DE10064688A1

DE10064688A1 - Verfahren zum bedarfsorientierten Erzeugen einzelner Zufallszahlen einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens

Info

Publication number: DE10064688A1
Application number: DE10064688A
Authority: DE
Inventors: Claus Hillermeier; Stefan Schaeffler; Georg Denk
Original assignee: Infineon Technologies AG
Current assignee: Infineon Technologies AG
Priority date: 2000-12-22
Filing date: 2000-12-22
Publication date: 2002-07-18
Also published as: JP3754024B2; US20040054702A1; US7308467B2; JP2004524607A; WO2002052402A8; EP1344125A2; KR20040020872A; KR100549899B1; WO2002052402A2

Abstract

Ein Verfahren zum adaptiven Erzeugen einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens beruht auf der Verwendung (0,1)-normalverteilter Zufallszahlen. Mit der Erfindung ist eine bedarfsorientierte Erzeugung von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens möglich, wobei zusätzliche Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens auch während einer Simulationsrechnung möglich sind.

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Erzeugen von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens.

Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens können beispielsweise bei einer transienten Schaltkreissimulation eingesetzt werden, die Rauscheinflüsse berücksichtigt. Unter einem 1/f-Rauschen wird ein stochastischer Prozess mit einem bestimmten Fre quenzspektrum verstanden, das mit der Gleichung

beschrieben werden kann.

1/f-Rauschquellen eignen sich zur Modellierung von Rauschein flüssen in einer Vielzahl technischer und physikalischer Sy steme sowie für Systeme zur Einschätzung und Vorhersage von Geschehnissen auf den Finanzmärkten. Insbesondere weisen vie le elektronische Bauelemente wie beispielsweise pn-Dioden und MOS-Feldeffekttransistoren 1/f-Rauschquellen auf.

Es ist möglich, 1/f-Rauschquellen dadurch zu approximieren, daß eine Summation der Effekte vieler Rauschquellen durchge führt wird, die als Frequenzspektrum jeweils ein Lorentz- Spektrum aufweisen. Solche Rauschquellen können beispielswei se durch die Systemantwort eines linearen zeitinvarianten Sy stems, das auch als LTI-System bezeichnet werden kann, model liert werden, an dessen Systemeingang ein weisses Rauschen angelegt wird. Bei dieser Vorgehensweise ist von Nachteil, daß die Dimension des numerisch zu lösenden Differentialglei chungssystems über die Maßen aufgebläht wird. Dadurch ergeben sich lange Rechenzeiten und ein hoher Speicherbedarf eines Computersystems, das zur Simulation eines Systems verwendet wird, das dem Einfluß eines 1/f-Rauschens unterliegt.

Es ist Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren zum Erzeugen ei ner Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens anzugeben, das schnell und mit geringem Rechenaufwand durchgeführt wer den kann. Es ist weiterhin Aufgabe der Erfindung, ein verbes sertes Verfahren zur Simulation eines technischen Systems an zugeben, das einem 1/f-Rauschen unterliegt. Schließlich soll auch ein Computersystem mit einem Computerprogramm zur Be stimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens an gegeben werden, das schnell ausgeführt werden kann und das nur wenig Ressourcen eines Computersystems beansprucht.

Diese Aufgabe wird durch die Gegenstände der unabhängigen Pa tentansprüche gelöst. Verbesserungen ergeben sich aus den je weiligen Unteransprüchen.

Gemäß der Erfindung wird das Problem der Rauschsimulation bei der Modellierung des zu simulierenden Systems in das Problem der Generierung einer Zufallszahlen-Sequenz überführt. Gemäß der Erfindung werden die Korrelationen dieser Zufallszahlen bestimmt, was zu einer einfachen und genauen Generierung der entsprechenden Zufallszahlen-Sequenzen verwendet wird.

Das erfindungsgemäße Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens, sieht dabei zu nächst die folgenden Schritte vor:

- Bestimmen eines gewünschten Spektralwerts β,
- Bestimmen einer Intensitätskonstante const.

Dadurch werden die Charakteristika des zu simulierenden 1/f- Rauschens festgelegt.

Danach wird die Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens und ein Startwert für eine zur Simulation be nutzten Laufvariable n festgelegt.

Die Erfindung sieht solange, bis die gewünschte Anzahl von Elementen y(n) eines oder mehrerer Vektoren y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet ist, das schleifenar tige Wiederholen der folgenden Schritte vor:

- Erhöhen des aktuellen Werts der Laufvariable n um 1,
- Festlegen eines Simulationszeitschritts [t_n-1; t_n],
- Bestimmen der Elemente _ij einer Covarianzmatrix der Di mension (n × n) nach der folgenden Vorschrift:
- Bestimmen einer Matrix ^-1 durch Invertieren der Covarianzmatrix ,
- Bestimmen einer Größe σ gemäß der Vorschrift
σ = sqrt (1/e(n,n)),
wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n,n) das durch (n,n) indizierte Element der invertierten Cova rianzmatrix ^-1 bezeichnet,
- Bestimmen einer (0,1)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Länge n bildet,
- Bilden einer Größe µ aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 und den (n - 1) Elementen des Vektors y, die für einen voraus gehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y_(n-1) die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei -1|•,n die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeich net und wobei -1|n,n das mit (n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeichnet,
- Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y der Längen aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vor schrift:
Y(n) = x(n).σ + µ

Mit dem erfindungsgemäßen Verfahren können Simulationen von technischen Systemen beliebig verlängert werden. Hierzu kön nen auf einfache Weise zusätzliche 1/f-verteilte Zufallszah len generiert werden, wenn bereits generierte 1/f-verteilte Zufallszahlen vorliegen. Außerdem kann eine Simulation auf den Ergebnissen von zuvor simulierten Zeitintervallen aufge setzt werden. Diese sogenannte Restart-Fähigkeit stellt eine für die Simulationspraxis sehr wichtige Eigenschaft dar. Ge rade für 1/f-Rauschquellen ist dies nur schwierig zu errei chen, weil Zufallszahlen, die eine 1/f-Rauschquelle für ein gewisses Zeitintervall simulieren, von bereits numerisch be stimmten Zufallszahlen für frühere Zeitintervalle abhängen. Die vorliegende Erfindung gestattet auch die Verwendung einer adaptiven Schrittweitensteuerung, ohne daß hierdurch die Re chenzeiten zur Simulation eines technischen Systems signifi kant erhöht werden. Eine solche adaptive Schrittweitensteue rung steigert die Präzision und die Rechenzeiteffizienz bei der numerischen Bestimmung der Dynamik eines simulierten technischen Systems erheblich.

Es ist beim erfindungsgemäßen Verfahren nicht mehr notwendig, das zu simulierende Zeitintervall vorzugeben. Gerade durch das Vorsehen von variablen Schrittweiten kann auch eine Adap tion an aktuelle Systemdynamiken erfolgen, was die Genauig keit der Simulationen erhöht.

Die vorliegende Erfindung gibt ein Verfahren an, um Sequenzen von 1/f-verteilten Zufallszahlen sukzessive, also Element für Element, zu generieren. Dabei stellt das Verfahren sicher, daß jede neu generierte Zufallszahl auf korrekte Weise im stochastischen Sinne von den zuvor generierten 1/f-verteilten Zufallszahlen abhängt. Dadurch ist es möglich, im Verlauf der numerischen Simulation eines Schaltkreises die jeweils benö tigten Zufallszahlen zu erzeugen.

Die Erfindung verwendet die Theorie bedingter Wahrscheinlich keitsdichten, um eine 1/f-verteilte Zufallszahl zu erzeugen, die korrekt den stochastischen Zusammenhang dieser Zufalls zahl mit dem bereits erzeugten und für vorangegangene Simula tionsschritte benötigten Zufallszahlen sicherstellt.

In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung des erfin dungsgemäßen Verfahrens werden q Folgen von Zufallszahlen ei nes 1/f-Rauschens gleichzeitig berechnet werden, wobei an stelle der schleifenartig zu wiederholenden Schritte:

- Bestimmen einer (0,1)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Längen bildet,
- Bilden einer Größe µ aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 und den (n - 1) Elementen des Vektors y, die für einen voraus gehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y_(n-1) die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei -1|•,n die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeich net und wobei -1|n,n das mit (n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeichnet,
- Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y der Längen aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vor schrift:
Y(n) = x(n).σ + µ

die folgenden Schritte vorgesehen sind:

- Bestimmen von q Stück (0,1)-normalverteilte Zufallszahlen x_k,n, die die jeweils letzte Komponente der Vektoren x _k der Länge n bilden, wobei k = 1, . . ., q. Hierbei ist zu be achten, dass die jeweils ersten (n - 1) Komponenten der Vektoren x _k bereits im Schritt zuvor berechnet wurden.
- Bilden von q Größen µ_k gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei Y_(n-1),k die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors yk bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simulations- Zeitschritt berechnet wurden. -1|•,n bezeichnet die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Co varianzmatrix ^-1 und -1|n,n bezeichnet das mit (n,n) indi zierte Element der invertierten Covarianzmatrix ^-1. Dies wird für k = 1, . . ., q durchgeführt,
- Berechnen von q Elementen y_k,n, die die jeweils n-te Kom ponente des Vektors y _k der Längen aus 1/f-verteilten Zu fallszahlen bilden, und zwar nach folgender Vorschrift:
y_k,n = x_k,n.σ + µ_k
wobei k = 1, . . ., q.

Die q Vektoren y _k (k = 1, . . ., q) der Länge n aus 1/f- verteilten Zufallszahlen werden besonders vorteilhaft in ei ner Matrix NOISE angeordnet, die in einer Simulation die 1/f- Rauscheinflüsse eines zu simulierenden Systems angeben.

Dem Konzept zur Simulation von 1/f-Rauschen liegt gemäß der Erfindung der folgende Gedankengang zugrunde. Die Dynamik ei nes Systems, das stochastischen Einflüssen ausgesetzt ist, wird adäquat durch einen stochastischen Prozeß modelliert. Zur Simulation einer solchen Systemdynamik werden im allge meinen einzelne Zufalls-Realisierungen (sogenannte Pfade) des zugrundeliegenden stochastischen Prozesses numerisch berech net. Zur Simulation von Systemen mit 1/f-Rauschquellen gilt es, Pfade von stochastischen Integralen der Form

numerisch zu berechnen. Hierbei bezeichnen s (Integrationsvariable) und t (obere Integrationsgrenze) die Zeit,

eine 1/f-Rauschquelle und Y(s) einen stochasti schen Prozess, der die zeitliche Dynamik einer Größe, z. B. der elektrischen Spannung in der Schaltkreissimulation, be schreibt.

Wenn man mit B_FBM(s) denjenigen stochastischen Prozess be zeichnet, dessen Ableitung (mathematisch: Ableitung im Distributionssinn) den 1/f-Rauschprozess

ergibt, so lässt sich das zu berechnende stochastische Integral schreiben als

Das Integral der rechten Seite ist als Riemann-Stieltjes- Integral des stochastischen Prozesses Y(s) mit dem Prozess B_FBM(s) als Integrator aufzufassen. Dieses Integral lässt sich durch eine Summe approximieren, indem das Integrationsinter vall [0, t] gemäß 0 ∼ t₀ < t₁ < . . . < t ∼ t in n disjunkte Teil intervalle [t₁, t_i-1], i = 1, . . . n, zerlegt wird:

Diese Summe ist eine Zufallsvariable. Die Abhängigkeit vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments wurde konsistent weggelas sen.

Ein Prozess B_FBM(s), dessen verallgemeinerte Ableitung ein 1/f-Spektrum aufweist, ist in der Literatur unter dem Namen 'Fractional Brownian Motion' bekannt. B_FBM(s) ist ein Gauß scher stochastischer Prozess und als solcher vollständig cha rakterisiert durch seinen Erwartungswert

E(B_FBM(s)) = 0 ∍ s ∈ R (1.3)

und durch seine Covarianzfunktion

Coν(B_FBM(s), B_FBM(t)) = const.(|s|^β ⁺¹ + |t|^β ⁺¹ - |t - s|^β ⁺¹) (1.4)

Das erfindungsgemäße Verfahren zur bedarfsorientierten Gene rierung geeigneter Zufallszahlen führt die Simulation von 1/f-Rauscheinflüssen im wesentlichen auf die Erzeugung von Realisierungen der Zufallsvariablen [B_FBM(t_i) - B_FBM(t_i-1)], al so von Zuwächsen der Fractional Brownian Motion, zurück.

Die vorliegende Erfindung erlaubt es, die benötigten Reali sierungen der Zufallsvariablen ΔB_FBM(i) online, d. h. im Ver lauf der sukzessiven Integration der Systemgleichungen, zu erzeugen. Daraus resultieren zwei Anforderungen an das Ver fahren:

a) Die Längen der Sequenz von Zufallszahlen {ΔB_FBM (1), . . ., ΔB_FBM(n)} muß während eines Simulationslaufs variabel bleiben. Insbesondere muß es jederzeit möglich sein, die Simulation zu verlängern (Restart-Fähigkeit). Dies impliziert die Fähigkeit des Verfahrens, die hierfür benötigten zusätzlichen Zufallszahlen so zu generieren, daß sie auf korrekte Weise mit der bereits generierten Teilsequenz korrelieren.
b) Bei t_i die im Laufe einer Simulation aktuell erreichte Zeit. Dann muß das Zeitintervall [t_i, t_i+1], also die Schrittweite des nächsten Integrationsschritts aus der momentanen Systemdynamik heraus - also adaptiv - bestimm bar sein.

Die Erfindung wird beiden Anforderungen gerecht, indem sie eine Vorschrift angibt, wie eine Realisierung von {ΔB_FBM (1), . . ., ΔB_FBM (n)}, also eine Sequenz von Zufallszahlen, sukzessive, d. h. Element für Element generiert werden kann.

Hierbei ist die Schrittweite Δt_i: = t_i - t_i-1 für jede neue Zu fallszahl frei wählbar.

Zunächst wird der Ansatz für sogenannte "bedingte Dichten" untersucht.

Es wird zunächst die Verteilung des Zufallsvariablen-Vektors (ΔB_FBM (1), . . ., ΔB_FBM(n)) betrachtet.

Da die einzelnen Zufallsvariablen ΔB_FBM(i) Zuwächse eines Gaußschen stochastischen Prozesses darstellen, ist der Zu fallsvariablen-Vektor (ΔB_FBM (1), . . ., ΔB_FBM(n)) eine n- dimensionale Gauß-verteilte Zufallsvariable und somit durch seinen (n-dimensionalen) Erwartungswert E und seine Covari anzmatrix vollständig bestimmt. Die beiden Größen lassen sich aus den Formeln (1.3) und (1.4) berechnen zu

Das erfindungsgemäße Online-Verfahren soll nun in Form einer vollständigen Induktion angegeben werden.

Induktionsanfang - und somit Startpunkt des Verfahrens - ist die Realisierung einer reellwertigen Gaußverteilung mit Er wartungswert 0 und Varianz Σ₁₁ = 2.const.|Δt₁|^β+1.

Im Sinne eines Induktionsschlusses müssen wir angeben, wie wir eine Realisierung von (ΔB_FBM (1), . . ., ΔB_FBM(n - 1)) erweitern um eine Realisierung von ΔB_FBM(n), so daß sich insgesamt ei ne Realisierung von (ΔB_FBM (1), . . ., ΔB_FBM(n)) ergibt. Zur Verein fachung der Schreibweise sei die bereits "gewürfelte" Teilse quenz von Zufallszahlen mit (y₁, . . ., y_n-1) = : y_(n-1) ^T und die noch zu würfelnde Realisierung von Δ B_FBM (n) mit y_n bezeichnet.

Das Problem kann nun folgendermaßen formuliert werden:
Gegeben sei eine n-dimensionale mittelwertfreie Gaußsche Zu fallsvariable Z mit der Covarianzmatrix . Die ersten n - 1 Elemente einer Realisierung von Z seien in Form eines Zu fallszahlen-Vektors y _(n-1) bereits gewürfelt und bekannt. Gesucht ist nun die Verteilung, aus der das n-te Element y_n gezogen werden muß, um y _(n-1) zu einer Realisierung y = (y _(n-1),y _n) von Z zu vervollständigen.

Eine Lösung dieser Aufgabe kann gefunden werden, wenn man die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte f(y_n|y_(n-1)) für y_n - unter der Bedingung, daß y_(n-1) bereits festliegt - betrachtet. Diese Größe läßt sich im vorliegenden Fall einer Gaußschen Normal verteilung berechnen zu

Hierbei ergibt sich die Größe -1|n,n aus folgender Schreibweise der invertierten Covarianzmatrix ^-1.

wobei -1|(n-1) ∈ R^(n-1)X(n-1), wobei -1|•,n ∈ R^(n-1) und wobei -1|n,n ∈ R. Die Größe µ steht für

Die bedingte Dichte f(y_n|y_(n-1)) ist also die Wahrscheinlich keitsdichte einer Gaußschen Normalverteilung mit Mittelwert µ und Varianz

Damit obige Varianz existiert, muß gelten -1|n,n ≠ 0. Dies ist aufgrund folgender Argumentation sichergestellt:
und ^-1 haben die selben Eigenrichtungen und inverse Ei genwerte. Ein Eigenwert 0 der Matrix ^-1 hätte also eine un endliche Varianz des Zufallsvariablen-Vektors (ΔB_FBM (1), . . ., ΔB_FBM (n)) zur Folge. Es kann daher vorausgesetzt werden, daß alle Eigenwerte von ^-1 ungleich Null sind. Da die Eigenwerte von ^-1 in jedem Fall nicht negativ sind, gilt somit: Die Matrix ^-1 ist symmetrisch und positiv definit. Durch Umbenennung der Koordinatenachsen kann diese Matrix von der Form (3.8) auf folgende Form gebracht werden:

Diese Matrix ist per constructionem ebenfalls symmetrisch und positiv definit. Gemäß des Sylvester-Kriteriums für symmetrische und positiv definite Matrizen folgt daraus, daß , und die Behauptung ist gezeigt.

Durch das erfindungsgemäße Verfahren wird die Simulation von 1/f-Rauschquellen zurückgeführt auf die Generierung von Gauß verteilten Zufallszahlen.

Um eine Zufallszahl y_n zu erzeugen, die mit einer bereits erzeugten Sequenz y_(n-1) auf die geforderte Weise korreliert, wird die invertierte Covarianzmatrix ^-1 (eine n × n-Matrix) benötigt. Streng genommen ist nur die Kenntnis der n-ten Zeile dieser Matrix von nöten, also die Kenntnis von . Wie an Formel (3.6) abzulesen ist, hängt die Covarianzmatrix von der Zerlegung des Simulationsinter valls [0, t_n] in disjunkte Teilintervalle (Schrittweiten) [t_i-1, t_i] ab. Insbesondere hängt die letzte Spalte von (wegen der Symmetrie von identisch mit der letzten Zeile) ab von t_n und damit von der aktuellen Schrittweite Δt_n = t_n - t_n-1.

Die linke obere (n - 1) × (n - 1)-Teilmatrix der n × n- Covarianzmatrix ist genau die Covarianzmatrix für eine Zu fallszahlen-Sequenz der Länge n - 1. Diese Covarianzmatrix mußte bereits für die Berechnung von y_(n-1) (bzw. für die Be rechnung des letzten Elements (y_n-1) bestimmt und invertiert werden. Zur Beschleunigung des Verfahrens kann somit auf in krementelle Verfahren zur Matrixinversion, z. B. mittels des Schur-Komplements, zurückgegriffen werden.

Die Erfindung ist auch in einem Verfahren zur Simulation ei nes technisches Systems verwirklicht, das einem 1/f-Rauschen unterliegt. Dabei werden bei der Modellierung und/oder bei der Festlegung der an Eingangskanälen des Systems anliegenden Größen Zufallszahlen verwendet werden, die mit einem erfin dungsgemäßen Verfahren bestimmt worden sind.

Ebenso ist ein Computersystem und/oder ein Computerprogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f- Rauschens oder zur Ausführung der anderen erfindungsgemäßen Verfahren vorgesehen. Die Erfindung ist auch in einem Daten träger mit einem solchen Computerprogramm verwirklicht. Wei terhin ist die Erfindung in einem Verfahren verwirklicht, bei dem ein erfindungsgemäßes Computerprogramm aus einem elektro nischen Datennetz wie beispielsweise aus dem Internet auf ei nen an das Datennetz angeschlossenen Computer heruntergeladen wird.

Die Erfindung ist in der Zeichnung anhand eines Ausführungs beispiels erläutert.

Die Erfindung ist in der Zeichnung anhand mehrerer Ausfüh rungsbeispiele erläutert.

Fig. 1 zeigt eine schematische Darstellung eines zu simu lierenden technischen Systems,

Fig. 2 zeigt ein Struktogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens,

Fig. 3 zeigt anhand seiner Unterfiguren 3a bis 3f ein Be rechnungsbeispiel für einen ersten Simulations- Zeitschritt,

Fig. 4 zeigt anhand seiner Unterfiguren 4a bis 4f ein Be rechnungsbeispiel für einen zweiten Simulations- Zeitschritt,

Fig. 5 zeigt anhand seiner Unterfiguren 5a bis 5f ein Be rechnungsbeispiel für einen dritten Simulations- Zeitschritt.

Fig. 1 zeigt eine schematische Darstellung eines rauschbe hafteten Systems, das simuliert werden soll.

Das System wird durch ein als Kasten angedeutetes Systemmo dell 1 beschrieben, das das Systemverhalten beschreibt. Das Systemverhalten ergibt sich aus den Eingangskanälen 2, die auch als Vektor INPUT bezeichnet werden, und aus den Aus gangskanälen 3, die auch als OUTPUT bezeichnet werden. Weiterhin ist ein systembedingtes Rauschen vorgesehen, das an Rauscheingangskanälen 4 anliegt und das auch als Vektor bzw. Matrix NOISE bezeichnet wird. Eine Matrix NOISE liegt dann wor, wenn das Rauschen mit mehreren Kanälen berücksichtigt wird, wobei jede Spalte der Matrix NOISE einen Vektor von Rauschwerten enthält, die an einem Rauscheingangskanal anlie gen.

Das Rauschen an den Rauscheingangskanälen 4 wird vorzugsweise als rauschbedingte Veränderung des Systemmodells 1 aufgefaßt.

Das Verhalten der Eingangskanäle 2 und der Ausgangskanäle 3 kann durch ein System von Differentialgleichungen oder durch ein System von Algebro-Differentialgleichungen beschrieben werden, so daß zuverlässige Vorhersagen des Systemverhaltens möglich sind.

Zu jedem Zeitschritt der Simulation des in Fig. 1 gezeigten Systems wird für einen an den Eingangskanälen 2 anliegenden Vektor INPUT und für einen an den Rauscheingangskanälen 4 an liegenden Vektor NOISE ein Vektor OUTPUT der Ausgangskanäle 3 berechnet.

Sinnvollerweise werden zur Simulation über einen längeren Zeitraum die Vektoren INPUT, OUTPUT, NOISE als Matrix angege ben, wobei je eine Spalte k der betreffenden Matrix die Werte der entsprechenden Zeitreihe des betreffenden INPUT, OUTPUT, NOISE enthält.

Fig. 2 veranschaulicht, wie man zu je einem Vektor yk ge langt, der eine Spalte k der Matrix NOISE für die Rauschein gangskanäle 4 des Systemmodells 1 bildet. Jeder Vektor yk dient zur Simulation einer Rauschquelle.

In einem ersten Schritt wird ein gewünschter Spektralwert β sowie die Intensitätskonstante const festgelegt. Weiterhin wird der Zähler n des aktuellen Simulations-Zeitintervalls auf 0 gesetzt.

Nun wird sukzessive für jeden Simulations-Zeitschritt die folgende Abfolge von Rechenschritten durchgeführt.

Zunächst wird der aktuelle Simulations-Zeitschritt festge legt. Äquivalent hierzu kann auch das Ende des aktuellen Si mulationszeitschritts festgelegt werden, wodurch sich der nächste Betrachtungszeitpunkt ergibt.

Danach wird der Zähler n des aktuellen Simulationszeit schritts um eins hochgezählt.

Anschließend wird die Covarianzmatrix der Dimension (n × n) nach Gleichung (3.6) bestimmt.

Hierauf folgt der Schritt des Invertierens der Matrix , bei spielsweise mittels einer Cholesky-Zerlegung. Zur Steigerung der Effizienz kann dabei auch auf die inverse Matrix des vor herigen Schrittes zugegriffen werden, beispielsweise bei Ver wendung von Schurkomplement-Techniken.

Als nächstes wird die Größe σ aus der Formel

σ = sqrt (1/e(n,n))

berechnet, wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n,n) das durch (n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeichnet.

Außerdem wird ein Wert einer (0,1)-normalverteilte Zufallsva riable X_k gezogen und damit der Vektor x _k der normalverteil ten Zufallszahlen ergänzt. Die gezogene Zufallszahl weist den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf. Dieser Schritt wird für jede zu simulierende Rauschquelle durchgeführt.

Des weiteren wird eine Größe µ_k gebildet. Sie wird aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 und aus der Sequenz von (n - 1) 1/f- verteilten Zufallszahlen gebildet, die für die vorausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritte berechnet wurden. Hierzu wird gemäß Formel (3.9) vorgegangen. Dieser Schritt wird für jede zu simulierende Rauschquelle k durchgeführt.

Schließlich wird dasjenige Element der Matrix NOISE berech net, dessen Spaltenindex k die zu simulierende Rauschquelle angibt und dessen Zeilenindex gleich n ist. Hierdurch wird der aktuelle Simulations-Zeitschritt bezeichnet. Das aktuell berechnete Element r(k,n) der Matrix NOISE stellt eine Zu fallszahl dar, die zusammen mit den darüberstehenden (n - 1) Elementen derselben Spalte k von NOISE einen Vektor y _k der Längen aus 1/f-verteilten Zufallszahlen bildet. Dieser Vek tor y _k dient zur Simulation einer der Rauschquellen für die ersten n Simulationszeitschritte.

Jedes Element y_k der n-ten Zeile von NOISE wird dann aufgrund der Gleichungen (3.7)-(3.9) aus der letzten Zufallszahl x_k des Vektors x und den Größen µ_κ und σ bestimmt, und zwar nach folgender Vorschrift:

y_k = x_k.σ + µ_κ.

In den Fig. 3 bis 5 sind Ausführungsbeispiele wiedergege ben, die konkrete Berechnungsergebnisse wiedergeben.

Der Wert des Spektralwerts β wird dabei stets als 0.5 ange nommen. Der Wert der Intensität const wird willkürlich als 1.0 angenommen. Es werden jeweils drei Zufallszahlen gleich zeitig verarbeitet, entsprechend der Simulation von drei gleichzeitig an separaten Kanälen auf das zu simulierende Sy stem einwirkenden Rauschquellen, die jeweils in einem Vektor y _k angeordnet sind, wobei k ein ganzzahliger Wert von 1 bis 3 ist.

Fig. 3 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 3a bis 3f ein Berech nungsbeispiel für einen ersten Simulations-Zeitschritt [t₀, t₁] = [0, 0.5].

Fig. 3a zeigt die Covarianzmatrix der Dimension 1 × 1 zur Erzeugung einer 1/f-verteilten Zufallszahl bei der Simula tions-Schrittweite. stellt hier nur einen Skalar mit dem Wert 0.70 dar, denn (1,1) - also mit i = j = 1 - ergibt sich un ter Anwendung von Gleichung (3.6) zu

Fig. 3b zeigt die Inverse der Covarianzmatrix aus Fig. 3a, was hier mittels einer nicht näher dargestellten Choles ky-Zerlegung erfolgte. Eine Überprüfung von (^-1) = (0.707106 . . . 0.707106 . . .^-1) ergibt den richtigen Wert 1, was die Richtigkeit des Werts für (1,1) veranschaulicht.

Fig. 3c zeigt eine Größe σ für den ersten Simulations schritt n = 1. Sie ergibt sich aus der Gleichung

σ = sqrt(1/0.707106 . . .),

wobei sqrt die Quadratwurzel und e(1,1) das durch (1,1) indi zierte Element 0.707106 . . . der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeichnet.

Fig. 3d zeigt drei Werte x₁, x₂, x₃ einer (0,1)- normalverteilte Zufallsvariable X_k für je eine zu simulieren de Rauschquelle. Diese Werte bilden die ersten Elemente je eines Vektors x _k der normalverteilten Zufallszahlen. Die ge zogenen Zufallszahlen weisen den Erwartungswert 0 und die Va rianz 1 auf.

Fig. 3e zeigt drei Größen µ_k für jede der drei zu simulie renden Rauschquellen. Die Größe µ_k ergibt sich gemäß Formel (3.9) aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 sowie aus der Sequenz von (n - 1) Stück 1/f-verteilten Zufallszahlen, die für die vor ausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritte berechnet wur den. Im ersten Simulationsschritt haben diese beiden Vektoren jeweils die Länge 0. Somit ergibt sich für alle Größen µ_k im ersten Simulationsschritt: µ_k = 0;

Fig. 3f zeigt drei Vektoren y _k der Länge 1 von 1/f- verteilte Zufallszahlen, die das Verhalten von drei 1/f- verteilten Rauschquellen für den ersten Simulations- Zeitschritt [0, t₁] = [0, 0.5] simulieren. Die Matrix NOISE er gibt sich aus den drei Vektoren y _k. Der Wert k ist dabei ein ganzzahliger Wert von 1 bis 3. Jedes Element y_k der ersten Zeile von NOISE wird aufgrund von Gleichungen (3.7)-(3.9) nach folgender Vorschrift aus der letzten Zufallszahl x_k des zugehörigen Vektors x und den Größen µ_κ und σ₁ bestimmt. Beispielhaft wird nachfolgend das erste Element y ₁(n = 1) des ersten Vektors y ₁ berechnet:

y ₁(n = 1) = x ₁(n = 1).σ + µ₁ =
= -0.35. . ..0.84. . . + 0.00. . . =
= -0.30. . .,

y ₂(n = 1) und y ₃(n = 1) werden analog hierzu berechnet.

Fig. 4 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 4a bis 4f ein Berech nungsbeispiel für einen zweiten Simulations-Zeitschritt [t₁, t₂] = [0.5, 0.75]. Der Wert n für den zweiten Simulations- Zeitschritt ist stets gleich 2.

Fig. 4a zeigt die Covarianzmatrix der Dimension (n × n) = 2 × 2, die zur Erzeugung je einer weiteren Zufallszahl pro Rauschquelle benötigt wird. Die so neu erzeugte Zufallszahl bildet zusammen mit dem Resultat gemäß Fig. 3f einen Vektor y _k der Länge 2 aus 1/f-verteilten Zufallszahlen. Je Rauschquelle wird dabei ein Vektor y _k erzeugt. Die Covarianz matrix wird dabei nach Gleichung (3.6) bestimmt.

Beispielhaft wird dies am Element (2,1) - also mit i = 2 und j = 1 - durchgeführt. Unter Anwendung von Gleichung (3.6) er gibt sich (2,1) zu

1.0 (-|t₁ - t₂|^0.5+1 + |t_1-1 - t₂|^0.5+1 + |t₁ - t_2-1|^0.5+1 - |t_1-1 - t_2-1|^0.5+1) =
= (-|0.5 - 0.75|^0.5+1 + |0 - 0.75|^0.5+1 + |0.5 - 0.5|^0.5+1 - |0 - 0.5|^0.5+1) = -0.125 + 0.6495. . . + 0 - 0.3535. . . = 0.1709. . .;

Fig. 4b zeigt die Inverse der Covarianzmatrix aus Fig. 4a. Eine hier nicht dargestellte Überprüfung der Bedin gung (^-1) ergibt eine Matrix der Dimension 2 × 2, bei der die mit (1,1) und (2,2) indizierten Elemente gleich 1 sind. Die anderen Elemente haben den Wert 0.

Fig. 4c zeigt eine Größe σ, die aus der invertierten Cova rianzmatrix ^-1 von Schritt 4b berechnet wird. Die Größe σ ergibt sich als

σ = sqrt(1/e(n,n)) = sqrt(1/e(2,2)) =
= sqrt(1/4.79. . .) = 0.45. . .;

wobei sqrt die Quadratwurzel und e(2,2) das durch (2,2) indi zierte Element der invertierten Covarianzmatrix ^-1 aus Fig. 4b bezeichnen.

Fig. 4d zeigt drei Vektoren x _k von unabhängigen (0,1)- normalverteilte Zufallszahlen, wobei die Vektoren x _k jeweils die Länge 2 haben. Pro zu simulierender Rauschquelle wird eine (0,1)-normalverteilte Zufallsvariable x_k gezogen. Die ge zogene Zufallszahl weist jeweils den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf. Damit werden die Vektoren x _k der normalver teilten Zufallszahlen aus Fig. 3d ergänzt, so daß sich die Vektoren x _k der normalverteilten Zufallszahlen aus Fig. 4d ergeben.

Fig. 4e zeigt drei Größen µ_k, die aus der invertierten Cova rianzmatrix ^-1 gemäß Schritt 4b und aus den drei Zufallszah len gemäß Schritt 3f berechnet worden sind. Für jede zu simu lierende Rauschquelle wird die Größe µ_k aus den (n - 1) er sten. Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianz matrix ^-1 und aus der Sequenz von (n - 1) Stück 1/f-verteilten. Zufallszahlen berechnet, die gemäß Formel (3.9) für die vor ausgegangenen (n - 1) Simulations-Zeitschritte berechnet wur den. Im zweiten Simulations Schritt wird die Größe µ_k also aus der ersten Komponente der zweiten Zeile von ^-1 sowie aus der ersten Komponente des Vektors y_k berechnet. Beispielhaft wird dies anhand des Werts µ₁ durchgeführt:

Fig. 4f zeigt drei Vektoren y _k der Länge 2 mit 1/f-verteilten Zufallszahlen, die das Verhalten von drei 1/f- verteilten Rauschquellen für den zweiten Simulations- Zeitschritt [t₁, t₂] = [0.5, 0.75] simulieren. Die Matrix NOISE ergibt sich aus den drei Vektoren y _k. Der Wert k ist dabei ein ganzzahliger Wert von 1 bis 3. Jedes Element y_k der zweiten Zeile von NOISE wird aufgrund der Gleichungen (3.7)-(3.9) nach folgender Vorschrift aus der letzten Zufallszahl x_k des zugehörigen Vektors x und den Größen µ_k und σ bestimmt. Bei spielhaft wird nachfolgend das zweite Element y ₁(n = 2) des er sten Vektors y ₁ berechnet:

y ₁(n = 2) = x ₁(n = 2).σ + µ₁ =
= 0.39. . ..0.45. . . - 0.07. . . =
= 0.10. . .;

Fig. 5 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 5a bis 5f ein Berech nungsbeispiel für einen dritten Simulations-Zeitschritt [t₂, t₃] = [0.75, 1.25]. Der Wert n während des dritten Simula tions-Zeitschritts ist stets gleich 3.

Fig. 5a zeigt die Covarianzmatrix der Dimension (n × n) = 3 × 3, die zur Erzeugung je einer weiteren Zufallszahl pro Rauschquelle benötigt wird. Die so neu erzeugte Zufallszahl bildet zusammen mit dem Resultat gemäß Fig. 4f einen Vektor y _k der Länge 3 aus 1/f-verteilten Zufallszahlen. Je Rauschquelle wird dabei ein Vektor y _k erzeugt. Die Covarianz matrix wird dabei nach Gleichung (3.6) bestimmt.

Beispielhaft wird dies am Element (3,1) - also mit i = 3 und j = 1 - durchgeführt. Unter Anwendung von Gleichung (3.6) er gibt sich (3,1) zu

1.0.(-|t₁ - t₃|^0.5+1 + |t_1-1 - t₃|^0.5+1 + |t₁ - t_3-1|^0.5+1 - |t_1-1 - t_3-1|^0.5+1 =
= (-|0.5 - 1.25|^0.5+1 + |0 - 1.25|^0.5+1 + |0.5 - 0.75|^0.5+1 - |0 - 0.75|^0.5+1) = -0,6495. . . + 1.3975. . + 0.125 - 0.6495. . . = 0.22. . .;
Fig. 5b zeigt die Inverse ^-1 der Covarianzmatrix aus Fig. 5a. Eine hier nicht dargestellte Überprüfung der Bedin gung (^-1) ergibt eine Matrix der Dimension 3 × 3, bei der die mit (1,1), (2,2) und (3,3) indizierten Elemente gleich 1 sind. Die anderen Elemente haben den Wert 0.

Fig. 5c zeigt eine Größe σ, die aus der invertierten Cova rianzmatrix ^-1 von Schritt 5b berechnet wird. Die Größe σ ergibt sich als

σ = sqrt(1/e(n,n)) = sqrt(1/e (3,3)) =
= sqrt(1/1.75. . .) = 0.75. . .;

wobei sqrt die Quadratwurzel und e(3,3) das durch (3,3) indi zierte Element der invertierten Covarianzmatrix ^-1 aus Fig. 5b bezeichnen.

Fig. 5d zeigt drei Vektoren x _k von unabhängigen (0,1)- normalverteilte Zufallszahlen, wobei die Vektoren x _k jeweils die Länge 3 haben. Pro zu simulierender Rauschquelle wird ei ne (0,1)-normalverteilte Zufallsvariable x_k gezogen. Die ge zogene Zufallszahl weist jeweils den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf. Damit werden die Vektoren x _k der normalver teilten Zufallszahlen aus Fig. 4d ergänzt, so daß sich die Vektoren x _k der normalverteilten Zufallszahlen aus Fig. 5d ergeben.

Fig. 5e zeigt drei Größen µ_k, die aus der invertierten Cova rianzmatrix ^-1 gemäß Schritt 5b und aus den drei Zufallszah len gemäß Schritt 4f berechnet worden sind. Für jede zu simu lierende Rauschquelle wird die Größe µ_k aus den (n - 1) ersten Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 und aus der Sequenz von (n - 1) Stück 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet, die gemäß Formel (3.9) für die voraus gegangenen (n - 1) Simulations-Zeitschritte berechnet wurden. Im zweiten Simulationsschritt wird die Größe µ_k also aus der ersten beiden Komponenten der dritten Zeile von ^-1 sowie aus den ersten beiden Komponenten des Vektors y_k berechnet. Bei spielhaft wird dies anhand des Werts µ₁ durchgeführt:

Fig. 5f zeigt drei Vektoren y _k der Länge 3 mit 1/f-verteilten Zufallszahlen, die das Verhalten von drei 1/f- verteilten Rauschquellen für den dritten Simulations- Zeitschritt [t₂, t₃] = [0.75, 1.25] simulieren. Die Matrix NOISE ergibt sich aus den drei Vektoren y _k. Der Wert k ist dabei ein ganzzahliger Wert von 1 bis 3. Jedes Element y_k(n = 3) der dritten Zeile von NOISE wird aufgrund der Glei chungen (3.7)-(3.9) nach folgender Vorschrift aus der letzten Zufallszahl x_k(n = 3) des zugehörigen Vektors x und den Größen µ_k und σ bestimmt. Beispielhaft wird nachfolgend das dritte Element y ₁(n = 3) des ersten Vektors y ₁ berechnet:

y ₁(n = 3) = x ₁(n = 3).σ + µ₁ =
= -0.90. . ..0.75. . . + 0.00. . . =
= 0.67. . .

Zur konkreten Ausführung der gezeigten Berechnungsbeispiele sind noch folgende Bedingungen zu beachten.

Die in den Fig. 3, 4 und 5 gezeigten Zahlenwerte geben Zwischen- und Endergebnisse der mit Bezug auf Fig. 2 be schriebenen Rechenschritte für ein erstes, für ein zweites und für ein drittes Simulationsintervall wieder. Dabei wurden alle Werte nach genauer numerischer Berechnung nach der zwei ten Kommastelle abgebrochen, um diese besser wiedergeben zu können. Bei einem rechnerischen Nachvollziehen der Ausfüh rungsbeispiele muß daher nicht mit den in den Figuren gezeig ten Zwischenwerten, sondern mit den exakten Zwischenwerten weitergerechnet werden, um ausgehend von den angegebenen x- Vektoren zu den angegebenen y-Vektoren zu gelangen.

In den Fig. 3c, 4c und 5c sind jeweils Vektoren von (0,1)- normalverteilten Zufallsvariablen gezeigt. Dabei stellt je weils eine Zufallsvariable eine Rauschquelle dar. Hier wird der Einfachheit halber nicht dargestellt, wie man zu solchen Zufallszahlen mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1 ge langt. Dies ist dem Fachmann geläufig.

Bezugszeichenliste

1

Systemmodel

2

Eingangskanäle

3

Ausgangskanäle

4

Rauscheingangskanäle

Claims

1. Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von Zu fallszahlen eines 1/f-Rauschens, das die folgenden Schritte aufweist:

- Bestimmen eines gewünschten Spektralwerts β,
- Bestimmen der Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens,
- Bestimmen einer Intensitätskonstante const,
- Festlegen eines Startwerts für eine Laufvariable n,

wobei solange, bis die gewünschte Anzahl von Elementen y(n) eines Vektor y der Längen aus 1/f-verteilten Zu fallszahlen berechnet ist, das schleifenartige Wiederho len der folgenden Schritte vorgesehen ist:

- Erhöhen des aktuellen Werts der Laufvariable n um 1,
- Festlegen eines Simulationszeitschritts [t_n-1; t_n],
- Bestimmen der Elemente _ij einer Covarianzmatrix der Dimension (n × n) nach der folgenden Vorschrift:
- Bestimmen einer Matrix ^-1 durch Invertieren der Covarianzmatrix.,
- Bestimmen einer Größe σ gemäß der Vorschrift
σ = sqrt (1/e(n,n)),
wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n,n) das durch (n,n) indizierte Element der inver tierten Covarianzmatrix ^-1 bezeichnet,
- Bestimmen einer (0,1)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Längen bildet,
- Bilden einer Größe µ aus den ersten (n - 1) Komponen ten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 und den (n - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehenden (n - 1) Simulations- Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der fol genden Vorschrift:
wobei y_(n-1) die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei -1|•,n die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeichnet und wobei -1|n,n das mit (n,n) indizierte Ele ment der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeichnet,
- Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vor schrift:
Y(n) = x(n).σ + µ

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß q Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens gleichzei tig berechnet werden, wobei anstelle der folgenden gemäß Anspruch 1 schleifenartig zu wiederholenden Schritte:

- Bestimmen einer (0,1)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Längen bildet,
- Bilden einer Größe µ aus den ersten (n - 1) Komponen ten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 und den (n - 1) Elementen des Vektors y, die für ei nen vorausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritt be rechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vor schrift:
wobei y_(n-1) die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei -1|•,n die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeichnet und wobei -1|n,n das mit (n,n) indizierte Ele ment der invertierten Covarianzmatrix ^-1 bezeichnet,
- Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vor schrift:
Y(n) = x(n).σ + µ

die folgenden Schritte vorgesehen sind:

- Bestimmen von q Stück (0,1)-normalverteilte Zufalls zahlen x_k,n, die die jeweils letzte Komponente der Vek toren x _k der Längen bilden, wobei k = 1, . . ., q, Bilden von q Größen µ_k gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y_(n-1),k die ersten (n - 1) Komponenten des Vek tors y _k bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simu lations-Zeitschritt berechnet wurden. -1|•,n bezeichnet die ersten (n - 1) Komponenten n-ten Zeile der inver tierten Covarianzmatrix ^-1 und -1|n,n bezeichnet das mit (n,n) indizierte Element der invertierten Covarianzma trix ^-1. Dies wird für k = 1, . . ., q durchgeführt.
- Berechnen von q Elementen y_k,n, die die jeweils n-te Komponente des Vektors y _k der Längen aus 1/f- verteilten Zufallszahlen bilden, und zwar nach folgen der Vorschrift:
y_k,n = x_k,n.σ + µ_k
wobei k = 1, . . ., q.

3. Verfahren zur Simulation eines technischen Systems, das einem 1/f-Rauschen unterliegt, bei dem bei der Modellie rung und/oder bei der Festlegung der an Eingangskanälen des Systems anliegenden Größen Zufallszahlen verwendet werden, die nach einem Verfahren gemäß den vorhergehenden Ansprüchen bestimmt worden sind.

4. Computerprogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufalls zahlen eines 1/f-Rauschens, das so ausgebildet ist, daß ein Verfahren gemäß einem der vorhergehenden Ansprüche ausführbar ist.

5. Datenträger mit einem Computerprogramm nach Anspruch 4.

6. Verfahren, bei dem ein Computerprogramm nach Anspruch 4 aus einem elektronischen Datennetz wie beispielsweise aus dem Internet auf einen an das Datennetz angeschlossenen Computer heruntergeladen wird.

7. Computersystem, auf dem ein Verfahren zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens nach einem der Ansprüche 1 bis 3 ausführbar ist.