DE2212520C2

DE2212520C2 - Digitale Rechenanordnung

Info

Publication number: DE2212520C2
Application number: DE2212520A
Authority: DE
Inventors: Clement Vincent Lepton Huddersfield Gregg; Alan Melvyn Rotherham Yorkshire Thompson
Original assignee: GOULDER MIKRON Ltd HUDDERSFIELD YORKSHIRE GB
Current assignee: GOULDER MIKRON Ltd HUDDERSFIELD YORKSHIRE GB
Priority date: 1971-03-16
Filing date: 1972-03-15
Publication date: 1983-10-13
Also published as: JPS57541B2; US3769496A; GB1382417A; DE2212520A1; JPS4726014A

Description

BCD

A+—r--\—r+—+ —

^{r r r}

worin die Bruchteilsziftern A, B, C und D ganze Zahlen kleiner als r sind und worin r die Basis des gewählten Zahlensystems ist, an ihrem Ausgang einen Impulszug erzeugt, dessen numerische Impulsrate gleich demQuotientenausderlmpulsratexdes Eingangsimpulszuges und der vorgewählten Zahl ist, woDei die Reihenanordnung einen Zähler enthält, der die Eingangsimpulsrate .ν durch den ganzzahligen Anteil A der vorgewählten Zahl dividiert, dadurch gekennzeichnet, daß der Zähler ein Vor-Rückwärtszähler

(a) mit einem rückwärtszählenden Eingang (a¹) für den Eingangsimpulszug mit der Impulsrate χ und mit einem vorwärtszählenden Eingang (α") ist und für je A Impulse, die seinem rückwärtszählenden Eingang (a') zugeführt werden, einen Impuls an seinem Ausgang (ο'") abgibt,

und daß zur Rückführung von Impulsen an den vorwärtszählenden Zählereingang (a") eine Abtastanordnung (b) zwischen dem Zählerausgang (a'") und diesem Zählereingang (a") vorgesehen ist, welche für je r¹ Impulse am Zählerausgang (a'") B Impulse, für je r² Impulse am Zählerausgang (a'") C Impulse, für je r³ Impulse am Zählerausgang (a"') D Impulse usw. an diesen Zählereingang (a") abgibt.

2. Digitale Rechenanordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Abtastanordnung

(b) für jede Bruchteilsziffer (B, C, D ...) einen mit seinem Eingang an den Ausgang (a'") des Vor-Rückwärtszählers (a) angeschlossenen Basiszähler (c) und ein Abtasttor (g) enthält, daß die Zahl der zu einem Ring zusammengeschalteten Zählerstufen des Basiszählers (c) gleich der Basiszahl (r) des verwendeten Zahlensystems ist und bei jedem neuen Impuls am Ausgang (a'") des Vor-Rückwärtszählers (a) der Zählzustand von einer Stufe des Basiszählers (c) auf die nächstfolgende Zählerstufe wechselt, und daß das Abtasttor (g) den Zählzustand des Basiszählers (c) abtastet und in jedem Zählzyklus des Basiszählers (c), und zwar jeweils beim Auftreten vorgewählter Zählerstufen, eine voreingestellte, dem Bruchteilszähler (S) des nichtganzzahligen Anteils der als Divisor vorgewählten Zahl entsprechende Anzahl Impulse an den vorwärtszählenden Eingang (α") des Vor-Rückwärtszählers (a) liefert.

3. Digitale Rechenanordnung nach Anspruch 2, dadurch gekennzeichnet, daß zwei oder mehr solcher den Bruchteilsziffern (B, C, D, ...) zugeordnete Basiszähler (c, d, e,f) zu einer Kaskade geschaltet sind.

4. Digitale Rechenanordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Abtastanordnung (b) ein erstes Register (m) und ein zweites, mit dem ersten Register verbundenes Register (n) enthält, daß der Inhalt des ersten Registers (m) einstellbar ist und die ganzzahligen Bruchteilsziffern (B, C, D, ...) der vorgewählten Zahl umfaßt, und daß bei jedem Impuls am Ausgang (a"') des Vor-Rückwärtszählers (a) das zweite Register (n) den Inhalt des ersten Registers (m) übermittelt erhält, ihn fortlaufend addiert und bei jedem Überlauf einen Impuls an den vorwärtszählenden Eingang (a") des Vor-Rückwärtszählers (a) liefert.

5. Digitale Rechenanordnung nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß als Ausgang der Abtastanordnung (b) eine Anordnung (k) vorgesehen ist, die in der Abtastanordnung (b) gleichzeitig auftretende Impulse in zeitlich aufeinanderfolgende Impulse für den vorwärtszählenden Eingang (a") des Vor-Rückwärtszählers (a) umwandelt.

6. Digitale Rechenanordnung nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß die Impulse elektrische Impulse sind und der Vor-Rückwärtszähler (a) und die Abtastanordnung (b) derart ausgebildet sind, daß sie von elektrischen Impulsen steuerbar sind.

7. Digitale Rechenanordnung nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß der Vor-Rückwärtszähler (a) und die Abtastanordnung (b) für die Verarbeitung von dem dezimalen Zahlensystem (r=10) angehörenden Zahlen ausgebildet sind.

8. Verwendung einer digitalen Rechenanordnung mit den Merkmalen nach einem der Ansprüche 1 bis 7 als Bestandteil einer die Phasenschwanknngen zweier über zwei optisch-elektrische Wandler (/?', q') erzeugte Impulszüge prüfenden und registrierenden Anordnung, wobei die Rechenanordnung zwischen den Ausgang des optisch-elektrischen Wandlers (q') mit der höheren mittleren Impulsrate und einem Eingang eines Phasenvergleichers (s) geschaltet ist und die an der digitalen Rechenanordnung (a, b) vorgewählte Zahl einen solchen Wert hat, daß zwischen den beiden mittleren Impulsraten an den beiden Eingängen des Phasenvergleichers (s) ein Eins-zu-Eins-Verhältnis besteht.

9. Verwendung einer digitalen Rechenanordnung mit den Merkmalen nach einem der Ansprüche 1 bis 7 als bestandteil einer Drehzahlübersetzungsanordnung, wobei die Rechenanordnung zwischen den Ausgang eines optisch-elektrischen Wandlers (v) und den Eingang eines als Digital-Analogwandler ausgebildeten Servomotors (tv) geschaltet ist.

Die Erfindung befaßt sich mit einer digitalen Rechenanordnung mit den im Oberbegriff des Patentanspruchs 1 angegebenen Merkmalen. Eine solche Rechenanordnung findet insbesondere dort vorteilhafte Anwendung, wo in weiten Bereichen und sehr genau Übersetzungsverhältnisse eingestellt werden sollen, z. B. bei Prüfmaschinen für Zahnradteilungen u. dgl.

Wenn bei bekannten Rechenanordnungen dieser Art der Divisor eine nicht ganzzahlige Zahl ist, so wird der Divisor zunächst mit einer solchen Potenz der Basis des gewählten Zahlensystems (im Dezimalsystem also mit einer solchen Zehnerpotenz) multipliziert, daß eine ganzzahlige Zahl entsteht, mit der dann die Division durchgeführt wird. Besitzt der Divisor z. B. mehrere Dezimalstellen hinter dem Komma, dann kann man mit der anfänglichen Multiplikation u. U. sehr rasch an die Grenzen der auf der Geräteseite vorgegebenen Leistungsfähigkeit (begrenzter Frequenzbereich bzw. begrenzte Impulszahlen) stoßen.

Der Erfindung liegt demgegenüber die Aufgabe zugrunde, bei gleichbleibendem Frequenzbereich auf der Geräteseite Divisoren mit mehr Bruchte/isziffern als bisher verarbeiten zu können.

Die Erfindung löst diese Aufgabe durch eine digitale Rechenanordnung mit den im Patentanspruch 1 angegebenen Merkmalen. Vorteilhafte Weiterbildungen bzw. Verwendungen der Erfindung sind Gegenstand der Unteransprüche bzw. der Verwendungsansprüche.

Der eingespeiste Impulszug soll ein fortlaufender Impulszug in dem Sinne sein, daß die auf eine Zählrate bezogene Zeitperiode groß ist gegenüber dem Zeitintervall zwischen zwei benachbarten Impulsen, so daß die augenblickliche Zählrate wenig oder keine Bedeutung hat. In diesem Fall ist der Impulszug am Ausgang im gleichen Sinne ein fortlaufender Impulszug. Die signifikanten Parameter sind die Frequenzen der beiden Impulszüge.

Andererseits kann die augenblickliche Zählrate der Eingangsimpulse einen vorbestimmten spezifischen Wert darstellen. In diesem Fall bildet die augenblickliche Zählrate der Ausgangsimpulse den Quotient oder eine gute Näherung dieses Quotienten, der durch die beschriebene mathematische Teilung erhalten wird.

Die Eingangsimpulse müssen nicht gleichmäßig verteilt sein.

Eine erfindungsgemäße digitale Rechenanordnung ist auf jedes Zahlensystem anwendbar, in dem eine gewählte Zahl in folgendem Ausdruck darstellbar ist:

.4,BCDE =.

BCDE

r r r r

30

50

⁵⁵

⁶⁰

— Λα ι ι

Der gewünschte Quotient ist

65 Ein Impulszähler, der so ausgebildet ist, daß er die Zahl .v durch die Zahl A dividiert, erzeugt den Quotienten x/A. Dieser Quotient überschreitet den gewünschten Quotienten um die Differenz

.ν

B C

Enthält der Zähler eine vorwärtszählende Einrichtung, kann der gewünschte Quotient durch Rückführung einer Anzahl Impulse auf den vorwärtszählenden Eingang des Zählers erhalten werden. Diese Anzahl der Impulse entspricht der oben angegebenen, noch zusätzlich mit A multiplizierten Differenz, nämlich

B C

BC

Darin ist r die Basis (Wurzel) des Zahlensystems, A der ganzzahlige Bestandteil der gewählten Zahl, und BCDE sind die Bruchteilsziffern, d. h. die ziffernmäßige Zusammensetzung des nicht ganzzahligen Bestandteils der vorgewählten Zahl. Die numerischen Bruchteilsziffern im nicht ganzzahligen Bestandteil der vorgewählten Zahl müssen nicht notwendigerweise verschieden sein.

Die digitale Rechenanordnung gemäß der Erfindung kann in elektronischer, in Fluidic-, in mechanischer, in elektro-mechanischer, oder in einer anderen vergleichbaren, bekannten Technik ausgebildet sein. Mittel zur Erzeugung des Eingangsimpulszuges sind Stand der Technik. Der digitalen Rechenanordnung kann natürlich auch ein Digital-Analogwandler nachgeschaltet sein, der den Ausgangsimpulszug in ein analoges Ausgangssignal umwandelt.

Zum besseren Verständnis der Erfindung soll noch folgende Erläuterung beitragen: Es sei .γ = die mittlere Zählrate eines eingangsseitigen

Impulszuges,

r = die Basis (Wurzel) des gewählten Zahlensy

stems,

A = der ganzzahlige Bestandteil der vorgewähl

ten Zahl,

BC.. = der nicht ganzzahlige Bestandteil dieser gewählten Zahl,
.4, BC.. = die gewählte Zahl, darstellbar in der Form

[BC ~1

= T + -yH · [gewünschter Quotient]

Damit die Zählrate der Ausgangsimpulse gleich dem gewünschten Quotienten ist, kann die Anzahl der rückzuführenden Impulse folgendermaßen angegeben werden:

B rückzuführende Impulse für r' Ausgangsimpulse
+ C rückzuführende Impulse für r² Ausgangsimpulse

u.s.w.

Damit wird die Anzahl der auf den vorwärtszählenden Eingang rückzuführenden Impulse durch den nichtganzzahligen Anteil der gewählten Zahl bestimmt.

Die vorangestellten Betrachtungen gehen nur von einem Wert der durchschnittlichen Zählrate der Eingangsund Ausgangsimpulse aus. Da der gewünschte Quotient mit Hilfe eines Ausgleichsverfahrens erhalten wird, das für den Ausgleich eine Rückführung von Korrekturimpulsen verwendet, kann bei gewissen augenblicklichen Zählraten der Ausgangsimpulse, d.h. bei kurzzeitig gebildeten Quotienten, ein Fehler auftreten, dessen Größe von dem Rückführverfahren, von der Größe des Wertes χ und, falls für eine Frequenzmessung eine Zeiteinheit eingeführt wird, von der zeitlichen Regelmäßigkeit der rückgeführten Impulse abhängt.

Anhand der beigefügten Zeichnungen werden nun Ausführungsbeispiele beschrieben. In den Zeichnungen zeigen

Fig. 1 eine schematische Schaltungszeichnung eines Ausführungsbeispiels einer digitalen Rechenanordnung gemäß der Erfindung,

Fig. 2 eine schematische Schaltungszeichnung eines anderen Ausführungsbeispieles einer digitalen Rechenanordnung gemäß der Erfindung,

F i g. 3 eine schematische Blockdarstellung eines Teiles einer Zahnradprüfanordnung, die eine digitale Rechenan^rdnung gemäß der Erfindung enthält und

F i g. 4 eine schematische Blockdarstellung einer Übersetzungsanordnung für ein veränderliches Übersetzungsverhältnis, die als Bestandteil eine digitale Rechenanordnung gemäß der Erfindung enthält.

Eine in Fig. 1 dargestellte digitale Rechenanordnung gemäß der Erfindung besteht aus einem elektronischen

Vor-Rückwärtszähler α und einer Abtastanordnung, die allgemein mit dem Bezugszeichen b bezeichnet ist und die aus vier Basis- oder Wurzelzählern c, d, e und/besteht, an die vier selektive Überwachungstore g, h, i und j angeschlossen sind. Der Vor-Rückwärtszähler a hat einen rückwärtszählenden Eingang d, einen vorwärtszählenden Eingang a" und einen Ausgang d". Die Anzahl der Zählstufen jedes der Basiszähler c, d, e und/ist gleich der Basis oder Wurzel des verwendeten Zahlensystems. Im vorliegenden Fall wird das Dezimalsystem benutzt, so daß jeder Basiszähler zehn Zählstufen aufweist. Die Basiszähler sind in Kaskadenschaltung angeordnet, und jeder Basiszähler gibt bei einem Impulszyklus von zehn Eingangsimpulsen einen Impuls an den folgenden Basiszähier weiter. Auf diese Weise wird eine aufeinanderfolgende Teilung durch die Zahl zehn erreicht. Dabei sind die Basiszähler c, d, e und/jeweils den Bruchteilsziffern des Dezimalbruches einer gewählten Zahl zugeordnet, die die Form A, BC DE hat oder

JL JL ^{D E}

W⁺W⁺W⁺W

10

15

Die Abtasttore g. h, i und j sind so eingestellt, daß sie bei einem Zählzyklus jedes zugeordneten Basiszählers {c. d, e und/) eine Anzahl von Impulsen ausgeben, die dem Wert der entsprechenden ganzen Zahl B, C, D oder E gleich ist. Jedes Abtasttor kann mit Hilfe eines nicht dargestellten Wahlschalters auf einen beliebigen ganzzahligen Wert zwischen einschließlich Null und neun voreingestellt werden. Bezogen auf die Anzahl der Impulse auf der Ausgangsleitung d", wird dadurch die Gesamtzahl der auf die Leitung a" rückgeführten Impulse wie folgt gebildet:

B Impulse bei 10¹ Impulsen auf der Leitung d"

-rC Impulse bei 10² Impulsen auf der Leitung d" + D Impulse bei 10³ Impulsen auf der Leitung d" ^E Impulse bei 10⁴ Impulsen auf der Leitung d"

Die auf die Leitung a" rückgeführten Impulse durchlaufen eine Anordnung k, die die gleichzeitig in den Abtasttoren g, h, i undy erzeugten Impulse in nacheinander folgende Impulse umwandelt, um die Fehlerquote herabzusetzen. Die Anordnung k kann auch gleichzeitig so ausgebildet sein, daß sie sicherstellt, daß die auf die Leitung α" rückgeführten impulse nur in den zeitlichen Im- *5 pulslücken der auf die Eingangsleitung d eingespeisten Impulse auftreten.

Um die Überlappungsfehler von Impulsen klein zu halten, wird das Impulsbild oder die Impulsfolgeregulierung der rückgeführten Impulse vorzugsweise in gleicher oder in ähnlicher Weise wie bei der in untenstehender Tafel gezeigten Anordnung gebildet:

Im Abtasttor voreinge-	Impuls-Nr. des Impulses
stellte ganze Zahl:	am Eingang des Basis- 55
	Zählers, bei dem das Ab
	tasttor einen Impuls
	rückführt:
0	0
1	4 60
	2 6
3	2 4 6
4	2 4 6 8
5	13 5 7 9
6	13 4 5 7 9 es
7	12 3 5 5 7 9
8	12 3 4 5 6 7 9
9	123456789

Ist beispielsweise ein Abtasttor auf die ganze Zahl 3 voreingestellt, sendet es beim 2., 4. und 6. Eingangsimpuls am Eingang des angeschlossenen Basiszählers einen Rückführimpuls in die Leitung α".

Wenn ein eingespeister Impulszug der numerischen Impulsrate .v an die Leitung d, d. h. den rückwärtszählenden Eingang des Vor-Rückwärtszählers α gelegt und der Vor-Rückwärtszähler je Zählperiode auf eine beliebige ganze Zahl A voreingestellt wird, die gleich dem ganzzahligen Anteil einer gewählten Zahl A, BCDE ist und wobei bei Erreichen des Zählerstands »0« jeweils ein Ausgangsimpuls am Ausgang d" abgegeben und die Zahl A erneut im Vor-Rückwärtszähler eingestellt wird, dann ist die durchschnittliche Impulsrate des Impulszuges auf der Ausgangsleitung d" gleich dem gewünschten Quotienten

20 B_ C D_ E_

+ 1O¹⁺IO^{2 +} IO³⁺iO⁴

wie der folgende Nachweis zeigt:

Nach 10* Impulsen auf der Ausgangsleitung d" muß die eingangsseitige Impulsrate .v den Wert 10⁴·Λ + 10^J · B+ 10² ■ C+ 10¹ · D+ £ Impulse haben. Die Division dieses Wertes von .y durch die gewählte Zahl A. BCDE ergibt den Quotienten mit dem Wert 10".

In Fig. 2 werden für die Elemente, die denen in Fig. 1 entsprechen, die gleichen Bezugszeichen verwendet. In dem in Fig. 2 dargestellten Ausführungsbeispiel bestehen die Abtastanordnung b aus einem voreingestellten Register m und einem im Anfangszustand leeren Register /;. Das voreingestellte Register m enthält die Zahlen B, C, D und E. Das Register /? ist so ausgebildet, daß es den Inhalt des Registers m aufnimmt und fortschreitend addiert bei dem ersten und den folgenden auf der Leitung d" auftretenden Impulsen, und daß es bei jedem Überlaufeinen Rückführimpuls auf der Leitung a" erzeugt. Es kann so ausgelegt werden, daß die Zahl der Rückführimpulse folgendermaßen vorgesehen ist:

B Rückführimpulse

bei 10¹ Impulsen auf der Leitung d" Λ-C Rückführimpulse

bei 10² Impulsen auf der Leitung d" + D Rückführimpulse

bei 10³ Impulsen auf der Leitung d" + E Rückführimpulse

bei 10⁴ Impulsen auf der Leitung d"

Auf diese Weise entsteht für einen auf die Eingangsleitung d eingespeisten Impulszug der Impulsrate χ auf der Ausgangsieiiung d" ein Iiiipuisz:ug der durchschnittlichen Impulsrate x/A, BCDE, d.h. der gewünschte Quotient. Bei diesem Ausführungsbeispiel ist das Bild des Impulszuges der Rückführimpulse, d.h. deren Regelwahrscheinlichkeit, von den Summiereigenschaften für die einzelnen ganzen Zahlen B. C, D und E in den Registern bestimmt.

Die Anzahl der ganzen Zahlen im nicht ganzzahligen Teil der gewählten Zahl in den Ausführungsbeispielen nach den Fig. 1 und 2 ist nicht begrenzt und nur von praktischen Erwägungen abhängig.

Jedes der oben beschriebenen Ausführungsbeispiele sieht Mittel vor, einen Impulszug durch eine nicht ganzzahlige Zahl fortlaufend zu teilen. Dies ist vorteilhaft für die vorgesehenen Vorschläge, die elektronischen Multiplizier- und Dividieranordnungen mit einschließen. Denn die mathematische Teilung mit einer gewählten Zahl, die aus einer größeren Anzahl ganzer Zahkn als

bisher besteht, kann ohne Ausweitung des Frequenzbereiches der verwendeten Elektronikanordnungen erreicht werden.

Im Beispiel in Fig. 3 ist ein zu prüfendes Zahnrad (in der Zeichnung nicht dargestellt) auf der Achse mit einem sich mitdrehenden, kreisförmigen optischen Gitter ρ befestigt. Ein geradliniger (in der Zeichnung nicht dargestellter) Schlitten trägt einen (ebenfalls nicht dargestellten) Taster und ein geradliniges optisches Gitter q. Der Taster und das Zahnrad sind miteinander mechanisch im Eingriff, was die gestrichelte Linie r andeutet. Die optisch-elektrischen Wandler/?' und q' erzeugen Impulszüge. Der mechanische Eingriff, der durch die gestrichelte Linie /· dargestellt ist, kann in einer bekannten Weise vorgenommen sein, wie er z. B. zur Messung der fehlerhaften Abweichung vom vorgesehenen Evolventenprofil oder zur Messung eines Steigungsfehlers angewendet wird. Die beiden Impulszüge werden zueinander in ein theoretisches Eins-zu-Eins-Verhältnis gebracht. Dies erfolgt im vorliegenden Fall dadurch, daß die im Wandler q erzeugten Impulse in einem digitalen Rechensystem a, b gemäß der Erfindung umgesetzt werden. Anschließend werden die umgesetzten Impulse mit den Impulsen aus dem Wandler p' in einem Phasendetektor oder Vergleicher s verglichen. Der zu messende Fehler ist proportional zur Phasendifferenz und wird in der Form eines Kurvenzuges von einem Registriergerät t ausgedruckt.

In dem in Fig. 4 dargestellten Beispiel trägt eine Antriebswelle u ein kreisförmiges optisches Gitter v. Ein optisch-elektrischer Wandler v' erzeugt einen Impulszug, dessen Impulsrate proportional zur Rotationsgeschwindigkeit der Antriebswelle u ist. Eine digitale Rechenanordnung a, b, gemäß der Erfindung, erzeugt an ihrem Ausgang einen Impulszug, dessen Impulsrate in einem zuvor gewählten Verhältnis zur Impulsrate des Impulszuges am Eingang der Rechenanordnung steht. Ein als Digital-Analog-Wandler ausgebildeter Servomotor w dreht eine Abtriebswelle v. Auf diese Weise wird es möglich, eine Drehzahlübersetzung im praktischen Bereich in fast unbegrenztem Verhältnis und mit einem hohen Grad an Genauigkeit zu erhalten.

Bezüglich des zuvor Betrachteten, kann es in den Fällen, in denen eine vernachlässigbare augenblickliche Fehlerschranke notwendig ist, geeignet sein, entsprechend der Art der gewählten Zahl, sowohl den eingespeisten

!5 Impulszug als auch die gewählte Zahl mit einer Potenz der Basis oder Wurzel des Zahlensystems zu multiplizieren, derart, daß die multiplizierte eingespeiste Impulsrate innerhalb des Frequenzbereiches der verwendeten Baugruppen liegt, und der ganzzahlige Teil der multiplizierten gewählten Zahl groß ist gegenüber dem nicht ganzzahligen Teil. Wenn beispielsweise eine eingespeiste Impulsrate χ durch die gewählte Zahl 3,41268 geteilt werden soll und der Frequenzbereich der verwendeten Baugruppe noch die mit 10³ multiplizierte Impulsrate .v verarbeiten kann, dann wird ein Multiplizierer für den Faktor 1000 zwischen die Impulsquelle und den Eingang der erfindungsgemäßen digitalen Rechenanordnung geschaltet und die Zahl 3412,68 eingestellt. Dieses Verfahren ist auch in den Fällen geeignet, in denen eine eingespeiste Zählrate durch eine gewählte Zahl geteilt werden soll, deren ganzzahliger Teil A=O ist.

Hierzu 2 Blatt Zeichnungen

Claims

fei 1% Patentansprüche:

1. Digitale Rechenanordnung, die aus einem an ihrem Eingang eingespeisten Impulszug mit der numenschen Impulsrate χ durch Division durch eine vorgewählte, nicht ganzzahlige Zahl der Form