JP6280700B2 - 反復式再構成の方法、非一時的なコンピュータ可読の媒体及びイメージング・システム - Google Patents

Description

本書に開示される主題は一般的には、イメージング・システムに関し、さらに具体的には、反復式手法を用いて画像を再構成する方法及び装置に関する。

従来、画像は、計算機式断層写真法（ＣＴ）データからフィルタ補正逆投影（ＦＢＰ）又は畳み込み逆投影（ＣＢＰ）のような直接式再構成アルゴリズムを用いて再構成されている。近年、モデル・ベース反復式再構成（ＭＢＩＲ）アルゴリズムがＣＴ画像を再構成するために出回るようになってきた。ＭＢＩＲアルゴリズムの一つの利点は、これらのＭＢＩＲアルゴリズムがＣＴシステムから得られる測定をさらに正確にモデル化し得ることである。このことはマルチ・スライス検出器による螺旋ＣＴシステムについて特にあてはまる。というのは、螺旋ＣＴシステムは二次元（２Ｄ）再構成画像平面を斜めに通過する投影測定を発生し、取得されるデータは本質的に雑音を含むからである。これらの投影をさらに正確にモデル化することにより、ＭＢＩＲアルゴリズムは、高品質（例えば高分解能）で、雑音が少なく、アーティファクトが少ない再構成を生成することができる。結果として、診断画質を保ちつつＣＴ走査の線量を有意に減少させるツールとしてＭＢＩＲアルゴリズムを用いることができる。

しかしながら、ＭＢＩＲの大きな問題は、再構成を完了するのに要求される計算時間及び計算資源である。ＭＢＩＲアルゴリズムは典型的には、正確なシステム・モデル、統計学的雑音モデル、及び事前モデルを組み入れた目的関数を先ず形成することにより画像を再構成する。目的関数を利用し得るようにしておいて、次いで、目的関数を最小化する推定値を算出すること（典型的には反復式最適化アルゴリズムを用いて行なわれる）により画像を再構成する。かかる反復式最適化アルゴリズムの幾つかの実例として、反復式座標降下（ＩＣＤ）法、期待値最大化（ＥＭ）法の諸変形、共役勾配（ＣＧ）法、及び順序付きサブセット（ＯＳ）法がある。しかしながら、ＭＢＩＲ目的関数及び関連する反復式解法は複雑であるため、幾つかの反復式アルゴリズムは、最終的な推定値に到達するために相対的に多数回の反復を必要とし得る。結果として、ＭＢＩＲ目的関数を解く公知の反復式アルゴリズムは、画像を再構成するのに相対的に長時間を必要とし得る。

一実施形態では、画像要素を含む対象の画像を再構成する方法が提供される。この方法は、画像要素に関連する測定データを入手するステップと、画像を再構成するという本来の問題を制約付き最適化問題へ変換するために補助変数を導入するステップと、一連の部分問題を作成してこの一連の部分問題を解く乗数法を用いて上述の制約付き最適化問題を解くステップとを含んでいる。一連の部分問題を解くことは、第一の目的関数を最適化することにより画像を再構成することを含んでいる。第一の目的関数は、入れ子式の（ネスト化した）一連の近似的最適化問題を反復式で解くことにより最適化される。内側ループは、第一の目的関数を近似する第二の目的関数を反復式で最適化する。外側ループは、第二の目的関数の解を用いて第一の目的関数を最適化する。

もう一つの実施形態では、非一時的なコンピュータ可読の媒体が提供される。この非一時的なコンピュータ可読の媒体は、画像要素に関連する測定データを入手すること、及び対象の画像を再構成するという本来の問題から一連の部分問題を作成することをコンピュータに命令するようにプログラムされている。これらの部分問題は、画像の再構成、補助変数、及びラグランジュ乗数の変換を含んでいる。コンピュータはまた、画像の再構成及び補助変数を更新することを命令される。コンピュータはまた、更新された画像の再構成及び更新された補助変数を用いてラグランジュ乗数の変換を更新することを命令される。コンピュータはまた、更新された補助変数及び更新されたラグランジュ乗数の変換を用いて画像の再構成を反復式で更新することを命令される。

もう一つの実施形態では、イメージング・システムが提供される。このイメージング・システムは、検出器アレイと、該検出器アレイに結合されたコンピュータとを含んでいる。コンピュータは、画像要素に関連する測定データを入手し、対象の画像を再構成するという本来の問題を制約付き最適化問題へ変換するために補助変数を導入して、一連の部分問題を作成してこの一連の部分問題を解く乗数法を用いて制約付き最適化問題を解くように構成されている。一連の部分問題を解くことは、第一の目的関数を最適化することにより画像を再構成することを含んでいる。第一の目的関数は、入れ子式の一連の近似的最適化問題を反復式で解くことにより最適化される。内側ループは、第一の目的関数を近似する第二の目的関数を反復式で最適化する。外側ループは、第二の目的関数の解を用いて第一の目的関数を最適化する。

様々な実施形態に従って対象の画像を再構成する方法の一例の流れ図である。 様々な実施形態に従って図１に示す方法の解くステップを実行する方法の一例を示すもう一つの流れ図である。 図２に示す方法の反復式更新ステップを実行する方法の一例を示すもう一つの流れ図である。 図３に示す方法の最適化するステップを実行する方法の一例を示すもう一つの流れ図である。 差画像の例の視覚的表現の図である。 様々な実施形態に従って形成されるマルチ・モダリティ・イメージング・システムの一例の見取り図である。 図６に示すシステムのブロック概略図である。

以上の概要及び以下の様々な実施形態の詳細な説明は、添付図面と併せて読むとさらに十分に理解されよう。図面が様々な実施形態の機能ブロックの線図を示す範囲までにおいて、機能ブロックは必ずしもハードウェア回路の間の区分を示す訳ではない。従って、例えば、機能ブロックの１又は複数（例えばプロセッサ若しくはメモリ）が単体のハードウェア（例えば汎用信号プロセッサ若しくはランダム・アクセス・メモリのブロック、又はハードディスク等）として実装されてもよいし、多数のハードウェアとして実装されてもよい。同様に、プログラムは独立型プログラムであってもよいし、オペレーティング・システムのサブルーチンとして組み込まれていてもよいし、インストールされているソフトウェア・パッケージの機能等であってもよい。尚、様々な実施形態は図面に示されている構成及び手段に限定されないことを理解されたい。

本書には、変数分割手法と暗黙型前処理行列方法とを組み合わせたアルゴリズム例を用いて画像を再構成する様々な実施形態が記載される。画像は複数の画像要素で構成される。本書に開示される目的のために、「画像要素」との用語は、画像空間配列の内部での対象の要素を指すものとする。例えば、画像要素は画像ピクセル又は画素を含むことができ、画像ピクセル又は画素は三次元（３Ｄ）再構成での単一のボクセル又は体積要素に対応し得る。画像は、目的関数を最適化することにより再構成される。本書で用いられる目的関数又は費用関数は一般的には、撮像データを取得するのに用いられるイメージング・システムのモデル、このイメージング・システムに関連する雑音のモデル、及び再構成されるべき画像の特性のモデルを含んでいる。以下では、「最適化する」、「最小化する」、及び「最大化する」の各用語は互換的である。以下では、「目的関数」及び「費用関数」の各用語は互換的である。

様々な実施形態は相対的に高速収束するパラレル型モデル・ベース反復式再構成（ＭＢＩＲ）アルゴリズムを提供し、このアルゴリズムは、変数分割手法と暗黙型前処理行列方法との組み合わせを用いてＭＢＩＲのための同時型アルゴリズムの収束を高速化する。変数分割手法は一連の部分問題を作成し、各々の部分問題ではヘッセ行列は近似的にシフト不変であり得る。部分問題の収束を加速するために前処理行列を用いることができる。明確に述べると、暗黙型前処理行列方法を用いて、複数の外側ループ反復の各回において部分問題に対する近似を作成する。（ヘッセ行列の逆行列を直接近似する代わりに、暗黙型前処理行列方法はヘッセ行列の逆行列を明示的に計算せずに画像及び測定データを関係付ける式を反復式で解くことにより作用する。）次いで、近似された部分問題が、計算費用が相対的に低い内側ループ反復によって解かれる。換言すると、内側ループ計算は、外側ループ反復の収束速度を改善する。さらに明確に述べると、ＭＢＩＲ目的関数のための最適化アルゴリズムは入れ子式の反復ループで構成され、内側ループは、外側ループによって反復式で最適化される費用関数を近似するように定義された近似的な目的関数を反復式で最適化するように定式化され、また外側ループの反復によって、内側ループを用いて生成される解を用いて本来のＭＢＩＲ費用関数を最適化する。様々な実施形態の少なくとも一つの技術的効果は、外側ループの計算及び内側ループの計算が、従来の同時型アルゴリズムよりも少ない反復回数で本来の費用関数の解に収束することである。例えば、本書に記載される様々な実施形態は、当技術分野で公開されている従来のアルゴリズムに必要とされる５０回又は１００回の反復に比較して、５回から１０回の反復で許容可能な画質に収束し得る。

図１は、対象の画像を再構成する方法の一例１００の流れ図である。ブロック１０２では、この方法は、例示的なイメージング・システムを用いて投影データ又は測定データを取得するステップを含んでいる。ブロック１０４では、目的関数が定式化される。一実施形態では、目的関数はブロック１０４において、測定データ及び走査対象を表わす画像の事前知識に基づいて定式化される。例えば、ｘが画像を表わし、ｙが測定データを表わすとする。但し、ｘ及びｙの両方がベクトルを表わす。動作時に、方法１００は、下式によって与えられる最大事後確率（ＭＡＰ）推定を算出することにより画像を再構成するように構成されている。

式１
ｆ（ｘ）＝Ｊ（ｘ，ｙ）＋Φ（ｘ） 式２
式中、ｆ（ｘ）は目的関数であり、Ｊ（ｘ，ｙ）は、画像と測定との間の不整合にペナルティを科すデータ不一致項であり、Φ（ｘ）は、画像における隣り合った要素の間の差にペナルティを科す正則化関数である。

一実施形態では、Ｊ（ｘ，ｙ）は下記のような二次形態を有する。

Ｊ（ｘ，ｙ）＝‖Ａｘ−ｙ‖² _W 式３
式中、Ａは前進システム行列であり、Ｗは対角重み付け行列である。行列Ｗの第ｉの対角成分はｗ_iと表わされ、測定ｙ_iの分散の推定値に反比例する。但し、他の形態のデータ不一致項を方法１００と共に用いてもよく、これらの形態としては限定しないがポアソン対数尤度関数及び／又は同様のものが含まれる。幾つかの場合には、目的関数に加えて、最適化問題は変数に対する付加的な等式制約又は不等式制約を有し得る。例えば、画像ピクセルには非負制約が通例適用される。

方法１００は、本来の問題（すなわち式１）を一連の部分問題へ変換するステップを含んでいる。これらの部分問題は二段階で作成される。先ず、ブロック１０６では、一組の補助変数を導入して、最適化問題に目的関数の付加項及び付加的な制約を加える。ブロック１０６での一組の補助変数の導入によって、本来の問題を制約付き最適化問題へ変換する。次いで、ブロック１０８では、乗数法を用いて制約付き最適化問題を解く。乗数法によって制約付き最適化問題を一連の部分問題（例えば後述のステップ１１０〜１１２）へ転換し、各々の部分問題は本来の問題よりも比較的解き易くなっている。例えば、式３では、データ不一致項のヘッセ行列がＡ^tＷＡによって与えられる。Ｗではダイナミック・レンジが相対的に大きいので、（Ａ^tＷＡ）^-1を比較的良好に近似する前処理行列Ｐを設計することが困難な場合がある。一方、断層写真法再構成問題での行列Ａ^tＡは、比較的反転させ易いシフト不変画像空間作用素によって良好に近似され得る。従って、方法１００を用いて一連の部分問題を通じて本来の問題を解くが、部分問題ではＡ^tＡ行列を反転させるだけでよい。

一実施形態では、ブロック１０６において先ずデータ不一致項Ｊ（ｘ，ｙ）に補助変数ｕ＝Ａｘを導入することにより制約付き最適化問題を作成して、式２の無制約の最適化問題を制約付き最適化問題へ転換する。補助変数ｕは画像の前方投影に対応する。一例として、Ｊ（ｘ，ｙ）が式３によって与えられているならば、本来の問題は以下の制約付き最適化問題へ変換される。

ｘ＝ａｒｇ ｍｉｎ（１／２）‖ｕ−ｙ‖² _W＋Φ（ｘ） 式４
但し、制約条件を
ｕ＝Ａｘ 式５
とする。

上述のように、ブロック１０８では、乗数法を用いてこの制約付き最適化問題を解く。換言すると、乗数法は、この制約付き最適化問題を一連の部分問題へ転換し、次いで一連の部分問題を反復式で解く。従って、乗数法を用いてこの制約付き最適化問題を解くことは、一連の部分問題を解くことにより本来の問題を解くことを含んでいる。制約付き最適化問題は、様々な方法を用いて解くことができる。この実施形態の例では、ブロック１０８において制約付き最適化問題を解くことは、拡張ラグランジュ（ＡＬ）法を用いて制約付き最適化問題を解くことを含んでいる。ＡＬ法に加えて又は代えて他の方法を用いてもよい。

図２は、乗数法を用いて制約付き最適化問題を解くブロック１０８の方法の一例を示すもう一つの流れ図である。ブロック１０８で作成される一連の部分問題は、例えば、ブロック１１０ａの画像ｘの再構成、ブロック１１０ｂの補助変数ｕ（ｘの前方投影に対応する）、及びブロック１１２のラグランジュ乗数ηの変換を含み得る。画像ｘの再構成はフィルタ補正逆投影（ＦＢＰ）再構成によって初期化され得る。補助変数ｕは、画像ｘを前方投影することにより初期化され得、ηはゼロとして初期化され得る。ブロック１０８の解く方法は、変数ｘ、ｕ、及びηの部分問題を交互に更新することを含んでいる。サイノグラム変数η及びｕの更新は閉じた解を有するが、ｘの更新は反復式で解かれる。

例えば、ブロック１１０では、ブロック１０８の解く方法は、ηの初期値を用いて画像ｘの再構成及び補助変数ｕを更新することを含んでいる。一実施形態では、画像ｘの再構成及び補助変数ｕは、ブロック１１０で交互に更新される。この実施形態の例では、補助変数ｕがブロック１１０ｂで更新される前に画像ｘの再構成がブロック１１０ａで更新されている。但し、画像ｘの再構成及び補助変数ｕはブロック１１０において任意の順序で更新されてよい。例えば、画像ｘの再構成が更新される前に補助変数ｕを更新してもよい。ブロック１１０ａで画像ｘの再構成を更新すること及びブロック１１０ｂで補助変数ｕを更新することの例は、限定しないがそれぞれ式１３及び式１２（後述）を用いることを含んでいる。

次いで、ブロック１１２では、更新された画像ｘの再構成及び更新された補助変数ｕを用いてラグランジュ乗数ηの変換を更新する。ブロック１１２でのラグランジュ乗数ηの変換を更新することの一例は、限定しないが式９（後述）を用いることを含んでいる。ブロック１１４では、ブロック１０８の解く方法は、補助変数ｕ及び更新されたラグランジュ乗数ηの変換を用いて画像ｘの再構成を反復式で更新することを含んでいる。画像ｘの再構成はブロック１１４において、目的関数ｆ（ｘ）が予め決められた水準まで減少し且つ／又は最小化されるまで反復式で更新され得る。

ＡＬ乗数法を用いて制約付き最適化問題を解くブロック１０８の方法の具現化形態の一例について以下説明する。ＡＬ関数は下式によって与えられる。

Ｌ（ｕ，ｘ，γ）＝ｆ（ｘ，ｕ）＋γ^t（ｕ−Ａｘ）＋（μ／２）‖ｕ−Ａｘ‖²Λ
式６
η＝−１／μΛ^-1γとすると、ＡＬ関数を以下の形態に単純化することができる。

Ｌ（ｕ，ｘ，η）＝ｆ（ｘ，ｕ）＋（μ／２）‖ｕ−Ａｘ−η‖²Λ
式７
ＡＬ法の各回の反復は二段階で構成される。第一に、最適化ステップ（例えば図２のステップ１１０）では、ｘの更新（例えば図２のステップ１１０ａ）及びｕの更新（例えば図２のステップ１１０ｂ）は、ηの現在値が与えられたときのＡＬ関数を結合的に最適化することにより算出される。

（ｘ^(j+1)，ｕ^(j+1)）＝ａｒｇ ｍｉｎ_x,uＬ（ｕ，ｘ，η^(j)）
式８
式中、ｊは反復番号を示す。

第二に、閉じた形態の更新方程式によってηを更新する（例えば図２のステップ１１２）。

η^(j+1)＝η^(j)−（ｕ^(j+1)−Ａｘ^(j+1)） 式９
一実施形態では、この結合型最適化問題は、下式を用いてｘ及びｕを交互に更新することにより解かれる。

ｘ^(j+1)＝ａｒｇ ｍｉｎ_xＬ（ｘ，ｕ^(j)，η^(j)） 式１０
ｕ^(j+1)＝ａｒｇ ｍｉｎ_uＬ（ｘ^(j+1)，ｕ，η^(j)） 式１１
ｕに関する最適化問題は、下式によって与えられる単純な閉じた解を有する。

ｕ^(j+1)＝（Ｗ＋μΛ）^-1（Ｗｙ＋μΛ（Ａｘ^(j+1)＋η^(j)）
式１２
解くべき残りの問題は、ｘの更新である（例えば図２のステップ１１４）。ＡＬ関数が与えられたときに、式１０を下式のように書き直すことができる。

ｘ^(j+1)＝ａｒｇ ｍｉｎ_x（μ／２）‖Ａｘ−ｕ^(j+1)＋η^(j+1)‖²Λ
＋Φ（ｘ） 式１３
図３は、更新された画像ｕの前方投影及び更新されたラグランジュ乗数ηの変換を用いて画像ｘの再構成を反復式で更新するブロック１１４の方法の一例を示すもう一つの流れ図である。一般的には、暗黙型前処理行列方法を用いて、複数の外側ループ反復の各回において部分問題に対する近似を作成する。換言すると、方法１１４は、本来の費用関数を反復式で最小化する外側ループを含んでいる。各々の外側ループにおいて、近似的な費用関数を先ず定式化する。次いで、この近似的な費用関数を、内側ループ反復を用いて最適化する。明確に述べると、方法１１４は入れ子式の反復ループを含んでおり、この入れ子式ループは、外側ループによって反復式で最適化される費用関数を近似するように定義された近似的な目的関数を、内側ループが反復式で最適化するように定式化されている。内側ループの結果を、画像を更新するための前処理行列適用後の勾配方向として用いる。換言すると、外側ループの反復は、内側ループを用いて生成される解を用いて本来の費用関数を最適化する。

例えば、方法１１４は、外側ループを画定する様々なステップ１１６〜１２０を含んでいる。明確に述べると、ブロック１１６では、方法１１４は、近似的な目的関数を定式化することを含んでいる。ブロック１１８では、この近似的な目的関数が、図４に示す内側ループの反復を用いて最適化される。ステップ１１８をここでは「内側ループ」と呼ぶことができる。この実施形態の例では、アルゴリズムの内側ループ１１８を用いてアルゴリズムの収束速度を高め又は計算量を小さくして、コンピュータ・ハードウェアの高速具現化形態を実現する。

内側ループ１１８は、内側ループ問題を解くのに用いられるステップ１２４〜１３２（後述及び図４に図示）を示しており、次いでこの解を用いて外側ループの問題を解く。換言すると、内側ループ１１８によって最小化された近似的な目的関数の解が、外側ループによって各回の反復時に用いられる。明確に述べると、ブロック１２０では、内側ループ１１８の解を用いて更新を算出する。ブロック１２２では、ブロック１２０において算出された更新を用いて画像ｘが更新される。この実施形態の例では、ステップ１１６〜１２２は、費用関数が予め決められた水準まで減少し且つ／又は最小化されるまで反復式で行なわれ得る。

図４は、外側ループの目的関数を近似するブロック１１８での最適化する方法の一例を示すもう一つの流れ図である。ブロック１２４では、内側ループを初期化する。ブロック１２６では、局所的近似関数が定式化される。ブロック１２８では、この局所的近似関数を直接又は反復式で解くことができる。ブロック１２８の局所的近似関数を解くステップは、初期探索方向を算出することを含み得る。また、ブロック１２８の局所的近似関数を解くステップはさらに、改良された探索方向を算出することを含み得る。最適なステップ幅は、新たな改良された探索方向γ⁽ⁿ⁾ａｒｇ［］＝ｍｉｎγｆ（ｘ⁽ⁿ⁾＋γｇ⁽ⁿ⁾）に沿って算出され得る。

ブロック１３０では、方法１１８はさらに、ブロック１２８で解かれた局所的近似関数の解を用いて更新を算出することを含んでいる。一実施形態では、局所的近似関数の解を用いることに加えて、更新はブロック１３０において、改良された探索方向及び／又は最適なステップ幅を用いて算出される。

ブロック１３２では、ステップ１２４〜１３０からの更新を画像ｘに適用する。次いで、内側ループ計算からの出力を外側ループによって用いる。明確に述べると、図３へ戻り、内側ループ計算からの入力を受け取ったら、ブロック１１８において内側ループ問題を解くことにより最適化された近似的な目的関数を算出する。外側ループについて新たな探索方向が算出され得る。ブロック１２０では、内側ループ１１８の解を用いて更新を算出する。ブロック１２２では、ブロック１２０で算出された更新を用いて画像ｘが更新される。ステップ１１６〜１２２は、費用関数が予め決められた水準まで減少し且つ／又は最小化されるまで反復式で行なわれ得る。

以下、暗黙型前処理行列方法を用いて画像ｘの再構成をブロック１１４で反復式で更新するという部分問題を解くために具現化形態の一例について説明する。ｕの更新とは異なり、ｘの更新を解くという問題（例えば式１３）は一般的には閉じた解を有さず、従って反復式で解く必要がある。この方法は、最適化問題を完全に解くことを要求する訳ではないため、相対的に少ない回数の反復（例えば２０回未満、１０回以下、及び／又は同様回数）を実行するだけでよい。ｘを更新するという部分問題は、本来の問題（すなわち式１）と類似した構造を有する。ｘを更新するという部分問題は、データ不一致項と正則化項とで構成されている。主要な差は、データ不一致項においてデータｙがｕ^(j+1)−η^(j+1)によって置き換えられており、統計学的重み付け行列ＷがΛによって置き換えられていることである。非一様サンプリングの幾何学的構成については、Λは、Ａ^tΛＡを近似的にシフト不変の作用素にするように選択され得る。Λはまた、Ａ^tΛＡ行列の調整（コンディショニング）を改善するように選択され得る。この実施形態の例では、Λは、ｘを更新するという部分問題を単純化するために単位行列になるように選択される。従って、データ不一致項のヘッセ行列はＡ^tＷＡではなくＡ^tΛＡとなる。式１の本来の問題と比較して、ｘを更新するという部分問題は解き易いと言える。この理由は、（１）Ａ^tΛＡはデータに依存しておらず、従って各々の走査プロトコル毎にＡ^tΛＡ又は（Ａ^tΛＡ）^-1の近似を予め算出して記憶しておくことが可能であるからであり、また（２）Ａ^tΛＡは、シフト不変として近似的にモデル化されることができ、従ってｘを更新するという部分問題のためにシフト不変な前処理行列を設計することは容易であり得るからである。

式１３を用いてｘを更新するという部分問題では、単位行列となるようにΛを選択すると、Ａ^tＡの固有値は、関連する周波数が低いほど大きくなり、関連する周波数が高いほど小さくなる。従って、共役勾配（ＣＧ）アルゴリズム又は勾配降下（ＧＤ）アルゴリズムのような従来のアルゴリズムは、周波数が高くなると収束が遅くなる。（Ａ^tΛＡ）^-1を近似する明示的に定義された前処理行列Ｐが適用され得る。相対的に良好な前処理行列設計は次の二つの目標を満たし得る。すなわち、（１）Ｐは比較的適用し易いものでなければならないこと、及び（２）Ｐは（Ａ^tΛＡ）^-1に対する比較的近い近似である必要があることである。例えば、かかる前処理行列は、Ａ^tＡをシフト不変作用素として近似することにより設計され得る。従って、相対的に少数の高速フーリエ変換（ＦＦＴ）及び画像シーリングを用いるだけでＰ≒（Ａ^tΛＡ）^-1を算出することができる。代替的には、式１３の内部の目的関数全体のヘッセ行列の逆行列に対する近似となるようにＰを選択することができる。

明示型前処理行列設計の一つの欠点は、例えばΦ（ｘ）が二次でないときに正則化項のヘッセ行列が一般にシフト不変とならず、ｘの関数となるため、正則化項のヘッセ行列を設計に含めるのが困難であり得ることである。かかる問題への一つの対策は、もう一組の補助変数を導入することにより、正則化項とデータ不一致項とを分割することである。換言すると、画像ｘ又は画像ｘの関数に対応する補助変数ｖを導入して、ｘを更新するという部分問題での正則化項をさらに分割する。

方法１１４はｘを更新するという部分問題を、暗黙に定義された前処理行列を用いて解く。暗黙型前処理行列は、設計においても適用においても明示型前処理行列とは異なっている。暗黙型前処理行列の設計では、ヘッセ行列Ｈを近似する行列Ｍを求める。対照的に、明示型前処理行列の場合には、Ｐが、Ｈ^-1を直接近似するように設計される。一般的には、Ｈ^-1ではなくＨを近似することには少なくとも二つの利点がある。例えば、Ｈ^-1ではなくＨを近似すると、ヘッセ行列のより洗練された且つ／又はより正確なモデルを用いる融通性を与えることができる。例えば、Ｍはシフト変化型となるように設計されることができるが、同じ近似について、明示型前処理行列Ｐ＝Ｍ^-1行列は算出が困難な場合がある。また、二次でない費用関数について、ヘッセ行列は各回の反復毎に変化する。Ｈ^-1ではなくＨを近似することの利点のもう一つの例は、Ｍが相対的に単純な形態を有しない限りＰ＝Ｍ^-1を各回の反復毎に計算し直すのは簡単でないが、局所的ヘッセ行列近似に基づいてＭ行列を各回の反復毎に調節するのは可能であることである。

暗黙型前処理行列及び明示型前処理行列はまた、当該暗黙型前処理行列及び明示型前処理行列が適用される方法についても異なる。明示型前処理行列を適用するためには、ｇ⁽ⁿ⁾及びｄ⁽ⁿ⁾がそれぞれｎ回目の反復での費用関数の勾配及び更新方向を表わすとすると、行列ベクトル乗算ｄ⁽ⁿ⁾＝Ｐｇ⁽ⁿ⁾を算出するだけでよい。暗黙型前処理行列方法では、前処理行列適用後の勾配方向ｄ⁽ⁿ⁾が、反復式ループを用いて近似的な費用関数を解くことにより算出される。従って、暗黙型前処理行列を用いるアルゴリズムは、入れ子式の反復式ループで構成される。外側ループの反復は、前処理行列適用後の勾配に基づくアルゴリズムであってよく、前処理行列適用後の勾配方向は内側ループの反復によって与えられる。各々の内側ループでは、近似的な費用関数を最小化する。式１３の費用関数を下式によって書き直すことができる。

ｆ（ｘ）＝‖ｘ−ｘ⁽ⁿ⁾‖² _AtΛ_A＋ｘ^tΘ⁽ⁿ⁾＋Φ（ｘ）＋ｃ 式１４
式中、ｘ⁽ⁿ⁾はｎ回目の外側ループの反復での画像値であり、Θ⁽ⁿ⁾＝Ａ^tΛＡ（Ａｘ⁽ⁿ⁾−ｕ^(j)＋ｎ^(j)）であり、ｃは定数である。

Ａ^tΛＡを行列Ｍ₁によって近似することにより、近似的な費用関数が下式によって与えられる。

ｈ⁽ⁿ⁾（ｘ）＝‖ｘ−ｘ⁽ⁿ⁾‖² _M1＋ｘ^tΘ⁽ⁿ⁾＋Φ（ｘ）＋ｃ 式１５
ｈ⁽ⁿ⁾（ｘ）及びｆ（ｘ）の勾配はｘ＝ｘ⁽ⁿ⁾では等しいことを特記しておく。ｈ⁽ⁿ⁾（ｘ）の正則化項もまた厳密に算出される。唯一の差は、Ｍ₁によるＡ^tΛＡの近似にある。次いで、ｈ⁽ⁿ⁾の最小化問題を内側ループによって反復式で解く。

が内側ループの解を表わすとする。

は画像更新として直接には用いられない。代わりに、

は前処理行列適用後の勾配方向を算出するのに用いられ、この算出は、

によって与えられる。限定しないが、ＧＤ、ＣＧ、及び／又は同様のもののような任意の勾配方式アルゴリズムを前処理行列適用後の勾配方向と共に外側ループに用いることができる。

暗黙型前処理行列は内側ループの多数回の反復を必要とするため、暗黙型前処理行列方法を適用する方が高費用となる場合がある。しかしながら、暗黙型前処理行列設計における正確な近似は、アルゴリズムの全体的な収束を高速化することを助け、従って付加的な計算費用を正当化し得る場合がある。典型的には、断層写真法再構成問題では、最も高費用の計算は、各回の反復で費用関数の勾配を算出することを必要とする前方投影Ａ及び逆投影Ａ^tである。従って、内側ループ計算費用は相対的に高速計算されるＭ₁を求めることができる限り、外側ループに比較すれば依然無視できると言える。

Ｍ₁については多様な選択肢が可能である。一実施形態では、Ａ^tＡがシフト不変作用素Ｋによって近似される。Ｋは、アイソセンタにおいてＡ^tＡ作用素をサンプリングすることにより構築され得る。提案されている作用素は純粋な画像空間作用素であって、ＦＦＴを用いて画像をフィルタ処理するだけでよいため算出が比較的容易であることを特記しておく。Λが単位行列でない場合には、下式に従ってＡ^tΛＡ作用素へのFesslerとRogersの近似が用いられる。

Ａ^tΛＡ≒ＤＡ^tＡＤ 式１６
式中、Ｄは対角行列であり、第ｉの対角要素は

によって与えられる。

もう一つの実施形態では、Ａ^tＡをシフト不変でないものと想定する。代わりに、Ａ^tＡへの近似を、疎行列の積として求める。Ｍ₁の一つの選択肢は、Ａ^tＡ行列を予め算出して記憶しておくことである。しかしながら、Ａ^tＡは疎でないので、Ａ^tＡを記憶しておくことは実用的とは言えない。この問題を解決するために、疎でない作用素について疎行列表現を算出するという方法がCao、Bouman及びWebbによって提案されている。疎になった行列は相対的に十分に小さいため記憶することができ、また適用も相対的に容易である。さらに近年には、Ａ^tＡ作用素を近似するのに用いられ得る可能性のある相対的に高速な空間変化型畳み込みを算出するという方法がWeiによって提案されている。

もう一つの実施形態では、Ａ^tΛＡを全体として近似する代わりに、例えば、

によって表わされるさらに単純な前進モデルを用いることにより、Ａ自体の計算を単純化することができる。かかるより単純な前進モデルの例としては、限定しないがピクセル推進型前方投影及び逆投影、射線推進型前方投影及び逆投影、及び／又は同様のものがある。反復式再構成の計算時間は、用いられているシステム・モデルの精度に依存する。さらに明確に述べると、厳密な３Ｄ走査幾何学的構成、有限の焦点スポット寸法の効果、検出器ボケ、又は他の物理的影響を盛り込んだ正確なシステム・モデルでは計算時間が長引く。従って、様々な単純化及び近似方法を利用して計算時間を短縮することができる。例えば、理想的な線積分モデルを想定すると、Siddon法を用いて、相対的にコンパクトなコンピュータ・コードによって３Ｄピクセル・アレイにわたり線積分を効率よく算出することができる。加えて又は代替的には、他の単純化された補間方式を用いて前方投影作用素及び逆投影作用素の計算効率を高めることもできる。

動作時には、

を構築するための様々な方法が存在する。例えば、低分解能の検出器画像グリッドを用いて

を算出することができる。ＰＥＴ再構成分野では、

は、幾つかの物理的効果（陽電子飛程及び結晶透過等）を無視して、数値的にさらに疎のシステム行列を用いることにより構築されることができ、又はＧＰＵにおいてテクスチャ・マッピング・ハードウェアに基づいて構成されることができる。ＣＴ再構成の一例は、距離推進型モデルのような正確なモデルを用いて外側ループで

を算出し、焦点スポット及び検出器セルにおいて粗いサンプリングによってピクセル推進型又は射線推進型モデルを用いて内側ループを算出するものである。もう一つの例は、厳密な３Ｄコーン・ビーム幾何学的構成を用いて外側ループで

を算出し、並べ換え（rebinned）又はスライスの切り直し（re-sliced）を施したサイノグラムを用いてパラレル又は半パラレル・ビーム幾何学的構成を用いて内側ループで

を算出するものである。

はまた、当該

よりも低精度で高速の計算によるデータ型を用いても算出され得る。

はまた、高速フーリエ変換（ＦＦＴ）に基づく手法を用いても算出され得る。本書で用いられる様々な実施形態における「高速」とは、完全な本来のモデルＡよりも高速の計算を指す。例えば、「高速」は、２Ｄ再構成であればＮ³ではなくＮ²ｌｏｇ（Ｎ）の桁、又は３Ｄ再構成であればＮ⁴ではなくＮ³ｌｏｇ（Ｎ）の桁の計算量を指し得る。これらの高速アプローチとしては、限定しないが非一様ＦＦＴ方法、擬似極座標（pseudo-polar）ＦＦＴ方法、等傾斜（equisloped）断層写真法、階層型方法、及び／又は同様のものがある。

はまた、Ａから相対的に低分解能であるが高次の画像基底関数によって算出され得る。例えば、矩形ボクセルを用いる代わりに、ボクセル（例えばｚ勾配ボクセル・モデル又はブロッブ（blob））の区分線形又は高次のパラメータ表現を用いて

を算出することができる。

図５は、差画像の例の視覚的表現である。図５は、方法１００の一例の仮の結果を示している。図５の例では、部分問題は式１０に従って作成された。画像ｘを更新するという部分問題は、暗黙型前処理行列方法を用いて解かれた。暗黙型前処理行列方法では、前処理行列適用後の共役勾配アルゴリズムの２０回の反復を用いて内側ループ問題を解いた。ワイヤ及び分解能バーを用いて再構成の空間分解能を試験し、一様な領域を用いて雑音を測定した。

図５では、方法１００の例の結果を、ＩＣＤアルゴリズムを用いた完全に収束した参照画像と比較している。図５の差画像は、−１００ハンスフィールド単位から１００ハンスフィールド単位の間の窓で示されている。（ａ）では、図５は、ＦＢＰ画像と参照との間の差画像を示しており、ワイヤ及び一様な領域の近傍に差が見られ、それぞれ空間分解能及び雑音の差を表わしている。図５（ｂ）は、方法１００の例の３回の反復の画像と参照との間の差を示しており、差が著しく減少している。１０回の反復の後には、図５（ｃ）に示すように、差は殆ど目立たなくなる点まで減少している。これらの結果は、方法１００が１０回の反復の範囲内で解に収束することを定性的に示している。

本書に記載される方法及びアルゴリズムを用いて対象の画像を再構成する。これらの方法及びアルゴリズムは、コンピュータに記憶されて、例えば図６に示すモジュール５３０、ソフトウェア、ハードウェア、これらの組み合わせ、及び／又は有形の非一時的なコンピュータ可読の媒体を用いて実装され得る一組の命令として具現化され得る。一実施形態では、有形の非一時的なコンピュータ可読の媒体は信号を除く。

図６は、様々な実施形態に従って形成されたイメージング・システムの一例５００の見取り図である。図７は、図６に示すマルチ・モダリティイメージング・システム５００の一部のブロック概略図である。イメージング・システムは、特に計算機式断層写真法（ＣＴ）イメージング・システム、陽電子放出断層写真法（ＰＥＴ）イメージング・システム、磁気共鳴イメージング（ＭＲＩ）・システム、超音波イメージング・システム、Ｘ線イメージング・システム、単光子放出計算機式断層写真法（ＳＰＥＣＴ）イメージング・システム、侵襲処置用Ｃアーム断層写真法イメージング・システム、四肢又は乳房走査のような専用目的のＣＴシステム、及びこれらの組み合わせとして具現化され得る。この実施形態の例では、方法１００はＣＴイメージング・システムに関して記載される。また、この実施形態の例では、費用関数を用いて本書に記載される様々な実施形態を説明する。

計算機式断層写真法（ＣＴ）イメージング・システム及び陽電子放出断層写真法（ＰＥＴ）イメージング・システムを含む例示的な二重モダリティ・イメージング・システムの環境で様々な実施形態を説明するが、本書に記載される諸作用を果たすことが可能な他のイメージング・システムを用いることも思量されることを理解されたい。

マルチ・モダリティ・イメージング・システム５００が図示されており、このイメージング・システム５００はＣＴイメージング・システム５０２及びＰＥＴイメージング・システム５０４を含んでいる。イメージング・システム５００は、異なるモダリティでの多数の走査によって単一のモダリティ・システムよりも高い診断能力を容易にすることを可能にする。一実施形態では、例示的なマルチ・モダリティ・イメージング・システム５００はＣＴ／ＰＥＴイメージング・システム５００である。選択随意で、ＣＴ及びＰＥＴ以外のモダリティをイメージング・システム５００と共に用いる。例えば、イメージング・システム５００は、特に独立型ＣＴイメージング・システム、独立型ＰＥＴイメージング・システム、磁気共鳴イメージング（ＭＲＩ）・システム、超音波イメージング・システム、Ｘ線イメージング・システム、及び／又は単光子放出計算機式断層写真法（ＳＰＥＣＴ）イメージング・システム、侵襲処置用Ｃアーム断層写真法、四肢若しくは乳房走査のような専用目的のＣＴシステム、並びにこれらの組み合わせであってよい。

ＣＴイメージング・システム５０２はガントリ５１０を含んでおり、ガントリ５１０は、Ｘ線のビームをガントリ５１０の反対側に設けられた検出器アレイ５１４へ向けて投射するＸ線源５１２を有する。検出器アレイ５１４は複数の検出器素子５１６を含んでおり、これらの検出器素子５１６は横列及びチャネルを成して配列されて、被検体５０６のような対象を通過した投射Ｘ線を共に感知する。イメージング・システム５００はまた、検出器アレイ５１４からの投影データを受け取って、被検体５０６の画像を再構成するように投影データを処理するコンピュータ５２０を含んでいる。動作時には、操作者が供給した命令及びパラメータをコンピュータ５２０によって用いて、電動式テーブル５２２を再配置するための制御信号及び情報を与える。さらに明確に述べると、電動式テーブル５２２を用いてガントリ５１０の内外に被検体５０６を移動させる。具体的には、テーブル５２２は、ガントリ５１０を通して延在するガントリ開口５２４を通して被検体５０６の少なくとも一部を移動させる。

イメージング・システム５００はまた、本書に記載される様々な方法及びアルゴリズムを具現化するように構成されているモジュール５３０を含んでいる。モジュール５３０は、コンピュータ５２０に内蔵される単体のハードウェアとして実装され得る。選択随意で、モジュール５３０は、コンピュータ５２０にインストールされる一組の命令として実装されてもよい。この一組の命令は、独立プログラムであってもよいし、コンピュータ５２０にインストールされたオペレーティング・システムのサブルーチンとして組み込まれていてもよいし、コンピュータ５２０のインストールされたソフトウェア・パッケージの機能等であってもよい。尚、様々な実施形態は図面に示されている構成及び手段に限定されないことを理解されたい。

前述のように、検出器５１４は複数の検出器素子５１６を含んでいる。各々の検出器素子５１６が、被検体５０６を通過したときの入射Ｘ線ビームの強度を表わす、従ってビームの減弱の推定を可能にする電気信号すなわち出力を発生する。Ｘ線投影データを取得する走査中に、ガントリ５１０及びガントリ５１０に装着された構成要素は回転中心５４０の周りを回転する。図７は単一の横列分の検出器素子５１６（すなわち検出器横列１列）のみを示している。しかしながら、マルチ・スライス検出器アレイ２０は、複数のスライスに対応する投影データが走査中に同時に取得され得るように、複数の平行な検出器横列を成す検出器素子５１６を含んでいる。

ガントリ５１０の回転及びＸ線源５１２の動作は、制御機構５４２によって制御される。制御機構５４２は、電力信号及びタイミング信号をＸ線源５１２に与えるＸ線制御器５４４と、ガントリ５１０の回転速度及び位置を制御するガントリ・モータ制御器５４６とを含んでいる。制御機構５４２に設けられたデータ取得システム（ＤＡＳ）５４８が、検出器素子５１６からアナログ・データをサンプリングして、データを後の処理のためにディジタル信号へ変換する。例えば、後の処理は、本書に記載される様々な方法を具現化するためにモジュール５３０を用いることを含み得る。画像再構成器５５０が、サンプリングされてディジタル化されたＸ線データをＤＡＳ５４８から受け取って、高速画像再構成を実行する。再構成された画像はコンピュータ５２０に入力されて、コンピュータ５２０は画像を記憶装置５５２に記憶させる。選択随意で、コンピュータ５２０は、サンプリングされてディジタル化されたＸ線データをＤＡＳ５４８から受け取って、本書に記載される様々な方法をモジュール５３０を用いて実行することができる。コンピュータ５２０はまた、キーボードを有するコンソール５６０を介して操作者から命令及び走査パラメータを受け取る。付設されている視覚表示ユニット５６２によって、操作者は再構成画像及びコンピュータからの他のデータを観察することが可能になる。

操作者が供給した命令及びパラメータをコンピュータ５２０によって用いて、ＤＡＳ５４８、Ｘ線制御器５４４及びガントリ・モータ制御器５４６に制御信号及び情報を与える。加えて、コンピュータ５２０は、電動式テーブル５２２を制御するテーブル・モータ制御器５６４を動作させて、ガントリ５１０に被検体５０６を配置する。具体的には、テーブル５２２は、図６に示すようにガントリ開口５２４を通して被検体５０６の少なくとも一部を移動させる。

図７へ戻り、一実施形態では、コンピュータ５２０は、フロッピィ・ディスク、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ、又は網若しくはインターネットのような他のディジタル・ソース等のコンピュータ可読の媒体５７２から命令及び／又はデータを読み取る装置５７０、例えばフロッピィ・ディスク・ドライブ、ＣＤ−ＲＯＭドライブ、ＤＶＤドライブ、光磁気ディスク（ＭＯＤ）装置、又はイーサネット装置等のような網接続装置を含めた他の任意のディジタル装置、並びに開発中のディジタル手段を含んでいる。他の実施形態では、コンピュータ５２０はファームウェア（図示されていない）に記憶されている命令を実行する。コンピュータ５２０は本書に記載する諸作用を果たすようにプログラムされており、本書で用いられるコンピュータとの用語は当技術分野でコンピュータと呼ばれている集積回路のみに限らず、コンピュータ、プロセッサ、マイクロコントローラ、マイクロコンピュータ、プログラム可能論理コントローラ、特定応用向け集積回路、及び他のプログラム可能な回路を広範に指しており、これらの用語は本書では互換的に用いられている。

この実施形態の例では、Ｘ線源５１２及び検出器アレイ５１４は、Ｘ線ビーム５７４が被検体５０６と交差する角度が定常的に変化するように、撮像平面の内部で、撮像されている被検体５０６の周りをガントリ５１０によって回転する。一つのガントリ角度における検出器アレイ５１４からの一群のＸ線減弱測定値すなわち投影データを「ビュー」と呼ぶ。被検体５０６の「走査」は、Ｘ線源５１２及び検出器アレイ５１４の一回転中に異なるガントリ角度すなわちビュー角度で形成される一組のビューを含んでいる。ＣＴ走査では、投影データは、被検体５０６を通る二次元スライスに対応する画像を再構成するように処理される。

以上、マルチ・モダリティ・イメージング・システムの実施形態の例について詳細に説明した。図示のマルチ・モダリティ・イメージング・システムの各構成要素は本書に記載される特定の実施形態に限定されず、各々のマルチ・モダリティ・イメージング・システムの各構成要素を本書に記載される他の構成要素とは独立に別個に用いてよい。例えば、上で述べたマルチ・モダリティ・イメージング・システム構成要素を他のイメージング・システムと共に用いてもよい。

尚、様々な実施形態は、ハードウェア、ソフトウェア、又はこれらの組み合わせとして実装され得ることを特記しておく。様々な実施形態、並びに／又は構成要素、例えばモジュール、若しくは内部の構成要素及び制御器はまた、１又は複数のコンピュータ又はプロセッサの一部として具現化され得る。コンピュータ又はプロセッサは、計算装置、入力装置、表示ユニット、及びインタフェイス例えばインターネットにアクセスするためのインタフェイスを含み得る。コンピュータ又はプロセッサはマイクロプロセッサを含み得る。マイクロプロセッサは通信バスに接続され得る。コンピュータ又はプロセッサはまた、メモリを含み得る。メモリは、ランダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ）及び読み出し専用メモリ（ＲＯＭ）を含み得る。コンピュータ又はプロセッサはさらに、記憶装置を含んでいてよく、記憶装置はハード・ディスク・ドライブ、又は固体ドライブ及び／若しくは光ドライブ等のような着脱自在の記憶ドライブであってよい。記憶装置はまた、コンピュータ又はプロセッサにコンピュータ・プログラム又は他の命令を読み込む他の同様の手段であってよい。

本書で用いられる「コンピュータ」との用語は、マイクロコントローラ、縮小命令セット・コンピュータ（ＲＩＳＣ）、特定応用向け集積回路（ＡＳＩＣ）、論理回路、ＧＰＵ、ＦＰＧＡ、及び本書に記載された作用を果たすことが可能な他の任意の回路又はプロセッサを用いたシステムを含む任意のプロセッサ方式又はマイクロプロセッサ方式のシステムを含み得る。上の例は例示のみのためのものであり、従って「コンピュータ」との語の定義及び／又は意味を限定しないものとする。コンピュータ又はプロセッサは、入力データを処理するために１又は複数の記憶要素に記憶されている一組の命令を実行する。記憶要素はまた、所望又は必要に応じてデータ又は他の情報ソースを記憶していてよい。記憶要素は、処理機械の内部の情報ソース又は物理メモリ素子の形態にあってよい。

上述の一組の命令は、本発明の様々な実施形態の方法及び工程のような特定の動作を実行するように処理機械であるコンピュータ又はプロセッサに命令する様々な命令を含み得る。一組の命令は、ソフトウェア・プログラムの形態にあってよい。ソフトウェアは、システム・ソフトウェア又はアプリケーション・ソフトウェアのような様々な形態にあってよく、非一時的なコンピュータ可読の媒体であってよい。さらに、ソフトウェアは、別個のプログラムの集合、より大きなプログラムの内部のプログラム・モジュール又はプログラム・モジュールの一部の形態にあってよい。ソフトウェアはまた、オブジェクト指向プログラミングの形態のモジュール型プログラミングを含み得る。コンピュータ又はプロセッサによる入力データ処理は、利用者の命令に応答して行なわれてもよいし、以前の処理の結果に応答して行なわれてもよいし、他の処理機械によって発行された要求に応答して行なわれてもよい。

本書で用いる場合には、単数形で記載されており単数不定冠詞を冠した要素又はステップとの用語は、排除を明記していない限りかかる要素又はステップを複数備えることを排除しないものと理解されたい。さらに、本発明の「一実施形態」に対する参照は、所載の特徴を同様に組み入れている追加の実施形態の存在を排除しないものと解釈されたい。また、反対に明記されていない限り、特定の特性を有する１若しくは複数の要素を「含んでいるcomprising」又は「有しているhaving」実施形態は、この特性を有しないような追加の要素も包含し得る。

また、本書で用いられる「画像を再構成する」との表現は、画像を表わすデータが生成されるが可視画像は形成されないような本発明の実施形態を排除するものではない。従って、本書で用いられる「画像」との用語は可視画像及び可視画像を表わすデータの両方を広く指す。但し、多くの実施形態は少なくとも１枚の可視画像を形成し又は形成するように構成されている。

本書で用いられる「ソフトウェア」及び「ファームウェア」との用語は互換的であり、ＲＡＭメモリ、ＲＯＭメモリ、ＥＰＲＯＭメモリ、ＥＥＰＲＯＭメモリ、及び不揮発性ＲＡＭ（ＮＶＲＡＭ）メモリを含めたメモリに記憶されて、コンピュータによって実行される任意のコンピュータ・プログラムを含んでいる。以上のメモリ形式は例示のみのためのものであり、従ってコンピュータ・プログラムの記憶に利用可能なメモリの形式に関して制限するものではない。

以上の記載は例示説明のためのものであって制限するものではないことを理解されたい。例えば、上述の各実施形態（及び／又は各実施形態の諸観点）を互いに組み合わせて用いてよい。加えて、本発明の範囲を逸脱することなく、特定の状況又は材料を発明の教示に合わせて適応構成する多くの改変を施すことができる。本書に記載されている材料の寸法及び形式は、発明の各パラメータを定義するためのものであるが、限定するものではなく例示する実施形態である。以上の記載を吟味すれば、当業者には他の多くの実施形態が明らかとなろう。従って、本発明の範囲は、特許請求の範囲に関連して、かかる特許請求の範囲が網羅する等価物の全範囲と共に決定されるものとする。特許請求の範囲では、「including包含する」との用語は「comprising含む」の標準英語の同義語として、また「in whichこのとき」との用語は「whereinここで」の標準英語の同義語として用いられている。また、特許請求の範囲では、「第一」、「第二」及び「第三」等の用語は単にラベルとして用いられており、これらの用語の目的語に対して数値的要件を課すものではない。さらに、特許請求の範囲の制限は、「手段プラス機能（means-plus-function）」形式で記載されている訳ではなく、かかる特許請求の範囲の制限が、「〜のための手段」に続けて他の構造を含まない機能の言明を従えた文言を明示的に用いていない限り、合衆国法典第３５巻第１１２条第６パラグラフに基づいて解釈されるべきではない。

この書面の記載は、最適な態様を含めて発明の様々な実施形態を開示し、また任意の装置又はシステムを製造して利用すること及び任意の組み込まれた方法を実行することを含めてあらゆる当業者が発明の様々な実施形態を実施することを可能にするように実例を用いている。特許付与可能な発明の様々な実施形態の範囲は特許請求の範囲によって画定されており、当業者に想到される他の実例を含み得る。かかる他の実例は、特許請求の範囲の書字言語に相違しない構造要素を有する場合、又は特許請求の範囲の書字言語と非実質的な相違を有する等価な構造要素を含む場合には、特許請求の範囲内にあるものとする。

５００：イメージング・システム
５０２：ＣＴイメージング・システム
５０４：ＰＥＴイメージング・システム
５０６：被検体
５１０：ガントリ
５１２：Ｘ線源
５１４：検出器アレイ
５１６：検出器素子
５２０：コンピュータ
５２２：電動式テーブル
５２４：ガントリ開口
５３０：モジュール
５４０：回転中心
５４２：制御機構
５４４：Ｘ線制御器
５４６：ガントリ・モータ制御器
５４８：データ取得システム（ＤＡＳ）
５５０：画像再構成器
５５２：記憶装置
５６０：コンソール
５６２：視覚表示ユニット
５６４：テーブル・モータ制御器
５７０：命令及び／又はデータを読み取る装置
５７２：非一時的なコンピュータ可読の媒体
５７４：Ｘ線ビーム

Claims (22)

1. 対象の画像を再構成する方法であって、前記画像は画像要素を含んでおり、コンピュータによって実行される
   前記画像要素に関連する測定データを入手するステップと、
   前記画像を再構成するという本来の問題を制約付き最適化問題へ変換するために補助変数を導入するステップであって、前記本来の問題は、測定データ及び対象を表わす画像の事前知識に基づいて少なくとも一部分において定式化された目的関数を含み、前記補助変数は、前記本来の問題の部分ではない付加項を含むものであるステップと、
   一連の部分問題を作成して該一連の部分問題を解く乗数法を用いて前記制約付き最適化問題を解くステップと
   を備えており、
   前記目的関数は、撮像データを取得するのに用いられるイメージング・システムのモデルを含み、
   前記一連の部分問題を解くことは、前記目的関数を近似的に定式化して得られた第一の目的関数を最適化することにより前記画像を再構成することを含んでおり、前記第一の目的関数は、入れ子式の一連の近似的最適化問題を反復式で解くことにより最適化され、内側ループは、前記第一の目的関数を近似する第二の目的関数を反復式で最適化し、外側ループは、前記第二の目的関数の前記解を用いて前記第一の目的関数を最適化し、前記一連の最適化問題を解くことは、前記補助変数を更新することを含む、方法。
2. 一連の部分問題を作成して該一連の部分問題を解く乗数法を用いて前記制約付き最適化問題を解く前記ステップは、拡張ラグランジュ（ＡＬ）法を用いて前記制約付き最適化問題を解くことを含んでいる、請求項１に記載の方法。
3. 前記画像を再構成するという本来の問題を制約付き最適化問題へ変換するために補助変数を導入する前記ステップは、前記補助変数を前記第一の目的関数のデータ不一致項に導入することを含んでおり、前記補助変数は前記画像の前方投影に対応しており、前記目的関数は、ｆ（ｘ）＝Ｊ（ｘ，ｙ）＋Φ（ｘ）を有し、ｘは前記画像を示し、ｙは前記測定データを示し、Ｊ（ｘ，ｙ）は前記画像と前記測定データとの間の不整合にペナルティを科すデータ不一致項であり、Φ（ｘ）は、画像における隣り合った要素の間の差にペナルティを科す正則化関数であり、前記補助変数は、ｕ＝Ａｘによって説明され、ｕは前記補助変数であり、Ａは前進システム行列である、請求項１に記載の方法。
4. 前記画像は、本来の統計学的な重み付け行列とは異なる重み付け行列と共に前記補助変数を用いて更新される、請求項３に記載の方法。
5. 前記画像を再構成するという本来の問題を制約付き最適化問題へ変換するために補助変数を導入する前記ステップは、前記補助変数を前記第一の目的関数の正則化項に導入することを含んでおり、前記補助変数は前記画像の変換に対応している、請求項１に記載の方法。
6. 各々の部分問題のヘッセ行列は近似的にシフト不変である、請求項１に記載の方法。
7. 前記一連の部分問題を解くことは、前記画像の再構成、前記補助変数、及びラグランジュ乗数の変換を反復式で更新することを含んでいる、請求項１に記載の方法。
8. 前記一連の部分問題を解くことは、前記画像の再構成、前記補助変数、及びラグランジュ乗数の変換を反復式で更新することを含んでおり、前記補助変数及び前記ラグランジュ乗数の前記変換は閉じた解を有し、前記画像の前記再構成は反復式で解かれる、請求項１に記載の方法。
9. 前記外側ループについて、各回の反復は近似的な目的関数を定式化し、前記内側ループは反復式で前記近似的な目的関数を最適化する、請求項１に記載の方法。
10. 前記内側ループの前記第二の目的関数は、近似行列を用いて前記第一の目的関数のデータ不一致項のヘッセ行列を近似することにより構築される、請求項１に記載の方法。
11. 前記近似行列は一連の疎又はシフト不変の行列の結合である、請求項１０に記載の方法。
12. 前記近似行列のＡ作用素及びＡ′作用素は、単純化された前方及び逆投影演算、低分解能前方及び逆投影演算、並べ換えデータ、又はフーリエ式方法の少なくとも一つに基づいて近似される、請求項１０に記載の方法。
13. 画像要素に関連する測定データを入手し、
    対象の画像を再構成するという本来の問題から、前記画像の再構成、補助変数、及びラグランジュ乗数の変換を含む一連の部分問題を作成し、
    該一連の部分問題を解く、
    ことをコンピュータに命令するようにプログラムされた非一時的なコンピュータ可読の媒体であって、
    該一連の部分問題を解くことは、
    前記画像の前記再構成及び前記補助変数を更新すること、
    前記更新された前記画像の再構成及び前記更新された補助変数を用いて前記ラグランジュ乗数の前記変換を更新すること、
    前記更新された補助変数及び前記更新された前記ラグランジュ乗数の変換を用いて前記画像の前記再構成を反復式で更新すること、
    を含む、非一時的なコンピュータ可読の媒体。
14. 対象の画像を再構成することをコンピュータに命令するようにプログラムされた非一時的なコンピュータ可読の媒体であって、前記画像は画像要素を含んでおり、
    前記非一時的なコンピュータ可読の媒体は、
    前記画像要素に関連する測定データを入手するステップと、
    前記画像を再構成するという本来の問題を制約付き最適化問題へ変換するために補助変数を導入するステップであって、前記本来の問題は、測定データ及び対象を表わす画像の事前知識に基づいて少なくとも一部分において定式化された目的関数を含み、前記補助変数は、前記本来の問題の部分ではない付加項を含むものであるステップと、
    一連の部分問題を作成して該一連の部分問題を解く乗数法を用いて前記制約付き最適化問題を解くステップと
    をコンピュータに命令するようにプログラムされており、
    前記目的関数は、撮像データを取得するのに用いられるイメージング・システムのモデルを含み、
    前記一連の部分問題を解くことは、前記目的関数を近似的に定式化して得られた第一の目的関数を最適化することにより前記画像を再構成することを含んでおり、前記第一の目的関数は、入れ子式の一連の近似的最適化問題を反復式で解くことにより最適化され、内側ループは、前記第一の目的関数を近似する第二の目的関数を反復式で最適化し、外側ループは、前記第二の目的関数の前記解を用いて前記第一の目的関数を最適化し、前記一連の最適化問題を解くことは、前記補助変数を更新することを含む、非一時的なコンピュータ可読の媒体。
15. 前記コンピュータは、前記画像の前記再構成及び前記補助変数を交互に更新することにより、前記画像の再構成及び前記補助変数を更新するように命令される、請求項１３に記載の非一時的なコンピュータ可読の媒体。
16. 前記補助変数及び前記ラグランジュ乗数の前記変換は閉じた解を有する、請求項１３に記載の非一時的なコンピュータ可読の媒体。
17. 前記コンピュータは、前記補助変数を目的関数のデータ不一致項に導入するようにさらに命令され、前記補助変数は前記画像の前記前方投影に対応している、請求項１３に記載の非一時的なコンピュータ可読の媒体。
18. 前記コンピュータは、前記補助変数を目的関数の正則化項に導入するようにさらに命令され、前記補助変数は前記画像の変換に対応している、請求項１３に記載の非一時的なコンピュータ可読の媒体。
19. 各々の部分問題のヘッセ行列は近似的にシフト不変である、請求項１３に記載の非一時的なコンピュータ可読の媒体。
20. 検出器アレイと、
    該検出器アレイに結合されているコンピュータと
    を備えたイメージング・システムであって、前記コンピュータは、
    画像要素に関連する測定データを入手し、
    対象の画像を再構成するという本来の問題を制約付き最適化問題へ変換するために補助変数を導入して、
    一連の部分問題を作成して該一連の部分問題を解く乗数法を用いて前記制約付き最適化問題を解くように構成されており、
    前記本来の問題は、測定データ及び対象を表わす画像の事前知識に基づいて少なくとも一部分において定式化された目的関数を含み、前記補助変数は、前記本来の問題の部分ではない付加項を含むものであり、
    前記目的関数は、撮像データを取得するのに用いられるイメージング・システムのモデルを含み、
    前記一連の部分問題を解くことは、前記目的関数を近似的に定式化した第一の目的関数を最適化することにより前記画像を再構成することを含んでおり、前記第一の目的関数は、入れ子式の一連の近似的最適化問題を反復式で解くことにより最適化され、内側ループは、前記第一の目的関数を近似する第二の目的関数を反復式で最適化し、外側ループは、前記第二の目的関数の前記解を用いて前記第一の目的関数を最適化し、前記一連の最適化問題を解くことは、前記補助変数を更新することを含む、イメージング・システム。
21. 前記コンピュータは、拡張ラグランジュ（ＡＬ）法を用いて前記制約付き最適化問題を解くことにより、前記乗数法を用いて前記制約付き最適化問題を解くように構成されている、請求項２０に記載のシステム。
22. 前記外側ループについて、各回の反復は近似的な目的関数を定式化し、前記内側ループは反復式で前記近似的な目的関数を最適化する、請求項２０に記載のシステム。