CN103514629B - 用于迭代重建的方法和设备 - Google Patents

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Abstract

提供用于重建对象的图像（其包括图像元素）的方法。该方法包括：访问与这些图像元素关联的测量数据；引入辅助变量来将重建图像的原始问题变换为受约束的优化问题；以及使用乘数法对受约束的优化问题求解以创建子问题序列并且对该子问题序列求解。对该子问题序列求解包括通过优化第一目标函数而重建图像。该第一目标函数通过迭代地对近似优化问题的嵌套序列求解而优化。内循环迭代地优化对第一目标函数近似的第二目标函数，并且外循环利用第二目标函数的解来优化所述第一目标函数。

Description

用于迭代重建的方法和设备
技术领域
本文公开的主题一般来说涉及成像系统，并且更具体地，涉及用于使用迭代技术重建图像的方法和设备。
背景技术
传统地，使用例如滤波反向投影（FBP）或卷积反向投影（CBP）的直接重建算法来从计算机断层摄影（CT）数据重建图像。近来，基于模型的迭代重建（MBIR）算法已经在商业上用于重建CT图像。MBIR算法的一个优势是MBIR算法可以更准确地对从CT系统获得的测量建模。这对于具有多片检测器的螺旋CT系统尤其真实，因为螺旋CT系统产生斜穿过二维（2D）重建图像平面的投影测量，并且采集的数据固有地是有噪的。通过更准确地对这些投影建模，MBIR算法可以产生具有较高质量（例如，分辨率）、较低噪声和较少伪像的重建。因此，MBIR算法可以用作用于明显降低CT扫描中的剂量同时维持诊断图像质量的工具。
然而，MBIR的主要挑战是完成重建所需要的计算时间和计算资源。MBIR算法典型地通过首先形成目标函数（其包含准确的系统模型、统计噪声模型和先验模型）来重建图像。利用手中的目标函数，然后通过计算使目标函数最小化的估计来重建图像，其典型地使用迭代优化算法来执行。这样的迭代优化算法中的一些的示例包括迭代坐标下降（ICD）、预期最大化（EM）的变化、共轭梯度（CG）和有序子集（OS）。然而，因为MBIR目标函数和关联的迭代解的复杂性，一些迭代算法可需要相对高数量的迭代来获得最后的估计。因此，对MBIR目标函数求解的已知迭代算法可需要相对大量的时间来重建图像。
发明内容
在一个实施例中，提供用于重建对象的图像（其包括图像元素）的方法。该方法包括访问与这些图像元素关联的测量数据、引入辅助变量来将重建图像的原始问题变换为受约束的优化问题，以及使用乘数法对受约束的优化问题求解以创建子问题序列并且对该子问题序列求解。对子问题序列求解包括通过优化第一目标函数而重建图像。该第一目标函数通过迭代地对近似优化问题的嵌套序列求解而优化。内循环迭代地优化对第一目标函数近似的第二目标函数。外循环利用第二目标函数的解来优化第一目标函数。
在另一个实施例中，提供非暂时性计算机可读介质。对该非暂时性计算机可读介质编程来指示计算机访问与图像元素关联的测量数据，并且从重建对象图像的原始问题创建子问题序列。这些子问题包括图像重建、辅助变量和拉格朗日乘数的变换。还指示计算机更新图像的重建和辅助变量。还指示计算机使用更新的图像的重建和更新的辅助变量来更新拉格朗日乘数的变换。还指示计算机使用更新的辅助变量和更新的拉格朗日乘数的变换来迭代更新图像的重建。
在另一个实施例中，提供成像系统。该成像系统包括检测器阵列和耦合于该检测器阵列的计算机。该计算机配置成访问与图像元素关联的测量数据、引入辅助变量来将重建对象图像的原始问题变换为受约束的优化问题，以及使用乘数法对受约束的优化问题求解以创建子问题序列并且对该子问题序列求解。对子问题序列求解包括通过优化第一目标函数而重建图像。该第一目标函数通过迭代地对近似优化问题的嵌套序列求解而优化。内循环迭代地优化对第一目标函数近似的第二目标函数。外循环利用第二目标函数的解来优化第一目标函数。
提供一种用于重建对象的图像的方法，所述图像包括图像元素，所述方法包括：
访问与所述图像元素关联的测量数据；
引入辅助变量来将重建所述图像的原始问题变换为受约束的优化问题；
使用乘数法对所述受约束的优化问题求解以创建子问题序列并且对所述子问题序列求解，其中对所述子问题序列求解包括通过优化第一目标函数而重建所述图像，其中所述第一目标函数通过迭代地对近似优化问题的嵌套序列求解而优化，并且其中内循环迭代地优化对所述第一目标函数近似的第二目标函数，并且外循环利用所述第二目标函数的解来优化所述第一目标函数。
优选的，使用乘数法对所述受约束的优化问题求解以创建子问题序列并且对所述子问题序列求解包括使用扩展拉格朗日（AL）法对所述受约束的优化问题求解。
优选的，引入辅助变量来将重建所述图像的原始问题变换为受约束的优化问题包括将辅助变量引入所述第一目标函数的数据不匹配项内，所述辅助变量对应于所述图像的正向投影。
优选的，所述图像使用所述辅助变量连同与原始统计加权矩阵不同的加权矩阵来更新。
优选的，引入辅助变量来将重建所述图像的原始问题变换为受约束的优化问题包括将所述辅助变量引入到所述第一目标函数的正则化项内，所述辅助变量对应于所述图像的变换。
优选的，每个子问题的Hessian矩阵是近似移位不变的。
优选的，对所述子问题序列求解包括迭代地更新所述图像的重建、所述辅助变量和拉格朗日乘数的变换。
优选的，对所述子问题序列求解包括迭代地更新所述图像的重建、所述辅助变量和拉格朗日乘数的变换，其中所述辅助变量和所述拉格朗日乘数的变换具有封闭形式的解并且迭代地对所述图像的重建求解。
优选的，对于所述外循环，每个迭代制定近似目标函数并且所述内循环迭代地优化所述近似目标函数。
优选的，所述内循环的所述第二目标函数通过使用近似矩阵来对所述第一目标函数的数据不匹配项的Hessian矩阵近似而构造。
优选的，所述近似矩阵是稀疏或移位不变矩阵序列的组合。
优选的，所述近似矩阵的A算子和At算子基于简化的正向和反向投影器、低分辨率正向和反向投影器、重排数据或基于傅里叶的方法中的至少一个而被近似。
提供一种非暂时性计算机可读介质，对其编程来指示计算机：
访问与图像元素关联的测量数据；
从重建对象图像的原始问题创建子问题序列，所述子问题包括所述图像重建、辅助变量和拉格朗日乘数的变换；
更新所述图像重建和所述辅助变量；以及
使用更新的图像重建和更新的辅助变量来更新拉格朗日乘数的变换；以及
使用更新的辅助变量和更新的拉格朗日乘数变换来迭代更新所述图像重建。
优选的，指示所述计算机通过优化第一目标函数使用所述更新的辅助变量和更新的拉格朗日乘数的变换来迭代地更新所述图像的重建，其中所述第一目标函数通过迭代地对近似优化问题的嵌套序列求解来优化，并且其中内循环迭代地优化对所述第一目标函数近似的第二目标函数，并且外循环利用所述第二目标函数的解来优化所述第一目标函数。
优选的，指示所述计算机通过迭代地更新所述图像的重建和所述辅助变量而更新所述图像的重建和所述辅助变量。
优选的，所述辅助变量和所述拉格朗日乘数的变换具有封闭形式的解。
优选的，进一步指示所述计算机将所述辅助变量引入目标函数的数据不匹配项内，所述辅助变量对应于所述图像的所述正向投影。
优选的，进一步指示所述计算机将所述辅助变量引入目标函数的正则化项内，所述辅助变量对应于所述图像的变换。
优选的，每个子问题的Hessian矩阵是近似移位不变的。
提供一种成像系统，其包括：
检测器阵列；和
计算机，其耦合于所述检测器阵列，所述计算机配置成：
访问与图像元素关联的测量数据；
引入辅助变量来将重建对象图像的原始问题变换为受约束的优化问题；
使用乘数法对所述受约束的优化问题求解以创建子问题序列并且对所述子问题序列求解，其中对所述子问题序列求解包括通过优化第一目标函数而重建图像，其中所述第一目标函数通过迭代地对近似优化问题的嵌套序列求解而优化，并且其中内循环迭代地优化对所述第一目标函数近似的第二目标函数，并且外循环利用所述第二目标函数的解来优化所述第一目标函数。
优选的，所述计算机配置成通过使用扩展拉格朗日（AL）法对所述受约束的优化问题求解而使用所述乘数法对所述受约束的优化问题求解。
优选的，对于所述外循环，每个迭代制定近似目标函数并且所述内循环迭代地优化所述近似目标函数。
附图说明
图1是用于根据各种实施例重建对象图像的示范性方法的流程图。
图2是根据各种实施例图示执行在图1中示出的方法的求解步骤的示范性方法的另一个流程图。
图3是图示执行在图2中示出的方法的迭代更新步骤的示范性方法的另一个流程图。
图4是图示执行在图3中示出的方法的优化步骤的示范性方法的另一个流程图。
图5是示范性差分图像的视觉表示。
图6是根据各种实施例形成的示范性多模态成像系统的示图。
图7是在图6中图示的系统的方框示意图。
具体实施方式
前面的概要以及各种实施例的下列详细描述当与附图结合阅读时将更好理解。就图图示各种实施例的功能框的图来说，功能框不一定指示硬件电路之间的划分。从而，例如，功能框（例如处理器或存储器）中的一个或多个可采用单件硬件（例如，通用信号处理器或一块随机存取存储器、硬盘或诸如此类）或多件硬件实现。相似地，程序可以是独立程序，可作为子例程包含在操作系统中，可以是安装的软件包中的功能等。应该理解各种实施例不限于图中示出的布置和工具。
本文描述用于使用将变量分裂技术和隐式预处理器法组合的示范性算法来重建图像的各种实施例。图像由多个图像元素组成。为了本文公开的目的，术语“图像元素”将指图像空间阵列内对象的元素。例如，图像元素可包括图像像素或图片元素，其可以对应于三维（3D）重建中的单个体素或体积元素。通过优化目标函数来重建图像。如本文使用的，目标函数（或成本函数）一般来说包括用于采集成像数据的成像系统、与该成像系统关联的噪声以及要重建的图像的性质的模型。在下面，术语“优化”、“最小化”和“最大化”是能互换的。在下面，术语“目标函数”和“成本函数”是能互换的。
各种实施例提供相对快速的基于收敛并行模式的迭代重建（MBIR）算法，其使用变量分裂技术和隐式预处理器法的组合来加速MBIR的同步算法的收敛。变量分裂技术创建子问题序列，在这里在每个子问题中，Hessian矩阵可近似地是移位不变的。预处理器可用于加速子问题的收敛。具体地，隐式预处理器法用于在多个外循环迭代中的每个中创建子问题的近似。（隐式预处理器法通过迭代地对使图像和测量数据有关的等式求解而不明确地计算Hessian的逆来起作用，来代替直接对Hessian的逆近似。）近似的子问题然后通过具有相对低计算成本的内循环迭代而求解。也就是说，内循环计算改进外循环迭代的收敛速度。更具体地，MBIR目标函数的优化算法由嵌套迭代循环组成，其中制定内循环来迭代地优化目标函数，其定义成对由外循环迭代优化的成本函数近似；并且外循环迭代地使用用内循环生成的解来优化原始MBIR成本函数。各种实施例的至少一个技术效果是外和内循环计算采用比常规的同步算法更少的迭代而收敛到原始成本函数的解。例如，与本领域内公布的常规算法所需要的50或100个迭代相比，本文描述的各种实施例可采用五至十个迭代而收敛到可接受的图像质量。
图1是用于重建对象的图像的示范性方法100的流程图。在102处，该方法包括使用示范性成像系统来采集投影（或测量）数据。在104处，制定目标函数。在一个实施例中，在104处基于测量数据和代表扫描对象的图像的先验知识来制定目标函数。例如，让x指示图像并且y指示测量数据，其中x和y两者都代表向量。在操作中，方法100配置成通过计算由以下给出的最大后验（MAP）估计来重建图像：
等式1
等式2
其中f（x）是目标函数，其中J（x,y）是惩罚图像与测量之间的不一致的数据不匹配项；并且是Φ（x）是惩罚图像中相邻元素之间的差的正则化函数。
在一个实施例中，J（x,y）具有如下的二次形式：
等式3
其中A是前向系统矩阵；并且W是对角加权矩阵。矩阵W的第i个对角元（由wi指示）与测量yi中的方差的估计成反比。但是，其他形式的数据不匹配项可与方法100一起使用，例如但不限于，泊松对数似然函数和/或诸如此类。在一些情况下，除目标函数外，优化问题对变量可以具有附加的平等或不平等约束。例如，非负约束通常适应于图像像素。
方法100包括将原始问题（即，等式1）变换成子问题序列。采用两个步骤创建子问题。首先，在106处，引入一组辅助变量来将附加项添加在目标函数中并且对优化问题添加附加约束。在106处该组辅助变量的引入将原始问题变换成受约束的优化问题。然后在108处使用乘数法对受约束的优化问题求解。乘数法将受约束的优化问题转变成子问题序列（例如，下文描述的步骤110-112），其中每个子问题比原始问题相对更容易求解。例如，在等式3中。数据不匹配项的Hessian矩阵由AtWA给出。由于W中相对大的动态范围，可能难以设计相对好地对（AtWA）-1近似的预处理器P。另一方面，断层摄影重建问题的矩阵AtA可以通过移位不变的图像空间算子被很好地近似，其相对易于反转。因此，方法100用于通过子问题序列对原始问题求解，而在子问题中不需要使AtA反转。
在一个实施例中，在106处通过首先将辅助变量u＝Ax引入数据不匹配项J（x,y）而创建受约束的优化问题，这将等式2的不受约束的优化问题转变成受约束的优化问题。辅助变量u对应于图像的正向投影。作为示例，如果由等式3给出J（x,y），原始问题然后变换成下面的受约束的优化问题：
等式4
服从u＝Ax 等式5
如上文描述的，在108处，使用乘数法对受约束的优化问题求解。也就是说，乘数法将受约束的优化问题转变成子问题序列，并且然后迭代地对该子问题序列求解。因此，使用乘数法对受约束的优化问题求解包括通过对子问题序列求解而对原始问题求解。受约束的优化问题可以使用各种方法来求解。在示范性实施例中，在108处对受约束的优化问题求解包括使用扩展拉格朗日（AL）法来对受约束的优化问题求解。除AL法之外还可使用其他方法，或可使用其他方法来代替AL法。
图2是图示在108处使用乘数法来对受约束的优化问题求解的示范性方法的另一个流程图。在108处创建的子问题序列可包括，例如，在110a处的图像的重建x、在110b处的辅助变量u（其对应于x的正向投影）和在112处的拉格朗日乘数η的变换。图像x的重建可用滤波反向投影（FBP）重建而初始化。辅助变量u可通过将图像x正向投影而初始化，并且η可初始化为零。备选地，在108处的求解方法包括更新变量x、u和η的子问题。正弦变量η和u的更新具有封闭形式的解，而迭代地对x的更新求解。
例如，在110处，在108处的求解问题包括使用η的初始值来更新图像x的重建和辅助变量u。在一个实施例中，备选地在110处更新图像x的重建和辅助变量u。在示范性实施例中，在110b处更新辅助变量u之前在110a处更新图像x的重建。但是，图像x的重建和辅助变量u可采用任何顺序在110处更新。例如，可在更新图像x的重建之前更新辅助变量u。在110a处更新图像x的重建以及在110b处更新辅助变量u的示例包括，但不限于，分别使用等式13和12（在下文描述的）。
然后在112处使用更新的图像x的重建和更新的辅助变量u来更新拉格朗日乘数η的变换。在112处更新拉格朗日乘数η的变换的示例包括，但不限于，使用等式9（在下文描述的）。在114处，在108处的求解方法包括使用辅助变量u和更新的拉格朗日乘数η的变换来迭代地更新图像x的重建。图像x的重建可在114处迭代地更新直到目标函数f（x）减少到预定水平和/或被最小化。
现在将描述在108处使用乘数的AL法来对受约束的优化问题求解的方法的一个示范性实现。AL函数由以下给出：
等式6
让η＝-1/μΛ-1γ，我们可以将AL函数简化为下面的形式：
等式7
AL法的每个迭代由两个步骤组成。首先，在优化步骤（例如，图2的步骤110）中，x的更新（例如，图2的步骤110a）和u的更新（例如，图2的步骤110b）通过联合优化给出η的当前值的AL函数来计算。
等式8
其中j指示迭代指数。
其次，用封闭形式的更新等式来更新η（例如，图2的步骤112）：
等式9
在一个实施例中，联合优化问题通过使用以下来备选地更新x和u而求解：
等式10
等式11
关于u的优化问题具有由以下给出的简单的封闭形式的解：
等式12
要求解的剩余问题是x的更新（例如，图2的步骤114）。给出AL函数，我们可以将等式10重写为：
等式13
图3是图示在114处使用更新的图像u的正向投影和更新的拉格朗日乘数的变换来迭代地更新图像x的重建的示范性方法的另一个流程图。一般来说，隐式预处理器法用于在多个外循环迭代中的每个中创建子问题的近似。也就是说，方法114包括迭代地使原始成本函数最小化的外循环。在每个外循环中，首先制定近似成本函数。然后使用内循环迭代来优化近似成本函数。具体地，方法114包括嵌套迭代循环，其中制定内循环来迭代地优化近似目标函数，其定义成对由外循环迭代优化的成本函数近似。内循环的结果用作预处理的梯度方向来更新图像。也就是说，外循环迭代使用用内循环生成的解来优化原始成本函数。
例如，方法114包括定义外循环的各种步骤116-120。具体地，在116处，方法114包括制定近似目标函数。在118处，使用在图4中示出的内循环迭代来优化近似目标函数。步骤118在本文可称为“内循环”。在示范性实施例中，利用算法的内循环118来增加算法的收敛速度，或使计算机硬件上快速实现的计算复杂性减小。
内循环118包括用于对内循环问题求解的步骤124-132（在下文描述并且在图4中图示），然后利用这来对外循环中的问题求解。也就是说，由内循环118最小化的近似目标函数的解在每个迭代期间由外循环使用。具体地，在120处，使用内循环118的解来计算更新。在122处，使用在120处计算的更新来更新图像x。在示范性实施例中，迭代地执行步骤116-122直到成本函数减少到预定水平和/或被最小化。
图4是图示在118处优化外循环的该近似目标函数的示范性方法的另一个流程图。在124处，将内循环初始化。在126处制定局部近似函数。在128处，可直接或迭代地对该局部近似函数求解。在128处对该局部近似函数求解可包括计算初始搜索方向。此外，在128处对局部近似函数求解可进一步包括计算改进的搜索方向。可沿新的改进搜索方向计算最佳步长。
在130处，方法118进一步包括使用在128处对局部近似函数求解的解来计算更新。在一个实施例中，除使用局部近似函数的解外，在130处使用改进的搜索方向和/或最佳步长来计算更新。
在132处，来自步骤124-130的更新适用于图像x。来自内循环计算的输出然后由外循环使用。具体地，并且再次参考图3，在已经从内循环计算接收输入后，在118处通过对内循环问题求解来计算优化的近似目标函数。可对外循环计算新的搜索方向。在120处，使用内循环118的解来计算更新。在122处，使用在120处计算的更新来更新图像x。可迭代地执行步骤116-122直到成本函数减少到预定水平和/或被最小化。
现在将描述使用隐式预处理器法来对在114处迭代更新图像x的重建的子问题求解的一个示范性实现。与u的更新不同，一般对x的更新求解（例如，等式13）的问题不具有封闭形式的解，并且因此需要迭代地来求解。方法不需要完全对优化问题求解，因此仅需要运行相对少量的迭代（例如，小于20个，等于或小于10个，和/或诸如此类）。更新x的子问题具有与原始问题的（即，等式1）相似的结构。更新x的子问题由数据不匹配项和正则化项组成。关键差异是在数据不匹配项中，数据y被u（j+1）-η（j+1）取代，并且统计加权矩阵W被Λ取代。对于非均匀的取样几何形状，可选择Λ来使AtΛA成为近似移位不变的算子。还可选择Λ来改进AtΛA矩阵的条件。在示范性实施例中，Λ选择为单位矩阵来简化更新x的子问题。因此，数据不匹配项的Hessian是AtΛA而不是AtWA。与等式1的原始问题相比，更新x的子问题可更易于求解，因为：（1）AtΛA不取决于数据并且因此对每个扫描协议预先计算并且存储AtΛA或（AtΛA）-1的近似是可能的；以及（2）AtΛA可以近似建模为移位不变并且因此可更易于对更新x的子问题设计移位不变预处理器。
在使用等式13来更新x的子问题中，如果我们将Λ选为单位矩阵，与较低频率关联的AtA的特征值是相对大的，而与较高频率关联的特征值是相对小的。因此，例如共轭梯度（CG）或梯度下降（GD）算法的常规算法将经历较高频率的较慢收敛。可以应用对近似的明确定义的预处理器矩阵P。相对好的预处理器设计可满足两个目标：（1）P必须相对易于应用；并且（2）P需要是（AtΛA）-1的相对接近的近似。例如，这样的预处理器可通过将AtA近似为移位不变算子而设计。因此，P≈（AtΛA）-1可以仅使用相对少的快速傅里叶变换（FFT）和图像密封来计算。备选地，可以将P选为等式13中整个内目标函数的Hessian的逆的近似。
显式预处理器设计的一个缺点是可例如因为正则化项的Hessian一般不是移位不变的并且在Φ（x）是非二次时是x的函数而难以将正则化项的Hessian包括到设计内。解决这样的问题的一个方式是通过引入另一组辅助变量而使正则化项和数据不匹配项分裂。也就是说，对应于图像x或图像x的函数的辅助变量v被引入以进一步使更新x的子问题中的正则化项分裂。
方法114使用隐式定义的预处理器来对更新x的子问题求解。隐式预处理器在设计和应用两者中与显式预处理器不同。在隐式预处理器的设计中，找到对Hessian矩阵H近似的矩阵M。相比之下，在显式预处理器情况下，P设计成直接对H-1近似。一般，对H而不是H-1近似具有至少两个益处。例如，对H而不是H-1近似可提供使用更复杂和/或更准确的Hessian模型的灵活性。例如，M可以设计成移位变化的，而对于相同的近似，显式预处理器P=M-1矩阵可能难以计算。此外，对于非二次成本函数，Hessian矩阵每一个迭代地更改。对H而不是H-1近似的益处的另一个示例是能够基于局部Hessian近似来每一个迭代地调整M矩阵同时每一个迭代地重新计算P=M-1可不平凡，除非M具有相对简单的形式。
隐式和显式预处理器在应用隐式和显式预处理器所采用的方式方面不同。为了应用显式预处理器，只需要计算矩阵向量乘d(n)=Pg(n)，其中g(n)和d(n)分别代表成本函数的梯度和在第n个迭代处的更新方向。在隐式预处理器法中，通过使用迭代循环对近似成本函数求解来计算预处理的梯度方向d(n)。因此，使用隐式预处理器的算法由嵌套迭代循环组成。外循环迭代可以是基于预处理的梯度的算法，其中预处理的梯度方向由内循环迭代供应。在每个内循环中，我们使近似成本函数最小化。我们通过以下重写等式13的成本函数
等式14
其中x（n）是在第n个外循环迭代处的图像值（），并且c是常数。
通过用矩阵M1对AtΛA近似，近似成本函数由以下给出
等式15
注意h（n）（x）和f（x）的梯度在x=x（n）处相等。还精确地计算h（n）（x）中的正则化项。唯一差异是AtΛA与M1的近似。然后由内循环迭代地对h（n）的最小化问题求解。让指示内循环的解。不直接用作图像更新。相反，用于计算由d（n）=- x（n）给出的预处理的梯度方向。任何基于梯度的算法可以在具有预处理的梯度方向的外循环中使用，例如但不限于，GD、CG和/或诸如此类。
应用隐式预处理器法可更昂贵，因为隐式预处理器需要内循环的多个迭代。然而，隐式预处理器设计中的准确近似可有助于使算法的整体收敛加速，并且因此调整附加计算成本。典型地，在断层摄影重建问题中，最昂贵的计算是正向投影A和反向投影At，其需要在每个迭代处计算成本函数的梯度。因此，内循环计算成本与外循环相比可仍然不明显，只要可以找到相对快速计算的M1即可。
对M1的多种选择是可能的。在一个实施例中，用移位不变算子K对AtA近似。K可以通过等中心地对AtA算子取样而构造。注意提出的算子是纯图像空间算子；并且因为它只需要使用FFT对图像滤波而相对易于计算。在Λ不是单位矩阵的情况下，根据以下使用AtΛA算子的Fessler和Rogers近似：
等式16
其中D是对角矩阵，其中第i个对角元素由给出。
在另一个实施例中，AtA也假设为移位不变的。相反，发现AtA的近似为稀疏矩阵的乘积。对M1的一个选择是预先计算并且存储AtA矩阵。然而，由于AtA不是稀疏的，存储AtA可能不切实际。为了求解该问题，由Cao, Bouman和Webb提出计算非稀疏算子的稀疏矩阵表示的方法。稀疏化矩阵相对小到足以被存储并且相对易于应用。最近，由Wei提出计算可以潜在地用于对AtA算子近似的相对快速的空间变化卷积。
在另一个实施例中，A自身的计算可以通过使用更简单的正向模型（例如由指示的）而简化，来代替总体上对AtΛA近似。这样的更简单的正向模型的示例包括但不限于，像素驱动正向和反向投影、光线驱动正向和反向投影和/或诸如此类。迭代重建的计算时间取决于使用的系统模型的准确性。更具体地，包含精确3D扫描几何形状、有限焦点尺寸的效应、检测器模糊或其他物理效应的准确系统模型使计算时间增加。因此，可利用简化和近似的各种方法来减少计算时间。例如，假设理想的线积分模型（Siddon的方法）可用于通过具有相对紧凑的计算机代码的3D像素阵列来有效计算线积分。另外或备选地，其他简化插值方案可用于使正向和反向投影算子在计算上更有效。
在操作中，存在构造的各种方法。例如，可以使用较低分辨率图像网格的检测器来计算。在PET重建的领域中，可通过忽略某些物理效应（正电子范围、晶体渗透）、使用数值上更稀疏的系统矩阵来构造，或基于GPU上的纹理映射硬件而配置。CT重建的一个示例是外循环可使用准确模型（例如距离驱动模型）来计算，而使用在焦点和检测器单元中具有粗糙取样的像素驱动或光线驱动模型来计算内循环。另一个示例是外循环可使用精确的3D锥形束几何形状来计算，而使用并行或半并行束几何形状（使用重排或重切的正弦）来计算内循环。还可使用具有比更低的精确度和更快的计算的数据类型来计算。还可使用基于快速傅里叶变换（FFT）的技术来计算。如本文使用的，在各种实施例中，“快速”指比完整的原始模型A的更快的计算。例如，“快速”可以指在2D重建中以N2log（N）而不是N3阶数的计算复杂性或在3D重建中是N3log（N）而不是N4阶数的计算复杂性。这些快速方法可包括，但不限于，非均匀FFT法、伪极FFT法、等斜率断层摄影法、分层法和/或诸如此类。还可使用来自A的更低分辨率但更高阶的图像基本函数来计算。例如，可使用体素（例如，z-斜率体素模型或斑块）的逐段线性或更高阶参数表示来计算，而不是使用矩形体素。
图5是示范性差分图像的视觉表示。图5图示方法100的一个示例的初步结果。在图5的示例中，根据等式10创建子问题。更新图像x的子问题使用隐式预处理器法来求解。在隐式预处理器法中，预处理的共轭梯度算法的二十个迭代用于对内循环问题求解。线和分辨率测试条用于测试重建的空间分辨率，并且均匀区域用于测量噪声。
图5使用ICD算法将方法100的示例的结果与完全收敛的参考图像比较。图5的差分图像在-100至100个Hounsfield单元之间在窗中示出。在（a）中，图5图示FBP图像与参考之间的差分图像，其中可以看到线和均匀区域附近的差异，该差分图像分别图示空间分辨率和噪声中的差异。图5（b）示出方法100的示例的三个迭代的图像和参考之间的差异，其中这些差异明显减少。在十个迭代后，如在图5（c）中示出的，差异减小到几乎不能发现差异的点。结果定性地示出方法100在十个迭代内收敛到解。
本文描述的方法和算法用于重建对象的图像。方法和算法可实施为指令集，其存储在计算机上并且使用例如模块530（在图6中示出）、软件、硬件、其组合和/或有形的非暂时性计算机可读介质实现。在一个实施例中，有形的非暂时性计算机可读介质排除信号。
图6是根据各种实施例形成的示范性成像系统500的示图。图7是在图6中示出的多模态成像系统500的一部分的框示意图。除其他外，成像系统可实施为计算机断层摄影（CT）成像系统、正电子发射断层摄影（PET）成像系统、磁共振成像（MRI）系统、超声成像系统、x射线成像系统、单光子发射计算机断层摄影（SPECT）成像系统、介入C形臂断层摄影成像系统、用于专用目的的CT系统（例如四肢或乳腺扫描）和其组合。在示范性实施例中，关于CT成像系统描述方法100。此外，在示范性实施例中，成本函数用于解释本文描述的各种实施例。
尽管在示范性双模态成像系统（其包括计算机断层摄影（CT）成像系统和正电子发射断层摄影（PET）成像系统）的背景下描述各种实施例，应该理解能够执行本文描述的功能的其他成像系统预想为正被使用。
图示多模态成像系统500，并且其包括CT成像系统502和PET成像系统504。成像系统500允许采用不同模态的多个扫描以便于在单模态系统上的诊断能力增加。在一个实施例中，示范性多模态成像系统500是CT/PET成像系统500。可选地，除CT和PET外的模态与成像系统500一起使用。例如，除其他外，成像系统500可以是独立CT成像系统、独立PET成像系统、磁共振成像（MRI）系统、超声成像系统、x射线成像系统和/或单光子发射计算机断层摄影（SPECT）成像系统、介入C形臂断层摄影、用于专用目的的CT系统（例如四肢或乳腺扫描）和其组合。
CT成像系统502包括门架510，该门架510具有x射线源512，其朝该门架510的相对侧上的检测器阵列514投射x射线束。检测器阵列514包括以行布置的多个检测器元件516和在一起感测经过对象（例如受检者506）的投射的x射线的通道。成像系统500还包括计算机520，其从检测器阵列514接收投影数据并且处理投影数据来重建受检者506的图像。在操作中，操作者供应的命令和参数由计算机520使用来提供控制信号和信息以重新定位电动台522。更具体地，利用电动台522来使受检者506移入和移出门架510。特别地，台522使受检者506的至少一部分移动通过门架开口524，其延伸通过门架510。
成像系统500还包括模块530，其配置成实现本文描述的各种方法和算法。模块530可实现为安装在计算机520中的硬件块。可选地，模块530可实现为安装在计算机520上的指令集。该指令集可以是独立程序，可作为子例程包含在操作系统（其安装在计算机520上）中，可以是计算机520上的安装软件包中的功能等。应该理解各种实施例不限于图中示出的布置和工具。
如上文讨论的，检测器514包括多个检测器元件516。每个检测器元件516产生电信号或输出，其代表碰撞x射线束的强度并且因此允许估计在它经过受检者506时束的衰减。在扫描来采集x射线投影数据期间，门架510和安装在其上的组件绕着旋转中心540旋转。图7仅示出单行的检测器元件516（即，检测器行）。然而，多片检测器阵列514包括多个并行检测器行的检测器元件516使得可以在扫描期间同时采集对应于多个片的投影数据。
门架510的旋转和x射线源512的操作由控制机构542管理。该控制机构542包括x射线控制器544，其向x射线源512和控制门架510的旋转速度和位置的门架马达控制器546提供功率和定时信号。控制机构542中的数据采集系统（DAS）548从检测器元件516对模拟数据取样并且将该数据转换成数字信号用于后续处理。例如，后续处理可包括利用模块530来实现本文描述的各种方法。图像重建器550接收来自DAS 548的取样且数字化的x射线数据并且执行高速图像重建。重建的图像输入计算机520，其将图像存储在存储装置552中。可选地，计算机520可从DAS 548接收取样且数字化的x射线数据并且使用模块530执行本文描述的各种方法。计算机520还经由具有键盘的控制台560接收来自操作者的命令和扫描参数。关联的视觉显示单元562允许操作者观察来自计算机的重建图像和其他数据。
操作者供应的命令和参数由计算机520使用来向DAS 548、x射线控制器544和门架马达控制器546提供控制信号和信息。另外，计算机520操作台马达控制器564，其控制电动台522以将受检者506定位在门架510中。特别地，台522使受检者506的至少一部分移动通过如在图6中示出的门架开口524。
再次参考图7，在一个实施例中，计算机520包括装置570，例如软盘驱动器、CD-ROM驱动器、DVD驱动器、磁光盘（MOD）装置或任何其他数字装置，其包括例如用于从计算机可读介质572（例如软盘、CD-ROM、DVD或例如网络或因特网的其他数字源）读取指令和/或数据的以太网装置的网络连接装置以及尚待开发的数字工具。在另一个实施例中，计算机520执行存储在固件（未示出）中的指令。计算机520被编程以执行本文描述的功能，并且如本文使用的，术语计算机不限于只是那些在本领域内称为计算机的集成电路，而泛指计算机、处理器、微控制器、微计算机、可编程逻辑控制器、专用集成电路和其他可编程电路，并且这些术语在本文中能互换地使用。
在示范性实施例中，x射线源512和检测器阵列514随着门架510在成像平面内并且围绕要成像的受检者506旋转使得x射线束574贯穿受检者506所处的角度不断变化。在一个门架角度从检测器阵列514的一组x射线衰减测量（即，投影数据）称为“视图”。受检者506的“扫描”包括在x射线源512和检测器514的一个旋转期间在不同的门架角度（或视图角度）做出的一组视图。在CT扫描中，处理投影数据来重建图像，其对应于通过受检者506所取的二维切片。
多模态成像系统的示范性实施例在上文详细描述。图示的多模态成像系统组件不限于本文描述的特定实施例，相反，每个多模态成像系统的组件可独立或与本文描述的其他组件分开使用。例如，上文描述的多模态成像系统组件还可与其他成像系统结合使用。
应该注意各种实施例可采用硬件、软件或其组合实现。各种实施例和/或组件（例如模块或其中的组件和控制器）还可实现为一个或多个计算机或处理器的一部分。计算机或处理器可包括例如用于访问因特网的计算装置、输入装置、显示单元和接口。计算机或处理器可包括微处理器。该微处理器可连接到通信总线。计算机或处理器还可包括存储器。该存储器可包括随机存取存储器（RAM）和只读存储器（ROM）。计算机或处理器可进一步包括存储装置，其可以是硬盘驱动器或可移动存储驱动器，例如固态驱动器、光驱动器和/或诸如此类。该存储装置还可以是用于将计算机程序或其他指令装载到计算机或处理器内的其他相似工具。
如本文使用的，术语“计算机”可包括任何基于处理器或基于微处理器的系统，其包括使用微控制器、精简指令集计算机（RISC）、专用集成电路（ASIC）、逻辑电路、GPU、FPGA和能够执行本文描述的功能的任何其它电路或处理器的系统。上文的示例只是示范性的，并且从而不意在以任何方式限制术语“计算机”的定义和/或含义。为了处理输入数据，计算机或处理器执行存储在一个或多个存储元件中的指令集。这些存储元件还可根据期望或需要存储数据或其它信息。存储元件可采用在处理机内的信息源或物理存储器元件的形式。
指令集可包括各种命令，其指示作为处理机的计算机或处理器执行特定的操作，例如本发明的各种实施例的方法和过程。指令集可采用软件程序的形式。该软件可采用例如系统软件或应用软件（其可以是非暂时性计算机可读介质）的各种形式。此外，该软件可采用单独程序的集合、在更大程序内的程序模块或程序模块的一部分的形式。该软件还可包括采用面向对象编程的形式的模块化编程。输入数据由处理机的处理可响应于用户命令，或响应于先前处理的结果，或响应于由另外一个处理机做出的请求。
如本文使用的，以单数列举的并且具有单词“一（a）”或“一（an）”在前的元件或步骤应该理解为不排除复数个所述元件或步骤，除非这样的排除被明确地规定。此外，本发明对“一个实施例”的引用不意在解释为排除也包含列举的特征的另外的实施例的存在。此外，除非对相反情况明确规定，“包括”或“具有”具有特定性质的一个元件或多个元件的实施例可包括不具有该性质的另外的元件。
同样如本文使用的，短语“重建图像”不意在排除其中生成代表图像的数据但不生成可见图像的本发明的实施例。因此，如本文使用的，术语“图像”泛指可见图像和代表可见图像的数据两者。然而，许多实施例生成或配置成生成至少一个可见图像。
如本文使用的，术语“软件”和“固件”是能互换的，并且包括存储在存储器中用于计算机执行的任何计算机程序，该存储器包括RAM存储器、ROM存储器、EPROM存储器、EEPROM存储器以及非易失性RAM（NVRAM）存储器。上文的存储器类型只是示范性的，并且从而关于可用于存储计算机程序的存储器类型不是限制性的。
要理解上文的描述意在而说明性而非限制性的。例如，上文描述的实施例（和/或其方面）可互相结合使用。另外，可做出许多修改以使特定情况或材料适应本发明的教导而没有偏离它的范围。然而本文描述的材料的尺寸和类型意在限定本发明的参数，它们绝不是限制性的而是示范性的实施例。当回顾上文的描述时，许多其他的实施例对于本领域内技术人员将是明显的。本发明的范围因此应该参照附上的权利要求与这样的权利要求拥有的等同物的全范围而确定。在附上的权利要求中，术语“包含”和“在…中”用作相应术语“包括”和“其中”的易懂语的等同物。此外，在下列权利要求中，术语“第一”、“第二”和“第三”等仅仅用作标签，并且不意在对它们的对象施加数值要求。此外，下列权利要求的限制没有采用部件加功能格式书写并且不意在基于35U.S.C.§112的第六段解释，除非并且直到这样的权利要求限定明确地使用后跟功能描述而无其他结构的短语“用于…的部件”。
该书面描述使用示例来公开本发明的各种实施例，其包括最佳模式，并且还使本领域内任何技术人员能够实践本发明的各种实施例，包括制作和使用任何装置或系统和执行任何包含的方法。本发明的各种实施例的专利范围由权利要求限定，并且可包括本领域内技术人员想到的其他示例。这样的其他示例如果其具有不与权利要求的文字语言不同的结构元件，或者如果其包括与权利要求的文字语言无实质区别的等同结构元件则意在权利要求的范围内。

Claims (22)

1.一种用于重建对象的图像的方法，所述图像包括图像元素，所述方法包括：
访问与所述图像元素关联的测量数据；
引入辅助变量来将重建所述图像的原始问题变换为受约束的优化问题；
使用乘数法对所述受约束的优化问题求解以创建子问题序列并且对所述子问题序列求解，其中对所述子问题序列求解包括通过优化第一目标函数而重建所述图像，其中所述第一目标函数通过迭代地对近似优化问题的嵌套序列求解而优化，并且其中内循环迭代地优化对所述第一目标函数近似的第二目标函数，并且外循环利用所述第二目标函数的解来优化所述第一目标函数。
2.如权利要求1所述的方法，其中，使用乘数法对所述受约束的优化问题求解以创建子问题序列并且对所述子问题序列求解包括使用扩展拉格朗日（AL）法对所述受约束的优化问题求解。
3.如权利要求1所述的方法，其中，引入辅助变量来将重建所述图像的原始问题变换为受约束的优化问题包括将辅助变量引入所述第一目标函数的数据不匹配项内，所述辅助变量对应于所述图像的正向投影。
4.如权利要求3所述的方法，其中，所述图像使用所述辅助变量连同与原始统计加权矩阵不同的加权矩阵来更新。
5.如权利要求1所述的方法，其中，引入辅助变量来将重建所述图像的原始问题变换为受约束的优化问题包括将所述辅助变量引入到所述第一目标函数的正则化项内，所述辅助变量对应于所述图像的变换。
6.如权利要求1所述的方法，其中，每个子问题的Hessian矩阵是近似移位不变的。
7.如权利要求1所述的方法，其中，对所述子问题序列求解包括迭代地更新所述图像的重建、所述辅助变量和拉格朗日乘数的变换。
8.如权利要求1所述的方法，其中，对所述子问题序列求解包括迭代地更新所述图像的重建、所述辅助变量和拉格朗日乘数的变换，其中所述辅助变量和所述拉格朗日乘数的变换具有封闭形式的解并且迭代地对所述图像的重建求解。
9.如权利要求1所述的方法，其中，对于所述外循环，每个迭代制定近似目标函数并且所述内循环迭代地优化所述近似目标函数。
10.如权利要求1所述的方法，其中，所述内循环的所述第二目标函数通过使用近似矩阵来对所述第一目标函数的数据不匹配项的Hessian矩阵近似而构造。
11.如权利要求10所述的方法，其中，所述近似矩阵是稀疏或移位不变矩阵序列的组合。
12.如权利要求10所述的方法，其中，所述近似矩阵的A算子和At算子基于简化的正向和反向投影器、低分辨率正向和反向投影器、重排数据或基于傅里叶的方法中的至少一个而被近似。
13.一种非暂时性计算机可读介质，对其编程来指示计算机：
访问与图像元素关联的测量数据；
从重建对象图像的原始问题创建子问题序列，所述子问题包括所述图像重建、辅助变量和拉格朗日乘数的变换；
更新所述图像重建和所述辅助变量；以及
使用更新的图像重建和更新的辅助变量来更新拉格朗日乘数的变换；以及
使用更新的辅助变量和更新的拉格朗日乘数变换来迭代更新所述图像重建。
14.如权利要求13所述的非暂时性计算机可读介质，其中，指示所述计算机通过优化第一目标函数使用所述更新的辅助变量和更新的拉格朗日乘数的变换来迭代地更新所述图像的重建，其中所述第一目标函数通过迭代地对近似优化问题的嵌套序列求解来优化，并且其中内循环迭代地优化对所述第一目标函数近似的第二目标函数，并且外循环利用所述第二目标函数的解来优化所述第一目标函数。
15.如权利要求13所述的非暂时性计算机可读介质，其中，指示所述计算机通过迭代地更新所述图像的重建和所述辅助变量而更新所述图像的重建和所述辅助变量。
16.如权利要求13所述的非暂时性计算机可读介质，其中，所述辅助变量和所述拉格朗日乘数的变换具有封闭形式的解。
17.如权利要求13所述的非暂时性计算机可读介质，其中，进一步指示所述计算机将所述辅助变量引入目标函数的数据不匹配项内，所述辅助变量对应于所述图像的正向投影。
18.如权利要求13所述的非暂时性计算机可读介质，其中，进一步指示所述计算机将所述辅助变量引入目标函数的正则化项内，所述辅助变量对应于所述图像的变换。
19.如权利要求13所述的非暂时性计算机可读介质，其中，每个子问题的Hessian矩阵是近似移位不变的。
20.一种成像系统，包括：
检测器阵列；和
计算机，其耦合于所述检测器阵列，所述计算机配置成：
访问与图像元素关联的测量数据；
引入辅助变量来将重建对象图像的原始问题变换为受约束的优化问题；
使用乘数法对所述受约束的优化问题求解以创建子问题序列并且对所述子问题序列求解，其中对所述子问题序列求解包括通过优化第一目标函数而重建图像，其中所述第一目标函数通过迭代地对近似优化问题的嵌套序列求解而优化，并且其中内循环迭代地优化对所述第一目标函数近似的第二目标函数，并且外循环利用所述第二目标函数的解来优化所述第一目标函数。
21.如权利要求20所述的系统，其中，所述计算机配置成通过使用扩展拉格朗日（AL）法对所述受约束的优化问题求解而使用所述乘数法对所述受约束的优化问题求解。
22.如权利要求20所述的系统，其中，对于所述外循环，每个迭代制定近似目标函数并且所述内循环迭代地优化所述近似目标函数。
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