DE10154200C1

DE10154200C1 - Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen

Info

Publication number: DE10154200C1
Application number: DE10154200A
Authority: DE
Inventors: Georg Denk
Original assignee: Infineon Technologies AG
Current assignee: Infineon Technologies AG
Priority date: 2001-11-07
Filing date: 2001-11-07
Publication date: 2003-03-06
Anticipated expiration: 2021-11-08
Also published as: US20030101031A1

Abstract

Ein Verfahren zum Erzeugen einer Folge von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen beruht auf der Verwendung (0,1)-normalverteilter Zufallszahlen. Mit der Erfindung ist eine Erzeugung von beliebig langen Folgen von Zufallszahlen möglich, die eine gute Näherung an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens darstellen. Die Rechenzeit zur Bestimmung solcher Zufallszahlenfolgen wird durch das erfindungsgemäße Verfahren begrenzt.

Description

Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zahlen folgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenä herten Zufallszahlen.

Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens können beispielsweise bei einer transienten Schaltkreissimulation eingesetzt werden, die Rauscheinflüsse berücksichtigt. Unter einem 1/f-Rauschen wird ein stochastischer Prozeß mit einen bestimmten Frequenz spektrum verstanden, das mit der Gleichung

beschrieben werden kann.

1/f-Rauschquellen eignen sich zur Modellierung von Rauschein flüssen in einer Vielzahl technischer und physikalischer Sy steme sowie für Systeme zur Einschätzung und Vorhersage von Geschehnissen auf den Finanzmärkten. Insbesondere weisen vie le elektronische Bauelemente, wie beispielsweise pn-Dioden und MOS-Feldeffekttransistoren, 1/f-Rauschquellen auf.

Aus der DE 100 01 124 C1 ist eine Schaltungsanordnung sowie ein Verfahren zur Reduktion des 1/f-Rauschens von MOSFETs in einer elektronischen Schaltung insbesondere in einer inte grierten Schaltung bekannt, die mindestens einen MOSFET auf weist. Dabei ist einem, mehreren oder allen MOSFETs minde stens eine Gleichspannungsquelle zur Einstellung eines oder mehrerer konstanter Arbeitspunkte des bzw. der MOSFETs zuge ordnet.

Die US-A-5 719 784 zeigt eine Vorrichtung und ein Verfahren zur Analyse aus Gewebeproben gewonnenen Daten, die in Fre quenzspektren vorliegen. Die nicht zufällige Natur von Zell- und Gewebemikrostrukturen entspricht dabei angeblich einem 1/f-Rauschen. In der US-A-5 719 784 wird explizit ausgesagt, daß keine mathematischen Modelle zur Erzeugung von 1/f- Rauschen bekannt sind.

Aus der US 6 188 294 B1 ist ein Verfahren bekannt, bei dem weißes Rauschen differential in eine Verstärkungsstufe gekop pelt wird. Dabei wird das weiße Rauschen mit einem Verstär ker, der ein erstes Signal mit einem weißen Rauschen erzeugt, differential verstärkt. Die 1/f-Anteile des Rauschens sowie eine vorhandene Verschiebungsspannung werden im wesentlichen von diesem ersten Signal entfernt, wodurch ein zweites Signal mit einem weißen Rauschen entsteht. Dann wird ein Zufallsfol gensignal erzeugt, indem entschieden wird, ob das erzeugte zweite Signal jeweils die Werte von Null oder Eins annimmt.

Die US 6 081 228 A offenbart ein Verfahren zum Schätzen der Komponente des Phasenrauschens in einem GPS-Empfänger, die dann vor dem Verfolgen jedes Satelliten entfernt werden kann. Die US 6 081 228 A offenbart auch ein Verfahren zum Reduzie ren des Phasenrauschens in einem vielkanaligen Radioempfän ger, bei dem die Vielzahl der Empfängerkanäle ein Taktsignal von einer Sourceschaltung ableiten.

Es ist Aufgabe der Erfindung, ein Verfahren zum Erzeugen ei ner beliebig langen Folge von Zufallszahlen anzugeben, die an Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenähert ist, wobei das Verfahren schnell und mit geringem für lange Zah lenfolgen nicht über die Maßen anwachsenden Rechenaufwand durchgeführt werden kann. Es ist weiterhin Aufgabe der Erfin dung, ein verbessertes Verfahren zur Simulation eines techni schen Systems anzugeben, das einem 1/f-Rauschen unterliegt. Schließlich soll auch ein Computersystem mit einem Computer programm zum Bestimmen von Folgen von an Zahlenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen angegeben werden, das schnell ausgeführt werden kann und das nur wenig Ressour cen eines Computersystems beansprucht.

Diese Aufgabe wird durch den Gegenstand des unabhängigen Pa tentanspruchs gelöst. Vorteilhafte Weiterbildungen ergeben sich aus den jeweiligen Unteransprüchen.

Gemäß der Erfindung wird das Problem der Rauschsimulation bei der Modellierung des zu simulierenden Systems in das Problem der Generierung einer Zufallszahlen-Sequenz überführt. Dabei werden die Korrelationen dieser Zufallszahlen bestimmt und zu einer einfachen und genauen Generierung der Zufallszahlen- Sequenzen verwendet.

Das erfindungsgemäße Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens sieht dabei zu nächst die folgenden Schritte vor:

- Bestimmen eines gewünschten Spektralwerts β,
- Bestimmen einer Intensitätskonstante const.

Dadurch werden die Charakteristika des zu simulierenden 1/f- Rauschens festgelegt.

Danach wird die Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen, die an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenähert sind, ein Startwert für eine zur Simulation benutzten Laufvariablen n sowie ein Wert für eine Fenstergröße d festgelegt.

Die Erfindung sieht solange, bis die gewünschte Anzahl von Elementen y(n) eines oder mehrerer Vektoren y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen berechnet ist, das schleifenar tige Wiederholen von Schritten vor. Die ersten zwei dieser schleifenartig zu wiederholenden Schritte sind der Schritt des Erhöhens des aktuellen Werts der Laufvariablen n um den Wert 1 sowie der Schritt des Festlegens eines Simulations zeitschrittes [t_n-1; t_n].

Die restlichen, schleifenartig zu wiederholenden Verfahrens schritte sind von dem Wert der Laufvariablen n abhängig. Vor jedem schleifenartigen Durchlauf der Verfahrensschritte wird geprüft, ob der Wert der Laufvariablen n kleiner oder größer als der festgelegte Wert der Fenstergröße d ausgebildet ist. Für den Fall (n < d) bzw. (n ≧ d) werden danach jeweils un terschiedliche Verfahrensschritte vorgesehen.

Im folgenden wird zur Vereinfachung der Notation folgende In dizierung der Teilmatrizen und Teilvektoren vorgenommen: Die Indizierung bezieht sich auf die dazugehörigen Zeitpunkte und beginnt damit bei Teilmatrizen und Teilvektoren im Fall (n < d) nicht mit 1. Beispielsweise ist ein d-dimensionaler Vektor mit (n - d + 1), (n - d + 2), . . ., n indiziert. Das n- te Element ist das mit n indizierte Element, also die letzte Komponente des d-dimensionalen Vektors. Analoges gilt für Teilmatrizen.

Für den Fall (n < d) werden die folgenden Schritte schleifen artig wiederholt:

- Bestimmen der Elemente _ij einer Covarianzmatrix (n) der Dimension (n × n) nach der folgenden Vorschrift:
- Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix
der Dimension (n × n),
- Bestimmen einer Größe σ gemäß der Vorschrift
σ = sqrt(1/e(n, n)),
wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n, n) das durch (n, n) indizierte Element der invertierten Cova rianzmatrix (n) bezeichnet,
- Bestimmen einer (0, 1)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Länge n bildet,
- Bilden einer Größe µ aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix (n) und den (n - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehen den (n - 1) Simulations-Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y_(n-1) die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y be zeichnet, wobei _•,n die ersten (n - 1) Komponenten der n- ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix (n) bezeich net und wobei _n,n das mit (n, n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix (n) bezeichnet,
- Berechnen eines Elements y(n) eines Vektors y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vor schrift:
Y(n) = x(n).σ + µ

Für den Fall (n ≧ d) erfolgt das schleifenartige Wiederholen der folgenden Schritte:

- Bestimmen der Elemente _ij einer Covarianzmatrix (n) der Dimension (d x d) nach der folgenden Vorschrift:
- Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix
der Dimension (d × d),
- Bestimmen einer Größe σ gemäß der Vorschrift
σ = sqrt(1/e(n, n)),
wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n, n) das durch (n, n) indizierte Element der invertierten Cova rianzmatrix (n) bezeichnet,
- Bestimmen einer (0, 1)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Länge n bildet,
- Bilden einer Größe µ aus den ersten (d - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix (n) und den letzten (d - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vor ausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritt berechnet wur den, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y_(n-1) die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y be zeichnet, wobei _•,n die ersten (d - 1) Komponenten der n- ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix (n) bezeich net und wobei _n,n das mit (n, n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix (n) bezeichnet,
- Berechnen eines Elements y(n) eines Vektors y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vor schrift:
Y(n) = x(n).σ + µ

Ein Grundgedanke der vorliegenden Erfindung liegt darin, ein Verfahren bereitzustellen, mit dem Sequenzen von an 1/f- verteilte Zufallszahlen angelehnten Zufallszahlen sukzessive, also Element für Element, generiert werden können. Dabei stellt das Verfahren sicher, daß jede neu generierte Zufalls zahl auf korrekte Weise im stochastischen Sinne von den zuvor generierten an 1/f-verteilten Zufallszahlen angelehnten Zu fallszahlen abhängt. Dadurch ist es möglich im Verlauf der numerischen Simulation eines Schaltkreises die jeweils benö tigten Zufallszahlen zu erzeugen.

Ein weiterer Grundgedanke der Erfindung besteht darin, die Dimension der zur Erzeugung der Zufallszahlen benötigten Co varianzmatrix (n) und deren Inversen (n) auf den Wert einer vorgebbaren Fenstergröße d zu begrenzen und somit die Rechen zeit des erfindungsgemäßen Verfahrens im Rahmen zu halten. Diesen Gedanken liegt die Erkenntnis zugrunde, daß der Auf wand zum Aufstellen und Invertieren der Covarianzmatrix (n) wenigstens quadratisch mit der Anzahl der zu berücksichtigen den Zeitschritte anwächst. Bei fehlender Begrenzung der Di mension der Covarianzmatrix (n) und deren Inversen (n) wächst der Rechenaufwand für lange Simulationsintervalle, wie sie beispielsweise zur Simulation von Phasenregelkreisen bzw. "Phase Locked Loops" notwendig sind, auf eine unverhältnismä ßige Größe an, so daß eine transiente Rauschsimulation über den gewünschten Zeitraum unmöglich wird. Durch die Beschrän kung des Anwachsens der Covarianzmatrix (n) und deren Inver sen (n) werden vorteilhafterweise die zur Simulation von 1/f-Rauschquellen notwendige Rechenzeit sowie der benötigte Speicherbedarf beschränkt.

Mit dem erfindungsgemäßen Verfahren wird dementsprechend eine beliebig lange Simulation von technischen System gewährlei stet. Ausgehend von bereits generierten 1/f-verteilten Zu fallszahlen können auf einfache Weise zusätzliche 1/f- verteilte Zufallszahlen generiert werden. Dabei ist es mög lich, eine Simulation auf den Ergebnissen von zuvor simulier ten Zeitintervallen aufzusetzen. Diese sogenannte Restart- Fähigkeit stellt eine für die Simulationspraxis sehr wichtige Eigenschaft dar. Gerade für 1/f-Rauschquellen ist dies nur schwierig zu erreichen, weil Zufallszahlen, die eine 1/f- Rauschquelle für ein gewisses Zeitintervall simulieren, von bereits numerisch bestimmten Zufallszahlen früherer Zeitin tervalle abhängen.

Die vorliegende Erfindung gestattet auch die Verwendung einer adaptiven Schrittweitensteuerung, ohne daß hierdurch die Re chenzeiten zur Simulation eines technischen Systems signifi kant erhöht werden. Eine solche adaptive Schrittweitensteue rung steigert die Präzision und die Rechenzeiteffizienz bei der numerischen Bestimmung der Dynamik eines simulierten technischen Systems erheblich. Durch das Vorsehen von varia blen Schrittweiten kann auch eine Adaption an aktuelle Sy stemdynamiken erfolgen, was die Genauigkeit der Simulationen erhöht.

Die Erfindung verwendet die Theorie bedingter Wahrscheinlich keitsdichten, um eine 1/f-verteilte Zufallszahl zu erzeugen, die den stochastischen Zusammenhang dieser Zufallszahl mit den bereits erzeugten und für vorangegangene Simulations schritte benötigten Zufallszahlen sicherstellt.

In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung des erfin dungsgemäßen Verfahrens wird die invertierte Covarianzma trix (n) nicht bei jeder schleifenartigen Wiederholung der betreffenden Verfahrensschritte vollständig neu berechnet, sondern die bereits ermittelten Ergebnisse zur Berechnung der Covarianzmatrix (n - 1) sowie der invertierten Covarianzma trix (n - 1) herangezogen.

Dabei werden anstelle des Schritts des Bestimmens der inver tierten Covarianzmatrix ^-1(n) = (n) der Dimension (d × d) die folgenden Schritte vorgesehen:

- Bestimmen eines Vektors c₁₂ ^T(n - 1) und einer Matrix C₂₂(n - 1) aus der Covarianzmatrix (n - 1):
Dabei ist c₁₁(n - 1) das mit (n - d + 1, n - d + 1) indizierte Element von (n - 1), also das Element links oben. c₁₂ ^T(n - 1) ist der Vektor bestehend aus den letzten (d - 1) Elementen der mit (n - d + 1) indizierten Zeile von (n - 1), also der obersten Zeile. C₂₂(n - 1) ist die rechte untere Teilmatrix der Di mension (d - 1) × (d - 1) von (n - 1).
- Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix ^-1(n - 1) = (n - 1) der Dimension (d × d) Dabei ist (n - 1) bereits aus dem vorangegangenen Schritt bekannt.
- Bestimmen des Vektors b₁₂(n - 1) und der Matrix B₂₂(n - 1) aus der invertierten Covarianzmatrix (n - 1)
Dabei ist b₁₁(n - 1) das mit (n - d + 1, n - d + 1) indizierte Element von (n - 1), also das Element links oben. b₁₂ ^T(n - 1) ist der Vektor bestehend aus den letzten (d - 1) Elementen der mit (n - d + 1) indizierten Zeile von (n - 1), also der obersten Zeile. B₂₂(n - 1) ist die rechte untere Teilmatrix der Di mension (d - 1) × (d - 1) von (n - 1).
- Bestimmen der invertierten Matrix C₂₂ ^-1(n - 1) nach folgender Vorschrift:
C₂₂ ^-1(n - 1) = (I_d-1 - b₁₂(n - 1)c₁₂ ^T(n - 1))^-1.B₂₂(n - 1)
wobei I_d-1 die Einheitsmatrix der Dimension ((d - 1) × (d - 1)) darstellt,
- Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix (n) der Di mension (d × d) unter Verwendung der invertierten Matrix C₂₂ ^-1(n - 1) mittels Schurkomplementtechniken.

Durch diese Ausführungsform der Erfindung wird eine mit stei gender Dimension der Covarianzmatrix (n) sehr rechenzeitin tensive, explizite Neuberechnung der invertierten Covarianz matrix (n) für jeden Wert der Laufvariable n vermieden. An stelle dessen wird die invertierte Covarianzmatrix (n) unter Verwendung von dem Fachmann bekannten Schurkomplementtechni ken ermittelt, wobei auf die bereits ermittelten Größen ₂₂(n - 1), c ₁₂ ^T(n - 1), ₂₂ ^-1(n - 1), ₂₂(n - 1), b ₁₂ ^T(n - 1) zurückge griffen wird.

Mit Hilfe der Sherman-Morrison-Woodbury-Formel kann die in vertierte Teilmatrix ₂₂ ^-1(n - 1) ohne explizite Invertierung berechnet werden. Die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel ist aus Dokument [1] bekannt.

Durch diese Ausführungsform der Erfindung werden Simulatio nen, die eine hohe Anzahl an Zeitschritten erfordern, über haupt erst möglich. Die Umsetzung des erfindungsgemäßen Ge dankens der Begrenzung der Rechenzeit des erfindungsgemäßen Verfahrens liegt darin, daß, wenn die Covarianzmatrix (n) eine frei wählbare Fenstergröße d erreicht und überschreitet, ein (d × d)-großes Fenster über die Covarianzmatrix (n) ge legt wird, das eine rechte, untere Teilmatrix der Dimension (d × d) aus der Covarianzmatrix auswählt.

Mit jedem weiteren Zeitschritt wird dieses Fenster (d × d) innerhalb der Covarianzmatrix (n) um eine Position nach rechts unten verschoben, so daß ab Erreichen der frei wählba ren Fenstergröße d nur das Fenster (d × d) der Covarianzma trix (n) betrachtet wird und nur dieser Teil der Covarianz matrix (n) invertiert wird. Damit wird der Rechenaufwand für steigende Größen der Covarianzmatrix (n) nahezu konstant ge halten. Durch die Aktualisierung der invertierten Covarianz matrix (n) mittels obiger Formel anstelle der expliziten In vertierung kann auch der Aufwand für die Verschiebung des (d × d) großen Fensters der Covarianzmatrix klein gehalten werden.

In einer besonders vorteilhaften Ausgestaltung des erfin dungsgemäßen Verfahrens werden q Folgen von Zufallszahlen ei nes 1/f-Rauschens gleichzeitig berechnet, wobei anstelle der schleifenartig zu wiederholenden Schritte:

- Bestimmen einer (0, 1)-normalverteilten Zufallszahl, die die n-te Komponente eines Vektors x der Länge n bildet,
- Bilden einer Größe µ aus den ersten (d - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix (n) und den letzten (d - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vor ausgehenden (n - 1) Simulations-Zeitschritt berechnet wur den, und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y_(n-1) die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y be zeichnet, wobei _•,n die ersten (d - 1) Komponenten der n- ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix bezeichnet und wobei _n,n das mit (n, n) indizierte Element der inver tierten Covarianzmatrix bezeichnet,
- Berechnen eines Element y(n) eines Vektor y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vor schrift:
Y(n) = x(n).σ + µ

die folgenden Schritte vorgesehen sind:

- Bestimmen von q Stück (0, 1)-normalverteilte Zufallszahlen x_k,n, welche die jeweils letzte Komponente der Vektoren x _k der Länge n bilden, wobei k = 1, . . ., q. Hierbei ist zu beachten, daß die jeweils ersten (n - 1) Komponenten der Vektoren x _k bereits im Schritt zuvor berechnet wurden.
- Bilden von q Größen µ_k gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y_{(n - 1),k} die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y _k bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simulations- Zeitschritt berechnet wurden. _•,n bezeichnet dabei die ersten (d - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix . _n,n bezeichnet das mit (n, n) indizier te Element der invertierten Covarianzmatrix . Dies wird für k = 1, . . ., q durchgeführt,
- Berechnen von q Elementen y_k,n, welche die jeweils n-te Komponente des Vektors y _k der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen bilden, und zwar nach folgender Vorschrift:
y_k,n = x_k,n.σ + µ_k
wobei k = 1, . . ., q.

Die q Vektoren y _k (k = 1, . . ., q) der Länge n aus 1/f- verteilten Zufallszahlen werden besonders vorteilhaft in ei ner Matrix NOISE angeordnet, die in einer Simulation die 1/f- Rauscheinflüsse eines zu simulierenden Systems angeben.

Dem Konzept zur Simulation von 1/f-Rauschen liegt gemäß der Erfindung der folgende Gedankengang zugrunde. Die Dynamik ei nes Systems, das stochastischen Einflüssen ausgesetzt ist, wird adäquat durch einen stochastischen Prozeß modelliert. Zur Simulation einer solchen Systemdynamik werden im allge meinen einzelne Zufalls-Realisierungen bzw. Pfade des zugrun deliegenden stochastischen Prozesses numerisch berechnet. Zur Simulation von Systemen mit 1/f-Rauschquellen gilt es, Pfade von stochastischen Integralen der Form

nume risch zu berechnen. Hierbei bezeichnen s die Integrationsva riable und t als obere Integrationsgrenze die Zeit,

eine 1/f-Rauschquelle und Y(s) einen stochastischen Prozess, der die zeitliche Dynamik einer Größe, z. B. der elektrischen Spannung in der Schaltkreissimulation, beschreibt.

Wenn man mit B_FBM(s) denjenigen stochastischen Prozess be zeichnet, dessen Ableitung (mathematisch: Ableitung im Dis tributionssinn) den 1/f-Rauschprozess

ergibt, so läßt sich das zu berechnende stochastische Integral schreiben als

Das Integral der rechten Seite ist als Riemann-Stieltjes- Integral des stochastischen Prozesses Y(s) mit dem Prozess B_FBM(s) als Integrator aufzufassen. Dieses Integral läßt sich durch eine Summe approximieren, indem das Integrationsinter vall [0, t] gemäß 0 ∼ t₀ < t₁ < . . . < t ∼ t in n disjunkte Teil intervalle [t_i, t_i-1], i = 1, . . . n, zerlegt wird:

Diese Summe ist eine Zufallsvariable. Die Abhängigkeit vom Ergebnis ω des Zufallsexperiments wurde konsistent weggelas sen.

Ein Prozess B_FBM(s), dessen verallgemeinerte Ableitung ein 1/f-Spektrum aufweist, ist dem Fachmann beispielsweise aus dem Dokument [2] unter dem Namen "Fractional Brownian Motion" bekannt. B_FBM(s) ist ein Gaußscher stochastischer Prozess und als solcher vollständig charakterisiert durch seinen Erwar tungswert

E(B_FBM(s)) = 0 ∍ s ∈ R (1.3)

und durch seine Covarianzfunktion

Cov(B_FBM(s), B_FBM(t)) = const.(|s|^β+1 + |t|^β+1 - |t - s|^β+1) (1.4)

Das erfindungsgemäße Verfahren zur bedarfsorientierten Gene rierung geeigneter Zufallszahlen führt die Simulation von 1/f-Rauscheinflüssen im wesentlichen auf die Erzeugung von Realisierungen der Zufallsvariablen [B_FBM(t_i) - B_FBM(t_i-1)], al so von Zuwächsen der Fractional Brownian Motion, zurück.

Die vorliegende Erfindung erlaubt es, die benötigten Reali sierungen der Zufallsvariablen ΔB_FBM(i) online, d. h. im Ver lauf der sukzessiven Integration der Systemgleichungen, zu erzeugen. Daraus resultieren zwei Anforderungen an das Ver fahren:

a) Die Länge n der Sequenz von Zufallszahlen {ΔB_FBM(1), . . ., ΔB_FBM(n)} muß während eines Simulationslaufs variabel bleiben. Insbesondere muß es jederzeit möglich sein, die Simulation zu verlängern. Dies wird als Re start-Fähigkeit bezeichnet und impliziert die Fähigkeit des Verfahrens, die hierfür benötigten zusätzlichen Zu fallszahlen so zu generieren, daß sie auf korrekte Weise mit der bereits generierten Teilsequenz korrelieren.
b) Bei t_i die im Laufe einer Simulation aktuell erreichte Zeit. Dann muß das Zeitintervall [t_i, t_i+1], also die Schrittweite des nächsten Integrationsschritts aus der momentanen Systemdynamik heraus, also adaptiv, bestimmbar sein.

Die Erfindung wird beiden Anforderungen gerecht, indem sie eine Vorschrift angibt, wie eine Realisierung von {ΔB_FBM(1), . . ., ΔB_FBM(n)}, also eine Sequenz von Zufallszahlen, sukzessive, d. h. Element für Element generiert werden kann. Hierbei ist die Schrittweite Δt_i : = t_i - t_i-1 für jede neue Zu fallszahl frei wählbar.

Zunächst wird der Ansatz für sogenannte "bedingte Dichten" untersucht.

Es wird zunächst die Verteilung des Zufallsvariablen-Vektors (ΔB_FBM(1), . . ., ΔB_FBM(n)) betrachtet.

Da die einzelnen Zufallsvariablen ΔB_FBM(i) Zuwächse eines Gaußschen stochastischen Prozesses darstellen, ist der Zu fallsvariablen-Vektor (ΔB_FBM(1), . . ., ΔB_FBM(n)) eine n-dimen sionale Gauß-verteilte Zufallsvariable und somit durch seinen (n-dimensionalen) Erwartungswert E und seine Covarianzma trix vollständig bestimmt. Die beiden Größen lassen sich aus den Formeln (1.3) und (1.4) berechnen zu

Das erfindungsgemäße Online-Verfahren soll nun in Form einer vollständigen Induktion angegeben werden.

Induktionsanfang und somit Startpunkt des Verfahrens ist die Realisierung einer reellwertigen Gaußverteilung mit Erwar tungswert 0 und Varianz Σ₁₁ = 2.const.|Δt₁|^β+1.

Im Sinne eines Induktionsschlusses müssen wir angeben, wie wir eine Realisierung von (ΔB_FBM(1), . . ., ΔB_FBM(n - 1)) erweitern um eine Realisierung von ΔB_FBM(n), so daß sich insgesamt ei ne Realisierung von (ΔB_FBM(1), . . ., ΔB_FBM(n)) ergibt. Zur Verein fachung der Schreibweise sei die bereits "gewürfelte" Teilse quenz von Zufallszahlen mit (y₁, . . ., y_n-1) =: y_(n-1) ^T und die noch zu würfelnde Realisierung von ΔB_FBM (n) mit y_n bezeichnet.

Das Problem kann nun folgendermaßen formuliert werden: Gegeben sei eine n-dimensionale mittelwertfreie Gaußsche Zu fallsvariable Z mit der Covarianzmatrix . Die ersten n - 1 Elemente einer Realisierung von Z seien in Form eines Zu fallszahlen-Vektors y _(n-1) bereits gewürfelt und bekannt. Gesucht ist nun die Verteilung, aus der das n-te Element y_n gezogen werden muß, um y _(n-1) zu einer Realisierung y = (y _(n-1), y _n) von Z zu vervollständigen.

Eine Lösung dieser Aufgabe kann gefunden werden, wenn man die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte f(y_n|y_(n-1)) für y_n unter der Bedingung, daß y_(n-1) bereits festliegt betrachtet. Diese Größe läßt sich im vorliegenden Fall einer Gaußschen Normalvertei lung berechnen zu

Hierbei ergibt sich die Größe -1|n,n aus folgender Schreibweise der invertierten Covarianzmatrix ^-1:

wobei

Die Größe µ steht für

Die bedingte Dichte f(y_n|y_(n-1)) ist also die Wahrscheinlich keitsdichte einer Gaußschen Normalverteilung mit Mittelwert µ und Varianz

Damit obige Varianz existiert, muß gelten

Dies ist aufgrund folgender Argumentation sichergestellt:
und ^-1 haben die selben Eigenrichtungen und inverse Ei genwerte. Ein Eigenwert 0 der Matrix ^-1 hätte also eine un endliche Varianz des Zufallsvariablen-Vektors (ΔB_FBM(1), . . ., ΔB_FBM(n)) zur Folge. Es kann daher vorausgesetzt werden, daß alle Eigenwerte von ^-1 ungleich Null sind. Da die Eigenwerte von ^-1 in jedem Fall nicht negativ sind, gilt somit: Die Matrix ^-1 ist symmetrisch und positiv definit. Durch Umbenennung der Koordinatenachsen kann diese Matrix von der Form (3.8) auf folgende Form gebracht werden:

Diese Matrix ist per constructionem ebenfalls symmetrisch und positiv definit. Gemäß des Sylvester-Kriteriums für symmetri sche und positiv definite Matrizen folgt daraus, daß

und die Behauptung ist gezeigt.

Durch das erfindungsgemäße Verfahren wird die Simulation von 1/f-Rauschquellen zurückgeführt auf die Generierung von Gauß- verteilten Zufallszahlen.

Um eine Zufallszahl y_n zu erzeugen, die mit einer bereits erzeugten Sequenz y_(n-1) auf die geforderte Weise korreliert, wird die invertierte Covarianzmatrix ^-1 (eine n × n-Matrix) benötigt. Streng genommen ist nur die Kenntnis der n-ten Zeile dieser Matrix von nöten, also die Kenntnis von

Wie an Formel (3.6) abzulesen ist, hängt die Covarianzmatrix von der Zerlegung des Simulationsinter valls [0, t_n] in disjunkte Teilintervalle (Schrittweiten) [t_i-1, t_i] ab. Insbesondere hängt die letzte Spalte von (wegen der Symmetrie von identisch mit der letzten Zeile) ab von t_n und damit von der aktuellen Schrittweite Δt_n = t_n - t_n-1.

Die linke obere (n - 1) × (n - 1)-Teilmatrix der n × n- Covarianzmatrix ist genau die Covarianzmatrix für eine Zu fallszahlen-Sequenz der Länge n - 1. Diese Covarianzmatrix mußte bereits für die Berechnung von y_(n-1) (bzw. für die Be rechnung des letzten Elements (y_n-1) bestimmt und invertiert werden. Zur Beschleunigung des Verfahrens kann somit auf in krementelle Verfahren zur Matrixinversion, z. B. mittels des Schur-Komplements, zurückgegriffen werden.

Zur Bestimmung der invertierten Covarianzmatrix ^-1(n + 1) = (n + 1) des nächsten Zeitschritts (n + 1) ist es not wendig, die Covarianzmatrix (n), sowie deren invertierte Co varianzmatrix ^-1(n) = (n) wie folgt zu betrachten:

Dabei gilt:

B(n).C(n) = I_d (3.13)

wobei I_d die d-dimensionale Einheitsmatrix bezeichnet. Aus der Beziehung B(n).C(n) = I_d ergibt sich mit den obigen Darstel lungen der Covarianzmatrix (n) und der invertierten Covari anzmatrix (n):

b₁₂(n)c₁₂ ^T(n) + B₂₂(n)C₂₂(n) = I_d-1 (3.14)

und damit:

C₂₂ ^-1(n) = (I_d-1 - b₁₂(n)c₁₂ ^T(n))^-1.B₂₂(n) (3. 15)

Mit Hilfe der aus Dokument [1] bekannten Sherman-Morrison- Woodbury-Formel kann die invertierte Teilmatrix C₂₂ ^-1(n) der Teilmatrix C₂₂(n) ohne explizite Invertierung von (I_d-1 - b₁₂(n)c₁₂ ^T(n))^-1 berechnet werden als:

Damit steht die korrigierte Inverse C₂₂ ^-1(n) der Covarianzma trix C₂₂(n) zur Verfügung, die im nächsten Zeitschritt (n + 1) beispielsweise mittels Schurkomplementtechniken erweitert werden kann.

Die Erfindung ist auch in einem Verfahren zur Simulation ei nes technischen Systems verwirklicht, das einem 1/f-Rauschen unterliegt. Dabei werden bei der Modellierung und/oder bei der Festlegung der an Eingangskanälen des Systems anliegenden Größen Zufallszahlen verwendet, die mit einem erfindungsgemä ßen. Verfahren bestimmt worden sind.

Die Erfindung ist des weiteren in einem Computerprogramm zur Ausführung eines Verfahrens zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen verwirklicht.

Das Computerprogramm ist dabei so ausgebildet, daß nach Ein gabe eines gewünschten Spektralwerts β, nach Eingabe der An zahl der zu erzeugenden Zufallszahlen, nach Eingabe einer In tensitätskonstante const, nach Eingabe eines Startwerts für eine Laufvariable n und nach Eingabe eines Werts für eine Fenstergröße d ein erfindungsgemäßes Verfahren in einer oben beschriebenen Ausführungsform durchführbar ist. Dabei wird als Ergebnis des Verfahrens eine Folge von Zufallszahlen aus gegeben, die jeweils einem 1/f-Rauschen angenähert sind. Mit einer solchen Folge von Zufallszahlen können Rauscheinflüsse in einer Vielzahl technischer und physikalischer Systeme mo delliert werden.

Durch das erfindungsgemäß verbesserte Computerprogramm erge ben sich eine verbesserte Anwendbarkeit des Verfahrens für eine Vielzahl von technischen und physikalischen Systemen, eine einfache und effektive Erzeugung von Folgen von Zufalls zahlen und eine Laufzeitverbesserung sowie eine Rechenlei stungsoptimierung.

Durch das erfindungsgemäße Computerprogramm ergibt sich fer ner ein breites Anwendungsspektrum des Verfahrens für eine Vielzahl von technischen und physikalischen Systemen und eine einfache und effektive Erzeugung von an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen, wobei eine schnelle Laufzeit und ein optimaler Einsatz von Rechenleistung gewähr leistet wird.

Der Erfindung betrifft außerdem ein Computerprogramm, das auf einem Speichermedium enthalten ist, das in einem Computer speicher abgelegt ist, das in einem Direktzugriffspeicher enthalten ist oder das auf einem elektrischen Trägersignal übertragen wird.

Weiterhin betrifft die Erfindung einen Datenträger mit einem solchen Computerprogramm sowie ein Verfahren, bei dem ein solches Computerprogramm aus einem elektrischen Datennetz, wie beispielsweise aus dem Internet, auf einen an das Daten netz angeschlossenen Computer heruntergeladen wird.

Die Erfindung ist in den Figuren anhand eines Ausführungsbei spiels näher veranschaulicht.

Fig. 1 zeigt eine schematische Darstellung eines zu simu lierenden technischen Systems,

Fig. 2 zeigt ein Struktogramm zur Bestimmung von Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens,

Fig. 3 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 3a bis 3f ein Be rechnungsbeispiel für einen Simulations-Zeitschritt [t₄, t₅] = [2.75, 3.00],

Fig. 4 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 4a bis 4c ein Be rechnungsbeispiel für einen sechsten Simulations- Zeitschritt [t₅, t₆] = [3.000,4.000].

Fig. 1 zeigt eine schematische Darstellung eines rauschbe hafteten Systems, das simuliert werden soll.

Das System wird durch ein als Kasten angedeutetes Systemmo dell 1 beschrieben, welches das Systemverhalten beschreibt. Das Systemverhalten ergibt sich aus den Eingangskanälen 2, die auch als Vektor INPUT bezeichnet werden, und aus den Aus gangskanälen 3, die auch als OUTPUT bezeichnet werden. Weiterhin ist ein systembedingtes Rauschen vorgesehen, das an Rauscheingangskanälen 4 anliegt und das auch als Vektor bzw. als Matrix NOISE bezeichnet wird. Eine Matrix NOISE liegt dann vor, wenn das Rauschen mit mehreren Kanälen berücksich tigt wird, wobei jede Spalte der Matrix NOTSE einen Vektor von Rauschwerten enthält, die an einem Rauscheingangskanal anliegen.

Das Rauschen an den Rauscheingangskanälen 4 wird vorzugsweise als rauschbedingte Veränderung des Systemmodells 1 aufgefaßt.

Das Verhalten der Eingangskanäle 2 und der Ausgangskanäle 3 kann durch ein System von Differentialgleichungen oder durch ein System differential-algebraischer Gleichungen beschrieben werden, so daß zuverlässige Vorhersagen des Systemverhaltens möglich sind.

Zu jedem Zeitschritt der Simulation des in Fig. 1 gezeigten Systems wird für einen an den Eingangskanälen 2 anliegenden Vektor INPUT und für einen an den Rauscheingangskanälen 4 an liegenden Vektor NOISE ein Vektor OUTPUT der Ausgangskanäle 3 berechnet.

Sinnvollerweise werden zur Simulation über einen längeren Zeitraum die Vektoren INPUT, OUTPUT, NOISE als Matrix angege ben, wobei je eine Spalte k der betreffenden Matrix die Werte der entsprechenden Zeitreihe des betreffenden INPUT, OUTPUT, NOISE enthält.

Fig. 2 veranschaulicht, wie man zu je einem Vektor y _k ge langt, der eine Spalte k der Matrix NOISE für die Rauschein gangskanäle 4 des Systemmodells 1 bildet. Jeder Vektor y _k dient zur Simulation einer Rauschquelle.

In einem ersten Schritt wird ein gewünschter Spektralwert β, eine Intensitätskonstante const sowie eine Fenstergröße d festgelegt. Weiterhin wird der Zähler n des aktuellen Simula tions-Zeitintervalls auf einen Anfangswert gesetzt, der im betrachteten Ausführungsbeispiel als (n ≧ d) angenommen wird.

Nun wird sukzessive für jeden Simulations-Zeitschritt die folgende Abfolge von Rechenschritten durchgeführt.

Zunächst wird der aktuelle Simulations-Zeitschritt festge legt. Äquivalent hierzu kann auch das Ende des aktuellen Si mulationszeitschritts festgelegt werden, wodurch sich der nächste Betrachtungszeitpunkt ergibt.

Danach wird der Zähler n des aktuellen Simulationszeit schritts um Eins hochgezählt.

Anschließend wird die Covarianzmatrix (n) der Dimensi on (d × d) nach Gleichung (3.6) bestimmt. Im Falle (n < d) wird nur das rechte untere (d × d)-große Fenster der Covari anzmatrix (n) bestimmt. Die Variablen i, j, der Gleichung (3.6) nehmen dabei die Werte i, j = (n - d + 1), . . ., n ein. Im Fal le (n = d) wird die gesamte Covarianzmatrix (n) für die Wer te i, j = 1, . . ., n bestimmt.

Bei der Bestimmung der Covarianzmatrix (n) wird auf die Wer te des ((d - 1) × (d - 1))-großen Fensters der beim vorigen Durch lauf der Verfahrensschritte berechneten Covarianzmatrix (n - 1) zurückgegriffen, das rechts unten in der Covarianzma trix (n - 1) angeordnet ist. Die Werte dieses Fensters bilden die in der neu zu bestimmenden Covarianzmatrix (n) im linken oberen ((d - 1) × (d - 1))-großen Fenster angeordneten Werte. Dem entsprechend werden bei der Neuberechnung nur die Werte der letzten Zeile und der letzten Spalte der Covarianzmatrix (n) explizit neu berechnet.

Im nächsten Schritt des erfindungsgemäßen Verfahrens erfolgt die Bestimmung der Inversen (n) der Covarianzmatrix (n).

Diese wird für den Fall (n ≦ d) explizit berechnet, beispiels weise mittels einer Cholesky-Zerlegung. Für den Fall (n < d) wird diese Inverse (n) zur Steigerung der Effizienz unter Verwendung von Schurkomplement-Techniken ermittelt. Dabei wird auf die im letzten Durchlauf der Verfahrensschritte be stimmten Größen ₂₂(n - 1), ₂₂ ^-1(n - 1), c ₁₂ ^T(n - 1), ₂₂(n - 1) sowie b ₁₂(n - 1) zurückgegriffen.

In den beiden nächsten Verfahrensschritten werden die Hilfsgrößen ₂₂(n) und c ₁₂ ^T(n) aus der Covarianzmatrix (n) unter Anwendung der Gleichung (3.11) sowie die Hilfsgrößen ₂₂(n) und b ₁₂(n) aus der Inversen (n) unter Anwendung der Gleichung (3.12) bestimmt.

Die invertierte Teilmatrix ₂₂ ^-1(n) wird mittels der Gleichung (3.15) unter Verwendung der Hilfsgrößen c ₁₂ ^T(n), ₂₂(n) sowie b ₁₂(n) bestimmt. Diese invertierte Teilmatrix ₂₂ ^-1(n) wird beim jeweils nächsten Durchlauf der Verfahrensschritte zur Berechnung der invertierten Covarianzmatrix ₂₂(n) benötigt.

Als nächstes wird die Größe σ aus der Formel

σ = sqrt(1/e(n, n))

berechnet, wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n, n) das durch (n, n) indizierte Element der invertierten Covarianzmatrix (n) bezeichnet.

Außerdem wird ein Wert einer (0, 1)-normalverteilte Zufallsva riable X_k gezogen und damit der Vektor x _k der normalverteil ten Zufallszahlen ergänzt. Die gezogene Zufallszahl weist den Erwartungswert 0 und die Varianz 1 auf. Dieser Schritt wird für jede zu simulierende Rauschquelle durchgeführt.

Des weiteren wird eine Größe µ_k gebildet. Sie wird für (n ≦ d) aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der inver tierten Covarianzmatrix (n) und aus der Sequenz von (n - 1) 1/f-verteilten Zufallszahlen gebildet, die für die vorausge henden (n - 1) Simulations-Zeitschritte berechnet wurden.

Für (n < d) wird µ_k aus den ersten (d - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix (n) und aus der Sequenz der letzten (d - 1) 1/f-verteilten Zufallszahlen gebil det, die für die vorausgehenden (n - 1) Simulations- Zeitschritte berechnet wurden.

Hierzu wird gemäß Formel (3.9) vorgegangen. Dieser Schritt wird im Falle mehrere vorhandener Rauschquellen k für jede zu simulierende Rauschquelle k separat durchgeführt.

Schließlich wird dasjenige Element der Matrix NOISE berech net, dessen Spaltenindex k die zu simulierende Rauschquelle angibt und dessen Zeilenindex gleich n ist. Hierdurch wird der aktuelle Simulations-Zeitschritt bezeichnet. Das aktuell berechnete Element r(k, n) der Matrix NOISE stellt eine Zu fallszahl dar, die zusammen mit den darüberstehenden (n - 1) Elementen derselben Spalte k von NOISE einen Vektor y _k der Länge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen bildet. Dieser Vek tor y _k dient zur Simulation einer der Rauschquellen für die ersten n Simulationszeitschritte.

Jedes Element y_k der n-ten Zeile von NOISE wird dann aufgrund der Gleichungen (3.7) - (3.9) aus der letzten Zufallszahl x_k des Vektors x und den Größen µ_k und σ bestimmt, und zwar nach folgender Vorschrift:

y_k = x_k.σ + µ_κ.

In den Fig. 3 und 4 wird die Durchführung des erfindungs gemäßen Verfahrens anhand eines konkreten Berechnungsbei spiels gezeigt.

In dem Berechnungsbeispiel wird eine Folge von Zufallszahlen erzeugt, die an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angelehnt sind. Diese Folge von Zufallszahlen wird in einem Vektor y abgelegt. Die Erzeugung dieser Zufallszahlen wird im folgen den für die Zeitschritte t₀ = 0.000, t₁ = 1.000, t₂ = 1.500, t₃ = 2.000, t₄ = 2.750, t₅ = 3.000 und t₆ = 4.000 durchgeführt. Dabei werden die berechneten Werte zum Zwecke der einfachen Dar stellung nach genauer Rechnung nach der dritten Kommastelle abgeschnitten. Zur leichteren Zuordnung der verwendeten Vek toren und Matrizen wird jeweils in Klammer der Index des Zeitschritts angegeben, für den diese Größe jeweils berechnet wurde. So gibt (5) die Covarianzmatrix des Zeitschritts [t₄, t₅] = [2.750, 3.000] an, die sich auf die Zeitpunkte t₀, . . ., t₅ bezieht.

Im Berechnungsbeispiel wird der Wert des Spektralwerts β stets als 0.5 angenommen. Der Wert der Intensitätskonstante const wird willkürlich als 1.0 angenommen. Als Fenstergröße wurde d = 5 verwendet.

Fig. 3 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 3a bis 3f ein Berech nungsbeispiel für einen Simulations-Zeitschritt [t₄, t₅] = [2.750, 3.000].

Die 1/f-verteilten Zufallszahlen der Zeitpunkte t₁, . . ., t₄ werden im folgenden Ausführungsbeispiel als bekannt vorausge setzt.

Fig. 3a zeigt eine Covarianzmatrix (5) der Dimension (n × n) = (5 × 5), die zur Erzeugung einer weiteren Zufalls zahl benötigt wird. Die Covarianzmatrix (5) wird nach Glei chung (3.6) bestimmt.

Beispielhaft wird dies am Element (5, 4), also (i, j) mit i = 5 und j = 4 durchgeführt.

Unter Anwendung von Gleichung (3.6) ergibt sich (5, 4) zu:

Im nächsten Simulationsschritt überschreitet die Laufvaria ble n die Fenstergröße d und somit die Dimension der Covari anzmatrix (6). Dementsprechend werden in den Teilfiguren 3b, 3c, 3e sowie 3f Hilfsgrößen ermittelt, die zur Bestimmung der invertierten Covarianzmatrix (6) des nächsten Simulations- Zeitschritts n = 6 benötigt werden.

Fig. 3b zeigt einen aus der Covarianzmatrix (5) ermittelten Vektor c ₁₂ ^T(5). Dieser Vektor c ₁₂ ^T(5) beinhaltet das zweite, das dritte, das vierte und das fünfte Element der ersten Zei le der Covarianzmatrix (5) und ergibt sich aus der Glei chung (3.11).

Fig. 3c zeigt eine aus der Covarianzmatrix (5) ermittelte Teilmatrix ₂₂(5). Diese Teilmatrix ₂₂(5) enthält die Elemen te des ((d - 1) × (d - 1)) = (4 × 4) großen Fensters, das rechts unten in der Covarianzmatrix (5) angeordnet ist. Diese Teilmatrix ₂₂(5) ergibt sich aus der Covarianzmatrix (5) unter Anwendung der Gleichung (3.11).

Fig. 3d zeigt eine invertierte Covarianzmatrix ^-1(5) = (5) zu der Covarianzmatrix (5), die im folgenden ausschließlich als (5) bezeichnet wird. Eine Überprüfung anhand der Glei chung (3.13) zeigt, daß die Matrizenmultiplikation der Cova rianzmatrix (5) mit der invertierten Covarianzmatrix (5) die Einheitsmatrix I_d ergibt.

Im vorliegenden Fall wurde die invertierte Covarianzma trix (5) unter Anwendung einer hier nicht näher dargestell ten Cholesky-Zerlegung aus der Covarianzmatrix (5) explizit berechnet.

Fig. 3e zeigt einen aus der invertierten Covarianzma trix (5) ermittelten Vektor b ₁₂(5). Dieser Vektor b ₁₂(5) ent hält das zweite, das dritte, das vierte sowie das fünfte Ele ment der ersten Spalte der invertierten Covarianzmatrix (5). Der Vektor b ₁₂(5) ergibt sich aus der invertierten Covarianz matrix (5) unter Anwendung der Gleichung (3.12).

Fig. 3f zeigt eine Teilmatrix ₂₂(5) der in Fig. 3d gezeig ten invertierten Covarianzmatrix (5). Diese Teilma trix ₂₂(5) umfaßt diejenigen Elemente der invertierten Cova rianzmatrix (5), die in dem rechten unteren Fenster der Di mension ((d - 1) × (d - 1)) = (4 × 4) der invertierten Covarianzma trix (5) enthalten sind. Die Teilmatrix ₂₂(5) ergibt sich aus der invertierten Covarianzmatrix (5) unter Anwendung der Gleichung (3.12).

Aus dem in der invertierten Covarianzmatrix (5) rechts unten angeordneten Element, nämlich dem Wert (5)_5;5 = 4.787 kann nun die Größe σ berechnet werden.

σ ergibt sich im vorliegenden Ausführungsbeispiel als:

Unter Verwendung des Vektors:

b(5)_5;1,...,4 = (-0.094, -0.109, -0.093, -0.749),

der den ersten, den zweiten, den dritten sowie den vierten Wert der fünften Zeile der invertierten Covarianzmatrix (5) enthält, ist der Wert µ berechenbar. Dabei wird die Formel (3.9) verwendet.

Unter Verwendung der so bestimmten Größen σ und µ sowie unter Verwendung von zufällig gezogenen, normal verteilten Zu fallzahlen x(n) kann y(5) nach der Formel

y(n) = x(n).σ + µ

berechnet werden. Dabei stellt y(5) das fünfte Element des Vektors y dar, der eine Folge von Zufallszahlen aufweist, die an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenähert sind.

Fig. 4 zeigt anhand ihrer Teilfiguren 4a bis 4c ein Berech nungsbeispiel für einen sechsten Simulations-Zeitschritt [t₅, t₆] = [3.000, 4.000]. Der Wert der Laufvariablen n ist für den sechsten Simulations-Zeitschritt stets gleich 6.

Fig. 4a zeigt eine invertierte Teilmatrix ₂₂ ^-1(5) zu der in Fig. 3c gezeigten Teilmatrix ₂₂(5). Die invertierte Teilma trix ₂₂ ^-1(5) wird nicht explizit vollkommen neu berechnet, sondern ergibt sich unter Anwendung der Gleichung (3.16).

Die in der Gleichung (3.16) zur Berechnung der invertierten Teilmatrix ₂₂ ^-1(5) notwendigen Hilfsgrößen b ₁₂(5), c ₁₂ ^T(5) so wie ₂₂(5) sind in den vorangegangenen Schritten bestimmt worden. Die Größe I_d-1 in der Gleichung (3.16) entspricht der Einheitsmatrix zur Dimension (d - 1) = 4.

Fig. 4b zeigt eine Covarianzmatrix *(6) der Dimensi on (d × d) = (5 × 5). *(6) ergibt sich als rechtes unteres Fenster (2, . . ., 6; 2, . . ., 6) der Covarianzmatrix (6) mit der Dimension d = 6.

Für die Berechnung der Covarianzmatrix *(6) wird auf die in Fig. 3c gezeigte Teilmatrix ₂₂(5) zurückgegriffen, die in der Covarianzmatrix *(6) das linke obere Fenster der Dimen sion ((d - 1) × (d - 1)) = (4 × 4) bildet. Dementsprechend werden lediglich diejenigen Elemente der in Fig. 4b gezeigten Cova rianzmatrix *(6) neu berechnet, die in der fünften Zeile oder in der fünften Spalte angeordnet sind.

Beispielhaft wird diese Berechnung unter Anwendung der Glei chung (3.6) für das Element (3, 6), durchgeführt:

Fig. 4c zeigt die invertierte Covarianzmatrix *(6) der Di mension d = 5 zu der in Fig. 4b gezeigten Covarianzma trix *(6).

Eine Überprüfung mittels der Gleichung (3.13) ergibt, daß die in Fig. 4b gezeigte Covarianzmatrix *(6) multipliziert mit der in Fig. 4c gezeigten invertierten Covarianzmatrix *(6) die Einheitsmatrix I_d ergibt.

Die invertierte Covarianzmatrix *(6) wird nicht explizit Element für Element neu berechnet, sondern ergibt sich mit tels Schurkomplement-Techniken unter Verwendung der in Fig. 3 sowie der in Fig. 4a gezeigten Hilfsgrößen.

Unter Verwendung des rechten unteren Werts der invertierten Covarianzmatrix *(6) nämlich des Werts *(6)_5;5 = 0.630 er gibt sich σ zu 1.259. Unter Verwendung des Vektors

ist der Wert µ berechenbar.

Mittels der so bestimmten Größen σ und µ sowie mittels gezo gener, normal verteilter Zufallszahlen x(n) wird nun eine weitere Zufallszahl y(6) berechnet, die den Vektor y(n) der an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszah len erweitert.

Der Vektor y(n) kann durch das erfindungsgemäße Verfahren be liebig erweitert werden. Bei dieser Berechnung wird die zur Bestimmung der Zufallszahlen notwendige Covarianzmatrix (n) sowie deren invertierten Covarianzmatrix (n) in der Dimensi on n auf die vorgegebene Fenstergröße d begrenzt. Diese Maß nahme hält den Rechenaufwand für jeden Simulations- Zeitschritt klein genug. Die so erzeugten Zufallszahlen tref fen zwar nicht exakt die Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens, stellen aber eine sehr gute Näherung an diese dar.

Im Rahmen dieses Dokuments wurden die folgenden Veröffentli chungen zitiert:
[1] G. H. Golub and C. F. von Loan. Matrix Computations. John Hopkins University Press, Page 51, 2. Auflage, 1989.
[2] R. Barton and H. V. Poor. Signal Detection in Fractional Gaussian Noise. IEEE Transactions an Information Theory, Pages 943-959, 1988

Bezugszeichenliste

1

Systemmodel

2

Eingangskanäle

3

Ausgangskanäle

4

Rauscheingangskanäle

Claims

1. Verfahren zum Erzeugen wenigstens einer Folge von an Zah lenfolgen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufallszahlen, das die folgenden Schritte aufweist:

- Bestimmen eines gewünschten Spektralwerts β,
- Bestimmen einer Intensitätskonstante const,
- Bestimmen der Anzahl der zu erzeugenden Zufallszahlen,
- Festlegen eines Startwerts für eine Laufvariable n,
- Festlegen einer Fenstergröße d,

wobei solange, bis die gewünschte Anzahl von Elementen y(n) des Vektor y der Länge n aus 1/f-verteilten Zufalls zahlen berechnet ist, das schleifenartige Wiederholen der folgenden Schritte vorgesehen ist:

a) Erhöhen des aktuellen Werts der Laufvariablen n um 1,
b) Festlegen eines Simulationszeitschritts [t_n-1; t_n], wobei für den Fall (n < d) die Schritte c), d), g) bis i), k) und für den Fall (n ≧ d) die Schritte e) bis h), j), k) ausgeführt werden:
c) Bestimmen der Elemente _ij einer Covarianzmatrix (n) der Dimension (n × n) nach der folgenden Vorschrift:
d) Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix ^-1(n) = (n) der Dimension (n × n),
e) Bestimmen der Elemente _ij einer Covarianzmatrix (n) der Dimension (d × d) nach der folgenden Vorschrift:
f) Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix
der Dimension (d × d),
g) Bestimmen einer Größe σ gemäß der Vorschrift
σ = sqrt(1/e(n, n)),
wobei sqrt die Funktion "Quadratwurzel" und wobei e(n, n) das durch (n, n) indizierte Element der inver tierten Covarianzmatrix (n) bezeichnet,
h) Bestimmen einer (0, 1)-normalverteilten Zufallszahl, welche die n-te Komponente eines Vektors x der Länge n bildet,
i) Bilden einer Größe µ aus den ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix (n) und aus den (n - 1) Elementen des Vektors y, die für ei nen vorausgehenden (n - 1)-ten Simulations-Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der folgenden Vor schrift:
wobei y_(n-1) die ersten (n -1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei _•,n die ersten (n - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix (n) be zeichnet und wobei _n,n das mit (n, n) indizierte Ele ment der invertierten Covarianzmatrix (n) bezeichnet,
j) Bilden einer Größe µ aus den ersten (d - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix (n) und aus den letzten (d - 1) Elementen des Vektors y, die für einen vorausgehenden (n - 1)-ten Simulations- Zeitschritt berechnet wurden, und zwar gemäß der fol genden Vorschrift:
wobei y_(n-1) die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y bezeichnet, wobei _•,n die ersten (d - 1) Komponenten der n-ten Zeile der invertierten Covarianzmatrix B(n) be zeichnet und wobei _n,n das mit (n, n) indizierte Ele ment der invertierten Covarianzmatrix B(n) bezeichnet,
k) Berechnen eines Elements y(n) eines Vektors y der Län ge n aus 1/f-verteilten Zufallszahlen nach folgender Vorschrift:
Y(n) = x(n).σ + µ

2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß anstelle des Schritts f) die folgenden Schritte f1) bis f4) ausgeführt werden:

1. Bestimmen eines Vektors c₁₂ ^T(n) und einer Matrix C₂₂(n) aus der Covarianzmatrix (n), und zwar gemäß der fol genden Vorschrift:
2. Bestimmen der invertierten Covarianzmatrix
der Dimension (d × d) unter Verwendung der invertierten Matrix C₂₂ ^-1(n - 1) mittels Schurkomple menttechniken,
3. Bestimmen des Vektors b₁₂(n) und der Matrix B₂₂(n) aus der invertierten Covarianzmatrix (n), und zwar gemäß der folgenden Vorschrift:
4. Bestimmen der invertierten Matrix C₂₂ ^-1(n) nach folgen der Vorschrift:
C₂₂ ^-1(n) = (I_d-1 - b₁₂(n)c₁₂ ^T(n))^-1.B₂₂(n)
wobei I_d-1 die Einheitsmatrix der Dimension ((d - 1) × (d - 1)) darstellt.

3. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, daß q Folgen von Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens gleichzei tig berechnet werden, wobei anstelle der schleifenartig zu wiederholenden Schritte h), i), j) und k) die folgen den Schritte h'), i'), j') und k') durchgeführt werden:

1. h') Bestimmen von q Stück (0, 1)-normalverteilte Zufalls zahlen x_k,n, welche die jeweils letzte Komponente der Vektoren x _k der Länge n bilden, wobei k = 1, . . ., q,
2. i') Bilden von q Größen µ_k gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y_(n-1),k die ersten (n - 1) Komponenten des Vektors y _k bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simula tions-Zeitschritt berechnet wurden, wobei k = 1, . . ., q,
3. j') Bilden von q Größen µ_k gemäß der folgenden Vorschrift:
wobei y_(n-1),k die letzten (d - 1) Komponenten des Vektors y _k bezeichnet, die für einen vorausgehenden Simula tions-Zeitschritt berechnet wurden, wobei k = 1, . . ., q,
4. k') Berechnen von q Elementen y_k,n, welche die jeweils n-te Komponente des Vektors y _k der Länge n aus 1/f-ver teilten Zufallszahlen bilden, und zwar nach folgender Vorschrift:
y_k,n = x_k,n.σ + µ_k
wobei k = 1, . . ., q.

4. Verfahren zur Simulation eines technischen Systems, das einem 1/f-Rauschen unterliegt, bei dem bei der Modellie rung und/oder bei der Festlegung der an Eingangskanälen des Systems anliegenden Größen Zufallszahlen verwendet werden, die nach einem Verfahren gemäß den vorhergehenden Ansprüche bestimmt worden sind.

5. Computerprogrammprodukt sowie Computerprogramm zur Aus führung eines Verfahrens zur Bestimmung von Folgen von an Zufallszahlen eines 1/f-Rauschens angenäherten Zufalls zahlen, das so ausgebildet ist, daß ein Verfahren gemäß einem der Ansprüche 1 bis 4 ausführbar ist.

6. Computerprogramm nach Anspruch 5, das auf einem Speicher medium enthalten ist.

7. Computerprogramm nach Anspruch 5, das in einem Computer speicher abgelegt ist.

8. Computerprogramm nach Anspruch 5, das in einem Direktzu griffsspeicher enthalten ist.

9. Computerprogramm nach Anspruch 5, das auf einem elektri schen Trägersignal übertragen wird.

10. Datenträger mit einem Computerprogrammprodukt bzw. Compu terprogramm nach Anspruch 5.

11. Verfahren, bei dem ein Computerprogrammprodukt bzw. Com puterprogramm nach Anspruch 5 aus einem elektronischen Datennetz wie beispielsweise aus dem Internet auf einen an das Datennetz angeschlossenen Computer heruntergeladen wird.