DE102018109238B4

DE102018109238B4 - Als Aktuator und/oder Sensor einsetzbares elastisches Bauteil mit dreifach periodischer Membran- oder Stabwerksstruktur

Info

Publication number: DE102018109238B4
Application number: DE102018109238.5A
Authority: DE
Inventors: Jörg Melcher; Marc Sparenberg
Original assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Current assignee: Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Priority date: 2018-04-18
Filing date: 2018-04-18
Publication date: 2021-07-01
Anticipated expiration: 2038-04-19
Also published as: DE102018109238A1

Abstract

Elastisches Bauteil (1) mit einer Hauptstruktur (2), die ein Volumen (3) zwischen einer ersten Oberfläche (4) und einer zweiten Oberfläche (5) ausfüllt,- wobei sich die erste Oberfläche (4) längs einer Fläche erstreckt, deren kartesische Koordinaten x, y und z eine der folgenden Gleichungen FP, FG und FD erfüllen, in denen Lx, Ly, und Lz Gitterkonstanten in x-, y- und z-Richtung und py und pz Phasenversätze sind:- cos(2πLxx)+cos(2πLyy−py)+cos(2πLzz−pz)=0- sin(2πLxx)cos(2πLyy−py)+sin(2πLyy−py)cos(2πLzz−pz)+cos(2πLxx)sin(2πLzz−pz)=0(FG)- sin(2πLxx)sin(2πLyy−py)sin(2πLzz−pz)+sin(2πLxx)cos(2πLyy−py)cos(2πLzz−pz)+cos(2πLxx)sin(2πLyy−py)cos(2πLzz−pz)+cos(2πLxx)cos(2πLyy−py)sin(2πLzz−pz)=0dadurch gekennzeichnet,- dass die Hauptstruktur (2) einen Funktionswerkstoff (6) aufweist, der durch ein physikalisches Ansteuersignal auf eine Formänderung ansteuerbar ist und/oder auf eine Formänderung mit einem physikalischen Antwortsignal antwortet, und- dass auf der ersten Oberfläche (4) und der zweiten Oberfläche (5) Leitungsanordnungen (7, 8) angeordnet sind, um das Ansteuersignal zuzuleiten und/oder das Antwortsignal abzuleiten,- wobei sich die zweite Oberfläche (5) ebenfalls längs der jeweiligen Fläche erstreckt oder die zweite Oberfläche (5) eine aus Stäben und Knoten zusammengesetzte innere Leitungsanordnung (8) umschließt,- wobei der Funktionswerkstoff (6) ein piezoelektrisches Material aufweist,- wobei die Leitungsanordnungen (7, 8) ein elektrisch leitfähiges Polymer und/oder einen elektrisch leitfähigen Verbundwerkstoff mit einer elastischen Kunststoffmatrix aufweisen und- wobei das elastisches Bauteil (1) 3D-gedruckt ist.

Description

TECHNISCHES GEBIET DER ERFINDUNG
Die Erfindung bezieht sich auf ein elastisches Bauteil mit einer Hauptstruktur, die ein Volumen zwischen einer ersten Oberfläche und einer zweiten Oberfläche ausfüllt, wobei sich zumindest die erste Oberfläche längs einer Fläche erstreckt, die eine Minimalfläche approximiert, welche Verbindungen von nächsten Nachbarn in einem kubischen Gitter einhüllt. Insbesondere bezieht sich die vorliegende Erfindung auf ein elastisches Bauteil mit den Merkmalen des Oberbegriffs des unabhängigen Patentanspruchs 1.
STAND DER TECHNIK
Aus der DE 10 2006 044 532 B3 ist ein dreidimensionales Stabwerk in minimalflächiger Bauweise bekannt. Das dreidimensionale Stabwerk hat die Form des sogenannten Diamantgitters, in dem jeweils vier Stäbe in einem Knoten zusammenstoßen. Die Stäbe laufen in dem Knoten unter einem Winkel von 109,47° (= arccos (-1/3)) aufeinander zu. Jeder der Stäbe ist rotationssymmetrisch zu seiner Haupterstreckungsrichtung zwischen den beiden durch ihn verbundenen Knoten, und sein Durchmesser D erfüllt mit einer maximalen Abweichung von 10 % die Formel D(x) = a*cosh(2(x-x₀)/a) - a + d. In dieser Formel bedeutet x den Ort des Durchmessers D(x) des Stabs in seiner Haupterstreckungsrichtung, d ist ein lastabhängiger festzulegender Durchmesser D(x₀) des Stabs an seiner schlanksten Stelle x₀ zwischen den beiden durch ihn verbundenen Knoten, und a ist ein lastabhängig festzulegender Krümmungskoeffizient, der größer als null ist. Die Formel definiert einen Katenoiden, der durch eine mathematische Minimalfläche begrenzt ist. Die Knoten, in denen jeweils vier Stäbe unter dem Tetraederwinkel von 109,47° zusammenlaufen, sollen ebenfalls durch Minimalflächen begrenzt werden. Konkret soll die Einhüllende jedes Knotens die Form eines Tetroiden haben. Dieser weist jedoch einen von dem Zentrum des Knotens zunehmenden Durchmesser der angesetzten Stäbe auf und ist so nicht mit der Formel für den Durchmesser der Stäbe in Einklang zu bringen. Die Stäbe können teilweise oder ganz aus einem zu einer Formänderung aktivierbaren Funktionsmaterial ausgebildet sein, um die Raumform des Stabwerks aktiv, d. h. aus dem Stabwerk heraus, verändern zu können, wobei der jeweilige Stab oder zumindest ein Teil davon als Aktuator benutzt wird. Umgekehrt kann ein Stab aus einem Funktionsmaterial auch als Sensor für das Registrieren von Änderungen der Raumform des Stabwerks genutzt werden. Geeignete Funktionsmaterialien umfassen piezoelektrische Keramiken oder Polymere. Zur Integration des jeweiligen Funktionsmaterials in das dreidimensionale Stabwerk ist nichts offenbart.
Aus der DE 10 2008 048 759 B3 ist eine dreidimensionale optomechanische Stabwerksstruktur bekannt, bei der nach Art eines Diamantgitters jeweils vier Stäbe unter Einschluss eines Winkels von 109,47° zwischen jeweils zwei Stäben miteinander verbunden sind. Die Stäbe und Knoten können hohl sein. Typischerweise sind sie es jedoch nicht. Im letzteren Fall kann die Oberfläche der Struktur per definitionem keine Minimalfläche sein, sie ist aber vorzugsweise energetisch optimal, d. h. von maximaler Entropie und minimaler freier Enthalpie. Mindestens einer der Stäbe ist ganz oder teilweise aus optomechanischem Material ausgebildet und wird mit optischen Signalen zwecks Formänderung angesteuert. Die optischen Signale können innerhalb der Stäbe und Knoten oder innerhalb des von den Stäben und Knoten überspannten Volumens aber außerhalb der Stäbe und Knoten geleitet werden.
In DLR - Institut für Faserverbundleichtbau und Adaptronik - DLR, TU Braunschweig, BAM und TU Clausthal, starten gemeinsames Promo.pdf vom 15. April 2016 ist ein Modell eines hochbelastbaren Funktionswerkstoffs gezeigt, dessen räumliche Gestalt der aus der DE 10 2008 048 759 B3 bekannten dreidimensionalen Struktur entspricht. Das Dokument betrifft ein Promotionsprogramm zu selbstorganisierten multifunktionalen Strukturen für den adaptiven Hochleistungsleichtbau. Das Promotionsprogramm zielt auf das Design und die Synthese komplexer 3D-Topologien des adaptiven Hochleistungsleichtbaus ab, wobei physikalische Prozesse, wie diejenigen der Selbstorganisation, eine entscheidende Rolle spielen. Die Forschungsthemen umfassen Zinkoxid-Systeme, transparente Piezokeramik und additive Fertigung.
Aus der US 2011/0278533 A1 ist ein nanoporöser Film mit einer doppelten Gyroid-Struktur bekannt, die die Merkmale des unabhängigen Patentanspruchs 1 aufweist. Konkret gilt hier für alle Koordinaten x, y, und z der Struktur $\frac{\sqrt{3}}{2} s i n \frac{2 π t}{\sqrt{3 a}} \geq s i n (\frac{2 π}{a} x) c o s (\frac{2 π}{a} y) + s i n (\frac{2 π}{a} y) c o s (\frac{2 π}{a} z) + c o s (\frac{2 π}{a} x) s i n (\frac{2 π}{a} z) \geq - \frac{\sqrt{3}}{2} s i n \frac{2 π t}{\sqrt{3 a}},$
wobei t eine konstante Wandstärke und a eine Gitterkonstante eines kubisch raumzentrierten Gitters ist. Die Poren, die in der Struktur ausgebildet sind, sind netzwerkartig miteinander verbunden, wobei zwei durch den nanoporösen Film voneinander getrennte Netzwerke existieren. Die Poren können ein Metall, ein Halbmetall oder einen Halbleiter enthalten, um Quantendrahtfilme mit quantenphysikalischen Eigenschaften auszubilden.
Aus der US 2014/0090488 A1 sind flexible Kraft-/Drucksensoren zum Erzeugen elektrischer Ausgabesignale proportional zu Kräften oder Drücken bekannt, die auf den Sensor ausgeübt werden. Die Sensoren umfassen ein dünnes elastisch deformierbares Schaumkissen, das zwischen einem Paar von elektrisch leitfähigen ebenen Gewebelagen angeordnet ist. In einer piezokapazitiven Ausführungsform des Sensors wird ein elastisch deformierbares Kissen aus perforiertem offen-zelligem Polyurethanschaum verwendet, das vorzugsweise mit Glyzerin gesättigt ist, um die Kapazität des Sensors zu erhöhen. Der piezokapazitive Sensorbereich ist vorzugsweise auf einen piezoresistiven Bereich mit einem zweiten Kissen aus offen-zelligem Schaum gestapelt, der piezoresistive Kohlenstoffpartikel enthält, um einen hybriden piezokapazitiven/piezoresistiven Sensor auszubilden.
AUFGABE DER ERFINDUNG
Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein elastisches Bauteil aufzuzeigen, das als Aktuatorik oder Sensorik im Hochleistungsleichtbau geeignet ist.
LÖSUNG
Die Aufgabe der Erfindung wird durch ein elastisches Bauteil mit den Merkmalen des Oberbegriffs des unabhängigen Patentanspruchs 1 gelöst. Bevorzugte Ausführungsformen des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils sind in den abhängigen Patentansprüchen definiert.
BESCHREIBUNG DER ERFINDUNG
Eine Hauptstruktur eines erfindungsgemäßen elastischen Bauteils füllt ein Volumen zwischen einer ersten Oberfläche und einer zweiten Oberfläche aus. Die erste Oberfläche erstreckt sich längs einer Fläche, deren kartesische Koordinaten x, y und z eine der folgenden Gleichungen FP, FG und FD erfüllen, in denen Lx, Ly, und Lz Gitterkonstanten in x-, y- und z-Richtung und py und pz Phasenversätze sind: $- cos (\frac{2 π}{L x} x) + cos (\frac{2 π}{L y} y - p y) + cos (\frac{2 π}{L z} z - p z) = 0$
$- sin (\frac{2 π}{L x} x) cos (\frac{2 π}{L y} y - p y) + sin (\frac{2 π}{L y} y - p y) cos (\frac{2 π}{L z} z - p z) + cos (\frac{2 π}{L x} x) sin (\frac{2 π}{L z} z - p z) = 0$
$\begin{array}{l} - s i n (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) + s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + \\ c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) = \\ 0 \end{array}$
Die Hauptstruktur weist einen Funktionswerkstoff auf, der durch ein physikalisches Ansteuersignal auf eine Formänderung ansteuerbar ist und/oder auf eine Formänderung mit einem physikalischen Antwortsignal antwortet. Auf der ersten Oberfläche und der zweiten Oberfläche der Hauptstruktur sind Leitungsanordnungen angeordnet, um das Ansteuersignal zuzuleiten und/oder das Antwortsignal abzuleiten.
Dass sich die erste Oberfläche längs der Fläche erstreckt, die durch die jeweilige Gleichung FP, FG oder FD definiert ist, bedeutet nicht zwingend, dass die erste Oberfläche dieser Fläche genau folgt oder exakt parallel dazu verläuft. Sie weicht jedoch von dieser Fläche um nicht mehr als 20 %, vorzugsweise um nicht mehr als 10 % der Gitterkonstante Lx, Ly bzw. Lz in der jeweiligen x-, y- oder z-Richtung ab. Zudem weist die Oberfläche einen zumindest stetigen und idealerweise einen energetisch optimierten Verlauf längs der jeweiligen Fläche auf.
Die durch die Gleichungen FP, FG und FD definierten Flächen sind trigonometrische Approximationen von Minimalflächen, die die Verbindungen zwischen nächsten Nachbarn in einem einfach kubischen Kristallgitter, einem kubisch raumzentrierten Kristallgitter und einem Diamantgitter einhüllen. Sie werden auch als P-, G- oder D-Fläche bezeichnet. Die Flächen und entsprechend die ihnen folgende erste Oberfläche und damit auch die Hauptstruktur des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils ist sowohl in der x- als auch der y- als auch der z-Richtung periodisch wie das zugrundeliegende Gitter. Dabei können die Gitterkonstanten Lx, Ly und Lz unterschiedlich, aber auch gleich sein.
Die Phasenversätze py, pz beschreiben eine relative Phase der y- und z-Koordinate der jeweiligen Fläche. Diese Phasenversätze py, pz sind regelmäßig kleiner als 0,8, d. h. sie betragen maximal π/4. Oft sind sie kleiner als 0,4, kleiner als 0,2 oder kleiner als 0,1. In vielen Fällen des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils sind die Phasenversätze null, d. h. nicht vorhanden.
Bei dem erfindungsgemäßen elastischen Bauteil weist die Hauptstruktur einen Funktionswerkstoff auf. Dies bedeutet, dass die Hauptstruktur zu wesentlichen Teilen, überwiegend oder vollständig aus dem Funktionswerkstoff ausgebildet ist. Der Funktionswerkstoff zeichnet sich dadurch aus, dass er durch ein physikalisches Ansteuersignal auf eine Formänderung ansteuerbar ist und/oder auf eine Formänderung mit einem physikalischen Antwortsignal antwortet. Mit der Formänderung des Funktionswerkstoffs geht eine Formänderung der Hauptstruktur und damit des gesamten elastischen Bauteils einher. Umgekehrt führt eine Formänderung des gesamten elastischen Bauteils zu einer Formänderung der Hauptstruktur und damit zu einer Formänderung des Funktionswerkstoffs, die in das Antwortsignal resultiert.
Das Ansteuersignal und das Antwortsignal sind physikalische Signale und darüber hinaus darauf eingeschränkt, dass sie mittels der auf der ersten Oberfläche und der zweiten Oberfläche der Hauptstruktur angeordneten Leitungsanordnungen zuleitbar bzw. ableitbar sind. Auch wenn die Leitungsanordnungen elektrische Leitungen und Elektroden umfassen, muss der Funktionswerkstoff deshalb nicht auf einem elektrischen Effekt basieren, auch wenn dies häufig der Fall sein wird. Einzelheiten zur möglichen Ausbildung des Funktionswerkstoffs folgen.
Bei dem elastischen Bauteil kann sich die zweite Oberfläche der Hauptstruktur ebenfalls längs der jeweiligen P-, G- oder D-Fläche erstrecken. Dabei gelten hier für die Bedeutung der Längserstreckung grundsätzlich dieselben Details wie für die erste Oberfläche. Wenn sich die erste und die zweite Oberfläche der Hauptstruktur längs der jeweiligen P-, G- oder D-Fläche erstrecken, tun sie dies typischerweise auf einander gegenüberliegenden Seiten der jeweiligen Fläche, so dass die Hauptstruktur die jeweilige Fläche einschließt. Vorzugsweise schließt die Hauptstruktur die jeweilige Fläche mittig ein. Dann erfüllen alle Koordinaten des von der Hauptstruktur ausgefüllten Volumens eine der folgenden Ungleichungen VP, VG oder VD, wobei t_P ein Maß für die Schichtdicke der Hauptstruktur (2) ist: $- \frac{t_{P}}{2} \geq cos (\frac{2 π}{L x} x) + cos (\frac{2 π}{L y} y - p y) + cos (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq - \frac{t_{P}}{2}$
$- \frac{t_{P}}{2} \geq s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq - \frac{t_{P}}{2}$
$\begin{array}{l} - \frac{t_{P}}{2} \geq s i n (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) + s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) \\ + c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \\ \geq - \frac{t_{P}}{2} \end{array}$
Die zweite Oberfläche kann alternativ nur gerade so groß sein, dass sie eine aus Stäben und Knoten zusammengesetzte innere Leitungsanordnung umschließt. Dann kann bei dem elastischen Bauteil ein Gesamtvolumen, das von den Materialien der Hauptstruktur, der inneren Leitungsanordnung und einer auf der ersten Oberfläche angeordneten äußeren Leitungsanordnung ausgefüllt ist, eine der folgenden Ungleichungen GP, GG oder GD erfüllen: $- cos (\frac{2 π}{L x} x) + cos (\frac{2 π}{L y} y - p y) + cos (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq 0$
$- s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq 0$
$\begin{array}{l} - s i n (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) + s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + \\ c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq 0 \end{array}$
Mit anderen Worten ist das elastische Bauteil dann eine massive Stabwerksstruktur, bei der die Stäbe den Verbindungen nächster Nachbarn in dem jeweiligen einfach kubischen, kubisch raumzentrierten oder Diamantgitter folgen, das das Vorbild für das jeweilige elastische Bauteil bildet.
Alternativ kann das elastische Bauteil das von der im letzten Absatz definierten Stabwerksstruktur frei gelassene Volumen ausfüllen, woraus sich ebenfalls eine Stabwerksstruktur ergibt. In diesem Fall erfüllen alle Koordinaten des von der Hauptstruktur, der inneren Leitungsanordnung und der auf der ersten Oberfläche angeordneten äußeren Leitungsanordnung ausgefüllten Gesamtvolumens eine der folgenden Ungleichungen IP, IG oder ID: $- 0 \geq cos (\frac{2 π}{L x} x) + cos (\frac{2 π}{L y} y - p y) + cos (\frac{2 π}{L z} z - p z)$
$- 0 \geq s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z)$
$\begin{array}{l} - 0 \geq s i n (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) + s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + \\ c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \end{array}$
Der Funktionswerkstoff der Hauptstruktur des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils weist ein piezoelektrisches Material, d. h. beispielsweise eine piezoelektrische Keramik oder ein piezoelektrisches Polymer auf. Das piezoelektrische Material kann durch ein zwischen Elektroden der Leitungsanordnungen auf der ersten Oberfläche und der zweiten Oberfläche ausgebildetes elektrisches Feld angesteuert werden. Dabei kann diese Ansteuerung auf einen d₃₁-Effekt, bei dem die Längenänderung des piezoelektrischen Materials quer zu dem angelegten elektrischen Feld auftritt, oder auf einen d₃₃-Effekt, bei dem die Längenänderung des piezoelektrischen Materials längs des angelegten elektrischen Felds auftritt, erfolgen. Welcher der beiden Effekte auftritt, hängt von dem piezoelektrischen Material und seiner Orientierung gegenüber den Elektroden ab.
Die Leitungsanordnungen weisen ein elektrisch leitfähiges Polymer und/oder einen elektrisch leitfähigen Verbundwerkstoff mit einer elastischen Kunststoffmatrix auf. Sie können dabei Aluminium, Kupfer, Silber und/oder Gold aufweisen. Für die Nutzbarkeit der Elastizität des elastischen Bauteils ist es wichtig, dass die Leitungsanordnungen die elastischen Verformungen der Hauptstruktur des elastischen Bauteils mitmachen, ohne sich von der Hauptstruktur abzulösen oder zerstört zu werden. Sie müssen daher ihrerseits eine ausreichende Elastizität aufweisen. Wenn diese durch ein elastische Kunststoffmatrix garantiert wird, sind in die elastische Kunststoffmatrix in aller Regel elektrisch leitfähige Teilchen oder Fasern aus Metall oder Kohlenstoff eingebettet.
In einer bevorzugten Ausführungsform des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils sind die Leitungsanordnungen so über die erste und die zweite Oberfläche verteilt angeordnet, dass eine Bauteilformänderung des elastischen Bauteils modenspezifisch ansteuerbar ist und/oder das Antwortsignal auf die Bauteilformänderung modenspezifisch abfragbar ist. Dies bedeutet, dass der Funktionswerkstoff über die Leitungsanordnungen gezielt in bestimmten Bereichen der Hauptstruktur ansteuerbar ist, um bestimmte Bauteilformänderungen, beispielsweise in bestimmten translatorischen oder rotatorischen Richtungen, hervorzurufen. Umgekehrt können diese verschiedenen Bauteilformänderungen in den verschiedenen translatorischen und rotatorischen Richtungen getrennt abgefragt werden, um die Bauteilformänderung vollständig zu erfassen.
Bei dem erfindungsgemäßen elastischen Bauteil können die Gitterkonstanten Lx, Ly und Lz sehr unterschiedliche Werte annehmen. Sie können konkret in einem Bereich bis 1 m liegen. Die Gitterkonstanten können also bis zu makroskopische Abmessungen haben. Die äußeren Abmessungen des Bauteils in x-, y- und z-Richtung betragen regelmäßig ein Vielfaches der Gitterkonstanten Lx, Ly und Lz, sie überspannen damit aber zumindest auch einen mikroskopischen bis makroskopischen Bereich.
Eine Einhüllende des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils ist nicht auf eine bestimmte Form beschränkt. Vielmehr ist eine Zylinder-, Tetraeder-, Kugel- oder Spatform möglich. Darüber hinaus sind auch andere Formen realisier- und nutzbar.
Die Herstellung des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils erfolgt im 3D-Druck. Dies gilt insbesondere für mittlere Gitterkonstanten und Abmessungen des elastischen Bauteils. Da das erfindungsgemäße elastische Bauteil in allen Raumrichtungen periodisch ist, kann es aus identisch aufgebauten Elementarzellen zusammengesetzt werden.
Vorteilhafte Weiterbildungen der Erfindung ergeben sich aus den Patentansprüchen, der Beschreibung und den Zeichnungen. Die in der Beschreibung genannten Vorteile von Merkmalen und von Kombinationen mehrerer Merkmale sind lediglich beispielhaft und können alternativ oder kumulativ zur Wirkung kommen, ohne dass die Vorteile zwingend von erfindungsgemäßen Ausführungsformen erzielt werden müssen. Ohne dass hierdurch der Gegenstand der beigefügten Patentansprüche verändert wird, gilt hinsichtlich des Offenbarungsgehalts der ursprünglichen Anmeldungsunterlagen und des Patents Folgendes: weitere Merkmale sind den Zeichnungen - insbesondere den dargestellten Geometrien und den relativen Abmessungen mehrerer Bauteile zueinander sowie deren relativer Anordnung und Wirkverbindung - zu entnehmen. Die Kombination von Merkmalen unterschiedlicher Ausführungsformen der Erfindung oder von Merkmalen unterschiedlicher Patentansprüche ist ebenfalls abweichend von den gewählten Rückbeziehungen der Patentansprüche möglich und wird hiermit angeregt. Dies betrifft auch solche Merkmale, die in separaten Zeichnungen dargestellt sind oder bei deren Beschreibung genannt werden. Diese Merkmale können auch mit Merkmalen unterschiedlicher Patentansprüche kombiniert werden. Ebenso können in den Patentansprüchen aufgeführte Merkmale für weitere Ausführungsformen der Erfindung entfallen.
Die in den Patentansprüchen und der Beschreibung genannten Merkmale sind bezüglich ihrer Anzahl so zu verstehen, dass genau diese Anzahl oder eine größere Anzahl als die genannte Anzahl vorhanden ist, ohne dass es einer expliziten Verwendung des Adverbs „mindestens“ bedarf. Wenn also beispielsweise von einem Funktionswerkstoff die Rede ist, ist dies so zu verstehen, dass genau ein Funktionswerkstoff, zwei Funktionswerkstoffe oder mehr Funktionswerkstoffe vorhanden sind. Die in den Patentansprüchen angeführten Merkmale können durch andere Merkmale ergänzt werden oder die einzigen Merkmale sein, aus denen das jeweilige elastische Bauteil besteht.
Die in den Patentansprüchen enthaltenen Bezugszeichen stellen keine Beschränkung des Umfangs der durch die Patentansprüche geschützten Gegenstände dar. Sie dienen lediglich dem Zweck, die Patentansprüche leichter verständlich zu machen.
Figurenliste
Im Folgenden wird die Erfindung anhand in den Figuren dargestellter bevorzugter Ausführungsbeispiele weiter erläutert und beschrieben.

1 erläutert, dass ein optimaler Winkel bei ebener Kraftweiterleitung über Verzweigungen überall 120° beträgt, während der optimale Winkel bei räumlichen Verzweigungen der Tetraederwinkel von 109,47° ist.
2 zeigt den Definitionsbereich einer Integrationsvariablen ω = ω_a + j ω_b.
3 zeigt ein fundamentales Flächenstück einer Schwarz-D-Fläche.
4 zeigt ein fundamentales Flächenstück einer trigonometrisch approximierten Schwarz-D-Fläche.
5 zeigt ein Flächenstück um einen Knoten der trigonometrisch approximierten Schwarz-D-Fläche.
6 zeigt eine dreifach-periodische Membran, die längs der trigonometrisch approximierten Schwarz-D-Fläche verläuft.
7 zeigt ein fundamentales Flächenstück einer Schwarz-G-Fläche.
8 zeigt Flächenstücke einer der Schwarz-G-Fläche folgenden Membran mit von 8 (a) bis 8 (c) zunehmender Ausdehnung in den drei Raumrichtungen x, y und z.
9 zeigt ein fundamentales Flächenstück einer Schwarz-P-Fläche.
10 zeigt Flächenstücke einer einer trigonometrisch approximierten Schwarz-P-Fläche folgenden Membran mit von 10 (a) bis 10 (c) zunehmender Ausdehnung in den drei Raumrichtungen x, y und z.
11 zeigt eine gyroidale Membran endlicher Dicke.
12 zeigt ein erfindungsgemäßes elastisches Bauteil mit gyroidaler Geometrie und dreischichtigem Aufbau, wobei ein Detail des dreischichtigen Aufbaus vergrößert dargestellt ist.
13 zeigt drei einzelne Schichten und ein darauf aufgebaute Elementarzelle eines erfindungsgemäßen elastischen Bauteils vom D-Typ, wobei 13 (a) eine Piezo-Schicht als Hauptstruktur, 13 (b) eine innere Elektrode als innere Leitungsanordnung, 13 (c) eine äußere Elektrode als äußere Leitungsanordnung und 13 (d) die gesamte Elementarzelle zeigt.
14 zeigt ein periodisch aufgebautes erfindungsgemäßes elastisches Bauteil vom D-Typ.
15 (a) und (b) zeigen Elementarzellen von erfindungsgemäßen elastischen Bauteilen vom P-Typ mit unterschiedlicher Schichtdicke ihrer Hauptstruktur.
16 zeigt ein Basis-Stabelement begrenzt von dem fundamentalen Flächenstück der trigonometrisch approximierten Schwarz-D-Fläche.
17 zeigt ein größeres Stabelement begrenzt von der trigonometrisch approximierten Schwarz-D-Fläche.
18 zeigt das Stabelement gemäß 17 in dreifach periodischer Anordnung.
19 zeigt ein inverses Basis-Stabelement begrenzt von dem fundamentalen Flächenstück der trigonometrisch approximierten Schwarz-D-Fläche.
20 zeigt ein größeres inverses Stabelement begrenzt von der trigonometrisch approximierten Schwarz-D-Fläche.
21 zeigt das inverse Stabelement gemäß 20 in dreifach periodischer Anordnung.
22 zeigt ein Basis-Stabelement begrenzt von dem fundamentalen Flächenstück der trigonometrisch approximierten Schwarz-G-Fläche.
23 zeigt ein größeres Stabelement begrenzt von der trigonometrisch approximierten Schwarz-G- Fläche.
24 zeigt das Stabelement gemäß 23 in dreifach periodischer Anordnung.
25 zeigt ein inverses Basis-Stabelement begrenzt von dem fundamentalen Flächenstück der trigonometrisch approximierten Schwarz-G-Fläche.
26 zeigt ein größeres inverses Stabelement begrenzt von der trigonometrisch approximierten Schwarz-G-Fläche.
27 zeigt das inverse Stabelement gemäß 26 in dreifach periodischer Anordnung.
28 zeigt ein Basis-Stabelement begrenzt von dem fundamentalen Flächenstück der trigonometrisch approximierten Schwarz-P-Fläche.
29 zeigt ein größeres Stabelement begrenzt von der trigonometrisch approximierten Schwarz-P-Fläche.
30 zeigt ein inverses Basis-Stabelement begrenzt von dem fundamentalen Flächenstück der trigonometrisch approximierten Schwarz-P-Fläche.
31 zeigt ein größeres inverses Stabelement begrenzt von der trigonometrisch approximierten Schwarz-P-Fläche in dreifach periodischer Anordnung.
32 zeigt ein erfindungsgemäßes elastisches Bauteil basierend auf Stabelementen begrenzt von der trigonometrisch approximierten Schwarz-D-Fläche.
33 zeigt ein erfindungsgemäßes elastisches Bauteil basierend auf Stabelementen begrenzt von der trigonometrisch approximierten Schwarz-G-Fläche.
34 zeigt ein erfindungsgemäßes elastisches Bauteil basierend auf Stabelementen begrenzt von der trigonometrisch approximierten Schwarz-P-Fläche.
35 zeigt erfindungsgemäße elastische Bauteile vom längs einer approximierten Schwarz-D-Fläche verlaufenden Membran-Typ (35 (a)) und vom von einer approximierten Schwarz-D-Fläche begrenzten Stabwerks-Typ (35 (a)) mit einer katenoidalen Einhüllenden.
36 zeigt ein erfindungsgemäßes elastisches Bauteile vom längs einer approximierten Schwarz-D-Fläche verlaufenden Membran-Typ mit einer kugeligen Einhüllenden.
37 zeigt ein erfindungsgemäßes elastisches Bauteile vom längs einer approximierten Schwarz-D-Fläche verlaufenden Membran-Typ mit einer zylindrischen Einhüllenden.
38 zeigt ein erfindungsgemäßes elastisches Bauteile vom von einer approximierten Schwarz-D-Fläche begrenzten Stabwerks-Typ mit einer spatartigen Einhüllenden; und
39 zeigt ein erfindungsgemäßes elastisches Bauteil mit richtungsabhängigen Periodizitäten (Lx/Ly/Lz = 2/1/0.5) und einer quaderförmigen Einhüllenden.

FIGURENBESCHREIBUNG
Das erfindungsgemäße elastische Bauteil dient einer aktiven Schwingungsunterdrückung, Formveränderung und/oder Positionierung im Hochleistungsleichtbau. Vielfach besteht bei hochbelasteten mechanischen Leichtbaustrukturen die Aufgabe, eine statische oder dynamische Korrektur der Position oder der Verformung geregelt vorzunehmen. Dazu werden Aktuatoren als Stellglieder, Regler und Sensoren benötigt. Im Sinne des Hochleistungsleichtbaus sollten möglichst alle mechanischen Komponenten über mehrere Funktionalitäten verfügen. Insbesondere die Aktuatoren und die Sensoren sollten direkt im mechanischen Kraftfluss liegen, also multifunktional sein. Sie müssen daher mechanisch belastbar sein, über ausreichenden Hub verfügen, eine ausreichende Schnelligkeit bzw. Ansprechzeit und Genauigkeit besitzen, kostenreduziert hergestellt werden können und wenig Energie verbrauchen.
Das erfindungsgemäße elastische Bauteil ist als Aktuator und/oder als Sensor einsetzbar. Das erfindungsgemäße elastische Bauteil weist eine elastisch verformbare Hauptstruktur mit in die Hauptstruktur integrierten Wandlerelementen zur Umsetzung eines über Leitungsanordnungen zugeführten physikalischen Ansteuersignals in eine elastische Verformung und/oder zur Umsetzung einer elastischen Verformung der Struktur in ein abgreifbares physikalisches Antwortsignal auf. Alle oder zumindest einige der Wandlerelemente können bei dem erfindungsgemäßen elastischen Bauteil so in die Hauptstruktur integriert sein, dass sie selbst ein wesentlicher, tragender Teil der Hauptstruktur sind. Die Hauptstruktur kann auch insgesamt aus den Wandlerelementen aufgebaut sein. Die Wandlerelemente weisen einen oder mehrere Funktionswerkstoffe auf.
Die in das erfindungsgemäße elastische Bauteil zur Ausbildung der Wandlerelemente integrierten Funktionswerkstoffe sind insbesondere mechanisch und elektrisch aktivierbar und bilden so mechanisch-elektrische Wandlerelemente aus. Konkret sind piezoelektrische Materialien, wie z. B. Zinkoxid (ZnO), Blei-Zirkonat-Titanat (PZT) und Polyvinylidenfluorid (PVDF), geeignet.
Die verformbare Hauptstruktur des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils kann membranartig oder stabwerksartig aufgebaut sein. Um ein Minimum an eingesetztem Werkstoff zu erreichen und um mechanische Spannungsspitzen zu vermeiden und unbelastete Strukturkomponenten auszusparen, werden aktuatorische/sensorische Membranen bzw. Stabwerke mit speziellen Oberflächenkrümmungseigenschaften vorgeschlagen. Der mechanische Kraftfluss ist dabei die maßgebliche Auslegungsgröße für eine Membran bzw. ein Stabwerk mit optimierter Topologie.
Alle nachfolgend beschriebenen Ausführungsformen des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils besitzen zwar eine mehr oder weniger komplexe Topologie, können aber allesamt mit Hilfe der hierzu angegebenen mathematischen Beschreibungen durch bekannte additive Fertigungsverfahren hergestellt werden.
Konkret kann die elastisch verformbare Hauptstruktur bzw. Membran des neuen Bauteils einer Schwarz-D-Fläche folgen. Dabei ist nicht entscheidend, dass sich eine Oberfläche der Hauptstruktur bzw. die Membran des neuen Bauteils durch eine ideale Schwarz-D-Fläche beschreiben lässt. Entscheidend sind die Diamantgitter-ähnlichen Anordnungen der Flächen bzw. Stäbe, die sich im Tetraeder-Winkel von arccos(-1/3) = 109,471... treffen. Während eine optimale Kraftweiterleitung in einer ebenen Fläche über Verzweigungen erfolgt, die 120°-Winkel aufweisen, ergeben sich für den dreidimensionalen Fall die besagten Tetraeder-Winkel als optimale Verzweigungen, siehe 1. Die Optimalität besteht in der Gleichmäßigkeit der Beträge der verteilten Kräfte.
Eine erste Oberfläche der Hauptstruktur kann einer exakten Minimalfläche in Form einer idealen Schwarz-D-Fläche oder abweichend davon einer Schwarz-D-ähnlichen Fläche entsprechen.
Liegt das erfindungsgemäße elastische Bauteil als gekrümmte Membran im dreidimensionalen Raum vor, handelt es sich um eine mehrschichtige Membran, deren mittlere Schicht sich idealerweise als sich nichtschneidende, dreifach-periodische Minimalfläche (Triply Periodic Minimal Surface, TPMS) mit Hilfe der Enneper-Weierstraß-Parametrisierung beschreiben lässt: $[\begin{matrix} x (ω) \\ y (ω) \\ z (ω) \end{matrix}] = R e \int [\begin{matrix} R (ω) (1 - ω^{2}) \\ i R (ω) (1 + ω^{2}) \\ 2 R (ω) ω \end{matrix}] e^{i θ} d ω$
Hierbei sind i² = -1 und θ ist der sogenannte Bonnet-Winkel, durch dessen Veränderung man assoziierte Flächen generieren kann. Ist beispielsweise $θ = θ_{P} = \frac{π}{2},$
erhält man die zur D-Fläche konjugierte Fläche, die P-Fläche.

Tab.1: Übersicht über die Flächentypen im Zusammenhang mit dem Bonnet-Winkel.

Flächentyp	Kubisches	Bonnet-	e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)
	Kristallgitter	Winkel θ
D-Fläche (diamond)	Kubisch flächenzentriert (face centered cubic, fcc)	θ = 0	0
G-Fläche (Gyroid)	Kubisch raumzentriert (body centered cubic, bcc)	θ = 0.6635 = 38,0148°	0,78785 + i 0,61586
P-Fläche (Primitive)	Einfach kubisch (simple cubic, sc)	$θ = \frac{π}{2} = 90 °$	i

Die Integrationsvariable ω ist komplexwertig: $ω = ω_{a} + j ω_{b},$
wobei ω_a und ω_b nur Werte in dem Bereich annehmen, der durch die gleichzeitige Gültigkeit der 4 Ungleichungen ${(ω_{a} \pm \frac{1}{2} \sqrt{2})}^{2} + {(ω_{b} \pm \frac{1}{2} \sqrt{2})}^{2} \leq 2$
definiert ist, siehe 2. Die farbig markierten Eckpunkte sind zugleich die Singularitäten der nachfolgend erklärten Weierstraß-Funktion R(ω).
Mit der Integrationsvariablen ω ergeben sich Minimalflächen, die frei von Überschneidungen („Embedded Surfaces“) sind und dreifach periodisch („Triply Periodic Minimal Surfaces“, TPMS) sein können.
Mit R(ω) ist die Weierstraß-Funktion $R (ω) = \frac{1}{\sqrt{ω^{8} + λ ω^{4} + 1}}$
gemeint. R(ω) hat vier reelle und vier komplexe Polstellen. Ihre Lage wird mit dem Faktor λ festgelegt. Mit λ = -14 ergeben sich die Werte: $\begin{matrix} ω_{1,2} = \pm \frac{1}{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \pm 0,518 & ω_{3,4} = \pm j \frac{1}{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = \pm 0,518 j \\ ω_{5,6} = \pm \frac{1}{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \pm 1,932 & ω_{7,8} = \pm \frac{1}{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \pm 1,932 \end{matrix}$
Werden die vier Singularitätswerte, deren Betrag kleiner als der Radius des Stabilitätseinheitskreises 1 ist, also ω_1,2 und ω_3,4, in die Parameterform der idealen Membran eingesetzt, ergeben sich die Eckpunkte der Schwarz-D-Fläche und somit auch die der assoziierten P- und G-Fläche. Das fundamentale Flächenstück der Schwarz-D-Fläche ist in einem tetragonalen Disphenoid eingeschrieben, einem gleichflächigen Tetraeder mit gleichschenkligen Dreieckseiten. Die vier Eckpunkte sind in 2 und 3 als Punkte dargestellt. Sie haben die kartesischen Koordinaten: $P_{1,2} = [\begin{matrix} \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ 0 \\ \frac{K (97 - 56 \sqrt{3})}{2 K (\frac{1}{4})} \end{matrix}] ≅ [\begin{matrix} \pm 0,707107 \\ 0 \\ 0,466506 \end{matrix}] u n d P_{3,4} = [\begin{matrix} 0 \\ \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ - \frac{K (97 - 56 \sqrt{3})}{2 K (\frac{1}{4})} \end{matrix}] ≅ [\begin{matrix} 0 \\ \pm 0,707107 \\ - 0,466506 \end{matrix}]$
Dabei ist K(k) das vollständige elliptische Integral 1. Art $K (k) = F (\frac{π}{2}, k),$
wobei F(φ, k) das allgemeine und in die Legendre-Form überführte unvollständige elliptische Integral 1. Art ist: $F (φ, k) = \int_{0}^{φ} \frac{1}{\sqrt{1 - {(k s i n ϑ)}^{2}}} d ϑ .$
Die Größe k ist das Modul des Integrals. Die Werte der Funktion K(k) können auch mit Hilfe von Reihenentwicklungen ermittelt werden: $K (k) = \frac{π}{2} {\sum_{n = 0}^{\infty} [\frac{(2 n)!}{2^{2 n} {(n!)}^{2}}]}^{2} k^{2 n}$
oder $K (k) = \frac{π}{2} \prod_{n = 1}^{\infty} (1 + k_{n})$
mit den rekursiv zu ermittelnden Werten $k_{n} = \frac{1 - \sqrt{1 - k_{n - 1}^{2}}}{1 + \sqrt{1 - k_{n - 1}^{2}}}$
und dem Startwert $k_{0} = k .$
Sechs von den in 3 gezeigten fundamentalen Flächenstücken ergeben ein größeres Stück, das dann von einem Würfel, der Grundzelle, umschrieben ist. Weitere Duplikationen mit Verschiebungen und Rotationen ergeben die membranartige Version des idealen erfindungsgemäßen Bauteils.
Mit dem Bonnet-Winkel θ = 0 lässt sich das Integral in der Enneper-Weierstaß-Darstellung $[\begin{matrix} x (ω) \\ y (ω) \\ z (ω) \end{matrix}] = R e \int [\begin{matrix} R (ω) (1 - ω^{2}) \\ i R (ω) (1 + ω^{2}) \\ 2 R (ω) ω \end{matrix}] d ω$
derart ausrechnen, dass sich als mathematische Beschreibung des erfindungsgemäßen Bauteils die parametrisierte Form ergibt: $\begin{array}{l} [\begin{matrix} x (ω) \\ y (ω) \\ z (ω) \end{matrix}] = \\ = [\begin{matrix} - \frac{1}{3} R e (- 3 ω F_{1} (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{5}{4}; (7 + 4 \sqrt{3}) ω^{4}, (7 - 4 \sqrt{3}) ω^{4}) + ω^{3} F_{1} (\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{7}{4}; (7 + 4 \sqrt{3}) ω^{4}, (7 - 4 \sqrt{3}) ω^{4})) \\ - \frac{1}{3} I m (3 ω F_{1} (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{5}{4}; (7 + 4 \sqrt{3}) ω^{4}, (7 - 4 \sqrt{3}) ω^{4}) + ω^{3} F_{1} (\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{7}{4}; (7 + 4 \sqrt{3}) ω^{4}, (7 - 4 \sqrt{3}) ω^{4})) \\ \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} R e (F (arcsin (\frac{ω^{2}}{\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}}),97 - 56 \sqrt{3})) \end{matrix}] \end{array}$
mit der Appell' schen hypergeometrischen Funktion $F_{1} (a, b_{1}, b_{2}, c; x, y) = \sum_{m = 0}^{\infty} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(a)}_{m + n} {(b_{1})}_{m} {(b_{2})}_{n}}{{(c)}_{m + n} m! n!} x^{m} y^{n}$
für die Definitionsbereiche der Variablen x und y: |x| < 1 und |y| < 1. In der z-Komponente ist die Funktion F(<p, k) wiederum das allgemeine und in die Legendre-Form überführte unvollständige elliptische Integral 1. Art (siehe oben).
Funktionstheoretische Umformulierungen gemäß Gandi et al., 1999: Exakt Computation of the triply periodic D (diamond) minimal surface, Chemical Physics Letters 314, 543-551, 1999, führen zu der wesentlich übersichtlicheren und schneller berechenbaren Formulierung für die D-Fläche: $[\begin{matrix} x (ω) \\ y (ω) \\ z (ω) \end{matrix}] = \frac{1}{4} κ [\begin{matrix} R e (\sqrt{2} F (a r c s i n (\frac{2 \sqrt{2} ω}{\sqrt{ω^{4} + 4 ω^{2} + 1}}), \frac{1}{4})) \\ I m (\sqrt{2} F (a r c s i n (\frac{- 2 \sqrt{2} ω}{\sqrt{ω^{4} + 4 ω^{2} + 1}}), \frac{3}{4})) \\ R e (F (a r c s i n (\frac{4 ω^{2}}{ω^{4} + 1}),97 - 56 \sqrt{3})) \end{matrix}]$
mit der Normierungskonstanten $κ = \frac{2 L}{K (\frac{1}{4})} .$
Dabei ist L die Kantenlänge des Einheitswürfels. Mit L = 1 ergibt sich für die Konstante beispielsweise: $κ ≅ 1,18641529233.$
Eine Membran, die dieser mathematischen Gleichung gehorcht, ist eine Minimalfläche. Ihre mittlere Krümmung ist also null. Mechanische Lasten leitet sie wie eine Seifenblase perfekt gleichmäßig weiter.
Mathematische Vereinfachungen führen manchmal zu Abweichungen von der idealen Funktion. So ist ein hyperbolischer Paraboloid mit derselben Berandung und der nicht-parametrischen Darstellung ${z = \frac{\sqrt{2}}{L} (x^{2} - y^{2}); 2 | x \pm y | \leq L}$
gut approximiert, denn das Verhältnis der beiden Flächeninhalte besitzt den Wert 1,0012, siehe Nitsche, J. 1975: Vorlesung über Minimalflächen, Berlin, Springer-Verlag, 1975. Allerdings ist der hyperbolische Paraboloid keine Minimalfläche mehr.
Die eigentliche Intention einer Vereinfachung besteht in der Möglichkeit, die oben beschriebene Fläche mit Hilfe einer Gleichung dreifach-periodisch formulieren zu können. Diesbezüglich hilfreich ist die Vereinfachung mit einer trigonometrischen Approximation. Sie führt zwar ebenfalls zu einer leichten Abweichung von der perfekten Minimalfläche, ihre Darstellung und ihre Berechnung sind jedoch sehr komfortabel. Die trigonometrische Approximationsfunktion der D-Fläche lautet: $\begin{array}{l} T_{D} (x, y, z) : = s i n (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} y) s i n (\frac{2 π}{L} z) + s i n (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + \\ + c o s (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + c o s (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) s i n (\frac{2 π}{L} z) = 0 \end{array}$
mit der Gitterkonstanten L. Klassischerweise ist L = 1. Die Abweichung der approximierten Fläche von der idealen Form beträgt bzgl. des Flächeninhalts weniger als 1 %. Das fundamentale Flächenstück der trigonometrisch approximierten Form ist in 4 zu sehen, größere Ausschnitte in 5 und 6, die die dreifache Periodizität erkennen lassen.
Eine alternative Geometrie des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils basiert auf einer G-Fläche: Dabei besitzt der Bonnet-Winkel den Wert $θ = θ_{G} = a r c c o t (\frac{K (\frac{3}{4})}{K (\frac{1}{4})}) = 0.66348297 r a d = 38,01477399 ° .$
Das ergibt die Enneper-Weierstraß-Parametrisierung, wie oben beschrieben, $[\begin{matrix} x (ω) \\ y (ω) \\ z (ω) \end{matrix}] = R e \int [\begin{matrix} R (ω) (1 - ω^{2}) \\ i R (ω) (1 + ω^{2}) \\ 2 R (ω) ω \end{matrix}] e^{i θ_{G}} d ω .$
Funktionstheoretische Umformulierungen bei der Integralberechnung der Enneper-Weierstraß-Parametrisierung, siehe Gandi et al., 2000: Exakt Computation of the triply periodic G (Gyroid) minimal surface, Chemical Physics Letters 321, 363-371, 2000, führen zu der wesentlich übersichtlicheren und schneller berechenbaren analytischen Formulierung der G-Fläche: $[\begin{matrix} x (ω) \\ y (ω) \\ z (ω) \end{matrix}] = \frac{1}{4} Κ [\begin{matrix} R e (\sqrt{2} F (a r c s i n (\frac{2 \sqrt{2} ω}{\sqrt{ω^{4} + 4 ω^{2} + 1}}), \frac{1}{4}) e^{i θ_{G}}) \\ I m (\sqrt{2} F (a r c s i n (\frac{- 2 \sqrt{2} ω}{\sqrt{ω^{4} + 4 ω^{2} + 1}}), \frac{1}{4}) e^{i θ_{G}}) \\ R e (F (a r c s i n (\frac{e ω^{2}}{ω^{4} + 1}),97 - 56 \sqrt{3}) e^{i θ_{G}}) \end{matrix}] .$
Ihr fundamentales Flächenstück, siehe 7, ist in einem trirectangularen Tetraeder eingeschrieben, bei dem drei Dreiecksflächen rechtwinklig zueinander stehen. Zwölf dieser Flächenstücke ergeben entsprechend kombiniert ein Flächenstück, das in einem Würfel eingeschrieben ist, dem Einheitswürfel der G-Fläche. Die Bonnet-Transformation mit θ_G bewirkt eine Transformation des Diamantgitters mit katenoidalen Stäben in helikoidale Streifen, bedingt durch eine schraubenartige Verdrehung der ganzen Fläche. So werden aus den katenoidalen Stäben im D-Gitter spiralige Tunnel in der G-Fläche. Mit entsprechend verändertem Definitionsbereich für die Integrationsvariable ω ergibt sich das fundamentale Flächenstück der Schwarz-G-Fläche in 7.
Die trigonometrische Approximation der G-Fläche lautet: $T_{G} (x; y; z) : = s i n (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) + s i n (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + c o s (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} z) = 0.$
Ihre Flächenstücke sind 8 zu entnehmen.
Eine weitere erfindungsgemäße Bauteilgeometrie basiert auf einer P-Fläche: Der Bonnet-Winkel hat dann den Wert $θ = θ_{p} = \frac{π}{2} r a d = 90 ° .$
Das ergibt die Enneper-Weierstraß-Parametrisierung, wie oben beschrieben, $[\begin{matrix} x (ω) \\ y (ω) \\ z (ω) \end{matrix}] = R e \int [\begin{matrix} R (ω) (1 - ω^{2}) \\ i R (ω) (1 + ω^{2}) \\ 2 R (ω) ω \end{matrix}] e^{i θ_{G}} d ω .$
Geschickte funktionstheoretische Umformulierungen bei der Integralberechnung der Enneper-Weierstraß-Parametrisierung führen zu der wesentlich übersichtlicheren und schneller berechenbaren analytischen Formulierung der P-Fläche: $[\begin{matrix} x (ω) \\ y (ω) \\ z (ω) \end{matrix}] = \frac{1}{4} Κ [\begin{matrix} - I m (\sqrt{2} F (a r c s i n \frac{2 \sqrt{2} ω}{\sqrt{ω^{4} + 4 ω^{2} + 1}}), \frac{1}{4}) \\ R e (\sqrt{2} F (a r c s i n \frac{- 2 \sqrt{2} ω}{\sqrt{ω^{4} + 4 ω^{2} + 1}}), \frac{3}{4}) \\ - I m (F (a r c s i n (\frac{4 ω^{2}}{ω^{2} + 1}),97 - 56 \sqrt{3})) \end{matrix}] .$
Mit entsprechend verändertem Definitionsbereich für die Integrationsvariable ω ergibt sich das fundamentale Flächenstück der Schwarz-P-Fläche in 9.
Die entsprechende trigonometrische Approximation der P-Fläche lautet: $T_{P} (x; y; z) : = c o s (\frac{2 π}{L} x) + c o s (\frac{2 π}{L} y) + c o s (\frac{2 π}{L} z) = 0.$
Ihre Flächenstücke sind der 10 zu entnehmen.
Die elastische Aktuator-/Sensor-Struktur des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils kann membranartig oder stabwerksartig aufgebaut sein. Die jeweilige membranartige Struktur besteht dann aus mindestens drei Schichten mit finiten Dicken: einer mittleren Schicht der Dicke t_p aus dem aktivierbaren Funktionswerkstoff, z. B. einem Piezoelektrikum, einer inneren Schicht der geringen Dicke ts aus einem leitenden Werkstoff und einer äußeren Schicht der geringen Dicke t_S ebenfalls aus einem leitenden Werkstoff.
Die innere und die äußere Schicht dienen z. B. als Leitungsanordnungen und Elektroden E_i und E_a oder bei thermischer Aktivierung des Funktionswerkstoffs als wärmeerzeugendes Material. Dazwischen befindet sich das piezoelektrische Dielektrikum, das einem elektrischen Feld ausgesetzt ist, sobald an den beiden Elektroden eine Spannungsdifferenz anliegt, oder der thermisch aktivierbare Funktionswerkstoff. Das piezoelektrische Material wird im d₃₁-Modus betrieben, so dass die durch den Piezoeffekt bedingte Verformung senkrecht zum elektrischen Feld erfolgt.
Bei einem gyroidalen System gehorcht die mittlere (piezoelektrische) Schicht, die in 11 zu sehen ist, bzgl. ihrer Form der Gleichung $\frac{t_{P}}{2} \geq s i n (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) + s i n (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + c o s (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} z) \geq - \frac{t_{P}}{2} .$
Eine Aktuatorbewegung erfolgt tangential zu den Membranoberflächen.
Bei einem dreischichtigen System gehorcht die innere (grüne) Schicht der Gleichung $(\frac{t_{P}}{2} + t_{S}) \geq s i n (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) + s i n (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + c o s (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} z) > \frac{t_{P}}{2}$
und die äußere (rote) Schicht der Gleichung $- \frac{t_{P}}{2} > s i n (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) + s i n (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + c o s (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} z) \geq - (\frac{t_{P}}{2} + t_{S}) .$
Das Drei-Schicht-System des entsprechenden erfindungsgemäßen elastischen Bauteils 1 ist in 12 zu sehen. Eine von der mittleren Schicht gemäß 11 gebildete Hauptstruktur 2 des elastischen Bauteils 1 füllt ein Volumen 3 zwischen einer ersten Oberfläche 4 und einer zweiten Oberfläche 5 aus. Die Hauptstruktur 2 weist mit der piezoelektrischen Schicht einen Funktionswerkstoff 6 auf, der durch ein physikalisches Ansteuersignal auf eine Formänderung ansteuerbar ist und/oder auf eine Formänderung mit einem physikalischen Antwortsignal antwortet. Auf der ersten Oberfläche 4 und der zweiten Oberfläche 6 sind mit der äußeren Schicht und der inneren Schicht eine äußere Leitungsanordnung 7 und eine innere Leitungsanordnung 8 angeordnet, um das Ansteuersignal zuzuleiten und/oder das Antwortsignal abzuleiten.
Entsprechend sehen die Drei-Schicht-Systeme in der D-Variante (13 und 14) und der P-Variante (15) aus.
Die elastische Aktuator-/Sensor-Struktur des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils kann auch stabwerksartig aufgebaut sein. Die jeweilige stabwerksartige Struktur besteht dann aus mindestens drei Schichten mit finiten Dicken: einer mittleren Schicht der Dicke t_p aus dem aktivierbaren Funktionswerkstoff, z. B. einem Piezoelektrikum oder einem anderen aktivierbaren Funktionswerkstoff, einer inneren Schicht der geringen Dicke ts aus einem elektrisch oder optisch leitenden Werkstoff und einer äußeren Schicht der geringen Dicke ts ebenfalls aus einem elektrisch oder optisch leitenden Werkstoff.
Die innere und die äußere Schicht dienen als Leitungsanordnungen und Elektroden E_i und E_a bzw. als wärmeerzeugendes Material (bei thermischer Aktivierung). Dazwischen befindet sich das piezoelektrische Dielektrikum, das einem elektrischen Feld ausgesetzt ist, sobald an den beiden Elektroden eine Spannungsdifferenz anliegt, bzw. der thermisch oder optisch aktivierbare Funktionswerkstoff. Das piezoelektrische Material wird im d₃₁-Modus betrieben, so dass die durch den Piezoeffekt bedingte Verformung senkrecht zum elektrischen Feld erfolgt.
Ist die erfindungsgemäße Aktuator-/Sensor-Stabstruktur der D-Fläche nachempfunden, ist sie trigonometrisch approximierbar durch die Gleichung $\begin{array}{l} T_{D} (x, y, z) : = s i n (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} y) s i n (\frac{2 π}{L} z) + s i n (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + \\ + c o s (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + c o s (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) s i n (\frac{2 π}{L} z) \geq 0 \end{array}$
mit der Gitterkonstanten L, klassischerweise L = 1. Das fundamentale Basis-Stabelement ist in 16 zu sehen, größere Ausschnitte in 17 und 18, die die dreifache Periodizität erkennen lassen.
Eine Alternative dazu ist die sogenannte inverse Darstellung der Aktuator-/Sensor-Stabstruktur der D-Fläche. Sie wird trigonometrisch approximierbar durch die Gleichung $\begin{array}{l} T_{D} (x, y, z) : = s i n (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} y) s i n (\frac{2 π}{L} z) + s i n (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + \\ + c o s (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + c o s (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) s i n (\frac{2 π}{L} z) \geq 0 \end{array}$
mit der Gitterkonstanten L, klassischerweise L = 1. Das inverse fundamentale Basis-Stabelement ist in 19 zu sehen, größere Ausschnitte in 20 und 21, die die dreifache Periodizität erkennen lassen.
Ist die erfindungsgemäße Aktuator-/Sensor-Stabstruktur der G-Fläche nachempfunden, ist sie trigonometrisch approximierbar durch die Gleichung $T_{G} (x, y, z) : = s i n (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) + s i n (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + c o s (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} z) \geq 0.$
Das fundamentale Basis-Stabelement ist in 22 zu sehen, größere Ausschnitte in 23 und 24, die die dreifache Periodizität erkennen lassen.
Eine Alternative dazu ist die sogenannte inverse Darstellung der Aktuator-/Sensor-Stabstruktur der G-Fläche. Sie wird trigonometrisch approximierbar durch die Gleichung $T_{G} (x, y, z) : = s i n (\frac{2 π}{L} x) c o s (\frac{2 π}{L} y) + s i n (\frac{2 π}{L} y) c o s (\frac{2 π}{L} z) + c o s (\frac{2 π}{L} x) s i n (\frac{2 π}{L} z) \leq 0$
mit der Gitterkonstanten L, klassischerweise L = 1. Das inverse fundamentale Basis-Stabelement ist in 25 zu sehen, größere Ausschnitte in 26 und 27, die die dreifache Periodizität erkennen lassen.
Ist die erfindungsgemäße Aktuator-/Sensor-Stabstruktur der P-Fläche nachempfunden, ist sie trigonometrisch approximierbar durch die Gleichung: $T_{P} (x, y, z) : = c o s (\frac{2 π}{L} x) + c o s (\frac{2 π}{L} y) + c o s (\frac{2 π}{L} z) \geq 0.$
Das fundamentale Basis-Stabelement ist in 28 zu sehen, ein größerer Ausschnitt in 29, der die dreifache Periodizität erkennen lässt.
Eine Alternative dazu ist die sogenannte inverse Darstellung der Aktuator-/Sensor-Stabstruktur der P-Fläche. Sie wird trigonometrisch approximierbar durch die Gleichung: $T_{P} (x, y, z) : = c o s (\frac{2 π}{L} x) + c o s (\frac{2 π}{L} y) + c o s (\frac{2 π}{L} z) \leq 0$
mit der Gitterkonstanten L, klassischerweise L = 1. Das inverse fundamentale Basis-Stabelement ist in 30 zu sehen, ein größerer Ausschnitt in 30, der die dreifache Periodizität erkennen lässt.
Erfindungsgemäß kann die elastische Aktuator-/Sensor-Struktur stabwerksartig aufgebaut sein. Ähnlich der membranartigen Aktuatoren und Sensoren (siehe zuvor) besteht die jeweilige stabwerksartige Struktur dann aus mindestens 3 Bereichen: einem mittleren Bereich aus dem aktivierbaren Funktionswerkstoff, z. B. einem Piezoelektrikum, einem inneren massiven oder rohrförmigen Bereich, der dem jeweiligen Gitter nachempfunden ist, aus einem leitenden Werkstoff und einer äußeren Schicht der Dicke t_Sa ebenfalls aus einem leitenden Werkstoff.
Die inneren und die äußeren Bereiche dienen als Leitungsanordnungen und Elektroden E_i und E_a bzw. als wärmeerzeugendes Material (bei thermischer Aktivierung). Dazwischen befindet sich der aktivierbare Funktionswerkstoff, z. B. das piezoelektrische Dielektrikum, das einem elektrischen Feld ausgesetzt ist. Sobald an den beiden Elektroden eine Spannungsdifferenz anliegt, dehnt sich das Material aus bzw. zieht sich zusammen. Eine Aktuatorbewegung erfolgt parallel zum Kraftfluss und zugleich tangential zu den Membranoberflächen. Beispiele dieser Anordnungen sind in 32 , 33 und in 34 zu sehen. Erfindungsgemäß werden Geometrien bzgl. der D-, G- und P-Fläche vorgeschlagen, Das piezoelektrische Material wird im d₃₁-Modus betrieben, so dass die durch den Piezoeffekt bedingte Verformung senkrecht zum elektrischen Feld erfolgt. Grundsätzlich ist auch der Betrieb im d₃₃-Modus möglich. Damit wäre auch eine Eigenfrequenzverstellung des Aktuators und damit des gesamten Systems möglich („active eigenfrequency tuning“). Die Fertigung geschieht entweder in einem 3D-Druckverfahren oder durch Besprühen bzw. Eintauchen in leitendes Material. Im Fall des Besprühens oder Eintauchens ist eine Nachbearbeitung notwendig. Die galvanische Verbindung an den Kanten muss wieder entfernt werden, z. B. durch einfaches Abschleifen.
Eine Reihe weiterer Anordnungen bzw. Varianten des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils kann je nach dessen geplanter Verwendung sinnvoll sein:

Anstelle eines dreischichtigen Aktuator-/Sensor-systems kann das System auch vielschichtig ausgeführt sein. Dadurch lässt sich die elektrische Kapazität reduzieren.

Bei dem Funktionswerkstoff kann es sich um Piezoelektrika handeln, wie z. B. PZT, BaTiO3, ZnO und PVDF.
Die Leitungsanordnungen können modenspezifisch ausgeführt sein, so dass nur bestimmte Freiheitsgrade bzw. Auslenkungsformen möglich sind. Auf diese Weise kann die Aktuator- bzw. Sensorcharakteristik eine Richtungsabhängigkeit erlangen. Es können einzelne oder mehrere translatorische und rotatorische Freiheitsgrade selektiv angesprochen werden.
Elektrisch leitfähige Leitungsanordnungen können aus Aluminium oder aus Kupfer aus Gold oder aus einem elastischen, elektrisch leitenden Polymer bestehen. Je elastischer das Material ist, desto länger darf die Haltbarkeit angesetzt werden.
Die erfindungsgemäßen Aktuatoren und Sensoren können sehr kleine Abmessungen haben (bis in den Nanobereich) als auch sehr große Abmessungen bis in den cm und dm-Bereich.
Die äußere Einhüllende des erfindungsgemäßen elastischen Bauteils kann je nach Anforderungsprofil variieren. Sie kann katenoidal sein, siehe 35. Auch kann die Einhüllende ein Zylinder, ein Tetraeder oder eine Kugel oder ein Spat sein (siehe 36, 37 und 38).
Auch können die Phasen und/oder Frequenzen (Gitterkonstanten) in den Raumrichtungen x, y und z unterschiedlich ausgeführt sein, siehe 39.
Das erfindungsgemäße elastische Bauteil kann mit den Zielsetzungen einer aktiven Schwingungsunterdrückung, einer passiven und aktiven Formveränderung und einer passiven und aktiven Positionsregelung in verschiedenen Anwendungsgebieten eingesetzt werden: Automobilbau, Präzisionsoptik, Lasermesstechnik, Robotik, Fertigungsautomatisierung und Handhabungstechnik, Luft- und Raumfahrt, Medizintechnik, Gebäude- und Anlagenbau, Heizungs- und Lüftungsanlagen, und Sensorik im Hochleistungsleichtbau.
Bezugszeichenliste

1: elastisches Bauteil
2: Hauptstruktur
3: Volumen
4: erste Oberfläche
5: zweite Oberfläche
6: Funktionswerkstoff
7: äußere Leitungsanordnung
8: innere Leitungsanordnung

Claims

Elastisches Bauteil (1) mit einer Hauptstruktur (2), die ein Volumen (3) zwischen einer ersten Oberfläche (4) und einer zweiten Oberfläche (5) ausfüllt, - wobei sich die erste Oberfläche (4) längs einer Fläche erstreckt, deren kartesische Koordinaten x, y und z eine der folgenden Gleichungen FP, FG und FD erfüllen, in denen Lx, Ly, und Lz Gitterkonstanten in x-, y- und z-Richtung und py und pz Phasenversätze sind: $- c o s (\frac{2 π}{L x} x) + c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) = 0$
$- s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) = 0$
(FG) $\begin{array}{l} - s i n (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) + s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + \\ c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) = 0 \end{array}$

dadurch gekennzeichnet, - dass die Hauptstruktur (2) einen Funktionswerkstoff (6) aufweist, der durch ein physikalisches Ansteuersignal auf eine Formänderung ansteuerbar ist und/oder auf eine Formänderung mit einem physikalischen Antwortsignal antwortet, und - dass auf der ersten Oberfläche (4) und der zweiten Oberfläche (5) Leitungsanordnungen (7, 8) angeordnet sind, um das Ansteuersignal zuzuleiten und/oder das Antwortsignal abzuleiten, - wobei sich die zweite Oberfläche (5) ebenfalls längs der jeweiligen Fläche erstreckt oder die zweite Oberfläche (5) eine aus Stäben und Knoten zusammengesetzte innere Leitungsanordnung (8) umschließt, - wobei der Funktionswerkstoff (6) ein piezoelektrisches Material aufweist, - wobei die Leitungsanordnungen (7, 8) ein elektrisch leitfähiges Polymer und/oder einen elektrisch leitfähigen Verbundwerkstoff mit einer elastischen Kunststoffmatrix aufweisen und - wobei das elastisches Bauteil (1) 3D-gedruckt ist.
Elastisches Bauteil (1) nach Anspruch 1, wobei sich die zweite Oberfläche (5) ebenfalls längs der jeweiligen Fläche erstreckt, dadurch gekennzeichnet, dass alle Koordinaten des von der Hauptstruktur (2) ausgefüllten Volumens (3) eine der folgenden Ungleichungen VP, VG oder VD erfüllen, wobei t_P ein Maß für eine Schichtdicke der Hauptstruktur (2) ist: $- \frac{t_{P}}{2} \geq c o s (\frac{2 π}{L x} x) + c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq - \frac{t_{P}}{2}$
$- \frac{t_{P}}{2} \geq s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq - \frac{t_{P}}{2}$
$\begin{array}{l} - \frac{t_{P}}{2} \geq s i n (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) + s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + \\ c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq - \frac{t_{P}}{2} \end{array}$
Elastisches Bauteil (1) nach Anspruch 1, wobei die zweite Oberfläche (5) eine aus Stäben und Knoten zusammengesetzte innere Leitungsanordnung (8) umschließt, dadurch gekennzeichnet, dass alle Koordinaten eines von der Hauptstruktur (2), der inneren Leitungsanordnung (8) und einer auf der ersten Oberfläche (4) angeordneten äußeren Leitungsanordnung (7) ausgefüllten Gesamtvolumens eine der folgenden Ungleichungen GP, GG oder GD erfüllen: $- c o s (\frac{2 π}{L x} x) - c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq 0$
$- s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq 0$
$\begin{array}{l} - s i n (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) + s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + \\ c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \geq \\ 0 \end{array}$
Elastisches Bauteil (1) nach Anspruch 1, wobei die zweite Oberfläche (5) eine aus Stäben und Knoten zusammengesetzte innere Leitungsanordnung (8) umschließt, dadurch gekennzeichnet, dass alle Koordinaten eines von der Hauptstruktur (2), der inneren Leitungsanordnung (8) und einer auf der ersten Oberfläche (4) angeordneten äußeren Leitungsanordnung (7) ausgefüllten Gesamtvolumens eine der folgenden Ungleichungen IP, IG oder ID erfüllen: $- 0 \geq c o s (\frac{2 π}{L x} x) + c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z)$
$- 0 \geq s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) + s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z)$
$\begin{array}{l} - 0 \geq s i n (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) + s i n (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + \\ c o s (\frac{2 π}{L x} x) s i n (\frac{2 π}{L y} y - p y) c o s (\frac{2 π}{L z} z - p z) + c o s (\frac{2 π}{L x} x) c o s (\frac{2 π}{L y} y - p y) s i n (\frac{2 π}{L z} z - p z) \end{array}$
Elastisches Bauteil (1) nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das piezoelektrische Material durch ein zwischen den Leitungsanordnungen (7, 8) auf der ersten Oberfläche und der zweiten Oberfläche ausgebildetes elektrisches Feld auf einen d₃₁- oder einen d₃₃-Effekt angesteuert wird.
Elastisches Bauteil (1) nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Leitungsanordnungen (7, 8) so über die erste und die zweite Oberfläche (4, 5) verteilt angeordnet sind, dass eine Bauteilformänderung des elastischen Bauteils (1) modenspezifisch ansteuerbar ist und/oder das Antwortsignal auf die Bauteilformänderung modenspezifisch abfragbar ist.
Elastisches Bauteil (1) nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Phasenversätze py und pz kleiner als 0,8, kleiner als 0,4, kleiner als 0,2, kleiner als 0,1 oder null sind.
Elastisches Bauteil (1) nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Gitterkonstanten Lx, Ly und Lz gleich sind.
Elastisches Bauteil (1) nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass äußere Abmessungen des elastischen Bauteils (1) in x-, y- und z-Richtung ein Vielfaches der Gitterkonstanten Lx, Ly und Lz betragen.
Elastisches Bauteil (1) nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass eine Einhüllende des elastischen Bauteils (1) zylinder-, tetraeder-, kugel- oder spatförmig ist.