DE102006044532B3

DE102006044532B3 - Zwei- und dreidimensionale Stabwerke in minimalflächiger Bauweise

Info

Publication number: DE102006044532B3
Application number: DE102006044532A
Authority: DE
Inventors: Jörg Dr. Melcher; Monika Dr. Krämer; Jürgen Prof. Dr. Heinrich; Jens Dr. Günster
Original assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Current assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Priority date: 2006-09-21
Filing date: 2006-09-21
Publication date: 2008-01-17
Anticipated expiration: 2026-09-22

Abstract

Bei einem zwei- oder dreidimensionalen Stabwerk (1) mit Stäben (3) und durch die Stäbe (3) verbundenen Knoten (4) laufen jeweils drei bzw. vier achsensymmetrisch zu ihrer Haupterstreckungsrichtung (5) aufgebaute Stäbe (3) in einem Knoten (4) zusammen; dabei folgt mindestens bei den in einem Knoten (4) zusammenlaufenden Stäben (3) der Durchmesser D der Stäbe (3) mit einer maximalen Abweichung von 10% der Formel D(x) = a * cosh(2(x-x0)/a) - a + d, wobei x der Ort des Durchmessers D(x) des Stabs (3) in seiner Haupterstreckungsrichtung ist, d ein lastabhängig festzulegender Durchmesser D(x0) des Stabs (3) an seiner schlanksten Stelle x0 zwischen den beiden durch ihn verbundenen Knoten (4) ist und a ein lastabhängig festzulegender Krümmungskoeffizient größer als null ist und wobei die Ableitung von D(x) nach x stetig ist.

Description

TECHNISCHES GEBIET DER ERFINDUNG
Die Erfindung bezieht sich auf zweidimensionale und dreidimensionale Stabwerke mit Stäben und durch die Stäbe verbundenen Knoten. Dabei laufen in zweidimensionalen Stabwerken jeweils drei Stäbe in einem Knoten zusammen, während in dreidimensionalen Stabwerken jeweils vier Stäbe in einem Knoten zusammenlaufen. Während die Stäbe der dreidimensionalen Stabwerke in jedem Fall rotationssymmetrisch zu ihrer Haupterstreckungsrichtung aufgebaut sind und eine viel größere Ausdehnung in ihrer Haupterstreckungsrichtung als senkrecht dazu aufweisen, können die Stäbe bei einem zweidimensionalen Stabwerk auch nur achsensymmetrisch zu ihrer Haupterstreckungsrichtung aufgebaut sein, wobei sie normal zur Haupterstreckungsebene des zweidimensionalen Stabwerks plattenförmig ausgedehnt sind, so dass das zweidimensionale Stabwerk tatsächlich eine Wabenstruktur mit einer zweidimensionalen Anordnung von durch plattenförmige Stäbe begrenzten Waben ist.
STAND DER TECHNIK
Ein zweidimensionales Stabwerk der eingangs beschriebenen Art in Form einer Wabenstruktur ist aus der DE 102 38 932 B3 bekannt. Die Wabenstruktur ist elastisch verformbar und in die Wabenstruktur sind plattenförmige Stäbe aus einem Funktionsmaterial zur Umsetzung einer elastischen Verformung der Wabenstruktur in ein abgreifbares Messsignal und/oder zur Umsetzung eines zuführbaren Ansteuersignals in eine elastische Verformung der Wabenstruktur integriert. Die Knoten, in denen die plattenförmigen Stäbe bei dieser Wabenstruktur zusammenlaufen, sind gegenüber den plattenförmigen Stäben verdickt, um sie gegenüber Winkeländerungen zwischen den in ihnen zusammenlaufenden Stäben auszusteifen. Der Winkel zwischen jeweils zwei der drei in jedem Knoten zusammenlaufenden Stäbe beträgt 120°.
Ein dreidimensionales Stabwerk, bei dem jeweils vier Stäbe in einem Knoten zusammenlaufen, bildet das Diamantgitter, d. h. die Kristallstruktur eines Diamanten nach. Hier beträgt der ideale Winkel der räumlichen Verzweigung der in einem Knoten zusammenlaufenden Stäbe 109,47° (= arccos(-113)).
AUFGABE DER ERFINDUNG
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, die Leistungsfähigkeit von bekannten zwei- und dreidimensionalen Stabwerken in dem Sinne zu verbessern, dass das für die Stäbe verwandte Material optimal ausgenutzt wird, was beispielsweise eine Grundforderung des Leichtbaus ist.
LÖSUNG
Erfindungsgemäß wird die Aufgabe durch ein zweidimensionales Stabwerk mit den Merkmalen des unabhängigen Patentanspruchs 1 und durch ein dreidimensionales Stabwerk mit den Merkmalen des unabhängigen Patentanspruchs 5 gelöst. Bevorzugte Ausführungsformen des zweidimensionalen Stabwerks sind in den abhängigen Patentansprüchen 2 bis 4 und bevorzugte Ausführungsformen des dreidimensionalen Stabwerks sind in den abhängigen Patentansprüchen 6 und 7 beschrieben. Die weiteren abhängigen Patentansprüche 8 bis 11 betreffen bevorzugte Ausführungsformen sowohl des neuen zweidimensionalen als auch des neuen dreidimensionalen Stabwerks.
BESCHREIBUNG DER ERFINDUNG
Bei den neuen Stabwerken folgt der Durchmesser D der Stäbe längs ihrer Haupterstreckungsrichtung mit einer maximalen Abweichung von 10% der Formel D(x) = a·cosh(2(x-x0)/a) – a + d (1).
In dieser Formel bedeutet x der Ort des Durchmessers D(x) des Stabs in seiner Haupterstreckungsrichtung; d ist ein lastabhängig festzulegender Durchmesser D(x₀) des Stabs an seiner schlanksten Stelle x₀ zwischen den beiden durch ihn verbundenen Knoten; und a ist ein lastabhängig festzulegender Krümmungskoeffizient, der größer als null ist. Soweit der Durchmesser D eines Stabs bei einem erfindungsgemäßen Stabwerk von der Formel (1) abweicht, so beträgt diese Abweichung nicht nur maximal 10%, sondern es ist auch die zusätzliche Bedingung erfüllt, dass die Ableitung des Durchmessers D(x) nach x stetig ist. Dies bedeutet, dass der Durchmesser einen kerbenlosen, glatten Verlauf zwischen den durch ihn verbundenen Knoten aufweist, was bei Einhaltung der obigen Formel (1) sowieso der Fall ist.
In Verbindung mit einem rotationssymmetrischen Aufbau der Stäbe zu ihrer Haupterstreckungsrichtung definiert die Formel (1) einen Katenoiden. Ein Katenoid wird durch eine mathematische Minimalfläche begrenzt. Dies führt bei den neuen Stabwerken dazu, dass sich unter Einfluss äußerer und innerer Lasten eine Spannungsgleichverteilung über das Material der Stäbe ergibt. Mit anderen Worten wird das Material der Stäbe in dem neuen Stabwerk in dem maximal möglichen Ausmaß gleichmäßig belastet, und damit optimal ausgenutzt.
Bei einem zweidimensionalen Stabwerk mit nur achsensymmetrischen, d.h. konkret plattenförmigen Stäben gilt die Formel (1) zumindest in einem gedachten Schnitt längs der von den Haupterstreckungsrichtungen der Stäbe aufgespannten Ebene. Senkrecht dazu kann der Durchmesser der Stäbe zumindest einen anderen Durchmesser d = D(x₀) an seiner schlanksten Stelle x₀ aufweisen. In dieser Richtung kann aber auch der Krümmungskoeffizient anders sein und sogar null betragen, was bei plattenförmigen Stäben einer konstanten Breite der Stäbe normal zu ihrer Haupterstreckungsrichtung entspricht.
Die Knoten, in denen jeweils drei zu ihrer Haupterstreckungsrichtung rotationssymmetrisch ausgebildete Stäbe eines zweidimensionalen Stabwerks vorzugsweise unter Winkeln von 120° zusammenlaufen, sind vorzugsweise ebenfalls durch Minimalflächen begrenzt. So ist die Einhüllende der Knoten vorzugsweise ein so genannter Trinoid. Bei erfindungsgemäßen dreidimensionalen Stabwerken, bei denen die Stäbe immer rotationssymmetrisch zu ihrer Haupterstreckungsrichtung aufgebaut sind, laufen die Stäbe vorzugsweise unter Winkeln von 109,47°, d. h. dem Tetraederwinkel, in den Knoten zusammen. Die Knoten selber sind auch hier vorzugsweise durch Minimalflächen begrenzt, wobei es sich bei ihren Einhüllenden vorzugsweise um so genannte Tetroide handelt.
Wenn auch bei einem erfindungsgemäßen Stabwerk Abweichungen des tatsächlichen Durchmessers D(x) von der Formel (1) von bis zu 10% zulässig sind, so ist es doch bevorzugt, wenn diese Abweichungen maximal 5% betragen. Noch mehr sind maximale Abweichungen von 1% bevorzugt. Idealerweise entspricht der Durchmesser exakt der Formel (1).
Im Übergang der Stäbe zu den Knoten weist die Ableitung des Durchmessers D(x) nach x vorzugsweise den Wert 2·tan(30°) auf. Dies entspricht einer Oberflächensteigung der Stegevon tan(30°), die Voraussetzung für einen stetigen Übergang zwischen sechs eine symmetrische zweidimensionale Wabe begrenzenden Katenoiden ist. Hieraus resultiert folgende Beziehung zwischen dem Krümmungskoeffizienten a und der Länge I sowie dem Durchmesser d = D(x₀) des Stabs an seiner kleinsten Stelle x₀:
D. h. der Krümmungskoeffizient ist nicht frei, sondern wird durch die Länge I und den kleinsten Durchmesser d der Stege vorgegeben.
Auch wenn die Stäbe und die durch sie verbundenen Knoten hier ausschließlich durch ihre Einhüllenden definiert werden, sind sie bei einem erfindungsgemäßen Stabwerk in aller Regel massiv ausgebildet. Es ist allerdings z. B. auch möglich, jeden Stab und jeden Knoten eines zwei- oder dreidimensionalen Stabwerks seinerseits durch ein zwei- oder dreidimensionales Stabwerk auszubilden. Bei Ausbildung eines Knotens oder eines Stabs durch ein zweidimensionales Stabwerk ist dieses selbst in die Minimalflächen zu verformen, so dass dann der jeweilige Stab bzw. der jeweilige Knoten hohl ist.
Ein erfindungsgemäßes Stabwerk kann rein passiv sein. In einer bevorzugten Ausführungsform ist jedoch mindestens einer der Stäbe teilweise oder ganz aus einem zu einer Formänderung aktivierbaren Funktionsmaterial ausgebildet, um die Raumform des Stabwerks aktiv, d. h. aus dem Stabwerk heraus verändern zu können, wobei der jeweilige Stab oder zumindest ein Teil davon als Aktuator benutzt wird. Umgekehrt kann ein Stab aus einem Funktionsmaterial auch als Sensor für das registrieren von Änderungen der Raumform des Stabwerks genutzt werden. Geeignete Funktionsmaterialien sind dem Fachmann bekannt und umfassen beispielsweise piezoelektrische Keramiken oder Polymere, magnetostriktive Substanzen, elektroaktive Polymere (so genannte EAP), Formgedächtnislegierungen und -polymere, Photo-Ferroelektrika, elektrostriktive Materialien usw.
KURZBESCHREIBUNG DER FIGUREN
Die Erfindung wird im Folgenden anhand von Ausführungsbeispielen unter Bezugnahme auf die beigefügten Zeichnungen näher erläutert und beschrieben.
1 zeigt ein Beispiel für ein erfindungsgemäßes zweidimensionales Stabwerk.
2 zeigt die Einhüllende eines Knotens des Stabwerks gemäß 1 in Form eines Trinoiden.
3 zeigt ein weiteres erfindungsgemäßes zweidimensionales Stabwerk.
4 zeigt noch ein weiteres erfindungsgemäßes zweidimensionales Stabwerk.
5 zeigt ein dreidimensionales Stabwerk; und
6 zeigt die Einhüllende eines Knotens eines erfindungsgemäßen dreidimensionalen Stabwerks in Form eines Tetroiden.
FIGURENBESCHREIBUNG
Das in 1 dargestellte zweidimensionale Stabwerk 1 weist eine Mehrzahl von Stäben 3 auf, die jeweils zu dritt in einem Knoten 4 zusammenlaufen. Die Stäbe 3 sind zumindest achsensymmetrisch zu ihren Haupterstreckungsrichtungen 5 zwischen den von ihnen verbundenen Knoten 4 ausgebildet. Vorzugsweise sind sie rotationssymmetrisch zu den Haupterstreckungsrichtungen 5 aufgebaut. Wenn sie nur achsensymmetrisch zu ihren Haupterstreckungsrichtungen 5 sind, handelt es sich bei dem zweidimensionalen Stabwerk 1 um eine Wabenstruktur mit plattenförmigen, d. h. senkrecht zu der in der Zeichenebene von 1 verlaufenden Haupterstreckungsebene des zweidimensionalen Stabwerks 1 und senkrecht zu den Haupterstreckungsrichtungen 5 ausgedehnten Stäben 3. Der Durchmesser D der Stäbe 3 folgt der Formel D(x) = a·cosh(2(x-x0)/a) – a + d (1),wobei x der Ort des Durchmessers D(x) des Stabs 3 in seiner Haupterstreckungsrichtung 5 ist, d ein lastabhängig festzulegender Durchmesser D(x₀) des Stabs 3 an seiner schlanksten Stelle x₀ zwischen den beiden durch ihn verbundenen Knoten 4 ist und a ein lastabhängig festzulegender Krümmungskoeffizient größer als 0 ist. Bei nur achsensymmetrischen Stäben 3 gilt die Formel (1) zumindest für den Durchmesser D in einem gedachten Schnitt längs der von den Haupterstreckungsrichtungen 5 der Stäbe 3 aufgespannten Ebene, die der Zeichenebene gemäß 1 entspricht. Darüber hinaus muss die Formel (1) nicht exakt erfüllt sein. Vielmehr sind Toleranzen bei dem Durchmesser zulässig, solange die Ableitung des Durchmessers des jeweiligen Stabs 3 in seiner Haupterstreckungsrichtung stetig ist. Die durch die Formel (1) an den Durchmesser D der Stäbe 3 gemachte Vorgabe bedeutet, dass diese durch Minimalflächen begrenzt sind. Dies wiederum hat zur Folge, dass sich bei einer Belastung des Stabwerks 1 eine Spannungsgleichverteilung über das Material der Stäbe 3 ergibt.
Auch die in 1 nur schematisch wiedergegebenen Knoten 4 werden bei einem neuen Stabwerk vorzugsweise durch Minimalflächen begrenzt. 2 zeigt die Einhüllende 6 eines Knotens 4 gemäß 1 in Form eines so genannten Trinoiden 7. Ein Trinoid ist eine dreidimensional gekrümmte Minimalfläche, die durch die folgenden Formeln beschrieben werden kann:
mit θ ∈ [0,2π] und r > 0.
Die 3 und 4 zeigen zweidimensionale Stabwerke 1 aus durch Stäbe 3 verbundenen Knoten 4, die als ganzes verformt sind, so dass die freien äußeren Begrenzungen 8 des Stabwerks, die nicht durch externe Anschlussflächen vorgegeben sind, ihrerseits Minimalflächen 9 ausbilden, um externe Spannungen gleichmäßig über das Stabwerk 1 abzutragen.
5 zeigt ein dreidimensionales Stabwerk 2 in Form des so genannten Diamantgitters 10. Hier stoßen jeweils vier Stäbe 3 in einem Knoten 4 zusammen. Bei einem erfindungsgemäßen dreidimensionalen Stabwerk 2 sind die Stäbe 3 gegenüber den Knoten 4 wie in 5 ausgerichtet. Jeder Stab 4 ist dabei rotationssymmetrisch zu seiner Haupterstreckungsrichtung zwischen den beiden durch ihn verbundenen Knoten 4 ausgebildet, und sein Durchmesser erfüllt die oben angegebene Formel (1).
Die Knoten 4, in denen vier Stäbe vorzugsweise unter dem Tetraederwinkel von 109,47° zusammenlaufen, sind ihrerseits vorzugsweise auch durch Minimalflächen begrenzt. 6 zeigt die Einhüllende 11 eines Knotens 4 eines erfindungsgemäßen dreidimensionalen Stabwerks in Form eines Tetroiden 12.

1: Zweidimensionales Stabwerk
2: Dreidimensionales Stabwerk
3: Stab
4: Knoten
5: Haupterstreckungsrichtung
6: Einhüllende
7: Trinoid
8: Begrenzungsfläche
9: Minimalfläche
10: Diamantgitter
11: Einhüllende
12: Tetroid

Claims

Zweidimensionales Stabwerk mit Stäben und durch die Stäbe verbundenen Knoten, wobei jeweils drei achsensymmetrisch zu ihrer Haupterstreckungsrichtung aufgebaute Stäbe in einem Knoten (4) zusammenlaufen, dadurch gekennzeichnet, dass mindestens bei den in einem Knoten (4) zusammenlaufenden Stäben (3) der Durchmesser D der Stäbe (3) in einem gedachten Schnitt längs der von den Haupterstreckungsrichtungen (5) der Stäbe (3) aufgespannten Ebene mit einer maximalen Abweichung von 10% der Formel D(x) = a·cosh(2(x-x0)/a) – a + d (1)folgt, wobei x der Ort des Durchmesser D(x) des Stabs (3) in seiner Haupterstreckungsrichtung (5) ist, d ein lastabhängig festzulegender Durchmesser D(x₀) des Stabs an seiner schlanksten Stelle x₀ zwischen den beiden durch ihn verbundenen Knoten (4) ist und a ein lastabhängig festzulegender Krümmungskoeffizient größer als null ist und wobei die Ableitung von D(x) nach x stetig ist.
Stabwerk nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass mindestens die in dem einen Knoten (4) zusammenlaufenden Stäbe (3) rotationssymmetrisch zu ihrer Haupterstreckungsrichtung (5) aufgebaut sind.
Stabwerk nach einem der Ansprüche 1 und 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Haupterstreckungsrichtungen (5) der in dem einen Knoten (4) zusammenlaufenden Stäbe (3) unter Winkeln von 120° zueinander ausgerichtet sind.
Stabwerk nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, dass eine Einhüllende (6) des Knotens (4), in dem die Stäbe (3) zusammenlaufen, ein Trinoid (7) ist.
Dreidimensionales Stabwerk mit Stäben (und durch die Stäbe verbundenen Knoten, wobei jeweils vier rotationssymmetrisch zu ihrer Haupterstreckungsrichtung aufgebaute Stäbe in einem Knoten zusammenlaufen, dadurch gekennzeichnet, dass mindestens bei den in einem Knoten (4) zusammenlaufenden Stäben (3) der Durchmesser D der Stäbe (3) mit einer maximalen Abweichung von 10% der Formel D(x) = a·cosh(2(x-x0)/a) – a + d (1) folgt, wobei x der Ort des Durchmesser D(x) des Stabs (3) in seiner Haupterstreckungsrichtung (5) ist, d ein lastabhängig festzulegender Durchmesser D(x₀) des Stabs an seiner schlanksten Stelle x₀ zwischen den beiden durch ihn verbundenen Knoten (4) ist und a ein lastabhängig festzulegender Krümmungskoeffizient größer als null ist und wobei die Ableitung von D(x) nach x stetig ist.
Stabwerk nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, dass die Haupterstreckungsrichtungen (5) der in dem einen Knoten (4) zusammenlaufenden Stäbe (3) unter Winkeln von 109,47° zueinander ausgerichtet sind.
Stabwerk nach einem der Ansprüche 5 und 6, dadurch gekennzeichnet, dass eine Einhüllende (11) des Knotens (4), in dem die Stäbe (3) zusammenlaufen, ein Tetroid (12) ist.
Stabwerk nach einem der Ansprüche 1 bis 7, dadurch gekennzeichnet, dass der Durchmesser D der Stäbe (3) der Formel D(x) = a·cosh(2(x-x0)/a) – a + d (1)mit einer maximalen Abweichung von 5%, vorzugsweise mit einer maximalen Abweichung von 1% folgt.
Stabwerk nach einem der Ansprüche 1 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass im Übergang der Stäben (3) zu dem Knoten (4) die Ableitung des Durchmessers D(x) nach x den Wert 2·tan(30°) aufweist.
Stabwerk nach einem der Ansprüche 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass die Stäbe (3) und die Knoten (4) massiv ausgebildet sind.
Stabwerk nach einem der Ansprüche 1 bis 10, dadurch gekennzeichnet, dass mindestens einer der Stäbe (3) teilweise oder ganz aus einem zu einer Formänderung aktivierbaren Material ausgebildet ist.