DE1937258A1 - Verfahren und Vorrichtung zur Erzeugung der Fouriertransformierten einer Funktion - Google Patents

Description

Patentanwalt· Dfp!.-Ing. R. Beetz u.

Dipl.-Ing. Lamprecht 410-14.779P 22.7.1969

München 22, Stehndorfetr. 1·

Commissariat a 1*Energie Atomique, Paris (Frankreich)

Verfahren und Vorrichtung zur Erzeugung der Fouriertransformierten einer Funktion

Die Erfindung betrifft ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Erzeugung der Foüriertransformierten einer Funktion, wegen des großen Interesses für die Praxis insbesondere, aber nicht ausschließlich ein Verfahren und eine Vorrichtung zur automatischen Berechnung einer Korrelationsfunktion zur automatischen Analyse einer Energiespektraldichte.

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Erzeugung der Fourlertransforraierten einer reellen Funktion, die als physikalische Größe vorliegt, anzugeben, die besser als bisher den Erfordernissen der Praxis angepaßt sind, um insbesondere Signale in einem großen Band zu verarbeiten und einfacher die automatische Analyse einer Energiespektraldichte vorzunehmen.

Ein Verfahren zur Erzeugung der Foüriertransformierten einer reellen Funktion ζ (t), die in einem Intervall der Länge 2 T bekannt und in diesem Intervall in abgetasteter Forra an N Punkten vorgegeben ist, die gleichmäßig um ein Intervall θ getrennt sind,

410-(B 25l6)-HdE (0)

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BAD 08KStNAL

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so daß die Funktion ζ (t) in der Form ζ (ρθ) vorliegt, wobei ρ eine ganze Zahl ist und - 3 ^ P ^ H gilt, 1st gemäß der Erfindung dadurch gekennzeichnet, daß das Produkt von ζ (ρβ) mit cos % Κρθ für ganzzahliges K, das von Hull bis einschließlich s läuft, und/oder das Produkt von ζ (ρβ) ait sin ff KpB für ganzzahliges K, das von 1 bis einschließlich |j läuft, gebildet wird und daß diese nacheinander gebildeten Produkte summiert werden, wobei jede Summe einen Abtastpunkt bezüglich der Frequenz 5- der Fouriertransformierten darstellt.

Eine Vorrichtung zur Erzeugung der Fouriertransformierten einer reellen Funktion durch das erfindungsgemäSe Verfahren ist gekennzeichnet durch einen Speicher zur Speicherung in Digital» oder Analogform der Werte der abgetasteten Funktion ζ (ρθ)« durch eine Leseeinrichtung zum -Lesen -In Änalogforaj des Inhalts des Speichers, durch mindestens einen'AnalogfunktlGasgenerator für die Funktion cos ™ Κρθ «nd/odei* sin ~ Kp0, durch mindestens einen Analogmultiplizlerer.» an dessen einen Eingang der Ausgang der Leseeinrichtung und an dessea anderen Eingang der Ausgang des Funktionsgenerators angeschlossen ist, durch einen an den Ausgang des Multiplizierers abgeschlossenen Integrator mit einer Einrichtung aus* Rücksetzen auf Null, und durch eine Synchronisiereinrichtung suia Synchronisieren des Lesens des Inhalts des Speichers und des Betriebs des Funktionsgenerators.

Die Erfindung wird vorteilhaft weitergebildet durch einen bevorzugten Aufbau des Funktiorisgenerators oder der Funktionsgeneratoren, des Multipiisie^ers und des Integrators, wie sie weiter unten beschrieben werden, ebenso wie durch Verwendung der erfindungsgemäßen Vorrichtung mit einer Korrelationseinrichtung, die mit reeller Zelt arbeitet, wie sie insbesondere in der französischen Patentschrift 1 495 ^50 (Anmeldetag:

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SADORiGJNAt

25» April 1966} beschrieben ist.

BIe Erfindung ist Insbesondere auf eine bestimmte Anwendungsart, nämlich die autoBatische Analyse einer Energiespektraldichte gerichtet« aber darauf nicht beschränkt. Durch die Erfindung werden ferner insbesondere ein automatischer Analysator für die Spektraldichte über der reellen Zeit, der das erfindungsgeusäBe Verfahren durchführt., und Bauelemente eines derartigen Analysator« angegeben.

Die Erfindung soll anhand der Zeichnung näher erläutert werden. Es zeigen:

FLg. 1-4 Zelt· und entsprechende Spektralausschnitte ohne (vergleiche Flg. 1 und 2) bzw. mit Gewichten " nach Faugue-Berthier (vergleiche Fig. 3 und k), um dieFouriertransforfflierte einer Korrelationsfunktion zu bestinasenj

Fig. 5 den Vergleich der beiden Gewichtsarten und des Falls ohne Gewichte;

Fig. 6 die Fouriertransformierte einer abgetasteten Funktion; Fig. 7 drei Cosinusfunktionen für K gleich 1, 2 bzw. 3;

Fig. 8 und 9 einerseits und Flg. 10 und 11 andererseits die Anwendung des Verfahrens gemäß der Erfindung für den Spezlalfall einer Autokorrelationsfunktion bzw. einer Interkorrelatlonsfunktion (wegen der Definition der Autokorrelatlonsfunktloüi und der Interkorrelationsfunktion, vergleiche beispielsweise französische Patentschrift 1 475 006 (Anmeldetag: 28. Oktober 1965));

Fig.12 schematisch eine Vorrichtung gemäß der Erfindung zur Erzeugung der Fouriertransformierten einer als physikalische Größe bekannten Funktion;

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ORIGINAL

Fig.13 - 15 bevorzugte AusfUhrungsbeispiele von Schaltungsblöcken von Fig. 12, nämlich des Multiplizierers, des Cosinus- oder Sinusfunktionsgenerators und der Steuer-, einheit dieses Generators; und

Fig.16 bis 18 AusfUhrungsbeispiele der Leseeinrichtung fUr die Cosinusfunktion.

Vorzugsweise ist die Erfindung für die Erzeugung der Fouriertransformierten einer als physikalische Größe bekannten Funktion vorgesehen, insbesondere zur automatischen Analyse einer Spektral· dichte, wie im folgenden näher erläutert werden wird.

Es soll zunächst daran erinnert werden, daß die Analyse der Energiespektraldichte ein Problem 1st, das bei vielen Gelegenheiten auftritt, insbesondere bei der genauen Analyse von Schwingungserscheinungen und der Rauschanalyse. '

Zur Lösung derartiger Probleme sind gegenwärtig auf dem .Markt zwei Einrichtungstypen erhältlich:

Ein einfacher Heterodyn-Spektraldlchteanalysator, der den großen Nachteil aufweist, daß er nicht mit reeller Zeit arbeitet; um die Messung über ein Zeitintervall T. zu integrieren, muß dieser Vorgang für Jeden Spektralpunkt wiederholt werden, so daß für N₁ Spektralpunkte eine Meßzeit erforderlich 1st,'die größer als das Produkt N.T. 1st, außerdem muß vorher das ganze zu verarbeitende Signal gespeichert werden;

der sogenannte "Irapulsraff"-Spektraldichtanalysator, der als mit reeller Zeit arbeitend betrachtet werden kann, aber durch die Kapazität des Speichers, der zum Zeitraffen dient, Beschränkungen unterliegt, was im allgemeinen die Untersuchung des Signals während eines genügend großen ZeitIntervalls T,

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verhindert; an diese Einrichtung muß daher ein Digitalintegrator angeschlossen werden, der relativ kompliziert ist und damit den Preis beträchtlich erhöht; außerdem ist dieser Analysator frequenzmäßig beschränkt und kann nicht Signale verarbeiten« .deren Spektrum mehr als einige kHz umfaßt.

Im Gegensatz dazu erlaubt die Erfindung die Gewinnung der Spektraldichte über reeller Zelt für ein beliebig großes Zeitintervall T,. Die Erfindung erlaubt die Verarbeitung von Signalen innerhalb eines sehr großen Frequenzbandes (zum Beispiel von 0 bis 4 MHz), wobei dieses Frequenzband noch ausgedehnt werden kann, da es nur durch die Betriebseigenschaften der Schalttransistoren begrenzt ist (im untersuchten AusfUhrungsbeispiel wurde freiwillig eine Beschränkung auf diese Betriebseigenschaften vorgenommen, um die Schalttransistoren In sehr einfachen Schaltungen verwenden zu können). Die Einfachheit des Ausführungsbeispiels führt zu einem bedeutend wirtschaftlicheren Analysator im Vergleich zu den beiden oben erwähnten Analysator· typen, die gegenwärtig auf dem Markt erhältlich sind.

Vor einer genaueren Erläuterung der Erfindung sollen die grundsätzlichen Eigenschaften von Fourlertransformierten zusammengefaßt werden.

Es sei eine reelle Funktion ζ (t) bekannt, und zwar nicht als mathematischer Ausdruck, sondern als physikalische Größe für Werte einer Variablen t zwischen -T und +T.

Es soll zunächst angenommen werden» daß .diese Funktion den Wert Null, für alle Werte der Variablen t außerhalb des Intervalls (-T,. +T) hat.

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BAD ORIGINAL

Sine derartige funktion gestattet die Bildung einer Fouriertransformierten Z (f) gemäß der Formel:

-2 5Γ Jft Z (f) = I ζ (t) e dt. (1)

Da ζ (t) außerhalb des Intervalls {-T*, +T) Null ist, kann Gleichung (l) geschrieben werden als:

. · -2 % Jft Z (f) = ζ (t) e dt, (2)

-T

und damit:

T T

(f) - J" ζ <t) cos 23Tft dt · J f ^ (t) Bin 2 ^" ft dt (» T

Z ()

-T -T

Z (f) ist also im allgemeinen eine komplexe Funktion der Variablen f und hat einen (in der Pfcase) realen Teil:

j s (t) cos 2 ^c ft dt

-T

und elnen(claau seBkrse^vxtva)imaginären Teil:

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original

. -J

^{z (t) sin 2} ^ ^{ffc dfc}*

Als Aoplitudenspektrum kann definiert werden

[ H₂<f)J

k_z<i>

und als Phasenepektrum

I„ (D
0 (f) = Arc tg -5 (7)

Han weiß« daß Z (f) als Frequenzspektrum einer physikalischen Funktion ζ (t) selbstverständlich ein endliches Spektrum ist, da das durchgelassene Band Jedes reellen Vorgangs endlich ist. Bs gibt daher eine Frequenz F_ derart« daß für } fj ^ Fo, Z (f) Null ist (oder kleiner als ein vorgegebener Wert £, der beliebig klein gemacht werden kann)·

Z (f) 1st daher Im allgemeinen nach der oben gegebenen Definition eine Funktion von t, die außerhalb des Intervalls (-Fo, +Fo) Null ist.-

In praktisch allen Fällen ist es nicht notwendig, das Spektrum Z (f) kontinuierlich su kennen. Man kann sich im Gegenteil mit der Kenntnis von Werten Z (f) für diskrete Werte der Variablen f begnügen.

O O 98 0 8/1191

"" "■ , ■ . ■ -i Ϊ; V ü

SAD ORIGINAL

1937259 - a-

Es liegt dann nicht Z (f), sondern eine Folge von Werten

Z (0), Z (fo), Z (2fo), .. Z (Kfo), Z (pfo)

Po

mit ganzzahligera ρ^4- vor.

Man kann also schreiben:

K ■ η "

Z* (f) = fο > : Z (Kfo) S (f - Kfo) (8)

mit Z* (f) als abgetasteter Funktion Z (f), fo als Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten des Spektrums Z* (f) und <f (f-Kfo) als Dirac¹scher Deltafunktion, die eine Erweite- , rung des Kronecker-Symbols in- den Bereich der Funktionen oder Verteilungen bedeutet. Per definitionem ist die Funktion S (x) so beschaffen, daß für eine beliebige Funktion c (x) einer einzigen kontinuierlichen Variablen gilt:

\c (je) cf (x) dx = c (O) und damit \ c (x) <f (x - y) dx sc(y)

für alle Werte yj die Deltafunktion kann also durch eine vertikale Linie der Breite Null und der Höhe Unendlich mit von Null verschiedener endlicher Fläche "dargestellt" werden.

Man kann zeigen, daß, wenn die Funktion ζ (t) im Intervall C-T, +T) bekannt ist, es unmöglich ist, zu versuchen, das Spektrum mit einer "Definition" über der Frequenz oberhalb i-m zu erhalten.

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Man kann daher setzen fo = ■ » woraus folgt

K » η

^(f > ⁼ 2*5 /* ^Z

Daher kann man entsprechend berechnen

K = η
R*

2V

K = O

Was jetzt für den Realteil von Z (f) gezeigt werden wird, kann ohne weiteres auf den Imaginärteil von Z (f) übertragen werden.

Nachdem das Grundsätzliche über die Fouriertransformierten wiederholt werden ist, kann die Fouriertransformierte berechnet werden.

Wegen per definitionem
T

^Rz (^f) ⁼ \ ²^) ^{cos 2} ^^{ft dt} -T

erhält man

R_z (Kfο) β \ z(t) cos 2^Ck fο t dt (12) -T

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Es muß daher berechnet werden

ζ (t) cos 2 SC Kfo t dt

Dazu ist es notwendig, ζ (t) alt der Funktion cos 2 5t Kfo t zu multiplizieren und danach das Integral dieses Produkts über das Intervall -T bis +T zu bilden, in dem % (t) bekannt ist.

Diese Operation muß man für die verschiedenen Werte von K von O bis Irj wiederholen.

Dazu muß die Funktion ζ (t) gespeichert werden, wobei es am bequemsten ist, die Funktion ζ (t) nach der Äbtastimg zn speichern, das heißt, die Funktion ζ (t), die'durch eine Folge von Punkten mit den Werten

Κθ, .... (m - I)Q, .... mö

gebildet ist, wobei m eine ganze ZaIiI von O bis —g- ist (wie weiter unten gezeigt werden wird, werden zur Durchführung des Verfahrens geinäß der Erfindung die Werte von ζ (t) für Jeden dieser Augenblicke gespeichert, und swar eitweder in Digitalform, zum* Beispiel durch Kerne oder foistabile Elemente, oder in Analogform, zum Beispiel als Kondensatorladungen). Die Funktion ζ (t) ist daher durch eine Folge von Werten ζ (-mO), ... ζ (-ΚΘ), .... ζ,(*θ), z(0), ζ(θ), ... ζ(Κ®), .... z(m§) dargestellt. .

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BAO ORlQiNAt

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% - 11 -

Das Shannon-Theorem (wozu noch Ausführungen gemacht werden · sollen) zeigt« daß es für die Rückgewinnung der Funktion ζ (t) durch diese Abtastungen ausreicht* wenn das Abtastintervall ^β < WS- beträgt.

Man ist daher berechtigt, anstelle von ζ (t) zu verwenden

ρ = Τ/Θ

z* (t) ~ β V"¹ ζ(ρθ)£ (t - ρθ) (I?)

1
θ

(wenn man P = - 5 oder P = s schreibt, 1st daraus ersichtlich, daß ρ eine ganze Zahl zwischen -X und + \ ist, wobei Λ eine ganze Zahl ist« die unmittelbar kleiner als 5 ist).

Man kann zeigen (vergleiche welter unten), daß, wenn die Funktion ζ (t) durch z* (t) bekannt ist, man den genauen Wert R_z (Kfo) erhält durch

ρ * Τ/Θ
R. (Kfo) s 9 \ ζ (ρθ) cos 2 ÜC Kfo ρθ

ρ - -θ

Es wurde gezeigt, dafl der niedrigste Wert, den man für fo erhalten konnte,

war« woraus folgt

iBOS 2^^ ρθ (15)

OOBS0»/11fl

§Αβ ORIGiNM.

Das heißt, um den genauen Wert von

cos

t dt

zu erhalten, genügt es, von der Funktion ζ (t), abgetastet gemäß dem Abt as t theorem von Shannon ausgehend« jede Abtastung von z*(t) mit der entsprechenden Abtastung von cos 2 3Γ-~s t zu multiplizieren, das heißt, jeden Wert ζ (ρθ) mit dem Wert der Cosinusfunktion im Zeitpunkt ρθ zu multiplizieren, und diese Produkte zu summieren, was gerade das Verfahren gemäß der Erfindung aus· macht.

Es 1st daher vollkommen Überflüssig, irgendeine Interpolation zwischen den aufeinanderfolgenden Abtastungen vorzunehmen.

Im allgemeinen wird die Abtastfrequenz 2F größer als SFo sein, so daß man erhält:

woraus folgt:

^COfi

ρ - -2F_eT

Ein derartiges Verfahren gemäß der Erfindung erlaubt die Bestimmung der Energiespektraldichte (des Leistungsspektrums)

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über reeller Zeit.

Wie bereits erwähnt wurde» erlauben die bekannten Analysator en die Bestimmung dieses Leistungsspektrums über der reellen Zeit, indem sie die Zeit raffen und anschließend eine Schmalbandfilterung vornehmen. Derartige Analysatoren sind kompliziert, teuer sowie auf einige 10 kHz hochfrequenzmäßig beschränkt.

Im Gegensatz dazu ist es leicht möglich, ein Leistungsspektrum aus der Autokorrelationsfunktion des Signals auf Grund des Wiener-Kinchine-Theorems zu gewinnen.

Das Wiener-Kinchine-Theorem sagt im wesentlichen, daß die Energiespektraldichte eines Signals und die Autokorrelationsfunktion dieses Signals gegenseitige Fouriertransformierte sind, was folgendermaßen geschrieben werden kann:

C
xx

woraus folgt

25Tjf (T-T^f)

d r¹ df (17)

Γ χ (t) χ (t -X) dt (18)

-T

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-■...- 14 -

Ebenso definiert man ein Interspektrum S_w (f), das die ertransformierte der Interkorrelai zwischen zwei Signalen χ und y 1st mit

Fourlertransformierte der Interlcorrelationsfunktion C_.

j.

c_xy (τ) = -φ- I χ (t) y(t - τ) dt. (i9)

-τ

Dieses Interspektrum S (f) ist sehr «richtig für viele Probleme, besonders wenn die Funktion C (T) das Impulsver« halten eines Systems 1st. In dieses Fall ist S (f ) die Über gangsfunktion oder das Frequenzverhalten dieses Systems.

Ss gibt Einrichtungen, die automatisch die Autokorrelationsund Interkorrelationsfunktion erzeugen, ferner diese Funktionen in abgetasteter Form liefern, das heißt, in einer Folge von äquidistanten Impulsen.

K = Τ/Θ
C * (T) = ö V C (JcO) <T (t-KO) (20)

Es genügt daher, an derartige Korrelationseinrichtungen eine Fouriertransformiereinrlchtung, die nach dem Verfahren gemKB der Erfindung arbeitet, anzuschließen, um eine Anordnung zur automatischen Analyse der Spektraldichte über reeller Seit zu erhalten. Sine derartige Anordnung ist viel weniger aufwendig als die auf dem Markt erhKltllehmSpekträldichteaBalysatoren, die nach anderen Prinzipien arbeiten» und zeigt gegenüber diesen eine höhere Leistung.

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8AD

Es sollen jetzt die Voraussetzungen zur Berechnung der Fouriertransfonsierten einer Korrelationsfunktion geprüft werden.

Wenn man die Fourlertransformierte einer Korrelationsfunktion wählt, die zwischen -*ZT_U und + ^₁₁ definiert ist, muß man zwei FKlIe unterscheiden. Erster Fall: C (T) ist 0 für fr| >T_M; in diesen Fall genügt die Anwendung der Grunddefinition, und die Fouriertransformierte von C (T) gibt S (f). Zweiter Fall: C (Γ) ist von 0 verschieden füriroT^; das bedeutet, daß die Korrelationsfunktion C (T) aus einer Korrelationsfunktion C₁ (T) durch Rundung erhalten worden ist, wobei C₁ (T) gleich für > T

C ("X} ist daher C₁ (T), multipliziert mit einer "Fenster"-Funktion W ( ^τ _Μ)» das heißt

(icy ."W (T_M)

ro fur

Wenn man die Fouriertransformierte von C (T) berechnet, entspricht dem la Zeitbereich gegebenen Produkt C-(T) , w_h, ( "C ) im Frequenzbereich das Faltungsprodukt

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y f ^l: X

AI4ÖKO QAB

BAD ORlGiNAt

sin 2^Γ Γ T_w S <f) -S, (Γ)* 2·τ Ü (22);

^{1 M} 20Tf τ

sin 2 57 f τ _Μ C₁ (τ) . w (τ ) ^e s (f) * 2Τ !L. (2j)

S (D i^st daher das Ergebnis der Faltung_vdes wirklichen Spektrums S j (f) mit der Funktion

sin 2 X f T₁.:

2 t„ —5L

Diese Faltung führt parasitäre Schwingungen (oder Keulen) for S (D ein«

Man verringert'diesen Nachteil durch Multipilzleren der; Korrelatlonsfünktlon mit einer sogenannten

Kbc eadLöitlereni grundsEtzlich drei verscMedenee dungsverfahren:_;

Dass Verfahren nach v«» von Hann (genannti, "tonnen;¹¹),■ ißiMulMpMzieren von C (Γ) mit ~ (1 + coah ")

b) dasi Verfahren nach R^W* Hamming (genannte "Kämmen*}>_ν das inr Multiplizieren von σ ("T) mit 0,54 ^- O, ^ cos*-=—— fee*· steh*; , ^w

e;)· das Verfahren nach Fauque-Berthler, da& lar von ß (T) mit

11 9-1

BAD ORIGINAL

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sin

¹⁵S

besteht.

Die beiden ersten Verfahren sind klassische Verfahren, während das dritte jüngeren Datums ist, weshalb es kurz erläutert werden soll. \

Es sei W (^_Μ) ein Zeitausschnitt (Pig. 1), äe^ arfLt

Funktion (T) multipliziert wird, und es sei Q_Q (f) ein entsprechender Spektralausschnitt (Fig. 2), der das Spektrum faltet, wenn es überhaupt nicht gewichtet wird. Dieser Spektralaussohnitt Q (f) ist unerwünscht, da er seitliche Keulen einführt, hat jedoch den Vorteil, daß er im Frequenzbereich schmal ist und daher eine genügend gute Auflösung gibt.

Das gewöhnliche Gewichten (Hannen oder Hammen) kann fast ganz die Seitenkeu^en zum Verschwinden bringen, multipliziert aber praktisch mit dem Faktor 2 die Breite des Spektralausschnitts und dividiert daher durch 2 dessen Höhe, dadurch wird die Auf* lösung beträchtlich verringert.

Die so (durch Hannen oder Hammen) erhaltenen Spektralausschnitte sind im Vergleich zu Q_Q (f) sehr gestaucht.

Es ist daher im Spektralbereich notwendig, die Seitenkeulen von Q (f) ohne zu starke Verringerung der Höhe der Mittel^keule zu verringern.

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Dazu wird die Faltung von Q (f) mit einem rechteckigen

Ausschnitt Q. (f) durchgeführt, dessen Breite gleich der

1 ■ Periode der Seitenkeulen, von Q_rt (f), nämlich ■=— (Fig. 2) ist;

O ' W||

diesem Ausschnitt Q_A (f) entspricht im Zeitbereich (Fig. 4) ein Ausschnitt q. (τ)

sin

da man im Frequenzbereich die Faltung von Q_ (f) durch Q. (f) vornehmen kann« genügt es im Zeitbereich, das Produkt von W ( mit q_A (T.) zu bilden, da

V ^(f > * ^QA ^(f} f=^ ^W <^ΓΜ⁾ * ^qA ^{(T) (24)}

Man kann daher für dieses Gewichten nach Fauque-Berthier gut C (*£*) mit

sin T—^-

q_A M

multiplizieren.

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In Fig. 5 sind als Funktion von f. ¹C _M die Kurven P^ bei klassischem Gewichten (Hannen oder Hamraen), P^g bei neueren Gewichten (nach Fauque-Berthier) und P ohne Gewichten abgebildet.

Um die allgemeinen Ausführungen zu beenden, soll jetzt auf das Abtasttheorem von Shannon zurückgekommen werden.

Es sei ζ (t) eine Fünktlony und es sei ein System vorgegeben« daß diese Funktion mit der Frequenz Fe abtastet, das heißt, den Wert der Funktion ζ (t) für die Equidistant um β » ^ getrennten Zeitpunkte herausgreift.

Die Funktion ζ (t) wird daher eine abgetastete Funktion ζ* (t), die durch eine. Folge von Werten- dargestellt, ist*

Das kann man schreiben

η -.«;■- oder noch anders^

■HN»-.

^- Ft"

ft::=»

^;! Λ ν--

Man weiß, daß V] <f-(t - ;gjr~) als Fouriertransformierte ergibt

Fe ^p₁ (Γ (f - Kfe),
K= -«

das heißt

J^ Σ (28)

η = - &β K= -

Wenn man annimmt, daß ζ (t) eine Fouriertransformierte Z (f) ergibt, kann man schreiben, daß die Fouriertransformierte ζ * (t )> die mit $ [z * (t)^ bezeichnet wird, gleich dem Produkt der Faltung der Fourlertransformterten von ζ (t) mit der Fourier trans-

formierten von

»«sr- ■

η * -oo

, β© da# siiCit ergibt r

m* -

undi damit

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- 21 -

ζ (t) 1 ist daher eine Summe der Punktionen

♦...Z(f - Xfe),....Z(f - Pe), Z(f), Z(f + Fe),....Z(f + KFe),

Man hat daher eine Summe von Funktionen, die auseinander durch Translationen von Fe entlang der Frequenzachse gewonnen sind.

Wenn'ζ (t) ein endliches Frequenzspektrum ist, das heißt, wenn Z (f) im wesentlichen Null für j f| ^. F_Q ist, verändern diese Translationen nicht die Form der Kiemente Z (f-KFe), vorausgesetzt, daß Fe größer oder gleich 2 F_Q ist..Ks findet daher dort keine Rückgewinnung der Spektren statt, wie aus Flg. 6 ersichtlich ist, in der auf der Abszisse f und auf der Ordinate CTPz* (t)l aufgetragen sind.

Unter diesen Bedingungen erlaubt das Spektrum Z.(f) von z*~(t) die Rückgewinnung des Spektrums Z (f) von ζ (t). Zu diesem Zweck genügt es, Z₁ (f) mit einer Ausschnittefunktion Q (jT/ ^zu roultlplizieren, die folgende Werte annimmt:

Q (Fe/2) = 0 für f < - -^- und f > ψ Q (Fe/2) - 1 für - ψ < f < ψ- .

Daraus folgt Z (f) - Z₁ (f) . Q (f).

Man wählt diesen Ausschnitt Q (f) praktischerweise, indem

Fe Fe
man Z₁ (f) nur zwischen - §= und + £r berücksichtigt.

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Man erhält daher

Z (f) * Z₁ (f) . Q (f).

Bei Bildung der Pouriertransformierten der beiden Paktoren ergibt sich

ζ (t) - z* (t) * Pe (31)

% P e t

und damit

_{} Ä pe} sinjTpe_t (32) ST Fe t

und daraus

sin *jZ Fe (t - ^S-

(33)

Das ist das Abtasttheorem von Shannon, aus dem hervorgeht, daß, wenn eine Punktion ζ (t) ein Frequenzspektrum hat, das durch die Werte (-P_Q* F_Q) begrenzt ist, ζ (t) aus den mit

einer Frequenz Fe ^ 2F_Q durchgeführten Abtastungen wiedergewonnen werden kann.

Wenn man zur Pouri ertransformierten von ζ (t) zurückkehrt, die per definitionem

Z (f) - ■ Γ ζ (t) e " ^{2JU ft} dt

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$"■>■■ · 1937253

- 25 ist, ergibt sich für die Fouriertransformlerte von z* (t)

e " ^{2Jti ft} dt (35)

Mail sieht daher, daß durch Berücksichtigung von Z₁ (T) nur zwischen -Fe/2 und Fe/2 Z (f) »wiedergewonnen wird.

Die beiden obigen Ausdrucke sind daher äquivalent; unter diesen Bedingungen schreibt sich:

Z₁. Cf) « Γ s*(t) e - ²^ ^ft dt (36)

als

4- (^fi - f ιέ- I

4/—oe n-

oder noch anders

dte (37)

mit

woraus folgt.

(40)

Wenn die Punktion ζ (t) für -T bis +T bekannt ist und für |t| ^- T Null ist, ändert sich η von -TFe =-p bis +TFe
daraus folgt

η a ρ

■ι <^f > ■ ir E

η = -ρ

Wenn man nur die Werte von f zwischen - und ^- berücksichtigt (das heißt tatsichlich zwischen O und ?r), ergibt sich

it)

Fe/2

Z (f I

und* damit z (rl ^

.* P

Pe

Wenn f für diekrete Werte Kfö variiert wird* erhllt aan

Z (KföX

η = —ρ

Kfö * O

XBt

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oder wegen 0 = j^

Z (Kfo) = 0 Υ*** ζ (ηθ) e - ²* J ^{Kf0 nö} ^

η =* -ρ

was sich zerlegt in

η = ρ
Il (Kfo) ** Q S¹ ζ (ηθ) cos 2% Kfo ηθ (46)

Z ^j

η m -ρ

und '

η = ρ

I (Kfo) = θ J~\ Z (ηθ) sin 2 3T^-KfO nO (47) ^z η - -p

Wenn fο = ist, erhält man wieder die Formel (15):

η m T/O
^Rz ( ^ ^{β ö} / ^z ^^nÖ^ ^{coe 2 nö}

Y2

η -

Die vorangegangenen Ausführungen sind erfiigt, usi Jetzt die linzelheiten des Yerfahrens gemäß der Irfindung zu erläutern.

Die Punktion ζ (t) soll in abgetasteter Form vorliegen, wobei θ das Abtastintervall sei.

Die Funktion ζ (t) wird daher durch eine Folge von Werten ....z (-KO),.... ζ (-2Θ), ζ (-Θ), ζ (O), ζ (O), ζ (2ö), ....ζ (ΚΘ)

dargestellt, die auf der Achse t um das gleiche Intervall θ getrennt

0 0 9 8 0 8/1191

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Die Werte ζ (KO) werden in Digitalform (zum Beispiel in einem Speicher aus Kernen oder sonstigen bistabilen Elementen) oder in Analogform gespeichert (zum Beispiel als Kondensatorladungen).

PUr die Berechnung der Fouriertransformierten von ζ (t) werden die Abtastwerte von ζ (t) schließlich in Analogform entweder durch eine Digital-Analog-Umsetzung des Speicherinhalte» wenn sie in Digitalfora vorliegen» oder durch direkte« Lesen des Speichers eingelesen» wenn sie in Analogform vorliegen.

Die Funktion ζ (t), die mit dem Intervall 0 abgetastet worden ist, wird daher durch N Funkte definiert» wobei N eine ganze Zahl ist» die unmittelbar kleiner als ^-| 1st.

Da das Intervall 2 T im allgemeinen grofl gegen das Intervall 0 ist» kann man vereinfacht schreiben N * + 1.

Da die Funktion ζ (t) in einem Intervall 2 T bekannt ist, kann die Grenze des Spektrums nioht oberhalb -x-m sein» daher wird f_A - i-jK gewählt» so dafi die niedrigste Frequenz der Co si nut funk ti on ^-^ - f wird. Daher erhält man am Inde der

N Punkte von cos 2 3Γ Jj^ p©

cos (2 5T^- . 2T) - cos 2

2ÜL

Man kann daher eine Periode der Funktion cos p~nF~ *« ^die an N Punkten mit einem Intervall θ abgetastet ist, bilden (Fig. 7a zeigt ein Beispiel für N - 4l und η = -. 21), das heiflt eine programmierte Cosinusfunktion.

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BAD ORIGINAL

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Durch Bildung der Produkte von ζ (ρθ) mit cos 2 ¹K und durch Summation dieser Produkte erhält man

^{cos 2αΓ}Α ^p0

P — I

Wenn nan jetzt K « 2 für die Cosinusfunktion wählt, erhält nan für ζ (ρθ), cos 2S ·—= 2 pö, und wenn man die Summe der ρ Produkte ζ (ρβ), cos 25T-^ 2 ρθ bildet, erhält man

ρ - Τ/β

Praktiseh führt das zum Lesen jedes «weiten Werts der progranod-erten Cosinusfunktion zurück, also mit den Adressen Q, 2, k_t (S ,. .JTJ

Wenn »an jetzt die Punkt» der program«ierten Cosinusfunktion jeder dritten Adresse liest (JIg.. 7c), erhllt sam für Jeden Wert» von 2 (p©) den zugehörigen Wert der Cosinus

txom .S3fc ^^

Durch Bildung der Produkte und der Suame der Produkte erhält nan

■^β £2 ■ ■ * ^^^{ö0S 2}^ A

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Ibenso erhält man durch Lesen der Werte der programmierten Coeinusfunktlon für jede K-te Adresse den allgemeinen Ausdruck

ρ = Τ/Θ

R_z (£ψ) -β Υ") ζ (Ρ©) cos f^ Kpö

ρ =-Τ/θ

und das für zunehmende Werte von K bis K = η - 1 mit η s N +

oder η - 1 = $-~± = |, woraus folgt ^g—i - |-^- = ^ (Fe ist gleich der Abtastfrequenz); damit ergibt sich

T/Ö

ic Bs ist überflüssig, R_z ( ) für K η - 1 zu berechnen,

da höhere Werte von K Frequenzen des Spektrums entsprechen, die über ^p liegen; ^ ist bereite gröÄer oder gleich F .

Das gibt außerdem eine Kontroll*, .weil R„ () gleich Null sein muß.

Is soll Jetzt der Spezialfall untersucht werden, dafl ζ (t) eine Korrelationsfunktion ist, die im Intervall *^/Cbis ·+%, bekannt ist. Is sollen folgende beiden möglichen Annahmen gemacht werden:

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a) ζ Cc) ist eine Autokorrelationsfunktion. Han weifl, dad die Punktion ζ (*ΐ) eine gerade Funktion ist: ζ (ΐ) = ζ (-T), daher reicht die Kenntnis von ζ (T) für C^O aus» und wenn nan N Punkte von ζ (t) für t ^- 0 kennt, hat das die Kenntnis von

N - 2 η - 1 Punkten von ζ (T) für t ^ 0 zur Folge.

Unter dieser Annahme programmiert man für N Punkte eine Halbperiode der Cosinusfunktion.

b) ζ (IT) ist eine Interkorrelationsfunktion· Man berechnet ζ (⁴Z) und * (-T)r

für "C^O an η Punkten: *

fürT< 0 an η - 1 Punkten» und man kommt so zu der vorangegangenen Annahme zurück.

Daher genügt es für die Anwendung des Verfahrens gemJLfi der Erfindung auf Korrelationsfunktionen« eine Halbperlode der Cosinusfunktion für eine Anzahl η von Punkten gleich der Anzahl der bekannten Punkte des entsprechenden Teile der Korrelationsfunktion entweder für T>0 oder T < 0 zu programmieren.

Aus den Fig. 8 und 9 ist ersichtlich« daß die Kenntnis von η Punkten der Autokorrelationsfunktion der Kenntnis von (2n-l) Punkten dies·!? Funktion entspricht, wobei dies« Figuren die Kurvenpaare χ (t) und cos zeigen« die duroh Autokorrelation verknüpft sind.

Man programmiert daher die Cosinusfunktion an η Punkten und operiert an η Punkten der Autokorrelationefunktion, da· lr$«bni» muß noch mit 2 multipliziert werden.

98Ö8/11II:

ßAD

Die Interkorrelationsfunktion berechnet «an im allgemeinen PaIl₉ genKe dem sie von Null verschieden zwisohen - ^_n und +^j₄ ist; zuerst an η Punkten von 0 bis ^_M, danach an η Punkten von 0 bis -T«.

FUr die Berechnung von Z (f) führt man nacheinander Operationen mit den beiden Teilen der Interkorrelationsfunktion durch und bildet die Summe der beiden Fouriertransformationen, wobei nur einmal die entsprechenden Produkte für.C = ο berechnet werden. Fig. 10 und 11 seigen die Kurvenpaare ζ (t) und cos, die durch Interkorrelation verknüpft sind* wobei »wischen den beiden Fällen B < 0 und I J> 0 unterschieden wird.

Daher 1st in diesen Fällen die Anzahl der programmierten Punkte für eine Halbperiode der Coslnusfunktion (bei der niedrigsten Frequenz) gleich der Anzahl der Punkte der Korrelationsfunktion für T >o oder t ^ 0.

Falls die Funktion ζ (t) nicht gerade ist, ame man auch berechnen,

¹Z ⁽lr⁾ -⁰Y"¹* (Ρ«J »in ff'

•β Süi daher auch die Funktion sin ff KP° berechnet werden*

Dazu genügt es, die programmierten Wert· der Cosinusfunktion mit einer Phasenverschiebung von einer Tiertelperlode tu "lesenⁿ _# das heilt, das Lesen mit dar Abtastung su »eglnrien, die den Wert Mull hat (Abtastung Hn—·τ? 10 in Flg. 7a), anstatt das Lesen mit der Abtastung su beginnen, dl« den Wert 1 hat (Abtastung Nummer p in Flg. 7a).

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8AO ORIQiNAL

Nachdem das Verfahren und die Mittel zum Analoglesen der programmierten Werte der Cosinus- und/oder Sinusfunktion genauer beschrieben worden sind» soll Jetzt Fig. 12 erläutert werden, in der ein Ausführungsbeispiel der Vorrichtung gemäß der Irfint -dung zur Erzeugung einer Fouriertransformation abgebildet ist.

Die abgebildete Vorrichtung hat einen Speicher 1 zum Spei· ehern (in Digital- oder Analogform) der Werte der abgetasteten Funktion ζ (ρβ), eine Leseeinrichtung 2 zum Lesen in Analogform des Inhalts des Speichers, 1, mindestens einen Analogfunktlonsgenerator 3 für die Funktion cos ^ KpQ und/oder sin ^ KpG, mindestens einen Analogmultiplizlerer 4, von dem ein Eingang 4a an den Ausgang der Leseeinrichtung 2 und der andere Eingang 4b an den Ausgang des oder der Funktionsgeneratoren 3 angeschlossen ist, einen*Integrator 5» der an den Ausgang des oder der Multiplizierer 4 angeschlossen und vorteilhafterweise durch einen FunktIonsverstärker 6 mit einem dazu parallel geschalteten Kondensator 7 gebildet sowie mit einer Rücksetzeinrichtung zum Rücksetzen auf Null wie einem normalerweise offenen,Schalter 8 versehen ist, und eine Einrichtung wie eine Taktschaltung 9» um das Lesen durch die Leseeinrichtung 2 des Speicherinhalts und den Betrieb des oder der Generatoren J zu synchronisieren; das gewünschte Ausgangssignal Z (f) ist bei 10 abnehmbar.

In der Schaltung von Fig. 12 variiert ρ von - (n-1) bis + (n-1) und I¹ von - Ws ^g in Sprüngen von f_Q - ^{mL% n a}' ¹' · K*¹¹ erhält also bei 10 punkt weise das fusgangsslgnal der Fouriertransforaierten von ζ (t).

Der Multiplizierer 4 hat vorteilhafterweise den in der französischen Patentschrift 1 493 450 (Anaeidetag: 25. April 1966)

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siso cm s™ ^OfilGlNAL

beschriebenen Aufbau. .

Es handelt sich dabei um einen Multiplizierer (multiplieur ä decoupage), bei dem der Flächeninhalt eines Impulses, der in der Länge durch den einen Faktor und in der Amplitude durch den anderen Faktor moduliert ist, proportional zum Produkt ist.

In dem in Fig. 13 abgebildeten Ausführungsbeispiel, in dem noch einige andere Baugruppen der vollständigen Vorrichtung zu sehen sind: der Funktionsgenerator 3» die Taktschaltung 9, der Integrator 5 (mit dem Funktionsverstärker 6, dem Kondensator 7 und einem Schalter zum Rücksetzen auf Null in Form eines Feldeffekttransistors 8a, dessen Gatter 11 eine Spannung r zum Rücksetzen auf Null über eine Diode 12 erhält), hat der Multiplizierer 4:

einen Sägezahngenerator 13 (zum Beispiel eine bootstrap-Schaltung), der durch die Taktschaltung 9 getriggert wird, die Taktimpulse in einen Eingang 4c des Multiplizierers 4 (tatsächlich des Generators 13) einspeist,

einen Vergleicher 14 (der durch einen Differentialverstärker und einen Negator gebildet wird), der die Amplitude der Sägezahnimpulse des Sägezahngenerators 13 mit der Cosinus- und/oder Sinusfunktion von 2 Ji Kf ρθ gleich ψ Κρθ vom Funktionsgenerator 3 vergleicht und zwei entgegengesetzte Signale Q und φ abgibt, wobei Q durch den Vergleich im Verstärkerteil entsteht, während φ den Negatorteil verläßt (dessen Eingang an den Ausgang des Verstärkers angeschlossen ist), und wobei die Signale Q und § beispielsweise den in Fig. 3 (Signale X (t) und X (t) der genannten Patentschrift abgebildeten Verlauf haben; und

zwei Feldeffekttransistoren 15 und 16, die abwechselnd

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- 33 -

unter Steuerung durch die Signale Q und φ leiten, wobei der Transistor l6 direkt durch das Ausgangssignal der Leseeinrichtung 2 gespeist wird, während der Transistor 15 durch die Leseeinrichtung 2 über einen Negator 17 (also einen Multiplizierer, der mit -1 multipliziert) gespeist wird; der Transistor 15 überträgt daher - ζ (ρθ) zum Integrator 5 unter Steuerung durch das Signal Q, während der Transistor 16 ζ (ρθ) zum Integrator 5 unter Steuerung durch das Signal Q überträgt.

Die Summe der N Produkte, die einem Wert von K entspricht, wird schließlich durch den Integrator 5 erhalten, der auf Null durch die Spannung r nach jeder Berechnung eines Punkts von Z (f) rückgesetzt wird.

Daher müssen für einen Wert von Z (f) N Punkte berechnet und summiert werden.

Um η Punkte von Z (f) zu erhalten, müssen n.N Produkte berechnet werden (also für eine Korrelationsfunktion, die an η Punkten definiert ist, η Produkte).

Es soll Jetzt der Cosinus- oder Sinusgenerator beschrieben werden.

Er muß das Signal

C* = ) cos 2$TKf_o ρθ S (t - ρθ)

sin 2 Jt Kf ρθ S (t - ρθ)

0 0 9 8 0 8/1191

193725a

für ganzzahliges K von 1 bis η - 1 und ganzzahliges ρ von -Z ^{bis +} 5

erzeugen.

Das Prinzip dieses Funktionsgenerators für eine abgetastete Funktion ist bereits oben anhand von Fig. 7 beschrieben worden.

Eine Ausführungsform eines derartigen Funktionsgenerators 3 ist in den Fig. 14 und 15 abgebildet.

Die Arbeitsweise kann in zwei, Teile unterteilt werden:

N + Speicherung der elektrischen Spannungen entsprechend η = —ρ—

cos-Werten für äquidistante Werte der Variablen zwischen 0 und ; Programmierung des Lesens dieser verschiedenen Cosinuswerte.

a) Speicherung der Cosinus- (oder Sinus-) werte.

Die aufeinanderfolgenden Werte der Cosinusfunktion sind durch elektrische Spannungen V_Q, V₁, ...., V_n-1 dargestellt (die tatsächlich Spannungen sind, die den n-1 Cosinuswerten entsprechen, die äquidistant zwischen 0° und l80° liegen) und werden sequentiell durch Feldeffekttransistoren, zum Beispiel T₀, T., ... T_n-1 (Fig. 14) eingelesen. Das System verhält sich also wie ein elektronischer Schalter mit η Eingängen und einem gemeinsamen Ausgang S.

Wenn der Transistor T« leitet, tritt an S die Spannung V„ auf, entsprechend bei Leitung des Transistors T. an S die Spannung

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193725a"

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Die Feldeffekttransistoren werden durch Diodenmatrizen gesteuert, die die liner-, Zehner- und Hunderterstelle der Leseadresse decodieren.

b) Programmierung des Lesens, wenn man die Fouriertransformlerte einer Korrelationsfunktion erhalten sill, die durch eine Korrelationseinrichtung geliefert wird.

Is 1st oben gezeigt worden, daß in diesem Fall für η Punkte der Korrelationsfunktion für T J> 0 oder t <0 η programmierte Punkte der Cosinusfunktion vorhanden sind.

Die Programmierung (Flg. 15) wird mit Hilfe eines n-fach untersetzenden Binäruntersetzers l8, eines Dezlmalblnärzähle'rs 19» eines TJND-Gatters 20 (in das einerseits das Einerausgangssignal U~, das Zehnerausgangssignal D^ und das Hunderterausgangssignal C_K des Zählers 19 und andererseits die Reihenfolge der Parallelübertragung von der Taktschaltung 9 über eine Leitung eingespeist werden) und eines Parallelbinärakkumulators 22 vorgenommen.

Die drei Ausgangssignale U_n, D_n und C des Akkumulators

a a a

gelangen in eine Decodiermatrix 27, die aus den Signalen U . D_D

Ct. Cl

und C_a die Zahlen 0, 1, 2, ... 199 gewinnt und die Feldeffekta

transistoren T , T.... von Fig. 14 steuert.

Die Logikzustände U„, D_x und C_K stellen den Wert von K für die Einer-, Zehner- und Hunderterstelle dar.

K nimmt daher um Eins alle η Synchronisationsimpulse zu, bleibt also η Impulse lang konstant. Das UND-Gatter 20 erlaubt die Addition von K zum Inhalt des Binärspeichers bei jedem Synchronisationsimpuls. Ebenso wird nach Jedem Impuls die Adresse

009808/ 1191

193725a - 56 -

, D , C ) des Akkumulators um K erhöht, a

Wenn folgender Anfangszustand angenommen wird:

_{κ =} ι > υ _ν = 1 Ώ_ν - O C₁, =

Λ. Λ Λ

und U_e = O D. = O C₀ =

α α α

liegt V₀ an S an;

nach einem Impuls:

K=I ü_R = 1 D_K = 0 ⁰K ⁼ ° U_a = 1 D_a - 0 C_a = 0

liegt V₁ an S an;
nach zwei Impulsen:

K=I U_K = 1 D_K = 0 C_K = 0

U_a - 2 D_a . 0 C_a - 0

liegt Vp an S an;

und so weiter bis zum (n-l)-ten Impuls; beim η-ten Impuls ergibt sich

K=2U_K=2 ^dk ^{= 0 C}K ^{= 0 ü}a - ° ^Da ^β ° ^ca = °

009808/1191

193725a

es liegt also Y_Q erneut an S an;
beim (n+l)-ten Impuls ergibt sich:

K=2 U₁, = 2 D₁T = O C_v = 0

Λ Λ. Λ.

U_ = 2 D„ = 0 C„ = 0

und damit V_g an S.
Das heißt:

für die Impulse von 1 bis η - 1, K= 1 liegen an S nacheinander an: .

VVVV V V ·

^v0* ^vl' ^V2' ^V3* ^vn-2' ^vn-l'

für die Impulse von η bis 2 η - 1, K = 2 liegen an S nacheinander an:

V ^V2· V V₅- Vi' V₅ V ^vo'

für die Impulse von 2 η bis Jn- 1, K =3 liegen an S an:

V ^V3' V V Vv Vi* Vv V *···''

usw., so daß schließlich für die Impulse zwischen (n-2) η und (n-l)n - 1 man erhält K=N-I und nacheinander an S

^V0' ^Vn - 1' ^V0' Vl' ··"· ^Vn - 1' ^V0* Die Vorrichtung kann auch zusätzliche Organe aufweisen.

Insbesondere, wenn das Signal ζ (t) nicht Null für die Grenzen - T und + T ist, weist die Fouriertransformierte von ζ (t)

0 09808/1191 .

proportional zu — ist, wobei ρ eine ganze Zahl zwischen

1937253 - je'-

Schwingungen wie oben angegeben auf.

Um diese Storschwingungen zu schwächen, kann man die Abtastungen von ζ (t) mit einer Zeitfunktion der Form ^-f£—E _gewichten. Dies wird vorgenommen, indem ein Verstärker mit veränderlicher Verstärkung verwendet wird. Die Verstärkung dieses Verstärkers wird durch, die Synchronisationsimpulse für das Lesen von ζ (θρ) gesteuert. Die Veränderliche Verstärkung wird durch Beschälten eines Operationsverstärkers mit verschiedenen Widerständen erhalten, deren Wert für die Abtastung Nr. ρ proportional zi
0 und Τ/Θ ist.

Die Vorrichtung hat folgende·Betriebswerte:

Dauer einer Multiplikation: 1 /usec;

Dauer der Berechnung eines Punkts der Fouriertransformierten, wenn die Funktion ζ (t) für 200 Punkte bekannt ist: 200 /usecj

Dauer der Berechnung der Fouriertransformierten für 200 Punkte des Spektrums: 200 χ 200 /Usec = 40 msec;

und damit für die Berechnung des Real- und Imaginärteils der Fouriertransformierten: 80 msec.

Wenn die Funktion ζ (t) für N Punkte zwischen -T und +T bekannt und die Halbperlode der Cosinusfunktion zwischen 0 und T an η Punkten (n - ^-^— ) programmiert ist, kann leicht durch eine Abänderung des Programms der Adresse eine ganze Periode der Cosinusfunktion erzeugt werden, die das Intervall -T, +T erfaflt.

Ss ist ersichtlich, daß die in Fig. 14 gezeigte Schaltung zwei Nachteile hat:

009808/T 191

. 193725a

a) Xs müssen η elektrische Spannungen entsprechend η Abtastungen der Cosinusfunktion vorgesehen werden, die zwischen und 5C den gleichen Abstand voneinander haben, weshalb η Potentiometer benötigt werden, wobei η = 100 oder 200 ist;

b) es sind η Feldeffekttransistoren T nötig, um die η Abtastungen sequentiell zu lesen.

Bei einer abgewandelten Ausführung kann man anstatt der Speicherung von η Abtastungen V₀, V-, V₂ usw. und des sequentiellen Lesens dieser η Abtastungen einen Verstärker mit veränderlicher Verstärkung in Abhängigkeit von den Adressen 0, 1, 2 usw. verwenden.

Die veränderliche Verstärkung kann entsprechend der in Fig. Γ6 abgebildeten Schaltung erzielt werden; die einen Verstärker 23, einen Widerstand 24 gleich R/x und einen Widerstand 25 gleich R/100 hat, so- daß für die Verstärkung Q I QJ = x / 100 gilt.

Man muß daher den Eingangswiderstand R/x variieren, um die Verstärkung des beschalteten Verstärkers in Abhängigkeit von den Adressen 0, 1, 2 usw. zu variieren. Man bildet den Widerstand R/x durch ParalIeIschalten eines Netzwerks von Widerständen 24 mit den Widerstandswerten R, R/2, R/4, R/2, R/10, R/20, R/40, R/20, R/100. Mit einem solchen Widerstandsnetzwerk kann man durch Kombinationen alle Werte von χ zwischen 0 und 199 erzielen.

Das Ansprechen und die Abhängigkeit von χ sind nur durch die Genauigkeit der Widerstände begrenzt. Der Widerstand R/100, der eine Gegenkopplung des Verstärkers vornimmt, dient zur Begrenzung der Verstärkung.

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- 4o -

Fig. 17 zeigt eine Ausführung für χ = 76.

Fig. l8 zeigt die Anordnung der Fig. 16 und 17* das heißt, eine Anordnung, die anstelle der von Fig. 14 in der vollständigen Vorrichtung verwendet werden kann. In dieser Fig. werden die Widerstände 24 durch Feldeffekttransistoren 26 umgeschaltet, die entweder gesperrt (Zustand 0) oder leitend sind (Zustand 1).

So entspricht "76" dem logischen Wort 01110110, das in den Fig. 17 und 18 abgebildet ist. Ähnlich erhält man für die anderen Werte gemäß der folgenden Tabelle

R/20	R/40	R/20	R/10	R/2	R/4	R/2	R	X
0	I	1	1	0	1	1 ,	0	76
0	1	1	1	0	1	1	1	77
0	1	1	1	1	0	0	0	78

Jede Adresse i = 0, 1, 2 usw. kann man einem logischen Wort zuordnen, dessen äquivalente Analoggröße V_Q, V-, V₂ u*j. 'ist. Bei einer derartigen Anwendung entsprechen diese Spannungen den Abtastungen einer Cosinusfunktion zwischen 0 und St .

Man könnte auch jedes andere Bildungsgesetz wählen und so Irgendeinen Funktionsgenerator vorsehen, der Jeder Adresse i eine Spannung V^ zuordnet.

0 09808/119 1

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Im Pall einer Pouriertransformationseinrlchtung ist diese Lösung sehr vorteilhaft. Im wesentlichen mit 8 Widerständen kann man ebenso viele Abtastungen V. erzeugen, wenn man eine Genauigkeit von 1 % wünscht. Mit 12 Widerständen erreicht die Genauigkeit 0,1 %.

Für eine Pouriertransformationseinrichtung für 200 Punkte führt das in Fig. 14 abgebildete Ausführungsbeispiel zu 200 Potentiometern und 200 Feldeffekttransistoren, während die in Fig. l8 ausgebildete Ausführung mit 12 Widerständen und 12 Feldeffekttransistoren auskommt.

Es ist also ersichtlich, daß unabhängig von dem gewählten Ausführungsbeispiel in jedem Pail eine Vorrichtung zur Erzeugung der Pouriertransformierten einer Punktion angegeben wird, deren Arbeitsweise ausreichend aus der vorangegangenen Beschreibung verständlich ist und die im Vergleich zu den bekannten derartigen Vorrichtungen zahlreiche Vorteile, insbesondere die folgenden, aufweist.

Die Vorrichtung gemäß der Erfindung ist zunächst bedeutend einfacher und anpassungsfähiger, und sie ist leistungsfähiger als die bekannten Vorrichtungen, insbesondere, wenn sie an eine automatische Korrelationseinrichtung, die mit reeller Zeit arbeitet, angeschlossen ist, um einen Spektraldichteanalysator zu bilden.

Die Vorrichtung gemäß der Erfindung hat insbesondere eine größere Bandbreite, sie kann mit reeller Zeit arbeiten, ist sehr zuverlässig und rechnet sehr schnell.

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Claims (1)

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- 42 Patentansprüche

■- 1. Verfahren zur Erzeugung der Pouriertransformierten einer reellen Punktion ζ (t), die in einem Intervall der Länge 2 T bekannt und in diesem Intervall in abgetasteter Form an N Punkten vorgegeben ist, die gleichmäßig um ein Intervall θ getrennt sind, so daß die Funktion ζ (t) in der Form ζ (ρθ) vorliegt, wobei ρ

m m

eine ganze Zahl ist und - 3 ^ P ^. s ß^ilt;* dadurch gekennzeichnet, daß das Produkt von ζ (ρθ) mit \ cos ψ Κρθ für ganzzahliges K, das von Null bis einschließlich \ läuft, und/oder das Produkt von ζ (ρθ) mit sin ^ Κρθ für ganzzahliges K, das von 1 bis einschließlich 3 läuft, gebildet wird und daß diese nacheinander gebildeten Produkte summiert werden, wobei jede Summe einen Abtastpunkt bezüglich der Fre-ςμβηζ %m de*· Fouriertransformierten darstellt.

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß zur

Hl 21l

Erzeugung der Funktion cos ψ Κρθ die Funktion cos —£ t an N Punkten des Intervalls 2 T abgetastet wird, die um das Intervall θ getrennt sind, und daß einer von K dieser Abtastwerte herausgegriffen wird.

J5. Vorrichtung zur Erzeugung der Fourlertransformierten einer reellen Funktion durch das Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, gekennzeichnet durch einen Speicher (l) zur Speicherung in Digital- oder Analogform der Werte der abgetasteten Funktion ζ (ρθ), durch eine Leseeinrichtung (2) zum Lesen in Analogform des Inhalts des Speichers (l), durch mindestens einen Analogfunktionsgenerator (3) für die Funktion cos -^ Κρθ, durch mindestens einen Analogmultipllzierer (4), an dessen einen Eingang der Ausgang der Leseeinrichtung (2) und an dessen anderen Eingang

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der Ausgang des Funktionsgenerators (3) angeschlossen ist, durch einen an den Ausgang des Multiplizierers (4) angeschlossenen Integrator (5) mit einer Einrichtung zum Rücksetzen auf Null, und durch eine Synchronisiereinrichtung (9) zum Synchronisieren des Lesens des Inhalts des Speichers (1) und des Betriebs des Funktionsgenerators (3).

4. Vorrichtung nach Anspruch 3* dadurch gekennzeichnet, daß der Multiplizierer (4) für eine doppelte Modulation von Amplitude und Dauer vorgesehen ist.

5· Vorrichtung nach einem der Ansprüche 3 und 4, dadurch gekennzeichnet, daß der Integrator (5) ein Operationsverstärker (&) ist, parallel zu dem einerseits ein Kondensator (7) und andererseits ein elektronischer Schalter (8) geschaltet sind, der das Rücksetzen auf Null vornimmt (Fig. 12).

6. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 3 bis 5» dadurch gekennzeichnet, daß der Funktionsgenerator (3) η Transistoren (T_Q# T,, ... T_n-1 )» insbesondere Feldeffekttransistoren, in Parallelschaltung hat, die durch Signale (U . D₀, C) mit dem Stellen-

el & &

wert Eins, Zehn und Hundert schaltbar sind und an einen gemeinsamen Ausgang (S) η Spannungen (V_Q, V., .... V_n-.) entsprechend den (n-1) Werten der Cosinusfunktion abgeben können, die gleichmäßig zwischen 0° und l80° verteilt sind (Fig. 14).

7. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 3 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß der Funktionsgenerator (3) eine Serienschaltung aufweist, die aus einer Parallelschaltung von mehreren Zweigen mit jeweils einem Transistor (T_Q, T,, ...), insbesondere einem Feldeffekttransistor, und jeweils einem Widerstand (24) mit vorbestimmten Widerstandswert (R/x), wobei die

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Parallelschaltung eine Bezugs spannung (V- ) empfängt, und aus einem Verstärker (23) besteht, der durch einen Widerstand (25) mit vorbestimmten Widerstandswert (R/100) überbrückt ist, und daß die verschiedenen Widerstandswerte so gewählt sind, daß die Serienschaltung eine Verstärkung ergibt, die um (n-1) aufeinanderfolgende Schritte nach einem Cosinus-Bildungsgesetz ansteigt (Fig. 18).

8. Vorrichtung nach einem der Ansprüche 6 und 7, dadurch gekennzeichnet, daß der Generator (3) umfaßt einen (n-l)-fachen Untersetzer (18), der durch die SynchronisLereinrichtung (9) gespeist ist, einen Dezimalzähler (19), der mit dem Ausgang des Untersetzers verbunden ist und Impulse (U_R, D_K, C_K) mit dem Stellenwert Eins, Zehn und Hundert abgibt, drei parallel geschaltete UND-Gatter (2OU, 2OD, 20C), in deren einen Eingang die Impulse mit dem Stellenwert Eins, Zehn bzw. Hundert des Dezimalzählers (19) einspeisbar sind, während deren zweiter Eingang an die Synchronisiereinrichtung (9) angeschlossen ist, und einen dreifach parallelen Akkumulator (22), der an den Ausgang der drei UND-Gatter (20) angeschlossen ist und gespeicherte Signale (U , D , C) mit dem Stellenwert Eins, Zehn und Hundert abgibt (Fig. 15).

9. Vorrichtung zur automatischen Analyse einer Energiespektraldichte, bestehend aus einer Vorrichtung zur Erzeugung der Fouriertransformierten einer reellen Funktion nach einem der Ansprüche 3 bis 8 und einer Einrichtung zur automatischen Berechnung über reeller Zeit einer Korrelationsfunktlon, insbesondere der in der französischen Patentschrift 1 493 450 vom 25.4.1966 beschriebenen Einrichtung.

10. Vorrichtung nach Anspruch 9, dadurch gekennzeichnet, daß

der Einrichtung zur Berechnung der Korrelationsfunktion ein

siri θο

Verstärker mit veränderlicher Verstärkung —- · nachgeschaltet

wp

ist, der durch die Synchronisiereinrichtung gesteuert ist.

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