DE2618823C3

DE2618823C3 - Generator zur Erzeugung periodischer Folgen

Info

Publication number: DE2618823C3
Application number: DE2618823A
Authority: DE
Inventors: Bhaskarpillai Berkeley Heights N.J. Gopinath; Robert Paul New York N.Y. Kurshan
Original assignee: Western Electric Co Inc
Current assignee: AT&T Corp
Priority date: 1974-09-11
Filing date: 1976-04-29
Publication date: 1980-07-17
Also published as: DE2618823B2; BE840954A; SE7604779L; DE2618823A1; FR2350007A1; FR2350007B1; SE410777B; CA1067968A; US3963905A; GB1490964A

Description

-ν

ein zyklotomisches Polynom ist,

eine Vorrichtung zum Addieren der Produktsignale zur Erzeugung eines Signals

registers vorgesehen ist, und daß zwischen der Summiereinrichutng und der ersten Stufe des Schieberegisters eine Einrichtung zur Umkehr der Polarität des Ausgangssignals der Summiereinrichtung vorgesehen ist

6. Generator nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß die Summiereinrichtung mit Stufen gekoppelt ist, die ungerade Vielfache von (q^v~ '■) sind.

7. Generator nach Anspruch 1, zur Erzeugung einer Mehrfachpegelausgangsfolge der Periode p, wobei

(M) ψ 2 und ρ =[[ (/,,-j

ist und wobei p, Primzahlen und et,- und r positive ganze Zahlen sind, mit r-Teilfolgen-Generateren, die je einen p^i-Term entsprechen, dadurch gekennzeichnet, daß

k = (/V -MPi-I)

Stufen vorgesehen sind,

daß Einrichtungen zum Addieren der Ausgangssignale derjenigen Stufen vorgesehen sind, welche Vielfachen von

entsprechen,

daß zwischen den Addiereinrichtungen und der ersten Stufe des Schieberegisters eine Umkehrvorrichtung zur Umkehrung der Polarität des Ausgangssignals der Addiereinrichtung vorgesehen ist,
und daß ein Transversalnetzwerk auf ausgewählte Stufen eines jeden der Teilfolgen-Generatoren anzusprechen vermag, um ein Mehrfachpegelausgangssignal zu erzeugen, das eine^v Kombination der Signale der ausgewählten Stufen entspricht.

8. Generator nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, daß der r-te Teilfolgengenerator aufweist:
(A) ein r-tes Schieberegister mit

daß die Einrichtung zur Zuführung des Summensignals derart ausgebildet ist, daß sie das X_n* 1 -Signal der ersten Stufe des Schieberegisters zuführen.

3. Generator nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß die Rückkopplungseinrichtung eine Quantisierungsvorrichtung (22) aufweist zur Quantisierung des Eingangssignals der eisten Stufe auf vorgewählte Signalpegel.

4. Generator nach Anspruch 1, gekennzeichnet durch Multipliziereinrichtungen (14 bis 16) zum Multiplizieren der Ausgangssignale ausgewählter Stufen des Schieberegisters (11,12) mit - 1.

5. Generator nach Anspruch I, der auf ein Taktsignal anspricht und eine Folge der Periode q^v erzeugt, wobei q eine Primzahl und ν eine positive ganze Zahl ist, dadurch gekennzeichnet,

daß k = (q^v~'){q — 1) Stufen vorgesehen sind und das Signal der /-ten Registerstufe beim Auftreten des Taktsignals in die (i ~ 1)-te Registerstufe übertragbar ist,

daß eine Summiereinrichtung zum Summieren des Ausgangssignals der (q> ')-ten Stufen des Schiebe</>Γ M/7, -I)

Stufen;

(B) eine r-te Einrichtung zur Umkehr der Ausgangspolarität der Stufenzahlen, die Vielfache von

sind, um Rückkopplungssignale zu erzeugen;

(C) r-te Einrichtungen zum Addieren der Rückkopplungssignale und des Ausgangssignals der Stufen des r-ten Schieberegisters, die ungerade Vielfache von

(Pi' )

sind; und

(D) eine Vorrichtung zum Zuführen des Ausgangssignals der r-ten Addiereinrichtung zur ersten Stufe des r-ten Schieberegisters.

Die Erfindung betrifft einen Signalgenerator der im Oberbegriff des Anspruches 1 angegebenen Art.

Bekanntlich können (periodische) Zwei-Pegel-Pseudozufallsfolgen durch mit Modulo-2-Arithmetik arbeitende Logikschaltungen erzeugt werden, die in Rückkopplungskombinationen mit binären Schieberegistern angeordnet sind. Mehrfachpegel-Pseudozufallsfolgen sind jedoch weniger gebräuchlich. Mehrfachpegelfolgen kann man dadurch erreichen, daß man vorgewählte Teile binärer Pieudozufallsfolgen gruppiert und die Gruppen als Repräsentanten von Mehrfachpegel-Binärsignalen betrachtet Alternativ dazu können mehrere parallele binäre Schieberegister verwendet werden, und ihre Ausgangssignale können in Modulo-2^N-Arithmetik (wobei A/die Anzahl der Schieberegister ist) verarbeitet werden, um auch ein Mehrfachpegelausgangssignal zu bilden. Letzteres ist in der US-PS 37 80 275 für eine Modulo-p^-Arithmetik beschrieben, wobei ρ eine Primzahl ist Hierbei wird lediglich das Ausgangssignal der letzten Stufe auf alle anderen Stufen zurückgekoppelt

Dieser bekannte Weg zur Pseudozufallssignaierzeu- 2" gung führt aber lediglich zu einer einzigen F-jeudozufallsfolge maximaler Länge statt zu einer großen Anzahl vorgeschriebener Folgen, und eine Steuerung der Wellenformcharakteristiken ist nicht möglich. Zudem ist dort die Verwendung verfügbarer Speicher nicht notwendigerweise optimal.

Aufgabe der Erfindung ist es deshalb, den Signalgenerator mit den Merkmalen des Oberbegriffes des Anspruchs 1 so zu verbessern, daß der Signalgenerator auch eine große Anzahl vorgeschriebener Pseudozu- to fallssignalfolgen zu erzeugen vermag und eine Steuerung der Wellenform-Charakteristiken ermöglicht.

Die erfindungsgemäße Lösung dieser Aufgabe ist im Kennzeichen des Anspruches 1 angegeben.

Hiernach sind Mehrfachpegelschaltungen vorgesehen, deren charakteristische Funktionen zyklotomische Polynome sind. Jede Schaltung, die hier »zyklotomische Schaltung« genannt wird, umfaßt hierzu ein Schieberegister, das Mihrfachpegelsignale zu speichern vermag, und Rückkopplungseinrichtungen. Letztere haben eine -to Vorrichtung zum Multiplizieren des Ausgangssignals vorbestimmter Stufen des Schieberegisters mit ausgewählten ganzen Zahlen und eine Vorrichtung zum Addieren der multiplizierten Signale in gewöhnlicher, d. h. Nichtniodulo-Arithmetik. Die addierten Signale werden der ersten Stufe des Schieberegisters zugeführt. Die ganzzahligen Multiplikatoren innerhalb der Rückkopplungsvorrichtung sind so ausgewählt, daß die charakteristische Funktion der zyklotomischen Schaltung ein zyklotomisches Polynom ist ><>

Der Ausdruck »gewöhnliche« oder »Nichtmodulo«- Arithmetik wird hier zur Unterscheidung vom Ausdruck »Modulo«-Arithmetik verwendet Bei der gewöhnlichen Arithmetik ist (6 + 8) = 14, während bei der Modulo-10-Arithmetik (6 + 8) = 4 ist, da Zahlen oberhalb 9 » nicht existieren. Die Benutzung der Nichtmodulo-Arithmetik erlaubt die vorteilhafte Verwendung von Analogschieberegistern, beispielsweise CCD-Schieberegistern (CCD = Charge Coupled Device, d. h. ladungsgekoppelte Vorrichtung), und erlaubt die Erzeu- «ι gung einer großen Anzahl Folgen, welche Zahl lediglich durch den Rauschpegel im System und durch den dynamischen Bereich begrenzt ist

Zyklotomische Schaltungen sind insbesondere nützlich für Minimalspeicher-Signalgeneratoren vorge- e> schriebener Periode. Bei <;'xr Ausführung von Minimalspeichersignalgeneratoren wird die vorgeschriebene Periode in eine Vielzahl von die Potenz einer Primzahl darstellenden Faktoren (im folgenden kurz Primzahlpctenzfaktor genannt) zerlegt Entsprechend einem jeden Primzahlpotenzfaktor wird eine zyklotomische Schaltung verwendet zur Entwicklung einer Folge mit einer Periode, die dem Primzahlpotenzfaktor gleich ist Die Ausgangssignale der einzelnen Schaltungen aus der Vielzahl zyklotomischer Schaltungen werden in einem Transversal-Netzwerk kombiniert, um die gewünschte vorgeschriebene Periodenfolge zu bilden. Die Rückkopplungskoeffizienten der zyklotomischen Schaltungen der Primzahlpotenzperioden werden auf 0, 1 und — 1 begrenzt

Zyklotomische Schaltungen entwickeln eine Ausgangssignalfolge steuerbarer Amplitudencharakteristiken. Diese Charakteristiken werden durch die den Schieberegistern auferlegten Anfangibedingungen und bei manchen Ausführungsformen durch ein mit den Schieberegisterslufen der zyklotomischen Schaltungen verbundenes Transversal-Netzwerk steuert.

Im folgenden wird die Erfindung an Hand von Ausführungsformen näher erläutert In aer Zeichnung zeigt

Fi g. 1 ein generelles Blockdiagramm eines Rekursivsystems. das eine periodische Ausgangssignalfolge y„ erzeugt;

F i g. 2 ein Blockdiagramm einer erfindungsgemäßen Vorrichtung;

F i g. 3 spezielle Zwischenverbindungen der Vorrichtung gemäß F i g. 2, die zur Erzeugung einer Periode von 90 ausgelegt ist; und

F i g. 4 eine Anwendung eines Quantisierelementes zur Kompensation des nichtidealen Betriebsverhaltens des Elementes der F i g. 2.

Das Blockdiagramm eines Systems zur Erzeugung einer periodischen Folge y„ ist in Fig. 1 gezeigt Ein Register 10 ist in seiner allgemeinsten Form ein Parallel-Ein/Parallel-Aus-Analogregister mit k Stufen. Dies ist der Speicher des Systems. Das Ausgangssignal des Registers 10 ist ein Af„-Vektorsignal, dessen Komponenten die Zustände des Registers zur Zeit η angeben. Die periodische Folge y„ wird erzeugt durch eine in einem Λ-Netzwerk 30 an x, vorgenommene Transversal-Operation h (im allgemeinen nichtlinear). Der nächste Speicherzustand X_n+ 1 v,ird in einem /-Netzwerk 20 dadurch erzeugt, daß der Signalvektor x„ mit einer Vektorfunktion f behandelt und im Register 10x„ durch x_n+\ ersetzt wird. Die das System gemäß F i g. 1 mathematisch beschreibenden Gleichungen sind

r„ - h (.V_nI.

Der Operator /in Gleichung (1) kann nichtlinear sein, obwohl er für den Zweck der vorliegenden Erfindung darauf begrenzt ii'., bei 0 einen festen Punkt zu haben (d. h., l[0) = 0) und in der Umgebung von 0 analytisch zu

Damit die Folge X_n periodisch ist, muß eine kleinste ganze Zahl ρ existieren derart, daß

ist Dies ist natürlich eine Definition der Periodizität. Da auf Grund von Gleichung (1)

A-H₊₁= ZfAf_n)

ist, kann Af_n+Pumgeschrieben werden als

Xn + ρ = PfXn),

wobei fp eine p-fache Komposition von f ist. Dies bedeutet, daß

Xn* ρ - V_n = P(X_n)

oder daß /^ = /ist, wobei /die Identitätsdarstellung ist. Man kann deshalb sagen, daß fl> p-periodisch ist, wobei Periodizität definiert ist als die kleinste ganze Zahl p, bei welcher /^gleich der Identitätsdarstellung /wird.

Der lineare Term in der Taylor-Entwicklung von f, als L bezeichnet, wird der lineare Teil von /genannt. Man kann zeigen, daß ein Ersetzen von / durch L die Rekursionsperiode nicht ändert und daß dementsprechend Nichtlinearitäten in /die Periode nicht vergrößern können, oder für eine gegebene Periode Nichtlinearitäten in / den erforderlichen Speicher nicht reduzieren können. Zur bequemen und leichten Durchführung ist / deshalb darauf beschränkt, eine lineare Darstellung L zu sein.

Man kann auch zeigen, daß für irgendeine gewünschte Periode ρ (die dargestellt werden kann durch die kanonische Primzahlzerlegung

Il /V

der minimal erforderliche Speicher Ar

f 3)

ist, wobei δ = 1 ist, wenn der größte gemeinsame Teiler von 4 = 2 ist (bezeichnet mit (p, 4) = 2), und wobei ansonsten ό = 0 ist. Gleichung (3) kann auch ausgedrückt werden als π

k =^A, λ. mit A₁ - '/Mp₁ ). Die huler-l-'unktion '/Mp, I

hat einen Wert, der gleich der Anzahl der positiven ganzen Zahlen ist, die kleiner als ρ und relative Primzahlen zu ρ sind. In Kurzform: Es ist bekannt, daß -»o

'Λ Ip₁' I gleich Ip₁' ) (p - Il

Aus obigem kann für eine gegebene Periode ρ der erforderliche Minimalspeicher zur Ausführung des ■»··; Systems gemäß Fig. 1 berechnet werden. Tabelle I zeigt den erforderlichen Speicher für Perioden im Bereich von 1 bis 61. Tabelle 2 zeigt die erhältliche maximale Periode für eine gegebene Speichergröße im Bereich von Jt = 1 bis k = 50. Tabelle 2 entstand '■> <> dadurch, daß eine erweiterte Tabelle 1 bei jeder gegebenen Speichergröße nach der maximalen Periode durchsucht wurde. Beispielsweise entspricht k = 8 in Tabelle 1 Perioden 16, 21, 28, 36, 40, 42 und 60. Tatsächlich ist 60 die mit einem Speicher k = 8 ΐϊ erhältliche maximale Periode.

b0

Tabelle 1	Speicher	Periode	Speicher
Periode	größe		größe
	1	31	30
1	1	32	16
2	2	33	12
3	2	34	16
4	4	35	10
5	2	36	8
6

Periode	Speicher-	Periode	Sp
	gröUe		gri
7	6	37	36
8	4	38	18
9	6	39	14
10	4	40	8
Il	10	41	40
12	4	42	8
13	12	43	42
14	6	44	ΓΝΙ
15	6	45	10
16	8	46	22
17	16	47	46
18	6	48	IO
iv	i«	49	42
20	6	50	20
21	8	51	18
22	10	52	14
23	22	53	52
24	6	54	18
25	20	55	Ί4
26	12	56	10
27	18	57	20
28	8	58	28
29	28	59	58
30	6	60	8
		61	60
	Tabelle 2
	Speicher	Maximale
	größe	Periode

1	2
2	6
4	12
6	30
8	60
10	120
12	210
14	420
16	840
18	1260
20	2520
24	5040
26	9240
28	13860
30	27720
32	32760
34	55440
36	65520
38	120120
40	180180
42	360360
46	720720
50	942480
Entsprechend	den erfindungsgemäßen Pi
müssen für die Erzeugung von Folgen mit einer 1

P =U ΡΛ / = I

runabhängige Teilperioden erzeugt und zur Bik Periode ρ kombiniert werden (mit der

Ausnahme, daß r— 1 Teilperioden erzeugt werden, wenn (p, 4) = 2). Jede Teilperiode ; wird mit einem unabhängigen Register /' des Speichers k, und einem unabhängigen linearen Rückkopplungsnetzwerk L, erzeugt. Wenn für Z,, die Form

(4)

0	I	. . 0	0	0
I)	0	. . 1	0	I)
0	0	0	1	0
0	0	I)	0	I

gcuälilt wird, wobei x'„., L,\'„ ist und v!,., iiiul .v|, Spaiieiivekioren sind, die mit tien Tennen Iv;,,,). und lv|,) beginnen und auf i\'„, ,I₁ b/u. lOi abnehmen, können folgende Beobachtungen gemacht werden.

A) L₁ repräsentiert die Abbildung (Mapping) eines χ Vektors (einer Folge der Periode ρ ' auf einen χ -Vektor, wobei jede Komponente χ : ,mit Ausnahme der letzten Komponente, von einer einzelnen Komponente von χ . abgeleitet wird. Spezieller ausgedrückt:

(\·;,.,)_; l.vnlj , fiir alle A, · / ■ I. während

ist.

15)

B) Diese Wahl von L, vereinfacht die Schaltungsanordnung stark, da das Parallel-Register der Fig. 1 durch ein Schieberegister ersetzt werden kann, das von Natur aus die Funktion

erzeugt.

Da alle Koeffizienten eines zyklotomischen Polynoms der Primzahlpotenzreihe 0 oder 1 sind, sind alle β 's entweder 0 oder — 1. Tatsächlich kann man zeigen, daß jeder

(/»,-· )-le Abgriff.

wenn man das Schieberegister in Signalübertragungsrichtung betrachtet (in F i g. 2 von links nach rechts), einen Multiplikationsfaktor — 1 oder eine Polaritätsumkehr aufweist, und daß alle anderen Abgriffe einen Multiplikationsfaktor 0 haben.

Das Vorstehende ist richtig für alle p, für die (p, 4)# 2 gilt. Wenn (p,A) = 2 ist, muß die kanonische Primzahlenzerlegung von ρ den Faktor 2¹ enthalten, in welchem Fall ρ als _:

geschrieben werden kann und lediglich r- I Register zur Erzeugung der Periode ρ erforderlich sind. Der einsame Faktor 2 kann mit irgendeinem der ρ ' -Terme kombiniert und über eine ^,-Matrix erzeugt werden, deren charakteristisches Polynom ein zyklotomisches Polynom der Reihe 2 '_r ist. Die Koeffizienten eines zkyklotomischen Polynoms der Reihe 2 '_r sind ± I oder 0. Was die Hardware-Ausführung betrifft, wird das spezielle p] , das zur Kombination mit dem Faktor 2 ausgewählt worden ist, in exakt der gleichen Weise aufgebaut, als wäre es nicht kombiniert, mit der Ausnahme, daß im Rückkopplungsweg das Signal eines jeden ungeraden Nicht-Null-Abgriffs an Stelle von - 1 mit + 1 multipliziert wird.

Die vorstehend abgeleiteten zyklotomischen Polynome und die resultierenden zyklotomischen Schaltungen sind lediglich eine Art einer Klasse von Schaltungen, deren charakteristische Funktionen zyklotomische Polynome sind. Diese Schaltungen, die hier zyklotomische Schaltungen genannt werden, sind Schaltungen, die ein Schieberegister mit einer bestimmten Stufenzahl aufweisen sowie ganzzahlige Rückkopplungskoeffizienten, die einer jeden Stufe zugeordnet sind und das

^,-Rückkopplungsnetzwerk erzeugt werden, das mit jeder Schieberegisterstufe über ein Multiplikationsnetzwerk verbunden ist, das jedes

W),

mit einer Konstanten 0,multipliziert, und einem Additionsnetzwerk, das die Summe entsprechend Gleichung (5) bildet. Diese Anordnung ist in F i g. 2 gezeigt, in welcher die Produktsignale

entsprechend Gleichung (5) summiert und in die erste Stufe des ersten Schieberegisters eingegeben wird, und die Produktsignale

werden entsprechend Gleichung (5) summiert und in die erste Stufe des /-ten Registers eingegeben.
Man kann ferner zeigen, daß, wenn die Koeffizienten ß'i auf ganze Zahlen beschränkt werden, notwendige Voraussetzungen für die Wurzeln von ipß) bewirken, daß die Determinante Li-XI gleich dem zyklotomischen Polynom der Reihe p_; ■ ist, das heißt

(7)

eine Nichtmodulo-Summiereinrichtung, die auf die mit den ganzen Zahlen multiplizierten Signale anspricht und ihr Ausgangssignal der ersten Stufe des Schieberegisters aufdrückt. Zyklotomische Schaltungen verwenden im allgemeinen ohne die zuvor beschriebene Primzahlpotenzzerlegung keinen Minimalspeicher bei ihrer Folgenerzeugung. Diese Schaltungen haben jedoch den unterscheidenden Vorteil gegenüber bekannten Schaltungen, daß sie immer ganzzahlige Koeffizienten als Faktoren benutzen. Dies erlaubt eine einfache Ausführung· und einen fehlerfreien Betrieb.

Ein zyklotomisches (»kreisteilendes«) Polynom der Ordnung m, Fj(k) genannt, ist definiert als ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, deren Wurzeln alle primitive m-te Wurzeln von eins sind (d. h, r™ = 1, und r" φ 1 für Q<n<m\ Aus dieser Definition kann explizit bestimmt werden, daß

wobei das Produkt über alle im Bereich \<d<m auftretenden ds gebildet wird, so daß d und m relative Primzahlen sind. Die Anzahl der d's bestimmt den Grad des Polynoms Fm^Jl Die Anzahl der d's innerhalb des Bereichs findet man durch Bewerten der Euler-Funktion ψ(πή und Hinzufügen einer 1 zum Ergebnis. Die

Euler-Funktion <p(m) ist tatsächlich definiert als eine ganze Zahl, die gleich der Anzahl positiver ganzer Zahlen ist, die kleiner oder gleich m sind und mit m außer 1 keine ganzzahligen Faktoren gemeinsam haben (solche ganze Zählen werden relative Primzahlen zum genannt). Wenn m geschrieben wird als Produkt der Potenzen von Primzahlen,

kanu mim /eigen.

Σ \pi- \\ih 11

ISt. .'Ii

Wenn beispielsweise m = 30 ist, ist q>(m) = 7, und somit ist die Anzahl der relativen Primzahlen zu 30 gleich 7 + 1 oder 8. In der Tat handelt es sich bei den Zahlen, die relative Primzahlen zu 30 sind, um 1, 7,11,13, 17, 19, 23 und 29. Diese Liste enthält tatsächlich genau 2; acht Zahlen. Im Hinblick auf Gleichung (9) kann die Funktion Fmß) der Gleichung (7) umgeschrieben werden als

e\p/l2

III)

l'iir »ι ■- 30 kann Gleichung (lh umuesch rieben werden in

Man beachte, daß alle Wurzeln in komplex konjugierten Paaren auftreten, d. h.

e ■'· -■ e ■·> .
was die komplex Konjugierte von

ist. Eine Umwandlung von (12) in Kartesische Koordinaten ergibt

113)

mit den erwarteten reellen ganzzahligen Koeffizienten. Interessanterweise sind alle Nicht-Null-Koeffizienten mi von Fß.) in Gleichung (13) entweder +1,-1 oder Null. Diese Koeffizienten entsprechen den 0,-Koeffizienten der Gleichungen (5) und (7). Somit kann eine zyklotomische Schaltung für ein Polynom des Grades 30, obgleich nicht mit minimalem Speicher, Mifgebaut t>-, werden mit einem einzigen Schieberegister (der Länge 8) und einem einzigen /.,-Netzwerk der in Fig.2 gezeigten Art Speziell ausgedrückt gilt für die korrelierenden Gleichungen (7) und (13) für das /,,-Netzwerk gemäß F i g. 2:

0, = -1,/J₂-O₁Jj₃= I./J4 = 1,05= I.
0₆ = 0,07 - 1 und08 1.

Wie durch obiges Beispiel erläutert wird, schaffen zyklotomische Polynome glücklicherweise sehr erwünschte charakteristische Polynome, und zwar auf Grund ihrer extremen Einfachheit. Zum Beispiel sind für Jt<105 oder für ein k, das ein Produkt aus zwei Primzahlen ist, die Koeffizienten von F(X) alle 0 oder ±1.

Für ein k, das eine Potenz einer einzigen Primzahl darstellt, sind die Koeffizienten alle 0 und + 1; und für A'<385 gehen die Koeffizienten nicht über 2 als Absolutwert hinaus. Das bedeutet natürlich, daß in allen praktisch interessierenden Fällen die Rückkopplung-·- koeffizienten des Netzwerks 20 in F i g. 1 0 und ± 1 sind; das heißt, es besteht entweder keine Verbindung, eine direkte Verbindung oder eine negative Verbindung.

Gleichung (2) oben definiert eine Operation h, welche das Mehrfachpegel-Vektorsignal x„ in ein Mehrfachpegel-Skalarsignal y„ umformt. Die Verwendung des /j-Operators erlaubt auch das Formen von Nichtlinearitäten im Ausgangssignal y„. um anderen Bedingungen zu genügen, z. B. der Anpassung von y„ an eine gewünschte Norm, das Verteilen der Energie des Ausgangssignals über den Frequenzbereich, usw.

Die Periodizität des Ausgangssignals ist natürlich unabhängig von h durch die Periodizität der Folge x„ garantiert. Die einzige Anforderung an Λ besteht deshalb darin, daß es die Rekursionsperiode nicht verkleinert. Man kann zeigen, daß es eine ausreichende Bedingung für h darstellt, um die Periode ρ zu erhalten, daß der lineare Teil von h die Periode von x„ beibehält. Man kann ferner zeigen, daß diese Bedingung erfüllt ist, wenn Λ eine Funktion eines einzigen Ausgangssignals von jedem der Schieberegisters ist, die die Reihen der relativen Primzahlperioden erzeugen. Da die von den Schieberegistern der F i g. 2 erzeugten Folgen relative Primzahlen sind, die entsprechend der Pri.nzahlzerleminn A**~ Oar'\i-\Aa η Kaclimmt \\if\rAan KtnA Kroii/*lii AiP O O -· r .._. , _-

Λ-Funktion der F i g. 2 nur auf ein einziges Ausgangssignal eines jeden Schieberegisters der F i g. 2 einzugehen, um keine Reduzierung der Ausgangssignalperiode zu erzeugen.

F i g. 3 zeigt den Reihengenerator der Erfindung für eine Periode ρ = 90. Ein Schieberegister 11 erzeugt die Periode (2) (5), während ein Schieberegister 12 die Periode 3² erzeugt Die gewählte Λ-Funktion ist einfach die Summenfunktion eines einzigen Ausgangssignals der Register 11 und 12. Wie oben erwähnt worden ist, stellt die Verwendung nur eines einzigen Ausgangssignals von jedem Register sicher, daß das Transversal-Netzwerk Λ die Periode ρ nicht verringert

Vorliegend ist die für das Schieberegister 11 erforderliche Stufenzahl (5> -') (5-1) oder 4. Jeder 5" -' oder erste Abgriff ist nicht Null, und da die Periode einen multiplikativen Faktor 2 aufweist, hat jeder ungerade Nicht-Null-Abgriff (in der Signalflußrichtung gerechnet) einen Multiplikationsfaktor + , während jeder gerade Nicht-Null-Abgriff einen Multiplikationsfaktor — 1 aufweist Diese Rückkopplungsanordnung ist in Fig.3 mit zwei Summierschaltungen dargestellt; einer invertierenden (die Polarität umkehrenden) Summierschaltung 14, die mit Abgriffen 2 und 4 des Registers 11 verbunden ist, und einer nichtinvertierenden Summierschaltung 15, die mit den Abgriffen 1 und 3 des Registers 11 und mit dem Ausgangstor der

Summierschaltung 14 verbunden ist. Das Ausgangssignal der Surnmierschaltung 15 wird auf das Eingangstor des Registers 11 geführt

Die Stufenzahl im Schieberegister 12 ist (3^J-')(3- 1) oder 6, und jeder 3²-< oder dritte Abgriff hat einen Multiplikationsfaktor —1. Dementsprechend ist in der Darstellung der F i g. 3 eine invertierende (polaritätsumkehrende) Summierschaltung 16 mit Abgriffen 3 und 6 des Registers 12 verbunden und spricht auf diese an, und das Ausgangssignal der Summierschaltung 16 wird auf das Eingangstor des Registers 12 geführt. Die Ausgangssignale der Register 11 und 12 werden auf einen Analog^ddierer 13 gegeben, der die Ausgangssignale der Register 11 und 12 kombiniert, um die gewünschte Folge der Periode 90 zu entwickeln.

Zusätzlich zur aufgezeigten Möglichkeit der Erzeugung einer Signalfolge irgendeiner gewünschten Periode kann man auch zeigen, daß die erfindungsgemäße Vorrichtung so ausgelegt werden kann, daB sie sowohl eine gewünschte Folgenperiode als auch eine Folge mit spezifizierter Amplitude zu erzeugen vermag. Theoretisch ist diese Möglichkeit leicht über die Λ-Funktion realisierbar, da mit irgendeinem gewählten Ausgangszustand für den Generator eine bestimmte Folge der Periode ρ entwickelt wird; und von der entwickelten Folge kann die gewünschte Folge von einem Λ-Netzwerk abgeleitet werden, das einen Lese- oder Festwertspeicher genügend gi^ßer Speicherfähigkeit aufweist In der Praxis jedoch ist diese Gewaltmethode unattraktiv, da das resultierende Λ-Netzwerk extrem kompliziert, groß und leuer wäre und da jegliche Änderungen in der gewünschten Folge drastische Änderungen für das Λ-Netzwerk mit sich bringen würden. Man kann zeigen, daß selbst mit einer eingeschränkten Λ-Funktion, die einfach die Summe je eines Signafcusgangs der unabhängigen Register im Folgen- oder Reihengenerator aufweist, eine unzählige Anzahl von Folgen durch vernünftiges Steuern des Ausgangszustandes des Folgengenerators erzeugt werden kann. Es sind nicht alle möglichen Folgen auf diese Vorstehend wurde gezeigt, daß, wenn ρ = q^y ist, die L-Matrix k verschiedene Wurzeln ρ_η aufweist, wobei

•st, und daß diese Wurzeln die primitiven Wurzeln von Eins des zyklotomischen Polynoms der Ordnung q^v sind. Man kann zeigen, daß von Potenzen verschiedener Wurzeln erzeugte Vektoren orthogonal sind, d. h.,

(',!. ·■;. ..-'? ··■ "Π ist orthogonal /u

wenn /' Φ j ist, und daß die Gruppe der Vektoren

für η = \,2, i... kerne gültige orthonomale Basis bildet.

Eine andere orthonomale Basis kann abgeleitet

jo werden von den Folgen der Länge p, die durrh Einfügen des folgenden Satzes Ausgangsbedingungen in das Schieberegister des Folgengenerators erzeugt worden ist.

Vektor	Schieberegister plal/	2	3
Nr.	I	0	0
1	1	1	0
2	0	0	1
3	0	0	0
A	0

„..„U-,- J„_ ..

Man kann zeigen, daß dieser erzeugte Satz von k Folgen mit dem Graham-Schmitt-Orthonormalisierungsverfahren orthonormalisiert werden kann und daß die resultierende orthonomale Basis b„ denselben linearen Raum definiert, dt.' durch die d_u-Basis definiert ist. Da b„ und d„ denselben linearen Raum definieren, kann man zeiger,, daß für eine gegebene gewünschte

Länge ρ sind ρ Freiheitsgrade erforderlich, während der verfügbare Speicher im erfindungsgemäßen Folgengenerator lediglich k Freiheitsgrade bietet Man kann jedoch zeigen, daß für eine gegebene gewünschte Folge w der Länge ρ eine beste Näherung w (in mindestens quadratischem Sinn) dadurch realisiert werden kann, daß die Ausgangszustände auf folgende Weise gesteuert werden.

1. Bei einem Speicher der Länge k erzeuge man eine Gruppe von k orthonormalen Einheitsvektoren d* bilde eine orthonormale Basis und definiere einen linearen Raum.

2. Man berechne die Projektion von w auf den durch die Gruppe von (/„-Vektoren definierten Raum durch Berechnung des normalen inneren Produkts von w mit jedem der d_u Vektoren, d. h_. man berechne

<w,d_u> für υ = 1,2... k.

3. Man definierte w als

H I

Zur Klarheit ist die unmittelbar folgende Beschreibung zur Darstellung der Erzeugung einer orthonormalen Basis auf eine Periode ρ begrenzt, die eine Einfachpotenz einer Primzahl ist, d. h. ρ = q".

1 VMgV, *T Uli. LFVail. ΓΜΙΙΙΟΙΙΙ,Ι UllgaiUlgL

kann durch die Berechnung

b„.

Zu Erläuterungszwecken ist die Verwendung der vorstehenden Methode beschrieben für einen Folgengenerator mit einer Periode 5, wobei die gewünschte Folge (-5,0,4,2,-1) ist.

Entsprechend den erfindungsgemäßen Prinzipien hat der Generator für die Periode 5 eine Stufenzahl 4. Die 4 Ausgangsbedingungen sind

1, 0, 0, 0

0, 1, 0, 0

0, 0, 1, 0

0, 0, 0, 1

und die resultierenden 4 Folgen der Länge 5 sind

1, 0, 0, 0.

0, 1. 0. 0.

0, 0, !, 0.

0, 0, 0, 1,

-1
-1
-1
-1.

Unter Verwendung des Graham-Schmitt-Orthonormalisierungsverfahrens ist die resultierende orthonor-

male Basis

ft, =

13

(I, O, 0, 0, -1)

(-1. 2, 0, 0, -1)

3, 0, - I)

Somit ist

< tv, ft, > =

< H¹, /v. > —

< IV, ftj > =

< W, ft₄ > =

-U

18

6/1 6

Ι8/ΙΊ2

10/120

10

ft».

iv = (-2. 0. 0. 0, +2) + I-I. 2, 0, 0, -1) + orthonormale Basis für ein Register, die durch desse ρ-Vektoren (welche die

/)/)ten Wurzeln

von 1 sind) erzeugt worden ist, orthogonal zu orthonormalen Basis für ein anderes Register ist di durch dessen ρ-Vektoren (welche die

ίο Pj')Xcn Wurzeln

von Eins sind) erzeugt worden ist Man kann zeigen, dal gleiche Ergebnisse richtig sind für orthonomale Baser die aus b„ Vektoren zusammengesetzt sind, die ii

' 5 derselben Weise wie im Fall ρ = q^r erzeugt wordei

sind

Wenn P = i j Pi"

i - I

ist hat somit jedes der r (oder r—l) Register k Speicherstufen, und es müssen r (oder r— 1) unabhängi ge orthonormale Basen erzeugt werden, wobei jede Basis k, Vektoren hat Der Rest des Verfahrens ist gleicr dem für den Fall ρ = q^y. Nämlich, man berechne die Faktoren < w, b_u> und erzeuge die angenäherte Funktion

JO

-18 12

-18 12"

-I

54

12 · ·

-18 12"

V)

Tür I. Register fiir X Register

< tv, ft„ > h_y + ... r-mal

Wenn beispielsweise ein Folgengenerator aufgebau wird, der eine Periode von 12 erzeugen soll, und wenn e ferner erwünscht ist daß die Ausgangsfolge

(1,-1,0,2,-2,-1,3,-1,-2,+2,0,-I)

Die Ausgangsbedingungen sind deshalb die ersten k -κ _w Komponenten von w, in diesem Fall ( — 5,0,4, 2). Diese Ausgangsbedingungen ergeben die Folge w = ( — 5,0,4, ist, kann man zeigen, daß der Generator zwei Registei

2, -1), die in diesem Fall exakt gleich w ist der Länge 2 aufweist von denen eins (Register A) zui

Die vorstehende Methode für ρ = q^r kann für Entwicklung einer Periode 3 und das andere (Registei

irgendeine Periode , 43 B) zur Entwicklung einer Periode 4 angeschlossen ist

ρ = I [/>,·■· Die orthonormale Basis des Registers A kann von den

ι ι Ausgangsbedingungen 10 und 01 abgeleitet werden

verallgemeinert werden, wenn realisiert ist daß die welche die Folgen

1,0. -I. +1,0. -I. 1.0. -I. 1.0. -I und

0, I. -I, 0. I. -1.0. I. -1.0. I. -I ergeben. Somit ist

U₁ =

(-1.2.

-

1.

I. 0. -I)

I).

Die orthonormale Basis des Registers B ist

/J₄ ' (0. I. 0. - I. 0. I. 0. - I. 0. I. 0. I)

15 16

Aus Vorstehendem können die Innenprodukle < w,h_u > berechnet werden, und diese Berechnung führt zu

w = -'— (I, 0, -!, I, 0, -I, 1, 0, -I, I, 0, -1) + ο

12 24

(-1, 2, -I, -I, 2, -I₁ -1, 2, -I, -1, 2, -1) +

(1, 0, -I, 0, 1, 0, -I, 0, I, 0, -I, 0) + (0, 1, 0, -!, 0, I, 0, -I, 0, I, 0, -I)

Vorstehendes zeigt, dall der Ausgangszustand für Register A +2 und -1 und für das Register B -1 und 0 ist Nach Durchführung der Berechnung kann man sehen, daß in diesem Beispiel wexakt gleich ivist

Die vorstehende Diskussion ist bisher begrenzt worden auf ideale analoge Schieberegister in dem Sinn, daß angenommen wird, daß keine Fehler auftreten. Bei einer praktischen Ausführung des erfindungsgemäßen Folgengenerators werden Fehler eingeführt durch Z'Arischenstufenübertragungsverluste innerhalb des Schieberegisters und durch Verstärkungsveränderungen im Rückkopplungsverstärker. Die durch das nichtideale Verhalten solcher praktischer Anlagen entstehenden Probleme sind bei vielen Anwendungen nicht kritisch. Bei Anwendungen, bei denen das Idealverhalten kritisch ist, kann ein Fachmann die damit zusammenhängenden Probleme leicht lösen. Aus Gründen der Vollständigkeit zeigt Fig.4 jedoch eine Möglichkeit zur Oberwindung des Verlustproblems. In dieser Figur ist ein Quantisierer 22 zwischen die summierende Verstärkungseinheit 23 und ein Register 24 geschaltet Der Quantisierer muß ein Treppenstufenquantisierer sein, der alle diejenigen Pegel aufzulösen und zu quantisieren vermag, deren Auftreten beim Betrieb des Generators zu erwarten ist Der Quantisierer 22 kann beispielsweise mehrere Spannungskompa-

30

25

30

35

40

45 ratoren aufweisen, die je mit einem Eingang mit der Summiereinheit 23 und mit dem anderen Eingang mit den verschiedenen gewünschten Quantisierer-Schwellenwertspannungen verbunden sind Die Ausgangsströme der Spannungskomparatoren können summiert und auf einen Widerstand geführt werden, um die erforderliche Treppenstufen-Quantisierungsfunktion zu erzeugen.

Im Rahmen der Erfindung sind zahlreiche Abwandlungen möglich. Obwohl beispielsweise die Wirkungen und Vorteile der vorliegenden Vorrichtung analogen Schieberegistern zugeordnet worden sind, kann bei irgendeiner speziellen Anwendung, bei welcher auf Grund bekannter Ausgangsbedingungen der Maximalwert für die Ausgangsfolge bekannt ist, eine Reihe von Schieberegistern, die den gemäß der genannten US-PS 37 80 275 verwendeten etwas ähnlich sind, verwendet werden, wodurch das Erfordernis für einen Quantisierer beseitigt wird. Obwohl ein bestimmtes Signal der erläuterten Ausführungsform beschrieben worden ist, versteht es sich auch, daß jegliches in den erläuterten Ausführungsformen verfügbare Signal als Ausgangssignal dienen kann, da dieses Signal sich von dem beschriebenen Signal lediglich durch eine Zeitverzögerung und möglicherweise durch eine multiplikative Konstante unterscheiden würde.

Hierzu 2 Blatt Zeichnungen

Claims

Patentansprüche:

1. Signalgenerator zur Erzeugung kontinuierlicher, zeitlich diskreter Mehrfachpegel-Analogfolgen, mit einem jt-stufigen Schieberegister und einer Rückkopplungseinrichtung, die zwischen Stufen des Schieberegisters geschaltet ist und eine Summiervornchtungaufweist, dadurch gekennzeichnet, daß die Rückkopplungseinrichtung (L]... Li) zwischen ausgewählte Stufen des Schieberegisters (1... i)und dessen erste Stufe geschaltet ist,
daß die Rückkopplungseinrichtung zur Multiplikation der Ausgangssignale der ausgewählten Stufen mit vorbestimmten ganzen Zahlen eingerichtet ist, um die charakteristische Funktion der Schaltung zu einem zyklotomischen Polynom (tCreisteilungspolynom) zu macäen, und daß die Summiervorrichtung (+) zur Erzeugung einer Mehrfachpegel-Nichtnio- :o dulosumme der mit den ganzen Zahlen multiplizierten Signale der ausgewählten Stufen als ein Eingangssignal für die erste Stufe des Schieberegisters eingerichtet ist.

2. Generator nach Anspruch 1, dadurch gekenn- 2~> zeichnet, daß das Schieberegister derart betreibbar ist, daß wenigstens eine seiner ^-Stufen einen Nicht-Null-Anfangszustand aufweist, und daß vorgesehen sind:

eine Einrichtung zur Bildung von Produktsignalen jo ß/xnh wobei (x„)j das Ausgangssignai der y-ten Stufe des Schieberegisters zur Zeil η ist und ßj ein vorbestimmter ganzzahliger Multiplikator, der der /ten Stufe des Schieberegisters zugeordnet ist, so daß für eine Funktionsvariable λ die Funktion j ί