DE1937258C3 - Vorrichtung zur Erzeugung der Fouriertransformierten einer Funktion - Google Patents

Description

ist. der durch die Synchronisiereinrichtung gesteuert ist.

Die Erlindung betrifft eine Vorrichtung nach dem Oberbegriff des Anspruchs 1.

Die Fouriertransformierte von Funktionen wird insbesondere für wissenschaftliche Zwecke häutig benötigt, wobei vor allem die Fouriertransformierte von KorrelationsfunktionciT interessant ist (vgl. zum Beispiel Taschenbuch Elektrotechnik, Bd. 3. Nachrichtentechnik. VEB Verlag Technik Berlin 1969, Abschnitt 1.3. Korrclationsclektronik. S. 94 bis 135, mit zahlreichen Hinweisen auf vorveröffentlichte Literaturslellen auf den S. 329 und 330). um z. B. die Energicspektraldichte von physikalischen Vorgängen ; 11 bestimmen.

Die Erfindung geht aus von der Berechnung der Fouricrlransformierten einer Funktion :(t). also der Berechnung folgenden Integrals:

/Ai) = J .-(Oe ²ⁿ'"ut.

Wenn dabei die Funktion :(/) kontinuierlich, also nicht diskret (in Form von einzelnen Punkten), bekannt ist für das Integrationsintcrvall (im Gren/fall von - / bis t / ), bereitet es grundsätzlich keine Schwierigkeiten, dieses Integral mit Analogrechenbausteinen zu lösen, nämlich Kosinus- und Sinus-Funktionsgeneralorcn, Analogmultiplizicrern und Analogintegrierern. Im vorliegenden Fall ist aber die Funktion r(f) nicht kontinuierlich vorgegeben, sondern nur in Form von diskreten V/crten der Intcgrationsvariablen /, d. h. an Punkten, die gleichmäßig um ein Intervall (-) getrennt sind, so daß die Funktion -U) in abgetasteter Form als z(p<->) vorliegt. Dabei ist auch das Intcgralionsintervall endlich, es ertreckl sich von - This \ T.

um nacheinander die einzelnen cos-Werte für die Abtaststellen zu erzeugen. Daher können leicht 200 Abtastpunkte vorgesehen werden.

Es ist zweckmäßig, daß die elektronischen Ein-Aus-Schalter Feldeffekttransistoren sind.

Die Erfindung wird dadurch vorteilhaft weitergebildet, daß die η Spannungsquellen voneinander getrennt sind und daß zwischen jeder Spannungsquelle und dem Ausgang des Analogfunktionsgenera- * : ι !_i,* :„„Ua« Ein-Aiic-sWiaiter ließt.

Dem Fachmann stellt sich also das Problem, das
teeral gemäß vorstehender Gleichung durch eine
"herungsweise oder numerische Integration zu lösen.
¹ Näherungsmethoden zur Integration durch Ern des Integrals mittels einer endlichen Summe sind
Streits seit langem in der ve.schiedensten Form
hekannt (vgl. zum Beispiel I. N. Bronstein.
KA Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik Leipzig, 1959, S. 336, 337, 517, 518). Diese _M— — „„„ . .^^^ „ -

S"her_Un"smethoden beruhen darauf, daß die Tür die io tors einer der elektronischen Ein-Aus-Schalter hegt.

KkSe?" Abszissenwerte vorgegebenen Ordinaten- Ferner ist es zweckmäßig, daß die elektronischen

rte durch Kurvenzüge miteinander verbunden wer- Ein-Aus-Schalter jeweils mit einem eigenen W'der-

Tn Im einfachsten Fall besteht ein derartiger einzelner stand in Reihe geschaltet sind, daß diese Reinen-

*r i^enzua aus einer horizontalen und einer vertikalen schaltungen zueinander parallel im an eine Bezugs-

r «Hen die zusammen eine Stufe bilden. Allgemein 15 Spannungsquelle angeschlossenen Eingangskreis eines

lochen, die einzelnen Kurvenzüge können durch Verstärkers am Ausgang des Analogfunktionsgenera-

SdeinInterpolationspolynom gebildet werden. Es tors liegen und daß die Anzahl der elektronischen

M ferner bekannt, daß mit zunehmendem Grad des Ein-Aus-Schalter und die Widerstandswerte der zuge-

fnteroolationspolynoms die Genauigkeit besser wird ordneten Widerstände so gewählt sind, daß die »iSpan-

IfHo S 336 letzter Abs.), doch steigt ersichtlich 20 nungsquellen nacheinander jeweils durch die mittels

¹ h Her Aufwand wie die einzelnen numerischen der entsprechenden betätigten Ein-Aus-Schalter er-

fn^graiiformeln (Rechteckformel. Trapezfo, mel. ziehe Beschahung des Verstärkers.*η Verbindung

Ssonsche Regel usw.) zu erkennen geben; d. h. mit mit de r Bezugsspannungsquelle gebildet sind.

Sendern Grad des lnterpolationspolynoms Die Erfindung gibt also e.ne neue Ar der Gc-

ÄST Vidfalt der Koeffizienten der Ordinaten ,5 wimwmg der Abtastwerte der ( osmus-Funkt.on (en -

steigtaucn uic sprechend der Sinus-Funktion) an. nämlich die Ver-

^anDer Durchschnittsfachmann mußte sich also sagen. wendung einer einzigen Menge oder ein«> e.nz.gen

daß zu "rzielunc einer möglichst guten Genauigkeit Vorrats von Abtastwerten, ^au^^en™ ^^^

einmöglichst hoher Grad des Interpolationspolynoms von K zu K abgenommen werden, um den Koeffi^m

_7U wählen ist. auch wenn der Aufwand daduich steigt. 30 der Ordnung K zu berechnen. Bei der^ ^b™^

Demgemäß sind die bisher bekannten, digital derartigen Einrichtungen (vgl. zum Be spieI (.B F£

»rSden Fourieranalysatoren ziemlich aufwendig 1065.249) verwendet man niemals e ne derarügt

SirSmBdspiel Prospekt über den Fourieranalyse Auswahl von Abtastwerten, sondern so^v^el AbMg

r S450A de Fa Hewlett & Packard; dabei kann wertgeneratorcn. wie es zu berechnende PunKU: lur

durch Umlegfn eines emzigen Schalters dieser Fourier- 35 die Founertransform.erte gibt '^ Gcg n_Sa^ dazu

Xtor fn einen Al.zweckrechncr umgewandelt sieht ^.^rfindung en-anzj^ Abtastwert Fu^

^WC[f "st ferner eine Vorrichtung zur Fourieranalyse für die Berechnung benötigt^e^und mjntjaJjU

e£==:s · SSwsStHSSs

^tU"fabei liegt der Erfindung auch die Erkenntnis zugrunde, daß für die näherungsweise Bildung_dcr

d j p g

Netzwerk mit Widerständen und einem Negator vorhanden ist. In jedem Widerstandsnetzwerk ist die Zahl der Widerstände, die zur Bildung von diskreten Werten der cos- bzw. sin-Funktion dienen, hl d Abttt der Funktionen

gleich

en Werten

der Zahl der Abtastwerte der

gleich der Zahl der Abtastwerte deren Fouriertransformierte erzeugt werden soll. Ferner ist die Zahl der Netzwerke gleich der Zahl der zu bestimmenden Fouricrkomponentcn. Wenn /. B. die Zahl der Abtastpunktc gleich 200 und die Zahl der bflls gleich 200 gewählt

;tion dienen, zugrunuc uju mi u.^ .«..--..e---— vnrrel-i-

Funktionen, 45 Fouriertransformierten ™^™^ηά™™Ζ*ΖΛΐ

Fouriertransformierten insbesondere tionsfunktion überraschenderweise am genauesten die an skh bekannte Verwendung (vgl. GB-PS 1 065 249) der Trapezformcl ist. bei der der einzelne Kurvenzug eine geneigte Gerade ist. während die Simpson-Regel l l lipoly

VorzugSWCiM: lsi uiv .......„„..„ ._. _.

stände aufweisen, was nicht zu realisieren ist. Mit der Fouriertransformierten einer als physikalische dieser bekannten Vorrichtung ist also nur eine ziem- Größe bekannten Funktion vorgesehen, insbesondere lieh ungenaue Erzeugung von Fouriertransformierte.! 55 zur automatischen Analyse einer Spektraldichtc. wie

im (nltuMKlen näher erläutert werden wird.

möglich

Demgegenüber ist es Aufgabe der Erfindung, die an sich (aus der GB-PS 1 065 249) bekannte Vorrichtung zur Erzeugung der Fouriertransformicrtcn, bei der wohl auch die Trapezformcl angewendet werden kann, in ihrer Genauigkeit mit verhältnismäßig geringem Aufwand beträchtlich zu verbessern.

Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß gelöst durch die im Kennzeichen des Anspruchs I angeführten Merkmale.

Eriindungsgcmäß ist also nur ein einziger Analogfunktionsgcnerator für die cos-Funklion /orgeschen, der durch die Synchronisiereinrichtung gesteuert ist.

zur automatischen Analyse eine p

im folgenden näher erläutert werden wird.

Fs soll daran erinnert werden, daß die Analyse der I nergiespeklraldichte ein Problem ist, das bei vielen (ielegenheiten auftritt, insbesondere bei der genauen Analyse von Schwingungscrscheimingcn und der Rauschanalyse.

Es ist leicht möglich, ein Leistungsspektrum aus der AutokorrcUitionsfunktion des Signals auf Grund des sich bekannten Wicner-Chinlschin-Theorcms zu das im wesentlichen aussagt, daß die

an
gewinnen

gL~VVlllllv;il, UU.J ....

Encrgiespektrakiichte eines Signals und die Autokorrclationsfunktion dieses Signals gegenseitige Fouriertransformierte sind.

Es gibt Einrichtungen, die automatisch die Autokorrelations- und Kreuzkorrelalionsfunktion erzeugen, ferner diese Funktionen in abgetasteter Form liefern, d. h. in einer Folge von äquidistiinten Impulsen.

Es genügt daher, an derartige Korrelationseinrichtungen eine Fouriertransformiereinrichtung gemäß der Erfindung anzuschließen, um eine Anordnung zur automatischen Analyse der Spektraldichte in Realzeit zu erhalten. Eine derartige Anordnung ist viel weniger aufwendig als die auf dem Markt erhältliehen Spektraldichteanalysatoren. die nach anderen Prinzipien arbeilen, und zeigt gegenüber diesen eine höhere Leistung.

Insbesondere erlaubt die Erfindung die Gewinnung der Spektraldichte in Realzeit für ein beliebig großes >5 Zeitintervall 7J. Die Erfindung gestattet die Verarbeitung von Signalen innerhalb eines sehr großen Frequenzbandes (z. B. von 0 bis 4 M Hz), wobei dieses Frequenzband noch ausgedehnt werden kann, da es nur durch die Betriebseigenschaften der Schalttran- «> sistoren begrenzt ist (in einem untersuchten Ausführungsbeispiel wurde freiwillig eine Beschränkung auf diese Betriebseigenschaften vorgenommen, um die Schalttransistoren in sehr einfachen Schaltungen verwenden zu können). Die Einfachheit der erfindungsgemäßen Ausführung führt zu einem bedeutend wirtschaftlicheren Analysator im Vergleich zu den beiden obenerwähnten Analysatortypen. die gegenwärtig auf dem Marki erhältlich sind.

Ein derartiger Spektraldichteanalysator wird vorteilhaft dadurch weitergebildet, daß zwischen der Einrichtung zur Berechnung der Korrelationsfunktion und der erfindungsgemäßen Vorrichtung zur Erzeugung der Fouriertransformierten ein Verstärker mit veränderlicher Verstärkung sin Hp (-)p geschaltet ist. der durch die Synchronisiereinrichtung gesteuert ist.

Auf diese Weise können parasitäre oder Störschwingungen, die bei der Bildung der Fiuriertransformierten von Korrelationsfunktionen auftreten können, besonders wirksam unterdrückt werden.

Der mit der erfindungsgemäßen Vorrichtung erzielte Fortschritt kann wie folgt zusammengefaßt werden:

Die Vorrichtung gemäß der Erfindung ist zunächst bedeutend einfacher und anpassungsfähiger, und sie ist leistungsfähiger als die bekannten Vorrichtungen, insbesondere, wenn sie an eine automatische Korrelationseinrichtung, die mit reeller Zeit arbeitet, angeschlossen ist. um einen Spektraldichteanalysator zu bilden.

Die Vorrichtung gemäß der Erfindung hat insbesondere eine größere Bandbreite, sie kann mit Realzeit arbeiten, ist sehr zuverlässig und rechnet sehr schnell.

Die Erfindung wird an Hand der Zeichnung näher erläutert. Es zeigen

F i g. 1 bis F i g. 4 Zeit- und entsprechende Spektralausschnitte ohne (vgl. F i g, 1 und 2) bzw. mit Gewichten nach Fauque- Berthier (vgl. F i g. 3 und 4). um die Fouriertransformierte einer Korrelationsfunktion zu bestimmen.

F i g. 5 den Vergleich der beiden Gewichtsarten und des Falls ohne Gewichte.

F i g. 6 die Fouriertransformierte einer abgetasteten Funktion,

Fi g. 7 drei Cosinus-Funktionen für K gleich 1. 2 bzw. 3.

Fig. 8 und Fig. 9 einerseits und Fig. 10 und Fig. 11 andererseits die Anwendung des Verfahrens gemäß der Erfindung für den Spezialfall einer Auto korrelationsfunktion bzw. einer Kreuzkorrelations funktion,

Fig. 12 schematisch eine Vorrichtung gemäß dci Erfindung zur Erzeugung der Fouriertransformierter einer als physikalische Größe bekannten Funktion,

Fig. 13 und Fig. 14 bevorzugte Ausführungsbeispiele von Schaltungsblöcken von Fig. 12, nämlich des Multiplizierers bzw. des Cosinus- oder Sinus-Funktionsgenerators und

F i g. 15 bis F i g. 17 Ausführungsbeispiele der Leseeinrichtung für die Cosinus-Funktion.

Es sei eine reelle Funktion z(t) bekannt, und zwai nicht als mathematischer Ausdruck, sondern als physikalische Größe für Werte einer Variablen 1 zwischen -T und +7?

Eine derartige Funktion gestattet die Bildung einer Fouriertransformierten Z(/) gemäß der Formel:

Z(f) = J z(i)e"^{2 nJ}"dt.

Wenn jedoch z(0 außerhalb des Intervalls {—T, +T) Null ist, kann Gleichung (1) geschrieben werden als

Z(f) = J

z(t)e~² 'if· dt

-τ

und damit
7

Z(/) = J z(0cos2.τ/rdt -j Jz(r)sin2.7/rd/.

-T -T

Z{f) ist also im allgemeinen eine komplexe Funktion der Variablen / und hat einen (in der Phase) reellen

R-Af) = j z(0cos 2.-τ

-7

und einen (dazu senkrechten) imaginären Teil:
r

I-Af) = - J z(0 sin 2 -ft dt.

-τ

In praktisch allen Fällen ist es nicht notwendig, das Spektrum Z(/) kontinuierlich zu kennen. Man kann sich im Gegenteil mit der Kenntnis von Werten Zi f) für diskrete Werte der Variablen / begnügen.

Es liegt dann nicht Z(f\ sondern eine Folge von Werten

Z(O), Z(/_o). Z(2/_o) ... Z(Kf₀) ... ZiPf₀)
mit ganzzahligem ρ «ς ₇" vor.

Jo

Es kann gezeigt werden, daß, um den genauen Wert von

= J z(0 cos2 -τ A t df
τ

zu erhalten, es genügt, von der Funktion z(0- abgetastet gemäß dem bekannten Abtasttheorem von Shannon, ausgehend, jede Abtastung von r(0 mit

der entsprechenden Abtastung von cos 2 7 „ 1 zu

multiplizieren, d. h. jeden Wert z(p(·)) mit dem Wert der Cosinus-Funktion im Zeitpunkt p(-) zu multiplizieren und diese Produkte zu summieren, was die Erfindung ausmacht.

Es ist daher vollkommen überflüssig, irgendeine Interpolation zwischen den aufeinanderfolgenden Abtastungen vorzunehmen.

Die Funktion z(t) soll in abgetasteter Form vorliegen, wobei C-) das Abtastintervall sei.

Die Funktion r(i) wird daher durch eine Folge von Werten

15

dargestellt, die auf der Achse t um das gleiche Intervall θ getrennt sind.

Die Werte z(K(->) werden in Digitalform (z. B. in einem Speicher aus Kernen oder sonstigen bistabilen Elementen) oder in Analogform gespeichert (z. B. als Kondensatorladungen).

Für die Berechnung der Fouricrtransformierten von -(t) werden die Abtastwerte von z(t) schließlich in Analogform entweder durch eine Digital-Analog-Umsetzung des Speicherinhalts, wenn sie in Digitalform vorliegen, oder durch direktes Lesen des Speichers eingelesen, wenn sie in Analogform vorliegen.

Die Funktion r((), die mit dem Intervall (-) abgetastet worden ist. wird daher durch N Punkte definiert, wobei N eine ganze Zahl ist, die unmittelbar kleiner als ^{2 7} ist.

Da das Intervall 2 Tim allgemeinen groß gegen das Intervall C-) ist. kann man vereinfacht schreiben

Da die Funktion z(t) in einem Intervall 2Tbekannt ist, kann die Grenze des Spektrums nach dem

Shannon-Theorem nicht oberhalb -, _r sein, daher

45

wird/ο = -,_Ί gewählt, so daß die niedrigste Frequenz

~ 1

der Cosinus-Funktion _1η. =/₀ wird. Daher erhält

man am Ende der N Punkte von cos 2.7 -, _T pH
cos ί 2 .-r _?- _T · 2 T J = cos 2.7 .

Man kann daher eine Periode der Funktion

cos Z _T i. die an .V Punkten mit einem Intervall C-) 2 7

abgetastet ist. bilden (Fig. 7a zeigt ein Beispiel für N = 41 und π =

N ■

= 21), das heißt eine programmierte Cosinus-Funktion.

Durch Bildung der Produkte von z(pC-J) mit

cos2.-7 27^; P^ und durch Summation dieser Produkte erhält man näherungsweise

z(p(->) cos 2.-r—; ρ(-) . 7 2 7

Wenn man jetzt K = 2 für die Cosinusfunklion wählt, erhält man für z(pH), cos 2.7 ,.,- 2ρC-K und wenn man die Summe der ρ Produktez (pf->).cos2.7 _Ί γ 2 ρ C-) bildet, erhält man

ζ (pC-)) cos 2.7 --IpC-J.

Praktisch führt das zum Lesen jedes zweiten Werts der programmierten Cosinus-Funktion zurück, also mit den Abszissenwerten 0, 2, 4, 6 ... (F i g. 7 b).

Wenn man jetzt die Punkte der programmierten Cosinus-Funktion jedes dritten Abszissenwerts liest (Fig. 7c), erhält man für jeden Wert von Z(pC-)) den zugehörigen Wert der Cosinus-Funktion

cos 2 rr 2 j 3 p(-J.

Durch Bildung der Produkte und der Summe der Produkte erhält man

R_: ( ~\ = (-) ~> ζ (p H) cos 2 .-τ -¹^ 3 ρ <->.

bbenso erhält man durch Lesen der Werte der programmierten Cosinus-Funktion für jeden K-ten Abszissenwert den allgemeinen Ausdruck

^ 1

cos ~ Kpθ

und das für zunehmende Werte von K bis K = » — 1

mit π =

1 1

2 H

oder «-1=

/V-I

woraus

folgt 'A~ = .,' = '.,' (Fc ist gleich der Abtast frequenz); damit ergibt sich

Es soll jetzt der Spezialfall untersucht werden, daß z(t) eine Korrelationsfunktion ist, die im Intervall - t_m bis + t_m bekannt ist. Es sollen folgende beiden möglichen Annahmen gemacht werden:

a) γ(τ) ist eine Autokorrelationsfunktion. Man weiß, daß die Funktion r(i) eine gerade Funktion ist: r(r) = r( r). daher reicht die Kenntnis von z(j) für τ ζ 0 aus. und wenn man N Punkte von ;(/) für / > 0 kennt, hat das die Kenntnis von N - 2 η - \ Punkten von :<τ) für f ^ 0 zur Folge

Unter dieser Annahme programmiert man für V Punkte eine Halbperiode der Cosinus-Funktion.

l-t

b) γ(τ) ist eine Kreuzkorrelationsfunktion. Ma berechnet ;(τ) und r( — τ):

für τ s> 0 an π Punkten,

für τ < 0 an π - 1 Punkten, und man komrr

so zu der vorangegangenen Annahm

zurück.

Daher genügt es für die Anwendung des Verfahrer gemäß der Erfindung auf Korrelationsfunktionci eine Halbperiodc der Cosinus-Funktion für eir Anzahl n von Punkten gleich der Anzahl der bekam ten Punkte des entsprechenden Teils der Korrelation

ίο

funktion entweder Tür τ > 0 oder τ < 0 zu programmieren.

Aus den F i g. 8 und 9 ist ersichtlich, daß die Kenntnis von π Punkten der Autokorrelationsfunktion wegen deren Charakters einer geraden Funktion der 5 Kenntnis von (2/j — 1) Punkten dieser Funktion entspricht, wobei diese Figuren die Kurvenpaare z(i) und cos zeigen, die durch Autokorrelation verknüpft

Man programmiert daher die Cosinus-Funktion an io η Punkten und operiert an π Punkten der Autokorrelalionsfunktion, das Ergebnis muß noch mit 2 multipliziert werden.

Die Kreuzkorrelationsfunktion berechnet man im allgemeinen Fall, gemäß dem sie von Null verschieden 15 zwischen — 7_M und +r_M ist, zuerst an η Punkten von bis t_m, danach an 11 Punkten von 0 bis - τ_Μ.

Für die Berechnung von Z(f) führt man nacheinander Operationen mit den beiden Teilen der Kreuz-' ' <·■--:— j u ,,„H KiIH(M Hip Sviimme der

einem dazu parallel geschalteten Kondensator 7 gebildet, sowie mit einer Rücksetzeinrichtung zum Rücksetzen auf Null wie einem normalerweise offenen Schalter 8 versehen ist, und eine Einrichtung wie eine Taktschaltung 9, um das Lesen durch die Leseeinrichtung 2 des Speicherinhalts und den Betrieb des oder der Generatoren 3 zu synchronisieren; das gewünschte Ausgangssignal Z (/) ist bei 10 abnehmbar. In der Schallung von F i g. 12 variiert ρ von -(11 - 1) bis +(η - 1) und / von ,. . bis _{Λ ()} in Sprüngen von./,, = ,„_.},„ ₂ mit /1 = ^N also bei 10 punktweise das
Fouriertransformierten von :{t).

Der Multiplizierer 4 ist vorzugsweise so aufgebaut, daß der Flächeninhalt eines Impulses, der in der Länge durch den einen Faktor und in der Amplitude durch den anderen Faktor moduliert ist, proportional

. Man erhält Ausgangssignal der

korrelationsfunktion durch und bildet die Summe der 20 zum Produkt ist.

beiden louriertransformat ionen, wobei nur einmal die In dem in Fig. 13 abgebildeten Ausführungsbei-

entsprechenden Produkte für "' ^u- —'»- - · ■ -^ _A„_r „_λ1Ι.

n, wobi

entsprechenden Produkte für =0 berechnet werden. Fig. 10 und 11 zeigen die Kurvenpaare z(t) und cos. die durch Kreuzkorrelation verknüpft sind, wobei zwischen den beiden Fällen E < 0 und £ > 0 unterschieden wird.

Daher ist in diesen Fällen die Anzahl der programmierten Punkte für eine Halbperiode der Cosinus-Funktion (bei der niedrigsten Frequenz) gleich der Anzahl der Punkte der Korrelationsfunktion Tür τ > 0 oder τ < 0.

Falls die Funktion z{t) nicht gerade ist, muß man auch berechnen:

' ζ (p M) sin _2T KpV;

es muß daher auch die Funktion sin ~*. Kp<-> berechnetwerden.

Dazu genügt es. die programmierten Werte der Cosinus-Funktion mit einer Phasenverschiebung von einer Viertelpericde zu »lesen«, d. h. das Lesen mit der Abtastung zu beginnen, die den Wert Null hat (Abtastung Nummer 10 in F i g. 7 a). anstatt das Lesen mit der Abtastung zu beginnen, die den Wert 1 hat (Abtastung Nummer 0 in F i g. 7 a).

Nachdem das Verfahren und die Mittel zum Analo>"lesen der programmierten Werte der Cosinus- und oder Sinus-Funktion genauer beschrieben worden sind, soll jetzt Fig. 12 erläutert werden, in der ein Ausführungsbeispiel der Vorrichtung gemäß der Erfindung zur Erzeugung einer Fouriertransformation abgebildet ist.

Die abgebildete Vorrichtung hat einen Speicher 1 zum Speichern (in Digital- oder Analogform) der Werte der abgetasteten Funktion :{p<->). eine Leseeinrichtung 2 zum Lesen in Analogform des Inhalts des Speichers 1. mindestens einen Analogfunktions-

generator 3 Tür die Funktion cos j Κρθ und oder _fc

sin I Kp«. mindestens einen Analogmultiplizierer 4.

von dem ein Eingang Aa an den Ausgang der Leseeinnchtung 2 und der andere Eingang 4 h an den d d Fki 3

III UCUl 111 1 1 &■ >-> UUJI.UIIUV.V.. . w

spiel, in dem noch einige andere Baugruppen der vollständigen Vorrichtung zu sehen sind: der Funktionsgenerator 3, die Takttchaltung 9, der Integrator 5 (mit dem Funktionsverstärker 6, dem Kondensator 7 und einem Schalter zum Rücksetzen auf Null in Form eines Feldeffekttransistors 8 a, dessen Steuerelektrode 11 eine Spannung r zum Rücksetzen aul Null über eine Diode 12 erhält), hat der Multiphzierer 4:

einen Sägezahngenerator 13. der durch die Taktschaltung 9 getriggert wird, die Taktimpulse in einen Eingang 4 e des M ultiplizierers 4 (tatsächlich des Generators 13) einspeist,

einen Vergleicher 14 (der durch einen Differentialverstärker und einen Negator gebildet wird), der die Amplitude der Sägezahnimpulse des Sägezahngenerators 13 mit der Cosinus- und oder Sinus-Funktion von 2nKf_op<-> gleich ] vom Funktionsgenerator 3 vergleicht und zwei entgegengesetzte Signale O und Q abgibt; zwei Feldeffekttransistoren 15 und 16, die abwechselnd unter Steuerung durch die Signale Q und Q leiten, wobei der Transistor 16 direkt durch das Ausgangssignal der Leseeinrichtung Z gespeist wird während der Transistor 15 durch die Leseeinrichtung 2 über einen Negator 17 (also einen Multiplizierer, der mit -1 multipliziert) gespeist wird; der Transistor 15 überträgt daher -zip») zum Integrator 5 unter Steuerung durcn das Signal Q, während der Transistor 16 r(p«> zum Integrator 5 unter Steuerung durch das Signal Q überträgt.

Die Summe der JV Produkte, die einem Wert von K entspricht, wird schließlich durch den Integrator erhalten, der auf Null durch die Spannung K nacfl jeder Berechnung eines Punkts von Z{f) rückgesetzt wird.

Daher müssen für einen Wert von Zt/> <^v Punkte berechnet und summiert werden.

Um η Punkte von Z(/) zu erhalten, müssen π -.JV Produkte berechnet werden (also für eme

Ausgang des oder der Funktionsgeneratoren 3 ange- 65 Korrelationsfunktion. die an η Punkten definiert

Ausgang des oder der Fkge 3 ange schlossen ist, einen Integrator 5. der an den Ausgang dfe oder der Multiplizierer 4 angeschlossen und vorteilhafterweise durch einen Funktionsverstärker 6 mit n Produkte).

Es soll jetzt der Cosinus- oder Sinusgenerator Beschrieben werden.

Er muß das Signal

d = ^T cos 2.T Kf₀ ρθ Λ (ι - ρθ)

ρ
oder

S* = Ύ^_ sin 2.T K/o p« <) (t - pW)
(Λ = Dirac-Funktion)

für ganzzahliges K von 1 bis η — 1 und ganzzahliges ρ von

T
θ

N 2

erzeugen.

Das Prinzip dieses Funktionsgenerators für eine abgetastete Funktion ist bereits oben an Hand von F i g. 7 beschrieben worden.

Eine Ausführungsform eines derartigen Funktionsgenerators 3 ist in den Fig. 14 und 15 abgebildet.

Die Arbeitsweise kann in zwei Teile unterteilt werden:

Speicherung der elektrischen Spannungen entschaltung erlaubt die Addition von K zum Inhalt der Speicherschaltung bei jedem Synchronisationsimpuls. Ebenso wird nach jedem Impuls das durch die Ausgangssignale U_tt, D₁₁ und C₀ der Speicherschaltung gebildete Adressenwort um K erhöht.

Wenn folgender Anfangszustand angenommen wird:

K=I ► [/„ = 0 D_a = 0 C = 0

ίο liegt K₀ an S an; nach einem Impuls:

K = I U_a = 1 D₀ = O C_a = O

liegt K₁ an S an; nach zwei Impulsen:

K = I U₁₁ = 2 D_a = O C₁₁ = O

liegt K₂ an S an und so weiter bis zum (n - l)-tcn Impuls; beim η-ten Impuls ergibt sich

sprechend η =

N + I

cos-Werten für äquidistante

Werte der Variablen zwischen 0 und n; Programmierung des Lesens dieser verschiedenen Cosinuswerte.

a) Speicherung der Cosinus- (oder Sinus-) werte

Die aufeinanderfolgenden Werte der Cosinus-Funktion sind durch elektrische Spannungen K₀. V₁ ... K_n., dargestellt (die tatsächlich Spannungen sind, die den η - 1 Cosinuswerten entsprechen, die äquidistant zwischen 0 und 180° liegen) und werden sequentiell durch Feldeffekttransistoren, =. B. T₀, Γ, ... T_n., (Fig. 14) eingelesen. Das System verhält sich also wie ein elektronischer Schalter mit η Eingängen und einem gemeinsamen Ausgang S.

Wenn der Transistor T₂ leitet tritt an S die Spannung V₂ auf, entsprechend bei Leitung des Transistors Tj an S die Spannung K₁.

Die Feldeffekttransistoren T₀. T₁ ... T_{n t} werden durch eine Diodenmatrix gesteuert, die die Einer-, Zehner- und Hunderterstelle der Leseadresse decodiert.

b) Programmierung des Lesens, wenn man die Fouriertransformierte einer Korrelationsfunktion erhalten will, die durch eine Korrelationseinrichtung geliefert wird.

Es ist oben gezeigt worden, daß in diesem Fall Tür π Punkte der Korrelationsfunktion für τ > 0 oder τ < 0 η programmierte Punkte der Cosinus-Funkiior vorhanden sind.

Die Programmierung kann erfolgen mit Hilfe eines «-fach untersetzenden Binäruntersetzers, eines Dezimalzählers und einer Gatterschaltung, deren Ausgangssignal den Wert von K definiert.

Für die Programmierung kann eine Speicherschaltung vorgesehen sein, deren drei Ausgangssignale U₀, D, und C_a in die Decodiermatrix (vgl. die Dioden in Fig. 14) gelangen, die aus den Signalen U_m. D_a und C_n die Zahlen 0, 1. 2 ... 199 gewinnt und die Feldeffekttransistoren T₀. T₁ ... von Fig. 14 steuert.

K nimmt um Eins alle π Synchronisationsimpulse zu. bleibt also η Impulse lang konstant. Die Gatter-K = 2

17 = 0 D„ = 0

= 0

es liegt also K₀ erneut an S an; beim (n + l)-ten Impuls ergibt sich:

K = 2

U_a = 2 D₁₁ = 0 C_n = 0

und damit K₂ an S.
Das heißt:

für die Impulse von 1 bis η - 1, K = 1 liegen an S nacheinander an:

V₀. V₁. V₂. V, ... K_n.₂. K_n.,;

für die Impulse von η bis 2 η — 1. K = 2 liegen an S nacheinander an:

V₀. V₂. K₄... K„_3, K_n.,, K„_3 ... V₂. V₀;

für die Impulse von 2ii bis 3« — 1, K = 3 liegen an S an:

I₀. K,. K₆. K₉... K„_₄.K„_,.K„_₄... K₀...

usw., so daß schließlich für die Impulse zwischen (n - 2) η und (n - 1) r - 1 man erhält K = N - 1 und nacheinander an S

V_n. V_n^. V₀. F_n., ... K_n_,.V₀.

Die Vorrichtung kann auch zusätzliche Organe aufweisen.

Insbesondere, wenn das Signal z(t) nicht Null für die Grenzen - T und + T ist, weist die Fouriertransformierte von :{i) parasitäre oder Störschwingungen auf. Diese können insbesondere bei der Berechnung der Fouriertransformierten einer Korrelationsfunktion auftreten, wie jetzt gezeigt werden wird.
Wenn man die Fouriertransformierte einer Korrelationsfunktion C(t| wählt, die zwischen -τ_Μ und + t_m definiert ist. muß man zwei Fälle unterscheiden. Erster Fall:C(T(istOfür|i > τ_Η;ιη diesem Fall genügt die Anwendung der Grunddefinition, und die Fouriertransformieite von CU) gibt S{f\. Zweiter Fall:

C(t ) ist von 0 verschieden !OtItI > r„; das bedeutet, daß die Korrelationsfunktion C(t) aus einer Korrelationsfunktion C₁U) durch Rundung erhalten worden ist. wobei C,(τ) gleich 0 für M > τ_ΙΜ mit τ_ΙΜ > τ_Μ ist.

C (τ) ist daher C₁ (τ), multipliziert mit einer »Fenäter«-Funktion W(τ_Μ), d. h.

er«) =

C{t) = Cj (r)- W{t_m)
0 für |τ| > t_m

(21)

fiir -

Wenn man die Founertransformierte von C{t) berechnet, entspricht dem im Zeitbereich gegebenen Produkt Ci(t) · \Υ(τ_Μ) im Frequenzbereich das FaI-tungsprodukt

⁽²²⁾

Si 1) ist daher das Ergebnis der Faltung des wirklichen Spektrums S₁(Z) mit der Funktion

sin 2 .τ Z tm

2 j

Diese Faltung führt parasitäre Schwingungen (oder Keulen) für S(Z) ein.

Man verringert diesen Nachteil durch Multiplizieren der Korrelationsfunktion mit einer sogenannten Gewichtsfunktion.

Es existieren grundsätzlich drei verschiedene Gewichtsbildungsverfahren :

a) Das Verfahren nach von H a η η (genannt »Hannen«), das im Multiplizieren von C(t) mit

i (1 + cos ^{n T}) besteht;

b) das Verfahren nach R. W. H a m m i η g (genannt »Hammen«), das im Multiplizieren von C(t) mit

0,54 + 0,46 cos *^T besteht;

c) das Verfahren nach Fauque — Berthier, das im Multiplizieren von C(t) mit

sin .-7

^r'

45

besteht **

Die beiden ersten Verfahren sind klassische Verfahren, während das dritte von den Erfindern stammt. weshalb es kurz erläutert werden soll.

Es sei W,_U) ein Zeitausschnitt (Fi g. 1) der mit

^I0 Die so (durch Hannen oder Hammen) erhaltenen Spektralausschnitte sind im Vergleich zu Q₀(Z) sehr gestaucht.

Es ist daher im Spektralbereich notwendig, die Seitenkeulen von Q₀(J) ohne zu starke Verringerung der Höhe der Mittelkeule zu verringern.

Dazu wird die Faltung von ßo(/) mit einem rechteckigen Ausschnitt Q_A{f) durchgeführt, dessen Breite gleich der Periode der Seitenkeulen von Q₀(Z),

nämlich ' (Fig. 3) ist; diesem Ausschnitt QJf) entspricht im Zeitbereich (F i g. 4) ein Ausschnitt

'^{5 da man im} Frequenzbereich die Faltung von Q₀(Z") _durch Q^f₎ vornehmen kann, genügt es im Zeitbereich, das Produkt von W{r_M ) mit q_A(r) zu bilden, da

Qo(Z'* QaU) ^ W[t_m)-q_A{r). (24)

Man kann daher für dieses Gewicht nach Fauque-Berthier gut C{r) mit

sin .τ

⁷M T

^TM

multiplizieren.

In Fig. 5 sind als Funktion von f ■ τ_Μ die Kurven P„ bei klassischen Gewichten (Hannen oder Hammen), P_FB bei neueren Gewichten (nach Fauque -Berthier) und P₀ ohne Gewichten abgebildet.

Um diese Störschwingungen zu schwächen, kann man die Abtastungen von z(t) mit einer Zeitfunktion

der Form ^S1" ^p gewichten. Dies wird vorgenommen,

indem ein Verstärker mit veränderlicher Verstärkung verwendet wird. Die Verstärkung dieses Verstärkers wird durch die Synchronisationsimpulse für das Lesen von z{f-)p) gesteuert. Die veränderliche Verstärkung wird durch Beschälten eines Operationsverstärkers mit verschiedenen Widerständen erhalten, deren Wert für die Abtastung Nr. ρ proportional zu sin (~) π

■', ist. wobei ρ eine ganze Zahl zwischen 0 und

Hp

Τ/Θ ist.

Eine praktische erprobte erfindungsgemäße Vorrichtung hatte folgende Betriebswerte:

Dauer einer Multiplikation: 1 |xsec;
er Berechnung 1

der das Spektrum faltet, wenn es überhaupt nicht gewichtet wird. Dieser Spaktralausschnitt Q₀(f) ist da er seitliche Keulen einführt, hat Vorteil, daß er im Frequenzbereich schmal ist und daher eine genügend gute Auflösung gibt.

Das gewöhnliche Gewichten (Hannen oder Hammen) kann fast ganz die Scitenkeulen zum Verschwinden bringen, multipliziert aber praktisch mit dem Faktor 2 die Breite des Spcktralausschnitts und dividiert daher durch 2 dessen Höhe, dadurch wird die Auflösung beträchtlich verringert.

damit für die Berechnung des Rc.il- und Imaginärteils der Fourierlransformierten: 80 msec

Wenn die Funktion z(t) für N Punkte zwischen - T und 4- T bekannt und die Halbperiodc dci Cosinus-Funktion zwischen 0 und T an η Punkten

(" = τ J programmiert ist, kann leicht durcl

eine Abänderung des Programms der Adresse eine ganze Periode der Cosinus-Funktion erzeugt werden, die das Intervall -T, +T erfaßt.

Die in Fig. 14 gezeigte Schaltung erfordert einen ziemlichen Aufwand:

a) Es müssen η elektrische Spannungen entsprechend π Abtastungen der Cosinus-Funktion vorgesehen werden, die zwischen 0 und π den gleichen Abstand voneinander haben, weshalb η Potentiometer benötigt werden, wobei n = 100 oder 200 ist;

b) es sind η Feldeffekttransistoren T nötig, um die n Abtastungen sequentiell zu lesen.

Bei einer abgewandelten Ausführung kann man anstatt der Speicherung von η Abtastungen V₀, V₁, V₂ usw. und des sequentiellen Lesens dieser η Abtastungen einen Verstärker mit veränderlicher Verstärkung in Abhängigkeit von den Adressen 0,1,2 usw. verwenden.

Die veränderliche Verstärkung kann entsprechend der in Fi g. 15 abgebildeten Schaltung erzielt werden; die einen Verstärker 23, einen Widerstand 24 gleich R/x und einen Widerstand 25 gleich R/100 hat, so daß für die Verstärkung GIG] = x/100 gilt.

Man muß daher den Eingangswiderstand R/x variieren, um die Verstärkung des beschalteten Verstärkers in Abhängigkeit von den Adressen 0, 1, 2 usw. zu variieren. Man bildet den Widerstand R/x durch Parallelschalten eines Netzwerks von Widerständen 24 mit den Widerstandswerten R, R/2, R/4, R/2, R/10, R/20, R/40, R/20, R/100. Mit einem solchen Widerstandsnetzwerk kann man durch Kombinationen alle Werte von χ zwischen 0 und 199 erzielen.

Das Ansprechen und die Abhängigkeit von χ sind

nur durch die Genauigkeit der Widerstände begrenzt.

Der Widerstand R/100, der eine Gegenkopplung des

Verstärkers vornimmt, dient zur Begrenzung der Verstärkung.

Fig. 16 zeigt eine Ausführung für χ = 76.

F i g. 17 zeigt die Anordnung der F i g. 15 und 16, d.h. eine Anordnung, die an Stelle der von Fig. 14 in der vollständigen Vorrichtung verwendet werden ίο kann. In dieser F i g. werden die Widerstände 24 durch Feldeffekttransistoren 26 umgeschaltet, die entweder gesperrt (Zustand 0) oder leitend sind (Zustand 1).

So entspricht »76« dem logischen Wort 01110110, das in den Fig. 16 und 17 abgebildet ist Ähnlich erhält man für die anderen Werte gemäß der folgenden Tabelle

R 20	R40	R 20	R 10	R2	R4	R2	R
0	1	1	1	0	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	0	0	0

Jede Adresse i = 0, 1, 2 usw. kann man einem logischen Wort zuordnen, dessen äquivalente Analoggröße K₀, V₁, V₂ usw. ist. Bei einer derartigen Anwendung entsprechen diese Spannungen den Abtastungen einer Cosinus-Funktion zwischen 0 und π.

Man könnte auch jedes andere Bildungsgesetz wählen und so irgendeinen Funktionsgenerator vorsehen, der jeder Adresse i eine Spannung K₁ zuordnet.

Hierzu 7 Blatt Zcichnupuen

509 639/100

Claims (6)

Patentansprüche:

1. Vorrichtung zur Erzeugung von Fouricrtransformierten einer reellen Funktion z(t), die in einem Intervall der Länge 2 · T bekannt und in diesem Intervall in abgetasteter Form an N Punkten vorgegeben ist, die gleichmäßig um ein Intervall Θ getrennt sind, so daß die Funktion z(t) in der Form ζ{ρθ) vorliegt, wobei ρ eine ganze Zahl

ist und - —

ρ < — gilt, indem das Produkt

von ζ(ρθ) mit cos i- Κρθ für ganzzahliges K.

das von Null bis einschließlich ~ lauf:, und/oder

das Produkt von ζ(ρθ) mit sin ~ KpW für ganzzahliges K. das von 1 bis einschließlich _H läuft.

gebildet wird, und indem diese nacheinander gebildeten Produkte summiert werden, wobei jede Summe einen Abtastpunkt bezüglich der Frequenz

-, ₇ der Fouriertransformierten darstellt, g e -

kennzeichnetdurch

a) einen Speicher (1) zur Speicherung in Digitaloder Analogform der Werte der abgetasteten Funktion z(p(->),

b) eine Leseeinrichtung (2) zum Lesen in Analogform des Inhalts des Speichers (1),

c) mindestens einen Analogfunktionsgenerator (3)

für die Funktion cos 7 KpH mit einer Quelle bzw. η Quellen für verschiedene Spannungen, die Abiastwerten d°r Kosinus-Funktion cos I KpH

für 0 bis 180 im betrachteten Intervall der Länge IT für labendes ρ und K - 1 entsprechen, und mit elektronischen Ein-Aus-Schallern, mittels denen bei Betätigung durch eine Synchronisiereinrichtung (9) der Ausgang des Analogfunktionsgenerators (3) aufeinanderfolgend mit jeder bzw. bei K > !jeder K-ten Spannung der 11 Spannungsquellen bei deren K-fachem Durchlauf bcaufschlagbar ist,

d) mindestens einen Analogmultiplizierer (4), an dessen einen Eingang der Ausgang der Leseeinrichtung (2) und an dessen anderen Eingang der Ausgang des Funktionsgenerators (3) angeschlossen ist,

e) einen an den Ausgang des Multiplizierers (4) angeschlossenen Integrator (5) mit einer Einrichtung zum Rücksetzen auf Null und

f) die Synchronisiereinrichtung (9) zum Synchronisieren des Lesens des Inhalts des Speichers (1) und des Betriebs des Funktionsgenerator (3).

2. Vorrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die elektronischen Ein-Aus-Schalter Feldeffekttransistoren (T_n, 7] ...) sind.

3. Vorrichtung nach Anspruch I oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß die /1 Spunnungsquellcn (K₀. K₁ ...) voneinander getrennt sind und daß zwischen jeder Spannungsquelle und dem Ausgang (S) des Anaiogfunktionsgenerators (3) einer der elektronischen Ein-Aus-Schalter (7J₁. Tj ...| liegKFi g. 14).

4. Vorrichtung nach Anspruch I oder 2. dadurch gekennzeichnet, daß die elektronischen Ein-Aus-Schalter (26) jeweils mii einem eigenen Widerstand (24) in Reihe geschaltet sind, daß diese Reihenschaltungen zueinander parallel im an eine Bezugsspannungsquelle (V_ref) angeschlossenen Eingangskreis eines Verstärkers (23) am Ausgang (S) des Anaiogfunktionsgenerators liegen und daß die Anzahl der elektronischen Ein-Aus-Schalter (26) und die Widerstandswerte der zugeordneten Widerstände (24) so gewählt sind, daß die /j Spannungsquellen nacheinander jeweils durch die mittels der entsprechenden betätigten Ein-Aus-Schalter erzielte Beschallung des Verstärkers (23) in Verbindung mit der Bezugsspannungsquelle (V_rcf) gebildet sind (Fig. 15 bis 17).

5. Vorrichtung /ur automatischen Energiespektraldichte-Analyse, bestehend aus einer Vorrichtung zur Erzeugung der Fouriertransformierten einer reellen Funktion nach einem der Ansprüche 1 bis 4 und einer vorgeschalteten Einrichtung zur automatischen Korrelationsfunktions-Berechnung in Realzeit.

6. Vorrichtung nach Anspruch 5. dadurch gekennzeichnet, daß eier Einrichtung zur Berechnung der Korrelationsfunktion ein Verstärker mit versin Hn , , ,

änderlicher Verstärkung _H nachgeschaltet