DE2546506A1 - Video-generatorschaltung fuer die digitale fliegende darstellung eines kegelschnittes auf einem fernsehschirm - Google Patents

Description

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Anmelderin: International Business Machines

Corporation, Armonk, N. Y, 10504

Amtliches Aktenzeichen: Neuanmeldung Aktenzeichen der Anmelderin: WA 974 004

Video-Generatorschaltung für die digitale fliegende Darstellung eines Kegelschnittes auf einem Fernsehschirm

Die Erfindung betrifft eine digitale Darstellung von Mustern auf einem Fernsehschirm und insbesondere eine Video-Generatorschaltung zur Erzeugung von Kegelschnitten einer codierten, digitalen fliegenden Darstellung auf einem Fernsehschirm,

Der hier beschriebene Kegelschnittgenerator wird als Untersystem in einer Videogeneratorschaltung für die Erzeugung von dynamischen digitalen Darstellungen auf Fernsehschirmen benutzt, wie sie in der Deutschen Patentanmeldung P 25 25 5O9 vom 11. Juni 1974 der Anmelderin beschrieben ist. Diese Videogeneratorschaltung wandelt willkürlich auftretende Datensignale, die graphische Muster darstellen, in eine Zeitfolge von Videosignalen für eine zeilenweise Darstellung auf einem Fernsehschirm um. Die Schaltung besteht aus einem der Aufnahme von Datensignalen dienenden Pufferspeicher, der so aufgebaut ist, daß die Datensignale zu Gruppen zusammenfaßt, die entsprechend den für das darzustellende Muster jeweils äußersten Abtast-

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Zeilenpositionen geordnet sind. Ein Zwischenpufferspeicher ist mit einem ersten Eingang am Ausgang dieses zum Ordnen und Sortieren dienenden Pufferspeichers angeschlossen und speichert die so geordneten Datensignale einmal für jedes Anzeigefeld eJji» bevor dieses so dargestellte Master angezeigt wird und gibt dann die geordneten Datensignale synchron mit der Zeilenabtastung der Anzeigevorrichtung ab, Ein graphischer Mustergenerator ist am Ausgang des Zwischenpufferspeichers angeschlossen und decodiert die von diesem kommenden, geordneten Datensignale und erzeugt auf einer ersten Ausgangsleitung Komponenten des dargestellten Musters, die längs der abzutastenden Zeile lieigen« Ein Teilrasterspeicher ist mit der ersten Äusgangsleitung j des graphischen Mmstergenerators verbanden und speichert die jKomponenten des dargestellten Musters_f die auf einer abzutasten-Iden Zeile liegen, ab. Der graphische Mustergenerator !Kodifiziert idle decodierten» geordneten Datensignale und ermittelt dabei 'die waagrechte Koordinate für einen Schnitt des dargestellten {Musters mit der nächsten abzutastenden Zeile und gibt das so modifizierte Datensignal über eine zweite Ausgangsleitung nach !einer zweiten Eingangsleitung zum Abspeichern Im iwisehenpuffer— speicher ab. Der graphische Mastergenerator läßt jedoch die Abgabe eines modifizierten Datensignals auf der zweiten Äusgangsleitung aus, wenn keine Komponenten des Musters mit nachfolgenden _f in dem Feld abzutastenden Seilen der Anzeige zum Schnitt kommen*

!Bisher bekannte Kegelschnittgeneratoren haben Rekursiwerfahren !zur schrittweisen Erzeugung eines elementweise darzustellenden !Kegelschnittes benutzt. Obgleich dies für asynchrone Plotter !brauchbar erscheint, ist doch diese Art der Erzeugung von j Kegelschnitten für rasterartige Darstellung nicht brauchbar, da [die Zeit, die zur Erzeugung eines Kegelschnittes benötigt wird, proportional der Anzahl der auf eine Raster zeile fallenden EIejmente ist. Man benötigt daher dringend einen verbesserten Kejgelschnittgenerator, der alle Elemente auf einer Rasterzeile j zur gleichen Zeit erzeugt und daher für eine Fernsehschirmwie-

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dergabe brauchbar ist.

Diese ganz allgemein der Erfindung zugrundeliegende Aufgabe gilt es zu lösen.

Eine auf einem Bildschirm darzustellende Ellipse zeichnet sich durch eine Anzeigeachse mit einer inversen Steigung ΔΧ /ΔΥ aus, die die vertikalen Extremwerte der Ellipse schneidet _f mit einer inversen Änderungsgeschwindigkeit der Neigung der Ellipse

2 2 2 -■

von Δ X /Δ Y, wobei der senkrechte Abstand der Rasterzeilen ΔΥ beträgt. Die Datensignale werden dem Kegelschnittgenerator

mit Werten für die Konstanten ΔΧ und Δ²Χ² und Werten für

2 2 ^{p q}

X ΔΧ und X an den äußersten Enden der Ellipse zugeführt, wobei X der Horizontalabstand zwischen der Anzeigeachse und der Ellipse ist. Der Kegelschnittgenerator enthält ein Register_f das mit dem Ausgang eines Zwischenpufferspeichers verbunden ist, der die Werte ΔΧ , A²X² , X , X ² und ΔΧ ² enthält. Ein Quadratwurzelgenerator ist mit einem Eingang an dem Register ange-

2 schlossen und berechnet die Quadratwurzel von X . Eine erste

<3

Addierstufe ist mit dem Addendeingang am Ausgang des Quadratwurzelgenerators angeschlossen, während der Augendeingang an dem Register angeschlossen ist, so daß diese erste Addierstufe die Summe X + X und die Differenz X-X berechnet, während die Zeile auf einen Schnitt mit der Ellipse abgetastet wird. Ein Videosignalgenerator ist mit einem Eingang an der ersten Addierstufe angeschlossen und ist ausgangsseitig mit einem Partialrasterspeicher zur Erzeugung eines Videosignals an den Punkten längs der abzustastenden Zeile verbunden, die den Werten X + X und X - X entsprechen. Eine zweite Addierstufe mit einem Addend- und einem Augendeingang ist an dem Register angeschlossen und addiert die Werte ΔΧ mit X zur Ermittlung

PP

2 2

eines neuen Wertes von X , sowie ΔΧ zu X zur Ermittlung

P q <I

2 2 2 2 eines neuen Wertes X und Δ X zu ΔΧ zur Ermittlung eines

neuen Wertes von ΔΧ , Eine an den Zwischenpufferspeicher angeschlossene Ausgangstorschaltung ist eingangsseitig mit der

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i zweiten Addierstufe verbunden und hat einen Rückkopplungsausj gang, der am Eingang des ZwisehenpufferSpeichers angeschlossen

■1 2

i ist» wo. dadurch das mit den neuen Werten für X , X und

ι 2 P <ϊ

j ΔΚ gebildete Datenwort wiederum in dem Ewischenptifferspeicher j einzuspeichern. Die Ellipse wird als eine Folge von Vektorseg-I laenten durch iterative Operation des Kegelschnittgenerators I dargestellt«

Die Erfindung wird nunmehr anhand von Äusführtingsbeispielen i in Verbindung mit den beigefügten Zeichnungen im einzelnen be— 1 schrieben« Die unter Schutz zu stellenden Merkmale der Erfindung I fiadea sich in den ebenfalls beigefügten Patentansprüchen,

: In den Zeichnungen zeigt*

Fig, 1 einen Videogenerator, bei dem der Kegelschnittgenerator eingesetzt werden kann;

Fig. 2 das Datenformat für einen Kegelschnitt, das

als Eingangssignal für den Kegelschnittgenerator dient;

Fig, 3 im einzelnen den Vektorgenerator für den in

Fig* 1 gezeigten Videogenerator;

Fig, 4 im einzelnen einen Kegelschnittgenerator gemäß

der Erfindung, der sich in dem Videogenerator der Fig. 1 einsetzen läßt;

Fig. 5 ein Impulsdiagramm oder Taktdiagramm für den , schlechtesten Fall der Erzeugung eines Kegel

schnittes zur Darstellung der Arbeitsweise des Kegelschnittgenerators in Fig. 4;

Fig. 6 einen durch den Kegelschnittgenerator der Fig.

mit Hilfe von RasterSegmenten simulierten Kreis;

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2 b 4 ü b 0 6

-δι

Fig. 7 ein Blockschaltbild des im Kegelschnittgenera- !

tor der Fig, 4 verwendeten Quadratwurzelgene- j rators; j

Fig. 8A das Verhältnis der Achsen der darzustellenden i

Ellipse; i

Fig. 8B die für die Ellipse der Fig. 8A erzeugten

Vektorsegmente und

Fig. 9 ein Blockschaltbild einer anderen Ausführungsform eines Kegelschnittgenerators.

Diskussion einer bevorzugten Ausführungsform der Erfindung

Zusammenhang des Videogenerators mit dem erfindungsge-

mäß aufgebauten Kegelschnittgenerator

Fig. 1 zeigt den Zusammenhang, in dem der Kegelschnittgenerator 410 in Verbindung mit dem in der Deutschen Patentanmeldung V 25 25 509 offenbarten Videogenerator für eine dynamische digitale Darstellung auf einem Fernsehschirm Anwendung findet. Eine dynamische digitale Darstellung auf einem Fernsehschirm ist eine besondere Art der Darstellung, bei der codierte Daten einer Datenverarbeitungsquelle entnommen und in ein Fernsehvideosignal umgesetzt werden. Dieses Signal steuert einen oder mehrere Fernsehmonitoren an, auf denen dann das von der Datenverarbeitungsanlage gelieferte Bild dargestellt wird. Die logische Schaltungen, mit deren Hilfe die aus der Datenverarbeitungsanlage kommenden codierten Daten in ein Fernsehsignal umgesetzt werden, sind alles Digitalschaltungen, wie sie auch in der Datenverarbeitungsanlage verwendet werden. D.h., die digitale Fernsehdarstellung ist als Nachfolgetechnik anzusehen, die von dem beim Fernsehen und in der Datenverarbeitungsindustrie erarbeiteten technischen Fortschritt Gebrauch

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machen, um damit aus der Datenverarbeitungsanlage stammende Information auf einem Fernsehschirm darzustellen.

Eine Bildschirmdarstellung bedeutet in diesem hier benutzten Zusammenhang, daß ein oder mehrere Elektronenstrahlen wiederholt über die Bildschirmfläche einer Kathodenstrahlröhre in einer Folge von sehr eng benachbarten parllelen Zeilen abgelenkt werden, die hier als Raster bezeichnet werden sollen. In jeder Sekunde wird dabei diese Abtastung mehrfach durchgeführt, wobei die Anzahl der Abtastungen festliegt. In einem bestimmten Anzeigesystem liegt sowohl die Anzahl der Zeilen als auch die

Wxederholungsfrequenz bei der Zeilenabtastung fest. In einem ι
typischen Fall verwendet man 525 Zeilen und 30 Zeilenabtastungen pro Sekunde. Jedes Bild wird dabei in zwei Teilbilder unterteilt, wobei das eine Teilbild die ungeradzahligen Zeilen und das andere Teilbild die geradzahligen Zeilen erhält. Durch die-

: se verschachtelte Darstellung entsteht eine offensichtliche Verdoppelung der Bildfrequenz.

Die digitale Bildschirmdarstellung stellt eine Computeranzeige im Bildschirmformat dadurch her, daß das Bild zu einer Matrix aus Punkten oder Bildelementen reduziert wird. In einer Darstellung mit horizontalen Abtastzeilen ist die Anzahl der virtuellen Anzeigeelemente gleich der Anzahl der sichtbaren Abtastzeilen. Die Anzahl der Elemente innerhalb jeder Abtastzeile ist etwa willkürlich gewählt und ist typisch etwa 1,33 mal der Anzeige der Abtastzeilen. Obgleich das Bild aus einzelnen Elementen gebildet wird, so erscheint es doch wegen der großen Anzahl der verwendeten Elemente kontinuierlich.

Der in der US-Patentanmeldung Nummer 478 816 der Anmelderin offenbarte Videogenerator verwendet ein neues Verfahren zur graphischen Erzeugung einer fliegenden Darstellung, die sich bei älteren digital arbeitenden Bildschirmsystemen nicht finden läßt. Diese fliegende Darstellung gestattet es, daß alle darstellbaren Daten in für die Datenverarbeitung bestimmter co-

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dierter Form ihre Identität bis zu den letzten Stufen der Videobilderzeugung beibehalten.

Im Betrieb kann man bei dieser Art der Darstellung Daten auf der Darstellung löschen, ohne daß dabei darüberliegende oder sich schneidende Daten mitgelöscht werden. Dieses Verfahren bei der Erzeugung einer Bilddarstellung ist dann besonders attraktiv, wenn kurze Einblendungen und Farbe gewünscht werden. Die für 'die Darstellung und Identifizierung von Farbe und Einblendung 'benötigten Bits sind in der für die Datenverarbeitungsanlage !typischen codierten Form enthalten. Diese Art der impliziten j !Wiederholung kann den tatsächlichen Schaltungsaufwand für die ^! !Speicher für eine farbige graphische Darstellung um einen Faktor

ί ι

Ivon 18;1 verringern, ;

Die Videogeneratorschaltung in Fig. 1 macht von der fliegenden ! Wiederholungstechnik in der Weise Gebrauch, daß dadurch dyna- ; misch eine digitale Fernseh-Bildschirmdarstellung erzeugt ■ wird. Der Videogenerator besteht aus einem Wiederholungspufferspeicher 28, dem Zwischenpufferspeicher 38, einen Vektorgenerator 42, einem zusätzlich möglichen Symbolgenerator 44 und einem Teilrasterspeicher PRAS 44. Der Kegelschnittgenerator 410, auf den sich die vorliegende Erfindung bezieht, ist mit dem Zwischenpufferspeicher 38 und dem Vektorgenerator 42 verbunden .

Der Wiederholungspufferspeicher 28 nimmt aus einer Datenquelle, wie z.B. einer Datenverarbeitungsanlage oder einer programmierbaren Steuereinheit, die die einzelnen Bildelemente darstellenden Datensignale auf. Der Wiederholungspufferspeicher 28 liest die nach der Y-Adresse geordneten Datenworte aus, einmal je Teilbild für die Vektoren, Symbole und Kegelschnitte, die angezeigt werden sollen, wobei diese als Hintergrund und als dynamische Daten organisiert sind. Der Wiederholungspuffer 28 besteht aus einem Steuermodul und einem Speichermodul für eine Speicherung von insgesamt 8K Halbworten mit je 16 Daten- und zwei

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Paritätsbits. Die Hauptfunktion des WiederholungspufferSpeichers besteht darin, die zum Aufbau der visuellen Darstellung erforderlichen codierten Daten einzuspeichern. Die von einer digitalen Datenverarbeitungsanlage in beliebiger Form über die Leitung 68 ankommenden Daten werden in einer durch die Y-Zeile geordneten Form abgespeichert. Dadurch ist es möglich, den Wiederholungspufferspeicher 28 Zeile für Zeile auszulesen. Ein detailliertes Blockdiagramm eines solchen Wiederholungspufferspeichers ist in Fig, 3 der Deutschen Patentanmeldung P 25 25 dargestellt.

Das von der Datenverarbeitungsanlage an den Wiederholungspufferspeicher 28 für Kegelschnitte ankommende, aus Datenworten bestehende Eingangssignal benötigt jeweils Worte mit 32 Bit mit vier zusätzlichen redundanten Worten, um damit ein Auflisten der Daten nach dem Y-Wert zu erleichtern. Die Worte 3, 4, 5 und 6 in Fig. 2 werden jeweils mit einem zusätzlichen Wort 1, das den Wert Y enthält, paarweise benutzt, um die Identifizierung der im Wiederholungspufferspeicher eingespeicherten geordneten Wortschlangen zu erleichtern. Die Datenworte werden von der digitalen Datenverarbeitungsanlage über eine gemeinsam benutzte, in beiden Richtungen einsetzbare Halbwortsammelleitung 68 dem Wiederholungspufferspeicher 28 zugeführt. Der Zwischenpuffer- ! speicher 38 ist ein kleiner Hochgeschwindigkeitspuffer, der die Daten aus dem Wiederholungspufferspeicher 28 in codierter Form aufnimmt und diese Daten - je nach Bedarf - wiederum an den ! Kegelschnittgenerator 410, den Symbolgenerator 40 oder den Vektorgenerator 42 abgibt. Der Zwischenpufferspeicher 38 nimmt aus j dem Wiederholungspufferspeicher 28 sechs 32-Bit-Worte für jeden Kegelschnitt auf, der auf einer Rasterzeile beginnt. Diese Daten werden von dem Zwischenpufferspeicher 38 entsprechend dem zur Verfügung stehenden Speicherplatz benötigt, bevor die Rasterzeile an den Videomischer 46 übertragen wird. Ein detailliertes Blockschaltbild des Zwischenpufferspeichers ist in Fig. 4 der Deutschen Patentanmeldung P 25 25 509 gezeigt.

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j Die in Fig. 2 gezeigten, sechs codierten Datenworte werden mit hoher Geschwindigkeit an den Kegelschnittgenerator übertragen, wo sie im Zusammenwirken mit dem Vektorgenerator 42 in digitale Videodaten umgesetzt werden. Da ein Kegelschnitt auf verschiedenen Rasterzeilen auftreten kann, modifiziert der Kegelschnitt generator 410 die codierten Datenworte und schreibt sie erneut in den Zwischenpufferspeicher für eine weitere Verwendung bei der Erzeugung der digitalen Videodaten für die nächste Rasterzeile ein. Wenn die Videodatenumwandlung während der Erzeugung der gerade laufenden Rasterzeile abgeschlossen ist, dann wird diese bestimmte Gruppe von Datenworten nicht erneut in den

Zwischenpufferspeicher 38 eingespeichert. j

j Der Zwischenpufferspeicher 38 ist dabei in einen Vorspeicherbe- j reich und einen aktiven Bereich unterteilt, wobei die Gesamtkapazität bei 256 32-Bit-Worten liegt. Die Daten werden vom :Wiederholungspufferspeicher 28 an den Vorspeicherbereich in dem Maße übertragen wie dort Speicherplatz zur Verfügung steht und, je nach Erfordernissen für die Anzeige, von dem Vorspeicherbe-

■ reich nach dem aktiven Bereich. ^;

Der Vektorgenerator 42 nimmt von den Zwischenpufferspeicher 38 zwei Datenworte auf und bestimmt damit, welche Elemente auf jeder Zeile der Darstellung einen Vektor bilden. Alle Vektoren werden durch den Hilfsprozessor als individuelle Vektoren gekennzeichnet, beginnend am oberen Ende des Bildschirms, und in Richtung auf das untere Ende des Bildschirms fortschreitend. Das vom ' Videogenerator erzeugte Punktmuster wird durch den Kegelschnitt- ; generator 410 dazu benutzt, ein Videopunktmuster für die darzu- j stellenden Kegelschnitte zu erzeugen. Ein detailliertes Block- : schaltbild des Vektorgenerators ist in Fig. 3 dargestellt.

Der Kegelschnittgenerator 410 ist in Fig. 4 gezeigt. Der Kegel- ^! • schnittgenerator 410 weist eine vom Zwischenpufferspeicher 38 kommende Eingangsleitung 200, eine nach dem Zwischenpuffer- ' speicher 38 führende Rückkopplungs-Ausgangsleitung 202 und zwei

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nach dem Vektorgenerator 42 führende Ausgangsleitungen 412 und 414 auf. Das Taktdiagramm für die Arbeitsweise des Kegelschnittgenerators ist in Fig, 5 gezeigt. Der Kegelschnittgenerator verwendet das in Fig. 2 gezeigte Format für codierte Daten zur Berechnung der Ausgangs-X-Koordinate und der ΔΧ-Länge für jedes von zwei Raster zeilensegementen, die den Schnittpunkt des Kegelschnittes mit der Rasterzeile darstellen. Ein durch Rastersegmente simulierter Kreis ist in Fig. 6 gezeigt. Die X- und ΔΧ-Werte werden über Leitungen 412 und 414 für die Erzeugung eines Videopunktmusters an den Vektorgenerator 42 abgegeben. j Der Kegelschnittgenerator 410 modifiziert dann die codierten Daten, deren Format in Fig. 2 gezeigt ist zur Darstellung des j Schnitts des Kegelschnittes mit der nächsten anzuzeigenden Ra-] sterzeile, und gibt diese modifizierten Daten über die Rückkopplungsleifcung 202 an den Zwischenpufjqerspeicher 38 ab,

, Der Partialrasterspeiclier 44 (PBAS) ist ein fiochgeschwindigkeitsspeicher_r dessen Kapazität für zwei volle Rasterzeilen in expliziter (nicht codierter Viäeopunktmusterform) Form ausreicht» Alle Punktmusterdaten für einen Kegelschnitt, einen Vektor oder einen Symbol werden auf einer Zeile im PRAS 44 während der Zeit einer Zeile zusammengestellt_f die der normalen Darstellung dieser Zeile vorausgeht. Soll die Videozeile dargestellt werden, dann wird die entsprechende Zeile im PRAS 44 mit Videofrequenz ausgelesen, während die nächste Zeile in der zweiten Zeile des PRAS 44 zusammengestellt wird. Ein detailliertes Blockschaltbild des PRAS ist in Fig. 7 der Deutschen Patentanmeldung P 25 25 509 gezeigt.

Das vom PRAS 44 kommende digitale Videoausgangssignal gelangt an eine Videoausgangstreiberstufe 46, wo sie mit den Synchronisiersignalen gemischt und für eine übertragung über die Leitung 192 nach einer digitalen Bildschirmanzeige in ein zusammengesetztes Videosignal umgesetzt wird. Für jede Primärfarbe ist eine Ausgangstreiberstufe 46 erforderlich.

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- _Ί1 _ 2 b 4 6 5 O 6

Kegelschnittgenerator

! Der Hilfsprozessor, d.h. eine hier benutzte Hxlfszentraleinheit I verwendet eine iterative Schleife zur Berechnung einer geraden

Linie (Xp) und einer Verschiebung gegenüber dieser geraden Linie (Xq)· Die Schnitte mit dem Kegelschnitt sind dann ^XP i ^χ<ϊ* ^w^^e Fig, 8& zeigt. Dabei gelten folgende Gleichungen;

t, 2 sin θ cos θ (a² - b²)

r = a² cos² θ + b² sin² θ

wobei

_ _ Hauptachse
a s^

b = Nebenachse und 2

Θ « der Rotationswinkel sind.

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_n-1 + A²Xq²

2 2
wobei ΔΧρ und Δ Xq Konstante sind.

Die HilfsZentraleinheit berechnet die ursprünglichen Werte von ι Xp, ΔΧρ, Xq² t AX²q und A²Xq² wie folgt? j

2 2

Die Gleichung einer Ellipse ist Ax + Bxy + Cy - 1 = 0 :

wobei 2 2 2 2

a = ^{a sin θ} ·*· ^b ^

2b46506

Dann wird Υ_χ gefunden, d.h. der Y-Wert für den von der Mitte der Ellipse aus gemessenen obersten Punkt der Ellipse

_γ _f -4A

B² - 4AC

Unter Verwendung von Y lassen sich die Anfangswerte finden

^{+ V}c

X^q₁ « Ξ. ψ£ ( Γγ 1 - 1/2) ^

_Λ2_γ 2 _ B² - 4AC
Δ Xq = s

4Α^Ζ

- ( [Υ_τ^| - DA²Xq²

ΔΥ»2

[Υ_τ]

Diese Werte werden dann für die Y-Zeilenadresse entsprechend ΓυΊ + V geschrieben, wobei ΓυΊ der ganzzahlige Teil von Y , und X und Y die Adresse der Mitte des Kegelschnittes sind.

Wenn man (ΓυΊ - 1/2) in den Berechnungen benutzt, dann lassen sich mit den iterativen Formeln die Schnittpunktes des Kegelschnittes an einem Punkt in der Mitte zwischen benachbarten

■ -■ - - I

Zeilen des Bildschirmes berechnen. Die Darstellung wird dann dadurch erzeugt, daß man ein waagrechtes Zeilensegment von dem Schnittpunkt 1/2 Zeile oberhalb jeder Bildschirmzeile nach ' dem Schnittpunkt 1/2 Zeile unterhalb dieser Linie auf der Bild- j schirmzeile zieht. ΔΥ ist die in Bildschirmzeilen gemessene ^!

Höhe des Kegelschnittes. j

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Ausführung

Ein Blockschaltbild der entsprechenden Schaltung ist in Fig. gezeigt, während ein Taktimpulsdiagramm für diese Schaltung in Fig, 5 dargestellt ist.

Die Daten für den Kegelschnitt sind in sechs, in Fig. 2 dargestellten Worten enthalten, die im Zwischenpufferspeicher abgespeichert sind. Diese Worte enthalten

Xq², A²Xq², AXq²,

Xp, ΔΧρ, ΔΥ

2 Wenn die beiden ersten Worte gelesen werden, dann wird Xq in

! 2

das Xq -Register 418 geladen und die 24 höchstwertigen Bits werden nach dem Schieberegister SRI 434 übertragen, ΔΥ wird ebenfalls in das ΔΥ-Register 428 geladen. Das Schieberegister SR1 ' 434 ist ein 2-Bit-Schieberegister, das für jeden Schiebevorgang den Speicherinhalt um zwei Bits verschiebt, und das die Daten so lange verschiebt, bis entweder eine Eins in einer der j beiden höchstwertigen Bitpositionen auftritt oder aber für '. maximal fünf Schiebeimpulse, Die Anzahl der Schiebeimpulse wird : in der Schiebesteuerlogik 440 gespeichert und die elf höchstwertigen Bits im Schieberegister SR1 434 werden als Eingangs- ^! signale für den Quadratwurzel-Festwertspeicher 436 benutzt.

Die Analyse dieses Verfahrens zum Berechnen einer Quadratwurzel wird noch gegeben. Diese Schaltung ergibt eine Verschiebung,

2 bis entweder die ersten Einsen von Xq in den höchstwertigen Adressen des Festwertspeichers 436 eingespeichert sind, oder bis alle Ziffern des gesamten Zahlenteils (fünf 2-Bit-Verschie-

bungen) von Xq in den Adressen des Festwertspeichers 436 liegen. Wenn sich die Ausgangssignale des Festwertspeichers 436 stabilisiert haben, wird diese Zahl in das Schieberegister 2 438 eingespeichert, SR2 438 ist ein Schieberegister, das jeweils um ein Bit weiter verschiebt und der Speicherinhalt wird gleich

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oft nach unten verschoben, wie er im SR1 434 nach oben verschoben wird. Dieses Verfahren stellt einen Weg dar zur Benutzung ;eines Gleitkommas bei der Berechnung einer Quadratwurzel. Wenn

^;man beispielsweise den Speicherinhalt des Schieberegisters SR1 : 434 fünfmal um zwei Bits nach oben verschiebt, so entspricht dies einer Multiplikation mit 2 , wenn man dagegen den Speij cherinhalt des Schieberegisters SR2 438 fünfmal um ein Bit nach

!unten verschiebt, so entspricht dies einer Multiplikation mit 2 . Somit ist also nach fünf Schiebetakten:

SR1 = Xq² χ 2¹⁰

und das Ausgangssignal des Festwertspeichers ist

Xq² X 1O⁺¹⁰ = Xq χ 2⁵

Nach fünf Schiebetakten im Schieberegister SR2 ergibt dies;

SR2 = Xq χ 2⁵ X 2~⁵ = Xq

Dieser Wert wird dann in Xq 454 geladen.

Zum gleichen Zeitpunkt werden die Worte drei und vier aus dem

ο Zwischenpufferspeicher ausgelesen und AXq sowie AXp werden

2 2 in die entsprechenden Register eingespeichert, Xq , AXq und

2 2
Λ Xq sind alle bis 42 Bit genau, wie dies für die unten noch zu beschreibende Fehleranalyse erforderlich ist. Diese Bits werden in zwei Schritten in einer Addierstufe 452 mit 22 Bit addiert. Die 22 niedrigstwertigen Bits werden addiert und der übertrag wird festgehalten, anschließend werden die 20 höherwertigen Bits addiert und der übertrag wird dazuaddiert. Auf

2 2

diese Weise wird Xq ₁ dadurch erzeugt, daß man Xq +

2 2 2

AXq addiert und man erzeugt AXq .. dadurch, daß man AXq

2 2 2 2

zu A X q hinzuaddiert. Xq _n+1 wird dann in das Xq -Register

418 geladen, und wenn das Ausgangssignal des Festwertspeichers 436 in das Schieberegister SR2 438 geladen wird, wird Xq in das Schieberegister SR1 434 geladen und das Verfahren zum Berechnen der Quadratwurzel wird fortgesetzt, um den Wert

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^ZU

Wenn die Worte 5 und 6 vom Zwischenpufferspeicher ausgelesen

2 2

werden, dann werden die Werte ΔΧρ, ΔΥ und Δ Xy in die entsprechenden Register geladen. Die elf höchstwertigen Bits von Xp werden dann an das Xp -Register 456 übertragen und nach Be-

2 η

rechnung von Xq .. wird XP_n+1 berechnet und dann in die Xp 456 und Xp .. 46O-Register geladen. Anschließend wird Xp ₊₂ berechnet und in das Register Xp 420 eingespeichert, von wo es dann wieder nach dem Zwischenpufferspeicher 38 zurückgespeichert

2 werden kann. Anschließend werden die Werte von Xq ,_o und

2 2 ^{n 2} 2

AXq ₊₂ berechnet und in die Register Xq 418 bzw. AXq 426 geladen und diese Werte werden wiederum in den Zwischenpufferspeicher 38 zurückgespeichert.

Ist der Wert von Xq-^₁ bestimmt, dann wird dieser Wert in das

> Xq .j -Register 458 geladen und die Werte

n+1 HT 1 UT I I

werden in 11 Bit ALUs erzeugt. Diese Werte werden dann nach den ; Registern 480, 482, 474 bzw, 472 übertragen. Die Vergleichs-• stufen 484 und 486 steuern das MUX 488, das den kleineren Wert von X und X¹ sowie X„... und X¹ ^- ausgibt als Wert X auf : η η n+1 n+i

Leitung 412 und als Differenz dieser Werte ΔΧ auf Leitung 414, die nach dem Vektorgenerator 42 führt. Eine Detektorschaltung ist vorgesehen, die bestimmt, wenn Zeilensegmente sich außerhalb des Bildschirmes befinden, in welchem Fall kein Schreibbefehl an den Vektorgenerator abgeht. Für Kegelschnitte, die oberhalb

2 des sichtbaren Rasters beginnen, werden Werte von Xp., Xq _λ

und ΔΧ q_A durch die HilfsZentraleinheit unter Verwendung der

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- 16 iterativen Gleichung berechnet.

Der Wert von ΔΥ wird jedesmal dann, wenn er ausgelesen wird, um zwei Werte verringert und mit null verglichen. Wird die Null festgestellt, dann ist der Kegelschnitt fertig, so daß dieser Wert nicht in den Zwischenpufferspeicher 38 zurückgespeichert wird. Um sicherzustellen, daß der Kegelschnitt geschlossen ist, wird Xq_n+.] zwangsweise zu null gemacht, so daß die beiden Vektor segmente nach Xp .. gezogen werden, so daß sich am unteren Ende des Kegelschnittes ein ausgezogener Vektor befindet.

Besondere Berücksichtigung ist auch am oberen Ende des Kegelschnittes erforderlich, wenn die Register Xp und Xp_n+I beide mit Xp. CXp Ausgangswert) und die Register Xq_ und Xq_n+1 beide mit Xq. (Xq Anfangswert) geladen sind, so daß auch auf der Oberseite des Kegelschnittes ein ausgezogener Vektor dargestellt wird.

Mathematische Analyse

Ableitung

!Die iterativen Gleichungen für die Erzeugung von Kegelschnitten [wurden wie folgt abgeleitet:

]Die Gleichung einer Ellipse ists

j xf ₊ Y². _{β t}

,wobei a und b die beiden Halbachsen sind, damit ist

I b²x² + aV = a²b²

j Rotiert man die Achse um den Winkel Θ, wie in Fig. 8C gezeigt, dann wirdi

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- 17 - 2b46506

X₁ = R cos α

Y₁ = R sin α

X₂ = R cos (α+Θ)

Y₀ = R sin (α+0)

2 i

Χ« = R (cosa COS0 - sina sin9 ) !

^Χ1 ί

cos α = ~ !

ti j

Sin α = «1

/^Χ1 ^Υ1 \

^Χ2 ^{= R} \ Τ~ ^{cos Θ} " έΓ ^{sin Θ}'

; X₂ = X₁ cos Θ - Y₁ sin Θ (3)

Y„ = R (sin α cos Θ + cos α sin Θ) ;

= / R =~ cos Θ + =ri sin Θ I

Y=Y cos Θ + X sin Θ (4)

substituiert man in Gleichung (2)_r dann erhält man;

b²(X₁ cose - Y₁ sin©)² + 3²IY₁COsG + X₁ sin0)² = a²b²

oder, noch allgemeiner

a²sin²e -t- b²cos²e.,2 .2(a² - b²) sin9 cos9, _r„

a²cos²e

a²b²

Setzt man

a²sin²e + b² cos²Q
a²b²

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2 (a² - b²) sine cos0

a²cos² 6 -i- b²sin²e —

a b

- c

so erhalt man

AX² + BXY + CY² - 1 = O,

i5)

Löst man nach X auf, dann erhält man: - By +

X =

- 4A<CY²-1)

- 2Ä. * = Xp + Xg

4A"

wobei Xp = Linie und

- K₁Y ist, d.h» die Gleichung einer geraden

X² = K₂Y² + K₃

ist.

Y^ = Y tritt oben und unten bei einer rotierten Ellipse dann auf, wenn X = Xp (d.h, wenn Xg = 0 ist)«

K₂Y*

Y =

* O

-4A

B - 4AC

und daraus

Y_m =

"^4A

T -

ΈΓ - 4AC

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ι *Ντι ~~ "" *ojr Φ

j X £*Ά X

Für die Entwicklung der Rekursivformel für Xp ist;

- ^K1^Yn

^Xpn+1 ^{= K}1^Yn+1

Wenn dies jedoch die Werte von Xp auf zwei aufeinanderfolgenden
Bildschirmzeilen sind, dann ist

ΔΧρ - - K₁,

i und neue Werte für Xp können berechnet werden durch ;

= Kp_n + ΔΧρ. (9) j

Yn+1	- yn *	1	KP	I	)	- K Y 1 η
ΔΧρ	- Xpn+1		K 1
ΔΧρ	= (k Y 1 η	-

Außerdem ist

\ - ^Κ2^γ2η ^+K

^Yn₊1 = ^Yn - ¹ !

AX²q « - 2K₂Y_n + K₂ j

= K₂ (1 - 2Y_n) j

und x\ = X²Q_n-1 + AX²q _{10)|

WA 974 004 βηΛΟΛ/ /_Λ^ί-_Λ

60982A/0656

dann ist

AX²q_n = K₂(I- 2Y_n) ) ^ΔΧ\ =^K2 <¹ - ²W

A²X²q =

A²X²q. (11)

' 2 2

Dem Kegelschnittgenerator müssen die Anfangswerte für Xq, AXq,

2 2
IAXq, Xp und ΔΧρ zugeführt werden. Aus den oben gegebenen Ab-

i 2 2

ί leitungen erhält man AXq= 2K₀ und ΔΧρ = -K1, außerdem ist Xp. j (Xp Anfangswert) = X_ = - "Τα^υφ· Diese Werte werden jedoch alle ^j relativ zum Mittelpunkt der Ellipse abgeleitet. Der tatsächlich erforderliche Wert von X (X ) ist

^XACT ~ ^Xpi ^{+ X}MITTELPUNKT

wobei ^xmittelPüNKT ^{die x}~^{Koordinate äes} Mittelpunktes des Kegelschnittes ist. Die Werte X q und X q können durch Lösung der ursprünglichen Gleichungen mit Y = Y gefunden werden.

Der berechnete Wert von Y_ ist jedoch der theoretische Wert bei I dem Kegelschnitt ganz oben und ganz unten. Der Anzeigegenerator I muß jedoch mit den Werten dieser Größen an denjenigen Punkten ¹ arbeiten, die einen Schnittpunkt mit den Bildschirmzeilen liefern. j Soll der Algorithmus genau sein, dann sollten diese Werte ; Schnittpunkte in der Mitte zwischen Bildschirmzeilen darstellen.

■ ■ 2 2

I Somit werden X q. und ΔΧ q^ mit einem Wert von Y gleich Y„ be-

WA 974 004 609824/0668

- 21 rechnet, der gleich dem ganzzahligen Anteil von Y_ - 1/2 ist.

Abrundungsfehler

Zur Bestimmung der in dem Kegelschnittgenerator erforderlichen Genauigkeit zum Erzielen einer + 1 Genauigkeit in der X-Position wurde die folgende Analyse durchgeführt. Damit die Genauigkeit von + 1 erreicht wird, muß der Wert von Xp + Xq innerhalb von +1/2 liegen, da der Digitalisierungsfehler +1/2 beträgt. Somit müssen also Xp und Xq innerhalb + 1/4 liegen.

Es ist Xp_n = XP_n-1 +
und dies ist äquivalent

Xp_n = Xp_± + (η-1)ΔΧρ

wobei Xp. der Anfangswert von Xp ist und η gleich der Anzahl der Iterationen. Der Fehler beim Wert von ΔΧρ hat einen maximalen Fehler Xp zur Folge, wenn η ein Maximum ist. Somit wird

Xp +Fehler Xp = Xp. + Fehler Xp. + (n_mav - 1)ΔΧρ ⁿmax ~ ⁿmax ^x ~ x max

⁺ (ⁿ™=_v - D Fehler ΔΧρ

Fehler Xp,,, = + Fehler Xp. + (n _aw - 1) Fehler ΔΧρ ⁿmax " ι - max

Da lediglich diejenigen Werte des Kegelschnittes berechnet werden, die zwischen Obergrenze und Untergrenze des sichtbaren Bereiches des Gitters liegen, ist η = 2 und

Fehler Xp = + Fehler Xp, + (2¹⁰ - 1) Fehler ΔΧρ max

Setzt man den Fehler =1/4 dann erhält man

2~² β + Fehler Xp_± + (2¹⁰ - 1) Fehler ΔΧρ, und damit

WA 974 004 609824/0656

2"²
Fehler ΔΧρ = + ^r₇? , d.h.

- 2^Ί0

-12 ' ΔΧρ muß bis + 2~ genau sein.

Dies wird dadurch erreicht, daß man ΔΧρ bis auf eine Genauigkeit !

von 2 berechnet und für die ursprünglich in dem Kegelschnitt- \

generator eingespeicherten Werte auf 2~ abrundet. i

Der Wert von Xp. braucht nicht derartig genau zu sein. Wie die |

nachfolgende Analyse von Xq zeigt, tritt der Maximalfehler in Xq \ dann auf, wenn η = 1/2 η ist. An diesem Punkt ist der Fehler

in Xp_., der sich aus dem Fehler in Xp ergibt, lediglich gleich ;

dem halben Fehler Xp oder + 2 . Um an diesem Punkt Xp j

«lax

auf + 1/4 genau au berechnen_f m&Q Xp. nux bts aiif * 2~

sein, was sich dadurch erreichen läßt, daß man Xp, auf 2 Ge-

nauigkeit berechnet und auf 2~ abrundet*

Damit Xq gleich + 1/4 sein kann, naaß der Wert von X g bis auf

± 1/2 Xq + 1/16 richtig sein,

Die Werte von X q_n werden wie folgt abgeleitetϊ

2 2

X^q = X^q

	y y Y et — V X q2 - X	2 +Δχ212	= x2.
	9 7 xq3 = .x q
wobei	ÄX2q2 = 4X
Somit	wird

WA974OO4 809824/0006

und

wobei ÄX²q₃ = ^²q₂ ⁺ A²X²q = ^Δχ2^ι * 2IJX²q
Somit wird

Im allgemeinen 1st
X²q_n - X²q

Der Fehler in X²q_n ist

Fehler X²q„ = + Fehler X²q. + (n-1) Fehler AX²q, \

η — χ — χ .j

+ pehlerA²X²q

ι Der Fehler in X q. kann dadurch klein gemacht werden, daß man

¹ 2

ausreichend viele Bits von X q. vorsieht. Wenn dies getan wird,

dann ist
j Fehler X²q„ ^ + (n-1) FehlerAX²q, +

Da sich die Fehler aus der Abrundung ergeben, können sie sich ge- j genseitig addieren und der Maximalfehler tritt dann auf _f wenn i η = η ist, das, da das iterative Verfahren nur innerhalb der j Höhenabmessungen des sichtbaren Bereiches des Bildschirmes durchgeführt ist, = 2¹⁰ ist.

9 ίο 9 /9 —Ή(O —9V 9 9

FehlerX <j = + (2¹ -1) FehlerAXq. + ^=- ^4= ^- FehlerA^zXq

Il "™ 1 ^ ^

1Π O 1Q OO

c* + 2^luFehlerAX q_± + 2'^FehlerA^X q

Da der Maximalfehler in X q dann auftritt, wenn η ein Maximum

η ^f

ist, dann bedeutet dies, daß der größte Fehler an der Unterseite

2 des Kegelschnittes zu erwarten ist. Da der Wert von Xq an

diesem Punkt ein Minimum ist, so ist es wünschenswert, daß der .

Maximalfehler im Mittelpunkt des Kegelschnittes auftritt, wenn .j 2 . .

X q ein Maximum ist. Dies kann dadurch erzielt werden, daß man

2 2 2

einen anfänglichen Fehler in AX q. einführt, der den durch Δ X*q

an der Unterseite der Ellipse verursachten Fehler ausgleicht*

(n-1) Fehler Ax²q_± - ehler A²X²q

Fehler αχ\_± = FehlerA²X²q

^101974004 609824/0656

i - 24 -

2 2

ι Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, besteht darin,Δ X q mit

ι größerer Genauigkeit zu berechnen als benötigt wird, so daß man

ί 2 2

dann den Wert des Fehlers von £ X q kennt« Dies könnte dann mit

' 2 2

<n-2}/2 multipliziert und von AXq. abgezogen werden. Eine wei-

! tere Möglichkeit, dies zu erreichen, besteht darin, den Wert

■ 2 2Y —2 2 2

(von ΔΧ q. dadurch zu berechnen, daß isan - —5 Δ X q berechnet

] und das als ΔΧ q, nimmt, Damit wird sichergestellt, daß dann,

jwenn η = 2Y ist, (d.h. am unteren Ende der Ellipse), die Werte

j von _A ²^² _q ^^ _in.-j) &K²q_± gleich sind. Der Maximal-]fehler tritt nunmehr in dem Kegelschnitt auf halbem Weg nach xmten I auf ί

j 2

) Fehler xfa_= + "L'⁴! * J Fehler

^aC²V²]

I
Differenziert man und setzt dann gleich null, so erhält mans

O = t2Y_T-2) feiaer A²X²g, - <2n-3) Fehler £²K%. oder 2 ^% 2

Ist Y«, grofi^ dann wird 11 Y„,

2ur Bestimroang des Fehlers an diesem Punkt wird die Fehlergieichung mit η gleich Y„ aufgelöst, und es wird

2Y —2
Fehler £X²q_± = —|— Fehlerd²X²q

₂
Fehler X^q_n = (¥^-1) 1 Fehler&

Da Y « 2⁹ ist, wird der Fehler in X²q ^ 2¹⁷ χ FehlerIJX²q max

974 OO4

809824/0658

2 2 '

Es sollte hierbei angemerkt werden, daß AXq nicht unter Ver- j

wendung einer Abrundung spezifiziert werden kann. Würde man ΐ

2 2

eine Abrundung vornehmen, dann wäre der Wert vonA X q größer j

2 '· als er tatsächlich ist, was zur Folge hätte, daß X q zu

früh einen negativen Wert annimmt und, je nach Ausgestaltung ;

der Schaltung, den Kegelschnitt zu früh abschneiden oder einen ■

negativen Wert erzeugen würde, was bei der Berechnung der ;

Quadratwurzel zu imaginären Werten führen würde. |

Ausführung j

In der tatsächlich ausgeführten Schaltung werden die Werte

2 2 2 2 —20

von AXq und AXq. bis auf 2 genau angegeben.

OO «-9O 0

AXq wird tatsächlich auf 2 berechnet. Der Wert von AXq₁

—20
wird auf 2 genau berechnet_r so daß dieser Fehler klein sein

wird. Der Fehler wird dann gefunden als

Fehler X²q_n = + Fehler X²q_± + (n-1)FehlerAX²q_± + Fehler A²X²g

wobei -, _₂₀ Fehler X²q = + 2~¹¹ + (n-1) 2~²¹ +

und der Fehler bei η = Y_T = 2 (Maximalfehler) ist:

-20

.-I I ._M ,._ ~^ I I IZ -Il [Z — Z. I I Z

^n

-2

Fehler X²g - + 2"¹¹ + (2⁹-1)2-²¹ ♦ C(2⁹-1) (2⁹-2)J 2

. _i2-11 _±2-12 _±2_

= + 2~³ + 2"¹¹ + 2"¹²

2
Der sich aus dem Fehler in X q ergebende Fehler von Xq ist eine

2 Funktion des Wertes von Xq, Da der Maximalwert von Fehler Xq

eine Konstante ist, ist der Fehler Xq_n ein Maximum, wenn Xq_n ein Minimum an dem Punkt ist, an dem Fehler X q ein Maximum ist. Der Kleinstwert der kleinen Achse eines Kegelschnittes ist 3 (da ein Kegelschnitt mit einer Nebenachse von 2 als ein Vektor

WA 974 004 609824/0658

erzeugt werden kann) daher erhält man den kleinsten Wert von Xg dann, wenn Y = Υ_φ 1,5 ist und Xg = 2,25. Der Fehler ist

dann Xq <sa 2~ und damit
τι

2,25 + 2"³^ 1,5 + 1/16,

d.h., daß der Fehler in Xq, der durch den akkumulierten Fehler

2 ·
in X q verursacht wird, im schlimmsten Fall +1/16, im allgemeinen aber sehr viel kleiner ist. Der maximale, in der Quadratwurzel-

schaltung auftretende Fehler tritt dann auf, wenn Yq groß (2 )

2 ⁿ ist, an welchem Punkt der durch Fehler Xq in Xq verursachte

Xl XX ;

Fehler sehr klein ist, so daß der Quadratwurzelschaltung der !

Fehler (+ 1/4) in Xq zugeordnet werden kann. j

O^adratwurzelgenerator 442

ΐ Zur Berechnung der Quadratwurzel verwendet man einen Festwert- j S speicher mit Tabellensucfavorgang in Verbindung mit einem bei \ ; jeden Schiebetakt den Speicherinhalt um 2 Bit verschiebenden

Schieberegister SRI 434, Die 24 höchstwertigen Bits von Xq werden in das Schieberegister SR1 434 der Fig. 7 geladen. Ist eines der beiden höchstwertigen Bits eine Eins, dann wird eine Verschiebung nach rechts durchgeführt« Ist dies nicht der Fall, dann wird eine Heihe von Linksverschiebiangen (jeweils 2 Bits) so ; lange durchgeführt* bis entweder eine 1 in den Bitpositionen ] 2¹⁸ oder 2¹⁹ festgestellt oder bis fünf Verschiebetakte durch- ■ geführt sind» Man sieht _t daß nach fünf Schiebetakten der ganz-

2 '

zahlige Teil von Xq in eine Position verschoben 1st, in der j die Quadratwurzeltabelle 436 adressiert werden kann* Die Quadratwurzel wird gezogen und in das Ausgangsschieberegister 438 geladen, das die gleiche Anzahl von Schiebeschritten in der entgegengesetzten Richtung, jedesmal um 1 Bit, ausführt.

Oas Äasgangssignal des Oaadratwsrzelgenerator 442 ist eine

_—2
12Bitzahl_f bei der 2 zum tatsächlichen Wert der Quadratwurzel

2 des Eingangssignals hinzuaddiert ist, Wenn somit Xq* (wobei

Xq* die Quadratwurzel des abgerundeten Wertes von Xq ist, das

m 974 OO4 60S824/0ÖÖ8

9 19

. in den Bitpositionen 2 bis 2 des Eingaberegis^ers 434 liegt)

das Eingangssignal für das Schieberegister_fSR1 434 darstellt, <iann ist das Ausgangs signal Xq'+2~² oder Xg¹ + 1/4* 1/4 wird

deswegen addiert, damit der Quadratwurzelgenerator 436 ohne

2
Äbrundung von Xq arbeiten kann. Der Grund dafür ist folgender:

ι Für Kegelschnitte ist der Maximalfehler in,Xq¹ gleich 2 + 2

65 9
+ 2 + 2 + 2 , Das stellt den größten prozentualen Fehler

dar, wenn Xq'² = 2¹⁸ ist, da je£e Zahl, die größer ist als 2¹⁸, einen Schiebvorgang zur Folge gehabt hätte * Damit nunmehr Xq innerhalb der geforderten Grenzen von +1/4 liegt, muß für .die-. ¹ sen schlechtesten Fall das Ausgangssignal des Quadratwurzelgenerators 436 + 1/4 sein,

2 Für diesen Fall liegt der tatsächliche Wert von Xg zwischen

2 2 9 / ο

Xq' und Xq* + 2 und der tatsächliche Wert von ν Xq liegt j zwischen/xq·² = Xq¹ = 2⁹ und/xq¹^ + 2*. Der Wert/xq'² + 'ist angenähert gleich Xq' und 1/2 = 2⁹ + 2~¹, da (Xq¹ + 1/2) ² = Xq'² + Xq^§ + 1/4 ist,

Der tatsächliche Wert von / Xq liegt daher zwischen 2 und

Q — ΐ

2+2 . Das Ausgangssignal der Quadratwurzeltabelle 436 ist Xq* + 2~² = 2⁹ + 2~², so daß der dafür zulässig erachtete Fehler +1/4 eingehalten ist.

2
Wenn der Wert von Xq kleiner wird, dann wird auch der prozen-

2 _: tuale Fehler kleiner. Wenn beispielsweise der Wert von Xq¹ = 2¹⁶ ist, dann ist der Abrundfehler nur 2⁷ und/Xq ^%l = 2⁸ Xq'² + 2⁷ = 2⁸ + 1/4.

Xn diesem Fall liegt das Ausgangssignal des Quadratwurzelgenerator 442 nach Verschiebung bei Xq¹ + 1/8 und dies liegt tatsächlich innerhalb 1/8 des tatsächlichen Wertes.

2 Diese Genauigkeit gilt für alle Werte von Xq mit Ausnahme sol-

2 —1

eher Werte von Xq , die kleiner sind als 2 , da dies kein

^⁹⁷⁴⁰⁰⁴ 609824/0656

Eingangssignal für die Quadratwurzeltabelle 436 liefern würde. ι
Statt eines weiteren Schiebeimpulses zur Prüfung dieser Bits ist eine besondere Schaltung vorgesehen, die zwangsweise das \Ausgangssignal auf 2 einstellt, wenn Xq¹ = 2 ist und somit

! _,9 2 —2

das Ausgangssignal auf 2 zwingt, wenn Xq¹ kleiner als 2 ist. Dies gilt, da folgende Bedingung gilt:

Wenn Xq'² = 2~², dann ist X²^_3x «* 2~¹ und ^X\in - ²"²

/2~¹ = 0,707

und

,-2 . ₂-1

i " " —1

;und da das Ausgangssignal zwangsläufig 2 ist_f ist die Forde-Jrung nach den Grenzen * %/4 eingehalten»

j Ist Xq¹² m o, dann ist X²^_3x ^ 2~^Z und

= 0
«-1

= 0

j und da das Ausgangs signal zwangsläufig auf 2** gehalten ist, !wird die Forderung nach den Grenzen +1/4 erneut eingehalten,

!Diese vorangegange Analyse wurde unter der Annahme durchgeführt, i 2 ■ ■

daß die Quadratwurzel von Xq auf + 1/4 genau sein muß und den Fehler zwischen dem tatsächlichen und dem theoretischen oben ^! 2

analysierten Wert von Xq vernachlässigt. Dies kann durch eine überprüfung dieser Fehler gerechtfertigt werden. Zunächst tritt in der Quadratwurzelschaltung ein maximaler Fehler dann auf, wenn Xq einen großen Wert hat, was in der Mitte des Kegelschnittes der Fall ist (n = Y_m). Dies ist außerdem der Fall, wo der maximale Fahler in dem iterativen Verfahren auftritt. Dieser

2 Wert ist jedoch sehr klein im Vergleich mit dem Wert von Xq

WA 974 004 609824/06 5-8"

—3 +18

(2 verglichen mit 2 ) und kann daher vernachlässigt werden.

In diesem Punkt ist der Fehler in Xp nur 1/2 des Maximalfehlers
oder +1/8, so daß der kombinierte Fehler in Xp + Xq kleiner j ist als 1/2. Der andere Maximalfehler in der Quadratwurzelschal- "]■

2
tung tritt dann auf, wenn Xq klein ist, was an dem oberen und

unteren Ende der Ellipsen der Fall ist. Am oberen Ende der ;

2
Ellipse ist η sehr klein, so daß der Fehler in Xp und Xq auch

klein ist. Wenn man zwangsweise die Fehler gegeneinander kompen-

2
siert, dann ist der Fehler in Xq an der Unterseite der Ellipse

—9
ebenso klein (kleiner als 2 ) und kann vernachlässigt werden.

2 20

Die einzigen Werte von Xq , die in den Bitpositionen 2 und

21
2 eine "1" haben, finden sich in dem festliegenden oder sich

ausdehnenden Bereich von Kreisen eines Zeigergenerators. Der
Fehler wird in diesem Fall größer sein_f da die Abrundung bei

j einer größeren Zahl erfolgt. Unter Verwendung der gleichen

2 20
Analyse berechnet sich der kleinste Wert von Xq¹ zu 2 und

der Fehler ist angenähert 2 und

ι Xq¹ = 2¹⁰

_r2 ,11 ^ ,10

Nach Verschiebung ist das Ausgangssignal des Quadratwurzelgene- \

rators 442 ι

i Xq¹ + 1/2 « 2¹⁰ +1/2, j

so daß das Ausgangssignal der Quadratwurzelschaltung innerhalb

von +1/2 des tatsächlichen Wertes von Xq liegt. Da für Kreise i

im iterativen Verfahren weder für Xp noch für Xq ein Fehler !

auftritt, kann die gesamte Genauigkeit von + 1/2 in den Quadrat- ;

wurzelgenerator verlegt werden und der Gesamtfehler bei + 1 ge- '

halten werden. Kreise weisen keine Fehler auf, da ΔΧρ null ist ·

2 2 2 *^:

(keine Rotation und AXq und Δ Xq ganzzahlig sind (keine Ro-

2 2 2
tation und a = b = Radius ).

WA 974 004

6098 2 4/0656

25465

Es sei darauf verwiesen, daß Kegelschnitte mit Achsen, die größer sind als 2 mit einem maximalen Fehler von ungefähr + 1 - 1/8 an den am weitesten auseinander liegenden Punkten und einem Fehler von weniger als + 1 für die meisten Punkte erzeugt werden können.

Das Taktimpulsdiagramm der Fig. 5 zeigt die mögliche Taktgabe bei der Erzeugung eines Kegelschnitts mit fünf Verschiebetakten auf jeder Seite des Quadratwurzelgenerators 442 und kann in bezug auf die im Kegelschnittgenerator benötigte Zeit als schlechtester Fall angesehen werden. Das Taktimpulsdiagramm zeigt, daß 42 Taktimpulse erforderlich sind, 42 χ 23,437 = 984 Nanosekunden.

Daher beträgt bei einer Zeilendauer einer waagrechten Zeile von 30,989 Mikrosekunden die maximale Anzahl von Kegelschnittpunkten gleich

= 31 Kegelschnittpunkte (2 Schnittpunkte je

Kegelschnitt) je Zeile

Es sei darauf verwiesen, daß die hier beschriebene Schaltung sich leicht so einrichten läßt, daß Teile von Kreisen oder Ellipsen oder offene Kegelschnitte wie Parabeln oder Hyperbeln erzeugt werden können.

Zweite Ausführungsform für einen Kegelschnittgenerator

Die zweite Ausführungsform für einen Kegelschnittgenerator ist in Fig. 9 dargestellt.

2 Wenn die ersten beiden Worte gelesen werden, wird Xq in das

2
Xq -Register 418 geladen und die 24 höchstwertigen Bits werden in das Schieberegister SR1 434 übertragen. Das Schieberegister SR1 434 ist ein Schieberegister, dessen Speicherinhalt bei jedem Schiebetakt um zwei Bits verschoben wird und bei dem die Daten so lange weitergeschoben werden, bis entweder eine "1" in einer der beiden höchstwertigen Bitpositionen auftritt oder

WA 974 004 __{ΛΛ ΛΛ}

609824/06b6

für maximal fünf Schiebeimpulse, Die Anzahl der Schiebeimpulse wird in der Schiebesteuerlogik 440 abgespeichert und die elf höchstwertigen Bits aus SR1 434 werden als Eingangssignale für den Festwertspeicher 436 des Quadratwurzelgenerators benutzt.

Die Analyse dieses Verfahrens zur Berechnung der Quadratwurzel wurde bereits angegeben. Diese hier dargestellte Schaltung ergibt eine Verschiebung, bis entweder die ersten Einsen von

2
Xq in den höchstwertigen Bitadressen des Festwertspeichers 436 liegen oder bis der gesamte Ziffernteil (fünf 2-Bit-Ver-

2
Schiebungen) von Xq in den Adressen des Festwertspeichers 436 liegen. Wenn sich die Ausgangssignale des Festwertspeichers 436 stabilisiert haben, wird diese Zahl in das Schieberegister SR2 438 eingespeichert, SR2 438 ist ein Schieberegister mit einer Verschiebung um 1 Bit je Schiebetakt und der Speicherinhalt wird um die gleiche Anzahl von Schiebetakten nach unten verschoben wie der Speicherinhalt im Schieberegister SR1 434 nach oben verschoben wurde. Dieses Verfahren stellt einen Weg zur Benutzung eines Gleitkommes bei der Berechnung der Quadratwurzel dar. Wenn beispielsweise im Schieberegister SR1 434 fünfmal um zwei Bit nach oben verschoben ist, entspricht dies einer Multiiplikation mit 2 ° während eine Verschiebung in SR2 438 fünfmal ! um ein Bit nach unten einer Multiplikation mit 2~ nach fünf Verschiebungen entspricht.

SR1 = X ² χ 2¹⁰

und das Ausgangssignal des Festwertspeichers =

X_q ² χ 1O⁺¹⁰ = X_q χ 2⁵
nach fünf Verschiebungen in SR2 erhält man:

X χ 2⁵ χ 2~⁵ « X

WA 974 004 __{A Λ Λ Λ}

609824/0656

Dieser Wert wird dann in das X -Register 454 geladen.

Die verbleibenden Datenworte werden dann aus dem Zwischenpufferspeicher ausgelesen und in das Register und in die Tabellen in Fig. 9 geladen. X ² ΔΧ ² und Δ²Χ² sind alle bis 42 Bit genau, wie dies die oben erläuterte Fehleranalyse fordert. Diese Werte werden in einer 22-Bit-Addierstufe 452 in zwei Schritten addiert. Die 22 niedrigstwertigen Bits werden addiert und der übertrag wird festgehalten, dann werden die 20 höchstwertigen Bits addiert und der übertrag wird dazuaddiert. Auf diese Weise

wird X ² durch Addition von X² + ΔΧ² erzeugt und ΔΧ² .-q _n+1 qn gn ³ qn+1

wird durch Addition ΔΧ² + A²X² berechnet. X² _gn+1 wird in das Register R4 418 geladen und das Verfahren zur Berechnung ί der Quadratwurzel wird bis zur Ermittlung von X - wiederholt,

!Die elf höchstwertigen Bits von X werden dann an das RS-Re-

I Ρ»

gister 456 übertragen und X sowie X * werden berechnet und

η η

in die C & D-Tabellen geladen, wobei X=X +X and X ^f ι η pn C[H n

]= X - X ist. Anschließend wird X ₊- berechnet und in das JR3-Register gelaaen, Wenn der Wert von X - feestiramt ist, dann jwerden X_ß+1 und X^ berechnet, wobei X_n+1 = X^₊₁ 4-

!und X¹ ₊- = X ,4 - ^Χση+1 ^isfc· ^Diese Werte werden zur Berechnung der Ausgangswerfce von X uad ΔΧ der zur Darstellung des \ jKegelschnittes benutzten Sektorsegmente berechnet und werden j \an den Sektorgenerator übertragen* der sie daim in das PRÄS j !lädt« Eine Detektorschaltung ist vorgesehen, die feststellt, j

j wenn die Seilensegmente außerhalb des Bildschirms liegen, so ]

j j

jdaS in dieses Fall kein Schreibbefehl an den Sektorgenerator ;

!abgegeben wird« Für Kegelschnitte, die oberhalb des oberen En- \

1 ί

des des sichtbaren Rasters beginnen, werden die Werte X -j j

' 2 2 P* ι

JX-- und Ax . durch die HilfsZentraleinheit unter Benutzung

I Φ Φ j

{der iterativen Gleichung berechnet. ]

i
Der Wert von 4Y wird jedesmal dann, wenn ein Schnittpunkt erzeugt

j ist, um eins zurüekgenoffiaen und jait null verglichen» Wird die \ (Null festgestellt, dann ist der Kegelschnitt fertig erzeugt»

^HA974004 609824/0658

jedoch wird diese Null nicht in den Zwischenpufferspeicher zurückgespeichert. Um sicherzustellen, daß der Kegelschnitt in sich geschlossen ist, wird X gleich null gesetzt, wodurch

^qn+1
sichergestellt ist, daß an der Unterseite des Kegelschnittes ein ausgezogener Vektor vorhanden ist. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis alle VektorSegmente für den Kegelschnitt für eine Zeilengruppe erzeugt sind, worauf sodann die Daten in den Zwischenpufferspeicher zurückgespeichert werden.

WA 974 OO4

60 9824/06 5 6

Claims (2)

1. PATENTANSPRÜCHE

   Videogeneratorschaltung zur Umwandlung geordneter, einen Kegelschnitt, insbesondere eine Ellipse darstellender, aus einem Datenpufferspeicher ankommender Datensignale in ein zeit-seguentielles Videosignal für eine Darstellung mit zeilenweiser Abtastung auf einem Bildschirm, dadurch gekennzeichnet, daß an dem Pufferspeicher (38) ein Kegelschnittgenerator (410) zur Decodierung der Datensignale und zur Erzeugung von auf einer ersten Ausgangsleitung auftretenden, auf der abzutastenden Bildschirmzeile liegenden Teilsignalen des Kegelschnittes und zur Modifizierung der decodierten Datensignale für eine Kennzeichnung der waagrechten Koordinaten der Schnittpunkte des Kegelschnittes mit der nächsten abzutastenden Bildschirmzeile angeschlossen ist, zur Abgabe dieser modifizierten Signale über eine zweite Ausgangsleitung, die mit einem zweiten Eingang des Pufferspeichers (38) verbunden ist und dem Pufferspeicher anzeigt, wenn keine Teile des Kegelschnittes Schnittpunkte mit nachfolgenden, in dem Teilbild abzutastenden Bildschirmzeichen aufweisen.
2. 2. Videogeneratorschaltung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Bildschirmrasterzeilen einen Abstand von ΔΥ voneinander aufweisen, daß der Kegelschnitt durch eine Darstellungsachse mit einer inversen Steigung von ΔΧ zu ΔΥ, die die vertikalen Extremwerte des Kegelschnit tes schneidet und durch eine inverse Änderungsgeschwin-

   2 2

   digkeit der Steigung des Kegelschnitts von Δ Χ /Δ Y gekennzeichnet ist und daß die Datensignale sowohl Werte

   für die Konstanten ΔΧ und Δ²Χ ² als auch für die Werte

   2 2 ^{p q}

   X , ΔΧ und X an den Extremwerten des Kegelschnittes aufweisen, wobei X der horizontale Abstand zwischen der

   WA 974 004 - _{Λ Λ n} .. .

   609824/0656

   Darstellungsachse und dem Kegelschnitt ist.

   '3. Videogenerator nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß in dem Kegelschnittgenerator (410) mit dem Ausgang des Datenpufferspeichers (38) zur Aufnahme der Werte ΔΧ , Δ²Χ ², Xp, Xy² und ΔΧ ² ein Register (418, 420, 422, 424) verbunden ist, das ausgangsseitig mit einem Quadratwurzelgenerator (442) zur Berechnung der Quadratwurzel

   2
   von X verbunden ist,

   daß ferner eine erste Addierstufe (464) mit ihrem Addendeingang an den Quadratwurzelgenerator (442) und ihrem Augendeingang an dem Register (456) angeschlossen ist zur Bildung der Summe X + X und der Differenz X- X als Ort längs der Schnittpunkte mit dem Kegelschnitt aufweisenden abzutastenden Bildschirmzeile_f daß außerdem ein Videosignalgenerator mit seinem Eingang an der ersten Addierstufe (464) angeschlossen und ausgangsseitig zur Erzeugung eines den Werten X +X und X - X ent-

   p q ρ q

   sprechenden Orten der abzutastenden Bildschirmzeile entsprechenden Videosignals mit dem Teilrasterspeicher (44) verbunden ist,

   daß eine zweite Addierstufe (468) mit Addend- und Augendeingang an dem Register (418, 420, 422, 424) zur Berech-

   2 2 nung neuer Werte von X , X und AXq durch Addition von ΔΧ : X , von ΔΧ ² zu X ² und von Δ²X² zu ΔΧ² angeschlossen ist und daß eine Ausgangstorschaltung des Datenpufferspeichers mit einem Eingang an der zweiten Addierstufe angeschlossen ist und einen die zweite Ausgangsleitung darstellenden Ausgang aufweist, der für eine Wiedereinspeicherung der neuen Werte von X , X

   2 P <3

   und Δ in den Pufferspeicher (38) an dessen zweiten Eingang angeschlossen ist,

   4. Videogeneratorschaltung nach Anspruch 3, dadurch gekennzeichnet, daß der Quadratwurzelgenerator (442) ein erstes an dem Register (418) angeschlossenes Schiebere-

   ^⁹⁷⁴⁰⁰⁴ 609824/0656

   gister (434) und ein für die ersten η höherwertigen Bits des ersten Schieberegisters einen daran angeschlossenen Festwertspeicher (436) enthält, in dem die auf die η höchstwertigen Bits abgerundete Quadratwurzel der in dem Schieberegister (434) liegenden Zahl abgespeichert ist, daß ein zweites Schieberegister (438) an dem Datenausgang des Festwertspeichers (436) angeschlossen und ausgangsseitig mit der ersten Addierstufe (464) zur Aufnahme der Quadratwurzel verbunden ist, daß ferner eine Verschiebesteuerung (440) mit den Steuereingängen der beiden Schieberegister <434, 438) verbunden ist, wobei diese Steuerung einmal den Speicherinhalt des ersten Schieberegisters jeweils η mal je um zwei Bits je Schiebetakt so lange verschiebt, bis ein 1-Bit eine der beiden höchstwertigen Bitspositionen besetzt^ bevor der Festwertspeicher mit den so verschobenen Daten adressiert wird und außerdem den Speicherinhalt des zweiten Schieberegisters m mal je um ein Bit verschiebt, so daß die aufgerufenen Daten die niedrigstwertigsten Bitpositionen einnehmen, und die Quadrat-

   2
   wurzel von X in der kürzesten Zeit bei kleinsten Ab-

   rundungsfehllsr abrufbar ist,

   Videogeneratorschaltung nach Anspruch 2 oder 3_f dadurch gekennzeichnet, daß am Ausgang des Datenpufferspeichers {38} ein erstes Register {418 usw.) zur Aufnahme der der n—ten Bildschirmzeile entsprechenden Werte von ΔΧ ,

   2 2 2 2 °

   AX X , X , X »ΔΧ angeschlossen und ausgangsseitig zur Berechnung der Quadratwurzel aus X ein Quadrat—

   wurzelgenerator i442) angeschlossen ist_# dafi eine erste j

   Addierstufe (464) mit ihrem Addendeingang am Ausgang j

   des Quadratwurzelgenerators und mit ihrem Augendeingang ^!

   an dem Register {418»«.) zur Berechnung der Summe X + ;

   X = X_n and der Differenz X - X = ^x*_n ^{als 0}^ der Schnittpunkte des Kegelschnitts mit der η-ten Bildschinazeile angeschlossen ist, daB ein zweites und drittes Register {48Q, 482) zur Speicherung der Werte von X

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   bzw. X' mit dem Ausgang der ersten Addierstufe (464) verbunden sind, daß eine zweite Addierstufe (468) mit ihre Addend- und Augend-Εingang am ersten Register und mit ihrem Ausgang mit einer am Eingang des ersten Registers angeschlossenen Rückkopplungsleitung zur Be- j rechnung der Werte X_q ² _n+1 = X_q ² _n ^+AX*_qn

   ^X pn₊1 = ^Xpn ^{+ ΔΧ}ρ

   verbunden ist, die den Schnittpunkten des Kegelschnittes ! mit einer zwischen der η-ten und der n+1ten Bildschirmstufe (468) dabei die Werte X²' ₊₁ und X _n+1 an den Ein-

   zeile liegenden Zeile entsprechen, daß die zweite Addierstufe (468) dabei die Werte X²'

   qn

   gang des ersten Registers abgibt,

   2 daß der Quadratwurzelgenerator aus dem Wert X .. den Wert X - als Ort in der Mitte zwischen der nten und n+1ten Bildschirmzeile ermittelt, die den Kegelschnitt schneidet,

   daß ein viertes und fünftes Register (474, 472) mit dem Ausgang der zweiten Addierstufe (468) zur Speicherung der Werte X_n+1 bzw, X¹ .. verbunden sind, daß am zweiten, dritten, vierten und fünften Register (480, 482, 474, 472) eine Vergleichsstufe (484, 486) angeschlossen ist, die jeweils den höheren Wert von X oder X_n+1 bzw. x'_n oder X* ₊₁ ermittelt, daß eine dritte Addierstufe (490) an den Ausgängen des zweiten, dritten, vierten und fünften Registers und am Ausgang der Vergleichsstufe angeschlossen ist zur Berechnung des Ursprungs und der Länge der Rasterlinien längs der nten Abtastzeile und der Darstellung der entsprechenden Schnittpunkte mit der Ellipse.

   6. Videogeneratorschaltung nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß der Kegelschnittgenerator ein erstes, am

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   Ausgang des Pufferspeichers (38) angeschlossenes Register

   2 2

   zur Aufnahme der Werte ΔΧ , Δ X ,

   X , X ² und ΔΧ² pn' qn qn

   entsprechend der nten Bildschirmzeile und einen Quadratwurzelgenerator enthält, der eingangsseitig am Ausgang des ersten Registers zur Berechnung der Quadratwurzel

   2
   von X angeschlossen ist,

   daß eine erste Addierstufe (464) mit dem Addendeneingang am Ausgang des Quadratwurzelgenerators (442) und mit dem Augendeingang an dem ersten Register zur Berechnung der

   Summe X +X = X und der Differenz X - X = X¹ pn qn η pn qn η

   als Ort eines Schnittpunktes der nten Bildschirmzeile mit dem Kegelschnitt verbunden ist,

   daß ein zweites und drittes Register (48O_f 482) am Ausgang der ersten Addierstufe zur Speicherung der Werte von X bzw, X¹ angeschlossen ist,

   daß eine zweite Addierstufe (468) mit Addendeingang am Ausgang des Quadratwurzelgenerators (442) und mit dem Augendeingang am Ausgang des ersten Registers (418..,) zur Berechnung der Summe X ₊₁ ~ X ₊i^=x ₊i angeschlossen ist als Ort eines Schnittpunktes des Kegelschnitts mit den n+1ten Bildschirmzeile,

   daß ein viertes und fünftes Register (472, 474) am Ausgang der zweiten Addierstufe (468) zur Speicherung der

   '.-i angeschlossen ist, daß eine dritte Addierstufe (452) mit Augend- und Addendeingängen am Ausgang des ersten Registers angeschlossen, ausgangsseitig über einen Rückkopplungskanal am Eingang des ersten Registers angeschlossen ist zur Berechnung der

   Werte X .. bzw,

   ^AX

   9 9 ^X

   qn₊1

   und

   ^Xpn₊1 - ^Xpn ^{+ ΔΧ} _Ρ

   entsprechend dem Schnittpunkt des Kegelschnittes mit einer

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   zwischen der nten und n+1ten Bildschirmzeile liegenden Linie,

   daß die dritte Addierstufe (452) ausgangsseitig die Werte

   2 ■.■■■.-,■■

   von X _cm+1 und 2£ ₊₁ eingangsseitig dem ersten Register zuführt,

   daß der Quadratwurzelgenerator (442) aus dem im ersten

   2 Register eingespeicherten Wert von X ^_n+1 den Wert X errechnet und daß eine Vergleichsstufe (484, 486) am zweiten, dritten, vierten und fünften Register angeschlossen ist, um den jeweils größeren Wert von X oder von X₊₁ bzw. X¹ oder X'₊₁ festzustellen, und daß eine vierte Addierstufe (490) am zweiten, dritten, vierten und fünften Register angeschlossen und der Vergleichsstufe angeschlossen ist zur Berechnung des Ursprungs und der Länge der Rasterlinien längs der nten Bildschirmzeile zur Darstellung der Schnittpunkte mit dem Kegelschnitt und

   daß eine Videosignalerzeugungsschaltung eingangsseitig an der vierten Addierstufe und ausgangsseitig mit einer Anzeigevorrichtung zur Erzeugung eines Videosignals an den Orten längs der nten Bildschirmzeile angeschlossen ist, die den Schnittpunkten mit dem Kegelschnitt entspricht.

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