JP2007300004A - 露光装置および方法ならびにデバイス製造方法 - Google Patents

Abstract

【課題】 計測されたマークの位置ずれ量を近似する線形な関係式を求める新規な露光装置および方法ならびにデバイス製造方法の提供。
【解決手段】 基板を露光する露光装置は、前記基板を保持し、かつ移動する基板ステージと、前記基板ステージに保持された基板上のマークの位置ずれ量を計測する計測器と、前記計測器により計測された複数の位置ずれ量を近似する線形な関係式を求める演算器と、前記基板上の被露光領域の露光のため、前記関係式に基づく目標位置にしたがって前記基板ステージの位置を制御する制御器とを有し、前記演算器は、前記計測器により計測されたマークの位置ずれ量と前記関係式により近似されるマークの位置ずれ量との差が予め定めた許容範囲外となるマークの数が最小となるように、前記関係式を整数計画法により求めることを特徴とするものとする。
【選択図】 図６

Description

本発明は、露光装置および方法ならびにデバイス製造方法に関する。

従来、半導体素子等のデバイスを製造するに際しては、露光装置を用い、レチクルに形成された回路等のパターンを、投影光学系を介してウエハ上に転写する。ところで、露光処理を終えたウエハは様々な化学的処理や物理的処理を経た後に、再び露光装置に投入される。露光装置は、ウエハ上のアライメントマークの位置をスコープ（顕微鏡ともいう）で計測する。そして、上述の処理およびウエハチャッキング等に伴うウエハ上の被露光領域（ショットともいう）の位置ずれ量（被露光領域群全体の並進、倍率および回転ならびに被露光領域内の並進、倍率および回転など、位置ずれ量の線形成分）を近似する関係式のパラメータ（係数）を算出する。

たとえ、転写後に行われるエッチング、ＣＶＤ（ケミカル・ベイパー・デポジション）、ＣＭＰ（ケミカル・メカニカル・ポリッシング）などの処理によって被露光領域の配列に歪みが生じても、その歪みが露光装置におけるアライメント処理によって補正できる線形成分であれば問題は無い。

ところが、転写後に行われる処理によって、ウエハ表面上に転写されたパターンの配列や形状が非線形に歪んでしまい、線形成分だけに基づくアライメント処理では十分な重ね合わせ精度が得られない場合がある。

そこで、アライメントマークの計測箇所を増やし、非線形成分の補正も同時に行う方法が提案された。しかし、計測対象マーク数の増加に伴ってマークの位置ずれ量（位置偏差ともいう）の計測値に異常値が検出される確率も増加する。このとき、マーク計測値に異常があれば、かえって重ね合わせ誤差を悪化させる。そのため、異常値を検出して除去する方法が提案されている。特許文献１は、アライメント計測に用いるサンプルショットから異常箇所を除去して、残った計測箇所のずれの線形および非線形成分を、最小自乗法を用いて算出する方法を示している。

しかし、ここで挙げた先行技術は、上述の問題を回避する方法を提案しているが、後述のように必ずしも最適な解を導いていない。また、非線形成分を計測するには、ウエハ毎に多くのアライメントマークを計測する必要があり、スループットを低下させてしまう問題があった。

一方、同じプロセスであれば非線形成分は類似している。そのため、ウエハ毎に行われるアライメント計測は、変動の無視できない線形成分に限定するのが一般的である。そして、変動の少ないショット配列の非線形な歪みやショット形状の非線形な歪みは、予め行った計測から統計的に求めてアライメント処理に利用する。例えば、予め、図１のようにウエハ上に形成された各ショット１について複数個形成された重ね合わせマーク２のずれを顕微鏡で計測する。そして、実際の露光処理においては、当該計測に基づき、重ね合わせ誤差を小さくするように、ウエハステージの目標位置や投影光学系のディストーション等を補正する。

しかし、著しく配列ずれの大きいショットがある場合、このショットも含めて最小自乗法による位置偏差の近似を行うと、重ね合わせ誤差は均等に劣化し、場合によっては多数の半導体チップが不良品となる場合がある。むしろ、不良チップを少なくするには、ずれの大きい異常ショットを無視して補正量を決定した方が良い。これは、先に挙げたアライメント補正が抱えていた問題と同様である。

しかるに、アライメント補正と同様に重ね合わせ誤差の大きい計測箇所を異常箇所として除く方法が考えられる。ところが、当該除外処理のためには、計測箇所の総数がｎ個で、除外すべき計測箇所の数がｍ個の場合、ｎＣｍの組合せ数についての演算処理が必要となる。ｎとｍの数が大きくなるとその組合せ数は急激に多くなり、除外すべき計測箇所の数がごく少ない場合にしか適用できない。また、上述の特許文献１の方法は、必ずしも最適な解を提示していない。

ここで、異常値除去を行わなわず、最小自乗法を用いてショットの位置偏差を近似する方法について説明する。当該方法の補正精度を把握するため、プロセス要因によって発生した非線形な配列の歪みを計測した。実際には図２に示す各ショット１の中心にある重ね合わせマーク２を計測した。計測されたｘ方向とｙ方向のずれ量を図３のような格子状マップ３に表示した。非線形で複雑な配列の歪み４が示されている。

そして、重ね合わせ誤差を定量的に把握するため、ｘ方向、ｙ方向のずれ量をそれぞれ図４の曲線５、６に示した。さらに、曲線５、６のうち絶対値の大きい方を選んだ曲線７を描き、重ね合わせ誤差が許容値を超える不良な計測箇所に丸印８を付け、その個数を図中に示した。例えば、許容値が１０ｎｍであるとした図４の例では、不良な計測箇所が計測箇所全１５７個中に４７個あった。

次に、露光装置でショット配列を補正可能なモードを、全計測箇所に一定のシフトを与える０次モード、ウエハ上の計測位置座標ｘ、ｙに比例するシフトを与える１次モード、ｘ^２、ｘｙ、ｙ^２に比例するシフトを与える２次モードの合計６つのモードとし、各モードの比例係数を単純な最小自乗法から算出した。このとき、当該係数から算出されたショットの重ね合わせ誤差の、計測された重ね合わせ誤差からのずれ量を図５に示す。

曲線９、１０は、それぞれｘ方向、ｙ方向の当該ずれ量であり、曲線９、１０のうち絶対値が大きい方を選んだものが曲線１１である。ここで、当該ずれ量が許容値を超える不良な計測箇所１２は１６個に減少した。
特開平０７−２２６３５９号公報

アライメント計測により線形および非線形成分を求める方式も、重ね合わせ検査等により事前に非線形成分を求める方式も、アライメントマークの位置ずれ量または重ね合わせのずれ量とそれらに対する近似値との差分の自乗和が最小になるよう、最小自乗法によって当該ずれ量を近似していた。しかし、最適なアライメント処理とは、ウエハ内の良品チップ数をできるだけ多くすることである。つまり、最小自乗法は準最適な近似解を導いても、必ずしも最適な近似解を提供するものではない。たとえ、大きく外れた一部の計測値を除外することで、最小自乗法の解が最適解に近づいたとしても、それはあくまで準最適な近似解に過ぎず、最適な近似解ではない。

できれば、重ね合わせ誤差の許容条件に対し、これを満足する計測箇所の数が最多となるように、被露光領域の位置補正量を算出したい。さらに望ましくは、前記許容条件を満たす計測箇所の重ね合わせ誤差の最大絶対値を最少にすることで、被露光領域の位置補正時の誤差に対してもロバストな最適近似解を得たい。

本発明は、上記の課題認識を契機としてなされたものであり、計測されたマークの位置ずれ量を近似する線形な関係式を求める新規な露光装置および方法ならびにデバイス製造方法の提供を例示的目的とする。

本発明の第１の側面は、基板を露光する露光装置であって、
前記基板を保持し、かつ移動する基板ステージと
前記基板ステージに保持された基板上のマークの位置ずれ量を計測する計測器と、
前記計測器により計測された複数の位置ずれ量を近似する線形な関係式を求める演算器と、
前記基板上の被露光領域の露光のため、前記関係式に基づく目標位置にしたがって前記基板ステージの位置を制御する制御器とを有し、
前記演算器は、前記計測器により計測されたマークの位置ずれ量と前記関係式により近似されるマークの位置ずれ量との差が予め定めた許容範囲外となるマークの数が最小となるように、前記関係式を整数計画法により求めることを特徴とする露光装置である。

本発明の第２の側面は、基板を露光する露光方法であって、
基板ステージに保持された基板上の複数のマークの位置ずれ量を計測する計測ステップと、
前記計測ステップで計測された複数のマークの位置ずれ量を近似する線形な関係式を求める演算ステップと、
前記基板上の被露光領域の露光のため、前記演算ステップ求められた関係式に基づく目標位置にしたがって前記基板ステージの位置を制御する制御ステップとを有し、
前記演算ステップにおいて、前記計測ステップで計測されたマークの位置ずれ量と前記関係式により近似されるマークの位置ずれ量との差が予め定めた許容範囲外となるマークの数が最小となるように、前記関係式を整数計画法により求めることを特徴とする露光方法である。

本発明の第３の側面は、デバイス製造方法であって、
上記第１の側面の露光装置を用いて、基板を露光する露光ステップと、
前記露光された基板を現像する現像ステップと、
前記現像された基板を処理する処理ステップと、
を有することを特徴とするデバイス製造方法である。

本発明によれば、例えば、計測されたマークの位置ずれ量を近似する線形な関係式を求める新規な露光装置および方法ならびにデバイス製造方法を提供することができる。

以下、添付図面を参照しながら本発明の好適な実施形態を説明する。
半導体素子等のデバイスを製造するに際しては、図１２に示すような露光装置を用いてウエハを露光する。すなわち、当該露光装置は、不図示の照明光学系により照明されたレチクル（原版またはマスクともいう）１０１に描画された回路等のパターンを、投影光学系１０２を介してウエハ（基板ともいう）１０３上に投影し転写する。このとき、ウエハ１０３は、可動のウエハステージ１０４に保持されている。ウエハステージ１０４は、アクチュエータを内蔵し、ウエハステージ１０４の位置を高精度に計測するレーザー干渉計１０５の出力に基づき、高精度に位置決めされ得る。

露光処理を終えたウエハは、様々な化学的処理や物理的処理を経た後に、再度の露光のため、露光装置に投入される。そして、露光装置は、ウエハ上のアライメントマークまたは重ね合わせ検査マークの位置ずれ量（位置偏差ともいう）をスコープ（顕微鏡を含む計測器）１０６で計測する。ここで、位置ずれ量は、計測対象がアライメントマークの場合、その設計上の位置からの位置ずれ量を意味し、計測対象が重ね合わせ検査マークの場合、それを構成する２つのマーク間の位置ずれ量を意味する。演算器１０７は、スコープ１０６による計測に基づき、上述の様々な処理およびウエハステージでのウエハチャッキング等に伴うウエハ上の被露光領域（ショットともいう）またはマークの位置ずれ量（例えば、被露光領域群全体の並進、倍率および回転ならびに被露光領域内の並進、倍率および回転など、位置ずれ量の線形成分）を近似する線形な関係式のパラメータ（係数）またはステージ１０４の目標位置を算出する。制御器１０８は、被露光領域の露光のため、演算器１０７により算出されたパラメータまたは目標位置の情報に基づき、ステージ１０４の位置を制御する。また、制御器１０８は、さらに、被露光領域内の位置ずれ量を示す情報に基づき、投影光学系１０２の収差（投影倍率、ディストーション、等）を制御するようにしてもよい。その場合、投影光学系１０２は、収差調整のために可動または変形可能な光学素子と、当該光学素子を移動または変形させるためのアクチュエータとを含む収差調整手段を内蔵し、当該収差調整手段は、制御器１０８からの情報にしたがって動作する。

本実施形態では、マークの位置ずれ量（位置偏差ともいう）の最適な近似解を導く方法として、整数計画法、特にビッグＭ法と呼ばれる混合整数計画法を用いる。混合整数計画法というのは、離散的な整数の変数と連続変数とが混在する整数計画問題（混合整数計画問題）において、与えられた目的関数を最大化あるいは最小化する解法である。また、ビッグＭ法は十分に大きな定数Ｍを用いて定式化する混合整数計画法である。

本発明者は、ビッグＭ法という混合整数計画法を後述のように適用することにより、従来法に比しより最適な近似解が得られることを見出した。

図６に本解法の手順を示す。初めに、ステップＳ１０１で、重ね合わせ誤差（アライメントマークの位置偏差であってもよい、以下同様）の許容値（許容最大絶対値）ｒを定める。ステップＳ１０２では、各計測箇所（マーク）ｉに関して、重ね合わせ誤差の良（許容範囲内）、不良（許容範囲外）をそれぞれ０、１で表す離散変数ｚ_ｉを定義する。なお、整数計画問題のなかで、特にすべての変数が０または１の値をとるものは、０−１整数計画問題と呼ばれる。また、上述の混合整数計画法の中で、特に整数変数が０または１の値をとるものを、０−１混合整数計画法と呼ぶことにする。

次に、ステップＳ１０３で、離散変数ｚ_ｉに乗じられる定数Ｍを設定する。Ｍは、想定される最大重ね合わせ誤差より十分大きな値を設定する（例えば、当該想定最大重ね合わせ誤差の絶対値の１０倍程度の値）。

ステップＳ１０４ａでは、ｒ＋Ｍｚ_ｉを用いて不等式制約条件を設定する。つまり、良好な計測箇所の重ね合わせ誤差は、その絶対値がｒ以下でなくてはならないが、不良であれば、その条件は不要である。そこで、上述の定数Ｍと、重ね合わせ誤差の良不良を表す変数ｚ_ｉの積によって、計測箇所が不良の場合は重ね合わせ誤差の制約条件を無効化するという工夫をする。

そして、ステップＳ１０５ａで、離散変数ｚ_ｉの総和、すなわち重ね合わせ不良な計測箇所の数を最小化するように目的関数を定義する。以上のようにすれば、後は、ステップＳ１０６において、公知の整数計画法の解法により最適解を求めるだけである。

具体的には、複数の計測箇所（マーク）における重ね合わせ誤差ｅ_ｉ、ｉ＝１、２、・・・、ｍ（ｉはマークを示す添え字）のデータベクトルがあり、これを近似するためのｎ個のベクトルｕ_ｊ（ｊは補正モードを示す添え字）がある。いずれの補正モードベクトルも要素ｕ_ｊｉはｍ個あって、（数式２）のように補正モードベクトルの線形和によって誤差ｅ_ｉを近似する。そして、当該近似値と誤差ｅ_ｉとの差の絶対値が重ね合わせ許容値ｒよりも等しいか小さくなるように制約条件を課する。

このとき、ａ_ｉは実数変数、ｚ_ｉは０か１の整数変数であり。残りのｅ_ｉとｕ_ｉ、ｒとＭは実数定数である。

そして、最小化する目的関数は、ｚ_ｉの総和とする。Ｍは重ね合わせ誤差が取りうる最大の値を十分に超える大きな値とする。ただし、Ｍは小さいほど計算時間が短くなるので、あまり大き過ぎる値は設定しない。

また、以下のように定式化した第２の０−１混合整数計画問題にすれば、良品チップの数を最多にするだけでなく、許容範囲内の重ね合わせ誤差の最大絶対値を最小化する。

図７に第２の０−１混合整数計画法の手順を示す。初めに、ステップＳ１０１で、重ね合わせ誤差の許容値ｒを定める。ステップＳ１０２では、各計測箇所（マーク）ｉに関して、重ね合わせ誤差の良、不良をそれぞれ０、１で表す離散変数ｚ_ｉを定義する。次に、ステップＳ１０３で離散変数ｚ_ｉに乗じられる定数Ｍを設定する。Ｍは想定される最大重ね合わせ誤差より十分大きな大きな値を設定する。

ステップＳ１０４ｂでは、ｅ_ｍａｘ＋Ｍｚ_ｉを用いて不等式制約条件を設定する。つまり、許容範囲内（許容値以下）の重ね合わせ誤差は、その絶対値がｅ_ｍａｘ以下であるとする。そして、ステップＳ１０５ｂで、この値ｅ_ｍａｘとＭ´ｚ_ｉ（このＭ´は十分に大きな正の実数定数。上記Ｍと同様、想定される最大重ね合わせ誤差より十分大きな大きな値とすることができる）の総和とを含んだ目的関数を設定する。以上のようにすれば、ステップＳ１０６において、公知の整数計画法の解法により目的関数を最小化する最適解を求めるだけである。

上述の露光装置は、以上説明した０−１混合整数計画法の演算を上述の演算器１０７で実行し、ウエハ上のアライメントマークまたは重ね合わせ検査マークの位置偏差またはステージ１０４の目標位置を求める。制御器１０８は、被露光領域の露光のため、演算器１０７により算出された位置偏差または目標位置の情報に基づき、ステージ１０４の位置を制御する。また、制御器１０８は、被露光領域内の位置偏差の情報に基づき、投影光学系１０２の収差（投影倍率、ディストーション、等）を制御するようにしてもよい。このような実施形態によれば、重ね合わせ誤差が許容値を超えない良好な露光領域の数を最多にでき、半導体デバイス等のデバイスの生産性を向上させることができる。

本発明の第１の実施例について述べる。
ここでも、図２乃至図４に示したサンプルを用いた。そして、重ね合わせ誤差が許容範囲外となるマークの数が最小となるように、（数式１）および（数式２）の混合整数計画モデルで問題を定式化し、混合整数計画法によって最適な近似解を導いた。

図８は、第１の実施例の方法で補正した後のｘ方向、ｙ方向のずれ量（位置偏差）をそれぞれ示す曲線１９、２０、その両方の絶対値のうち大きいほうを選択した曲線２１、および重ね合わせ誤差の許容値を超える計測箇所（マーク）２２を示している。ここで、許容値を超えた計測箇所の数は８個に減少しており、従来の最小自乗法による方法よりも良好な補正になっていることが確認できる。

図９は、重ね合わせ誤差許容値を１ｎｍから１ｎｍずつ増加させながら、重ね合わせ誤差が許容値以下となる計測箇所の数を、最小自乗法と比較した結果を示す。曲線２３は、最小自乗法で補正したときの重ね合わせ誤差が許容値以下となる計測箇所の数を、曲線２４は、本実施例の方法で補正したときの重ね合わせ誤差が許容値以下となる計測箇所の数を示している。いずれの条件でも本実施例の方法が優れていることを示している。図１０は、このときの重ね合わせ誤差が許容値以下となる計測箇所数の増分を百分率で表示したものである。曲線２５は、最小自乗法で補正して得られる、重ね合わせ誤差が許容範囲内の計測箇所数を１００％としたときの、本実施例の方法により得られる、重ね合わせ誤差が許容範囲内の計測箇所数の増加割合を示している。許容値が小さくなるに従って、本実施例の効果が顕著になっていることがわかる。

次に、本発明の第２の実施例について述べる。
これは、重ね合わせ誤差が許容値を超えるマークの数を最小化すると同時に、重ね合わせ誤差が許容範囲内のマークに関し、そのずれ量の最大値が最小となるように、（数式３）および（数式４）の混合整数計画モデルで問題を定式化した例である。そして、混合整数計画法によって最適な補正量を導いた。重ね合わせ誤差が許容範囲内の計測箇所は、第１の実施例で補正した結果と同じである。しかし、その重ね合わせ誤差の最大絶対値は第１の実施例よりも小さくなっている。よって、重ね合わせ誤差の許容値に対してより良好な近似解を得ることができる。

図１１は、重ね合わせ誤差の許容値を１ｎｍから１ｎｍずつ増加させながら、第１の実施例および第２の実施例で補正したときの、重ね合わせ誤差が許容範囲内の計測箇所における最大重ね合わせ誤差の絶対値を図示したものである。許容値が小さいと両者の差はないが、ある程度大きくなると、第２の実施例の値２６が幾分小さくなる。さらに、重ね合わせ誤差が許容範囲を超える計測箇所が無くなると、第２の実施例の解（最大重ね合わせ誤差の絶対値）は一定となり、第１の実施例の値２７との差が大きくなるため、その分だけ補正誤差の影響を受けにくくなる。

（デバイス製造方法への応用）
次に上記の露光装置を利用したデバイス製造方法の一例として、半導体デバイスの製造プロセスを説明する。図１３は、半導体デバイスの全体的な製造プロセスのフローを示す図である。ステップ１（回路設計）では半導体デバイスの回路設計を行う。ステップ２（マスク製作）では設計した回路パターンに基づいてマスク（原版またはレチクルともいう）を作製する。一方、ステップ３（ウエハ製造）ではシリコン等の材料を用いてウエハ（基板ともいう）を製造する。ステップ４（ウエハプロセス）は前工程と呼ばれ、上記のマスクとウエハを用いて、リソグラフィ技術によってウエハ上に実際の回路を形成する。次のステップ５（組み立て）は後工程と呼ばれ、ステップ４によって作製されたウエハを用いて半導体チップ化する工程であり、アッセンブリ工程（ダイシング、ボンディング）、パッケージング工程（チップ封入）等の組み立て工程を含む。ステップ６（検査）ではステップ５で作製された半導体デバイスの動作確認テスト、耐久性テスト等の検査を行う。こうした工程を経て半導体デバイスが完成し、これを出荷（ステップ７）する。

図１４は、上記ウエハプロセスの詳細なフローを示す図である。ステップ１１（酸化）ではウエハの表面を酸化させる。ステップ１２（ＣＶＤ）ではウエハ表面に絶縁膜を成膜する。ステップ１３（電極形成）ではウエハ上に電極を蒸着によって形成する。ステップ１４（イオン打込み）ではウエハにイオンを打ち込む。ステップ１５（レジスト処理）ではウエハに感光剤を塗布する。ステップ１６（露光）では上記の露光装置を用いて、レチクルに形成されたパターンを介しウエハ（ウエハ上に塗布された感光剤）を露光し、潜像パターンを形成する。ステップ１７（現像）ではウエハに転写された潜像パターンを現像してレジストパターンを形成する。ステップ１８（エッチング）では現像したレジスト像以外の部分を削り取る。ステップ１９（レジスト剥離）ではエッチングが済んで不要となったレジストを取り除く。これらのステップを繰り返し行うことによって、ウエハ上に多重に回路パターンを形成する。

内部に複数の重ね合わせマークがあるショット配列を示す図 内部に１つの重ね合わせマークがあるショット配列を示す図 配列の歪みを表すマップを示す図 補正前における重ね合わせ誤差と、当該誤差が許容範囲外の計測箇所とを示す図 最小自乗法で補正した後の重ね合わせ誤差と、当該誤差が許容範囲外の計測箇所とを示す図 実施形態に係る処理の流れ（アルゴリズム）の第１の例を示す図 実施形態に係る処理の流れ（アルゴリズム）の第２の例を示す図 第１の実施例の方法で補正した後の重ね合わせ誤差と、当該誤差が許容範囲外の計測箇所とを示す図 最小自乗法と第１の実施例の方法との効果の違いを示す図 最小自乗法に対する第１の実施例の方法の改善の度合いを示す図 第１の実施例の方法と第２の実施例の方法との比較結果を示す図 実施形態に係る露光装置の構成を示す図 半導体デバイスの製造プロセスの流れを示す図 図１３におけるウエハプロセスの詳細な流れを示す図

符号の説明

１０４ 基板ステージ
１０６ スコープ（計測器）
１０７ 演算器
１０８ 制御器

Claims (13)

1. 基板を露光する露光装置であって、
   前記基板を保持し、かつ移動する基板ステージと、
   前記基板ステージに保持された基板上のマークの位置ずれ量を計測する計測器と、
   前記計測器により計測された複数の位置ずれ量を近似する線形な関係式を求める演算器と、
   前記基板上の被露光領域の露光のため、前記関係式に基づく目標位置にしたがって前記基板ステージの位置を制御する制御器とを有し、
   前記演算器は、前記計測器により計測されたマークの位置ずれ量と前記関係式により近似されるマークの位置ずれ量との差が予め定めた許容範囲外となるマークの数が最小となるように、前記関係式を整数計画法により求めることを特徴とする露光装置。
2. 前記計測器は、前記基板上に形成されたアライメントマークおよび重ね合わせ検査マークのいずれかの位置ずれ量を計測することを特徴とする請求項１に記載の露光装置。
3. 原版のパターンを前記基板に投影するための投影光学系をさらに有し、前記制御器は、さらに、前記関係式により近似されるマークの位置ずれ量に基づく前記被露光領域内の位置ずれ量を示す情報に応じて、前記投影光学系の収差を制御することを特徴とする請求項１または２に記載の露光装置。
4. 前記演算器は、ｒを、前記許容範囲を表す実数定数、ｚ_ｉを前記差が前記許容範囲内の場合に０となり、かつ前記差が前記許容範囲外の場合に１となる変数（ｉは前記マークを示す添え字、以下同様）、ｅ_ｉを前記計測器により計測されたマークの位置ずれ量、ｕ_ｊｉを実数定数（ｊは補正モードを示す添え字、以下同様）、ａ_ｊを実数変数、Ｍを前記ｒより大なる実数定数としたとき、
   

   

   なる制約条件の下で
   

   

   を最小化するように、ａ_ｊを整数計画法により求めることを特徴とする請求項１乃至３のいずれかに記載の露光装置。
5. 前記演算器は、さらに、前記計測器により計測されたマークの位置ずれ量と前記関係式により近似されるマークの位置ずれ量との差が前記許容範囲内となるマークについての当該差の最大値が最小になるように、前記関係式を整数計画法により求めることを特徴とする請求項１乃至３のいずれかに記載の露光装置。
6. 前記演算器は、ｒを、前記許容範囲を表す実数定数、ｚ_ｉを前記差が前記許容範囲内の場合に０となり、かつ前記差が前記許容範囲外の場合に１となる変数（ｉは前記マークを示す添え字、以下同様）、ｅ_ｉを前記計測器により計測されたマークの位置ずれ量、ｕ_ｊｉを実数定数（ｊは補正モードを示す添え字、以下同様）、ａ_ｊを実数変数、ＭおよびＭ´を前記ｒより大なる実数定数、ｅ_ｍａｘを０以上ｒ以下の実数変数としたとき、
   

   

   なる制約条件の下で
   

   

   を最小化するように、ａ_ｊを整数計画法により求めることを特徴とする請求項５に記載の露光装置。
7. 基板を露光する露光方法であって、
   基板ステージに保持された基板上の複数のマークの位置ずれ量を計測する計測ステップと、
   前記計測ステップで計測された複数のマークの位置ずれ量を近似する線形な関係式を求める演算ステップと、
   前記基板上の被露光領域の露光のため、前記演算ステップ求められた関係式に基づく目標位置にしたがって前記基板ステージの位置を制御する制御ステップとを有し、
   前記演算ステップにおいて、前記計測ステップで計測されたマークの位置ずれ量と前記関係式により近似されるマークの位置ずれ量との差が予め定めた許容範囲外となるマークの数が最小となるように、前記関係式を整数計画法により求めることを特徴とする露光方法。
8. 前記計測ステップにおいて、前記基板上に形成されたアライメントマークおよび重ね合わせ検査マークのいずれかの位置ずれ量を計測することを特徴とする請求項７に記載の露光方法。
9. 前記制御器は、さらに、前記関係式により近似されるマークの位置ずれ量に基づく前記被露光領域内の位置ずれ量を示す情報に応じて、原版のパターンを前記基板に投影するための投影光学系の収差を制御することを特徴とする請求項７または８に記載の露光方法。
10. 前記演算ステップにおいて、ｒを、前記許容範囲を表す実数定数、ｚ_ｉを前記差が前記許容範囲内の場合に０となり、かつ前記差が前記許容範囲外の場合に１となる変数（ｉは前記マークを示す添え字、以下同様）、ｅ_ｉを前記計測器により計測されたマークの位置ずれ量、ｕ_ｊｉを実数定数（ｊは補正モードを示す添え字、以下同様）、ａ_ｊを実数変数、Ｍをｒより大なる実数定数としたとき、
    

    

    なる制約条件の下で
    

    

    を最小化するように、ａ_ｊを整数計画法により求めることを特徴とする請求項７乃至９のいずれかに記載の露光方法。
11. 前記演算ステップにおいて、さらに、前記計測ステップで計測されたマークの位置ずれ量と前記関係式により近似されるマークの位置ずれ量との差が前記許容範囲内となるマークについての当該差の最大値が最小になるように、前記関係式を整数計画法により求めることを特徴とする請求項７乃至９のいずれかに記載の露光方法。
12. 前記演算ステップにおいて、ｒを、前記許容範囲を表す実数定数、ｚ_ｉを前記差が前記許容範囲内の場合に０となり、かつ前記差が前記許容範囲外の場合に１となる変数（ｉは前記マークを示す添え字、以下同様）、ｅ_ｉを前記計測器により計測されたマークの位置ずれ量、ｕ_ｊｉを実数定数（ｊは補正モードを示す添え字、以下同様）、ａ_ｊを実数変数、ＭおよびＭ´をｒより大なる実数定数、ｅ_ｍａｘを０以上ｒ以下の実数変数としたとき、
    

    

    なる制約条件の下で
    

    

    を最小化するように、ａ_ｊを整数計画法により求めることを特徴とする請求項１１に記載の露光方法。
13. デバイス製造方法であって、
    請求項１乃至６のいずれかに記載の露光装置を用いて、基板を露光する露光ステップと、
    前記露光された基板を現像する現像ステップと、
    前記現像された基板を処理する処理ステップと、
    を有することを特徴とするデバイス製造方法。

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