DE2618823B2

DE2618823B2 - Generator zur Erzeugung periodischer Folgen

Info

Publication number: DE2618823B2
Application number: DE2618823A
Authority: DE
Inventors: Bhaskarpillai Berkeley Heights N.J. Gopinath; Robert Paul New York N.Y. Kurshan
Original assignee: Western Electric Co Inc
Current assignee: AT&T Corp
Priority date: 1974-09-11
Filing date: 1976-04-29
Publication date: 1979-09-27
Also published as: GB1490964A; DE2618823C3; FR2350007B1; DE2618823A1; SE7604779L; SE410777B; US3963905A; FR2350007A1; CA1067968A; BE840954A

Description

/(A) = ;.* _v iij).^k-J

ein zyklotomisches Polynom ist, eine Vorrichtung zum Addieren der Produktsignale zur Erzeugung eines Signals

daß die Einrichtung zur Zuführung des Surnrnensignals derart ausgebildet ist, daß sie das *„₊i-Signal der ersten Stufe des Schieberegisters zuführen.

3. Generator nach Anspruch 1 oder 2, dadurch -,<) gekennzeichnet daß die Rückkopplungseinrichtung eine Quantisierungsvorrichtung (22) aufweist zur Quantisierung des Eingangssignals der ersten Stufe auf vorgewählte Signalpegel.

4. Generator nach Anspruch 1, gekennzeichnet v> durch Multipliziereinrichtungen (14 bis 16) zum Multiplizieren der Ausgangssignale ausgewählter Stufen des Schieberegisters (11,12) mit - 1.

5. Generator nach Anspruch 1, der auf ein Taktsignal anspricht und eine Folge der Periode q^v m> erzeugt, wobei q eine Primzahl und ν eine positive ganze Zahl ist, dadurch gekennzeichnet,

daß k = (<7^v-')(<7 — 1) Stufen vorgesehen sind und das Signal der /-ten Registerstufe beim Auftreten des Taktsignals in die (i — l)-te Registerstufe Übertrag- hi bar ist,

daß eine Summiereinrichtung zum Summieren des Ausgangssignals der ^-')-ten Stufen des Schieberegisters vorgesehen ist, und daß zwischen der Summiereinrichutng und der ersten Stufe des Schieberegisters eine Einrichtung zur Umkehr der Polarität des Ausgangssignais der Summiereinrichtung vorgesehen ist

6. Generator nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß die Summiereinrichtung mit Stufen gekoppelt ist, die ungerade Vielfache von (q'~') sind.

7. Generator nach Anspruch 1, zur Erzeugung einer Mehrfachpegelausgangsfolge der Periode p, wobei

(p,4) φ 2 und ρ =j

ist und wobei p,· Primzahlen und «/ und r positive ganze Zahlen sind, mit r-Teilfolgen-Generatoren, die je einen pf-Term entsprechen, dadurch gekennzeichnet daß

Stufen vorgesehen sind,

daß Einrichtungen zum Addieren der Ausgangssignale derjenigen Stufen vorgesehen sind, welche Vielfachen von

entsprechen,

daß zwischen den Addiereinrichtungen und der ersten Stufe des Schieberegisters eine Umkehrvorrichtung zur Umkehrung der Polarität des Ausgangssignals der Addiereinrichtung vorgesehen ist,
und daß ein Transversalnetzwerk auf ausgewählte Stufen eines jeden der Teilfolgen-Generatoren anzusprechen vermag, um ein Mehrfachpegelausgangssignal zu erzeugen, das einer Kombination der Signale der ausgewählten Stufen entspricht.

8. Generator nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß der r-te Teilfolgengenerator aufweist:
(A) ein r-tes Schieberegister mit

«Pi

Stufen;

(B) eine r-te Einrichtung zur Umkehr der Ausgangspolarität der Stufenzahlen, die Vielfache von

sind, um Rückkopplungssignale zu erzeugen;

(C) r-te Einrichtungen zum Addieren der Rückkopplungssignale und des Ausgangssignals der Stufen des r-ten Schieberegisters, die ungerade Vielfache von

sind; und

(D) eine Vorrichtung zum Zuführen des Ausgangssignals der r-ten Addiereinrichtung zur ersten Stufe des r-ten Schieberegisters.

Die Erfindung betrifft einen Signalgenerator der im Oberbegriff des Anspruches 1 angegebenen Art.

Bekanntlich können (periodische) Zwei-Pegel-Pseudozufallsfolgen durch mit Modulo-2-Arithmetik arbeitende Logikschaltungen erzeugt werden, die in Rückkopplungskombinationen mit binären Schieberegistern angeordnet sind. Mehrfachpegel-Pseudozufallsfolgen sind jedoch weniger gebräuchlich. Mehrfachpegelfolgen kann man dadurch erreichen, daß man vorgewählte Teile binärer Pseudozufallsfolgen gruppiert und die Gruppen als Repräsentanten von Mehrfachpegel-Binärsignalen betrachtet Alternativ dazu können mehrere parallele binäre Schieberegister verwendet werden, und ihre Ausgangssignale können in Modulo-2^A/-Arithmetik (wobei W die Anzahl der Schieberegister ist) verarbeitet werden, um auch ein Mehrfachpegelausgangssignal zu bilden. Letzteres ist in der US-PS 37 80 275 für eine Modulo-p^-Arithmetik beschrieben, wobei ρ eine Primzahl ist Hierbei wird lediglich das Ausgangssignal dev letzten Stufe auf alle anderen Stufen zurückgekoppelt

Dieser bekannte Weg zur Pseudozufallssignalerzeugung führt aber lediglich zu einer einzigen Pseudozufallsfolge maximaler Länge statt zu einer großen Anzahl vorgeschriebener Folgen, und eine Steuerung der Wellenformcharakteristiken ist nicht möglich. Zudem ist dort die Verwendung verfügbarer Speicher nicht notwendigerweise optimal.

Aufgabe der Erfindung ist es deshalb, den Signi !generator mit den Merkmalen des Oberbegriffes des Anspruchs 1 so zu verbessern, daß der Signalgenerator auch eine große Anzahl vorgeschriebener Pseudozufallssignalfolgen zu erzeugen vermag und eine Steuerung der Wellenform-Charakteristiken ermöglicht.

Die erfindungsgemäße Lösung dieser Aufgabe ist im Kennzeichen des Anspruches 1 angegeben.

Hiernach sind Mehrfachpegelschaltungen vorgesehen, deren charakteristische Funktionen zyklotomische Polynome sind. Jede Schaltung, die hier »zyklotomische Schaltung« genannt wird, umfaßt hierzu ein Schieberegister, das Mehrfachpegelsignale zu speichern vermag, und Rückkopplungseinrichtungen. Letztere haben eine Vorrichtung zum Multiplizieren des Ausgangssignals vorbestimmter Stufen des Schieberegisters mit ausgewählten ganzen Zahlen und eine Vorrichtung zum Addieren der multiplizierten Signale in gewöhnlicher, d. h. Nichtmodulo-Arithmetik. Die addierten Signale werden der ersten Stufe des Schieberegisters zugeführt. Die ganzzahligen Multiplikatoren innerhalb der Rückkopplungsvorrichtung sind so ausgewählt, daß die charakteristische Funktion der zyklotomischen Schaltung ein zyklotomisches Polynom ist.

Der Ausdruck »gewöhnliche« oder »Nichtmodulo«- Arithmetik wird hier zur Unterscheidung vom Ausdruck »Modulo«-Arithmetik verwendet. Bei der gewöhnlichen Arithmetik ist (6 + 8) = 14, während bei der Modulo-10-Arithmetik (6 + 8) = 4 ist, da Zahlen oberhalb 9 nicht existieren. Die Benutzung der Nichtmodulo-Arithmetik erlaubt die vorteilhafte Verwendung von Analogschieberegistern, beispielsweise CCD-Schieberegistern (CCD = Charge Coupled Device, d. h. ladungsgekoppelte Vorrichtung), und erlaubt die Erzeugung einer großen Anzahl Folgen, welche Zahl lediglich durch den Rauschpegel im System und durch den dynamischen Bereich begrenzt ist.

Zyklotomische Schaltungen sind insbesondere nützlich für Minimalspeicher-Signalgeneratoren vorgeschriebener Periode. Bei der Ausführung von Minimalspeichersignalgeneratoren wird die vorgeschriebene Periode in eine Vielzahl von die Potenz einer Primzahl darstellenden Faktoren (im folgenden kurz Primzahlpotenzfaktor genannt) zerlege. Entsprechend einem jeden Primzahlpotenzfaktor wird eine zyklotomische Schaltung verwendet zur Entwicklung einer Folge mit einer Periode, die dem Primzahlpotenzfaktor gleich ist Die Ausgangssignale der einzelnen Schaltungen aus der Vielzahl zyklotomischer Schaltungen werden in einem Transversal-Netzwerk kombiniert, um die gewünschte vorgeschriebene Periodenfolge zu bilden. Die Rückkopplungskoeffizienten der zyklotomischen Schaltungen der Primzahlpotenzperioden werden auf 0, 1 und — 1 begrenzt

Zyklotomische Schaltungen entwickeln eine Ausgangssignalfolge steuerbarer Amplitudencharakteristi-

1) ken. Diese Charakteristiken werden durch die den Schieberegistern auferlegten Anfangsbedingungen und bei manchen Ausführungsformen durch ein mit den Schieberegisterstufen der zyklotomischen Schaltungen verbundenes Transversal-Netzwerk gesteuert

2i) Im folgenden wird die Erfindung an Hand von Ausführungsformen näher erläutert In der Zeichnung zeigt

F i g. 1 ein generelles Blockdiagramm eines Rekursivsystems, das eine periodische Ausgangssignalfolge y„

2) erzeugt;

F i g. 2 ein Blockdiagramm einer erfindungsgemäßen Vorrichtung;

F i g. 3 spezielle Zwischenverbindungen der Vorrichtung gemäß F i g. 2, die zur Erzeugung einer Periode von jo 90 ausgelegt ist; und

Fig.4 eine Anwendung eines Quantisierelementes zur Kompensation des nichtidealen Betriebsverhaltens des Elementes der F i g. 2.

Das Blockdiagramm eines Systems zur Erzeugung

r> einer periodischen Folge y_n ist in Fig. 1 gezeigt Ein Register 10 ist in seiner allgemeinsten Form ein Parallel-Ein/Parallel-Aus-Analogregister mit k Stufen.

Dies ist der Speicner des Systems. Das Ausgangssignal des Registers 10 ist ein Af„-Vektorsignal, dessen Komponenten die Zustände des Registers zur Zeit η angeben. Die periodische Folge y„ wird erzeugt durch eine in einem Λ-Netzwerk 30 an X_n vorgenommene Transversal-Operation h (im allgemeinen nichtlinear).

Der nächste Speicherzustand x_n+\ wird in einem

4) /-Netzwerk 20 dadurch erzeugt, daß der Signalvektor X_n mit einer Vektorfunktion /behandelt und im Register 10x„ durch X_n+ \ ersetzt wird. Die das System gemäß Fig. 1 mathematisch beschreibenden Gleichungen sind

und

y« =

Der Operator /in Gleichung (1) kann nichtlinear sein,

obwohl er für den Zweck der vorliegenden Erfindung darauf begrenzt ist, bei 0 einen festen Punkt zu haben

(d. h., HO) = 0) und in der Umgebung von 0 analytisch zu

w) sein.

Damit die Folge Af_n periodisch ist, muß eine kleinste ganze Zahl ρ existieren derart, daß

X_n + ρ ~ X_n

hi ist. Dies ist natürlich eine Definition der Periodizität. Da auf Grund von Gleichung (1)

X_n + \ ⁼⁼ '(Xn)

ist, kann x_n+_P umgeschrieben werden als

Periode

Xn ₊

wobei fp eine p-fache Komposition von f ist. Dies bedeutet, daß

Xn+ρ

Xn —

oder daß fr — /ist, wobei /die Identitätsdarstellung ist. Man kann deshalb sagen, daß fr p-periodisch ist, wobei Periodizität definiert ist als die kleinste ganze Zahl p, bei welcher /p gleich der Identitätsdarstellung /wird.

Der lineare Term in der Taylor-Entwicklung von f, als L bezeichnet, wird der lineare Teil von /"genannt. Man kann zeigen, daß ein Ersetzen von / durch L die Rekursionsperiode nicht ändert und daß dementsprechend Nichtiinearititen in /die Periode nicht vergrößern können, oder für eine gegebene Periode Nichtlinearitäten in / den erforderlichen Speicher nicht reduzieren können. Zur bequemen und leichten Durchführung ist / deshalb darauf beschränkt, eine lineare Darstellung L zu sein.

Man kann auch zeigen, daß für irgendeine gewünschte Periode ρ (die dargestellt werden kann durch die kanonische Primzahlzerlegung

P = Π /V)

der minimal erforderliche Speicher k

k = Y] '/'(/V ) — ι

ι --- I

(3)

Periode

Spcichcr-	Pc
[irölk·
1	31
1	32
2	33
2	34
4	35
2	36

Spcichcrgrößc

30 16 12 16 IO 8 Speichergröße

Periode

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

ist, wobei ό = 1 ist, wenn der größte gemeinsame Teiler von 4 = 2 ist (bezeichnet mit (p. 4) = 2), und wobei ansonsten δ = 0 ist. Gleichung (3) kann auch ausgedrückt werden als Γ)

k =VA, - Λ. mit k₍ = '/'(/V)- Die Euler-Funktion '/'(/V )

hat einen Wert, der gleich der Anzahl der positiven ganzen Zahlen ist, die kleiner als ρ ' und relative Primzahlen zu ρ ; sind. In Kurzform: Es ist bekannt, daß -to

0(/V) gleich </V ')</>-!!

Aus obigem kann für eine gegebene Periode ρ der erforderliche Minimalspeicher zur Ausführung des ·γ> Systems gemäß F i g. 1 berechnet werden. Tabelle 1 zeigt den erforderlichen Speicher für Perioden im Bereich von 1 bis 6 Tabelle 2 zeigt die erhältliche maximale Periode für eine gegebene Speichergröße im Bereich von k = 1 bis k = 50. Tabelle 2 entstand "> <> dadurch, daß eine erweiterte Tabelle 1 bei jeder gegebenen Speichergröße nach der maximalen Periode durchsucht wurde. Beispielsweise entspricht k = 8 in Tabelle 1 Perioden 16, 21, 28, 36, 40, 42 und 60. Tatsächlich ist 60 die mit einem Speicher k = 8 v> erhältliche maximale Periode.

Tabelle 1

6 4 6 4

10 4

12 6 6

6 18

10 22

20 12 18

8 28

Tabelle

Speichergröße

2 4 6 8

10 12 14 16 18 20 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 46 50

Maximale Periode

12

30

60

120

210

420

840

1260

2520

5040

9240

13860

27720

32760

55440

65520

120120

180180

360360

720720

942480

37	36
38	18
39	14
40	8
41	40
42	8
43	42
44	12
45	10
46	22
47	*AL·* tu
48	10
49	42
50	20
51	18
52	14
53	52
54	18
55	14
56	10
57	20
58	28
59	58
60	8
61	60

Entsprechend den erfindungsgemäßen Pr müssen für die Erzeugung von Folgen mit einer

runabhängige Teilperioden erzeugt und zur Bile Periode ρ kombiniert werden (mit der ι

Ausnahme, daß r— 1 Teilperioden erzeugt werden, wenn (p,A) = 2). Jede Teilperiode / wird mit einem unabhängigen Register / des Speichers Jt, und einem unabhängigen linearen Rückkopplungsnetzwerk Z., erzeugt. Wenn für L,die Form

0 I

0 0 0

0	0	. . I	0	0
0	(I	0	I	0
0	0	. . 0	0	I
In.	/'/ , ■	• ■ /'','	/'"

(4)

gewühlt wird, wobei x'„,, - Lj.x'„ ist und .v,¹, ₍ι und .v,', Spalten vektoren sind, die mit den Tcrnien Ui ₄1), und Ui), beginnen und auf Ui, ι Ii bzw. (x'„), abnehmen, können folgende Beobachtungen gemacht werden.

A) L₁ repräsentiert die Abbildung (Mapping) eines χ ,',-Vektors (einer Folge der Periode ρ ', auf einen χ '„ ι -Vektor, wobei jede Komponente χ '„. , , mit Ausnahme der letzten Komponente, von einer einzelnen Komponente von χ;, abgeleitet wird. Spezieller ausgedrückt:

Ui	•ι); -	Ui);	ι für	alle	A',	> /'	während
ui	«lh =/	.1(.Vi)₁	+ /Λ Ι	l-vi):	-\-	/4Ui;	...,;; U^
							(5)
. ι.
Ij +

ist.

B) Diese Wahl von L, vereinfacht die Schaltungsanordnung stark, da das Parallel-Register der F i g. 1 durch ein Schieberegister ersetzt werden kann, das von Natur aus die Funktion

m);

erzeugt.

C) Die (a ;,. ι),-Vektorkomponente kann in einem L^RückkoppIungsnetzwerk erzeugt werden, das mit jeder Schieberegisterstufe über ein Multiplikationsnetzwerk verbunden ist, das jedes

Κ);

mit einer Konstanten β', multipliziert, und einem Additionsnetzwerk, das die Summe entsprechend Gleichung (5) bildet. Diese Anordnung ist in F i g. 2 gezeigt, in welcher die Produktsignale

entsprechend Gleichung (5) summiert und in die erste Stufe des ersten Schieberegisters eingegeben wird, und die Produktsignale

werden entsprechend Gleichung (5) summiert und in die erste Stufe des /-ten Registers eingegeben.
Man kann ferner zeigen, daß, wenn die Koeffizienten β ,'auf ganze Zahlen beschränkt werden, notwendige Voraussetzungen für die Wurzeln von ψ(Χ) bewirken, daß die Determinante L₁-XI gleich dem zyklotomischen Polynom der Reihe p_f '· ist, das heißt

Da alle Koeffizienten eines zyklotomischen Polynoms der Primzahlpotenzreihe 0 oder 1 sind, sind alle β's entweder 0 oder — 1. Tatsächlich kann man zeigen, daß jeder

(/>,' ' )-te Abgriif.

wenn man das Schieberegister in Signalübertragungsrichtung betrachtet (in F i g. 2 von links nach rechts), einen Multiplikationsfaktor — 1 oder eine Polaritätsumkehr aufweist, und daß alle anderen Abgriffe einen Multiplikationsfaktor 0 haben.

Das Vorstehende ist richtig für alle p, für die (p, A) Φ 2 gilt. Wenn (p, 4) = 2 ist, muß die kanonische Primzahlenzerlegung von ρ den Faktor 2' enthalten, in welchem Fall ρ als ,

geschrieben werden kann und lediglich r— 1 Register zur Erzeugung der Periode ρ erforderlich sind. Der einsame Faktor 2 kann mit irgendeinem der ρ ; -Terme kombiniert und über eine /,/-Matrix erzeugt werden, deren charakteristisches Polynom ein zyklotomisches Polynom der Reihe 2 ,', ist. Die Koeffizienten eines zkyklotomischen Polynoms der Reihe 2,'. sind +1 oder 0. Was die Hardware-Ausführung betrifft, wird das spezielle ρ,' , das zur Kombination mit dem Faktor 2 ausgewählt worden ist, in exakt der gleichen Weise aufgebaut, als wäre es nicht kombiniert, mit der Ausnahme, daß im Rückkopplungsweg das Signal eines jeden ungeraden Nicht-Null-Abgriffs an Stelle von — 1 mit +1 multipliziert wird.

Die vorstehend abgeleiteten zyklotomischen Polynome und die resultierenden zyklotomischen Schaltungen sind lediglich eine Art einer Klasse von Schaltungen, deren charakteristische Funktionen zyklotomische Polynome sind. Diese Schaltungen, die hier zyklotomische Schaltungen genannt werden, sind Schaltungen, die ein Schieberegister mit einer bestimmten Stufenzahl aufweisen sowie ganzzahlige Rückkopplungskoeffizienten, die einer jeden Stufe zugeordnet sind und das Ausgangssignal einer jeden Stufe multiplizieren, und eine Nichtmoduio-Summiereinrichtung, die auf die mit den ganzen Zahlen multiplizierten Signale anspricht und ihr Ausgangssignal der ersten Stufe des Schieberegisters aufdrückt. Zyklotomische Schaltungen verwenden im allgemeinen ohne die zuvor beschriebene Primzahlpotenzzerlegung keinen Minimalspeicher bei ihrer Folgenerzeugung. Diese Schaltungen haben jedoch den unterscheidenden Vorteil gegenüber bekannten Schaltungen, daß sie immer ganzzahlige Koeffizienten als Faktoren benutzen. Dies erlaubt eine einfache Ausfühning und einen fehlerfreien Betrieb,

Ein zyklotomisches (»kreisteilendes«) Polynom der Ordnung m, F^fi) genannt, ist definiert als ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Wurzeln alle primitive /n-te Wurzeln von eins sind (d. h, r"⁷ = 1, und r" Φ 1 (ürO<n<m). Aus dieser Definition kann explizit bestimmt werden, daß

wobei das Produkt über alle im Bereich \<d<m auftretenden ds gebildet wird, so daß d und m relative b5 Primzahlen sind. Die Anzahl der d's bestimmt den Grad des Polynoms F_n(X). Die Anzahl der d's innerhalb des Bereichs findet man durch Bewerten der Euler-Funktion φ(τη) und Hinzufügen einer 1 zum Ergebnis. Die

Euler-Funktion <p(m) ist tatsächlich definiert als eine ganze Zahl, die gleich der Anzahl positiver ganzer Zahlen ist, die kleiner oder gleich m sind und mit m außer 1 keine ganzzahligen Faktoren gemeinsam haben (solche ganze Zahlen werden relative Primzahlen zu m genannt). Wenn m geschrieben wird als Produkt der Potenzen von Primzahlen,

m =

f.

kanu man /einen, daß

=v

ist.

Wenn beispielsweise m = 30 ist, ist φ(πι) = 7, und somit ist die Anzahl der relativen Primzahlen zu 30 gleich 7 +1 oder 8. In der Tat handelt es sich bei den Zahlen, die relative Primzahlen zu 30 sind, um 1,7,11,13, 17, 19, 23 und 29. Diese Liste enthält tatsächlich genau acht Zahlen. Im Hinblick auf Gleichung (9) kann die Funktion F„Jß) der Gleichung (7) umgeschrieben werden als

Rir m = 30 kann Gleichung (II) unigeschrieben werden in

Man beachte, daß alle Wurzeln in komplex konjugierten Paaren auftreten, d. h.

was die komplex Konjugierte von

e ■■■■■■

ist. Eine Umwandlung von (12) in Kartesische Koordinaten ergibt

mit den erwarteten reellen ganzzahligen Koeffizienten. Interessanterweise sind alle Nicht-Null-Koeffizienten von Fß) in Gleichung (13) entweder +1,-1 oder Null. Diese Koeffizienten entsprechen den ^Koeffizienten der Gleichungen (5) und (7). Somit kann eine zyklotomische Schaltung für ein Polynom des Grades 30, obgleich nicht mit minimalem Speicher, aufgebaut werden mit einem einzigen Schieberegister (der Länge 8) und einem einzigen !./-Netzwerk der in Fig.2 gezeigten Art. Speziell ausgedrückt gilt für die korrelierenden Gleichungen (7) und (13) für das Li-NetzwerkgemäßFig. 2:

01 = —1,02 = 0,03 = 1,04 = 1,05 = 1,

0₆ = 0,07 = 1 und 08 = -1.

Wie durch obiges Beispiel erläutert wird, schaffen zyklotomische Polynome glücklicherweise sehr erwünschte charakteristische Polynome, und zwar auf Grund ihrer extremen Einfachheit. Zum Beispiel sind für &<105 oder für ein k, das ein Produkt aus zwei

lu Primzahlen ist, die Koeffizienten von Fß) alle 0 oder ±1.

Für ein k, das eine Potenz einer einzigen Primzahl darstellt, sind die Koeffizienten alle 0 und +1; und für k<385 gehen die Koeffizienten nicht über 2 als

ι ^r, Absolutwert hinaus. Das bedeutet natürlich, daß in allen praktisch interessierenden Fällen die Rückkopplungskoeffizienten des Netzwerks 20 in F i g. 1 0 und ± 1 sind; das heißt, es besteht entweder keine Verbindung, eine direkte Vei bindung oder eine negative Verbindung.

2(1 Gleichung (2) oben definiert eine Operation h, welche das Mehrfachpegel-Vektorsignal Af_n in ein Mehrfachpegel-Skalarsignal y„ umformt. Die Verwendung des Λ-Operators erlaubt auch das Formen von Nichtlinearitäten im Ausgangssignal y„, um anderen Bedingungen zu genügen, z. B. der Anpassung von y_n an eine gewünschte Norm, das Verteilen der Energie des Ausgangssignals über den Frequenzbereich, usw.

Die Periodizität des Ausgangssignals ist natürlich unabhängig von h durch die Periodizität der Folge X_n

in garantiert. Die einzige Anforderung an h besteht deshalb darin, daß es die Rekursionsperiode nicht verkleinert. Man kann zeigen, daß es eine ausreichende Bedingung für h darstellt, um die Periode ρ zu erhalten, daß der lineare Teil vor. h die Periode von x„ beibehält.

ii Man kann ferner zeigen, daß diese Bedingung erfüllt ist, wenn h eine Funktion eines einzigen Ausgangssignals von jedem der Schieberegisters ist, die die Reihen der relativen Primzahlperioden erzeugen. Da die von den Schieberegistern der F i g. 2 erzeugten Folgen relative

•ίο Primzahlen sind, die entsprechend der Primzahlzerlegung der Periode ρ bestimmt worden sind, braucht die Λ-Funktion der F i g. 2 nur auf ein einziges Ausgangssignal eines jeden Schieberegisters der F i g. 2 einzugehen, um keine Reduzierung der Ausgangssignalperiode

π zu erzeugen.

F i g. 3 zeigt den Reihengenerator der Erfindung für eine Periode ρ = 90. Ein Schieberegister 11 erzeugt die Periode (2) (5), während ein Schieberegister 12 die Periode 3² erzeugt. Die gewählte Λ-Funktion ist einfach

ίο die Summenfunktion eines einzigen Ausgangssignals der Register 11 und 12. Wie oben erwähnt worden ist, stellt die Verwendung nur eines einzigen Ausgängssignals von jedem Register sicher, daß das Transversal-Netzwerk haie Periode ρ nicht verringert

Vorliegend ist die für das Schieberegister 11 erforderliche Stufenzahl (5' - ■) (5 -1) oder 4. Jeder 5' - > oder erste Abgriff ist nicht Null, und da die Periode einen multiplikativen Faktor 2 aufweist, hat jeder ungerade Nicht-Null-Abgriff (in der Signalflußrichtung

M) gerechnet) einen Multiplikationsfaktor +1, während jeder gerade Nicht-Null-Abgriff einen Multiplikationsfaktor — 1 aufweist Diese Rückkopplungsanordnung ist in Fig.3 mit zwei Summierschaltungen dargestellt; einer invertierenden (die Polarität umkehrenden)

hi Summierschaltung 14, die mit Abgriffen 2 und 4 des Registers 11 verbunden ist, und einer nichtinvertierenden Summierschaltung 15, die mit den Abgriffen 1 und 3 des Registers 11 und mit dem Ausgangstor der

Summierschaltung 14 verbunden ist. Das Ausgangssignal der Summierschaltung 15 wird auf das Eingangstor des Registers 11 geführt.

Die Stufenzahl im Schieberegister 12 ist (3^-') (3—1) oder 6, und jeder 3²~' oder dritte Abgriff hat einen Multiplikationsfaktor —1. Dementsprechend ist in der Darstellung der F i g. 3 eine invertierende (polaritätsumkehrende) Summierschaltung 16 mit Abgriffen 3 und 6 des Registers 12 verbunden und spricht auf diese an, und das Ausgangssignal der Summierschaltung 16 wird auf das Eingangstor des Registers 12 geführt. Die Ausgangssignale der Register 11 und 12 werden auf einen Analogaddierer 13 gegeben, der die Ausgangssignale der Register 11 und 12 kombiniert, um die gewünschte Folge der Periode 90 zu entwickeln.

Zusätzlich zur aufgezeigten Möglichkeit der Erzeugung einer Signalfolge irgendeiner gewünschten Periode kann man auch zeigen, daß die erfindungsgemäße Vorrichtung so ausgelegt werden kann, daß sie sowohl eine gewünschte Folgenperiode als auch eine Folge mit spezifizierter Amplitude zu erzeugen vermag. Theoretisch ist diese Möglichkeit leicht über die Λ-Funktion realisierbar, da mit irgendeinem gewählten Ausgangszustand für den Generator eine bestimmte Folge der Periode ρ entwickelt wird; und von der entwickelten Folge kann die gewünschte Folge von einem Λ-Netzwerk abgeleitet werden, das einen Lese- oder Festwertspeicher genügend großer Speicherfähigkeit aufweist. In der Praxis jedoch ist diese Gewaltmethode unattraktiv, da das resultierende Λ-Netzwerk extrem kompliziert, groß und teuer wäre und da jegliche Änderungen in der gewünschten Folge drastische Änderungen für das Λ-Netzwerk mit sich bringen würden. Man kann zeigen, daß selbst mit einer eingeschränkten Λ-Funktion, die einfach die Summe je eines Signalausgangs der unabhängigen Register im Folgen- oder Reihengenerator aufweist, eine unzählige Anzahl von Folgen durch vernünftiges Steuern des Ausgangszustandes des Folgengenerators erzeugt werden kann. Es sind nicht alle möglichen Folgen auf diese Weise erzeugbar, denn zur Erzeugung aller Folgen der Länge ρ sind ρ Freiheitsgrade erforderlich, während der verfügbare Speicher im erfindungsgemäßen Folgengenerator lediglich k Freiheitsgrade bietet. Man kann jedoch zeigen, daß für eine gegebene gewünschte Foige w der Länge ρ eine beste Näherung w (in mindestens quadratischem Sinn) dadurch realisiert werden kann, daß die Ausgangszustände auf folgende Weise gesteuert werden.

1. Bei einem Speicher der Länge k erzeuge man eine Gruppe von Jt orthonormalen Einheitsvektoren du, bilde eine orthonormaie Basis und definiere einen linearen Raum.

2. Man berechne die Projektion von w auf den durch die Gruppe von </_u-Vektoren definierten Raum durch Berechnung des normalen inneren Produkts von w mit jedem der d_u Vektoren, d. h., man berechne

< w, d_u> für u = 1,2... k.

3. Man definierte ivals

2 < ^w · Άι > Ί« ■

Zur Klarheit ist die unmittelbar folgende Beschreibung zur Darstellung der Erzeugung einer orthonormalen Basis auf eine Periode ρ begrenzt, die eine Einfachpotenz einer Primzahl ist, d. h. ρ = q^v.

Vorstehend wurde gezeigt, daß, wenn ρ = q^v ist, die L-Matrix Jt verschieder e Wurzeln ρ_π aufweist, wobei

ist, und daß diese Wurzeln die primitiven Wurzeln von Eins des zyklotomischen Polynoms der Ordnung q^v sind. Man kann zeigen, daß von Potenzen verschiedener Wurzeln erzeugte Vektoren orthogonal sind, d. h.,

·'-'!· '.'f- '.'"? ■■· '.'/') '^st orthogonal zu

wenn; Φ j ist, und daß die Gruppe der Vektoren

[//ι V-' m _'n' 'Jn ■ - ' η)

für η = 1,2,3... Jt eine gültige orthonomale Basis bildet.

Eine andere orthonomale Basis kann abgeleitet werden von den Folgen der Länge p, die durch Einfügen des folgenden Satzes Ausgangsbedingungen in das Schieberegister des Folgengenerators erzeugt worden ist.

Vektor	Schieberegisterplatz	2	3
Nr.	1	0	0
1	1	1	0
2	0	0	1
3	0	0	0
A-	0

Man kann zeigen, daß dieser erzeugte Satz von k Folgen mit dem Graham-Schmitt-Orthonormalisierungsverfahren orthonormalisiert werden kann und daß die resultierende orthonomale Basis b„ denselben linearen Raum definiert, der durch die cy_u-Basis definiert ist. Da b„ und d„ denselben linearen Raum definieren, kann man zeigen, daß für eine gegebene gewünschte Folge w die beste Annäherungsfolge »' erzeugt werden kann durch die Berechnung

(141

Zu Erläuterungszwecken ist die Verwendung der vorstehenden Methode beschrieben für einen Folgengenerator mit einer Periode 5, wobei die gewünschte Folge (-5,0,4,2,-1) ist.

Entsprechend den erfindungsgernäßen Prinzipien hat der Generator für die Periode 5 eine Stufenzahl 4. Die 4 Ausgangsbedingungen sind

1, 0, 0, 0

0, I, 0, 0

0, 0, 1, 0

0, 0, 0, 1

und die resultierenden 4 Folgen der Länge 5 sind

1, 0, 0, 0, -1

0, 1, 0, 0. -1

0, 0, 1,0, -1

0, 0, 0, 1, -1.

Unter Verwendung des Graham-Schmitt-Orthonormalisierungsverfahrens ist die resultierende orthonor-

male Basis

13

(I, O, 0. 0. -1)

Somit ist

1
6

I
12

I
20

(-1, -1. 3, 0, -1)

< iv, /), > = -4/12

< n\ h₂ > = 6/16

< η·, />., > = 18/1 12

< η-, Iu > = 10/120

'"

16

18

10 20

\ϊ· =- (-2, 0. 0. 0, +2) 4 (-1, 2, 0. 0. -1)4

orthonormale Basis für ein Register, die durch dessei ρ-Vektoren (welche die

/»/'Hen Wurzeln

von 1 sind) erzeugt worden ist, orthogonal zui orthonormalen Basis für ein anderes Register ist, du durch dessen ρ-Vektoren (welche die

/»/Ilen Wurzeln

von Eins sind) erzeugt worden ist Man kann zeigen, dal: gleiche Ergebnisse richtig sind für orthonomale Basen die aus b_u Vektoren zusammengesetzt sind, die ir derselben Weise wie im Fall p = q^v erzeugt worder sind.
Wenn

P =11/"'

ist, hat somit jedes der r (oder r—1) Register k. Speicherstufen, und es müssen /-(oder r— 1) unabhängige orthonormale 3asen erzeugt werden, wobei jede Basis A:, Vektoren hat. Der Rest des Verfahrens ist gleich dem für den Fa!! ρ = q\ Nämüch, man berechne die Faktoren < w, b_u> und erzeuge die angenäherte Funktion

»Τ- -V

-18

54

12 · 12 ■

-18

< ic. /)„ > /)„ 4-

r-mal .

2 J'

Die Ausgangsbedingungen sind deshalb die ersten A: Komponenten von w, in diesem Fall ( — 5, 0,4, 2). Diese Ausgangsbedingungen ergeben die Folge w = ( — 5,0,4, 2,-1), die in diesem Fall exakt gleich wist.

Die vorstehende Methode für ρ — q' kann für irgendeine Periode ,

P =11 />/'

, I

verallgemeinert werden, wenn realisiert ist, daß die

1.0. -I, 4 1.0, -1.

0. I. -I, 0, 1. -. ergeben. Somit ist

(I. 0. -I, I. 0.

Wenn beispielsweise ein Folgengenerator aufgebaut wird, der eine Periode von 12 erzeugen soll, und wenn es ferner erwünscht ist, daß die Ausgangsfolge

" w= (1, -1,0,2, -2,-1,3,-1, -2, 4-2,0,-1)

ist, kann man zeigen, daß der Generator zwei Register der Länge 2 aufweist, von denen eins (Register A) zur Entwicklung einer Periode 3 und das andere (Register ;"> B) zur Entwicklung einer Periode 4 angeschlossen ist. Die orthonormale Basis des Registers A kann von den Ausgangsbedingungen 10 und 01 abgeleitet werden, welche die Folgen

,0. - I. 1.0. - I und
), I, -1.0. I. -1

I. 0. -

I. 2. - I, -

I. 0. -I)

I. 2. -I).

Die orthonormale Basis des Registers B ist 1

(i. ο. - ι. ο. ι. ο. - ι. ο. ι. ο. ι. οι

116

(0. I. 0. I. 0. 1. 0. I. 0. I. 0.

15 16

Aus Vorstehendem können die Innenprodukte < w, b_u > berechnet werden, und diese Berechnung führt zu

8
12

(i, 0, -1, 1, 0, -1, 1, 0. -1, 1, 0, -1) + (-!, 2, -1, -1, 2, -1, -1, 2,-1,-1, 2, -1) +

- — (1,0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -I, 0) 0 (0, I, 0, -1, 0, I, 0, -1, 0, I, 0,-1)

Vorstehendes zeigt daß der Ausgangszustand für Register A + 2 und — 1 und für das Register B — 1 und 0 ist Nach Durchführung der Berechnung kann man sehen, daß in diesem Beispiel wexakt gleich wist.

Die vorstehende Diskussion ist bisher begrenzt worden auf ideale analoge Schieberegister in dem Sinn, daß angenommen wird, daß keine Fehler auftreten. Bei einer praktischen Ausführung des erfindungsgemäßen Folgengenerators werden Fehler eingeführt durch Zwischenstufenübertragungsverluste innerhalb des Schieberegisters und durch Verstärkungsveränderungen im Rückkopplungsverstärker. Die durch das nichtideale Verhalten solcher praktischer Anlagen entstehenden Probleme sind bei vielen Anwendungen nicht kritisch. Bei Anwendungen, bei denen das !dealverhalten kritisch ist kann ein Fachmann die damit zusammenhängenden Probleme leicht lösen. Aus Gründen der Vollständigkeit zeigt F i g. 4 jedoch eine Möglichkeit zur Überwindung des Verlustproblems. In dieser Figur ist ein Quantisierer 22 zwischen die summierende Verstärkungseinheit 23 und ein Register 24 geschaltet Der Quantisierer muß ein Treppenstufenquantisierer sein, der alle diejenigen Pegel aufzulösen und zu quantisieren vermag, deren Auftreten beim Betrieb des Generators zu erwarten ist. Der Quantisierer 22 kann beispielsweise mehrere Spannungskompa- 2n ratoren aufweisen, die je mit einem Eingang mit der Summiereinheit 23 und mit dem anderen Eingang mit den verschiedenen gewünschten Quantisierer-Schwellenwertspannungen verbunden sind. Die Ausgangsströme der Spannungskomparatoren können summiert und auf einen Widerstand geführt werden, um die erforderliche Trcppcnsiüfcn-Qüantisierüngsfunkiiori zu erzeugen.

Im Rahmen der Erfindung sind zahlreiche Abwandlungen möglich. Obwohl beispielsweise die Wirkungen und Vorteile der vorliegenden Vorrichtung analogen Schieberegistern zugeordnet worden sind, kann bei irgendeiner speziellen Anwendung, bei welcher auf Grund bekannter Ausgangsbedingungen der Maximalwert für die Ausgangsfolge bekannt ist eine Reihe von Schieberegistern, die den gemäß der ger.ar.Rten US-PS 37 80 275 verwendeten etwas ähnlich sind, verwendet werden, wodurch das Erfordernis für einen Quantisierer beseitigt wird. Obwohl ein bestimmtes Signal der erläuterten Ausführungsform beschrieben worden ist, versteht es sich auch, daß jegliches in den erläuterten Ausführungsformen verfügbare Signal als Ausgangssignal dienen kann, da dieses Signal sich von dem beschriebenen Signal lediglich durch eine Zeitverzögerung und möglicherweise durch eine multiplikative Konstante unterscheiden würde.

Hierzu 2 Blatt Zeichnungen

Claims

Patentansprüche:

1. Signalgenerator zur Erzeugung kontinuierlichen zeitlich diskreter Mehrfachpegel-Analogfol- > gen, mit einem Jt-stufigen Schieberegister und einer Rückkopplungseinrichtung, die zwischen Stufen des Schieberegisters geschaltet ist und eine Summiervorrichtung aufweist dadurch gekennzeichnet, K) daß die Rückkopplungseinrichtung (L\... L-J zwischen ausgewählte Stufen des Schieberegisters (1... 4) und dessen erste Stufe geschaltet ist
daß die Rückkopplungseinrichtung zur Multiplikation der Ausgangssignale der ausgewählten Stufen ι > mit vorbestimmten ganzen Zahlen eingsrichtet ist um die charakteristische Funktion der Schaltung zu einem zyklotomischen Polynom (Kreisteilungspolynom) zu machen, und daß die Summiervorrichtung (+) zur Erzeugung einer MehrfachpegeJ-Nichtmo- :o dulosumme der mit den ganzen Zahlen multiplizierten Signale der ausgewählten Stufen als ein Eingangssignal für die erste Stufe des Schieberegisters eingerichtet ist

2. Generator nach Anspruch 1, dadurch gekenn- 2> zeichnet, daß das Schieberegister derart betreibbar ist, daß wenigstens eine seiner Jt-Stufen einen Nicht-Null-Anfangszustand aufweist, und daß vorgesehen sind:

eine Einrichtung zur Bildung von Produktsignalen in ß/xn)j, wobei (x„)jdas Ausgangssignal der/ten Stufe des Schieberegisters zur Zeit η ist und ßj ein vorbestimmter ganzzahliger Multiplikator, der der /ten Stufe des Schieberegisters zugeordnet ist, so daß für eine Funktior.svariable λ die Funktion i ">