DE1942339A1 - Rechengeraet zur Ausfuehrung numerischer Rechnungen in einem hexadezimalen bzw. oktalen Zahlensystem - Google Patents

Rechengeraet zur Ausfuehrung numerischer Rechnungen in einem hexadezimalen bzw. oktalen Zahlensystem

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Bruckner Judith B
Wyatt Philip J
Trundle Albert S
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    • G06G—ANALOGUE COMPUTERS
    • G06G1/00—Hand manipulated computing devices
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Description

  • Rechengerät zur Ausführung numerischer Rechnungen in einem hexadezimalen bzw. oktalen Zahlensystem Die Erfindung betrifft ein Rechengerät zur AusfUhrung numerischer Rechnungen in einem auf einer Potenz von zwei aufgebauten Zahlensystem, insbesondere im hexadezimalen Zahlensystem bzw. im oktalen Zahlensystem. Insbesondere befaßt sich die Erfindung mit Rechengeräten, die mehrere Skalen sowie Anzeigevorrichtungen zur Herstellung von Beziehungen zwischen den Skalen aufweisen.
  • Das gewöhnliche Zahlensystem der Mathematik ist auf den neun ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und der 0 aufgebaut. Sowohl vom wissenschaftlichen Standpunkt aus als auch für schulische Zwecke besteht häufig. das Bedürfnis, arithmetische und algebraische Berechnungen in dem gewöhnlich als "hexadezimal" sowie in dem als "oktal" bezeichneten Zahlensystem auszuführen. Beide Systeme beruhen ihrerseits wieder auf dem binären Zahlensystem, in dem sämtliche Größen durch Kombinationen der Symbole '1" und "O" repräsentiert werden. Das binäre System spielt eine große Rolle in allen Arten elektrischer- Schaltungen, insbesondere in Digitalrechnern, da das Symbol i in ihnen den Einschaltzustand und das Symbol "O" den Ausschaltzustand repräsentieren. Eine Gruppe von vier binären Bits vermag die ganzzahligen Werte von 1 bis 15 darzustellen, da die größte Zahl aus vier Bits im binären System 1111 ist, äquivalent zur Dezimalzahl 15.
  • So wird eine bestimmte Gruppe aus vier binären Bits leicht im hexadezimalen Zahlensystem ausgedrückt, d . h. mit einer der signifikanten Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F, sowie der O. Eine Gruppe aus drei binären Bits vermag die ganzzahligen Werte von 1 bis 7 darzustellen.
  • Zu dem hexadezimalen Zahlensystem gehörende Zahlen werden durch den Index 16 und die zum dezimalen Zahlensystem gehörenden Zahlen werden durch den Index 10 in Zweifelsfällen, und die zum oktalen Zahlensystem gehörenden Zahlen durch den Index 8 bezeichnet. Die kleinste zweizifferige Zahl im hexadezimalen System ist 10, die der dezimalen Zahl 16 äquivalent ist.
  • Die kleinste zweizifferige Zahl im oktalen System ist 10, die der dezimalen Zahl 8 äquivalent ist. Eine Skala aus den Hexadezimalzahlen von 116 bis 1016 ist in fünfzehn größere Abschnitte unterteilt, die den vorstehend genannten fünfzehn Ziffern entsprechen.
  • Bei der Stapelverarbeitung wird der Speicher eines Rechners oft vollständig ausgelesen, um eine sorgfU tige Prüfung durch die Programmierer oder Systenalysierer zu ermöglichen. Dieses Ausgabeverfahren wird am einfachsten entweder in einem Hexadezimalsystem ausgeführt, wenn der Rechner die Binärbits in Gruppen von je vier zusammenfaßt,- oder imoktalsystem, wenn der Rechner die binären Bits in Gruppen von je drei zusammenfaßt. Es bleibt dem Empfänger einer derartigen Ausgabelistc überlassen, die einzelnen Arbeitsabläufe des Maschinenprogramas in dem geläufigeren dezimalen Zahlensystem zu interpretieren. Die Umwandlung zwischen dem dezimalen und dem hexadezimalen bzw. oktalen Zahlensystem ist ein recht schwieriges Verfahren und schränkt von daher die Nützlichkeit der Ausgabelisten ein. Es würde als ideal empfunden, wenn der Benutzer der Maschine in den beiden nicht dezimalen Zahlensystemen genauso heimisch wire wie in dem Dezimalsystem.
  • Wenn dies der Fall wäre, würde er nicht länger mit der Umwandlung zwischen den beiden Systemen befaßt sein müssen.
  • Die vorliegende Erfindung löst daher die Aufgabe, die meisten algebraischen und arithmetischen Operationen in einem auf einer Potenz von zwei aufgabauten Zahlensystem sowie Umwandlungen zwischen diesem und dem dezimalen System auszuführen.
  • Das erfindungsgemäße Rechengerät zur Ausführung numerischer Rechnungen in einem auf einer Potenz von zwei aufgebauten Zahlensystem zeichnet sich dadurch aus, daß ein Grundkörper mindestens eine Skala trägt, deren-Marken solchen Abstand voneinander haben, daß sie die Skala. in eine Anzahl von Abschnitten gesetzmäßig unterteilen, die mindestens einer Dekade eines auf einer Potenz von zwei aufgebauten Zahlensystems entspricht, und daß eine relativ zum Grundkörper bewegliche Schiebevorrichtung vorgesehen ist, mit der wählbare Teillängen der Skala geometrisch unter Beachtung des Vorzeichens addiert und die Ergebnisse abgelesen werden können.
  • Das erfindungsgemäße Rechengerät zur Ausführung nume- -rischer Rechnungen im hexadezimalen Zahlensystem zeichnet sich dadurch aus, daß ein Grundkörper mindestens eine Skala trägt, deren Marken solchen Abstand voneinander haben, daß sie die Skala in eine mindestens einer Dekade des hexadezimalen Zahlensystems entsprechende Anzahl von Abschnitten gesetzmäßig unterteilen, und daß eine relativ zum Grundkörper bewegliche Schiebevorrichtung vorgesehen ist, mit der wählbare Teillängen der Skala zu anderen Teillängen der Skala geometrisch unter Beachtung des Vorzeichens addiert und die Ergebnisse abgelesen werden können.
  • Die vorliegende Erfindung ist nicht nur für die Programmierer von Rechnern und für Systemingenieure nützlich, sie stellt auch ein sehr brauchbares Hilfsmittel für das Lehren grundlegender Eigenschaften mathematischer Zahlensysteme dar. So sind beispielsweise die fundamentalen Operationen in der Arithmetik ünd Algebra unabhängig von der gerade benutzten numerischen Basis. Leider werden diese Eigenschaften häufig in einer Weise gelehrt, die den Schüler glauben macht, daß sie nur in dem vertrauten Dezimalsystem GUltigkeit besäßen. Mit der vorliegenden Erfindung kann der Unterrichtende viele wichtige arithmetische und algebraische Grundsätze in dem weniger vertrauten Hexadezimalsystem demonstrieren und dann die gewonnenen Ergebnisse mit denen aus dem Dezimalsystem vergleichen.
  • Weiterhin ist es für den Unterrichtenden häufig sehr nützlich, Zahlen in einem ungewohnten System, beispielsweise in dem Hexadezimalsystem, in das Dezimalsystem umzuwandeln, um die grundlegenden Verwondtschaft-en zwischen den Zahlensysteaen zu erklKren. Das erfindungsgemäße Rechengerät ermöglicht es dem Lehrenden, Berechnungen in dem Hexadezimalsystem auszuführen sowie schnell und genau in das Dezimalsystem umzuwandeln, wodurch sein Lehren an anschaulicher Intensität gewinnt.
  • Man möge bedenken, daß Tafeln von Hexadezimallogarithmen hexadezimaler Zahlen, im Hexadezimalsystem ausgedrückt, nicht bekannt sind. Da solche Tafeln nicht existieren, ist die Ausführung verschiedener algebraischer und trigonometrischer Operationen im Hexadezimalsystem selbst für den Fachmann außerordentlich schwierig.
  • Im Besitze des erfindungsgemäßen Rechengerätes jedoch ist der Rückgriff auf derartige Tafeln überflüssig und die erwähnten Operationen können sehr leicht ausgeführt werden. Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Hexadezimalzahlen wurden bislang mit Hilfe von sorgfältig ausgearbeiteten Tafeln und Verfahren ausgeführt, von denen die meisten auf das Dezimalsystem zurückbezogen sind. Für das Oktalsystem sind mechanisch arbeitende Tischgeräte bekannt, mit denen lediglich relativ einfache arithmetische Operationen im Oktalsystem ausgeführt werden können. Diese Tischrechengeräte sind teuer, zeitraubend und schwer zu bedienen. Dagegen ermöglicht das erfindungsgemäße Rechengerät ein relativ leichtes Ausführen selbst der schwierigsten Berechnungen im Oktalsystem bzw. im Hexadezimalsystem.
  • Das erfindungsgemäße Rechengerät umfaßt zweckmäßig einen Grundkörper, der eine nach dem Hexadezimalsystem unterteilte Skala trägt, deren Hexadezimalzahlen in aufsteigender Reihe angeordnet sind. Die Zahlen unterteilen die Skalenlänge in mehrere durch Marken bestimmte Abschnitte, wobei die Marke den Hexadezimalzahlen 116. bis 1016 entsprechen. Die Marken bzw. Indices sind vorzugsweise so angeordnet, daß sie die Skala in fünfzehn größere Abschnitte unterteilen, von denen jeder eine weitere Unterteilung aufweist, die den Bruchteilen jeder der zugehörigen Hexadezimalzahlen entspricht. Die relativen Lagen der Zahlen bezüglich des Skalenanfangs sind eine Funktion des hexadezimalen Logarithmus (d.h. des Logetirhmus zur Basis 16) jeder Zahl. Eine Schiebe- bzw. Anzeigevorrichtung ist relativ zu dem Grundkörper beweglich und dient zum Addieren von Intervallen aus ausgewählten Teillängen der Skala und zum Anzeigen des Ergebnisses auf der Skala.
  • Vorzugsweise ist die relative Lage der Hexadezimalzahlen bezüglich des Skalenanfangs bzw. Skalenindex' durch die Beziehung L(log1OX)tlogl610) bestimmt, in der X die Dezimaldarstellung einer Hexadezimalzahl zwischen 1 und 10 ist, deren Stelle auf der Skala bestimmt werden soll, und in der L eine die effektive Länge der Skala repräsentierende Größe bedeutet. Bei einer linearen Skala bedeuten L die Gesamtlänge der Skala in cm, bei einer kreisförmigen Skala bedeutet L dann 3600. Die Hexadezimalskala macht es dea Benutzer. des Rechengerätes möglich, gewöhnliche Multiplikationen und Divisionen von Hexadezimalzahlen schnell und genau auszuführen. Die Zeitersparnis ist betrEchtlich, wenn man bedenkt, daß die einfache Multiplikation zweier Hexadezimalzahlen das Aufsuchen einer hexadezimalen Multiplikationstafel für die einzelnen Teilprodukte der Hexadezimalzahlen und dann das Übertragen und Addieren nach den hexadezimalen Additionsregeln erforderlich macht. Es ist offensichtlich, daß dieses Verfahren sehr viel Zeit verschlingtv selbst dann, wenn hexadezimale Multiplikations- und Additionstafeln verfügbar wären.
  • Die Erfindung umfaßt weiterhin eine Reihe verschiedener Skalen zur Benutzung in Kombination mit der vorerwähnten Hexadezimalskala, um das Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren, Quadrieren und Wurzelziehen sowie Logarithmieren im hexadezimalen Zahlensystem zu ermöglichen. Eine reziproke Hexadezimalskala, deren effektive Lange gleich derjenigen der Hexadezimalskala ist, ist entsprechend den Hexadezimalzahlen unterteilt, und zwar in ähnlicher Weise wie die Hexadezimalskala, jedoch in umgekehrter Reihe. Die Zahlen der reziproken Hexadezimalskala sind vorzugsweise so angeordnet, daß sie die Skalenlänge logarithmisch in fünfzehn größere Abschnitte unterteilen, deren Indices bzw. Marken den Hexadezimalzahlen 116 bis 1016 entsprechen. Die erfindungsgemäße Schiebevorrichtung ist relativ zu Grundkörper beweglich und dient zum Addieren-(unter Beachtung des Vorzeichens) von Teillängen, die ausgewählten Teilen der Hexadezimalskala oder der reziproken Hexadezimal skala entsprechen und zeigen die Ergebnisse auf einer der beiden Skalen an. Die reziproke Hexadezimalskala ist besonders nützlich für mehrfache Operationen im hexadezimalen Zahlensystem, die etwa mehrfache Multiplikationen und Divisionen umfassen, ohne daß die Notierung von Teilprodukten oder Teilquotienten notwendig wäre.
  • Erfindungsgemäß ist weiter eine hexadezimale Quadratskala mit einer effektiven Länge vorgesehen, die gleich der hexadezimalen Skala ist, und die zwei aufeinanderfolgende Hexadezimalskalen umfaßt. Die beiden Skalenteile sind von gleicher Länge, und jeder Teil ist weiter in mehrere Abschnitte logarithmisch unterteilt, deren Marken den Hexadezimalzahlen 116 bis 1016 entsprechen. Die hexadezimale Quadratskala dient zum Berechnen der Quadrate hexadezimaler Zahlen auf dereinfachen Hexadezimalskala. Umgekehrt können natürlich auch die Quadratwurzeln hexadezimaler Zahlen aus der hexadezimalen Quadratskala auf der einfachen Hexadazimalskala abgelesen werden. Die hexadezimale Quadratskala ist besonders nützlich, da das manuelle Wurzelziehen ein sehr komplexes Verfahren ist, speziell im Hinblick auf'die Schwierigkeit des manuellen Dividierens und Übertragens von Zahlen aus dem wenig vertrauten hexadezimalen Zahlensystem. Weiterhin ist erfindungsgemäß eine hexadezimale logarithmische Skala vorgesehen, die in Kombination mit der einfachen Hexadezimalskala benutzt wird. Auf dieser hexadezimalen logarithmischen Skala sind die Hexadezimalzahlen linear in aufsteigender Relhenfolge angeordnet und unterteilen die Skala in sechzehhw @ gleichlange Abschnitte.Die ersten Marken der Skala entsprechen den Hexadezimalbrüchen zwischen 0 und also 0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; O*9; O,A; O,B; o,C; Oxid; O,E; o,F;- und 1,0. Die hexadezimale logarithmische Skala dient zum Berechnen hexadezimaler Mantissen von Hexadezimallogarithmen der Zahlen aus der einfachen Hexadezimalskala. Sie kann auch zum Berechnen der Exponenten von Hexadezimalzahlen im hexadezimale Zahlensystem dienen. Weiterhin findet die hexadezimale logarithmische Skala Verwendung in Kombination mit einer kolinearen, dezimalen logarithmischen Skala (eine lineare Darstellung der Dezimalbrüche zwischen 0 und 1,0) und mit einer Anzeigevorrichtung, um die Brüche zwischen dem hexadezimalen und dezimalen Zahlensystem umzuwandeln. Weiterhin wird die Festkomma-Addition und Subtraktion zu drei signifikanten Hexadezimalzahlen auf Wunsch ausgeführt, wobei die hexadezimale logarithmische Skala Verwendung findet.
  • Um einen möglichst großen Bereich von Zahlen zu überdecken, wird von dem Systemanalysierer und ähnlichen mit Datenverarbeitung befaßten Fachleuten die sogenannte Gleitkomma-Schreibweise benutzt. In dieser Beschreibung wird eine Zahl repräsentiert als ein Bruch multipliziert mit einer Potenz der Basis. Beispielsweise würde die Zahl 684 (in dezimaler Schreibweise) dargestellt werden als 0,684 x 103. In einem binären Zahlensystem würde die Zahl 1101,11 dargestellt werden als 0,1100111 x 1O101 wobei die letzte 10 die Binärdarstellung der Zahl 2, d.h. der Basis des binären Zahlensystems bedeutet. Der Exponent 101 ist die Binärdarstellung der hexadezimalen (und auch dezimalen) Zahl 5, die der Anzahl von Stellen entspricht, um die das binäre Komma nach links verschoben wurde. Eine Anzahl von Rechnern arbeiten im binären Zahlensystem, liefern die Ergebnisse aber im hexadezimalen Zahlensystem. Das bedeutet, daß ein Rechner im Speicher eine Gleitkommazahl als einen hexadezimalen Bruch zwischen O,1 und 1,0 multipliziert mit einer hexadezimalen Potenz von 1016 enthält. Derartige Zahlen werden als in 2'normalisierter'2Form vorliegend bezeichnet.
  • Die vorliegende Erfindung führt die Umwandlung der Exponenten derartiger Zahlen auf einfache Operationen mit einer hexadezimalen-Potenz-von-10-Skala zurück, die in Kombination mit einer gewöhnlichen Dezimalskala, d.h. einer "C"- oder "D"-Skala benutzt wird. Diese Skala dient zur Umwandlung hexadezimaler Potenzen des Faktors 1016 in deren dezimale Äquivalente. Die Umwandlung sehr großer und sehr kleiner Gleitpunktzahlen zwischen der hexadezimalen und der dezimalen Basis ist oft schwierig und sehr zeitraubend,> da das dezimale Äquivalent der hexadezimalen Potenz von 16wo1 d.h.
  • 1016 nicht leicht berechnet werden kann. Die hexadezimale -Potenzen-von-10-Skala reduziert derartige Umwandlungen auf eine sehr einfache und genaue Operation.
  • In der vorliegenden Erfindung werden weiterhin dezimale Umwandlungsskalen in Verbindung mit der hexadezimalen Skala zur Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexadezimalzahlen und umgekehrt vorgeschlagen. Jede dezimale Umwandlungsskala hat die gleiche effektive Länge wie die einfache Hexadezimalskala und die Dezimalzahlen sind in aufsteigender Reihenfolge von 16M 1 bis 16M unterteilt, wo M irgendeine ganze Zahl bedeutet. Ein besonders günstiger Skalenbereich umfaßt die ganzen Zahlen von -3 bis +4. Die relativen Lagen der Zahlen bezüglich des Skalenanfangs sind eine Funktion des hexadezimalen Logarithmus jeder Zahl. Eine dezimale Festkomma-Multiplikation und -Division kann unter Verwendung der dezimalen Umwandlungsskalen ausgeführt werden und der sich ergebende Dezimaiwert kann sofort in seine entsprechende hexadezimale Darstellung auf der Hexadezimalskala umgewandelt werden. Umgekehrt kann-natürlich die hexadezimale Multiplikation und Division mit der hexadezimalen Skala ausgeführt werden, wobei das Ergebnisvsofort in sein dezimales Äquivalent auf den dezimalen Umwandlungsskalen umgewandelt wird.
  • Die Merkmale der Erfindung werden bei der nachfolgenden Beschreibung eines bevorzugten Ausführungsbeispiels, bei der auf die beigefügten Zeichnungen Bezug genommen wird, im einzelnen noch erläutert.
  • Es zeigen: Fig. 1 eine Draufsicht auf die Vorderseite eines scheibenförmig ausgebildeten Rechengerätes mit einer Hexadezimalskala, einer reziproken Hexadezimalskala, einer hexadezimalen Quadratskala, einer hexadezimalen Logarithmus skala und einer Hexadezimalpotenzen-von-10-Skala in Verbindung mit Dezimaiskalen, die gewöhnlich bei bekannten Rechenschiebern benutzt werden; und Fig. 2 eine Draufsicht auf die Rückseite des -Rechengerätes nach Fig. 1 mit der Hexadezimalskala und den erfindungsgemäßen dezimalen Umwandlungsskalen.
  • Die in den Figuren dargestellte bevorzugte Ausführungsform des erfindungsgemäßen Rechengerätes besteht aus einem ebenen, kreisftrmigen Grundkörper 10 mit einer Vorderseite 11 und zwei Läuferarmen 12 und 14, die aus der Mitte der Vorderseite hervorstehen. Die Arme 12 und 14 bestehen vorzugsweise aus dünnem, durchsichtigen Plastik und sind jeweils in ihrer Mitte mit je einer radial nach außen weisenden Haar linie 16 und 18 versehen. Die Läuferarme sind über eine von augen zugAngliche Schraube 20 mit der Mitte des Grundkörpors 10 verbunden, wobei sich die Schraube 20 durch oft nungen in den Läufer armen und durch ein mittiges Loch im Grundkörper erstreckt und mit einem von. der RUckseite 22 des Grundkörpers 10 her aufschraubbaren Befestigungsteil 21 im Eingriff steht. Zwei ähnlich aufgebaute Läufer arme 23 und 24 sind jeweils mit einer mittigen, radial nach außen verlaufenden haarlinie 25 bzw. 26 versehen und an der Mitte der Rückseite 22 befestigt. Die. Läufer arme 12, 14, 23 und 24 sind relativ zum Grundkörper 10 beweglich. Läuferarm 12 istor zugsweise um ein geringes länger als Arm 14 und liegt näher an der Vorderfläche 11 des Grundkörpers 10 als der Arm 14, der'den Arm 12 überstreichen kann. Die Arme 12 und 14 bewegen sich als Ganzes gemeinsam, wenn der Arm 12 gedreht wird, jedoch bleibt Arm 12 stehen, wenn der Arm 14 bewegt wird. In entsprechender Weise ist der Läuferarm 23 länger als der Arm 24 und liegt näher an der Rückseite 22 als der Arm 24, der den Arm 23 überstreichen kann. Die Arme 23 und 24 bewegen sich als eine Einheit, wenn der Arm 23 gedreht wird, jedoch bleibt der Arm 23 stehen, wenn der Arm 24 bewegt wird.
  • In Fig. 1 sind mehrere, nach innen zu konvergierende konzentrische Skalen entsprechend den Merkmalen der Erfindung auf der Vorderseite 11 des Grundkörpers 10 angebracht. Während diese; Anordnung der Skalen von den Erfordernissen der praktischen Benutzung her besonders bevorzugt werden, sind die Merkmale der Erfindung ohne weiteres auch auf Rechenstäbe oder dergl. anwendbar. Gemäß Fig. 1 ist eine Kreisskala auf hexadezimaler Basis bei 27 mit der Bezeichnung CH versehen und liegt ganz am äußeren Rande des Grundkörpers 10.
  • Die CH-Skala ist entsprechend den hexadezimalen Logarithmen der Hexadezimalzahlen von 1 bis lO unterteilt.Die Skala erstreckt sicn über die vollen 3600 des Grundkörpers 10; der Anfang 116 und das Ende 1016 der Skala sind durch die Ziffer 1 bei 28 bezeichnet. Die CH-Skala ist in fünfzehn Segmente durch Indices unterteilt, die die fünfzehn Hexadezimalzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F repräsentieren. Jedes dieser Segmente ist vorzugsweise in sechzehn Sekundärabchnitte unterteilt, die den möglichen zweiten Hexadezimalzif£rn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F und 0 entsprechen. Jeder dieser Abschnitte ist weiter in kleinere Abschnitte unterteilt. Die Stelle einer dreiziffrigen Zahl wird auf der CH-Skala durch Interpolation in dem Hexadezimalsystem bestimmt. So liegt beispielsweise die Hexadezimalzahl 4,8 ungefähr in der Mitte zwischen den Indices 4,0 und 50; die Zahl B3C erscheint ungefähr bei 3/4 der Strecke zwischen den Indices B3 und B4.
  • Die Winkellagender CH-Skalenindices (ausgedrückt in den vertrauten Dezimalgraden) ergeben sich aus-der Formel Y° r 3600 (log1OX) (log1610), in der X eine reelle Dezimalzahl zwischen 1 und 16 entsprechend einer Hexadezimalzahl zwischen 116 und 1016 bedeutet. Die Hexadezimalzahl 1016 ist äquivalent der Dezimalzahl 16. Entsprechend jedem Wert von X, dessen Indexstelle Y gesucht wird, gibt es eine Benennung Diese Benennung ist der Hexadezimalwert, der dem Dezimalwert X entspricht. So ergibt sich beispielsweise X (dezimal) (hexadezimal, auf drei signifikante Ziffern) 1 1 1,71 1,B5C 8 8 11,75 B, C 15 F Y repräsentiert die Winkelverschiebung der Zahl X, deren Hexadezimaldarstellung # ist, von dem CH-Skalenindex in Dezimalgraden. Wenn der Faktor 360° durch L ersetzt wird, wobei L die Gesamtlänge einer linearen CH-Skala in cm ist, dann ergibt sich Y = L (log10X) (log1610); daraus ergibt sich die Entfernung Y eines bestimmten Dezimalwertes X (dessen Hexadezimaläquivalent t ist) vom Ursprung einer linearen Ausführung des erfindungsgemäßen Rechengerätes.
  • Die CH-Skala wird hauptsächlich für die Ausführung von Multiplikationen und Divisionen auf hexadezimaler Basis benutzt. Die Multiplikation der zwei Zahlen x und y wird ausgeführt, indem zuerst die Haar linie 16 des Läuferarmes 12 auf x der CH-Skala-, dann die Haarlinie 18 des Läufer armes 14 auf der Index 1 der gleichen Skala eingestellt werden. Dann wird die Haarlinie des Läuferarmes 12 solange bewegt, bis die Haarlinie des Armes 14 bei y steht. Das Ergebnis erscheint unter der Haarlinie des Armes 12 auf der gleichen Skala.
  • Beispiel (A): Berechne ungefähr 9A,816 x 1,C416 Lösung: Stelle die Haar linie 16 des Läuferarmes 12 auf 9A8 der CH-Skala. Bewege die Haar linie 18 des Armes 14 auf den Index 1 der CH-Skala. Bewege Arm 12 bis die Haar linie 16 des Armes 14 auf 1C4 auf der CH-Skala steht. Lies 111 unter der Haarlinie 16 des Armes 12 auf der CH-Skala ab. Daher ist 9A,816 x 1,C416 = 11116 (auf drei Stellen genau.) Das Komma des Produktes der Hexadezimalzahlen ist oft schwer festzulegen, da das Hexadezimalsystem ungewohnt ist. Die Stelle des Kommas wird leicht mit dem erfindungsgemäßen Rechengerät auf folgende Weise erhalten: Man drücke jeden zu multiplizierenden Faktor als eine normalisierte Gleitkommazahl aus, d.h. 9A,8 I 0,9A8 x 1016².
  • Dam schließt sich das Multiplikationsverfahren wie vor beschrieben an, wobei der Läufer arm 12 zuletzt im Uhrzeigersinn bewegt wird.
  • Wenn die Haar linie 16 während dieser letzten Bewegung den Index 1 überstreicht, dann steht die erste signifikante Ziffer des Produktes sofort rechts vom Komma.
  • Wenn die Haarlinie 16 den Index nicht überstreicht, dann liegt zwischen dem Komma und der ersten signifikanten Ziffer eine 0. Wenn in dem vorbeschriebenen Beispiel der Arm 12 beim Einstellen des Armes 14 auf 1C4 in Uhrzeigerrichtung bewegt wird, dann überstreicht die Haar linie 16 den Index 1. Die erste kennzeichnende Ziffer ist rechts vom hexadezimalen Komma. Daher ist (0,9A8 x 10116) x (0,1C4 x 10116) = 0,11116 x 1016³= 11116 16 BeisnieliB): Berechne ungefähr 6416 x 2,116 Lösung: Forme um (0,64 x 10²16) x 0,21 x 10¹16) Stelle die Haarlinie 16 des Läufers 12 auf 64 auf der CH-Skala und die Haar linie 18 des Armes 14 auf 1. Bewege den Arm 12 im Uhrzeigersinn, bis die Haar linie 18 auf 21 auf der CH-Skala steht. Lies CE4 unter der Haarlinie 16 auf der CH-Skala ab.
  • Während der Bewegung des Armes 12 im Uhrzeigersinn hat die Haar linie 16 den Index 1 nicht überstrichen. Daher steht zwischen dem hexadezimalen Komma und der ersten signifikanten Ziffer eine 0: 3 3 16 16 16 16 = 0,CE4 x 1016².
  • Man bedenke, daß die Lösung der vorstehenden Aufgaben relativ schwierig und zeitaufwendig ist, wenn man sie ohne Hilfe des erfindungsgemäßen Rechengerätes ausführen will, da ihre Lösung die Vertrautheit mit der hexadezimalen Multiplikationstafel erfordert: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 2 2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A lC lE 20 3 3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 30 4 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 40 5 5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 50 6 6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 60 7 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 70 8 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 80 9 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 90 A A 1A 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E- 78 82 8C 96 A0 B B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 BO C C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 -CO D D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 D0 E E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 EO F- F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 AS B4 C3 D2 El FO-10 10 20 30 40- 50 60 70 80 90 AO BO CO D0 EO FO 100 Mit dieser Tabelle werden die Zwischenprodukte ausgerechnet, und die nachfolgende hexadezimale Addition - tabelle dient zum Übertrag und Addieren der Hexadezimalzahlen: + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 11 13 14 5 6 7 8 9 ! A B C D E F 10 11 12 13 14 15 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 7 8 9 A B C D .E F 10 11 12 13 14 15 16 17 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 Die CH-Skala dient zur Division von hexadezimalen Zahlen in einer der Multiplikation ähnlichen Weise: Beispiel (C): 37616 : 5A16 Lösung: Stelle den Läufer 12 auf 376 und den Läufer 14 auf 5A auf der CH-Skala. Bewege den Läufer 12, bis der Läufer 14 auf der 1 steht.
  • Lies 9D7 unter dem Läufer 12 auf der CH-Skala ab. Daher ist 37616 : 5A16 = 9,D716 (mit drei signifikanten Ziffern) Man bedenke, daß selbst einfache Divisionen eine aÜß erordentlich schwierige Aufgabe in dem wenig vertrauten Hexadezimalsystem darstellt, wenn sie manuell ausgeführt werden soll. Diese Lösung erfordert dann das Übertragen und die Subtraktion von Zahlen im Hexadezimalsystem und dendauernden Rückbezug auf die vorstehende Multiplikationstabelle, und das selbst für den besten Mathematiker.
  • Eine reziproke flexadezimalskala mit der Bezeichnung CIH bei 29 schließt an die CH-Skala nach innen zu an. Die CIH-Skala ist in der gleichen Weise unterteilt wie die CH-Skala, lediglich in umgekehrter Richtung. Die Hexa- ~ -dezimalzahlen 1 bis 1016 sind in logarithmisch aufsteigende Folge im Gegensinn des Uhrzeiger längs der Skala abgetragen. Jede Zahl auf der CIH-Skala ist das Reziproke. der entsprechenden Zahl auf der CH-Skala. Die CIH-Skala dient daher zur Berechnung der hexadezimalen Reziproke gegebener Hexadezimalzahlen, sowie zur Ausführung hexadezimaler Multiplikationen auf andere als die oben für die CH-Skala beschriebene Weise. Diese Skala ist insbesondere zur Ausführung mehrfacher Operationen nützlich, die mehrere Multiplikationen oder Divisionen beinhalten. Beispielsweise wird das Produkt der drei Zahlen (x) (y) (z) sehr leicht durch Behandlung in der Form (x : -) z berechnet. Diese Aufgabe wird gey löst, indem die Haar linie 16 des Läufers 12 auf x .auf der CH-Skala und d9e Haarlinie 18 des Läufers 14 auf y auf der CIH-Skala eingestellt werden. Wenn der Arm 12 jetzt solange bewegt wird, bis die Haarlinie 18 bei steht, dann steht das Produkt x und y unter der Haar linie 16 des Armes 12 auf der CH-Skala. --Stattdessen wird der Arm 12 jedoch solange bewegt, bis die Haar linie 18 des Armes 14 auf z auf der CH-Skala steht, und das Ergebnis wird unter dem Arm 12 auf der CH-Skala abgelesen.
  • Beispiel (D): Berechne 0,8716 x 2F16 x 3,C216 Lösung: Stelle die Haarlinie 16 des Armes 12 auf 87 auf der CH-Skala, und stelle dann die Haar linie 18 des Armes 14 auf 2F auf der CIH-Skala. Bewege den Arm 12, bis die Haar linie 18 über 3C2 auf der CH-Skala steht. Lies 5C unter der Haarlinie 16 des Armes 12 auf der CH-Skala ab. Daher ist 0,8716 x 2F16 x 3,C216 = 5C16 (auf drei signifikante) Ziffern) Eine hexadezimale Quadratskala mit der Bezeichnung AH bei 30 schließt sich nach innen zu an die CIH-Skala an.
  • Die 3600 lange AH-Skala umfaßt zwei aufeinanderfolgende CH-Skalen. Die Hexadezimalzahlen der AH-Skala entsprechen den Ziffern, die nach Quadrieren der an der gleichen Winkelstellung auf der CH-Skala angegebene Zahl erhalten werden. Der Index 1 des AH-Skalenanfangs ist auf die Indices der CH- und CIH-Skalen ausgerichtet; die Winkelstellungen Y und Y' der Dezimalzahlen X (zwischen 1 und 16), die den Hexadezimalbezeichnungen # mit Bezug auf den Index der AH-Skala entsprechen, sind durch die folgenden Beziehungen gegeben Y° = 180° (log10X) (log1610) Y'° = 180° (1+(log10X) (log1610)) Die Hexadezimaldarstellung jeder Zahl X zwischen 1 und 16 erscheint zweimal auf der AH-Skala und die beiden Stellen liegen um 180° auseinander. Wenn die Faktoren 1800 durch die halbe Länge L (d.h. L/2) eines mit den Merkmalen, dieser -Erfindung ausgestatteten Rechenstabes ersetzt werden, dann entsprechen die Faktoren Y und Yt den Abstäaden der entsprechenden Indices vom Ursprung des Rechenstabes. Die Quadrate der Hexadezimalzahlen auf der CH-Skala werden an der gleichen Winkelstellung auf der,AH-Skala gefunden.
  • Beispiel (E): Berechne ungefähr (2516)² Lösung: Stelle die Haarlinie 16 des Armes 12. über 25 auf der CH-Skala. Lies 559 auf der AH-Skala' unter der gleichen Haar linie ab. Daher ist 2516 x 2516 ' 559.
  • Auf ähnliche Weise lassen sich die Quadratwurzeln der Hexadezimalzahlen auf der AH-Skala an der gleichen Winkelstellung auf der CH-Skala finden. Man muß jedoch dafür Sorge tragen, daß die Anfangs zahl auf dem richtigen Abschnitt, der AH-Skala eingestellt wird. Dies geschieht dadurch, daß jede Zahl, deren Quadratwurzel berechnet werden soll, als eine Zahl zwischen 1 und 10016 mal einer geradzahligen Potenz von 1016, ausgedrückt wird, was eine durchaus übliche Operation darstellt, die von der entsprechenden Operation bei den Rechen schiebern auf Dezimalbasis bekannt ist. Wenn nach dem Herausziehen der geradzahligen Potenz von 1016 der Restfaktor zwischen 1 und 1016 liegt, dann wird die Zahl im ersten Abschnitt der AH-Skala eingestellt. Wenn der Restfaktor dagegen zwischen 1016 und 10016 liegt, dann wird die Zahl im zweiten Abschnitt der AH-Skala eingestellt.
  • Beispiel (F): Berechne Lösung: Forme um
    ungefähr a/A9016
    - \rA,9°16 x t° 6
    Stelle die Haarlinie 16 des Armes 12 über A90 im ersten Abschnitt der AH-Skala und lies die Ziffern 340 unter der Haarlinie 16 auf der CH-Skala ab. Daher ist Eine logarithmische Hexadezimalskala mit der Bezeichnung LH bei 32 schließt sich nach innen an die AH-Skala an.
  • Die LH-Skala ist eine lineare unterteilte Skala der Hexadezimalbrüche zwischen 0,0 und 1,0. Die Mantissen der Hexadezimallogarithmen der CH-Skalenzahlen werden an der gleichen Winkelstellung auf dieser Skala gefunden.
  • Die Skala ist in, sechzehn größere Abschnitte gleicher Länge durch Indices unterteilt, die den Hexadezimalbrüchen zwischen 0 und 1,0 entsprechen. Der Anfang der Skala beginnt mit dem Index O bei 33, der auf die Indices der CH-, CIH- und AH-Skalen ausgerichtet liegt.
  • Die Winkelposition Y einer Dezimalzahl, deren Hexadezimaldarstellung nit Bezug auf den Index der LH-Skala ist, wird durch die folgende Beziehung festgelegt: Für O{XC16, Y 1 22,5°X.
  • Wenn der Faktor 22,5 durch L/16 ersetzt wird, wobei L die Länge eines Rechenstabes ist, dann entspricht Y dem Abstand des entsprechenden Index' vom Ursprung dieses Rechenstabes.
  • Die LH-Skala dient zur Berechnung der Hexadezimalmantissen der Zahlen aus der CH-Skala. Zum Aufsuchen des Logerithaus einer Hexadezimalzahl sollte diese Zahl zuerst als eine Ziffer zwischen 1 und 1016 al einer ganzzahligen Potenz von 1016 ausgedrückt werden. Die Mantisse ( ein positiver Bruch zwischen 0 und 1) wird gefunden, indem die Zahl auf der CH-Skala eingestellt und die Mantisse auf der LH-Skala abgelesen wird.
  • Beispiel (G): Berechne log16 (48416) Lösung: log16 (484)16 = log16 (4,8416 x 1016²) logl6 (4,8416) X log16(1016²) - log16 (4,8416) x 2 Stelle die Haarlinie 16 des Läufers auf 484 auf der CH-Skala und lies 8B2 unter der Haarlinie 16 auf der LH-Skala ab. Daher ist log16 (48416) - 0,8B216 + 2 = 2,8s216 Das Potenzieren der Hexadezimalzahlen geschieht itt der LH-Skala in Verbindung mit der CH-Skala. Zur Berechnung einer Größe x, ab bemerke man, daß log x r b log a ist. Wenn zur abkürzenden Schreibweise für das folgende der Ausdruck "antilog" als Bezeichnung dafür genommen wird, daß von dem gegebenenfalls in Klammern hinter ihm stehenden Ausdruck der Numerus gebildet bzw. er delogarithmiert werden soll, dann kann vorstehende Beziehung aufgelöst werden in die Form x = antilog (b log ).
  • Das einfachste Verfahren zur Berechnung von x besteht darin, den Logarithmus von a mit b zu multiplizieren und das Ergebnis zu delogarithmieren.
  • Beispiel (H); Berechne 7A16# Lösung: 1og16 7A = log16(7,A x 1016) Ja 1,0+ log16 (7,A) log16(7,A)= O,BB916 (von den CH- und LH-Skalen) daher ist log167A = 1,BB9 Mit-der CH-Skala zur Ausführung der hexadezimalen Multiplikation ergibt sich l,BB916 x 16 - 5,71816 also ist 7A16# = 10165,718 = 10165 x 10160,718 = 105 (antilog 0,718) w 3,6DB16 x 10 16.
  • Die Vorderseite 11 des Grundkörpers 10 weist weiterhin eine Reihe von konventionellen kreisförmigen Skalen auf Dezimalbasis auf, die sich von den vorstehend beschriebenen Hexadezimalskalen weiter nach innen zu erstrecken. Eine dezimale Standard-Skala mit der Bezeichnung C bei 34 schließt sich nach innen an die LH-Skala an; eine reziproke Dezimalskala mit der Bezeichnung CI bei 36 schließt sich an die C-Skala an; eine dezimale Quadratskala mit der Bezeichnung A bei 38 folgt der CI-Skala nach innen; schließlich ist noch eine dezimale Logarithmenskala mit der Bezeichnung L bei 40 an die A-Skala nach innen anschließend vorgesehen.
  • Wie bereits erwähnt, werden die gewöhnlichen hexadezimalen Zahlen häufig bequem in der sogenannten normalisierten Form geschrieben. Diese Form besteht aus einem hexadezimalen Bruch zwischen 0,1 und 1,0 multipliziert mit einer hexadezimalen Potenz der Dezimalzahl 16, die das Äquivalent zur hexadezimalen Zahl 10, d.h. 1016 ist. Systemanalysierer müssen die Ausgabelisten eines Computers, der mit hexadezimaler Arhitmetik arbeitet,analysieren und fortwährend die normalisierten Hexadezimalzahlen in dezimale Zahlen umwandeln. Die Umwandlung zwischen normalisierten Hexadezimalzahlen mit Gleitkomma und gewöhnlichen Zahlen ist keineswegs trevial. Ein bequenes (aber nicht bevorzugtes) Verfahren unter Verwendung des erfindungsgemäßen Rechengerätes wird am nachfolgenden Beispiel beschrieben: Beispiel(T): Wandle 10A in eine dezimale Form um 16 Lösung: Wandle die hexadezimale Potenz von 1016 in eine dezimale Potenz von 1610 um: lO 16 t (1610) Dann wandle die dezimale Potenz von 161o in eine dezimale Potenz von 1010 mit Hilfe folgender Beziehung um: 16n1o I 10n1L0d, mit Ld I log1016 1 1,2041210 Das Symbol Ld, das die Umwandlung ins Dezimale anzeigt, findet sich als besonderer Index und ist mit Ld bei 41 auf dem C- und CI-Skalen bezeichnet. So ist 161010 = 101010Ld = 101012.0412 Eine Umwandlung liefert 101012,0412 = 101012 x 10100,0412.
  • Die Potenz von 1010 mit dem Bruch im Exponenten wird umgewandelt, indem der Bruch auf der L-Skala eingestellt und sein Antilogarithmus auf der C-Skala abgelesen wird, ein Verfahren, das aus dem Umgang -mit bekannten Dezimal-Rechenschiebern geläufig ist. So wird 100,0412 @ 1 1 und 10 = 1,1 und 10A = (1 1 x 1012) 16 (1,1 1O Die vorstehend ausgeführte Umwandlung ist etwas umständlich, aber man. bedenke, daß die Umwandlung nahezu unmöglich auszuführen ist, wenn man die Hilfe des erfindungsgemäßen Rechengerätes oder einen Digitalrechner nicht zur Verfügung hat, da Umwandlungstafeln für hexadezimale Zahlen in Dezimalzahlen und umgekehrt nicht vorhanden sind.
  • Das erfindungsgemäße Rechengerät ist weiterhin mit Skalen zur schnellen Umwandlung von hexadezimalen Potenzen von 1016 direkt in ihre dezimale Äquivalente versehen. Eine bevorzugte Ausführungsform umfaßt eine erste Skala für hexadezimale Potenzen von 10 mit einer Bezeichnung 16S bei 42 und eine. zweite Skala mit einer Bezeichnung 16S1 bei 43., Diese Skalen sind, wie dargestellt, die innersten Skalen auf der Vorderseite des Grundkörpers 10. Die Skalen bestehen aus zwei Reihen von Zahlen, die hexadezimale Potenzen der Dezimalzahl 16, d.h. der hexadezimalen Zahl 10, darstellen.
  • Diese Zahlen erscheinen auf der 16S- und der 16S1-Skala entsprechend den hexadezimalen Exponenten M der Werte 1016@M wobei M eine hexadezimale ganze Zahl bedeutet Eine bevorzugte Ausführungsform dieser Skala umfaßt eine erste Reihe von positiven hexadezimalen "Einern" 1, 2, 3, .4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F auf der 16S-Skala; sowie eine zweite Reihe von hexadezimlen"Zehnern" 10, 20., 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, AO, BO, CO, DO, EO und FO auf der 16S1-Skala. Positive hexadezimale Potenzen von 1016 werden in ihre deziialen Äquivalente mit Hilfe der 16S- und 1651-Skalen in Verbindung mit der gewöhnlichen Dezimalskala C umgewandelt; negative Hexadezimalpotenzen von 1016 werden in ihre dezimalen Äquivalente mit Hilfe der 165- und 16S1-Skalen in Verbindung mit der CI-Skala umgewandelt. So ist, mit dem vorstehenden Beispiel, das dezimale Äquivalent von 10A16 1,1 x 1010, das sofort durch Einstellen der Haarlinie über A auf der 16S-Skala und Ablesen der signifikanten Ziffern unter der Haarlinie ruf der C-Skala (d.h. 1,1) besticabar ist.
  • Die Indices der 16S-Skala werden vorzugsweise durch drei Zahlen ausgezeichnet: Eine die hexadezimale Potenz von 10 anzeigende Radialzahl, eine positive Zahl entsprechend. der positiven Potenz von .10 (dezimal), dis der Zahl auf der C-Skala entspricht, und eine negative Zahl entsprechend der negativen Potenz von 10 (dezimal) die der Zahl Auf der CI-Skala entspricht.
  • Die von der C- oder CI-Skala abgelesenen Zahlen reprärentieren die Zahlen zwischen 1 und 1010 (dezimal). In der vorstehenden Ausführungsform wird daher das Symbol 12 A13 auf die folgende Weiseinterpretiert: A ist eine Hexadezimalzahl äquivalent zur dezimalen 10 und repräsentiert die positive oder negative hexadezimale Potenz von 1016, deren Dezimaläquivalent gesucht ist.
  • Der Trennungsstrich repräsentiert die entsprechende Indexmarke, über die die Haarlinie des Läufers gesetzt wird. Die ganze Zahl 12 entspricht der positiven Potenz von lOio , mit der der Faktor auf der C-Skala multipliziert werdern muß, um das richtige Endergebnis zu liefern, falls 1016A gesucht ist. Die ganze Zahl -13 entspricht der negativen Potenz von 1010, mit der der Faktor auf der CI-Skala multipliziert werden muß, un das richtige Ergebnis zu liefern, wenn 10 A16 gesucht ist. Wenn die Haar linie des Läufers über das Beispielsymbol gestellt wird, dann ergibt sich an der gleichen Winkelstellung der C-Skala sofort das Ergebnis 1016A = 1,1 x 101012.
  • In ähnlicher Weise ergibt die CI-Skala das Ergebnis 10 16 = 9,07 x 1010-13.
  • Jede hexadezimale Potenz von 10 zwischen den Zahlen 10-FF und 10FF (unter Einschluß der Grenzen) wird 16 mit Hilfe der 16S-Skala in ihre dezimale Form umgewandelt, da jede derartige Zahl als Faktoren dargestellt werden kann, von denen jeder auf der Skala erscheint. So ist beispielsweise 101644 = 101640 x 10164.
  • Dieses Produkt kann, wie bereits beschrieben, berechnet werden, und zwar über die Indices 40 und 4 auf der 16S- und 16S1-Skala. Das Produkt der Ergebnisse wird dann wie vor beschrieben mit Hilfe der C-Skala berechnet. Alternativ kann eine Zahl, die auf den 16S-Skalen nicht erscheint, beispielsweise 101644, in ihr Dezimaläquivalent dadurch umgewandelt werden, daß entsprechend ihren Faktoren, also 40 16 und 1016, Intervalle auf den 16S-Skalen addiert und das Ergebnis auf der C-Skala abgelesen wird. Für negative Potenzen von 10 werden die Ergebnisse auf der CI-Skala abgelesen.
  • Die Winkelposition Y der hexadezimalen Potenz von M bezüglich des Skalenindex o bei 44 der 165-Skala werden aus der folgenden Beziehung bestimmt: Y0 . 3600 (Mantisse von (logíOX)), wobei X die Dezimaldarstellung von 1016M ist und M eine positive hexadezimale, ganze Zahl darstellt.
  • So ergibt sich für die hexadezimale Potenz auf der 16S-Skala X = 1016² = 25610 sowie die Stelle Y 1 3600 (Mantisse von (log10(25610))) 1 3600 (Mantisse von (2 + 0,408)) 1 3600(0,408) 1 147,2° in Uhrzeigerrichtung vom Index 0 aus. Wenn der Faktor 3600 in der vorstehenden Gleichung durch L ersetzt wird, wo L die Länge einer linearen Ausführungsform der Erfindung ist, dann entspricht der Faktor Y den Entfernungen der zugehörigen Indices vom Anfang der Skala in dieser Ausführungsform. In entsprechender Weise sind die Winkel lagen Y der negativen hexadezimalen Potenzen bezüglich des Skalenindex durch die obige Beziehung berechenbar, ihre dezimalen Äquivalente sind jedoch auf der CI-Skala abzulesen.
  • Auf der Rückseite 22 des Grundkörpers 10 sind eine Reihe von nach innen zu konvergierende, kreisförmige Skalen angeordnet, beginnend mit einer äußeren hexadezimalen Skala mit der Bezeichnung CH bei 45. Daran schließt sich nach innen eine spiralige dezimale Umwandlungsskala mit mehreren Bezeichnungen DM an, wo M vorzugsweise eine Zahl zwischen -3 und +4, einschließlich der 0, bedeutet. Die dezimalen Umwandlungsskalen umfassen: D4 -Skala: Dezimalzahlen 16³ = 4096 und 164 = 65536 zwischen D3 -Skala: Dezimalzahlen zwischen 16² = 256 und 16³ = 4096 D2 -Skala: Dezimalzahlen zwischen 16¹ und 16² = 256 D1 -Skala: Dezimalzahlen zwischen 16 und 16 DO -Skala: Dezimalzahlen zwischen 16-1 = 0,625 und 16° D-1-Skala: Dezimalzahlen zwischen 16-2 = 0,00390625 und 16¹ D-2-Skala: Dezimalzahlen -3 -4 zwischen 16 @ - 2,44140625 x 10 @ und 16 D-3-Skala: Dezimalzahlen zwischen 16 . 1s51587890625 x 10 35 und 16 Die spiraligen D-Skalen ermöglichen es, daß Hexadezimalzahlen vorzugsweise zwischen 104 und 10-4 dezimalzahlen, vorzugsweise zwischen 104 und 10 schnell in ihre dezimalen Äquivalente umgewandelt werden können. umgekehrt können die Skalen dazu dienen, die Dezimalzahlen, vorzugsweise zwischen 164 und 16-4 -in ihre hexadezimalen Äquivalente umzuwandeln. Die Winkelpositionen Y der Dezimalzahlen X mit 16°#X<16M ergeben sich bezüglich eines bestimmten DM-Skalenindex' durch die folgende Gleichung: Y° = 360° (Bruchteil von ((log10X)(log1610))).
  • Jede derartige Dezimalzahl liegt im Bereich einer D-Skala. X wird auf der DM-Skala gefunden, wenn X zwischen 16M-110 und 1610M liegt. Wenn also X die Dezimalzahl 20 ist, die zwischen 161 und 162 (d.h.
  • M - 2) liegt, dann ergibt sich die Zahl 20 auf der D2-Skala. Die Winkelposition Y von 20 bezüglich des DO-Skalenindex' "1" ist aus obiger Gleichung bestimmbar.
  • D.h.
  • Y . 3600 (Bruchteil von ((log1020)(log1610))) = 360° (Bruchteil von ((1,30103)(0,8305))) = 360° (Bruchteil von (1,081)) =. 3600 (0,081) - 29,150 Die Dezimalzahl 20 liegt also bei -29,150 im Uhrzeigersinn vom DO-Skalenindex ausgehend.
  • In ähnlicher Weise ergeben sich die relativen Lagen der Dezimalzahlen: jX mit 16-M<X#16° bezüglich eines bestimmten gebrochenen D-Skalenindex' aus der folgenden Beziehung: Y = 360° (positiver Bruchteil von ((log10X) (log1610))) Jede. derartige gebrochene Dezimalzahl x liegt im Bereich einer gebrochenen D-Skala. X ergibt sich auf der D-M-Skala, wenn 16M-1<X#16M ist, wobei M eine negative ganze Zahl und 0 bedeutet. Wenn X ein Dezimalbruch 0,003 ist, der zwischen 16'2 und 16-3 @ (d.h.-M 1 -2) liegt, dann ergibt sich die Zahl 0,003 auf der D-2-Skala.
  • Die Winkelposition Y von 0,003 bezüglich des DO-Skalenindex' "1" ist aus der vorstehenden Gleichung wie folgt berechenbar: Y = 360 3600 (positiver Bruchteil von (log100,003)(log1610))) Y = 360° (positiver Bruchteil von ((-2,5229)(0,8305))) Y = 360° (positiver Bruchteil von (-2,098)).
  • Der positive Bruchteil von (-2,098) ist gleich dem positiven Bruchteil von (-3 + 0,902), was gleich 0,902 ist. Daher wird Y = 3600 (0,902) = 32.50 in Uhrzeigerrichtung vom Index der D-3-Skala aus.
  • In den vorstehenden Gleichungen kann der Faktor 3600 durch L ersetzt werden, das die Länge der linearen Ausführungsform des erfindungsgemäßen Rechengerätes bedeutet.
  • Um eine Hexadezimalzahl X in ihr dezimales Äquivalent umzuwandeln, wird sie auf der CH-Skala eingestellt und ihr dezimales Äquivalent auf der DM-Skala abgelesen.
  • Vorzugsweise sollte eine hexadezimale Zahl, ehe sie in die Dezimalzahl umgewandelt wird, als ein Bruch zwischen O,116 und 1,0 mal einer ganzzahligen Potenz von 1016 ausgedrückt werden. Der Exponent des letzten Faktors wird dann die geeignete DM-Skala bezeichnen.
  • Beispiel (J): Wandle 6C816 in die Dezimalform um.
  • Lösung: 6C816 - 0,6C816 x 1016³ Der Exponent "3" von 1016 zeigt an, daß das Ergebnis auf der D3-Skala abgelesen wird. Stelle die Haarlinie eines der beiden Arme auf 6C8 auf der CH-Skala und lies 1738 auf der D3-Skala ab.
  • Daher ist 6C816 = 173810.
  • Die erfindungsgemäßen D-Skalen dienen weiterhin der Umwandlung von Dezimalzahlen vorzugsweise im Intervall zwischen 65536 und 1,525 x 10-5 5 in ihre hexadezinalen Äquivalente, indem die Haarlinie des Armes 24 auf dem entsprechenden Wert auf der D-Skala eingestellt und der äquivalente hexadezimale Wert auf der CH-Skala abgelesen wird, wobei das hexadezimale Komma vor der ersten signifikanten Ziffer festgehalten wird. Der richtige hexadezimale Exponent wird aus der Bezeichnung der D-Skala gewonnen.
  • Beispiel (K): Wandle 2 x 1010-4 in die hexadezimale Form um.
  • Lösung: Stelle die Haarlinie eines der beiden Arne auf 0,0002 auf der D-3-Skala und lies das Ergebnis auf der CH-Skala ab, d.h.
  • 2 x 1010-4 ' 0,D1B16 x Der Exponent "-3" von 1016 wird aus der Bezeichnung der D-3-Skala gewonnen.
  • Alle hexadezimalen oder dezimalen Brüche zwischen etwa 0,01 und 1,0 können alternativ in du andere Zahlensystem mit Hilfe der L- und LH-Skalen auf der Vorderseite des Rechengerätes umqewandelt werden.
  • Wenn also die Haarlinie eines der beiden Anzeigearme auf einen hexadezimalen Bruch auf der LH-Skala gestellt wird, dann ergibt sich sofort dessen dezimal es Äquivalent auf der L-Skala, und umgekehrt.
  • Die D-Skalen des erfindungsgemäßen Rechengerätes werden in Verbindung mit der 16S-Skala benutzt, um hexadezimale Gleitkommazahlen in- Dezimalzahlen umzuwandeln.
  • Beispiel (L): Wandle 0,6A816 x 1016F in sein dezimales Äquivalent um.
  • Lösung: Zunächst wandle 0,6A816 mit den D-Skalen in Verbindung mit der CH-Skala bzw. der LH-Skala in Verbindung mit der L-Skala in die Dezimalform um (wie oben)s 0,6A816 = 0,41610 Danach wandle 1016F mit Hilfe der 16S-Skala und der C-Skala in die Dezimalform um (wie oben 1016F = 1,153 x 101018 Schließlich multipliziere mit den Läufer 12 und 14 in Verbindung mit der C-Skala, so daß sich ergibt 0,41610 x 1,15310 x 101018 = 0,48010 x 101810 damit wird..
  • 0,6A816 x 1016F = 0,48010 x 101018 In ähnlicher Weise wird eine dezimale Gleitkommazahl in ihrve hexadezimale Form umgewandelt Beispiel (M): Wandle 0,5610 x 101015 in sein hexadezimales Äquivalent um.
  • Lösung: Mit der 16S-Skala in Verbindung mit der CI-Skala wandle zunächst den Faktor 101015 in sein hexadezimales Äquivalent um 15 4,5 x 101015 = 1016D (aus dem D --16 Symbol der 16S-Skala) 101015 = 0,221810 x 1016D Umformen und Multiplizieren liefert: 0,5610 x 0,221810 x 1016D = 0,124310 x 1016D.
  • Schließlich wird der Faktor 0,1243 mit der D0- und CH-Skala in seine hexadezimale Form umgewandelt: 0,5610 x 101015 = 0,1F9816 x 1016D.
  • Man' bedenke, daß die CH-Skal.a in Verbindung mit den D-Skalen auf der Rückseite 22 des erfindungsgemäßen Rechners ein schnelles Hilfsmittel zur Ausführung hexadezimaler oder dezimaler Multiplikationen und Divisionen sowie von Umwandlungen der Ergebnisse in das entgegengesetzte Zahlensystem darstellen. Beispiel weise können dezimale Festpunktmultiplikationen und Devisionen mit den Schieberarmen 23 und 24 in Verbindung mit den dezimalen Umwandlungsskalen ausgeführt werden. Das sich ergebende Dezimalergebnis wird dann mit der CH-Skala in sein hexadezimales Äquivalent umgeformt. Umgekehrt kann die Multiplikation und Division von Hexadezimalzahlen mit der CH-Skala ausgeführt werden. Das Ergebnis wird schnell in seine dezimale Darstellung mit Hilfe der dezimalen Umwandlungsskalen umgewandelt.
  • Das erfindungsgemäße Rechengerät umfaßt also einen Grundkörper, der im allgemeinen mehrere unterteilte Skalen trägt, wie eine mit den Skalen zusammenarbeitgende Schiebevorrichtung, mit der verschiedenartige Berechnungen ausgeführt werden können. Die Skalen sind einerseits entsprechend den Hexadezimalzahlen, andererseits entsprechend den Dezimalzahlen unterteilt, so daß übliche arithmetische und algebraische Rechenoperationen sowohl im Hexadezimal- als auch im Dezimalsystem, sowie Umwandlungen zwischen diesen Systemen ausgeführt werden können.
  • Die Merkmale der Erfindung worden bei der nachfolgenden Beschreibung eines weiteren Ausf(ihrungsbeispiels, bei der auf die beigefügten Zeichnungen Bezug genonen wird, im einzelnen noch erläutert.
  • Es zeigen: Fig. la eine Draufsicht auf die Vorderseite eines scheibenförmig ausgebildeten Rechners mit einer Oktalskala, einer reziproken, einer quadratischen und einer logarithaischen Oktalskala, sowie Skalen zu Oktalpotenzen von zwei in Kombination mit Dezimalskalen, die gewöhnlich bei bekannten Rechenschiebern benutzt werden; und Fig. 2a eine Draufsicht auf die Rückseite des Rechners nach Fig. 1 mitOktalskalen, Oktal-Normalisierungsskalen und Dezimal-Umwandlungsskalen.
  • Die in den Figuren dargestellte bevorzugte Ausführungsform des erfindungsgemäßen Rechners besteht aus einem ebenen, kreisförmigen Grundkörper 10 mit einer Vorderseite 11' und zwei Läuferarmen 12' und 14', die in der Mitte der Scheibe befestigt sind. Die Arme 12 und 14 bestehen vorzungsweise aus dünnem, durchsichtigen Plastik und sind jeweils in ihrer Mitte mit je~einer radial nach außen weisenden Haarlinie 16 und 18 versehen Die Lduferarme sind über eine von außen zugängliche Schraube 20 mit der Mitte des Grundkörpers 10' verbunden, wobei sich die Schraube 201 durch Öffnungen in den Läuferarmen unddurch ein mittiges Loch im Grundkörper erstreckt und. Mit einem von der Rückseite 22 des Grundkörpers lot her aufschraubbaren Befestigungsteil 21' im Eingriff steht. Zwei ähnlich aufgebaute Läuferarme 23 und 24 sind jeweils mit einer mittigen, radial nach außen verlaufenden Haarlinie 25' bzw. 26 versehen und an der Mitte der Rückseit 22' befestigt. Die Läuferarme 12', 14', 23' und 24' sind relativ zum Grundkörper 10' beweglich. Läuferarm 12' ist vorzugsweise um ein geringes länger als Arm 14 1und liegt näher an der Vorderfläche 11' des Grundkörpers 10' als der Arm 14', der den Arm 12' überstreichen kann. Die Arme 12' und 14 bewegen sich als Ganzes gemeinsam, wenn der Arm 12 gedreht wird, jedoch bleibt Arm 12 stehen, wenn der Arm 14 bewegt wird. In entsprechender Weise ist der Läuferarm 23 länger als der Arm 24'und liegt näher an der Rückseite 22 als der Arm 24, der den Ar 23 1überstreichen kann. Die Arme 23'und 24 bewegen sich auf einer Einheit, wenn der Arm 23 gedreht wird, jedoch bleibt Arm 23 stehen, wenn der Arm 24 bewegt wird.
  • In Fig. hisind mehrere, nach innen zu konvergierende konzentrische Skalen entsprechend den Merkmalen der Erfindung auf der Vorderseite 11' des Grundkörpers 10 angebracht. Während diese Anordnung der Skalen von den Erfordernissen der praktischen Benutzung her besonders bevorzugt werden, sind die Merkmale der Erfindung ohne weiteres auch auf Rechenstäbe oder dergl. anwendbar. Gemäß Fig. laist eine Kreisskala auf oktaler Basis bei 27 mit der Bezeichnung CO versehen und liegt ganz am äußeren Rande des Grundkörpers 10.
  • Die CO-Skala ist entsprechend den oktalen Logarithmen der Oktalzahlen Von 1 bis 10 unterteilt. Die Skala erstreckt sich über die vollen 3600 des Grund körpers lOf Anfang (18) und Ende(108) der Skala sind durch die Ziffer 1 bei 28 bezeichnet. Die CO-Skala ist in sieben primäre Segmente durch Indices unterteilt, die die sieben Oktalzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7 repräsentieren. Jedes dieser Segmente ist vorzugsweise in acht Sekundärsegmente unterteilt, die den möglichen zweiten Oktalziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und 0 entsprechen. Jedes dieser Segmente ist weiter in kleinere Abschnitte unterteilt. Die Stelle einer dreizifferigen Zahl wird auf der CO-Skala durch Interpolation in dem Oktalzahisystem bestimmt. Daher liegt die Oktalzahl 64.4 ungefähr in der Mitte zwischen den Indices 64.0 und 65.0.
  • Die Winkellage Y der CO-Skalenindices (ausgedrückt in den den vertrauten Dezimalgraden) ergeben sich aus der Formel Y0 = 360° (log10X) (log810), in der X eine reelle Dezimalzahl zwischen 1 und 8 entsprechend einer Oktalzahl zwischen 1 und 10e andeutet. Die Oktalzahl 108 ist äquivalent der Dezimalzahl 8. Entsprechend jedem Wert von X, dessen Indexstelle Y gesucht wird, gibt es eine Benennung # Diese Benennung ist der Oktalwerttder der Dezimaiwert x entspricht So ergibt sich beispielsweise X (Dezimal) # (Oktal) 1 1 1,93 1.734 2 2 3,5 3.4 7,25 7.20 Y repräsentiert die Winkelverschiebung der Zahl X (deren Oktaldarstellung # ist) von dem CO-Skalenindex in Dezimalgraden. Wenn der Faktor 360° L ersetzt wird, wobei L die Gesamtlänge einer linearen CO-Skala in cm ist, dann ergibt sich Y = L (log10X) (log810); Daraus ergibt sich die Entfernung Y eines bestimmten Dezimalwertes X (dessen Oktaläquivalent § ist) vom Ursprung einer linearen Ausführung des erfindungsgemäßen Rechners.
  • Die CO-Skala wird hauptsächlich für die Ausführung von Multiplikationen und Divisionen auf oktaler Basis benutzt. Die Multiplikation der zwei Zahlen A und B wird ausgeführt, indem zuerst die Haarlinie 16' des Läuferarms 12' auf A der CO-Skala, dann die Haarlinie 18 des Läuferarmes 14 auf den Index 1 der gleichen Skala eingestellt werden. Dann wird die Haarlinie des. Läuferarmes 12 -solange bewegt, bis die Haarlinie des Armes 14 bei B steht. Das Ergebnis erscheint unter der Haarlinie des Armes 12 auf der gleichen Skala.
  • Beispiel (A): Berechne ungefähr 158 x58 Lösung: Stelle Haar linie des Läuferarmes 12 auf 15 der CO-Skala; bringe die Haarlinie des Armes 14' über den Index 1 der CO-Skala; drehe Arm 12, bis die Haarlinie des Armes 14 über der 5 der CO-Skala steht; lies.unter-der Haarlinie des Armes 12' auf der CO-Skala ab 101.
  • Also ist 158 x 58 = 1018.
  • Man bedenke, daß die Lösung dieser einfachen Aufgabe. relativ schwierig und zeitaufwendig ist, wenn man sie ohne Hilfe des erfindungsgemäßen Rechners ausführen will, da ihre Lösung die Vertrautheit mit der oktalen Multiplikationstafel erfordert:
    X 1 2 3 4 5 6 7 10
    1 1 2 3 4 5. 6 7 10
    2 2 4 6 10 12 14 16 20
    3 3 6 11 14 17 22 25 30
    4 4 10 14 20 24 30 34 40
    5 5 12 17 24 31 36 43 50
    6 6 14 22 30 36 44 52 60
    7 7 16 25 34 43 52 61 70
    10 10 20 30 40 50 60 70 100
    Mit dieser Tabelle werden die Zwischenprodukte ausgerechnet und die nachfolgende oktale Additionstabelle
    + 1 2 3 4 5 6 7 10
    1 2 3 4 -5 6 7 10 11
    2 3 4 5 6 7 10 11 12
    3 4 5 6 7 10 11 12 13
    4 5 6 7 10 11 12 13 14
    5 6 7 10 11 12 13 14 15
    6 7 10 11 12 13 14 15 16
    7 7 10 11 12 13 14 15 16 17
    10 11 12 13 14 15 16 17 20
    dient zum Übertrag und Addierten der Oktalzahlen.
  • Die oktale Division A : B wird ausgeführt; indem die Haar linie 16 des Läufer armes 12 auf A auf der CO-Skala und die Haarlinie 18 des Armes 16 auf B auf der CO-Skala eingestellt werden. Dann wird der Arm 12/ gedreht, bis die Haarlinie des Armes 14'über dem Index 1 der CO-Skala steht. Das Ergebnis erscheint unter der Haarlinie des Armes 12 auf der CO-Skala.
  • Beispiel (B): Berechne ungefähr 7628 : 2548 Lösung: Stelle die Haarlinie des Armes 12' auf t über 762 und die Haarlinie des Armes 14 über 254, jeweils auf der CO-Skala; drehe den Arm 12 bis die Haarlinie des Armes 14 über der 1 steht; unter der Haarlinie des Armes 12 auf der CO-Skala lies ab 272. Die sich ergebende dreizifferige Zahl erfordert die Bestimmung des richtigen Oktalpunktes. So ist beispielsweise 7.628 : 2548 = 2.728 x 108-2; oder 768 : 0.2548 = 2.728 x 108³.
  • Man bedenke, daß selbst einfache Divisionen eine au4erordentlich schwierige Aufgabe in dem wenig vertrauten Oktalsystem darstellt, wenn sie manuell ausgeführt werden soll. Diese Lösung erfordert dann das Über tragen und die Subtraktion von Zahlen im Oktalsystem und den dauernden Rückbezug auf die vorstehende Multiplikationstabelle, und das selbst für den besten Mathematiker.
  • Eine kreisförmige reziproke Oktalskala mit der Bezedichnung CIO bei 29' schließt an die CO-Skala nach innen zu an. Die CIO-Skala ist in der gleichen Weise unterteilt wie die CO-Skala, lediglich in. umgekehrter Richtung Die Oktalzahlen 1 bis 108 sind also im logarithmisch aufsteigender Folge im Gegensinn des Uhrzeigers längs der Skala abgetragen. Jede Zahl auf CO-Skala ist das Reziproke der entsprechenden Zahl auf der CO-Skala. Die CIO-Skala dient daher zur Berechnung der oktln Reziproke gegebener Oktalzahlen, sowie zur Ausführung oktaler Multiplikationen auf andere als die oben für die CO-Skala beschriebene Weise. piese Skala ist insbesondere zur Ausführung mehrfacher Operationen nützlich, die mehrere Multiplikationen oder Divisionen beinhalten. Beispielsweise wird das Produkt der. drei Zahlen A, x B x C ae einfchsten,durch die Behandlung als (A t 1/B) x C berechnet. Diese Aufgabe wird gelöst, indem der Läuferas 12/über A auf der CO-Skala und der Arm 14'über B auf der CIO-Skala gestellt werden. Wenn der Arm 12 jetzt so weit gedreht wird, bis der Arm 14 über der Ziffer 1 steht, dann würde das Produkt A x B unter dem Arm 12 auf der CO-Skala erscheinen. Stattdessen wird jedoch der Arm 12 solange bewegt, bis der Arm 14 über C auf der CO-Skala steht. Das Ergebnis wird unter dem Arm 12 auf der CO-Skala abgelesen.
  • Beispiel (C): Berechne 28 x 38 x 48 Lösung Stelle die Haarlinie 16' des Armes 12 über die 2 auf der CO-Skala; stelle die Haarlinie 18' des Armes 14'über die 3 auf der Co-Skala; drehe den Arm 12, bis die Haarlinie des Armes 14'über der 4 auf der CO-Skala steht; lese das Ergebnis unter dem Arm 12' auf der~ CO-Skala ab. Daher ist 28 x 38 x 48 = 30.
  • Eine oktale Quadratskala mit der Bezeichnung AO bei 30'schließt nach innen zu an die CIO-Skala an. Die 3600 lange AO-Skala umfaßt zwei aufeinanderfolgende CO-Skalen. Die Oktalzahlen der AO-Skala entsprechen den Ziffern, die nach Quadrieren der an der gleichen Radialstelle auf der CO-Skala angegebenen Zahl crhalten werden. Der Index 1 der AO-Skala ist auf die Indices der CO-und CIO-Skalen ausgerichtet; die Winkelsteilungen Y und Y' der Dezimalzahlen X, die den Oktalbezeichnungen § mit Bezug auf den Index der AO-Skala entsprechen, sind durch die folgenden Beziehungen gegeben: yo = 1800 (loglOX) (log810) Y°' = 180° (1+(log10X) (log810)) Die oktaldarsteliung jeder Zahl X erscheint zweimal auf der AO-Skala und die beiden Stellen liegen um 1800, auseinander. Wenn die Faktoren 1800 durch die halbe Länge L (d.h. L/2) eines mit den Merkmalen dieseiErfindung ausgestatteten Rechenstabes ersetzt werden, dann entsprechen die Faktoren Y und Y' den Abständen der entsprechenden Indices vom Ursprung des Rechenstabes. Die Quadrate der Oktalzahlen auf der CO-Skala werden an-der gleichen Radialstellung auf der AO-Skala gefunden.
  • Beispiel (D) Berechne ungefähr (258)2 Lösung: Stelle die Haarlinie 16 des Armes 12 über 25 auf der CO-Skala und lese auf der AO-Skala 671 ab. Daher ist 258 x 258 = 671.
  • Auf ähnliche Weise lassen sich die Quadratwurzeln der Oktalzahlen auf der AO-Skala an der gleichen Radialstellung auf der CO-Skala finden. Man muß jedoch dafür Sorge tragen, daß die Anfangszahl auf dem richtigen Abschnitt der AO-Skala eingestellt wird. Dies geschieht dadurch, daß jede Zahl, deren Quadratwurzel berechnet werden soll, in eine Zahl zwischen und 1008 mal einer geradzahligen Potenz von 108 ausgedrückt wird, was eine durchaus übliche Operation darstellt, die von der entsprechenden Operation bei den Rechenschieberm auf Dezimalbasis bekannt ist. Wenn nach dem Herausziehen der geradzahligen Potenz von 108 der Restfaktor zwischen 1 und 108 liegt, dann wird die Zahl im ersten Abschnitt der AO-Skala eingestellt.
  • Wenn der Restfaktor dagegen zwischen 108 und log liegt, dann wird die Zahl im zweiten Abschnitt der AO-Skala- eingestellt.
  • Beispiel (E): Berechne Lösung: Forme um
    ungefähr
    10 6.718 x 10ffi|2 | l°8 i 6.718 718
    Stelle die Haarlinie 16' des Armes 12 {lber 671 der AO-Skala und lese unter der Haarlinie des Armes 12 auf der CO-Skala das Ergebnis 250 ab. Daher ist Eine logarithmische Oktalskala mit der Bezeichnung LO bei 32'schließt sich nach innen an die AO-Skala an.
  • Die LO-Skala ist eine linear unterteilte Skala der Oktalbrüche zwischen 0 und 1.0. Die Mantissen der Oktallogarithmen der CO-Skalenzahlen werden - an der gleichen Radialstelle auf dieser Skala gefunden. Die Skala ist in acht größere Segmente gleicher Länge durch Indices unterteilt, die den Oktalbrüchen zwischen 0 und 1.0 entsprechen. Der Ursprung der Skala beginnt mit dem Index O bei 33, der auf die Indices der CO, CIO und AO Skalen ausgerichtet ist. Die Winkelposition Y einer Dezimalzahl X, deren Oktaldarstellung mit Bezug auf den Index der LO-Skala # ist, wird durch die folgende Beziehung festgelegt für 0 # X < 8, Y = 45°X Wenn der Faktor 45° durch L/4 ersetzt wird, wobei L die Länge eines Rechenstabes ist, dann entspricht Y dem Abstand des entsprechenden Index' vor Ursprung dieses Rechenstabes.
  • Die LO-Skala dient zur Berechnung der Oktalmantissen der Zahlen aus der CO-Skala. Zum Aufsuchen des Logarithmus einer Oktalzahl sollte diese Zahl zuerst als eine Ziffer zwischen 1 und 108 mal einer ganzzahligen Potenz von 108 ausgedrückt werden. Die Mantisse (ein positiver Bruch zwischen 0 und 1) wird gefunden, indem die Zahl auf der CO-Skala eingestellt und die Mantisse auf der LO-Skala abgelesen wird.
  • Beispiel (F): Berechne log8 (4148) Lösung: log8(4148) = log8(4.148 x 108²) = log8(4.148) + log8(10 ²) 8 - log8(4.148) + 2 Stelle die Haarlinie 16 des Armes 12 über 414 auf der CO-Skala und lese unter der Haarlinie des Armes 12 auf der LOw Skala ab 0.5404. Daher ist log8(4148) - 0.54048 + 2 æ 2.54048.
  • Das Potenzieren der Oktalzahlen geschieht mit der LO-Skala in Verbindung mit der CO 0 Skala. Zur Berechnung einer Größe X - ab bemerke man, daß log X . b log a ist. Wenn zur abkürzenden Schreibweise für das Folgende der Ausdruck "antilog" als Bezeichnung dafür genommen wird, daß von dem gegebenenfalls in Klammern hinter ihm stehenden Ausdruck der Numerus gebildet bzw. er delogarthmiert werden soll, dann kann vorstehende Bezichung aufgelöst werden in die Form X = antilog (b log a).
  • Das einfachste Verfahren zur Berechnung'Yon X X besteht darin, den Logarithmus von a mit b zu multiplizieren und das Ergebnis zu delogarithmieren.
  • Beispiel (G): Berechne 778 oktal Lösung: log 77 = log8 (7.7 x 108) - 1.0 + log8(7.7 log8 (7.7)= 0.77 (über die CO und LO Skalen) log8 77 = 1.744 Über die CO-Skala ergibt sich die oktale Multiplikation 1.7748 x #8 = 6.2058 Damit wird 778# = antilog (6.2058) = (antilog8 0.205) @ 106 s 1.5578 x 1086 Obgleich es den Anschein hat, als ob vorstehende Berechnung etwas beschwerlich wäre, sollte man bedenken, daß die oktale Potentierung äußerst schwierig mit konventionellen Mitteln -auszufUhren ist, Lnsbesondere wenn man ohne oktale Logarithmentafeln auskommen soll, die, soweit bekannt, zur Zeit noch nicht existieren.
  • Die Vorderseite 11 des Grundkörpers 10 weist weiterhin eine Reihe von konrentionellen kreisförmigen Skalen auf Dezimalbasis auf; die sich von den vorstehend be schriebenen Oktalskalen weiter nach innen zu erstrecken.
  • Eine dezimale Standard-Skala mit der Bezeichnung C bei 34 schließt sich nach innen an die LO-Skala an; ein; reziproke Dezimalskala mit der Bezeichnung CI bei 36 schließt sich an die C-Skala.an; eine dezimale Quadratskala mit der Bezeichnung A bei 38 folgt der CI-Skala nach innen; schließlich ist noch eine dezimale Logarithmenskala mit der Bezeichnung L bei 40 an die A-Skala nach innen anschließend vorgesehen.
  • Die am weitesten innen liegenden Skalen auf der Vorderseite 11' des Grundkörpers 10' bestehen aus einer Reihe von Skalen zur schnellen Umwandlung der oktalen Potenzen von 2 in ihre dezimalen Äquivalente. Die auf der Skala erscheinenden Zahlen repräsentieren die oktalen Potenzen M des Wertes (2M)8. Eine bevorzugte Ausführungsform zeigt eine erste äußerste oktale Potenzskala mit der Bezeichnung 2S bei 41 und einem Index am Ursprung O bei 42, eine zweite Skala mit der Bezeichnung 251 bei 43 und eine dritte Skala mit der Bezeichnung 2S2 bei 44.
  • Die 2S-Skala enthält eine Reihe von Oktaleinheiten 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; die 2S1-Skala enthält eine Reihe von oktalen Zehnern 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70; und die 2S2-Skala enthält eine Reihe von oktalen Hundertern 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700. Die oktalen Potenzen von 2 werden in ihre dezimale Äquivalente umgewandelt mit Hilfe der zwei S-Skalen in Verbindung mit den Dezimalskalen C-und CI. So wird eine Oktalpotenz von 2 zwischen den Zahlen 2-777 und 2777(unter Einschluß der Grenzen) in ihre Dezimalform umgewandelt, da jede derartige Zahl Faktoren repräsentieren kann, von denen jeder einzeln auf den 2S-Skalen auftritt.
  • So ist beispielsweise 244 240 x 24. Dieses Produkt kann wie vor beschrieben berechnet werden, indem die 40 und 4 entsprechenden Indices auf den 2S-Skalen benutzt werden. Das Produkt der sich ergebenden Werte wird dann wie vor beschrieben mit Hilfe der C-Skala berechnet. Alternativ kann eine auf den 2S-Skalen nicht auftretende Zahl, beispielsweise, in ihr Dezimaläquivalent durch Addition der ihren Faktoren (beispielsweise 240 und 24) auf den 2S-Skalen entsprechenden Intervallen und Ablesen des Ergebnisses auf der C-Skala umgewandelt werden. Für negative Potenzen von 2 werden die dezimalen Äquivalente auf der CI-Skala abgelesen.
  • Die Winkelposition Y der oktalen Potenz M mit Bezug auf den OS-Skalenindex 0 kann über die folgende Bezug ziehung bestimmt werden: Y° = 3600 (Mantisse von (log1OX)), wobei X die Dezimaldarstellung von 2M ist und M eine positive ganze Oktalzahl darstellt.
  • So ergibt sich für die Oktalpotenz 3 auf der 25-Skala.
  • X = 2³ 8 8 und die Stelle Y = 360° (0.90309) - 325.110 in Uhrzeigerrichtung vom Index 0 aus. In entsprechender Weise sind die. Winkelpositionen Y der negativen Oktalpotenzen bezüglich des Skalenindex' durch die oben angegebene Beziehung berechenbar, jedoch ist das Ergebnis auf der CI-Skala abzulesen.
  • Wenn der Faktor 3600 in der vorstehenden Gleichung durch L ersetzt wird, wobei L wleder die Länge eines Rechenstabes oder dergl. bedeutet, dann entspricht der Faktor den Entfernungen der entsprechenden Indices vom Ursprung des Stabes.
  • Beispiel CH): Berechne ungefähr (210)8 in dezimaler Form Lösung: Stelle die Haarlinie 16 des Armes 12 über die 10 der 2S1-Skala und lese auf der C-Skala 256 ab. Daher ist (210)8 = 256ro-Die Indices der 2S-Skalen werden vorzugsweise durch drei Zahlen ausgezeichnet: eine die Oktalpotenz von 2 anzeigende Radialzahl, eine positive Zahl entsprechend der positiven Potenz von 10 (dezimal), der die Zahl auf der C-Skala entspricht , und eine negative Zahl entsprechend der negativen Potenz von 10 (dezimal), der die Zahl auf der CI-Skala entspricht. Die von der C- oderC-1-Skala abgelesenen Zahlen repräsentieren die Zahlen zwischen 1 und 1010 (dezimal). In der bevorzugten AusfUhr ungs form wird daher das Symbol 2 10 auf die folgende Weise zu interpretieren sein: 10 ist eine Oktalzahl äquivalent zu 8 dezimal und repräsentiert die positive oder negative Oktalpotenz von 2, deren Dezimaläquivalent gesucht ist. Der Trennungsstrich repräsentiert die entsprechende Indexmarke, über die die Haar linie des Läufers gesetzt wird. Die ganze Zahl 2 entspricht der positiven Potenz von 1010, mit der der Faktor auf der C-Skala multipliziert werden muß, um das richtige Endergebnis zu liefern, falls (2 >8 gesucht ist.Die ganze Zahl -3 entspricht der negativen Potenz von 1010, mit der der Faktor auf der CI-Skala multipliziert werden muß, um das richtige Ergebnis zu liefern, wenn (2-10)8 gesucht ist. Wenn die Haarlinie des Läufers über das Beispielsymbol gestellt wird, dann ergibt der Wert an der gleichen Winkelstellung der C-Skala sofort das Ergebnis (210)8 = 2.5610 x 1010² In ähnlicher Weise ergibt die CI-Skala das Ergebnis-(2-10)8 = 3.910 x 1010-3.
  • Nach Fig. 2aweist die Rückseite 22-des Grundkörpers 10 vorzugsweise eine Reihe von nach innen zunehmenden konzentrischen kreisförmigen Skalen auf, die am äuße-. ren Rand mit einer. Oktalskala, bezeichnet mit CO bei 45, beginnen. Eine oktale Normalisierungsskala mit der Bezeichnung C20 dei 461 schließt sich nach innen ar. die CO-Skala an. Die C20-Skala besteht aus drei aufeinanderfolgenden identischen Abschnitten einer CO-Skala von 48 bis 108. Damit ist die C20-Skala in drei Segmente gleicher Länge unterteilt, von denen jedes am Ursprung einen Index 48 aufweist .. Geht man im Uhrzeigersinn vom C20-Skalenindex 4 bei 481 aus, dann entspricht der erste Sektor den Zahlen auf der CO-Skala, die~ unmittelbar darüber stehen, multipliziert mit 22; der nächste Sektor entspricht den Zahlen der CO-Skala, die unmittelbar darüber stehen, multipliziert mit 2; der dritte Sektor schließlich entspricht den Zahlen der CO-Skala, die unmittelbar darüber stehen, multipliziert mit 1 (d.h. 2°). Diese Skala dient zur Umwandlung normalisierter Oktalzahlen mit Gleitkosa in Dezimalzahlen und umgekehrt. Der Index 4 der C20-Skala ist auf den Index 1 der CO-Skala ausgerichtet und die Winkelpositionen Y, Y' und Y" der Dezimalzahlen X, deren oktales Äquivalent # zwischen 4 und 108 liegt, läßt sich bezüglich des Skalenindexes über die folgenden Beziehungen berechnen: Y = 360° (log10X) (log810) Y' X 3600 (log10X) (log810) - 1200 3600 (log1OX) (log810) - 2400 So tritt jede Dezimalzahl X dreimal auf der Skala auf, die einzelnen Stellen sind um 120° gegeneinander verschoben. Wenn der Faktor 360° durch L und die Zahlen 1200 und 2400 durch L/3 und 2L/3 ersetzt werden (wobei L wiederum die Länge eines Rechenstabes oder dergl. bedeutet), dann entsprechen die Faktoren Y, Y' und Y" den Abständen der zugehörigen Indices vom Ursprung dieser Stäbe.
  • Übliche Oktalzahlen sind, wie bereits erwähnt, häufig sehr bequem in der sogenannten normalisierten Form ausgedrückt. Sie ist ein Oktalbruch zwischen 0.48 und 0.1 mal einer Oktalpotenz von 2. Diese Form stellt sicher, daß unmittelbar rechts vom Binärkomma eine signifikante binäre ganze Zahl (d.h. die ganze Zahl 1) auftritt. Das Verschieben von Binärpositionen, um damit dies Art Brüche zu gewinnen, erfordert, daß die Schübe in aus einem Bit bestehenden Einheiten.ausgeführt werden, statt in Gruppen von drei Bits. Der Oktalbruch muß daher mit einer Potenz von 2 multipliziert werden, wobei die Potenz normalerweise als eine Oktalzahl ausgedrückt wird. Die Verwandlungen zwischen üblichen Zahlen und normalisierten Oktalzahlen mit Gleitkomma sind keineswegs trivial. Nach bekannten Verfahren wird zuerst die Oktalzahl in ihrer binären Darstellung ausgedrückt, dann das Binärkomma an eine geeignete Stelle verschoben, um sicherzugehen, daß eine signifikante Binärzahl rechts vom binären Ko-a steht, und schließt lich wird die Binär zahl wieder in oktaler Schreibweise formuliert. Zur Umwandlung beispielsweise der Oktalzahl 144 in die normalisierte Form mit Gleitkomma müßte man zunächst jede ganze Zahl in ihre binäre Äquivalente umwandeln, also 1448 - 001 100 100. Das binäre Komma wird dann um sieben Stellen nach links verschoben, so daß sich 0,1100 x 10111 ergibt (die Binärzahl 111 ist äquivalent der Dezimalzahl 7). Die Rückverwandlung des letzten Resultates in oktale Schreibweise führt zu 0.628 x 27. Die Reduktion auf die normalisierte Form durch geeignete Multiplikation mit 22 oder 21 wird leicht mit den C20 und den CO-Skalen des erfindungsgemäßen Rechners ausgeführt. Die Einstellung des in Rede stehenden Bruches auf der CO- Skala ergibt sofort din geeigneten Mutiplikationsfaktor und das resultirende Produkt auf der C20-Skala unterhalb der Einstellung.
  • Die Haarlinie des Schieberarmes 23 oder 24' wird über den umzuwandelnden Bruch auf der CO-Skala eingestellt und der "verschobene" Bruch wird unter der gleichen Haarlinie auf der C20-Skala abgelesen. Wenn dieser letztere Wert in den ersten Sektor der C2O-Skala fällt (im Uhrzeigersinn gesehen), dann betrug der multiplikationsfaktor 22. Wenn er in den zweiten Sektor fällt, betrug der Faktor 2. Wenn er in den letzten Sektor fällt, war der Faktor 1 ( =2°), was bedeutet, daß keine "Verschiebung" notwendig war. Die Lösung der vorstehend erwähnten Aufgabe wird durch den erfindungsgemäßen Rechner dadurch gelöst, daß die Haarlinie des Schieberarmes 23 oder 24' auf 1448 der CO-Skala gestellt wird, wobei sich sofort das Ergebnis von 0.628 x 10 einstellt, das unter der Haarlinie von der C2O-Skala sogleich abgelesen wenrden kann.
  • Beispiel (I): Reduziere 4.678 x 108³ auf die normalisierte Form.
  • Lösung: 4.678 x 108³ = 0.4678 x 1084 (der Bruch war schon in der normalisierten Form) = 0.4678 x (28³)4 = 0.4678 x (214)8 (der Exponent zwei 2 ist oktal).
  • Beispiel (J): Reduziere 15.328 x 10815 auf normalisierte Form.
  • Lösung: 15.328 x 10815 = 0.15328 x 108-13.
  • Derloktale Bruch 0.1532 ist zu klein für die normalisierte Form; das bedeutet, daß der Bruch nicht in das Intervall zwischen 0.48 und 1.0 fällt. Daher wird die Haarlinie des Schieberarmes 24' auf 1532 auf der CO-Skala eingestellt und 655 wird von der C2O-Skala sofort darunter abgelesen. Diese letzte Zahl liegt im ersten Sektor der C20-Skala und entspricht damit einer Multiplikation mit @² Dieser Multiplikationsfaktor wird durch Multiplizieren mit 2-2 kompensiert. Daher 0.15328 x 108-13 = 0.6558 x 108-13 x 2-2 = 0.6558 x (2³)-13x 2-2 = 0.6558 x (2-43)8 (3x138= 418 @) Beispiel (K): Reduziere 2.648 x 1086 auf normalisierte Form.
  • Lösung: 2.648 x 1086 = 0.2648 x 1087 Wiederum ist der Bruch nicht in normalisierter Form. Daher wird die Haarlinie des Schieberarmes 24 über 264 der CO-Skala eingestellt. Die letzte Zahl liegt im zweiten Sektor der C20-Skala und entspricht somit seiner Multiplikation mit.
  • 2. Zur Kompensation dieser Multiplikation muß noch mit 2-1 multipliziert werden.
  • Daher ist 0.2648 x 1087 = 0.5508 x 1087 x 2-1 = 0.5508 x (2³) x 2-1 = 0.5508 x (224)8 Auf der Rückseite 22 des Rechners sind von der C20-Skala ausgehend nach innen spiralig dezimale Umwandlungsskalen angeordnet mit mehreren DM-Bezeichnungen, von denen M vorzugsweise eine Zahl zwischen -5 und +5 (0 einschließlich) repräsentiert. Die dezimalen Umwandlungsskalen umfassen: D4-Skala: Dezimalzahlen zwischen 8 1 4096 und 85 - 32768 D3-Skala: Dezimalzahlen zwischen 8³ r 512 und - 4096 D2-Skala: Dezimalzahlen zwischen 8² = 64 und 8³ = 512 D1-Skala: Dezimalzahlen -zwischen 8 und 82 æ 64 DO-Skala: Dezimalzahlen zwischen 8° und 81 D-1-Skala: Dezimalzahlen zwischen 8-1 1 0.125 und 80 D-2-Skala: Dezimalzahlen zwischen 8-2 = 1.5625 x 10 und 8-1 D-3-Skala: Dezimalzahlen zwischen 8 3 . 1.953125 x 10-@ und 8-2 D-4-Skala: Dezimalzahlen zwischen 8-4 = 2.44140625 x 10-4 und D-5-Skala: Dezimalzahlen zwischen 8-5 = 3.0517578125 x 10-5 und 8-4 Die spiraligen D-Skalen ermöglichen es, daß Oktalzahlen, vorzugsweise zwischen 1085 und 108-5 schnell in ihre dezimale Äquivalente umgewandelt werden können. Die Winkelpositionen Y der Dezimalzahlen X mit 8°#X<8M ergeben sich bezüglich eines bestimmten DM-Skalenindex' durch die folgende Gleichung: Y = 360° (Bruchteil von ((log10X) (log 810))) Jede derartige Dezimalzahl X liegt im Bereich einer D-Skala. X wird auf der DM-Skala gefunden, wenn 8M#X<8M+1 ist. Wenn also X die Dezimalzahl 30 bedeutet, die bekannlicherweise zwischen 8¹ und 8² liegt, dann findet sich 30 auf der D1-Skala. Die Winkelposition von 30 bezüglich des Index i der DO-Skala wird berechnet aus der vorstehenden Gleichung. D.h.
  • Y = 360° (Bruchteil von ((log1030) (log810))) = 360° (Bruchteil von ((1,4771)(1,107))) 1 3600 (Bruchteil von (1,63)) 1 3600 (0.63) = 227°.
  • Die Dezimalzahl 30 liegt also 2270 im Uhrzeigersinn von dem DO-Skalenindex entfernt.
  • In ähnlicher Weise ergeben sich die relativen Lagen der Dezimalzahlen X mit 8-M#X<8° bezüglich eines bestimmten Bruchteiles des DM-Skalenindex = 8-M durch die folgende Gleichung: Y = 360° (Positiver Bruchteil von ((log10X)(log810))) Jeder derartige Bruchteil der Dezimalzahl X liegt im Bereich einer negativen D-Skala. X wird auf der DeM-Skala gefunden, wenn 8M#X<8M+1 ist. wobei M eine negative ganze Zahl darstellt. Wenn also X ein Dezimalbruch 0,005 ist, der zwischen 8-3 und 8-2 liegt, dann wird der Bruch 0,005 auf der D-3-Skala Die Winkellage Y von 0,005 bezüglich des Index "1" der D-3-Skala ergibt sich aus der vorstehenden Gleichung. wie folgt: Y = 360° (positiver Bruchteil von (log 0,005) (log810))) Y r 3600 (positiver Bruchteil von ((-2,3001)(1,107))) Y r 3600 (positiver Bruchteil von (-2,545)).
  • Der positive Bruch von(-2,545) ist gleich dem positiven Bruch von (-3 + 0,455), was weiterhin gleich 0,455 beträgt.
  • Somit ergibt sich Y r .3600 (0,455) 1 1640 in Uhrzeigerrichtung vom Index der D-3-Skala aus.
  • In den vorstehenden Gleichungen kann der Faktor 360° durch L ersetzt werden, das wiederum die Länge eines Rechenstabes oder dergl. bedeutet.
  • Um eine Oktalzahl X in ihr dezimales Äquivalent umzuwandeln, wird sie auf der äußeren CO-Skala. eingestellt und ihr dezimales Äquivalent auf der DM-Skala abgelesen, wenn die Zahl zwischen 108M und 108M+1 liegt. Wenn die Umwandlung einer normalisierten Oktalzahl mit Gleitkomma gefragt ist, dann wird die Zahl zuerst in einen Oktalbruch mal der größten Potenz vom 108 mal irgendeinem verbleibenden Faktor von 2 (2² oder 2) umgewandelt. Wenn der Restfaktor 2 ist, dann wird die Haarlinie der Schiebers über dan gegebenen Bruch im ersten Sektor der C20-Skala eingestellt und das Dezimaläquivalent jener Zahl auf derjenigen D-Skala abgelesen, deren numerische Bezeichnung dem Exponenten von 108 entspricht. Wenn der Restfaktor 2² ist, wird die Haarlinie über den gegebenen Bruch im zweiten Sektor der C20-Skala dargestellt, und das Dezimaläquivalent der Zahl von derjenigen D-Skala abgelesen, deren numerische Bezeichnung dem Exponenten von 108 entspricht. Wenn kein Restfaktor vorhanden ist, dann wird das oktale Komma um eine Stelle nach rechts verschoben und der Oktalexponent wird um 1 reduziert, ferner wird die Haarlinie über die gegebene Zahl im dritten Sektor der C2O-Skala eingestellt und das Dezimaläquivalent dieser Zahl auf der geeigneten D-Slcala abgelesen.
  • Beispil (L): Wandle 0.4728 x (215)8 in dezimale Form um.
  • Lösung: 0.4728 x (215)8 = 0.472 x 1084 x 2 Die Haarlinie des Shieberarmes 23' oder 24' wird über 472 im ersten Sektor der C20-Skala (da der Restfaktor 2 war) eingestellt und das Ergebnis unter der Haarlinie auf der D4-Skala abgelesen.
  • Die D4.Skala wird benutzt, da sie diejenigen Dezimalzahlen X enthält, deren oktale Darstellung # in dem Intervall 1084 # < 1085 liegen. Auf der D4-Skala steht die Haarlinie etwa bei 5024. Daher ist 0,4728 x (215)8 = 502410.
  • Beispiel (M): Wandle 0.7748 x (213)8 in dezimale Form um.
  • Lösung 0.7748 x 2138 = 0.7748 x 108³ x 2².
  • Die Haarlinie des Schieberarmes 23 oder 24 wird auf 774 im zweiten Sektor der D20-skala eingestellt, da der Restfaktor 2² betrung, und das Ergebnis 2032 wird unter der Haarlinie auf der D3-Skala abgelesen. Daher ist 0.7748 x (213)8 = 203210.
  • Die erfindungsgemäßen D-Skalen dienen weiterhin der Umwandlung von Dezimalzahlen vorzugsweise im Intervall zwischen 32768 und 3,0571578125 x 10-5 in ihre oktalen Äquivalente, indem die Haarlinie des Schieberarmes 23' oder 24' über den zugehörigen Wert auf der D-Skala eingestellt und der äquivalente Oktalwert auf der CO-Skala abgelesen wird. Der geeignete Oktalexponent wird von dem D-Skalenindex entnommen. So liegt beispielsweise 10010 auf der D2-Skala. An der CO-Skala an der gleichen Winkelstellung wird die Zahl 144 geliefert. Daher ist 10010 = 1.448 x 108².
  • Das letzte Ergebnis ist jedoch nicht ,,eine normalisierte Oktalzahl mit Gleitkomma. Wenn diese Form gefragt ist, dann wird die Umwandlung sehr leicht aus der C20-Skala entnommen. Wenn die Haarlinie über 100 auf der D2-Skala eingestellt ist, erscheint die Zahl 620 im ersten Sektor der C20-Skala. .per. erste Sektor entspricht einem Multiplikationsfaktor von 22 und muß daher durch Multiplikation mit 2-2 wie folgt kompensiert werden: 10010 = 6.28 x 108² x 2-2 = 0.628 x 108³ x 2-2 = 0.628 x (2³)8³ x 2-2 = 0.628 x 27 Alle oktalen oder Dezimalbrüche zwischen etwa 0,001 und 1,0 können alternativ in das andere Syste mit Hilfe der L und LO-Skalen auf der Vorderseite des Rechners umgewandelt werden. Wenn so-die Haarlinie der beiden Schieberarme auf einen Oktalbruch auf der LO-Skala eingestellt wird, erscheint sofort sein Dezimaläquivalent auf der L-Skala und umgekehrt.
  • Für einfache Brüche ist die Benutzung der L und L0-Skalen oft vorzuziehen; wenn die Brüche jedoch normalisiert oder kleiner als 0,001 sind, dann werden vorteilhafterweise die C20 (oder CO) und D-Skalen benutzt.
  • Man möge bedenken, daß die CO- und C20-Skalen in Verbindung mit den D-Skalen auf der Rückseite des Rechners ein schnelles Hilfsmittel zur Ausführung oktaler oder dezimaler Multiplikationen und Divisionen sowie von Umwandlungen der Ergebnisse in normalisierte Oktalzahlen mit Gleitkomma oder Dezimalzahlen darstellen. Beispielsweise können dezimale Festpunktmultiplikationen und Divisionen mit den Schieberarnen 23 1und 24 in Verbindung mit den dezimalen Umwandlungsskalen ausgeführt werden. Das Ergebnis wird dann in oktale oder normalisierte oktaie Form mit Hilfe der CO- oder C20-Skalen umgewandelt. Umgekehrt kann die Multiplikation und Division von Oktalzahlen mit der CO-Skala ausgeführt werden. Das Ergebnis wird schnell in seine dezimale Darstellung mit Hilfe der dezimalen Umwandlungsskalen umgewandelt.
  • Die vorstehend beschriebene Ausführungsform des erfindungsgemäßen Rechners stellt lediglich eine vorteilhafte Augestaltung der Erfindung dar. Dem Fachmann sind mancherlei Abweichungen von dem Dargetellten geläufig , ohne daß dabei von dem 'der Erfindung z'ugrundeliegenden Gedanken abgewichen wird.

Claims (26)

  1. - PatentansprUche 1. Rechengerät zur Ausführung numerischer Rechnungen in einem auf einer Potenz von zwei aufgebauten Zahlensystem, dadurch gekennzeichnet, daß ein Grundkörper (10) mindestens eine Skala (27)trägt, deren Marken solchen Abstand voneinander haben, daß sie die Skala in eine Anzahl von Abschnitten gesetzmäßig unterteilt len, die mindestens einer Dekade eines auf einer Potenz von zwei aufgebauten Zahlensystems entspricht; und daß eine SWhiebevorrichtung (12, 14 ...) relativ zum Grundkörper (10) beweglich ist, mit der wählbare Teillängen der Skala zu anderen Teillängen der Skala vorzeichenbehaftet geometrisch addiert und die Ergebnisse abgelesen werden können.
  2. 2. Rechengerät nach Anspruch 1 zur Ausführung numerischer Rechnungen im hexadezimalen Zahlensystem, dadurch gekennzeichnet, daß ein Grundkörper (10) mindestens eine Skala (27) trägt, deren Marken solchen Abstand voneinander haben, daß- sie die Skala in eine mindestens einer Dekade des Hexadezimalsystems entsprechende Anzahl von Abschnitten gesetzmäßig unterteilen; und daß eine Schiebevorrichtung (12, 14...) relativ zum Grundkörper (10) beweglich ist, mit der wählbare Teillängen der Skala zu anderen Teillängen der Skala vorzeichenbehaftet geometrisch addiert und die Ergebnisse abgelesen werden können.
  3. 3. Rechengerät nach Anspruch 2, dadurch gekennzeich net, daß die Länge der hexadezimal unterteilten Skala in mehrere Abschnitte eingeteilt ist, deren Marken den Hexadezimalzahlen 116 bis 1016 entsprechen, und daß jeder Abschnitt entsprechend den hexadezimalen Bruchteilen der zugehörigen Hexadezimalzahl unterteilt ist.
  4. 4. Rechengerät nach Anspruch 2 oder 3, dadurch gekennzeichnet, daß die relative Lage jeder Hexadezimalzahl bezüglich des Skalenanfangs (28) ein Funktion des Hexadezimallogarithmus der Zahl ist.
  5. 5. Rechengerät nach einem der AnsprUche 2 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine in achrere Abschnitte unterteilteX Dezimalskzla (34) trägt, deren Marken den Dezimalzahlen 1 bis 10 entsprechen und die jeweils entsprechend den dezimalen Bruchteilen der zugehörigen Dezimalzahl weiter unterteilt sind, wobei die relative Lage der Dezimalzahlen bezüglich des Skalenanfangs eine Funktion des dekadischen Logarithmus der Zahl ist; daß der Grundkörper ferner mindestens eine Skala für Hexadezimalpotenzen von sehn (42, 43,-44, ..,.) trägt, deren mehrere positive Hexadezimalzahlen .Hexadezimalpotenzen Won zehn repräsentieren; und daß die Schiebevorrichtung, auf wählbare Hexadezimalzahlen auf der Skala für Hexadezimalpotenzen von zehn eingestellt, deren dezimalzahlige Äquivalente auf der Dezimalskala anzeigt, sowie wählbare Teillängen der Dezimalskala und der Skala für Hexadezimalpotenzen von zehn geometrisch vorzeichenbehaftet zu anderen Teillängen dieser Skalen addiert und das Ergebnis wahlweise auf einer der beiden Skalen anzeigt.
  6. 6. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine hexadezimallogarithmische Skala (32) mit linear geteilten Hexadezimalbrüchen trägt, deren Längen in mehrere Abschnitte gegliedert ist, und deren Marken den Hexadezimalbrüchen von 0 bis 1 entsprechen und von denen jeder entsprechend den hexadezimalen Bruchteilen des zugehörigen Hexadezimalbruches weiter unterteilt ist; daß der Grundkörper ferner eine dezimale logarithmische Skala (40) von gleicher effektiver Länge wie die hexadezimallogarithmische Skala trägt, deren Deziaalbrüche linear geteilt sind und deren Länge in mehrere JW schnitte gegliedert ist, und deren Marken den Dezimalbrüchen zwischen 0 und 1 entsprechen und die eine dezimale Feineinteilung aufweist; und daß die Schiebevorrichtung Teillängen der beiden logarithmischen Skalen geometrisch vorzeichenbehaftet addiert und die Ergebnisse auf den Skalen anzeigt.
  7. 7. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine Hexadezimalskala trägt, deren Hexadezimalzahlen bezüglich des Skalenanfangs eine relative Lage haben, die durch die Beziehung L(log10X)(log1610) bestimmbar ist, yobei X die Dezimaldarstellung einer Hexadezimalzahl zwischen 116 und 1016 ist, deren Lage auf der Skala bestimmt werden soll, und wobei die Größe von L die effektive Skalenlänge bedeutet; und daß die Schiebevorrichtung -wählbare Teillängen dieser Skala zu anderen Teillängen der Skala vorzeichenbehaftet geometrisch addiert und die Ergebnisse auf der Skala anzeigt.
  8. 8. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine Dezimalskala (34) trägt, bei der die relative Lage der Dezimalzahlen bezüglich des Skalenanfanges durch die Beziehung L(log1OX) bestimmbar ist, wobei X eine, Dezimalzahl zwischen 1 und 10 bedeutet; daß der Grundkörper ferner eine Skala für Hexadezimalpotenzen von zehn (42, 43, 44, ...) trägt, bei der die relativen Lagen der Hexadezimalzahlen M bezüglich des Anfanges dieser Skala durch die Beziehung L (Mantisse von (logl0X)) bestimmbar ist, wobei X die Dezimaldarstellung M von 1016 ist und die, Grdße von L die effelctive Llinge der Skala bedeutet; und daß di Schiibevorrichtung, auf wählbare Hexadezimalzahlen auf der Skala für Hexadezimalpotenzen von zehn eingestellt, auf der Dezimal-Skala die dezimalenÄq'uIv'alente der gewählten Hexadezimalzahlen anzeigt sowie Teillängen der beiden Skalen zu anderen Teillängen der Skalen vorzeichenbehaftet geometrisch addiert und die Ergebnisse auf einer' der beiden Skalen anzeigt.
  9. 9. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 8, dadurch gekennzeichnet, daß auf den Skalen die Unterteilung so weit durch Marken angegeben ist, daß mindestens jeder zweizifferigen Hexadezimalzahl im Be-. reich der Skala eine Marke entspricht.
  10. 10. Rechengerät nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die Schiebevorrichtung erste und zweite bewegliche Teile umfaßt, die relativ zum Grundkörper und relativ zueinander bewegbar sind.
  11. 11. Rechengerät nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß der'Grundkörper eine im wesentlichen kreisförmige Scheibe ist und die Schiebevorrichtung einen ersten und zweiten in radialer Richtung weisenden- Läuferarm (12, 14) aufweist, die beide in der Mitte des Grundkörpers befestigt sind und die relativ zum Grundkörper drehbar und hinsichtlich des von ihnen eingeschlossenen Winkelbereichs einstellbar sind.
  12. 12. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 10, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine reziproke Hexadezimalskala (29) von gleicher effektiver Länge wie die der Hexadezimalskala (27) trägt, auf der die Hexadezimalzahlen in absteigender Reihe relativ zur Hexadezimalskala angeordnet sind und die hexadezimale Reziprokskala in mehrere Abschnitte unterteilen, deren Marken den Hexadezimalzahlen 116 bis 1016 entsprechen und die entsprechend den .Hexadezimalbrüchen jeder zugehörigen Hexadezimalzahl weiter unterteilt sind, wobei die relative Lage der Hexadezimalzahlen bezüglich des Skalenanfangs eine Funktion des Hexadezimallogarithmus der Zahl ist; und daß die Schiebevorrichtung auf die Hexadezimalzahlen dieser Skalen einstellbar sind.
  13. 13. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 12, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine hexadezimale Quadratskala (30) mit gleicher effektiver Länge wie die Hexadezimalskala (27) trägt, deren Hexadezimalzahlen die erste und zweite Hälfte dieser hexadezimalen Quadratskala jeweils in mehrere Abschnitte unterteilen, deren Marken den Hexadezimalzahlen 116 bis 1016 entsprechen und die selbst entsprechend den Hexadezimalbruchteilen jeder zugehörigen Hexadezimalzahl unterteilt sind, wobei die relativen Lagen der Hexadezimalzahlen bezüglich.des Anfangs jeder Skalenhälfte eine Funktion des Hexadezimallogarithmus der Zahl ist; und daß die Schiebeeinrichtung auch auf Hexadezimalzahlen dieser hexadezimalen Quadratskala einstellbar ist.
  14. 14. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 13, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine hexadezimale logarithmische Skala (32) mit gleicher effektiver Länge wie die Hexadezimalskala (27) trägt, deren hexadezimale Bruchteile linear angeordnet sind und die Skalenlänge in mehrere Abschnitte unterteilen, deren Marken den Hexadezimalbrüchen zwischen 0 und 1 entsprechen und selbst weiter hexadezimal unterteilt sind; und daß die Schiebevorrichtung auch auf Hexadezimal zahlen dieser Skalen einstellbar ist.
  15. 15. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 14, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper dezimale Umwandlungsskalen (D-3 ... D4) mit gleicher effektiver Länge wie die der Hexadezimalskala (45) trägt, wobei' die Dezimalzahlen von 16M-1 bis 16M (M hexadezimal ganzzahlig) graduiert sind und die relative Lage dieser Zahlen bezüglich des jeweiligen Skalenanfangs eine Funktion des Hexadezimallogarithmus der Zahl ist; und daß die Schiebevorrichtung auch auf die Zahlen dieser Umwandlungsskalen einstellbar ist.
  16. 16. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 15, dadurch gekennzeichnet, daß die Zahlen der Skala für Hexadezimalpotenzen von zehn mit Symbolen versehen sind, die die Potenien der Dezimalzahl zehn anzeigen, denen die Ergebnisse im Dezimalsystem entsprechen.
  17. 17. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 16, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine hexadezimale Reziprokskala mit gleicher effektiver Länge wie die Hexadezimalskala trägt, bei der die Hexadezimalzahlen in absteigender Reihe relativ zur Hexadezimalskala angeordnet sind und die relativen Lagen dieser Hexadezimalzahlen bezüglich des Anfangs der hexadezimalen Reziprokskala durch die Beziehung L(1-(log10X)(log1610)) bestimmbar sind, wo X die dezimale Darstellung der zu bestimmenden Hexadezimalzahl zwischen 116 und 1016 ist und die Größe von L die effektive Skalenlänge bedeutet.
  18. 18. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 17, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine hexadezimale Quadratskala mit gleicher effektiver Länge wie diejenige der Hexadezimalskala trägt, deren Hexadezimalzahlen die Länge der hexadezimalen Quadratskala in zwei gleichlange Abschnitte unterteilen und bei der die relat.iyen Lagen Y und Y' jeder Hexadezimalzahl bezüglich des Anfangs der hexadazimalen Quadratskalen durcW die Beziehungen y , L/2(log10x) (log1610) und Y' = L/2 (1+(log10X)(log1610)) bestimmbar sind, wobei X die dezimale Darstellung einer Hexadezimalzahl zwischen 116 und 1016 ist, deren Lage au-f der Skala bestimmt werden soll, und die GröBe- von L die effektive Skalenlänge bedeutet.
  19. 19.Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 18, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine hexadezimale logarithmische Skala mit gleicher effektiver Länge wie diejenige der Hexadezirnalskala trägt, derer Hexadezimalskalen linear unterteilt sind und bei der die relativen Lagen der Hexadezimalzahlen 1 bezüglich des Skalenanfangs durch die Beziehung LX 16 bestimmbar sind, wo X die Dezimaldarstellung einer Hexadezimalzahl zwischen ¹16 und 1016 ist, deren Lage auf der Skala bestimmt werden soll, und L wieder die effektive. Skalenlänge bedeutet.
  20. 20. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 19, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper mehrere positive dezimale Umwandlungsskalen trägt, von denen jede einen Anfangsindex-und eine der Hexadezimalskala gleiche effektive Länge besitzt, wobei die Dezimalzahlen von 16M-1 bis 16M (M eine positive Hexadezimalzahl) graduiert sind und 16M-1 jeweils den Anfangsindex bezeichnet, wobei ferner die relativen Lagen der Dezimalzahlen bezüglich eines bestimmten Anfangs index' durch die Beziehung.L (Bruchteil von ((log10X) (log1610))) bestimmbar ist, wo X eine Dezimalzahl zwischen 160 und 16M ist, deren Lage auf einer der Skalen bestimmt werden soll, und L wieder die effektive Länge der Skala bedeutet.
  21. 21. Rechengerät nach einem der Ansprüche 2 bis 20, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper mehrere gebrochen dezimale Umwandlungsskalen trägt, von denen jede einen Anfangsindex und eine der Hexadezimalskala gleiche effektive Länge besitzt, wobei die Dezimalzahlen von 16M-1 bis 16M (M eine negative Hexadezimalzahl oder 0) unterteilt sind und 16M jeweils den Anfangsindex repräsentiert, wobei ferner die relativen Lagen der Dezimalzahlen bezüglich eines bestimmten Anfangs index' durch die Beziehung L (positiver Bruchteil von ((log1OX)(logl610))) bestimmbar sind, wo X eine Dezimalzahl zwischen 16M-1 und 160 bedeutet, deren Lage auf einer'der Skalen bestimmt werden soll, und L die effektive Skalenlänge ist.
  22. 22. Rechengerät nach einem der vorstehenden Ansprüche zur Ausführung numerischer Rechnungen im oktalen Zahlensystem, dadurch gekennzeichnet, daß die auf dem hexadezimalen Zahlensystem aufgebauten Skalen des Rechengerätes zur Ausführung numerischer Rechnungen im Hexadezimalsystem durch entsprechende, auf dem oktalen Zahlensystem aufgebaute Skalen ersetzt sind.
  23. 23. Rechengerät nach Anspruch 22, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper eine oktale Normalisierskala (46) mit gleicher effektiver Länge wie die der Oktalskala (451) trägt, deren Oktalzahlen die Normalisierskala in drei identische, gleichlange Sektoren unterteilt, von denen jeder weiter in mehrere Abschnitte gegliedert ist, deren Marken den Oktalzahlen 48 bis 108 entsprechen und selbst weiter Xn oktalen Bruchteilen der jeweils zugehörigen Oktalzahl unterteilt sind, wobei die relativen Lagen der Zahlen bezüglich des jeweiligen Skalenanfangs eine Funktion des. Oktallogarithmus der Zahl ist; und daß die Schiebevorrichtung auch auf Oktalzahlen dieser Skalen einstellbar ist.
  24. 24. Rechengerät nach Anspruch 22 oder 23, dadurch gekennzeichnet, daß der Grundkörper mehrere dezimale Umwandlungsskalen von jeweils gleicher effektiver Länge wie die der Oktalskala sowie oktale Normalisierskalen trägt, deren Dezimalzahlen von 8Mbis 8M+1 M ganzzahlig) eingeteilt sind und deren relative Lage bezüglich des jeweiligen Skalenanfangs eine Funktion des Oktallogarithmus der Zahl ist; und daß die-Schiebe.vorrichtung auch auf die Zahlen dieser Skalen einstellbar ist.
  25. 25. Rechengerät nach einem der Ansprüche 22-bis 24, dadurch gekennzeichnet; daß der Grundkörper eine oktale Normalisierskala mit gleicher effektiver Länge wie diejenige der Oktalskala trägt, deren Oktalzahlen die Länge der oktalen Normalisierskala in drei identische gleichlange Abschnitte unterteilt, und bei der die relativen Lagen Y, Y' und Y" jeder Oktalskala bezüglich des Anfangs der oktalen Normalisierskala durch die Beziehungen Y = (log10X)(log810), Y' = (log10X)(log810) - 1/3 L, Y" = (log10X)(log810) - 2/3 L bestimmbar sind, wobei X wieder die Dezimaldarstellung einer Oktalzahl zwischen 48 und 108 ist, deren Lage auf der Skala bestimmt werden soll und L die effektive Länge der Skala bedeutet.
  26. 26. Rechengerät nach einem der vorstehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die Skalen für Hexadezimalpotenzen von zehn durch entsprechende Skalen für Oktalpotenzen von zwei ersetzt sind.
    L e e r s e i t e
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