DE1524169A1 - Divisionseinrichtung - Google Patents

Description

PATENTANWALT DIPL.-ING. H. E. BÖHMER

7*3 BUBLINCEN S I N DE I. F 1 NC E H STRASSE 49

FKUNSPREC Il ER OTO.Il) 6 hl 30-10 1 θ2τΊ D W

Böblingen, 23. September 1966 km-oc

Anmelderin:

Amtliches Aktenzeichen:

International Business Machines Corporation, Armonk, N. Y. 10 504

Neuanmeldung

Aktenzeichen der Anmelderin:

Docket 11 194

Divisionseinrichtung

Die vorliegende Erfindung bezieht sich auf eine Divisionseinrichtung mit zwei. Registern zur Aufnahme wenigstens eines Teiles der Dividenden-

und Quotientenstellen.

Bekannte Einrichtungen zur Division ermitteln die Quotientenzifferen dadurch, daß der in einem ersten Register enthaltene Divisor oder ein Vielfaches des Divisors wiederholt von dem in einem weiteren Register gespeicherten Dividenden subtrahiert wird. Die Zahl der Subtraktionen, die bis zum Eintreten eines Wechsels des Dividendenvorzeichens ausgeführt werden, wird durch eine Zähleinrichtung erfaßt und stellt die durch die betreffende Teildivision zu ermittelnde Quotientenziffer dar. Zur Erzeugung einer jeden Quotientenziffer sind üblicherweise mehrere SubUv.ctionen notwendig, von denen jede einen Maschinenzyklus erfordert. Für die

009812/1360

Errechnung einer größeren Anzahl Quotientenziffern aind daher zahlreiche Maschinenzyklen und damit auch ein erheblicher Zeitaufwand notwendig.

Die Aufgabe vorliegender Erfindung besteht darin, diesen Nachteil zu vermeiden und eine schnelle Divisionseinrichtung anzugeben, die zur Ermittlung einer Quotientenziffer nicht mehr als einen Maschinenzyklus beansprucht. Bei einer Einrichtung der eingangs erläuterten Art wird dies erfindungsgemäß dadurch erreicht, daß die Registerstufen des einen Registers zur Aufnahme der in bezug auf den Stellenwert χ einer im jeweiligen Operationszyklus. zu bildenden Quotientenziffer α höhersteiligen Quotientenziffern q / α , .... q und die Registerstufen des anderen Registers zur

Aufnahme der gleich- und höhersteiligen Dividendenziffern d . d , d ,

χ Jt^-ι Xt β

... d dienen» wobei n gleich oder größer als die Divisorziffernstellen-

zahl ist« und daß die Registerstufen mit wenigstens einer einem bestimmten Divisorwest festzugeordiieten Quotientengeneratorschaltung verbunden sind, die aus den höhersteiligen Quotientenziffern und den gleich- und höhersteiligen Bivideadenziffern die Quotientenziffer q der Ziffernstelle χ ableitet.

Einrichtung g«mtö dtr Erfindung i*t insbesondere dort mit großem V ort*.U ei&ifctübft?, wo vmriRbl« W*rU durch vorgegebene ί·βί· Divisorwerte zu dividieren sind. Dies ist z. B. bei der Umwertung einer Zahl aus dem Binärsystem im das Dezimalsystem der

0098 12/13 60

Docket 11 194 - " ^:' "' ^:

Weiter vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind aus den Ansprüchen in Verbindung mit nachfolgend anhand von Zeichnungen erläuterten Ausführungsbeispielen ersichtlich. Es zeigen:

Fig. 1 ein vereinfachtes Blockschaltbild einer bevorzugten Einrichtung

zur Division von Binärzahlen durch einen vorausgewählten Wert, Tiriez.B, 5, gemäß vorliegender Erfindung,

Fig. 2 das Blockschaltbild einer logischen Schaltung, die in der Ein-

richtung nach Fig. 1 zur Bestimmung der Quotientenstellen

-■'-.';■ dient,

Fig. ..3';-~~7~ äas-Blocks&haiifejid-iemer bevorzugten Einrichtung zur Bäsisuinwertung und - ^

eine Pe^odie^Sehaltung «^ir Verwendung in der Einrichtung nach Fig. 3_Λ

ARBEITSWEISE - - \ - . ' . '.-.". ;'."■..

Bei der Anwendung der i^rÄaiung s®i da# daupgesteltte Beispiel, in dem eiae -natürliche Binärzähl durch:'-5 dividiert wird^ ist es erforderlich, daß Mittel vorgesehen sind, äie g^cfeasejljg drj^ ^ellenwerte des und vier Stellenwerte ties Divisors ^:Mw ¥erairbeitung Äuf^hren, Bei

bekannten Divisionseinrichtungen Werden diese Ziffern zwar gespeichert; es besteht jedoch kein gleichzeitiger Zugriff zu allen Bits dieser Ziffern. Die Mittel, die einen derartigen parallelen Zugriff gestatten, sind für sich bekannt.

Wenn eine nicht bekannte Quotientenstelle willkürlich als q, . bezeichnet wird, dann sind die Qüotientenwerte., die von der e rfindungs gemäßen Einrichtung zu erzeugen sind; q, ., also eine Wertstelle höher, q, „γ, also zwei Wertstellen höher, und q. _», also drei Wertstellen höher. Unter Benutzung der gleichen willkürlichen Benennung müssen demnach folgende Divisor- oder Nenner-Wertstellen verfügbar sein; d_A ., d> ,., d. „«und

■ ■ {X) ■ \X+1) \X+4)

d, _.. Wenn diese beiden Zahlen im natürlichen Binärcode dargestellt sind, hat jede Wertstelle die Bedeutung eins oder null.

Die nachstehende Karnaugh-Tafel zeigt die Resultate, die von der dargestellten Einrichtung für alle gleichzeitigen Prüfungen der drei Quotientenstellen und der vier Dividendenstellen zu erzeugen sind.

Docket 11

,0 O CD QO

■■ ■ /

KARNAUGH¹TAFlXVONq, _λ FÜR DIE

(x)

EIN-ZYKLUS-DIVISION DURCH FÜNF

(χ)

•V λ d

0	0	0	, ο	1	1	1	0	X	X	χ	X	X	X	1	1
1	1	1	1	χ	X	X	χ	0	0	1	0	0	0	X	X
0	0	i	0	1	1	1	1	X	X	0	0 ,	X	X	X	X
X	X	X	X	0	0	0 •	0	1	1	χ	X	1	1	1	0
0	1	1	1	X	X	1	1	0	0	0	0	X	X	« X	χ
X	X	X	X	0	0	X	X	1	1	1	1 (	0	1	0	0
X	X	0	0	0	1	0	0	X	X	X	X	I	1	1	1
1	1	X	X	X	X	X	X	0	1	1	1	0	0	0	0

tx+1)

A.

Dae Blockschaltbild nach Fig. 2 stellt eine vorteilhafte schaltungsiechnische Realisierung der obigen Tabelle dar.

Die Karnaugh-Tafel ist eine einfache Tabelle der Resultate* die sich aus den Verknüpfungen der sieben Variablen ergeben. Nachfolgend wird ein Verknüpfungsbeispiel erläutert. Es wird angenommen» daß q. . = 1, ^q(x+2)■:' °'

d, _o. ^s 0, d, ■ ..» 1» d. _iV = 0, d. . ^a 1. (x+3) (x+2) (x+1) (x)

Die Eins- und Nullwerte dieser Ausdrücke bestimmen, ob die innerhalb oder außerhalb der Klammern befindlichen Werte in der Tabelle zu betrachten sind.

Bei Benutzung der Tabelle bedeutet der q, _. ■ 1-Ausdruck, daß der

ix+o/

Teil innerhalb der mit dem gleichen Ausdruck bezeichneten Klamme r ^u:

in der Tabelle isoliert ist. Im vorliegenden Beispiel ist daher die untere Hälfte der Tabelle isoliert. .

Der q. „.= 0-Ausdruck isoliert ferner diejenigen Teile der Tabelle, die außerhalb der q; .„.-Klammern liegen. Daher ist die erste und zweite Reihe am unteren Ende der Tabelle isoliert.

Der q,„. j.=1-Ausdruck isoliert nur diejenigen Reihen, die innerhalb der q. ^-iOammern liegen. Die drei q-Ausdrücke haben sos^il eine bestimmte Reme, nämlich die zweite Reihe der Tabelle von unten Isoliert.

0098 1 2/ 136O^: " ·

Docket 11 194 .

- τ-

Die d-Au«drücke dienen zur Isolierung eines einzelnen Kästchens in der ausgewählten Reihe. -

Der d. _3iPl-Ausdruck isoliert die linke Hälfte der Tabelle.

Der d = 1-Ausdruck isoliert ferner die vier Kästchen der ausgewähl

ten Zeile, die sich links von der Tabellenmitte befinden.

Der d. _1V~ 0-Ausdruck isoliert schließlich diejenigenKästchen, die sich außerhalb der die gleiche Bezeichnung tragenden Klammern befinden. Dies sind die beijden Kästchen unmittelbar links neben der Tabellenmitte.

Schließlich isoliert der d. = 1-Ausdruck dasjenige Kästchen« welches durch alle d- und q-Ausdrücke durch die obengenannten Isolierungen definiert ist. Ba d. . = 1 ,ist das Kästchen innerhalb der d, .-Klammern isoliert. Dies ist das siebente Kästchen von links in der zweiten Reihe von unten, die. durch die q-Ausdrücke wie oben beschrieben ausgewählt worden ist.

Es ist somit ein bestimmtes Kästchen in der Tabelle ausgewählt worden. Das Resultat, das jeweils in das Kästchen eingetragen ist« lautet in diesem Falle null. {Kästchen; die ein X enthalten werden in einer echten Division niemals ausgewählt. Das X ist daher lediglich ein Füllsymbol für diese

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-·* O: »■■ "

DIt K»rn«ugh-Tftfel dient hauptsächlich nur zur Verwendung beim Entwurf der entsprechenden logischen Schaltungen und zur Erklärung der Erfindung. In der praktischen Ausführung ist die Tafel durch logische Verknüpfungsechaltungen der in Fig. 2 dargestellten Art ersetzt. Zur Instrumentierung der in Fig. 2 dargestellten Verknüpfungen können bekannte elektronische Schaltungen verschiedener Art,, die zur Herstellung der angegebenen ΒοοΓ sehen Verknüpfungen geeignet sind, verwendet werden. Es sind zahlreiche Schaltungen bekannt, die die in Fig. 2 angegebenen Verknüpfungen zur Ableitung einer Quotientenstelle in einem Bruchteil einer Mikrosekunde bilden. Die benötigte Zeit wird lediglich dadurch bestimmt, wie schnell die Schaltungen auf die durch die parallel zu geführten Eingangssignale bestimmten Bedingungen einstellbar sind»

Bei der Ausführung einer kompletten Division ist es natürlich notwendig, die Operation zur Bestimmung einer Quotientenstelle so oft zu wiederholen, wie Quotientenstellen zu bestimmen sind. Hierbei sind jeweils so viele der niedrigeren Dividendenstellen verfügbar zu halten, wie benötigt werden.

BEISPIEL EINES OPERATIONSZYKLUS

Nachfolgend wird als Beispiel, die Division der Binärzahl 6 durch den Wert 5 im Detail erläutert. Die Binärzahl 6 ist in der folgenden Weise in der Maschine gespeichert, wobei für die Darstellung angenommen wird, daß 8 der höchste in der Maschine speicherbare Stellenwert ist;

Docket 11 194,

009012/1300.

Stellenwert: 8

Ziffernwert: 0 110

Die Verarbeitung der Zahl erfolgt mit der höchsten Werstelle zuerst, so daß jeweils der Ziffernwert der höchsten Quotientenstelle zuerst erzeugt wird. Da der höchste Stellenwert in diesem vereinfachten Beispiel 8 ist, wird der Ziffernwert des Stellenwertes 8 des Dividenden zuerst aufgesucht. Bevor die Operation beginnt, werden alle Register der Dividiereinrichtung gelöscht.

Der Teilquotient in Speicher 1 (Fig. 1) und der Teildividend in Speicher enthalten jeweils als Ziffernwerte Nullen, einschließlich der Wertstelle t/ y die in diesem Falle den Stellenwert 8 besitzt. Bei Verwendung der obigen Tabelle wird daher das im linken oberen Eck befindliche Kästchen isoliert, das den Wert Null enthält. Der gleich Resultatwert wird durch die Schaltung nach Fig. 2 erzeugt, die in Fig. 1 als Quotientengenerator dargestellt ist. Der Ziffernwert der höchsten Quotientenstelle mit dem Stellenwert 8 wird daher durch den Quotientengenerator 5 als Null definiert.

Der neue Quotientenziffernwert, in diesem Falle Null, wird daraufhin in den Teilquotientenspeicher 1 eingeschoben. Die höheren Wertstellen, in diesem Falle ebenfalls Null, werden jeweils zur nächsthöheren Wertsteile verschoben, wobei die höchste Wertstelle dieses Speichers in das

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- ίο -

Quotientenregister übertragen wird, zur bleibenden Speicherung innerhalb der jeweiligen Divisionsoperation. Zugleich wird der Dividend im Teildividendenspeicher 3 um eine Stelle verschoben, wobei die höchste Wertstelle zerstört oder in die erste Stelle des Speichers 3 zurückgeführt wird. Letzteres ist der Fall, wenn der Dividend nach der jeweiligen Divisions operation weiter benutzt werden soll. Da der ursprüngliche Dividenden wert 6 ist, haben damit notwendigerweise alle Wertstellen unterhalb des Binärkommas die Ziffernbedeutung null. Mit der Verschiebung des Dividenden wird daher eine Null in die niedrigste Stufe des Dividendenspeichers δ eingesetzt.

Unmittelbar nach der Stellenverschiebung, die in wenigen MikroSekunden ausführbar ist, sofern beispielsweise Festkörper-Schaltelemente oder Magnetkernspeicher verwendet werden, kann eine neue Quotientenstelle errechnet werden. Dies geschieht dadurch, daß dem Quotientengenerator 5 die im Teilquotientenspeicher 1 und im Teildividendenspeicher 3 enthaltenen Werte zugeführt werden. Im Falle der Division des Dividenden 6 steht in jeder Wertstelle beider Speicher der Wert Null mit der Ausnahme der Wertetelle d. ., in welcher der Wert Eins gespeichert ist. Aus der Schaltung nach Fig. 2 ist ersichtlich, daß ein Wert Null als neuer Quotientenwert erzeugt wird. Dies kann durch Betrachtung der obigen Tabelle überprüft werden, in welcher mit den vorliegenden Eingangswerten das zweite Kästchen von linke in der obersten Reihe isoliert wird. Der Ziffernwert der Quotienteiistelle mit dem Stellenwert 4 ist dater Muli. Die oben

Docket H 194 , 0098 1 27 1 360

152Λ169

beschriebenen Stellenverschiebungen werden danach wiederum ausgeführt.

!Nachdem diese Stellenverschiebung beendet ist, sind die im Teilquotientenspeicher 1 gespeicherten Werte q, _., q. _., q. . alle null. Die Werte im Teildividendenspeicher 3 sind folgende: ⁰A_x+3A* °* ^d(_x42) * °* ^dix*l) ~ ^lf

d . - l. Daraufhin wird der Quotientengenerator 5 erneut wirksam gemacht. Es wird eine weitere Null erzeugt. Unter Bezugnahme auf die obige· Tafel wird eine Null im dritten Kästchen von links der obersten Reihe ermittelt. Für die Wertstelle mit dem Stellenwert 2 des Quotienten ist daher ebenfalls der Ziffernwert Null errechnet worden.

Es findet nun eine erneute Stellenverschiebung der Werte statt. Nach dieser Stellenverschiebung sind in den Speichern 1 und 3 folgende Werte enthalten:

d. γ ^ G■ Der Quotientengenerator 5 wird betätigt und erzeugt als Ausgangswert die Binärziffer 1. Dies kann anhand der obigen Tabelle nachgeprüft werden, worin unter Verwendung der vorgenannten Eingangswerte das fünfte Kästchen von links in der obersten Reihe, das den Wert Eins enthalt isoliert wird. In dieser Weise ist ermittelt worden, daß die Quotientenstelle mit dem Stellenwert Bins den Binärwert Eins aufweist.

Es wird eine erneute Stellenverschiebung durchgeführt, nach der sich folgende Ziffernwertverteilung in den einzelnen Wertstellen ergibt:

Quotientengenerator S wird betätigt und Hefert ein Null-Auegangssignal.

Bei Benutzung der obigen Tafel ergibt sich, daß durch diese Ziffernwerte das neunte Kästchen von links in der zweiten Reihe von oben isoliert wird. Für den Ziffernwert der Wertstelle mit dem Stellenwert 1/2 wurde somit Null ermittelt.

Es wird eine erneute Stellenverschiebung vorgenommen, nach welcher sich folgende Ziffernwerte ergeben: q. . = 0, q . = I, q. . = 0,

(x*o) (xr*J ν^χ*Ίλ

wird betätigt und erzeugt ein Null-Ausgangssignal. Bei Benutzung der obigen Tafel ergibt sich, daß die genannten Ziffernwerte das sechzehnte .Kästchen von links in der vierten Reihe von oben isolieren. Für die Wertstelle mit dem Stellenwert 1/4 wurde somit die Quotientenziffer Null ermittelt.

Es erfolgt wiederum eine Stellenverschiebung, nach der sich folgende
Wertkonfiguration ergibt: q^ = 1, q^ = 0, q^ = 0, d₍^₃₎ . 0,

. d, _. =0, d. . =0, d. . =0. Der Generator 5 wird betätigt und liefert eine Eins als Ausgangssignal. Anhand der Tabelle kann festgestellt werden, daß durch die angegebenen Ziffernwerte das erste Kästchen von links in der untersten Reihe isoliert wird. Die Wertstelle mit dem Stellenwert 1/8 des Quotienten besitzt somit den Ziffernwert Null,

Es findet eine erneute Stellenverschiebung statt, nach der folgende Werte

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0 0 981 2/ 136Q

auftreten: q. _. =.0, q₍ . =0, q. = 1, d₍ . = 0, d. . * 0,

d. . = 0, d. . =0. Der Quotientengenerator 5 wird betätigt urtdxe'rzeügt (X1-1; (X)

ein Eins-Signal. Anhand der Tafel ist feststellbar, daß das erste Kästchen von links in der zweiten Reihe von oben isoliert worden ist. Die Wertstelle ■mit dem Stellenwert l/l6 des Quotienten hat daher den Ziffernwert Null.

Die oben erläuterte Operationsfolge kann fortgesetzt werden bis die gewünschte Anzahl Binärkommastellen erreicht ist. Es ist ersichtlich, daß der richtige Ziffernwert einer jeden Quotientenstelle in einem einzigen Durchgang des Dividenden erzeugt wird. Die benötigten Schaltungen sind nicht kompliziert oder aufwendig. Sie sind in ihrem Umfang vergleichbar mit einem addierenden und subtrahierenden Akkumulator. Es ist ersichtlich, daß die Ausführung der Erfindung nicht auf die Verwendung eines Speichers beschränkt ist, der eine serienweise Stellenverschiebung gestattet. Die Verwendung derartiger Speicher in der Einrichtung nach Fig. 1 geschah lediglich zum Zwecke der erleichterten Darstellung. Ein wesentliches Merkmal der Erfindung besteht darin, daß die Quotientengeneratoren für die verschiedenen Divisorwerte in Kaskade geschaltet werden können. Die Fig. 2 zeigt den Quptientengenerator für den Divisor 5. Für andere Divisorwerte ist diese Schaltung entsprechend abzuwandeln. In der erwähnten Kaskadenschaltung wird der Quotientengenerator des höheren Quotientenwertes mit seinem Ausgang an die Eingänge der Quotientengeneratoren für die niedrigeren Quotientenziffern angeschlossen.

Docket 11 194 ^

18 12/1360 -

Der gesamte Dividend wird gleichzeitig in die Kaskadenschaltung eingeführt, so daß der gesamte Quotient mit einer relativ hohen Geschwindigkeit in einem einzelnen Maschinenschritt einer Parallelmaschine erzeugt werden kann«

Anhand der oben beschriebenen Einrichtungen soll nachfolgend die theoretische Grundlage des beschriebenen Divisionsvorganges erläutert werden.

THEORETISCHE GRUNDLAGEN

Die folgenden Gleichungen beziehen sich auf das Beispiel der Division durch fünf, d.h. auf den Fall, in dem der Quotient 1/5 des Dividenden ist. In den Gleichungen stellen die q-Werte die Wertstellen des Quotienten und die d-Werte die Wertstellen des Dividenden dar. χ ist stets eine ganze Zahl, die als Index zur mathematischen Definition der kontinuierlichen Stellenfolge benutzt wird. Im natürlichen Binärcode kann daher die Wertstelle mit dem Stellenwert 8 als χ-Wertstelle definiert sein; dann wäre die Wertstelle mit dem Stellenwert 16 die χ 4 1-Wertstelle. Die C-Werte bedeuten Überträge bei der Addition der kleineren Wertstellen.

GLEICHUNG A " ■ . /

. ■ ' ~ χ + Z x*'l"~ x

00 98 12/1360,

Docket 11 194 ϋ ti, *>■

- 15 -

Die Gleichung Ä wird durch folgende Überlegung verständlich. Wird der Dividend durch D und der Quotient durch Q ausgedrückt, dann kann die Division durch fünf als D - Q+ 4Q ausgedrückt werden. Es ist verständlich, daß eine Verschiebung um zwei Wertstellen einer natürlichen Binärzahl nach links automatisch der Multiplikation dieser Zahl mal vier entspricht. Die in Gleichung A additiv in Spalten angeordneten Wertstellen des Quotienten werden um zwei Wertstellen verschoben (x gibt die Wertstellenfolge an). Die Gleichung A kann daher als geprüft betrachtet werden, da sie eine Ausführung der Gleichung D = Q+ 4Q ist, in der zur Beschreibung der Werte D, Q und 4Q bestimmte .Stellenwerte aus den Stellenwerten einer natürlichen Binärzahl ausgewählt werden und in der die zwei Enden der Gleichungsteile mögliche Übertragswerte der Additionsoperationen enthalten. C. . beschreibt die Summe der Überträge von den niedrigen Wertstellen und stellt daher eine komplette Beschreibung des Einflusses der niedrigen Wertstellen von Q und 4Q auf die Stellen der Zahlen- dar, die für Gleichung A ausgewählt worden sind. Der C. .-Wert stellt andererseits eine vollständige Beschreibung des von den für die Gleichung A ausgewählten Teilen erzeugten Einflusses auf höhere Wertstellen dar»

Aus den obigen Überlegungen können zwei weitere Gleichungen mit Hilfe der Zahlentheorie abgeleitet werden.

C, _. war definiert durch die Eigenheit der Addition, die als erschöpfende

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Analyse aller möglichen Additionen in einer Wertetelle, die den Wert C, „,enthält, in einer aus Gleichung A ersichtlichen Weise darstellt.;" Unter der Annahme, daß q, «,, q, ·, und d, _o. bekannt sind, können

xx-t?jj \Xf-lJ . v^xf3y . »

die folgenden Gleichungen in der herkömmlichen Symbolik der Bool'sehen Algebra geschrieben werden, worin fan bedeutet "Und", -f bedeutet "Oder" und eine Überstreichung bedeutet "Nicht", In Β00Γscher Schreibweise ist daher C₁ _. - 1, wenn die Gleichung B erfüllt wird, während andererseits das Resultat C. . ist, was besagt, daß C. _. = 0,

GLEICHUNG B

+ IJ ©^q(x + 3U

_X + 3) = J^(X + 3) ® <I(x + IJ ©^q(x + 3U .:⁺ L^d(^{x + 3)}

3) © WTT) β %ΓΓ$\ ⁺ |3^{Χ + 3}>

Aus Gleichung B ist erkennbar, daß die Gleichung A durch Entfernung des Ausdruckes 2 mit Hilfe der Division eines jeden Ausdruckes der

"X-

Gleichung A durch 2 umgeformt werden kann. Da die Gleichung A eine algebraische Gleichung ist, kann diese Division durchgeführt werden. Es ergibt sich daraus die folgende Gleichung C:

GLEICHUNG C

V-

Docket η im 0 098 12/136 0

_₁₇; ■:■■ . 1524168

umgeändert .

Die Quantität 2q. . * q, _. _tC, _Λ enthalten die niedrigen Wertstellen , die für die Zwecke der Division als unbekannt und nicht verfügbar behandeltwerdensollten. Die Summe 2q, ,Y+q, ov + C/ . ist in ihrem Wert begrenzt, da ihr Resultat von zwei natürlichen Binärzahlen abhängt. Erstens ist festzustellen, daß die Bedeutung einer jeden Wertstelle einer natürlichen Binärzahl nicht größer sein kann als 1. Zweitens kann festgestellt werden, daß ein Übertrag bei der Addition von zwei solchen Wertstellen in Übereinstimmung mit Gleichung A nicht größer sein kann als 1.

Es gilt daher: q, . ^ 2, q. . ^ 1 und C, .^ 1. Folglich ist die ; l^x ~ 1/ lx~«/ l^x/

Summe 2q . + cl _. +C. . gleich oder kleiner als der Wert 4. Unabhängig davon kann zusätzlich festgestellt werden, daß in Gleichung C der

Wert q, ν entweder Eins oder Null sein kann. Da andere Werte nicht %x)

möglich sind, kann angenommen werden, daß der Quotient in Form einer natürlichen Binärzahl erzeugt wird und daß die Division den üblichen Begrenzungen und der Theorie der Divisionen unterliegt. Hieraus folgt, daß die Quantität innerhalb der Klammern, da ihr der Faktor 1/5 vorausgeht, durch fünf teilbar sein muß.

Mit dem Nachweis der Teilbarkeit durch fünf und dem Nachweis, daß der Ausdruck 2q, . +· q, .^1-C. . nicht größer als vier sein kann, ist

Docket 11 1.94

009812/1360

nachgewiesen, daß die Gleichung C eine Lösung gestattet« die nur durch die d-Werte vond. . und größer und durch die q-Werte von q. . und größer bestimmt wird, unter der Annahme, daß C, ,. bekannt ist. Die Bedeutung der Gleichung B wird deutlich, wenn berücksichtigt wird, daß sie C, ._. nur in Ausdrucken der höheren Wertstellen beschreibt. Auf dieser theoretischen Basis kann die oben gezeigte Karnaugh-Tafel für die Division durch fünf durch systematisches Einsetzen einer jeden möglichen Kombination in die Gleichungen B und C für die Lösung von q, . gewonnen werden. Jeder auf diese Weise abgeleitete q-Wert bildet den Wert, der in dasjenige Kästchen der Tafel einzusetzen ist, welches durch alle beteiligtenVariablovÜefiniert ist.

Die erfindungsgemäße'Einrichtung ist zur Division eines jeden Divisors größer als 1 verwendbar, obgleich die Division durch kleinere Zahlen eine einfachere und praktischere Anordnung ergibt. Der oben ausgeführte Beweis wird im folgenden weiter verallgemeinert, so daß ein Nachweis für jeden beliebigen Quotientenwert erhalten wird.

Als erstes wird angenommen, daß eine Division einer natürlichen Binärzahl durch einen verallgemeinerten ganzzahligen Divisor erfolgen soll. Es kann daraus eine äquivalente Verallgemeinerung der Gleichung D * Q + 4Q für die Division durch fünf folgendermaßen gezeigt werden:

Docket 11 194 ·

00 9 8 12/1360

_₁₉_

GLEICHUNG D

'„f + V₁Z f 4 V₂Z ·£- + . , .

worin D der Dividend, V derDivisor, s die höchste Wertstelle, auf die die Gleichung D ausgedehnt werden kann und ν , ν , ν + ... ν jeweils Nullen oder Einsen des Wertes V sind, um die Gleichung D zu erfüllen.

Der Ausdruck D_ ist natürlich auch der Quotient Q. Die Gleichung D

;,.." - V -■- ;■■ ■·--■·■ .-: ■■ ■:■ ■■■ ■ ■ ₂

kann daher auch wie folgt geschrieben werden: D = V_n Q.+V₁Z Q +V₀2 Q+

... +-V 2^S Q. Die direkte Abhängigkeit zu der Gleichung D = Q+4Q, wie sie beim Nachweis der.Divisbn durch 5 verwendet wurde, wird hierdurch offensichtlich.

Die Gleichung D ist geeignet für eine spezielle Ausfuhrung in jeder benötigten Form. Daher kann im Falle der Division durch 9 die Gleichung D gelesen werden D = -r— ■(- ^- . Für eine Division durch 10 würde die

2D 8D Gleichung D lauten D = rr-+TTT- .

Eine Division durch beide Seiten der Gleichung D durch D und eine Multiplikation von beiden Seiten der Gleichung D mit V macht deutlich, daß

die v-Ausdrücke (v_n ,.. V) folgendermaßen auf V bezogen sind: "

a 2 2 1 ο

¹V a V 2 + · · · ν 2 + ν 2 +. v2 + ν 2 β 2 1.1 Ο·

Docket 11 194

00 98 1 21

^₂₀ ^ WZAtBQ

Die Gleichung D kann daher ale theoretischer Beweis iür die Wirkungsweise der Einrichtung vorliegender Erfindung betrachtet werden. Aus einer Betrachtung der Gleichung D wird deutlich, daß diese Gleichung ein allgemeiner Ausdruck einer Form ist, irgendeine ganze Zahl des Wertes V darzustellen. Ein die obigen Ausführungen ergänzendes Beispiel ist der Fall, wenn der Wert V = 11, wonach die Gleichung D fol-

D 2D8D
gende Form annimmt: D=- + r-r- -r r-r- .

Es kann daher in der Art der Gleichung Ä, die sich auf die Division durch fünf bezieht, eine allgemeine additive Gleichung aufgestellt werden, in der bestimmte Teile aus dem gesamten Bereich einer na- ■ türlichen Binärzahl zur Beschreibung des Quotienten ausgewählt werden. Diese Gleichung ist durch die vollständige allgemeine Gleichung D überprüfbar. Die vollständige allgemeine additive Gleichung E lautet folgendermaßen: ·

Ö.Ö9&.r2/1.3bü

1.

2.

3.

	4.
•	5·
O ö	6.
(C GD	7.
K>	8.

GLEICHUNG E

να ⁰^

X+S-1

X₊.

0^Η(χ+β-1)

^V2^q(x+«-2)

Χ+8-1

X+S-1

x+i
2 +

,X+S

+ ■: v₍

+ V

X+8-I

.x+s-1

^V(s-l)^q(x-8+2)²

^x+l·

^C(x)²

9.

° D-Il,

. I

X+8-1

+ d 2

(x+D

x+1

+ d 2 (x)

. Ü1

Die Gleichung £ ist vollständig allgemein. In einem bestimmten Fall kann ein jeder individuelle Wert ν die Binärziffern Null oder Eins annehmen. Für die Division durch fünf bedeutet die Gleichung A eine spezielle Form der Gleichung E. Für eine Division durch sieben würde beispielsweise die Gleichung E folgende Form annehmen:

xii x+1 χ

α 2 + q 2 + q 2

^q(x+2) V+l) Vi

x χ + β χ + 1 ' · x

⁺ q 2 + q2 +ή

^H(x) .(X-- 1) . (x- 2)

-— : „ . χ ~ ν ₊ 2 " ' χ + 1 " χ

C 2 + d 2 + d 2 + d 2

(x+3) (X+ 2) .(x+ D (x)

In der Weise von Gleichung B bei dem Beweis für die Division durch fünf ist eine allgemeine Gleichung für den Übertrag der höchsten Wertstelle C, ι)² in Gleichung E notwendig. Diese allgemeine Gleichung

kann durch Betrachtung von einer Additionsspalte erhalten werden, in

der C. . zusätzlich zu einer endlichen Anzahl höherstelliger Additions

auftritt
spalten/ Dieser Weg basiert auf der Tatsache, daß alle q-und d-Werte

in diesen hohen Wertstellenspalten während der Maschinendivision bekannt sind.

Der grundsätzliche Weg besteht darin, zu erreichen, daß bei einem d-Wert von Eins, z. B. dv . ., eine ungerade Zahl von Eins-Werten für alle q-Werte in der additiven Spalte existiert, wenn der Übertrag

Docket 11 194 009812/1360

1524168

mill ist. und umgekehrt, eine gerade Anzahl Eins-Werte existiert, wenn der Übertrag eins ist. Ebenso muß bei einem d-Wert Null eine gerade Anzahl von Eins-Werten für alle q-Werte in der additiven Spalte existieren, wenn der Übertrag den Ziffernwert Null aufweist und umgekehrt eine ungerade Anzahl existieren für einen Übertrag Eins. In dem hier betrachteten allgemeinen Fall wird die Anzahl der Abhängigkeiten der Faktoren, die zur Beschreibung von C, . in Ausdrücken der bekannten höherstelligen Werte zu kombinieren sind, durch eine große Anzahl von möglicherweise zu addierenden Zahlen beträchtlich erhöht. Eine wesentliche Komplikation besteht darin, daß die Bedeutung eines Übertrages bei der Addition natürlicher Binärzahlen entsprechend der in der Gleichung E vorgeschriebenen Weise zwischen null und eins weniger als der Summe der v-Ausdrücke sein kann, die einen Ziffernwert Eins aufweisen. Z. B. wird in einer Spalte in der Mitte der Addition von vier Binärziffern ein Übertrag erzeugt, der eine ganze Zahl mit dem Wert Null, Eins/ Zwei oder Drei sein kann.

Die Gleichung B war demgegenüber vereinfacht, da der Übertrag lediglich die Werte Eins oder Null annehmen konnte. Im allgemeineren Falle wird der Übertrag C. . ,. möglicherweise den Ziffernwert Eins nicht nur in der nächsthöheren Spalte der Gleichung E, sondern auch in einer Anzahl höherer Spalten haben. Dies ist jedoch durch den Umstand begrenzt, daß der Übertrag nicht einen Wert annehmen kann,der größer als

der Wert v. ", -1 ist, wobei v, , . die Summe der v-Werte mit dem total total

Docketing 0098 12/ I JbG

Stellenwert Eins ist.

Mathematisch ausgedrückt können die Wertstellen höherer Ordnung wie folgt geschrieben werden:

GLEICHUNG F

x+e+t+1 x+e+t x+s+1

ν q 2 + ν q 2 +·■··+ VQ 2

0 (x+e+t+1) 0 {x+e+t) ■ .0 (x+e+1)

+ x+e+t+1 x+e+t ^x+8+1

V, q 2 -■■-..+ v, q 2 + · * · + ν q 2

¹ ■ {x+e+t}- ^r 1 (x+e+t-i) ^l (x+e)

+ ■ x+e+t+1 x+e+t x+e+1

ν q 2 +vq 2 + * · · + ν q 2

2 (x+e+t-1) 2 (x+e+t-2) ' ^z (x+e-1)

+ x+e+t+1 x+e+t x+s+1

ν ,q 2 + ν ■■ q 2 ■+···+ ν q ■ 2

^ ^8-1 (x+t+2) ' ^¹ (x+t+1) β"¹ (x+2)" -

+ ^v 'x+e+t+1 ■ ■ ■_ x+e+t ■ x+8+1

vq 2 + ν q 2 +■···"+ ν q ■ 2

C 2

(x+6+1)

zr + d 2 + +d,

(x+e+t+1) . (x+fl+t) (x+e+1)

DaC _YV als endlicher Wert bekannt ist, kann in natürlicher Binärform lxfSi1)

t' . t-1

geschrieben werden C =b2 +b 2 +'''+b.. Durch

(x+e+1) t t-1 0

Einsetzung dieser natürlichen Binärform für C. . in Gleichung F wird

die folgende Gleichung G erhalten. Der Wert von t muß dabei nicht größer

sein, als es für die Beschreibung von C, '« 2 notwendig ist.

ix+s+X/

Docket 11 194

0 0 98 1 2/1.3 bO

GLEICHUNG G

χ+β+t+l ν q 2

O (χ+β+t+l) '

_x+e+t+1

^V2^q(x+e+t-l)²

^V _e ^q(x+t+l)²

x+e+t+1

x+e+t+1

D L

X+S+t+l

x+e+t

vo 2

l^q(x+8+t-l)

^v^q 2*

2 (x+e+t-2) .

x+e+t

x+s+t

x+*+t

Vl²

x+e+t

x+e+t

x+i+1

• . . + v_oq

• · · + v.q 2

l^H(x+e) ·

x+e+1

X+8+1

V^{+ V}.-l^q(x+2)²

_X+8+l

x+e+1

^Ü(x+e+t+l)²

XtfltXt I

(X+8+t)

Die Ziffernwerte der b-Werte in Gleichung G sind die einzigen Ziffernwerte, die als nicht bekannt angenommen werden, da alle anderen Werte höheren Wertstellen angehören. Weiterhin sind die b-Werte in Gleichung G entweder Eins oder Null, da die b-Werte Wertstellen einer natürlichen Binärzahl repräsentieren. Die Gleichung G ist daher geeignet für eine direkte Behandlung mit der Und/Oder-Logik der BoIl* sehen Algebra. Die folgende Gleichung H ist, obwohl komplizierter als diese, in ihrer Gesamtheit mit der speziellen Gleichung B vergleichbar.

GLEICHUNG H

^s 1 wenn irgendeine Kombination von Eins-Werten der Ausdrücke

Docket 11 194

Ti)

009812/1360

^ist

und cL . ■ 1 oder wenn irgendeine Kombination der gleichen ν-Werte

ungerade ist und d, .. = 0. Ansonsten hat b_ stets den Wert Null.

^ , -^a 1 wenn eine Kombination von Werten der Ausdrücke v„q, ^₄, t-1 . 0 (x+e+t)

> v«q_y . „., ... ν ,q. , ,\ und ν q, .. und der Eins-2^(x+s+ti-2) s-l^xft+l) s^M(xrt) . .

Wert irgendeines Übertrages von allen niedrigeren Stufen, beginnend mit der b enthaltenden Stufe, gerade sind und d. . eins ist oder wenn

irgendeine Kombination der gleichen ν-Werte und -Überträge ungerade

ist und t, ,. null ist. Ansonsten ist der Wert K * stets null. (x+s+1) t-1

b. = 1 wenn eine Kombination von Eins-Werten der Ausdrücke ν q. .,

^V,Q/ _lW v.q, . ',., ... ν ,q, , ■„. und ν q. . , _v und die Einsl^M(xts+t) 2^M(x*s+t-l) s-llxH+2) s^M(x+ti-l)

Werte irgendwelcher Überträge von allen niedrigeren Stufen, beginnend mit der den Wert b_ enthaltenden Stufe gerade sind und d. .-1 ist

oder wenn irgendeine Kombination der gleichen v-Werte ungerade ist und

d. - ,. = 0 ist. In jedem anderen Fall ist b. _t = Q. (x+s+t*l) ^J t-1

Die oben angegebene Art der logischen Verknüpfung trifft auch zu für b-Werte zwischen b_Q und b .

Nach Erhalt der Gleichung H ist es erwünscht, die Gleichung E in eine spezielle Gleichung überzuführen in der Weise, wie Gleichung A in Gleichung C umgewandelt wurde beim Nachweis der Division dureh fünf.

Docket 11 194

0 0 98121 i 3 60

Durch Division beider Seiten der Gleichung E durch 2 und durch direkte algebraische Behandlung der Gleichung E wird die folgende Gleichung I erhalten:

GLEICHUNG I

T""~~ ' --■ ' j— 6+1 s

, ,\2 + --+V₁Z +ν

(8-1) si —

d, ..2 ■-.'+■···+ d. ,,2 + d (x+s-1) (x+1) (χ)

²" ²^

·" ^s-i^x+D² ;.·■■

- v.q - v_q 2 - v_q

¹ (x-1) ²(x-1) ² (x-2)

"*" " ^V(s-I)^q(x~6₊2)² " ^V{6-l)^q(x-s+l)

6-1

- v q 2 - ... - ν q 2 - ν q

^s (x-1) ^s (x-s+1) ⁸ (x-s)

- ^c(

Die Werte in der Gleichung I mit den Wertstellen = q. . und kleiner werden für eine maschinelle Division als unbekannte und nicht direkt verfügbare Werte behandelt. Ebenso ist C, . während der Division als unbekannt und nicht direkt verfügbar aufzufassen. Diese Werte wäjiren am Ende der Klammern in Gleichung I gruppiert. Sie können als. eine Quantität u definiert werden; Die Gleichung J lautet daher wie folgt:

Docketnm ,009812/13OU

. ■ · GLEICHUNG J

u ■ ■' - ν q -vq " 2 - ν q

..V(X-D- 2 (χ-1) 2 (x-2)

"'-···« ν ο 2 · ν α

Wie beim Nachweis der Division durch fünf interessiert der maximale negative Wert von u. Dieser Minimum-Wert ist Null. Alle q-Ausdrücke in Gleichung J können daher als Eins angenommen werden und die Gleichung J kann unter Benutzung algebraischer Verknüpfungen wie folgt als Gleichung K geschrieben werden:

GLEICHUNG K

^u ■ -^-^

- · ■··."- Vd Z - ■·.■

max

Wie oben unter Bezugnahme auf C, , diskutiert wurde, kann ein Über

trag in einer Addition verschiedener Zahlen so groß sein wie eine weniger als die Summe der zu addierenden Zahlen. Da es beabsichtigt ist, einen allgemeinen Ausdruck für u zu erhalten, der den Maximal-Wert u darstellt, und da jeder ν-Ausdruck eins oder null sein-kann, kann ein allgemeiner Ausdruck für den Maximal-Wert von C. . in folgender Weise als Gleichung L ■

Docket 11 194

00 9 812/1360

erhalten werden.

GLEICHUNG L

C s ν +v +··■·■ ν + ν +v - 1

(x) s (.-1) 2 1. O

Durch Ersatz von C. . in Gleichung K durch den mit Gleichung L definierten Wert wird die Gleichung M erhalten.

GLEICHUNG M

t Π*"¹ + '·■..·■ ·■' 2 + 1 +TJ

v₀ + 1

Die Vereinfachung der Gleichung M führt zu der folgenden Gleichung N: GLEICHUNGN

u ■ » ν 2 » ν 2 β · · · - ν ' 2 » ' ν 2 - ν« + 1 ·

max 1 2 ■-*' . · ' ^g v

Mit dem maximalen Wert von u, der durch Gleichung N definiert ist, wird erneut die Gleichung I behandelt. Die Quantität außerhalb der Klammern ist: , welcher der reziproke

Wert des Divisors V ist. Wie im Beweis für die Division durch fünf wird in Gleichung I der Wert q. * entweder als Eins oder als Null erkannt, da andere Werte nicht möglich sind, sofern der Quotient als Binärzahl definiert ist. Die Quantität innerhalb der Klammern muß folglich, da ihr der reziproke

00 9 8 12/ 1360 Docket 11 194

.30-

Wert d·· Divisors vorausgeht durch den Divisor teilbar sein.

s s-1 1

Bei der geradzahligen Teilbarkeit von ν 2 >v, ..2 + ... t· ν 2 + V_n

und aufgrund der Kenntnis der Tatsache aus Gleichung M, daß u nicht

■ 8 ' " 8 -1 ■ 1

größer als -v 2 - v. .\2 - ... -v 2 - V_n* 1 sein kann, kann ausgesagt werden, daß die Gleichung I eine Lösung gestattet, die nur durch die d-Werte von d. . und größer und die q-Werte von q. -. und größer bestimmt wird, unter der Annahme, daß C, . bekannt ist. Dies trifft

zu, da u wenigstens um eins kleiner ist in seinem absoluten Maximalwert als der Divisor, welches der einzige Ausdruck im Nenner auf der rechten Seite der Gleichung I ist, und auch weil die rechte Seite der Gleichung I null oder eins sein muß. Würde der Ausdruck u, der die unbekannten Werte einschließt, größer oder gleich V sein, dann wäre die Lösung der Gleichung I unbestimmt, da mindestens zwei u-Werte gefunden werden könnten, welche die Division rr auf der rechten Seite der Gleichung X erfüllen würden.. Dies ist eine allgemeinere Feststellung der Gleichen in Verbindung mit der Division durch fünf gewonnenen Folgerung.

Die nachstehenden drei Karnaugh-Tafeln, von denen eine die Division durch drei, eine die Division durch sieben und eine die Division durch neun darstellt, wurden auf der Basis der obigen Ableitung entwickelt. Der Inhalt aller Kästchen dieser Tafeln wurde durch methodisches Einsetzen der q- und d-Kombination einer jeden höheren Wertstelle in Gleichung H und Gleichung I erhalten. Die v-Werte werden natürlich durch

Docket 11 194 009812/1360

die Größe von V bestimmt, um die Gleichung D zu erfüllen.

Für die Division durch drei gilt daher: D = — t —-.. Daher ist V_n ^β V₁ =1,

während die anderen v-Ausdrücke null sind.

Für die Division durch sieben: D ■ — t -—· t—=-. Daher ist V_n ^β V₁ ^s ν, = 1,

III U 1 Δ

während die anderen ν-Ausdrücke null sind.

Für Division durch neun: D =·τγ+-7Γ" · ^Daner ist v_ ■ v_o ■ 1, während

y u Uo

die anderen v-Ausdrücke null sind.

(x+2)

O	O	1	O	X	*	1	1
O	1	1	^I	O	O	X	X
X	X	O	O	1	1	1	O
1	1	X	X	O	1	O	O

. i -j

KARNAUGH-TAFEL für eine Ein-Zyklus-Division durch 3

Docket 11 194

0 0981 2/ 1360

CO rf-*

KAIiANAUCJIl-TAKKJj von q, . für die

- E inzol-Zyklus-Division durch 7

(x+2)

U)

(x)

	0	0	0	0	1	0	0	1	1	X	X	1	1	1	1
0	0	0	ρ	1	1	1	ο	X	X	0	0	1	I	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1	• Ό	0	0	ο	0	Q	X
0	0	I	0	1	1	1	1	0	0	0	0	X	X	1	1
0	1	X	X	0	0	0	0	1	1	1	1	0	1	0	0
I	X	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1 ι;	1	1	0
X	1	1	1	0	0	X	X		1	1	1	0	0	0	0
1	1	1	1	X	X	1	1	0	0	1	0	0	0	0	0
1

(x+3)

KARNAUG-TAFEL vonq, . ■ für die Einzel-Zyklus-Division durch 9 ·.

^l(x+D

(x+2)

(χ)

(x)

^d(x) ^d(x) ^d(x) ^d(x)

O

O

«

of ο

ο I ο

X

O

1

* ■

1

1

1

1

1

1

O

X

X

X

χ

X

χ

X

X

X

X

X

ο

I

χ.

1

1

O

I

1

1

1 X

X

1

X

X

X

X

X

X

X

X

O

O

1

O

1

I

I

1

0

0

0

Q

ο;

X

X

Xj X

I ΧΙ

1

1

1 1

1

O

1

ο

<m

χ

X

X

X

X

χ

ο

O

O

CF

O

1

0

0

X

X

0

χ

1

χι

X

χ

1 1

X

X

xl ο

O

X

O

X

1

O

Ό

O

O

X

X

X

x

X

X

X

X

1

1

X

1

0

1

1

1

Ij 1

X

X

χ I χ

X

O

X

1

O

ο

O

X

X

X

X

1

1

1

1

X

X

1

1

Ü

1

1

χ

χ

U

ο

ϋ

O

O

O

O I O

1

1

O

X

1

1

1

1

1

1

X

x

X

0

0

X

X

X

X

X

χ

X

X

X

X

31 C

1

O

1

Ol 1

1

X

1

O

X

X

X

1

1

1

1

X

X

O

0

0

0

0

0

X

X

X

1

I

X

χ

-1

X

X

X j X

X

1

X

X

ο

O

O

O

O

O

O

1

I

X

X

X

X

X

X

1

1

1

X

X

1

1

O

X

1

1

1 *

1

X

1

O

X

X

X

X

X

1

1

O

O

O

0

0

0

0

0

X

X

X

0

X

X

X

X

X

X

χ] χ

X

X

X

«

O

O

O

O

C

X

1

1

1

1

X

X

X

X

1

1

1

0

1

ο| C

O

X

χ I χ

X

1

1

X

O

O

X

X

X

X

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

χ

X

0

O

O

O

ο

O 1

1

1

c

1

X

X

1

1

1

1

V J

X

0

ό

ό

ό

X

X

X

X

X

X

1

Ij X

X

X

1

ο

X

X

X

X

X

X

X

O

O

0

1

1

1

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0

■ό

1

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O

X

X O

O

O

1

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1

O

O

O

O

O

X

X

X

X

X

X

X

1

1

1

1

X

X

■

O O

O

1

1

1

O

1

O

O

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

C

1

X

1

Xj X

X

X

X

J

X

X

: ■»

O

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

» 0

O

1

X

X

1

(χ+ΐ)

(χ+ΐ)

(χ+ΐ)

(χ+2)

cn ro

co

.34. 1524168

BINÄR -DEZIMAL-UMWERTUNG 4.

Eine bevorzugte Anwendung der Erfindung ist die Binär-Dezimal-Umwertung. Es ist bekannt/ daß eine Division einer natürlichen Binärzahl durch 10 bei Erreichen der Quotienten-Kommastelle einen Rest ergibt, der der Ziffer in der niedrigsten Dezimalstelle entspricht. Die Division einer natürlichen Binärzahl durcjh 10 unter Beobachtung des sich ergebenden Restes und eine Wiederholung dieser Division mit der ganzen Zahl des ermittelten Quotienten bildet daher ein attraktives Mittel der Basisumwertung, sofern das praktische Problem der Division gelöst ist. Da die vorliegende Erfindung eine wirtschaftliche und schnelle Division gestattet, eignet sie sich vorzüglich zur Basisumwertung.

Eine bevorzugte Einrichtung zur Binär-Dezimal-Umwertung (Fig. 3) verwendet zwei Schieberegister. Anstelle der Division durch 10 wird eine Division durch 5 verwendet, deren Resultat als eine Division durch 10 in einer noch zu beschreibenden Weise interpretiert wird.

Wie die Fig. 3 zeigt« umfaßt die Einrichtung einen Dividendenspeicher 10, ein Dividendenschieberegister 12 und eine Übertragungsschaltung 14. Zum Speicher 10 erfolgt Zugriff unter der Steuerung einer Zähl- und Taktgeberechaltung 16 in herkömmlicher Weiee. Die Einrichtung ist so getroffen, daß ein Anzeigesignal erzeugt wird, wenn der Zählstand der Schaltung 16 die Wertstelle einer im Speicher 10 aufgesuchten Ziffer anzeigt, die höher liegt als die Wertstelle 1. Dieses Ausgangssignal wird über eine Leitung 18 zu einer Und-Schaltung 20 geführt. In der

■0Q98 1 2/13ö'O ■ ·

Docket 11 194 .

1524168

gleichen Weise wird ein Signal von der Schaltung 16 geliefert, wenn die im Speicher 10 aufgesuchte Wertstelle gleich oder kleiner als 1 ist. Das letztere Signal gelangt über eine Leitung 22 zu einer Oder-Schaltung 24.

Ein Schieberegister 26 ist für die hochstelligen Quotientenbits vorgesehen. Das Quotientenbit q. . wird im Quotientengenerator 28. erzeugt, der im Detail bereits in Verbindung mit Fig. 2 beschrieben wurde. Der Generator 28 liefert ein Ausgangssignal einer bestimmten Polarität auf Leitung 30, wenn q, . = 1. Wenn andererseits q» . = 0 ist, wird eine Signal entgegengesetzter Polarität auf der gleichen Leitung erzeugt. Die Leitung 30 verzweigt in die Leitungen 34 und 32, von denen die letztere zum Eingang des Schieberegister 26 führt. Die nachgeordnete Division der ganzen Zahl desQuotienten einer vorausgehenden Division durch 10 ist notwendig/ um die Basisumwertung fortzusetzen, die auf dem Algoritmus der wiederholten Division durch 10 in der oben beschriebenen Weise aufbaut. Die Leitung 34 ist mit der Schaltung 16 verbunden, um über diese ein jedes Quotientenbit zum Dividendenspeicher 10 zu übertragen.

Es werden daher in der dargestellten Einrichtung zwei Schieberegister verwendet, von denen das Schieberegister Ϊ2 die Bits d. ., d; ., d, . und d. . des Dividenden speichert, während das Schieberegister 26 die Quotientenbits q, -iy Qt o) ^und q, _.. speichert.Die Ausgänge der beiden Schieberegister 12 und 26 sind mit dem Quotientengenerator 28 verbunden. Beim Beginn eines q, .-Bestimmungszyklus wird das Dividendenbit der nächstniedrigeren Wertstelle d, . aus dem Dividendenspeicher 10 gelesen

• Ü U y B ' l / i j b ■

Docket 11 194 .

und in einem Eine-Bit-Register 38 gespeichert.

Ein q. .-Bestimmungszyklus beginnt daher mit der Übertragung von

d. . vom Speicher 10 in das Register 28 und der gleichzeitigen Betäti-(X-I/

gung des Quotientengeneratore 28 durch die Ausgangseignale von den Schieberegistern 12 und 26. In nur wenigen MikroSekunden sind die Schaltelemente des Quotientengenerators 28 eingestellt, Ein herkömmlicher Taktgeber 4o dient zur automatischen Erzeugung eines Schiebeimpulses auf Leitung 36 und zur Betätigung der Schaltung 16, damit das ermittelte Quotientenbit q. . in diejenige Stufe des Dividendenepeichers 10 eingeschrieben wird, die vorher den Dividendenwert d, ..enthalten hatte. Die Schiebeimpulse bewirken auch eine Entnahme des Wertes d. ,. aus dem Speicher 38 und die Übertragung dieses Wertes zum Schieberegister 12. Die d-Bits der höheren Wertstellen werden um eine Stufe weitergeschoben« wobei dag bisherige d. . -Bit automatisch zerstört wird. Der Schiebeimpuls auf Leitung 36 bewirkt ferner, daß das erzeugte q, .-Quotientenbit von Leitung 32 in die erste Stufe des Schieberegister 26 eingegeben wird. Die höher stelligen q-Bits werden um eine Stufe verschoben, wobei das bisherige q, q\"^Bit automatisch zerstört wird.

Die Beendigung dieser Stellenverscbiebeoperation ist gleichzeitig die' Beendigung eines q> . -Bestimmungszyklus. Der Zähler in der Schaltung

Docket 11 194

0098 12/1360

16 wird um einen Schritt weitergeechaltet während der Beendigung der Stellenveschiebeoperation. Es beginnt nun ein neuer q. .-Bestimmungszyklus. Die Schaltung 16 überträgt das Bit der nächstniedrigen Werts teile des Dividenden in den d. j.-Speicher 38 als einen Teil des nächsten q, .-Bestimmungszyklus. Die Übertragung eines jeden q, «-Wertes in diejenige Stufe des Dividendenspeichers 10,/den Wert d. ... für diesen

enthält *

Zyklus/bewirkt eine Verschiebung des q, .-Wertes um eine Wertstelle

nach unten. Es ist bekannt, daß die Verschiebung eines Binärwertes um eine St eile nach rechts einer Division durch 2 gleichkommt. Da q, , bereits eine Division durch 5 repräsentiert, ist die Größe, die in den Dividendenspeicher 10 eingegeben wird, l/lO des ersten Dividenden. Der ganzzahlige Teil dieses Wertes wird in Weiterführung der Basisumwertung als Dividend benutzt.

BASISUMWERTUNG-DECQDIERUNG

Die oben in Verbindung mit Fig. 3 beschriebene Divisions operation wird fortgesetzt für die Wertstellen unterhalb des Binärkommas, da der Rest der jeweiligen Divisionoperation ausgenutzt wird als Resultat der Umwertung einer Wertstelle in die Dezimaldarstellung. Wie noch beschrieben wird, sind Mittel vorgesehen, die sicherstellen, daß die Division nur bis tu drei Wertstellen unterhalb des Binarkommas des ursprünglichen Dividenden fortzuführen ist, um ausreichend viele Quotientenbits zu er-' zeugen, um den Restwert der Division unzweideutig als 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oder 0 zu bestimmen. Auf diese Weise wird die Decodierschaltung

Bocket 1H94 0098 I 2/UbO

zur Bestimmung des Dezimalwertes erfindungsgemäß vereinfacht.

Als ein Teil dieser Vereinfachung wird das Bit in der niedrigsten Stelle mit einem ganzzahligen Stellenwert (1-Wertetelle) des Dividenden nicht aufgearbeitet während der Division. Dieser Wert wird im d. .-Speicher 38 gespeichert. Zur 1-Wertstellenzeit und zu den niedrigeren Wertstellenzeiten erzeugt der Zähler von Schaltung 16 kein Signal auf Leitung 18. Die Und-Schaltung 20 ist daher zu dieser Zeit gesperrt. Gleichzeitig erzeugt die Schaltung 16 ein Ausgangssignal auf Leitung 22, wodurch Nullen in das Schieberegister 12 eingegeben werden. Über die von der Leitung 22 abgezweigte Leitung 41 wird der Speicher 38 an einer Rückstellung während der folgenden drei q .-Bestimmungszyklen verhindert.

Der Ziffernwert der Wertstelle 1 bleibt somit in der Schaltung 38 gespeichert, obgleich anstelle dieses Wertes ab der Verarbeitung der
Eins-Wertstelle jeweils eine Null in das Register 12 eingegeben wird. Im folgenden wird nachgewiesen« daß durch dieses Vorgehen eine eindeutige Veränderung des Quotienten unterhalb des Binärkommas in einer Division durch 10 sichergestellt wird und daß der ganzzahlige Teil des Quotienten der gleiche ist, wie bei einer reinen Division durch 10. Es wird hierzu von der folgenden Gleichung ausgegangen, die sich inhärent aus den Begrenzungen der Division ergibt. '

Docket 11 194

0098 127 ilbü

GLEICHUNG O

ι γ

t D ^RD

1 Z η "V -γ·

worin D ^a Dividend

V ^β Divisor . 1 ., l' / 1 Y

ι δ η

Q_n = ganzzahliger Quotient

v"

= ganzzahliger Rest von D, dividiert durch V

Diese Darstellung wird erläutert durch die folgende Diskussion. R stellt stets einen ganzzahligen Rest und Q stets den ganzzahligen Teil des Quotienten dar. Ein Index zu irgendeinem dieser Resultate gibt an, welche Operation das betreffende Resultat erzeugt hat. Daher bedeutet Q, den

* .-.■■■ 5"

ganzzahligeiTeil des Quotienten der Division D durch 5. Andererseits bedeutet R , den ganzzahligen Rest der Division D durch 2. Diese Werte

können weiter dividiert werden. Q, gibt somit an, daß der ganzzahlige

1 ■

2 r

Quotient der Division D durch 5 erneut durch 2 dividiert worden ist.

Die folgende Gleichung P wird direkt aus den Definitionen der Division und den verwendeten Auedrücken gewonnen.

Docket 11 194

0 0 9 8 1 2 / T 3 B

GLEICHUNG P

10 ^

10

10 10

In der bevorzugten Einrichtung zur Basisumwertung gemäß vorliegender Erfindung wird die niedrigste Wertstelle des in Binärdarstellung vorliegenden Wertes D zu null gemacht, obgleich dieser Wert ursprünglich eins oder null sein kann. Da in bekannter Weise durch eine Verschiebung eines Binärwertes um eine Stelle nach rechts eine Division durch 2 erreicht wird, kann die niedrigste Wertstelle unmittelbar als eine Beschreibung des ganzzahligen Restes der Division D durch 2 aufgefaßt werden.

D_ j wobei eine Division durch 5 in der beschriebenen 2 . · - ;

Weise vorausgegangen ist; die sowohl die geradzahligen als auch die Kommastellen des Quotienten ergeben hat. Diestsr Vorgang kann mathematisch folgendermaßen beschrieben werden:

D-R
JD

D-R

B>-

In der praktischen Ausführung wird., nachdem'Gleichung (1) ausgeführt .ist, eine folgende Division durch 2 vorgenommen,■ indem die'erzeugten und in den Speicher 10 eingeschriebenen Quotientenbits um ©ine Wertstellenrichtung der niedrigeren Wertstellen verschoben wenden.

Docket 11 194

0098 12/1360

Mathematisch kann dies dadurch ausgedruckt werden, daß beide Seiten der Gleichung (1) mit 1/2 multipliziert werden:

V	"d	-R ""
		D
		2

Diese Gleichung kann durch algebraische Umformung aufgrund der Fest

stellung, daß die Division von Q Rest erzeugt, vereinfacht werdenr

D -R

durch 2 einen neuen ganzzahligen

TO -L • 10

L-ΛΙ

R	Q	"D	5	Γ	R	+	ΜΗ»	5	-	R D
					D	2 MMMBMB
	m			MMMl	M-P
		_

10

In Übereinstimmung mit der oben diskutierten Benennung ist

D-R

D 2

der ganzzahlige Quotient, der durch Division durch 2 aus demjenigen ganzzahligen Quotienten gewonnen wird, der aus der Division D - R_Q

durch 5 erzeugt worden ist.

ist der ganzzahlige, durch 2

U 5

dividierte Rest, der aus einer Division durch 2 des ganzzahligen

Docket Il 194

0098 12/1360

Quotienten gebildet worden ist, der seinerseits durch die Division

D - R durch 5 erzeugt worden ist. 2"

Die Gleichung (3) kann durch algebraische Umformung in die Gleichung (4) vereinfacht werden:

5R

(4) D . 10

5 J

"D -	R	D	+ R	^_	- R "
	2		D	D
	> —			T
—t
2		—

10

Es kann nun festgestellt werden, daß die Gleichung (4) mit der obigen Gleichung B identisch ist, wenn der Kommastellenteil

5R

D-R

D-R

D 2

10 ...'■■

nicht größer sein kann als 1. Sollte der Kommastellenteil in irgendwelchen

Fällen größer sein als 1, dann würde der Q,

-Ausdruck nicht den

D-R

ganzzahligen Quotienten darstellen, der in jedem Falle erhalten wird. .Es kann gezeigt werden, daß der Wert SR

+ Cn β "1 +

i'il f

Docket 11 194

0098 12/1360

nicht wertmäßig gleich oder größer 10 sein kann, denn der Wert stellenteil von Gleichung (4) kann nicht eine ganze Zahl sein. Die Identität in der Form zwischen Gleichung B und Gleichung (4) beweist mathematisch, daß der ganzzahlige Ausdruck in den zwei Gleichungen gleichgesetzt werden kann und daß der Kommastellenausdruck in den zwei Gleichungen gebildet werden kann. Es ist daher möglich zu schreiben:

JD 10

10

D- R

D 2

. u.nd·

5R^ _

D	2	5	τ	5	D
		2

Die Gleichungen (5) und (6) ergeben sich aus der folgenden Überlegung, die beweist, daß sr r> . R

D-R

D-R

nicht gleich oder größer 10 sein kann.

Als erstes ist festzustellen, daß der theoretisch mögliche Maximalwert der obengenannten Summe des ganzzahligen Restes 10 ist. Dies ist richtig,

undR_n aus einer Division durch 2 erzeugt worden

0098 12/136Ü

da	sowohl	D - ]	2
			—
		5

Der maximale ganzzahlige Rest der Division durch 2 ist natürlich 1.

D- R

ist ebenfalls der ganzzahlige Rest, der in einer Division

durch 5 erzeugt worden ist. Der Maximalwert dieses Restes aus der Division durch 5 ist natürlich 4. Daher kann der theoretische Maximalwert

von

5R

D-R

JD Z

D - R

durch Einsetzen der obigen

Ausdrücke wie folgt gewonnen werden: 5.(1)+4 + 1 - 10,

Der wirkliche Maximalwert kann jedoch kleiner sein.

Angenommen, daß R

der mögliche Maximalwert des Restes

"D-R

JSL

ist, dessen Ziffernwert-Maxiaamm 1 ist. Wenn dies zutrifft, dann ißt

D - R

L 5

eine ungerade Zähl, da nur eine ungerade Zahl einen Rest

erzeugt bei einer Division durch 2»

Ebenso ist Q

D -R

L. 5 durch 5. D-H

eine ganze Quotientenssahl aus der Division D-R

■0

Docket 11 104

eine gerade Zahl -Bein, da Β~ eins ist «nd ven 0 09 812/13ö 0 ^Λ

subtrahiert wird« so daß D ein· ungerade Zahl sein muß. Da R

D-R

L 5

zusammen mit Q

It)-R.

durch Dividieren des Ausdruckes D-R

D 2

durch 5 erhalten worden ist, kann festgestellt werden, daß:

D-R-D

D-R

- 5Q

D-R

DaQ

D-R

U 5
auch 5Q

gemäß der obigen Betrachtung eine ungerade Zahl ist, ist

D - R

L 5

ebenfalls ungerade, da eine ungerade Zahl mulipliziert

mit einer ungeraden Zahl stets eine ungerade Zahl ergibt.

Die Gleichung η

D - R

D T

5 J

D-R

⁵⁰Td-R

■MS

kann daher ge-

schrieben werden: R^k _Ώ "ί ³ gerade Zahl - ungerade Zahl. Eine

■^RD

gerade Zahl minus einer ungeraden Zahl ist aber stets eine ungerade

Zahl. Wenn daher R_ß den Wert 1 hat, muß R

D - R

D-R

*- 5 J

ungerade

sein. Da das Maximum des Wertes R₁-^ „-i4 ist, also eine gerade Zahl,

Docket 11 194 QO 98 1 2 / 1;

D	-	RD
		2
	5
"δ	0	—

ergibt eich daraus, daß die drei ganzzahligen Reste R , R

ID - R

_D 2

5 J

D-R

-- ■ ■■ 2 -.-■■·.■■■■... -

niemals gleichzeitig ihren theoretischen Maximalwert einnehmen, können.

Da ihr theoretischer Maximalwert 10 oder weniger ist, ergibt sich damit, daß der Kommastellenwert in Gleichung (4) kleiner als 1 ist. Die Gleichungen B und (4) sind somit in ihrer Form identisch und die Gleichungen (5) und (6) sind bewiesen.

Die Gleichung (5) ergibt, daß die im Dividendenspeicher enthaltene Zahl mit dem ganzzahligen Quotienten identisch ist, der in einer Standard-Division von D durch 10 erhalten wird. Dies wiederum gestattet den Schluß, daß die Basisumwertung, die wie beschrieben auf einer wiederholten Division durch 10 des ganzzahligen Quotienten von D_ beruht,

10 mit der Einrichtung nach Fig. 3 richtig ausgeführt werden kann. Die

Gleichung (6) ist ein Beweis, daß der ganzzahlige Wert unterhalb des Binärkommas /R_n j in einer Division von D durch 10 vollständig beschrieben werden kann durch die Werte, die unterhalb des Binärkommas in einer Division von D durch 5 erscheinen, in welcher die Bedeutung der Wertstelle I oberhalb des Binärkommas für die Division als null ge wertet wird und in welcher diese Wertstelle unabhängig von ihrem Ziffernwert gespeichert wird. Mit anderen Worten, es ist nur notwendig, die Ziffernwerte der niedrigsta^anzzahligen Ziffernstelle von D und die Ziffernwerte der Wertstellen des Quotienten unterhalb dee Binärkommas zu kennen. '.

00 98 12/1360 " ~' ^ \

Docket 11 194 COPY ^λ

. 152416a/

Nachdem der obige Beweis durchgeführt Ist,, wird es wichtig, die Zahl der Quctlentenetellen zu bestimmen, weliie zur uesohrelbun^ eines'Restes bekannt sein müssen," der eine eindeutige Basisumwertung ergibt. Die Reste bei einer Division einer natürlichen, ganzen Binärzahl durch 10 müssen ganzzahlige Werte von 0 bis 9 sein. Die Division verändert die- relativen Größen dieser Werte in der Originalzahl nicht, sondern reduziert lediglich diese Größen durch den Wert des Divisors. Eine binäre Eins der Eins-Wertstelle einer natürlichen 3inärzahl weist nach einer Division durch 1C einen Beitrag in endgültigen Quotienten von 1/10 auf. Eine binäre Eins in der nächsthöheren Wertstelle liefert einen Beitrag im Endresultat von insgesamt 2/10 und eine binäre Eins in der nächst höheren Wertstelle hat eine Bedeutung im Endresultat von der Grö^ 4/10 und eine binäre Eins in der nächsthöheren Wertstelle hat ein Bedeutung im Endresultat von insgesamt 8/10. Es ist hieraus unmit telbar ersichtlich, daß nur die binäre Eins-Wertstelle einen Wert von 1 zu den insgesamt möglichen Werten von 0 bis 9 liefert.

Da eine Binärdezimal code-Ziffer aus der Einrichtung nach Fig. ji a. gegeben werden soll, wird der Wert des gespeicherten Bit der binä ren Eins-Wertstelle bedeutsam. Dieses Bit kann direkt als ein EIe ment des Ausgangscodes verwendet werden. Wie weiter-unten noch er läutert wird,.wird in der beschriebenen Einrichtung der gespeiehe te Ziffernwert der Wertstelie mifc der Wertbedeutung 1 in dieser Weise verwendet.

Es,ist ersichtlich, daß der Rest in einer binären Division in ein abnehmenden Serie erscheint , deren Stellenwerte eine Folge von

Docket Π 194

Oü!/y ■ ti UbO

gativen ganzzahiigen Vielfachen von 2 bilden und Ziffernwerte von .;

1 oder 0 aufweisen (ζ. B. : Stellenwert,'--^,—^-,

yg-, JL- ..-in

Ziffernwert '.

Da eine ganze Zahl durch 10 dividiert wird, ist die ganze Zahl R_D entweder 1, 2, 3, 4, 5, ,6, 7,. 8, 9 oder 0. Die niedrigeren Wertstellen sind nicht erforderlich, um eine Unterscheidung zwischen diesen 10 diskreten Werten herbeizuführen.

In der beschriebenen Basisumwertung wird eine ganze Zahl, die mit D-Rji in Gleichung (1 ) der obigen Ableitung vergleichbar ist, durch 5 geteilt . Da der Dividend eine ganze Zahl ist, sind die hochstelligen,Wertstellen unterhalb des Binärkommas Repräsentanten eines der.möglichen Reste, die 0, 1, 2, 3 oder 4 sind. Die folgende Tabelle gibt für die 4 Wertstellen unterhalb des Binärkommas die erwähnten 5 Möglichkeiten an.

	QUOTIENT	Λ	1 ~8"	1 T"	1 2	Rest
Stellenwert	0 ."	0	ö	... . 0	'. - - - 0
	1	T	0	0	1- ■
	Ό	1	1	0	2
	■ 1	0	0	1
	ο	0	1	1	4

Docket 11 194

· 2/-13bQ

BAD ÖRtätMAL

Es ist zu bemerken/ daß die in der pechiffiSpalte angegebenen Zahlen jeweils nur durch die ersten drei Stellenwertspalten unterscheidbar bestimmt sind. Die letzte Stellenwertspalte ist daher zur Lösung irgendwelcher Doppelbestimmungen nicht notwendig.

Es wurde damit gezeigt, daß nur die drei Wertstellen von q unmittelbar unterhalb des Binärkommas benötigt werden, um den Rest in einer. Division einer ganzstelligen Zahl durch 5 zu beschreiben. Die Gleichung (6) zeigt, daß der Rest einer Division von D mit Hilfe der Ziffernwerte der Binärstelle Eins in Q₀ (was gleichbedeutend ist m^t R« ) durch R rx. _D —und durch die Ziffernwerte

5 -^J

■■■■■■- 5 ■

der ursprünglichen Eins-Wertstelle von D (welche R₀ 1st) beschrieben wird. Es wurde somit eine methodische Ableitung durchgeführt, um mit allen 5 möglichen Kombinationen der drei höchsten Wertstellen unmittelbar unterhalb des Binärkommas im Resultat einer Division durch 5 und mit den zwei möglichen Werten der Eins-Wertstelle im ursprünglichen Dividend (D) sowie der Eins-Wertstelle im einem Quotient der Division durch 5 zu bestimmen, welchen Wert der Rest in einem jeden Falle hat. Die Ableitung wurde erhalten durch die bloße Annahme von 10 unterschiedlichen natürlichen Binärzahlen, von denen jede mit einer unterschiedlichen von zehn im Dezimalsystem verfügbaren Zahlen endet, d, h» XX1, XX2, XX3 ... XXO. Die Zahl wurde in natürlicher Binärdarstellung angegeben und der Ziffernwert der niedrigsten Wertstelle wurde notiert. Die Zahl mit einer Null wurde dann in die niedrigste Wertstelle eingesetzt und durch 5 dividiert. Die resultierende Ziffer der Eins-Wertstelle Docket 11 194 0098 52/1360

so

des Quotienten und die Ziffernwerte der drei Wertstellen unterhalb des Binärkommas wurden in der folgenden Form aufgezeichnet um den in der rechten Spalte enthaltenen Resultatwert anzugeben.

■ ■ ■	QUOTIENT	0 j 0	0	1-Wertstelle von D	O	1	Dargestellter" Dezimalwert
	11 1 - "B" T" ~"2~ '	0	OC	0	0	0	Il F Ο
Stellenwert	0	1	V	1	1	ι
-	0	1	OGf 0 £	1	0	2
T	1	0 0	1	1 ■ ί
1	r	t	1	0 ■ .
0	0	1	1	5
0	0	0	6
1	0	0	7
1	0	1	8
0	1	9
0

Diese Decodiertabelle wurde verwendet, um die Decodierschaltung 42 von Fig. 3 zu erhalten, die im Detail in Pig. 4 angegeben ist. Aus

dieser Tabelle ist zu ersehen, daß nur zwei Wertstellen unterhalb Docket 11

00 98 12/1360

des Binärkommas in der Division durch 5 benötigt werden. Die Verwendung der dritten Viertstelle vereinfacht Jedoch den Aufbau der Decodierschaltung 42 erheblich.

Die Decodierschaltung A2 ist mit dem d / . \-Speicherregister J>Q und mit den Wertstellen q , _j_\, q / 1 y, q / 1 ν und

\ ~2~) Λ —ip ; κ -Jj- ;

q , 11 ■ χ des Speichers 10 verbunden. Da in der praktischen Aus- ^K Y6~ ^}

führung der Basisumwertung, wie in Fig. 3 gezeigt, eine Stellenverschiebung um 1 durchgeführt wird, um eine Division durch 10 zu erreichen, ist q / 1 \ äquivalent zu der 1-Wertsteile in der oben genannten Decodiertafel, während q , 1_ >, q / 1 \ , , q / 1 \ Äquivalente zu den Wertstellen mit den Stellenwerten

* T 1

--k-> ~4~~' TT" ^^er °^^en genannten Decodiertabelle sind. Die wiederholte Division einer Basisurr.wertung ist beendet, wenn ein Quotient erhalten wird, der die Wertstelle mit dem Stellenwert —n- in der Division durch 5 erfaßt, so daß diese Wertstelle um 1 verschoben als die -TT-- -Wertsteile gespeichert wird. Zu dieser Zeit sind daher die richtigen Bits direkt für die Decodierschaltung 42 verfügbar, wie in Fig. 4 dargestellt. Es wird ein binärdezimal·-codierter Ausgang swert erhalten, der in der gewünschten Weise weiter verwendet werden kann.. Dieser Wert kann z. B. unmittelbar zur Betätigung einer Druckeinrichtung für den Abdruck des binärdezimal-codierten Wertes in Dezimalform dienen.

Es ist ersichtlich, daß die Decodierschaltung 42 von Fig. 2 in ihrem Anschluß an den Speicher 10 lediglich beispielsweise dargestellt ist. In Abhandlung der gezeigten Einrichtung können verschiedene Stufen des Dividendenspeichers 10,- welche die Komma-

Docket 11 19* 0U9BV2/136Ü

stellen aufnehmen, weggelassen werden. 4 niedrlgsteXlige Quotientenbits können gemäß der obigen Erläuterung erzeugt werden, ohne jedoch im Speieher 10 gespeichert zu werden. Stattdessen wird von der Tatsache Gebrauch gemacht, daß q / 1 Λ, q / 1 \ und ' Q ( ) ) durch die Stufen des Schieberegisters 26 dargestellt wer* den zu derjenigen Zeit, in der q / 1 ν auf Leitung JO durch den

■.-"■■... · 16

Quotientengenerator 28 erzeugt wird. Di£ Leitung JO und der Ausgang

von den drei Stufen des Schieberegisters 26 sowie der Ausgang des d / i\ -Speiehers 38 kann daher im richtigen Takt zur Decodier- W schaltung 42 geführt werden, wodurch der richtige Ausgangswert erhalten wird, ohne daß im Dividendenspeieher 10 Speicherstellen für die Quotientenkommasteilen vorgesehen werden müssen.

ERGÄNZENDE ERLÄUTERUNGEN

Um das Verständnis der Erfindung zu vervollständigen, wird nach-' folgend eine Betrachtung der Wertstellen einer ganzen Zahl durchgeführt, die in einem akkumulativen, einen Übertragstransfer enthaltenden Darstellüngsschema aufgezeichnet ist. Das natürliche Binärsystem ist ein äkkumulatlves, einen Übertragstransfer enthaltendes Darstellungsschema.

Die Stellenwerte in einem natürlichen Binärsystem sind 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... 2ⁿ. Wenn eine Zahl in natürlicher Binärdarstellung besehrieben wird, haben einige der Wertstellen einen Null-Ziffernwert, während andere Wertstellen einen Eins-Ziffernwert aufweisen. Le-diglich diejenigen Wertstellen, die einen Eins-Ziffernwert aufweisen, liefern einen Beitrag zur endgültigen Zahl. Z. B. wird die

Docket .11 194 BADORKaINAL

- Ü09H . I / 1.3 6 0- ' -..■■..■

Zahl 154 wie folgt beschrieben:

Stellenwert: 1 2 4 8 16 32 64 128 Ziffernwert: 0 1 0 1 10 0 1

Die Zahlensumme ist eine einfache Addition der Stellenwerte, die den Eins-Ziffernwerten zugeordnet sind. Im dargestellten Falle sind dies: 128 + 16+8+2 = 154.

Es, ist weiterhin ersichtlich, daß jeder Ziffernwert eine unabhängige Ziffernbedeutung aufweist, die in direkter Beziehung zum Stellenwert steht, in welcher er erscheint. In der natürlichen Binärdar-. stellung ist daher, wenn ein Eins-Ziffernwert in der 128-Wertstelle erscheint, die endgültige Zahl zumindest 128. Die Anwesenheit einer 1 in verschiedenen Wertstellen definiert diejenigen Zahlen, die zum Wert 128 zu addieren sind. Die Anwesenheit von Null-Ziffernwerten zeigt an, daß keine Addition zu erfolgen hat. Die reine Existenz einer 1 in der Wertstellung mit dem Stellenwert 128 ist daher als Teilsumme zu definieren, die einen Teil der endgültigen Zahl darstellt, unabhängig davon, ob andere Ziffernwerte existieren oder nicht. Diese Charakteristik wird als akkumulative Charakteristik eines Zahlensystems bezeichnet.

Eine zweite Charakteristik ist die Übertragstransfer-Charakteristik eines Zahlensystems. Diese Charakteristik erfordert, daß die Summe aller untergeordneten Wertstellen einen Wert repräsentieren/ der von der zunächst übergeordneten Wertstelle um 1 differiert.._;

Docket 11 194 .

00 98 1 2/ 136 0 ·

natürlichen Binärsystem ist somit die Summe der untergeordneten Stellenwerte 1, 2 und 4 um 1 kleiner als der Steilenwert de,r zunächst übergeordneten Wertsteile mit dem Stellenwert 8. Physikalisch gesehen bedeutet dies, da3 die niedrigeren Wertstellen gefüllt sind und daß die zunächst übergeordnete WertsteHe durch einen übertrag von den untergeordneten Wertstellen gefüllt wird. Der akkumulative, einen Überuragstransfer enthaltende Anstieg von Zahlenwerten ist eine klassische und oft verwendete Methode der Zahlendarstellung. Das Dezimalsystem weist die gleichen Charakteristiken auf. Dementsprechend wird die Zahl 58 024 in Dezimaldarsteilung wie folgt geschrieben:

Steilenwert:	1	10	100	1	000	10	000
Ziffernwert:	4	2	0		8		5

In diesem Falle gibt der erste Ziffernwert 4 an, daß die endgültige Zahl 4 Teile des Stellenwertes 1 aufweist. Dies trifft zu, unabhängig davon,.-.welche.-Ziffernwerte .'-die anderen Wertstellen auf v/eisen. In der gleichen Weise bedeutet die 8, daß in der endgültigen Zahl 8 1000er existieren, unabhängig davon, welche Werte die anderen Wertstellen aufweisen. Außerdem besitzt das Dezimalsystem auch eine Übertragstransfer-Charakteristik. Dies geht daraus hervor, daß 999 die Summe der ersten drei Wertstellen darstellt, während 999+1 die Zahl 1000, also die zunächst übergeordnete Wertstelle darstellt

In einem beliebigen akkumulativen, einen Übertragstransfer aufweisenden System der Zahlendarstellung stellt eine Stellenverschiebung eine Multiplikation mit der Basis des Zahlensystems dar. Des

Docket 11 194 009812/1360

.--*..-■ 152416

weiteren haben'alle Ufaerträge eines derartigen Systems die Ziffernwertbedeutung 1 für die nächsthöhere Wertstelle. Da ein jeder Dividend als Vielfaches des Quotienten in der in Verbindung mit der Gleichung E oben dargestellten Weise ausgedrückt werden kann, ist somit diese Erfindung für die maschinelle Division einer jeden Zahl anwendbar, die in einem akkumulativen, einen übertraf^transfer aufweisenden System der Zahlendarstellung gespeichert ist.

O ü 'j ΰ -.2/136 ϋ

Claims (7)

1. PATENTANSPRÜCHE "■■■'.■

   Divisionselnrihtung mit zwei Registern zur Aufnahme wenigstens eines Teiles der Dividenden - und Quotlentenstellen,,.- dadurch gekennzeichnet, daß die Registerstufen des einen Registern _Zur Aufnahme der in bezug auf den Stellenwert (x) einer im jeweiligen Operationszyklus zu bildenden Quotientenziffer (q_v) höher- stelligen Quotientenziffern (q_x+j> Q +?' *'"■■ ^x+n) ^un<* gisterstufen des anderen Registers zur Aufnahme der. gleich- und höherstelligen Dividendenziffern (d^, ^d _x+i* ^dx+2' dienen, wobei η gleich der oder größer als die Divisorziffernsteilenzahl ist, und daß die Registerstufen mit wenigstens einer einen bestimmten Divisorwert fest zugeordneten Quotientengeneratorschaltung (5) verbunden sind, die aus den höherstelligen Quotientenziffern und den gleich- und höherstelligen Dividendenziffern die Quotientenziffer (q) ableitet.
2. 2. Einrichtung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die beiden Register als Schieberegister (1 und J5) ausgebildet sind, von denen das eine "eingangsseitig mit der Quotientenge-* neratorschaltung (5) und ausgangsseitig mit feinem Quotientenspeicher (7) und der Eingang des anderen mit einem Dividendenspeicher (9) verbunden ist, und daß die Schieberegister gemeinsam zur Ausführung einer Stellenverschiebung pro Operationszyklus betätigt werden.
3. 3. Einrichtung nach Anspruch 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, daß '·■ die Quotientengeneratörsehaltung (5) in Zuordnung zu einem

   Docket 11 \^^Λ?ϊ^--0Μ⁽ί\ί Ll 13b0 /

   festen Divisorwert mit Hilfe von der Bool'sehen Algebra genügenden Verknüpfungsschaltungen nach den Grundschema D = Q + Q (V-1) aufgeoaut ist, worin D der Dividend, Q der Quotient und V der in der Generatorschaltung instrumentierte Divisor sind.
4. 4. Einrichtung nach Anspruch 1 bis JS, dadurch gekennzeichnet, dafl sie zur Zahlenbasisumwertung mit Hilfe des sich bekannten SchemasMer iterativen Division der umzuwertenden Zahl (z. B. BinärzahJ?) *und der sich jeweils hieraus ergebenden ganzzahli-· gen Quotienten durch die Basis des Zahlensystems (z. B. Dezimalsystem), in welches die Umwertung erfolgen soll, und Benutzung des Dividendenrechtes als umgewertete Zahl dient, indem die Quotientengeneratorschaltung (28) einem Divisor zügeordnet 1st, der der Basis des Zahlensystems, in welches die Umwertung erfolgen soll, oder einem ganzzahligen Bruch dieser Basis entspricht.
5. 5. Einrichtung nach Anspruch 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß die umzuwertende Zahl dem Dividendensch-.ieberegister (12) zugeführt wird und daß die von der Quotientengeneratorschaltung (28) gebildeten Quotientenziffern einerseits dem Quotientenschieberegister (26) und andererseits dem Dividendenspeicher (10) zugeführt werden, von wo sie als neuer Dividend

   d ·

   in das Dividenenschieberegister übertragbar sind.
6. 6. Einrichtung nach Anspruch 4 und 5* dadurch gekennzeichnet,

   Docket 11/194 BAD OBKSlNA₁. ' '

   009812/1360 -

   daß die Quotientengeneratorschaltung (28) eine Division durch 5 ausführt und daß sich an diese eine in Form einer binären Stellenverschiebung vorgenommene Division der von der Quotientengenera torschaltung erzeugten Quo.tientenziffem durch 2 anschließt.
7. 7. Einrichtung nach Anspruch 4 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß eine Sperrschaltang (14, 18 und 22) vorgesehen ist, die eine Zuführung von Ziffern mit einem Stellenwert Kleiner 1 zum Dividendenschieberegister (12) verhindert und stattdessen Null-Ziffernwerte in dieses Register eingibt und daß eine Decodier schaltung die iuotientenziffern der Stellenwerte 1, —jT"» —r-" und —g— und die Dividendenziffer des Stellenwertes 1 zugeführt erhält und aus diesen Ziffern eine dem Dividendenrest entsprechende binärdezi.T.alverschlüsselte Resultatziffer bildet.

   98^2/1360

   Lee rs e i-t-e