DE257694C - - Google Patents

Description

KAISERLICHES

PATENTAMT.

PATENTSCHRiFT

""■'- M 257694 KLASSE 42m. GRUPPE

BERNHARD THOMMECK in CÖLN-VINGST.

Patentiert im Deutschen Reiche vom 8. Mai 1912 ab.

Bei der Berechnung der Wurzeln von numerischen Gleichungen höherer Grade, bei denen es keine bequemen Formeln gibt, um die Wurzelwerte direkt durch die Koeffizienten der Gleichungen auszudrücken, kommt man meistens mittels der sogenannten Probiermethode am schnellsten zum Ziele. Diese besteht darin, daß die Werte der Funktion, deren Nullstellen aufgesucht werden sollen, für bestimmt angenommene Werte der Unbekannten berechnet werden, und daß dann aus den erhaltenen Werten der Funktion auf die Lage von deren Nullstellen geschlossen wird.

Die Anwendung dieser Methode führt insbesondere bei komplexen Werten der. Unbekannten oder der Koeffizienten zu lästigen Rechnungen, die nur bei Aufwendung großer Aufmerksamkeit bewältigt werden können. Durch den Apparat, welcher Gegenstand der Erfindung sein soll, sollen diese Rechnungen ganz wesentlich eingeschränkt werden.

Die Einrichtung und Wirkungsweise des Apparates stützt sich auf folgende einfachen Überlegungen:

Es sei die Aufgabe gestellt, die Gleichung: (i) C₀ + C₁Z + C₂Z* +■■■ + C_nzⁿ = 0 = f(2) ₃₅ aufzulösen, wo die Koeffizienten C_1n, m = 0, i, 2 ·· ■ η

im allgemeinen beliebige numerisch bestimmte komplexe Zahlen sein sollen, für welche nur 40 die Beschränkung gelten soll, daß der Koeffizient C_n seinem absoluten Betrage nach nicht Null. sein soll.

Wird bei dieser Gleichung die bekannte Substitution : 45

ζ = y (cos φ -j- i sin φ) = r e^l '<' angewendet und außerdem

C_1n= A_1n-^iB₁₁₁, m — 0, i, 2 ■·· η ^ gesetzt, wo

♦ = + 1/-T

und A_1n und B_1n bestimmte reelle Zahlen sind, so geht die obige Gleichung (1) über in die 55 folgende:

A₀ + iB₀ -f· [A₁ 4- 1B₁)T(COS φ + i sin φ) -j- [A₂ -f- 1B₂) r²(cos 2φ -\- i sin 2φ)

(A_n -j- ϊΒ_η)τ^η (cos η ψ + i sin «φ) = ο.

6ο

Durch Trennung des reellen vom imaginären zerfällt diese Gleichung für reelle Werte von r und φ in die beiden Gleichungen:

(3 a)
und
(3 b)

A ₀ -f- A₁ r cos φ ·—B₁ r sin φ -f- A₂r² cos 2ψ —B_zr² sin 2q> + ·.·.— ■··· -f- A_n rⁿ cos ηψ —B_n r" sin ηψ = ο

B₀ -f B₁ r cos φ + A₁ r sin φ 4- B₂r² cos 2φ + ^2^{y2 sm 2}Φ

-j- £>„/" cos η φ -\- A_nr" sin «q) = oi

Lassen sich auf irgendeine Art solche reelle Werte von r und φ ermitteln, daß durch sie diese Gleichungen zugleich erfüllt sind, so ist

ζ = r(cos φ -\- * sin φ)

eine Wurzel der Gleichung (i).

Es sei jetzt im Räume ein rechtwinkliges, dreiachsiges, kartesisches Koordinatensystem X, Y, Z so angenommen, daß die Z-Achse horizontal nach vorn, die Z-Achse horizontal nach rechts, die Y-Achse senkrecht nach oben gerichtet ist. Senkrecht zur Z-Achse seien (n + i) materielle Ebenen E₀, E₁, E₂ ■ ■ ■ E_n angeordnet, die alle um die Z-Achse drehbar sind, und deren Schwerpunkte in die Z-Achse fallen. Diese Ebenen sollen außerdem in jeder beliebigen Lage miteinander starr verbunden werden können, so daß ihnen als einzige Bewegungsfreiheit eine gemeinsame Drehung um die Z-Achse übrig bleibt.

Werden auf diesen Ebenen an beliebig angenommenen Stellen Gewichte angebracht und der Einwirkung der Schwerkraft ausgesetzt, so bleibt dieses System der fest verbundenen Ebenen mit den daran angreifenden Gewichten im indifferenten Gleichgewichte, wenn der Schwerpunkt der sämtlichen Gewichte in die Z-Achse fällt.

Nun sollen auf jeder von diesen η + 1 Ebenen je zwei Gewichte angebracht werden, wie es in Fig. 1 für die Ebene E_nt dargestellt ist. Die beiden Gewichte in der Ebene E_1n sind in der Zeichnung durch g_m und g'_m bezeichnet.

Die Gewichte sollen in der Anfangslage folgende Koordinaten haben.

Bei der Ebene

E₀---X = a₀, Y=o

E₁-^X = Ct₁, Y=o

Z = O, Y= by

E_n--X =

Y = o

Y = b„.

Die Z-Koordinaten können beliebig sein und bleiben außer Betracht, da eine Verschiebung der Angriffspunkte in. Richtung der Z-Achse nicht vorkommen soll.

Die Bedingungsgleichungen für das indifferente Gleichgewicht in diesem angenommenen Falle würden lauten:

«2
b,-

Die Ebenen E₁, E₂ ■ ■ ■ E_n mögen nun gegen die Ebene E₀, welche in der Anfangslage verbleiben soll, verdreht werden, ohne daß die Angriffspunkte der Gewichte sich in den einzelnen Ebenen verschieben, und zwar soll die Ebene E₁ gegen E₀ um den Winkel φ um die Z-Achse gedreht werden, die Ebene E₂ um den Winkel 2 φ usw., die Ebene E_n um den Winkel nq>, alle Drehungen natürlich in derselben Richtung gemessen.

Nach dieser Drehung sind die Koordinaten der Angriffspunkte der 2(n + 1) Gewichte, wie aus der für die Ebene E_1n gezeichneten Fig, 1 unmittelbar zu ersehen ist, folgende:

Bei der Ebene E₀

Bei der Ebene E₁ .

· Z = a₀,
Z = o,
X = a_x cos φ,
X = — O₁ sin φ,

Y = ο
Y= b₀

Y =a_x sin q>

Y = S₁ cos ψ

Bei der Ebene E_n ■ ■ ■ X = a_n cos η ψ, Υ = a_n sin »φ

X = — b_ns\nnq>, Y= δ,, cos μ q\

Werden die Ebenen .E₀, .E₁ · · · E_n nach die- so werden die Bedingungsgleichungen für das ser Verdrehung starr miteinander verbunden, indifferente Gleichgewicht jetzt folgende sein:

(4a) (4 b)

a₀ -f- Ct₁ cos φ — I₁ sin φ -\- b₀ -)- O₁ cos φ -|- a_x sin φ 4" -\- a_n cos η ψ — b_n sin η φ = ο + b„ cos η ψ -j- a_n sin η φ = ο.

Vergleicht man diese Gleichungen mit den | man, daß beide Gleichungspaare identisch werbeiden Gleichungen (3 a) und (3 b), so bemerkt j den, wenn .

(5)

Ja₀ r

U₀ =

= B₀

U_n = A_nr" b_n = B_n τ"

gesetzt wird. Man sieht auch leicht ein, daß die Gleichungen (4 a) und (4 b) auch dann noch bestehen bleiben, wenn die Z-Achse nicht horizontal verläuft, sondern mit der vertikalen Richtung einen beliebigen Winkel >o bildet.

Werden also bei dem in Betracht gezogenen

mechanischen Systeme die Entfernungen der Angriffspunkte der Gewichte von der gemeinsamen Drehachse entsprechend den Gleichungen (5) gewählt, und hat man bei einem bestimmt angenommenen Winkel φ eine indifferente Gleichgewichtslage beobachtet, so entsprechen die beiden Werte τ und φ einer Wurzel der Gleichung (1).

Das angegebene ideale mechanische System soll durch den Apparat, für welchen der gesetzliche Schutz beansprucht wird, zweckentsprechend in folgender Weise verwirklichtwerden.

Als Träger für die Gewichte, durch welche die in der Gleichung vorkommenden Zahlen A_1nT"¹ und B_mr^m, m = 0,1, 2 · ■ ■ η ersetzt werden sollen, dienen geradlinige Führungen, welche als prismatische oder zylindrische Stäbe, Schlitze oder Röhren ausgebildet sind, längs denen die Gewichte gleiten, und an denen sie in jeder gewünschten Lage durch Festklemmung festgehalten werden können. Die Führungen können aber auch mit Schraubengewinden versehen werden, vermittels deren die Angriffspunkte der Gewichte durch Schraubung geradlinig fortbewegt werden.

Die verschiebbaren Gewichte können auch aus mehreren Teilen bestehen und in beliebigen bekannten Formen ausgeführt werden, als prismatische oder zylindrische Stäbe, Schlitten, Schraubenmuttern, Schraubenspindeln usw. Wesentlich ist jedoch, daß der Schwerpunkt der in einer Führung angeordneten Gewichte sich bei der Verschiebung der Gewichte in einer geraden Linie fortbewegen läßt, die als Führungsachse bezeichnet werden möge. Auch ist, um unnütze Umrechnungen zu ersparen, das Gesamtgewicht der in einer Führung verschiebbaren Gewichte bei allen Führungen gleich groß zu wählen.

Die Anzahl der Führungen richtet sich nach der Anzahl der Glieder in der zur Lösung aufgegebenen Gleichung und würde bei einer Gleichung wten Grades von der Form (1) 2(« + 1) betragen müssen, wenn keines der Glieder ihrem absoluten Betrage nach verschwindende Koeffizienten besitzt. Die Führangen können zweckmäßig zu zweien starr miteinander verbunden werden, und zwar so.

daß deren Führungsachsen zueinander senkrecht stehen. Ein solches Führungspaar möge Führungskreuz genannt werden. Dient ein Arm F(A_1n) dieses Führungskreuzes für die Darstellung der Zahl A_mr'", so ist der dazu senkrechte Arm F(B_n) für die Zahl B_mr^m zu benutzen.

Die so gebildeten (n -f-1) Führungskreuze werden so miteinander in Verbindung gebracht, daß sie um eine gemeinsame Achse drehbar gegeneinander um beliebige Winkel verdreht werden können, während die Führungsachsen der sämtlichen Führungskreuze die gemeinsame Drehachse beständig senkrecht schneiden. Die Verschiebung der Gewichte in den Führungen, die Verdrehung der Führungsachsen gegeneinander, ebenso das Vorhandensein des indifferenten Gleichgewichtes des Apparates in bezug auf eine Drehung um die gemeinsame Achse der Führungen werden nach bekannten Methoden bestimmt.

Bei der Aufsuchung der Wurzeln der zu lösenden Gleichung (1) vermittels des beschrie- go benen Apparates kann wie folgt verfahren ■ werden.

Nachdem der Apparat in bezug auf seine nicht senkrecht gehaltene, leicht drehbar gelagerte Achse in gehöriger Weise zentriert und justiert ist, werden die Führungsarme F (A_1n) horizontal, die Führungen F(B_n,) so gestellt, daß sie senkrecht zu den Führungen F(A_1n) und in derselben Vertikalebene liegen. Diese Stellung möge als Anfangslage bezeichnet werden. Nun berechnet man die Zahlen A_1n r'", B_mr'", wo m = 0, 1, 2 · · η ist, für einen angenommenen Wert von r und setze die Ge-. wichte bei den horizontal verlaufenden Führungen F(A_1n) so, daß die Abstände der Schwerpunkte der in den entsprechenden Führungen liegenden Gewichte proportional den Zahlen A_mr^m, bei den in der vertikalen Ebene liegenden Führungen F (B_1n) proportional den Zahlen B_mr^m sind.

Der Proportionalitätsfaktor ist für beiderlei Führungen gleich und so zu wählen, daß alle in der Rechnung vorkommenden Zahlen sich bei der beschränkten Länge der Führungsarme darstellen lassen. Werden für die Darstellung positiver Zahlen die von der Drehachse nach rechts und ■ nach oben gerichteten Arme der Führungen gewählt, so dienen die nach links und nach unten laufenden Führungsarme zur Darstellung der negativen Zahlen.

Nach Festlegung der Gewichte und Führungen gegeneinander wird der Apparat bei

gegen die Vertikale geneigter Drehachse unter der Einwirkung der Schwerkraft sich so stellen, daß sein Schwerpunkt möglichst tief unter der Drehachse liegt. Fällt der Schwerpunkt bei dem für r gewählten Werte in die Drehachse, so ist ζ = r eine Wurzel der Gleichung (i). Dieser angenommene Fall entspräche der Anfangslage, für welche ψ = ο ist. Um einen Wert ζ = re'*, wo φ nicht Null ist,

ίο daraufhin zu untersuchen, ob er eine Wurzel für die zu lösende Gleichung liefert, hätte man nach Festlegung der Gewichte in den Führungen entsprechend den Zahlen A_mr^m und B_mr'" die Führungen F(A_n,) und F(B_1n) gegen die Führungen F (A₀) und F(B₀) um die Winkel WΦ, wo m = 0,1,2··· η ist, zu verdrehen, nach dieser Drehung die Führungen gegeneinander festzusetzen und zu untersuchen, ob bei dem Apparate in bezug auf eine Drehung um seine nicht vertikale Achse ein indifferentes Gleichgewicht vorliegt. Man übersieht leicht, daß man imstande ist, mittels dieses Apparates ohne irgendwelche Rechnungen in kurzer Zeit eine große Menge von Werten von φ zu prüfen. Beim Übergang zu einem neuen Werte von r hat man nur die Werte von A_mr^m und B_mr'" zu berechnen, was mit keinerlei Umständlichkeiten verknüpft ist. Es verdient noch bemerkt zu werden, daß es keinerlei Schwierigkeiten bietet, die Führungen durch zwangläufige Getriebe so miteinander zu verbinden, daß sie sich alle gleichzeitig entsprechend den Anforderungen der gestellten Aufgabe gegeneinander verdrehen, wenn nur eine von ihnen um die Achse des Apparates gedreht wird. Noch weiter läßt sich die Handhabung vereinfachen, wenn diese Verdrehung kontinuierlich durch ein an dem Apparat angebrachtes Uhrwerk besorgt wird. Die Beobachtung der Veränderung der Schwerpunktslage des Apparates gestattet dann mit Hilfe bekannter funktionentheoretischer Sätze bezüglich der Lage der Nullstellen der Funktion f (2) wichtige. Schlüsse zu ziehen.

Zur Erläuterung der vorstehenden Ausführungen ist in Fig. 2 eine Ausführungsform für einen Apparat zur Aufsuchung der Wurzeln von Gleichungen fünften Grades in seinen wesentlichen Bestandteilen schematisch dargestellt.

Auf eine zur Ebene der Zeichnung senkrecht liegende, leicht drehbar gelagerte Achse, deren Mittellinie durch O geht, sind parallel zur Ebene der Zeichnung in geeigneten Abständen sechs kreisförmige Scheiben gesetzt. In der Zeichnung ist die vorderste Scheibe mit T₀ bezeichnet, die übrigen fünf Scheiben sind durch diese verdeckt, sie mögen T₁, T₂, T₃, T₄, T₅ heißen. Die Scheiben sind um die durch ihre Mittelpunkte gehende Achse drehbar, aber in jeder gewünschten Lage gegen die Achse festklemmbar eingerichtet. Die Klemmvorrichtung ist in der Zeichnung als unwesentlich fortgelassen. Die Scheiben erhalten je eine Kreisteilung, mit Hilfe deren man die Verdrehung der Scheiben gegeneinander und gegen die Achse bestimmen kann. • Mit den sechs Scheiben sind senkrecht zur Drehachse die aus prismatischen geraden Stäben gebildeten Führungsarme F(A₀) und F (B₀), F(A₁) und F(B₁), F(A₂) und F(B₂), F(A₃) und F(B₃), F(A₄) und F(BJ, F(A₅) und F(B₅) paarweise der Reihe nach entsprechend mit T₀, T₁, T₂, T₃, T₄, T₆ fest und so verbunden, daß jedes Paar F(A) und F(B) je ein senkrechtes Kreuz bildet. In der Zeichnung ist eine Lage dargestellt, bei welcher die sechs Führungskreuze jedes gegen das vorhergehende durch einen Winkel von etwa io° gedreht ist.

Längs den Führungsarmen verschiebbar und an jeder gewünschten Stelle feststellbar sind die gleich schweren 12 Gewichtepaare

angebracht. Die Verschiebung dieser Gewichte längs den Führungsarmen kann durch Teilungen gemessen werden, die auf den Führungsarmen aufgetragen sind. In der Zeichnung ist eine Lage der Gewichte dargestellt, bei welcher die Abstände der Gewichte von der Drehachse alle gleich groß sind, bei welcher also die leicht drehbar gelagerte Achse mit den darauf festgelegten Scheiben sich im indifferenten Gleichgewichte befinden würde, wenn die Führungsarme genau gleich gearbeitet wären. Eine Verschiebung z. B. eines der Gewichte g₀, etwa des auf der rechten mit -f bezeichneten Hälfte des Führungsarmes F(AJ liegenden, hätte eine Verschiebung des Gesamtschwerpunktes in derselben Richtung zur Folge, der Apparat würde, sich selbst überlassen, unter der Einwirkung der Schwerkraft sich so stellen, daß -\-F (A₀) senkrecht nach unten zeigte, nachdem die stabile Gleichgewichtslage eingetreten ist.

Die Handhabung des Apparates möge an einem einfachen Beispiele erläutert werden.

Es sei die Aufgabe gestellt, die Gleichung

zu lösen, die durch Einführung von , ζ = r e''>· übergeht in die folgende:

ι + i + (3 —- 4 i) r e^üt> -f (— 2 -f 5 i) r²eⁱ²*
wobei

+ (2 -f- 7i)j'⁴0^!''i'i' -\- r⁵e'5'i' = 0,

ist.

Um mittels des beschriebenen Apparates zu prüfen, ob diese Gleichung eine Wurzel,mit

dem absoluten Betrage r besitzt, hat man folgendermaßen zu verfahren:

Nachdem die Führungsarme F (A) und F (B) in die Anfangslage gebracht sind, d. h, so gestellt sind, daß sich die Arme F(A) genau parallel stehen, und auch festgesetzt ist, daß als positive Verschiebung die nach dem mit -f- - Zeichen versehenen Ende der Arme gerichtete gelten soll, hat man die Gewichtepaare

go. £i - £2. gs. Si - gs. So >S['Si>Sl>S\.s'i

aus der Nullage um Strecken zu verschieben, die in nachfolgendem Schema angegeben sind:

2)

—So ■* ^F(AJ — >

_ _gl -< F(A₁) - ->

■>

— Si -<- —- F (A J —g_s<- -F(A₅)

4-1 r⁵

^-—

F(B₁)-

F(B₂)-

F(BJ-

F(B₆)-

ο — 4r -ο — ο — o — o ^

Dabei ist für r ein Maßstab zu wählen, daß bei der beschränkten Länge der Führungsarme sich noch alle Verschiebungen ausführen lassen.

Nachdem alle Verschiebungen vorgenommen sind, werden die Gewichte festgesetzt, die Führungsarme zunächst in der Nullage gelassen und untersucht, ob in bezug auf eine Drehung um die Achse des Apparates ein indifferentes Gleichgewicht vorhanden ist. Fällt der Schwerpunkt der verschobenen Gewichte nicht in die Drehachse, so verdreht man, ohne die Gewichte längs den Führungsarmen zu verrücken, die Führungsarme so, daß von den F(A₀), F(A₁), F(A₂), F(A₃), F(AJ, F(A₅) jeder folgende mit dem vorhergehenden einen bestimmten und denselben Winkel ψ bildet. Der Führungsarm F (AJ bleibt während der Verdrehungen fest mit der Achse verbunden.

Nach jeder solchen Verdrehung wird wieder geprüft, ob der Schwerpunkt in der Drehachse liegt. Wird nach diesem Verfahren ein bestimmter Winkel ψ ermittelt, bei welchem dieses zutrifft, so ist ζ = r (cos φ -\- i sin ψ) eine Wurzel der aufgegebenen Gleichung.

Bei planmäßigem Vorgehen, für das die Regeln an dieser Stelle nicht gegeben werden sollen, gelingt es sehr schnell, mit Hilfe des beschriebenen Apparates zu brauchbaren Näherungswerten für die Wurzeln zu gelangen.

Claims (1)

1. Patent-Anspruch :

   Ein Apparat zur schnellen Ermittelung der Näherungswerte für die Wurzeln von numerischen Gleichungen höherer Grade mit einer Unbekannten und komplexen Koeffizienten, dadurch gekennzeichnet, daß drehbar um eine leicht drehbar gelagerte, nicht vertikale Achse des Apparates als Träger für verschiebbare, aber in jeder gewünschten Lage feststellbare Gewichte geradlinige, die Drehachse des Apparates senkrecht schneidende Führungen angeordnet sind, die gegeneinander um beliebige Winkel verdreht und in jeder beliebigen Lage zueinander festgestellt werden können, zu dem Zwecke, um aus der durch die eigenartige, der Natur der zu lösenden Aufgabe angepaßte Verschiebung der Gewichte hervorgerufenen Verlagerung des Schwerpunktes des Apparates leicht auf die Lage der Wurzelwerte der aufzulösenden Gleichung zu schließen.

   Hierzu 1 Blatt Zeichnungen.