EP1523597B1 - Gleis mit übergangsbogen und kräfteminimaler überhöhungsrampe - Google Patents

Description

• Die Erfindung bezieht sich auf ein Gleis mit Übergangsbogen und kräfteminimaler Überhöhungsrampe sowie auf die Gleislinienführung eines solchen Gleises.
• Die Trassierung der Gleise von Eisenbahnen, U- Bahnen und anderen spurgeführten Fahrzeugen wird üblicher Weise als Aufeinanderfolge von Elementen mit konstanter Krümmung im Grundriss, wie Gerade und Kreisbogen, und Elementen mit variabler Krümmung ausgeführt. Der Übergang von einem geraden Gleis auf ein in einem Winkel davon abweichendes, gerades Gleis wird entweder zweiteilig ausgeführt, das heißt mit zwei aneinander anschließenden Scheitelübergangsbögen, oder der Übergang wird dreiteilig ausgeführt, wobei an das eine gerade Gleis ein konventioneller Übergangsbogen anschließt, an den ein Kreisbogen anschließt, an den ein weiterer konventioneller Übergangsbogen anschließt, an den dann das zweite gerade Gleis anschließt.
• Eine Gleisverziehung, das ist die überhöhte Überleitung von einem Gleis auf ein anderes, dazu paralleles Gleis in einem bestimmten Abstand, wird derzeit entweder aus zwei Kreisbögen oder aus einer Folge von einem Übergangsbogen, einem Kreisbogen, einem Wendeübergangsbogen, einem Kreisbogen und einem Übergangsbogen ausgeführt.
• Um in den gekrümmten Trassierungselementen die unausgeglichene Seitenbeschleunigung im Fahrzeug und die Seitenführungskräfte zu verringern, wird die Führungsfläche um die Mittellinie der Führung verdreht.
• Bei Eisenbahnen wird jener Winkelweg gemessen an der Oberseite der bogenäußeren Schiene bezogen auf die Oberseite der bogenirineren Schiene, um den die Querrichtung des Gleises um die Gleismittellinie verdreht ist, als Überhöhung bezeichnet. Zum Festlegen dieser Überhöhung wird üblicher Weise eine zur Krümmung der Gleismittellinie proportionale Überhöhung vorgeschrieben. Dies ergibt keine Überhöhung auf geraden Strecken und bei gekrümmten Strecken eine mit der Krümmung der Gleismittellinie zunehmende Überhöhung auf der Außenseite des Gleises.
• Beim Trassieren von Gleisen ist das gebräuchlichste Element, das eine variabler Krümmung im Grundriss besitzt, die Klothoide. Dies ist eine Kurve, bei der sich die Krümmung von einem Wert zu einem anderen linear ändert. Die zugehörige, zur Krümmung proportionale Überhöhung ist eine sich linear ändernde Überhöhung, die gerade Überhöhungsrampe. Bei dieser ergeben sich Knicke an den Anschlussstellen zu den Nachbarelementen mit konstanter Überhöhung. Man erhält dann in der Führungsmittellinie eine sich zwischen den konstanten Werten in den Nachbarelementen linear ändernde unausgeglichene Seitenbeschleunigung.
• Nicht berücksichtigt wird dabei, dass aufgrund der Rollbewegung des längs des Gleises geführten Fahrzeugs außerhalb der Führungsmittellinie überall Geschwindigkeitssprünge auftreten und damit dort die Beschleunigungen unendlich werden. Mathematisch gesehen sind nämlich Fahrzeugpunkte auf der Führungsmittellinie singuläre Punkte, an denen diese unendlichen Beschleunigungen nicht auftreten. Die herkömmliche kinematische Beschreibung ist somit nicht ausreichend.
• Praktisch vermieden werden die unendlichen Beschleunigungen durch geplante oder sich frei einstellende Ausrundungen der Schienen an den Knickstellen. Dabei geht aber im Bereich der mit Ausrundungen versehenen Knickstellen die Proportionalität zwischen Krümmung und Überhöhung verloren und damit auch der gewünschte Verlauf der unausgeglichenen Seitenbeschleunigung in der Führungsmittellinie.
• Die Nachteile dieser Art von Trassierung sind bekannt. Um diese zu vermeiden, werden statt der linearen Verlaufsfunktion auch zwei gestückelte quadratische Parabeln oder ein kubisches Polynom oder eine Cosinus-Halbwelle zum Festlegen der Krümmung im Grundriss und der Überhöhung verwendet. Damit werden die Geschwindigkeitsverläufe in jedem Fahrzeugpunkt stetig. Die Beschleunigungen bleiben endlich, sind aber unstetig, und ihre zeitlichen Änderungen - die Rucke - haben nach wie vor Unendlichkeitsstellen. Um auch diese zu entfernen, wird eine lineare Funktion gemeinsam mit einer Sinus-Vollwelle verwendet. Dann werden die Beschleunigungen stetig und die Rucke an den Übergangsstellen haben endliche Werte.
• Ein weiterer Aspekt ist, dass die Trassierung der Gleise so beschaffen sein soll, dass die gewünschten kinematischen Eigenschaften nicht längs der Führungsmittellinie, sondern für einen bestimmten Fahrzeugpunkt, etwa den Schwerpunkt des Fahrzeuges, eingehalten werden sollen. Um geometrische Sprungstellen in den Führungselementen zu vermeiden, muss dann die Funktion außerhalb der Führungsmittellinie zweimal stetig differenzierbar sein.
• Aus der AT 401 781 B ist ein Gleis mit einem realen Flächenstreifen mit stetigem Verlauf der Krümmung im Übergangsbogen bekannt, bei dessen Trassierung ein fiktiver Flächenstreifen mit einer Leitlinie vorgesehenen ist, entlang der ein mit Nenngeschwindigkeit bewegter Punkt eine unausgeglichene Seitenbeschleunigung von Null hat. Aus der Leitlinie des fiktiven Flächenstreifens entsteht die Leitlinie des realen Flächenstreifens dadurch, dass jeder einzelne Leitlinienpunkt längs der Streifennormalen um einen konstanten Abstand verschoben wird.
• Aus der AT 402 211 B ist ein Gleis mit Übergangsbogen bekannt, bei dessen Trassierung für den Überhöhungswinkel und für die Krümmung der Leitlinie im Grundriss jeweils zweimal stetig differenzierbare Funktionen eingesetzt werden. Im weiteren werden spezielle, auf den Funktionen Tangens hyperbolicus und Sinus quadrat aufbauende, Funktionen angegeben. Die Funktion Tangens hyperbolicus ist beliebig oft stetig differenzierbar und alle ihre Ableitungen passen an den Rändern des Übergangsbogens mit denen der jeweils anschließenden Trassierungselementen konstanter Krümmung zusammen. Außerdem wird der nichtlineare Zusammenhang für große Steigungs- und Überhöhungswinkel für die ausgeglichene Überhöhung bei einer bestimmten Geschwindigkeit angegeben.
• Ein Gleis entsprechend dem Oberbegriff des Anspruch 1 ist aus der DE-A-32 28553 bekannt.
• Bei der praktischen Anwendung dieser Trassierung ergeben sich mehrere Probleme:
• Der tatsächliche Verlauf des Gleises ist nicht a priori bekannt. Er entsteht erst nach Anwendung der Transformation vom fiktiven zum realen Gleisstreifen. Praxisgerecht hingegen ist eine direkte Angabe der Funktion der Gleismittellinie, wie man es von allen konventionellen Trassierungen gewohnt ist. Ähnlich ist das Problem bei der Beurteilung von Gleislagefehlern hinsichtlich ihrer Auswirkung auf die Kinematik des Fahrzeugs. Die Gleislagefehler müssen vom realen Gleisstreifen in den fiktiven Gleisstreifen transformiert werden. Erst dort wird beispielsweise die zugehörige unausgeglichene Seitenbeschleunigung des Fahrzeugs ermittelt.
• Beim Übergang von einem Überhöhungsniveau auf ein anderes Überhöhungsniveau muss in den betroffenen Ableitungen irgendwo eine entsprechend drastische Änderung auftreten. Bei der geraden Rampe ist die erste Ableitung (der Winkel) zwar minimal und mit ihm die Gleisverwindung und die Rollwinkelgeschwindigkeit, aber alle anderen Ableitungen sind dafür aber an den Rändern unbegrenzt. Bei der aus zwei quadratischen Parabeln gestückelten Rampe haben die zweiten Ableitungen entsprechend der Rampenkrümmung minimale Werte. Damit sind die Rollwinkelbeschleunigungen bei dieser Ausführung minimal, die Rampe wird aber in der Mitte steiler und die weiteren Ableitungen an den Rändern und in der Mitte existieren nicht und damit auch nicht der Rollwinkelruck. Dies ist ähnlich beim kubischen Polynom und bei der Cosinus-Halbwelle. Beim einem linearen Verlauf mit überlagerter Sinus-Vollwelle existieren auch noch die Rucke an den Rändern, dafür weist die erste und zweite Ableitung höhere Werte auf als bei den anderen Überhöhungsrampen.
• Die bekannte Forderung, dass die zweiten Ableitungen der Verlaufsfunktionen noch existieren, wird auch von allen bekannten Verläufen außer der Klothoide mit der geraden Rampe erfüllt. Die unendlich oftmalige Differenzierbarkeit der Verlaufsfunktionen hat auch ihre Nachteile. Durch den sehr flachen Übergang an den Rändern werden die höheren Ableitungen dazwischen unnötig groß und damit auch zum Beispiel die Rollwinkelbeschleunigungen und Rollwinkelrucke.
• Unendlich oft stetig differenzierbare Funktionen sind transzendent wie etwa der Tangens hyperbolicus. Sie haben eine theoretisch unendliche mathematische Glattheit an den Anschlussstellen. Praktisch ist aber ihre analytische Differenzierbarkeit bereits nach einigen wenigen Ableitungen nicht mehr gegeben, da die Ausdrücke unhandlich lang werden. Eine analytische Integrierbarkeit, beispielsweise der Krümmung zum Lagewinkel, die ebenfalls von Vorteil für das praktische Arbeiten ist, ist sowieso nicht gegeben. Damit bleibt für die tatsächliche Auswertung transzendenter Funktionen nur das numerische Differenzieren und Integrieren übrig, wobei die Stetigkeit von dem verwendeten Algorithmus abhängt, aber in jedem Fall beschränkt ist.
• Gewünscht ist ein Funktionsverlauf der gerade die notwendigen Anforderungen an die Differenzierbarkeit an den Übergangsstellen und möglichst bei allen physikalischen Parametern kleine Werte für eine günstige Bemessung aufweist.
• Ein dabei bisher nicht berücksichtigter Aspekt sind die Beschränkungen aufgrund der Biegbarkeit der kontinuierlich verschweißten, ursprünglich geraden Schiene. In der üblichen Betrachtung der Schiene als kontinuierlich gebetteter Träger, das heißt die Wirkung der Schienenbefestigungen wird verteilt, entspricht die Überhöhung direkt der Verlaufsfunktion der gebogenen Schiene. Deren zweiten Ortsableitung ist laut elementarer Bernoulli-Euler Biegetheorie proportional zum Biegemoment in der Schiene, die dritte ist proportional zur Querkraft und die vierte Ableitung entspricht der Bettungskraftverteilung, mit welcher die Schiene in die gewünschte Rampenform gebracht wird und gehalten werden muss.
• Aufgabe der Erfindung ist es, obige Nachteile zu vermeiden und ein Gleis anzugeben, das in der Realität herstellbar ist und einen glatten Verlauf der unausgeglichenen Seitenbeschleunigung erzielt.
• Als Lösung schlägt die Erfindung ein Gleis vor, das eine Gleismittellinie mit variabler Krümmung im Grundriss und eine variablen Überhöhungswinkel besitzt. Dieses Gleis ist erfindungsgemäß dadurch gekennzeichnet, dass die Krümmung aus einer für die Überhöhung angenommenen Funktion so bestimmt wird, dass die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung auf einer gewählten, fixen Trassierungshöhe unter Berücksichtigung des durch die Wankbewegung verursachten Anteils der unausgeglichenen Seitenbeschleunigung einen Verlauf wie diese Funktion aufweist und folgende Differnzialgleichung erfüllt. $${\mathit{\kappa }}_{\mathit{H}}\left(s\right)=\frac{{\mathit{\kappa }}_{\mathit{C}}}{{\mathit{\psi }}_{\mathit{C}}}\mathit{\cdot }\mathit{\psi }\left(s\right)-h\cdot \frac{{\mathrm{d}}^2\mathit{\psi }}{{\mathrm{d}s}^2}$$

  

  
  wobei
• κ_H (s) .........Krümmung der Gleismittellinie im Grundriss
• s ..... Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• κ_c ..... konstante Bezugskrümmung (in einem Kreisbogen)
• ψ _C ............. konstanter Bezugsüberhöhungswinkel (in einem Kreisbogen)
• ψ (s) ............Überhöhungswinkel
• h ..................Trassierungshöhe
• d ..................Differentialoperator
bedeuten.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass die Funktion in ihrem gesamten Verlauf, auch an den Bereichsrändern, mindestens viermal differenzierbar ist, und auch noch die vierten Ableitungen der Funktion überall endliche Werte aufweisen.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass bei der Bestimmung der Krümmung (κ_H ) der Gleismittellinie im Grundriss die Trassierungshöhe Null als fixe Trassierungshöhe gewählt wird.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass als normierte Funktion das nachstehend in Gleichung (2) angegebene Polynom siebenter Ordnung verwendet wird, wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte, unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt wird und daraus die Krümmung (κ_H) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=(\frac{s}{l}{)}^4\cdot \left(35-84\cdot \frac{s}{l}+70\cdot (\frac{s}{l}{)}^2-20\cdot (\frac{s}{l}{)}^3\right)$$

  

  
  mit $0\le \frac{s}{l}\le 1.$

  
• Dabei bedeuten:
• s ..................Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• l ...................Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass als normierte Funktion die nachstehend in Gleichung (3) angegebene Funktion mit einem Polynom dritter Ordnung in Kombination mit dem Sinus und dem Cosinus und einem konstanten Wert (Z) verwendet wird, wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte, unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt wird und daraus die Krümmung (κ _H ) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=(\frac{s}{l}{)}^{2\cdot }\cdot \left(-2\cdot \frac{s}{l}+3\right)+\frac{6}{Z^2}\cdot \left(+2\cdot \frac{s}{l}-1+\cos \left(Z\cdot \frac{s}{l}\right)-\frac{2}{Z}\cdot \sin \left(Z\cdot \frac{s}{l}\right)\right)$$

  

  
  mit $\tan \frac{Z}{2}=\frac{Z}{2}\approx 4,49340946,0\le \frac{s}{l}\le 1.$

  
• Dabei bedeuten:
• s ...................Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• l ................... Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass als normierte Funktion die nachstehend in Gleichung (4) angegebene Funktion mit einem Polynom dritter Ordnung in Kombination mit dem Sinus und dem Cosinus verwendet wird, wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte, unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt wird und daraus die Krümmung (κ _H ) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=+\frac{1}{{\mathit{\pi }}^2-9}\cdot \left(+{\pi }^2\cdot (\frac{s}{l}{)}^2\cdot (-2\cdot \frac{s}{l}+3)-6\cdot \left(+1-\cos \frac{\pi \cdot s}{l}\right)\right)+\frac{3}{{\pi }^2-9}\cdot (+\frac{s}{l}-\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sin \left(2\cdot \pi \cdot \frac{s}{l}\right))$$

  

  
  mit $0\le \frac{s}{l}\le 1.$

  
• Dabei bedeuten:
• s .............Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• 1 ............ Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass als normierte Funktion die nachstehend in Gleichung (5) angegebene Funktion mit einem Polynom fünfter Ordnung in Kombination mit nur dem Sinus verwendet wird, wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte, unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt wird und daraus die Krümmung (κ _H ) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=+\frac{15}{15-{\mathit{\pi }}^2}\cdot \left(+\frac{s}{l}-\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sin (2\cdot \pi \cdot \frac{s}{l})\right)-\frac{{\pi }^2}{15-{\pi }^2}\cdot (\frac{s}{l}{)}^2\cdot (+6\cdot (\frac{s}{l}{)}^2-15\cdot \frac{s}{l}+10)$$

  

  
  mit $0\le \frac{s}{l}\le 1.$

  
• Dabei bedeuten:
• s ..................Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• l ................ Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass als normierte Funktion die nachstehend in Gleichung (6) angegebene Funktion mit einem Polynom fünfter Ordnung in Kombination mit nur dem Cosinus verwendet wird, wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte, unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt wird und daraus die Krümmung (κ _H ) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=+\frac{5}{10-{\mathit{\pi }}^2}\cdot \left(+1-\cos \frac{\pi \cdot s}{l}\right)-\frac{{\pi }^2}{2\cdot (10-{\pi }^2)}\cdot (\frac{s}{l}{)}^2\cdot (+2\cdot (\frac{s}{l}{)}^3-5\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^2+5)$$

  

  
  mit $0\le \frac{s}{l}\le 1.$

  
• Dabei bedeuten:
• s ..................Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• l ...................Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass als normierte Funktion das nachstehend in Gleichung (7) angegebene Polynom neunter Ordnung verwendet wird, wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte, unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt wird und daraus die Krümmung (κ _H ) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)={\left(\frac{s}{l}\right)}^{5\cdot }\cdot \left(126-420\cdot \frac{s}{l}+540\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^2-315\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^3+70\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^4\right)$$

  

  
  mit $0\le \frac{s}{l}\le 1.$

  
• Dabei bedeuten:
• s ..................Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• l ................ Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass ein mit einer Überhöhung versehenes Trassierungselement, das ein gerades Gleis mit einem in einem Winkel davon abweichenden geraden Gleis verbindet, in einem Stück ausgelegt wird.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass eine viermal mit endlichen Werten differenzierbare Funktion für ein einteiliges und mit einer Überhöhung versehenes Trassierungselement verwendet wird, das ein gerades Gleis mit einem in einem Winkel davon abweichenden geraden Gleis verbindet.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass eine mit Überhöhung versehene Gleisverziehung, die ein gerades Gleis mit einem dazu parallelen geraden Gleis verbindet, in einem Stück ausgelegt wird.
• Ein weiteres Merkmal der Erfindung sieht vor, dass eine viermal mit endlichen Werten differenzierbare Funktion für eine einteilige überhöhte Gleisverziehung verwendet wird, die ein gerades Gleis mit einem parallelen geraden Gleis verbindet.
• Nachstehend wird die Erfindung an Ausführungsbeispielen anhand der Zeichnungen näher erläutert.
• In den Zeichnungen zeigen:

Fig.1

schematisch ein auf einem mit einer Überhöhung versehenen Gleis befindliches Fahrzeug,

Fig. 2

eine normierte Verlaufsfunktion einer erfindungsgemäßen kräfteminimalen Rampe mit ihren normierten Ableitungen und

Fig. 3

einen normierten Krümmungsverlauf für einen Übergangsbogen mit am Beginn und Ende verstärkter Krümmung.

• Das auf seiner Führung, dem Gleis, befindliche Fahrzeug wird unter Berücksichtigung seiner Höhe, betrachtet, Fig. 1. Unter der Trassierungshöhe (h) wird jene Höhe verstanden, an welcher die unausgeglichene Seitenbeschleunigung betrachtet und ausgewertet wird.
• Um ein Gleis mit einer kontinuierlichen Bettung herzustellen, werden für den Verlauf der Schienen im Grundriss und in der Höhenlage Verlaufsfunktionen eingesetzt, bei denen noch die vierten Ableitungen existieren. Für eine exakte Einstellung einer vorgegebenen Geometrie ist ihre tatsächliche Herstellbarkeit und der damit verbundenen Forderung nach beschränkten vierten Ableitungen der jeweiligen Verlaufsfunktion von entscheidender Bedeutung. Damit wird die Ruckverteilung im ganzen Fahrzeugquerschnitt stetig und die Kinematik des Fahrzeug erfüllt alle Bedingungen.
• Die bekannte Forderung nach der Existenz der zweiten Ableitungen reicht somit nicht aus, die Existenz von unendlich vielen Ableitungen an den Rändern bringt hingegen die geschilderten Nachteile.
• Fig. 2 zeigt beispielhaft die normierte Verlaufsfunktion einer erfindungsgemäßen kräfteminimalen Rampe mit ihren ebenfalls normierten Ableitungen, wobei von der Formel (2) ausgegangen wird.
• Die Funktion selbst als 0. Ableitung entspricht dem Überhöhungsverlauf. Ihre 1. Ableitung ist der Rampenwinkel entsprechend der Gleisverwindung und der Winkelgeschwindigkeit des Fahrzeugs um die Längsachse. Die 2. Ableitung ist noch glatt und proportional zur Schienenkrümmung im Höhenbild, zur Winkelbeschleunigung um die Längsachse des Fahrzeugs und zum Biegemoment in der(den) die Rampen bildende(n) Schiene(n). Die 3. Ableitung ist noch stetig und entspricht der Änderung der Schienenkrümmung im Höhenbild, dem Winkelruck um die Längsachse des Fahrzeugs und der Querkraft in der(den) die Rampen bildende(n) Schiene(n). Die 4. Ableitung existiert noch. Sie hat Sprungstellen an den Rändern und ist proportional der auf die Rampen bildende(n) Schiene(n) über die Schienenbefestigungen einwirkenden Kraftverteilung pro Längeneinheit, die erforderlich ist, um die Rampe(n) in dieser Form zu halten.
• Diese Verlaufsfunktionen können an einem fiktiven Gleisstreifen angesetzt werden, aus dem dann der reale Gleisstreifen durch Projektion gewonnen wird. Ein Sonderfall wäre die konventionelle Trassierung, bei der die beiden Streifen identisch werden. Die erfindungsgemäße Überhöhungsrampe mit der dazu proportionalen Krümmung ergibt dann einen Übergangsbogen mit der entsprechenden Glattheit an den Anschlussstellen.
• Erfindungsgemäß wird hier jedoch anders vorgegangen: Die Überhöhungsrampe selbst ist ja bereits bekannt. Gesucht wird eine direkte Absteckung des Gleises dergestalt, dass das gewünschte kinematische Verhalten des auf dem Gleis verkehrenden Fahrzeugs erreicht wird.
• Dazu wird wie üblich die unausgeglichene Seitenbeschleunigung betrachtet. Wenn man diese außerhalb der Gleisebene ansetzt, kommt zu dem bekannten Term, der aus dem Produkt Krümmung mal quadrierter Fahrgeschwindigkeit besteht, noch ein Term zufolge der Wankbewegung dazu, nämlich die Rollwinkelbeschleunigung um die Fahrzeuglängsachse multipliziert mit dem Hochabstand von der Gleismittellinie. Wird nun die Krümmung im Grundriss so gewählt, dass ein Anteil von ihr den zuletzt genannten Term gerade kompensiert und der andere Term proportional zur Überhöhung ist, dann wird die unausgeglichene Seitenbeschleunigung ebenfalls proportional zur Überhöhung. Die Krümmung im Grundriss besteht dementsprechend aus zwei Anteilen, einem konventionellen Anteil entsprechend dem Verlauf der Überhöhung und einem Anteil proportional der zweiten Ableitung des Verlaufs der Überhöhung. Er liefert das bekannte Ausschwingen des Übergangsbogens, das heißt bei einem Übergang von einer Geraden in einen Kreisbogen entstehen am Beginn zuerst Krümmungen mit entgegengesetzten Vorzeichen und eine Lage auf der anderen Seite des zu erreichenden Kreises. Fig. 3 zeigt einen entsprechenden normierten Krümmungsverlauf wie er mit Verwendung der Gleichungen (1) und (12) entsteht.
• Mit dieser Methode erhält man eine von allen kinematischen Größen völlig unabhängige Beschreibung der Gleismittellinie, wodurch, so wie bei der konventionellen Trassierung, vorteilhafter Weise rein geometrisch gearbeitet werden kann. Kinematische Größen werden nur für die Kontrolle im Sinn der Zulässigkeit gegenüber bestimmten Regeln benötigt.
• Das geschilderte Verfahren kann ganz allgemein auf Trassierungen in Bereichen variabler Krümmung und Überhöhung und nicht nur bei Übergangsbögen angewendet werden.
• Es sind drei Verläufe, welche die Eigenschaften einer Trassierung bestimmen: Die geometrischen Funktionen der Krümmung und der Überhöhung und die kinematische Funktion der unausgeglichenen Seitenbeschleunigung, vorzugsweise in der Trassierungshöhe.
• Bei den bekannten Trassierungen wird von den geometrischen Funktionen an der Gleismittellinie ausgegangen und auch die Berechnung der kinematischen Funktion immer nur für die Gleismittellinie ausgeführt.
• Erfindungsgemäß wird hier anders vorgegangen: Demnach muss ausgehend von einer mindestens dreimal differenzierbaren Verlaufsfunktion bzw. für die Erfüllung der Forderungen der Biegetheorie ausgehend von einer viermal differenzierbaren Verlaufsfunktion die Überhöhung und die unausgeglichene Seitenbeschleunigung in Trassierungshöhe unter Berücksichtigung des durch die Wankbewegung bewirkten Anteils zur unausgeglichenen Seitenbeschleunigung dieser Funktion folgen und daraus die Krümmung im Grundriss bestimmt werden.
• Bei verschwindend gewählter Trassierungshöhe (Trassierungshöhe (h) gleich Null) erhält man dann einen Trassierungsverlauf, bei dem die Gleismittellinie ebenfalls dieser Funktion folgt, wie es derzeit üblich ist.
• Bei nicht verschwindend gewählter Trassierungshöhe kommt es - wegen des zu kompensierenden Anteils der unausgeglichenen Seitenbeschleunigung zufolge der Wankbewegung - zu einer Änderung des Krümmungsverlaufes weg von der Verlaufsfunktion, welche bei einem Übergangsbogen von einer Geraden zu einem Kreis dann zu einem Ausschwingen am Anfang führt.
• Als Formel geschrieben drückt sich die unausgeglichene Seitenbeschleunigung zweckmäßig als Winkel (Froude-Zahl) betrachtet wie folgt aus: $${\beta }_Q=\frac{a_Q}{g}=\frac{i}{b}=\frac{{\mathrm{\kappa }}_H\cdot v^2+h\cdot \alpha }{g}-\mathit{\psi }$$

  
• Dabei bedeuten:
• β_Q ............. Winkel der unausgeglichenen Seitenbeschleunigung
• a_Q .............. unausgeglichene Seitenbeschleunigung
• g ................ Fallbeschleunigung
• i ................. Überhöhungsfehlbetrag bei Zweischienenbahnen
• b ................ Lauflinienabstand (Spurweite) bei Zweischienenbahnen
• κ _H ............ Krümmung der Gleismittellinie
• ν .............. Fahrgeschwindigkeit
• h ..................Trassierungshöhe
• α ..................Rollwinkelbeschleunigung
• ψ ................Überhöhungswinkel.
• Die Rollwinkelbeschleunigung wird aus der zweiten Zeitableitung des Überhöhungswinkels berechnet, die durch die zweite Wegableitung mittels der Fahrgeschwindigkeit ersetzt wird: $$\alpha =\frac{{\mathrm{d}}^2\mathit{\psi }}{{\mathrm{d}t}^2}=v^2\cdot \frac{{\mathrm{d}}^2\mathit{\psi }}{{\mathrm{d}s}^2}$$

  
• Dabei bedeuten:
• α ..................Rollwinkelbeschleunigung
• d ..................Differenzialoperator
• ψ .................Überhöhungswinkel
• t ...................Zeit
• ν .................Fahrgeschwindigkeit
• s ................Bogenlänge längs der Gleismittellinie.
• Erfindungsgemäß wird ein Gleis so vorgesehen, dass die Krümmung aus einer für die Überhöhung angenommenen Funktion so bestimmt wird, dass die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung auf einer gewählten, fixen Trassierungshöhe (h) unter Berücksichtigung des durch die Wankbewegung verursachten Anteils der unausgeglichenen Seitenbeschleunigung einen Verlauf wie diese Funktion aufweist und somit folgende Differenzialgleichung erfüllt: $${\mathit{\kappa }}_{\mathit{H}}\left(s\right)=\frac{{\mathit{\kappa }}_{\mathit{C}}}{{\mathit{\psi }}_{\mathit{C}}}\mathit{\cdot }\mathit{\psi }\left(s\right)-h\cdot \frac{{\mathrm{d}}^2\mathit{\psi }}{{\mathrm{d}s}^2}$$

  

  
  wobei
• κ_H (s) ..... Krümmung der Gleismittellinie im Grundriss
• s ..................Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• κ _c ................konstante Bezugskrümmung (in einem Kreisbogen)
• ψ _c ...............konstanter Bezugsüberhöhungswinkel (in einem Kreisbogen)
• ψ(s)................Überhöhungswinkel
• h ..................Trassierungshöhe
• d ..................Differentialoperator
bedeuten.
• Diese Differenzialgleichung kann für eine gewählte Verlaufsfunktion unmittelbar ausgewertet werden. Für Trassierungshöhe h = 0 erhält man eine konventionelle Trassierung. Die Bezugskrümmung und die Bezugsüberhöhung müssen im Kreisbogen oder an der selben Stelle des Gleises gewählt werden.
• Um den angenommenen Verlauf in der Wirklichkeit eines kontinuierlich gebetteten Gleises zu erreichen, sieht ein vorteilhaftes Merkmal der Erfindung generell eine viermalige Differenzierbarkeit der Überhöhungsfunktion vor. Aus Gleichung (1) wird dann die zugehörige Krümmung der Gleismittelinie im Grundriss berechnet.
• Für einen Übergangsbogen von einem überhöhten Kreisbogen zu einem anderen überhöhten Kreisbogen wird die Überhöhung mittels der normierten Funktion (f(s/l) wie folgt ganz allgemein gebildet: $$\mathit{\psi }\left(s\right)=\frac{u\left(s\right)}{b}={\mathit{\psi }}_1+\mathrm{\Delta }\mathit{\psi }\cdot f\left(\frac{s}{l}\right)$$

  

  
  mit $0\le \frac{s}{l}\le 1$

  

  und Δ ψ = ψ ₂ - ψ ₁.
• Dabei bedeuten:
• ψ (s) .......... Überhöhungswinkel
• s ..................Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• u(s) .............Überhöhung bei Zweischienenbahnen
• b ..................Lauflinienabstand (Spurweite) bei Zweischienenbahnen
• ψ _l .................konstanter Überhöhungswinkel am Beginn der Überhöhungsrampe
• Δψ ..............Überhöhungsdifferenz zwischen den Werten in den Kreisbögen
• f(s l) ...........zwischen 0 und 1 normierte Grundfunktion
• l ...................Überhöhungsrampenlänge
• ψ₂ ................konstanter Überhöhungswinkel am Ende der Überhöhungsrampe.
• Die normierte Funktion beschreibt dabei unmittelbar den Verlauf der Überhöhungsrampe.
• Als mindestens viermal differenzierbare und damit die Anforderungen aus der Bernoulli-Euler Biegetheorie erfüllende normierte Funktionen für die Überhöhungsrampe zum Übergangsbogen von einem mit Überhöhung versehenen Kreisbogen zu einem anderen, mit Überhöhung versehenen Kreisbogen werden erfindungsgemäß ein Polynom siebenter Ordnung, ein Polynom dritter Ordnung in Kombination mit dem Sinus und dem Cosinus und einem konstanten Wert (Z), ein Polynom dritter Ordnung in Kombination mit dem Sinus und dem Cosinus, ein Polynom fünfter Ordnung in Kombination mit nur dem Sinus, ein Polynom fünfter Ordnung in Kombination mit nur dem Cosinus sowie ein Polynom neunter Ordnung verwendet: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=(\frac{s}{l}{)}^4\cdot \left(35-84\cdot \frac{s}{l}+70\cdot (\frac{s}{l}{)}^2-20\cdot (\frac{s}{l}{)}^3\right)$$

  

  $$f\left(\frac{s}{l}\right)=(\frac{s}{l}{)}^{2\cdot }\cdot \left(-2\cdot \frac{s}{l}+3\right)+\frac{6}{Z^2}\cdot \left(+2\cdot \frac{s}{l}-1+\cos \left(Z\cdot \frac{s}{l}\right)-\frac{2}{Z}\cdot \sin \left(Z\cdot \frac{s}{l}\right)\right)$$

  

  
  mit $\tan \frac{Z}{2}=\frac{Z}{2}\approx 4,49340946$

  

  $$f\left(\frac{s}{l}\right)=+\frac{1}{{\mathit{\pi }}^2-9}\cdot \left(+{\pi }^2\cdot (\frac{s}{l}{)}^2\cdot (-2\cdot \frac{s}{l}+3)-6\cdot \left(+1-\cos \frac{\pi \cdot s}{l}\right)\right)+\frac{3}{{\pi }^2-9}\cdot (+\frac{s}{l}-\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sin \left(2\cdot \pi \cdot \frac{s}{l}\right))$$

  

  $$f\left(\frac{s}{l}\right)=+\frac{15}{15-{\mathit{\pi }}^2}\cdot \left(+\frac{s}{l}-\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sin (2\cdot \pi \cdot \frac{s}{l})\right)-\frac{{\pi }^2}{15-{\pi }^2}\cdot (\frac{s}{l}{)}^2\cdot (+6\cdot (\frac{s}{l}{)}^2-15\cdot \frac{s}{l}+10)$$

  

  $$f\left(\frac{s}{l}\right)=+\frac{15}{10-{\mathit{\pi }}^2}\cdot \left(+1-\cos \frac{\pi \cdot s}{l}\right)-\frac{{\pi }^2}{2\cdot (10-{\pi }^2)}\cdot (\frac{s}{l}{)}^2\cdot (+2\cdot (\frac{s}{l}{)}^3-5\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^2+5)$$

  

  $$f\left(\frac{s}{l}\right)={\left(\frac{s}{l}\right)}^{5\cdot }\cdot \left(126-420\cdot \frac{s}{l}+540\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^2-315\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^3+70\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^4\right)$$

  

  
  alle mit $0\le \frac{s}{l}\le 1.$

  
• Dabei bedeuten:
• s ..................Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• l ...................Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe
• $f\left(\frac{s}{l}\right)$
  
  .........zwischen 0 und 1 normierte Grundfunktion.
• Alle diese normierten Funktionen, die für einen Übergangsbogen mit Überhöhungsrampe eingesetzt werden, der von einem mit Überhöhung versehenen Kreisbogen zu einem anderen mit Überhöhung versehenen Kreisbogen führt, sind entweder simple Polynome oder einfachen Kombinationen von trigonometrischen Funktionen mit kurzen Polynomen. Sie sind nicht transzendent und können in der Praxis leicht ausgewertet werden, etwa analytisch endlich differenziert bis zur physikalisch noch bedeutsamen Ordnung und auch integriert werden.
• Die Differenzierbarkeit kann auch leicht erhöht werden. Exemplarisch ist eine Erhöhung um 1 an der normierten Funktion Gleichung (7), einem speziellen Polynom neunter Ordnung, gezeigt: Mit diesem Verlauf als Überhöhungsfunktion ist die Bettungskraftverteilung der Schiene nicht nur begrenzt, sondern auch stetig und die Ruckverteilung nicht nur stetig, sondern auch glatt. Dafür werden die Amplituden wieder etwas größer als im Verlauf nach Gleichung (2).
• Mit diesen normierten Funktionen werden die Überhöhungsrampen aus Gleichung (10) gebildet. Zweimalige Differenziation nach der Bogenlänge längs der Gleismittellinie und Einsetzen in die für Übergangsbogen in folgender Form adaptierte Gleichung (1) liefert die Krümmung (κ_H) der Gleismittellinie im Grundriss: $${\mathit{\kappa }}_{\mathit{H}}\left(s\right)={\mathit{\kappa }}_1+\mathrm{\Delta }\mathit{\kappa }\cdot f\left(\frac{s}{l}\right)-h\cdot \Delta \mathit{\psi }\cdot \frac{{\mathrm{d}}^2\mathit{\psi }}{{\mathrm{d}s}^2}$$

  

  
  mit $0\le \frac{s}{l}\le 1$

  

  und Δκ = κ₂ - κ₁.
• Dabei bedeuten:
• κ_H (s) .........Krümmung der Gleismittellinie im Grundriss
• s ..................Bogenlänge längs der Gleismittellinie
• κ ₁ .............. konstante Krümmung im Kreisbogen am Beginn des ......................Übergangsbogens
• Δ κ .............Krümmungsdifferenz zwischen den Werten in den Kreisbögen
• $f\left(\frac{s}{l}\right)$
  
  .....zwischen 0 und 1 normierte Grundfunktion
• h ............Trassierungshöhe
• Δψ ...... Oberhöhungsdifferenz zwischen den Werten in den Kreisbögen
• d ...........Differentialoperator
• κ₂ .....konstante Krümmung im Kreisbogen am Ende des ..........Übergangsbogens.
• In der folgenden Tabelle ist beispielhaft eine numerische Auswertung mit der normierten Funktion nach Gleichung (2) aufgelistet. Diese numerische Auswertung gilt für einen Übergangsbogen mit 200 [m] Länge von einem Kreis (Index 1) mit -2000 [m] Radius und -64 [mm] Überhöhung zu einem Kreis (Index 2) mit +800 [m] Radius und einer Überhöhung von 160 [mm] bei Normalspur (1435 [mm] Spurweite; b = 1,5 [m]). Angegeben sind alle Größen vom Beginn des Übergangsbogens weg: Die Bogenlänge, die mit der Übergangsbogenlänge zwischen 0 und 1 normierte Bogenlänge, der Überhöhungswinkel, die Überhöhung, die Krümmung im Grundriss, der lokale Radius und die für die Bemessung wichtige Verwindung. TABELLE

  (Blatt A)
  Bogenlänge BogenlängeÜberhöhungs-ÜberhöhungKrümmung					Radius	Verwindung
  	normiert winkel			Grundriss	lokal
  [m]	[1]	[rad]	[mm]	[1 /km]	[m]	[mm/m]
  	0	0,00	-0,042667	-64,0-5,000000E-01	-2000	0,000
  	4	0,02	-0,042666	-64,0-5,010315E-01	-1995,882	0,001
  	8	0,04	-0,042655	-64,0-5,036866E-01	-1985,361	0,009
  	12	0,06	-0,042608	-63,9-5,072155E-01	-1971,549	0,028
  	16	0,08	-0,042491	-63,7-5,107841E-01	-1957,774	0,063
  	20	0,10	-0,042259	-63,4-5,135152E-01	-1947,362	0,114
  	24	0,12	-0,041865	-62,8-5,145237E-01	-1943,545	0,185
  	28	0,14	-0,041258	-61,9-5,129488E-01	-1949,512	0,274
  	32	0,16	-0,040389	-60,6-5,079798E-01	-1968,582	0,381
  	36	0,18	-0,039213	-58,8-4,988790E-01	-2004,494	0,504
  	40	0,20	-0,037687	-56,5-4,850001E-01	-2061,855	0,642
  	44	0,22	-0,035777	-53,7-4,658022E-01	-2146,834	0,792
  	48	0,24	-0,033453	-50,2-4,408612E-01	-2268,288	0,952
  	52	0,26	-0,030697	-46,0-4,098773E-01	-2439,755	1,117
  	56	0,28	-0,027495	-41,2-3,726788E-01	-2683,276	1,285
  	60	0,30	-0,023845	-35,8-3,292241	E-01-3037,444	1,452
  	64	0,32	-0,019754	-29,6-2,796003E-01	-3576,534	1,616
  	68	0,34	-0,015235	-22,9-2,240189E-01	-4463,909	1,772
  	72	0,36	-0,010313	-15,5-1,628105E-01	-6142,109	1,918
  	76	0,38	-0,005019	-7,5-9,641627E-02	-10371,69	2,051
  	80	0,40	0,000609	0,9-2,537805E-02	-39404,13	2,168
  	84	0,42	0,006525	9,8 4,967288E-02	20131,71	2,267
  	88	0,44	0,012680	19,0 1,280288E-01	7810,744	2,346
  	92	0,46	0,019017	28,5 2,089193E-01	4786,537	2,403
  	96	0,48	0,025477	38,2 2,915264E-01	3430,221	2,438
  	100	0,50	0,032000	48,0 3,750000E-01	2666,667	2,450
  	104	0,52	0,038523	57,8 4,584736E-01	2181,151	2,438
  	108	0,54	0,044983	67,5 5,410807E-01	1848,153	2,403
  	112	0,56	0,051320	77,0 6,219712E-01	1607,791	2,346
  	116	0,58	0,057475	86,2 7,003271E-01	1427,904	2,267
  	120	0,60	0,063391	95,1 7,753780E-01	1289,693	2,168
  	124	0,62	0,069019	103,5 8,464163E-01	1181,452	2,051
  	128	0,64	0,074313	111,5 9,128105E-01	1095,518	1,918
  	132	0,66	0,079235	118,9 9,740189E-01	1026,674	1,772
  	136	0,68	0,083754	125,61,029600E+00	971,2507	1,616
  	140	0,70	0,087845	131,81,079224E+00	926,5916	1,452
  	144	0,72	0,091495	137,21,122679E+00	890,7267	1,285
  	148	0,74	0,094697	142,01,159877E+00	862,1602	1,117
  	152	0,76	0,097453	146,21,190861E+00	839,7284	0,952
  	156	0,78	0,099777	149,71,215802E+00	822,5022	0,792
  	160	0,80	0,101687	152,51,235000E+00	809,7166	0,642
  	164	0,82	0,103213	154,81,248879E+00	800,7181	0,504
  	168	0,84	0,104389	156,61,257980E+00	794,9253	0,381
  	172	0,86	0,105258	157,91,262949E+00	791,7977	0,274
  	176	0,88	0,105865	158,81,264524E+00	790,8116	0,185
  	180	0,90	0,106259	159,41,263515E+00	791,4428	0,114
  	184	0,92	0,106491	159,71,260784E+00	793,1572	0,063
  	188	0,94	0,106608	159,91,257215E+00	795,4086	0,028
  	192	0,96	0,106655	160,01,253687E+00	797,6475	0,009
  	196	0,98	0,106666	160,01,251032E+00	799,3404	0,001
  	200	1,00	0,106667	160,01,250000E+00	800	0,000

• Tabellen für Übergangsbögen und Überhöhungsrampen, die auf den anderen normierten Funktionen der Gleichungen (3) bis (7) aufbauen, können in analoger Weise durch numerische Auswertung der Formeln leicht erhalten werden.
• Für die anderen angegebenen Funktionen kann analog vorgegangen werden.
• Die Methode kann erfindungsgemäß analog für einen einteiligen, überhöhten Übergang von einem geraden Gleis auf ein in einem Winkel davon abweichendes gerades Gleis angewendet werden. Die Wahl einer entsprechenden Funktion für die Überhöhung und die Annahme der gesamten unausgeglichenen Seitenbeschleunigung inklusive des Anteils aus der Wankbewegung mit derselben Funktion liefert den Krümmungsverlauf des Gleises im Grundriss. Für die Überhöhung wird eine von Null bis auf einen Maximalwert ansteigende und dann wieder auf null abfallend Funktion gewählt. Um die sich aus der Biegung Schiene ergebenden Anforderungen zur erfüllen, wird eine Funktion gewählt, die auch an den Bereichsrändern viermal differenzierbar ist.
• Ebenso können überhöhte Gleisverziehungen, die von einem geraden Gleis auf ein paralleles gerades Gleis überleiten, in einem Stück ausgeführt werden. Auch dort wird eine geeignete Funktion, die vorzugsweise überall viermal differenzierbar ist, für die Überhöhung und die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung angenommen und daraus der Krümmungsverlauf des Gleises im Grundriss berechnet.
• In analoger Weise kann auch die Umfahrung eines Hindernis, das heißt eine Trassierung die von einem geraden Gleis ausgeht, einem Hindernis nach einer Seite ausweicht, dann zurück zur gedachten Verlängerung des geraden Gleises verläuft und diese kreuzt, anschließend auf der anderen Seite weiter verläuft und in einem nach dieser Seite weiterführenden geraden Gleis elnschleifend endet, in einem Stück ausgeführt werden.
• Mit der erfindungsgemäßen Methode können jeweils die Trassenverläufe und die Anforderungen aus der Biegbarkeit der Schienen erfüllende Rampenformen mit perfekten dynamischen Eigenschaften für alle denkbaren Anwendungszwecke entworfen werden.

Claims (13)

1. Gleis mit einer Gleismittellinie mit variabler Krümmung (κ_H) im Grundriss und variablem Überhöhungswinkel (ψ) dadurch gekennzeichnet, dass die Krümmung (κ_H) aus einer für die Überhöhung angenommenen Funktion so bestimmt wird, dass die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung auf einer gewählten, fixen Trassierungshöhe (h) unter Berücksichtigung des durch die Wankbewegung verursachten Anteils der unausgeglichenen Seitenbeschleunigung einen Verlauf wie diese Funktion aufweist und folgende Differenzialgleichung erfüllt: $${\mathit{\kappa }}_{\mathit{H}}\left(s\right)=\frac{{\mathit{\kappa }}_{\mathit{C}}}{{\mathit{\psi }}_{\mathit{C}}}\mathit{\cdot }\mathit{\psi }\left(s\right)-h\cdot \frac{{\mathrm{d}}^2\mathit{\psi }}{{\mathrm{d}s}^2}$$

   

   
   wobei

   κ_H (s) ..... Krümmung der Gleismittellinie im Grundriss

   s .............. Bogenlänge längs der Gleismittellinie

   κ_c ............ konstante Bezugskrümmung (in einem Kreisbogen)

   ψ _c .............. konstanter Bezugsüberhöhungswinkel (in einem Kreisbogen)

   ψ (s) ........ Überhöhungswinkel

   h................ Trassierungshöhe

   d .............. Differenzialoperator

   bedeuten.
2. Gleis nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Funktion in ihrem gesamten Verlauf, auch an den Bereichsrändern, mindestens viermal differenzierbar ist, weshalb auch noch die vierten Ableitungen der Funktion überall endliche Werte aufweisen.
3. Gleis nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass bei der Bestimmung der Krümmung (κ _H ) der Gleismittellinie im Grundriss die Trassierungshöhe Null als fixe Trassierungshöhe (h) gewählt wird.
4. Gleis nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass als normierte Funktion folgendes Polynom siebenter Ordnung verwendet wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=(\frac{s}{l}{)}^4\cdot \left(35-84\cdot \frac{s}{l}+70\cdot (\frac{s}{l}{)}^2-20\cdot (\frac{s}{l}{)}^3\right)$$

   

   
   mit $0\le \frac{s}{l}\le 1,$

   

   
   in dem

   S ................. Bogenlänge längs der Gleismittellinie

   l ................... Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe bedeuten,

   wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt und daraus die Krümmung (κ_H) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird.
5. Gleis nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass als normierte Funktion folgendes Polynom dritter Ordnung in Kombination mit dem Sinus und dem Cosinus und einem konstanten Wert (Z) verwendet wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=(\frac{s}{l}{)}^{2\cdot }\cdot \left(-2\cdot \frac{s}{l}+3\right)+\frac{6}{Z^2}\cdot \left(+2\cdot \frac{s}{l}-1+\cos \left(Z\cdot \frac{s}{l}\right)-\frac{2}{Z}\cdot \sin \left(Z\cdot \frac{s}{l}\right)\right)$$

   

   
   mit $\tan \frac{Z}{2}=\frac{Z}{2}\approx 4,49340946$

   

   und $0\le \frac{s}{l}\le 1,$

   

   
   in dem

   s ................. Bogenlänge längs der Gleismittellinie

   1 ................. Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe bedeuten,

   wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt und daraus die Krümmung (κ _H ) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird.
6. Gleis nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass als normierte Funktion folgendes Polynom dritter Ordnung in Kombination mit dem Sinus und dem Cosinus verwendet wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=+\frac{1}{{\mathit{\pi }}^2-9}\cdot \left(+{\pi }^2\cdot (\frac{s}{l}{)}^2\cdot (-2\cdot \frac{s}{l}+3)-6\cdot \left(+1-\cos \frac{\pi \cdot s}{l}\right)\right)+\frac{3}{{\pi }^2-9}\cdot (+\frac{s}{l}-\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sin \left(2\cdot \pi \cdot \frac{s}{l}\right))$$

   

   
   mit $0\le \frac{s}{l}\le 1,$

   

   
   in dem

   s ..... Bogenlänge längs der Gleismittellinie

   l ........ Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe bedeuten,

   wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt und daraus die Krümmung (κ_H) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird.
7. Gleis nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass als normierte Funktion folgendes Polynom fünfter Ordnung in Kombination mit nur dem Sinus verwendet wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=+\frac{15}{15-{\mathit{\pi }}^2}\cdot \left(+\frac{s}{l}-\frac{1}{2\cdot \pi }\cdot \sin (2\cdot \pi \cdot \frac{s}{l})\right)-\frac{{\pi }^2}{15-{\pi }^2}\cdot (\frac{s}{l}{)}^2\cdot (+6\cdot (\frac{s}{l}{)}^2-15\cdot \frac{s}{l}+10)$$

   

   
   mit $0\le \frac{s}{l}\le 1,$

   

   
   in dem

   s ...... Bogenlänge längs der Gleismittellinie

   l ................. Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe bedeuten,

   wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt und daraus die Krümmung (κ_H ) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird.
8. Gleis nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass als normierte Funktion folgendes Polynom fünfter Ordnung in Kombination mit nur dem Cosinus verwendet wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)=+\frac{15}{10-{\mathit{\pi }}^2}\cdot \left(+1-\cos \frac{\pi \cdot s}{l}\right)-\frac{{\pi }^2}{2\cdot (10-{\pi }^2)}\cdot (\frac{s}{l}{)}^2\cdot (+2\cdot (\frac{s}{l}{)}^3-5\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^2+5)$$

   

   
   mit $0\le \frac{s}{l}\le 1,$

   

   
   in dem

   s ..... Bogenlänge längs der Gleismittellinie

   l ..... Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe bedeuten,

   wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt und daraus die Krümmung (κ _H ) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird.
9. Gleis nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass als normierte Funktion folgendes Polynom neunter Ordnung verwendet wird: $$f\left(\frac{s}{l}\right)={\left(\frac{s}{l}\right)}^{5\cdot }\cdot \left(126-420\cdot \frac{s}{l}+540\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^2-315\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^3+70\cdot {\left(\frac{s}{l}\right)}^4\right)$$

   

   
   mit $0\le \frac{s}{l}\le 1,$

   

   
   in dem

   s ..... Bogenlänge längs der Gleismittellinie

   l ................. Länge des Übergangsbogens und der Überhöhungsrampe bedeuten,

   wobei diese normierte Funktion für den Verlauf des Überhöhungswinkels und für die gesamte unausgeglichene Seitenbeschleunigung eingesetzt und daraus die Krümmung (κ_H) der Gleismittellinie im Grundriss nach Gleichung (1) ermittelt wird.
10. Gleis nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass ein mit oder ohne Überhöhung ausgeführtes Trassierungselement, das ein gerades Gleis mit einem in einem Winkel davon abweichenden geraden Gleis verbindet, mit einer einteiligen Funktion ausgelegt wird.
11. Gleis nach Anspruch 10, dadurch gekennzeichnet, dass die einteilige Funktion, die dem mit oder ohne Überhöhung ausgeführtem, ein gerades Gleis mit einem in einem Winkel davon abweichenden geraden Gleis verbindenden, Trassierungselement zugrunde liegt, viermal mit endlichen Werten differenzierbar ist.
12. Gleis nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass eine mit oder ohne Überhöhung ausgeführte Gleisverziehung, welche ein gerades Gleis mit einem dazu parallelen geraden Gleis verbindet, mit einer einteiligen Funktion ausgelegt wird.
13. Gleis nach Anspruch 12, dadurch gekennzeichnet, dass die einteilige Funktion, die der mit oder ohne Überhöhung ausgeführtem, ein gerades Gleis mit einem parallelen geraden Gleis verbindenden, Gleisverziehung zugrunde liegt, viermal mit endlichen Werten differenzierbar ist.

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