検出器素子５１６を含んでいる。各々の検出器素子５１６が、被検体５０６を通過したときの入射Ｘ線ビームの強度を表わす、従ってビームの減弱の推定を可能にする電気信号すなわち出力を発生する。Ｘ線投影データを取得する走査中に、ガントリ５１０及びガントリ５１０に装着された構成要素は回転中心５４０の周りを回転する。図１５は単一の横列分の検出器素子５１６（すなわち検出器横列１列）のみを示している。しかしながら、マルチ・スライス検出器アレイ２０は、複数のスライスに対応する投影データが走査中に同時に取得され得るように、複数の平行な検出器横列を成す検出器素子５１６を含んでいる。

ガントリ５１０の回転及びＸ線源５１２の動作は、制御機構５４２によって制御される。制御機構５４２は、電力信号及びタイミング信号をＸ線源５１２に与えるＸ線制御器５４４と、ガントリ５１０の回転速度及び位置を制御するガントリ・モータ制御器５４６とを含んでいる。制御機構５４２に設けられたデータ取得システム（ＤＡＳ）５４８が、検出器素子５１６からアナログ・データをサンプリングして、データを後の処理のためにディジタル信号へ変換する。例えば、後の処理は、本書に記載される様々な方法を具現化するためにモジュール５３０を用いることを含み得る。画像再構成器５５０が、サンプリングされてディジタル化されたＸ線データをＤＡＳ５４８から受け取って、高速画像再構成を実行する。再構成された画像はコンピュータ５２０に入力されて、コンピュータ５２０は画像を記憶装置５５２に記憶させる。選択随意で、コンピュータ５２０は、サンプリングされてディジタル化されたＸ線データをＤＡＳ５４８から受け取って、本書に記載される様々な方法をモジュール５３０を用いて実行することができる。コンピュータ５２０はまた、キーボードを有するコンソール５６０を介して操作者から命令及び走査パラメータを受け取る。付設されている視覚表示ユニット５６２によって、操作者は再構成画像及びコンピュータからの他のデータを観察することが可能になる。

操作者が供給した命令及びパラメータをコンピュータ５２０によって用いて、ＤＡＳ５４８、Ｘ線制御器５４４及びガントリ・モータ制御器５４６に制御信号及び情報を与える。加えて、コンピュータ５２０は、電動式テーブル５２２を制御するテーブル・モータ制御器５６４を動作させて、ガントリ５１０に被検体５０６を配置する。具体的には、テーブル５２２は、図１４に示すようにガントリ開口５２４を通して被検体５０６の少なくとも一部を移動させる。

図１５へ戻り、一実施形態では、コンピュータ５２０は、フロッピィ・ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ、又は網若しくはインターネットのような他のディジタル・ソース等のコンピュータ可読の媒体５７２から命令及び／又はデータを読み取る装置５７０、例えばフロッピィ・ディスク・ドライブ、ＣＤ−ＲＯＭドライブ、ＤＶＤドライブ、光磁気ディスク（ＭＯＤ）装置、又はイーサネット(商標）装置等のような網接続装置を含めた他の任意のディジタル装置、並びに開発中のディジタル手段を含んでいる。他の実施形態では、コンピュータ５２０はファームウェア（図示されていない）に記憶されている命令を実行する。コンピュータ５２０は本書に記載する諸作用を果たすようにプログラムされており、本書で用いられるコンピュータとの用語は当技術分野でコンピュータと呼ばれている集積回路のみに限らず、コンピュータ、プロセッサ、マイクロコントローラ、マイクロコンピュータ、プログラム可能論理コントローラ、特定応用向け集積回路、及び他のプログラム可能な回路を広範に指しており、これらの用語は本書では互換的に用いられている。

この実施形態の例では、Ｘ線源５１２及び検出器アレイ５１４は、Ｘ線ビーム５７４が被検体５０６と交差する角度が定常的に変化するように、撮像平面の内部で、撮像されている被検体５０６の周りをガントリ５１０によって回転する。一つのガントリ角度における検出器アレイ５１４からの一群のＸ線減弱測定値すなわち投影データを「ビュー」と呼ぶ。被検体５０６の「走査」は、Ｘ線源５１２及び検出器アレイ５１４の一回転中に異なるガントリ角度すなわちビュー角度で形成される一組のビューを含んでいる。ＣＴ走査では、投影データは、被検体５０６を通る二次元スライスに対応する画像を再構成するように処理される。

以上、マルチ・モダリティ・イメージング・システムの実施形態の例について詳細に説明した。図示のマルチ・モダリティ・イメージング・システムの各構成要素は本書に記載される特定の実施形態に限定されず、各々のマルチ・モダリティ・イメージング・システムの各構成要素を本書に記載される他の構成要素とは独立に別個に用いてよい。例えば、上で述べたマルチ・モダリティ・イメージング・システム構成要素を他のイメージング・システムと共に用いてもよい。

尚、様々な実施形態は、ハードウェア、ソフトウェア、又はこれらの組み合わせとして実装され得ることを特記しておく。様々な実施形態、並びに／又は構成要素、例えばモジュール、若しくは内部の構成要素及び制御器はまた、１又は複数のコンピュータ又はプロセッサの一部として具現化され得る。コンピュータ又はプロセッサは、計算装置、入力装置、表示ユニット、及びインタフェイス例えばインターネットにアクセスするためのインタフェイスを含み得る。コンピュータ又はプロセッサはマイクロプロセッサを含み得る。マイクロプロセッサは通信バスに接続され得る。コンピュータ又はプロセッサはまた、メモリを含み得る。メモリは、ランダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ）及び読み出し専用メモリ（ＲＯＭ）を含み得る。コンピュータ又はプロセッサはさらに、記憶装置を含んでいてよく、記憶装置はハード・ディスク・ドライブ、又は固体ドライブ及び／若しくは光ドライブ等のような着脱自在の記憶ドライブであってよい。記憶装置はまた、コンピュータ又はプロセッサにコンピュータ・プログラム又は他の命令を読み込む他の同様の手段であってよい。

本書で用いられる「コンピュータ」との用語は、マイクロコントローラ、縮小命令セット・コンピュータ（ＲＩＳＣ）、特定応用向け集積回路（ＡＳＩＣ）、論理回路、ＧＰＵ、ＦＰＧＡ、及び本書に記載された作用を果たすことが可能な他の任意の回路又はプロセッサを用いたシステムを含む任意のプロセッサ方式又はマイクロプロセッサ方式のシステムを含み得る。上の例は例示のみのためのものであり、従って「コンピュータ」との語の定義及び／又は意味を限定しないものとする。コンピュータ又はプロセッサは、入力データを処理するために１又は複数の記憶要素に記憶されている一組の命令を実行する。記憶要素はまた、所望又は必要に応じてデータ又は他の情報ソースを記憶していてよい。記憶要素は、処理機械の内部の情報ソース又は物理メモリ素子の形態にあってよい。

上述の一組の命令は、本発明の様々な実施形態の方法及び工程のような特定の動作を実行するように処理機械であるコンピュータ又はプロセッサに命令する様々な命令を含み得る。一組の命令は、ソフトウェア・プログラムの形態にあってよい。ソフトウェアは、システム・ソフトウェア又はアプリケーション・ソフトウェアのような様々な形態にあってよく、非一時的なコンピュータ可読の媒体であってよい。さらに、ソフトウェアは、別個のプログラムの集合、より大きなプログラムの内部のプログラム・モジュール又はプログラム・モジュールの一部の形態にあってよい。ソフトウェアはまた、オブジェクト指向プログラミングの形態のモジュール型プログラミングを含み得る。コンピュータ又はプロセッサによる入力データ処理は、利用者の命令に応答して行なわれてもよいし、以前の処理の結果に応答して行なわれてもよいし、他の処理機械によって発行された要求に応答して行なわれてもよい。

本書で用いる場合には、単数形で記載されており単数不定冠詞を冠した要素又はステップとの用語は、排除を明記していない限りかかる要素又はステップを複数備えることを排除しないものと理解されたい。さらに、本発明の「一実施形態」に対する参照は、所載の特徴を同様に組み入れている追加の実施形態の存在を排除しないものと解釈されたい。また、反対に明記されていない限り、特定の特性を有する１若しくは複数の要素を「含んでいるcomprising」又は「有しているhaving」実施形態は、この特性を有しないような追加の要素も包含し得る。

また、本書で用いられる「画像を再構成する」との表現は、画像を表わすデータが生成されるが可視画像は形成されないような本発明の実施形態を排除するものではない。従って、本書で用いられる「画像」との用語は可視画像及び可視画像を表わすデータの両方を広く指す。但し、多くの実施形態は少なくとも１枚の可視画像を形成し又は形成するように構成されている。

本書で用いられる「ソフトウェア」及び「ファームウェア」との用語は互換的であり、ＲＡＭメモリ、ＲＯＭメモリ、ＥＰＲＯＭメモリ、ＥＥＰＲＯＭメモリ、及び不揮発性ＲＡＭ（ＮＶＲＡＭ）メモリを含めたメモリに記憶されて、コンピュータによって実行される任意のコンピュータ・プログラムを含んでいる。以上のメモリ形式は例示のみのためのものであり、従ってコンピュータ・プログラムの記憶に利用可能なメモリの形式に関して制限するものではない。

以上の記載は例示説明のためのものであって制限するものではないことを理解されたい。例えば、上述の各実施形態（及び／又は各実施形態の諸観点）を互いに組み合わせて用いてよい。加えて、本発明の範囲を逸脱することなく、特定の状況又は材料を発明の教示に合わせて適応構成する多くの改変を施すことができる。本書に記載されている材料の寸法及び形式は、発明の各パラメータを定義するためのものであるが、限定するものではなく例示する実施形態である。以上の記載を吟味すれば、当業者には他の多くの実施形態が明らかとなろう。従って、本発明の範囲は、特許請求の範囲に関連して、かかる特許請求の範囲が網羅する等価物の全範囲と共に決定されるものとする。特許請求の範囲では、「including包含する」との用語は「comprising含む」の標準英語の同義語として、また「in whichこのとき」との用語は「whereinここで」の標準英語の同義語として用いられている。また、特許請求の範囲では、「第一」、「第二」及び「第三」等の用語は単にラベルとして用いられており、これらの用語の目的語に対して数値的要件を課すものではない。さらに、特許請求の範囲の制限は、「手段プラス機能（means-plus-function）」形式で記載されている訳ではなく、かかる特許請求の範囲の制限が、「〜のための手段」に続けて他の構造を含まない機能の言明を従えた文言を明示的に用いていない限り、合衆国法典第３５巻第１１２条第６パラグラフに基づいて解釈されるべきではない。

この書面の記載は、最適な態様を含めて発明の様々な実施形態を開示し、また任意の装置又はシステムを製造して利用すること及び任意の組み込まれた方法を実行することを含めてあらゆる当業者が発明の様々な実施形態を実施することを可能にするように実例を用いている。特許付与可能な発明の様々な実施形態の範囲は特許請求の範囲によって画定されており、当業者に想到される他の実例を含み得る。かかる他の実例は、特許請求の範囲の書字言語に相違しない構造要素を有する場合、又は特許請求の範囲の書字言語と非実質的な相違を有する等価な構造要素を含む場合には、特許請求の範囲内にあるものとする。

１００、２００、３００、４００：対象の画像を反復式で再構成する方法
５００：イメージング・システム
５０２：ＣＴイメージング・システム
５０４：ＰＥＴイメージング・システム
５０６：被検体
５１０：ガントリ
５１２：Ｘ線源
５１４：検出器アレイ
５１６：検出器素子
５２０：コンピュータ
５２２：電動式テーブル
５２４：ガントリ開口
５３０：モジュール
５４０：回転中心
５４２：制御機構
５４４：Ｘ線制御器
５４６：ガントリ・モータ制御器
５４８：データ取得システム（ＤＡＳ）
５５０：画像再構成器
５５２：記憶装置
５６０：コンソール
５６２：視覚表示ユニット
５６４：テーブル・モータ制御器
５７０：命令及び／又はデータを読み取る装置
５７２：非一時的なコンピュータ可読の媒体
５７４：Ｘ線ビーム

Claims (28)

1. 対象の画像を反復式で再構成する方法であって、
   前記画像に関連する測定データを入手するステップと、
   前記画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップと
   を備えており、前記画像を再構成するために前記同時型アルゴリズムを用いる前記ステップは、
   ボクセル依存型であるスケーリング・ファクタを決定するステップと、
   前記画像を再構成するために前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを目的関数の勾配に適用するステップと
   を含んでいる、方法。
2. ボクセル依存型であるスケーリング・ファクタを決定する前記ステップは、取得幾何学的構成に基づいて直接前記スケーリング・ファクタを算出することを含んでいる、請求項１に記載の方法。
3. ボクセル依存型であるスケーリング・ファクタを決定する前記ステップは、取得幾何学的構成に基づいて直接前記スケーリング・ファクタを算出することを含んでおり、前記測定データは三次元（３Ｄ）取得幾何学的構成において非一様にサンプリングされている、請求項１に記載の方法。
4. ボクセル依存型であるスケーリング・ファクタを決定する前記ステップは、係数マップを生成するステップと、前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを算出するために前記係数マップを用いるステップとを含んでいる、請求項１に記載の方法。
5. 係数マップを生成する前記ステップは、少なくとも２回の反復又は少なくとも２回の下位反復の一方についての差から得られる更新を変換することを含んでいる、請求項４に記載の方法。
6. 係数マップを生成する前記ステップは、局所的に滑らかであり低域通過フィルタ処理を施されることが可能な係数マップを生成することを含んでいる、請求項４に記載の方法。
7. 係数マップを生成する前記ステップは、初期画像から前記係数マップを得ることを含んでいる、請求項４に記載の方法。
8. 係数マップを生成する前記ステップは、初期画像に関する事前情報、現在の画像の特徴、又は取得幾何学的構成の少なくとも一つにより前記係数マップを強化することを含んでいる、請求項４に記載の方法。
9. 前記画像を再構成するために前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを目的関数の勾配に適用する前記ステップは、前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを用いて前記勾配をスケーリングすることを含んでいる、請求項１に記載の方法。
10. 前記スケーリングは、Ａ^TＷＡを用いて得られる又は一つ一つのボクセルへのサブセットの寄与に関係付けられるの少なくとも一方である、請求項９に記載の方法。
11. 前記画像を再構成するために前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを目的関数の勾配に適用する前記ステップは、前記測定データの各々のスライス毎に緩和係数を算出することを含んでおり、前記測定データは三次元（３Ｄ）取得幾何学的構成において非一様にサンプリングされており、着目領域（ＲＯＩ）の内部のスライスは、前記ＲＯＩの外部のスライスに比較して異なる数のビューによりサンプリングされている、請求項１に記載の方法。
12. 前記画像を再構成するために前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを目的関数の勾配に適用する前記ステップは、各回の反復毎ではなくｎ回の反復毎まで減少させた頻度で前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを更新することを含んでいる、請求項１に記載の方法。
13. 前記係数マップはダウンサンプリングされている、請求項４に記載の方法。
14. 検出器アレイと、
    該検出器アレイに結合されたコンピュータと
    を備えたイメージング・システムであって、前記コンピュータは、
    対象の画像に関連する測定データを取得し、
    前記画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いる
    ように構成されており、前記コンピュータは、ボクセル依存型であるスケーリング・ファクタを決定して、前記画像を再構成するために前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを目的関数の勾配に適用することにより、前記画像を再構成するために前記同時型アルゴリズムを用いるように構成されている、イメージング・システム。
15. 前記コンピュータは、取得幾何学的構成に基づいて直接前記スケーリング・ファクタを算出することにより、ボクセル依存型である前記スケーリング・ファクタを決定するように構成されている、請求項１４に記載のイメージング・システム。
16. 前記コンピュータは、係数マップを生成して、前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを算出するために前記係数マップを用いることにより、ボクセル依存型である前記スケーリング・ファクタを決定するように構成されている、請求項１４に記載のイメージング・システム。
17. 前記コンピュータは、少なくとも２回の反復又は少なくとも２回の下位反復の一方についての差から得られる更新を変換することにより、前記係数マップを生成するように構成されており、前記変換は離散型又は連続型の一方である、請求項１６に記載のイメージング・システム。
18. 前記コンピュータは、前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを用いて前記勾配をスケーリングすることにより、前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを前記目的関数の前記勾配に適用するように構成されている、請求項１４に記載のイメージング・システム。
19. 前記コンピュータは、前記測定データの各々のスライス毎に緩和係数を算出することにより、前記ボクセル依存型スケーリング・ファクタを前記目的関数の前記勾配に適用するように構成されており、前記測定データは三次元（３Ｄ）取得幾何学的構成において非一様にサンプリングされており、着目領域（ＲＯＩ）の内部のスライスは、前記ＲＯＩの外部のスライスに比較して異なる数のビューによりサンプリングされている、請求項１４に記載のイメージング・システム。
20. 対象の画像を反復式で再構成する方法であって、
    前記画像に関連する測定データを入手するステップと、
    前記画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップと
    を備えており、前記同時型アルゴリズムは正則化関数の勾配を算出することを含んでおり、前記画像を再構成するために前記同時型アルゴリズムを用いる前記ステップは、
    複数のサンプル勾配値をルックアップ・テーブルに記憶させるステップと、
    前記ルックアップ・テーブルの前記サンプル勾配値を入手するステップと、
    前記サンプル勾配値を用いて近似的な実際の勾配値を算出するステップと
    を含んでいる、方法。
21. 前記サンプル勾配値を用いて近似的な実際の勾配値を算出する前記ステップは、前記再構成の各回の反復毎に近似的な実際の勾配値を算出することを含んでいる、請求項２０に記載の方法。
22. 前記サンプル勾配値を用いて近似的な実際の勾配値を算出する前記ステップは、前記近似的な実際の勾配値を算出するために補間方式を用いることを含んでいる、請求項２０に記載の方法。
23. 複数のサンプル勾配値をルックアップ・テーブルに記憶させる前記ステップは、固定されたサンプリング周波数で前記勾配値をサンプリングすることを含んでいる、請求項２０に記載の方法。
24. 対象の画像を反復式で再構成する方法であって、
    前記画像に関連する測定データを入手するステップと、
    前記画像を再構成するために同時型アルゴリズムを用いるステップと
    を備えており、前記同時型アルゴリズムは正則化関数の勾配を算出することを含んでおり、前記画像を再構成するために前記同時型アルゴリズムを用いる前記ステップは、
    前記画像の前記再構成の反復において実際の勾配を算出するステップと、
    前記実際の勾配に補償項を加えるステップと、
    前記画像の前記再構成の次回の反復のための前記勾配として前記実際の勾配及び前記補償項を用いるステップと
    を含んでいる、方法。
25. 前記画像の前記再構成の次回の反復のための前記勾配として前記実際の勾配及び前記補償項を用いる前記ステップは、前記次回の反復に続く前記画像の前記再構成の各回の反復毎に異なる補償項を前記実際の勾配に加えることを含んでいる、請求項２４に記載の方法。
26. 前記画像の前記再構成の次回の反復のための前記勾配として前記実際の勾配及び前記補償項を用いる前記ステップは、前記次回の反復の全ての下位反復について前記勾配を用いることを含んでいる、請求項２４に記載の方法。
27. 前記実際の勾配に補償項を加える前記ステップは、前記正則化関数についての代理式を構築することを含んでいる、請求項２４に記載の方法。
28. 前記補償項は加算、減算、除算、又は乗算の少なくとも一つを含むのみである、請求項２４に記載の方法。