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Die Erfindung bezieht sich auf ein ."erfahren zum Linearisieren des
Phasengangs eines Kreuzglied-Reaktanzfilters im Durchlaßbereich, wobei die Anzahl
der Nullstellen und Pole der Reaktanzzweipole des Filters in den Längs- und Diagonalzweigen
sowie die Grenzfrequenzen des Durchlaßbereiches vorgegeben sind.
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Während es bei Fernsprechübertragungen hauptsächlich auf die Verständlichkeit
des übertragenen Wortes ankommt und es von sekundärer Bedeutung ist, das Wort klanggetreu
wiederzugeben, soll bei der Datenübertragung die Kurvenform des die Information
darstellenden Signals möglichst getreu übertragen werden, da im Falle einer verzerrten
Kurvenform auch der Nachrichteninhalt des Signals verfälscht wird, wenn die Kurvenform
selbst eine Information beinhaltet.
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Die Gründe für eine Verzerrung der Kurvenform sind unter anderem folgende:
1. Rausch- und Störsignale, die in den Übertragungsleitungen entstehen und von außen
induziert werden.
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2. Dämpfungsverzerrungen, die auf das Übertragungsverhalten von Filtern,
Verstärkern usw. des Übertragungssystems zurückzuführen sind.
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3. Phasenverzerrungen,diedurch dieNichtlinearität des Phasengangs
des Übertragungssystems, beispielsweise des Phasengangs von Filtern oder vonanderen
Bauelementen,hervorgerufen werden.
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Wird beispielsweise die Oberwelle eines Signals in einem Übertragungssystem
stärker verzögert als die Grundwelle, dann hat das aus der E'berv@clle und Grundwelle
zusammengesetzte Signal am Ausgang des Übertragungssystems nicht mehr denselben
Verlauf wie am Eingang. Die Zeitverzögerung eines Signals in einem Ubertragungssystein
muß also für alle Frequenzen des Signals die gleiche sein. Mit anderen Worten. die
Zeitverzögerung muß unahhiingig von der Frequenz konstant sein. Da nun die Zeitverzögerung
gleich dem Differentialquotienten des Wellenwinkelmaßes oder Phasenmaßes nach der
Frequenz ist, folgt daraus, daß dieser Differentialquotient unabhängig von der Frequenz
sein und mithin das Wellenwinkelmaß linear von der Frequenz abhängen muß.
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Der Erfindung liegt nun die Aufgabe zugrunde, den Phasengang eines
Kreuzglied-Reaktanzfilters zu linearisieren, uin die unter Punkt 3 hervorgerufenen
Phasenverzerrungen zu verringern.
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Verfahren zum Linearisicren des Phasengang, von Filtern und Uhertragungsnetzwerken
sind bereits bekannt.
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So werden zur Phasenlinearisierung bei einem bekannten Ubertragungstietzwerk
iait einem symmetrischen Kreuzglied-Reaktanzfilter die abwechselnd aufeinanderfolgenden
Pole und Nullstellen der Reaktanzzweipole im Mittelteil des Durchlaßbereiches finit
frequenzgleichen Abständen und an den Durchlaßbereichgrenzen mit zunehmend kürzer
werdenden Frequenzabständen angeordnet (USA.-Patentschrift 1 828454).
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Ferner ist ein Vierpolnetzwer k aus mehreren Kettengliedern tizit
gleichen Wellenwiderständen bekannt, bei dem die Reaktanzen der Kettenglieder die
Nullstellen und Pole der Einfügungsdämpfung des Wetz-. Werks bestimmen. Um nun in
einem vorgewähltün Frequenzbereich die Zeitverzögerung konstant zu halten bzw. einen
linearen Phasengang zu erhaitc-. werden bei diesem bekannten Netzwerk die R eaktanzen
der Kettenglieder derart gewählt, daß innürhalb des vorgewählten Frequenzbereichs
die Nullstellen der Einfügungsdämpfung bei Anpassung stet denselben Realteil und
einen um gleichmäßige Beiläge zunehmenden Imaginiirteil aufweisen (USA.-Patentschrift
2 342 638).
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Weiterhin ist es bereits bekannt, den Phasenverlauf von Filtern, die
aus Konstant-K-Filtergliedern und aus ni-Filtergliedern, bei denen in kleiner als
1 ist, aufgebaut sind, mit ni-Filtergliedern. bei denen ni größer als 1 ist, zu
kompensieren (USA: Pate_itschrift ? 177 761).
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Die bekannten Verfahren zum Linearisieren des Phasengangs von Filtern
führen oft nicht zu den einfachsten Filterformen, und zur Berechnung der Filter
muß häufig ein großer mathematischer Aufwand getrieben werden.
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Eine Möglichkeit, den Phasengang eines Reaktan:.-filters zu linearisieren,
besteht darin, die Frequenzen, deren Phasenvrinkel im Durchlaßbereich einem Vielfachen
von 90 entsprechen, genau auf eine gerade Linie zu legen. Bestimmte linmitanzen
(Zusammenziehung aus Impedanz und Admittanz), beispielsweise die Kurzschlußimpedanz
und die Leerlaufidmittanz, die für das Reaktanznetzwerk charakteristisch sind und
deren Pole und Nullstellen abwechselnd an abstandgleichen Stellen liegen, kann inan
als Spektraiparameter definieren. Diese Spektralparanicter stehen. in einer bestimmten
Beziehung zum Phasengang des Netzwerkes. Eine vorgegebene und konstante Laufzeit
oder Verzögerungszeit wird durch den Verlauf der Einhüllenden einer speziellen Spektralfunktion
bestimmt. Der Phasengang kann dadurch liiiearisiert werden, daß inan den Verlauf
der Spektralfunktion abflacht.
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Nach der Erfindung ist jedoch ein Verfahren der eingangs erwähnten
Art ztim Linearisicren des Phasengangs eines Kreuzglied-Reaktanrfilters 111l Durchlaßhereich
dadurch gekenn/eichnet, daß für den Fall ungerader Ordnung der Tangcns des Phasenmaßes
b
mit
mtiltililiiicrt wird lind daß der Parameter u derart g iiiilt wird,
daß (las
als sp ew. ekirale Funktion delinierte Produkt
bzw.
im Durchlaßbereich (--- ) < <) < + 1) des Filters sich
einem konstanten Wert, nämlich dem Wert 1 optimal nähert, was dadurch erreicht wird,
daß zur eindeutigen Bestimmung des Parameters a die erste Ableitung der spektralen
Funktion S2,1 nach !? für S> = 0 gleich Null gesetzt wird. also
wobei 1i eine ganze Zahl, S! die variable normierte Frequenz und a die normierte
Frequenz der Nullstellen und Pole der Reaktanzzweipole im Durchlaßbereich des Filters
ist und daß für den Fall gerader Ordnung der Tangens des Phasenmaßes h
mit cot
L multipliziert wird und daß in dem als spektrale Funktion definierten Produkt
bzw.
| dir Parameter h: derart gewählt wird. dtiß für l ) - 1i
- 1 |
| die spc#kti":ile Funktion S," den Wert »1« ziilrliillult, |
| also, |
| @@!clbei 1i eine ganze Zziiil, _'! die variable normierte |
| Frequenz ist und k die Pole und Nullstellen der |
| l@t'.£ikftEI1Z7'v'UeEp!äle feillC@.a. |
| Das c.1'rn:ittrt@.isgernält: Verfahren bietet vor allem |
| dc!1 Vorteil. J@sl@ bei höheren Ordnungen der Phasen- |
| gang in einfachster Weise linearisiert würden kann. |
| V)<i,: I#)bürtragungkinaß des Filters,
das 111l Durchlaß- |
| bercIch gleich dem Phasenmaß ist, wird also nach |
| der Erfindung als irrationale Reaktanzfunktion dar- |
| gestellt. Anschließend v,ird eine spektrale Funktion |
| eingeführt. die plan erhält, wenn inan den Tangens |
| d-i P1ta5t;t1111:tI@c;S bzw. den Kotangens des Phasen- |
| maßes mit einer trigonometrischen Kotangens- bzw. |
| Tar11@e11ftnrkti@@E1 illiiltil:@liziert, d. h. 1111t einer
Funk- |
| tion finit @tf)#tetn@ls`tT,lc',ICaa:I@ Polelf und Nullstellcal. |
| slic Irrationalen Tan-.n;- oder Kotangensfunktroilt'.il |
| clüs I'Itasünilztl@is l:@rben ihrerseits in bezug auf die |
| Frequenz im Dnrchlaßberelch, jedoch reicht bei der |
| Grenzfrequenz des Filters und bei den der Grenz- |
| frequenz benachbarten Frequenzen abstandsgleiche |
| Pelle und Nullstellen. Dadurch, daß inan i111 Durchlaß- |
| bereich die spektrale Funktion möglichst nalle an |
| einett konstanten Wert heranbringt, wird die Lineari- |
| Sieruilg des Filters erreicht. |
| ein folgenden soll die Erfindung an Hand von Zeich- |
| nungen n<ihC'.r erlätltei't werden. |
| A b b. 1 zeigt die Kennlinie einer Spektralfunktion |
| gerader Ordnung für '_ 1r = t1: |
| A b b. 2 zeigt die Keililiiilie einer Spektralfünktion |
| von ungerader Ordnung für ?fit + 1 = 3. |
Bei einem Kreuzgliedf lter kann man das Ubertr<t(#utigsiriaß durch folgende Gleichung
darstellen:
bzw.
Dabei ist r; J. die Leerlaufadmittanz und Z,, die Kurzschltißimped2inz des Filters.
die beide als Reaktcinzzweipole gegeben sind. Da es sich um ein Reaktanzfilter,
also um ein verlustloses Filter handelt, ist im Durchlaßbereich das Dämpfungsmaß
Null, und das Ubertragungsmaß wird gleich dem Phasenmaß, das monoton mit der Frequenz
zunimmt. Die Pole (Nullstellen) und Nullstellen (Pole) des coth vorn Ubertragungstnaß
oder- des tanh vom Ubertragungsmaß sind ab@vechselud vorhanden und bilden positive
oder negative geradzahlige Vielfache von
bei Polen tNulhtüllcn) und positive oder negative titlgersidz2tliligüielfacise von
bei Nullstellers (Polen).
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Damit im Durchlaßbereich des Filters, weilil inan c,on den Frequen;ei,
in der Umgebung der Grenzfrequenzen absieht, keine Phasenverzerrungen auftreten,
sollten die Pole und Nullstellen der collib3=.w. lan)1-Funktion des Plsascnmaßes
bezüglich der Frequenz abstandsgleich angeordnet sein, und der Phasenwinkel sollte
ein den Nullstellen und Pillen ein Vielfaches von
betragen. Nach entsprechender, dein Fachmann bekannter Normierung ergibt sich für
den Taugens des Phasenmaßes h firn Falle gerader Ordnung die Gleichung
und im Falle ungerader Ordnung die Gleichung
An Stelle der Tangensfunktion könnte man auch die Kotangensfunktion zur Darstellung
des Phasenmaßes im Durchlaßbereich verwenden. In den obigen Gleichungen ist
n eine ganze Zahl, dl die variable normierte Frequenz, und a und
k sind Parameter, die die norfnierte Frequenz der Nullstellen und Pole der
Zweipolreaktanzen des Filters im Durchlaßbereich bestimmen.
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Die Gleichung (3) für die gerade Ordnung hat in bezug auf die normierte
Frequenz (i bis auf den Faktor mit der Quadratwurzel die gleiche Form wie die Reaktanzfunktion.
Hieraus sieht man, daß man den Phasenverlauf linearisieren kann, wenn man eine spektrale
Funktion bzw. einen spektralen Parameter einführt.
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Die Funktion wird dann bezüglich L? im Durchlaßbereich eine kontinuierliche
Funktion, wenn man die Pole und Nullstellen abstandsgleich anordnet, wie es in Gleichung
(3) bis auf den Faktor mit der Quadratwurzel dargestellt ist, der den Kurvenverlauf
am meisten in der Nähe der Grenzfrequenzen beeinflußt.
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Für den Fall gerader Ordnung wird die spektrale Funktion oder Spektralfunktion
S2" = (T2")." durch folgende Gleichung definiert:
bzw.
Falls man an Stelle der Tangensfunktion das Phasenmaß durch die Kotangensfunktion
dargestellt hat, muß man cot
S? durch tan L) ersetzen.
Zur Linearisierung des Phasenverlaufs des Reaktanzfilters verändert man den Parameter
k, der in dem einen Wurzelausdruck enthalten ist, derart, daß sich die spektrale
Funktion asymptotisch einem festen Wert, nämlich dem Wert 1 nähert. Dies wird spektrale
Angleichung genannt. A b b.1 zeigt den Verlauf der spektralen Funktion für 2n =
6 und k = 1,25. Dabei ist die spektrale Angleichung (T,)" = S6
= 1 für S? = 2 erreicht. Nach der Erfindung kann man daher den Phasenverlauf
eines Filters leicht linearisieren, wenn man spektrale Parameter verwendet, gleichgültig,
wie hoch die Ordnung der Gleichung ist (d. h. wie groß n ist). Da die ungeraden
Ordnungen (2n + 1) im Gegensatz zu den geraden Ordnungen (2n) bezüglich der normierten
Frequenz d? durch ein Produkt aus Faktoren erster Ordnung ausgedrückt sind, ist
es nicht möglich, den Phasenverlauf allein dadurch zu linearisieren, daß man die
Pole und Nullstellen abstandsgleich anordnet.
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Für den Fall ungerader Ordnung wird nach der Erfindung die spektrale
Funktion 5Z"+1 = (Tz"+I)s" durch die folgende Gleichung definiert:
bzw.
Zur Linearisierung des Phasenverlaufs wird der Parameter a derart gewählt, daß sich
die spektrale Funktion im Durchlaßbereich einem konstanten Wert, nämlich dem Wert
1 nähert. Zur eindeutigen Bestimmung des Parameters a wird hierzu die erste Ableitung
der spektralen Funktion 5Z"+1 nach für Q = 0 gleich Null gesetzt und a berechnet.
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In der A b b. 2 ist der Verlauf der spektralen Funktion dritter
Ordnung S3 = (T3)fp für a = 0,4 gezeigt. Zur bessemn Erläuterung der Erfindung soll
der Fall dritter Ordnung etwas ausführlicher behandelt werden. Nach Gleichung (4)
ergibt sich für den Fall dritter Ordnung die folgende Gleichung:
Die Normierung der Frequenz wurde dabei mit den folgenden Beziehungen durchgeführt:
Dabei bedeuten (o die variable Frequenz, t02 die obere Grenzfrequenz, (,)l die untere
Grenzfrequenz und oi. bzw. (i),, die Frequenzen der Nullstellen bzw.
Pole
der Zweipolre aktanzen des Kreuzgliedfilters im Durchlaßbereich.
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Nach der Lehre der Erfindung wird nun tan mit cot
multipliziert. Dabei ergibt sich für die dritte Ordnung die folgende Gleichung:
Nach der weiteren Lehre der Erfindung wird die Linearisierung des Filters dadurch
erreicht, daß die spektrale Funktion im Durchlaßbereich des Filters dem Wert 1 optimal
angenähert wird. ZurAngleichung oder Annäherung der Spektralfunktion an einen konstanten
Wert oder an den Wert 1 im Durchlaßbereich und zur eindeutigen Bestimmung des Parameters
a wird die erste Ableitung der Spektralfunktion S3 nach .(j gebildet und für S?
= 0 die erste Ableitung der Spektralfunktion gleich Null gesetzt. Hierbei ergibt
sich im vorliegenden Ausführungsbeispiel dritter Ordnung n = 0,4292. Da die obere
Grenzfrequenz (,)2 und die untere Grenzfrequenz des Filters vorgegeben sind und
nun auch für den Parameter a ein eindeutiger Wert vorliegt, kann man mittels der
ursprünglich benutzten Normierungsformein für d?, a und -a die Frequenzen
v»,, und (')u der Pole und Nullstellen der Zweipolreaktanzen des Filters bestimmen.
Die Berechnung der Induktivitäten und Kapazitäten der Filterzweipolreaktanzen kann
dann in bekannter Weise vorgenommen werden. Für den Fall gerader Ordnung erfolgt
die Linearisierung unter Verwendung des Parameters k in entsprechender Weise.
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Filter höherer und gerader Ordnung mit linearem Phasenverlauf kann
man sehr leicht dadurch herstellen, daß man eine gerade hohe Ordnung mit einci ungeraden
niedrigen Ordnung kombiniert. Dies ist möglich, da man das Ubertragungsmaß nach
dem Parameterverfahren in eine Funktion gerader und ungerader Ordnung zerlegen kann.