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VEREINFACHTE VERFAHREN ZUR MESSUNG VON LEISTUNGS-DICHTESPEKTREN Die
Erfindung betrifft Verfahren zur Messung der Leistungsdichtespektren von Größen,
die in Form von elektrischen Signalen vorliegen.
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Hierzu sind bereits Verfahren bekannt, die eine Realisierung der zwei
fundamentalen theoretischen Zusammenhänge des Meßsignals mit dem Leistungsdichtespektrum
darstellen: 1. Messung nach dem Wiener-Khintchineschen Theorem
2. Direkte Messung über die Amplitudendichtespektren
(Beschreibung der Formel zeichen am Ende der Schrift) Zur ersten der beschriebenen
Methoden sind verschiedene Verfahren angegeben worden. Es bedarf jedoch eines hohen
Aufwandes, die Verschiebung des Meßsignals zum Bilden der Korrelationsfunktionen
durchzuführen.
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Bei der zweiten Methode werden die Meßsirnale 9 einer Bank von Bandpaßfiltern
mit gegeneinander versetzter Mittenfrequenz zugeführt. Statt dessen kann
man
auch nach dem Grützmacherschen Suchtonverfahren /1/ die Meßsignale zuerst mit der
zu analysierenden Frequenz modulieren und dann mit fest eingestellten Tiefpaßfiltern
verarbeiten. In letzter Zeit wurden außerdem Geräte entwickelt, die einen digitalen
Algorithmus(FFT=Fast Fourier Transformation) in Hardware realisieren. Bei ihnen
muß zur Bildung der Leistungsdichtespektren gemäß G1. (2) eine Multiplikation und
Mittelwertbildung mit den gefilterten Signalen durchgeführt werden.
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Hierbei muß, vor allem für die Multiplikation, einiger Schaltaufwand
getrieben werden.
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Die Erfindung macht es sich zur Aufgabe, durch eine neue Betrachtungsweise
eine einfachere Methode zur Bestimmung der Leistungsdichte anzugeben.
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Dazu wird von Bild 1 ausgegangen, das eine Anordnung wiedergibt, die
in bekannter Weise die Messung der Autoleistungsdichtespektren der beiden Eingangssignale
x (t) und y (t) und des Real- und Imaginärteils des Kreuzleistungsdichtespektrums
gestattet. Dabei wird in Bild 1 das Suchtonverfahren angewandt. Es läßt sich zeigen,
daß die weiteren Operationen, die mit den tiefpaßgefilterten Signalen vorgenommen
werden, um das Leistungsdichtespektrum zu bilden, der Berechnung einer Korrelationsfunktion
für die ZeitverschiebungT=0 entsprechen. Dieses Ergebnis erhalt man auch durch unmittelbares
Anwenden des Parsevalschen Theorems /2/> wenn es auf Schätzwerte für einen Spektralbereich
angewandt wird (vergl. auch /9/).
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oder für Ts S(f,) = tvw( (4) 2B
Dieser Zusarmenhang
ist vorerst nur theoretisch interessant. Nun wurde aber nachgewiesen /3/, /4/, /5/,
daß sich Korrelationsfunktionen selbst mit den einfachsten Mitteln noch bestimmen
lassen. Demnach ist es sogar ausreichend, nur die Vorzeichen der Signale zu betrachten
und die sogenannte Pòlaritätskorrelationsfunktion zu berechnen. Jedoch müssen dabei
auch die statistischen Eigenschaften der Meßsignale berücksichtigt und die Methodik
entsprechend angepaßt werden.
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Vor allem für Meßsignale, die eine Gaußsche Verteilung der Amplituden
und Mittelwert null haben, erqeben sich sehr einfache Beziehungen zwischen der Polaritäts-
und der gewöhnlichen Korrelationsfunktion. In diesem Fall unterscheiden sich die
beiden Werte nur durch eine Proportionalitätskons tante.
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Verwendet man die Polaritätskorrelationsfunktion, so kann im vorliegenden
Fall mit Zeitverschiebung null, natürlich nur die Kreuzpolaritätskorrelation und
damit können auch nur die Anteile des Kreuzleistungsdichtespektrums auf diese Weise
bestimmt werden. Der formale Zusammenhang wird beschrieben durch Gel. (5)
Die Skalierungsfaktoren K1 und K2 können erhalten werden, wenn die Autoleistungsdichtespektren
in Bild 1 nach der konventionellen Methode berechnet werden. FUr den angegebenen
allgemeinen Fall ist der Aufwand jedoch verhältnismäßig hoch, so daß sich dieses
Verfahren nur zur Gewinnung relativer Kreuzleistungsdichtespektren
empfehlen
läßt oder bei Verarbeitung mit Hilfe eines Prozeßrechners. Während nämlich die sign-Funktionen
fortlaufend aebildet werden, braucht die Multiplikation mit den Skalierungsfaktoren
und die Berechnung der sin-Funktion nur einmal am Ende der Messung erfolgen.
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Eine Verwirklichung des Produktes der sign-Funktionen ist mit rein
digitalen Mitteln möglich, indem man z.B. die gesamte Anzahl der Impulse eines schnellen
Pulses und die Anzahl der Impulse, die in Zeiten fallen, in denen die beiden Signale
unterschiedliches Vorzeichen'haben, zählt und in zwei Registern speichert. Auch
diese Register könnten in einem Prozeßrechner per Software oder Hardware aufgebaut
werden.
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Eine weitere, umfassendere Möglichkeit ergibt sich, wenn die Quantisierung
nicht so weit getrieben wird.
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Eine Polaritätskorrelationsbeziehung läßt sich auch angeben, wenn
nur jeweils das Vorzeichen eines der Signale betrachtet, während das andere Signal
vollständiq verarbeitet wird.
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In diesem Fall gilt:
Dieses Vorgehen ist in zweifacher Hinsicht besser: - Es können auch Autoleistunasdichtespektren
mit dieser Methode bestimmt werden und - die Beziehungsgleichung läuft nicht über
die trigonometrische Funktion.
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Eine Schaltung, die nach dieser Methode den Realteil des Kreuzleistunosdichtespektrums
berechnet, ist in Bild 2 wiedergegeben. Der formale Zusammenhang wird beschrieben
durch:
Sollen Signale verarbeitet werden, deren Amplituden nicht einer Gaußschen Amplitudenverteilung
genügen, so ist dies dann möglich, wenn zu ihnen ein Hilfssignal hinzuaddiert wird,
dessen Amplituden einer Gleichverteilung gehorchen und statistisch von den Meßsignalen
und, bei Verwenden mehrerer Hilfssignale, diese voneinander unabhängig sind. Eine
Gleichverteilung läßt sich in einfacher Weise z.B. durch eine Dreieck-oder Sägezahnschwingung
erzeugen /5/.
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Es ist nun die Frage, an welcher Stelle des Analysators dieses Hilfssignal
zugefügt werden soll. Am einfachsten geschähe dies gleich am Eingang des Analysators,
die aufgestellten Forderungen gelten aber für die Amplitudendichtespektren, d.h.
nach der Filterung.
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Nun verändert aber eine lineare Operation wie die Filterung die Amplitudenverteilung
nicht /6/. Auch die Multiplikation mit einer Sinus- bzw. Kosinusfunktion ändert
diese Eigenschaft nicht, weil sie nur eine Verschiebung auf der Frequenzachse bedeutet.
Somit ist es
also möglich an jeder beliebigen Zwischenstelle des
Analysators, bevor die Polaritatsfunktion gebildet wird, das Hilfssignal zuzufügen,
also auch am Eingang.
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Die- Erfindung hat den Vorteil, daß sich bisher analoge Bausteine
durch einfachere, billigere und zuverlässigere digitale Bausteine ersetzen lassen.
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Außer der Berechnung der Leistungsdichte läßt sich das angegebene
Verfahren auch zur kurvenformunabhängigen Bestimmung von Effektivwerten und Leistungen
und zur Ermittlung von Streuungen einsetzen.
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Eine Verbesserung der Ergebnisse in bezug auf die Frequenzauflösung
läßt sich erreichen, wenn bei dem angewendeten Suchtonverfahren in Bild 1 nicht
mit einer Kosinus- bzw. Sinusfunktion multipliziert wird, sondern mit einer in geeigneter
Weise verzerrten Schwingung h (t).
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Diese Forderung erhebt- sich aus dem Formalismus, nach dem sich, bei
Berücksichtigung der in allen realen Fäl-,len endlichen Auswertezeit, die Ergebnisse
der Messung der Leistungsdichtespektren darstellen lassen.
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Es gilt nach /7/:
H(f,f = /IIi(ffo)/2* /(;off)/2 (9)
Um ein verbessertes H. (f, fO)
zu gewinnen, bedient man sich am besten eines qeeirneten Kriterium das ein Maß dafür
darstellt, wieviel der Energie des Amplitudendichtespektrums der "verzerrten Schwingung"
möglichst nahe um f0 konzentriert ist. Als Maß dafür kann folgendes Kriterium herangezogen
werden:
Danach erhält man besonders günstige Werte, wenn für
gewählt wird.
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Unter Berücksichtigung einer guten Aussteuerung aller Bauteile ist
am besten A = 0.54, B = 0,23 (nach Hamming /8/) und -a = 0.8 zu setzen, wie eingehende
Untersuchunuen mit Hilfe des Digitalrechners ergaben. Eine Schaltung zur Erzeugung
der geeigneten verzerrten Schwinqung ist in Bild 3 angegeben. Die gesamte Trägerschwingung
erhält man, wenn der Ausgang dieser Schaltung mit einem Kosinus - bzw. Sinusoszillator
multipliziert wird.
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Dieser Teil der Erfindung hat den Vorteil, daß mit.geringem Aufwand,
der relativ um. so kleiner wird, je mehr Kanäle gleichzeitig verarbeitet werden,
eine bessere Auflösung der bestimmten Leistungsdichtewerte erreicht wird.