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Vorrichtung zur Bestimmung von Merkmalen eines Kollektivs Die Methoden
der mathematischen Statistik werden für biometrische, wirtschaftliche und technische
Zwecke in großem Umfange angewandt, beispielsweise bei der Auswertung wirtschaftsstatistischer
Aufzeichnungen, bei der Auswertung der Eigenschaften von Massenfabrikaten u. dgl.
Diese bestehen zumeist in der Ermittlung der Häufigkeitsverteilung irgendwelcher
Meßwerte, deren Gesamtheit im Sinne der Statistik als Kollektiv bezeichnet wird,
und anschließend in der zahlenmäßigen Ermittlung besonderer Merkmale, die als Ergebnis
derartiger Häufigkeitsermittlungen die besonderen Eigenschaften des Kollektivs kennzeichnen.
Solche Merkmale sind einerseits die Gestalt der Häufigkeitskurve, andererseits bestimmte
Konstanten (z. B. der Mittelwert, die Streuung der Einzelwerte u. dgl.), die in
vielen Fällen zur Beurteilung des Kollektivs in der einen oder anderen Richtung
besonders nützlich sind. Solche statistischen Betrachtungen geben beispielsweise
der Technik überaus wertvolle Fingerzeige für den Gang der Fabrikation, wenn man
zum Gegenstand des Kollektivs die das Fabrikationsprodukt kennzeichnenden Meßwerte
macht, z. B. Längenmaße, Gewichtsmaße, elektrische Maße u. dgl. Vielfach kann man
von strengen Durchführungen der statistischen Rechnungen absehen und sich vereinfachten
Rechenmethoden zuwenden, aber auch dann beansprucht die Durchführung der zahlreichen
Rechenarbeiten verhältnismäßig viel Zeit, wobei Rechenfehler nicht völlig ausgeschlossen
bleiben.
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Gemäß der Erfindung wird demgegenüber die Anwendung statistischer
Methoden erheblich erleichtert durch eine Vorrichtung, bei der die Bestimmung der
Häufigkeit durch elektrische Strom- und Spannungsmessungen an einem Netzwerk von
Widerständen erfolgt, deren Größe durch die Häufigkeit der Einzelwerte des Kollektivs
bestimmt ist. Hierbei ist unter Häufigkeit eine Verhältniszahl zu verstehen, welche
angibt, in welchem Verhältnis die Zahl der Einzelwerte einer Gruppe zur Gesamtzahl
der Einzelwerte steht. Der trfindungsgegenstand stellt wegen seiner Einfachheit
einen bemerkenswerten Fortschritt gegenüber allen bisher bekannten, rein mechanischen
Zähl- und Registrierapparaten dar.
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Nächstehend. sind einige Ausführungsbeispiele des Gegenstandes der
Erfindung beschrieben und bezüglich ihrer Wirkungsweise erläutert.
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Die Anordnung nach Abb. z stellt eine Vorrichtung zur Anzeige der
Häufigkeitsverteilung dar. Abb. 2a zeigt zwecks näherer Erläuterung den idealen
Verlauf einer Häufigkeitskurve, Abb.2b zeigt den Verlauf einer praktisch ermittelten
Häufigkeitskurve, bei der die vorkommenden
Meßwerte in Gruppen
eingeordnet wurden, die durch die Zahlenfolgen p = - =o, -9, - 8
.... o, -[- i, -r-- 2 .... -f- =o gekennzeichnet sind. Man erhält
die Kurve, wenn man über jeden Zahlenwert p ein Rechteck von der Breite Z aufträgt,
wobei die Höhe der Rechtecke jeweils der Anzahl n der betreffenden Einzelwerte entspricht.
Die treppenförmige Randkurve stellt eine Annäherung für die in Abb.2a dargestellte
idealisierte Häufigkeitskurve der Meßwerte _p dar.
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Wählt man in der Abb.2b die Intervalle schmal genug und berücksichtigt
eine genügend große Anzahl von Einzelwerten, so schmiegt sich die Treppenkurve der
Abb.2b mit beliebiger Genauigkeit der glatten Kurve der Abb. 2 a an. Die idealisierte
Kurve kann natürlich je nach der Art des betrachteten Kollektivs verschiedene Formen
besitzen. Der von der Kurve und von der Abszissenachse eingeschlossene Flächenraum
entspricht der Gesamtzahl der in Betracht gezogenen Meßwerte p. Die Häufigkeit wird
durch den Wert der Ordinatenrechtecke im Verhältnis zu der Gesamtfläche angegeben.
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Ein anderer Weg zur Darstellung der Häufigkeitsverteilung ist durch
Abb.3a und 3b gekennzeichnet. Hier entsprechen die Ordinaten nicht wie bei Abb.
2b jeweils der Anzahl n der betreffenden Einzelwerte, sondern der Summe
von dem Meßwert - oo bis zu dem durch die jeweilige Größe der Abszisse gegebenen
Meßwert p. In der Praxis wird man zweckmäßig statt -oo und + co endliche den der
zu erwartenden Häufigkeitsverteilung entsprechende untere und obere Grenzwerte festlegen.
Bei der in Abb.3b dargestellten praktisch ermittelten Kurve, die derjenigen nach
Abb. zb entsprechend gezeichnet ist, ist also z. B. über dem Zahlenwert _ + 2 ein
Rechteck von der Breite l errichtet, dessen Höhe der Summe der aus Abb. 2b zu entnehmenden
Höhen der Rechtecke von p - - =o bis p = -r- 2 entspricht. Abb. 3 a ist die der
Treppenkurve 3b entsprechende Idealkurve.
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Die Anordnung nach Abb. i enthält nun eine Anzahl von Widerständen,
z. B. i bis 21, deren jeder einer der vorerwähnten Gruppen von Meßwerten zugehörig
ist, z. B. der Widerstand i der Gruppe - =o, der Widerstand 2 der Gruppe - 9, der
Widerstand 3 der Gruppe - 8 usf., schließlich der Widerstand 21 der Gruppe =o. Alle
diese Widerstände können in Reihe über die Gleitkontakte 22, 23 usf. bis 42 geschaltet
werden, vermöge deren man beliebige Teile der Widerstände abgreifen kann. Uber einen
Schalter 43 sind die Widerstände, eine Batterie 44 und ein veränderbarer Vorschaltwiderstand
45 angeschlossen. Letzterer gestattet den Gesamtspannungsabfall an den in Reihe
geschalteten Widerständen i bis 21 auf einen gewünschten Wert einzustellen, beispielsweise
auf den Teilstrich ioo des Spannungsmessers 46, der mit Hilfe der Gleitkontakte
47 und 47' an jeden der Kontakte a bis v der insgesamt eingeschalteten Widerstände
i bis 21 angeschlossen werden kann.
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Soll nun mit Hilfe der Vorrichtung nach Abb. i eine Häufigkeitskurve
etwa in der Art der in Abb. 2b dargestellten ermittelt werden, dann wird für jeden
in eine Gruppe fallenden Einzelwert der Gleitkontakt an dem dieser Gruppe entsprechenden
Widerstand i, 2 usf. bis 21 um eine Widerstandsstufe verschoben. Nachdem so für
jede Gruppe die Zahl der vorhandenen Einzelwerte durch einen ihr entsprechenden
Widerstandswert festgelegt ist, wird der Schalter 43 geschlossen und der Widerstand
45 so lange verändert, bis in der gezeichneten Stellung des Gleitkontaktes 47 (am
Kontakt v) das Meßinstrument 46 den Teilstrich ioo anzeigt. Die Skala dieses Meßinstruments
kann eine Einteilung nach Prozenten besitzen; der Vollausschlag entspricht dann
dem Wert von ioo°/o, der demnach das Verhältnis der Gesamtzahl aller Einzelwerte
zu sich selbst darstellt. Nach Einstellung auf Sollausschlag werden die Gleitkontakte
47 und 47' schrittweise an je zwei aufeinanderfolgende Kontakte a, b, c usw.,
z. B. an a und b, b und c usw., gelegt und jedesmal der Ausschlag
des Meßinstrumentes abgelesen.
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Das Meßinstrument wird nun jeweils dem Spannungsabfall in dem zwischen
den Gleitkontakten 47 und 47' eingeschalteten Widerstand entsprechend eingestellt.
Da dieser proportional ist der Zahl der Einzelwerte, die in die Gruppe fallen, zu
welchen der abgegriffene Widerstand gehört, da ferner der Vollausschlag des Instrumentes
der Gesamtzahl aller Einzelwerte entspricht, so erhält man mit der Anzeige des Instrumentes
zugleich das Verhältnis der Einzelwerte der Gruppe zur ganzen Summe der Einzelwerte
und durch Ausführung der Messung an sämtlichen Widerständen die Häufigkeitskurve
selbst.
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In ähnlicher Weise kann man auch die Häufigkeit nach der Kurve, wie
sie Abb. 3b zeigt, ermitteln. Hierzu bleibt der Gleitkontakt 47' auf Kontakt a stehen,
während der Gleitkontakt 47 von der in Abb. i dargestellten Stellung auf Kontakt
v schrittweise über die Kontakte u, t,
s bis b bewegt wird. Steht z. B. der
Gleitkontakt 47' auf dem Kontakt u, so zeigt das Meßinstrument den prozentualen
Spannungsabfall der Widerstände i bis 2o an, der gleichzeitig dem prozentualen Anteil
der Summe derjenigen Einzelwerte entspricht, die in die den Widerständen i bis 2o
entsprechenden Gruppen fallen. Wird der Gleitkontakt 47 um eine Stufe weiter nach
links verschoben (bis Kontakt t), so zeigt
das Meßigstrument den
prozentualen Spannungsabfall in den Widerständen i bis ig an, gleichbedeutend mit
dem prozentualen Anteil aller Einzelwerte, die in die den Widerständen i bis i9
entsprechenden Gruppen fallen. Setzt man dies fort, so erhält man schließlich eine
Kurve nach Art der Abb. 3b.
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Anstatt nun die einzelnen Häufigkeitswerte vom Meßinstrument 46 abzulesen
und von Hand graphisch aufzutragen, kann dies auch durch ein registrierendes Meßinstrument
unmittelbar erfolgen.
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Die in Abb. i schematisch dargestellte Vorrichtung kann man für den
praktischen Gebrauch nach verschiedener Richtung hin vervollkommnen. Ein Ausführungsbeispiel
zeigt Abb. q.. Gegenüber der Anordnung nach Abb. i, bei der die Gleitkontakte 22
bis 42 von Hand eingestellt werden müssen., gestattet diese Ausführungsform eine
mechanische Einstellung. Nach Abb. 4. sind auf runden Scheiben 48 aus Isoliermaterial
leitende Segmente 4.9 kreisförmig angeordnet und einander benachbarte Segmente durch
Widerstände 50 miteinander verbunden. Auf den Segmenten schleifen Kontaktarme
5i, welche die Verbindung zwischen dem jeweils von ihnen bedeckten Segment und einem
Schleifring 52 herstellen, der ebenfalls an der Scheibe 48 sitzt. Die Kontaktarme
3i sind fest mit Schalträdern 53 verbunden. Diese sitzen lose drehbar auf einer
Achse 54 und werden von Federn 55 gegen auf den Scheiben 48 befestigte Anschläge
56 gezogen. 57 sind Sperrklinken, welche die Kontaktarme in der einmal erreichten
Stellung entgegen dem Zuge der Federn 55 festhalten, und 58 sind Schaltklinken,
die an Tastenhebeln 59 befestigt sind. 6o ist eine feststehende Achse, auf welcher
die Tastenhebel 59 gelagert sind, und 61 sind Blattfedern, von denen die Klinken
58 in der gezeichneten Stellung gegen einen festen Anschlag 62 gedrückt werden.
Die Klinken 58 greifen beim Niederdrücken eines der Tastenhebel 59 in das zugehörige
Schaltrad 53 ein und schalten dieses um eine Zahlteilung und damit den Kontaktarm
51: um eine Segmentteilung weiter.
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Die Widerstände 5o entsprechen den Widerständen i bis 21 der in Abb.
i dargestellten Vorrichtung; normalerweise sind ebensoviel Scheiben 48 vorhanden
wie Widerstände. Unter Umständen kann aber die Zahl der Scheiben 48 auch größer
sein. Man kann auch Scheiben mit verschiedener Segmentzahl vorsehen, z. B. bei denjenigen
Scheiben, die für Gruppen mit geringer Häufigkeit vorgesehen sind. Für Scheiben
dagegen, die den Gruppen mit großer Häufigkeit entsprechen, ist eine erweiterte
Registriermöglichkeit notwendig. Man kann hierzu mehrere Scheiben 48, die mit je
io Segmenten versehen sind, einer derartigen Gruppe zuordnen. -jede Widerstandsstufe
einer solchen weiteren Kontaktscheibe entspricht dem Gesamtwiderstand der vorhergehenden
Kontaktscheiben. Sobald z. B. der Kontaktarm der Einerkontaktscheibe eine ganze
Umdrehung vollendet hat, wird durch eine bei Zählwerken allgemein bekannte Einrichtung
der Kontaktarm der Zehnerkontaktscheibe um einen Schritt weitergeschaltet. In ähnlicher
Meise kann man auch noch eine Hunderterkontaktscheibe mit einem Kontaktarm vorsehen
usf.
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Die Bedienung einer derartigen Vorrichtung geschieht in der Weise,
daß für jeden Meßwert die zugehörige Gruppentaste 59 einmal betätigt wird. Dadurch
wird eine Widerstandsstufe in den Meßkreis ein= oder zugeschaltet, wie ihn Abb.
i schematisch darstellt. Nach der Ablesung der Häufigkeitswerte können sämtliche
Widerstände auf Null dadurch zurückgebracht werden, daß durch Anheben einer Anschlagleiste
63 die Klinken 57 außer Eingriff mit den Schalträdern 53 gebracht werden. Die Federn
55 drehen dann die Kontaktarme 51 gegen die Anschläge 56 zurück. Bei der Verwendung
von Einer- und Zehnerkontaktscheiben muß bei der Nullstellung in bekannter Weise
die Zehnerübertragung unwirksam gemacht werden. Die Schaltung kann außer von Hand
auch auf mechanischem oder elektrischem Wege erfolgen, z. B. durch Lochstreifen
oder Lochkarten, auf denen die Meßwerte durch Löcher in den Zählpunktstellen registriert
sind.
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Um den arithmetischen Mittelwert der Einzelwerte eines Kollektivs
schnell und bequem bestimmen zu können, kann man erfindungsgemäß eine Vorrichtung
ähnlich Abb. i benutzen, deren Schaltung in den Abb. 5a und 5b schematisch dargestellt
ist. Man erhält nämlich mit genügender Annäherung den Mittelwert, wenn man für jede
Gruppe von' Einzelwerten nach Abb. 2b die relative Häufigkeit h mit der Ordnungszahl
P der betreffenden Gruppe multipliziert, von den so erhaltenen Werten zwischen dem
unteren und oberen Grenzwert die Summe bildet und diese Summe durch den Meßbereich
dividiert. Die Summe
läßt sich nun mit einem nach Abb. 5 geschalteten Widerstandsnetzwerk in folgender
Weise bestimmen: Abb. 52. zeigt die Schaltung in der Stellung »Eichen«. Es
bedeutet B eine Gleichstrombatterie, R,. einen veränderbaren Vorschaltwiderstand,'R,
den Instrumentwiderstand, gegebenenfalls einschließlich des Vorschaltwider-Standes,
R einen festen Vorschaltwiderstand für die Stromquelle und R" einen Normalwiderstand,
G ist ein Galvanometer oder ein Ohmmeter. Für die Messung des arithmetischen Mittelwertes,
d. h. desjenigen der absoluten Werte, wird (Abb. 5b) der Normalwiderstand R"
durch
die Reihenschaltung der Widerstandsgruppen R1 und R2 ersetzt, die den absoluten
Werten (mit gleichen Vorzeichen)
entsprechen. Es entspricht dann R1 -/- R2 dem Wert
und damit ist die Bestimmung des arithmetischen Mittelwertes auf die Widerstandsmessung
von R = R, -f- R2 zurückgeführt. , In ähnlicher Weise kann man bei Ermittlung des
algebraischen Mittelwertes verfahren. Unter dem algebraischen Mittelwert soll hier
der arithmetische Mittelwert der Einzelwerte unter Berücksichtigung des Vorzeichens
verstanden werden. Der gegensätzlichen Bedeutung entsprechend, werden für diesen
Zweck die Widerstandsgruppen R, und R2 in je einen Zweig der Brückenschaltung angeordnet,
wie beispielsweise in Abb.6a und 6b gezeigt. Abb.6a zeigt wiederum den Eichvorgang.
R und R bedeuten zwei feste Brückenwiderstände gleicher Größe, Rnl und R", zwei
Normalwiderstände, deren Größen voneinander in vorgegebener Weise abweichen. Das
Galvanometer G zeigt dann einen der Widerstandsdifferenz R"" - R,t, proportionalen
Ausschlag. Für die Messung werden die Widerstände Rnl und Rn2 durch die Widerstandsgruppen
R1 bzw. R2 ersetzt. An Stelle der Differenz R,ti - R", tritt nun die Differenz R1
- R2, und diese entspricht offenbar dem algebraischen Mittelwert, dessen Messung
somit auf eine Widerstandsdifferenznmessung zurückgeführt ist. Statt der Brückenschaltung
könnte natürlich auch irgendeine andere an sich bekannte Anordnung zur Messung der
Differenz zweier Widerstände für diesen Zweck benutzt werden, z. B. eine Schaltung
mit Hilfe eines Differentialgalvanometers. In beiden Fällen wird durch Einstellung
des Widerstandes R" proportional dem Meßbereich der Mittelwert direkt ablesbar gemacht.
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Eine für die Beurteilung eines Kollektivs wichtige Größe ist auch
die Streuung.
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Die bei statischen Berechnungen übliche Definition der Streuung or
ist nach der Gaußsehen Methode der kleinsten Quadrate durch folgende Formel gegeben:
Hierin bedeuten L Einzelwerte, M der algebraische Mittelwert und In die Gesamtzahl
der Einzelwerte. In unserer Darstellung ist der Einzelwert gegeben durch die Gruppenbreite
die der Einfachheit halber = i gesetzt werden soll, multipliziert mit der Gruppenordnungszahl
P, so daß L = P zu setzen ist.
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Umfaßt nun eine Gruppenbreite n Werte, so können Teilsummen gebildet
werden, und zwar
ist nichts anderes als die relative Häufigkeit h in einer Gruppe. Damit erhält die
obige Gleichung schließlich folgende Form:
Zur Ermittlung der Größe
benutzt man erfindungsgemäß eine Anordnung, bei der die Widerstandsstufen der einzelnen
Widerstandsgruppen proportional dem Quadrat der Gruppenordnungszahl p sind. Die
Einschaltung der Widerstandsgruppen kann sinngemäß mit einer Vorrichtung nach Abb.
5 erfolgen. Für die Messung selbst kann wieder eine Reihenschaltung aller Widerstandsgruppen
nach Art der Abb. 7a, 7b benutzt werden. Das Galvanometer, in der Schaltung nach
Abb. 7a geeicht, mißt den Summenwiderstand
In Verbindung mit der vorbeschriebenen Messung des algebraischen Mittelwertes M
erhält man durch Rechnung die Streuung unter Benutzung der obigen Formel.
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Um die Meßfehler, die durch den inneren Widerstand der Stromquelle
entstehen könnten, möglichst zu vermeiden, kann man erfindungsgemäß der Stromquelle
einen hohen inneren Widerstand geben, beispielsweise durch einen Vorschaltwiderstand
oder eine Spannungsteileranordnung. Ferner ist es vorteilhaft, an dem Meßinstrument
mehrere Meßbereiche vorzusehen, um mit einer einzigen Anordnung verschiedenartige
Messungen ausführen zu können. So kann man beispielsweise die Anordnung so treffen,
daß alle Schaltungen nach Abb. 5 bis 7 mit ein und demselben Meßgerät ausführbar
sind, indem die eingebauten Widerstände je nach der gewünschten Meßanordnung in
verschiedener Schaltung miteinander verbunden werden.
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In der Schaltung nach Abb. i erfolgt die Summierung der Einzelwerte
dadurch, daß die einzelnen Widerstände i bis 21 sämtlich in Reihe geschaltet sind
und das Galvanometer
den gesamten Spannungsabfall mißt. Statt dessen
könnten die Widerstände auch sämtlich parallel geschaltet sein, wobei das Galvanometer
den Gesamtstrom mißt.
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Schließlich kann für die Bestimmung solcher Kollektivmerkmale, die
von Momenten beliebiger höherer Ordnung abzuleiten sind, eine ähnliche Vorrichtung
verwendet werden, bei der die das Netzwerk bildenden Widerstände aus einer Reihe
zusammenschaltbarer Einzelstufen bestehen, wobei diese nach einer entsprechenden
höheren Potenz, die an sich ganzzahlig oder auch nicht ganzzahlig sein kann, bemessen
sind.