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Schaltungsanordnung zur Messung korrelativer Funktionen Die Erfindung
betrifft eine Schaltungsanordnung zur Messung korrelat iv er Funktionen mathematischer
oder physikalischer Größen oder Signale, die durch Umformer in elektrische Größen
oder Signale umgewandelt werden, mit Hilfe von Impulsfolgen, deren impulshäufigkeiten
den Korrelanden proportional sind.
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Einrichtungen zur Messung von l;orr¢lationsfunktionen elektrischer
Vorgänge sind bekannt. Zur begrifflichen Klärung der Materie seien der Beschreibung
des Standes der Technik einige flcmerkungen über das Korrelationsintegral vorangestellt.
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In der technischen Praxis treten Größen und deren Zusammenhänge auf,
die zwar nicht als gleich, aber als ähnlich charakterisiert werden können. Ein einfaches
Beispiel dafür, daß man im technischen Sinn von gleichen Größen sprechen könnte,
sind die Zeigerausschläge jener gleichartiger und gleichwertiger Voltmeter, die
von der selben Spannung gespeist werden.
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Würde hingegen eines der Meßinstrumente direkt, das andere über einen
Teiler mit der Spannung beaufschlagt werden, könnten die beiden Zeigeraussehläge
nicht mehr als gleich bezeichnet werden. Veränderungen der Meßspannung würden bei
beiden Instrumenten zu Änderungen der Zeigeraussehläge führen, die zwar nicht gleich,
wohl aber ähnlich sind, da sie in einem festen Verhältnis zueinander stehen. Eine
weniger klare Form solcher Ähnlichkeit weisen beispielsweise Eingangs- und Ausgangssignale
eines technischen Systems auf. Bei der Beurteilung des Grades der Ähnlichkeit verwandter
Vorgänge war es wünschenswert, ein entsprechendes Maß zu finden, und ein solches
wurde in Form der sogenannten Korrelationsfunktion eingeführt.
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Diese beschreibt korrespondierende Eigenschaften verschiedener Größen
im mathematischen Sinn und ist in Form der Glg. (i)
für zwei Signale e1(t) und e2(t) als Kreuzkorrelationsfunktion
definiert. Der Wert der Kreuzkorrelationsfunktion kt2(t1) ist ein Maß für die strukturelle
Verwandtschaft der beiden Signale und hängt im allgemeinen Fall von der zeitlichen
Verschiebung.
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t1 der beiden Signale gegeneinander ab. Dies wird am einfachsten an
Hand sinusförmiger Signale ei(t) und e2(t) in Form der Gln.(2) und (3) ei(t) = U
sin #t (2) e2(t) t I sin #t (3) klar. Für diese Signale liefert die Glg. (i) die
Kreuzkorrelationsfunktion k12 (t) in Form der Glg. (4) UI k12 (t1) = cos #1 (4)
2 die für #t1 = # die Wirkleistung von Strom und Spannung angibt; aus Glg. (i) ist
ersichtlich, daß k12 (t1) für t1 = 0 einen Maximalwert erreicht, das bedeutet, daß
die beiden Signale e1(t) und e2(t) bei Versehiebung Null die größte Verwandtschaft
zeigen, ein Ergebnis, das aus den Gin. (2) und (3) evident und von der Wirkleistungsberechnung
her hinlänglich bekannt ist.
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Die Glg. (1) kann auch auf nur ein Signal s(t) angewendet werden
und liefert dann die sogenannte Autokorrelationsfunktion k(t1) in Form der Glg.
(5)
Die Größe k(t1) gibt Aufschluß über innerstrukturelle Zusammenhänge
des Signals e(t), ist für t1 = 0 ein Maximun und der Signalleistung proportional.
Damit ist eine wichtige Qucrverbindung zwischen der Korrelationsfunktion als Ähnlichkeitsmaß
eines oder mehrerer Signale und deren Wirkleistung hergestellt worden.
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Die Definitionsgleichung (i) kann auf beliebig viele, z.B. m, Signale
e1(t).....em(t) erweitert werden und führt auf die allgemeine Form (6)
Die Funktion k1...m(t1...tm-1) wird Korrelationsfunktion (m-i)-ter Ordnung genannt.
Solche Korrelationsfunktionen höherer Ordnung sind bei der Systemanalyse insbesondere
nichtlinearer Systeme wichtig und meßtechnisch interessant.
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Die zum Stand der Technik zählenden Einrichtungen zur Bildung des
Korrelationsintegrals beziehen sich nur auf Korrelationsfunktionen erster Ordnung
und sind durch Multiplikationsschaltungen und Verzögerungselemente gekennzeichnet.
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Die Verzögerungselemente können dabei von jener Art sein, die eine
Verzögerung des analogen Signals mittels Magnetband schleifen oder Verzögerungsleitungen
in Form von Laufzeitgliedern bewerkstelligen. Die Realisierung der nötigen Zeitverzögerung
mit Magnetbandschleifen ist als äußerst aufwendig zu bezeichnen uiid im Frequenzl)ezeicll
schr beschränkt. Die Anwendung
von Laufzeitgliedern kann zwar breitbandig
realisiert werden, ist aber hinsichtlich des erreichbaren Verzögerungszeitbereiches
sehr eingeengt und bleibt Spezialfällen vorbchalten. Beide genannten Möglichkeiten
können heute als überholt betrachtet werden. Moderne Korrelatoren setzen die analogen
Signale digital um und verlfenden elektronische Rechenschaltungen zur Auswertung
des Korrelationsintegrals, wobei die Verzögerung der digitalen Signal form erheblich
leichter und flexibler ist als das analoge Gegenstück. Allen modernen Verfahren
gemeinsam ist die binäre Umsetzung der Momentanwerte der Eingangssignale in Form
eines binären Codes, die digitale Verzögerung, die Produktbildung der Momentanwerte
in einem binären Multiplizierwerk, die Digital-Analog-Umsetzung des momentanen Produlstwertes
und die anschließende zeitliche Mittelung des Analogwertes. Daraus ergeben sich
folgende Nachteile: Erstens müssen gemäß dem Abtasttheorem die Eingang signale doppelt
so schnell abgetastet werden als der höchsten noch zu verarbeitenden Signalfrequenzkonponeüte
entspricht.
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Zweitens muß die Codierung eine der Genauigkeit entsprechende Bitelänge
sicherstellen, so daß das Verschiebenetzwerk sehr aufwendig wird.
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Drittens erhöht sich die Bitrate am Ausgang des Miltiplizierwerkes
mindestens auf das Doppelte und damit die Verarbeitungsfrequenz.
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Viertens müssen die digitalen Produkte der Momentan werte mit frequenzmäßig
anspruchsvollen Einrichtungen analog umgesetzt werden, um den zeitlichen Mittelwert
der einzelnen
momentanen Produktwerte bilden zu können.
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Fünftens ergeben sich unüberwindliche Schwierigkeiten, will man diese
Verfahren auf mehrere Signalfunktionen im Sinne von Korrelationsfunktionen höherer
Ordnung erweitern.
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Und sechstens erfordert die digitale Meßwertausgabe teure Umsetzer.
Als itepräsentanten des Standes der Technik seien die Korrelatoren der Firmon: DISA
Korrelator Typ 55 D 70; PAR Korrelator Modell 100 A, Modell 101 A; Hewlett-Packard
Korrelator Modell 3721 A; AIM Korrelator Typ 205 B; SAICOIt Korrelator SAI-42; SAIP
Korrelator Typ CTR 100 angeführt. Aus der österreichischen Patentschrift Nr. 252
624 ist eine Einrichtung zur Berechnung von Korrelations- und Faltungsfunktionen
bekannt, diese Einrichtung arbeitet jedoch mit optischen Mitteln.
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Die Erfindung bezweckt die Schaffung einer elektronisch arbeitenden
Einrichtung und zielt darauf ab, die vorher erwähnten Nachteile zu vermeiden, die
Anwendbarkeit erheblich zu erweitern und die Messung von Korrelationsfunktionen
in neuer und vorteilhafter Weise zu ermöglielion. Zu diesem Zwecke sind in der erfindungsgemäßen
Schaltungsanordnung schwellwertgesteuerto Vergleichs- und Entscheidungseinheiten,
zugeordnete Schwell-wertgeneratoren, die mit Einrichtungen zur Abgabe
von
Ausgangsspannungen mit vorgebbaren Amplitudenhäufigkeiten ausgerüstet sind, ein
Verzögerungsnetzwerk, ein korrelatives Verknüpfungsnetzwerk und Ausgabeeinheiten
vorgesehen, wobei am Ausgang des korrelativen Vcrknüpfungsnetzwerkes binäre Impulsfolgen,
in denen die Impuls- oder Impulsdauerhäufigkeiten den Korrelaten proportional sind,
auftreten und diese krorrelate durch die Ausgabeeinheiten analog oder digital bereitgestellt
werden.
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Durch diese Ausbildung ergeben sich gegenüber herkömmlichon Korrelatoren
die Vorteile: hohe Störimmunität, hohe Diskriminatorwirkung gegenüber verrauschten
Signalen, synchrone oder asynchrone Meßizertverarbeitung und einfache analoge oder
digitale Meßwertausgabe.
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In der Zeichnung ist die Erfindung an IIand von Ausführungsbeispielen
schematisch veranschaulicht. Es zeigen: Fig. 1 ein prinzipielles Blockschaltbild
einer erfindungsgemäßen Schaltungsanordnung und die Fig. 2a und 2b zugeh7-ige Signalverläufe;
die Fig. 3a bis 3d weitere Signalverläufe zur Erläuterung der Wirkungsweise der
Schaltungsanordnung; die Fig. 4a bis 4e weitere Ausgestaltungen bzw. Abwandlungen
der Schaltungsanordnung gemäß Fig. 1 und die Fig. 5a bis 5c Diagramme zur Erläuterung
der Signalverarbeitung mit diesen Anordnungen; Fig. 6 eine zusätzliche Meßanordnung
zur digitalen Anzeige des Ergebnisses; Fig. 7a eine Kombination von.zwei Schaltungsanordnungen
gemäß Fig. 4b zu einer neuen Anordnung für die Ermittlung der Kreuzkorrelation und
Fig. 7b eine Variante hieven; Fig. 8a eine Schaltungsanordnung zur Bildung für
Wurzeiwerte
aus Korrelationsfunktionen und Fig. 8b eino Variante eines Teiles dieser Anordnung;
Fig. 9 eine Schaltung anordnung zur Ermittlung der Korrelationskoeffizientenfunktion;
Fig. 10 die Ansteuerung eines ergodischen Konverters; Fig. 11 eine ähnliche Anordnung
wie Fig. 7a, für die Ermittlung einer Korrelationsfunktion in symmetrischer Form;
die Fig. 12a bis 120 Ausführungsbeispiele von Vergleichs- und Entscheidungseinheiten,
welche Differenzierglieder enthalten und mit ihren jeweiligen Schweliwertgeneratoren
zu Zufallsentscheidungsgeneratoren zusammengefaßt sind, und Fig. 13 eine Meßanordnung
für symmetrische Korrelationsfunktionen m-ter Ordnung.
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Die Funktionsweise der erfindungsgemäßen Schaltungsanordnung soll
der Einfachheit halber an einem Ausführunbsbeispiel für vorerst Korrelationsfunktionen
erster Ordnung erklärt werden. Die Fig. 1 zeigt einen Aufnehmer 1, der eine Größe
m(t), beispielsweise eine Kraft, Beschleunigung, Spannung, Strom oder andere, mechanische,
optische, akustische, elektrische Größen, abgibt. Die im allgemeinen Fall physikalische
Größe m(t) wird mittels eines Meßumformers 2 in eine elektrische Größe e(tj umgewandelt
und in dieser Form einer schwellwertgesteuerten Verg-leichs und Entscheidungseinheit
3 zugeleitet. Die Einheit 3 vergleicht die Grolie e(t) mit der Schwelltwertgröße
v(t), die der Schwellwertgenerator 4 erzeugt, und entscheidet, für welchen Wert
von t die'Ungleichung (7) e(t) > v(t) (7) erfüllt ist. Der entsprechende Ablauf
tlcs Vergleichs- und Entscheidungsvorganges soll für die vereinfachten Annahmen,
daß
e(t) = E eine konstante Spannung und v(t) = s(t) eine Sägezahnspannung (Fig. 2a)
ist, an hand der Fig. 2a und 2b erklärt werden. Die Fig. 2a zeigt den Verlauf der
Sägezahnspannung s(t) mit ihrem Maximalwert S und die über der Zeit konstante Größe
E. Unter der Voraussetzung der Verhältnisse entsprechend den Fig. 2a und 2b tritt
am Ausgang der Funktionseinheit 3 so lange der Spannungspegel U1 (Fig. 2b) auf,
so-lange die Ungleichung (8) E t s(t) (8) gilt, sonst der Spannungspegel U0. . Ordnet
man gemäß Fig. 2b dem Spannungspegel U1 den Zustand "logisch 1" und dem Spannungspegel
U0 den Zustand "logisch O" zu, tritt am Ausgang der Einheit 3 eine Funktion z(t)
auf, die mathematisch als Folgo der Zustände "logisch 0 und i" beschrieben werden
kann.
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Im folgenden sollen die Zustände logisch O und 1 kurz Zustände 0
und 1 bezeichnet werden, Die Folge z(t) besteht im konkreten Zusammenhang it Ungleichung
(8) entsprechend Fig. 2b aus einer periodischen Aufeinanderfolge der Zustände 0
und 1. Die relative Häufigkeit für den Zustand i in z(t) ist dem Wert tE direkt
proportional.
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Bei genügend langer Beobachtungsdauer ist im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie
eine relative Häufigkeit mit Meßgenauigkeit ihrer entsprechenden Wahrscheinlichkeit
gleichzusetzen. Es ist mit Fig. 2a leicht zu überlegen, daß die Häuiigkeit des Zustandes
1 in z(t) der Zeit tE proportinal ist und daher die Wahrscheinlichkeit für den Zustand
1 in
z(t) p (Z : = i), aus Glas. (9) p(Z: = i) = tE/tp = E/S (9)
berechnet werden kann, die die direkte Proportionalität zwischen der Wahrscheinlichkeit
für den Zustand 1 und dem Wert E angibt.
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Die Funktion z(t) ist im nachrichtentechnischen Sinn ein binäres
elektrisches Signal, bei dem alle Vorzüge binärer Signalformen. gegeben sind. Am
Ausgang der Einheit 3 tritt ein Binärsignal z(t) auf, für das gemäß der in Fig.
2b dargestellten Zusammenhänge die Glg. (10) M.tp = S,tE (10) erfüllt ist, wen mit
M der zeitliche Mittelwert der Folge z(t) bezeichnet wird. Damit gilt mit Glg. (9)
auch die Beziehung (11) M/S = tEIt? = EIS (11) so daß M mit dem Wert E identisch
ist. Zusammenfassend muß festgehalten werden, dan die Schaltungsanordnung nach Fig.
1 einem konstanten Analogwert E eine binäre Folge z(t) zuordnet, deren zeitlicher
Mittelwert der Wahrscheinlichkeit p(Z: =i) und damit der Größe E proportional ist.
Die Schaltungsanordnung in Fig. 1 fungiert als Analog-Digital-Konverter, der ein
Binärsignal z(t) liefert, aus dem der Meßwert besonders einfach auf analoge Weise
rückgewonnen werden kann, und noch den Vorteil einer hohen Störimmunität des Binär
signals aufweist.
Diese Störimmunität hängt mit der schon erwähnten
Umsetzung des Analogwertes in eine Zustandswahrscheinlichkeit des Binärsignals z(t)
zusammen. Bei dieser Art der Analogwertumsetzung wirken sich nämlich die Störungen
umso weniger aus, je mehr Impulsereignisse in z(t) bei der Analogwertrückgewinnung
herangezogen werden. Aus den relativ einfachen mathematischen Voraussetzungen ist
ersichtlich, daß der -lineare Zusammenhang-zwischen.der Wahrscheinlichkeit p(Z:
= 1) und dem Wert E auf Grund des linearen Sägezahnverlaufs zustandekommt.
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Mathematisch ist das gleichbedeutend mit der konstanten relativen
Amplitudenhäufiogkeit einer Sägezahnspannung. Es gibt außer der Sägezahnspannung
beliebig viele andere periodische Funktionen, die eine konstante relative Amplitudenhäufigkeit
aufweisen und für die natürlich die obigen Überlegungen genauso gelten. Als Beispiel
ist-ein Spannungsverlauf s'(t) in Fig. 3a dargestellt und die korrespondierende
Form der Folge z(t) in Fig. 3b. Die Schwellwertspannung v(t) braucht auch keine
periodische Funktion zu sein. Man könnte sich die Schwellwertspannung v(t) zusammengesetzt
denken aus Teilabschnitten verschiedener sägezahnförmiger Spannungsverläufe zu einem
resultierenden Verlauf s"(t), für den jeweils nur die Glg. (9) gelten muß.
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Davon sollen die Fig. 3c und 3d eine Vorstellung vermitteln.
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Die Gültigkeit der Glg. (9) entspricht im Falle der Signalverarbeitung
nach den Fig. 3a und 3b der Form (12) p(Z: = 1) = (tE1 + tE2)/tp = E/s (12) und
im Zusammenhang mit den Fig. 3c und 3d der Form (13)
Schließlich kann man auch einen stochastischen Generator zur Erzeugung
der Schwellwertspannung verwenden, dessen stochastiches Ausgangssignal v(t) eine
konstante relative Amplitudenhäufigkeit besitzt.
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Im Zusammenhang mit der Erklärung zu Fig. 1 wurde eine Signalumsetzung
beschrieben, die besonders auf die analoge Darstellung der umgesetzten Größe E abgestimmt
ist.
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Zur digitalen Weiterverarbeitung des Meßwertes E eignet sich eine
andere Form des Binärsignals z(t) besser. Da nach Glg. (9> der Wert E der Wahrscheinlichkeit
für das Auftreten des Zustandes "logisch 1" in z(t), nämlich p(Z: = i), proportional
ist, läuft die digitale Darstellung der Größe E auf eine digitale Messung der Wahrscheinlichkeit
p(Z: = i) hinaus.
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Um dies vorrangig zu ermöglichen, kann die Einheit 3 von Fig. 1 gemäß
Fig. 4a zu 3' modifiziert mit einem Taktgenerator 7, einem ergodischen Konverter
8 und einem Abtastnetzwerk 6 ausgerüstet werden. Dabei wird die Folge z(t) im Takt
T, den der Taktgenerator 7 liefert, abgetastet. Die Abtastwerte z(tk) mit (k = 0,1...)
bilden eine binäre Impulsfolge, deren relative Impulshäufigkeit dem Wert E proportinal
ist. Eine Variante zur Erzeugung der binären Impulsfolge z(tk) zeigt Fig. 4b.
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Die zu Fig. 4b gehörende Signalverarbeitung soll an IIand der Fig.
5a, 5b und 5c im Zusammenhang mit einer stochastischen Schwellwertspannung v(t),
die der Generator 4 lieiert, erläutert werden.
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Die Fig. 4b zeigt den Aufnehmer i. Dieser liefert die Meßgröße m(t),
die im Meßumfermer 2 in eine elektrische Größe e(t) umgewandelt wird. Die folgende
schwellwertgesteuerte Vergleichs- und Entscheidungseinheit 3" enthält t den ergodischen
Konverter 8, der', wie in Fig. 4c näher ausgeführt, von der Größe e(t), im speziellen
Fall von der Meßgröße E, der Schwellwertspannung v(t), die der stochastische Generator
4' liefert, und vom Taktgenerator 7, angespeist wird. Dadurch erfolgt der Vergleichs-
und Entscheidungsvorgang in 3" zu diskreten Taktzeitpunkten tk, die der Taktgenerator
7 festlegt. Um die elektronische Realisierung des Vergleichs- und Entscheidungsvorganges
zu vereinfachen, wird die Spannung v(t) mit einer genügend großen Gleichspannung
V vorgespannt, so daß nur Entscheidungen bezüglich einer Polarität erforderlich
sind. Diese vorgenannte Vergleichsspannung sei der Einfachheit halber im folgenden
auch mit v(t) bezeichnet und ist in Fig0 5a dargestellt. Die Einheit 3" vergleicht
die Größe E nur zu den Taktzeitpunkten tk mit der Spannung V(t)e Bezüglich der Signalverarbeitung
bedeutet das, daß die Größe E mit der Schwellwertspannung nur zu den Taktzeitpunkten,
also mit v(tk) verglichen wird, ie es in Fig. 5b dargestellt ist0 Die Einheit 3"
trifft dabei zu den Taktzeitpunkten Entscheidungen in Form von Impulsen oder Impuls
lücken. Es tritt am Ausgang der Einheit 3" immer dann ein Impuls auf, wenn die Schwellwertspannung
v(t) in einem Taktzeitpunkt tk unter der Größe E bleibt, andernfalls tritt eine
Impulslücke auf, Die Impulse und Impuls lücken am Ausgang der Einheit 3" bilden
eine binäre Zufallsimpulsfolge
z(tk) die in Fig. 5c dargestellt
ist. Ordnet man dem Ereignis Impuls den Zustand "logisch 1" und dem Ereignis Impulslücke
den Zustand "logisch O" zu, gibt die relative Häufigkeit der Impulse in z(tk) auch
die relative Häufigkeit des Zustandes logisch 1" in z(tk) an. Analoges gilt für
die Zuordnung Impuls lücke und Zustand "logisch 0". Im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie
gilt wieder, daß für genügend lange Beobachtungszeit eine relative lläufigkeit beispielsweise
des Zustandes 1 in z(tk) mit Meßgenauigkeit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit
p(Z: = 1; t = tk) gleichzusetzen ist. Es soll im folgenden gezeigt werden, daß im
Falle der Signalverarbeitung nach den Fig. 5a bis 5c ein linearer Zusammenhang zwischen
der Wahrscheinlichkeit p(Z: = t; t = tk) und der Größe E besteht. Dies läßt sich
am anschaulichsten an Hand zweier Grenzfälle verdeutlichen.
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Ist nämlich der Wert S so groß, daß er die Schwellwertspannung v(t).
jederzeit übersteigt, so wird die Einheit 3" zu den Taktzeitpunkten nur Impulse
liefern und die Folge z(tk) wird nur aus logischen Eins-Entscheidungen bestehen.
Anders ausgedrückt heißt das, in der Folge z(tk) tritt dann der Zustand 1 zu den
Taktzeitpunkten mit der Wahrscheinlichkeit p(Z: = 1; t = tk) = 1 auf. Ist hingegen
der Wert E so klein, daß zu jedem Taktzeitpunkt v(t) größer als E ist, wird die
Folge z(tk) nur aus logischen Null-Entscheidungen bestehen, d.h., die Wahrscheinlichkeit
für den Zustand 1, p(Z: = 1; t = tk) ist Null. Liegt der Wert E zwischen den obigen
Grenzen, so gibt es eine bestimmte von der Größe E abhängige
Anzahl
von logischen Null- und Eins Entscheidungen in der Folge z(tk). Die Anzahl der logischen
Eins-Entscheidungen und damit auch ihre relative Häufigkeit steigt und fällt mit
dem Wert E, ist also von ihm funktionell abhängig. Für den Fall einer stochastischen
Schwellwertspannung v(t) mit konstanter Amplitudenhäufigkeit ist diese Abhängigkeit
linear, wie die folgenden kurzen mathematischen Überlegungen zeigen sollen. Die
Wahrscheinlichkeit für einen Impuls in z(tk), p(Z ; 1; t = tk) hängt außer vom Wert'E
noch von der relativen Amplitudenhäufigkeit der Schweliwertspannung v(t), nämlich
p(v), ab und läßt sich allgemein in der Form (14)
anschreiben. Unter der gegenständlichen Voraussetzung einer konstanten relativen
Amplitudenhäufigkeit ist p(v) = i/H = const.
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Damit ergibt Glg. (14) in der Form (15) p(Z: = 1, t = tk) = E/H (15)
den Wert E/lI und läßt den linearen Zusammenhang zwischen der Wahrscheinlichkeit
für den Zustand 1 in der Folge z(tk) zu den Taktzeitpunkten und dem Wert E erkennen.
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Die binäre Folge z(tk) ist eine Impulsfolge, in der, wie oben erklärt,
die Wahrscheinlichkeit für einen Impuls p(Z: = 1; t = tk) dem Meßwert E proportional
ist. Diese Form der Umsetzung eines Analogwertes E in eine getaktete binare
Folge
Z(tk) eignet sich besonders für eine digitale Darstellung des Wertes E aus der Folge
z(tk) durch digitale Messung der Wahrscheinlichkeit p(Z: = 1; t = tk). Diese Messung
ist in Fig. 6 prinzipicll dargestellt und zeigt ihre Einfachheit. Dazu werden die
Folge z(tk). dem Meßeingang fx und der Takt T dem Normalfrequenzeingang# N eines
digitalen Zähigerätes zugeführt. Die Anzeige 9 des Zählers ist ein direktes Maß
für die Wahrscheinlichkeit p(Z: - 1; t = tk) und damit für die Größe E.
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Die Fig. 4d zeigt eine weitere Variante 3"' der schwellwertgesteuerten
Vergleichs- und Entscheidungseinheit 3, die Fig. 4e eine Variante des Schwellwertgenerators
4.
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Aus der Glg. (14) kann der Einfluß der relativen Amplitudenhäufigkeit
der Schwellwertspannung v(t), p(v), auf de funktionellen Zusammenhang des Wertes
E mit der Wahrscheinlichkeit p(Z: = 1; t = tk) entnommen werden. Löst man das Integral
(14), erhält man gemäß der Beziehung (16)
die Differenz der Werte der sogenannten Wajirscheinlichkeitsverteilungsfunktion
der Spannung v(t), P(v), an den Integrationsgrenzen. Definitionsgemäß ist P(O) =
O, so daß aus Glg.
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(14) und (16) die Beziehung (17) p(Z: = 1, t = tk) = P(E) (17) abgeleitet
werden kann. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion P(v) fungiert damit als
Funktionaltransformation für
den Meßwert E. Dieser Umstand kann
nutzbar gemacht werden, wenn bestimmte Meßwertcharakteristiken realisiert werden
sollen.
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Im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinn haben auch periodische Funktionen
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen.
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Diese entsprechen immer der Umkehrfunktion der periodischen Funktion.
Damit lassen sich auch komplizierte Charakteristiken realisieren, wenn deren Umkehrfunktion
einfach ist. Dies trifft beispielsweise beim Logarithmus oder der Wurzelwertbildung
zu, deren Umkehrfunktionen die Exponential bzw. Parabelfunktion ist. Ist die bisher
geltende Voraussetzung eines konstanten Meßwertes E nicht eriüllt und ist die Meßgröße
e(t), wie in Fig. 1 dargestellt, ein veränderlicher Vorgang, müssen zwei Fälle unterschieden
werden. Im ersten Fall sind die Schwankungen des Meßwertes e(t) so langsam gegenüber
den Zeitwerten tEij und tpi aus Glg. (13) und Fig. 3d, daß der Meßwert e(t) während
der Meßzeit ist für die Wahrscheinlichkeit p(Z: = 1) bzw. p(Z: = i, t = tk) als
quasikonstant angesehen werden kann.
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Auf den Fall der Signalverarbeitung nach den Fig. 3 und 5 übertragen,
bedeutet das, daß bei periodischen Schwellwertspannungen v(t) genügend Zeit, im
getakteten Fall gemäß den Fig. 4a bis 4d also genügend Taktschritte, während der
Zeit #te, in der die Meßspannung e(t) als quasikonstant angesehen werden kann, abgelaufen
sein müssen, damit aus den Folgen z(t) bzw. z(tk) mit der gefordertel Meßgenauigkeit
die Wahrscheinlichkeiten p(Z: = i) bzw. p(Z: = 1, t = tk) bestimmt werden können.
Diese Wahrscheinlichkeiten schwanken im Rhythmus der Meßgröße e(t) synchron. Die
Wahrscheinlichkeiten
p(Z: = i) bzw. p(Z: = 1; t = tk) sind damit
dem Momentanwert von e(t) proportinal, wobei, wie schon erwahnt wurde, die Schwankungen
von e(t) so langsam sind, daß e(t) während der Meßzeit htw quasikonstant ist, also
die Glg. (18) e(t) = e(t + Atw) (18) mit Meßgenauigkeit erfüllt ist.
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Zur Ergänzung des Verständnisses müssen an dieser Stelle noch zwei
Bemerkungen hinzugefügt werden.
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Die Bezeichnung ergodischer Konverter 8011 die Besonderheit des Konverters
8 verdeutlichen, die Äquivalenz von Schar- und Zeitmittelwerten ergodischer Vorgänge
bei der Analog-Digital-Umsetzung auszuwerten. Weiters sind die stochastischen Umsetzungen
in getaktete bzw. ungetaktete binäre Folgen prinzipiell gleichwertig und haben nur
hinsichtlich der weiteren Signalverarbeitung verschiedene Vorteile.
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Unter der bisher geltenden Voraussetzung eines konstanten Meßwertes
E ist gezeigt worden, daß eine analogen Wert eine binäre Zufallsfolge zugeordnet
werden kann, in der die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten des Zustandes Eins
dem konstanten Meßwert proportinal ist. Für zeitlich schnell veränderliche Meßgrößen
e(t) können die in den Fig. 1 und 4 dargestellten Einrichtungen ebenso verwendet
werden, wenn es sich um die Messung der Kreuzkorrolationsfunktion beispielsweise
zweier elektrischer Signale e1(t) und e2(t),k2(t1) gemäß Glg. (i) handelt. Dabei
muß aus Platzü inden auf die Darstellung des exakten mathematischen Hintergrundes
verzichtet
lind mit ans-chaulichen Plausibilitätserklärungen das
Auslangen gefunden werden.
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Verwendet man zwei Schaltungsanordnungen aus Fig. 4b und kombiniert
sie zu einer neuen Anordnung gemäß Fig. 7a, so gibt diese eine binäre Zufallsfolge
ab, in der ein Impulsereignis mit einer relativen Häufigkeit auftritt, die der Kreuzkorrelationsfunktion
der-beiden Meßsignale ei(t) und e2(t) proportinal ist. Die Wirkungsweise dieser
Schaltungsanordnung soll im folgenden kurz ausgeführt werden. In Analogie zu Fig.
4b wird in Fig. 7a mit den Einheiten la und 2a ein Meßsignal e1(t) gebildet, das
dem ergodischen Konverter 8a zugeführt wird. Der ergodische Konverter 8a wird auch
vom stochastischen Generator 4a und dem Taktgenerator 7 gespeist. Die Funktionselemente
4a und 8a sind zu einer Einheit ila zusammengefaßt, die Zufallsentscheidungsgenerator
(ZEG) genannt werden soll. Der ZEG iia ist mit dem Takt T getaktet und wird mit
dem Meßsignal e1(t) gesteuert. In gleichartiger Weise wird mit den Einheiten 1b
und 2b ein Meßsignal e2(t) gebildet, das den ZEG iib steuert. An den Ausgängen der
ZEGs Ila bzw. lib entstehen getaktete binäre Zufallsfolgen z1(t'k) bzw. z2(t'k).
Wendet man die Glg. (9) im Zusammenhang mit der Signalverarbeitung und Bezeichnungsweise
in Fig. 7a auf schnell veränderliche stationäre Signale e1(t) und e2(t) an, so kann
man für den Fall getakteter Folgen z1(t'k) und z2(t'k) ein zu Glg. (9) modifiziertes
Simultansystem (19) p(Z: = 1, t = t'k) = ei(t'k)/Hi (i = 1,2) (19) anschreiben,
wobei die Größen 1/llj die konstanten relativen
Amplitudenhäufigkeiten
der Schwellwertspannungen v1(t) bzw.
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v2(t) repräsentieren. Die getakteten Binärfolgen z1(t'k) und z2(t'k)
treten an den Ausgängen der ergodischen Konverter 8a und 8b auf. Leitet man z2(t'k)
über ein Schieberegister 9 der Länge t1, erhält man an seinem Ausgang die Folge
z2(t'k + t), für die das Gleichungssystem (19) in entsprechend modifizierter Form
gilt. Diese beiden binären Zufallsfolgen z1(t'k) und z2(t'k + t1) sollen zur Abkürzung
im folgenden Z1 und Z2 bezeichnet werden.
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Da die Schwellwertspannungen v1(t) und v2(t) als statitisch unabhängig
voräusgesetzt werden, sind auch die Zufallsfolgen Z1 und Z2 voneinander statistisch
unabhängig. Verknüpft man die Folgen Z1 und Z2 mittels eines korrelativen Vernküpfungsnetzwerkes
10 konjunktiv zu einer neuen Folge X, so gilt nach dem Multiplikationstheorem der
Wahrscheinlichkeitstheorie, daß die Wahrscheinlichkeit für einen Impuls in Z gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten für einen Impuls in Z1 bzw. in Z2 ist. Eine
kurze Überlegung zeigt, daß audi andere logische Verknüpfungen anwendbar sind und
beispielsweise eine antivalente Verknupfung der binären Folgen Z1 und Z2 der konjunktiven
vorzuziehen ist, weil dabei jene Konstanten llerausfallen, die durch die Vorspannungen
der Signale bedingt sind.
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Die Bildung der resultierenden Folge Z soll daher gleich für den Fall
der antivalenten Verknüpfung näher erläutert werden.
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Bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit für eine Null-bzw. Eins-Entscheidung
zum Zeitpunkt tk in der Folge Z1 mit Pak (0) bzw. P1k (1), so läßt sich mit analogen
Bezeichnungen
der entsprechenden Wahrscheinlichkeiten in Z2 und
Z für eine antivalente Verknüpfung der Folgen Z1 und Z2 zu Z das Gleichungssystem
(20) Pk(0) = P1k(1)P2k(1) + P1k(0)P2k(0) (20) Pk(1) = P1k(1)P2k(0) + P1k(0)P2k(1)
anschreiben.
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In der Folge Z1 entspricht dabei tk dem Zeitpunkt t'k, in Z2 dem
Zeitpunkt t"k + t. Für'die weitere Rechnung muß in Erinnerung gerufen werden, daß
aus Gründen der Entscheidungsvereinfachung die Schwellwertspannung v(t) die Vorspannung
V erhielt und daher v1(t) bzw. v2(t) die Vorspannungen V1 bzw.
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V2 aufweisen. Um mit den Signalen e1(t) bzw. e2(t) in die v1(t) entsprechenden
Aussteuerbereiche zu kommen, soll der Einfachheit halber vorausgesetzt werden, daß
die Vorspannungen von e1(t) und e2(t) mit V1 bzw. V2 identisch sind..Aus der wahrscheinlichkeitstheoretischen
Grundbeziehung (21)
ergibt sich unter, der Voraussetzung p(vi) = i/Hi der Zusammenhang (22) yimax =
Hi = 2 Vi (22) mit (i = 1,2), da man sinnvollerweise den Arbeitspunkt einer elektronischen
Schaltung in die Mitte ihres Aussteuerbereiches legt. Aus den Gln. (i9) und (22)
ergibt sich mit den Momentanwerten
Eik = H./2 + ei(tic), (i =
1,2), für die Wahrscheinlichkeiten der Glg. (20) das Gleichungssystem (23) P1k(1)
= 1-P1k(0) = E1k/H1 = 1/2 + e1(tk)/H1 (23) P2k(1) = 1-P2k(0) = E2k/H2 = 1/2 + e2(tk)/H2
pk(1) = 1-pk(0) = 1/2-[e1(tk)/H1].[e2(tk)/H2] Die mittlere relative Häufigkeit für
einen Impuls in der Folge Z führt im Grenzfall unendlich langer Mittelung auf die
entsprechende Wahrscheinlichkeit p1 in Form der Glg. (24)
und ist bis auf eine Konstante der Kreuzkorrelationsfunktions der Meßsignale e1(t)
und e2(t) proportional.
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Die Fig. 7b zeigt eine Variante der Ansteuerung und Realisierung
des korrelativen Vernküpfungsnetzwerkes 10 nach Fig. 7a, je nachdem, ob man mit
oder ohne Taktung der ZEGs arbeitet. Immer entsteht dabei am Ausgang der Schaltung
eine resultierende binäre Folge, in der die relative Häufigkeit des Zustandes "logisch
1" der Glg. (24) genügt.
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Dio Schaltungsanordnungen gemäß don Fig. 7a und 7b können für beliebig
viele Meßsignale erweitert werden.
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Als weiteres Beispiel einer Anwendung der erfindung gemäßen Schaltungsanordnung
sei die Bildung für Wurzelwerte
aus Korrelationsfunktionen erklärt.
Zur Veranschaulichung der Wirkungsweise der dazu erforderlichen Schaltungsanordnung
dienen die Fig. 8a und Sb, Im allgemeinen Fall verschiedencr Meßgrößen ei(t) und
e2(t) liefert Glg. (25)
eine dem Effektivwert entsprechende Funktion E12(t1). In Evidenz zu Glg. (24) wird
die Bildung der Funktion E12(t1) auf die Erzeugung einer binären Zufallsfolge mit
einer relativen Impulshäufigkeit entsprechend einer Wahrscheinlichkeit p3(1), die
der Beziehung (26) p3(1).p3(1) = p(1) (26) genügt, zurückgeführt. Die logische Struktur
zur Realisierung dieser binären Zufallsfolge zeigt Fig. 8a. Die ZEGs Iia und 11b
liefern die binären Zufallsfolgen Z1 und Z2, die im logischen Netzwerk 12a zur resultierenden
Ausgangs folge Z verknüpft werden, in der die relative Impulshäufigkeit der Wahrscheinlichkeit
p(i) entspricht. Eine dazu analoge Schaltungsanordnung besteht aus den ZEGs 11'a
und 11'b und liefert die binärenZufallsfolgen Z3 und Z4. Die Folgen Z3 und Z4 werden
im Netzwerk 12b zur resultierenden Folge Z' verknüpft. Die Eingangsspannung Ur der
ZEGs 11'a und 11'b erzeugt eine Regelschaltung 13, die von den Spannungsmittelwerten
der Folgen Z' und Z angesteuert wird. Der Spannungsmittelwert der Impulsfolge Z
fungiert dabei als Führungsgröße, jener von Z' als Regelgröße. Die Regelschaltung
13 erzeugt eino Stellgröße UR, die an die ZEGs li'a
und 11'b zurückgeführt
wird und durch die Regelschaltung 13 so lange nachgeführt wird, bis die Führungs-
und Regelgröße gleich groß sind. Der Aufbau der Anordnung läßt erkennen, daß die
Wahrscheinlichkeiten für ein Impulsereignis in den Folgen Z3 und Z4 gleich groß
sind. Dieser Wahrscheinlichkeitswert sei mit p3(1) bezeichnet. Nach dem Multiplikationstheorem
der Wahrscheinlichkeitstheorie erfüllt dieser Wert p3(1) die Glg. (26), wobei p(i)
die relative Impulshäufigkeit in Z' ist.
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Damit entspricht p(1) dem Wurzelwert'von p(i). Die binäre Folge Z4
besitzt die Eigenschaft, daß ihre mittlere Impulswahrscheinlichkeit p3(1) einen
der Größe EX2(t1) proportionalen Wert ergibt.
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Die Fig. 8b zeigt eine Variante der Einrichtung 15, welche aus den
Zufallsfolgen Z und Z eine Regelspannung UR ableitet. Sie zeigt, wie Z und Z' mit
einem exklusiven ODER--Tor 16 zu einer resultierenden binären Zufallsfolge verknüpft
werden, in der ein Impulsereignis mit einer Wahrscheinlichkeit auftritt, die unter
der Voraussetzung statistisch gekoppelter Folgen Z und Z' der Differenz der Impulswahrscheinlichkeiten
in Z und Z' entspricht. Die Spannung UN entspricht dabei dem Bezugswert Null. Damit
leisten die Einrichtungen 15 und 15' das gleiche.
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In der statistischen Signaltheorie spielt die Korrelationskoeffizientenfunktion0
(t) in Form der Glg. (27)
mit den Abkürzungen (28)
eine wichtige Rolle, so daß ihre binäre Darstellung und Messung mit der erfindungsgemäßen
Sohaltungsanordnung in Fig. 9 kurz erläutert werden soll. Aus den Eingangssignalen
e1(t) und e2(t) werden in Analogie zu der in Fig. 7a dargestellten Signalverarbeitung
drei binäre Zufallsfolgen Z1, Z2 und Z3 entsprechend k12(t1), ki(t1) und k22(t1)
gemäß Glg. (25) und (28) abgeleitet. Die zeitliohen Mittelwerte der Folgen Z und
Z1 fungieren als Führungsgrößen der Regelschaltungen 13 und 13t. Die Regelgröße
für den Regler 13 liefert eine Anordnung 14b in Verbindung mit dem logischen Netzwerk
12d, deren Wirkungsweise im Zusammenhang mit der Wurzelwertbildung schon beschrieben
wurde. Die Regelgrößo für den ltegler 13' wird aus der Folge Z4 abgeleitet, die
aus den binären. Zufallsfolgen der ZEGs 11' und 11'b durch logische Verknüpfung
im Netzwerk 12e resultiert. Die Eingangssignale der ZEGs 11' und 11'b bilden dabei
die Stellgrößen U'R und UR. Die Regelschaltung 13 verändert dabei ihre Stellgröße
UR so lange, bis die relative Impulshäufigkeit in der Zufallsfolge Z jener von Z
gleich ist. Der ZEG 11'b liefert dann eine Zufalls folge mit einer dem Wurzelwert
proportionalen relativen Impulshäufigkeit. Anderseits verändert die Regelschaltung
13' ihre Stellgröße U'R so lange, bis die relative Impulshäufigkeit in Z4 jener
in 1 gleich und damit dem Wert ki2(ti) proportional ist. Damit liefert der ZEG ill
eine Zufallsfolge T#, in der Impulse mit einer # (t1) proportionalen relativen Häufigkeit
auftreten.
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Als weiteres Ausführungsbeispiel der erfindungsgemäusen Schaltungsanordnung
sei die Meßwertbildung für funktionaltransformierte Meßsignale erwähnt. Mit Hilfe
wahrscheinlichkeitstheoretischer Überlegungen läßt sich zeigen, daß ein ergodischer
Konverter, dessen Ansteuerung in Fig. 10 dargestellt ist, eine binäre Zufallsfolge
Z liefert, deren relative Impulshäufigkeit dem zeitlichen Mittelwert des mit der
Amplitudenverteilungsfunktion P(v) der Schwellwertspannung v(t) transiormierten
Meßsignals e(t) entspricht. Bezüglich des mathematischen Hintergrundes dieser Überlegung
sei auf die einschlägige Fachliteratur verwiesen. Diese Zusammenhänge gelten auch
für eine periodische Spannung v(t), wobei sich dann deren Amplitudenverteilungsfunktion
P(v) in Form ihrer Umkehrfunktion (v)-1 angeben läßt. Für diesen Fall gilt die Darstellung
in Fig. 10, aus der eine Erweiterung dieser Schaltungsanordnung auf mehrere Eingangssignale
und'mehrere Funktionaltransforkationen und ihre Anwendung auf korrelative Messungen
im Zusammenhang mit den folgenden Erläuterungen evident ist.
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Die Zufallsfolge Z1(tk) in Fig. 7a kann in Analogie zu Z2(tk) über
eine Verzögerungseinrichtung 17 gemäß Fig. 11 geführt werden. Eine solche Schaltungsanordnung
ermöglicht mit der Bezeichnungsweise von Fig. ii die Messung einer Korrelationsfunktion
in symmetrischer Form kn1(tn,t) gemäß Glg.(o9)
Die Verzögerungseinrichtungen -9 und 17 in Fig* 11 können in einem
Verzögerungsnetzwerk 18 zusammengefaßt werden.
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Die detaillierte Funktion der Meßanordnung in Fig. ii ist ohne weitere
Erklärung aus der Wirkbeschreibung zu Fig. 7a verständlich. Es läßt sich zeigen,
daß die in Fig. 11 dargestellte Einrichtung die Messung der partiellen oder totalen
Differentiale der symmetrischen Korrelationsfunktion nach jener Verschiebungsgröße
ermöglicht, deren korrespondierende Vergleichsund- Entscheidungs e inhei t ein Differenzierglied
enthält.
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Der Beweis soll in den folgenden Gln. (30) bis (34) plausibel gemacht
werden. Bildet man das partielle Differential von k01(t0,t1) beispielsweise nach
der Verschiebungsgröße t0, so kann die Glg, (30)
unter der Voraussetzung, daß das Vertauschen von Differentiation und Integration
erlaubt ist, angeschrieben werden. Di3 Glg. (30) kann zu Glg. (31)
und schließlich mit den Vereinfachungen (32) und (33)
zu Glg. (34)
umgeformt werden.
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Bevorzugte Ausführungsbeispiele von Vergleichs- und Entscheidungseinheiten,
die Differenzierglieder 19 enthalten, sind in den Fig. 12a bis 12e dargestellt,
wobei die Vergleichs-und Entscheidungseinheiten 3a bis 3e mit ihren jeweiligen Schwellwertgeneratoren
4 bzw. 4" zu Zufallsentscheidungsgeneratoren (ZEG) lia bis ie zusammengefaßt sind.
Verallgemeinert man die Definitionsgleichung der symmetrischen Korrelationsfunktion
(29) auf m Signale e0(t) bis em(t), erhält man eine symmetrische Korrelationsfunktion
m-ter Ordnung, die in Glg. (35)
definiert ist.
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Für die Korrelationsfunktion m-ter Ordnung k0...m (t0,...tm) gilt
dieselbe Regel bei der Bildung partieller oder totaler Differentiale, wie sie für
k01(t0,t1) in Glg. () mathematisch formuliert wurde.
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«ine Meßanordnung für symmetrische liorrelatioissfunktionen m-ter
Ordnung mit partieller Differentiation zeigt Fig.13. Die Eingangssignale e0(t) bis
em(t) werden über ZeGs 11(0) bis 11(m) in getaktete binäre Zufallsfolgen z0(tk)
bis
zm(tk) umgewandelt. In dem Ausführungsbeispiel von Fig. 13
ist vorausgesetzt, daß die ZEGs 11(0) bis 11(i) keine Differenzierglieder enthalten,
die Umsetzung also auf die Signalfunktionen angewendet wird, jedoch die ZEGs 11(i+1)
bis ll(m) mit Differenziergliedern ausgerüstet sind, so daß von den Signalen ei+1(t)
bis em(t) ihre Differentialquotienten ei+1' bis em(t) umgesetzt werden. Die gemessene
Funktion ist daher gemäß Glg. (34) die partiell nach ti+i bis tm differenzierte
Korrelationsfunktion m-ter Ordnung. Die Signale bzw. ihre Differentialquotienten
werden in ihrer digitalen Form z0(tk) bis zm(tk) über das Verzögerungsnetzwerk 18
geführt und um die Zeitwerte t0 bis tm verzögert. Die verzögerten Folgen z0(tk+t0)
bis zm(tk+tm) werden im korrelativen Verknüpfungsnctzwerk 10' der Korrelationsvorschrift
entsprechend logisch zu einer resultierenden Folge Z verknüpft, deren mittlere Impulshäufigkeit,
in der schon im Zusammenhang mit Fig. 7a beschriebenen Weise, der partiell differenzierten
Korrelationsfunktion m-ter Ordnung entspricht.
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Es ist evident, daß die Schaltungsanordnung in Fig.13 in Form anderer
Ausführungsbeispiele so eingerichtet werden kann, daß keine, totale oder andere
Kombinationen partieller Differentiationen erreicht werden. Ebenso klar ist, daß
das Verzögerungsnetzwerk 18' so ausgebildet sein kann, daß man eine beliebige Anzahl
und Anordnung von Verzögerungswerten, die Null sein sollen, wählen kann.
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Mehrere Schaltungsanordnungen gemäß Fig. 13 können im Sinne der Fig.
8a, 8b, 9 und 10 zur Bildung der Wurzelwerte, Quotienten und Funktionaltransformationen
bei Korrelationsfunktionen kombiniert werden. Ebenso ist es möglich, die Ausgabe
der Meßwerte analog über Zeitmittelungseinrichtungen oder digital über elektronische
Zählschaltungen im Sinne der Aust führungen im Zusammenhang mit Glg. (ii) bzw. Fig.
6 durchzuführen.
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Patentansprüche: