KR20040020872A

KR20040020872A - 1/ｆ 노이즈의 적어도 하나의 난수 시퀀스를 발생하는 방법

Info

Publication number: KR20040020872A
Application number: KR10-2003-7008342A
Authority: KR
Inventors: 덴크게오르그; 힐러메이어클라우스; 샤에플러스테판
Original assignee: 인피네온 테크놀로지스 아게
Priority date: 2000-12-22
Filing date: 2001-11-22
Publication date: 2004-03-09
Also published as: WO2002052402A2; US20040054702A1; WO2002052402A8; JP2004524607A; JP3754024B2; EP1344125A2; KR100549899B1; US7308467B2; DE10064688A1

Abstract

본 발명에 따른 1/f 노이즈의 일련의 난수를 적응적으로 발생하는 방법은 (0,1) 정상 분포 난수의 사용에 기초한다. 본 발명은 1/f 노이즈의 난수의 필요 지향적인(need-oriented) 발생을 가능하게 하며, 따라서 1/f 노이즈의 부가적인 난수가 시뮬레이션 계산 동안 가능해진다.

Description

1/ｆ 노이즈의 적어도 하나의 난수 시퀀스를 발생하는 방법{METHOD FOR CONDUCTING THE NEED-ORIENTED GENERATION OF INDIVIDUAL RANDOM NUMBERS OF A SERIES OF RANDOM NUMBERS OF A 1/F NOISE}

1/f 노이즈의 난수는, 예를 들어 노이즈 영향을 고려하는 트랜지언트(transient) 회로 시뮬레이션에 사용될 수 있다. 1/f 노이즈는 방정식로 기술될 수 있는 특정 주파수 스펙트럼을 갖는 확률론적(stochastic) 프로세스로서 이해된다.

1/f 노이즈 소스는 다수의 기술적 및 물리적 시스템에서 노이즈 영향을 모델링하는데 적합하며, 금융 시장에서 사건을 평가하고 예측하기 위한 시스템에 적합하다. 특히, 예를 들어 pn 다이오드 및 MOS 전계 효과 트랜지스터와 같은 많은 전자 소자들은 1/f 노이즈 소스를 나타낸다.

주파수 스펙트럼으로서 로렌츠 스펙트럼을 각각 나타내는 많은 노이즈 소스의 효과를 합하여 1/f 노이즈 소스를 근사시킬 수 있다. 이러한 노이즈 소스는, 예를 들어, LTI 시스템으로도 표시되는 선형 시불변 시스템(linear time-invariant system)의 시스템 응답에 의해 모델링될 수 있는데, 이 시스템 입력에서 화이트 노이즈가 인가된다. 이러한 양식의 절차에서 수치적으로 풀리는 미분 방정식의 시스템의 차원이 과도하게 부풀려지는 것은 바람직하지 않다. 이 결과, 1/f 노이즈의 영향을 받는 시스템을 시뮬레이트하는데 이용되는 컴퓨터 시스템의 계산 시간이 길어지고 많은 저장 장소가 요구된다.

본 발명은 1/f 노이즈(noise)의 난수 시퀀스를 발생하는 방법에 관한 것이다.

도 1은 시뮬레이트될 기술적인 시스템의 개략도.

도 2는 1/f 노이즈의 난수 시퀀스를 결정하는 구성도.

도 3은 제 1 시뮬레이션 타임 스텝 동안에, 도 3a 내지 3f에 의거하여, 계산 예를 나타낸 도면.

도 4는 제 2 시뮬레이션 타임 스텝 동안에, 도 4a 내지 4f에 의거하여, 계산 예를 나타낸 도면.

도 5는 제 3 시뮬레이션 타임 스텝 동안에, 도 5a 내지 5f에 의거하여, 계산 예를 나타낸 도면.

본 발명의 목적은, 낮은 계산 비용으로 신속하게 수행될 수 있는 1/f 노이즈의 난수 시퀀스를 생성하는 방법을 제공하는 것이다. 또한 본 발명의 목적은 1/f 노이즈에 영향을 받는 기술적인 시스템을 시뮬레이트하는 개선된 방법을 제공하는 것이다. 마지막으로, 본 발명의 목적은, 신속하게 실행될 수 있으며 컴퓨터 시스템의 몇몇 자원만에 대한 권리를 주장하는 1/f 노이즈의 난수의 시퀀스를 결정하는 컴퓨터 프로그램을 갖는 컴퓨터 시스템을 제공하는 것이다.

상기 목적은 독립 청구항의 주제에 의해 달성된다. 개선 사항은 각 종속항에 개시되어 있다.

본 발명에 따르면, 시뮬레이트될 시스템의 모델링에서 노이즈 시뮬레이션의 문제는 난수 시퀀스를 발생하는 문제로 바뀐다. 본 발명에 따르면, 이들 난수의상관(correlation)이 결정되고, 이것은 대응하는 난수 시퀀스의 간단하고 정확한 발생을 위해 사용된다.

1/f 노이즈의 적어도 하나의 난수 시퀀스를 발생하는 본 발명에 따른 방법은 이 경우에 먼저 원하는 스펙트럼 값 β를 결정하는 단계와, 강도 상수(intensity constant) const를 결정하는 단계를 제공한다. 이에 따라 시뮬레이트될 1/f 노이즈의 특징은 고정된다.

그 결과, 발생될 1/f 노이즈의 난수의 개수와, 시뮬레이션 동안 사용된 변수 n에 대한 초기 값이 고정된다.

길이 n의 하나 이상의 벡터의 구성요소 y(n)의 원하는 개수가 1/f로 분포된 난수로부터 계산될 때까지, 본 발명은 다음 단계들, 즉,

- 변수 n의 현재의 값을 1만큼 증가시키는 단계와,

- 시뮬레이션 타임 스텝 [t_n-1; t_n]를 고정시키는 단계와,

-

에 따라서 (n×n) 차원의 공분산 행렬의 구성요소를 결정하는 단계와,

- 상기 공분산 행렬를 인버팅(inverting)하여 행렬를 결정하는 단계와,

-

(여기서, sqrt는 "제곱근" 함수를 나타내며, e(n,n)은 (n,n)으로 인덱스된역 공분산 행렬의 구성요소를 나타냄)에 따라서 변수 σ를 결정하는 단계와,

- 길이 n의 벡터의 상기 n 번째 성분을 형성하는 (0,1) 정상 분포 난수(nomally distributed landom number)를 결정하는 단계와,

-

(여기서, y_(n-1)은 벡터,의 첫 번째 (n-1) 성분을 나타내고,은 역 공분산 행렬의 n 번째 행의 첫 번째 (n-1) 성분을 나타내며,은 (n,n)으로 인덱스된 역 공분산 행렬의 구성요소를 나타냄)에 따라서, 상기 역 공분산 행렬의 n 번째 행의 첫 번째 (n-1) 성분 및 이전의 (n-1) 시뮬레이션 타임 스텝 동안에 계산된 벡터의 (n-1) 구성요소로부터 변수 μ를 형성하는 단계와,

-

에 따라서 1/f로 분포된 난수로부터 길이 n의 벡터의 구성요소 y(n)를 계산하는 단계를 제공한다.

기술적 시스템의 시뮬레이션은 본 발명에 따른 방법에 의해 임의로 연장될 수 있다. 이 목적을 위해, 이미 발생된 1/f로 분포된 난수가 넘겨질 때 간단한 방법으로 부가적인 1/f로 분포된 난수를 발생하는 것이 가능하다. 또한, 시뮬레이션은 이전에 시뮬레이트된 시간 구간의 결과에 기초할 수 있다. 이른바 재개(restart)라고 하는 이 특성은 시뮬레이션의 실시에 있어서 아주 중요한 특성을 이룬다. 특정 시간 구간 동안 1/f 노이즈 소스를 시뮬레이트하는 난수는 이미수치적으로 결정된 보다 이전의 시간 구간 동안의 난수에 의존하기 때문에, 1/f 노이즈 소스에 대해서 이것은 정확하게 성취하기가 어렵다. 본 발명은 또한 기술적 시스템의 시뮬레이션에 대한 계산 항목을 크게 증가시키지 않고 적응 스텝 사이즈 제어(adaptive step size control)의 사용을 허용한다. 이러한 적응 스텝 사이즈 제어는 시뮬레이트된 기술적 시스템의 동적 성능의 수치적 결정에 있어서의 정확도 및 계산 시간 효율성을 크게 증가시킨다.

본 발명에 따른 방법의 경우에 시뮬레이트될 시간 구간을 규정하는 것이 더 이상 필요치 않다. 정확하게 가변 스텝 사이즈를 제공함으로써, 현재의 시스템 기동(system dynamics)에 적응하는 것도 가능하며, 이것은 시뮬레이션의 정확도를 증가시킨다.

본 발명은 1/f로 분포된 난수의 시퀀스를, 즉 구성요소 단위로 연속적으로 발생시키는 방법을 제공한다. 이 경우에, 상기 방법은 확률적 의미에서 정확한 방식으로, 각각 새롭게 발생된 난수가 이전에 발생된 1/f로 분포된 난수에 의존하는 것을 보장한다. 따라서, 회로의 수치적인 시뮬레이션 중에 각각 요구된 난수를 발생하는 것이 가능하다.

본 발명은, 이전의 시뮬레이션 단계 동안 요구된 이미 발생된 난수로 이 난수의 확률 관계를 정확하게 보장하는 1/f로 분포된 난수를 발생하기 위해 조건 확률 밀도(conditional probability density)의 이론을 이용한다.

본 발명에 따른 방법의 특히 바람직한 실시예에서는, 1/f 노이즈의 q 개의 난수 시퀀스가 동시에 계산되며,

루프형 방식으로 반복되는 다음의 단계들, 즉,

- 길이 n의 벡터의 상기 n 번째 성분을 형성하는 (0,1) 정상 분포 난수를 결정하는 단계와,

-

(여기서, y_(n-1)은 벡터의 첫 번째 (n-1) 성분을 나타내고,은 역 공분산 행렬의 n 번째 행의 첫 번째 (n-1) 성분을 나타내며,은 (n,n)으로 인덱스된 역 공분산 행렬의 구성요소를 나타냄)에 따라서, 상기 역 공분산 행렬의 n 번째 행의 첫 번째 (n-1) 성분 및 이전의 (n-1) 시뮬레이션 타임 스텝 동안에 계산된 벡터의 (n-1) 구성요소로부터 변수 μ를 형성하는 단계와,

-

에 따라서 1/f로 분포된 난수로부터 길이 n의 벡터의 구성요소 y(n)를 계산하는 단계 대신에,

- 길이 n의 벡터(k=1, ..., q)의 각각의 최종 성분을 형성하는 (0,1) 정상 분포 난수 x_k,n의 개수 q를 결정하는 단계(이 경우에 벡터의 각각의 첫 번째 (n-1) 성분은 상기 단계에서 사전에 계산되었음에 유의하라)와,

-

(여기서, y_{(n-1), k}는 이전의 시뮬레이션 타임 스텝 동안 계산된 벡터의 첫번째 (n-1) 성분을 나타내고,은 역 공분산 행렬의 n 번째 행의 첫 번째 (n-1) 성분을 나타내며,은 (n,n)으로 인덱스된 역 공분산 행렬의 구성요소를 나타내며, 이것은 k=1, ..., q에 대해 실행됨)에 따라서 q 개의 변수 μ_k를 형성하는 단계와,

-

(k=1, ..., q)에 따라서 1/f로 분포된 난수로부터 길이 n의 상기 벡터의 상기 각각의 n 번째 성분을 형성하는 q 개의 구성요소 y_k,n를 계산하는 단계가 제공된다.

1/f로 분포된 난수로부터의 길이 n의 q 개의 벡터(k=1, ..., q)는, NOISE 행렬 내에서 특별한 이점을 갖도록 구성되며 시뮬레이션 내에서 시뮬레이트될 시스템의 1/f 노이즈 영향을 나타낸다.

본 발명에 따르면, 1/f 노이즈를 시뮬레이팅하는 개념은 다음의 일련의 사상에 기초하고 있다. 확률적인 영향에 노출되는 시스템의 동적 성능은 확률적 프로세스에 의해 적절히 모델링된다. 이러한 시스템 기동성을 시뮬레이트하기 위해, 일반적인 방법은 기본적인 확률적 프로세스의 개별 랜덤 리얼라이제이션(realization)(이른바 경로)을 수치적으로 계산하는 것이다. 1/f 노이즈 소스를 갖는 시뮬레이팅 시스템은 수치적으로 계산될형태의 확률 적분의 경로를 요구한다. 여기서, s(적분 변수)는 [라쿠나(lacuna)]를 나타내며, t(적분 상한)는 시간을 나타내며,은 1/f 노이즈 소스를 나타내며, Y(s)는 예를 들어 회로 시뮬레이션에서의 전압과 같은 변수의 시간적인 동작을 나타내는 확률적 프로세스를 나타낸다.

도함수(수학적으로 분포 의미의 도함수)가 1/f 노이즈 프로세스인 확률 프로세스를 나타내는 B_FBM(s)를 이용하면, 계산되는 확률 적분을 다름과 같이 나타낼 수 있다.

우측의 적분은 적분기(integrator)로서 B_FBM(s)를 갖는 프로세스 확률 프로세스 Y(s)의 리만-스틸체스(Riemann-Stieltjes) 적분으로 해석된다. 이 적분은 0≡t₀<t₁<...<t≡t에 따라서 적분 구간 [0, t]를 분할된 부구간 [t_i, t_i-j](i=1,...,n)으로 분해하여 더함으로써 다음과 같이 근사될 수 있다.

이 합은 랜덤 변수이다. 랜덤 실험의 결과 ω에 대한 의존성은 생략되었다.

일반화된 도함수가 1/f 스펙트럼을 갖는 프로세스 B_FBM(s)는 '부분 브라운 운동(Fractional Brownian Motion)'의 명칭으로 문헌에 알려져 있다. B_FBM(s)는 가우스 확률 프로세스이며, 그것의 기대치

및 공분산 함수

에 의해 이와 같이 완전히 특징지워진다.

적절한 난수의 온디맨드(on-demand) 발생을 위한 본 발명에 따른 방법은 랜덤 변수 [B_FBM(t_i)-B_FBM(t_i-1)]의 리얼라이제이션(realization)의 발생, 즉, 부분 브라운 운동의 증분의 발생에 대한 1/f 노이즈 영향의 시뮬레이션을 반드시 감소시킨다.

본 발명은 시스템 방정식의 연속 적분 중에 랜덤 변수들의 요구된 리얼라이제이션 즉,의 온라인 발생을 허용한다. 이 때문에 다음 두 요건이 상기 방법에 요구된다.

(a) 난수의 시퀀스의 길이 n은 시뮬레이션 실행 중에 가변해야 한다. 특히, 시뮬레이션을 연장하는 것이 언제라도 가능해야 한다(재개 능력). 이것은 이 목적을 위해 요구된 부가적인 난수를 발생시켜 이미 발생된 서브시퀀스와 올바른 방법으로 상관되도록 하는 방법의 가능성을 의미한다.

(b) t_i가 시뮬레이션 중에 현재 얻어진 시간이라고 하자. 그러면, 순간 시스템 기동으로부터, 즉, 즉응적으로 시간 구간 [t_i, t_i+1], 즉, 다음 적분 스텝의 스텝 사이즈를 결정할 수 있어야 한다.

본 발명은,의 리얼라이제이션, 즉, 난수의 시퀀스가 연속적으로, 즉, 구성요소 단위로 발생될 수 있는 방법에 대한 규칙을 지정함으로써 두 요건을 모두 만족한다. 스텝 사이즈 Δt_i:=t_i-t_i-1은 이 경우에 각각의 새로운 난수에 대해 자유롭게 선택될 수 있다.

첫 번째 단계는 이른바 "조건 밀도(conditional densities)"에 대한 근사를 조사하는 것이다.

첫 번째 단계는 랜덤 가변 벡터의 분포를 고려하는 것이다.

개별 랜덤 변수는 가우스 확률 프로세스의 증분을 나타내기 때문에, 랜덤 가변 벡터은 n-차원의 가우스 분포된 랜덤 변수를 결정하며, 따라서 그 (n-차원) 기대치 E 및 그 공분산 행렬에 의해 완전히 정의된다. 두 변수는 식 (1.3) 및 (1.4)로부터 계산될 수 있다.

이제 본 발명에 따른 온라인 방법이 완전한 인덕션(induction)의 형태로 제공된다.

인덕션의 기본(및 상기 방법의 시작점)은 기대치 0 및 변동를 갖는 실 가우스 분포(a real Gaussian distribution)의 리얼라이제이션이다.

유도 인플런스(inductive influence)의 목적으로,의 전체적인 리얼라이제이션을 생성하도록의 리얼라이제이션에 의해의 리얼라이제이션을 확장시키는 방법이 지정되어야 한다. 표시를 단순화하기 위해, 난수의 이미 "큐브된(cubed)" 결과는 (y₁, ..., y_n-1)=:y_(n-1) ^T로 표시될 수 있으며,의 여전히 큐브 중인 리얼라이제이션(realization)은 y_n으로 표시될 수 있다.

상기 문제는 이제 다음과 같이 공식화될 수 있다.

공분산 행렬를 갖는 n-차원의 제로 민 가우스 랜덤 변수(zero mean Gaussian random variable) Z가 주어진다고 가정하자. z의 리얼라이제이션의 첫 번째 n-1 개의 구성요소가 이미 큐브되었고 난수 벡터의 형태로 알려져 있다고 하자. 이제 목표는를 완성하여 Z의 리얼라이제이션를 형성하도록 n 번째 구성요소 y_n을 취할 분포를 찾는 것이다.

이 작업에 대한 해법은 조건 확률 밀도이 y_n에 대해 고려될 때 발견될 수 있다(y_(n-1)이 이미 갖고있는 조건). 이 변수는 다음과 같은 가우스 정상 분포의 이 경우로 계산될 수 있다.

변수은 이 경우에 역 공분산 행렬의 다음의 식으로부터 산출된다.

여기서,,,이다.

변수 μ는

를 나타낸다.

따라서, 조건 밀도은 μ의 평균 및의 변동을 갖는 가우스 정상 분포(Gaussian normal distribution)의 확률 밀도이다.

상기 변동이 존재하기 위해서는이 성립해야 한다. 이것은 다음의 논증으로부터 확인된다.

과이 동일한 특성 방향 및 인버스(inverse) 고유치(eigenvalues)를 갖는다고 하자. 따라서, 행렬의 고유치 0은 그 결과로 랜덤 가변 벡터의 무한 변동을 가질 것이다. 따라서,의 모든 고유치들이 0이 되지 않는다고 예측할 수 있을 것이다.의 고유치들은 어떠한 경우에도 음이 아니기 때문에, 따라서 행렬이 대칭이며 양으로 정의된다(positively defined)는 것이 성립된다. 좌표축을 재정립함으로써 이 행렬을 식 (3.8)로부터 다음 식을 도출하는 것이 가능하다.

마찬가지로 이 행렬은 대칭이며 양으로 정의된다. 대칭이며 양으로 정의된 행렬에 대한 실베스터 표준(Sylvester criterion)에 따르면,이 성립하며, 예증되어 있다.

본 발명에 따른 방법은 가우스 분포 난수의 발생에 대한 1/f 노이즈 소스의 시뮬레이션을 감소시킨다.

인버트된 공분산 행렬(n×n 행렬)은 이미 발생된 시퀀스 y_(n-1)로 요구된 방법으로 상관되는 난수 y_n를 발생하기 위해 요구된다. 엄밀히 말하면, 필요한 것은 이 행렬의 n 번째 행에 대한 정보, 즉,의 정보이다. 식 (3.6)으로부터 알 수 있듯이, 공분산 행렬은 시뮬레이션 구간 [0, t_n]을 분할된 부구간(스텝 사이즈) [t_i-1, t_i]으로 분해하는 것에 의존한다. 특히,의 마지막 컬럼은 t_n에 의존하며(의 대칭성 때문에 마지막 행과 동등하게 그러하다), 따라서 현재의 스텝 사이즈 Δt_n=t_n-t_n-1에 의존한다.

n×n 공분산 행렬의 좌상측 (n-1)×(n-1) 소행렬(submatrix)은 길이 n-1의 난수 시퀀스에 대한 정확히 공분산 행렬이다. 이 공분산 행렬은 결정되어 y_(n-1)또는 마지막 구성요소 (y_n-1)를 계산하기 위해 인버트되어야 한다. 상기 방법을 촉진시키기 위해, 예를 들어 슈르 컴플리먼트(Schur complement)에 의해, 행렬 인버전(inversion)을 위한 증분 방법에 대한 자원을 갖는 것이 가능하다.

본 발명은, 또한 1/f 노이즈의 영향을 받는 기술적 시스템을 시뮬레이팅하는 방법에서 실시된다. 이 경우, 본 발명에 따른 방법을 이용하여 결정된 난수가 시스템의 입력 채널에 존재하는 변수의 모델링 및/또는 고정에 사용된다.

또한, 1/f 노이즈의 난수의 시퀀스를 결정하거나, 또는 본 발명에 따른 다른 방법을 실행하기 위한 컴퓨터 시스템 및/또는 컴퓨터 프로그램이 제공된다. 본 발명은 또한 그러한 컴퓨터 프로그램을 갖는 데이터 매체로 구현된다. 또한, 본 발명은 본 발명에 따른 컴퓨터 프로그램이, 예를 들어 데이터 네트워크 상에 접속된 컴퓨터 상에서, 인터넷과 같은 전자 데이터 네트워크로부터 다운로드되는 방법으로 구현된다.

본 발명은 도면을 참조하여 실시예를 통해 설명된다.

도 1은 시뮬레이트 될 노이즈 시스템의 개략도이다. 상기 시스템은, 박스로 표시되어 시스템의 동작을 기술하는 시스템 모델(1)로 나타나 있다. 상기 시스템의 동작은 벡터 INPUT로서 표시되어 있는 입력 채널(2)과, OUTPUT으로 표시되어 있는 출력 채널에 기인한다. 또한, 노이즈 입력 채널(4) 상에 존재하며 벡터 또는 행렬 NOISE로 표시된 시스템 지령(system-dictated) 노이즈가 제공된다. 복수의 채널로 노이즈가 고려될 때 행렬 NOISE는 존재하며, 행렬 NOISE의 각 컬럼은 노이즈 입력 채널 상에 존재하는 노이즈 값의 벡터를 포함한다.

노이즈 입력 채널(4) 상의 노이즈는 바람직하게는 시스템 모델(1)의 노이즈 지령 변경(noise-dictated alteration)으로서 해석된다.

입력 채널(2) 및 출력 채널(3)의 동작은 미분 방정식의 시스템 또는 미분-대수 방정식의 시스템에 의해 기술될 수 있으며, 따라서 시스템 동작의 신뢰할 수 있는 예측이 가능하다.

도 1에 도시된 시스템의 시뮬레이션의 각 타임 스텝에서, 출력 채널(3)의 벡터 OUTPUT은 입력 채널(2) 상에 존재하는 벡터 INPUT 및 노이즈 입력 채널(4) 상에존재하는 벡터 NOISE에 대해 계산된다.

비교적 긴 기간에 걸친 시뮬레이션 동안에, 벡터 INPUT, OUTPUT, NOISE는 편의상 행렬로서 지정되며, 관련 행렬의 각각의 컬럼은 관련 INPUT, OUTPUT, NOISE의 대응하는 시계열의 값을 포함한다.

도 2는 시스템 모델(1)의 노이즈 입력 채널(4)에 대한 행렬 NOISE의 컬럼 k를 형성하는 각각의 벡터가 성취되는 방법을 나타낸다. 각각의 벡터는 노이즈 소스를 시뮬레이트하는 역할을 한다.

제 1 단계에서, 원하는 스펙트럼 값, 및 강도 상수(intensity constant) const가 고정된다. 또한, 현재의 시뮬레이션 시간 구간의 카운터 n이 0으로 설정된다. 그 다음에 각 시뮬레이션 타임 스텝 동안에 다음의 계산 단계 시퀀스가 수행된다.

첫째로, 현재의 시뮬레이션 타임 스텝이 고정된다. 이와 동시에, 현재의 시뮬레이션 타임 스텝의 끝을 고정하는 것도 가능하며, 따라서 고려중인 다음 시점을 생성하는 것도 가능하다.

그 다음에, 현재의 시뮬레이션 타임 스텝의 카운터 n이 1 증가한다.

그 다음에, (n×n) 차원의 공분산(covariance) 행렬은 수학식 (3.6)에 따라서 결정된다.

그 다음에, 예를 들어 콜레스키 분해(Cholesky decomposition)에 의해 행렬를 인버팅(inverting)하는 단계가 이어진다. 효율을 높이기 위해, 이 경우에 슈르 컴플리먼트(Schur complement) 기법을 이용하여 이전 단계의 역행렬에 어필하는것도 가능하다.

다음에, 변수 σ가 다음의 식으로부터 계산된다.

여기서, sqrt는 "제곱근(square root)" 함수를 나타내며, e(n,n)은 (n,n)으로 인덱스되는 역 공분산 행렬(the inverted covariance matrix)의 구성요소를 나타낸다.

또한, (0,1) 정상적으로 분포된 랜덤 변수 X_k의 값이 추출되고, 따라서 정상 분포 난수의 벡터가 추가된다. 추출된 난수는 0의 기대치 및 1의 변동을 갖는다. 이 단계는 각각의 노이즈 소스가 시뮬레이트되도록 행해진다.

또한, 변수 μ_k가 형성된다. 이것은 역 공분산 행렬의 n번째 행의 첫 번째 (n-1)개의 성분들 및 이전의 (n-1) 시뮬레이션 타임 스텝들 동안 계산된 (n-1)개의 1/f로 분포된 난수의 시퀀스로부터 형성된다.

이 목적을 위하여, 상기 절차는 식 (3.9)에 따른다. 이 단계는 시뮬레이트될 각 노이즈 소스 k에 대해 실행된다.

마지막으로, 행렬 NOISE의 구성요소가 계산되는데, 그 열의 인덱스 k는 시뮬레이트될 노이즈 소스를 나타내며, 그 행의 인덱스는 n과 같다. 현재의 시뮬레이션 타임 스텝은 이것에 의해 표시된다. 행렬 NOISE의 현재 계산된 구성요소 r(k, n)은 난수를 나타내며, 이 난수는 NOISE의 동일 열 k의 위에 있는 (n-1) 구성요소들과 함께 1/f로 분포된 난수로부터 길이 n의 벡터를 형성한다. 이 벡터는첫 번째 n개의 시뮬레이션 타임 스텝 동안 노이즈 소스들 중 하나의 노이즈 소스를 시뮬레이션하는 역할을 한다.

그 다음에, 식 (3.7)-(3.9)에 기초하여, 벡터 x의 최종 난수 x_k와 변수 μ_x및 σ로부터 NOISE의 n 번째 행의 각 구성요소 y_k가 결정되는데 다음의 식에 따라 정확하게 결정된다.

도 3 내지 5는 완전한 계산 결과를 나타내는 실시예를 도시하고 있다. 스펙트럼 값 β는 이 경우에 항상 0.5로서 채택된다. 강도 상수(intensity constant)의 값은 임으로 1.0으로서 채택된다. 시뮬레이트될 시스템 상에서 동시에 동작하는 세 개의 노이즈 소스의 시뮬레이션에 따라서 각각의 경우에 독립적인 채널 상에서, 세 개의 난수가 동시에 처리되며, 이들 난수는 벡터으로 배열되는데, 여기서 k는 1 내지 3의 정수 값이다.

도 3은 도 3a 내지 3f에 기초하여 제 1 시뮬레이션 타임 스텝 [t₀,t₁]=[0,0.5] 동안의 계산을 나타낸다.

도 3a는 시뮬레이션 스텝 사이즈의 경우에 1/f로 분포된 난수를 발생하기 위한 1×1 차원의 공분산 행렬를 도시하고 있다. 여기서,은 0.70의 값을 갖는 스칼라를 나타내는데, 왜냐하면,(즉, i=j=1)이 식 (3.6)을 적용할 때 다음과같이 되기 때문이다.

도 3b는 도 3a로부터 공분산 행렬의 역을 도시한 것으로, 그 일부는 여기서는 보다 상세하게 도시되지 않는 콜레스키 분해(Cholesky decomposition)에 의해 수행되었다.의 검사에 의해 올바른 값 1이 산출되며, 이것은에 대한 값의 정확성을 예증한다.

도 3c는 제 1 시뮬레이션 단계 n=1에 대한 변수 σ를 도시하고 있다. 이것은 식으로부터 산출된다.

sqrt는 제곱근을 나타내고, e(1,1)는 역 공분산 행렬의, (1,1)로 인덱스된 구성요소 0.707106...을 나타낸다.

도 3d는 각 경우에 시뮬레이트될 하나의 노이즈 소스에 대한 (0,1) 정상적으로 분포된 랜덤 변수 X_k의 세 개의 값 x₁, x₂, x₃을 나타낸다. 이들 값은 하나의 벡터의 제 1 구성요소를 형성하며, 이들은 각각 정상 분포 난수이다. 추출된 난수는 0의 기대치와 1의 변동을 갖는다.

도 3e는 시뮬레이트될 세 개의 노이즈 소스 각각에 대한 세 개의 변수 μ_k를 나타낸다. 변수 μ_k는 역 공분산 행렬의 n번째 행의 첫 번째 (n-1)개의 성분 및 이전의 (n-1) 시뮬레이션 타임 스텝들 동안 계산된 (n-1) 1/f로 분포된 난수의시퀀스로부터 식 (3.9)에 따라서 산출된다. 제 1 시뮬레이션 단계에서, 이들 두 벡터는 각각 길이가 0이다. 따라서, 제 1 시뮬레이션 단계에서 모든 변수 에 대하여 다음이 성립한다. 즉, μ_k=0.

도 3f는 제 1 시뮬레이션 타임 스텝 [0,t₁]=[0,0.5]의 세 개의 1/f 분산 노이즈 소스의 동작을 시뮬레이트하는 1/f로 분포된 난수의 길이 1인 세 개의 벡터를 나타낸다. 행렬 NOISE는 세 개의 벡터으로부터 산출된다. 값 k는 이 경우에 1 내지 3의 정수 값이다. NOISE의 제 1 행의 각 구성요소 즉, y_k는 관련 벡터의 최종 난수 x_k및 변수 즉, μ_k및 σ즉, σ₁로부터 다음의 규칙에 따라서 식 (3.7)-(3.9)에 기초하여 결정된다. 예를 들면, 제 1 벡터의 제 1 구성요소(n=1)은 다음과 같이 계산된다.

및은 이와 마찬가지로 계산된다.

4a 내지 4f를 이용하여, 도 4는 제 2 시뮬레이션 타임 스텝 [t₁, t₂]=[0.5, 0.75]의 계산 예를 도시하고 있다. 제 2 시뮬레이션 타임 스텝 동안 값 n은 항상 2이다.

도 4a는 노이즈 소스마다 하나의 추가적인 난수를 발생하는데 필요한 차원 (n×n)=2×2의 공분산 행렬를 도시하고 있다. 도 3f에 따른 결과와 함께, 이와같이 새롭게 발생된 난수는 1/f로 분포된 난수로부터 길이 2인 벡터를 형성한다. 벡터는 이 경우에 각 노이즈 소스에 대해 발생된다. 공분산 행렬는 이 경우에 식 (3.6)에 따라서 결정된다.

예를 들면, 이 것은 구성요소, 즉, i=2, j=1에서 수행된다. 식 (3.6)을 적용하면,은 다음과 같다.

도 4b는 도 4a로부터의 공분산 행렬의 역을 도시하고 있다. 조건의 검사(도시되지 않음)에 의해, 2×2 차원 행렬이 산출되는데, 이 경우에 (1,1) 및 (2,2)로 인덱스된 구성 요소는 1이다. 기타 구성요소는 0의 값을 갖는다.

도 4c는 단계 4b의 역 공분산 행렬으로부터 계산되는 변수 σ를 나타낸다. 변수 σ는 다음과 같이 산출된다.

sqrt는 제곱근을 나타내며, e(2,2)는 도 4b로부터 역 공분산 행렬의 (2,2)로 인덱스된 구성요소를 나타낸다.

도 4d는 독립 (0,1) 정상 분포 난수의 세 개의 벡터를 나타내며, 벡터은 각각 길이가 2이다. (0,1) 정상적으로 분포된 랜덤 변수 x_k는 시뮬레이트될 노이즈 소스마다 추출된다. 각 경우에 추출된 난수는 0의 기대치 및 1의 변동을 갖는다. 따라서, 도 4d로부터의 정상 분포 난수의 벡터들이 도출되도록 도 3d로부터의 정상 분포 난수의 벡터가 추가된다.

도 4e는 단계 4b에 따른 역 공분산 행렬및 단계 3f에 따른 세 개의 난수로부터 계산된 세 개의 변수 μ_k를 나타내고 있다. 시뮬레이트될 각 노이즈 소스에 대하여, 변수 μ_k는 역 공분산 행렬의 n 번째 행의 (n-1) 첫 번째 성분들 및 이전의 (n-1) 시뮬레이션 타임 스텝들 동안 식 (3.9)에 따라서 계산된 1/f로 분포된 난수의 (n-1)개의 시퀀스로부터 계산된다. 제 2 시뮬레이션 단계에서, 변수 μ_k는의 제 2 행의 제 1 성분 및 벡터의 제 1 성분으로부터 계산된다. 이것은 예를 들어 변수 μ₁을 이용하여 수행된다.

도 4f는 제 2 시뮬레이션 타임 스텝 [t₁,t₂]=[0.5, 0.75] 동안 세 개의 1/f 분산 노이즈 소스의 동작을 시뮬레이트하는 1/f로 분포된 난수를 갖는 길이 2인 세 개의 벡터를 나타낸다. 행렬 NOISE는 세 개의 벡터로부터 산출된다. 값 k는 이 경우에 1 내지 3의 정수 값이다. NOISE의 제 2 행의 각 구성요소 y_k는 관련 벡터의 최종 난수 x_k및 변수 μ_k및 σ로부터 다음의 규칙에 따라서 식 (3.7)-(3.9)에 기초하여 결정된다. 예를 들면, 제 1 벡터의 제 2 구성요소은다음과 같이 계산된다.

5a 내지 5f를 이용하여, 도 5는 제 3 시뮬레이션 타임 스텝 [t₂, t₃]=[0.75, 1.25]에 대한 계산 예를 도시하고 있다. 제 3 시뮬레이션 타임 스텝 동안 값 n은 항상 3이다.

도 5a는 노이즈 소스마다 하나의 추가적인 난수를 발생하는데 필요한 차원 (n×n)=3×3의 공분산 행렬를 도시하고 있다. 도 4f에 따른 결과와 함께, 이와 같이 새롭게 발생된 난수는 1/f로 분포된 난수로부터 길이 3인 벡터를 형성한다. 벡터는 이 경우에 각 노이즈 소스에 대해 발생된다. 공분산 행렬는 이 경우에 식 (3.6)에 따라서 결정된다.

예를 들면, 이 것은 구성요소, 즉, i=3, j=1에서 수행된다. 식 (3.6)을 적용하면,은 다음과 같다.

도 5b는 도 5a로부터의 공분산 행렬의 역행렬를 도시하고 있다. 조건의 검사(도시되지 않음)에 의해, 3×3 차원 행렬이 산출되는데, 이 경우에 (1,1), (2,2) 및 (3,3)로 인덱스된 구성 요소는 1이다. 다른 구성요소는 0의 값을 갖는다.

도 5c는 단계 5b의 역 공분산 행렬으로부터 계산되는 변수 σ를 나타낸다. 변수 σ는 다음과 같이 산출된다.

sqrt는 제곱근을 나타내며, e(3,3)는 도 5b로부터 역 공분산 행렬의 (3,3)로 인덱스된 구성요소를 나타낸다.

도 5d는 독립 (0,1) 정상 분포 난수의 세 개의 벡터를 나타내며, 벡터은 각각 길이가 3이다. (0,1) 정상적으로 분포된 랜덤 변수 x_k는 시뮬레이트될 노이즈 소스마다 추출된다. 각 경우에 추출된 난수는 0의 기대치 및 1의 변동을 갖는다. 따라서, 도 5d로부터의 정상 분포 난수의 벡터들이 도출되도록 도 4d로부터의 정상 분포 난수의 벡터가 추가된다.

도 5e는 단계 5b에 따른 역 공분산 행렬및 단계 4f에 따른 세 개의 난수로부터 계산된 세 개의 변수 μ_k를 나타내고 있다. 시뮬레이트될 각 노이즈 소스에 대하여, 변수 μ_k는 역 공분산 행렬의 n 번째 행의 (n-1) 첫 번째 성분들 및 이전의 (n-1) 시뮬레이션 타임 스텝들 동안 식 (3.9)에 따라서 계산된 1/f로 분포된 난수의 (n-1)개의 시퀀스로부터 계산된다. 제 2 시뮬레이션 단계에서, 변수 μ_k는의 제 3 행의 첫 번째 두 성분 및 벡터의 첫 번째 두 성분으로부터 계산된다. 이것은 예를 들어 변수 μ₁을 이용하여 수행된다.

도 5f는 제 3 시뮬레이션 타임 스텝 [t₂,t₃]=[0.75, 1.25] 동안 세 개의 1/f 분산 노이즈 소스의 동작을 시뮬레이트하는 1/f로 분포된 난수를 갖는 길이 3인 세 개의 벡터를 나타낸다. 행렬 NOISE는 세 개의 벡터로부터 산출된다. 값 k는 이 경우에 1 내지 3의 정수 값이다. NOISE의 제 3 행의 각 구성요소 y_k는 관련 벡터의 최종 난수 x_k(n=3) 및 변수 μ_k및 σ로부터 다음의 규칙에 따라서 식 (3.7)-(3.9)에 기초하여 결정된다. 예를 들면, 제 1 벡터의 제 3 구성요소은 다음과 같이 계산된다.

다음 조건들은 도시된 계산 예들의 구체적인 실행을 위해 관측되도록 되어 있다.

도 3, 4, 5에 도시된 수치값은, 제 1, 제 2 및 제 3 시뮬레이션 간격 동안, 도 2를 참조하여 설명한 계산 단계들의 중간 및 최종 결과를 나타낸다. 이 경우, 정확한 수치 계산 후에, 모든 값들은, 보다 효과적으로 재생할 수 있도록 하기 위해 그 점 다음의 십진법 위치 다음이 버려진다. 따라서, 계산으로 실시예를 다시수행할 때, 지정된 x 벡터로부터 지정된벡터에 이르도록, 도면들에 도시된 중간 값을 가지고 계산하지 말고 정확한 중간 값을 가지고 계산할 필요가 있다.

(1,1) 정상적으로 분포된 랜덤 변수들의 벡터는 도 3c, 4c, 및 5c에 도시되어 있다. 이 경우에, 랜덤 변수는 각 경우에 노이즈 소스를 나타낸다. 간략화를 위해, 0의 기대치 및 1의 변동을 이용하여 이러한 난수들에 도달하는 방법은 설명되어 있지 않다. 이는 당업자들에게 공지되어 있다.

Claims

1/f 노이즈의 적어도 하나의 난수 시퀀스를 발생하는 방법에 있어서,

원하는 스펙트럼 값 β를 결정하는 단계와,

발생될 1/f 노이즈의 상기 난수의 개수를 결정하는 단계와,

강도 상수(intensity constant) const를 결정하는 단계와,

변수(a running variable) n에 대한 초기 값을 고정하는 단계를 포함하며,

길이 n의 벡터의 구성요소 y(n)의 원하는 개수가 1/f로 분포된 난수로부터 계산될 때까지 다음 단계들, 즉,

- 변수 n의 현재의 값을 1만큼 증가시키는 단계와,

- 시뮬레이션 타임 스텝 [t_n-1; t_n]를 고정시키는 단계와,

-

(여기서, sqrt는 "제곱근" 함수를 나타내며, e(n,n)은 (n,n)으로 인덱스된 역 공분산 행렬의 구성요소를 나타냄)에 따라서 변수 σ를 결정하는 단계와,

-

에 따라서 1/f로 분포된 난수로부터 길이 n의 벡터의 구성요소 y(n)를 계산하는 단계

의 루프형 반복이 제공되는 1/f 노이즈의 적어도 하나의 난수 시퀀스를 발생하는 방법.

제 1 항에 있어서,

1/f 노이즈의 q 개의 난수 시퀀스가 동시에 계산되며,

제 1 항에 따른 루프형 방식으로 반복되는 다음의 단계들, 즉,

-

- 길이 n의 벡터(k=1, ..., q)의 각각의 최종 성분을 형성하는 (0,1) 정상 분포 난수 x_k,n의 수 q를 결정하는 단계와,

-

(여기서, y_{(n-1), k}는 이전의 시뮬레이션 타임 스텝 동안 계산된 벡터의 첫 번째 (n-1) 성분을 나타내고,은 역 공분산 행렬의 n 번째 행의 첫 번째 (n-1) 성분을 나타내며,은 (n,n)으로 인덱스된 역 공분산 행렬의 구성요소를 나타내며, 이것은 k=1, ..., q에 대해 실행됨)에 따라서 q 개의 변수 μ_k를 형성하는 단계와,

-

(k=1, ..., q)에 따라서 1/f로 분포된 난수로부터 길이 n의 상기 벡터의 상기 각각의 n 번째 성분을 형성하는 q 개의 구성요소 y_k,n를 계산하는 단계

가 제공되는 1/f 노이즈의 적어도 하나의 난수 시퀀스를 발생하는 방법.

기술적 시스템의 입력 채널 상에 존재하는 변수들을 고정할 때 및/또는 모델링할 때, 제 1 항 또는 제 2 항에 따른 방법을 이용하여 결정된 난수를 이용하여 1/f 노이즈에 영향을 받는 상기 기술적인 시스템을 시뮬레이트하는 방법.

제 1 항 내지 3 항 중 어느 한 항에 따른 방법이 실행될 수 있도록 설계되어 있는, 1/f 노이즈의 난수의 시퀀스를 결정하는 컴퓨터 프로그램.

제 4 항에 청구된 컴퓨터 프로그램을 갖는 데이터 매체.

제 4 항에 청구된 컴퓨터 프로그램이, 예를 들어 인터넷과 같은 전자 데이터 네트워크로부터 데이터 네트워크에 접속된 컴퓨터 상으로 다운로드되는 방법.

제 1 항 내지 3 항 중 어느 한 항에 청구된 1/f 노이즈의 난수 시퀀스를 결정 방법이 실행될 수 있는 컴퓨터 시스템.