JP2011080875A - 屈折率分布の測定装置及び測定方法 - Google Patents

Abstract

【課題】マッチング液を用いることなく、収差測定からレンズ内の屈折率分布を測定する屈折率の測定装置及び測定方法を提供する。
【解決手段】光源と、該光源からの光束を収束させてスポット像を形成させる被検レンズと、フォーカス面又は該フォーカス面の近傍でスポット像を撮像する撮像手段と、光束と被検レンズとの間に光束に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルト手段と、複数のチルト角度で撮像されたスポット像のそれぞれから収差解析を行う収差解析手段と、屈折率分布を同定する同定手段とを備える。
【選択図】図３

Description

本発明は、マッチング液を用いることなく、収差測定からレンズ内の屈折率分布を測定する屈折率分布の測定装置及び測定方法に関する。

近年、コンタクトレンズや眼鏡にはもちろん、光学記録用ピックアップ用レンズやカメラレンズなどの光学機器に使用される光学レンズの材料として、プラスチックレンズを用いることが多くなっている。プラスチックレンズは、ガラスレンズに比べ、軽量かつ耐衝撃性に優れ、また射出成型等により製造されるため自由表面の実現や量産が容易であるという利点がある。

しかしながら、射出成型等により製造されるプラスチックレンズは、射出時や冷却時の温度、圧力、射出速度等の様々な要因により、ガラスレンズに比べ、屈折率分布が生じやすく、レンズの内部に不均一性を生じることがある。このように屈折率分布が生じることにより結像性能は大きく劣化し、光学特性に大きな影響を及ぼし、画質の劣化やボケといった原因につながる。このため、プラスチックレンズの結像性能向上のために屈折率分布測定が必要である。また、より高品質なプラスチックレンズを製造する上で、製造時における温度、圧力等の条件設定の適切化を行うためにも、屈折率分布測定は重要である。

そこで、従来より用いられている屈折率分布の測定方法として、例えば特許文献１に記載され、図１及び図２に示すようなレーザ干渉によるＣＴ解析手法があげられる。すなわち、従来のＣＴ解析手法は、図１に示すように、まず、レンズ１１０の表面におけるレーザ光１１１の屈折を防ぐために屈折率がレンズ１１０とほぼ等しい液体（マッチング液）１１２にレンズ１１０を浸し、次に、図２に示すように、レンズ１１０を０（ｄｅｇ）から１８０（ｄｅｇ）まで回転させ、各回転角における波面を測定し、最後に、干渉計１１３を用いてＣＴ解析により屈折率分布を再構成する方法である。

しかしながら、マッチング液１１２が用いられるＣＴ解析手法には以下に挙げる問題点があった。
（１）マッチング液に四塩化炭素、ジエチルエーテル等の人体に有毒な有機溶剤系の物質が含まれている。さらに、マッチング液によってプラスチックレンズの表面が侵食されてしまい、このように表面が侵食されたプラスチックレンズは使用することができない。
（２）屈折率の異なるレンズの分布を測定するたびにマッチング液の調整が必要である。
（３）マッチング液に温度分布があると透過波面に歪みが生じ、測定誤差の原因となるため、その温度を均一にする必要がある。
（４）屈折率分布再構成のために多数の回転角での測定データが必要であり、測定時間が長い。

特開２００５−２０１７２４号公報

本発明は、上述したような実情に鑑みてなされたもので、その目的とするところは、マッチング液を用いることなく、収差測定からレンズ内の屈折率分布を測定する屈折率の測定装置及び測定方法を提供することにある。

本発明の上記目的は、光源と、該光源からの光束を収束させてスポット像を形成させる被検レンズと、フォーカス面又は該フォーカス面の近傍で前記スポット像を撮像する撮像手段と、前記光束と前記被検レンズとの間に前記光束に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルト手段と、前記複数のチルト角度で撮像された前記スポット像のそれぞれから収差解析を行う収差解析手段と、屈折率分布を同定する同定手段とを備えることを特徴とする屈折率分布の測定装置を提供することによって達成される。

また、本発明の上記目的は、前記収差解析手段は、デフォーカス面における前記スポット像の強度分布の測定値及びスポット像の計算モデルの重み付二乗残差で与えられる目的関数を最小化する手段を備えることを特徴とする屈折率分布の測定装置を提供することによって、効果的に達成される。

また、本発明の上記目的は、前記同定手段は、屈折率分布をパラメータ表現し、該パラメータを最小二乗問題を解くことにより同定する手段を備えることを特徴とする屈折率分布の測定装置を提供することによって、より効果的に達成される。

さらにまた、本発明の上記目的は、前記撮像手段は顕微鏡であることを特徴とする屈折率分布の測定装置を提供することによって、より効果的に達成される。

本発明の上記目的は、光源から出射された光束が被検レンズを通過して収束してスポット像を形成するスポット像形成ステップと、フォーカス面又は該フォーカス面の近傍で前記スポット像を撮像する撮像ステップと、前記光束に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルトステップと、前記複数のチルト角度で撮像された前記スポット像のそれぞれから収差解析を行う収差解析ステップと、屈折率分布を同定する同定ステップとを備えることを特徴とする屈折率分布の測定方法を提供することによって達成される。

また、本発明の上記目的は、前記収差解析ステップは、デフォーカス面における前記スポットの強度分布の測定値及びスポット像の計算モデルの重み付二乗残差で与えられる目的関数を最小化することを特徴とする屈折率分布の測定方法を提供することによって、効果的に達成される。

また、本発明の上記目的は、前記同定ステップは、屈折率分布をパラメータ表現し、該パラメータを最小二乗問題を解くことにより行われることを特徴とする屈折率分布の測定方法を提供することによって、より効果的に達成される。

さらにまた、本発明の上記目的は、前記撮像ステップは顕微鏡を用いて行われることを特徴とする屈折率分布の測定方法を提供することによって、より効果的に達成される。

本発明に係る屈折率分布の測定装置によれば、光源と、該光源からの光束を収束させてスポット像を形成させる被検レンズと、フォーカス面又は該フォーカス面の近傍でスポット像を撮像する撮像手段と、光束と被検レンズとの間に前記光束に対して相対的にチルトを与えるチルト手段と、複数のチルト角度で撮像された前記スポット像のそれぞれから収差解析を行う手段と、屈折率分布を同定する手段とを備えるので、マッチング液を用いることなく、収差解析から屈折率分布の測定を行うことができる。また、従来のＣＴ解析法に比べて、屈折率分布を少ない数のパラメータで表現することができるので、同定に必要な測定情報を低減させて、屈折率分布を測定することができる。

また、本発明に係る屈折率分布の測定方法によれば、光源から出射された光束が被検レンズを通過して収束してスポット像を形成するスポット像形成ステップと、フォーカス面又は該フォーカス面の近傍で前記スポット像を撮像する撮像ステップと、前記光束に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルトステップと、複数のチルト角度で撮像されたスポット像のそれぞれから収差解析を行う収差解析ステップと、屈折率分布を同定する同定ステップとを備えるので、マッチング液を用いることなく、収差解析から屈折率分布の測定を行うことができる。また、従来のＣＴ解析法に比べて、屈折率分布を少ない数のパラメータで表現することができるので、同定に必要な測定情報を低減させて、屈折率分布を測定することができる。

従来のマッチング液を用いた屈折率分布の測定装置の概略を示す図である。 従来のマッチング液を用いた屈折率分布の測定装置の概略を示す図である。 本発明に係る屈折率分布の測定装置の概略を示す構成図である。 本発明の光束に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルト手段の変更例を示す概略図である。 本発明の光束に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルト手段の他の変更例を示す概略図である。 本発明の光束に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルト手段のさらに別の変更例を示す概略図である。 所定の角度だけ回転したレンズを通過する光線の概観を示す図である。 レンズの形状及びソース点の概観を示す図である。 レンズの正確な屈折率分布を示す図である。 レンズの回転角が０［ｄｅｇ］のときの光路差の擬似測定値を示すグラフである。 適切化を行わない場合のレンズの屈折率の変化量の同定結果を示す図である。 適切化を行わない場合のレンズの屈折率分布の大きさに対する誤差の分布を示す図である。 適切化を行った場合のレンズの屈折率の変化量の同定結果を示す図である。 適切化を行った場合のレンズの屈折率分布の大きさに対する誤差の分布を示す図である。 偏心がある場合のレンズの屈折率分布を示す図である。 偏心があるレンズの適切化を行った場合の屈折率の変化量の同定結果を示す図である。 偏心があるレンズの適切化を行った場合の屈折率分布の大きさに対する誤差の分布を示す図である。 入射光の方向から光軸が傾けられた光学系のための座標系を定義する概略図である。 入射光の方向から光軸が傾けられた光学系の射出瞳形状を示す概略図である。 ローパスフィルタの円形の窓がスポット強度の空間スペクトルのいくつかの情報を除去する様子を示す概略図である。 収差係数を示すグラフである。 収差係数の誤差を示すグラフである。 デフォーカス面上において模擬的に作成したスポット像を示す図である。 デフォーカス面上において収束計算後のスポット像を示す図である。 収差解析手段の実験装置の概略図である。 実験により得られた収差係数を示すグラフである。 実験により得られた収差係数の１０回の測定の標準偏差を示すグラフである。 実験により観測したスポット像を示す図である。 実験により得られたスポット像の収束計算後のスポット像を示す図である。

以下、本発明に係る屈折率分布の測定装置及び測定方法について、図面を参照しながら詳細に説明する。なお、本発明に係る屈折率分布の測定装置及び測定方法は、以下の実施形態に限定されるものではなく、特許請求の範囲を逸脱しない範囲内において、その構成を適宜変更できることはいうまでもない。

図３に、本発明に係る屈折率分布の測定装置１（以下、「本測定装置１」）の概略構成図を示す。図３に示すように、本測定装置１は、光源２と、被検レンズ３と、撮像手段４と、チルト手段５と、収差解析手段６と、同定手段７とを具備して構成されている。

光源２は、スポット像Ｐを形成するための光束２１を出射するもので、半導体レーザが好適に用いられるが、この他にも種々の光源２を用いることができる。

被検レンズ３（以下では、単に「レンズ３」とも言う。）は、光源２から出射された光束２１を通過させて収束させ、スポット像Ｐを形成させるものである。この被検レンズ３としては、公知の種々のものを用いることができるが、被検レンズ３としてダブルレンズのものを用いる場合は、被検レンズ３の他にコリメートレンズを配設することが好ましい。

撮像手段４は、フォーカス面又はフォーカス面の近傍でスポット像Ｐを撮像する手段であり、顕微鏡やＣＣＤ等が用いられる。特に、撮像手段４として顕微鏡が用いられると、本測定装置１の製造コストが低くなるとともに、多くの微調整が不要となるという利点もある。ここで、フォーカス面とはスポット像Ｐが形成された焦点位置面であり、また本願発明で言うフォーカス面の近傍とは、λを光源２の波長、NAをスポット像Ｐの開口数としたときの、フォーカス面からλ／（NA）^２の５倍以内の位置を言う。

チルト手段５とは、光束２１に対して相対的に複数のチルト角度を与える手段であり、被検レンズ３を回転させることができるスウィベルステージ（回転台）等の種々のものを用いることができる。また、本測定装置１が備えるチルト手段５は、図１に示すような１枚の被検レンズ３を回転させる手段だけでなく、本測定装置１が、例えば図４に示すような２枚以上（図４では３枚）の被検レンズ３Ａ，３Ｂ，３Ｃで構成されている光学系を有する場合であっても、少なくとも１枚（図４では被検レンズ３Ｂ）の被検レンズ３をチルトさせることにより、光束２１に対して相対的に複数のチルトを与えることも可能である。あるいは図５に示すように、被検レンズ３を、複数枚（図５では３枚）の被検レンズ３Ｄ，３Ｅ，３Ｆを被検組みレンズ３´とし、この被検組みレンズ３´全体をチルトさせて光束２１に対して相対的に複数のチルト角度を与えることも可能であり、さらにまた、撮像手段４として顕微鏡が用いられた場合、図６に示すように、顕微鏡の対物レンズとして被検レンズ３を利用し、被検レンズ３をチルトさせることも可能である。さらにまた、上記のように被検レンズ３をチルトさせるのみならず、図示しないが、光源２をチルトさせて光束２１に対して相対的に複数のチルト角度を与えることも可能である。

収差解析手段６は、複数のチルト角度で撮像されたスポット像Ｐのそれぞれから収差解析を行う手段である。この収差解析手段６は、デフォーカス面におけるスポット像Ｐの強度分布の測定値及びスポット像Ｐの計算モデルの重み付二乗残差で与えられる目的関数を最小化する手段を備える。なお、収差解析を行う方法については後述する。

同定手段７は、被検レンズ３内の屈折率分布を同定する手段である。この同定手段７は、屈折率分布をパラメータ表現し、このパラメータを最小二乗問題を解くことにより同定する手段を備える。

本測定装置１は、上述し、図１に示すように構成することにより、マッチング液を用いることなく被検レンズ３内の屈折率分布を測定することができる。さらに、被検レンズ３内の屈折率分布を少ない数のパラメータで表現することができるので、従来のＣＴ解析法に比べ未知数の数を減らし、同定に必要な測定情報を低減させることもできる。

以下、本測定装置１に備えられる同定手段７及び収差解析手段６について、より詳細に説明する。まず、同定手段７としては、重調和方程式を利用する方法がある。すなわち、重調和方程式の基本解を基底とし、基本解の重ね合わせによりレンズ３内の屈折率分布を表すことにより、レンズ３内の屈折率分布をモデル化し、屈折率分布をパラメータ表現する方法である。これにより、レンズ３内の屈折率分布を少ない数のパラメータで表現することができるため、従来のＣＴ解析法に比べ未知数の数を減らし、同定に必要な測定情報を低減させることができる。

（レンズ３内の屈折率分布のモデル化）
まず、レンズ３内の屈折率分布
を下記の（数１）に示すように、レンズ３の屈折率の設計値である
と屈折率の微少な変化量分布
に分解する。

このとき、屈折率の変化量分布
は滑らかであると仮定できるので、下記の（数２）を満足する関数であるとモデル化する。
ここで、
は適当に配置した
個のソース点であり、
はソース点
における集中ソースである。また、
はDiracのデルタ関数である。

（数２）の解は重調和方程式の基本解
の重ね合わせにより（数３）で表される。
ここで、
は屈折率の変化量分布のオフセット量である。

基本解
は２次元問題では下記の（数４）、（数５）、（数６）となる。
ここで、
はそれぞれｘ軸、ｙ軸方向の代表長さを表す。

従って、上記（数３）は、下記の（数７）、（数８）、（数９）のように書き換えることができる。
ここで、
はベクトル、添え字
は転置を示す（以下、同様）。

（数７）〜（数９）より、各ソース点における集中ソース
および屈折率の変化量分布のオフセット量
をパラメータとして与えることによって、レンズ３の領域内の屈折率の変化量分布
を求めることができる。

（レンズ３内を通過する光線の近似）
レンズ３内に屈折率分布が存在すると、そこを通過する光線は曲線を描く。一方、プラスチックレンズ３内に発生する屈折率分布の大きさは１０^−５程度である。厚さが数［ｍｍ］のレンズ３では、レンズ３内の光線が直線からずれることにより光路長の変化は、レンズ３内に屈折率分布が発生することによる光路長の変化に比べ１／１００程度である。よって、本測定装置１ではレンズ３内の光線を直線で近似し、屈折率分布による光路長の変化のみを考慮する。これにより、後述する逆解析の目的関数の計算を簡便にし、最適化問題を効率化し、最小二乗法で解ける形に変形することができる。

図７に所定の角度だけ回転したレンズ３を通過する光線ｒの概観を示す。図７に示すように、ｘｙ平面上においてレンズ３が回転角
にあるとする。これにｘ軸に平行に入射した光線ｒが点
を通りレンズ３の外へ射出するとする。前述したように、本測定装置１ではレンズ３内の光線ｒを直線で近似することができるので、光線ｒは
間および
間をそれぞれ直線で結ぶように進むとする。

を数値計算する光線ｒの本数とし、光線ｒの初期位置
まで変化させたとき、レンズ３の入射点
および射出点
がこれと対応するとする。このとき、
の座標はレンズ３の形状および屈折率の設計値
を与えることで、解析的あるいは簡単な光線追跡により求めることができる。

（逆問題の設定）
をサンプル点とする。波面収差の測定値からサンプル点
で、レンズ３内に屈折率分布がある場合とない場合との光路差
が得られたとする。この光路差
の値をもとに集中ソース
および屈折率の変化量分布のオフセット量
を最小二乗法を用いて同定する。

点
における波面収差の計算値
は光路長の差となるため、集中ソース
および屈折率の変化量分布のオフセット量
が与えられたとき、点
における波面収差の計算値
は下記の（数１０）で得られる。
ここで、
は空気中の屈折率、
は光線ｒに沿った積分を示す。

この（数１０）は、上記（数１）、（数７）〜（数９）より下記の（数１１）、（数１２）、（数１３）のように書き換えられる。
ここで、点
の座標を
点
の座標を
とする。
ここで、点
の座標を
の座標を
とする。

（数１１）〜（数１３）は、上記（数７）〜（数９）より下記の（数１４）のようになる。

この（数１４）の右辺の積分項は既知関数の積分のため、適当な数値積分法を用いて計算できる。従って、上記（数１４）は下記の（数１５）及び（数１６）のように表せる。
ここで、
はレンズ３の設計値から求められる既知ベクトルである。
ここで、
はレンズ３の設計値から求められる既知ベクトルである。

レンズ３の回転角
までとし、測定のサンプル点数を
とするとき、測定値との残差にＴｉｋｈｏｎｏｖの適切化項を加えた目的関数
を下記の（数１７）のように定義する。

レンズ３の回転角によってはレンズ３表面での全反射等により入射した光線ｒがすべて射出されないため、
の変数となる。従って、下記の（数１８）のように行列
を定義し、また下記の（数１９）のようにベクトル
を定義する。

上記
により、
は下記の（数２０）のように表される。

を最小にする
は、最小二乗法より下記の（数２１）のようになる。

以上より
を求めることによってレンズ３内の屈折率の変化量分布を同定することができる。すなわち、レンズ３の屈折率分布を同定し、レンズ３内の屈折率分布を測定することができる。

次に、数値解析例を示すことにより、本測定装置１が備える同定手段７の有効性を確認する。
（屈折率分布に偏心がない場合）
（問題設定）
図８にレンズ３の形状及びソース点の概観を示す。図８に示すようなレンズ３を考え、レンズ３の屈折率分布のモデル化に用いるソース点を４９点配置する。このレンズ３の屈折率の設計値を１．４９、ｘ軸方向の代表長さ
をレンズ３の厚さ４．９［ｍｍ］、ｙ軸方向の代表長さ
をレンズ３の径１１．４［ｍｍ］とする。レンズ３の形状は片凸であり、凸面の形状は下記の（数２２）で表される。
ここで、面の頂点曲率
コーニック係数
非球面係数
は以下の通りである。

図９にレンズ３内の正確な屈折率分布を示す。レンズ３の内部に図９に示す屈折率の変化量分布
が存在するとする。この
は下記の（数２３）で設定した。
ここで
とする。

レンズ３の回転角
を−３０［ｄｅｇ］から３０［ｄｅｇ］まで１［ｄｅｇ］ごとにとり、収差の側転点数を２０１、入射光の波長をλ＝６５０［ｎｍ］とした。すなわち、光束２１に対して相対的に複数のチルト角度を与え、各チルト角度におけるスポット像Ｐをそれぞれ本測定装置１の撮像手段４にて撮影した。

各サンプル点
における屈折率分布がある場合と無い場合の光路差を光線追跡により求める。この計算結果に±２．５［ｍλ］のランダムノイズを加え、２０次の多項式で展開し高周波成分を取り除いたものを擬似的な測定値とする。一例として、レンズ３の回転角が０［ｄｅｇ］のときの光路差の擬似測定値を図１０に示す。

このようにして得られた擬似測定値を用いてレンズ３の屈折率の変化量（レンズ３の屈折率分布）を同定し、レンズ３内の屈折率分布を測定する。

（同定結果）
Ｔｉｋｈｏｎｏｖの適切化パラメータ
を０．０、すなわちＴｉｋｈｏｎｏｖの適切化を行わない同定手法による屈折率の変化量の同定結果を図１１に、この場合の屈折率分布の大きさ
に対する誤差の分布を図１２に示す。図１２より、誤差は最大で約７［％］となっている。これは、従来手法の精度が約５［％］程度であるのに比べわずかに大きい。

従って、Ｔｉｋｈｏｎｏｖの適切化を行うことで同定精度の向上を図る。すなわち、適切化パラメータ
を０．０００１とした場合の同定手法による屈折率の変化量の同定結果を図１３に、この場合の屈折率分布の大きさ
に対する誤差の分布を図１４に示す。図１４より、Ｔｉｋｈｏｎｏｖの適切化を行うと、同定精度が約４［％］程度であり、従来手法と同程度の精度で屈折率分布が得られることが確認された。

（屈折率分布に偏りがある場合）
（問題設定）
図１５に、偏心がある場合のレンズ３の屈折率分布を示す。図１５に示すように屈折率の変化量分布
がｙ軸方向へ偏心しているとする。この
は、下記の（数２４）及び（数２５）で設定した。

その他の問題設定を、屈折率に偏りがない場合の問題設定と同様にし、擬似測定値を計算した後、これを基にレンズ３の屈折率の変化量分布を同定する。Ｔｉｋｈｏｎｏｖの適切化パラメータ
も前記と同様に０．０００１とした。

（同定結果）
本測定装置１による屈折率の変化量の同定結果を図１６に、屈折率分布の大きさ
に対する誤差の分布を図１７に示す。図１７より、レンズ３の屈折率の変化量分布に偏りがある場合に対しても、本測定装置１の同定手段７は同定精度が約４［％］程度であり、従来手法と同程度の精度であることが確認された。

このように、本測定装置１に同定手段７を備えることにより、逆解析によってレンズ３内の屈折率分布を測定することができるようになる。特に、屈折率分布をパラメータ表現し、このパラメータを最小二乗問題を解くことにより同定することにより、屈折率分布を少ない数のパラメータで表現することができる。従って、従来のＣＴ解析法に比べ未知数の数を減らし、同定に必要な測定情報を低減させることができ、これによりマッチング液の使用および数多くの回転角における収差測定が不要となり、レンズ３の視野角の範囲の回転角における収差の測定情報から屈折率分布の同定を可能とした。

さらに、数値解析例により、ノイズをもつ測定情報から従来手法と同程度の精度で、レンズ３内における屈折率分布の偏心の有無に関わらず屈折率分布の同定が可能であることを示した。

次に、本測定装置１が備える収差解析手段６について説明する。本測定装置１に備えられる収差解析手段６は、上述したように、デフォーカス面におけるスポット像Ｐの強度分布の測定値及びスポット像Ｐの計算モデルの重み付二乗残差で与えられる目的関数を最小化する手段であり、さらに光軸外のスポット像Ｐからの収差解析を行うことができる手法である。

この手法では、まずレンズ３に入射する平行光に対してレンズ３の光軸を傾けた光学系を考える。このとき、予めこの光学系における射出瞳形状を評価し、空間スペクトル（＝瞳関数）の台の形状をこの射出瞳形状でモデル化する。また、測定したスポット像Ｐにローパスフィルタを施すことにより、高周波ノイズを除去する。このとき、カットオフ周波数を空間スペクトルの台の形状から決定する。これにより、光軸外のスポット像Ｐのように、一般に射出瞳の形状が円形でない光学系であっても、高精度かつ高効率に収差解析を行うことができる。

（光軸外結像における射出瞳形状）
図１８に、入射光の方向から光軸ｌが傾けられた光学系のための座標系を定義する概略図を示す。入射光の方向をｚ軸とし、図１８のようにｚ軸に垂直に立てた面
を考える。この面に対し、
面上で
軸回りに
軸を
だけ回転した軸を
とする。
面に対して光軸ｌが垂直となるようにレンズ３を配置する。

このレンズ３へｚ軸に平行な光線束８が入射すると、これらの光線束８はレンズ３通過後に近似的に１点で交わる。この点において、ｚ軸に垂直な像面９を立て、像面９の中心を原点
とした座標系
を考える。このとき、像面９側から見た絞りの像を射出瞳と呼ぶ。特に、図１８の光学系においては、
面へのレンズ３の投影像が射出瞳である。そこで、
面を射出瞳面と定義する。以下では、これらの座標系をレンズ３の半径で規格化する。

レンズ３を傾けた場合の見かけ上の焦点距離
（Effective Focul Length）、及び
方向の開口数
（Numerical Aperture）は、レンズ３の開口数を
として簡単な幾何計算により次の（数２６）及び（数２７）のように求められる。なお、添え字
はレンズ３を角度
だけ傾けたことを表している。

このように
を用いると、射出瞳面上の点
座標系上では
となる。同様に、射出瞳面から角度
だけ傾けた面上の点
は、
となる。

ここで、射出瞳面から角度
だけ傾けた面上の点
は、
をレンズ３の縁上の点であるとすると、媒介変数
を用いて、下記の（数２８）のようにおくことができる。

さらに、
を延長して射出瞳面と交わる点であるとすると、下記の（数２９）で表される
の軌跡が射出瞳の縁を表す。

ただし、
であり、下記の（数３０）で与えられる。

よって、図１９で示される入射光の方向から光軸が傾けられた光学系の射出瞳形状のように、光線の通過する領域
すなわち射出瞳形状は上記（数２９）及び（数３０）から
を消去することにより下記の（数３１）で与えられる。
ここで、
はそれぞれ楕円の長軸半径、短軸半径、
方向の平行移動量を表し、下記の（数３２）である。

（光軸外スポット像Ｐのモデル化）
スポット像Ｐからの収差解析手法では、観測したスポット像Ｐの強度分布からスポット像Ｐの空間スペクトルを逆解析により同定する。このとき、空間スペクトルが複素振幅分布であるのに対し、スポット像Ｐは位相情報が欠落した強度分布である。このため逆解析を行うにあたって、欠落した情報を補うためにデフォーカス像を複数枚用いる。

フォーカス面における複素振幅分布を
これに対する任意のデフォーカス面の複素振幅分布を
とする。ここで、
はデフォーカス面に対する添え字とする。また、波面収差を
とする。このとき、これらの間で以下の（数３３）及び（数３４）に示す関係式が成り立つ。

また、
はそれぞれ
の空間スペクトルとする。また、
は空間周波数の極座標系座標値を最大空間周波数
で規格化した極座標系座標値である。また、（数３４）中の
は光伝播を表す式であり、下記の（数３５）で与えられる。
ここで、
はデフォーカス距離である。

このとき、デフォーカス面のスポット像Ｐの複素振幅分布は下記の（数３６）で与えられる。

これまでの定式は、従来と同様であるが、レンズ３の結像系においては、射出瞳面上の複素振幅分布とスポット像Ｐの空間スペクトルが等しいと仮定できるため、光軸外スポット像Ｐにおける空間スペクトルの台の形状は、射出瞳形状と同じ楕円形となる。つまり、光軸外スポット像Ｐに対しては上記（数３６）における積分領域
が上記（数３１）で示す楕円形となる。

このとき、（数３６）は、下記の（数３９）のようになる。
ただし、
はそれぞれ
の極座標系座標値である。

次に、空間スペクトル
を下記の（数４０）〜（数４２）のように、Zernike多項式で展開する。なお、
は展開級数である。

Zernike多項式の基底関数は直行系を成すので、
との間の関係が下記の（数４３）及び（数４４）により与えられる。

また、Zernike多項式の基底関数のフーリエ変換
は下記の（数４５）で与えられる。

つまり、デフォーカス面のスポット像Ｐの複素振幅分布は、基底関数
を用いて下記の（数４６）で与えられる。

以上のように空間スペクトルを解析的にフーリエ変換可能な基底関数を用いて級数展開することにより、（数３９）の計算を数値的に行う必要がなくなり、計算を効率化することができる。

デフォーカス面の空間スペクトル分布を表す係数
を並べたベクトルを
それに対応する基底関数
を並べたマトリックスを
とする。また、
を空間的に離散化したベクトルを
とする。このとき、上記（数４６）の離散表現は下記の（数４７）となる。

また、フォーカス面の空間スペクトル分布を表す係数
を並べたベクトルを
とすると、上記（数４３）は
との間の線形関係を表しており、この線形変換マトリックスを
とすると、（数４３）は下記の（数４８）で表すことができる。

（数４７），（数４８）より、係数ベクトル
とフォーカス面スポット像Ｐの複素振幅分布を並べたベクトル
との関係が下記の（数４９）で与えられる。

（数４９）により、収差
仮定されると、
面におけるスポット像Ｐの複素振幅分布の離散表現が効率的に計算可能となる。また、
とデフォーカス面におけるスポット像Ｐの強度分布
の間の関係は下記の（数５０）で与えられる。

よって、スポット像Ｐの離散分布
の間の関係は下記の（数５１）となる。
ここで、添え字
はベクトルの
番目の成分を表す。

（光軸外スポット像Ｐからの収差解析手法）
測定したデフォーカス面におけるスポット像Ｐの強度分布
から、フォーカス面の空間スペクトルを表す提示にZernike係数
を求める逆問題を定式化する。

測定したデフォーカス面におけるスポット像Ｐの強度分布とスポット像Ｐの計算モデルの二乗残差
は下記の（数５２）で与えられる。ただし、
は重み行列である。
ＢＦＧＳ法などの非線形計画法による上記（数５２）を最小化することで、フォーカス面の空間スペクトルを表す提示のZernike係数
を同定する。

求めた
から下記の（数５３）、（数５４）の関係式を用いて、波面収差
及び波面収差係数
を求める。
ここで、
の組み合わせを適当な順に並べた添え字である。このとき収差係数
はFringe Zernike係数の順に並べるのが一般的である。従って、本明細書においても、収差係数
をFringe Zernike係数の順に並べる。

（光軸外スポット像Ｐに対するローパスフィルタ）
ＣＣＤなどの撮像手段４を用いて観測したスポット像Ｐには高周波な信号ノイズが含まれると考えられる。そこで、従来手法においては、観測したスポット像Ｐにローパスフィルタを施すことで、高周波ノイズを除去している。このとき、スポット像Ｐに含まれる最大空間周波数は
であり、これより大きい周波数成分は測定ノイズであると考えられるため、ローパスフィルタのカットオフ周波数を方向
に依らず
で一定としている。しかし、光軸外のスポット像Ｐの空間スペクトルの台の形状は、下記の（数５５）で与えられる楕円形になるため、方向
に依って最大空間周波数
が変化する。ただし、
はスポット像Ｐの強度分布に対する空間周波数座標系を
で規格化した直交座標系座標値である。

このため、このままカットオフ周波数でローパスフィルタを施すと、図２０に示すように、本来スポット像Ｐが有する周波数特性の一部を失う可能性がある。

そこで、本測定装置１に備える収差解析手段６では、ローパスフィルタの通過帯域を上記（数５５）で与えられる楕円形とする。これにより、本来スポットが有する周波数特性を失うことなく、高周波ノイズを除去することができる。

（数値シミュレーションによる誤差の検証）
（解析条件）
解析対象（すなわち、被検レンズ３）は
の携帯電話搭載用カメラレンズとする。また、波長は６６０［ｎｍ］とし、レンズ３の傾角
として数値シミュレーションを行う。Zernike多項式はフォーカス面、デフォーカス面ともに低次の３７項を用いる。

まず、以下のように模擬的にスポット像Ｐを作成する。１８０倍の顕微鏡対物レンズを解して２５６階調（８ｂｉｔ）のＣＣＤで撮影することを想定し、フォーカス面でのスポット像Ｐの中心強度を最大強度である２５５とする。焦点位置から−１６２００［ｎｍ］及び７５００［ｎｍ］デフォーカスさせた像を用い、これに±０．５階調のランダムノイズと０．５階調のバックグラウンドレベルのオフセット値を与える。

作成した像に対し、ローパスフィルタを施した後、二次リングをおおよそカバーできる範囲を解析領域とし、これを５９×５９点に離散化して解析を行う。

また、重み行列
は下記の（数５６）で定める。
ここで、
は本発明者の経験により０．０２とする。

（解析結果）
上述した収差解析手段６により得られた収差係数
を図２１に示し、また得られた収差係数の誤差を図２２に示す。また、デフォーカス面において模擬的に作成したスポット像Ｐの強度分布を図２３に示し、さらにデフォーカス面における収束計算後のスポット像Ｐを図２４に示す。なお、図２３及び図２４のそれぞれの軸は２５５階調に規格化された無次元強度である。

図２３及び図２４から、収束計算後の２枚のデフォーカス像はともに、分布全体に渡って模擬的に作成したスポット像Ｐとよく一致しているが、ピーク付近でわずかにずれが生じていることが確認された。これに伴い、収差係数の誤差が最大で１０［ｍλ］程度発生していることが確認された。

（実験による誤差の検証）
（実験条件）
実験装置の概観を図２５に示す。光学系は顕微鏡光学系となっている。チルト手段５により、被検レンズ３をチルトさせることができる。解析対象は、
の携帯電話搭載用カメラレンズとする。また、波長は６５０［ｎｍ］とし、レンズ傾角が８［degree］として解析を行う。Zernike多項式はフォーカス面、デフォーカス面ともの低次の３７項を用いる。

まず、１８０倍の顕微鏡を用いてスポット像Ｐを取得する。この時、焦点位置から−１６２００［ｎｍ］及び７５００［ｎｍ］デフォーカスさせたスポット像Ｐを取得する。
取得した像に対し、ローパスフィルタを施した後、二次リングをおおよそカバーできる範囲を解析領域とし、これを５９×５９点に離散化して解析を行う。
また、重み行列は、上述した「数値シミュレーションによる誤差の検証」の数値解析で用いたものと同じに設定した。

（実験結果）
得られた収差係数
を図２６に、収差係数の１０回の測定の標準偏差を図２７に示す。また、デフォーカス面上において観測したスポット像Ｐを図２８に、デフォーカス面上において観測したスポット像Ｐの収束計算後のスポット像Ｐを図２９に示す。なお、図２８及び図２９のそれぞれの軸は２５５階調に規格化された無次元強度である。図２８及び図２９から、収束計算後の２枚のデフォーカス像はともに、分布全体に渡って測定したスポット像Ｐとよく一致しているが、上述した数値解析と同様に、ピーク付近でわずかにずれが生じていることが確認された。これに伴い、収差係数の誤差が最大で１０［ｍλ］程度発生したと考えられる。一方で、図２２から分かるように、１０回の計測における標準偏差は係数全域にわたって１［ｍλ］以内に収まっており、十分な精度が得られることを確認できた。

このように、本測定装置１に備える収差解析手段６は、予めこの光学系における射出瞳形状を評価し、空間スペクトルの台の形状をこの射出瞳形状でモデル化し、また、スポット像Ｐの空間スペクトルを級数展開することで、計算の効率化を行い、さらに、光軸外スポット像Ｐに適用可能な新たなローパスフィルタを施す手法である。これにより、射出瞳の形状が円形でない光学系（楕円形である光学系）であっても、高精度かつ高効率に収差解析を行うことができるようになる。

このように、本測定装置１によれば、光源２と、該光源２からの光束２１を収束させて前記スポット像Ｐを形成させる被検レンズ３と、フォーカス面又は該フォーカス面の近傍で前記スポット像Ｐを撮像する撮像手段４と、光束２１と被検レンズ３との間に光束２１に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルト手段５と、複数のチルト角度で撮像されたスポット像Ｐのそれぞれから収差解析を行う収差解析手段６と、屈折率分布を同定する同定手段７とを備えるので、マッチング液を用いることなく、収差解析から屈折率分布の測定を行うことができる。また、従来のＣＴ解析法に比べて、屈折率分布を少ない数のパラメータで表現することができるので、同定に必要な測定情報を低減させて、屈折率分布を測定することができる。

次に、本発明に係る屈折率分布の測定方法について説明する。本発明に係る屈折率分布の測定方法（以下、「本測定方法」と言う。）は、スポット像形成ステップと、撮像ステップと、チルトステップと、収差解析ステップと、同定ステップとを備える。すなわち、
すなわち、本測定方法は、上述した本測定装置１を用いて測定され、上述したスポット像形成ステップと、撮像ステップと、チルトステップと、収差解析ステップと、同定ステップとを行うことにより、レンズ３内の屈折率分布を測定する方法である。

まず、本測定方法におけるスポット像Ｐ形成ステップは、上述した本測定装置１の光源２と被検レンズ３とにより行われるステップで、光源２から出射された光束２１を、被検レンズ３を通過させて収束させてスポット像Ｐを形成するステップである。

次に、撮像ステップとは、スポット像形成ステップで形成されたスポット像Ｐを、本測定装置１の撮像手段４で撮像するステップである。このとき、スポット像Ｐはフォーカス面又はフォーカス面の近傍で撮像される。なお、フォーカス面とは、スポット像Ｐが形成された焦点位置面であり、フォーカス面の近傍とは、光源２の波長をλとし、スポット像Ｐの開口数をNAとしたとき、フォーカス面からλ／（NA）^２の５倍以内の位置を言う。

チルトステップとは、上述した本測定装置１のチルト手段５により行われるステップで、光束２１に対して相対的に複数のチルト角度を与えるステップである。

収差解析ステップは、チルトステップにて与えられた複数のチルト角度のそれぞれにおいて撮像ステップにて撮像されたスポット像Ｐのそれぞれから収差解析を行うステップであり、本測定装置１の収差解析手段６で行われる。この収差解析ステップは、デフォーカス面におけるスポット像Ｐの強度分布の測定値とスポット像Ｐの計算モデルの重み付二乗残差で与えられる目的関数を最小化して行われると、本測定方法をより高精度かつ高効率で行うことができるので好ましい。なお、収差解析ステップの収差解析方法は、上述の通りである。

また、同定ステップとは、屈折率分布を同定するステップで、本測定装置１の同定手段７で行われるステップである。本測定方法における同定ステップは、屈折率分布をパラメータ表現し、このパラメータを最小二乗問題を解くことにより行われると、屈折率分布を少ない数のパラメータで表現することができるので、従来のＣＴ解析法に比べ未知数の数を減らし、同定に必要な測定情報を低減させることができる。これによりマッチング液の使用および数多くの回転角における収差測定が不要となり、レンズ３の視野角の範囲の回転角における収差の測定情報から屈折率分布の同定を可能となる。なお、同定ステップの同定方法については、上述の通りである。

上述したステップを備える本測定方法は、まず、スポット像形成ステップにてスポット像Ｐを形成し、このスポット像Ｐを撮像ステップにて撮像する。その後、チルトステップにて光束２１と被検レンズ３との間で光束２１に対して相対的にチルト角度を与える。チルト角度が与えられた後、再度スポット像形成ステップにて、与えられたチルト角度におけるスポット像Ｐを形成し、このスポット像Ｐを撮像ステップにて撮像する。なお、本明細書では、その一例として上述したように−３０〜３０［ｄｅｇ］まで１［ｄｅｇ］ごとのチルト角度をチルトステップにて与え、各チルト角度においてスポット像形成ステップでスポット像Ｐを形成し、チルト角度ごとのスポット像Ｐを撮像ステップにて撮像するというステップを繰り返す。チルト角度ごとのスポット像Ｐを撮像ステップにて撮像した後、収差解析ステップにて撮像された複数のスポット像Ｐのそれぞれから収差解析を行い、同定ステップにて同定して被検レンズ３内の屈折率分布を測定する。

このように、上述した本測定装置１を用い、スポット像形成ステップと、撮像ステップと、チルトステップと、収差解析ステップと、同定ステップとを行う本測定方法によれば、マッチング液を用いることなく、収差解析から屈折率分布の測定を行うことができる。また、従来のＣＴ解析法に比べて、屈折率分布を少ない数のパラメータで表現することができるので、同定に必要な測定情報を低減させて、屈折率分布を測定することができる。

１ 本発明に係る屈折率分布の測定装置
２ 光源
２１ 光束
３，３Ａ〜３Ｆ，１１０ 被検レンズ（レンズ）
４ 撮像手段
５ チルト手段
６ 収差解析手段
７ 同定手段
８ 光線束
９ 像面
１１１ レーザ光
１１２ マッチング液
１１３ 干渉計
Ｐ スポット像
ｒ 光線
ｌ 光軸

Claims (8)

1. 光源と、
   該光源からの光束を収束させてスポット像を形成させる被検レンズと、
   フォーカス面又は該フォーカス面の近傍で前記スポット像を撮像する撮像手段と、
   前記光束と前記被検レンズとの間に前記光束に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルト手段と、
   前記複数のチルト角度で撮像された前記スポット像のそれぞれから収差解析を行う収差解析手段と、
   屈折率分布を同定する同定手段と、
   を備えることを特徴とする屈折率分布の測定装置。
2. 前記収差解析手段は、デフォーカス面における前記スポット像の強度分布の測定値及びスポット像の計算モデルの重み付二乗残差で与えられる目的関数を最小化する手段を備えることを特徴とする請求項１に記載の屈折率分布の測定装置。
3. 前記同定手段は、屈折率分布をパラメータ表現し、該パラメータを最小二乗問題を解くことにより同定する手段を備えることを特徴とする請求項１又は２に記載の屈折率分布の測定装置。
4. 前記撮像手段は顕微鏡であることを特徴とする請求項１ないし３のいずれかに記載の屈折率分布の測定装置。
5. 光源から出射された光束が被検レンズを通過して収束してスポット像を形成するスポット像形成ステップと、
   フォーカス面又は該フォーカス面の近傍で前記スポット像を撮像する撮像ステップと、
   前記光束に対して相対的に複数のチルト角度を与えるチルトステップと、
   前記複数のチルト角度で撮像された前記スポット像のそれぞれから収差解析を行う収差解析ステップと、
   屈折率分布を同定する同定ステップと、
   を備えることを特徴とする屈折率分布の測定方法。
6. 前記収差解析ステップは、デフォーカス面における前記スポットの強度分布の測定値及びスポット像の計算モデルの重み付二乗残差で与えられる目的関数を最小化することを特徴とする請求項５に記載の屈折率分布の測定方法。
7. 前記同定ステップは、屈折率分布をパラメータ表現し、該パラメータを最小二乗問題を解くことにより行われることを特徴とする請求項５又は６に記載の屈折率分布の測定方法。
8. 前記撮像ステップは顕微鏡を用いて行われることを特徴とする請求項５ないし７のいずれかに記載の屈折率分布の測定方法。